Juuri Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Save this PDF as:

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Juuri Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty"

Transkriptio

1 Vektorit. Vektori LUVUN. YDINTEHTÄVÄT 0. Piste P jakaa janan BC suhteessa : eli kahteen yhtä suureen osaan. Siten CP CB u ja DP DC CP DC CBv u u v. Vastaavasti DQ DA AQ DA ABu v a) Pisteen koordinaatit voidaan lukea suoraan paikkavektorin i :n ja j :n kertoimista, joten A = (, ) ja B = (, ). b) Vektorin AB i :n suuntaisen komponentin kerroin saadaan päätepisteen B ja alkupisteen A x-koordinaattien erotuksena. Vastaavasti j :n suuntaisen komponentin kerroin, joten AB ( ) i ( ) j i 6 j. 0. Lasketaan erotusvektori. a b (4i j 7 k) (i j k) 4i j 7k i j k (4 ) i ( ) j ( 7 ) k i 4j k a b 4 ( )

2 04. Muodostetaan vektoreiden i j k ja i 4j suuntaisia siirtymiä vastaavat vektorit yksikkövektoreiden avulla ja näiden avulla pisteen C paikkavektori. i j k ( ) ja i 4 k ( 4) Siirtymiä vastaavat vektori ovat i j k AB9 ( i j k) i 6j 6k ja i 4j BC 0 (i 4 j) 6i 8 j. Siten OC OA AB BC ( i j) (i 6j 6 k) (6i 8 j) i j i 6j 6k 6i 8j 0i 7 j k C = (0, 7, )

3 0. Vektorien välinen kulma on pienempi niistä kahdesta kulmasta, jotka muodostuvat, kun vektorit piirretään alkamaan samasta pisteestä. a) ( u, v) (vieruskulmien summa on 80 ) b) ( u, w) 804 (vieruskulmien summa on 80 ) c) ( u, v) 4 (samankohtaiset kulmat ovat yhtä suuret, ristikulmat ovat yhtä suuret)

4 06. Muodostetaan aluksi kolmion ABC sivuvektorit. AB ( ) i ( 4) j ( ) k i j 0k AC ( ) i ( 4) j () k 6i 6j k BC ( ) i ( ) j ( ( )) k i 4j 8k Lasketaan seuraavaksi sivuvektoreiden pituudet ja tehdään pituuksien pohjalta päätelmä kolmion muodosta. AB ( ) ( ) ( 0) 0 AC ( 6) ( 6) ( ) 76 BC ( ) ( 4) 8 0 Koska kolmion sivuista kaksi ovat yhtä pitkiä ja kolmas erimittainen, on kolmio tasakylkinen. Kolmion huippukulma on kannan AC vastainen kulma B. Merkitään kulmaa :lla. BA AB ( i j 0 k ) i j 0k BABC ( i j 0 k ) ( i 4 j 8 k ) ( ) ( 4) BA BC cos BA BC 67 cos 0 0 0,0... 0,4 Huippukulman suuruus on noin 0,4.

5 07. Muodostetaan pisteen D paikkavektori. Koska suunnikkaan sivut AD ja BC ovat yhdensuuntaiset, on OD OA AD OA BC. BC ( ( )) i (7 4) j 7i j ja OA i j Siten OD OA BC i j 7i j 8i 4 j. Pisteen D koordinaatit luetaan paikkavektorista, joten D = (8, 4). 08. Vektorit u ja v ovat yhdensuuntaiset täsmälleen silloin, kun u tv jollakin t 0. Lisäksi, jos t > 0, ovat vektorit samansuuntaiset ja jos t < 0 ovat vektorit vastakkaissuuntaiset. Muodostetaan yhtälö ja pyritään ratkaisemaan t. a c t( b c) (4i j) ( di ( d ) j) t(( i j) di ( d ) j) (4 d) i ( d ) j t(( d) i (d ) j) ( d 4) i ( d ) j t( d ) i t( d ) j Koska komponentteihin jako on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöpari d 4td t d td t jonka ratkaisu on t =. Yhtälö a c t( b c) toteutuu, kun t =, joten vektorit a c ja b c ovat yhdensuuntaiset, mutta vastatakkaissuuntaiset. Samansuuntaisuus ei siten toteudu millään d:n arvolla. Huomautus: Kun t =, on d. Tätä ei kuitenkaan tarvitse ratkaista.

6 . Suora ja taso vektoreiden avulla LUVUN. YDINTEHTÄVÄT 09. Suuntavektori on mikä tahansa suoran suuntainen vektori, joten esimerkiksi AB on eräs suuntavektori. AB (4) i ( 7) j ( 6) k i 0j 9k Suora kulkee pisteen (,, 6) kautta. Suoran parametriesitys on esimerkiksi xt y 0 t ( t ) z 69t 0. Suoran parametrimuotoinen yhtälö on xt y t ( t ) z 7t Suoran mielivaltainen piste P = (+ t, + t, 7 + t) on tasossa x + y + z =, jos se toteuttaa tason yhtälön. Saadaan yhtälö + t + ( + t) t = eli 8t + = 0, josta x ( 7 ), 4 4 y 7 ja 4 4 z 7 ( 7 ) t 7. 4 Leikkauspiste on siis (,, 7 )

7 . a) Suoran suuntavektori on i j, joten suoran kulmakerroin on k. Suoran yhtälö saadaan kaavalla y y 0 = k(x x 0 ). y0 ( x4) y ( x4) xy40 Suoran yhtälö on siis x + y 4 = 0. b) Suoran x = t, y = t suuntavektori on i j, joten suoran kulmakerroin on k. Arvoa t = 0 vastaa piste (, 0). y0 ( x) y ( x) y x xy0 Suoran yhtälö on siis x + y = 0.

8 . Määritetään pisteiden A ja B kautta kulkevan suoran parametrimuotoinen yhtälö. Suoran suuntavektori on AB ( ) i ( ) j ( ) k i 0 j k i k. Suoran kulkee pisteen A = (,, ) kautta. Suoran parametrimuotoinen yhtälö on xt y ( t ) z t Piste P = (4,, ) on suoralla, jos se toteuttaa suoran yhtälön. t Saadaan joten piste P on suoralla. t Vastaavasti on piste Q = (0,, 4) suoralla, jos yhtälöryhmä 0 = t, =, 4 = + t toteutuu. Tämä on mahdotonta, koska, joten piste Q ei ole suoralla. Piste P on suoralla, mutta piste Q ei ole.

