MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
|
|
- Elina Jääskeläinen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + <, c) d) > + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) , b) n n, c) , d) n.. Määritä lausekkeiden arvot 4 a) (l), b) l= 5 ( )k, c) k= j= Millä reaaliluvun arvoilla a) =, b) 7 =, c) = 5, d) 5 < 4, e), f) 4 >? 5. a) Osoita, että (a + b) ab kaikilla a, b. b) Sievennä () ( ) 8( ) (4 ). 6. Osoita, että + y, kun ja y. 7. Olkoon z = i ja w = 4 i. Laske z + w, z w, w, zw, iw, w, w, z w ja w. 8. Vektorit v = i j + k, v = i + j k, v = i + j k ovat lineaarisesti riippumattomia ja muodostavat siten vektoriavaruuden R kannan. Määrää vektorin u = (4,, 4) koordinaatit tämän kannan suhteen. 9. a) Olkoot A(,, ), B(,, ) ja C(,, 5) avaruuden R pisteitä. Laske AB AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja AC välinen kulma radiaaneina. b) Tutki, ovatko vektorit u 4 v ja u + v kohtisuorassa toisiaan vastaan, kun tiedetään, että u = ja v = sekä u v = 4.. Määrää reaaliluvut s ja t siten, että u v = 5 i + 5 k, kun u = 4 i + s j t k ja v = s i + j + s k. Totea, että tällöin u = v.. Kolmion kärjet ovat pisteissä A(,, ), B(,, ) ja C(,, ). Laske kolmion pinta-ala vektoritulon avulla.. a) Määrää sen suoran vektorimuotoinen parametriesitys, joka kulkee pisteiden A(,, ) ja B(,, ) kautta. Missä pisteessä suora leikkaa z-tason? Tutki, onko piste Q(4, 5, 5) tämän suoran piste. b) Olkoot l : p = a + t u = (,, ) + t(,, ), t R, ja l : r = b + s v = (,, ) + s(,, ), s R, kaksi suoraa. Määrää suorien leikkauspiste sekä sen suoran vektorimuotoinen parametriesitys, joka kulkee suorien leikkauspisteen kautta ja jonka suuntavektori on kohtisuorassa suorien l ja l suuntavektoreita u ja v vastaan.. Määrää vektoritulon avulla pisteen P (,, ) etäisyys suorasta l : p = (,, 5) + t(,, ), t R. 4. Määrää pisteiden A(, 7, ), B(4,, ) ja C(, 4, ) kautta kulkevan tason vektorimuotoinen parametriesitys ja yhtälö normaalimuodossa a + by + cz + d =.
2 5. Määrää tason T : p = a + s u + t v = (,, ) + s(,, ) + t(,, ), s, t R, ja suoran l : r = b + m w = (,, ) + m(,, ), m R, leikkauspiste sekä pisteen P (,, ) etäisyys tasosta T. 6. a) Osoita, että pisteen P (, y, z ) etäisyys tasosta T : a + by + cz + d = voidaan laskea kaavasta a + by + cz + d. a + b + c b) Määrää piste P -akselilta siten, että sen etäisyys tasoista T : 6y + 5z + = ja T : + y z = on yhtä suuri. 7. Määritteleekö yhtälö a) y =, b) y =, c) y = + y:n :n funktiona? Hahmottele kuvaajat. 8. Määrää funktion f määritysjoukko, kun a) f() = + 4, b) f() = 9 +, c) f() = a) Olkoot f ja g funktioita, joille f() = ja g() =. Määrää funktiot f + g, fg ja f g määritysjoukkoineen M f+g, M fg ja M f. g b) Olkoon f() = funktio, jonka määritysjoukko M f = [, [. Olkoon edelleen g() = 4 5 funktio, jonka määritysjoukko M g = [6, [. Määrää yhdistetyt funktiot f g, g f ja f f määritysjoukkoineen M f g, M g f ja M f f.. Tutki funktion f parillisuus/parittomuus, kun a) f() = +, b) f() = +, c) f() = +, d) f() =, e) 5 f() = 5 +,.. Määritä funktion f perusjakso, kun a) f() = cos(7), b) f() = sin(), c) f() = tan(5).. Mikä on funktion f käänteisfunktio f määritysjoukkoineen M f, kun a) f() = 4 +, 4, b) f() = +, 6, c) f() = ,?. a) Olkoot, y > reaalilukuja. Sievennä 4 ln( ) 9 ln( y) + ln( y ). b) Millä reaaliluvun arvoilla lauseke ln( + 9 ) on määritelty? Määritä kurssin kaavakokoelman taulukon avulla a) arc sin( ), b) arc cos( ), c) arc tan( ).
