Numeeriset menetelmät

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Numeeriset menetelmät"

Transkriptio

1 Numeeriset menetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics

2 Kurssitiedot Luennot alkavat ke Ke L3 To L6 Kurssin viimeinen luento To Kurssin suorittaminen välikokein: 1. välikoe La klo 9-12 (L3) 2. välikoe La klo 9-12 (L3) Lisäpisteet: Harjoitustehtävien yhteydessä on 10 palautettavaa kotitehtävää, jotka arvostellaan asteikolla 0, 0.5 ja 1. Maksimissaan lisäpisteitä voi kerätä 10 p. Kurssin voi myös suorittaa loppukokein Kurssimateriaali löytyy Optimasta. Kirjallisuus: Faires and Burden; Numerical Methods tai Quarteroni, Sacco and Salieri; Numerical Mathematics Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 2 / 54

3 1.1 Hyvin asetettu ongelma Probleema Probleema: Määrää x siten, että F(x,d) = 0. (1) d on ongelman data (tunnettu); x ongelman ratkaisu; F(, ) ratkaisun ja datan välinen riippuvuus Muuttujat x, d voivat olla lukuja, vektoreita, matriiseja tai funktioita; Muuttujien välinen riippuvuus voidaan määritellä matriisiyhtälönä, differentiaaliyhtälönä tai funktion avulla Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 3 / 54

4 Esim. 1 Esim. 1 Yksinkertaisen jousi-massa-systeemin DY on Ongelmassa x (t)+kx(t) = d(t), x(0) = 0 x (0) = 0 Datana on jousivakio k (luku) ja ulkoinen voima d(t) (funktio); Ratkaisu on funktio x(t); Riippuvuuden muuttujien välille määrittelee differentiaaliyhtälön alkuarvotehtävä Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 4 / 54

5 Esim. 2 Esim. 2 Yleinen tietoliikennekanava mallinnetaan tavallisesti muodossa y = Ax + n, missä x on lähetetty signaalivektori; y on vastaanotettu signaalivektori; n on kanavan kohina; A on ns. kanavamatriisi, joka kuvaa signaalin vaimenemista Ongelma: Määrää x, kun data y,n,a on tunnettu. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 5 / 54

6 Esim. 3 Kuvannusmenetelmällä saadaan kohinainen kuva särkyneestä sydämestä. Kuvan segmentoinnissa esitetään seuraavanlaisia kysymyksiä: Mikä pikseli on osa sydäntä? Missä on kuvan eri osien reunat? Yleinen oletus: Kuvan osien välinen reunakäyrä on sileä; Todelliset pikseliarvot u p ja havaitut arvot y p ovat lähellä toisiaan Energian minimointi: min E(u) = p u p y p 2 + p V(u p,u q ). q Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 6 / 54

7 Hyvin asetettu ongelma Määr. 1.1 Ongelma (1) on hyvin asetettu,jos jokaiselle datalle d ratkaisu x(d) on yksikäsitteinen; ja jos x(d +δd) on ongelman F(x(d +δd),d +δd) = 0 ratkaisu, niin lim x(d +δd) = x(d). δd 0 Muutoin ongelma on huonosti asetettu. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 7 / 54

8 Esimerkki Esim. Polynomin p a (x) = x 4 x 2 +(2a 1)+a(a 1) reaalisten nollakohtien määrääminen on huonosti asetettu ongelma, sillä nollakohtia on 4, kun a 1; nollakohtia on 2, kun 0 a < 1; nollakohtia on 0, kun a < 0. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 8 / 54

9 Ongelman ehtoluku Hyvin asetetun ongelman (1) Määr. 1.2 Suhteellinen ehtoluku on Absoluuttinen ehtoluku K(d) = sup δd 0 δx x ; δd d δx K abs (d) = sup δd 0 δd. Yllä ja jatkossa luku x on muuttujan x normi, joka ilmoittaa muuttujan suuruuden. Sanotaan, että ongelma on stabiili, jos ehtoluku on pieni, ja epästabiili, jos se on suuri. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 9 / 54

10 Numeerinen menetelmä Määr. 1.3 Numeerinen menetelmä hyvin asetetun ongelman (1) ratkaisemiseksi koostuu jonosta approksimaatio-ongelmia F n (x n,d n ) = 0, n 1. (2) Tavoitteena numeerisen menetelmän konstruoimisessa on d n d, kun n. x n x, kun n. F n F, kun n. Sanotaan, että numeerinen menetelmä on konsistentti, jos lim F n(x,d) = lim F n(x,d) F(x,d) = 0. n n Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 10 / 54

11 Iteratiivinen ratkaisumenetelmä Alkuarvo x 0 on annettu; Seuraavaa approksimaatio ratkaistaan ongelmasta F n (x n,x n 1,d) = 0. Iteratiivinen ratkaisumenetelmä on konsistentti, jos Esim. 4 F n (x,x,d) 0, kun n. Oletetaan, että funktion f(x) nollakohta z on yksinkertainen, ts. f(z) = 0, f (z) 0. Newtonin menetelmä x n = x n 1 f(x n 1) f (x n 1 ), x 0 annettu on iteratiivinen ratkaisumenetelmä nollakohdan approksimoimiseen. Osoita, että menetelmä on konsistentti. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 11 / 54

