Vektorit, suorat ja tasot

Transkriptio

1 , suorat ja tasot 1 / 22

2 Koulussa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä (x 1, x 2 ). Jos vektorin suuntaa tai suuruutta muutetaan, niin loppupiste (x 1, x 2 ) muuttuu, joten eri vektoreita vastaa eri piste (x 1, x 2 ). Kääntäen, jokainen tason pistepari (x 1, x 2 ) määrää vektorin yllä olevalla tavalla. Täten tason vektorit voidaan samaistaa tason R 2 = {(x 1, x 2 ) x 1, x 2 R} kanssa. 2 / 22

3 Vektorit x = (x 1, x 2 ) ja y = (y 1, y 2 ) lasketaan yhteen laittamalla ne peräkkäin. Summavektorin x + y ensimmäinen koordinaatti on x 1 + y 1 ja toinen koordinaatti on x 2 + y 2. Siis (x 1, x 2 ) + (y 1, y 2 ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ). 3 / 22

4 Vektori x = (x 1, x 2 ) kerrotaan luvulla λ > 0 siten, että vektorin suunta säilyy ja pituus tulee kerrotuksi luvulla λ. Yhdenmuotoisia kolmioita hyväksi käyttäen voidaan osoittaa, että λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, λx 2 ). Merkitään λ (x 1, x 2 ) = (y 1, y 2 ). Koska suunta ei muutu, niin y 2 y 1 = x 2 x 1 eli y 2 = x 2 x 1 y 1. Nyt y 1 = tx 1 jollekin t R, joten y 2 = x 2 x 1 tx 1 = tx 2. Siis λ (x 1, x 2 ) = (tx 1, tx 2 ) jollekin t > 0. Koska vektorin λ (x 1, x 2 ) pituus on λ kertaa vektorin (x 1, x 2 ) pituus, saadaan Pythagoraan lauseesta t 2 x1 2 + t2 x2 2 = λ2 (x1 2 + x 2 2) eli t 2 = λ 2, joten t = λ. Siis λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, λx 2 ). Tämä pätee myös kun λ 0. Siinä tapauksessa vektorin suunta kääntyy vastakkaiseksi. 4 / 22

5 Määritelmä 1 Olkoon n N = {1, 2, 3,...}. Jono x = (x 1, x 2,..., x n ), missä x 1, x 2,..., x n R, on n-ulotteinen tai n-komponenttinen vektori. Kaikkien n-ulotteisten vektorien joukko on avaruus R n, ts. R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R}. Vektorit x, y R n ovat samat, jos kaikilla i = 1,..., n. x i = y i 5 / 22

6 Esimerkki 1 Olkoot x = (2a + 3b + 5c, a 3c, 5b 3c) R 3 ja y = (10, 2, 2) R 3. Vektoriyhtälö x = y vastaa yhtälöryhmää 2a + 3b + 5c = 10 a 3c = 2 5b 3c = 2. 6 / 22

7 Määritelmä 2 Olkoot x = (x 1,... x n ), y = (y 1,..., y n ) R n ja λ R. Tällöin x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ) R n ja λx = (λx 1, λx 2,..., λx n ) R n. Esimerkki 2 Olkoot x = (1, 4, 2, 6) ja y = (4, 2, 8, 2).Tällöin x + y = (1 + 4, 4 + 2, 2 + 8, 6 + 2) = (5, 6, 10, 8) ja 3y = (3 4, 3 2, 3 8, 3 2) = (12, 6, 24, 6). 7 / 22

8 Lause 1 Olkoot x, y, z R n ja λ, µ R.Tällöin (a) x + y = y + x (vaihdannaisuus) (b) x + (y + z) = (x + y) + z (liitännäisyys) (c) on olemassa nollavektori 0 = (0,..., 0) R n ja x + 0 = x (d) on olemassa vastavektori x = 1 x R n ja x + ( x) = 0 (e) λ(µx) = (λµ)x (f) 1 x = x (g) (λ + µ)x = λx + µx (h) λ(x + y) = λx + λy (osittelulait). 8 / 22

9 Todistus. Olkoot x = (x 1,... x n ), y = (y 1,..., y n ) R n ja λ R. Todistetaan (a). Nyt x + y = (x 1,..., x n ) + (y 1,..., y n ) = (x 1 + y 1,..., x n + y n ) = (y 1 + x 1,..., y n + x n ) = (y 1,..., y n ) + (x 1,..., x n ) = y + x. Todistetaan (c). Selvästi vektori 0 = (0,..., 0) R n. Nyt x + 0 = (x 1,..., x n ) + (0,..., 0) = (x 1 + 0,..., x n + 0) = (x 1,..., x n ) = x. 9 / 22

10 Todistus. Todistetaan (d). Nyt ja x = 1 x = 1 (x 1,..., x n ) = ( 1 x 1,..., 1 x n ) = ( x 1,..., x n ) R n x + ( x) = (x 1,... x n ) + ( x 1,..., x n ) = (x 1 x 1,..., x n x n ) = (0,..., 0) = / 22

11 Todistus. Todistetaan (e). Nyt λ(µx) = λ(µ(x 1,..., x n )) = λ(µx 1,..., µx n ) = (λ(µx 1 ),..., λ(µx n )) = (λµx 1,..., λµx n ) = λµ(x 1,..., x n ) = λµx. Todistetaan (f). Nyt 1 x = (1 x 1,... 1 x n ) = (x 1,..., x n ) = x. 11 / 22

