VEKTORIT paikkavektori OA

Transkriptio

1 paikkavektori OA Piste A = (2, -1) Paikkavektori OA = 2i j 3D: kuvan piirtäminen hankalaa Piste A = (2, -3, 4) Paikkavektori OA = 2i 3j + 4k Piste A = (a 1, a 2, a 3 ) Paikkavektori OA = a 1 i + a 2 j +a 3 k

2 vektori AB Piste A = (2, -1) ja B = (4, 2) Vektori AB = 4 2 i j = 2i + 3j 3D: kuvan piirtäminen tosi hankalaa Piste A = (2, -3, 4) ja B = (1, 5, -6) Vektori AB = 1 2 i j k = i + 8j 10k Pisteet A = (a 1, a 2, a 3 ) ja B = (b 1, b 2, b 3 ) Vektori AB AB = (b 1 a 1 )i + (b 2 a 2 )j +(b 3 a 3 )k

3 vektorin pituus a a = 3i + 2j Pituus: a = = 13 3D: a = 2i 3j + 4k Pituus: a = ( 3) = 29 Vektori a = a 1 i + a 2 j +a 3 k Vektorin pituus a = a a a 3 2

4 Määritä vektorin a = 3i + 4j suuntainen yksikkövektori? yksikkövektori a 0 a = = 5, joten a 0 = a a = 3i +4j 5 = 3 5 i j 3D: Samalla tavalla Vektorin a suuntainen yksikkövektori a 0 a 0 = a a

5 vektorien summa a = 3i + 2j ja b = 2i j Summa: a + b = 3i + 2j + 2i j = 5i + j 3D: kuvan piirtäminen tosi hankalaa a = 2i 6j + 4k ja b = 5i + 3j 2k Summa: a + b = 2i 6j + 4k + 5i + 3j 2k = 7i 3j + 2k Vektorien summa a + b = a 1 i + a 2 j +a 3 k + b 1 i + b 2 j +b 3 k =

6 vektorien erotus TAI a = 3i + 2j ja b = 2i j Erotus: a b = (3i + 2j ) (2i j ) = 3i + 2j 2i + j = i + 3j 3D: kuvan piirtäminen tosi hankalaa a = 2i 6j + 4k ja b = 5i + 3j 2k Erotus: a b = 2i 6j + 4k (5i + 3j 2k) = 2i 6j + 4k 5i 3j + 2k = 3i 9j + 6k Vektorien erotus a b = (a 1 i + a 2 j +a 3 k) (b 1 i + b 2 j +b 3 k) =

7 luvun ja vektorin tulo ta a = 2i + j Luvulla kertominen: 2a = 2(2i + j ) = 4i + 2j Z O O M! Luvulla t kertominen muuttaa vektorin pituutta. Jos t < 0, vektorin suunta muuttuu vastakkaiseksi. 3D: kuvan piirtäminen tosi hankalaa a = 2i 6j + 4k Luvulla kertominen: 1 3 a = 1 3 2i 6j + 4k = 2 3 i 2j k Vektorin kertominen luvulla ta = t(a 1 i + a 2 j +a 3 k) = ta 1 i + ta 2 j +ta 3 k)

8 yhden-/saman-/vastakkaissuuntaiset Yhdensuuntaiset: a b, joss a=t b, t nollasta eroava reaaliluku Samansuuntaiset: a b, joss a=t b, t positiivinen reaaliluku Vastakkaissuuntaiset: a b, joss a=t b, t negatiivinen reaaliluku

9 vektorien pistetulo a = 3i + 2j ja b = 2i j Pistetulo: a b = = 4 3D: a = 2i 6j + 4k ja b = 5i + 3j 2k Pistetulo: a b = = 16 Vektorien pistetulo a b = a 1 b 1 +a 2 b 2 + a 3 b 3 Vektorin pituus a a = a 2

10 pistetulon hyödyntäminen Esim. Ovatko vektorit a = 3i + 2j ja b = 2i j kohtisuorassa? Entä vektorit a ja c = 4i 6j a b = = 4 ( 0) a c = = 0 (= 0) V: a ja b eivät ole; a ja c ovat Vektorit kohtisuorassa toisiaan vastaan, kun a b = 0 Esim. Määritä vektorien a = 2i 6j + 4k ja b = 5i + 3j 2k välinen kulma? a b = = 16 a = ( 6) = 56 b = ( 2) 2 = 38 Vektorien välinen kulma a b = a b cos Eli a b cos = a b Siis cos = cos 1

11 pistetulon hyödyntäminen Vektorin a (kohtisuora) projektio vektorille b, merk. a b a Skalaariprojektio (projektion pituus) a b = a b b a b b Vektoriprojektio (projektion vektori) a b = a b b b b

12 pistetulon hyödyntäminen Sovellukset: Fysiikassa työ siirtymän (matkan) ja siirtymän suunnassa olevan voiman komponentin tulo. Jos voima on vino, kohtisuora komponentti ei tee siirtotyötä. Siirtotyön suuruuden määrää siirtymän suuntainen voiman komponentti. Koska kohtisuoran komponentin pistetulo on nolla, voidaan siis työ laskea pistetulona W = F s (tällöin automaattisesti tippuu pois kohtisuoran voiman komponentin osuus). Esim. Määritä voiman suuruus, matkan pituus ja tehty työ, kun a) F = 65i + 41j (yksikkönä N) ja s = 7,5i (yksikkönä m) b) F = 110i + 72j (yksikkönä N) ja s = 3,2i 2,3j (yksikkönä m)

13 komponentit Kaksi erisuuntaista vektoria virittää tason Mikä tahansa tason vektori v voidaan esittää kannassa {a, b} v = sa + tb 3D: Kaksi erisuuntaista vektoria ja kolmas, joka ei ole näiden tasolla, virittää 3D-avaruuden Mikä tahansa tason vektori v voidaan esittää kannassa {a, b, c } v = sa + tb + uc Komponenttiesityksen yksikäsitteisyys yhtälöryhmä kertoimille s, t, u P.S. Ketunlenkit eri kautta kantavektoreiden avulla, saadaan yhtälöryhmiä!

14 Vektori vektorin pituuden ja suuntakulman avulla a = (a cosα)i +(a sinα)j

15 SUORAT Piste P 0 ja suuntavektori s = s x i + s y j + s z k Piste ja kulmakerroin y y 0 = k x x 0 Normaalimuoto ax + by + c = 0 n = ai + bj s = bi aj 3D: Vektorimuoto OP = OP 0 + ts Parametrimuoto x = x 0 + ts x y = y 0 + ts y z = z 0 + ts z, t reaaliluku k = b a Pisteen (x 1, y 1 ) etäisyys suorasta d = ax 1 + by 1 + c a 2 + b 2 Koordinaattiyhtälö x x 0 s x = y y 0 s y = z z 0 s z

16 Piste P 0 ja normaalivektori n = ai + bj + ck TASOT Piste P 0 ja Suuntavektorit u = u x i + u y j + u z k v = v x i + v y j + v z k Vektoriyhtälö n p p 0 = 0 Normaalimuoto ax + by + cz + d = 0 Koordinaattiyhtälö a x x 0 + b(y y 0 )+c z z 0 = 0 Pisteen (x 1, y 1, z 1 ) etäisyys tasosta d = ax 1 + by 1 + cz 1 + d a 2 + b 2 + c 2 Vektorimuoto OP = OP 0 + su + tv Parametrimuoto x = x 0 + su x + tv x y = y 0 + su y + tv y z = z 0 + su z + tv z, s, t reaalilukuja