MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

Transkriptio

1 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + <, c) d) > + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) , b) n n, c) , d) n.. Määritä lausekkeiden arvot 4 a) (l), b) l= 5 ( )k, c) k= j= Millä reaaliluvun arvoilla a) =, b) 7 =, c) = 5, d) 5 < 4, e), f) 4 >? 5. a) Osoita, että (a + b) ab kaikilla a, b. b) Sievennä () ( ) 8( ) (4 ). 6. Osoita, että + y, kun ja y. 7. Olkoon z = i ja w = 4 i. Laske z + w, z w, w, zw, iw, w, w, z w ja w. 8. Vektorit v = i j + k, v = i + j k, v = i + j k ovat lineaarisesti riippumattomia ja muodostavat siten vektoriavaruuden R kannan. Määrää vektorin u = (4,, 4) koordinaatit tämän kannan suhteen. 9. a) Olkoot A(,, ), B(,, ) ja C(,, 5) avaruuden R pisteitä. Laske AB AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja AC välinen kulma radiaaneina. b) Tutki, ovatko vektorit u 4 v ja u + v kohtisuorassa toisiaan vastaan, kun tiedetään, että u = ja v = sekä u v = 4.. Määrää reaaliluvut s ja t siten, että u v = 5 i + 5 k, kun u = 4 i + s j t k ja v = s i + j + s k. Totea, että tällöin u = v.. Kolmion kärjet ovat pisteissä A(,, ), B(,, ) ja C(,, ). Laske kolmion pinta-ala vektoritulon avulla.. a) Määrää sen suoran vektorimuotoinen parametriesitys, joka kulkee pisteiden A(,, ) ja B(,, ) kautta. Missä pisteessä suora leikkaa z-tason? Tutki, onko piste Q(4, 5, 5) tämän suoran piste. b) Olkoot l : p = a + t u = (,, ) + t(,, ), t R, ja l : r = b + s v = (,, ) + s(,, ), s R, kaksi suoraa. Määrää suorien leikkauspiste sekä sen suoran vektorimuotoinen parametriesitys, joka kulkee suorien leikkauspisteen kautta ja jonka suuntavektori on kohtisuorassa suorien l ja l suuntavektoreita u ja v vastaan.. Määrää vektoritulon avulla pisteen P (,, ) etäisyys suorasta l : p = (,, 5) + t(,, ), t R. 4. Määrää pisteiden A(, 7, ), B(4,, ) ja C(, 4, ) kautta kulkevan tason vektorimuotoinen parametriesitys ja yhtälö normaalimuodossa a + by + cz + d =.

2 5. Määrää tason T : p = a + s u + t v = (,, ) + s(,, ) + t(,, ), s, t R, ja suoran l : r = b + m w = (,, ) + m(,, ), m R, leikkauspiste sekä pisteen P (,, ) etäisyys tasosta T. 6. a) Osoita, että pisteen P (, y, z ) etäisyys tasosta T : a + by + cz + d = voidaan laskea kaavasta a + by + cz + d. a + b + c b) Määrää piste P -akselilta siten, että sen etäisyys tasoista T : 6y + 5z + = ja T : + y z = on yhtä suuri. 7. Määritteleekö yhtälö a) y =, b) y =, c) y = + y:n :n funktiona? Hahmottele kuvaajat. 8. Määrää funktion f määritysjoukko, kun a) f() = + 4, b) f() = 9 +, c) f() = a) Olkoot f ja g funktioita, joille f() = ja g() =. Määrää funktiot f + g, fg ja f g määritysjoukkoineen M f+g, M fg ja M f. g b) Olkoon f() = funktio, jonka määritysjoukko M f = [, [. Olkoon edelleen g() = 4 5 funktio, jonka määritysjoukko M g = [6, [. Määrää yhdistetyt funktiot f g, g f ja f f määritysjoukkoineen M f g, M g f ja M f f.. Tutki funktion f parillisuus/parittomuus, kun a) f() = +, b) f() = +, c) f() = +, d) f() =, e) 5 f() = 5 +,.. Määritä funktion f perusjakso, kun a) f() = cos(7), b) f() = sin(), c) f() = tan(5).. Mikä on funktion f käänteisfunktio f määritysjoukkoineen M f, kun a) f() = 4 +, 4, b) f() = +, 6, c) f() = ,?. a) Olkoot, y > reaalilukuja. Sievennä 4 ln( ) 9 ln( y) + ln( y ). b) Millä reaaliluvun arvoilla lauseke ln( + 9 ) on määritelty? Määritä kurssin kaavakokoelman taulukon avulla a) arc sin( ), b) arc cos( ), c) arc tan( ).

