4. LINEAARIKUVAUKSET

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "4. LINEAARIKUVAUKSET"

Transkriptio

1 86 4 LINEAARIKUVAUKSET 41 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoot V ja V vektoriavaruuksia Tarkastellaan kuvausta L : V V Tällöin jokaiseen vektoriin v V liittyy tietty, L:n ja v:n yksikäsitteisesti määräämä kuvavektori L(v) V Määritelmä 411 Kuvaus L : V V on lineaarinen l lineaarikuvaus, jos i) L(v + w) = L(v) + L(w) kaikilla v, w V, ja ii) L(cv) = cl(v) kaikilla v V, c R (Kaavoissa vasemmalla on V :n ja oikealla V :n laskutoimitus) Lause 412 Olkoon L : V V lineaarikuvaus Tällöin a) L(0 V ) = 0 V, ja b) L(c 1 v c k v k ) = c 1 L(v 1 ) + + c k L(v k ), kun v 1,, v k V, c 1,, c k R 225 a) Todistus a) L(0 V ) = L(0 0 V ) = ii 225 a) 0 L(0 V ) = 0 V b) seuraa induktiolla 411:stä: Tapaus k = 1 on suoraan 411 ii) Jos sitten k 2 ja tiedetään jo, että ( induktio-oletus ), niin L(c 1 v c k 1 v k 1 ) = c 1 L(v 1 ) + + c k 1 L(v k 1 ) L(c 1 v c k v k ) = L(c 1 v c k 1 v k 1 ) + L(c k v k ) (411 i) = c 1 L(v 1 ) + + c k 1 L(v k 1 ) + c k L(v k ) (indol ii) Esimerkki 413 (a) Olkoon A = [ a ij ] R m n m n -matriisi Määritellään kuvaus L A : R n R m asettamalla L A (x) = Ax kaikilla x R n, missä Ax on matriisitulo, toisin sanoen x 1 y 1 x L A : 2 y 2, y i = x n y m n a ij x j j=1 (i = 1,, m)

2 L A on lineaarinen, sillä matriisitulon ominaisuuksista 131 seuraa, että L A (x + y) = A(x + y) = Ax + Ay = L A (x) + L A (y) L A (cx) = A(cx) = cax = cl A (x), kun x, y R n, c R Kohdissa b), c) ja d) on konkreettisia esimerkkejä tapauksesta m = n = 2 [ ] a 0 (b) A = = ai 0 a 2 R 2 2 (a R) = L A (x) = ax kaikilla x R 2 L A : R 2 R 2 on homotetia Jos a > 1, L A on venytys (dilataatio); jos 0 < a < 1, L A on kutistus (kontraktio) (c) A = [ ] 1 0 R 2 2 = L 0 1 A : L A : R 2 R 2 on peilaus x 1 -akselin suhteen x 2 (d) [ ] cos ϕ sin ϕ A = R 2 2 (ϕ R) = L sin ϕ cos ϕ A : [ x1 x 2 x ] L A (x) [ x1 x 2 [ x1 x 1 ] x 2 ] ja 87 [ ] x1 cos ϕ x 2 sin ϕ x 1 sin ϕ + x 2 cos ϕ Esitetään x = [ x 1 x 2 ] T 0 napakoordinaattien avulla: x 1 = r cos θ, x 2 = r sin θ, missä r = x = x x2 2 ja θ R on x:n vaihekulma Tällöin [ ] [ ] r(cos θ cos ϕ sin θ sin ϕ) r cos(θ + ϕ) L A (x) = = r(cos θ sin ϕ + sin θ cos ϕ) r sin(θ + ϕ) saadaan kiertämällä vektoria x kulman ϕ verran origon ympäri x 2 ϕ θ L A (x) x x 1 43:ssa nähdään, että jokainen lineaarikuvaus R n R m on muotoa L A sopivalla A R m n

3 Esimerkki 414 a) D : C 1 (R, R) C 0 (R, R), D(f) = f = f:n derivaatta kaikilla f C 1 (R, R), on lineaarinen, sillä (f + g) = f + g ja (cf) = cf (Diff I) b) I : C 0 (R, R) C 1 (R, R), I(f)(x) = x 0 f(t)dt kaikilla x R, f C0 (R, R), on myös lineaarinen Yleisluontoisia esimerkkejä: Esimerkki 415 Olkoot V, V, vektoriavaruuksia a) Identtinen kuvaus id V : V V, id V (v) = v kaikilla v V, on selvästi lineaarinen, samoin aliavaruuden W V kanoninen injektio i W,V : W V, i W,V (w) = w kaikilla w W b) Nollakuvaus 0 = 0 V,V : V V, 0(v) = 0 V kaikilla v V, on lineaarinen c) Jos L : V V ja L : V V ovat lineaarisia, niin yhdistetty kuvaus L L : V V, (L L)(v) = L (L(v)) kaikilla v V, on lineaarinen Todistus Olkoot v, w V ja c R Silloin 88 (i) (ii) (L L)(v + w) = L (L(v + w)) = L (L(v) + L(w)) = L (L(v)) + L (L(w)) = (L L)(v) + (L L)(w), (L L)(cv) = L (L(cv)) = L (cl(v)) = cl (L(v)) = c(l L)(v) d) Jos L : V V on lineaarinen ja W V aliavaruus, niin L:n rajoittuma W :hen L W : W V, (L W )(w) = L(w) kaikilla w W, on lineaarinen (esimerkiksi koska L W = L i W,V ) e) Jos L 1, L 2 : V V ovat lineaarisia ja a R, niin L 1 + L 2 ja al 1 ovat lineaarikuvauksia V V, kun määritellään (L 1 + L 2 )(v) = L 1 (v) + L 2 (v) ja (al 1 )(v) = al 1 (v) kaikilla v V Todistus Harjoitustehtävä Esimerkki 416 Olkoon V sisätuloavaruus, sisätulona, a) Kiinteällä w V on 322:n nojalla v v, w = w, v lineaarikuvaus V R b) Olkoon W V äärellisulotteinen aliavaruus Määritellään kuvaus p : V V asettamalla p(v) = proj W (v) = v:n kohtisuora projektio W :lle kaikilla v V (siis p(v) W V v V ) Projektion määritelmän nojalla on p(v) = w, kun v = w + w, missä w W ja w W

4 Väite p on lineaarinen Todistus Olkoot v 1, v 2 V ; v 1 = w 1 + w 1, v 2 = w 2 + w 2, missä w 1, w 2 W ja w 1, w 2 W Tällöin v 1 + v 2 = (w 1 + w 2 ) + (w 1 + w 2 ) Koska W ja W ovat aliavaruuksia, on w 1 + w 2 W ja w 1 + w 2 W, ja siten p(v 1 + v 2 ) = w 1 + w 2 = p(v 1 ) + p(v 2 ) Vastaavasti todetaan, että p(cv) = cp(v), kun v V, c R Seuraava tulos on hyödyllinen tutkittaessa lineaarikuvauksia V V, kun V on äärellisulotteinen Lause 417 Olkoot V ja V vektoriavaruuksia, (v 1,, v n ) V :n kanta (siis V on äärellisulotteinen ja dim(v ) = n), ja v 1,, v n V annettuja vektoreita Tällöin on olemassa täsmälleen yksi lineaarikuvaus L : V V, jolla L(v 1 ) = v 1,, L(v n) = v n Todistus Enintään yksi Olkoot L 1, L 2 : V V kaksi lineaarikuvausta, joilla L 1 (v j ) = v j = L 2(v j ), j = 1,, n Olkoon v V = span(v 1,, v n ) Silloin v = x 1 v x n v n eräillä x 1,, x n R, joten L 1 (v) = L 1 (x 1 v x n v n ) 412b = x 1 L 1 (v 1 ) + + x n L 1 (v n ) = x 1 L 2 (v 1 ) + + x n L 2 (v n ) 412b = L 2 (x 1 v x n v n ) = L 2 (v) Koska siis L 1 (v) = L 2 (v) kaikilla v V, on L 1 = L 2 b) Ainakin yksi Olkoon v V Tällöin v = x 1 v 1 + +x n v n eräillä x 1,, x n R, ja nämä kertoimet (v:n koordinaatit kannassa (v 1,, v n ); ks kappaleen 28 alku) ovat v:n yksikäsitteisesti määräämät Voidaan siis määritellä kuvaus L : V V asettamalla L(v) = x 1 v 1 + +x nv n, kun v = x 1v 1 + +x n v n, x 1,, x n R Silloin L(v j ) = v j kaikilla j {1,, n}, joten jää todistettavaksi Väite L on lineaarinen Todistus Olkoon v = x 1 v x n v n ja w = y 1 v y n v n, missä x 1,, x n, y 1,, y n R, ja olkoon c R Tällöin 89 v + w = (x 1 + y 1 )v (x n + y n )v n cv = (cx 1 )v (cx n )v n, ja joten L(v + w) = (x 1 + y 1 )v (x n + y n )v n = (x 1 v x nv n ) + (y 1v y nv n ) = L(v) + L(w), L(cv) = (cx 1 )v (cx n)v n = c(x 1v x nv n ) = cl(v)

5 90 42 Kuva ja ydin Isomorfismit Olkoot V ja V vektoriavaruuksia ja L : V V lineaarikuvaus Määritellään L:n kuva Im(L) = L(V ) ja ydin Ker(L) seuraavasti: Im(L) = L(V ) = {L(v) v V } = {v V v = L(v) jollakin v V } V, Ker(L) = {v V L(v) = 0 V } V, Lause 421 Im(L) on V :n aliavaruus ja Ker(L) on V :n aliavaruus Todistus Kuva v, w V, ja i) Olkoot v, w Im(L) Silloin v = L(v) ja w = L(w) eräillä v + w = L(v) + L(w) 411i = L(v + w) Im(L), koska v + w V ii) Olkoon v Im(L) ja c R Silloin v = L(v) eräällä v V ; nyt koska cv V cv = cl(v) 411ii = L(cv) Im(L), iii) Lauseen 412a) nojalla 0 V = L(0 V ) Im(L) Ydin i) Olkoot v, w Ker(L) Silloin L(v) = 0 V = L(w) Siis joten v + w Ker(L) L(v + w) = L(v) + L(w) = 0 V + 0 V = 0 V, ii) Olkoon v Ker(L) ja c R Silloin L(v) = 0 V Siis joten cv Ker(L) iii) 0 V Ker(L), koska L(0 V ) = 0 V L(cv) = cl(v) = c0 V = 0 V, Huomautus 422 Yleisemmin, jos W V on aliavaruus, niin W :n kuva L(W ) = {L(w) w W } = {v V v = L(w) jollakin w W } on V :n aliavaruus (sillä L(W ) = Im(L W ))

6 91 Lause 423 Olkoon L : V V lineaarinen ja v 1,, v k V Tällöin L(span(v 1,, v k )) = span(l(v 1 ),, L(v k )) Todistus L(span(v 1,, v k )):n alkiot ovat L(x 1 v x k v k ) = x 1 L(v 1 ) + + x k L(v k ), x 1,, x k R, eli samat kuin span(l(v 1 ),, L(v k )):n alkiot Esimerkki 424 Olkoon A = [ a 1 a 2 a n ] R m n m n -matriisi, jonka sarakkeet ovat a 1,, a n R m, ja L A : R n R m kaavan L A (x) = Ax määrittelemä lineaarikuvaus (ks 413) Tällöin Im(L A ) = L A (R n ) = L A (span(e 1,, e n )) 423 = span(l A (e 1 ),, L A (e n )) on A:n sarakeavaruus, ja = span(ae 1,, Ae n ) = span(a 1,, a n ) = Col(A) Ker(L A ) = {x R n L A (x) = 0} = {x R n Ax = 0} = Null(A) on A:n nolla-avaruus eli homogeenisen yhtälöryhmän Ax = 0 ratkaisujen joukko Lineaarikuvauksella L : V V avaruuksien Im(L) ja Ker(L) koko riippuvat toisistaan seuraavasti (kun dim(v ) < ): Lause 425 Olkoon L : V V lineaarinen ja V äärellisulotteinen Im(L) on äärellisulotteinen ja dim(v ) = dim(ker(l)) + dim(im(l)) Tällöin Todistus Lauseen 2512 mukaan Ker(L) on äärellisulotteinen Olkoon (v 1,, v p ) Ker(L):n kanta Täydennetään se V :n kannaksi (v 1,, v p, w 1,, w q ) (2511 a) Silloin p = dim(ker(l)), p + q = dim(v ), ja on osoitettava, että q = dim(im(l)) Väite (L(w 1 ),, L(w q )) on Im(L):n kanta Todistus Viritys: Lauseen 423 mukaan Im(L) = span(l(v 1 ) = 0 Vapaus:,, L(v p ), L(w 1 ),, L(w q )) = span(l(w 1 ),, L(w q )) = 0 Olkoot x 1,, x q R Silloin x 1 L(w 1 ) + + x q L(w q ) = 0 = L(x 1 w x q w q ) = 0 = x 1 w x q w q Ker(L) = x 1 w x q w q = y 1 v y p v p eräillä y 1,, y p R = y 1 v 1 y p v p + x 1 w x q w q = 0; koska (v 1,, v p, w 1,, w q ) on vapaa, tästä seuraa, että x 1 = = x q = 0 (= y 1 = = y p )

7 92 Esimerkki 426 Olkoon A = ja L A : R 4 R 3, x Ax Määritettävä dim(ker(l A )) ja dim(im(l A )) Ratkaisu Muunnetaan A alkeisrivitoimituksilla porrasmatriisiksi: A = /4 Siispä x = x 1 x 2 x 3 x 4 Ker(L A ) = Null(A) x 1 = 2x 2 + 2x 4 = 3 2 t x 2 = x 3 x 4 = 1 4 t x 3 = 5 4 x 4 = 5 4 t x 4 = t R x 1 + 2x 2 2 x 4 = 0 x 2 + x 3 + x 4 = 0 x x 4 = 0 x = t , t R Näin ollen Ker(L A ) = span([ ]T ), joten dim(ker(l A )) = 1 Lauseen 425 mukaan dim(im(l A )) = dim(r 4 ) dim(ker(l A )) = 3, joten Im(L A ) = R 3 (Kuvan Im(L A ) dimensio saadaan tietysti myös menetelmällä 261, jonka mukaan A:n sarakkeet 1, 2 ja 3 muodostavat avaruuden Im(L A ) = Col(A) kannan; siis dim(im(l A )) = 3) Injektiot, surjektiot ja bijektiot (joukko-oppia) Olkoot X ja Y joukkoja ja f : X Y kuvaus Tällöin f on (1) surjektio, jos f(x) = Y, ts jokaisella y Y yhtälöllä f(x) = y on ainakin yksi ratkaisu x X; (2) injektio, jos f(x) = f(x ) vain, kun x = x (x, x X), ts jokaisella y Y yhtälöllä f(x) = y on korkeintaan yksi ratkaisu x X; (3) bijektio, jos se on injektio ja surjektio, ts jokaisella y Y yhtälöllä f(x) = y on täsmälleen yksi ratkaisu x X

8 Lause (ja määritelmä) 427 Olkoon f kuvaus X Y Tällöin f on bijektio on olemassa kuvaus g : Y X, jolla g f = id X ja f g = id Y Tällöin g on yksikäsitteisesti määrätty, bijektion f käänteiskuvaus, ja sitä merkitään g = f 1 Todistus = Olkoon f bijektio Kun y Y, olkoon x = g(y) X yhtälön f(x) = y yksikäsitteinen ratkaisu Näin saadaan kuvaus g : Y X, jolla f(g(y)) = y eli (f g)(y) = id Y (y) y Y ; siis f g = id Y Yhtälön f(x) = y ratkaisun x yksikäsitteisyydestä seuraa, että g on ainoa kuvaus Y X, jolla f g = id Y Kun x X, on toisaalta f((g f)(x)) = (f (g f))(x) = ((f g) f)(x) = (id Y f)(x) = id Y (f(x)) = f(x); koska f on injektio, on (g f)(x) = x = id X (x) Siten g f = id X = Olkoon g : Y X sellainen kuvaus, että g f = id X ja f g = id Y Jos x, x X ja f(x) = f(x ), on x = id X (x) = (g f)(x) = g(f(x)) = g(f(x )) = (g f)(x ) = id X (x ) = x ; siis f on injektio Toisaalta, jos y Y, niin g(y) X ja siis f on surjektio y = id Y (y) = (f g)(y) = f(g(y)); Lineaarikuvauksen injektiivisyys ja surjektiivisuus Lause 428 Lineaarikuvaus L : V V on injektio Ker(L) = {0 V } Todistus = Olkoon L injektio Joka tapauksessa 0 V Ker(L) (Lause 421) Jos toisaalta v Ker(L), niin L(v) = 0 V = L(0 V ); koska L on injektio, täytyy olla v = 0 V Näin ollen Ker(L) = {0 V } = Olkoon Ker(L) = {0 V } Olkoot v, w V sellaisia, että L(v) = L(w) Osoitetaan, että v = w: L(v) = L(w) = L(v w) = L(v) L(w) = 0 V = v w Ker(L) = {0 V } = v w = 0 V = v = w Esimerkki 429 a) Olkoon A R m n ja L A : R n R m, L A (x) = Ax L A on injektio Ker(L A ) = {0} Null(A) = {0} homogeenisella yhtälöryhmällä Ax = 0 on vain triviaali ratkaisu x = 0 Toisaalta L A on surjektio Im(L A ) = R m Col(A) = R m b) Esimerkin 426 lineaarikuvaus L A : R 4 R 3 on surjektio (Im(L A ) = R 3 ), mutta ei ole injektio (dim(ker(l A )) = 1) 93

9 Lemma 4210 Olkoon L : V V lineaarikuvaus ja v 1,, v k V a) Jos L on injektio ja (v 1,, v k ) on vapaa, niin (L(v 1 ),, L(v k )) on vapaa b) Jos L on surjektio ja (v 1,, v k ) virittää V :n, niin (L(v 1 ),, L(v k )) virittää V :n Todistus a) Olkoot x 1,, x k R Tällöin x 1 L(v 1 ) + + x k L(v k ) = 0 V = L(x 1 v x k v k ) 412b = x 1 L(v 1 ) + + x k L(v k ) = 0 V = x 1 v x k v k Ker(L) = {0 V } (L injektio) = x 1 v x k v k = 0 V = x 1 = = x k = 0 ((v 1,, v k ) vapaa) b) Lauseen 423 nojalla on span(l(v 1 ),, L(v k )) = L(span(v 1,, v k )) = L(V ) = Im(L) Koska L on surjektio, on Im(L) = V Siis V on vektorien L(v 1 ),, L(v k ) virittämä Lineaariset isomorfismit Määritelmä 4211 Lineaarikuvaus, joka on bijektio, on lineaarinen isomorfismi Vektoriavaruudet V ja V ovat isomorfiset, jos on olemassa jokin lineaarinen isomorfismi V V Sille, että V ja V ovat isomorfiset, käytetään merkintää V = V Lause 4212 Olkoot V, V ja V vektoriavaruuksia a) id V : V V on isomorfismi b) Jos L : V V ja L : V V ovat isomorfismeja, niin L L : V V on isomorfismi c) Jos L : V V on isomorfismi, niin L 1 : V V on isomorfismi Todistus a) Selvä b) Lauseesta 415 c) seuraa, että L L on lineaarinen Lisäksi se on bijektio, käänteiskuvauksena L 1 L 1 c) L 1 on bijektio (sen käänteiskuvaus on L), joten jää todistettavaksi, että L 1 : V V on lineaarinen Olkoot v, w V Tällöin v = L(v) ja w = L(w), missä v = L 1 (v ) V ja w = L 1 (w ) V Olkoon lisäksi c R Silloin L 1 (v + w ) = L 1 (L(v) + L(w)) L = lin L 1( L(v + w) ) = v + w = L 1 (v ) + L 1 (w ), L 1 (cv ) = L 1 (cl(v)) L lin = L 1 (L(cv)) = cv = cl 1 (v ) 94

10 95 Siis on voimassa (1) V = V, (2) V = V ja V = V = V = V, (3) V = V = V = V Esimerkki 4213 a) Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus ja S = (v 1,, v n ) V :n kanta Tarkastellaan kuvausta C S : V R n, v [v] S (koordinaattivektori S:n suhteen) Lauseesta 282 seuraa, että C S on lineaarinen Koska [v j ] S = e j (luonnollinen kantavektori), on C S itse asiassa se yksikäsitteinen lineaarikuvaus V R n, jossa v j e j kaikilla j (ks 417) C S on lineaarinen isomorfismi; sen käänteiskuvaus on se yksikäsitteinen lineaarikuvaus C S : Rn V, jossa e j v j kaikilla j Lineaarikuvauksessa C S C S : V V nimittäin v j v j = id V (v j ) kaikilla j, joten 417:n nojalla C S C S = id V, ja vastaavasti C S C S = id R n b) Kaava x x T kaikilla x R n määrittelee lineaarisen isomorfismin R n R n ; tämän käänteisisomorfismin antaa kaava y y T kaikilla y R n c) Olkoon A R m n m n -matriisi b)-kohdan isomorfismit R m R m ja R n R n rajoittuvat isomorfismeiksi Col(A) Row(A T ), Col(A T ) Row(A) (A:n sarakkeet A T :n rivit, A T :n sarakkeet A:n rivit) Lause 4214 Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus ja V vektoriavaruus Tällöin V = V V on äärellisulotteinen ja dim(v ) = dim(v ) Todistus = Olkoon L : V V isomorfismi, dim(v ) = k ja (v 1,, v k ) V :n kanta Lemman 4210 mukaan (L(v 1 ),, L(v k )) on vapaa ja virittää V :n, joten se on V :n kanta Siis V on äärellisulotteinen ja dim(v ) = k = dim(v ) = Olkoon V äärellisulotteinen, dim(v ) = dim(v ) = k, S = (v 1,, v k ) V :n kanta ja S = (v 1,, v k ) V :n kanta Esimerkin 4213 a)-kohdan nojalla C S : V R k ja C S : V R k ovat isomorfismeja Silloin lauseen 4212 kohtien b) ja c) nojalla C 1 S C S : V V on isomorfismi Erityisesti dim(v ) = n V = R n Valitettavasti n-ulotteisella avaruudella V isomorfismi V R n (esimerkiksi C S ) riippuu V :n kannan valinnasta eikä ole kanoninen

11 Lause 4215 Olkoon L : V V lineaarikuvaus, V ja V äärellisulotteisia vektoriavaruuksia ja dim(v ) = dim(v ) Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitävät: i) L on injektio, ii) L on surjektio, iii) L on bijektio Todistus Koska selvästi iii) = i) ja iii) = ii) sekä i) & ii) = iii), riittää osoittaa, että i) ii) Lauseen 425 nojalla dim(ker(l)) + dim(im(l)) = dim(v ) = dim(v ) Voidaan siis päätellä: L on injektio Ker(L) = {0} dim(ker(l)) = 0 dim(im(l)) = dim(v ) Im(L) = V L on surjektio 96 Erityisesti, jos V on äärellisulotteinen, niin jokainen lineaarinen injektio (vastaavasti jokainen lineaarinen surjektio) V V on isomorfismi Tämä ei pidä paikkaansa, jos V ei ole äärellisulotteinen: Esimerkki 4216 Tarkastellaan avaruutta R N (ks 223b), jonka alkiot ovat kaikki kuvaukset f : N R Avaruuden R N :n alkiot f voidaan tulkita lukujonoiksi (x 0, x 1, x 2, ), missä x i = f(i) R kaikilla i N Nyt (x 0, x 1, x 2, ) (0, x 0, x 2, ) on lineaarinen injektio R N R N, mutta ei surjektio (mikään jono ei kuvaudu esimerkiksi jonoksi (1, 1, 1, )); vastaavasti (x 0, x 1, x 2, ) (x 1, x 2, ) on lineaarinen surjektio R N R N, mutta ei injektio (esimerkiksi (0, 0, 0, ) ja (1, 0, 0, ) ovat eri jonoja, mutta kuvautuvat samaksi jonoksi (0, 0, 0, )) Huomautus 4217 a) Olkoon A R m n m n -matriisi Lukujen 3 ja 4 tulosten avulla saadaan uusi todistus perustulokselle dim Col(A) = dim Row(A) (= rank(a); ks 263) Esimerkin 424 ja lauseen 425 nojalla on (a) dim Null(A) + dim Col(A) = dim(r n ) = n

12 97 Lauseen 344 nojalla on (b) Null(A) = Col(A T ) (R n :ssä) Kohdan (b) ja lauseen 345c) nojalla on (c) dim Null(A) + dim Col(A T ) = dim Col(A T ) + dim Col(A T ) = dim(r n ) = n Esimerkin 4213c) nojalla on (d) Col(A T ) = Row(A) Yhdistetään yllä olevat tulokset: dim Col(A) (a) = n dim Null(A) (c) = n (n dim Col(A T )) = dim Col(A T ) (d) = dim Row(A) Lisäksi rank(a T ) = dim Col(A T ) = dim Row(A) = rank(a) b) Lauseen 4215 avulla on mahdollista todistaa lause 166 geometrisemmalla, dimensioteoriaan perustuvalla tavalla kuin kappaleessa Lineaarikuvaukset ja matriisit Olkoot V ja V vektoriavaruuksia Tutkimme joukkoa Lin(V, V ) = {L L on lineaarikuvaus V V }, kun V ja V ovat äärellisulotteisia Todistamme, että jos dim(v ) = n, dim(v ) = m, ja V :lle ja V :lle molemmille valitaan jokin tietty kanta, saadaan kääntäen yksikäsitteinen vastaavuus joukon Lin(V, V ) ja m n -matriisien joukon R m n välille Erikoistapaus Lin(R n, R m ) Esimerkissä 413 a) liitettiin m n -matriisiin A = [ a ij ] R m n lineaarikuvaus L A : R n R m kaavalla L A (x) = Ax kaikilla x R n Lause 431 Kuvaus A L A on bijektio R m n Lin(R n, R m ) Lisäksi (1) L In = id R n, (2) L A+B = L A + L B (A, B R m n ), (3) L ca = cl A (A R m n, c R), ja (4) L AB = L A L B (A R m n, B R n p )

13 Todistus Injektio Oletetaan, että matriiseilla A, B R m n on L A = L B, ts L A (x) = L B (x) eli Ax = Bx kaikilla x R n Olkoon (e 1,, e n ) R n :n luonnollinen kanta Nyt erityisesti Ae j = Be j kaikilla j {1, 2,, n} Koska Ae j on A:n j:s sarake ja Be j on B:n j:s sarake, on siis A:n j:s sarake sama kuin B:n j:s sarake kaikilla j {1, 2,, n} Näin ollen A = B Surjektio Olkoon L Lin(R n, R m ) (ts L : R n R m on lineaarikuvaus) Olkoon A = [ L(e 1 ) L(e n ) ] R m n se matriisi, jonka sarakkeet ovat L(e j ) R m, j = 1,, n Tällöin L(x) = L(x 1 e x n e n ) L lin = x 1 L(e 1 ) + + x n L(e n ) = Ax = L A (x) kaikilla x = [ x 1 x n ] T R n, 98 joten L = L A Viimeiset väitteet seuraavat heti matriisien laskusäännöistä A R m n ja B R n p, on Kun esimerkiksi siten L AB = L A L B L AB (x) = (AB)x 131d = A(Bx) = L A (Bx) = L A (L B (x)) = (L A L B )(x) kaikilla x R p ; Lauseen 431 avulla tulkitaan tarvittaessa matriisi A R m n lineaarikuvaukseksi A : R n R m (samastetaan siis A = L A ) ja päinvastoin Tällöin erityisesti matriisitulo vastaa kuvausten yhdistämistä Yleinen tapaus Lin(V, V ) Olkoon dim(v ) = n, dim(v ) = m, S = (v 1,, v n ) V :n kanta ja S = (v 1,, v m ) V :n kanta Olkoon L : V V lineaarikuvaus Tarkastellaan kaaviota L V V C S R n A C S R m missä C S : v [v] S ja C S : v [v ] S (ks 4213 a) Yhdistelmä C S L C S 1 : R n R m on lineaarikuvaus, joten lauseen 431 mukaan on olemassa yksikäsitteinen m n -matriisi A R m n, jolla C S L C S 1 = A : R n R m, x Ax (Tässä on samastettu A ja L A, kuten edellä sovittiin)

14 Määritelmä 432 Yllä olevassa tilanteessa matriisi A = M(L; S S) R m n on lineaarikuvauksen L : V V matriisi kantojen S ja S suhteen Olkoon M(L; S S) = A = [ a ij ] R m n Tällöin yllä oleva kaavio kommutoi, ts C S L = A C S, sillä A C S = C S L C S 1 C S = C S L (koska C S 1 C S = id V ) Siispä (433) [ L(v) ] S = M(L; S S) [ v ] S kaikilla v V Jos [v] S = [ x 1 x n ] T ja [L(v)] S = [ y 1 y m ] T, ts 99 n v = x j v j ja L(v) = j=1 m y i v i, i=1 on siis (434) y i = n a ij x j, i = 1,, m j=1 Kun 433:ssa valitaan v = v j, jolloin [v] S = [v j ] S = e j on R n :n luonnollinen kantavektori, nähdään, että [L(v j )] S = M(L; S S) [ v j ] S = M(L; S S)e j on matriisin M(L; S S) j:s sarake (j = 1,, n) Siispä (435) L(v j ) = m i=1 a ij v i, j = 1,, n Huomautus 436 Kun matriisi M(L; S S) = [ a ij ] R m n määritellään kuten 432:ssa, se siis toteuttaa kaavat 433, 434 ja 435 Kääntäen, mikä tahansa näistä kolmesta kaavasta kelpaa yksinkin matriisin M(L; S S) = [ a ij ] määritelmäksi, sillä niistä seuraa, että ko matriisin sarakkeet ovat [L(v j )] S, j = 1, 2,, n, eli päädytään samaan matriisiin kuin 432:ssa Lause 437 Kuvaus L M(L; S S) on bijektio Lin(V, V ) R m n Todistus Käänteiskuvaus R m n Lin(V, V ) saadaan kaavalla A C S 1 A C S, sillä M(C S 1 A C S ; S S) = C S (C S 1 A C S ) C S 1 = A, kun A R m n, ja C S 1 M(L; S S) C S = C S 1 (C S L C S 1 ) C S = L, kun L Lin(V, V )

15 100 Tarkastellaan lopuksi lausetta 437 erikoistapauksessa, jossa V = R n ja V = R m Olkoot E m ja E n avaruuksien R m ja R n luonnolliset kannat Selvästi 437:n bijektio Lin(R n, R m ) R m n, L M(L; E m E n ), on 431:n bijektion A L A käänteiskuvaus Kun matriisi A R m n samastetaan lineaarikuvauksen L A : R n R m kanssa, saadaan kaavat (438) A = M(L A ; E m E n ) = M(A; E m E n ) Lineaarikuvauksen matriisin ominaisuuksia Olkoot V, V, äärellisulotteisia vektoriavaruuksia Lause 439 Jos S ja T ovat kaksi V :n kantaa, on M(id V ; S T ) = M(S T ) kannanvaihtomatriisi Erityisesti M(id V ; S S) = M(S S) = I n Todistus Koska ehto 433 määrää lineaarikuvauksen matriisin yksikäsitteisesti, seuraa väite siitä, että M(id V ; S T )[v] T = [id V (v)] S = [v] S = M(S T )[v] T v V Lause 4310 Olkoot L : V V ja L : V V lineaarisia, S V :n kanta, S V :n kanta ja S V :n kanta Tällöin M(L L; S S) = M(L ; S S )M(L; S S) Todistus Kuten edellisessäkin lauseessa, väite voidaan todistaa 433:n avulla: ( M(L ; S S )M(L; S S) ) [v] S = M(L ; S S ) ( M(L; S S)[v] S ) 433 = M(L ; S S )[L(v)] S 433 = [L (L(v))] S = [(L 433 L)(v)] S = M(L L; S S)[v] S v V Äskeinen tulos perustuu siis matriisien kertolaskun liitännäisyyteen Seuraus 4311 a) Olkoon L : V V lineaarinen, S ja T kaksi V :n kantaa sekä S ja T kaksi V :n kantaa Silloin M(L; T T ) = M(T S )M(L; S S)M(S T ) b) Olkoon L : V V lineaarinen, ja S ja T kaksi V :n kantaa Tällöin M(L; T T ) = Q 1 M(L; S S)Q, missä Q = M(S T )

16 101 Todistus a) 4310:n nojalla on M(L; T T ) = M(id V L id V ; T T ) = M(id V ; T S )M(L; S S)M(id V ; S T ) = M(T S )M(L; S S)M(S T ) b) on erikoistapaus (a):sta (V = V, S = S ja T = T ) Olkoon L : V V lineaarikuvaus, dim(v ) = n, dim(v ) = m, S V :n kanta ja S V :n kanta Merkitään A = M(L; S S) R m n Silloin A[v] S = [L(v)] S kaikilla v V Siispä v Ker(L) [L(v)] S = 0 A[v] S = 0 [v] S Null(A), v = L(v) Im(L) [v ] S = [L(v)] S On todistettu seuraava lause: [v ] S = A[v] S Col(A) Lause 4312 C S : V R n ja C S : V R m rajoittuvat isomorfismeiksi Ker(L) = Null(A) ja Im(L) = Col(A) Erityisesti dim Im(L) = dim Col(A) = rank(a) Lause 4313 L : V V on isomorfismi m = n ja M(L; S S) R n n on säännöllinen Tällöin M(L 1 ; S S ) = M(L; S S) 1 Todistus = Olkoon L isomorfismi Lauseen 4214 mukaan on m = n Lauseesta 4310 seuraa sitten, että M(L 1 ; S S )M(L; S S) = M(L 1 L; S S) = M(id V ; S S) = I n, ja samoin M(L; S S)M(L 1 ; S S ) = I n = Olkoon m = n ja A = M(L; S S) R n n säännöllinen Lauseen 437 mukaan on olemassa yksikäsitteinen lineaarikuvaus L : V V, jolla M(L ; S S ) = A 1 Nyt M(L L; S S) 4310 = M(L ; S S )M(L; S S) = A 1 A = I n = M(id V ; S S), joten 437:sta seuraa, että L L = id V Samoin L L = id V Näin ollen L on isomorfismi ja L = L 1

17 Lineaarikuvauksen matriisin määrittäminen 102 Olkoon S = (v 1,, v n ) vektoriavaruuden V kanta, S = (v 1,, v m ) vektoriavaruuden V kanta, L : V V lineaarikuvaus ja X = [ x ij ] = M(L; S S) R m n L:n matriisi kantojen S ja S suhteen 435:n mukaan matriisialkiot x ij määräytyvät yksikäsitteisesti ehdoista L(v j ) = m x ij v i, j = 1,, n i=1 Käsittelemme seuraavassa erästä erikoistapausta, jossa alkioiden x ij määritys palautuu eräiden lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisemiseen Laskumenetelmä 4314 Tarkastellaan lineaarikuvausta A : R n R m, v Av, missä A R m n on m n -matriisi Olkoon S = (v 1,, v n ) jokin R n :n kanta ja S = (v 1,, v m ) jokin Rm :n kanta Muodostettava matriisi X = [ x ij ] = M(A; S S) Ratkaisu Muodostetaan matriisi M S = M(E m S ) = [ v 1 v m ] Rm m kuten s 61, missä E m on R m :n luonnollinen kanta Etsityn matriisin X j:s sarake x j = [ x 1j x 2j x mj ] T määräytyy yksikäsitteisesti yhtälöryhmästä M S x j = Av j, ja nämä n yhtälöryhmää (j = 1,, n) voidaan ratkaista yhdellä kertaa, koska jokaisessa on kerroinmatriisina sama (säännöllinen) matriisi M S Kun nimittäin m (m + n) -matriisi [ M S Av 1 Av n ] = [ v 1 v m Av 1 Av n ] muunnetaan alkeisrivitoimituksilla redusoituun porrasmuotoon, tuloksena on kerroinmatriisin säännöllisyyden ansiosta tyyppiä [ I m B ] oleva matriisi, ja tässä B = X Esimerkki 4315 Olkoon [ 1 2 A = 3 2 ] ; v 1 = [ ] 1 R 2, v 1 2 = Muodostettava X = M(A; S S), missä S = (v 1, v 2 ) Ratkaisu Av 1 = [ ] [ ] 1 = 1 [ ] 1, Av 1 2 = [ [ ] 2 R 2 3 ] [ ] 2 = 3 [ ] 8 ; 12 [ ] [ ] 1 2 [ v 1 v Av1 Av 2 ] = [ ] [ ]

18 Siis X = [ ] (Tuloksen saa tietysti suoraankin jos huomaa, että Av 1 = ( 1)v v 2 ja Av 2 = 0 v 1 +4v 2 ; edellisestä yhtälöstä saadaan X:n ensimmäinen ja jälkimmäisestä toinen sarake) Havaitsemme, että 4315:ssa matriisin A (eli lineaarikuvauksen v Av) geometrinen merkitys näkyy helpommin matriisista X = M(A; S S): Kantavektorin v 1 suuntaiset vektorit kuvautuvat vastavektoreikseen ja v 2 :n suuntaiset vektorit venytetään pituudeltaan nelinkertaisiksi Huomautus :n tilanteessa on seurauksen 4311 a) mukaan X = M(S E m )M(A; E m E n )M(E m S) = M 1 S AM S, missä E n on R n :n luonnollinen kanta ja M S = M(E n S) = [ v 1 v n ] Etsitty matriisi X saadaan siis myös, kun muodostetaan käänteismatriisi M 1 S kuten 167:ssä ja lasketaan matriisitulo M 1 S AM S Tämä tapa on yleensä työläämpi kuin 4314:ssä esitetty 103

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus. 1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/310 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

2. REAALIKERTOIMISET VEKTORIAVARUUDET

2. REAALIKERTOIMISET VEKTORIAVARUUDET 30 REAALIKERTOIMISET VEKTORIAVARUUDET 1 Koordinaattiavaruus R n Olkoon n N = {1,, 3, } positiivinen kokonaisluku (luonnollisten lukujen joukko on tällä kurssilla N = {0, 1,, 3, }) Merkitään R n = R n 1

Lisätiedot

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/66 Redusoitu porrasmuoto 1 1 2 4 1 1 4 6 2 2 5 9 1 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 Eli aste r(a) = 2 ja vaakariviavaruuden

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut 2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja

Lisätiedot

(1.1) Ae j = a k,j e k.

(1.1) Ae j = a k,j e k. Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus

Lisätiedot

2.8. Kannanvaihto R n :ssä

2.8. Kannanvaihto R n :ssä 28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Lineaarikuvaukset Lineaarikuvaus Olkoot U ja V

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna

Lisätiedot

Lineaarialgebra II P

Lineaarialgebra II P Lineaarialgebra II 89P Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:.

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104

Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina 7.12. viimeiset demot (12.12. ja 13.12. viimeiset luennot). Torstaina 14.12 on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

sitä vastaava Cliffordin algebran kannan alkio. Merkitään I = e 1 e 2 e n

sitä vastaava Cliffordin algebran kannan alkio. Merkitään I = e 1 e 2 e n Määritelmä 1.1 Algebran A keskus C on joukko C (A) = {a A ax = xa x A}. Lause 1. Olkoon Cl n Cliffordin algebra, jonka generoi joukko {e 1,..., e n }. Jos n on parillinen, niin C (Cl n ) = {λ λ R}. Jos

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

Lineaarikuvauksista ja niiden geometrisesta tulkinnasta

Lineaarikuvauksista ja niiden geometrisesta tulkinnasta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Katri Syvänen Lineaarikuvauksista ja niiden geometrisesta tulkinnasta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Tammikuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi / kertaus

Matemaattinen Analyysi / kertaus Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2. HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2016 Harjoitus 3 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 29.8.2016 klo 13.15. Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2

Lisätiedot

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (1) voidaan esittää

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:

Lisätiedot

Muistutus: Matikkapaja ke Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta yms.

Muistutus: Matikkapaja ke Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta yms. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/139 Ensi viikon luennot salissa X Muistutus: Matikkapaja ke 14-16 Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 25. lokakuuta 2015 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus... 111 16 Aliavaruus... 117 16.1 Vektoreiden

Lisätiedot

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä 7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus Lineaarikuvaus Ominaisarvo 0-68

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus Lineaarikuvaus Ominaisarvo 0-68 SISÄLTÖ Sisältö pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 0-1 2 Sisätuloavaruus 0-20 3 Lineaarikuvaus 0-41 4 Ominaisarvo 0-68 5 Esimerkkejä 0-88 1. Lineaariavaruus eli V 1 Lineaariavaruus

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Lotta Oinonen ja Johanna Rämö 6. joulukuuta 2012 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos 2012 Sisältö 1 Avaruus R n 4 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit.....................

Lisätiedot

1 Tensoriavaruuksista..

1 Tensoriavaruuksista.. 1 Tensoriavaruuksista.. Käydään läpi kirjan (1) sivut 126-133. 19.02.2007 Palautetaaieleen viime kerran tärkeä määritelmä: (kirja, Määr. 5.12). Määritelmä 1.1 Olkoon T vektoriavaruus ja Φ : V 1 V 2 V m

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden

Lisätiedot

Lineaarialgebra (muut ko)

Lineaarialgebra (muut ko) Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/103 Lineaarialgebra (muut ko) Tero Laihonen Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/103 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v

Lisätiedot

LINEAARIALGEBRA A 2016 TOMI ALASTE EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF

LINEAARIALGEBRA A 2016 TOMI ALASTE EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF LINEAARIALGEBRA 83A 6 EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF TOMI ALASTE SISÄLTÖ Sisältö Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 3 Lineaarikuvaus 4 Ominaisarvo 34 5 Esimerkkejä 44 . Lineaariavaruus

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

Vektorien virittämä aliavaruus

Vektorien virittämä aliavaruus Vektorien virittämä aliavaruus Esimerkki 13 Mikä ehto vektorin w = (w 1, w 2, w 3 ) komponenttien on toteutettava, jotta w kuuluu vektoreiden v 1 = (3, 2, 1), v 2 = (2, 2, 6) ja v 3 = (3, 4, 5) virittämään

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 23.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Käytännön asioita Ensimmäiset tehtävät olivat sujuneet hyvin. Kansilehdet on oltava mukana tehtäviä palautettaessa,

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006 Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä

Lisätiedot

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159 Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/159 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 ) Skalaarilla

Lisätiedot

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0 Tensorialgebroista Esitysteorian kesäopintopiiri, Turun yliopisto, 2012 Jyrki Lahtonen Olkoon k jokin skalaarikunta. Kerrataan k-algebran käsite: A on k-algebra, jos se on sekä rengas että vektoriavaruus

Lisätiedot

Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117

Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Seuraava luento ti 31.10 on salissa XXII Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/117 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v

Lisätiedot

1. Lineaarinen yhtälöryhmä ja matriisi

1. Lineaarinen yhtälöryhmä ja matriisi I LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT 1 Lineaarinen yhtälöryhmä ja matriisi Tällä kurssilla käytämme kirjainta K tarkoittamaan reaalilukuja R, kompleksilukuja C tai rationaalilukuja Q (aluksi K = R) Nämä lukujoukot

Lisätiedot

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät 1 1 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT Muotoa 11 Lineaariset yhtälöryhmät (1) a 1 x 1 + a x + + a n x n b oleva yhtälö on tuntemattomien x 1,, x n lineaarinen yhtälö, jonka kertoimet ovat luvut a 1,,

Lisätiedot

Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo

Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Antti Rasila 2016 Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Jos {v 1, v 2,..., v k } on äärellisulotteisen vektoriavaruuden V lineaarisesti riippumaton

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö

Lisätiedot

Laskutoimitusten operaattorinormeista

Laskutoimitusten operaattorinormeista Laskutoimitusten operaattorinormeista Rami Luisto 27. tammikuuta 2012 Tiivistelmä Tässä kirjoitelmassa määrittelemme vektoriavaruuksien väliselle lineaarikuvaukselle normin ja laskemme sen eksplisiittisesti

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1

Lisätiedot

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on? Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä) Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

2 / :03

2 / :03 file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse / 8 76 3:3 Kysymys Pisteet,, Määritellään positiivisten reaalilukujen joukossa R + = {x R x > } yhteenlasku ja skalaarikertolasku seuraavasti:

Lisätiedot

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä 4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia 9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä

Lisätiedot

Differentiaalimuodot

Differentiaalimuodot LUKU 2 Differentiaalimuodot Olkoot A R n ja p A. Vektori pisteessä p on pari (p; v), missä v R n. Pisteeseen p kiinnitetyn vektorin v p := (p; v) ensimmäinen komponentti p on vektorin v p paikkaosa ja

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016 MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 7 Onko kuvaus F : R R, F(x 1,x = (x 1 +x,5x 1, x 1 +6x lineaarinen kuvaus? Jos on, niin määrää sen matriisi luonnollisen kannan suhteen Jos ei ole, niin

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot