Lineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi

Transkriptio

1 Lineaarikuvaukset aiheita ten ten

2 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja olkoon f : L M, u f ( u) kuvaus. f on lineaarinen eli lineaarikuvaus, jos f ( a + b) = f ( a) ˆ+f ( b), a, b L, ja f (λ a) = λˆ f ( a), λ R, a L.

3 2 Esimerkki Jokainen m n- A määrittelee kuvauksen f A : E n E m, u A u. Tämä kuvaus on lineaarinen, sillä f A ( a + b) = A( a + b) = A a + A b = f A ( a) + f A ( b), ja Olkoon f A (λ a) = A(λ a) = λ(a a) = λ f A ( a). ( ) 1 3 A =, a = 2 1 ( a1 a 2 ) ( ), b1 b = b 2 ten Silloin ( ) ( ) ( ) A( a a1 + b b) = 1 1 (a1 + b = 1 ) 3 (a 2 + b 2 ) 2 1 a 2 + b 2 2 (a 1 + b 1 ) + 1 (a 2 + b 2 ) ( ) ( ) a1 3a = 2 b1 3b + 2 = A a + A 2a 1 + a 2 2b 1 + b b 2

4 3 Lause 1 Olkoon f : E n E m, u f ( u) lineaarinen kuvaus. Silloin on olemassa m n- A, jolle f ( v) = A v, v E n. Todistus. Käytetään seuraavassa konstruktiossa vektoreita e k = (δ 1k, δ 2k,..., δ nk ) T. Jos siis esimerkiksi n = 4, niin e 1 = 1, e 2 = 1, e 3 = 1, ja e 4 = 1 ten

5 4 Muodostamme n A siten, että sen k:s sarake on f ( e k ) = a k. Olkoon nyt v = (v 1, v 2,..., v n ) T E n mikä tahansa vektori. Suora lasku osoittaa, että f ( v) = f (v 1 e 1 + v 2 e v n e n ) = v 1 f ( e 1 ) + v 2 f ( e 2 ) + + v n f ( e n ) ten = v 1 a 1 + v 2 a v n a n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n = a m1 a m2 a mn v 1 v 2.. v n = A v

6 5 Huomaa, että edellinen lause koskee vain Euklidisia vektoriavaruuksia E n. Syy on tietenkin se, että esimerkiksi funktioavaruuksien tapauksessa funktion kertominen lla ei ole hyvin määritelty. Sen jälkeen, kun kanta ja dimensio on määritelty, voidaan väite yleistää äärellisulotteisille lineaariavaruuksille. ten

7 6 Esimerkki: Lineaarikuvauksesta f : R 3 R 2 tiedetään kolme arvoa 1 f = ( ) 2, f = ( ) 1, f = 1 ( ) 4 2 ten n ensimmäinen sarake on 1 ( ) a 1 = f 2 = 5

8 7 n toinen sarake on 2 1 a 2 = f 1 = f = f 1 2 f ( ) ( ) ( ) = 2 = ten

9 8 n kolmas sarake on a 3 = f = f = f 2 2 f 1 + f 1 ( ) ( ) ( ) ( ) = 2 + = ten ja kuvauksen on siis A = ( ( ) ) a 1 a 2 a 3 =

10 9 Tarkistus ( ( ( ) 1 = ) 2 1 = ) 3 2 = 1 ( ) 2 5 ( ) 1 3 ( ) 4 2 Ok Ok Ok ten

11 ten 1 Lause 2 Kahdesta lineaarikuvauksesta yhdistämällä saatu yhdistetty kuvaus on myös lineaarikuvaus. Todistus. HT. ten Lause 3 Jos f : L M on lineaarikuvaus, niin f ( ) =. Todistus. f ( ) = f ( ) = f ( ) =.

12 11 Esimerkki. Olkoon a = (a 1 a 2 a 3 ) T R 3 vektori. Kuvaus on lineaarinen kuvaus. Perustelu: i j k a x = a 1 a 2 a 3 x 1 x 2 x 3 f : R 3 R 3, x a x = + i(a 2 x 3 a 3 x 2 ) j(a 1 x 3 a 3 x 1 ) + k(a 1 x 2 a 2 x 1 ) a 2 x 3 a 3 x 2 a 3 a 2 x 1 = a 3 x 1 a 1 x 3 = a 3 a 1 x 2 a 1 x 2 a 2 x 1 a 2 a 1 x 3 ten

13 12 Kierto kulman α verran origon ympäri. Määritellään, että piste w = r α ( z) on yhtä kaukana origosta kuin z, mutta sen paikkavektorin ja x-akselin välinen kulma on α:n verran suurempi kuin vastaava pisteeseen z liittyvä kulma. ( ) ( ) x r cos ϕ Jos alkukuva on piste = y r sin ϕ niin trigonometristen kaavojen avulla saamme välittömästi ( u v ) ( ) ( ) r cos(α + ϕ) r cos α cos ϕ r sin α sin ϕ = = r sin(α + ϕ) r sin α cos ϕ + r cos α sin ϕ ( ) ( ) ( ) x cos α y sin α cos α sin α x = = x sin α + y cos α sin α cos α y ten Kierto origon ympäri on siis lineaarinen kuvaus!

14 13 Siirto matkan d verran. Siirto s : E 2 E 2, z z + d ei ole lineaarikuvaus, sillä s( ). ten Siis: kierto origon ympäri on lineaarinen kuvaus, mutta siirto ei ole lineaarinen kuvaus.

15 14 Kohtisuora projektio aliavaruuteen. Olkoon { v 1, v 2,..., v n } vektoreita, V niistä muodostettu ja L = Span(V ) v-vektoreiden virittämä aliavaruus. Jaetaan vektori a kahteen osaan ten a = a V + a siten, että a V Span(V ) ja a v k, k.

16 15 Määritelmä Olkoon f : L 1 L 2 lineaarikuvaus. Sanomme, että L 1 on kuvauksen lähtöavaruus (engl. domain) ja L 2 on kuvauksen maaliavaruus (engl. codomain). ydin (engl. kernel) on joukko ker(f ) = { u L 1 f ( u) = } L1. ten kuva (engl. range) on joukko ran(f ) = { w L 2 f ( u) = w jollakin u L 1 } L 2. on siis eräänlainen nollakohtien joukko ja kuva on täsmälleen se mitä peruskurssilla jo on määritelty kuvauksen kuvaksi.

17 16 ten Lause 4 Olkoon f : L 1 L 2 lineaarikuvaus. ydin ker(f ) on L 1 :n lineaarinen aliavaruus, ja kuva ran(f ) on L 2 :n lineaarinen aliavaruus. Todistus. HT.

18 17 Samoista asioista käytetään hieman erilaisia merkintöjä, kun lineaarikuvaus on n määräämä Euklidisten lineaariavaruuksien välinen kuvaus. Määritelmä Olkoon f : E n E m, f ( u) = A u lineaarikuvaus. Tämän kuvauksen ydin on n A ydin (tai nolla-avaruus) (engl. null space) ten null(a) = { u E n A u = } Kuvauksen kuva on n A kuva (tai sarake-avaruus) (engl. column space) col(a) = { v E m A u = v, jollakin u E n }

19 18 Lause 5 Matriisi A on vapaa, eli lineaarisesti riippumaton (sen sarakkeet muodostavat lineaarisesti riippumattoman vektorijoukon) jos ja vain, jos sen ydin on triviaali. Perustelu: Se että Matriisin sarakkeet muodostavat lineaarisesti riippumattoman joukon, merkitsee sitä ettei ole olemassa ei-triviaalia vektoria x, jolle ten A x =. Tämä taas tarkoittaa sitä, että ytimessä on vain nolla-vektori.

20 19 Lause 6 Matriisi A on vapaa jos ja vain, jos A T A on vapaa. Perustelu: Osoitamme, etta matriiseilla on samat ytimet Ker(A) = Ker(A T A). Ker(A) Ker(A T A) ten x Ker(A) A x = A T A x = x Ker(A T A). Ker(A T A) Ker(A) x Ker(A T A) A T A x = x T A T A x = (A x) T A x = A x =

21 2 Matriisin ytimen määrittäminen on hieman mutkikas tehtävä, mutta se perustuu tuttuun tekniikkaan, joten esitämme esimerkin. Esimerkki Olkoon tutkittavana 4 6- M = ten Määritämme n ytimen. On siis löydettävä kaikki yhtälön M x = ratkaisut. Sitä varten alamme ratkaista tätä yhtälöryhmää. Käytämme rivioperaatioita algortmi-version II mukaisesti, ja aina kun pivotointi epäonistuu, jätämme sarakkeen paikalleen ja jatkamme pivotointia seuraavasta sarakkeesta.

22 21 [1] ten (1) [1] (1) (1) [ 2]

23 22 (1) (1) ( 2) 2 1 [4] (1) 1 1 (1) 1 1 (1) 1 (1) +1/2 1/4 : 4 ten : ( 2) Siirretään kolmas ja viides sarake RHS:iin ja kirjoitetaan yhtälöt yhtälöiksi. Lisätään yhtälöihin kaksi triviaalia yhtälöä x 3 = x 3 ja x 5 = x 5.

24 23 (1) 1 1 (1) 1 1 (1) 1 (1) x 1 = x 3 x 5 x 2 = x 3 x 5 x 3 = x 3 x 4 = x 5 x 5 = x 5 x 6 = ten

25 24 Jos valitsemme arvot x 3 = a R ja x 5 = b R, niin ytimeen kuuluvalle vektorille x saadaan esitys x = a b = a u 1 + b u 2 ten Koska a ja b voidaan valita vapaasti, kuuluvat kaikki mahdolliset vektoreiden u 1 ja u 2 lineaarikombinaatiot n M ytimeen. Siis null(m) = span{ u 1, u 2 }.