12 Todistus. Todistetaan (h). Nyt λ(x + y) = λ ( (x 1,..., x n ) + (y 1,..., y n ) ) = λ(x 1 + y 1,..., x n + y n ) = ( λ(x 1 + y 1 ),..., λ(x n + y n ) ) = (λx 1 + λy 1,..., λx n + λy n ) = (λx 1,..., λx n ) + (λy 1,..., λy n ) = λ(x 1,..., x n ) + λ(y 1,..., y n ) = λx + λy. Jätetään kohdat (b) ja (g) harjoitustehtäviksi. 12 / 22

13 Huomautus 1 Edellisen lauseen (d)-kohdan nojalla jokaisella vektorilla y R n on vastavektori y R n. Otetaan käyttöön lyhennysmerkintä x y := x + ( y). Määritelmä 3 Vektoreiden u = (u 1,..., u n ) R n ja v = (v 1,..., v n ) R n pistetulo on u v = u 1 v 1 + u 2 v u n v n. Esimerkki 3 Vektoreiden u = (1, 2, 3) ja v = (5, 3, 2) pistetulo on u v = = / 22

14 Määritelmä 4 Vektorit u R n ja v R n ovat ortogonaaliset eli kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos u v = 0. Esimerkki 4 Vektorit u = (1, 2, 3) ja v = (2, 1, 0) ovat ortogonaaliset, sillä u v = = = / 22

15 Suorat Määritelmä 5 Avaruuden R n, n = 2, 3, suora on joukko {u + rv r R}, missä u R n ja v R n \{0}. Tätä suoran esitystä kutsutaan suoran vektoriesitykseksi. Vektoria u kutsutaan paikkavektoriksi ja vektoria v suuntavektoriksi. 15 / 22

16 Suorat Esimerkki 5 Olkoot x = (4, 3) ja y = ( 1, 2) avaruuden R 2 pisteitä. Määrätään niiden kautta kulkeva suora muodossa {u + kv k R}. Valitaan paikkavektoriksi u = ( 1, 2). Suoran suuntainen vektori on esimerkiksi v = y + x = ( 1, 2) + (4, 3) = (5, 5). Täten suora voidaan esittää muodossa {( 1, 2) + k(5, 5) k R}. y = ( 1, 2) x = (4, 3) 16 / 22

17 Suorat Avaruuden R 2 suora voidaan esittää myös muodossa ax 1 + bx 2 + c = 0, missä a, b, c R ja vähintään toinen luvuista a tai b on nollasta eroava. 17 / 22

18 Suorat Olkoon u = (x 0 1, x 0 2 ) avaruuden R2 suoran piste ja olkoon n = (a, b) (0, 0) suoraa L vastaan kohtisuora vektori eli normaalivektori. Tällöin x = (x 1, x 2 ) kuuluu suoralle L jos ja vain jos vektorit n ja x u ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli n (x u) = (a, b) (x 1 x 0 1, x 2 x 0 2 ) = a(x 1 x 0 1 ) + b(x 2 x 0 2 ) = 0. Tämä yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa ax 1 + bx 2 + c = 0, missä c = ax 0 1 bx 0 2. Jos b 0 (vastaavasti a 0), niin x 2 = a b x 1 c b. Tämä on siis x 1 x 2 -koordinaatistossa olevan suoran yhtälö, joka leikkaa x 2 -akselin kohdassa c b ja jonka kulmakerroin on a b. 18 / 22

19 Ennakkotehtävä seuraavalle luentokerralle Tehtävä Ratkaise yhtälöparit a) { x1 2x 2 = 1 x 1 + 3x 2 = 3 b) { x1 2x 2 = 1 x 1 + 2x 2 = 3 { x1 2x 2 = 1 c). x 1 + 2x 2 = 1 Tulkitse ratkaisut geometrisesti. 19 / 22

20 Tasot Määritelmä 6 Avaruuden R 3 taso on joukko {u + sv + tw s, t R}, missä u R 3 ja v, w R 3 \{0} ja vektorit v ja w eivät ole yhdensuuntaiset. Vektoria u kutsutaan paikkavektoriksi ja vektoreita v ja w suuntavektoreiksi. 20 / 22

21 Tasot x = (x 1, x 2, x 3 ) u w v O Kuva: Piste x on paikkavektorin u ja suuntavektoreiden v ja w määräämässä tasossa. 21 / 22

22 Tasot Paikkavektoriksi voidaan valita mikä tahansa tason piste, ja suuntavektoreiksi voidaan valita mitkä tahansa nollasta eroavat tason suuntaiset vektorit, jotka eivät ole yhdensuuntaiset. Kuten suoralle, myös tasolle on erilaisia esitystapoja. Taso avaruudessa R 3 on myös sellaisten pisteiden (x 1, x 2, x 3 ) R 3 joukko, jotka toteuttavat yhtälön ax 1 + bx 2 + cx 3 + d = 0, missä a, b, c, d R ja ainakin yksi luvuista a, b, c on nollasta eroava. Tätä yhtälöä kutsutaan tason skalaariyhtälöksi. 22 / 22