Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Transkriptio

1 Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä /246

2 Kertausta: pistetulon ominaisuuksia Lause 29 Oletetaan, että v, w, ū R n ja c R. Tällöin (a) v w = w v (vaihdannaisuus) (b) v ( w + ū) = v w + v ū (osittelulaki) (c) (c v) w = c( v w) (skalaarin siirto) Lause 30 Oletetaan, että v R n. Tällöin (a) v v 0. (b) v v = 0, jos ja vain jos v = 0. LM2, Kesä /246

3 Sisätulo Ottamalla lähtökohdaksi avaruuden R n vektorien pistetulon ominaisuudet, voidaan määritellä vektoriavaruuteen V yleisempi sisätulon käsite. LM2, Kesä /246

4 Sisätulo Määritelmä Oletetaan, että V on vektoriavaruus. Vektoriavaruuden V sisätulo on sääntö, joka liittää jokaiseen vektoriavaruuden V alkiopariin ( v, w) täsmälleen yhden reaaliluvun, jota merkitään v, w. Lisäksi vaaditaan, että seuraavat ehdot toteutuvat kaikilla v, w, ū V ja c R: 1. v, w = w, v (vaihdannaisuus) 2. v, w + ū = v, w + v, ū (osittelulaki) 3. c v, w = c v, w (skalaarin siirto) 4. v, v 0 ja v, v = 0, jos ja vain jos v = 0. Jos vektoriavaruudessa on määritelty sisätulo, vektoriavaruutta kutsutaan sisätuloavaruudeksi. LM2, Kesä /246

5 Sisätuloavaruus Esimerkki 33 Oletetaan, että kokonaisluku n 1. Vektoriavaruus R n on sisätuloavaruus, sillä sisätuloksi voidaan valita tavallinen pistetulo: Huom. v, w = v w. Pistetulo toteuttaa sisätulon määritelmän ehdot lauseiden 29 ja 30 nojalla. LM2, Kesä /246

6 Sisätuloavaruus Esimerkki 34 Vektoriavaruuteen R n voidaan määritellä myös muita sisätuloja. Osoitetaan, että esimerkiksi ehto v, w = v 1 w 1 + 2v 2 w 2 antaa ns. painotetun sisätulon avaruuteen R 2. Oletetaan, että v, w, ū R 2 ja c R. 1. Reaalilukujen kertolaskun vaihdannaisuudesta seuraa, että v, w = v 1 w 1 + 2v 2 w 2 = w 1 v 1 + 2w 2 v 2 = w, v. LM2, Kesä /246

7 2. Reaalilukujen osittelulain sekä yhteenlaskun liitännäisyyden ja vaihdannaisuuden nojalla v + w, ū = (v 1 + w 1 )u 1 + 2(v 2 + w 2 )u 2 = v 1 u 1 + w 1 u 1 + 2v 2 u 2 + 2w 2 u 2 = v 1 u 1 + 2v 2 u 2 + w 1 u 1 + 2w 2 u 2 = v, ū + w, ū. 3. Reaalilukujen osittelulain nojalla c v, w = cv 1 w 1 + 2cv 2 w 2 = c(v 1 w 1 + 2v 2 w 2 ) = c v, w. LM2, Kesä /246

8 4. Ensinnäkin v, v = v 1 v 1 + 2v 2 v 2 = v v Osoitetaan, että lisäksi v, v = 0, jos ja vain jos v = 0. : Oletetaan, että v, v = 0. Tällöin v v 2 2 = 0. Koska kumpikin yhteenlaskettava on epänegatiivinen, täytyy päteä v1 2 = 0 ja 2v 2 2 = 0. Tästä seuraa, että v 1 = 0 ja v 2 = 0. Siis v = 0. : Oletetaan, että v = 0. Tällöin v, v = 0, 0 = = 0. LM2, Kesä /246

9 Sisätuloavaruus Esimerkki 35 Merkitään V = {f : [0, 1] R f on jatkuva}. Joukko V on vektoriavaruus, jos funktioiden yhteenlasku ja skalaarikertolasku määritellään tavalliseen tapaan pisteittäin. Kurssin Analyysi II tietojen avulla voidaan osoittaa, että vektoriavaruuden V yksi sisätulo on f, g = 1 0 f (x)g(x) dx. LM2, Kesä /246

10 Lause 31 Sisätulon ominaisuuksia Sisätuloavaruudessa V pätee v, 0 = 0 ja 0, v = 0 kaikilla v V. Todistus. Oletetaan, että V on sisätuloavaruus ja v V. Tällöin v, 0 = v, = v, 0 + v, 0. Vähentämällä yhtälön molemmilta puolilta luku v, 0, saadaan 0 = v, 0. Lisäksi sisätulon määritelmän perusteella 0, v = v, 0, joten myös 0, v = 0. LM2, Kesä /246

11 Määritelmä Normi ja kohtisuoruus Oletetaan, että V on sisätuloavaruus ja v, w V. Vektorin v normi on v = v, v. Vektoreiden v ja w välinen etäisyys on d( v, w) = v w. Vektorit v ja w ovat ortogonaaliset, jos v, w = 0. Vektori v on yksikkövektori, jos v = 1. Huom. Sisätulon määritelmän mukaan v, v 0, joten normi on aina määritelty. LM2, Kesä /246

12 Normin ominaisuuksia Sisätuloavaruuden normilla on samat ominaisuudet kuin avaruuden R n normilla. Myös perustelu on oleellisesti sama. Lause 32 Oletetaan, että V on sisätuloavaruus, v V ja c R. Tällöin (a) v 0; (b) v = 0, jos ja vain jos v = 0; (c) c v = c v. LM2, Kesä /246

13 Pythagoras sisätuloavaruudessa Koulusta tuttu Pythagoraan lause voidaan yleistää mihin tahansa sisätuloavaruuteen: Lause 33 (Pythagoraan lause) Oletetaan, että V on sisätuloavaruus ja v, w V. Vektorit v ja w ovat ortogonaaliset, jos ja vain jos v 2 + w 2 = v + w 2. v+ w w v+ w w v v LM2, Kesä /246

14 Ortogonaalinen jono ja ortonormaali jono Määritelmä Sisätuloavaruuden V jono ( v 1, v 2,..., v k ) on ortogonaalinen, jos v i, v j = 0 kaikilla i j v i 0 kaikilla i {1, 2,..., k}. Sisätuloavaruuden V jono ( v 1, v 2,..., v k ) on ortonormaali, jos se on ortogonaalinen v i = 1 kaikilla i {1, 2,..., k}. LM2, Kesä /246

15 Ortogonaalinen jono ja ortonormaali jono Toisin sanottuna sisätuloavaruuden V jono ( v 1, v 2,..., v k ) on ortogonaalinen, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eikä mikään vektoreista ole nollavektori. ortonormaali, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan ja niistä jokaisen normi on yksi. LM2, Kesä /246

16 Ortogonaalinen jono Jokainen ortogonaalinen jono on vapaa: Lause 40 Oletetaan, että ( v 1, v 2,..., v k ) on sisätuloavaruuden V ortogonaalinen jono. Tällöin ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa. Todistus. Oletetaan, että c 1 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R. Oletetaan, että i {1,..., k}. Tällöin v i, c 1 v c k v k = v i, 0. (1) LM2, Kesä /246

17 Käyttämällä sisätulon määritelmää ja jonon ortogonaalisuutta saadaan yhtälön (1) vasen puoli muotoon v i, c 1 v c k v k = c 1 v i, v c k v i, v k = c i v i, v i. Toisaalta yhtälön oikea puoli on v i, 0 = 0 lauseen 31 nojalla. Siis c i v i, v i = 0. Koska jono on ortogonaalinen, ei v i ole nollavektori. Siten v i, v i 0. Tulon nollasäännön nojalla siis c i = 0. Näin ollen c i = 0 kaikilla i 1,..., k, ja jono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa. LM2, Kesä /246

18 Ortonormaali kanta Vektorin koordinaatit ortonormaalin kannan suhteen on helppo määrittää: Lause 16 Oletetaan, että B = (ū 1,..., ū k ) on aliavaruuden W ortonormaali kanta. Oletetaan, että w W. Tällöin vektorin w koordinaatit kannan B suhteen ovat w ū 1, w ū 2,..., w ū k eli w = ( w ū 1 )ū 1 + ( w ū 2 )ū ( w ū k )ū k. LM1, Kesä /185

19 Lauseen 16 perustelu: Oletetaan, että B = (ū 1,..., ū k ) on aliavaruuden W ortonormaali kanta. Tutkitaan vektorin w W koordinaatteja kannan B suhteen. Merkitään koordinaatteja a 1,..., a k ; ts. Huomataan, että w = a 1 ū 1 + a 2 ū a k ū k. w ū 1 = (a 1 ū 1 + a 2 ū a k ū k ) ū 1 = a 1 (ū 1 ū 1 ) + a 2 (ū 2 ū 1 ) + + a k (ū k ū 1 ) = a a a k 0 = a 1. Vastaavalla tavalla nähdään, että w ū i = a i kaikilla i {1, 2,..., k}. Vektorin w koordinaatit saadaan siis laskemalla kantavektorien pistetulo vektorin w kanssa. LM1, Kesä /185

20 Esimerkki 39 Vektorin w = (2, 9, 7) koordinaantit ortonormaalin kannan E 3 = (ē 1, ē 2, ē 3 ) suhteen ovat lauseen 16 nojalla w ē 1 = (2, 9, 7) (1, 0, 0) = 2, w ē 2 = (2, 9, 7) (0, 1, 0) = 9, w ē 3 = (2, 9, 7) (0, 0, 1) = 7. Siis w = 2ē 1 + 9ē 2 7ē 3. LM1, Kesä /185