Vastaavasti, jos vektori kerrotaan positiivisella reaaliluvulla λ, niin

Transkriptio

1 1 / 14

2 Lukiossa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Tarkastellaan aluksi tason vektoreita (R 2 ). Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä (x 1, x 2 ) (lukiossa puhuttiin paikkavektorista). Jos vektorin suuntaa tai suuruutta muutetaan, niin loppupiste (x 1, x 2 ) muuttuu, joten eri vektoreita vastaa eri piste (x 1, x 2 ). Kääntäen, jokainen tason pistepari (x 1, x 2 ) määrää vektorin yllä olevalla tavalla. Täten tason vektorit voidaan samaistaa tason kanssa. R 2 = {(x 1, x 2 ) x 1, x 2 R} 2 / 14

3 Miten vektoreita lasketaan yhteen? x = (x 1, x 2 ) ja y = (y 1, y 2 ) lasketaan yhteen niin, että summavektorin x + y ensimmäinen koordinaatti on x 1 + y 1 ja toinen koordinaatti on x 2 + y 2. Siis (x 1, x 2 ) + (y 1, y 2 ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ). Miten tämä näkyy kuvaajassa? Vektoreiden yhtenlasku on sama asia kuin että yhteenlaskettavat vektorit laitetaan peräkkäin ja yhteenlaskun tulos on se piste (vektori) johon päädytään. 3 / 14

4 Miten vektoreita kerrotaan reaaliluvulla? Vektori x = (x 1, x 2 ) kerrotaan positiivisella kokonaisluvulla k siten, että lasketaan vektoreita x k kappaletta yhteen. Tällöin k (x 1, x 2 ) = (kx 1, kx 2 ). Vektorin suunta säilyy näin samana ja pituus tulee kerrotuksi luvulla k. Vastaavasti, jos vektori kerrotaan positiivisella reaaliluvulla λ, niin λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, λx 2 ). Tämä voidaan osoittaa yhdenmuotoisten kolmioiden avulla. Jos vektori kerrotaan luvulla 1, niin vektorin suunta kääntyy vastakkaisesti, mutta vektorin pituus pysyy samana. Tämän nojalla, kun reaaliluku λ 0, pätee myös λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, λx 2 ). 4 / 14

5 Tarkastellaan seuraavaksi vektoreita yleisemmin. Määritelmä 1 Olkoon n N = {1, 2, 3,...}. Jono x = (x 1, x 2,..., x n ), missä x 1, x 2,..., x n R, on n-ulotteinen tai n-komponenttinen vektori. Kaikkien n-ulotteisten vektorien joukko on avaruus R n, ts. R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R}. x, y R n ovat samat, jos kaikilla i = 1,..., n. x i = y i 5 / 14

6 Esimerkki 1 Olkoot x = (2a + 3b + 5c, a 3c, 5b 3c) R 3 ja y = (10, 2, 2) R 3. Vektoriyhtälö x = y vastaa yhtälöryhmää 2a + 3b + 5c = 10 a 3c = 2 5b 3c = 2. 6 / 14

7 Vektoreiden laskutoimitukset määritellään seuraavasti: Määritelmä 2 Olkoot x = (x 1,... x n ), y = (y 1,..., y n ) R n ja λ R. Tällöin x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ) R n ja λx = (λx 1, λx 2,..., λx n ) R n. Esimerkki 2 Olkoot x = (1, 4, 2, 6) ja y = (4, 2, 8, 2).Tällöin x + y = (1 + 4, 4 + 2, 2 + 8, 6 + 2) = (5, 6, 10, 8) ja 3y = (3 4, 3 2, 3 8, 3 2) = (12, 6, 24, 6). 7 / 14

8 Vektoreilla on voimassa seuraavat ominaisuudet: Lause 1 Olkoot x, y, z R n ja λ, µ R.Tällöin (a) x + y = y + x (vaihdannaisuus) (b) x + (y + z) = (x + y) + z (liitännäisyys) (c) on olemassa nollavektori 0 = (0,..., 0) R n ja x + 0 = x (d) on olemassa vastavektori x = 1 x R n ja x + ( x) = 0 (e) λ(µx) = (λµ)x (f) 1 x = x (g) (λ + µ)x = λx + µx (osittelulaki) (h) λ(x + y) = λx + λy (osittelulaki). 8 / 14

9 Todistus. Olkoot x = (x 1,... x n ), y = (y 1,..., y n ) R n ja λ R. Todistetaan (a). Nyt x + y = (x 1,..., x n ) + (y 1,..., y n ) = (x 1 + y 1,..., x n + y n ) = (y 1 + x 1,..., y n + x n ) = (y 1,..., y n ) + (x 1,..., x n ) = y + x. Todistetaan (c). Selvästi vektori 0 = (0,..., 0) R n. Nyt x + 0 = (x 1,..., x n ) + (0,..., 0) = (x 1 + 0,..., x n + 0) = (x 1,..., x n ) = x. 9 / 14

10 Todistus. Todistetaan (d). Nyt ja x = 1 x = 1 (x 1,..., x n ) = ( 1 x 1,..., 1 x n ) = ( x 1,..., x n ) R n x + ( x) = (x 1,... x n ) + ( x 1,..., x n ) = (x 1 x 1,..., x n x n ) = (0,..., 0) = / 14

11 Todistus. Todistetaan (e). Nyt λ(µx) = λ(µ(x 1,..., x n )) = λ(µx 1,..., µx n ) = (λ(µx 1 ),..., λ(µx n )) = (λµx 1,..., λµx n ) = λµ(x 1,..., x n ) = λµx. Todistetaan (f). Nyt 1 x = (1 x 1,... 1 x n ) = (x 1,..., x n ) = x. 11 / 14

12 Todistus. Todistetaan (h). Nyt λ(x + y) = λ ( (x 1,..., x n ) + (y 1,..., y n ) ) = λ(x 1 + y 1,..., x n + y n ) = ( λ(x 1 + y 1 ),..., λ(x n + y n ) ) = (λx 1 + λy 1,..., λx n + λy n ) = (λx 1,..., λx n ) + (λy 1,..., λy n ) = λ(x 1,..., x n ) + λ(y 1,..., y n ) = λx + λy. Jätetään kohdat (b) ja (g) harjoitustehtäviksi. 12 / 14

13 Huomautus 1 Edellisen lauseen (d)-kohdan nojalla jokaisella vektorilla y R n on vastavektori y R n. Otetaan käyttöön lyhennysmerkintä x y := x + ( y). Määritelmä 3 Vektoreiden u = (u 1,..., u n ) R n ja v = (v 1,..., v n ) R n pistetulo on u v = u 1 v 1 + u 2 v u n v n. Esimerkki 3 Vektoreiden u = (1, 2, 3) ja v = (5, 3, 2) pistetulo on u v = = / 14

14 Määritelmä 4 u R n ja v R n ovat ortogonaaliset eli kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos u v = 0. Esimerkki 4 u = (1, 2, 3) ja v = (2, 1, 0) ovat ortogonaaliset, sillä u v = = = / 14