9 . Suoran a eräs suuntavektori on AB ( ( 4)) i (67) j ( ( )) k i j k. Suora a siis kulkee pisteen A = ( 4, 7, ) kautta vektorin i j k suuntaisesti. Suoran a parametrimuotoinen yhtälö on x4t y 7 t ( t ) z t Suoran b kulkee pisteen C = (, 4, ) kautta vektorin i j k suuntaisesti. Suoran b parametrimuotoinen yhtälö on x r y 4 r ( r ) z r Suorien leikkauspiste on suorien yhteinen. Syntyy siis yhtälöpari 4t r 7 t 4 r t r Tämän ratkaisu on t = 4 ja r =. Yhteinen piste eli leikkauspiste on siten ( + ( ), 4 + ( ), ( )) = (4,, ). Suorien välinen kulma voidaan päätellä suuntavektorien avulla. Lasketaan aluksi suuntavektoreiden välinen kulma pistetulon avulla. (i j k) ( i j k) 4

10 cos ( ) ( ) cos 6 cos 6 4, Suorien välinen kulma on aina enintään 90, joten se on kulman suplementtikulma 80 4, = 6, Suorien välinen kulma on Määritetään aluksi yhdysjanan keskipiste P. P (, 0, ) (,,) Tason normaalivektori on AB ( ) i ( 0) j ( ) k i j k Taso kulkee pisteen i j k. P (,,) kautta ja sen normaalivektori on Tason yhtälö on ( x ) ( y ) ( z) 0 x yz70. Jos piste on y-akselilla, on sen x- ja z-koordinaatti 0. Sijoitetaan siis x = 0 ja z = 0 yhtälöön. 0 + y = 0, josta y = 7. Taso leikkaa y-akselin pisteessä (0, 7, 0).

11 . Tapa : Muodostetaan yhtälö suoralle, joka kulkee pisteen P kautta ja on kohtisuorassa tasoa vastaan. Tason x + y + 4z + = 0 eräs normaalivektori on n i j 4 k. Pisteen P = (,, ) kautta kulkevan vektorin n i j 4k suuntaisen suoran parametrimuotoinen yhtälö on xt y t ( t ) z 4 t. Lasketaan suoran ja tason leikkauspiste. Sijoitetaan x t, y t ja z 4t tason yhtälöön ja määritetään leikkauspistettä vastaava parametrin t arvo. ( + t) + ( + t) + 4 ( + 4t) + = 0, josta t. Kun t, niin x ( ), y 7 ja z 4 ( ). Suora ja taso leikkaavat pisteessä (, 7, ). Lasketaan tämän pisteen ja pisteen P = (,, ) välinen etäisyys, joka on samalla pisteen ja tason välinen etäisyys. 7 ( ( )) ( ) ( ( )) 8,

12 Tapa : Ylioppilaskokeessa sallitusta kaavakokoelmasta löytyy pisteen (x 0, y 0, z 0 ) etäisyydelle tasosta ax + by + cz + d = 0 kaava ax0 by0 cz0 d d. a b c Lasketaan etäisyys tämän kaavan avulla sijoittamalla pisteen P = (,, ) koordinaatit ja tason x + y + 4x + = 0 yhtälön x:n, y:n ja z:n kertoimet yhtälöön. 4 d 4 4 Huomautus: Vastauksen voi antaa muodossa 4 tai. Etäisyys on 4 eli.

13 6. Suoran vektorimuotoisesta yhtälöstä voidaan johtaa suoran mielivaltaisen pisteen P paikkavektori eli parametrimuotoinen yhtälö. OP i j k t( i j sk) i j k ti tj stk ( ti ) ( t) j( stk ) Suoran mielivaltainen piste siis P = ( + t, + t, + st), missä t. Suora on tasossa, kun piste P toteuttaa tason x + 4y + z = yhtälön jokaiselle parametrin t arvoilla. Parametrin arvoa t = vastaa piste (,, + s). Sijoitetaan tämän pisteen koordinaatit tason yhtälöön ( + s) =, josta s = Varmistetaan vielä, että arvoa s = vastaava piste P = ( + t, + t, t) toteuttaa tason yhtälön kaikilla t:n arvoilla. ( + t) + 4 ( + t) + ( t) = + 6t t + 0 0t = = Yhtälö on aina tosi. Suora on tasossa, kun s =.

14 7. Suoran ax + by + c = 0 kulmakerroin on k a ja suuntavektori bi aj. b Lasketaan vektorien bi aj ja ai bj välinen pistetulo. ( bi aj ) ( ai bj ) ba ab 0 Koska vektorien bi aj ja ai bj välinen pistetulo on 0, ovat vektorit kohtisuorassa. Siten myös suora ax + by + c = 0 on kohtisuorassa sitä suoraa vastaan, jonka suuntavektori on ai bj.

15 Luvun vahvistavat ja syventävät tehtävät VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 8. a) u v u v cos( u, v) cos b) u v u v cos( u, v) cos A III, B III, C II, D III, E I

16 0. a) Summavektori on a b (i j) ( i j) i j. Koska i j, on vektorin i j suuntainen yksikkövektori i j i j i j ( i j ). b) Muodostetaan ensin vektorit AB ja CD. AB (7 ) i () j 4i j CD ( ) i ( 4) j 4i 6j Lasketaan vektoreiden AB ja CD pituudet ja välinen pistetulo. AB 4 0 CD ( 4) ( 6) AB CD (4i j ) ( 4i 6 j ) 6 8 cos AB CD AB CD cos 8 cos 7 0,... 0, Vektorien AB ja CD välinen kulma on 0,.

17 . Muodostetaan vektorin a yksikkövektori. a ( ) ( ), joten 0 a a ( i j) i 4 j a 0 b a ( i 4 j) i 4j Olkoon kysytty piste P. Muodostetaan pisteen P paikkavektori. OP 4i j b 4i j ( i 4 j ) i 7j Pisteen b loppupiste on (, 7).

18 . Mediaani eli keskijana on jana, joka yhdistää kolmion kärjen ja vastakkaisen sivun keskipisteen. Olkoon mediaanien leikkauspiste P ja janan BC keskipiste Q. Piste P jakaa jokaisen mediaanin kärjestä lukien suhteessa :, joten AP AQ. Piste Q ( 04,, 0 ) (,, ), joten AQ ( ( )) i ( ) j ( 6) k i j 9 k. Pisteen P paikkavektori on OP OA AP OA AQ i j 6 k ( i j 9 k) i j 6k i j k i j k. Mediaanien leikkauspiste on (,, ). Huomautus: Pisteen P voi määrittää sopivilla ohjelmilla.