12 Konvergenssi Määr. 1.4 Numeerinen menetelmä suppenee (konvergoi), jos x n (d n ) x(d),kunn. Määr. 1.5 Numeerinen menetelmä on stabiili, jos yhtälöllä (2) on yksikäsitteinen ratkaisu jokaisella n; ja ratkaisu on jatkuva pienten häiriöiden suhteen, ts. lim δdn x n (d +δd n ) x n (d n ) = 0. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 12 / 54

13 Määr. 1.6 Suhteellinen stabiilisuus: Absoluuttinen stabiilisuus K n (d n ) = sup δd 0 δx n x n δd n d n δx n K abs,n (d n ) = sup δd 0 δd n. ; Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 13 / 54

14 Laskennan perusprinsiipit Numeeriseen laskentaan kuuluu seuraavat kaksi perusperiaatetta: tulos = (järki) rauta ; järki rauta = C (vakio). Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 14 / 54

15 1.3 Virhelähteet Lähtökohta on aina oikea fysikaalinen ongelma, jonka ratkaisu on x fys. Fysikaalisesta ongelmasta muodostetaan matemaattinen malli, joka voidaan kuvat yhtälönä F(x,d) = 0. Matemaattista mallia vuorostaan approksimoidaan numeerisella mallilla F n (x n,d n ) = 0. Prosessissa syntyvä globaali virhe Tässä e n = x n x fys = [x n x]+[x x fys ] = E n + E M. E M on matemaattisen mallin virhe ja riippumaton laskennasta; E n numeerisessa laskennassa tehty virhe, joka koostuu kahdesta virhelähteestä: typistysvirheestä ja lukujen pyöristysvirheestä. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 15 / 54

16 Liukuluvut Olkoon tietokoneen muistipaikojen lukumäärä N. Reaaliluvun liukulukuesitys kantaluvun β suhteen Tässä x = ( 1) s (0.a 1 a 2 a 3 a t ) β e = ( 1) s mβ e t. β on kantaluku (desimaalijärjestelmässä β = 10, tietokoneessa β = 2); t on merkitsevien numeroiden lukumäärä; m = a 1 a 2 a t on mantissa, a i {0,...,β 1}; e on eskponentti ja L < e < U. s = 0 tai 1 sen mukaan onko luku positiivinen vai negatiivinen. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 16 / 54

17 Pyöristyssääntö Merkitään liukuluvulla fl(x) luvun x esitystä t:n merkitsevän numeron liukulukuaritmetiikassa: { fl(x) = ( 1) s (0.a 1 a 2 a 3 a t ) β e a t, a t+1 < β, a t = 2 a t + 1, a t+1 β 2 Aritmeettiset operaatiot: Olkoon mikä tahansa reaalilukujen aritmeettisista operaatioista (summa, vähennyslasku, kertolasku tai jakolasku). Tällöin vastaava liukulukuoperaatio on : R R F; x y = fl(fl(x) fl(y)). Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 17 / 54

18 Numeerista lineaarialgebraa Sisältö Kertausta matriiseista (kts. Appendix A); Gaussin eliminaatio; LU-hajotelma; Pivotisointistrategiat; Matriisin ehtoluku; Virheanalyysi; Konjugaattigradienttimenetelmä; Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 18 / 54

19 Gaussin eliminaatio: Esim. Tarkastellaan yhtälöryhmää: x x 2 = x 3 0 Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 19 / 54

20 Gaussin eliminaatio: Esim. Muokataan matriisiyhtälöä kertomalla se vasemmalta eliminaatiomatriisilla : x x 2 = x Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 19 / 54

21 Gaussin eliminaatio: Esim. Tulokseksi saadaan yhtälöryhmä x x 2 = x 3 0 Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 19 / 54

22 Gaussin eliminaatio: Esim. Kerrotaan yhtälöryhmä sopivalla eliminaatiomatriisilla x x 2 = x Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 19 / 54

23 Gaussin eliminaatio: Esim. Yhtälöryhmä on muunnettu yläkolmiomuotoon x x 2 = x 3 3 joka on helppo ratkaista taaksepäin-sijoituksella Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 19 / 54

24 Gaussin eliminaatio: 1. askel Tarkastellaan yhtälöryhmää (a 11 0): a 11 a 12 a 13 a 14 a 1n a 21 a 22 a 23 a 24 a 2n x 1 b 1 a 31 a 32 a 33 a 34 a 3n x 2 a 41 a 42 a 43 a 44 a 4n = b 2.. x n b n a n1 a n2 a n3 a n4 a nn Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 20 / 54

25 Gaussin eliminaatio: 1. askel Muokataan matriisiyhtälöä kertomalla se vasemmalta alakolmiomatriisilla: a 11 a 12 a 13 a 14 a 1n a a a 21 a 22 a 23 a 24 a 2n a 31 a 32 a 33 a 34 a 3n a 41 a a 41 a 42 a 43 a 44 a 4n a n1 a a n1 a n2 a n3 a n4 a nn a a b 1 31 = b 2 a 41 a b n a n1 a Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 20 / 54 x 1 x 2. x n

26 Gaussin eliminaatio: 1. askel Tulokseksi saadaan yhtälöryhmä a 11 a 12 a 13 a 14 a 1n 0 a (1) 22 a (1) 23 a (1) 24 a (1) 2n 0 a (1) 32 a (1) 33 a (1) 34 a (1) x 3n 1 0 a (1) 42 a (1) 43 a (1) 44 a (1). = 4n x 2. n. 0 a (1) n2 a (1) n3 a (1) n4 a nn (1) b 1 b (1) b (1) n Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 20 / 54

27 Yleinen eliminaatioaskel k:nnen eliminaatioaskeleen jälkeen (1 k n 1) yhtälöryhmä on muotoa: a 11 a 12 a 13 a 14 a 1n 0 a (1) 22 a (1) 23 a (1) 24 a (1) b 1 2n 0 0 a (2) 33 a (2) 34 a (2) x 1 b (1) 3n x a (k) k+1,k+1 a (k). = 2. b (k). k+1,n k+1. x n a (k) n,k+1 a nn (k) b n (k) Oletus: Pivotalkio a (k) k+1,k+1 0. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 21 / 54

28 Yleinen eliminaatioaskel Kerrotaan alakolmiomatriisilla L 1 k+1 = a(k) k+2,k a (k) k+1,k a(k) n,k a (k) k+1,k+1 Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 21 / 54

29 Yleinen eliminaatioaskel Yhtälöryhmä saadaan muotoon: A (k+1) x = b (k+1), missä a (i 1) a (k+1) ij, kun 1 i k + 1 ij = a (k) ij a(k) i,k+1 a (k) a (k) k+1,j, kun k + 2 i n k+1,k+1 b (k+1) i = b (i 1) i, kun 1 i k + 1 b (k) i a(k) i,k+1 b (k) a (k) k+1, kun k + 2 i n k+1,k+1 Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 21 / 54

30 LU-hajotelma Alkuperäinen yhtälö: Ax = b. Eliminaatiovaiheen jälkeen: L 1 n 1 L 1 n 2 L 1 1 Ax = Ux = b. Matriisin LU-hajotelma A = (L 1 L 2 L 3 L n 1 )U = LU. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 22 / 54

31 L-matriisi Matriisi L k+1 on L k+1 = a (k) k+2,k a (k) k+1,k a (k) n,k+1 a (k) k+1,k+1 Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 23 / 54

32 L-matriisi Ja L-matriisi L = a 21 a a 31 a (1) 32 a a (1) a (1) k+1,2 a a (1) a n1 n2 1 a k+1,1 a 11 a (1) a (1) 22 a (k) n,k+1 a (k) k+1,k+1 Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 23 / 54

33 LU-hajotelman käyttö Jos LU-hajotelma tunnetaan, niin 1. Ratkaistaan: Ly = b y = L 1 b Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 24 / 54

34 LU-hajotelman käyttö Jos LU-hajotelma tunnetaan, niin 1. Ratkaistaan: Ly = b y = L 1 b 2. Ratkaistaan: Ux = y x = U 1 L 1 b = A 1 b Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 24 / 54

35 LU-hajotelman käyttö Jos LU-hajotelma tunnetaan, niin 1. Ratkaistaan: Ly = b y = L 1 b 2. Ratkaistaan: Ux = y x = U 1 L 1 b = A 1 b Laskutoimitusten (kertolaskujen) lukumäärä: LU-hajotelman muodostaminen: n 1 n 1 (n k)(n k + 1) = k(k + 1) k=1 k=1 = 1 6 n(n 1)(2n 1)+ 1 2 n(n 1) = 1 3 (n3 n) Eteenpäin-sijoitus: 1 2 (n2 n) Taaksepäin-sijoitus: n = 1 2 (n2 + n) Kokonaismäärä: Z Gauss = 1 3 n3 + n n Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 24 / 54

36 Esimerkki 2. Ratkaise lineaarinen yhtälöryhmä 2x 1 + 3x 2 5x 3 4x 1 + 8x 2 3x 3 6x 1 + x 2 + 4x 3 = 10 = 19 = 11 LU-hajotelmalla. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 25 / 54

37 Yhtälöryhmän ratkaisu Tarkastellaan yhtälöryhmää: x x 2 = x 3 11 Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 26 / 54

38 Yhtälöryhmän ratkaisu Muokataan matriisiyhtälöä kertomalla se vasemmalta eliminaatiomatriisilla : x x 2 = x Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 26 / 54

39 Yhtälöryhmän ratkaisu Tulokseksi saadaan yhtälöryhmä x x 2 = x 3 41 Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 26 / 54

40 Yhtälöryhmän ratkaisu Kerrotaan yhtälöryhmä eliminaatiomatriisilla x x 2 = x Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 26 / 54

41 Yhtälöryhmän ratkaisu Yhtälöryhmä on muunnettu yläkolmiomuotoon x 1 10 Ux = x 2 = 1 = y x 3 46 joka ratkaistaan taaksepäin-sijoituksella Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 26 / 54

42 Yhtälöryhmän ratkaisu Matriisin LU-hajotelma A = = (3) Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 26 / 54

43 Esimerkki 4 Esim. 4 Ratkaise yhtälöryhmä x x 2 = x x 2 = neljän merkitsevän luvun aritmetiikassa. Yhtälön ratkaisu eksaktissa aritmetiikassa on x 1 = 10, x 2 = 1 Eliminaatioaskel: Kertomalla 1. rivi luvulla l 21 = = = 1764 ja vähentämällä tulos 2. rivistä saadaan x x 2 = x 2 = Eli pieleen meni ja pahasti. x 2 = = x 1 = = Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 27 / 54

44 Pivot-strategiat Yksinkertainen: Pivotalkio a (k 1) kk 0 Osittainen: Pivotalkio max i=k,...,n a (k 1) i,k Täydellinen: Pivotalkio max i,j=k,...,n a (k 1) ij Lause 1 Jos matriisi on diagonaalidominantti, so. a ii > n k=1, l i a i,k, i = 1,...,n niin yksinkertainen Pivot-strategia on mahdollinen. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 28 / 54

45 Pivot-strategia toimii Lause 2 Olkoon matriisi A säännöllinen, ts. A 1 on olemassa. Tällöin osittainen (täydellinen) Pivot-strategia toimii aina. Tod. A on säännöllinen, joten det(a) 0. Jos a 11 = 0, niin ainakin yksi alkio 1. sarakkeella nollasta eroava, muutoin det(a) = 0. Vastaava päättely toimii myös i:nnellä eliminaatioaskeleella. Lause 3 Jokaiselle säännölliselle matriisille A on olemassa permutaatiomatriisi P siten, että PA = LU, missä L on alakolmiomatriisi ja U yläkolmiomatriisi. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 29 / 54

46 Esimerkki 5 Esim. 5 Ratkaise yhtälöryhmä osittaisella Pivot-strategialla x x 2 = x x 2 = neljän merkitsevän luvun aritmetiikassa. Koska max{5.291, } = 5.291, suoritetaan rivien vaihto. Eliminaatioaskel: Kertomalla 1. rivi luvulla l 21 = = ja vähentämällä tulos 2. rivistä saadaan 5.291x x 2 = x 2 = x 2 = 1 x 1 = = Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 30 / 54

47 Vektorinormit Vektorinormi Vektorinormi on kuvaus R n R + siten että 1. x > 0, x 0 ja jos x = 0, niin x = 0; 2. λx = λ x ; 3. x + y x + y. Esimerkkejä x 1 = n i=1 x = max 1 i n x i, x p = [ n i=1 x i, x 2 = [ n i=1 x i p ] 1 p, 1 p <. x i 2 ] 1 2, Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 31 / 54

48 Euklidinen sisätulo x T y = (x,y) = n x i y i i=1 Ominaisuudet 1. Se on lineaarinen: (ax + by,z) = a(x,z)+b(y,z); 2. Symmetrisyys: (x,y) = (y,x); 3. Positiviisuus: (x, x) > 0 kaikille x 0, ja (x,x) = 0 x = 0. Cauchy-Schwarz Kaikille pareille x,y: (x,y) = x T y x 2 y 2. Yhtälö on voimassa, jos ja vain jos x = ky jollain k R. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 32 / 54

49 Suppeneminen Määr. Vektorijono {x (k) } k N suppenee kohti vektoria x, jos lim k x(k) i = x i, i = 1,2,3...,n. Lause Jokaiselle R n :ssä määritelylle vektorinormille lim k x(k) = x lim x k x(k) = 0 Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 33 / 54

50 Matriisinormi Määr A > 0, A 0 ja jos A = 0, niin A = 0; 2. λa = λ A ; 3. A+B A + B ; 4. AB A B. Vektorinormin indusoima matriisinormi: A = max x =1 Ax. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 34 / 54

51 Esimerkkejä Määr. 2 Esimerkiksi seuraavat matriisinormit ovat vastaavien vektorinormien indusoimia: A 1 = max 1 j n n i=1 a ij A 2 = A:n suurin singulaariarvo n A = max a ij 1 i n j=1 Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 35 / 54

52 Vektori- ja matriisinormin yhteensopivuus Vektori- ja matriisinormi ovat yhteensopivia, jos Ax A x. Frobenius-normi m n A F = [ i=1 j=1 a 2 ij] 1 2 ei ole minkään vektorinormin indusoima matriisinormi. Huom! Vaikka Frobenius-normi ei ole l 2 -normin indusoima, niin silti on voimassa Ax 2 A F x 2. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 36 / 54

53 Ehtoluku Matriisin ehtoluku Matriisin A ehtoluku K(A) = A A 1, missä A on joku indusoitu matriisinormi. Ehtoluku riippuu valittavasta normista. Tavallisesti kuitenkin käytetään A 1, A 2, A normeja ehtoluvun määrittelyyn. Tällöin merkitään ehtoluvulle alaindeksi K 1 (A), K 2 (A) tai K (A). Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 37 / 54

54 Ominaisuuksia K(A) 1; K(A) = K(A 1 ); K 2 (A) = σ 1(A) σ n(a), missä σ 1 on matriisin suurin ja σ n pienin singulaariarvo. A on symmetrinen ja positiivisesti definiitti: K 2 (A) = λ max λ min. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 38 / 54

55 Virheanalyysi Ratkaistaan yhtälöryhmät Ax = b (4) Lause 4 (A+δA)(x +δx) = b+δb. (5) Olkoon A säännöllinen matriisi ja δa pieni häiriö siten, että A 1 δa < 1. Tällöin, jos x on yhtälöryhmän (4) ratkaisu ja δx toteuttaa yhtälön (5), niin ratkaisun suhteellinen virhe δx x K(A) 1 K(A) δa A ( δb b + δa ). A Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 39 / 54

56 Virheanalyysi jatkuu Lause 5 Olkoon edellisen lauseen ehdot voimassa ja δa = 0. Tällöin Lause 6 1 δb K(A) b δx x K(A) δb b. Olkoon γ = β 1 t ns. konevakio, missä β on kantaluku ja t mantissan pituus siten, että δa γ A, δb γ b. Jos γk(a) < 1, niin x +δx x δx x 1+γK(A) (6) 1 γk(a) 2γK(A) 1 γk(a). (7) Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 40 / 54

57 Esimerkki 6 Esim. 6 Lineaarisen yhtälöryhmän [ ][ x1 x 2 ] = [ ] [ ] 1 ratkaisu on. Laske matriisin ehtoluku K 1 2 (A). Arvioi ratkaisun suhteellisen virheen herkkyyttä yhtälöryhmän kertoimien pienille muutoksille. Yhtälöryhmän sijasta ratkaistaan häiritty yhtälö [ ][ ] [ ] x1 +δx = x 2 +δx Arvioi suhteellista virhettä ehtoluvun avulla ja laske todellinen suhteellinen virhe. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 41 / 54

58 Appendix A: Matriiseista Matriisi on lukukaavio, jossa on m riviä ja n saraketta a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =..., a m1 a m2 a mn a ij R tai C; i alkion rivi-indeksi; j sarakeindeksi Jos m = 1 tai n = 1, niin kyseessä rivi- tai sarakevektori; neliömatriisille n = m; Päädiagonaali on diag(a) = (a 11,a 22,...,a nn ). Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 42 / 54

59 Matriisien laskuoperaatiot Summa: A+B = (a ij + b ij ; Skalaarilla kertominen: ka = (ka ij ); Matriisitulo: Olkoon A (m p)-matriisi ja B (p n)-matriisi. Tällöin tulomatriisi AB = (c ij ) = ( p a ik b kj ). k=1 Ominaisuuksia A(B+C)=AB+AC; A(BC)=(AB)C; MUTTA!!!!! Yleensä AB BA. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 43 / 54

60 Käänteismatriisi Määr Neliömatriisi A on kääntyvä (säännöllinen tai ei-singulaarinen), jos on olemassa matriisi B siten, että AB = BA = I. Matriisia B kutsutaan A:n käänteismatriisiksi, ja merkitään B = A 1 Tulomatriisin AB käänteismatriisi, jos se on olemassa, on AB) 1 = B 1 A 1. Lause Neliömatriisi on kääntyvä jos ja vain jos sen sarakevektorit ovat lineaarisesti riippumattomat. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 44 / 54

61 Transpoosi Määr. Matriisin A R m n transpoosi on (n m)-matriisi A T, joka saadaan vaihtamalla matriisin A rivit matriisin A T sarakkeiksi. Ominaisuuksia (A T ) T = A (A+B) T = A T + B T (AB) T = B T A T (αa) T = αa T (A T ) 1 = (A 1 ) T. Matriisi on symmetrinen, jos A T = A. Lopuksi matriisi on ortogonaalinen, jos A T A = AA T = I, ts. A 1 = A T. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 45 / 54

62 Matriisin jälki ja determinantti Neliömatriisin A jälki on matriisin diagonaalialkioiden summa: tr(a) = n a ii. i=1 Matriisin determinantti det(a) = σ P sign(σ)a 1,σ(1) a 2,σ(2) a n,σ(n), missä P on lukujen I = (1,2,3...,n) permutaatioiden joukko. Permutaation merkki sign(σ) on 1 (-1), jos σ(i) saadaan I:stä parillisella (parittomalla) määrällä paikanvaihtoja. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 46 / 54

63 Determinantin Ominaisuuksia det(a) = det(a T ) det(ab) = det(a) det(b) det(a 1 = 1 det(a) det(ka) = k n det(a). Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 47 / 54

64 Kofaktori Merkitään matriisilla A ij sellaista kertalukua n 1 olevaa matriisia, joka saadaan matriisista A poistamalla i:s rivi ja j:s sarake; Alkion a ij kofaktori ij = ( 1) i+j) det(a ij ); Laplacen sääntö: det(a) = n ij a ij = j=1 Matriisin A käänteimatriisi: Lause A 1 on olemassa det(a) 0 n ij a ij. i=1 A 1 = 1 det(a) [ ji]. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 48 / 54

65 Matriisin aste ja ydin A tyyppiä m n Matriisin kuva-avaruus on R(A) = {y R m y = Ax jollain x R n }. Matriisin A aste rank(a) on kuva-avaruuden dimensio, l. lineaarisesti riippumattomien sarakevektoreiden lukumäärä. Matriisin ydin: Ominaisuudet: 1. rank(a) = rank(a T ); 2. rank(a)+dim(ker(a) = n. Ker(A) = {x R n Ax = 0}. Jos matriisi on säännöllinen, niin rank(a) = n ja dim ker(a) = 0. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 49 / 54

66 Säännöllisyys Neliömatriislle seuraavat ominaisuudet ovat yhtäpitäviä: Lause 1. A on säännöllinen l. A 1 on olemassa; 2. det(a) 0; 3. ker(a) = {0}; 4. rank(a) = n; 5. A:n sarake- ja rivivektorit ovat lineaarisesti riippumattomia; 6. Yhtälöryhmällä Ax = f on yksikäsitteinen ratkaisu jokaiselle f. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 50 / 54

67 Ylä- ja alakolmiomatriisit Matriiseissa kullakin sarakkeella lävistäjäalkion ala- tai yläpuolella on pelkkiä nollia: l u 11 u 12 u 13 u 1n l 21 l L =...., U = 0 u 22 u 23 u 2n..... l n1 l n2 l n3 l nn u nn Ominaisuuksia Determinantti on diagonaalialkioiden tulo; yläkolmio- ja alakolmiomatriisin käänteismatriisi on myös yläkolmio- ja alakolmiomatriisi. Kahden alakolmiomatriisin tulo on edelleen alakolmiomatriisi; vastaava pätee yläkölmiomatriiseille. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 51 / 54

68 Ominaisarvot Määr. Luku λ C on ominaisarvo, jos se toteuttaa karakteristisen yhtälön det(a λi) = 0, ja vektori u λ R n on ominaisarvoon λ liittyvä ominaisvektori, jos Au λ = λu λ. Matriisin determinantti ja jälki ovat det(a) = Π n i=1λ i (A), tr(a) = n λ i. i=1 Matriisin spektraalisäde on ρ(a) = max 1 i λ i(a). Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 52 / 54

69 Diagonalisointi Reaalisen ja symmetrisen matriisin kaikki ominaisarvot ovat aina reaalisia; Ominaisvektoreista voidaan muodostaa vektoriavaruudelle R n ortonormaalikanta. Ominaisvektoreista voidaan muodostaa ortogonaalinen matriisi Q, joka diagonalisoi matriisin A: Q T AQ = D = diag(λ 1,...,λ n ). Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 53 / 54

70 Singulaariarvo Yleisesti, matriisila A R m n ei ole ominaisarvoja. Mutta sille voidaan määritellä singulaariarvot: Määr. Luku σ 0 on matriisin A singulaariarvo, jos λ = σ 2 on matriisin A T A ominaisarvo. Lause Symmetrisen ja reaalisen matriisin singulaariarvot ovat sen ominaisarvojen iteseisarvot. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 54 / 54

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Matematiikka B2 - TUDI

Matematiikka B2 - TUDI Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 5 Ti 20.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 5 Ti 20.9.2011 p. 1/40 p. 1/40 Choleskyn menetelmä Positiivisesti definiiteillä matriiseilla kolmiohajotelma

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Iteratiiviset ratkaisumenetelmät

Iteratiiviset ratkaisumenetelmät Iteratiiviset ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Yleinen iteraatio Lineaarisen yhtälöryhmän iteratiivinen ratkaisumenetelmä voidaan esittää muodossa: Anna alkuarvaus: x 0 R n

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 4. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 4. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 4 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 4 () Numeeriset menetelmät 21.3.2013 1 / 44 Luennon 4 sisältö Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemisesta: Choleskyn menetelmä

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Kevät 2012 1 Lineaarinen inversio-ongelma Määritelmä 1.1. Yleinen (reaaliarvoinen) lineaarinen inversio-ongelma voidaan esittää muodossa m = Ax +

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja 7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on? Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi

Lisätiedot

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa). NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 4 To 15.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 4 To 15.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Lineaarinen yhtälöryhmä Lineaarinen yhtälöryhmä matriisimuodossa Ax = b

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1

Lisätiedot

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI 6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.

Lisätiedot

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin

Lisätiedot

Ax, y = x, A y. A = A A hermiittinen. Jokainen reaalinen ja symmetrinen matriisi on määritelmän mukaan myös hermiittinen. A =, HARJOITUSTEHTÄVIÄ

Ax, y = x, A y. A = A A hermiittinen. Jokainen reaalinen ja symmetrinen matriisi on määritelmän mukaan myös hermiittinen. A =, HARJOITUSTEHTÄVIÄ X.. Matriisialgebra Esimerkki 4 Jos niin x =[i, +i, 2 i ] T C 3, y =[ 2i, 2i, i ] T C 3, x, x = x 2 =+(+)+(4+)=8, y, y =(+4)+4+(+)=, x, y = i( + 2i)+(+i)( 2i)+(2 i)( +i) = +3i. Matriisia A = ĀT sanotaan

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä 1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2

Lisätiedot

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna

Lisätiedot

Numeeriset Menetelmät, P. Keijo Ruotsalainen Teknillinen tiedekunta matematiikan jaos

Numeeriset Menetelmät, P. Keijo Ruotsalainen Teknillinen tiedekunta matematiikan jaos Numeeriset Menetelmät, 031022P Keijo Ruotsalainen Teknillinen tiedekunta matematiikan jaos 11. helmikuuta 2010 2 Sisältö 1 Johdanto 7 1.1 Varoitus.............................. 7 1.2 Numeeriset menetelmät

Lisätiedot

Lineaarialgebra (muut ko)

Lineaarialgebra (muut ko) Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/103 Lineaarialgebra (muut ko) Tero Laihonen Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/103 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 14 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Matriisinormi

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 3. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 3 () Numeeriset menetelmät / 45

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 3. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 3 () Numeeriset menetelmät / 45 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 3 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 3 () Numeeriset menetelmät 20.3.2013 1 / 45 Luennon 3 sisältö Luku 2: Epälineaarisen yhtälön ratkaiseminen Polynomin reaaliset

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JAOS NUMEERISET MENETELMÄT

MATEMATIIKAN JAOS NUMEERISET MENETELMÄT MATEMATIIKAN JAOS NUMEERISET MENETELMÄT Harjoitustehtäviä, kevät 2012 1. Tarkastellaan summaa S = 1+0.4+0.3+0.2+0.04+0.03+0.02+0.01. a) Laske summa laskukoneella vasemmalta oikealle käyttäen liukulukuaritmetiikkaa,

Lisätiedot

Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt

Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt Esimerkki 4.4. Määrää matriisin 2 2 1 A = 1 3 1 2 4 3 ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt det(a λi ) = 1 + 2 λ 2 1 + 1 λ 1 λ 1 3 λ 1 = 1 3 λ 1 2 4 3 λ 2 4 3 λ 1 λ = 1 4 λ 1 = (1 λ)( 1)1+1 4 λ 1 2 6 3

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Numeeriset Menetelmät, P. Keijo Ruotsalainen Teknillinen tiedekunta matematiikan jaos

Numeeriset Menetelmät, P. Keijo Ruotsalainen Teknillinen tiedekunta matematiikan jaos Numeeriset Menetelmät, 031022P Keijo Ruotsalainen Teknillinen tiedekunta matematiikan jaos 11. helmikuuta 2009 2 Sisältö 1 Johdanto 7 1.1 Varoitus.............................. 7 1.2 Numeeriset menetelmät

Lisätiedot

Osittaistuenta Gaussin algoritmissa: Etsitään 1. sarakkeen itseisarvoltaan suurin alkio ja vaihdetaan tämä tukialkioiksi (eli ko. rivi 1. riviksi).

Osittaistuenta Gaussin algoritmissa: Etsitään 1. sarakkeen itseisarvoltaan suurin alkio ja vaihdetaan tämä tukialkioiksi (eli ko. rivi 1. riviksi). Liukuluvut Tietokonelaskuissa käytetään liukulukuja: mikä esittää lukua ± α α α M β k ± ( M α i β i )β k, i= β on järjestelmän kantaluku, α α M liukuluvun mantissa, α,, α M lukuja,,,, β, siten että α Esimerkki

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )

Lisätiedot

Matriisinormeista. Sanni Carlson. Matematiikan pro gradu

Matriisinormeista. Sanni Carlson. Matematiikan pro gradu Matriisinormeista Sanni Carlson Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2015 Tiivistelmä: Sanni Carlson, Matriisinormeista (engl On matrix norms), matematiikan

Lisätiedot

Matriisihajotelmat. MS-A0007 Matriisilaskenta. 5.1 Diagonalisointi. 5.1 Diagonalisointi

Matriisihajotelmat. MS-A0007 Matriisilaskenta. 5.1 Diagonalisointi. 5.1 Diagonalisointi MS-A0007 Matriisilaskenta 5. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 25.11.2015 Laskentaongelmissa käsiteltävät matriisit ovat tyypillisesti valtavia.

Lisätiedot

Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104

Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina 7.12. viimeiset demot (12.12. ja 13.12. viimeiset luennot). Torstaina 14.12 on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot

Lisätiedot

5.1. Normi ja suppeneminen Vektoriavaruus V on normiavaruus, jos siinä on määritelty normi : V R + = [0, ) jolla on ominaisuudet:

5.1. Normi ja suppeneminen Vektoriavaruus V on normiavaruus, jos siinä on määritelty normi : V R + = [0, ) jolla on ominaisuudet: 5.. Normi ja suppeneminen Vektoriavaruus V on normiavaruus, jos siinä on määritelty normi : V R + = [, ) jolla on ominaisuudet: x = x = x + y x + y, x, y V a x = a x, x V, a K (= R tai C) Esimerkki 5..

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti Viime luennolta Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

1. Normi ja sisätulo

1. Normi ja sisätulo Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo

Lisätiedot

Käänteismatriisin ominaisuuksia

Käänteismatriisin ominaisuuksia Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 3

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 3 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 3 Kevät 2011 1 Singulaariarvohajotelma (Singular Value Decomposition, SVD) Olkoon A R m n matriisi 1. Tällöin A voidaan esittää muodossa A = UΣV T,

Lisätiedot

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y

Lisätiedot

Konjugaattigradienttimenetelmä

Konjugaattigradienttimenetelmä Konjugaattigradienttimenetelmä Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Konjugaattigradienttimenetelmä Oletukset Matriisi A on symmetrinen: A T = A Positiivisesti definiitti: x T Ax > 0 kaikille x 0

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 3 Ti 13.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 3 Ti 13.9.2011 p. 1/37 p. 1/37 Epälineaariset yhtälöt Newtonin menetelmä: x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Sekanttimenetelmä:

Lisätiedot

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117

Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Seuraava luento ti 31.10 on salissa XXII Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/117 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Paikannuksen matematiikka MAT

Paikannuksen matematiikka MAT TA M P E R E U N I V E R S I T Y O F T E C H N O L O G Y M a t h e m a t i c s Paikannuksen matematiikka MAT-45800 4..008. p.1/4 Käytännön järjestelyt Kotisivu: http://math.tut.fi/courses/mat-45800/ Luennot:

Lisätiedot

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos

Lisätiedot

i=1 Näistä on helppo näyttää ominaisuudet (1)-(4). Ellei toisin mainita, käytetään R n :ssä

i=1 Näistä on helppo näyttää ominaisuudet (1)-(4). Ellei toisin mainita, käytetään R n :ssä Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 003. 8.0.003 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni.. Normi

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma

Lisätiedot

Ortogonaaliset matriisit, määritelmä 1

Ortogonaaliset matriisit, määritelmä 1 , määritelmä 1 Määritelmä (a). Neliömatriisi Q on ortogonaalinen, jos Q T Q = I. Määritelmästä voidaan antaa samaa tarkoittavat, mutta erilaiselta näyttävät muodot: Määritelmä (b). n n neliömatriisi Q,

Lisätiedot

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Talousmatematiikan perusteet: Luento 10 Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Lineaarikuvaus Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään

Lisätiedot

Similaarisuus. Määritelmä. Huom.

Similaarisuus. Määritelmä. Huom. Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016 Matriisialgebra harjoitukset, syksy 6 MATRIISIALGEBRA, s. 6, Ratkaisuja/ M.Hamina & M. Peltola 8. Olkoon 4 A 6. 4 Tutki, onko A diagonalisoituva. Jos on, niin määrää matriisi D T AT ja siihen liittyvä

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi / kertaus

Matemaattinen Analyysi / kertaus Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen

Lisätiedot

Reuna-arvotehtävien ratkaisumenetelmät

Reuna-arvotehtävien ratkaisumenetelmät Reuna-arvotehtävien ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Malliprobleema Kahden pisteen reuna-arvotehtävä u (x) = f (x) (1) u() = u(1) = Jos u C ([,1]) ratkaisu, niin missä x u(x)

Lisätiedot

ja F =

ja F = MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2016 Tehtävissä 1 ja 2a käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3 A =,B = 7 1 2 2 3,C = 4 4 2 5 3,E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1.

Lisätiedot

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

Lineaarialgebra, kertausta aiheita

Lineaarialgebra, kertausta aiheita Lineaarialgebra, kertausta aiheita Matriisitulo käänteismatriisi determinantin kehittäminen determinantin ominaisuudet adjungaatti ja Cramerin kaavat yhtälöryhmän eri esitystavat Gauss-Jordan -algoritmi

Lisätiedot

Pienimmän neliösumman menetelmä

Pienimmän neliösumman menetelmä Pienimmän neliösumman menetelmä Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Funktion sovitus Datapisteet (x 1,...,x n ) Annettu data y i = f(x i )+η i, missä f(x) on tuntematon funktio ja η i mittaukseen

Lisätiedot

(1.1) Ae j = a k,j e k.

(1.1) Ae j = a k,j e k. Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim

Lisätiedot

Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47

Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [

Lisätiedot

2.8. Kannanvaihto R n :ssä

2.8. Kannanvaihto R n :ssä 28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä

Lisätiedot

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut 2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja

Lisätiedot

Matriisilaskenta Luento 8: LU-hajotelma

Matriisilaskenta Luento 8: LU-hajotelma Matriisilaskenta Luento 8: LU-hajotelma Antti Rasila 2016 Matriisihajotelmat 1/2 Usein matriisiyhtälön Ax = y ratkaiseminen on epäkäytännöllistä ja hidasta. Siksi numeerisessa matriisilaskennassa usein

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen

Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen Informaatiotieteiden yksikkö Lineaarialgebra 1A Pentti Haukkanen Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen . 2 Sisältö 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät 4 1.1 Matriisit..............................

Lisätiedot

Matriisilaskenta (TFM) MS-A0001 Hakula/Vuojamo Ratkaisut, Viikko 48, , c)

Matriisilaskenta (TFM) MS-A0001 Hakula/Vuojamo Ratkaisut, Viikko 48, , c) Matriisilaskenta (TFM) MS-A0001 Hakula/Vuojamo Ratkaisut, Viikko 48, 2017 R Alkuviikko TEHTÄVÄ J1 Laske Gaussin algoritmilla ja Sarrus n säännöllä seuraavat determinantit: 2 3 1 a) 1 2 0 1 4 3, b) 0 2

Lisätiedot

i=1 Tarkastellaan ensin inversio-ongelman injektiivisyys: Kun vaaditaan, että 0 = M x x 2

i=1 Tarkastellaan ensin inversio-ongelman injektiivisyys: Kun vaaditaan, että 0 = M x x 2 Lemma 1. Olkoon V R n lineaarinen aliavaruus. Lineaarisen kuvauksen F : V R m kuvajoukko F (V R m on lineaarinen aliavaruus, joka koostuu lineaarisen kuvauksen F matriisin M pystyvektorien {M i : i 1,...

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 2 To 8.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 2 To 8.9.2011 p. 1/33 p. 1/33 Lukujen tallennus Kiintoluvut (integer) tarkka esitys aritmeettiset operaatiot

Lisätiedot

Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45

Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45 Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45 Tehtävä : Olkoot A, B, X R n n, a, b R n ja jokin vektorinormi. Kätetään vektorinormia vastaavasta operaattorinormista samaa merkintää. Nätä, että. a + b a b, 2. A

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät ja B = Olkoon A = a) A + B b) AB c) BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät ja B = Olkoon A = a) A + B b) AB c) BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 28 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 a) A + B b) AB BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A ja B = 2 1 6 3 1 2. Laske seuraavat determinantit

Lisätiedot