3 5. Laske raja-arvot a) lim, b) lim 6 ( ), c) lim + 6 9, d) lim 6. Laske raja-arvot sin(5), e) lim sin(7) sin(4) sin(5). sin(4) + + a) lim 5, b) lim + 4 +, c) lim ( + ), d) lim 7. Määritä a) lim, b) lim Määritä ( ) a) lim sin +, b) lim , c) lim ln cos( ) Olkoon + sin(b), < f() = 4a cos(4) +, < 4 a cosh(ln( 4 )) b, 4. Määritä ne vakioiden a, b R arvot, joilla funktio f on jatkuva koko reaalilukujen joukossa R.. Johda derivaatta määritelmää käyttäen funktiolle f() =, >.. Esitä derivaattaa käyttäen (valiten sopivat merkinnät): a) kappaleen nopeus on suoraan verrannollinen aikaan, b) kappaleen kiihtyvyys on kääntäen verrannollinen nopeuteen.. Määritä paraabelin y = f() = + a) pisteen (, ) kautta kulkeva tangentti, b) pisteen (, ) kautta kulkevat tangentit.. Derivoi a) ( sin() 5) 4, b) e ln(), c) arc sin( ), d) arc tan(e ) e, e) e, f) ln(ln + 4). 4. a) Laske (f ) (), kun f() = +, 6. b) Voidaan osoittaa, että funktiolla f() = ln( + ) + 8 arc tan( + ) on olemassa käänteisfunktio y = f (), kun >. Määritä (f ) (). 5. Laske raja-arvot ln( 5) a) lim, d) lim + ln(), b) lim cos() e sin() +, c) lim e) lim (e + ), ln(sin ) ( ), f) lim ( + sin( )).

4 6. a) Olkoon f derivoituva välillä I. Tällöin f on välillä I - kasvava, jos f () kaikilla I, - aidosti kasvava, jos f () > kaikilla I, - vähenevä, jos f () kaikilla I, - aidosti vähenevä, jos f () < kaikilla I. Osoita derivaatan ja eo. tuloksen perusteella, että funktiolla f() = ( )e on olemassa käänteisfunktio y = f (), kun >. b) Funktiolla f on määritysjoukon pisteessä - paikallinen maksimi, jos on olemassa r > : f() f( ) kaikilla ( r, + r), - paikallinen minimi, jos on olemassa r > : f() f( ) kaikilla ( r, + r), - paikallinen ääriarvo, jos pisteessä on joko paikallinen maksimi tai minimi. Paikallinen ääriarvo on aito, jos yhtäsuuruus on voimassa vain jos =. Jos f ( ) =, sanotaan, että on funktion f kriittinen piste. Tällöin, jos f ( ) = ja - f ( ) >, niin on aito paikallinen minimipiste, - f ( ) <, niin on aito paikallinen maksimipiste, - f ( ) =, niin on käytettävä muita tuloksia kriittisen pisteen laadun tutkimiseen. Määrää eo. määrittelyjen ja tulosten perusteella funktion f() = ( 9) kriittiset pisteet sekä niiden laatu. 7. Yhtälö 4y + y = 9 määrittelee muuttujan y muuttujan funktiona (y = f()) pisteen (, ) ympäristössä. a) Osoita, että piste (, ) on yhtälön määrittelemällä käyrällä. b) Määrää y ( ). c) Määritä käyrää pisteessä (, ) sivuavan tangentin yhtälö. 8. Funktio y = f() määritellään implisiittisesti yhtälöllä e y (y y + ) = 9. Määritä derivaatta y () = f () implisiittisesti eli muuttujien ja y avulla lausuttuna. 9. Määrää y muuttujien ja y avulla, kun y + y =. 4. Olkoon (t) = t t y-tason käyrä. y(t) = + t, t <, a) Määrää käyrää pisteessä (, ) sivuavan tangentin yhtälö. b) Määrää ne käyrän pisteet, joissa tangentin kulmakerroin on 4. c) Määrää niiden tangenttien yhtälöt, jotka käyrälle voidaan piirtää pisteen (, 7) kautta. 4. a) Lausu napakoordinaateissa y-tason piste (, ). b) Minkä y-tason pisteen napakoordinaattiesitys on (r, φ) = (5, 4 )? 4. Esitä seuraavat kompleksiluvut muodossa z = re iφ : a) 9, b) 7i, c) + i. 4. a) Mille kompleksiluvuille z on voimassa yhtälö z + 4z + =? b) Anna yhtälön z + 7 = kaikki ratkaisut sekä muodossa z = re iφ, missä r > ja φ [, [, että muodossa z = a + ib, missä a, b R. 44. Määrää a) ( ) d, b) d) 9 d, e) + 4 d, c) 5 d, f) + ( ) d, d.

5 45. Integroi a) sin(4) d, b) sin (4) d, c) sin (4) d, d) cos (4) d, tan (4) e) cos d, f) tan () d, g) e d, h) cos()e sin() d, (4) i) e ln() d, j) sin() cos()e cos () d, k) d, l) ln() d, m) d, n) d, o) + + d, p) d Laske määrätyt integraalit a) d) 6 ( e ) d, b) 5 e d, c) tan() d, e) 47. Määritä se funktion 5 4 ln cosh() d, ln d, f) e 4 e + d. f() = 4 + integraalifunktio, jonka kuvaaja kulkee pisteen (5, ) kautta. 48. Olkoon f() = Määritä funktion f paikalliset ääriarvokohdat. (t )e t dt. 49. Olkoon Laske f() d. f() = {,,, <. 5. Laske a) e 4 d, b) d) 4 arc tan() d, e) 5. Laske annettua sijoitusta käyttäen: a) c) e 5 + e 5 d, t = e5, b) sin() d, c) ln d, + 7 d, f) e sin d. 4 d, t = + 5, d) d, t = 9,, ( + ) d, t = a) Määritä käyrän y = f() = 4 7, -akselin sekä suorien = ja = rajoittaman + äärellisen alueen pinta-ala. b) Määrää laskemalla suorien y =, y = + ja y = 4 leikkauspisteet sekä piirrä kuva suorien rajoittamasta alueesta. Määrää tämän alueen pinta-ala integroimalla.

6 5. Laske a) d, b) + 9 d, c) 9 d, d) 9 d, e) 9 9 d. 54. Integroi a) d, b) a) Määrää sellainen funktion 4 7 ( + 6) d, c) f() = ( + ) (4 + ) integraalifunktio, jonka kuvaaja kulkee pisteen (, 4 ) kautta. b) Laske sijoitusta t = e käyttäen 56. a) Käyrä e + e + 8e (e + ) (e + ) d. y = f() = 4 + ( + )( + 4),, ( + ) ( ) d. pyörähtää -akselin ympäri. Laske muodostuneen kappaleen tilavuus. b) Olkoot p ja M > reaalilukuja. Käyrä 57. Yhtälön y = f() = ( + ) p, M, pyörähtää -akselin ympäri. Laske muodostuneen kappaleen tilavuus reaaliluvun p eri arvoilla. Miten käy kappaleen tilavuudelle, kun M? (y )(y + 4y + 7) = y + 7y 6,, y, määrittämä käyrä pyörähtää y-akselin ympäri. Laske muodostuneen kappaleen tilavuus.

7 Vastauksia harjoitustehtäviin syksy 6. a) = tai = tai = 4 b) < tai > c) 4 < 5 d) < 4 tai < < 4 e) tai < +. a) 5 n k k b) c) 99 (k + ) k d) n ( ) k k k k=. a) b) 4 k= k= k= c) 8 4. a) = tai = b) = ± tai = ± c) ei millään reaaliluvun arvolla d) 5 < < e) ei millään reaaliluvun arvolla f) kaikilla reaaliluvun arvoilla 5. b) z + w = i, z w = 7 i, w = 4 + i, zw = 4 + 5i, iw = 4i, w = 4 + i, w = 7, z w = i, w = 5 + 8i 8. vektorin u koordinaatit,, 9. a) AB AC = 9, AB AC =, kulma.5 rad b) eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. s = ± ja t =.. a) p = ( t) i + ( + t) j + ( t) k, t R, piste (,, ), piste Q(4, 5, 5) on suoran piste b) leikkauspiste (,, 6), suora p = ( + t) i + ( + t) j + (6 t) k, t R p = ( + s + t) i + (7 s t) j + ( + 4s + 4t) k, s, t R, 8 + 4y z 78 = 5. leikkauspiste (,, ), etäisyys 6 6. b) P (,, ) tai P ( 4,, ) 7. a) kyllä b) ei c) kyllä 8. a) M f = R \ { 4, } b) M f = [, ] \ { } c) M f =], [ 9. a) (f + g)() = + 5, M f+g = R \ {, }, (fg)() = +, M fg = R \ {, }, = R \ {, } ( f g )() = , M f g b) (f g)() =, M f g = [, [, (g f)() =, M g f = [, [, (f f)() = , M f f = [, [. a) parillinen b) pariton c) ei parillinen eikä pariton d) parillinen e) pariton. a) 7 b) c) 5. a) f () =, M f = [, 7] b) f () = + M f = [ 7, 4 5 ] c) f () = 4. a) b) 5 < < 5 4. a) 6 b) 5 6 c) 6 5. a) b) c) 5 8 d) e) a) 5 b) c) d) 7. a) b) c) ei ole olemassa 8. a) b) 9. a = 5, b =., > ++47, M f = [5, + 5]. a) d dv dt = kt b) dt = r v. a) y = 4 + b) y =, y = a) cos()( sin() 5) b) e ( ln() + ) c) d) +e arc tan(e ) e e) e e ( ln() + ) f) ( +4) ln( +4) 4. a) (f ) () = 4 (+), 7 < < 4 5 b) (f ) () = 5. a) 8 b) 8 c) 8 d) e) e f) e 6 6. b) = aito paikallinen maksimipiste, = ja = aitoja paikallisia minimipisteitä

