TASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö.

Transkriptio

1 TSON YHTÄLÖT VEKTORIT, M4 Jokainen seuraavista määrää avaruuden tason yksikäsitteisesti: - kolme tason pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla, - yksi piste ja pisteen ulkopuolinen suora, - yksi piste ja kaksi erisuuntaista vektoria ja - yksi piste ja yksi vektori 0, ns. normaalivektori C B l Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö. Esimerkki: Tarkastellaan pisteiden, B ja C määräämää tasoa T. Voidaan muodostaa tason suuntavektorit B ja C. Piste P = (x, y, z) on tässä tasossa T jos pätee yhtälö. P = sb + tc, joillain s, t R. Laajennetaan tarkastelu ottamalla paikkavektorit käyttöön. OP = O + P eli OP = O + sb + tc B B C P C P OP z T O Tämä on tason vektorimuotoinen yhtälö, lyhyesti tason vektoriyhtälö. Ja vektoreita B ja C sanotaan tason suuntavektoreiksi. x O y 1

2 Jos tason suuntavektoreita merkitään u:lla (u = u x i + u y j + u z k) ja v :llä (v = v x i + v y j + v z k) ja jos piste P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) on tason T piste, niin OP = OP 0 + su + tv eli xi + yj + zk = x 0 i + y 0 j + z 0 k + s u x i + u y j + u z k =OP =OP 0 =u + t v x i + v y j + v z k xi + yj + zk = x 0 + su x + tv x i + y 0 + su y + tv y j + z 0 + su z + tv z k x = x 0 + su x + tv x y = y 0 + su y + tv y z = z 0 + su z + tv z, s, t R. Tämä on tason parametriesitys. Huomaa kaksi parametria s ja t. =v Esimerkki Onko piste P = 2,3, 5 pisteiden = 1,2,0, B = 1,3, 2 ja C = 2,1,3 määräämässä tasossa? On, jos yhtälö toteutuu, eli jos löytyy s, t R. Muodostetaan suuntavektorit: B = 1 1 i j k = 2i + j 2k C = 2 1 i j k = i j + 3k Lisäksi OP = 2i + 3j 5k ja O = i + 2j. Saadaan OP = O + sb + tc 2i + 3j 5k = i + 2j + 0k + s 2i + j 2k + t i j + 3k = 1 2s + t i s t j + 0 2s + 3t k 2 = 1 2s + t 3 = 2 + s t 5 = 0 2s + 3t t = 2s + 1 t = s 1 t = 2 3 s 5 3 2

3 Kahdesta ylimmästä yhtälöstä saadaan s 1 = 2s + 1 s = 2 t = = 3. Nämä s:n ja t:n arvot toteuttavat myös alimman yhtälön ja näin ollen piste P on BC -tasossa. Huomautus Kaikki kolme yhtälöä pitää käydä läpi ratkaisuarvoilla! Esimerkki Pisteet E = 1,2 3, F = 1, 1, 4 ja G = 2,1,2 määräävät tason T. Taso T leikkaa xy-tason pitkin suoraa. Määritä suoran yhtälö muodossa x + By + C = 0. Tason yhtälö T: OP = OE + tef + seg xi + yj + zk = i + 2j 3k + t 2i 3j k + s 3i j + k x = 1 + 2t + 3s y = 2 3t s, t, s R. z = 3 t + s Ja xy-tason suoralle pätee z = 0. Sijoitetaan x, y, 0, saadaan x = 1 + 2t + 3s y = 2 3t s x = s + 3s = 7 + 5s y = s s = 11 4s 0 = 3 t + s t = 3 + s sijoitus Eli x = 7 + 5s y = 11 4s, s R, Mutta tämähän on suoran parametrimuoto. Näin ollen s = x y 11 s = 4 Ja lopuksi kysytty muoto: x = y x 5y 27 = 0. 4x 28 = 5y 55 3

4 Määritelmä: Tason T normaalivektori n = ai + bj + ck on nollasta poikkeava vektori, jolle pätee n n x = 0, kaikille tason T suuntavektoreille x. T x x Esimerkki: Määritetään tason yhtälö hyödyntämällä pistetuloa: Olkoon T taso, joka sisältää pisteen P 0 = (x 0, y 0, z 0 ). Tällöin eräs tason T normaalivektori n on muotoa n = ai + bj + ck. Olkoon sitten piste P = (x, y, z) mielivaltainen tason T piste. Tällöin vektori n P P 0 P = x x 0 i + y y 0 j + z z 0 k, T on tasossa T ja pistetulon nojalla P 0 P P n P 0 P = 0 eli 0 ai + bj + ck x x 0 i + y y 0 j + z z 0 k = 0 a x x 0 +b y y 0 + c z z 0 = 0 Tämä on tason koordinaattiyhtälö. Kun koordinaattiyhtälön aukaisee (eli kertoo sulut auki), niin ax + by + cz ax 0 by 0 + cz 0 = 0. =:d Eli ax + by + cz + d = 0. Tämä on tason normaalimuotoinen yhtälö. HUOM! Tulos pätee kääntäen: yhtälö ax + by + cz + d = 0 esittää tasoa aina kun vähintään yksi kertoimista a, b, c 0. Lisäksi eräs tason normaalivektori on muotoa n = ai + bj + ck. Esimerkki Määritä tason x = 1 + r y = 1 + s + 3r, s, r R normaalimuotoinen z = 1 + 2s + 5r yhtälö? Eliminoidaan parametrit s ja r. Eka yhtälö antaa r = x 1. Sijoitetaan tämä tieto muihin yhtälöihin. Saadaan 4

5 y = 1 + s + 3 x 1 = 2 + s + 3x Yhdistetään tiedot ja z = 1 + 2s + 5 x 1 = 4 + 2s + 5x y = 2 + s + 3x z = 4 + 2s + 5x s = y + 2 3x sij. z = y + 2 3x + 5x Saadaan z = y + 4 6x + 5x x 2y + z = 0. Huomautus Ei d- eli vakiotermiä taso kulkee origon kautta! Mitä vakio- eli d-termi tekee tasolle? Katso T-343 c). Esimerkki Taso kulkee pisteen P 0 = 4,5,6 kautta ja sen normaalivektori on n = 3i j + 2k. Määritä tason normaalimuotoinen yhtälö. Missä pisteessä taso leikkaa x-akselin? Olkoon P = x, y, z mielivaltainen tason T piste. Tällöin Ehdosta n P 0 P = 0 seuraa: P 0 P = x 4 i + y 5 j + z 6 k. n P 0 P = 3 x y z 6 0 = n P 0 P = 3 x y z 6 = 3x 12 y z 12 = 3x y + 2z 19 Normaalimuotoinen yhtälö on 3x y + 2z 19 = 0. Taso leikkaa x-akselin, kun y = 0 ja z = 0. Sijoitus antaa 3x = 0 3x = 19 x = Siis, tason ja x-akselin leikkauskohta on 6 1 3, 0,0. Esimerkki (T 243 Pitkä Sigma/ YO-teht.) Osoita, että pisteiden P 1 = 2,11 1, 2 ja P 2 2 = 4, 1, 1 kautta kulkeva suora on kohtisuorassa pisteiden = 5,2,0, B = 1,1,1 ja 2 C = 4,1,3 kautta kulkevaa tasoa T vastaan. Pisteiden P 1 ja P 2 kautta kulkevan suoran suuntavektori s on muotoa 5

6 s = P 1 P 2 = 4 2 i j k = 2i 11j 3k, Ja tämän pitää siis olla normaalivektori tasolle T. Tason T vektoriyhtälö on (kun P = x, y, z ) Saadaan OP = O + rb + sc, r, s R = 5i + 2j + r 4i j + k + s i j + 3k = 5 4r s i + 2 r s j + r + 3s k x = 5 4r s y = 2 r s z = r + 3s B = 4i j + k C = i j + 3k x = 5 4 z 3s s y = 2 z 3s s r = z 3s sij. x = 5 4z + 11s x = 5 4z + 5,5y + 5,5z 11 y = 2 z + 2s s = 1 2 y + 1 z 1 sij. 2 Eli x 5,5y 1,5z + 6 = 0 ja eräs normaalivektori on n = i 5,5j 1,5k n = 1 2 s. TI (Ja paljon helpommin sama asia osoitettuna.) Koska s on tason normaalivektori, niin pätee s B = 0 s C = 0 2i 11j 3k 4i j + k = = 0 2i 11j 3k i j + 3k = = 0 Miksi tämä riittää? Koska B:n ja C:n kautta saadaan jokainen tason T suuntavektori määritettyä. Nyt vektorit B ja C ovat kanta tasolle T. Miten niin? Olkoon x tason T mielivaltainen vektori. Tällöin t, s R siten, että x = tb + sc s x = s tb + sc = t s B + s s C = t 0 + s 0 = 0 6