Yleiset lineaarimuunnokset

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Yleiset lineaarimuunnokset"

Transkriptio

1 TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29

2 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos TUOMINEN, KARI: Yleiset lineaarimuunnokset Pro gradu -tutkielma, 43 s. Matematiikka Toukokuu 29 Tiivistelmä Tässä tutkielmassa tarkastellaan yleisiä lineaarimuunnoksia. Ensimmäisessä luvussa käydään läpi joitain oleellisia esitietoja. Toisessa luvussa määritellään yleinen lineaarimuunnos sekä tutustutaan erilaisiin lineaarimuunnoksiin. Kolmannessa luvussa määritellään lineaarimuunnoksen ydin ja arvojoukko sekä näiden ominaisuuksia, sekä todistetaan yleisten lineaarimuunnosten dimensiolause. Neljännessä luvussa määritellään käänteiset lineaarimuunnokset. Viidennessä luvussa tutustutaan lineaarimuunnosten matriiseihin sekä niiden hyötyyn. 2

3 Sisältö Johdanto 4 1 Esitiedot 5 2 Yleiset lineaarimuunnokset Yleisen lineaarimuunnoksen määritelmä Erilaisia lineaarimuunnoksia Lineaarimuunnoksien ominaisuuksia Lineaarimuunnosten löytäminen kantavektorien kuvista Lineaarimuunnosten yhdistelmät Lineaarimuunnoksen ydin ja arvojoukko Ydin ja arvojoukko Ytimen ja arvojoukon ominaisuuksia Lineaarimuunnoksen aste ja nulliteetti Lineaarimuunnosten dimensiolause Käänteiset lineaarimuunnokset Injektiiviset lineaarimuunnokset Käänteiset lineaarimuunnokset Käänteismuunnosten yhdistelmät Yleisten lineaarimuunnosten matriisit Lineaarimuunnosten matriisit Lineaarioperaattorien matriisit Identiteettioperaattorien matriisit Lineaarimuunnosten matriisien hyöty Yhdistelmien ja käänteismuunnosten matriisit Kirjallisuutta 43 3

4 Johdanto Yleisillä lineaarimuunnoksilla on monia tärkeitä sovelluksia fysiikassa, tekniikassa ja matematiikan eri aloilla. Tässä tutkielmassa tutustutaan yleisiin lineaarimuunnoksiin mielivaltaisesta vektoriavaruudesta V mielivaltaiseen vektoriavaruuteen W. Ensimmäisessä luvussa käydään läpi joitain tutkielman sisällön kannalta oleellisia määritelmiä ja käsitteitä. Toisessa luvussa määritellään yleinen lineaarimuunnos, tutustutaan erilaisiin lineaarimuunnoksiin sekä niiden ominaisuuksiin, käydään läpi lineaarimuunnosten löytäminen kantavektorien kuvista ja määritellään lineaarimuunnosten yhdistelmät. Kolmannessa luvussa määritellään lineaarimuunnosten ydin ja arvojoukko, joiden avulla saadaan määriteltyä lineaarimuunnosten aste ja nulliteetti. Lopuksi käydään läpi lineaarimuunnosten dimensiolause. Neljännessä luvussa määritellään ensin injektiiviset lineaarimuunnokset, joiden avulla saadaan määriteltyä käänteiset lineaarimuunnokset. Lopuksi määritellään käänteisten lineaarimuunnosten yhdistelmät. Viidennessä luvussa tutustutaan erilaisten lineaarimuunnosten matriiseihin sekä niiden hyötyyn. Lukijalta oletetaan lineaarialgebran perusteiden tuntemusta. Useat tulokset pohjautuvat lineaarialgebran kursseilla esitettyihin tuloksiin, jotka tässä tutkielmassa yleistetään mielivaltaisille vektoriavaruuksille. Lähdeteoksena toimii Howard Antonin kirja Elementary linear algebra, jota tutkielma seuraa melko suoraan. Tutkielman todistukset ovat lähdeteoksesta, mutta niitä on saatettu täydentää. Esimerkit ovat tutkielman kirjoittajan omia, ellei toisin mainita, mutta niihin on otettu mallia lähdeteoksen esimerkeistä. 4

5 Luku 1 Esitiedot Käydään ensin lävitse joitain tutkielmassa esiintyviä määritelmiä ja käsitteitä. Määritelmä 1. Olkoon V mielivaltainen epätyhjä joukko vektoreita, jossa on määritelty yhteenlasku ja skalaarilla kertominen. Jos seuraavat aksioomat ovat voimassa joukon V kaikille vektoreille u, v ja w ja kaikille skalaareille k ja l, niin joukko V on vektoriavaruus. 1. Jos vektorit u ja v kuuluvat joukkoon V, niin myös niiden summa u+ v kuuluu joukkoon V 2. u + v = v + u 3. u + ( v + w) = ( u + v) + w 4. joukko V sisältää sellaisen vektorin, että + u = u + = u kaikilla vektoreilla u joukossa V, ja jota kutsutaan joukon V nollavektoriksi 5. jokaisella vektorilla u joukossa V on olemassa vastavektori u siten, että u + ( u) = ( u) + u = 6. jos k on jokin skalaari ja u jokin joukon V vektori, niin myös vektori k u kuuluu joukkoon V 7. k( u + v) = k u + k v 8. (k + l) u = k u + l u 9. k(l u) = (kl)( u) 1. 1 u = u. 5

6 Määritelmä 2. Vektoriavaruuden V osajoukkoa W sanotaan vektoriavaruuden V aliavaruudeksi, jos osajoukko W on itse vektoriavaruus vektoriavaruudessa V määriteltyjen yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. Määritelmä 3. Jos v on jokin vektoriavaruuden V vektori ja k on jokin skalaari, niin k v = jos k = tai v =. lineaari- Määritelmä 4. Vektoria w kutsutaan vektoreiden v 1, v 2,..., v r kombinaatioksi, jos se voidaan esittää muodossa missä k 1, k 2,..., k r ovat skalaareja. w = k 1 v 1 + k 2 v k r v r, Määritelmä 5. Jos S = { v 1, v 2,..., v r } on joukko vektoreita vektoriavaruudessa V, niin vektoriavaruuden V aliavaruutta W, joka sisältää vain joukon S vektoreiden lineaarikombinaatioita, kutsutaan vektoreiden v 1, v 2,..., v r virittämäksi avaruudeksi. Toisin sanoen tällöin vektorit v 1, v 2,..., v r virittävät aliavaruuden W. Määritelmä 6. Jos S = { v 1, v 2,..., v r } on epätyhjä joukko vektoreita, niin vektoriyhtälöllä k 1 v 1 + k 2 v k r v r = on ainakin yksi ratkaisu, nimittäin k 1 =, k 2 =,..., k r =. Jos tämä on ainut ratkaisu, niin joukkoa S kutsutaan lineaarisesti riippumattomaksi joukoksi. Jos muita ratkaisuja on olemassa, niin joukkoa S kutsutaan lineaarisesti riippuvaiseksi joukoksi. Määritelmä 7. Jos V on vektoriavaruus ja S = { v 1, v 2,..., v n } on jokin joukko vektoreita vektoriavaruudessa V, niin joukko S on vektoriavaruuden V kanta, jos seuraavat kaksi ehtoa ovat voimassa: (a) joukko S on lineaarisesti riippumaton (b) joukko S virittää vektoriavaruuden V. Määritelmä 8. Vektoriavaruuden V sisätulo on funktio, joka liittää reaaliluvun < u, v > jokaiseen vektoripariin u ja v vektoriavaruudessa V siten, että seuraavat aksioomat ovat tosia kaikille vektoreille u, v ja w vektoriavaruudessa V ja kaikille skalaareille k. 1. < u, v >=< v, u > 6

7 2. < u + v, w >=< u, w > + < v, w > 3. < k u, v >= k < u, v > 4. < v, v > ja < v, v >=, jos ja vain jos v =. Vektoriavaruutta, jolla on sisätulo, kutsutaan sisätuloavaruudeksi. Määritelmä 9. Olkoot u ja v vektoreita sisätuloavaruudessa V. Jos < u, v >=, niin vektoreita u ja v kutsutaan ortogonaalisiksi. Lisäksi, jos vektori u on ortogonaalinen jonkin joukon W jokaisen vektorin kanssa, sanotaan, että vektori u on ortogonaalinen joukolle W. Määritelmä 1. Joukkoa vektoreita sisätuloavaruudessa kutsutaan ortogonaaliseksi joukoksi, jos mitkä tahansa kaksi eri vektoria joukossa ovat keskenään ortogonaaliset. Ortogonaalista joukkoa, jossa jokaisen vektorin normi on 1, kutsutaan ortonormaaliksi. Määritelmä 11. Olkoon V sisätuloavaruus ja sisältäköön se ortonormaalin joukon vektoreita { v 1, v 2,..., v r }. Jos W on vektoreiden v 1, v 2,..., v r virittämä avaruus, niin jokainen vektori u avaruudessa V voidaan ilmaista muodossa u = w 1 + w 2, missä w 1 kuuluu avaruuteen W ja w 2 on ortogonaalinen avaruuden W kanssa asettamalla ja w 1 =< u, v 1 > v 1 + < u, v 2 > v < u, v r > v r w 2 = u < u, v 1 > v 1 < u, v 2 > v 2 < u, v r > v r. Vektoria w 1 kutsutaan vektorin u ortogonaaliprojektioksi avaruudessa W ja sitä merkitään proj w u. Vektoria w 2 = u proj w u kutsutaan vektorin u ortogonaalikomponentiksi avaruudelle W. 7

8 Luku 2 Yleiset lineaarimuunnokset 2.1 Yleisen lineaarimuunnoksen määritelmä Lineaarimuunnos avaruudesta R n avaruuteen R m on määritelty funktiona T (x 1, x 2,..., x n ) = (w 1, w 2,..., w m ), missä jonoja x 1, x 2,..., x n ja w 1, w 2,..., w m koskevat yhtälöt ovat lineaarisia. Vastaavasti on määritelty, että muunnosfunktio T : R n R m on lineaarinen jos ja vain jos seuraavat yhtälöt ovat tosia kaikilla vektoreilla u ja v avaruudessa R n ja jokaisella skalaarilla c: T ( u + v) = T ( u) + T ( v) T (c u) = ct ( u). Seuraavaksi määritellään näiden ominaisuuksien avulla yleinen lineaarimuunnos. Määritelmä 12. Jos T : V W on funktio vektoriavaruudesta V vektoriavaruuteen W, niin funktiota T kutsutaan lineaarimuunnokseksi vektoriavaruudesta V vektoriavaruuteen W, jos kaikille vektoreille u ja v vektoriavaruudessa V ja kaikille skalaareille c pätee 1. T ( u + v) = T ( u) + T ( v) 2. T (c u) = ct ( u). Erikoistapauksessa V = W lineaarimuunnosta T : V V kutsutaan vektoriavaruuden V lineaarioperaattoriksi. 8

9 2.2 Erilaisia lineaarimuunnoksia Koska edeltävä yleisen lineaarimuunnoksen määritelmä perustui lineaarimuunnokseen avaruudesta R n avaruuteen R m, on tämä lineaarimuunnos myös yleisen määritelmän mukaan. Jatkossa lineaarimuunnoksia avaruudesta R n avaruuteen R m kutsutaan matriisimuunnoksiksi, sillä ne voidaan suorittaa matriisien kertolaskulla. Määritelmä 13. Olkoot V ja W mitkä tahansa kaksi vektoriavaruutta. Kuvaus T : V W, jossa T ( v) = kaikilla vektoreilla v vektoriavaruudessa V, on lineaarimuunnos, jota kutsutaan nollamuunnokseksi. Osoitetaan, että kuvaus T on lineaarinen. Koska niin selvästi T ( u + v) = T ( u) =, T ( v) = T (k u) =, T ( u + v) = T ( u) + T ( v) T (k u) = kt ( u). Määritelmä 14. Olkoon V jokin vektoriavaruus. Määritellään kuvaus I : V V funktiolla I( v = v) ja kutsutaan sitä vektoriavaruuden V identiteettioperaattoriksi. Täten Osoitetaan vielä, että I on lineaarinen. Määritelmästä seuraa, että T ( u + v) = u + v T ( u) = u, T ( v) = v T (k u) = k u. T ( u + v) = T ( u) + T ( v) T (k u) = kt ( u). Määritelmä 15. Olkoon V jokin vektoriavaruus ja k jokin kiinnitetty skalaari. Tällöin funktio T : V V, missä T ( v) = k v, on vektoriavaruuden V lineaarioperaattori, sillä T ( u + v) = k( u + v) = k u + k v = T ( u) + T ( v) 9

10 ja T (j v) = jk v = jt ( v), missä j on jokin skalaari. Tätä lineaarioperaattoria kutsutaan vektoriavaruuden V laajennukseksi kertoimella k, jos k > 1. Jos < k < 1, sitä kutsutaan avaruuden V supistukseksi kertoimella k. Geometrisesti laajennus venyttää jokaista vektoriavaruuden V vektoria kertoimen k verran, ja vektoriavaruuden V supistus tiivistää sen jokaista vektoria kertoimen k verran. Määritelmä 16. Ortogonaaliprojektiot avaruudesta R m aliavaruudelle W voidaan määritellä yleisillä sisätuloavaruuksilla seuraavasti: Oletetaan, että sisätuloavaruuden V aliavaruuden W dimensio on äärellinen. Tällöin avaruuden V ortogonaaliprojektiota aliavaruudelle W merkitään T ( v) = proj W v. Jos S = { w 1, w 2,..., w r } on mikä tahansa ortonormaali kanta aliavaruudelle W, niin funktio T ( v) saadaan kaavasta T ( v) = proj W v =< v, w 1 > w 1 + < v, w 2 > w < v, w r > w r. Todistus, että funktio T on lineaarimuunnos, seuraa sisätulon ominaisuuksista. Esimerkiksi T (k u) =< k u, w 1 > w 1 + < k u, w 2 > w < k u, w r > w r = k < u, w 1 > w 1 + k < u, w 2 > w k < u, w r > w r = kt ( u). Vastaavasti T ( u + v) = T ( u) + T ( v). Esimerkki 1. Erikoistapauksena edeltävästä määritelmästä olkoon vektoriavaruus V = R 3 Euklidisella sisätulolla. Vektorit w 1 = (, 1, ) ja w 2 = (,, 1) muodostavat ortonormaalin kannan yz-tasolle. Tällöin, jos v = (x, y, z) on mikä tahansa avaruuden R 3 vektori, niin avaruuden R 3 ortogonaaliprojektio yz-tasoon saadaan kaavasta T ( v) =< v, w 1 > w 1 + < v, w 2 > w 2 = y(, 1, ) + z(,, 1) = (, y, z). 1

11 Esimerkki 2. Olkoon S = { w 1, w 2,..., w n } kanta jollekin n-dimensionaaliselle vektoriavaruudelle V, ja olkoon v jokin vektori avaruudessa V. Nyt vektori v voidaan ilmaista kantavektorien lineaarikombinaationa Tällöin v = k 1 w 1 + k 2 w k n w n. k 1 k 2 [ v] S =. on vektoriavaruuden V vektorin v kantaa S vastaava koordinaattimatriisi. Määritellään T : V R n funktioksi, joka kuvaa vektorin v kantaa S vastaavalle koordinaattimatriisilleen. Siis k n k 1 k 2 T ( v) = [ v] S =.. Kyseinen funktio T on lineaarimuunnos. Tämän osoittamiseksi oletetaan, että u ja v ovat vektoreita vektoriavaruudessa V ja että u = c 1 w 1 + c 2 w c n w n ja v = d 1 w 1 + d 2 w d n w n. k n Täten c 1 c 2 [ u] S =. c n d 1 d 2 [ v] S =.. d n Mutta u + v = (c 1 + d 1 ) w 1 + (c 2 + d 2 ) w (c n + d n ) w n k u = (kc 1 ) w 1 + (kc 2 ) w (kc n ) w n, 11

12 joten c 1 + d 1 c 2 + d 2 [ u + v] S =. c n + d n kc 1 kc 2 [k u] S =.. kc n Täten [ u + v] S = [ u] S + [ v] S ja [k u] S = k[ u] S. Kun ilmaistaan nämä yhtälöt funktion T avulla, saadaan T ( u + v) = T ( u) + T ( v) ja T (k u) = kt ( u), joten funktio T on lineaarimuunnos. Esimerkki 3. Olkoon vektori p = p(x) = c + c 1 x + + c n x n polynomi avaruudessa P n ja määritellään funktio T : P n P n+2 kaavalla T ( p) = T (p(x)) = x 2 p(x) = c x 2 + c 1 x c n x n+2. Funktio T on lineaarimuunnos, sillä millä tahansa skalaarilla k ja kaikilla polynomeilla p 1 ja p 2 on voimassa ja T ( p 1 + p 2 ) = T (p 1 (x) + p 2 (x)) = x 2 (p 1 (x) + p 2 (x)) = x 2 p 1 (x) + x 2 p 2 (x) = T (p 1 (x)) + T (p 2 (x)) = T ( p 1 ) + T ( p 2 ) T (k p) = T (kp(x)) = x 2 (kp(x)) = k(x 2 p(x)) = kt (p(x)) = kt ( p). Esimerkki 4. Olkoon vektori p = p(x) = c + c 1 x + + c n x n polynomi avaruudessa P n ja olkoot a ja b mitkä tahansa skalaarit. Olkoon funktio T määritelty kaavalla T ( p) = T (p(x)) = p(ax + b) = c + c 1 (ax + b) + + c n (ax + b) n. 12

13 Funktio T on lineaarioperaattori, sillä ja T ( p 1 + p 2 ) = T (p 1 (x) + p 2 (x)) = p 1 (ax + b) + p 2 (ax + b) = T (p 1 (x)) + T (p 2 (x)) = T ( p 1 ) + T ( p 2 ) T (k p) = T (kp(x)) = kp(ax + b) = kt (p(x)) = kt ( p). Jos lisäksi olisi ax+b = 2x 4, niin lineaarioperaattori T : P 3 P 3 saataisiin kaavasta T (c + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 ) = c + c 1 (2x 4) + c 2 (2x 4) 2 + c 3 (2x 4) Lineaarimuunnoksien ominaisuuksia Jos funktio T : V W on lineaarimuunnos, niin kaikille vektoreille v 1 ja v 2 vektoriavaruudessa V ja kaikille skalaareille c 1 ja c 2 on voimassa T (c 1 v 1 + c 2 v 2 ) = T (c 1 v 1 ) + T (c 2 v 2 ) = c 1 T ( v 1 ) + c 2 T ( v 2 ), ja yleisemmin, jos v 1, v 2,..., v n ovat vektoreita vektoriavaruudessa V ja c 1, c 2,..., c n ovat skalaareja, niin (2.1) T (c 1 v 1 + c 2 v c n v n ) = c 1 T ( v 1 ) + c 2 T ( v 2 ) + + c n T ( v n ). Kaavaa (2.1) kuvaillaan joskus sanomalla, että lineaarimuunnos säilyttää lineaarikombinaatiot. Seuraava lause listaa kolme lineaarimuunnosten perusominaisuutta. Lause 1. Jos funktio T : V W on lineaarimuunnos, niin (a) T ( ) = (b) T ( v) = T ( v) kaikilla vektoreilla v vektoriavaruudessa V (c) T ( v w) = T ( v) T ( w) kaikilla vektoreilla v ja w vektoriavaruudessa V. Todistus. Olkoon v mikä tahansa vektori vektoriavaruudessa V. Koska v =, niin T ( ) = T ( v) = T ( v) =, mikä todistaa kohdan (a). Lisäksi T ( v) = T (( 1) v) = ( 1)T ( v) = T ( v), 13

14 mikä todistaa kohdan (b). Lopuksi, v w = v + ( 1) w. Täten T ( v w) = T ( v + ( 1) w) = T ( v) + ( 1)T ( w) = T ( v) T ( w) Toisin sanoen, kohta (a) edeltävässä lauseessa toteaa, että lineaarimuunnos kuvaa vektorin vektorille. Tämä ominaisuus on hyödyllinen epälineaaristen muunnosten tunnistamisessa. Esimerkiksi, kun x on määrätty nollavektorista poikkeava vektori vektoriavaruudessa R 2, niin muunnoksella T ( x) = x + x on geometrinen vaikutus, joka siirtää jokaisen vektorin x etäisyyden x verran yhdensuuntaisesti vektorin x kanssa. Tämä ei ole lineaarimuunnos, sillä T ( ) = x, joten funktio T ei kuvaa vektoria vektorille. 2.4 Lineaarimuunnosten löytäminen kantavektorien kuvista Jos funktio T on matriisimuunnos, niin muunnoksen T standardimatriisi saadaan standardikantavektorien kuvista. Toisin sanoen, standardikantavektorien kuvat määrittelevät matriisimuunnoksen. Tämä on erikoistapaus seuraavasta yleisemmästä tuloksesta. Jos T : V W on lineaarimuunnos, ja jos { v 1, v 2,..., v n } on jokin kanta avaruudelle V, niin minkä tahansa avaruuden V vektorin v kuva T ( v) saadaan laskettua kantavektorien kuvista T ( v 1 ), T ( v 2 ),..., T ( v) n. Tämä voidaan tehdä, kun ensin ilmaistaan vektori v kantavektorien lineaarikombinaationa, esimerkiksi v = c 1 v 1 + c 2 v c n v n, ja sitten kirjoittamalla tämä muotoon T ( v) = c 1 T ( v 1 ) + c 2 T ( v 2 ) + + c n T ( v n ). Siis mitkä tahansa kantavektorien kuvat määrittelevät lineaarimuunnoksen. 14

15 Esimerkki 5. Olkoon S = { v 1, v 2, v 3 } kanta avaruudelle R 3, missä v 1 = (1,, 1), v 2 = (, 1, ) ja v 3 = (1, 1, ). Olkoon T : R 3 R 2 lineaarimuunnos siten, että T ( v 1 ) = (1, 1), T ( v 2 ) = (3, 1) ja T ( v 3 ) = (, 3). Etsitään kaava lineaarimuunnokselle T (x 1, x 2, x 3 ) ja lasketaan sillä muunnos T (3, 2, 1). Ilmaistaan ensin vektori x = (x 1, x 2, x 3 ) kantavektorien v 1 = (1,, 1), v 2 = (, 1, ) ja v 3 = (1, 1, ) lineaarikombinaationa, eli (x 1, x 2, x 3 ) = c 1 (1,, 1) + c 2 (, 1, ) + c 3 (1, 1, ). Yhdistämällä vastaavat komponentit saadaan tästä, että x 1 = c 1 + c 3 x 2 = c 2 + c 3 x 3 = c 1, ja edelleen c 1 = x 3, c 2 = x 1 + x 2 + x 3 ja c 3 = x 1 x 3. Nyt Täten (x 1, x 2, x 3 ) = x 3 (1,, 1) + ( x 1 + x 2 + x 3 )(, 1, ) + (x 1 x 3 )(1, 1, ) = x 3 v 1 + ( x 1 + x 2 + x 3 ) v 2 + (x 1 x 3 ) v 3. T (x 1, x 2, x 3 ) = x 3 T ( v 1 ) + ( x 1 + x 2 + x 3 )T ( v 2 ) + (x 1 x 3 )T ( v 3 ) Tällä kaavalla saadaan, että = x 3 (1, 1) + ( x 1 + x 2 + x 3 )(3, 1) + (x 1 x 3 )(, 3) = ( 3x 1 + 3x 2 + 4x 3, 2x 1 + x 2 x 3 ). T (3, 2, 1) = (1, 7). 2.5 Lineaarimuunnosten yhdistelmät Määritelmä 17. Jos funktiot T 1 : U V ja T 2 : V W ovat lineaarimuunnoksia, niin lineaarimuunnosten T 1 ja T 2 yhdistelmä, merkitään T 2 T 1, on funktio, jonka määrittelee kaava (2.2) (T 2 T 1 )( u) = T 2 (T 1 ( u)), missä u on vektori vektoriavaruudessa U. 15

16 Huomautus 1. Huomioidaan, että tämä määritelmä vaatii, että funktion T 2 lähtöjoukko (joka on vektoriavaruus V ) sisältää funktion T 1 arvojoukon. Tämä on oleellista, että kaava T 2 (T 1 ( u)) olisi mielekäs. Seuraava tulos osoittaa, että kahden lineaarimuunnoksen yhdistelmä on lineaarimuunnos. Lause 2. Jos funktiot T 1 : U V ja T 2 : V W ovat lineaarimuunnoksia, niin myös funktio T 2 T 1 : U W on lineaarimuunnos. Todistus. Jos u ja v ovat vektoreita vektoriavaruudessa U ja c on jokin skalaari, niin kaavasta (2.2) ja funktioiden T 1 ja T 2 lineaarisuudesta seuraa, että ja (T 2 T 1 )( u + v) = T 2 (T 1 ( u + v)) = T 2 (T 1 ( u) + T 1 ( v)) = T 2 (T 1 ( u)) + T 2 (T 1 ( v)) = (T 2 T 1 )( u) + (T 2 T 1 )( v) (T 2 T 1 )(c u) = T 2 (T 1 (c u)) = T 2 (ct 1 ( u)) = ct 2 (T 1 ( u)) = c(t 2 T 1 )( u). Täten T 2 T 1 täyttää lineaarimuunnoksen määritelmän vaatimukset. Esimerkki 6. Olkoot T 1 : P 1 P 2 ja T 2 : P 2 P 2 lineaarimuunnoksia siten, että T 1 (p(x)) = 2xp(x) ja T 2 (p(x)) = p(x + 1). Tällöin yhdistelmä (T 2 T 1 ) : P 1 P 2 saadaan kaavasta (T 2 T 1 )(p(x)) = T 2 (T 1 (p(x))) = T 2 (2xp(x)) = 2(x + 1)p(x + 1). Erityisesti, jos p(x) = c + c 1 x, niin (T 2 T 1 )(p(x)) = (T 2 T 1 )(c + c 1 x) = 2(x + 1)(c + c 1 (x + 1)) = 2c (x + 1) + 2c 1 (x + 1) 2. Esimerkki 7. [1, s. 393, esimerkki 16.] Jos T : V V on jokin lineaarioperaattori ja I : V V on identiteettioperaattori (Määritelmä 14.), niin kaikille vektoreille v vektoriavaruudessa V on voimassa Tästä seuraa, että (T I)( v) = T (I( v)) = T ( v) (I T )( v) = I(T ( v)) = T ( v). T I = T I T = T. 16

17 Lineaarimuunnosten yhdistelmät voidaan määritellä myös useammalle kuin kahdelle lineaarimuunnokselle. Jos esimerkiksi T 1 : U V, T 2 : V W ja T 3 : W Y ovat lineaarimuunnoksia, niin yhdistelmä T 3 T 2 T 1 määritellään (T 3 T 2 T 1 )( u) = T 3 (T 2 (T 1 ( u))). 17

18 Luku 3 Lineaarimuunnoksen ydin ja arvojoukko Tässä luvussa kehitetään joitain lineaarimuunnosten perusominaisuuksia yleistämällä matriisimuunnosten ominaisuuksia. 3.1 Ydin ja arvojoukko Jos A on m n-matriisi, niin matriisin A nolla-avaruus koostuu kaikista sellaisista vektoreista x avaruudessa R n, joilla on voimassa A x =. Matriisin A sarakeavaruus koostuu kaikista vektoreista b avaruudessa R m, joille on olemassa ainakin yksi sellainen vektori x avaruudessa R n, että A x = b on voimassa. Matriisimuunnosten näkökulmasta matriisin A nolla-avaruus koostuu kaikista niistä vektoreista avaruudessa R n jotka kertominen matriisilla A kuvaa nollavektorille, ja sarakeavaruus kaikista niistä vektoreista avaruudessa R m jotka ovat ainakin yhden avaruuden R n vektorin kuvia kertomisessa matriisilla A. Seuraavaksi laajennetaan nämä määritelmät yleisille lineaarimuunnoksille. Määritelmä 18. Jos funkio T : V W on lineaarimuunnos, niin joukkoa vektoreita vektoriavaruudessa V, jotka funktio T kuvaa vektorille, sanotaan funktion T ytimeksi, jota merkitään ker(t ). Vektoriavaruuden W kaikkien niiden vektoreiden joukko, joilla on alkukuva vektoriavaruudessa V, sanotaan funktion T arvojoukoksi, jota merkitään R(T ). Esimerkki 8. [1, s. 395, esimerkki 1. ] Jos lineaarimuunnos T A : R n R m on kertominen m n -matriisilla A, niin lineaarimuunnoksen T A ydin on matriisin A nolla-avaruus, ja arvojoukko matriisin A sarakeavaruus. 18

19 Esimerkki 9. [1, s. 395, esimerkki 2. ] Olkoon T : V W nollamuunnos (Määritelmä 13.) Koska muunnos T kuvaa vektoriavaruuden V jokaisen vektorin nollavektorille, niin ker(t ) = V. Lisäksi nollavektori on vektoriavaruuden V vektorien muunnoksen T ainoa kuva, joten R(T ) = { }. Esimerkki 1. [1, s. 395, esimerkki 3. ] Olkoon I : V V identiteettioperaattori (Määritelmä 14.) Koska I( v) = v jokaisella vektorilla v vektoriavaruudessa V, jokainen vektori vektoriavaruudessa V on jonkin vektorin kuva (itseasiassa itsensä kuva). Täten R(I) = V. Ainoa vektori, jonka identiteettioperaattori I kuvaa nollavektorille, on nollavektori. Siis ker(i) = { }. Esimerkki 11. Olkoon lineaarimuunnos T : R 3 R 3 ortogonaaliprojektio yz-tasoon. Lineaarimuunnoksen T ydin on se pistejoukko, jonka lineaarimuunnos T kuvaa nollavektorille = (,, ). Kyseisen joukon muodostavat kaikki x-akselin pisteet. Koska lineaarimuunnos T kuvaa avaruuden R 3 jokaisen pisteen yz-tasoon, täytyy lineaarimuunnoksen T arvojoukon olla jokin tämän tason aliavaruus. Kuitenkin jokainen piste (, y, z ) yz-tasossa on lineaarimuunnoksen T jostain pisteestä (x, y, z ) muodostama kuva. Siis lineaarimuunnoksen T arvojoukon muodostaa koko yz-taso. Esimerkki 12. Olkoon T : R 2 R 2 lineaarioperaattori, joka muuttaa jokaisen vektorin v xy-tasossa vastavektorikseen v. Koska jokainen vektori xytasossa on jonkin vektorin vastavektori, saadaan arvojoukoksi R(T ) = R 2. Ainoa vektori, jonka lineaarimuunnos T muuttaa nollavektoriksi, on nollavektori itse, joten ker(t ) = { }. 3.2 Ytimen ja arvojoukon ominaisuuksia Edeltävissä esimerkeissä ydin ja arvojoukko osoittautuivat aliavaruuksiksi. Tämä ei ollut sattumaa, vaan seuraus seuraavasta yleisestä tuloksesta. Lause 3. Jos funkio T : V W on lineaarimuunnos, niin (a) funktion T ydin on vektoriavaruuden V aliavaruus (b) funktion T arvojoukko on vektoriavaruuden W aliavaruus. Todistus (a). Että osoitettaisiin ytimen ker(t ) olevan aliavaruus, täytyy näyttää, että se sisältää ainakin yhden vektorin ja on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. Lauseen 1 kohdan (a) mukaan vektori on ytimessä ker(t ), joten tämä joukko sisältää ainakin yhden vektorin. Olkoot v 1 ja v 2 vectoreita ytimessä ker(t ) ja olkoon k jokin skalaari. Tällöin T ( v 1 + v 2 ) = T ( v 1 ) + T ( v 2 ) = + =, 19

20 joten v 1 + v 2 on ytimessä ker(t ). Samoin T (k v 1 ) = kt ( v 1 ) = k =, joten k v 1 on ytimessä ker(t ). Todistus (b). Koska T ( ) =, niin on olemassa ainakin yksi vektori funktion T arvojoukossa R(T ). Olkoot w 1 ja w 2 vektoreita lineaarimuunnoksen T arvojoukossa, ja olkoot k jokin skalaari. Tämän kohdan todistamiseksi osoitetaan, että lineaarimuunnoksen T arvojoukko on sulkeutuva yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. On siis löydettävä vektorit a ja b vektoriavaruudessa V siten, että T ( a) = w 1 + w 2 ja T ( b) = k w 1. Koska vektorit w 1 ja w 2 kuuluvat lineaarimuunnoksen T arvojoukkoon, on olemassa sellaiset vektorit a 1 ja a 2 avaruudessa V, että T ( a 1 ) = w 1 ja T ( a 2 ) = w 2. Olkoot a = a 1 + a 2 ja b = k a 1. Tällöin ja T ( a) = T ( a 1 + a 2 ) = T ( a 1 ) + T ( a 2 ) = w 1 + w 2, T ( b) = T (k a 1 ) = kt ( a 1 ) = k w 1. Täten funktion T arvojoukko on vektoriavaruuden W aliavaruus. 3.3 Lineaarimuunnoksen aste ja nulliteetti Matriisin aste on sen sarakeavaruuden (tai riviavaruuden) dimensio ja nulliteetti sen nolla-avaruuden dimensio. Yleistetään nämä yleisille lineaarimuunnoksille. Määritelmä 19. Jos funktio T : V W on lineaarimuunnos, niin funktion T arvojoukon dimensiota kutsutaan funktion T asteeksi, merkitään rank(t ). Funktion T ytimen dimensiota kutsutaan funktion T nulliteetiksi, merkitään nullity(t ). Jos A on m n -matriisi ja lineaarimuunnos T A : R n R m on kertominen matriisilla A, niin esimerkin 8 mukaan lineaarimuunnoksen T A ydin on matriisin A nolla-avaruus ja arvojoukko matriisin A sarakeavaruus. Täten saadaan seuraava suhde matriisin asteen ja nulliteetin välille sekä vastaavan matriisimuunnoksen asteen ja nulliteetin välille. Lause 4. Jos A on m n -matriisi ja lineaarimuunnos T A : R n R m on kertominen matriisilla A, niin: (a) nullity(t A ) = nullity(a) 2

21 (b) rank(t A ) = rank(a). Esimerkki 13. Olkoon lineaarimuunnos T A : R 6 R 4 kertominen matriisilla A = Tällöin matriisin A aste rank(a) = 3 ja nulliteetti nullity(a) = 3. Täten lauseen 4 mukaan lineaarimuunnoksen T A aste rank(t A ) = 3 ja nulliteetti nullity(t A ) = 3. Esimerkki 14. Olkoon funktio T : R 3 R 3 ortogonaaliprojektio yz-tasolle. Esimerkin 11 mukaan lineaarimuunnoksen T ydin on x-akseli, joka on yksidimensionaalinen. Lineaarimuunnoksen T arvojoukko on yz-taso, joka on kaksidimensionaalinen. Siis, nullity(t ) = 1 ja rank(t ) = Lineaarimuunnosten dimensiolause Matriisien dimensiolauseen mukaan, jos A on n-sarakkeinen matriisi, niin rank(a) + nullity(a) = n. Seuraava lause laajentaa tämän tuloksen yleisille lineaarimuunnoksille. Lause 5 (Lineaarimuunnosten dimensiolause). Jos funktio T : V W on lineaarimuunnos n-ulotteisesta vektoriavaruudesta V vektoriavaruuteen W, niin rank(t ) + nullity(t ) = n. Todistus. On osoitettava, että dim(r(t )) + dim(ker(t )) = n. Oletetaan ensin, että dim(ker(t )) = r, missä 1 r < n, ja muodostakoot vektorit v 1,..., v r jonkin kannan kyseiselle ytimelle. Koska joukko { v 1,..., v r } on lineaarisesti riippumaton, yleisten vektoriavaruuksien aliavaruuksien dimensioiden ominaisuuksista seuraa, että on olemassa vektorit v r+1,..., v n siten, että joukko { v 1,..., v r, v r+1,..., v n } muodostaa avaruuden 21

22 V kannan. Osoitetaan, että n r vektoria joukossa S = {T ( v r+1 ),..., T ( v n )} muodostavat kannan funktion T arvojoukolle. Siitä seuraa, että dim(r(t )) + dim(ker(t )) = (n r) + r = n. Osoitetaan ensin, että joukko S virittää funktion T arvojoukon. Jos b on jokin vektori funktion T arvojoukossa, niin b = T ( v) jollain vektorilla v avaruudessa V. Koska joukko { v 1,..., v r, v r+1,..., v n } on avaruuden V kanta, voidaan vektori v kirjoittaa muodossa v = c 1 v c r v r + c r+1 v r c n v n. Koska vektorit v 1,..., v r kuuluvat funktion T ytimeen, saadaan, että T ( v 1 ) = = T ( v r ) =, joten b = T ( v) = cr+1 T ( v r+1 ) + + c n T ( v n ). Täten joukko S virittää funktion T arvojoukon. Osoitetaan sitten, että joukko S on lineaarisesti riippumaton ja että se muodostaa kannan funktion T arvojoukolle. Oletetaan, että jokin joukon S vektorien lineaarikombinaatio on yhtä kuin nollavektori, eli (3.1) k r+1 T ( v r+1 ) + + k n T ( v n ) =. On osoitettava, että skalaarit k r+1 = = k n =. Koska funktio T on lineaarinen, kohta (3.1) voidaan kirjoittaa muotoon T (k r+1 v r k n v n ) =, mikä tarkoittaa, että vektori k r+1 v r k n v n kuuluu funktion T ytimeen. Täten tämä vektori voidaan ilmaista kantavektorien { v 1,..., v r } lineaarikombinaationa, esimerkiksi Siis k r+1 v r k n v n = k 1 v k r v r. k 1 v k r v r k r+1 v r+1 k n v n =. Koska joukko { v 1,..., v r } on lineaarisesti riippumaton, kaikki skalaarit k ovat yhtä kuin nolla, erityisesti k r+1 = = k n =. Tarkastellaan vielä tapaukset r = ja r = n. Jos r =, eli dim(ker(t )) = (Esimerkki 1.), niin dim(r(t )) + dim(ker(t )) = (n ) + = n. Jos r = n, eli dim(ker(t )) = n (Esimerkki 9.), niin dim(r(t )) + dim(ker(t )) = (n n) + n = n. 22

23 Toisin sanoen tämä lause toteaa, että lineaarimuunnoksen asteen ja nulliteetin summa on yhtä kuin sen määrittelyjoukon dimensio. Esimerkki 15. Olkoon T : R 2 R 2 lineaarioperaattori, joka muuttaa jokaisen vektorin v xy-tasossa vastavektorikseen v. Esimerkin 12 mukaan ker(t ) = { } ja R(T ) = 2. Tällöin rank(t ) + nullity(t ) = + 2 = 2, mikä on yhtäpitävää sen kanssa, että lineaarimuunnoksen T lähtöjoukko on kaksidimensionaalinen. 23

24 Luku 4 Käänteiset lineaarimuunnokset Tässä luvussa laajennetaan injektiivisiä lineaarimuunnoksia avaruudesta R n avaruuteen R m koskevat tulokset yleisille lineaarimuunnoksille. 4.1 Injektiiviset lineaarimuunnokset Lineaarimuunnosta avaruudesta R n avaruuteen R m sanotaan injektiiviseksi lineaarimuunnokseksi, jos se kuvaa avaruuden R n eri vektorit avaruuden R m eri vektoreille. Seuraava määritelmä yleistää tämän tuloksen. Määritelmä 2. Funktiota T : V W sanotaan injektiiviseksi lineaarimuunnokseksi, jos lineaarimuunnos T kuvaa avaruuden V eri vektorit avaruuden W eri vektoreille. Esimerkki 16. Olkoon funktio T : P n P n+2 esimerkin 3 lineaarimuunnos Jos T ( p) = T (p(x)) = x 2 p(x). p = p(x) = c + c 1 x + + c n x n ja q = q(x) = d + d 1 x + + d n x n ovat eri polynomit, ne eroavat toisistaan ainakin yhdessä kertoimessa. Tällöin myös lineaarimuunnokset T ( p) = c x 2 + c 1 x c n x n+2 ja T ( q) = d x 2 + d 1 x d n x n+2 eroavat toisistaan ainakin yhdessä kertoimessa. Siis T on injektiivinen lineaarimuunnos, sillä se kuvaa eri polynomit p ja q eri polynomeille T ( p) ja T ( q). 24

25 Lause 6. Jos funktio T : V W on lineaarimuunnos, niin seuraavat kohdat ovat yhtäpitäviä: (a) T on injektiivinen lineaarimuunnos (b) lineaarimuunnoksen T ydin sisältää vain nollavektorin, eli ker(t ) = { } (c) nullity(t ) =. Todistus. Osoitetaan, että (a) ja (b) sekä (b) ja (c) ovat ekvivalentteja. (a) (b): Oletetaan, että T on injektiivinen lineaarimuunnos, ja olkoon v jokin vektori ytimessä ker(t ). Koska vektorit v ja kuuluvat molemmat ytimeen ker(t ), niin T ( v) = ja T ( ) =, joten T ( v) = T ( ). Koska T on injektiivinen lineaarimuunnos, niin tällöin v =. Täten ydin ker(t ) sisältää vain nollavektorin. (b) (a): Oletetaan, että ker(t ) = ja että v ja w ovat eri vektoreita avaruudessa V, eli (4.1) v w. Todistamiseksi, että funktio T on injektiivinen lineaarimuunnos, täytyy osoittaa, että T ( v) ja T ( w) ovat eri vektoreita. Tehdään vastaoletus, että näin ei ole. Tällöin T ( v) = T ( w) T ( v) T ( w) = T ( v w) =, mistä seuraa, että erotus v w kuuluu funktion T ytimeen. Koska ker(t ) = { }, tästä seuraa, että v w =, mikä on ristiriita kohdan (4.1) kanssa. Siis vastaoletus on väärä ja täten T ( v) ja T ( w) ovat eri vektoreita. (b) (c): Oletetaan, että ker(t ) = { }. On osoitettava, että nullity(t ) =, toisin sanoen, että ytimen ker(t ) dimensio on yhtä kuin. Koska dim(ker(t )) = dim({ }) =, niin nullity(t ) = dim(ker(t )). (c) (b): Oletetaan, että nullity(t ) =. On osoitettava, että ker(t ) = { }. Koska oletuksen mukaan dim(ker(t )) =, niin tästä seuraa suoraan, että ker(t ) = { }. 25

26 Esimerkki 17. Tutkitaan ovatko seuraavat lineaarimuunnokset injektiivisiä muunnoksia selvittämällä ydin tai nulliteetti ja käyttämällä lausetta 6: (a) lineaarimuunnos T : R 2 R 2 muuttaa jokaisen vektorin vastavektorikseen (b) lineaarimuunnos T : R 3 R 3 on ortogonaaliprojektio yz-tasolle (c) lineaarimuunnos T : R 6 R 4 on kertominen matriisilla A = Ratkaisu (a): esimerkin 12 mukaan ker(t ) = { }, joten funktio T on injektiivinen lineaarimuunnos. Ratkaisu (b): esimerkin 11 mukaan ydin ker(t ) sisältää nollavektorista poikkeavia vektoreita, joten funktio T ei ole injektiivinen lineaarimuunnos. Ratkaisu (c): esimerkin 13 mukaan nullity(t ) = 3, joten T ei ole injektiivinen lineaarimuunnos. Erikoistapauksessa, jossa funktio T on äärellisdimensionaalisen vektoriavaruuden lineaarioperaattori, voidaan lauseeseen 6 lisätä neljäs ekvivalentti kohta. Lause 7. Jos V on äärellisdimensionaalinen vektoriavaruus ja funktio T : V W on lineaarioperaattori, niin seuraavat kohdat ovat yhtäpitäviä: (a) T on injektiivinen lineaarimuunnos (b) ker(t ) = { } (c) nullity(t ) = (d) funktion T arvojoukko on vektoriavaruus V, eli R(T ) = V. Todistus. Kohdat (a), (b) ja (c) on jo osoitettu ekvivalenteiksi, joten todistetaan vielä kohtien (c) ja (d) yhtäpitävyys. (c) (d): Oletetaan, että dim(v ) = n ja nullity(t ) =. Dimensiolauseesta (lause 5) seuraa, että rank(t ) = n nullity(t ) = n. 26

27 Määritelmän mukaan rank(t ) on funktion T arvojoukon dimensio, joten funktion T arvojoukon dimensio on n. Koska funktion T arvojoukolla R(T ) ja vektoriavaruudella V on sama dimensio, niin R(T ) = V. [1, s. 254, lause ] (d) (c): Oletetaan, että dim(v ) = n ja R(T ) = V. Tällöin dim(r(t )) = n, eli rank(t ) = n. Dimensiolauseen mukaan nyt nullity(t ) = n rank(t ) = n n =. Esimerkki 18. Olkoon matriisioperaattori T A : R 5 R 5 kertominen matriisilla A = Matriisin A determinantti det(a) =, sillä matriisin A kaksi ensimmäistä riviä ovat verrannollisia, ja täten matriisi A ei ole kääntyvä eikä T A ole injektiivinen matriisioperaattori. [1, s. 21, lause ] 4.2 Käänteiset lineaarimuunnokset Injektiivisen matriisioperaattorin T A : R n R n käänteisfunktio on matriisioperaattori T A 1 : R n R n, ja jos vektori w on kuva, jonka funktio T A on muodostanut vektorista x, niin käänteisfunktio T A 1 kuvaa vektorin w takaisin vektorille x. Laajennetaan tämä tulos yleisille lineaarimuunnoksille. Jos funktio T : V W on lineaarimuunnos, niin funktion T arvojoukko on avaruuden W aliavaruus, ja se koostuu kaikista funktion T avaruuden V vektoreista muodostamista kuvista. Jos funktio T on injektiivinen lineaarimuunnos, niin jokaisella vektorilla v avaruudessa V on yksikäsitteinen kuvavektori w = T ( v) arvojoukossa R(T ). Kuvavektorin yksikäsitteisyyden vuoksi voidaan määritellä lineaarimuunnoksen T käänteismuunnos, jota merkitään T 1, ja joka kuvaa vektorin w takaisin vektorille v. Käänteismuunnoksen määritelmästä seuraa, että T 1 (T ( v)) = T 1 ( w) = v T (T 1 ( w)) = T ( v) = w, ja täten, kun lineaarimuunnokset T ja T 1 suoritetaan peräkkäin kummassa tahansa järjestyksessä, ne kumoavat toisensa. 27

28 Huomautus 2. On tärkeää huomata, että jos funktio T : V W on injektiivinen lineaarimuunnos, niin käänteismuunnoksen T 1 lähtöjoukko on lineaarimuunnoksen T arvojoukko. Kyseinen arvojoukko ei välttämättä ole koko avaruus W. Erikoistapauksessa, jossa funktio T : V V on injektiivinen lineaarioperaattori, käänteismuunnoksen T 1 lähtöjoukko on koko avaruus V, sillä lauseen 7 mukaan R(T ) = V. Esimerkki 19. Esimerkissä 16 osoitettiin, että lineaarimuunnos T : P n P n+2, missä T ( p) = T (p(x)) = x 2 p(x), on injektiivinen lineaarimuunnos. Täten lineaarimuunnoksella T on käänteismuunnos. Tässä lineaarimuunnoksen T arvojoukko ei ole koko avaruus P n+2, vaan arvojoukko R(T ) on avaruuden P n+2 aliavaruus, joka koostuu polynomeista joilla ei ole vakiotermejä. Tämä selviää lineaarimuunnoksen T kaavasta T (c + c 1 x + + c n x n ) = c x 2 + c 1 x c n x n+2. Tämän seurauksena käänteismuunnos T 1 : R(T ) P n saadaan kaavasta T 1 (c x 2 + c 1 x c n x n+2 ) = c + c 1 x + + c n x n. Esimerkiksi tapauksessa n = 3 saadaan, että T 1 (3x + 4x 2 2x 3 ) = 3 + 4x 2x 2. Esimerkki 2. Määritellään lineaarioperaattori T : R 2 R 2 kaavalla T (x 1, x 2 ) = (2x 1 x 2, x 1 + x 2 ). Tällöin lineaarimuunnoksen T standardimatriisi on [ ] 2 1 [T ] =. 1 1 Tämä matriisi on kääntyvä, ja käänteismuunnoksen T 1 standardimatriisiksi saadaan [ ] 1 1 [T 1 ] = [T ] 1 =, 1 2 sillä käänteismuunnoksen T 1 standardimatriisi on lineaarimuunnoksen T standardimatriisin käänteismatriisi. [1, s. 22, kaava (1)] Tästä seuraa, että ([ ]) [ ] [ ] [ ] [ ] T 1 x1 = [T 1 x1 1 1 x1 x1 + x ] = = 2. x 2 x x 2 x 1 + 2x 2 Siis lineaarioperaattori T on injektiivinen lineaarimuunnos, ja käänteismuunnos T 1 määritellään kaavalla T 1 (x 1, x 2 ) = (x 1 + x 2, x 1 + 2x 2 ). 28

29 4.3 Käänteismuunnosten yhdistelmät Seuraava lause osoittaa, että injektiivisten lineaarimuunnosten yhdistelmä on injektiivinen lineaarimuunnos, ja että yhdistelmän käänteismuunnos palautuu yksittäisten lineaarimuunnosten käänteismuunnoksiin. Lause 8. Jos funktiot T 1 : U V ja T 2 : V W ovat injektiivisiä lineaarimuunnoksia, niin (a) T 2 T 1 on injektiivinen lineaarimuunnos (b) (T 2 T 1 ) 1 = T 1 1 T 1 2. Todistus (a). On osoitettava, että yhdistelmä T 2 T 1 kuvaa avaruuden U eri vektorit avaruuden W eri vektoreille. Jos u ja v ovat eri vektoreita avaruudessa U, niin myös T 1 ( u) ja T 1 ( v) ovat eri vektoreita avaruudessa V, sillä T 1 on injektiivinen lineaarimuunnos. Koska myös T 2 on injektiivinen lineaarimuunnos, niin tällöin myös T 2 (T 1 ( u)) ja T 2 (T 1 ( v)) ovat eri vektoreita. Yllä olevat vektorit voidaan kirjoittaa myös muotoon (T 2 T 1 )( u) ja (T 2 T 1 )( v), joten yhdistelmä T 2 T 1 kuvaa vektorit u ja v avaruuden W eri vektoreille. Todistus (b). On osoitettava, että (T 2 T 1 ) 1 ( w) = (T 1 1 T 1 2 )( w) pätee jokaiselle vektorille w yhdistelmän T 2 T 1 arvojoukossa. Olkoon (4.2) u = (T 2 T 1 ) 1 ( w) ja osoitetaan, että Kohdasta (4.2) seuraa, että tai vastaavasti u = (T 1 1 T 1 2 )( w). (T 2 T 1 )( u) = w, T 2 (T 1 ( u)) = w. Suoritetaan nyt käänteismuunnokset T 1 2 ja T 1 1 tässä järjestyksessä edeltävän yhtälön molemmille puolille. Saadaan, että u = T 1 1 (T 1 2 ( w)), 29

30 tai vastaavasti u = (T 1 1 T 1 2 )( w). Toisin sanoen lause 8 toteaa, että yhdiselmän käänteismuunnos on käänteismuunnosten yhdistelmä käänteisessä järjestyksessä. Tulos on voimassa myös kolmen tai useamman lineaarimuunnoksen yhdistelmälle, esimerkiksi (T 3 T 2 T 1 ) 1 = T 1 1 T 1 2 T 1 3. Erikoistapauksessa, jossa T A, T B ja T C ovat avaruuden R n matriisioperaattoreita, voidaan edeltävä kaava kirjoittaa muodossa tai vastaavasti (T C T B T A ) 1 = T 1 A T 1 B (T CBA ) 1 = T A 1 B 1 C 1. T 1 C, Siis tämän kaavan mukaan yhdistelmän käänteismuunnoksen standardimatriisi on yksittäisten operaattorien standardimatriisien käänteismuunnosten tulo käänteisessä järjestyksessä. 3

31 Luku 5 Yleisten lineaarimuunnosten matriisit Tässä luvussa osoitetaan, että jos V ja W ovat äärellisdimensionaalisia vektoriavaruuksia, voidaan mikä tahansa lineaarimuunnos T : V W huomioida matriisimuunnoksena. Perusideana on työstää vektoreiden koordinaattimatriiseja itse vektoreiden sijaan. 5.1 Lineaarimuunnosten matriisit Olkoot V ja W n- ja m-dimensionaaliset vektoriavaruudet ja funktio T : V W lineaarimuunnos. Jos B ja B ovat vektoriavaruuksien V ja W kannat, niin jokaisella vektorilla x avaruudessa V koordinaattimatriisi [ x] B on avaruuden R n vektori, ja koordinaattimatriisi [T ( x)] B on avaruuden R m vektori. Nyt myös kuvaus avaruudesta R n avaruudelle R m on lineaarimuunnos. Olkoon A tämän lineaarimuunnoksen standardimatriisi. Tällöin (5.1) A[ x] B = [T ( x)] B. Matriisia A kaavassa (5.1) kutsutaan lineaarimuunnoksen T kantoja B ja B vastaavaksi matriisiksi. Osoitetaan seuraavaksi, miten kaavan (5.1) matriisi A voidaan laskea. Olkoon B = { u 1, u 2,..., u n } kanta n-dimensionaaliselle vektoriavaruudelle V ja B = { v 1, v 2,..., v m } kanta m-dimensionaaliselle vektoriavaruudelle W. Etsitään siis m n -matriisia a 11 a a 1n a 21 a a 2n A =... a m1 a m2... a mn 31

32 siten, että kaava (5.1) on voimassa kaikille vektoriavaruuden V vektoreille x. Erityisesti halutaan, että kaava on voimassa kantavektoreille u 1, u 2,..., u n, siis että (5.2) A[ u 1 ] B = [T ( u 1 )] B, A[ u 2 ] B = [T ( u 2 )] B,..., A[ u n ] B = [T ( u n )] B. Mutta joten 1 1 [ u 1 ] B =, [ u 2 ] B =,..., [ u n ] B =, a 11 a a 1n a 21 a a 2n A[ u 1 ] B = =.... a m1 a m2... a mn a 11 a a 1n a 21 a a 2n 1 A[ u 2 ] B = =.... a m1 a m2... a mn. a 11 a a 1n a 21 a a 2n A[ u n ] B = =.... a m1 a m2... a mn 1 Sijoittamalla nämä kohdan (5.2) kaavaan saadaan a 11 a 21. a m1 = [T ( u 1)] B, a 12 a 22. a m2 = [T ( u 2)] B,..., a 1n a 2n. a mn a 11 a 21. a m1 a 12 a 22. a m2 a 1n a 2n. a mn. = [T ( u n)] B, mikä osoittaa, että matriisin A sarakkeet ovat lineaarimuunnoksen T kantaa B vastaavia koordinaattimatriiseja T ( u 1 ), T ( u 2 ),..., T ( u n ). 32

33 Täten lineaarimuunnoksen T kantoja B ja B vastaava matriisi on A = [ [T ( u 1 )] B [T ( u 2 )] B... [T ( u n )] B ]. Tätä matriisia merkitään yleisesti symbolilla [T ] B, B, joten edeltävä kaava voidaan kirjoittaa myös muotoon (5.3) [T ] B, B = [ [T ( u 1 )] B [T ( u 2 )] B... [T ( u n )] B ], ja kohdan (5.1) perusteella tällä matriisilla on ominaisuus (5.4) [T ] B, B[ x] B = [T ( x)] B. Huomautus 3. Huomioidaan, että merkinnässä [T ] B, B oikeanpuoleinen alaindeksi on funktion T lähtöjoukon kanta ja vasemmanpuoleinen alaindeksi on funktion T kuva-avaruuden kanta. 5.2 Lineaarioperaattorien matriisit Erikoistapauksessa, jossa vektoriavaruuksille V ja W on voimassa V = W eli funktio T : V V on lineaarioperaattori, oletetaan yleensä, että B = B, kun funktion T matriisia konstruoidaan. Tällöin muodostuvaa matriisia kutsutaan lineaarioperaattorin T kantaa B vastaavaksi matriisiksi ja sitä merkitään [T ] B. Jos kanta B = { u 1, u 2,..., u n }, niin kaavat (5.3) ja (5.4) saadaan muotoihin (5.5) [T ] B = [ ] [T ( u 1 )] B [T ( u 2 )] B... [T ( u n )] B ja (5.6) [T ] B [ x] B = [T ( x)] B. Epämuodollisesti voidaan todeta, että kohtien (5.4) ja (5.6) mukaan funktion T ja vektorin x koordinaattimatriisin tulo muodostaa funktion T ( x) koordinaattimatriisin. Esimerkki 21. Olkoon lineaarimuunnos T : P 2 P 3 määritelty kaavalla T (p(x)) = xp(x). 33

34 Etsitään lineaarimuunnoksen T standardikantoja B ja B vastaava matriisi, missä B = { u 1, u 2, u 3 } ja B = { v 1, v 2, v 3, v 4 } ja u 1 = 1, u 2 = x, u 3 = x 2, v 1 = 1, v 2 = x, v 3 = x 2 ja v 4 = x 3. Lineaarimuunnoksen T kaavasta saadaan, että T ( u 1 ) = T (1) = (x)(1) = 1 T ( u 2 ) = T (x) = (x)(x) = x 2 T ( u 3 ) = T (x 2 ) = (x)(x 2 ) = x 3. Tällöin lineaarimuunnosten T ( u 1 ), T ( u 2 ) ja T ( u 3 ) kantaa B vastaaviksi koordinaattimatriiseiksi saadaan [T ( u 1 )] B = 1, [T ( u 2)] B = 1 ja [T ( u 3)] B =. 1 Täten lineaarimuunnoksen T kantoja B ja B vastaava matriisi on [T ] B, B = [ [T ( u 1 )] B [T ( u 2 )] B [T ( u 3 )] ] B = Esimerkki 22. Olkoon T : P 2 P 3 edellisen esimerkin lineaarimuunnos. Osoitetaan, että matriisi [T ] B, B = toteuttaa kaavan (5.4) avaruuden P 2 jokaisella vektorilla v = a + bx + cx 2. Koska x = p(x) = a + bx + cx 2, niin T ( x) = xp(x) = ax + bx 2 + cx 3. 34

35 Edellisessä esimerkissä määritellyillä kannoilla B ja B saadaan, että a [ x] B = [a + bx + cx 2 ] B = b c [T ( x)] B = [ax + bx 2 + cx 3 ] B = a b. c Täten [T ] B, B[ x] B = 1 a 1 b = a b = [T ( x)] B, c 1 c joten kaava (5.4) on voimassa. Esimerkki 23. Olkoon lineaarimuunnos T : R 2 R 3 määritelty kaavalla ([ ]) x 1 x1 T = 4x x 1 + 5x x x 2 Etsitään lineaarimuunnoksen T kantoja B ja B vastaava matriisi, kun B = { u 1, u 2 } on avaruuden R 2 kanta ja B = { v 1, v 2, v 3 } on avaruuden R 3 kanta, missä u 1 = [ ] 2, u 1 2 = [ ] 4, v 3 1 = 2 2 1, v 2 = ja v 3 = 1 1 Lineaarimuunnoksen T kaavasta saadaan, että 2 4 T ( u 1 ) = 3 ja T ( u 2 ) = Kun ilmaistaan nämä vektorit vektorien v 1, v 2 ja v 3 lineaarikombinaatioina, saadaan T ( u 1 ) = v 1 + v 2 ja T ( u 2 ) = v 1 v v 3. Täten 1 1 [T ( u 1 )] B = 1 ja [T ( u 2 )] B =

36 Siis [T ] B, B = [ ] 1 1 [T ( u 1 )] B [T ( u 2 )] B = Esimerkki 24. Olkoon lineaarioperaattori T : R 2 R 2 määritelty kaavalla ([ ]) [ ] x1 8x1 4x T = 2 x 2 2x 1 + 2x 2 ja olkoon B = { u 1, u 2 } kanta, missä [ ] 1 u 1 = ja u 1 2 = (a) Etsitään matriisi [T ] B. [ ] 2. 1 (b) Todistetaan, että kaava (5.6) on voimassa avaruuden R 2 jokaisella vektorilla x. Ratkaisu (a): lineaarimuunnoksen T kaavasta saadaan [ ] [ ] 4 12 T ( u 1 ) = = 4 u 4 1 ja T ( u 2 ) = = 6 u 6 2. Täten ja edelleen Ratkaisu (b): Jos vektori [T ( u 1 )] B = [ ] 4 ja [T ( u 2 )] B = [ ] 6 [T ] B = [ [ ] ] 4 [T ( u 1 )] B [T ( u 2 )] B =. 6 (5.7) x = [ x1 on jokin avaruuden R 2 vektori, niin lineaarimuunnoksen T kaavasta saadaan [ ] 8x1 4x (5.8) T ( x) = 2. 2x 1 + 2x 2 Matriisien [ x] B ja [T ( x)] B löytämiseksi on ilmaistava kohtien (5.7) ja (5.8) vektorit vektorien u 1 ja u 2 lineaarikombinaatioina. Tällöin saadaan vektoriyhtälöt [ ] [ ] [ ] x1 1 2 = k x 1 + k [ ] [ ] [ ] 8x1 4x = c 2x 1 + 2x 1 + c x 2 ] 36

37 Nämä tuottavat lineaarisysteemit ja k 1 + 2k 2 = x 1 k 1 + k 2 = x 2 c 1 + 2c 2 = 8x 1 4x 2 c 1 + c 2 = 2x 1 + 2x 2. Ratkaisemalla ensimmäinen lineaarisysteemi saadaan joten k 1 = x 1 + 2x 2 ja k 2 = x 1 x 2, [ ] x1 + 2x [ x] B = 2, x 1 x 2 ja ratkaisemalla jälkimmäinen lineaarisysteemi saadaan joten Täten c 1 = 4x 1 + 8x 2 ja c 2 = 6x 1 6x 2, [ ] 4x1 + 8x [T ( x)] B = 2. 6x 1 6x 2 [ ] [ ] [ ] 4 x1 + 2x [T ] B [ x] B = 2 4x1 + 8x = 2 = [T ( x)] 6 x 1 x 2 6x 1 6x B, 2 joten kaava (5.6) on voimassa. 5.3 Identiteettioperaattorien matriisit Olkoon B = { u 1, u 2,..., u n } jokin kanta jollekin äärellisdimensionaaliselle vektoriavaruudelle V ja olkoon I : V V tämän vektoriavaruuden identiteettioperaattori. Tällöin I( u 1 ) = u 1, I( u 2 ) = u 2,..., I( u n ) = u n. Täten 1 1 [I( u 1 )] B =, [I( u 2 )] B =,..., [I( u n )] B =

38 Siis [I] B =... = I Edelleen mitä tahansa kantaa vastaavan identiteettioperaattorin matriisi on n n -identiteettimatriisi. Kaavan (5.6) mukaan [I] B [ x] B = [I( x)] B = [ x] B, mikä on yhtäpitävää sen kanssa, että [I] B = I. 5.4 Lineaarimuunnosten matriisien hyöty Yleisten lineaarimuunnosten matriisien tutkimiselle on kaksi pääasiallista syytä, joista toinen on teoreettinen ja toinen hyvin käytännöllinen: Vastaukset teoreettisiin kysymyksiin yleisten lineaarimuunnosten rakenteista äärellisdimensionaalisissa vektoriavaruuksissa voidaan usein saada selville tutkimalla matriisimuunnoksia. Nämä matriisit mahdollistavat vektorien kuvien laskemisen käyttämällä matriisien kertolaskua. Tietokoneet pystyvät suorittamaan tällaiset laskutoimitukset hyvin nopeasti. Tarkastellaan seuraavaksi lähemmin jälkimmäistä ideaa. Olkoon T : V W lineaarimuunnos. Tällöin lineaarimuunnos T ( x) voidaan laskea matriisin [T ] B,B avulla kolmessa vaiheessa seuraavalla epäsuoralla tavalla: 1. Lasketaan koordinaattimatriisi [ x] B. 2. Kerrotaan matriisi [ x] B vasemmalta matriisilla [T ] B,B matriisin [T ( x)] B tuottamiseksi. 3. Rekonstruoidaan lineaarimuunnos T ( x) sen koordinaattimatriisista [T ( x)] B. Esimerkki 25. Määritellään lineaarioperaattori T : P 3 P 3 kaavalla T (p(x)) = p(2x 4), jolloin T (c + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 ) = c + c 1 (2x 4) + c 2 (2x 4) 2 + c 3 (2x 4) 3. 38

39 (a) Etsitään kantaa B = {1, x, x 2, x 3 } vastaava matriisi [T ] B. (b) Lasketaan epäsuoralla tavalla T (1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 ). (c) Tarkistetaan kohdan (b) tulos laskemalla suoraan T (1+2x+3x 2 +4x 3 ). Ratkaisu (a): lineaarimuunnoksen T kaavasta saadaan T (1) = 1 T (x) = 2x 4 T (x 2 ) = (2x 4) 2 = 4x 2 16x + 16 T (x 3 ) = (2x 4) 3 = 8x 3 48x x 64, joten [T (1)] B =, [T (x)] B = 2, [T (x2 )] B = 16 4 ja [T (x3 )] B = Täten [T ] B = Ratkaisu (b): vektorin p = 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 kantaa B vastaava koordinaattimatriisi on 1 [ p] B = Täten kaavasta (5.6) saadaan [T (1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 )] B = [T ( p)] B = [T ] B [ p] B = = 34 18, mistä seuraa, että T (1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 ) = x 18x x 3. 39

40 Ratkaisu (c): suoraan laskemalla saadaan T (1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 ) =1 + 2(2x 4) + 3(2x 4) 2 + 4(2x 4) 3 =1 + 4x x 2 48x x 3 192x x 256 = x 18x x 3, kuten saatiin myös kohdassa (b). 5.5 Yhdistelmien ja käänteismuunnosten matriisit Seuraavat lauseet yleistävät tuloksia, jotka koskevat lineaarimuunnoksia avaruudesta R n avaruudelle R m. Niiden todistukset sivuutetaan. Lause 9. Jos funktiot T 1 : U V ja T 2 : V W ovat lineaarimuunnoksia ja B, B ja B ovat kannat vektoriavaruuksille U, V ja W, niin (5.9) [T 2 T 1 ] B, B = [T 2 ] B, B [T 1] B, B. Lause 1. Jos funktio T : V V on lineaarioperaattori ja jos B on kanta vektoriavaruudelle V, niin seuraavat kohdat ovat yhtäpitäviä: (a) funktio T on injektiivinen lineaarioperaattori (b) matriisi [T ] B on kääntyvä. Lisäksi, kun nämä ekvivalentit kohdat ovat voimassa, niin (5.1) [T 1 ] B = [T ] 1 B. Huomautus 4. Kaavassa (5.9) sisempi alaindeksi B näyttää häviävän, jättäen yhdistelmän alaindekseiksi vain lähtöjoukon ja kuva-avaruuden kannat. Tämän häviämisen pohjalta saadaan kaavaan (5.9) laajennus kolmen lineaarimuunnoksen yhdistelmälle seuraavasti: [T 3 T 2 T 1 ] B, B = [T 3 ] B, B [T 2] B, B [T 1] B, B. Seuraava esimerkki havainnollistaa lausetta 9. 4

41 Esimerkki 26. Olkoon T 1 : P 2 P 3 lineaarimuunnos siten, että T 1 (p(x)) = xp(x) ja olkoon T 3 : P 3 P 3 lineaarioperaattori siten, että T 2 (p(x)) = p(2x 4). Tällöin yhdistelmä (T 2 T 1 ) : P 2 P 3 saadaan kaavasta (T 2 T 1 )(p(x)) = T 2 (T 1 (p(x))) = T 2 (xp(x)) = (2x 4)p(2x 4). Täten, jos p(x) = c + c 1 x + c 2 x 2, niin (T 2 T 1 )(c + c 1 x + c 2 x 2 ) = (2x 4)(c + c 1 (2x 4) + c 2 (2x 4) 2 ) = c (2x 4) + c 1 (2x 4) 2 + c 2 (2x 4) 3. Tässä esimerkissä avaruus P 2 on lauseen 9 avaruuden U roolissa ja avaruus P 3 on sekä avaruuden V että W rooleissa. Täten kaavassa (5.9) on B = B, joten kyseinen kaava yksinkertaistuu muotoon (5.11) [T 2 T 1 ] B, B = [T 2 ] B [T 1 ] B, B. Valitaan B = {1, x, x 2 } avaruuden P 2 kannaksi ja B = {1, x, x 2, x 3 } avaruuden P 3 kannaksi. Esimerkeissä 21 ja 25 osoitettiin, että [T 1 ] B, B = 1 1 ja [T 2] B = Täten kohdasta (5.11) seuraa, että [T 2 T 1 ] B, B = (5.12) = Tarkistetaan tämä vielä laskemalla [T 2 T 1 ] B, B suoraan kaavalla (5.3). Koska B = {1, x, x 2 } on kanta, niin vektoreilla u 1 = 1, u 2 = x ja u 3 = x 2 kaavasta (5.3) saadaan (5.13) [T 2 T 1 ] B, B = [ [(T 2 T 1 )(1)] B [(T 2 T 1 )(x)] B [(T 2 T 1 )(x 2 )] B ]. 41

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä 7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006 Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut 2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Lotta Oinonen ja Johanna Rämö 6. joulukuuta 2012 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos 2012 Sisältö 1 Avaruus R n 4 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit.....................

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus. 1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:

Lisätiedot

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/310 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

1 Tensoriavaruuksista..

1 Tensoriavaruuksista.. 1 Tensoriavaruuksista.. Käydään läpi kirjan (1) sivut 126-133. 19.02.2007 Palautetaaieleen viime kerran tärkeä määritelmä: (kirja, Määr. 5.12). Määritelmä 1.1 Olkoon T vektoriavaruus ja Φ : V 1 V 2 V m

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

Lineaarikuvauksista ja niiden geometrisesta tulkinnasta

Lineaarikuvauksista ja niiden geometrisesta tulkinnasta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Katri Syvänen Lineaarikuvauksista ja niiden geometrisesta tulkinnasta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Tammikuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3. Lineaariset koodit Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 2 / 22 3.1 Lineaarisen koodin määrittely Olkoon F äärellinen kunta.

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä) Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

HILBERTIN AVARUUKSISTA

HILBERTIN AVARUUKSISTA HILBERTIN AVARUUKSISTA Pro gradu -tutkielma Hannariikka Lehtiniemi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Jyväskylän yliopisto syksy 2014 TIIVISTELMÄ Ääretönulotteiset avaruudet ovat monilta ominaisuuksiltaan

Lisätiedot

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella

Lisätiedot

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna

Lisätiedot

Lineaarialgebra II P

Lineaarialgebra II P Lineaarialgebra II 89P Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:.

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

2 / :03

2 / :03 file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse / 8 76 3:3 Kysymys Pisteet,, Määritellään positiivisten reaalilukujen joukossa R + = {x R x > } yhteenlasku ja skalaarikertolasku seuraavasti:

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin

Lisätiedot

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 25. lokakuuta 2015 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus... 111 16 Aliavaruus... 117 16.1 Vektoreiden

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Lineaarikuvaukset Lineaarikuvaus Olkoot U ja V

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2. HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2016 Harjoitus 3 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 29.8.2016 klo 13.15. Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 29.3.2016 4. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut 1. Olkoon u (4,0,4,2) ja v ( 1,1,3,5) vektoreita vektoriavaruudessa R 4. Annetun sisätulon (x,y) indusoima normi on x (x,x) ja

Lisätiedot

Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104

Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina 7.12. viimeiset demot (12.12. ja 13.12. viimeiset luennot). Torstaina 14.12 on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot

Lisätiedot

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi / kertaus

Matemaattinen Analyysi / kertaus Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 9

Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo ja pituus Vektorien välinen kulma Motivointi Tähän asti olemme tarkastelleet yhden

Lisätiedot

Similaarisuus. Määritelmä. Huom.

Similaarisuus. Määritelmä. Huom. Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma

Lisätiedot

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus Lineaarikuvaus Ominaisarvo 0-68

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus Lineaarikuvaus Ominaisarvo 0-68 SISÄLTÖ Sisältö pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 0-1 2 Sisätuloavaruus 0-20 3 Lineaarikuvaus 0-41 4 Ominaisarvo 0-68 5 Esimerkkejä 0-88 1. Lineaariavaruus eli V 1 Lineaariavaruus

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 27. marraskuuta 2015 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Vektoriavaruuksien R 2 ja R 3 vektorit........................

Lisätiedot

Lineaarialgebra (muut ko)

Lineaarialgebra (muut ko) Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/103 Lineaarialgebra (muut ko) Tero Laihonen Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/103 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v

Lisätiedot

Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo

Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Antti Rasila 2016 Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Jos {v 1, v 2,..., v k } on äärellisulotteisen vektoriavaruuden V lineaarisesti riippumaton

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 8. Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo

Talousmatematiikan perusteet: Luento 8. Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo Talousmatematiikan perusteet: Luento 8 Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo Motivointi Esim. Herkkumatikka maksaa 50 /kg. Paljonko

Lisätiedot

MS-A0002 Matriisilaskenta Luento 1:Vektorit ja lineaariyhdistelyt

MS-A0002 Matriisilaskenta Luento 1:Vektorit ja lineaariyhdistelyt MS-A0002 Matriisilaskenta Luento 1:Vektorit ja lineaariyhdistelyt Antti Rasila 2016 Vektorit Pysty- eli sarakevektori v = ( v1 v 2 missä v 1, v 2 ovat v:n komponentit. ), Matriisilaskenta 2/6 Vektorit

Lisätiedot

1. Normi ja sisätulo

1. Normi ja sisätulo Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Laskutoimitusten operaattorinormeista

Laskutoimitusten operaattorinormeista Laskutoimitusten operaattorinormeista Rami Luisto 27. tammikuuta 2012 Tiivistelmä Tässä kirjoitelmassa määrittelemme vektoriavaruuksien väliselle lineaarikuvaukselle normin ja laskemme sen eksplisiittisesti

Lisätiedot

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin

Lisätiedot

LINEAARIALGEBRA A 2016 TOMI ALASTE EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF

LINEAARIALGEBRA A 2016 TOMI ALASTE EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF LINEAARIALGEBRA 83A 6 EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF TOMI ALASTE SISÄLTÖ Sisältö Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 3 Lineaarikuvaus 4 Ominaisarvo 34 5 Esimerkkejä 44 . Lineaariavaruus

Lisätiedot

2. REAALIKERTOIMISET VEKTORIAVARUUDET

2. REAALIKERTOIMISET VEKTORIAVARUUDET 30 REAALIKERTOIMISET VEKTORIAVARUUDET 1 Koordinaattiavaruus R n Olkoon n N = {1,, 3, } positiivinen kokonaisluku (luonnollisten lukujen joukko on tällä kurssilla N = {0, 1,, 3, }) Merkitään R n = R n 1

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2015 Harjoitus 4 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 862015 klo 1615 Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin

Lisätiedot

(1.1) Ae j = a k,j e k.

(1.1) Ae j = a k,j e k. Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0

Matriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0 MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 22 Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V, kun a V = R 3 ja S = {(1,0, 1,(2,0,4,( 5,0,2,(0,0,1} b V = P 2 (R ja S = {t1,t 2 1,t 2 t} ( ( 1 0 c

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot