H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.

Transkriptio

1 10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas on kunta. Jakorengas,jokaeiolekuntaonvino kunta. JosK ja K ovat kuntia, rengashomomorfismia φ: K K sanotaan kuntahomomorfismiksi. Esimerkki (a) Renkaassa Z on äärettömän monta alkiota mutta sen ainoat yksiköt ovat ±1. Siis Z ei ole jakorengas eikä siis kunta. (b) Q, R ja C ovat kuntia. (c) Matriisirengas M n (R) ei ole kunta, kun n 2, koskamonellamatriisillaeiole käänteismatriisia. Esimerkiksi M n (R) =GL n (R). Kuntaominaisuudet säilyvät homomorfismeissa: Propositio Olkoon K kunta ja olkoon R rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Olkoon φ: K R rengashomomorfismi. Tällöin φ on injektio ja φ(k) on kunta. Todistus. Injektiivisyys osoitetaan Harjoitustehtävässä 127. Proposition 8.17 mukaan φ(k) on rengas. Yksikön kuva on yksikkö Proposition 4.12 nojalla. Esimerkki Hamiltonin kvaterniot on joukko {( ) } a b H = : a, b C M b ā 2 (C) varustettuna renkaasta M 2 (C) indusoiduilla laskutoimituksilla, jotka siis ovat matriisien yhteenlasku ja matriisien kertolasku. Proposition 8.15 avulla on helppo osoittaa, että H on renkaan M 2 (C) alirengas. Lisäksi ( ) a b det = a b ā 2 + b 2, joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska (ā ) 1 b H a 2 + b 2 b a ja pätee (ā 1 )( ) b a b a 2 + b 2 b a b ā = I 2. Siis H on jakorengas. Jakorengas H ei ole kommutatiivinen sillä esimerkiksi ( )( ) ( ) ( )( ) i i 0 1 i 0 = =. 0 i 1 0 i i Siis Hamiltonin kvaterniot on vino kunta. Injektiivinen kuvaus φ: C H, φ(z) = diag(z, z) on kuntahomomorfismi, joten voimme samastaa sen kuvajoukon φ(c) = {( z 0 0 z ) 62 } : z C M 2 (C)

2 kompleksilukujen kunnan kanssa. Kvaternioita käsitellessä onkin tapana käyttää esimerkiksi merkintöjä ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 i i 1=, i =, j =, k = i 1 0 i 0 Tällöin (9) i 2 = j 2 = k 2 = 1 ja (10) ij = k = ji, ki = j = ik, jk = i = kj. Matriisit 1, i, j ja k virittävät avaruuden H neliulotteisena reaalisena vektoriavaruutena, joten Hamiltonin kvaterniot voidaan esittää reaalisina lineaarikombinaatioina x = x 0 + x 1 i + x 2 j + x 3 k, x 0,x 1,x 2,x 3 R, joillavoilaskeakutenkompleksiluvuillahuomioidenlaskusäännöt (9) ja (10). Jos K 1 ja K 2 ovat kuntia ja K 2 on kunnan K 1 alirengas, niin K 2 on kunnan K 1 alikunta. SelvästiQ on reaalilukujen kunnan R ja kompleksilukujen kunnan C alikunta. Esimerkissä 10.4 havaitsimme, että Hamiltonin kvaternioiden vino kunta sisältää kompleksilukujen kunnan kopion. Jaollisuus määritellään kommutatiivisessa renkaassa samalla tavalla kuin kokonaislukujen tapauksessa: Jos K on kommutatiivinen rengas ja a, b, c K siten, että ab = c, niina ja b ovat alkion c tekijöitä. Tällöinluvuta ja b jakavat luvun c, mistä käytetään merkintää a c ja vastaavasti b c. Määritelmä Olkoon R rengas, jossa on vähintään 2 alkiota. Jos a, b R, a, b 0,jaab =0,niina ja b ovat nollan jakajia. JosrenkaassaR ei ole nollan jakajia ja R on kommutatiivinen, niin R on kokonaisalue. Seuraavat jaollisuuden perusominaisuudet on helppo tarkastaa kuten kokonaislukujen tapauksessa. Propositio Olkoon K kokonaisalue. Tällöin (1) a a kaikille a K. (2) Jos a b ja b a, niina = ub jollain u K. (3) Jos a b ja b c, niina c. (4) Jos a b ja a c, niina b + c. Todistus. Harjoitustehtävä 121. Esimerkki (a) Kokonaislukujen rengas on kokonaisalue. (b) Proposition 9.15 todistuksessa huomasimme, että jäännösluokkarengas Z/qZ ei ole kokonaisalue, kun q 4 ei ole alkuluku: Jos q = ab joillekin a, b N {0, 1}, niin a + qz,b+ qz =0ja (a + qz)(b + qz) =0.Erityisestisiiskokonaisalueenkuva rengashomomorfismissa ei välttämättä ole kokonaisalue. (c) Olkoon n 2 ja olkoon R rengas. Jos A, B M n (R) ovat neliömatriiseja, joiden ainoat nollasta poikkeavat kertoimet ovat A 11 ja B nn,niinab =0.SiismatriisitA ja B ovat nollan jakajia. Propositio Yksikkö ei ole nollan jakaja. Todistus. Olkoon a yksikkö ja oletetaan, että ab =0.Silloinb = a 1 0=0.Vastaavasti nähdään, että b =0,josba =0. 63

3 Seuraus Jakorenkaassa ei ole nollan jakajia. Erityisesti kunta on kokonaisalue. Sanomme, että renkaassa R pätee kertolaskun supistussääntö, jos b = c aina, kun jollekin a R {0} pätee ab = ac tai ba = ca. Huomaa,ettätämäsupistussääntö poikkeaa hieman yleisestä laskutoimituksen supistussäännöstä koska 0 a =0kaikille a R. Propositio Kommutatiivinen rengas K on kokonaisalue, jos ja vain jos kertolaskun supistussääntö pätee renkaassa K. Todistus. Harjoitustehtävä 120 Lause Äärellinen kokonaisalue on kunta. Todistus. Olkoon E äärellinen kokonaisalue. Olkoon a E, a 0.Kuvausl a : E E, l a (x) =ax on injektio Proposition nojalla. Kuvaus l a on surjektio, koska E on äärellinen. Siis on ā E,jolleaā =1.KoskaE on kommutatiivinen, ā = a 1. Seuraava tulos on yhteenveto tuloksista, jotka koskevat jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien riippuvuutta luvusta q. Lause Seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä: (1) Z/qZ on kokonaisalue. (2) Z/qZ on kunta. (3) q on alkuluku. Todistus. Kohtien (1) ja (2) yhtäpitävyys seuraa Lauseesta Kohdat (1) ja (3) ovat yhtäpitäviä Proposition 9.17 nojalla. Kokonaisalueiden teoriassa käytetään usein hieman erilaista alkuluvun määritelmää kuin kokonaislukujen Määritelmä 9.1. Sanotaan, että kokonaisalueen K alkio p, jokaeioleyksikkö,onalkualkio, joskaikillea, b K pätee p a tai p b, josp ab. (Vertaa Eukleideen lemmaan.) Alkiota p K, jonkakaikkitekijätovatyksiköitä tai muotoa up, missä u on kokonaisalueen K yksikkö, sanotaan kokonaisalueen K jaottomaksi alkioksi. Propositio Kokonaisalueen alkualkiot ovat jaottomia. Todistus. Olkoon K kokonaisalue ja olkoon p K alkualkio. Oletetaan, että p = ab. Riittää tarkastella tapaus p a. Tällöina = pc jollakin c K, jotenp = pcb. Proposition nojalla kertolaskun supistussääntö on voimassa kokonaisalueessa K, jotenb on yksikkö. Siis p on jaoton. Kokonaislukujen renkaassa jaottomat alkiot ja (kokonaisalueteorian määritelmän mukaiset) alkualkiot ovat samoja Eukleideen lemman nojalla. Näillä määritelmillä luvut ±2, ±3, ±5, ±7, ±11, ±13, ±17, ±19, ±23, ±29,... ovat renkaan Z alkualkioita ja jaottomia alkioita. Esimerkki Olkoon d Z kokonaisluku, joka ei ole jaollinen minkään alkuluvun neliöllä. Olkoot kun d N ja Q( d)={a + b d : a, b Q} R, Q( d)={a + b d : a, b Q} C, kun d/ N. Onhelppoosoittaa,ettäQ( d) on kompleksilukujen kunnan alikunta. Kunta Q( d) on kunnan Q toisen asteen kuntalaajennus eli kvadraattinen lukukunta.. 64

4 Näiden kuntien avulla saadaan (valitsemalla d sopivasti) esimerkkejä kokonaisalueista, joissa kaikki jaottomat alkiot eivät ole alkualkioita. Esimerkiksi kunnan Q( 10) alirenkaassa Z[ 10] = {a + b 10 : a, b Z} voidaan osoittaa, että alkiot 2, 3, ja 4 10 ovat jaottomia mutta eivät alkualkiota koska 3 6=(4+ 10)(4 10) mutta 3 ei ole lukujen (4 + 10) ja (4 10) tekijä. Toinen esimerkki on kunnan Q( 5) alirengas Z[ 5] = {a + bi 5:a, b Z}, jossa luvut 3, 2 i 5 ja 2+i 5 ovat jaottomia mutta eivät alkulukuja, koska 3 2 =(2 i 5)(2 + i 5) = 9 mutta 3 ei ole lukujen 2 i 5 ja 2+i 5 tekijä. Harjoitustehtäviä. Tehtävä 120. Osoita, että kommutatiivinen rengas K on kokonaisalue, jos ja vain jos kertolaskun supistussääntö pätee renkaassa K. Tehtävä 121. Olkoon K kokonaisalue. Osoita, että (1) a a kaikille a Z (2) Jos a b ja b a, niina = ub jollain u K. (3) Jos a b ja b c, niina c. (4) Jos a b ja a c, niina b + c. Tehtävä 122. Olkoon K kunta, ja olkoon K K vakaa osajoukko, joka on kunta indusoiduilla laskutoimituksilla. Osoita, että kunnan K yhteenlaskun ja kertolaskun neutraalialkiot ovat samat kuin kunnan K. Tehtävä 123. Osoita, että kunnan K osajoukko K on alikunta, jos ja vain jos #K 2, a b K kaikilla a, b K,ja ab 1 K kaikilla a, b K, b 0. Tehtävä 124. Olkoon {( ) a b K = b a } M 2 (R) Osoita, että K varustettuna matriisien yhteen- ja kertolaskulla on kunta. Osoita, että kunta K on isomorfinen kompleksilukujen kunnan kanssa. Tehtävä 125. Osoita, että Hamiltonin kvaterniot muodostavat renkaan. Tehtävä 126. Sievennä lauseke (a + b) p kunnassa Z/pZ. Tehtävä 127. Olkoon K kunta ja olkoon R rengas, jossa on vähintään kaksi alkiota. Olkoon φ: K R rengashomomorfismi. Osoita, että φ on injektio. Tehtävä 128. Osoita, että ei ole kuntahomomorfismia φ: C R. Tehtävä 129. Osoita, että ei ole kuntahomomorfismia φ: R Q. 65

5 Tehtävä 130. Olkoot Gaussin kokonaisluvut ja Gaussin rationaaliluvut Z[i] ={a + ib C : a, b Z}, Q(i) ={a + ib C : a, b Q}. Osoita, että Z[i] on rengas ja että Q(i) on kunta (kompleksilukujen kunnasta indusoiduilla laskutoimituksilla). Tehtävä 131. Määritä Gaussin kokonaislukujen yksiköiden ryhmä. Tehtävä 132. Osoita, että on reaalilukujen renkaan alirengas. Z[ 2] = {a + b 2 R : a, b Z}, Tehtävä 133. Osoita, että Z[ 2] on ääretön. 131 Vihje: Käytä kompleksilukujen modulin ominaisuuksia. 133 Vihje: Etsi sopiva yksikkö ja käytä Propositiota