Yleiset lineaarimuunnokset
|
|
- Lotta Hyttinen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29
2 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos TUOMINEN, KARI: Yleiset lineaarimuunnokset Pro gradu -tutkielma, 43 s. Matematiikka Toukokuu 29 Tiivistelmä Tässä tutkielmassa tarkastellaan yleisiä lineaarimuunnoksia. Ensimmäisessä luvussa käydään läpi joitain oleellisia esitietoja. Toisessa luvussa määritellään yleinen lineaarimuunnos sekä tutustutaan erilaisiin lineaarimuunnoksiin. Kolmannessa luvussa määritellään lineaarimuunnoksen ydin ja arvojoukko sekä näiden ominaisuuksia, sekä todistetaan yleisten lineaarimuunnosten dimensiolause. Neljännessä luvussa määritellään käänteiset lineaarimuunnokset. Viidennessä luvussa tutustutaan lineaarimuunnosten matriiseihin sekä niiden hyötyyn. 2
3 Sisältö Johdanto 4 1 Esitiedot 5 2 Yleiset lineaarimuunnokset Yleisen lineaarimuunnoksen määritelmä Erilaisia lineaarimuunnoksia Lineaarimuunnoksien ominaisuuksia Lineaarimuunnosten löytäminen kantavektorien kuvista Lineaarimuunnosten yhdistelmät Lineaarimuunnoksen ydin ja arvojoukko Ydin ja arvojoukko Ytimen ja arvojoukon ominaisuuksia Lineaarimuunnoksen aste ja nulliteetti Lineaarimuunnosten dimensiolause Käänteiset lineaarimuunnokset Injektiiviset lineaarimuunnokset Käänteiset lineaarimuunnokset Käänteismuunnosten yhdistelmät Yleisten lineaarimuunnosten matriisit Lineaarimuunnosten matriisit Lineaarioperaattorien matriisit Identiteettioperaattorien matriisit Lineaarimuunnosten matriisien hyöty Yhdistelmien ja käänteismuunnosten matriisit Kirjallisuutta 43 3
4 Johdanto Yleisillä lineaarimuunnoksilla on monia tärkeitä sovelluksia fysiikassa, tekniikassa ja matematiikan eri aloilla. Tässä tutkielmassa tutustutaan yleisiin lineaarimuunnoksiin mielivaltaisesta vektoriavaruudesta V mielivaltaiseen vektoriavaruuteen W. Ensimmäisessä luvussa käydään läpi joitain tutkielman sisällön kannalta oleellisia määritelmiä ja käsitteitä. Toisessa luvussa määritellään yleinen lineaarimuunnos, tutustutaan erilaisiin lineaarimuunnoksiin sekä niiden ominaisuuksiin, käydään läpi lineaarimuunnosten löytäminen kantavektorien kuvista ja määritellään lineaarimuunnosten yhdistelmät. Kolmannessa luvussa määritellään lineaarimuunnosten ydin ja arvojoukko, joiden avulla saadaan määriteltyä lineaarimuunnosten aste ja nulliteetti. Lopuksi käydään läpi lineaarimuunnosten dimensiolause. Neljännessä luvussa määritellään ensin injektiiviset lineaarimuunnokset, joiden avulla saadaan määriteltyä käänteiset lineaarimuunnokset. Lopuksi määritellään käänteisten lineaarimuunnosten yhdistelmät. Viidennessä luvussa tutustutaan erilaisten lineaarimuunnosten matriiseihin sekä niiden hyötyyn. Lukijalta oletetaan lineaarialgebran perusteiden tuntemusta. Useat tulokset pohjautuvat lineaarialgebran kursseilla esitettyihin tuloksiin, jotka tässä tutkielmassa yleistetään mielivaltaisille vektoriavaruuksille. Lähdeteoksena toimii Howard Antonin kirja Elementary linear algebra, jota tutkielma seuraa melko suoraan. Tutkielman todistukset ovat lähdeteoksesta, mutta niitä on saatettu täydentää. Esimerkit ovat tutkielman kirjoittajan omia, ellei toisin mainita, mutta niihin on otettu mallia lähdeteoksen esimerkeistä. 4
5 Luku 1 Esitiedot Käydään ensin lävitse joitain tutkielmassa esiintyviä määritelmiä ja käsitteitä. Määritelmä 1. Olkoon V mielivaltainen epätyhjä joukko vektoreita, jossa on määritelty yhteenlasku ja skalaarilla kertominen. Jos seuraavat aksioomat ovat voimassa joukon V kaikille vektoreille u, v ja w ja kaikille skalaareille k ja l, niin joukko V on vektoriavaruus. 1. Jos vektorit u ja v kuuluvat joukkoon V, niin myös niiden summa u+ v kuuluu joukkoon V 2. u + v = v + u 3. u + ( v + w) = ( u + v) + w 4. joukko V sisältää sellaisen vektorin, että + u = u + = u kaikilla vektoreilla u joukossa V, ja jota kutsutaan joukon V nollavektoriksi 5. jokaisella vektorilla u joukossa V on olemassa vastavektori u siten, että u + ( u) = ( u) + u = 6. jos k on jokin skalaari ja u jokin joukon V vektori, niin myös vektori k u kuuluu joukkoon V 7. k( u + v) = k u + k v 8. (k + l) u = k u + l u 9. k(l u) = (kl)( u) 1. 1 u = u. 5
6 Määritelmä 2. Vektoriavaruuden V osajoukkoa W sanotaan vektoriavaruuden V aliavaruudeksi, jos osajoukko W on itse vektoriavaruus vektoriavaruudessa V määriteltyjen yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. Määritelmä 3. Jos v on jokin vektoriavaruuden V vektori ja k on jokin skalaari, niin k v = jos k = tai v =. lineaari- Määritelmä 4. Vektoria w kutsutaan vektoreiden v 1, v 2,..., v r kombinaatioksi, jos se voidaan esittää muodossa missä k 1, k 2,..., k r ovat skalaareja. w = k 1 v 1 + k 2 v k r v r, Määritelmä 5. Jos S = { v 1, v 2,..., v r } on joukko vektoreita vektoriavaruudessa V, niin vektoriavaruuden V aliavaruutta W, joka sisältää vain joukon S vektoreiden lineaarikombinaatioita, kutsutaan vektoreiden v 1, v 2,..., v r virittämäksi avaruudeksi. Toisin sanoen tällöin vektorit v 1, v 2,..., v r virittävät aliavaruuden W. Määritelmä 6. Jos S = { v 1, v 2,..., v r } on epätyhjä joukko vektoreita, niin vektoriyhtälöllä k 1 v 1 + k 2 v k r v r = on ainakin yksi ratkaisu, nimittäin k 1 =, k 2 =,..., k r =. Jos tämä on ainut ratkaisu, niin joukkoa S kutsutaan lineaarisesti riippumattomaksi joukoksi. Jos muita ratkaisuja on olemassa, niin joukkoa S kutsutaan lineaarisesti riippuvaiseksi joukoksi. Määritelmä 7. Jos V on vektoriavaruus ja S = { v 1, v 2,..., v n } on jokin joukko vektoreita vektoriavaruudessa V, niin joukko S on vektoriavaruuden V kanta, jos seuraavat kaksi ehtoa ovat voimassa: (a) joukko S on lineaarisesti riippumaton (b) joukko S virittää vektoriavaruuden V. Määritelmä 8. Vektoriavaruuden V sisätulo on funktio, joka liittää reaaliluvun < u, v > jokaiseen vektoripariin u ja v vektoriavaruudessa V siten, että seuraavat aksioomat ovat tosia kaikille vektoreille u, v ja w vektoriavaruudessa V ja kaikille skalaareille k. 1. < u, v >=< v, u > 6
7 2. < u + v, w >=< u, w > + < v, w > 3. < k u, v >= k < u, v > 4. < v, v > ja < v, v >=, jos ja vain jos v =. Vektoriavaruutta, jolla on sisätulo, kutsutaan sisätuloavaruudeksi. Määritelmä 9. Olkoot u ja v vektoreita sisätuloavaruudessa V. Jos < u, v >=, niin vektoreita u ja v kutsutaan ortogonaalisiksi. Lisäksi, jos vektori u on ortogonaalinen jonkin joukon W jokaisen vektorin kanssa, sanotaan, että vektori u on ortogonaalinen joukolle W. Määritelmä 1. Joukkoa vektoreita sisätuloavaruudessa kutsutaan ortogonaaliseksi joukoksi, jos mitkä tahansa kaksi eri vektoria joukossa ovat keskenään ortogonaaliset. Ortogonaalista joukkoa, jossa jokaisen vektorin normi on 1, kutsutaan ortonormaaliksi. Määritelmä 11. Olkoon V sisätuloavaruus ja sisältäköön se ortonormaalin joukon vektoreita { v 1, v 2,..., v r }. Jos W on vektoreiden v 1, v 2,..., v r virittämä avaruus, niin jokainen vektori u avaruudessa V voidaan ilmaista muodossa u = w 1 + w 2, missä w 1 kuuluu avaruuteen W ja w 2 on ortogonaalinen avaruuden W kanssa asettamalla ja w 1 =< u, v 1 > v 1 + < u, v 2 > v < u, v r > v r w 2 = u < u, v 1 > v 1 < u, v 2 > v 2 < u, v r > v r. Vektoria w 1 kutsutaan vektorin u ortogonaaliprojektioksi avaruudessa W ja sitä merkitään proj w u. Vektoria w 2 = u proj w u kutsutaan vektorin u ortogonaalikomponentiksi avaruudelle W. 7
8 Luku 2 Yleiset lineaarimuunnokset 2.1 Yleisen lineaarimuunnoksen määritelmä Lineaarimuunnos avaruudesta R n avaruuteen R m on määritelty funktiona T (x 1, x 2,..., x n ) = (w 1, w 2,..., w m ), missä jonoja x 1, x 2,..., x n ja w 1, w 2,..., w m koskevat yhtälöt ovat lineaarisia. Vastaavasti on määritelty, että muunnosfunktio T : R n R m on lineaarinen jos ja vain jos seuraavat yhtälöt ovat tosia kaikilla vektoreilla u ja v avaruudessa R n ja jokaisella skalaarilla c: T ( u + v) = T ( u) + T ( v) T (c u) = ct ( u). Seuraavaksi määritellään näiden ominaisuuksien avulla yleinen lineaarimuunnos. Määritelmä 12. Jos T : V W on funktio vektoriavaruudesta V vektoriavaruuteen W, niin funktiota T kutsutaan lineaarimuunnokseksi vektoriavaruudesta V vektoriavaruuteen W, jos kaikille vektoreille u ja v vektoriavaruudessa V ja kaikille skalaareille c pätee 1. T ( u + v) = T ( u) + T ( v) 2. T (c u) = ct ( u). Erikoistapauksessa V = W lineaarimuunnosta T : V V kutsutaan vektoriavaruuden V lineaarioperaattoriksi. 8
9 2.2 Erilaisia lineaarimuunnoksia Koska edeltävä yleisen lineaarimuunnoksen määritelmä perustui lineaarimuunnokseen avaruudesta R n avaruuteen R m, on tämä lineaarimuunnos myös yleisen määritelmän mukaan. Jatkossa lineaarimuunnoksia avaruudesta R n avaruuteen R m kutsutaan matriisimuunnoksiksi, sillä ne voidaan suorittaa matriisien kertolaskulla. Määritelmä 13. Olkoot V ja W mitkä tahansa kaksi vektoriavaruutta. Kuvaus T : V W, jossa T ( v) = kaikilla vektoreilla v vektoriavaruudessa V, on lineaarimuunnos, jota kutsutaan nollamuunnokseksi. Osoitetaan, että kuvaus T on lineaarinen. Koska niin selvästi T ( u + v) = T ( u) =, T ( v) = T (k u) =, T ( u + v) = T ( u) + T ( v) T (k u) = kt ( u). Määritelmä 14. Olkoon V jokin vektoriavaruus. Määritellään kuvaus I : V V funktiolla I( v = v) ja kutsutaan sitä vektoriavaruuden V identiteettioperaattoriksi. Täten Osoitetaan vielä, että I on lineaarinen. Määritelmästä seuraa, että T ( u + v) = u + v T ( u) = u, T ( v) = v T (k u) = k u. T ( u + v) = T ( u) + T ( v) T (k u) = kt ( u). Määritelmä 15. Olkoon V jokin vektoriavaruus ja k jokin kiinnitetty skalaari. Tällöin funktio T : V V, missä T ( v) = k v, on vektoriavaruuden V lineaarioperaattori, sillä T ( u + v) = k( u + v) = k u + k v = T ( u) + T ( v) 9
10 ja T (j v) = jk v = jt ( v), missä j on jokin skalaari. Tätä lineaarioperaattoria kutsutaan vektoriavaruuden V laajennukseksi kertoimella k, jos k > 1. Jos < k < 1, sitä kutsutaan avaruuden V supistukseksi kertoimella k. Geometrisesti laajennus venyttää jokaista vektoriavaruuden V vektoria kertoimen k verran, ja vektoriavaruuden V supistus tiivistää sen jokaista vektoria kertoimen k verran. Määritelmä 16. Ortogonaaliprojektiot avaruudesta R m aliavaruudelle W voidaan määritellä yleisillä sisätuloavaruuksilla seuraavasti: Oletetaan, että sisätuloavaruuden V aliavaruuden W dimensio on äärellinen. Tällöin avaruuden V ortogonaaliprojektiota aliavaruudelle W merkitään T ( v) = proj W v. Jos S = { w 1, w 2,..., w r } on mikä tahansa ortonormaali kanta aliavaruudelle W, niin funktio T ( v) saadaan kaavasta T ( v) = proj W v =< v, w 1 > w 1 + < v, w 2 > w < v, w r > w r. Todistus, että funktio T on lineaarimuunnos, seuraa sisätulon ominaisuuksista. Esimerkiksi T (k u) =< k u, w 1 > w 1 + < k u, w 2 > w < k u, w r > w r = k < u, w 1 > w 1 + k < u, w 2 > w k < u, w r > w r = kt ( u). Vastaavasti T ( u + v) = T ( u) + T ( v). Esimerkki 1. Erikoistapauksena edeltävästä määritelmästä olkoon vektoriavaruus V = R 3 Euklidisella sisätulolla. Vektorit w 1 = (, 1, ) ja w 2 = (,, 1) muodostavat ortonormaalin kannan yz-tasolle. Tällöin, jos v = (x, y, z) on mikä tahansa avaruuden R 3 vektori, niin avaruuden R 3 ortogonaaliprojektio yz-tasoon saadaan kaavasta T ( v) =< v, w 1 > w 1 + < v, w 2 > w 2 = y(, 1, ) + z(,, 1) = (, y, z). 1
11 Esimerkki 2. Olkoon S = { w 1, w 2,..., w n } kanta jollekin n-dimensionaaliselle vektoriavaruudelle V, ja olkoon v jokin vektori avaruudessa V. Nyt vektori v voidaan ilmaista kantavektorien lineaarikombinaationa Tällöin v = k 1 w 1 + k 2 w k n w n. k 1 k 2 [ v] S =. on vektoriavaruuden V vektorin v kantaa S vastaava koordinaattimatriisi. Määritellään T : V R n funktioksi, joka kuvaa vektorin v kantaa S vastaavalle koordinaattimatriisilleen. Siis k n k 1 k 2 T ( v) = [ v] S =.. Kyseinen funktio T on lineaarimuunnos. Tämän osoittamiseksi oletetaan, että u ja v ovat vektoreita vektoriavaruudessa V ja että u = c 1 w 1 + c 2 w c n w n ja v = d 1 w 1 + d 2 w d n w n. k n Täten c 1 c 2 [ u] S =. c n d 1 d 2 [ v] S =.. d n Mutta u + v = (c 1 + d 1 ) w 1 + (c 2 + d 2 ) w (c n + d n ) w n k u = (kc 1 ) w 1 + (kc 2 ) w (kc n ) w n, 11
12 joten c 1 + d 1 c 2 + d 2 [ u + v] S =. c n + d n kc 1 kc 2 [k u] S =.. kc n Täten [ u + v] S = [ u] S + [ v] S ja [k u] S = k[ u] S. Kun ilmaistaan nämä yhtälöt funktion T avulla, saadaan T ( u + v) = T ( u) + T ( v) ja T (k u) = kt ( u), joten funktio T on lineaarimuunnos. Esimerkki 3. Olkoon vektori p = p(x) = c + c 1 x + + c n x n polynomi avaruudessa P n ja määritellään funktio T : P n P n+2 kaavalla T ( p) = T (p(x)) = x 2 p(x) = c x 2 + c 1 x c n x n+2. Funktio T on lineaarimuunnos, sillä millä tahansa skalaarilla k ja kaikilla polynomeilla p 1 ja p 2 on voimassa ja T ( p 1 + p 2 ) = T (p 1 (x) + p 2 (x)) = x 2 (p 1 (x) + p 2 (x)) = x 2 p 1 (x) + x 2 p 2 (x) = T (p 1 (x)) + T (p 2 (x)) = T ( p 1 ) + T ( p 2 ) T (k p) = T (kp(x)) = x 2 (kp(x)) = k(x 2 p(x)) = kt (p(x)) = kt ( p). Esimerkki 4. Olkoon vektori p = p(x) = c + c 1 x + + c n x n polynomi avaruudessa P n ja olkoot a ja b mitkä tahansa skalaarit. Olkoon funktio T määritelty kaavalla T ( p) = T (p(x)) = p(ax + b) = c + c 1 (ax + b) + + c n (ax + b) n. 12
13 Funktio T on lineaarioperaattori, sillä ja T ( p 1 + p 2 ) = T (p 1 (x) + p 2 (x)) = p 1 (ax + b) + p 2 (ax + b) = T (p 1 (x)) + T (p 2 (x)) = T ( p 1 ) + T ( p 2 ) T (k p) = T (kp(x)) = kp(ax + b) = kt (p(x)) = kt ( p). Jos lisäksi olisi ax+b = 2x 4, niin lineaarioperaattori T : P 3 P 3 saataisiin kaavasta T (c + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 ) = c + c 1 (2x 4) + c 2 (2x 4) 2 + c 3 (2x 4) Lineaarimuunnoksien ominaisuuksia Jos funktio T : V W on lineaarimuunnos, niin kaikille vektoreille v 1 ja v 2 vektoriavaruudessa V ja kaikille skalaareille c 1 ja c 2 on voimassa T (c 1 v 1 + c 2 v 2 ) = T (c 1 v 1 ) + T (c 2 v 2 ) = c 1 T ( v 1 ) + c 2 T ( v 2 ), ja yleisemmin, jos v 1, v 2,..., v n ovat vektoreita vektoriavaruudessa V ja c 1, c 2,..., c n ovat skalaareja, niin (2.1) T (c 1 v 1 + c 2 v c n v n ) = c 1 T ( v 1 ) + c 2 T ( v 2 ) + + c n T ( v n ). Kaavaa (2.1) kuvaillaan joskus sanomalla, että lineaarimuunnos säilyttää lineaarikombinaatiot. Seuraava lause listaa kolme lineaarimuunnosten perusominaisuutta. Lause 1. Jos funktio T : V W on lineaarimuunnos, niin (a) T ( ) = (b) T ( v) = T ( v) kaikilla vektoreilla v vektoriavaruudessa V (c) T ( v w) = T ( v) T ( w) kaikilla vektoreilla v ja w vektoriavaruudessa V. Todistus. Olkoon v mikä tahansa vektori vektoriavaruudessa V. Koska v =, niin T ( ) = T ( v) = T ( v) =, mikä todistaa kohdan (a). Lisäksi T ( v) = T (( 1) v) = ( 1)T ( v) = T ( v), 13
14 mikä todistaa kohdan (b). Lopuksi, v w = v + ( 1) w. Täten T ( v w) = T ( v + ( 1) w) = T ( v) + ( 1)T ( w) = T ( v) T ( w) Toisin sanoen, kohta (a) edeltävässä lauseessa toteaa, että lineaarimuunnos kuvaa vektorin vektorille. Tämä ominaisuus on hyödyllinen epälineaaristen muunnosten tunnistamisessa. Esimerkiksi, kun x on määrätty nollavektorista poikkeava vektori vektoriavaruudessa R 2, niin muunnoksella T ( x) = x + x on geometrinen vaikutus, joka siirtää jokaisen vektorin x etäisyyden x verran yhdensuuntaisesti vektorin x kanssa. Tämä ei ole lineaarimuunnos, sillä T ( ) = x, joten funktio T ei kuvaa vektoria vektorille. 2.4 Lineaarimuunnosten löytäminen kantavektorien kuvista Jos funktio T on matriisimuunnos, niin muunnoksen T standardimatriisi saadaan standardikantavektorien kuvista. Toisin sanoen, standardikantavektorien kuvat määrittelevät matriisimuunnoksen. Tämä on erikoistapaus seuraavasta yleisemmästä tuloksesta. Jos T : V W on lineaarimuunnos, ja jos { v 1, v 2,..., v n } on jokin kanta avaruudelle V, niin minkä tahansa avaruuden V vektorin v kuva T ( v) saadaan laskettua kantavektorien kuvista T ( v 1 ), T ( v 2 ),..., T ( v) n. Tämä voidaan tehdä, kun ensin ilmaistaan vektori v kantavektorien lineaarikombinaationa, esimerkiksi v = c 1 v 1 + c 2 v c n v n, ja sitten kirjoittamalla tämä muotoon T ( v) = c 1 T ( v 1 ) + c 2 T ( v 2 ) + + c n T ( v n ). Siis mitkä tahansa kantavektorien kuvat määrittelevät lineaarimuunnoksen. 14
15 Esimerkki 5. Olkoon S = { v 1, v 2, v 3 } kanta avaruudelle R 3, missä v 1 = (1,, 1), v 2 = (, 1, ) ja v 3 = (1, 1, ). Olkoon T : R 3 R 2 lineaarimuunnos siten, että T ( v 1 ) = (1, 1), T ( v 2 ) = (3, 1) ja T ( v 3 ) = (, 3). Etsitään kaava lineaarimuunnokselle T (x 1, x 2, x 3 ) ja lasketaan sillä muunnos T (3, 2, 1). Ilmaistaan ensin vektori x = (x 1, x 2, x 3 ) kantavektorien v 1 = (1,, 1), v 2 = (, 1, ) ja v 3 = (1, 1, ) lineaarikombinaationa, eli (x 1, x 2, x 3 ) = c 1 (1,, 1) + c 2 (, 1, ) + c 3 (1, 1, ). Yhdistämällä vastaavat komponentit saadaan tästä, että x 1 = c 1 + c 3 x 2 = c 2 + c 3 x 3 = c 1, ja edelleen c 1 = x 3, c 2 = x 1 + x 2 + x 3 ja c 3 = x 1 x 3. Nyt Täten (x 1, x 2, x 3 ) = x 3 (1,, 1) + ( x 1 + x 2 + x 3 )(, 1, ) + (x 1 x 3 )(1, 1, ) = x 3 v 1 + ( x 1 + x 2 + x 3 ) v 2 + (x 1 x 3 ) v 3. T (x 1, x 2, x 3 ) = x 3 T ( v 1 ) + ( x 1 + x 2 + x 3 )T ( v 2 ) + (x 1 x 3 )T ( v 3 ) Tällä kaavalla saadaan, että = x 3 (1, 1) + ( x 1 + x 2 + x 3 )(3, 1) + (x 1 x 3 )(, 3) = ( 3x 1 + 3x 2 + 4x 3, 2x 1 + x 2 x 3 ). T (3, 2, 1) = (1, 7). 2.5 Lineaarimuunnosten yhdistelmät Määritelmä 17. Jos funktiot T 1 : U V ja T 2 : V W ovat lineaarimuunnoksia, niin lineaarimuunnosten T 1 ja T 2 yhdistelmä, merkitään T 2 T 1, on funktio, jonka määrittelee kaava (2.2) (T 2 T 1 )( u) = T 2 (T 1 ( u)), missä u on vektori vektoriavaruudessa U. 15
16 Huomautus 1. Huomioidaan, että tämä määritelmä vaatii, että funktion T 2 lähtöjoukko (joka on vektoriavaruus V ) sisältää funktion T 1 arvojoukon. Tämä on oleellista, että kaava T 2 (T 1 ( u)) olisi mielekäs. Seuraava tulos osoittaa, että kahden lineaarimuunnoksen yhdistelmä on lineaarimuunnos. Lause 2. Jos funktiot T 1 : U V ja T 2 : V W ovat lineaarimuunnoksia, niin myös funktio T 2 T 1 : U W on lineaarimuunnos. Todistus. Jos u ja v ovat vektoreita vektoriavaruudessa U ja c on jokin skalaari, niin kaavasta (2.2) ja funktioiden T 1 ja T 2 lineaarisuudesta seuraa, että ja (T 2 T 1 )( u + v) = T 2 (T 1 ( u + v)) = T 2 (T 1 ( u) + T 1 ( v)) = T 2 (T 1 ( u)) + T 2 (T 1 ( v)) = (T 2 T 1 )( u) + (T 2 T 1 )( v) (T 2 T 1 )(c u) = T 2 (T 1 (c u)) = T 2 (ct 1 ( u)) = ct 2 (T 1 ( u)) = c(t 2 T 1 )( u). Täten T 2 T 1 täyttää lineaarimuunnoksen määritelmän vaatimukset. Esimerkki 6. Olkoot T 1 : P 1 P 2 ja T 2 : P 2 P 2 lineaarimuunnoksia siten, että T 1 (p(x)) = 2xp(x) ja T 2 (p(x)) = p(x + 1). Tällöin yhdistelmä (T 2 T 1 ) : P 1 P 2 saadaan kaavasta (T 2 T 1 )(p(x)) = T 2 (T 1 (p(x))) = T 2 (2xp(x)) = 2(x + 1)p(x + 1). Erityisesti, jos p(x) = c + c 1 x, niin (T 2 T 1 )(p(x)) = (T 2 T 1 )(c + c 1 x) = 2(x + 1)(c + c 1 (x + 1)) = 2c (x + 1) + 2c 1 (x + 1) 2. Esimerkki 7. [1, s. 393, esimerkki 16.] Jos T : V V on jokin lineaarioperaattori ja I : V V on identiteettioperaattori (Määritelmä 14.), niin kaikille vektoreille v vektoriavaruudessa V on voimassa Tästä seuraa, että (T I)( v) = T (I( v)) = T ( v) (I T )( v) = I(T ( v)) = T ( v). T I = T I T = T. 16
17 Lineaarimuunnosten yhdistelmät voidaan määritellä myös useammalle kuin kahdelle lineaarimuunnokselle. Jos esimerkiksi T 1 : U V, T 2 : V W ja T 3 : W Y ovat lineaarimuunnoksia, niin yhdistelmä T 3 T 2 T 1 määritellään (T 3 T 2 T 1 )( u) = T 3 (T 2 (T 1 ( u))). 17
18 Luku 3 Lineaarimuunnoksen ydin ja arvojoukko Tässä luvussa kehitetään joitain lineaarimuunnosten perusominaisuuksia yleistämällä matriisimuunnosten ominaisuuksia. 3.1 Ydin ja arvojoukko Jos A on m n-matriisi, niin matriisin A nolla-avaruus koostuu kaikista sellaisista vektoreista x avaruudessa R n, joilla on voimassa A x =. Matriisin A sarakeavaruus koostuu kaikista vektoreista b avaruudessa R m, joille on olemassa ainakin yksi sellainen vektori x avaruudessa R n, että A x = b on voimassa. Matriisimuunnosten näkökulmasta matriisin A nolla-avaruus koostuu kaikista niistä vektoreista avaruudessa R n jotka kertominen matriisilla A kuvaa nollavektorille, ja sarakeavaruus kaikista niistä vektoreista avaruudessa R m jotka ovat ainakin yhden avaruuden R n vektorin kuvia kertomisessa matriisilla A. Seuraavaksi laajennetaan nämä määritelmät yleisille lineaarimuunnoksille. Määritelmä 18. Jos funkio T : V W on lineaarimuunnos, niin joukkoa vektoreita vektoriavaruudessa V, jotka funktio T kuvaa vektorille, sanotaan funktion T ytimeksi, jota merkitään ker(t ). Vektoriavaruuden W kaikkien niiden vektoreiden joukko, joilla on alkukuva vektoriavaruudessa V, sanotaan funktion T arvojoukoksi, jota merkitään R(T ). Esimerkki 8. [1, s. 395, esimerkki 1. ] Jos lineaarimuunnos T A : R n R m on kertominen m n -matriisilla A, niin lineaarimuunnoksen T A ydin on matriisin A nolla-avaruus, ja arvojoukko matriisin A sarakeavaruus. 18
19 Esimerkki 9. [1, s. 395, esimerkki 2. ] Olkoon T : V W nollamuunnos (Määritelmä 13.) Koska muunnos T kuvaa vektoriavaruuden V jokaisen vektorin nollavektorille, niin ker(t ) = V. Lisäksi nollavektori on vektoriavaruuden V vektorien muunnoksen T ainoa kuva, joten R(T ) = { }. Esimerkki 1. [1, s. 395, esimerkki 3. ] Olkoon I : V V identiteettioperaattori (Määritelmä 14.) Koska I( v) = v jokaisella vektorilla v vektoriavaruudessa V, jokainen vektori vektoriavaruudessa V on jonkin vektorin kuva (itseasiassa itsensä kuva). Täten R(I) = V. Ainoa vektori, jonka identiteettioperaattori I kuvaa nollavektorille, on nollavektori. Siis ker(i) = { }. Esimerkki 11. Olkoon lineaarimuunnos T : R 3 R 3 ortogonaaliprojektio yz-tasoon. Lineaarimuunnoksen T ydin on se pistejoukko, jonka lineaarimuunnos T kuvaa nollavektorille = (,, ). Kyseisen joukon muodostavat kaikki x-akselin pisteet. Koska lineaarimuunnos T kuvaa avaruuden R 3 jokaisen pisteen yz-tasoon, täytyy lineaarimuunnoksen T arvojoukon olla jokin tämän tason aliavaruus. Kuitenkin jokainen piste (, y, z ) yz-tasossa on lineaarimuunnoksen T jostain pisteestä (x, y, z ) muodostama kuva. Siis lineaarimuunnoksen T arvojoukon muodostaa koko yz-taso. Esimerkki 12. Olkoon T : R 2 R 2 lineaarioperaattori, joka muuttaa jokaisen vektorin v xy-tasossa vastavektorikseen v. Koska jokainen vektori xytasossa on jonkin vektorin vastavektori, saadaan arvojoukoksi R(T ) = R 2. Ainoa vektori, jonka lineaarimuunnos T muuttaa nollavektoriksi, on nollavektori itse, joten ker(t ) = { }. 3.2 Ytimen ja arvojoukon ominaisuuksia Edeltävissä esimerkeissä ydin ja arvojoukko osoittautuivat aliavaruuksiksi. Tämä ei ollut sattumaa, vaan seuraus seuraavasta yleisestä tuloksesta. Lause 3. Jos funkio T : V W on lineaarimuunnos, niin (a) funktion T ydin on vektoriavaruuden V aliavaruus (b) funktion T arvojoukko on vektoriavaruuden W aliavaruus. Todistus (a). Että osoitettaisiin ytimen ker(t ) olevan aliavaruus, täytyy näyttää, että se sisältää ainakin yhden vektorin ja on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. Lauseen 1 kohdan (a) mukaan vektori on ytimessä ker(t ), joten tämä joukko sisältää ainakin yhden vektorin. Olkoot v 1 ja v 2 vectoreita ytimessä ker(t ) ja olkoon k jokin skalaari. Tällöin T ( v 1 + v 2 ) = T ( v 1 ) + T ( v 2 ) = + =, 19
20 joten v 1 + v 2 on ytimessä ker(t ). Samoin T (k v 1 ) = kt ( v 1 ) = k =, joten k v 1 on ytimessä ker(t ). Todistus (b). Koska T ( ) =, niin on olemassa ainakin yksi vektori funktion T arvojoukossa R(T ). Olkoot w 1 ja w 2 vektoreita lineaarimuunnoksen T arvojoukossa, ja olkoot k jokin skalaari. Tämän kohdan todistamiseksi osoitetaan, että lineaarimuunnoksen T arvojoukko on sulkeutuva yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. On siis löydettävä vektorit a ja b vektoriavaruudessa V siten, että T ( a) = w 1 + w 2 ja T ( b) = k w 1. Koska vektorit w 1 ja w 2 kuuluvat lineaarimuunnoksen T arvojoukkoon, on olemassa sellaiset vektorit a 1 ja a 2 avaruudessa V, että T ( a 1 ) = w 1 ja T ( a 2 ) = w 2. Olkoot a = a 1 + a 2 ja b = k a 1. Tällöin ja T ( a) = T ( a 1 + a 2 ) = T ( a 1 ) + T ( a 2 ) = w 1 + w 2, T ( b) = T (k a 1 ) = kt ( a 1 ) = k w 1. Täten funktion T arvojoukko on vektoriavaruuden W aliavaruus. 3.3 Lineaarimuunnoksen aste ja nulliteetti Matriisin aste on sen sarakeavaruuden (tai riviavaruuden) dimensio ja nulliteetti sen nolla-avaruuden dimensio. Yleistetään nämä yleisille lineaarimuunnoksille. Määritelmä 19. Jos funktio T : V W on lineaarimuunnos, niin funktion T arvojoukon dimensiota kutsutaan funktion T asteeksi, merkitään rank(t ). Funktion T ytimen dimensiota kutsutaan funktion T nulliteetiksi, merkitään nullity(t ). Jos A on m n -matriisi ja lineaarimuunnos T A : R n R m on kertominen matriisilla A, niin esimerkin 8 mukaan lineaarimuunnoksen T A ydin on matriisin A nolla-avaruus ja arvojoukko matriisin A sarakeavaruus. Täten saadaan seuraava suhde matriisin asteen ja nulliteetin välille sekä vastaavan matriisimuunnoksen asteen ja nulliteetin välille. Lause 4. Jos A on m n -matriisi ja lineaarimuunnos T A : R n R m on kertominen matriisilla A, niin: (a) nullity(t A ) = nullity(a) 2
21 (b) rank(t A ) = rank(a). Esimerkki 13. Olkoon lineaarimuunnos T A : R 6 R 4 kertominen matriisilla A = Tällöin matriisin A aste rank(a) = 3 ja nulliteetti nullity(a) = 3. Täten lauseen 4 mukaan lineaarimuunnoksen T A aste rank(t A ) = 3 ja nulliteetti nullity(t A ) = 3. Esimerkki 14. Olkoon funktio T : R 3 R 3 ortogonaaliprojektio yz-tasolle. Esimerkin 11 mukaan lineaarimuunnoksen T ydin on x-akseli, joka on yksidimensionaalinen. Lineaarimuunnoksen T arvojoukko on yz-taso, joka on kaksidimensionaalinen. Siis, nullity(t ) = 1 ja rank(t ) = Lineaarimuunnosten dimensiolause Matriisien dimensiolauseen mukaan, jos A on n-sarakkeinen matriisi, niin rank(a) + nullity(a) = n. Seuraava lause laajentaa tämän tuloksen yleisille lineaarimuunnoksille. Lause 5 (Lineaarimuunnosten dimensiolause). Jos funktio T : V W on lineaarimuunnos n-ulotteisesta vektoriavaruudesta V vektoriavaruuteen W, niin rank(t ) + nullity(t ) = n. Todistus. On osoitettava, että dim(r(t )) + dim(ker(t )) = n. Oletetaan ensin, että dim(ker(t )) = r, missä 1 r < n, ja muodostakoot vektorit v 1,..., v r jonkin kannan kyseiselle ytimelle. Koska joukko { v 1,..., v r } on lineaarisesti riippumaton, yleisten vektoriavaruuksien aliavaruuksien dimensioiden ominaisuuksista seuraa, että on olemassa vektorit v r+1,..., v n siten, että joukko { v 1,..., v r, v r+1,..., v n } muodostaa avaruuden 21
22 V kannan. Osoitetaan, että n r vektoria joukossa S = {T ( v r+1 ),..., T ( v n )} muodostavat kannan funktion T arvojoukolle. Siitä seuraa, että dim(r(t )) + dim(ker(t )) = (n r) + r = n. Osoitetaan ensin, että joukko S virittää funktion T arvojoukon. Jos b on jokin vektori funktion T arvojoukossa, niin b = T ( v) jollain vektorilla v avaruudessa V. Koska joukko { v 1,..., v r, v r+1,..., v n } on avaruuden V kanta, voidaan vektori v kirjoittaa muodossa v = c 1 v c r v r + c r+1 v r c n v n. Koska vektorit v 1,..., v r kuuluvat funktion T ytimeen, saadaan, että T ( v 1 ) = = T ( v r ) =, joten b = T ( v) = cr+1 T ( v r+1 ) + + c n T ( v n ). Täten joukko S virittää funktion T arvojoukon. Osoitetaan sitten, että joukko S on lineaarisesti riippumaton ja että se muodostaa kannan funktion T arvojoukolle. Oletetaan, että jokin joukon S vektorien lineaarikombinaatio on yhtä kuin nollavektori, eli (3.1) k r+1 T ( v r+1 ) + + k n T ( v n ) =. On osoitettava, että skalaarit k r+1 = = k n =. Koska funktio T on lineaarinen, kohta (3.1) voidaan kirjoittaa muotoon T (k r+1 v r k n v n ) =, mikä tarkoittaa, että vektori k r+1 v r k n v n kuuluu funktion T ytimeen. Täten tämä vektori voidaan ilmaista kantavektorien { v 1,..., v r } lineaarikombinaationa, esimerkiksi Siis k r+1 v r k n v n = k 1 v k r v r. k 1 v k r v r k r+1 v r+1 k n v n =. Koska joukko { v 1,..., v r } on lineaarisesti riippumaton, kaikki skalaarit k ovat yhtä kuin nolla, erityisesti k r+1 = = k n =. Tarkastellaan vielä tapaukset r = ja r = n. Jos r =, eli dim(ker(t )) = (Esimerkki 1.), niin dim(r(t )) + dim(ker(t )) = (n ) + = n. Jos r = n, eli dim(ker(t )) = n (Esimerkki 9.), niin dim(r(t )) + dim(ker(t )) = (n n) + n = n. 22
23 Toisin sanoen tämä lause toteaa, että lineaarimuunnoksen asteen ja nulliteetin summa on yhtä kuin sen määrittelyjoukon dimensio. Esimerkki 15. Olkoon T : R 2 R 2 lineaarioperaattori, joka muuttaa jokaisen vektorin v xy-tasossa vastavektorikseen v. Esimerkin 12 mukaan ker(t ) = { } ja R(T ) = 2. Tällöin rank(t ) + nullity(t ) = + 2 = 2, mikä on yhtäpitävää sen kanssa, että lineaarimuunnoksen T lähtöjoukko on kaksidimensionaalinen. 23
24 Luku 4 Käänteiset lineaarimuunnokset Tässä luvussa laajennetaan injektiivisiä lineaarimuunnoksia avaruudesta R n avaruuteen R m koskevat tulokset yleisille lineaarimuunnoksille. 4.1 Injektiiviset lineaarimuunnokset Lineaarimuunnosta avaruudesta R n avaruuteen R m sanotaan injektiiviseksi lineaarimuunnokseksi, jos se kuvaa avaruuden R n eri vektorit avaruuden R m eri vektoreille. Seuraava määritelmä yleistää tämän tuloksen. Määritelmä 2. Funktiota T : V W sanotaan injektiiviseksi lineaarimuunnokseksi, jos lineaarimuunnos T kuvaa avaruuden V eri vektorit avaruuden W eri vektoreille. Esimerkki 16. Olkoon funktio T : P n P n+2 esimerkin 3 lineaarimuunnos Jos T ( p) = T (p(x)) = x 2 p(x). p = p(x) = c + c 1 x + + c n x n ja q = q(x) = d + d 1 x + + d n x n ovat eri polynomit, ne eroavat toisistaan ainakin yhdessä kertoimessa. Tällöin myös lineaarimuunnokset T ( p) = c x 2 + c 1 x c n x n+2 ja T ( q) = d x 2 + d 1 x d n x n+2 eroavat toisistaan ainakin yhdessä kertoimessa. Siis T on injektiivinen lineaarimuunnos, sillä se kuvaa eri polynomit p ja q eri polynomeille T ( p) ja T ( q). 24
25 Lause 6. Jos funktio T : V W on lineaarimuunnos, niin seuraavat kohdat ovat yhtäpitäviä: (a) T on injektiivinen lineaarimuunnos (b) lineaarimuunnoksen T ydin sisältää vain nollavektorin, eli ker(t ) = { } (c) nullity(t ) =. Todistus. Osoitetaan, että (a) ja (b) sekä (b) ja (c) ovat ekvivalentteja. (a) (b): Oletetaan, että T on injektiivinen lineaarimuunnos, ja olkoon v jokin vektori ytimessä ker(t ). Koska vektorit v ja kuuluvat molemmat ytimeen ker(t ), niin T ( v) = ja T ( ) =, joten T ( v) = T ( ). Koska T on injektiivinen lineaarimuunnos, niin tällöin v =. Täten ydin ker(t ) sisältää vain nollavektorin. (b) (a): Oletetaan, että ker(t ) = ja että v ja w ovat eri vektoreita avaruudessa V, eli (4.1) v w. Todistamiseksi, että funktio T on injektiivinen lineaarimuunnos, täytyy osoittaa, että T ( v) ja T ( w) ovat eri vektoreita. Tehdään vastaoletus, että näin ei ole. Tällöin T ( v) = T ( w) T ( v) T ( w) = T ( v w) =, mistä seuraa, että erotus v w kuuluu funktion T ytimeen. Koska ker(t ) = { }, tästä seuraa, että v w =, mikä on ristiriita kohdan (4.1) kanssa. Siis vastaoletus on väärä ja täten T ( v) ja T ( w) ovat eri vektoreita. (b) (c): Oletetaan, että ker(t ) = { }. On osoitettava, että nullity(t ) =, toisin sanoen, että ytimen ker(t ) dimensio on yhtä kuin. Koska dim(ker(t )) = dim({ }) =, niin nullity(t ) = dim(ker(t )). (c) (b): Oletetaan, että nullity(t ) =. On osoitettava, että ker(t ) = { }. Koska oletuksen mukaan dim(ker(t )) =, niin tästä seuraa suoraan, että ker(t ) = { }. 25
26 Esimerkki 17. Tutkitaan ovatko seuraavat lineaarimuunnokset injektiivisiä muunnoksia selvittämällä ydin tai nulliteetti ja käyttämällä lausetta 6: (a) lineaarimuunnos T : R 2 R 2 muuttaa jokaisen vektorin vastavektorikseen (b) lineaarimuunnos T : R 3 R 3 on ortogonaaliprojektio yz-tasolle (c) lineaarimuunnos T : R 6 R 4 on kertominen matriisilla A = Ratkaisu (a): esimerkin 12 mukaan ker(t ) = { }, joten funktio T on injektiivinen lineaarimuunnos. Ratkaisu (b): esimerkin 11 mukaan ydin ker(t ) sisältää nollavektorista poikkeavia vektoreita, joten funktio T ei ole injektiivinen lineaarimuunnos. Ratkaisu (c): esimerkin 13 mukaan nullity(t ) = 3, joten T ei ole injektiivinen lineaarimuunnos. Erikoistapauksessa, jossa funktio T on äärellisdimensionaalisen vektoriavaruuden lineaarioperaattori, voidaan lauseeseen 6 lisätä neljäs ekvivalentti kohta. Lause 7. Jos V on äärellisdimensionaalinen vektoriavaruus ja funktio T : V W on lineaarioperaattori, niin seuraavat kohdat ovat yhtäpitäviä: (a) T on injektiivinen lineaarimuunnos (b) ker(t ) = { } (c) nullity(t ) = (d) funktion T arvojoukko on vektoriavaruus V, eli R(T ) = V. Todistus. Kohdat (a), (b) ja (c) on jo osoitettu ekvivalenteiksi, joten todistetaan vielä kohtien (c) ja (d) yhtäpitävyys. (c) (d): Oletetaan, että dim(v ) = n ja nullity(t ) =. Dimensiolauseesta (lause 5) seuraa, että rank(t ) = n nullity(t ) = n. 26
27 Määritelmän mukaan rank(t ) on funktion T arvojoukon dimensio, joten funktion T arvojoukon dimensio on n. Koska funktion T arvojoukolla R(T ) ja vektoriavaruudella V on sama dimensio, niin R(T ) = V. [1, s. 254, lause ] (d) (c): Oletetaan, että dim(v ) = n ja R(T ) = V. Tällöin dim(r(t )) = n, eli rank(t ) = n. Dimensiolauseen mukaan nyt nullity(t ) = n rank(t ) = n n =. Esimerkki 18. Olkoon matriisioperaattori T A : R 5 R 5 kertominen matriisilla A = Matriisin A determinantti det(a) =, sillä matriisin A kaksi ensimmäistä riviä ovat verrannollisia, ja täten matriisi A ei ole kääntyvä eikä T A ole injektiivinen matriisioperaattori. [1, s. 21, lause ] 4.2 Käänteiset lineaarimuunnokset Injektiivisen matriisioperaattorin T A : R n R n käänteisfunktio on matriisioperaattori T A 1 : R n R n, ja jos vektori w on kuva, jonka funktio T A on muodostanut vektorista x, niin käänteisfunktio T A 1 kuvaa vektorin w takaisin vektorille x. Laajennetaan tämä tulos yleisille lineaarimuunnoksille. Jos funktio T : V W on lineaarimuunnos, niin funktion T arvojoukko on avaruuden W aliavaruus, ja se koostuu kaikista funktion T avaruuden V vektoreista muodostamista kuvista. Jos funktio T on injektiivinen lineaarimuunnos, niin jokaisella vektorilla v avaruudessa V on yksikäsitteinen kuvavektori w = T ( v) arvojoukossa R(T ). Kuvavektorin yksikäsitteisyyden vuoksi voidaan määritellä lineaarimuunnoksen T käänteismuunnos, jota merkitään T 1, ja joka kuvaa vektorin w takaisin vektorille v. Käänteismuunnoksen määritelmästä seuraa, että T 1 (T ( v)) = T 1 ( w) = v T (T 1 ( w)) = T ( v) = w, ja täten, kun lineaarimuunnokset T ja T 1 suoritetaan peräkkäin kummassa tahansa järjestyksessä, ne kumoavat toisensa. 27
28 Huomautus 2. On tärkeää huomata, että jos funktio T : V W on injektiivinen lineaarimuunnos, niin käänteismuunnoksen T 1 lähtöjoukko on lineaarimuunnoksen T arvojoukko. Kyseinen arvojoukko ei välttämättä ole koko avaruus W. Erikoistapauksessa, jossa funktio T : V V on injektiivinen lineaarioperaattori, käänteismuunnoksen T 1 lähtöjoukko on koko avaruus V, sillä lauseen 7 mukaan R(T ) = V. Esimerkki 19. Esimerkissä 16 osoitettiin, että lineaarimuunnos T : P n P n+2, missä T ( p) = T (p(x)) = x 2 p(x), on injektiivinen lineaarimuunnos. Täten lineaarimuunnoksella T on käänteismuunnos. Tässä lineaarimuunnoksen T arvojoukko ei ole koko avaruus P n+2, vaan arvojoukko R(T ) on avaruuden P n+2 aliavaruus, joka koostuu polynomeista joilla ei ole vakiotermejä. Tämä selviää lineaarimuunnoksen T kaavasta T (c + c 1 x + + c n x n ) = c x 2 + c 1 x c n x n+2. Tämän seurauksena käänteismuunnos T 1 : R(T ) P n saadaan kaavasta T 1 (c x 2 + c 1 x c n x n+2 ) = c + c 1 x + + c n x n. Esimerkiksi tapauksessa n = 3 saadaan, että T 1 (3x + 4x 2 2x 3 ) = 3 + 4x 2x 2. Esimerkki 2. Määritellään lineaarioperaattori T : R 2 R 2 kaavalla T (x 1, x 2 ) = (2x 1 x 2, x 1 + x 2 ). Tällöin lineaarimuunnoksen T standardimatriisi on [ ] 2 1 [T ] =. 1 1 Tämä matriisi on kääntyvä, ja käänteismuunnoksen T 1 standardimatriisiksi saadaan [ ] 1 1 [T 1 ] = [T ] 1 =, 1 2 sillä käänteismuunnoksen T 1 standardimatriisi on lineaarimuunnoksen T standardimatriisin käänteismatriisi. [1, s. 22, kaava (1)] Tästä seuraa, että ([ ]) [ ] [ ] [ ] [ ] T 1 x1 = [T 1 x1 1 1 x1 x1 + x ] = = 2. x 2 x x 2 x 1 + 2x 2 Siis lineaarioperaattori T on injektiivinen lineaarimuunnos, ja käänteismuunnos T 1 määritellään kaavalla T 1 (x 1, x 2 ) = (x 1 + x 2, x 1 + 2x 2 ). 28
29 4.3 Käänteismuunnosten yhdistelmät Seuraava lause osoittaa, että injektiivisten lineaarimuunnosten yhdistelmä on injektiivinen lineaarimuunnos, ja että yhdistelmän käänteismuunnos palautuu yksittäisten lineaarimuunnosten käänteismuunnoksiin. Lause 8. Jos funktiot T 1 : U V ja T 2 : V W ovat injektiivisiä lineaarimuunnoksia, niin (a) T 2 T 1 on injektiivinen lineaarimuunnos (b) (T 2 T 1 ) 1 = T 1 1 T 1 2. Todistus (a). On osoitettava, että yhdistelmä T 2 T 1 kuvaa avaruuden U eri vektorit avaruuden W eri vektoreille. Jos u ja v ovat eri vektoreita avaruudessa U, niin myös T 1 ( u) ja T 1 ( v) ovat eri vektoreita avaruudessa V, sillä T 1 on injektiivinen lineaarimuunnos. Koska myös T 2 on injektiivinen lineaarimuunnos, niin tällöin myös T 2 (T 1 ( u)) ja T 2 (T 1 ( v)) ovat eri vektoreita. Yllä olevat vektorit voidaan kirjoittaa myös muotoon (T 2 T 1 )( u) ja (T 2 T 1 )( v), joten yhdistelmä T 2 T 1 kuvaa vektorit u ja v avaruuden W eri vektoreille. Todistus (b). On osoitettava, että (T 2 T 1 ) 1 ( w) = (T 1 1 T 1 2 )( w) pätee jokaiselle vektorille w yhdistelmän T 2 T 1 arvojoukossa. Olkoon (4.2) u = (T 2 T 1 ) 1 ( w) ja osoitetaan, että Kohdasta (4.2) seuraa, että tai vastaavasti u = (T 1 1 T 1 2 )( w). (T 2 T 1 )( u) = w, T 2 (T 1 ( u)) = w. Suoritetaan nyt käänteismuunnokset T 1 2 ja T 1 1 tässä järjestyksessä edeltävän yhtälön molemmille puolille. Saadaan, että u = T 1 1 (T 1 2 ( w)), 29
30 tai vastaavasti u = (T 1 1 T 1 2 )( w). Toisin sanoen lause 8 toteaa, että yhdiselmän käänteismuunnos on käänteismuunnosten yhdistelmä käänteisessä järjestyksessä. Tulos on voimassa myös kolmen tai useamman lineaarimuunnoksen yhdistelmälle, esimerkiksi (T 3 T 2 T 1 ) 1 = T 1 1 T 1 2 T 1 3. Erikoistapauksessa, jossa T A, T B ja T C ovat avaruuden R n matriisioperaattoreita, voidaan edeltävä kaava kirjoittaa muodossa tai vastaavasti (T C T B T A ) 1 = T 1 A T 1 B (T CBA ) 1 = T A 1 B 1 C 1. T 1 C, Siis tämän kaavan mukaan yhdistelmän käänteismuunnoksen standardimatriisi on yksittäisten operaattorien standardimatriisien käänteismuunnosten tulo käänteisessä järjestyksessä. 3
31 Luku 5 Yleisten lineaarimuunnosten matriisit Tässä luvussa osoitetaan, että jos V ja W ovat äärellisdimensionaalisia vektoriavaruuksia, voidaan mikä tahansa lineaarimuunnos T : V W huomioida matriisimuunnoksena. Perusideana on työstää vektoreiden koordinaattimatriiseja itse vektoreiden sijaan. 5.1 Lineaarimuunnosten matriisit Olkoot V ja W n- ja m-dimensionaaliset vektoriavaruudet ja funktio T : V W lineaarimuunnos. Jos B ja B ovat vektoriavaruuksien V ja W kannat, niin jokaisella vektorilla x avaruudessa V koordinaattimatriisi [ x] B on avaruuden R n vektori, ja koordinaattimatriisi [T ( x)] B on avaruuden R m vektori. Nyt myös kuvaus avaruudesta R n avaruudelle R m on lineaarimuunnos. Olkoon A tämän lineaarimuunnoksen standardimatriisi. Tällöin (5.1) A[ x] B = [T ( x)] B. Matriisia A kaavassa (5.1) kutsutaan lineaarimuunnoksen T kantoja B ja B vastaavaksi matriisiksi. Osoitetaan seuraavaksi, miten kaavan (5.1) matriisi A voidaan laskea. Olkoon B = { u 1, u 2,..., u n } kanta n-dimensionaaliselle vektoriavaruudelle V ja B = { v 1, v 2,..., v m } kanta m-dimensionaaliselle vektoriavaruudelle W. Etsitään siis m n -matriisia a 11 a a 1n a 21 a a 2n A =... a m1 a m2... a mn 31
32 siten, että kaava (5.1) on voimassa kaikille vektoriavaruuden V vektoreille x. Erityisesti halutaan, että kaava on voimassa kantavektoreille u 1, u 2,..., u n, siis että (5.2) A[ u 1 ] B = [T ( u 1 )] B, A[ u 2 ] B = [T ( u 2 )] B,..., A[ u n ] B = [T ( u n )] B. Mutta joten 1 1 [ u 1 ] B =, [ u 2 ] B =,..., [ u n ] B =, a 11 a a 1n a 21 a a 2n A[ u 1 ] B = =.... a m1 a m2... a mn a 11 a a 1n a 21 a a 2n 1 A[ u 2 ] B = =.... a m1 a m2... a mn. a 11 a a 1n a 21 a a 2n A[ u n ] B = =.... a m1 a m2... a mn 1 Sijoittamalla nämä kohdan (5.2) kaavaan saadaan a 11 a 21. a m1 = [T ( u 1)] B, a 12 a 22. a m2 = [T ( u 2)] B,..., a 1n a 2n. a mn a 11 a 21. a m1 a 12 a 22. a m2 a 1n a 2n. a mn. = [T ( u n)] B, mikä osoittaa, että matriisin A sarakkeet ovat lineaarimuunnoksen T kantaa B vastaavia koordinaattimatriiseja T ( u 1 ), T ( u 2 ),..., T ( u n ). 32
33 Täten lineaarimuunnoksen T kantoja B ja B vastaava matriisi on A = [ [T ( u 1 )] B [T ( u 2 )] B... [T ( u n )] B ]. Tätä matriisia merkitään yleisesti symbolilla [T ] B, B, joten edeltävä kaava voidaan kirjoittaa myös muotoon (5.3) [T ] B, B = [ [T ( u 1 )] B [T ( u 2 )] B... [T ( u n )] B ], ja kohdan (5.1) perusteella tällä matriisilla on ominaisuus (5.4) [T ] B, B[ x] B = [T ( x)] B. Huomautus 3. Huomioidaan, että merkinnässä [T ] B, B oikeanpuoleinen alaindeksi on funktion T lähtöjoukon kanta ja vasemmanpuoleinen alaindeksi on funktion T kuva-avaruuden kanta. 5.2 Lineaarioperaattorien matriisit Erikoistapauksessa, jossa vektoriavaruuksille V ja W on voimassa V = W eli funktio T : V V on lineaarioperaattori, oletetaan yleensä, että B = B, kun funktion T matriisia konstruoidaan. Tällöin muodostuvaa matriisia kutsutaan lineaarioperaattorin T kantaa B vastaavaksi matriisiksi ja sitä merkitään [T ] B. Jos kanta B = { u 1, u 2,..., u n }, niin kaavat (5.3) ja (5.4) saadaan muotoihin (5.5) [T ] B = [ ] [T ( u 1 )] B [T ( u 2 )] B... [T ( u n )] B ja (5.6) [T ] B [ x] B = [T ( x)] B. Epämuodollisesti voidaan todeta, että kohtien (5.4) ja (5.6) mukaan funktion T ja vektorin x koordinaattimatriisin tulo muodostaa funktion T ( x) koordinaattimatriisin. Esimerkki 21. Olkoon lineaarimuunnos T : P 2 P 3 määritelty kaavalla T (p(x)) = xp(x). 33
34 Etsitään lineaarimuunnoksen T standardikantoja B ja B vastaava matriisi, missä B = { u 1, u 2, u 3 } ja B = { v 1, v 2, v 3, v 4 } ja u 1 = 1, u 2 = x, u 3 = x 2, v 1 = 1, v 2 = x, v 3 = x 2 ja v 4 = x 3. Lineaarimuunnoksen T kaavasta saadaan, että T ( u 1 ) = T (1) = (x)(1) = 1 T ( u 2 ) = T (x) = (x)(x) = x 2 T ( u 3 ) = T (x 2 ) = (x)(x 2 ) = x 3. Tällöin lineaarimuunnosten T ( u 1 ), T ( u 2 ) ja T ( u 3 ) kantaa B vastaaviksi koordinaattimatriiseiksi saadaan [T ( u 1 )] B = 1, [T ( u 2)] B = 1 ja [T ( u 3)] B =. 1 Täten lineaarimuunnoksen T kantoja B ja B vastaava matriisi on [T ] B, B = [ [T ( u 1 )] B [T ( u 2 )] B [T ( u 3 )] ] B = Esimerkki 22. Olkoon T : P 2 P 3 edellisen esimerkin lineaarimuunnos. Osoitetaan, että matriisi [T ] B, B = toteuttaa kaavan (5.4) avaruuden P 2 jokaisella vektorilla v = a + bx + cx 2. Koska x = p(x) = a + bx + cx 2, niin T ( x) = xp(x) = ax + bx 2 + cx 3. 34
35 Edellisessä esimerkissä määritellyillä kannoilla B ja B saadaan, että a [ x] B = [a + bx + cx 2 ] B = b c [T ( x)] B = [ax + bx 2 + cx 3 ] B = a b. c Täten [T ] B, B[ x] B = 1 a 1 b = a b = [T ( x)] B, c 1 c joten kaava (5.4) on voimassa. Esimerkki 23. Olkoon lineaarimuunnos T : R 2 R 3 määritelty kaavalla ([ ]) x 1 x1 T = 4x x 1 + 5x x x 2 Etsitään lineaarimuunnoksen T kantoja B ja B vastaava matriisi, kun B = { u 1, u 2 } on avaruuden R 2 kanta ja B = { v 1, v 2, v 3 } on avaruuden R 3 kanta, missä u 1 = [ ] 2, u 1 2 = [ ] 4, v 3 1 = 2 2 1, v 2 = ja v 3 = 1 1 Lineaarimuunnoksen T kaavasta saadaan, että 2 4 T ( u 1 ) = 3 ja T ( u 2 ) = Kun ilmaistaan nämä vektorit vektorien v 1, v 2 ja v 3 lineaarikombinaatioina, saadaan T ( u 1 ) = v 1 + v 2 ja T ( u 2 ) = v 1 v v 3. Täten 1 1 [T ( u 1 )] B = 1 ja [T ( u 2 )] B =
36 Siis [T ] B, B = [ ] 1 1 [T ( u 1 )] B [T ( u 2 )] B = Esimerkki 24. Olkoon lineaarioperaattori T : R 2 R 2 määritelty kaavalla ([ ]) [ ] x1 8x1 4x T = 2 x 2 2x 1 + 2x 2 ja olkoon B = { u 1, u 2 } kanta, missä [ ] 1 u 1 = ja u 1 2 = (a) Etsitään matriisi [T ] B. [ ] 2. 1 (b) Todistetaan, että kaava (5.6) on voimassa avaruuden R 2 jokaisella vektorilla x. Ratkaisu (a): lineaarimuunnoksen T kaavasta saadaan [ ] [ ] 4 12 T ( u 1 ) = = 4 u 4 1 ja T ( u 2 ) = = 6 u 6 2. Täten ja edelleen Ratkaisu (b): Jos vektori [T ( u 1 )] B = [ ] 4 ja [T ( u 2 )] B = [ ] 6 [T ] B = [ [ ] ] 4 [T ( u 1 )] B [T ( u 2 )] B =. 6 (5.7) x = [ x1 on jokin avaruuden R 2 vektori, niin lineaarimuunnoksen T kaavasta saadaan [ ] 8x1 4x (5.8) T ( x) = 2. 2x 1 + 2x 2 Matriisien [ x] B ja [T ( x)] B löytämiseksi on ilmaistava kohtien (5.7) ja (5.8) vektorit vektorien u 1 ja u 2 lineaarikombinaatioina. Tällöin saadaan vektoriyhtälöt [ ] [ ] [ ] x1 1 2 = k x 1 + k [ ] [ ] [ ] 8x1 4x = c 2x 1 + 2x 1 + c x 2 ] 36
37 Nämä tuottavat lineaarisysteemit ja k 1 + 2k 2 = x 1 k 1 + k 2 = x 2 c 1 + 2c 2 = 8x 1 4x 2 c 1 + c 2 = 2x 1 + 2x 2. Ratkaisemalla ensimmäinen lineaarisysteemi saadaan joten k 1 = x 1 + 2x 2 ja k 2 = x 1 x 2, [ ] x1 + 2x [ x] B = 2, x 1 x 2 ja ratkaisemalla jälkimmäinen lineaarisysteemi saadaan joten Täten c 1 = 4x 1 + 8x 2 ja c 2 = 6x 1 6x 2, [ ] 4x1 + 8x [T ( x)] B = 2. 6x 1 6x 2 [ ] [ ] [ ] 4 x1 + 2x [T ] B [ x] B = 2 4x1 + 8x = 2 = [T ( x)] 6 x 1 x 2 6x 1 6x B, 2 joten kaava (5.6) on voimassa. 5.3 Identiteettioperaattorien matriisit Olkoon B = { u 1, u 2,..., u n } jokin kanta jollekin äärellisdimensionaaliselle vektoriavaruudelle V ja olkoon I : V V tämän vektoriavaruuden identiteettioperaattori. Tällöin I( u 1 ) = u 1, I( u 2 ) = u 2,..., I( u n ) = u n. Täten 1 1 [I( u 1 )] B =, [I( u 2 )] B =,..., [I( u n )] B =
38 Siis [I] B =... = I Edelleen mitä tahansa kantaa vastaavan identiteettioperaattorin matriisi on n n -identiteettimatriisi. Kaavan (5.6) mukaan [I] B [ x] B = [I( x)] B = [ x] B, mikä on yhtäpitävää sen kanssa, että [I] B = I. 5.4 Lineaarimuunnosten matriisien hyöty Yleisten lineaarimuunnosten matriisien tutkimiselle on kaksi pääasiallista syytä, joista toinen on teoreettinen ja toinen hyvin käytännöllinen: Vastaukset teoreettisiin kysymyksiin yleisten lineaarimuunnosten rakenteista äärellisdimensionaalisissa vektoriavaruuksissa voidaan usein saada selville tutkimalla matriisimuunnoksia. Nämä matriisit mahdollistavat vektorien kuvien laskemisen käyttämällä matriisien kertolaskua. Tietokoneet pystyvät suorittamaan tällaiset laskutoimitukset hyvin nopeasti. Tarkastellaan seuraavaksi lähemmin jälkimmäistä ideaa. Olkoon T : V W lineaarimuunnos. Tällöin lineaarimuunnos T ( x) voidaan laskea matriisin [T ] B,B avulla kolmessa vaiheessa seuraavalla epäsuoralla tavalla: 1. Lasketaan koordinaattimatriisi [ x] B. 2. Kerrotaan matriisi [ x] B vasemmalta matriisilla [T ] B,B matriisin [T ( x)] B tuottamiseksi. 3. Rekonstruoidaan lineaarimuunnos T ( x) sen koordinaattimatriisista [T ( x)] B. Esimerkki 25. Määritellään lineaarioperaattori T : P 3 P 3 kaavalla T (p(x)) = p(2x 4), jolloin T (c + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 ) = c + c 1 (2x 4) + c 2 (2x 4) 2 + c 3 (2x 4) 3. 38
39 (a) Etsitään kantaa B = {1, x, x 2, x 3 } vastaava matriisi [T ] B. (b) Lasketaan epäsuoralla tavalla T (1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 ). (c) Tarkistetaan kohdan (b) tulos laskemalla suoraan T (1+2x+3x 2 +4x 3 ). Ratkaisu (a): lineaarimuunnoksen T kaavasta saadaan T (1) = 1 T (x) = 2x 4 T (x 2 ) = (2x 4) 2 = 4x 2 16x + 16 T (x 3 ) = (2x 4) 3 = 8x 3 48x x 64, joten [T (1)] B =, [T (x)] B = 2, [T (x2 )] B = 16 4 ja [T (x3 )] B = Täten [T ] B = Ratkaisu (b): vektorin p = 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 kantaa B vastaava koordinaattimatriisi on 1 [ p] B = Täten kaavasta (5.6) saadaan [T (1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 )] B = [T ( p)] B = [T ] B [ p] B = = 34 18, mistä seuraa, että T (1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 ) = x 18x x 3. 39
40 Ratkaisu (c): suoraan laskemalla saadaan T (1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 ) =1 + 2(2x 4) + 3(2x 4) 2 + 4(2x 4) 3 =1 + 4x x 2 48x x 3 192x x 256 = x 18x x 3, kuten saatiin myös kohdassa (b). 5.5 Yhdistelmien ja käänteismuunnosten matriisit Seuraavat lauseet yleistävät tuloksia, jotka koskevat lineaarimuunnoksia avaruudesta R n avaruudelle R m. Niiden todistukset sivuutetaan. Lause 9. Jos funktiot T 1 : U V ja T 2 : V W ovat lineaarimuunnoksia ja B, B ja B ovat kannat vektoriavaruuksille U, V ja W, niin (5.9) [T 2 T 1 ] B, B = [T 2 ] B, B [T 1] B, B. Lause 1. Jos funktio T : V V on lineaarioperaattori ja jos B on kanta vektoriavaruudelle V, niin seuraavat kohdat ovat yhtäpitäviä: (a) funktio T on injektiivinen lineaarioperaattori (b) matriisi [T ] B on kääntyvä. Lisäksi, kun nämä ekvivalentit kohdat ovat voimassa, niin (5.1) [T 1 ] B = [T ] 1 B. Huomautus 4. Kaavassa (5.9) sisempi alaindeksi B näyttää häviävän, jättäen yhdistelmän alaindekseiksi vain lähtöjoukon ja kuva-avaruuden kannat. Tämän häviämisen pohjalta saadaan kaavaan (5.9) laajennus kolmen lineaarimuunnoksen yhdistelmälle seuraavasti: [T 3 T 2 T 1 ] B, B = [T 3 ] B, B [T 2] B, B [T 1] B, B. Seuraava esimerkki havainnollistaa lausetta 9. 4
41 Esimerkki 26. Olkoon T 1 : P 2 P 3 lineaarimuunnos siten, että T 1 (p(x)) = xp(x) ja olkoon T 3 : P 3 P 3 lineaarioperaattori siten, että T 2 (p(x)) = p(2x 4). Tällöin yhdistelmä (T 2 T 1 ) : P 2 P 3 saadaan kaavasta (T 2 T 1 )(p(x)) = T 2 (T 1 (p(x))) = T 2 (xp(x)) = (2x 4)p(2x 4). Täten, jos p(x) = c + c 1 x + c 2 x 2, niin (T 2 T 1 )(c + c 1 x + c 2 x 2 ) = (2x 4)(c + c 1 (2x 4) + c 2 (2x 4) 2 ) = c (2x 4) + c 1 (2x 4) 2 + c 2 (2x 4) 3. Tässä esimerkissä avaruus P 2 on lauseen 9 avaruuden U roolissa ja avaruus P 3 on sekä avaruuden V että W rooleissa. Täten kaavassa (5.9) on B = B, joten kyseinen kaava yksinkertaistuu muotoon (5.11) [T 2 T 1 ] B, B = [T 2 ] B [T 1 ] B, B. Valitaan B = {1, x, x 2 } avaruuden P 2 kannaksi ja B = {1, x, x 2, x 3 } avaruuden P 3 kannaksi. Esimerkeissä 21 ja 25 osoitettiin, että [T 1 ] B, B = 1 1 ja [T 2] B = Täten kohdasta (5.11) seuraa, että [T 2 T 1 ] B, B = (5.12) = Tarkistetaan tämä vielä laskemalla [T 2 T 1 ] B, B suoraan kaavalla (5.3). Koska B = {1, x, x 2 } on kanta, niin vektoreilla u 1 = 1, u 2 = x ja u 3 = x 2 kaavasta (5.3) saadaan (5.13) [T 2 T 1 ] B, B = [ [(T 2 T 1 )(1)] B [(T 2 T 1 )(x)] B [(T 2 T 1 )(x 2 )] B ]. 41
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
LisätiedotJohdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................
Lisätiedot9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
Lisätiedot6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio
6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.
LisätiedotJAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotKanta ja dimensio 1 / 23
1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio
Lisätiedotominaisvektorit. Nyt 2 3 6
Esimerkki 2 6 8 Olkoon A = 40 0 6 5. Etsitäänmatriisinominaisarvotja 0 0 2 ominaisvektorit. Nyt 2 0 2 6 8 2 6 8 I A = 40 05 40 0 6 5 = 4 0 6 5 0 0 0 0 2 0 0 2 15 / 172 Täten c A ( )=det( I A) =( ) ( 2)
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2014 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 1 of 16 Kertausta Lineaarinen riippuvuus
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotSisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006
Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Lisätiedot2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut
2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotBijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
LisätiedotJohdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Lotta Oinonen ja Johanna Rämö 6. joulukuuta 2012 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos 2012 Sisältö 1 Avaruus R n 4 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit.....................
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotMääritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
Lisätiedot1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa
MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/310 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
LisätiedotKantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen
Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin
Lisätiedot1 Tensoriavaruuksista..
1 Tensoriavaruuksista.. Käydään läpi kirjan (1) sivut 126-133. 19.02.2007 Palautetaaieleen viime kerran tärkeä määritelmä: (kirja, Määr. 5.12). Määritelmä 1.1 Olkoon T vektoriavaruus ja Φ : V 1 V 2 V m
LisätiedotTyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5
MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää
LisätiedotLineaarikuvauksista ja niiden geometrisesta tulkinnasta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Katri Syvänen Lineaarikuvauksista ja niiden geometrisesta tulkinnasta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Tammikuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3. Lineaariset koodit Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 2 / 22 3.1 Lineaarisen koodin määrittely Olkoon F äärellinen kunta.
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä
LisätiedotOminaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170
Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170 Seuraavissa luvuissa matriisit ja vektori ajatellaan kompleksisiksi, ts. kertojakuntana oletetaan olevan aina kompleksilukujoukko C Huomaa, että reaalilukujoukko
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus
Lisätiedot110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3
4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5
LisätiedotYhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia
Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella
LisätiedotHILBERTIN AVARUUKSISTA
HILBERTIN AVARUUKSISTA Pro gradu -tutkielma Hannariikka Lehtiniemi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Jyväskylän yliopisto syksy 2014 TIIVISTELMÄ Ääretönulotteiset avaruudet ovat monilta ominaisuuksiltaan
LisätiedotAlkeismuunnokset matriisille, sivu 57
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotLineaarialgebra II P
Lineaarialgebra II 89P Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:.
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
Lisätiedot2 / :03
file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse / 8 76 3:3 Kysymys Pisteet,, Määritellään positiivisten reaalilukujen joukossa R + = {x R x > } yhteenlasku ja skalaarikertolasku seuraavasti:
LisätiedotPäättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1
Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin
LisätiedotOminaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (
LisätiedotJohdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 25. lokakuuta 2015 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus... 111 16 Aliavaruus... 117 16.1 Vektoreiden
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotVektoreiden virittämä aliavaruus
Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Lineaarikuvaukset Lineaarikuvaus Olkoot U ja V
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotTehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2016 Harjoitus 3 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 29.8.2016 klo 13.15. Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
Lisätiedot5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT
5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön
Lisätiedot3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h
HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä
LisätiedotInsinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 29.3.2016 4. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut 1. Olkoon u (4,0,4,2) ja v ( 1,1,3,5) vektoreita vektoriavaruudessa R 4. Annetun sisätulon (x,y) indusoima normi on x (x,x) ja
LisätiedotMatikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2
LisätiedotDemorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina 7.12. viimeiset demot (12.12. ja 13.12. viimeiset luennot). Torstaina 14.12 on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot
LisätiedotOrtogonaalinen ja ortonormaali kanta
Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä
LisätiedotMatemaattinen Analyysi / kertaus
Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen
Lisätiedot1 Kannat ja kannanvaihto
1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:
LisätiedotSimilaarisuus. Määritelmä. Huom.
Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia/Exercises 2017 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
Lisätiedot802118P Lineaarialgebra I (4 op)
802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 9
Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo ja pituus Vektorien välinen kulma Motivointi Tähän asti olemme tarkastelleet yhden
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma
Lisätiedotpdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus Lineaarikuvaus Ominaisarvo 0-68
SISÄLTÖ Sisältö pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 0-1 2 Sisätuloavaruus 0-20 3 Lineaarikuvaus 0-41 4 Ominaisarvo 0-68 5 Esimerkkejä 0-88 1. Lineaariavaruus eli V 1 Lineaariavaruus
LisätiedotJohdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 27. marraskuuta 2015 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Vektoriavaruuksien R 2 ja R 3 vektorit........................
Lisätiedot802120P Matriisilaskenta (5 op)
802120P Matriisilaskenta (5 op) Tero Vedenjuoksu Matemaattiset tieteet Syksy 2015 1 / 159 Luennoitsija: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi M321 Kurssilla käytetään Noppaa (noppa.oulu.fi) sekäoptimaa
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotLineaarialgebra (muut ko)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/103 Lineaarialgebra (muut ko) Tero Laihonen Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/103 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v
Lisätiedot