Matriisilaskenta (TFM) MS-A0001 Hakula/Vuojamo Ratkaisut, Viikko 47, 2017

Transkriptio

1 Matriisilaskenta (TFM) MS-A1 Hakula/Vuojamo Ratkaisut, Viikko 47, 17 R Alkuviikko TEHTÄVÄ J1 Mitkä matriisit E 1 ja E 31 nollaavat sijainnit (, 1) ja (3, 1) matriiseissa E 1 A ja E 31 A kun 1 A = Etsi yksi matriisi E = E 31 E 1 joka tuottaa molemmat nollat kerralla ja laske kertolasku EA. RATKAISU J1 Haluttu tulos saadaan lisäämällä ensimmäinen rivi toiseen riviin sekä vähentämällä ensimmäinen rivi kolmannesta neljällä kerrottuna. Matriiseilla esitettynä saadaan 1 E 1 A = = ja E 31 A = 1 1 =

2 Suorittamalla molemmat eliminaatiovaiheet saadaan E 31 E 1 A = = }{{ 1 } E 1 = TEHTÄVÄ J Lohkokertolaskun mukaan ensimmäinen sarake eliminoidaan kun ( ) ( ) ( ) 1 a b a b EA = =. c/a I c D D cb/a Edellisessä tehtävässä, mitä olivat c ja D? Entä mitä on D cb/a? RATKAISU J Matriisi A oli muotoa ( ) 1 a b = 1, c D missä a = ja c = (, 8) T, b = (1, ) ja ( ) 1 D =. 5 3 Näin ollen saadaan TEHTÄVÄ V1 D cb/a = ( ) ( ) = 8 ( ) Etsi hajotelma PA = LU, (ja tarkista), kun A = 1 1, ja A = RATKAISU V1 Tehtävässä määritetään LU-hajotelma osittain tuetulla Gaussin algoritmilla. Ensimmäiselle matriisille: Tukialkio on nyt

3 a 11 =, joten valitaan ensimmäisen sarakkeen itseisarvoltaan suurin alkio (tietokoneohjelmat valitsevat usein näin pyöristysvirheiden minimoimiseksi. Lopputulos on sama kuin esim. mitä Matlab antaa.) uudeksi tukialkioksi vaihtamalla rivit 1 ja P 1 A = = Muita rivinvaihtoja ei tarvi tämän matriisin tapauksessa tehdä. Suoritetaan eliminaatio loppuun E 1 P 1 A = 1/ = 3/ E E 1 P 1 A = 1 3/ 1 = 3/ 1 = U / /3 Saatiin yhtälö E E }{{} 1 A = U PA = LU, }{{} P 1 L 1 P missä 1 P = 1, L = E 1 1 E 1 = 1/ 1 1 = 1/ 1 ja 1 /3 1 / U = 3/ 1. 1/3 Toinen matriisi: Laskettaessa LU-hajotelmaa suoraan Gaussin menetelmällä saadaan toisessa sarakkeessa tukialkioksi. Valitsemalla PA = =

4 tukialkio on itseisarvoltaan suurin ja saadaan E 1 PA = 1/ = 1 1/ = U. 1/ 1 1 1/ Nyt hajotelmassa 1 P = L = E 1 1 = 1/ 1. 1/ 1 Tämäkin tulos on sopusoinnussa tietokoneen antaman hajotelman kanssa. TEHTÄVÄ V Osoita, että MM 1 = I, kun a) M = I uv T ja M 1 = I + uvt 1 v T u b) M = A uv T ja M 1 = A 1 + A 1 uv T A 1 1 v T A 1 u c) M = I UV ja M 1 = I n +U(I m VU) 1 V, U R n m, V R m n d) M = A UW 1 V ja M 1 = A 1 +A 1 U(W VA 1 U) 1 VA 1 Viimeinen kaava tunnetaan nimellä Shermanin-Woodburyn-Morrisonin matriisi-identiteettinä, ja sillä on useita sovelluksia insinööritieteissä. RATKAISU V Huom. kohdat a)-c) ovat kohdan d) erikoistapauksia, joten ratkaisuun riittää myös todistaa vain d) ja tulkita edelliset kohdat sen avulla. Näytetään seuraavassa kuitenkin kaikki kohdat erikseen. Oletetaan, että kaikki tarvittavat käänteismatriisit ovat olemassa. a) ) (I uv T ) (I + uvt = I + uvt 1 v T u 1 v T u uvt uvt uv T 1 v T u = I + (1 vt u)uv T uv T 1 v T u = I + uv T uv T = I

5 b) ) (A uv T ) (A 1 + A 1 uv T A 1 1 v T A 1 u = I + uvt A 1 1 v T A 1 u uvt A 1 uvt A 1 uv T A 1 1 v T A 1 u = I + uvt A 1 1 v T A 1 u uvt A 1 (vt A 1 u)uv T A 1 1 v T A 1 u = I uv T A 1 + (1 vt A 1 u)uv T A 1 1 v T A 1 u = I uv T A 1 + uv T A 1 = I c) (I n UV)(I n + U(I m VU) 1 V) = I n + U(I m VU) 1 V UV UVU(I m VU) 1 V = I n + U(I m VU)(I m VU) 1 V UV = I n + UV UV = I n d) (A UW 1 V)(A 1 + A 1 U(W VA 1 U) 1 VA 1 ) = I + U(W VA 1 U) 1 VA 1 UW 1 VA 1 UW 1 VA 1 U(W VA 1 U) 1 VA 1 = I + (U UW 1 VA 1 U)(W VA 1 U) 1 VA 1 UW 1 VA 1 = I + U(I W 1 VA 1 U)(W VA 1 U) 1 VA 1 UW 1 VA 1 = I + UW 1 (W VA 1 U)(W VA 1 U) 1 VA 1 UW 1 VA 1 = I + UW 1 VA 1 UW 1 VA 1 = I Tehtävän kaavat ovat erityisen hyödyllisiä esim. tilanteessa, jossa matriisin A käänteismatriisi on jo määritetty ja halutaan laskea käänteismatriisi uudelle matriisille, joka eroaa vain "vähän"matriisista A ks.

6 Loppuviikko TEHTÄVÄ J1 Ratkaise Gaussin algoritmilla yhtälöryhmä Ax = b, kun A = , b = Ratkaisu: ( 3 4 α β α β + α β) T. RATKAISU J /4 3/ /4 3/ /4 1/4 Merkitään x 3 = α ja x 4 = β. Ratkaisuksi voidaan lukea pelkistetystä kokonaismatriisista x 1 3 x x 3 = α + 3β α + 1β α x 4 β

7 TEHTÄVÄ J Ratkaisu: a) 1 Määritä Gaussin algoritmilla avulla A 1, kun a) A = 1 1, b) A = ; b) VASTAUS J Käänteismatriisi muodostetaan soveltamalla Gaussin algoritmia kokonaismatriisiin (A I). Kohdassa a) saadaan / 1 3 1/ / 1 3 1/ 1 1 1/ ; ja A 1 =

8 Kohta b): Gaussin algorimilla saadaan / / 1, 1 1 joten TEHTÄVÄ V1 Olkoon A 1 = 1 A = , b = Osoita, että yhtälöryhmällä Ax = b ei ole ratkaisua. Tietyssä mielessä (pienimmän neliösumman mielessä) mahdollisimman hyvä ratkaisu (joka ei kuitenkaan tietenkään toteuta yhtälöryhmää) saadaan ratkaisemalla matriisiyhtälö A T Ax = A T b. Muodosta tämä yhtälöryhmä ja ratkaise se. Piirrä ryhmän yhtälöiden kuvaajat sekä saatu pienimmän neliösumman periaatteen mukainen ratkaisu tasoon R.

9 TEHTÄVÄ V1 Kokonaismatriisille saadaan , 1 josta 1 = x =, joten yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. Muodostetaan pienimmän neliösumman systeemi ( ) ( ) A T Ax = A T b x =, jolle saadaan ratkaisu ( ) ( ) 1 5/6 3/ 59/6 17/ ( ) 1 5/6 3/ 1 51/59 ( ) 1 46/ /59 Ryhmän yhtälöt ovat x + y = x y = 1 x + 3y = 4 y = x y = x/ + 1/ y = x/3 + 4/3. Kuvaan 1 on piirretty yhtälöitä kuvaavat suorat sekä yhtälöiden pienimmän neliösumman ratkaisu. TEHTÄVÄ V Olkoon A = α, b = β Tutki yhtälöryhmän Ax = b ratkaisujen lukumäärää lukujen α, β eri arvoilla.

10 Kuva 1: Tehtävän V1 yhtälöt Ratkaisu: Yksi ratkaisu, jos β = 6, α 6; äärettömän monta ratkaisua, jos α = β = 6; muulloin ratkaisuja ei ole. RATKAISU V Pelkistetään matriisi yläkolmiomuotoon, josta ratkaisun voi suoraan lukea: α β α β α 6 β 6.

11 MATLAB MATLABin LU-hajotelma lasketaan komennolla lu(a), missä erikoisuutena on se, että palautettavien arvojen lukumäärä voi vaihdella. Laske matriisin 1 1 A = LU-hajotelma a) [L,U]=lu(A) ja b) [L,U,P]=lu(A). Onko kohdan a) tulos hämmentävä? RATKAISU MATLAB Matriisi A on sama kuin alkuviikon tehtävässä V1. Laskettaessa hajotelmaa komennolla [L,U] = lu(a); Matlabin palauttama matriisi L eroaa aiemmin lasketusta, sillä palautettu matriisi on itse asiassa matriisi PL. Jälkimmäisellä komennolla [L,U,P]=lu(A); saadaan myös permutaatiomatriisi P erikseen ja Matlabin palauttamat matriisit ovat samat kuin tehtävässä lasketut. Lisätietoja löytyy dokumentaatiosta