3 5. Laske raja-arvot a) lim, b) lim 6 ( ), c) lim + 6 9, d) lim 6. Laske raja-arvot sin(5), e) lim sin(7) sin(4) sin(5). sin(4) + + a) lim 5, b) lim + 4 +, c) lim ( + ), d) lim 7. Määritä a) lim, b) lim Määritä ( ) a) lim sin +, b) lim , c) lim ln cos( ) Olkoon + sin(b), < f() = 4a cos(4) +, < 4 a cosh(ln( 4 )) b, 4. Määritä ne vakioiden a, b R arvot, joilla funktio f on jatkuva koko reaalilukujen joukossa R.. Johda derivaatta määritelmää käyttäen funktiolle f() =, >.. Esitä derivaattaa käyttäen (valiten sopivat merkinnät): a) kappaleen nopeus on suoraan verrannollinen aikaan, b) kappaleen kiihtyvyys on kääntäen verrannollinen nopeuteen.. Määritä paraabelin y = f() = + a) pisteen (, ) kautta kulkeva tangentti, b) pisteen (, ) kautta kulkevat tangentit.. Derivoi a) ( sin() 5) 4, b) e ln(), c) arc sin( ), d) arc tan(e ) e, e) e, f) ln(ln + 4). 4. a) Laske (f ) (), kun f() = +, 6. b) Voidaan osoittaa, että funktiolla f() = ln( + ) + 8 arc tan( + ) on olemassa käänteisfunktio y = f (), kun >. Määritä (f ) (). 5. Laske raja-arvot ln( 5) a) lim, d) lim + ln(), b) lim cos() e sin() +, c) lim e) lim (e + ), ln(sin ) ( ), f) lim ( + sin( )).
4 6. a) Olkoon f derivoituva välillä I. Tällöin f on välillä I - kasvava, jos f () kaikilla I, - aidosti kasvava, jos f () > kaikilla I, - vähenevä, jos f () kaikilla I, - aidosti vähenevä, jos f () < kaikilla I. Osoita derivaatan ja eo. tuloksen perusteella, että funktiolla f() = ( )e on olemassa käänteisfunktio y = f (), kun >. b) Funktiolla f on määritysjoukon pisteessä - paikallinen maksimi, jos on olemassa r > : f() f( ) kaikilla ( r, + r), - paikallinen minimi, jos on olemassa r > : f() f( ) kaikilla ( r, + r), - paikallinen ääriarvo, jos pisteessä on joko paikallinen maksimi tai minimi. Paikallinen ääriarvo on aito, jos yhtäsuuruus on voimassa vain jos =. Jos f ( ) =, sanotaan, että on funktion f kriittinen piste. Tällöin, jos f ( ) = ja - f ( ) >, niin on aito paikallinen minimipiste, - f ( ) <, niin on aito paikallinen maksimipiste, - f ( ) =, niin on käytettävä muita tuloksia kriittisen pisteen laadun tutkimiseen. Määrää eo. määrittelyjen ja tulosten perusteella funktion f() = ( 9) kriittiset pisteet sekä niiden laatu. 7. Yhtälö 4y + y = 9 määrittelee muuttujan y muuttujan funktiona (y = f()) pisteen (, ) ympäristössä. a) Osoita, että piste (, ) on yhtälön määrittelemällä käyrällä. b) Määrää y ( ). c) Määritä käyrää pisteessä (, ) sivuavan tangentin yhtälö. 8. Funktio y = f() määritellään implisiittisesti yhtälöllä e y (y y + ) = 9. Määritä derivaatta y () = f () implisiittisesti eli muuttujien ja y avulla lausuttuna. 9. Määrää y muuttujien ja y avulla, kun y + y =. 4. Olkoon (t) = t t y-tason käyrä. y(t) = + t, t <, a) Määrää käyrää pisteessä (, ) sivuavan tangentin yhtälö. b) Määrää ne käyrän pisteet, joissa tangentin kulmakerroin on 4. c) Määrää niiden tangenttien yhtälöt, jotka käyrälle voidaan piirtää pisteen (, 7) kautta. 4. a) Lausu napakoordinaateissa y-tason piste (, ). b) Minkä y-tason pisteen napakoordinaattiesitys on (r, φ) = (5, 4 )? 4. Esitä seuraavat kompleksiluvut muodossa z = re iφ : a) 9, b) 7i, c) + i. 4. a) Mille kompleksiluvuille z on voimassa yhtälö z + 4z + =? b) Anna yhtälön z + 7 = kaikki ratkaisut sekä muodossa z = re iφ, missä r > ja φ [, [, että muodossa z = a + ib, missä a, b R. 44. Määrää a) ( ) d, b) d) 9 d, e) + 4 d, c) 5 d, f) + ( ) d, d.
5 45. Integroi a) sin(4) d, b) sin (4) d, c) sin (4) d, d) cos (4) d, tan (4) e) cos d, f) tan () d, g) e d, h) cos()e sin() d, (4) i) e ln() d, j) sin() cos()e cos () d, k) d, l) ln() d, m) d, n) d, o) + + d, p) d Laske määrätyt integraalit a) d) 6 ( e ) d, b) 5 e d, c) tan() d, e) 47. Määritä se funktion 5 4 ln cosh() d, ln d, f) e 4 e + d. f() = 4 + integraalifunktio, jonka kuvaaja kulkee pisteen (5, ) kautta. 48. Olkoon f() = Määritä funktion f paikalliset ääriarvokohdat. (t )e t dt. 49. Olkoon Laske f() d. f() = {,,, <. 5. Laske a) e 4 d, b) d) 4 arc tan() d, e) 5. Laske annettua sijoitusta käyttäen: a) c) e 5 + e 5 d, t = e5, b) sin() d, c) ln d, + 7 d, f) e sin d. 4 d, t = + 5, d) d, t = 9,, ( + ) d, t = a) Määritä käyrän y = f() = 4 7, -akselin sekä suorien = ja = rajoittaman + äärellisen alueen pinta-ala. b) Määrää laskemalla suorien y =, y = + ja y = 4 leikkauspisteet sekä piirrä kuva suorien rajoittamasta alueesta. Määrää tämän alueen pinta-ala integroimalla.
6 5. Laske a) d, b) + 9 d, c) 9 d, d) 9 d, e) 9 9 d. 54. Integroi a) d, b) a) Määrää sellainen funktion 4 7 ( + 6) d, c) f() = ( + ) (4 + ) integraalifunktio, jonka kuvaaja kulkee pisteen (, 4 ) kautta. b) Laske sijoitusta t = e käyttäen 56. a) Käyrä e + e + 8e (e + ) (e + ) d. y = f() = 4 + ( + )( + 4),, ( + ) ( ) d. pyörähtää -akselin ympäri. Laske muodostuneen kappaleen tilavuus. b) Olkoot p ja M > reaalilukuja. Käyrä 57. Yhtälön y = f() = ( + ) p, M, pyörähtää -akselin ympäri. Laske muodostuneen kappaleen tilavuus reaaliluvun p eri arvoilla. Miten käy kappaleen tilavuudelle, kun M? (y )(y + 4y + 7) = y + 7y 6,, y, määrittämä käyrä pyörähtää y-akselin ympäri. Laske muodostuneen kappaleen tilavuus.
7 Vastauksia harjoitustehtäviin syksy 6. a) = tai = tai = 4 b) < tai > c) 4 < 5 d) < 4 tai < < 4 e) tai < +. a) 5 n k k b) c) 99 (k + ) k d) n ( ) k k k k=. a) b) 4 k= k= k= c) 8 4. a) = tai = b) = ± tai = ± c) ei millään reaaliluvun arvolla d) 5 < < e) ei millään reaaliluvun arvolla f) kaikilla reaaliluvun arvoilla 5. b) z + w = i, z w = 7 i, w = 4 + i, zw = 4 + 5i, iw = 4i, w = 4 + i, w = 7, z w = i, w = 5 + 8i 8. vektorin u koordinaatit,, 9. a) AB AC = 9, AB AC =, kulma.5 rad b) eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. s = ± ja t =.. a) p = ( t) i + ( + t) j + ( t) k, t R, piste (,, ), piste Q(4, 5, 5) on suoran piste b) leikkauspiste (,, 6), suora p = ( + t) i + ( + t) j + (6 t) k, t R p = ( + s + t) i + (7 s t) j + ( + 4s + 4t) k, s, t R, 8 + 4y z 78 = 5. leikkauspiste (,, ), etäisyys 6 6. b) P (,, ) tai P ( 4,, ) 7. a) kyllä b) ei c) kyllä 8. a) M f = R \ { 4, } b) M f = [, ] \ { } c) M f =], [ 9. a) (f + g)() = + 5, M f+g = R \ {, }, (fg)() = +, M fg = R \ {, }, = R \ {, } ( f g )() = , M f g b) (f g)() =, M f g = [, [, (g f)() =, M g f = [, [, (f f)() = , M f f = [, [. a) parillinen b) pariton c) ei parillinen eikä pariton d) parillinen e) pariton. a) 7 b) c) 5. a) f () =, M f = [, 7] b) f () = + M f = [ 7, 4 5 ] c) f () = 4. a) b) 5 < < 5 4. a) 6 b) 5 6 c) 6 5. a) b) c) 5 8 d) e) a) 5 b) c) d) 7. a) b) c) ei ole olemassa 8. a) b) 9. a = 5, b =., > ++47, M f = [5, + 5]. a) d dv dt = kt b) dt = r v. a) y = 4 + b) y =, y = a) cos()( sin() 5) b) e ( ln() + ) c) d) +e arc tan(e ) e e) e e ( ln() + ) f) ( +4) ln( +4) 4. a) (f ) () = 4 (+), 7 < < 4 5 b) (f ) () = 5. a) 8 b) 8 c) 8 d) e) e f) e 6 6. b) = aito paikallinen maksimipiste, = ja = aitoja paikallisia minimipisteitä