19 . Lausutaan vektori PQ sivuvektoreiden avulla. PQ PA AD DQ BA AD DC BA AD AB AB AD AB AB AD Muodostetaan tarvittavat sivuvektorit AB ja AD. AB ( ( )) i (0 ) j ( 4) k i j k AD (4 ( )) i ( ) j ( 4) k i j k Siten PQ AB AD (i j k ) (i j k 9 i j k

20 4. Etsitään kertoimet r ja t siten, että i 7 j ra tb. i 7 j ra tb i 7 j r(i j) t( 7i 6 j) i 7j ri rj 7ti 6tj i 7 j (r7 t) i (r6 t) j Koska komponentteihinjako on yksikäsitteinen, tulee olla = r 7t ja 7 = r + 6t. Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälöpari. r7 t ( ) 7r6 t 6rt 4 6rt t t Kun t, 7r 6 eli r =, josta r. Siis i 7 j a b.

21 . Eräs vektoria i j vastaan kohtisuora vektori on a i j, sillä pistetulo ( i j) ( i j) 0. Muodostetaan vektorin a yksikkövektori. a 0, joten 0 a a ( i j). a Myös vektorin a vastavektori a kelpaa, joten ehdot täyttävät vektorit ovat ( i j ) ja ( i j ). 0 0 Huomautus: Vektoria ai bj vastaan kohtisuora vektori saadaan aina vaihtamalla i :n ja j :n kertoimet ja toisen kertoimen etumerkki, sillä muodostettujen vektorien ai bj ja ai bj pistetulo vektorin ai bj kanssa on nolla. 6. Olkoon kysytty vektori P = (x, y). Määritetään pisteestä P pisteisiin A, B, C, D ja E piirretyt vektorit. PB ( x) i ( y) j, PC ( x) i ( y) j, PD ( x) i ( y) j ja PE ( x) i ( y) j Lasketaan vektoreiden summa. PA PB PC PD PE ( x) i ( y) j ( x) i ( y) j ( x) i ( y) j ( x) i ( y) j ( x) i ( y) j ( xi ) ( y) j Vektori ( x) i ( y) j on nollavektori, kun x = 0 ja y = 0. Tällöin x ja Kysytty tason piste on siis y. (, ).

22 7. Suunnikkaan lävistäjien leikkauspiste Q puolittaa kummankin lävistäjän. Siten PQ ( a b ) ( i 4 j ( i j )) ( i 9 j ) i 9 j. Pisteen Q koordinaatit saadaan paikkavektorista. OQ OP PQ i j ( i 9 j ) i 7 j Siis PQ i 9 j ja Q (, 7 ). 8. Vektorin i mj pituus on i mj m m 4. Oletuksena on, että m =,, 4,... eli m on jokin positiivinen kokonaisluku. Jotta pituus on pienempi kuin m + tulee epäyhtälön m 4 m olla tosi kun m =,, 4,.... Epäyhtälön molemmat puolet ovat positiivisia, joten ne voidaan korottaa neliöön ja saatu epäyhtälö on yhtäpitävä alkuperäisen kanssa. m 4 m m 4m m m m Epäyhtälö m 4 m toteutuu täsmälleen kun m, erityisesti se siis toteutuu kun m =,, 4,.... Täten on osoitettu, että vektorin i mj pituus on pienempi kuin m +.

23 9. a) Kolmion kaksi sivuvektoria eli siten myös vastaavat sivut ovat yhtä pitkät. Lisäksi sivuvektorit ovat toisaan vastaan kohtisuorassa, joten kyseisten sivujen välillä on 90 kulma. Kolmio on siis tasakylkinen ja suorakulmainen. Kolmion kantakulmat ovat 4. b) Vektori a b on kolmion kolmas sivuvektori. Koska sivuvektorien pituudet toteuttavat Pythagoraan lauseen on kolmio suorakulmainen. Sivujen pituuksista ja muista kulmista ei voida sanoa mitään. c) Kolmion kaikki sivut ovat yhtä pitkiä eli kolmio on tasasivuinen. Tasasivuisena kolmion kaikki kulmat ovat 60. d) Jos kahden vektorin pistetulo on negatiivinen, on näiden vektorien välinen kulma tylppä. Vektorit a b ja b ovat samasta kärjestä lähtevät sivuvektorit. Koska näiden vektoreiden välinen pistetulo on tylppä, on kolmio tylppäkulmainen.

24 0. Tulkitaan valonsäteiden eteneminen suorina. Pisteen P = (0, 0, 0) kautta vektorin v i 4j k suuntaisesti kulkevan suoran parametrimuotoinen yhtälö on x0 t y 0 4 t ( t ) z 0t eli x0 t y 4 t ( t ) z t Pisteen P = (0, 480, 400) kautta vektorin v 4i 6j k suuntaisesti kulkevan suoran parametrimuotoinen yhtälö on x0 4r y r ( r ) z 400 r Selvitetään leikkaavatko suorat eli tutkitaan toteutuuko yhtälöryhmä 0 + t = 0 4r, 4t = 480 6r, t = 400 r joillakin r:n ja t:n arvolla. 0 t 0 4r 4t 480 6r t 400r Yhtälöryhmän kaksi alempaa yhtälöä muodostavat yhtälöparin 4t 6 r 480 tr 400 Tämän yhtälöparin ratkaisu on r = 80 ja t = 0. Nämä eivät kuitenkaan toteuta ensimmäistä yhtälöä, joten yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua eivätkä valonsäteet siis kohtaa toisiaan.

25 . Tulkitaan valonsäteiden eteneminen suorina. Pisteen A = (,, ) kautta vektorin u i j k suuntaisesti kulkevan suoran parametrimuotoinen yhtälö on xt y t ( t ) z t Pisteen B = (9,, ) kautta vektorin v i j k suuntaisesti kulkevan suoran parametrimuotoinen yhtälö on x9 r y r ( r ) z r Määritetään suorien leikkauspiste eli ratkaistaan yhtälöryhmä t 9r t r t r. Yhtälöryhmän ratkaisu on r = ja t =. Parametrin arvoa r = vastaava piste on (9,, + ) = (7,, 6) ja parametrin arvoa t = vastaava piste on ( +,, ) = (7,, 6). On näytetty, että suorat leikkaavat toisensa ja että leikkauspiste on (7,, 6).

26 . Vektorit a ja b ovat yhdensuuntaiset täsmälleen silloin, kun a xb jollakin luvulla x 0. a xb i j x( i tj) i j xi xtj Koska komponentteihinjako on yksikäsitteinen, on = x ja = xt. Syntyy siis yhtälöpari x xt Yhtälöparin ratkaisu on Vektorit x ja t 6. a ja b ovat yhdensuuntaiset, kun t 6. Vektorit a ja b ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa, kun niiden välinen pistetulo on 0 eli ab 0. ab 0 (i j) ( i tj) 0 t 0 t Vektorit a ja b ovat kohtisuorat, kun t.

27 . Olkoon piste P = (x, y). Piste A = (, ), joten AB ( x ) i ( y ) j. Kulma OAB on suora, kun vektorit AB ja AO ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. AB ja AO ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan myös silloin, kun vektorin AO vastavektori OA ja AB ovat kohtisuorassa. Tällöin vektoreiden välinen pistetulo on 0 eli AB OA 0 (( x) i ( y) j) ( i j) 0 ( x) ( y) 0 xy0 Vektorin OA pituus on OA ja vektorin OB pituus on OB x y. Koska vektorin OB pituus on kaksi kertaa vektorin OA pituus, on OB OA eli yhtälöpari xy0 x y 0 x y. Muodostuu Yhtälöparin ratkaisut ovat x ja y tai x ja y, joten B (, ) tai B (, ).

28 4. a) Jos vektorit a ja b asetetaan alkamaan samasta pisteestä ovat b a ja a b mahdollisia sivuvektoreita. Siis c b a (i j) ( i j) i j tai c a b ( b a) i j. Jos vektori b asetetaan alkamaan vektorin a loppupisteestä, ovat vektorit a b ja b a mahdollisia sivuvektoreita. Siis c a b ( i j) (i j) i j tai c b a i j. Jos vektori a asetetaan alkamaan vektorin b loppupisteestä, ovat vektorit b a ja a b mahdollisia sivuvektoreita. Siis c b a (i j) ( i j) i j tai c a b i j. Vektoreista a, b ja c voidaan muodostaa kolmio, kun c i j, c i j, c i j ja c i j

29 b) Pisteen P y- ja z-koordinaatit ovat 0, joten P = (x, 0, 0). Jana AB näkyy suorassa kulmassa, jos kulma P on suora eli jos vektorit PA ja PB ovat kohtisuorassa. Näin tapahtuu, kun PAPB 0 eli kun (( xi ) ( 0) j( 4 0) k) ((4 xi ) (0 0) j( 0) k) 0 (( xi ) j4 k) ((4 xi ) k) 0 ( x)(4 x) x x 40 x 6x 40 Yhtälön x 6x + 4 = 0 ratkaisut ovat x ja x. Jana AB näkyy suorassa kulmassa pisteissä P (, 0) ja P (, 0).

30 . Paikkavektorin r (t) i ( t ) j loppupiste on (t, t ). Tämä piste on paraabelilla y x, jos se toteuttaa paraabelin yhtälön. Muodostetaan ja ratkaistaan syntyvä yhtälö. y x t (t) 6t4t 4t 4t 0t 0 ( t t) 0 t 0 tai t 0 t 0 tai t Loppupiste on paraabelilla, jos t = 0 tai jos Näitä t:n arvoja vastaa paikkavektorit r (0 ) i (0 ) j i j ja r ( ) i ( ) j 4i 8 j. t. Vektoreiden i j ja 4i 8j välinen kulma saadaan pistetulon avulla. i j ( ) 4 4i 8 j ( i j) (4i 8 j) 44 8

31 Merkitään kysyttyä kulmaa :lla, jolloin ( i j) (4i 8 j) cos i j 4i 8 j cos 8 4 cos 4 8, ,7. Vektoreiden välinen kulma on 8,7.

32 6. a) Jos vektoreilla x, y ja x y on sama pituus, muodostavat ne tasasivuisen kolmion. Jos x ja y asetetaan alkamaan samasta pisteestä, muodostuu niiden välille 0 suuruinen kulma (kulman 60 vieruskulma). b) Jos vektoreilla x, y ja x y on sama pituus, muodostavat ne tasasivuisen kolmion. Jos x ja y asetetaan alkamaan samasta pisteestä, muodostuu niiden välille 60 suuruinen kulma.

33 7. Vektori i j on suoran normaalivektori. Vektoria i j vastaa kulmakerroin k n. Jos suoran suuntavektoria vastaa kulmakerroin k, toteuttavat kulmakertoimet k ja k n yhtälön kk n, josta k. Suoran yhtälö on y y 0 = k(x x 0 ), kun (x 0, y 0 ) = (, ) ja k. Siten y ( x) y9( x) y9x xy0 Pisteen (, ) etäisyys suorasta x + y = 0 saadaan kaavalla ax0 by0 c d, missä a =, b = ja (x 0, y 0 ) = (, ). Siten a b d. Huomautus (toinen tapa suoran yhtälön määrittämiseksi): Jos xy-tason suoran normaalivektori on ai bj, suoran normaalimuotoinen yhtälö on ax + by + c = 0 jollakin c. Vakio c saadaan selville sijoittamalla yhtälöön jokin tunnettu suoran piste ja ratkaisemalla c tästä yhtälöstä. Tässä tehtävässä yhtälö on siis x + y + c = 0. Koska piste (, ) on suoralla, syntyy yhtälö + + c = 0, josta c =. Suoran normaalimuotoinen yhtälö on siis x + y + = 0.

34 8. Suunnikkaan lävistäjien leikkauspiste puolittaa lävistäjät. Jos suunnikkaan sivuvektorit ovat u ja v, niin u d e (i 8 j) (4i 6 j) 6i 4 j i j 8i j ja v d e (i 8 j) (4i 6 j) 6i 4 j i j 4i 7 j. Koska u 8 6 ja v 4 7 6, ovat suunnikkaan sivuvektorit ja siten myös kaikki sivut yhtä pitkä ja suunnikas on neljäkäs.

35 9. Suoran kulmakerroin on k, joten suoran yhtälö on y x b jollakin vakiolla b. Suora leikkaa y-akselin pisteessä (0, b). Suoran ja x- akselin leikkauspiste saadaan yhtälöstä 0, xb josta x b. Kolmion pinta-ala on siis toisaalta b b ja toisaalta tiedetään, että se on. Syntyy siis yhtälö b b. Ratkaistaan tästä vakio b. b b b b b b b b 4 4 b 0 b 0 b Siis y x eli x + y 6 tai y x eli x + y + 6.

36 40. Janat AP, CR ja BQ ovat kolmion mediaanit ja ne leikkaavat toisensa samassa pisteessä joka jakaa jokaisen kolmion kärjestä lukien suhteessa :. Merkitään leikkauspistettä kirjaimella X. Nyt AX AP ja XP AP, CX CR ja XR CR. BX BQ ja XQ BQ sekä OA OB OC ( OX XA) ( OX XB) ( OX XC) OX XA XB XC OX AP BQ CR OX ( AP BQ CR) OP OQ OR ( OX XP) ( OX XQ) ( OX XR) OX XP XQ XR OX AP BQ CR OX ( AP BQ CR) Tarkastellaan mitä on summa AP BQ CR. Kun merkitään AB a ja AC b saadaan AP BQCR ( a BC) ( a b) ( b a) a ( a b) a b b a 0. Siis OA OB OC OX ja OP OQ OR OX, joten vektorisummat ovat yhtä suuret.

37 4. a) ab a b cos( a, b) 4 cos b) ad a d cos( a, d) 44cos806 ( ) 6 c) Koska c 4 0, on ac a c cos( a, c) a) Paraabelia siirretään kaksi yksikköä ylöspäin. Näin tapahtuu, kun käyrän jokaisen pisteen y-koordinaattiin lisätään luku eli pisteestä (x, y) = (x, x ) tulee piste (x, x + ). Käyrän yhtälö on y = x +. b) Paraabelia siirretään kolme yksikköä oikealle. Näin tapahtuu, kun käyrän jokaiseen x-koordinaattiin lisätään luku eli pisteestä (x, y) = (x, x ) tulee piste (x +, x ). Tämä on luontevampi esittää muodossa (x, (x ) ) eli käyrän yhtälö on y = (x ) = x 6x + 9. c) Yhdistetään a- ja b-kohdan päättelyt, jolloin käyrän yhtälö on y = (x ) + = x 6x Vektorit a ja b voidaan asettaa alkamaan mistä pisteestä tahansa, joten valitaan origo. Vektorien a ja b päätepisteet ovat nyt (, ) ja (, ). Näiden pisteiden kautta piirretyn suoran kulmakerroin on k 4 4 ja yhtälö y 4 ( x ), joka normaalimuodossa on 4x y = 0. Lasketaan origon etäisyys tästä suorasta, jolloin saadaan kysytyn korkeusjanan pituus Korkeus janan pituus on.

38 44. Koska vektori i j ti ( j ) alkaa origosta kyseessä on paikkavektori. Määritetään sen päätepiste (x, y). i j ti ( j ) i j ti tj ( ti ) ( t) j Siten päätepisteen koordinaatit ovat x = + t ja y = + t. Koska t = x, on y = + (x ) eli x y = 0.

39 4. Laivaa täytyy ohjata likimain pohjoiseen, pohjoisesta hieman luodetta kohti. Jos merivirtaa kuvaavan suuntavektorin päätepisteestä piirretään vektori, joka kuvaa laivan oikeaa ohjaussuuntaa ja yhdistetään virran alkupiste sekä ohjaussuunnan loppupiste, syntyy kolmio, jonka kolmas sivu on laivan etenemisen suunta eli pohjoisen suunta. Tässä kolmiossa on yksi kulma ( ). Merivirtaa kuvaavan vektorin pituus on ja laivan ohjaussuuntaa kuvaavan vektorin pituus on 8. Syntyvästä kolmiosta voidaan ratkaista kulma sinilauseella: 8, josta = 6, sin sin Siten = 80 = 8, Ohjaussuunnan poikkeama pohjoisen suunnasta vastapäivään on = 7, joten kompassisuunta on 60 7 =. Laivan etenemisen nopeus eli x saadaan esimerkiksi kosinilauseella yhtälöstä x 8 8cos8,..., josta x =, On ohjattava suuntaan, jolloin laiva etenee pohjoista kohti 6 solmun vauhdilla.

40 46. Tetraedri on säännöllinen, jos sen kaikki särmät ovat yhtä pitkät. Lasketaan särmävektoreiden pituudet. a i j k ( ) 4 b i j k ( ) ( ) 4 c ( j k) 4 j k) 4 ( ) ( ) Muodostetaan kolme muuta särmävektoria. d a b ( i j k) ( i j k) i e b c ( i j k) ( j k) i j k 4 j k j j k f a c ( i j k) 4 j k i j k 4 j k i j k Lasketaan näiden pituudet. d i e j j k ( ) ( ) 4 f i j k ( ) ( ) ( ) 4 Koska jokainen särmävektori on yhtä pitkä, on tetraedri säännöllinen. Huomatus: Pelkästään annettujen vektorien a, b ja c pituuksien laskeminen ei riitä.

41 47. Koska vektori b on yhdensuuntainen vektorin i kanssa, on b xi jollakin reaaliluvulla x. Olkoon a yi zj, missä y ja z ovat jotkin reaaliluvut. Koska a b 4 i j, saadaan yhtälö: a b 4i j ( yi zj) xi 4i j ( x yi ) zj4i j Tästä syntyy yhtälöpari x y 4 z. Koska ab 4, niin ( yi zj) xi 4, josta xy = 4. x + y = 4, josta y = 4 x Yhtälö xy = 4 saa muodon x(4 x) = 4 ja edelleen x + 4x 4 = 0. x + 4x 4 = 0 ( ) x 4x + 4 = 0 (x ) = 0 x = Koska x =, on y = 4 =. Kysytyt vektorit ovat a i k ja b i.

42 48. Tasojen välinen kulma on enintään 90 ja se määritetään tasojen normaalivektoreiden välisen kulman avulla. Tason x + y z + = 0 eräs normaalivektori on n i j k. Tason 6x + y + z 0 = 0 eräs normaalivektori on n 6i j k. Lasketaan vektoreiden n ja n välinen kulma. n n cos n n cos cos 6 7 cos 0, , ,7 Tasojen välinen kulma on 40,7 Huomautus: Jos normaalivektoreiden välinen kulma on suurempi kuin 90, osoittavat ne eri puolille tasoja. Tasojen välinen kulma saadaan tällöin vähentämällä tästä kulmasta 90. Hahmottele kuva!

43 49. Vektori u tb jollekin luvulle t ja v b 0. Lisäksi on oltava a u v, josta v a u a tb. Sijoitetaan v a tb yhtälöön v b 0 ja ratkaistaan t. v b 0 ( a tb) b 0 ab tb b 0 (8 6) t(4 4) 0 9t 0 t Siis a u v, missä u tb b (i j k) i j k ja v a u (4i j k) ( i j k) 4 i 4 j 7 k.

44 0. Hahmotellaan tilanteesta kuvio sopivalla piirto-ohjelmalla. Lausutaan OP aluksi eri tavoilla. Toisaalta OP OA AP ( i j) rab ( i j) r((7) j () j) i j 6rj rj ( 6 ri ) ( r) j, missä r on jokin reaaliluku. Toisaalta OP t( i j ) ti tj, missä t on jokin reaaliluku. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan r ja t. Luku r on kysytty janan AB jakosuhde. ( 6 ri ) ( r) jti tj Komponentteihinjako on yksikäsitteinen, joten + 6r = t ja r = t. Ratkaistaan syntyvä yhtälöpari. 6r t r t ( ) 6r t 6r t 9r 0 r 9 Kertoimesta r nähdään jako-osien yhteismäärä 9, AP:n jako-osien 9 lukumäärä sekä PB:n jako-osien lukumäärä 4, joten suhde on :4.

45 . Vektorin 4i j pituus on 4i j (4i j) 8 i 6 j verran. 4, joten ensin siirrytään vektorin Vektorin i j pituus on ( ), joten tämän jälkeen siirrytään vektorin i j t t (i j) ti tj verran. Olkoon kysytty piste P = (x, y), jolloin OP 8 i 6 j ti tj ( 8 ti ) ( 6 t) j. On siis x 8 t ja y 6 t. Kyseessä on suoran yhtälö, joka voidaan esittää yhtälöparina 8 x t 6 y t, josta voidaan lukea eräs suoran piste ( 8, 6 ) sekä suuntavektori i j. Suuntavektoria vastaa kulmakerroin k :. Suoran yhtälö on siten y y0 k( xx0) y 6 ( x 8 ) 60xy6 0

46 . a) Tason yhtälö on ax + by + cz + d = 0, missä a, b, c ja d ovat jotkin vakiot. Tason ax + by + cz + d = 0 ja xy-tason leikkaussuora on ax + by + d = 0, sillä xy-tason pisteillä z = 0. Siten kyseessä olevan tason yhtälössä a =, b = ja d = eli yhtälö on x + y + cz = 0. Tuntematon vakio c saadaan ratkaisua sen tiedon perusteella, että piste (, 4, 6) toteuttaa yhtälön eli yhtälö c 6 = 0 tosi. Tästä saadaan, että c 7. Tason yhtälö on siis xy 7 z 0 eli 6 6 6xy7z8 0. b) Jokaisessa x-akselin pisteessä y = 0 ja z = 0. Sijoitetaan nämä luvut tason yhtälöön, jolloin saadaan 6x 8 = 0 eli x =. Taso leikkaa x-akselin pisteessä (, 0, 0). y-akselin leikkauspisteessä x = 0 ja z = 0, joten y 8 = 0, josta y. Taso leikkaa y-akselin pisteessä (0,, 0). z-akselin leikkauspisteessä x = 0 ja y = 0, joten 7z 8 = 0, josta z 8. Taso leikkaa z-akselin pisteessä (0, 0, 8 ). 7 7

47 . Suora on kohtisuorassa tasoa vastaan, jos se on kohtisuorassa kahta tason erisuuntaista vektoria vastaan. Muodostetaan suoran suuntavektori. s (4 ) i ( ) j ( ) k i j k Muodostetaan kaksi pisteestä (,, ) lähtevää erisuuntaista tason vektoria u ja v. u ( ) i ( ) j (0 ) k 4i j k v (4 ) i ( ) j ( ) k i k Lasketaan vektorien u ja s sekä v ja s välinen pistetulo. s u (i j k) (4 i j k) 8 0 s v (i j k) (i k) Koska pistetulot ovat nollia, on suoran suuntavektori kohtisuorassa kahta tasolla olevaa vektoria vastaan ja siten myös tasoa vastaan.

48 4. Piirretään tilannetta havainnollistava kuva. Lävistäjävektorit ovat a b c (i j 4 k) ( i j k) ( i j) 4i 4 j 4k ja a b c (i j 4 k) ( i j k) ( i j) j k. Lasketaan lävistäjävektoreiden pistetulo. (4i 4 j 4 k) ( j k) 0 Koska lävistäjävektoreiden pistetulo on 0, ovat ne kohtisuorassa.

49 . Lasketaan kolmion sivuvektoreiden a, b ja a b pituudet. a ti j t 4 b i ( t) j 4 ( t ) 4t 4t4 t 4t 8 a b ( ti j) ( i ( t ) j) ( t) i ( t4) j ( t) ( t4) t 4t4t 8t6 t 4t0 Koska t 4t + 8 t 4t + 8 < t 4t + 0, on a b b. Koska t + 4 t (t ) = t 4t + 8 < t 4t + 0, on a b a. Koska vektori a b on pidempi kuin kumpikaan vektoreista a ja b, on kolmion kolmas sivu pisin.

50 6. Lentokoneen lentorataa vastaan suoran yhtälö parametrimuodossa on x00 0t y t ( t ) z 0t Lentokone ylittää maantien, kun lentokoneen lentoradan projektio xytasossa ja suora x + y = 00 leikkaavat. Lentoradan projektio on xy-tason suora, joka saadaan asettamalla lentoradan z-koordinaatti nollaksi. x00 0t ( t ) y 000 0t

51 7. Määritetään aluksi AP ja BP. AP ( x( )) ( y0) ( x) y x 4x4 y BP ( x ) ( y ) x 4x4 y 6y9 x y 4x6y Ehdosta AP BP saadaan x 4x4 y x y 4x6y. Koska epäyhtälön molemmat puolet ovat ei-negatiivisia, säilyy järjestys korotettaessa puolittain neliöön. x 4x4 y 4 ( x y 4x6y) x y 0x4y48 0 Pyritään täydentämään yhtälöön binomien neliöt. x y 0x4y48 0 : ( ) x y 0 x8y ( x ) ( y4) ( ) Käyrä ( x 0 ) ( y4) ( 0 ) on ympyrä, jonka keskipiste on ( 0,4) säde on 0. Ehdon ( x 0 ) ( y4) ( 0 ) toteuttavat siten kaikki mainitulla ympyrällä ja sen ulkopuolella olevat pisteet.

52 8. Kolmion OAB kylkien OA ja OB pituudet ovat a ja b. Kolmion kolmas kylki on AB, jota vastaa vektori AO OB OA OB a b. Sivun AB pituus on siis a b. Jotta voidaan käyttää annettua pistetuloehtoa, lasketaan vektorin a b pituuden neliö, joka on vektorin pistetulo itsensä kanssa. a b ( a b) ( a b) aa ab b b ab ab b b b b b. Siten a b b eli AB ja OB ovat yhtä pitkät. Kolmio on OAB on näin ollen tasakylkinen.

53 9. Normaalivektori voidaan muodostaa, jos tunnetaan jotkin kaksi tason vektoria. Nämä voidaan vastaavasti muodostaa, jos tunnetaan jotkin kolme tason pistettä. Määritetään tunnetun pisteen lisäksi kaksi pistettä suoralta antamalla parametrille t jotkin kaksi arvoa, esimerkiksi t = 0 ja t =. Kun t = 0, x = + 0 =, y = + 0 = ja z = + 0 =, joten parametrin arvoa t = 0 vastaa piste on (,, ). Kun t =, x = + =, y = + = 4 ja z = + = 6, joten parametrin arvoa t = vastaa piste on (, 4, 6). Vektori pisteestä (,, ) pisteeseen (,, ) on ( ) i ( ) j ( ) k j k. Vektori pisteestä (,, ) pisteeseen (, 4, 6) on ( ) i (4 ) j (6 ) k i j k. Normaalivektori on n ai bj ck joillakin kertoimilla a, b ja c. Koska normaalivektori on kohtisuorassa jokaista tasossa olevaa vektoria vastaa, niin n( j k) 0 ja n( i j k) 0. Tästä muodostuu kaksi yhtälöä. n( j k) 0 ( ai bj ck ) ( j k ) 0 a0bc0 bc0 n( i j k) 0 ( ai bj ck ) ( i j k ) 0 abc0 abc0

54 Ehdoista syntyy yhtälöpari. bc0 abc0 Yhtälöparille löytyy useita ratkaisuja, koska normaalivektoreita on useita: normaalivektorin pituus ei ole merkityksellinen. Siten yksi kertoimista a, b ja c voidaan valita vapaasti (kunhan ei valita kertoimeksi lukua 0). Valitaan a =. Yhtälöparin ensimmäistä yhtälöstä saadaan b = c. Sijoitetaan nämä toiseen, jolloin saadaan yhtälö + ( c) + c = 0. Tästä saadaan c =, joten b =. Siten eräs tason normaalivektori on n i j k.

55 60. Pisteiden A ja B kautta kulkee suora. Suoran eräs suuntavektori on AB a b. Jos merkitään vektoreiden yhteistä alkupistettä kirjaimella O, jokainen suoran piste P toteuttaa ehdon OP OA t AB jollakin parametrin t arvolla. Näytetään, että myös piste C toteuttaa tämän ehdon. b a a b b a a b b a OC c a b, a b a b a b a b a b mutta tämä muoto on ihan outo. Kokeillaan tarkastella erotusta c a ja yritetään saada sitä kautta jotain tolkullista aikaan. b a a b c a a a b b a a b a( a b ) a b a b b a a b a a b a a b a b a a a b a ( b a), a b a joten c a ( b a). a b a Nyt OC c a ( b a) OA t ( b a) OA t AB, a b a t. a b missä

56 Koska a b 0 on t määritelty aina ja piste C on aina pisteiden A ja B kautta kulkevalla suoralla. Koska lisäksi a b a, on 0 < t < eli piste C on janalla AB. Jakosuhde on janojen AP ja PB pituuksien suhde. AP:n pituus on kerroin t ja PB:n pituus a a b a b t. a b a b a b a b Suhde on a : b a, a b a b b kun b 0.

57 6. Merkitään OA a ja OC c. Piirretään tilannetta havainnollistava kuva. Leikatkoon vektorit OE ja OD janan AC pisteissä X ja Y. Oletetaan, että X ja Y jakavat janan kolmeen yhtä pitkään osaan ja osoitetaan, että OX t OE jollekin t ja OY r OD jollekin r eli että pisteet X ja Y ovat janoilla OE ja OD. OX OC CA c ( c a) c a ( c a) Toisaalta OE c a ( c a ), josta c a OE. Siten OX ( c a) OE OE. Samoin OY OA AC a ( a c ) a c ( a c ). Toisaalta OD a c ( a c ), josta a c OD. Siten OY ( a c ) OD OD. On siis osoitettu, että janan AD kolmeen yhtä suureen osaan jakavat pisteet ovat janoilla OD ja OE eli että vektorit OE ja OD jakavat janan kolmeen yhtä suureen osaan.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

3 Yhtälöryhmä ja pistetulo

3 Yhtälöryhmä ja pistetulo Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5..06 Yhtälöryhmä ja pistetulo Ennakkotehtävät. z = x y, x y + z = 6 ja 4x + y + z = Sijoitetaan z = x y muihin yhtälöihin. x y + x y =

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( ) Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB

Lisätiedot

MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste

MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste Tason ja avaruuden vektorit 1. Olkoon A(, -, 4) ja B(5, -1, -3). a) Muodosta pisteen A paikkavektori. b) Muodosta vektori AB. c) Laske vektorin AB pituus.

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

VEKTORIT paikkavektori OA

VEKTORIT paikkavektori OA paikkavektori OA Piste A = (2, -1) Paikkavektori OA = 2i j 3D: kuvan piirtäminen hankalaa Piste A = (2, -3, 4) Paikkavektori OA = 2i 3j + 4k Piste A = (a 1, a 2, a 3 ) Paikkavektori OA = a 1 i + a 2 j

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Vektori Ennakkotehtävät.. Laiva etenee aikayksikössä aina nuolen pituuden verran. Jatketaan laivojen kulkua osoittavia nuolia, jolloin saadaan selville laivan sijainti yhden, kahden, kolmen jne. aikayksikön

Lisätiedot

1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti määritelty: a) Määritä vektori. sekä laske sen pituus.

1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti määritelty: a) Määritä vektori. sekä laske sen pituus. Matematiikan kurssikoe, Maa4 Vektorit RATKAISUT Sievin lukio Keskiviikko 12.4.2017 VASTAA YHTEENSÄ VIITEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL JA LASKIN/LAS- KINOHJELMAT OVAT SALLITTUJA! 1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

TASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö.

TASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö. TSON YHTÄLÖT VEKTORIT, M4 Jokainen seuraavista määrää avaruuden tason yksikäsitteisesti: - kolme tason pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla, - yksi piste ja pisteen ulkopuolinen suora, - yksi piste

Lisätiedot

2 Vektorit koordinaatistossa

2 Vektorit koordinaatistossa Vektorit koordinaatistossa Ennakkotehtävät. Esimerkiksi 4i 4i4i i 4i Kaikkien reittien esitysmuoto vektoreiden i a avulla lausuttuna on sama. . a) Vektorin 4i komponentit muodostavat suorakulmaisen kolmion,

Lisätiedot

2 Vektorit koordinaatistossa

2 Vektorit koordinaatistossa Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5..06 Vektorit koordinaatistossa Ennakkotehtävät. Esimerkiksi 4i 4i4i i 4i Kaikkien reittien esitysmuoto vektoreiden i a avulla lausuttuna

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48 Trigonometriset funktiot 169. Muutetaan asteet radiaaneiksi. 180 astetta on radiaaneina π eli 180 = π rad Tällöin 1 rad. 180 45 1 a) 45 180 4 4 65 1 b) 65 180 6 10 c) 10 180 5 5 d) 5 180 4 40 7 e) 40 180

Lisätiedot

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3 Mb8 Koe 4.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d.

c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 20 a) Vektorin a kanssa samansuuntaisia ovat vektorit b ja d. b) Vektorit ovat erisuuntaiset, jos ne eivät ole yhdensuuntaiset (samansuuntaiset tai vastakkaissuuntaiset).

Lisätiedot

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota. MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.

Lisätiedot

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

Suorat ja tasot, L6. Suuntajana. Suora xy-tasossa. Suora xyzkoordinaatistossa. Taso xyzkoordinaatistossa. Tason koordinaattimuotoinen yhtälö.

Suorat ja tasot, L6. Suuntajana. Suora xy-tasossa. Suora xyzkoordinaatistossa. Taso xyzkoordinaatistossa. Tason koordinaattimuotoinen yhtälö. Suorat ja tasot, L6 Suora xyz-koordinaatistossa Taso xyz-koordinaatistossa stä stä 1 Näillä kalvoilla käsittelemme kolmen laisia olioita. Suora xyz-avaruudessa. Taso xyz-avaruudessa. Emme nyt ryhdy pohtimaan,

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Vektorit, suorat ja tasot

Vektorit, suorat ja tasot , suorat ja tasot 1 / 22 Koulussa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä (x 1, x 2 ). Jos vektorin

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt 6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran

Lisätiedot

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät 11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2 Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon

Lisätiedot

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v. Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause

Lisätiedot

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen

Lisätiedot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

Yleistä vektoreista GeoGebralla

Yleistä vektoreista GeoGebralla Vektoreita GeoGebralla Vektoreilla voi laskea joko komentopohjaisesti esim. CAS-ikkunassa tai piirtämällä piirtoikkunassa. Ensimmäisen tavan etuna on, että laskujen tueksi muodostuu kuva. Tästä on varmasti

Lisätiedot

3 Vektorin kertominen reaaliluvulla

3 Vektorin kertominen reaaliluvulla 3 Vektorin kertominen reaaliluvulla Summalla a + a + a tarkoitetaan lausekkeessa esiintyvän vektorin a kanssa samansuuntaista, mutta pituudeltaan tähän nähden kolminkertaista vektoria. Tätä summaa on tarkoituksenmukaista

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

169. 170. 171. 172. 173. 174. 5. Geometriset avaruudet. 5.1. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus

169. 170. 171. 172. 173. 174. 5. Geometriset avaruudet. 5.1. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus 5. Geometriset avaruudet 5.. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus 69. Olkoon {b,b 2 } tason E 2 kanta ja olkoon u = 2b + 3b 2, v = 3b + 2b 2, w = b 2b 2. Määritä vektoreiden 2u v + w ja

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun

Lisätiedot

Ympyrän yhtälö

Ympyrän yhtälö Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat Harjoitustehtävät, syyskuu 2011. Helpommat Ratkaisuja 1. Ratkaise yhtälö a a + x = x. Ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö reaalilukujen joukossa. Jos yhtälöllä onratkaisux, niin x 0. Jos a =0,yhtälöllä onratkaisux

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

Paraabeli suuntaisia suoria.

Paraabeli suuntaisia suoria. 15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a) Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen

Lisätiedot

Harjoituksia MAA5 - HARJOITUKSIA. 1. Olkoon ABCD mielivaltainen nelikulmio. Merkitse siihen vektorit. mutta molemmat puolet itseisarvojen sisällä????

Harjoituksia MAA5 - HARJOITUKSIA. 1. Olkoon ABCD mielivaltainen nelikulmio. Merkitse siihen vektorit. mutta molemmat puolet itseisarvojen sisällä???? MAA5 - HARJOITUKSIA 1. Olkn ABCD mielivaltainen nelikulmi. Merkitse siihen vektrit a) AB b) CA ja DB. 2. Neljäkäs eli vinneliö n suunnikkaan erikistapaus. Mitkä seuraavista väitteistä vat tsia neljäkkäässä

Lisätiedot

b 4i j k ovat yhdensuuntaiset.

b 4i j k ovat yhdensuuntaiset. MAA5. 1 Koe 29.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää! Muista tehdä pisteytysruuduo ensimmäisen onseptin yläreunaan! Perustele vastausesi välivaiheilla! 1. Oloon vetorit a 2i 6 j 3 ja b i 4 j 3 a) Määritä

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

2 Kuvioita ja kappaleita

2 Kuvioita ja kappaleita Kuvioita ja kappaleita.1 Suorakulmaisen kolmion geometriaa 97. a) Kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 39. Hypotenuusan pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 5 (

Lisätiedot

HARJOITUSTEHTÄVIÄ. Millä vektorin c arvoilla voidaan vektoreita a + b, a + c ja b +2 c siirtelemällä muodostaa kolmio?

HARJOITUSTEHTÄVIÄ. Millä vektorin c arvoilla voidaan vektoreita a + b, a + c ja b +2 c siirtelemällä muodostaa kolmio? Pitkäranta: Calculus Fennicus II.2. Tason vektorit Koska ilmeisesti pätee v 1, v 2 W v 1 + v 2 W, v W λ v W λ R, on W itsekin vektoriavaruus. Sen kantaan tarvitaan vain yksi vektori, esim a, joten dim

Lisätiedot

Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Juurifunktio Ennakkotehtävät. a) = 6, koska 4 = 6 b) + = 6, eli = 4 c) + = + + =0 4 ( ) ( ) tai Ratkaisuista = ei toteuta alkuperäistä yhtälöä, koska. Luvun tulee siis olla. . a) b) f ( ) ( ) (6) 44 9

Lisätiedot

0. 10. 017 a b c d 1. + +. + +. + + 4. + + + 5. + 6. + P1. Lehtipuiden lukumäärä olkoon aluksi n, jolloin havupuiden määrä on 1,4n. Hakkuiden jälkeen lehtipuiden määrä putoaa lukuun n 0,1n = 0,88n ja havupuiden

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a) K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot