4. LINEAARIKUVAUKSET

Transkriptio

1 86 4 LINEAARIKUVAUKSET 41 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoot V ja V vektoriavaruuksia Tarkastellaan kuvausta L : V V Tällöin jokaiseen vektoriin v V liittyy tietty, L:n ja v:n yksikäsitteisesti määräämä kuvavektori L(v) V Määritelmä 411 Kuvaus L : V V on lineaarinen l lineaarikuvaus, jos i) L(v + w) = L(v) + L(w) kaikilla v, w V, ja ii) L(cv) = cl(v) kaikilla v V, c R (Kaavoissa vasemmalla on V :n ja oikealla V :n laskutoimitus) Lause 412 Olkoon L : V V lineaarikuvaus Tällöin a) L(0 V ) = 0 V, ja b) L(c 1 v c k v k ) = c 1 L(v 1 ) + + c k L(v k ), kun v 1,, v k V, c 1,, c k R 225 a) Todistus a) L(0 V ) = L(0 0 V ) = ii 225 a) 0 L(0 V ) = 0 V b) seuraa induktiolla 411:stä: Tapaus k = 1 on suoraan 411 ii) Jos sitten k 2 ja tiedetään jo, että ( induktio-oletus ), niin L(c 1 v c k 1 v k 1 ) = c 1 L(v 1 ) + + c k 1 L(v k 1 ) L(c 1 v c k v k ) = L(c 1 v c k 1 v k 1 ) + L(c k v k ) (411 i) = c 1 L(v 1 ) + + c k 1 L(v k 1 ) + c k L(v k ) (indol ii) Esimerkki 413 (a) Olkoon A = [ a ij ] R m n m n -matriisi Määritellään kuvaus L A : R n R m asettamalla L A (x) = Ax kaikilla x R n, missä Ax on matriisitulo, toisin sanoen x 1 y 1 x L A : 2 y 2, y i = x n y m n a ij x j j=1 (i = 1,, m)

2 L A on lineaarinen, sillä matriisitulon ominaisuuksista 131 seuraa, että L A (x + y) = A(x + y) = Ax + Ay = L A (x) + L A (y) L A (cx) = A(cx) = cax = cl A (x), kun x, y R n, c R Kohdissa b), c) ja d) on konkreettisia esimerkkejä tapauksesta m = n = 2 [ ] a 0 (b) A = = ai 0 a 2 R 2 2 (a R) = L A (x) = ax kaikilla x R 2 L A : R 2 R 2 on homotetia Jos a > 1, L A on venytys (dilataatio); jos 0 < a < 1, L A on kutistus (kontraktio) (c) A = [ ] 1 0 R 2 2 = L 0 1 A : L A : R 2 R 2 on peilaus x 1 -akselin suhteen x 2 (d) [ ] cos ϕ sin ϕ A = R 2 2 (ϕ R) = L sin ϕ cos ϕ A : [ x1 x 2 x ] L A (x) [ x1 x 2 [ x1 x 1 ] x 2 ] ja 87 [ ] x1 cos ϕ x 2 sin ϕ x 1 sin ϕ + x 2 cos ϕ Esitetään x = [ x 1 x 2 ] T 0 napakoordinaattien avulla: x 1 = r cos θ, x 2 = r sin θ, missä r = x = x x2 2 ja θ R on x:n vaihekulma Tällöin [ ] [ ] r(cos θ cos ϕ sin θ sin ϕ) r cos(θ + ϕ) L A (x) = = r(cos θ sin ϕ + sin θ cos ϕ) r sin(θ + ϕ) saadaan kiertämällä vektoria x kulman ϕ verran origon ympäri x 2 ϕ θ L A (x) x x 1 43:ssa nähdään, että jokainen lineaarikuvaus R n R m on muotoa L A sopivalla A R m n