8 7. b) y ( ) = 7 8 c) y = y () = e y (y +) 9. y () = 8 (+y) 4. a) y = 9 7 b) ( 4, ) c) y = a) (r, φ) = (, ) b) (, y) = ( 5, 5 ) 4. a) 9 = 9e i b) 7i = 7e i c) + i = e i 4. a) z = ± i b) z = e i = + i, z = e i = + i, z = e i 5 = + i( ) 44. a) + 4 ln ( ) C b) C c) 6 ( ) + C d) 8 ln(9 + ) + C e) 5 arc tan(5) + C f) ln + C 45. a) 4 cos(4) + C b) 6 sin(8) + C c) 4 cos(4) + cos (4) + C d) 4 tan(4) + C e) tan (4) + C f) tan() + C g) e + C h) e sin + C i) e + C j) + C k) ecos ln () + C l) ln ln() + C m) arc tan( 4 5 ) + C n) arc tan( + ) + C o) 4 arc sin( 4 ) + C p) arc sin( ) + C 46. a) ln e 6 + e b) 6 (e75 e 5 ) c) d) ln e) 6 f) ln F () = arc tan( ) 48. = aito paikallinen maksimikohta, = aito paikallinen minimikohta 49. ln 5. a) 4 e 4 6 e 4 + C b) 8 c) ln + d) arc tan() + arc tan() + C e) a) 5 arc tan(e5 ) + C b) 66 5 c) d) 4 5. a) ln( 9 ) b) leikkauspisteet (, ), (, 4) ja (, 4), pinta-ala 6 5. a) arc tan()+c b) 8 ln 9 +C c) a) + 5 ln 4 + C b) ln a) F () = + + arc tan() + b) ln( e+ 5 f) 5 e (cos + sin ) + C ) 4 + C ( ln +C d) 54 ln 9 +C e) ln 9 +C + C c) ln (+) + + C e + ) + (e ) (e+) + arc tan(e) a) ln 7 b) p > : kappaleen tilavuus p ( (M+) ) p p, kun M, p = : kappaleen tilavuus ln(m + ), kun M 57. ln arc tan

9 KAAVAKOKOELMA VÄLI- JA LOPPUKOKEISIIN u v = d(p, l) = u i v i u v = i= u ( AP ) u i j k u u u v v v d(p, T ) = cos sin 6 n ( AP ) n 4 sin + cos = tan = sin cot = cos tan ( ) ( ) sin = sin( ) = cos cos = cos( ) = sin sin = sin cos a sin α = cos = cos sin = cos = sin c a = b + c bc cos α sin γ b sin β = sin( + y) = sin cos y + cos sin y cos( + y) = cos cos y sin sin y sinh = (e e ) cosh = (e + e ) tanh = sinh cosh cosh sinh = coth = cosh sinh D n = n n D sin = cos D cos = sin D tan = cos = + tan De = e Da = a ln a(a > ) D ln = Darc sin = Darc cos = D log a = (a >, a ) ln a Darc tan = + (f ) (y ) = f ( ), missä y = f( ) n d = n+ + C (n ) d = ln + C tan d = ln cos + C n + d cos = ( + tan d ) d = tan + C sin = ( + cot ) d = cot + C d d = arc sin + C = arc tan + C + A = b a f() d V = b a (f()) d Q() = ( ) k... ( r ) k r ( + c + d ) l... ( + c s + d s ) l s ; P () Q() = A, A,k ( ) k A r, r A r,k r ( r ) k r + B, + C, + c + d B,l + C,l ( + c + d ) l B s, + C s, B s,l s + C s,ls + c s + d s ( + c s + d s ) l s