8 7. b) y ( ) = 7 8 c) y = y () = e y (y +) 9. y () = 8 (+y) 4. a) y = 9 7 b) ( 4, ) c) y = a) (r, φ) = (, ) b) (, y) = ( 5, 5 ) 4. a) 9 = 9e i b) 7i = 7e i c) + i = e i 4. a) z = ± i b) z = e i = + i, z = e i = + i, z = e i 5 = + i( ) 44. a) + 4 ln ( ) C b) C c) 6 ( ) + C d) 8 ln(9 + ) + C e) 5 arc tan(5) + C f) ln + C 45. a) 4 cos(4) + C b) 6 sin(8) + C c) 4 cos(4) + cos (4) + C d) 4 tan(4) + C e) tan (4) + C f) tan() + C g) e + C h) e sin + C i) e + C j) + C k) ecos ln () + C l) ln ln() + C m) arc tan( 4 5 ) + C n) arc tan( + ) + C o) 4 arc sin( 4 ) + C p) arc sin( ) + C 46. a) ln e 6 + e b) 6 (e75 e 5 ) c) d) ln e) 6 f) ln F () = arc tan( ) 48. = aito paikallinen maksimikohta, = aito paikallinen minimikohta 49. ln 5. a) 4 e 4 6 e 4 + C b) 8 c) ln + d) arc tan() + arc tan() + C e) a) 5 arc tan(e5 ) + C b) 66 5 c) d) 4 5. a) ln( 9 ) b) leikkauspisteet (, ), (, 4) ja (, 4), pinta-ala 6 5. a) arc tan()+c b) 8 ln 9 +C c) a) + 5 ln 4 + C b) ln a) F () = + + arc tan() + b) ln( e+ 5 f) 5 e (cos + sin ) + C ) 4 + C ( ln +C d) 54 ln 9 +C e) ln 9 +C + C c) ln (+) + + C e + ) + (e ) (e+) + arc tan(e) a) ln 7 b) p > : kappaleen tilavuus p ( (M+) ) p p, kun M, p = : kappaleen tilavuus ln(m + ), kun M 57. ln arc tan
9 KAAVAKOKOELMA VÄLI- JA LOPPUKOKEISIIN u v = d(p, l) = u i v i u v = i= u ( AP ) u i j k u u u v v v d(p, T ) = cos sin 6 n ( AP ) n 4 sin + cos = tan = sin cot = cos tan ( ) ( ) sin = sin( ) = cos cos = cos( ) = sin sin = sin cos a sin α = cos = cos sin = cos = sin c a = b + c bc cos α sin γ b sin β = sin( + y) = sin cos y + cos sin y cos( + y) = cos cos y sin sin y sinh = (e e ) cosh = (e + e ) tanh = sinh cosh cosh sinh = coth = cosh sinh D n = n n D sin = cos D cos = sin D tan = cos = + tan De = e Da = a ln a(a > ) D ln = Darc sin = Darc cos = D log a = (a >, a ) ln a Darc tan = + (f ) (y ) = f ( ), missä y = f( ) n d = n+ + C (n ) d = ln + C tan d = ln cos + C n + d cos = ( + tan d ) d = tan + C sin = ( + cot ) d = cot + C d d = arc sin + C = arc tan + C + A = b a f() d V = b a (f()) d Q() = ( ) k... ( r ) k r ( + c + d ) l... ( + c s + d s ) l s ; P () Q() = A, A,k ( ) k A r, r A r,k r ( r ) k r + B, + C, + c + d B,l + C,l ( + c + d ) l B s, + C s, B s,l s + C s,ls + c s + d s ( + c s + d s ) l s
l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
l 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
3 Derivoituvan funktion ominaisuuksia
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 3 Derivoituvan funktion ominaisuuksia 31 l Hospitalin sääntö 1 Määritä 2 5 4 2 + 2 7 12 + 11, e 1 2, (c) tan sin 2 Määritä 2012 3 704 + 2 6 30 13 10 + 7, 3 2017
Integroimistekniikkaa Integraalifunktio
. Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri
Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x
MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa
d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali
6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla
A = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.
MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset
Differentiaalilaskenta 1.
Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa
5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A
a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.
Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x
2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 2 Funktion derivaatta 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 1. Määritä suoraan derivaatan määritelmää käyttäen f (0), kun (a) + 1, (b) (2 + ) sin(3). 2. Olkoon
Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
Johdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
derivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,.
Matematiikka, MAA9. a) Ratkaise yhtälö tan (YOS) Kulma on välillä [, 6]. Ratkaise asteen tarkkuudella seuraavat yhtälöt: b) sin c) cos (YOs). Kulmalle [9,6 ] on voimassa sin = 8 7. Määritä cos ja tan..
Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10-13
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo -. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x +9, b) log (x) 7, c) x + x 4 =.. Määrää kaikki ne
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,
KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.
KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a
Ratkaise tehtävä 1 ilman teknisiä apuvälineitä! 1. a) Yhdistä oikea funktio oikeaan kuvaajaan. (2p)
Matematiikan TESTI 3, Maa7 Trigonometriset funktiot RATKAISUT Sievin lukio II jakso/07 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT
MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio
MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen
Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus
8. Vektoriarvoiset funktiot 8.1. Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 320. Olkoon u reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio R R n ja lim t a u(t) = b. Todista: lim t a u(t) = b. 321. Olkoon
Hyvä uusi opiskelija!
Hyvä uusi opiskelija! Tässä tulee tärkeää tietoa heti syksyn alussa pidettävästä laskutaitotestistä. Matematiikka kuuluu tekniikan alan opiskelijan tärkeimpiin oppiaineisiin. Matematiikan opiskelu kehittää
6 Eksponentti- ja logaritmifunktio
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 019 6 Eksponentti- ja logaritmifunktio 6.1 Eksponenttifunktio 1. Määritä (a) e 3 e + 5, (b) e, (c) + 3e e cos.. Tutki, onko funktiolla f() = 1 e tan + 1 ( π + nπ, n
x + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli
BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Syksy 015 1. a) Funktio f ) = 1) vaihtaa merkkinsä pisteissä = 1, = 0 ja = 1. Lisäksi se on pariton funktio joten voimme laskea vain pinta-alan
Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
1.1. YHDISTETTY FUNKTIO
1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)
x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi
Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2
Ratkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!
A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
Suorat ja tasot, L6. Suuntajana. Suora xy-tasossa. Suora xyzkoordinaatistossa. Taso xyzkoordinaatistossa. Tason koordinaattimuotoinen yhtälö.
Suorat ja tasot, L6 Suora xyz-koordinaatistossa Taso xyz-koordinaatistossa stä stä 1 Näillä kalvoilla käsittelemme kolmen laisia olioita. Suora xyz-avaruudessa. Taso xyz-avaruudessa. Emme nyt ryhdy pohtimaan,
k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia
3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio
Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.
6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon
5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)
Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)
2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 2 Funktion derivaatta 1. Määritä derivaatan määritelmää käyttäen f (), kun (a), (b) 1 ( > 0). 2. Tutki, onko funktio sin(2) sin 1, kun 0, 2 0, kun = 0, derivoituva
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!
MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele
5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia. 1. Tarkastellaan väitettä
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät ja B = Olkoon A = a) A + B b) AB c) BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 28 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 a) A + B b) AB BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A ja B = 2 1 6 3 1 2. Laske seuraavat determinantit
Matematiikan perusteet taloustieteilij oille I
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille I Harjoitukset syksy 2006 1. Laskeskele ja sieventele a) 3 27 b) 27 2 3 c) 27 1 3 d) x 2 4 (x 8 3 ) 3 y 8 e) (x 3) 2 f) (x 3)(x +3) g) 3 3 (2x i + 1) kun, x
LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT KOKEEN JÄLKEEN JA ANNA PISTEESI RUUTUUN!
Matematiikan TESTI 4, Maa7 Trigonometriset funktiot ATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TAKISTA TEHTÄVÄT
Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman
Matemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia
Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,
Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0
a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:
6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää
c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.
MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse
TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT
TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT ARI LEHTONEN. Trigonometriset funktiot.. Peruskaavat. tan x := sin x cos x, cos x cot x := sin x Anglosaksisissa maissa käytössä ovat myös funktiot sekantti sec
Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:
Määrittelyjoukot Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:, 0 ; log, > 0 ;, 0 (parilliset juuret) ; tan, π + nπ Potenssisäännöt Ole tarkkana kantaluvun kanssa 3 3
Monisteessa määritellään integraalifunktio ja esitetään perusominaisuuksia. Tässä pari esimerkkiä. = x x3 + 2 x + C.
Integraalifunktio Integraalifunktion määritelmä Monisteessa määritellään integraalifunktio ja esitetään perusominaisuuksia Tässä pari esimerkkiä On integroitava funktio + 5 + / Saadaan ( + 5 + ) + 5 +
1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17
1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen
Ratkaisuja, Tehtävät
ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden
Ratkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on
3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h
HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)
MAA10 HARJOITUSTEN RATKAISUJA
MAA MAA HARJOITUSTEN RATKAISUJA. f(), jolloin kaikki integraalifunktiot saadaan parvesta F() C, ja kun F(), niin integroimisvakion määräämiseksi saadaan yhtälö C C 9 9 C. Kysytty integraalifunktio on siten
Matematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin
Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.
7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen
Differentiaalilaskennan tehtäviä
Differentiaalilaskennan tehtäviä DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona 2. Derivoimiskaavat 2.1
Funktion määrittely (1/2)
Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
Valintakoe
Valintakoe 7.3.05 Kokeessa saa käyttää kirjoitusvälinewiden lisäksi ainoastaan kokeessa jaettavaa funktiolaskinta ja taulukkoa Pisteytys 8*3p=4p. Tehtävien alakohtien pistemäärät voivat poiketa toisistaan..
Tehtävien ratkaisut
Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta
13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä
, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä
Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =
Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
5 Rationaalifunktion kulku
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja
Sini- ja kosinifunktio
Sini- ja kosinifunktio Trigonometriset funktio voidaan määritellä muun muassa potenssisarjana tai yksikköympyrän avulla. Yksikköympyrään pohjautuvassa määritelmässä sini- ja kosinifunktion muuttujana pidetään
Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA
EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,
Matematiikkaa kauppatieteilijöille
Matematiikkaa kauppatieteilijöille Harjoitus 7, syksy 2016 1. Funktio f(x) = x 2x 2 + 4 on jatkuva ja derivoituva kaikilla x R. Nyt funktio f(x) on aidosti alaspäin kupera kun f (x) > 0 ja aidosti ylöspäin
ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) A =
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 211 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 ja B = 2 1 6 3 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A. 2. Laske seuraavat determinantit
Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to
Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat
Matriisit ja optimointi kauppatieteilijöille
Matriisit ja optimointi kauppatieteilijöille Harjoitus 4, kevät 2019 1. a) f(x) = x 3 6x 2 + 9x + 1, 3 x 3 Funktio f(x) on jatkuva ja derivoituva. Funktio f(x) saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 3. luento 17.11.2017 Neuroverkon opettaminen (ohjattu oppiminen) Neuroverkkoa opetetaan syöte-tavoite-pareilla
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 28.9.2016 Pekka Alestalo,
Tekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
Yleisiä integroimissääntöjä
INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Yleisiä integroimissääntöjä Integroiminen eli annetun funktion f integraalifunktion F määrittäminen (löytäminen) on yleisesti haastavaa. Joskus joutuu jopa arvata tai kokeilla.
f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim
Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,
ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e)
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 214 1. Tutki seuraavia jonoja a) (a n )=(3n 1) ( ) 2 b) (a n )= 3 n ( ) 1 c) (a n )= (n + 1)(n +2) 2. Tutki seuraavia sarjoja a) (3k 1)
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
Tekijä Pitkä matematiikka
Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin