Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Transkriptio

1 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22

2 Käytännön asioita Ensimmäiset tehtävät olivat sujuneet hyvin. Kansilehdet on oltava mukana tehtäviä palautettaessa, myös sähköisesti palauttavilla. Kansilehden on oltava päällimmäisenä, selvästi luettavissa. Sähköisesti palauttavien on laitettava kansilehden tiedot myös viestikenttään. Rehellinen ja ainakin joitakin tuloksia tuottanut työskentely tehtävän parissa riittää merkintään, mutta jos et ole päässyt lainkaan eteenpäin, älä merkitse tehtävää tehdyksi. Kysy ohjauksissa apua, jos jäät jumiin., 2/22

3 Kertausta: Gaussin Jordanin menetelmä 1. Kirjoita yhtälöryhmän matriisi. 2. Muuta matriisi alkeisrivitoimituksilla porrasmatriisiksi. 3. Muuta porrasmatriisi redusoiduksi porrasmatriisiksi. 4. Lue ratkaisut redusoidusta porrasmatriisista., 3/22

4 Kertausta: Redusoidun porrasmatriisin tulkinta Jos jokin viimeisistä riveistä on [0 0 1], yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. Muussa tapauksessa Jos jossakin sarakkeessa (pystyviivan vasemmalla puolella) ei ole johtavaa alkiota, sitä vastaa vapaa muuttuja. Ratkaisuja on ääretön määrä. Jos kaikissa sarakkeissa (pystyviivan vasemmalla puolella) on johtava alkio, ratkaisu on yksikäsitteinen ja luettavissa suoraan matriisista., 4/22

5 Kertaus: Aliavaruusesimerkki Kuuluuko vektori w = ( 2, 3, 2, 1) vektoreiden v 1 = (0, 1, 2, 1), v 2 = (2, 0, 1, 1) ja v 3 = (4, 2, 2, 0) virittämään aliavaruuteen? Toisin sanoen: onko yhtälöryhmällä 2x 2 + 4x 3 = 2 x 1 + 2x 3 = 3 2x 1 + x 2 + 2x 3 = 2 x 1 x 2 = 1 ratkaisua?, 5/22

6 Kertausta: Aliavaruusesimerkin ratkaisu Yhtälöryhmää vastaava redusoitu porrasmatriisi on Yhtälöryhmällä ei ole ratkaisuja. Vastaus kysymykseen: vektori ei kuulu aliavaruuteen., 6/22

7 Demoja Montako ratkaisua yhtälöryhmällä on? Kysytään WolframAlphalta! Paperilla laskettaessa porrasmuoto usein riittää., 7/22

8 Esimerkki Millä ehdolla vektori w = (w 1, w 2, w 3 ) kuuluu vektoreiden v 1 = (3, 2, 1), v 2 = (2, 2, 6) ja v 3 = (3, 4, 5) virittämään aliavaruuteen span( v 1, v 2, v 3 ). Tutkitaan, milloin yhtälöllä x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 = w on ratkaisuja. Saadaan yhtälöryhmä 3x 1 + 2x 2 + 3x 3 = w 1 2x 1 2x 2 + 4x 3 = w 2 x 1 + 6x 2 5x 3 = w 3, 8/22

9 Esimerkki jatkuu Muokataan yhtälöryhmää vastaava matriisi porrasmatriisiksi: w w 2 + 2w w 1 2w 2 w 3 Matriisista nähdään, että yhtälöryhmällä on ratkaisuja, jos ja vain jos w 1 2w 2 w 3 = 0., 9/22

10 Luentotehtävä 1 Osoite: m.socrative.com Tarkastellaan R 2 :n suoria, jotka ovat siis muotoa { p + t v t R}. Mikä seuraavista väitteistä ei voi pitää paikkaansa? A Kahdella eri suoralla on sama paikkavektori. B Kahdella eri suoralla on eri suuntavektorit, mutta ei yhtään yhteistä pistettä. C Kahdella eri suoralla on sama paikkavektori, mutta ei yhtään yhteistä pistettä. D Kahden eri suoran suuntavektorit ovat yhdensuuntaiset., 10/22

11 Luentotehtävä 2 Erästä yhtälöryhmää vastaa seuraava matriisi: k 2 1 k Millä k:n arvoilla yhtälöryhmällä on (ainakin yksi) ratkaisu? A vain arvolla 1 B vain arvolla 1 C millä tahansa arvolla D ei millään arvolla E en tiedä, 11/22

12 Vektoriavaruuden virittäjät Mikä tahansa vektorijoukko virittää jonkin aliavaruuden. Toisinaan on annettu aliavaruus, ja halutaan tietää, virittävätkö jotkin tietyt vektorit kyseisen aliavaruuden. Erityisesti joskus on kiinnostavaa, virittävätkö annetut vektorit koko vektoriavaruuden R n., 12/22

13 Esimerkki Merkitään ē 1 = (1, 0) ja ē 2 = (0, 1). Osoitetaan, että ē 1 ja ē 2 virittävät avaruuden R 2., 13/22

14 Osoitetaan, että vektorit Esimerkki ū 1 = (1, 1, 0), ū 2 = (1, 0, 1), ū 3 = (0, 1, 1) ja ū 4 = ( 2, 1, 1) virittävät avaruuden R 3. Oletetaan, että w = (w 1, w 2, w 3 ) R 3. On selvitettävä, onko olemassa lukuja x 1, x 2, x 3, x 4 R, joille pätee x 1 ū 1 + x 2 ū 2 + x 3 ū 3 + x 4 ū 4 = w. Saadaan yhtälöryhmä, jonka matriisi on w w w 3, 14/22

15 Esimerkki jatkuu Alkeisrivitoimituksilla (esim. Maplen avulla) saadaan redusoitu porrasmatriisi (w 1 + w 2 w 3 ) (w 1 w 2 + w 3 ) ( w 1 + w 2 + w 3 ) Ratkaisuja on joka tapauksessa useita! Tarkastellaan vaikkapa vektoria w = (1, 2, 3). Nyt yleinen ratkaisu on x 1 = t, x 2 = 1+t, x 3 = 2 2t, x 4 = t, missä t R., 15/22

16 Esimerkki jatkuu Jos esimerkiksi valitaan t = 1, saadaan ratkaisu w = ū 1 + 2ū 2 + ū 4. Jos taas valitaan t = 2, saadaan ratkaisu w = 2ū 1 + 3ū 2 2ū 3 + 2ū 4. Seuraavana tavoitteena on löytää sellainen virittäjäjoukko, että aliavaruuden vektorit voidaan ilmaista virittäjävektorien lineaarikombinaationa täsmälleen yhdellä tavalla., 16/22

17 Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 + +c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Jos jono ei ole vapaa, sanotaan, että se on sidottu tai lineaarisesti riippuva., 17/22

18 Esimerkki Merkitään ē 1 = (1, 0) ja ē 2 = (0, 1). Onko avaruuden R 2 jono (ē 1, ē 2 ) vapaa?, 18/22

19 Esimerkki Merkitään w 1 = (2, 1) ja w 2 = ( 4, 2). Onko avaruuden jono ( w 1, w 2 ) vapaa?, 19/22

20 Esimerkki Merkitään v 1 = (1, 2), v 2 = ( 3, 1) ja v 3 = ( 1, 1). Tutkitaan, onko jono ( v 1, v 2, v 3 ) vapaa vai sidottu., 20/22

21 Esimerkki jatkuu [ ] [ ] R 2 2R [ ] [ ] 1 5 R R 1 +3R / / /5 0, 21/22

22 5 v 3 v3 v 1 4 v 1 v 2 3 v 2, 22/22