3 Esimerkki 414 a) D : C 1 (R, R) C 0 (R, R), D(f) = f = f:n derivaatta kaikilla f C 1 (R, R), on lineaarinen, sillä (f + g) = f + g ja (cf) = cf (Diff I) b) I : C 0 (R, R) C 1 (R, R), I(f)(x) = x 0 f(t)dt kaikilla x R, f C0 (R, R), on myös lineaarinen Yleisluontoisia esimerkkejä: Esimerkki 415 Olkoot V, V, vektoriavaruuksia a) Identtinen kuvaus id V : V V, id V (v) = v kaikilla v V, on selvästi lineaarinen, samoin aliavaruuden W V kanoninen injektio i W,V : W V, i W,V (w) = w kaikilla w W b) Nollakuvaus 0 = 0 V,V : V V, 0(v) = 0 V kaikilla v V, on lineaarinen c) Jos L : V V ja L : V V ovat lineaarisia, niin yhdistetty kuvaus L L : V V, (L L)(v) = L (L(v)) kaikilla v V, on lineaarinen Todistus Olkoot v, w V ja c R Silloin 88 (i) (ii) (L L)(v + w) = L (L(v + w)) = L (L(v) + L(w)) = L (L(v)) + L (L(w)) = (L L)(v) + (L L)(w), (L L)(cv) = L (L(cv)) = L (cl(v)) = cl (L(v)) = c(l L)(v) d) Jos L : V V on lineaarinen ja W V aliavaruus, niin L:n rajoittuma W :hen L W : W V, (L W )(w) = L(w) kaikilla w W, on lineaarinen (esimerkiksi koska L W = L i W,V ) e) Jos L 1, L 2 : V V ovat lineaarisia ja a R, niin L 1 + L 2 ja al 1 ovat lineaarikuvauksia V V, kun määritellään (L 1 + L 2 )(v) = L 1 (v) + L 2 (v) ja (al 1 )(v) = al 1 (v) kaikilla v V Todistus Harjoitustehtävä Esimerkki 416 Olkoon V sisätuloavaruus, sisätulona, a) Kiinteällä w V on 322:n nojalla v v, w = w, v lineaarikuvaus V R b) Olkoon W V äärellisulotteinen aliavaruus Määritellään kuvaus p : V V asettamalla p(v) = proj W (v) = v:n kohtisuora projektio W :lle kaikilla v V (siis p(v) W V v V ) Projektion määritelmän nojalla on p(v) = w, kun v = w + w, missä w W ja w W

4 Väite p on lineaarinen Todistus Olkoot v 1, v 2 V ; v 1 = w 1 + w 1, v 2 = w 2 + w 2, missä w 1, w 2 W ja w 1, w 2 W Tällöin v 1 + v 2 = (w 1 + w 2 ) + (w 1 + w 2 ) Koska W ja W ovat aliavaruuksia, on w 1 + w 2 W ja w 1 + w 2 W, ja siten p(v 1 + v 2 ) = w 1 + w 2 = p(v 1 ) + p(v 2 ) Vastaavasti todetaan, että p(cv) = cp(v), kun v V, c R Seuraava tulos on hyödyllinen tutkittaessa lineaarikuvauksia V V, kun V on äärellisulotteinen Lause 417 Olkoot V ja V vektoriavaruuksia, (v 1,, v n ) V :n kanta (siis V on äärellisulotteinen ja dim(v ) = n), ja v 1,, v n V annettuja vektoreita Tällöin on olemassa täsmälleen yksi lineaarikuvaus L : V V, jolla L(v 1 ) = v 1,, L(v n) = v n Todistus Enintään yksi Olkoot L 1, L 2 : V V kaksi lineaarikuvausta, joilla L 1 (v j ) = v j = L 2(v j ), j = 1,, n Olkoon v V = span(v 1,, v n ) Silloin v = x 1 v x n v n eräillä x 1,, x n R, joten L 1 (v) = L 1 (x 1 v x n v n ) 412b = x 1 L 1 (v 1 ) + + x n L 1 (v n ) = x 1 L 2 (v 1 ) + + x n L 2 (v n ) 412b = L 2 (x 1 v x n v n ) = L 2 (v) Koska siis L 1 (v) = L 2 (v) kaikilla v V, on L 1 = L 2 b) Ainakin yksi Olkoon v V Tällöin v = x 1 v 1 + +x n v n eräillä x 1,, x n R, ja nämä kertoimet (v:n koordinaatit kannassa (v 1,, v n ); ks kappaleen 28 alku) ovat v:n yksikäsitteisesti määräämät Voidaan siis määritellä kuvaus L : V V asettamalla L(v) = x 1 v 1 + +x nv n, kun v = x 1v 1 + +x n v n, x 1,, x n R Silloin L(v j ) = v j kaikilla j {1,, n}, joten jää todistettavaksi Väite L on lineaarinen Todistus Olkoon v = x 1 v x n v n ja w = y 1 v y n v n, missä x 1,, x n, y 1,, y n R, ja olkoon c R Tällöin 89 v + w = (x 1 + y 1 )v (x n + y n )v n cv = (cx 1 )v (cx n )v n, ja joten L(v + w) = (x 1 + y 1 )v (x n + y n )v n = (x 1 v x nv n ) + (y 1v y nv n ) = L(v) + L(w), L(cv) = (cx 1 )v (cx n)v n = c(x 1v x nv n ) = cl(v)

5 90 42 Kuva ja ydin Isomorfismit Olkoot V ja V vektoriavaruuksia ja L : V V lineaarikuvaus Määritellään L:n kuva Im(L) = L(V ) ja ydin Ker(L) seuraavasti: Im(L) = L(V ) = {L(v) v V } = {v V v = L(v) jollakin v V } V, Ker(L) = {v V L(v) = 0 V } V, Lause 421 Im(L) on V :n aliavaruus ja Ker(L) on V :n aliavaruus Todistus Kuva v, w V, ja i) Olkoot v, w Im(L) Silloin v = L(v) ja w = L(w) eräillä v + w = L(v) + L(w) 411i = L(v + w) Im(L), koska v + w V ii) Olkoon v Im(L) ja c R Silloin v = L(v) eräällä v V ; nyt koska cv V cv = cl(v) 411ii = L(cv) Im(L), iii) Lauseen 412a) nojalla 0 V = L(0 V ) Im(L) Ydin i) Olkoot v, w Ker(L) Silloin L(v) = 0 V = L(w) Siis joten v + w Ker(L) L(v + w) = L(v) + L(w) = 0 V + 0 V = 0 V, ii) Olkoon v Ker(L) ja c R Silloin L(v) = 0 V Siis joten cv Ker(L) iii) 0 V Ker(L), koska L(0 V ) = 0 V L(cv) = cl(v) = c0 V = 0 V, Huomautus 422 Yleisemmin, jos W V on aliavaruus, niin W :n kuva L(W ) = {L(w) w W } = {v V v = L(w) jollakin w W } on V :n aliavaruus (sillä L(W ) = Im(L W ))

6 91 Lause 423 Olkoon L : V V lineaarinen ja v 1,, v k V Tällöin L(span(v 1,, v k )) = span(l(v 1 ),, L(v k )) Todistus L(span(v 1,, v k )):n alkiot ovat L(x 1 v x k v k ) = x 1 L(v 1 ) + + x k L(v k ), x 1,, x k R, eli samat kuin span(l(v 1 ),, L(v k )):n alkiot Esimerkki 424 Olkoon A = [ a 1 a 2 a n ] R m n m n -matriisi, jonka sarakkeet ovat a 1,, a n R m, ja L A : R n R m kaavan L A (x) = Ax määrittelemä lineaarikuvaus (ks 413) Tällöin Im(L A ) = L A (R n ) = L A (span(e 1,, e n )) 423 = span(l A (e 1 ),, L A (e n )) on A:n sarakeavaruus, ja = span(ae 1,, Ae n ) = span(a 1,, a n ) = Col(A) Ker(L A ) = {x R n L A (x) = 0} = {x R n Ax = 0} = Null(A) on A:n nolla-avaruus eli homogeenisen yhtälöryhmän Ax = 0 ratkaisujen joukko Lineaarikuvauksella L : V V avaruuksien Im(L) ja Ker(L) koko riippuvat toisistaan seuraavasti (kun dim(v ) < ): Lause 425 Olkoon L : V V lineaarinen ja V äärellisulotteinen Im(L) on äärellisulotteinen ja dim(v ) = dim(ker(l)) + dim(im(l)) Tällöin Todistus Lauseen 2512 mukaan Ker(L) on äärellisulotteinen Olkoon (v 1,, v p ) Ker(L):n kanta Täydennetään se V :n kannaksi (v 1,, v p, w 1,, w q ) (2511 a) Silloin p = dim(ker(l)), p + q = dim(v ), ja on osoitettava, että q = dim(im(l)) Väite (L(w 1 ),, L(w q )) on Im(L):n kanta Todistus Viritys: Lauseen 423 mukaan Im(L) = span(l(v 1 ) = 0 Vapaus:,, L(v p ), L(w 1 ),, L(w q )) = span(l(w 1 ),, L(w q )) = 0 Olkoot x 1,, x q R Silloin x 1 L(w 1 ) + + x q L(w q ) = 0 = L(x 1 w x q w q ) = 0 = x 1 w x q w q Ker(L) = x 1 w x q w q = y 1 v y p v p eräillä y 1,, y p R = y 1 v 1 y p v p + x 1 w x q w q = 0; koska (v 1,, v p, w 1,, w q ) on vapaa, tästä seuraa, että x 1 = = x q = 0 (= y 1 = = y p )

7 92 Esimerkki 426 Olkoon A = ja L A : R 4 R 3, x Ax Määritettävä dim(ker(l A )) ja dim(im(l A )) Ratkaisu Muunnetaan A alkeisrivitoimituksilla porrasmatriisiksi: A = /4 Siispä x = x 1 x 2 x 3 x 4 Ker(L A ) = Null(A) x 1 = 2x 2 + 2x 4 = 3 2 t x 2 = x 3 x 4 = 1 4 t x 3 = 5 4 x 4 = 5 4 t x 4 = t R x 1 + 2x 2 2 x 4 = 0 x 2 + x 3 + x 4 = 0 x x 4 = 0 x = t , t R Näin ollen Ker(L A ) = span([ ]T ), joten dim(ker(l A )) = 1 Lauseen 425 mukaan dim(im(l A )) = dim(r 4 ) dim(ker(l A )) = 3, joten Im(L A ) = R 3 (Kuvan Im(L A ) dimensio saadaan tietysti myös menetelmällä 261, jonka mukaan A:n sarakkeet 1, 2 ja 3 muodostavat avaruuden Im(L A ) = Col(A) kannan; siis dim(im(l A )) = 3) Injektiot, surjektiot ja bijektiot (joukko-oppia) Olkoot X ja Y joukkoja ja f : X Y kuvaus Tällöin f on (1) surjektio, jos f(x) = Y, ts jokaisella y Y yhtälöllä f(x) = y on ainakin yksi ratkaisu x X; (2) injektio, jos f(x) = f(x ) vain, kun x = x (x, x X), ts jokaisella y Y yhtälöllä f(x) = y on korkeintaan yksi ratkaisu x X; (3) bijektio, jos se on injektio ja surjektio, ts jokaisella y Y yhtälöllä f(x) = y on täsmälleen yksi ratkaisu x X

8 Lause (ja määritelmä) 427 Olkoon f kuvaus X Y Tällöin f on bijektio on olemassa kuvaus g : Y X, jolla g f = id X ja f g = id Y Tällöin g on yksikäsitteisesti määrätty, bijektion f käänteiskuvaus, ja sitä merkitään g = f 1 Todistus = Olkoon f bijektio Kun y Y, olkoon x = g(y) X yhtälön f(x) = y yksikäsitteinen ratkaisu Näin saadaan kuvaus g : Y X, jolla f(g(y)) = y eli (f g)(y) = id Y (y) y Y ; siis f g = id Y Yhtälön f(x) = y ratkaisun x yksikäsitteisyydestä seuraa, että g on ainoa kuvaus Y X, jolla f g = id Y Kun x X, on toisaalta f((g f)(x)) = (f (g f))(x) = ((f g) f)(x) = (id Y f)(x) = id Y (f(x)) = f(x); koska f on injektio, on (g f)(x) = x = id X (x) Siten g f = id X = Olkoon g : Y X sellainen kuvaus, että g f = id X ja f g = id Y Jos x, x X ja f(x) = f(x ), on x = id X (x) = (g f)(x) = g(f(x)) = g(f(x )) = (g f)(x ) = id X (x ) = x ; siis f on injektio Toisaalta, jos y Y, niin g(y) X ja siis f on surjektio y = id Y (y) = (f g)(y) = f(g(y)); Lineaarikuvauksen injektiivisyys ja surjektiivisuus Lause 428 Lineaarikuvaus L : V V on injektio Ker(L) = {0 V } Todistus = Olkoon L injektio Joka tapauksessa 0 V Ker(L) (Lause 421) Jos toisaalta v Ker(L), niin L(v) = 0 V = L(0 V ); koska L on injektio, täytyy olla v = 0 V Näin ollen Ker(L) = {0 V } = Olkoon Ker(L) = {0 V } Olkoot v, w V sellaisia, että L(v) = L(w) Osoitetaan, että v = w: L(v) = L(w) = L(v w) = L(v) L(w) = 0 V = v w Ker(L) = {0 V } = v w = 0 V = v = w Esimerkki 429 a) Olkoon A R m n ja L A : R n R m, L A (x) = Ax L A on injektio Ker(L A ) = {0} Null(A) = {0} homogeenisella yhtälöryhmällä Ax = 0 on vain triviaali ratkaisu x = 0 Toisaalta L A on surjektio Im(L A ) = R m Col(A) = R m b) Esimerkin 426 lineaarikuvaus L A : R 4 R 3 on surjektio (Im(L A ) = R 3 ), mutta ei ole injektio (dim(ker(l A )) = 1) 93

9 Lemma 4210 Olkoon L : V V lineaarikuvaus ja v 1,, v k V a) Jos L on injektio ja (v 1,, v k ) on vapaa, niin (L(v 1 ),, L(v k )) on vapaa b) Jos L on surjektio ja (v 1,, v k ) virittää V :n, niin (L(v 1 ),, L(v k )) virittää V :n Todistus a) Olkoot x 1,, x k R Tällöin x 1 L(v 1 ) + + x k L(v k ) = 0 V = L(x 1 v x k v k ) 412b = x 1 L(v 1 ) + + x k L(v k ) = 0 V = x 1 v x k v k Ker(L) = {0 V } (L injektio) = x 1 v x k v k = 0 V = x 1 = = x k = 0 ((v 1,, v k ) vapaa) b) Lauseen 423 nojalla on span(l(v 1 ),, L(v k )) = L(span(v 1,, v k )) = L(V ) = Im(L) Koska L on surjektio, on Im(L) = V Siis V on vektorien L(v 1 ),, L(v k ) virittämä Lineaariset isomorfismit Määritelmä 4211 Lineaarikuvaus, joka on bijektio, on lineaarinen isomorfismi Vektoriavaruudet V ja V ovat isomorfiset, jos on olemassa jokin lineaarinen isomorfismi V V Sille, että V ja V ovat isomorfiset, käytetään merkintää V = V Lause 4212 Olkoot V, V ja V vektoriavaruuksia a) id V : V V on isomorfismi b) Jos L : V V ja L : V V ovat isomorfismeja, niin L L : V V on isomorfismi c) Jos L : V V on isomorfismi, niin L 1 : V V on isomorfismi Todistus a) Selvä b) Lauseesta 415 c) seuraa, että L L on lineaarinen Lisäksi se on bijektio, käänteiskuvauksena L 1 L 1 c) L 1 on bijektio (sen käänteiskuvaus on L), joten jää todistettavaksi, että L 1 : V V on lineaarinen Olkoot v, w V Tällöin v = L(v) ja w = L(w), missä v = L 1 (v ) V ja w = L 1 (w ) V Olkoon lisäksi c R Silloin L 1 (v + w ) = L 1 (L(v) + L(w)) L = lin L 1( L(v + w) ) = v + w = L 1 (v ) + L 1 (w ), L 1 (cv ) = L 1 (cl(v)) L lin = L 1 (L(cv)) = cv = cl 1 (v ) 94

10 95 Siis on voimassa (1) V = V, (2) V = V ja V = V = V = V, (3) V = V = V = V Esimerkki 4213 a) Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus ja S = (v 1,, v n ) V :n kanta Tarkastellaan kuvausta C S : V R n, v [v] S (koordinaattivektori S:n suhteen) Lauseesta 282 seuraa, että C S on lineaarinen Koska [v j ] S = e j (luonnollinen kantavektori), on C S itse asiassa se yksikäsitteinen lineaarikuvaus V R n, jossa v j e j kaikilla j (ks 417) C S on lineaarinen isomorfismi; sen käänteiskuvaus on se yksikäsitteinen lineaarikuvaus C S : Rn V, jossa e j v j kaikilla j Lineaarikuvauksessa C S C S : V V nimittäin v j v j = id V (v j ) kaikilla j, joten 417:n nojalla C S C S = id V, ja vastaavasti C S C S = id R n b) Kaava x x T kaikilla x R n määrittelee lineaarisen isomorfismin R n R n ; tämän käänteisisomorfismin antaa kaava y y T kaikilla y R n c) Olkoon A R m n m n -matriisi b)-kohdan isomorfismit R m R m ja R n R n rajoittuvat isomorfismeiksi Col(A) Row(A T ), Col(A T ) Row(A) (A:n sarakkeet A T :n rivit, A T :n sarakkeet A:n rivit) Lause 4214 Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus ja V vektoriavaruus Tällöin V = V V on äärellisulotteinen ja dim(v ) = dim(v ) Todistus = Olkoon L : V V isomorfismi, dim(v ) = k ja (v 1,, v k ) V :n kanta Lemman 4210 mukaan (L(v 1 ),, L(v k )) on vapaa ja virittää V :n, joten se on V :n kanta Siis V on äärellisulotteinen ja dim(v ) = k = dim(v ) = Olkoon V äärellisulotteinen, dim(v ) = dim(v ) = k, S = (v 1,, v k ) V :n kanta ja S = (v 1,, v k ) V :n kanta Esimerkin 4213 a)-kohdan nojalla C S : V R k ja C S : V R k ovat isomorfismeja Silloin lauseen 4212 kohtien b) ja c) nojalla C 1 S C S : V V on isomorfismi Erityisesti dim(v ) = n V = R n Valitettavasti n-ulotteisella avaruudella V isomorfismi V R n (esimerkiksi C S ) riippuu V :n kannan valinnasta eikä ole kanoninen

11 Lause 4215 Olkoon L : V V lineaarikuvaus, V ja V äärellisulotteisia vektoriavaruuksia ja dim(v ) = dim(v ) Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitävät: i) L on injektio, ii) L on surjektio, iii) L on bijektio Todistus Koska selvästi iii) = i) ja iii) = ii) sekä i) & ii) = iii), riittää osoittaa, että i) ii) Lauseen 425 nojalla dim(ker(l)) + dim(im(l)) = dim(v ) = dim(v ) Voidaan siis päätellä: L on injektio Ker(L) = {0} dim(ker(l)) = 0 dim(im(l)) = dim(v ) Im(L) = V L on surjektio 96 Erityisesti, jos V on äärellisulotteinen, niin jokainen lineaarinen injektio (vastaavasti jokainen lineaarinen surjektio) V V on isomorfismi Tämä ei pidä paikkaansa, jos V ei ole äärellisulotteinen: Esimerkki 4216 Tarkastellaan avaruutta R N (ks 223b), jonka alkiot ovat kaikki kuvaukset f : N R Avaruuden R N :n alkiot f voidaan tulkita lukujonoiksi (x 0, x 1, x 2, ), missä x i = f(i) R kaikilla i N Nyt (x 0, x 1, x 2, ) (0, x 0, x 2, ) on lineaarinen injektio R N R N, mutta ei surjektio (mikään jono ei kuvaudu esimerkiksi jonoksi (1, 1, 1, )); vastaavasti (x 0, x 1, x 2, ) (x 1, x 2, ) on lineaarinen surjektio R N R N, mutta ei injektio (esimerkiksi (0, 0, 0, ) ja (1, 0, 0, ) ovat eri jonoja, mutta kuvautuvat samaksi jonoksi (0, 0, 0, )) Huomautus 4217 a) Olkoon A R m n m n -matriisi Lukujen 3 ja 4 tulosten avulla saadaan uusi todistus perustulokselle dim Col(A) = dim Row(A) (= rank(a); ks 263) Esimerkin 424 ja lauseen 425 nojalla on (a) dim Null(A) + dim Col(A) = dim(r n ) = n

12 97 Lauseen 344 nojalla on (b) Null(A) = Col(A T ) (R n :ssä) Kohdan (b) ja lauseen 345c) nojalla on (c) dim Null(A) + dim Col(A T ) = dim Col(A T ) + dim Col(A T ) = dim(r n ) = n Esimerkin 4213c) nojalla on (d) Col(A T ) = Row(A) Yhdistetään yllä olevat tulokset: dim Col(A) (a) = n dim Null(A) (c) = n (n dim Col(A T )) = dim Col(A T ) (d) = dim Row(A) Lisäksi rank(a T ) = dim Col(A T ) = dim Row(A) = rank(a) b) Lauseen 4215 avulla on mahdollista todistaa lause 166 geometrisemmalla, dimensioteoriaan perustuvalla tavalla kuin kappaleessa Lineaarikuvaukset ja matriisit Olkoot V ja V vektoriavaruuksia Tutkimme joukkoa Lin(V, V ) = {L L on lineaarikuvaus V V }, kun V ja V ovat äärellisulotteisia Todistamme, että jos dim(v ) = n, dim(v ) = m, ja V :lle ja V :lle molemmille valitaan jokin tietty kanta, saadaan kääntäen yksikäsitteinen vastaavuus joukon Lin(V, V ) ja m n -matriisien joukon R m n välille Erikoistapaus Lin(R n, R m ) Esimerkissä 413 a) liitettiin m n -matriisiin A = [ a ij ] R m n lineaarikuvaus L A : R n R m kaavalla L A (x) = Ax kaikilla x R n Lause 431 Kuvaus A L A on bijektio R m n Lin(R n, R m ) Lisäksi (1) L In = id R n, (2) L A+B = L A + L B (A, B R m n ), (3) L ca = cl A (A R m n, c R), ja (4) L AB = L A L B (A R m n, B R n p )

13 Todistus Injektio Oletetaan, että matriiseilla A, B R m n on L A = L B, ts L A (x) = L B (x) eli Ax = Bx kaikilla x R n Olkoon (e 1,, e n ) R n :n luonnollinen kanta Nyt erityisesti Ae j = Be j kaikilla j {1, 2,, n} Koska Ae j on A:n j:s sarake ja Be j on B:n j:s sarake, on siis A:n j:s sarake sama kuin B:n j:s sarake kaikilla j {1, 2,, n} Näin ollen A = B Surjektio Olkoon L Lin(R n, R m ) (ts L : R n R m on lineaarikuvaus) Olkoon A = [ L(e 1 ) L(e n ) ] R m n se matriisi, jonka sarakkeet ovat L(e j ) R m, j = 1,, n Tällöin L(x) = L(x 1 e x n e n ) L lin = x 1 L(e 1 ) + + x n L(e n ) = Ax = L A (x) kaikilla x = [ x 1 x n ] T R n, 98 joten L = L A Viimeiset väitteet seuraavat heti matriisien laskusäännöistä A R m n ja B R n p, on Kun esimerkiksi siten L AB = L A L B L AB (x) = (AB)x 131d = A(Bx) = L A (Bx) = L A (L B (x)) = (L A L B )(x) kaikilla x R p ; Lauseen 431 avulla tulkitaan tarvittaessa matriisi A R m n lineaarikuvaukseksi A : R n R m (samastetaan siis A = L A ) ja päinvastoin Tällöin erityisesti matriisitulo vastaa kuvausten yhdistämistä Yleinen tapaus Lin(V, V ) Olkoon dim(v ) = n, dim(v ) = m, S = (v 1,, v n ) V :n kanta ja S = (v 1,, v m ) V :n kanta Olkoon L : V V lineaarikuvaus Tarkastellaan kaaviota L V V C S R n A C S R m missä C S : v [v] S ja C S : v [v ] S (ks 4213 a) Yhdistelmä C S L C S 1 : R n R m on lineaarikuvaus, joten lauseen 431 mukaan on olemassa yksikäsitteinen m n -matriisi A R m n, jolla C S L C S 1 = A : R n R m, x Ax (Tässä on samastettu A ja L A, kuten edellä sovittiin)

14 Määritelmä 432 Yllä olevassa tilanteessa matriisi A = M(L; S S) R m n on lineaarikuvauksen L : V V matriisi kantojen S ja S suhteen Olkoon M(L; S S) = A = [ a ij ] R m n Tällöin yllä oleva kaavio kommutoi, ts C S L = A C S, sillä A C S = C S L C S 1 C S = C S L (koska C S 1 C S = id V ) Siispä (433) [ L(v) ] S = M(L; S S) [ v ] S kaikilla v V Jos [v] S = [ x 1 x n ] T ja [L(v)] S = [ y 1 y m ] T, ts 99 n v = x j v j ja L(v) = j=1 m y i v i, i=1 on siis (434) y i = n a ij x j, i = 1,, m j=1 Kun 433:ssa valitaan v = v j, jolloin [v] S = [v j ] S = e j on R n :n luonnollinen kantavektori, nähdään, että [L(v j )] S = M(L; S S) [ v j ] S = M(L; S S)e j on matriisin M(L; S S) j:s sarake (j = 1,, n) Siispä (435) L(v j ) = m i=1 a ij v i, j = 1,, n Huomautus 436 Kun matriisi M(L; S S) = [ a ij ] R m n määritellään kuten 432:ssa, se siis toteuttaa kaavat 433, 434 ja 435 Kääntäen, mikä tahansa näistä kolmesta kaavasta kelpaa yksinkin matriisin M(L; S S) = [ a ij ] määritelmäksi, sillä niistä seuraa, että ko matriisin sarakkeet ovat [L(v j )] S, j = 1, 2,, n, eli päädytään samaan matriisiin kuin 432:ssa Lause 437 Kuvaus L M(L; S S) on bijektio Lin(V, V ) R m n Todistus Käänteiskuvaus R m n Lin(V, V ) saadaan kaavalla A C S 1 A C S, sillä M(C S 1 A C S ; S S) = C S (C S 1 A C S ) C S 1 = A, kun A R m n, ja C S 1 M(L; S S) C S = C S 1 (C S L C S 1 ) C S = L, kun L Lin(V, V )

15 100 Tarkastellaan lopuksi lausetta 437 erikoistapauksessa, jossa V = R n ja V = R m Olkoot E m ja E n avaruuksien R m ja R n luonnolliset kannat Selvästi 437:n bijektio Lin(R n, R m ) R m n, L M(L; E m E n ), on 431:n bijektion A L A käänteiskuvaus Kun matriisi A R m n samastetaan lineaarikuvauksen L A : R n R m kanssa, saadaan kaavat (438) A = M(L A ; E m E n ) = M(A; E m E n ) Lineaarikuvauksen matriisin ominaisuuksia Olkoot V, V, äärellisulotteisia vektoriavaruuksia Lause 439 Jos S ja T ovat kaksi V :n kantaa, on M(id V ; S T ) = M(S T ) kannanvaihtomatriisi Erityisesti M(id V ; S S) = M(S S) = I n Todistus Koska ehto 433 määrää lineaarikuvauksen matriisin yksikäsitteisesti, seuraa väite siitä, että M(id V ; S T )[v] T = [id V (v)] S = [v] S = M(S T )[v] T v V Lause 4310 Olkoot L : V V ja L : V V lineaarisia, S V :n kanta, S V :n kanta ja S V :n kanta Tällöin M(L L; S S) = M(L ; S S )M(L; S S) Todistus Kuten edellisessäkin lauseessa, väite voidaan todistaa 433:n avulla: ( M(L ; S S )M(L; S S) ) [v] S = M(L ; S S ) ( M(L; S S)[v] S ) 433 = M(L ; S S )[L(v)] S 433 = [L (L(v))] S = [(L 433 L)(v)] S = M(L L; S S)[v] S v V Äskeinen tulos perustuu siis matriisien kertolaskun liitännäisyyteen Seuraus 4311 a) Olkoon L : V V lineaarinen, S ja T kaksi V :n kantaa sekä S ja T kaksi V :n kantaa Silloin M(L; T T ) = M(T S )M(L; S S)M(S T ) b) Olkoon L : V V lineaarinen, ja S ja T kaksi V :n kantaa Tällöin M(L; T T ) = Q 1 M(L; S S)Q, missä Q = M(S T )

16 101 Todistus a) 4310:n nojalla on M(L; T T ) = M(id V L id V ; T T ) = M(id V ; T S )M(L; S S)M(id V ; S T ) = M(T S )M(L; S S)M(S T ) b) on erikoistapaus (a):sta (V = V, S = S ja T = T ) Olkoon L : V V lineaarikuvaus, dim(v ) = n, dim(v ) = m, S V :n kanta ja S V :n kanta Merkitään A = M(L; S S) R m n Silloin A[v] S = [L(v)] S kaikilla v V Siispä v Ker(L) [L(v)] S = 0 A[v] S = 0 [v] S Null(A), v = L(v) Im(L) [v ] S = [L(v)] S On todistettu seuraava lause: [v ] S = A[v] S Col(A) Lause 4312 C S : V R n ja C S : V R m rajoittuvat isomorfismeiksi Ker(L) = Null(A) ja Im(L) = Col(A) Erityisesti dim Im(L) = dim Col(A) = rank(a) Lause 4313 L : V V on isomorfismi m = n ja M(L; S S) R n n on säännöllinen Tällöin M(L 1 ; S S ) = M(L; S S) 1 Todistus = Olkoon L isomorfismi Lauseen 4214 mukaan on m = n Lauseesta 4310 seuraa sitten, että M(L 1 ; S S )M(L; S S) = M(L 1 L; S S) = M(id V ; S S) = I n, ja samoin M(L; S S)M(L 1 ; S S ) = I n = Olkoon m = n ja A = M(L; S S) R n n säännöllinen Lauseen 437 mukaan on olemassa yksikäsitteinen lineaarikuvaus L : V V, jolla M(L ; S S ) = A 1 Nyt M(L L; S S) 4310 = M(L ; S S )M(L; S S) = A 1 A = I n = M(id V ; S S), joten 437:sta seuraa, että L L = id V Samoin L L = id V Näin ollen L on isomorfismi ja L = L 1

17 Lineaarikuvauksen matriisin määrittäminen 102 Olkoon S = (v 1,, v n ) vektoriavaruuden V kanta, S = (v 1,, v m ) vektoriavaruuden V kanta, L : V V lineaarikuvaus ja X = [ x ij ] = M(L; S S) R m n L:n matriisi kantojen S ja S suhteen 435:n mukaan matriisialkiot x ij määräytyvät yksikäsitteisesti ehdoista L(v j ) = m x ij v i, j = 1,, n i=1 Käsittelemme seuraavassa erästä erikoistapausta, jossa alkioiden x ij määritys palautuu eräiden lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisemiseen Laskumenetelmä 4314 Tarkastellaan lineaarikuvausta A : R n R m, v Av, missä A R m n on m n -matriisi Olkoon S = (v 1,, v n ) jokin R n :n kanta ja S = (v 1,, v m ) jokin Rm :n kanta Muodostettava matriisi X = [ x ij ] = M(A; S S) Ratkaisu Muodostetaan matriisi M S = M(E m S ) = [ v 1 v m ] Rm m kuten s 61, missä E m on R m :n luonnollinen kanta Etsityn matriisin X j:s sarake x j = [ x 1j x 2j x mj ] T määräytyy yksikäsitteisesti yhtälöryhmästä M S x j = Av j, ja nämä n yhtälöryhmää (j = 1,, n) voidaan ratkaista yhdellä kertaa, koska jokaisessa on kerroinmatriisina sama (säännöllinen) matriisi M S Kun nimittäin m (m + n) -matriisi [ M S Av 1 Av n ] = [ v 1 v m Av 1 Av n ] muunnetaan alkeisrivitoimituksilla redusoituun porrasmuotoon, tuloksena on kerroinmatriisin säännöllisyyden ansiosta tyyppiä [ I m B ] oleva matriisi, ja tässä B = X Esimerkki 4315 Olkoon [ 1 2 A = 3 2 ] ; v 1 = [ ] 1 R 2, v 1 2 = Muodostettava X = M(A; S S), missä S = (v 1, v 2 ) Ratkaisu Av 1 = [ ] [ ] 1 = 1 [ ] 1, Av 1 2 = [ [ ] 2 R 2 3 ] [ ] 2 = 3 [ ] 8 ; 12 [ ] [ ] 1 2 [ v 1 v Av1 Av 2 ] = [ ] [ ]

18 Siis X = [ ] (Tuloksen saa tietysti suoraankin jos huomaa, että Av 1 = ( 1)v v 2 ja Av 2 = 0 v 1 +4v 2 ; edellisestä yhtälöstä saadaan X:n ensimmäinen ja jälkimmäisestä toinen sarake) Havaitsemme, että 4315:ssa matriisin A (eli lineaarikuvauksen v Av) geometrinen merkitys näkyy helpommin matriisista X = M(A; S S): Kantavektorin v 1 suuntaiset vektorit kuvautuvat vastavektoreikseen ja v 2 :n suuntaiset vektorit venytetään pituudeltaan nelinkertaisiksi Huomautus :n tilanteessa on seurauksen 4311 a) mukaan X = M(S E m )M(A; E m E n )M(E m S) = M 1 S AM S, missä E n on R n :n luonnollinen kanta ja M S = M(E n S) = [ v 1 v n ] Etsitty matriisi X saadaan siis myös, kun muodostetaan käänteismatriisi M 1 S kuten 167:ssä ja lasketaan matriisitulo M 1 S AM S Tämä tapa on yleensä työläämpi kuin 4314:ssä esitetty 103