Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Transkriptio

1 Tekijä Pitkä matematiikka K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin ylempään yhtälöön ja 13 ratkaistaan muuttuja s. 3r s = s = s = 13 6 s = 13 Yhtälöparin ratkaisu on 2 r = ja 13 6 s =. 13 Vastaus 2 r = ja 13 6 s = 13

2 K2 Ratkaistaan muuttujat r ja s yhtälöryhmän r 7= 3 4s 8= 0 5 s = 10 kahdesta ensimmäisestä yhtälöstä. r 7= 3 r = 10 4s 8= 0 4s = 8 : 4 s = 2 Tarkastetaan sijoittamalla, toteuttaako luku s = 2 myös kolmannen yhtälön. 5s = = = 10 tosi Siis luvut r = 10 ja s = 2 toteuttavat kaikki kolme yhtälöä. Vastaus r = 10 ja s = 2

3 K3 Ratkaistaan muuttujat s ja t yhtälöryhmän s t = 3 2 s+ t = 0 3s 2t = 6 kahdesta ensimmäisestä yhtälöstä ja tarkastetaan, toteuttavatko luvut myös kolmannen yhtälön. Poistetaan kahden ensimmäisen yhtälön muodostamasta yhtälöparista muuttuja t ja ratkaistaan muuttuja s. s t = 3 + 2s+ t = 0 3 s = 3 s = 1 Sijoitetaan s = 1 esimerkiksi yhtälöparin alempaan yhtälöön ja ratkaistaan muuttuja t. 2s+ t = t = 0 t = 2

4 Sijoitetaan luvut s = 1 ja t = 2 yhtälöryhmän kolmanteen yhtälöön. 3s 2t = ( 2) = = 6 7= 6 epätosi Siis luvut s = 1 ja t = 2 eivät toteuta yhtälöryhmän viimeistä yhtälöä. Koska muuttujille s ja t ei löydy arvoja, jotka toteuttavat kaikki kolme yhtälöä, yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. Vastaus ei ratkaisua

5 K4 Valitaan poistettavaksi muuttujaksi t. Muodostetaan yhtälöryhmän r+ 2 s+ t = 5 (1) 2r 3 s t = 7 (2) 2 r s t = 15 (3) yhtälöistä 1 ja 2 yhtälöpari ja poistetaan muuttuja t. + r+ 2 s+ t = 5 2r 3 s t = 7 r s = 2 Muodostetaan seuraavaksi yhtälöryhmän yhtälöistä 1 ja 3 yhtälöpari ja poistetaan muuttuja t. + r+ 2s+ t = 5 2 r s t = 15 r+ s = 10 On päädytty yhtälöpariin r s = 2 r + s = 10 jossa esiintyvät vain muuttujat r ja s.

6 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. + r s = 2 r+ s = 10 2 r = 12 r = 6 Sijoitetaan tulos r = 6 äskeisen yhtälöparin jälkimmäiseen yhtälöön ja ratkaistaan muuttuja s. r+ s = s = 10 s = 10 6 = 4 Sijoitetaan r = 6 ja s = 4 esimerkiksi alkuperäisen yhtälöryhmän yhtälöön 1 ja ratkaistaan muuttuja t. r+ 2s+ t = t = t = 5 2+ t = 5 t = 5 2= 7 Yhtälöryhmän ratkaisu on r = 6, s = 4 ja t = 7. Vastaus r = 6, s = 4 ja t = 7

7 K5 Vektorin a pituus on toisaalta 12 ja toisaalta neljä ruutua. Siis yksi ruutu vastaa pituutta 3. a) Kuvassa ovat vektorit, jotka ovat vektorin a kanssa yhdensuuntaiset (samansuuntaiset tai vastakkaissuuntaiset) ja joiden pituus on 3 (eli 1 ruutu). b) Kuvassa on vektorin a kanssa vastakkaissuuntainen vektori, jonka pituus on 9 (eli 3 ruutua). c) Kuvassa ovat vektoria a vastaan kohtisuorat vektorit, joiden pituus on 6 (eli 2 ruutua).

8 K6 a) Siirretään vektori c alkamaan samasta pisteestä kuin vektori a. Trigonometrian avulla saadaan vektorien a ja c väliselle kulmalle 1 tan( ( ac, )) = ( ac, ) = tan ( ) 27 2 b) Siirretään vektori b alkamaan samasta pisteestä kuin vektori a. Nähdään, että vektorien a ja b välinen kulma koostuu suorakulmasta ja kulmasta, jonka tangentti on 2. Siten 1 ( ab, ) = 90 + tan c) Vektorien b ja c välinen kulma muodostuu kahdesta kulmasta, joiden molempien tangentti on 2. Siten 1 1 ( bc, ) = tan 2 + tan Vastaus a) ( ac, ) 27 b) ( ab, ) 153 c) ( bc, ) 127

9 K7 a) Asetetaan vektorit a ja b peräkkäin. Piirretään vektori a :n alkupisteestä b :n loppupisteeseen. Saatu vektori on a + b. b) Asetetaan vektorit b ja c peräkkäin. Piirretään vektori b :n alkupisteestä c :n loppupisteeseen. Saatu vektori on b c. c) Asetetaan vektorit a, b ja c peräkkäin. Palataan samaan pisteeseen, josta lähdettiin. Siten summavektori on nollavektori: a + b c = 0.

10 K8 a) Vektori 3c on 3 kertaa niin pitkä kuin vektori c ja sen kanssa samansuuntainen. b) Vektori 2b on 2 kertaa niin pitkä kuin vektori b ja sen kanssa vastakkaissuuntainen. 3 3 c) Vektori a on kertaa niin pitkä 4 4 kuin vektori a (eli 3 ruutua) ja sen kanssa vastakkaissuuntainen.

11 K9 Piirretään vektorin a alku- ja loppupisteen kautta vektorien u ja v suuntaiset suorat. Kuvasta nähdään, että a = 3v 5u = 5u + 3v. Vastaus a = 5u + 3v

12 K10 Kuvassa on alkuperäinen kuvio, johon on lisätty valmiiksi näkyviin vektorien a, b ja d siirrot, joita tarvitaan seuraavissa laskuissa. Lisäksi on laskettu nelikulmion neljäs kulma: nelikulmion kulmien summa on 360, joten neljäs kulma on = 116. a) Siirretään vektori a alkamaan samasta pisteestä kuin vektori b. Vektorien välinen kulma on = 90. Siis ( ab, ) = 90. b) Siirretään vektori b alkamaan samasta pisteestä kuin vektori c. Vektorien välinen kulma on = 98. Siis ( bc, ) = 98.

13 c) Siirretään vektori d alkamaan samasta pisteestä kuin vektori a. Vektorien välinen kulma on = 64. Siis ( ad, ) = 64. Vastaus a) ( ab, ) = 90 b) ( bc, ) = 98 c) ( ad, ) = 64

14 K11 a) b) Kysytyt kärkipisteiden koordinaatit saadaan luettua a-kohdan kuvasta: (3, 3, 0), (3,0,3), (0,3,3) ja (3, 3, 3). Vastaus b) (3, 3, 0), (3,0,3), (0,3,3) ja (3, 3, 3)

15 K12 Merkitään pisteitä A (0,5), B (2,2) ja C ( 4,1). a) Pisteen x-koordinaatti on sen paikkavektorin i -suuntaisen komponentin kerroin ja y-koordinaatti j -suuntaisen komponentin kerroin. Siten pisteen A (0,5) paikkavektori on OA = 0i + 5j = 5j. b) Pisteen B (2, 2) paikkavektori on OB = 2i + 2j. c) Pisteen C ( 4,1) paikkavektori on OC = 4i + j. Vastaus a) OA = 5 j b) OB = 2i + 2j c) OC = 4i + j

16 K13 Pisteiden A (0, 1), B (1,1) ja C (5, 2) paikkavektorit ovat OA = 0i j = j, OB = i + j ja OC = 5i 2j. Paikkavektorien summa on OA + OB + OC = j + i + j + 5i 2j = 6i 2 j. Selvitetään sitten loppupiste P, kun lähdetään pisteestä B (1,1) ja kuljetaan vektori OA + OB + OC = 6i 2j. Merkitään tätä siirtymävektoria BP. Muodostetaan pisteen P paikkavektori. OP = OB + BP = i + j + 6i 2j = 7i j Loppupiste on siis P = (7, 1). Vastaus paikkavektorien summa 6i 2j ; loppupiste P = (7, 1)

17 K14 a) Määritetään vektori AB. Vektori pisteestä A (3, 7,1) pisteeseen B ( 5,1, 3) saadaan vähentämällä loppupisteen koordinaateista alkupisteen koordinaatit. AB = ( 5 3) i + (1 ( 7)) j + ( 3 1) k = 8i + 8j 4k b) Pisteiden A ja B välinen etäisyys on sama kuin vektorin AB pituus. AB = ( 8) ( 4) = = 144 = 12 Vastaus a) AB = 8i + 8j 4k b) 12

18 K15 a) Merkitään alkupistettä kirjaimella A ja loppupistettä kirjaimella B. On selvitettävä loppupiste B, kun lähdetään pisteestä A (3, 10, 4) ja kuljetaan vektori v = 13i 8 j + 16k. Pisteen A (3, 10, 4) paikkavektori on OA = 3i 10 j + 4k. Muodostetaan pisteen B paikkavektori. OB = OA + v = 3i 10 j + 4k + 13i 8 j + 16k = 16i 18 j + 20k Loppupiste on siis (16, 18,20).

19 b) Merkitään alkupistettä kirjaimella C ja loppupistettä kirjaimella D. On selvitettävä alkupiste C, kun kuljetaan vektori v = 13i 8 j + 16k ja päädytään pisteeseen D (7, 7,7). Pisteen D (7, 7,7) paikkavektori on OD = 7i 7j + 7k. Muodostetaan pisteen C paikkavektori. OC = OD v = 7i 7 j + 7 k (13i 8 j + 16 k) = 7i 7 j + 7k 13i + 8 j 16k = 6i + j 9k Alkupiste on siis ( 6,1, 9). Vastaus a) (16, 18, 20) b) ( 6,1, 9)

20 K16 Muodostetaan ensin vektori b 3a. b 3a = i + 5 j k 3(2i 3 j 5 k) = i + 5 j k 6i + 9 j + 15k = 7i + 14 j + 14k Vektorin b 3a pituus on b a = + + = = ( 7) Vastaus 21

21 K17 a) Lasketaan vektorin a = 3i j pituus. a 2 2 = 3 + ( 1) = = 10 Vektorin a suuntainen yksikkövektori on a = a a = (3 i j) = i j b) Kun yksikkövektori a kerrotaan luvulla 3 10, saadaan vektori, joka on vektorin a kanssa vastakkaissuuntainen ja jonka pituus on b = 3 10 a = 3 10 ( i j) = 9i + 3j Vastaus a) a = i j b) b = 9i + 3j

22 K18 Lähtöpiste on A ( 14,10). Merkitään loppupistettä kirjaimella B. Vektorin v = 7i 24 j pituus on 2 2 v = 7 + ( 24) = 625 = 25. Vektorin v suuntainen yksikkövektori on v = v v = (7i 24 j) = i j Määritetään loppupisteen B paikkavektori. OB = OA + AB = OA v = 14i + 10 j ( i j) = 14i + 10 j + 28i 96 j = 14i 86 j Päädytään siis pisteeseen B = (14, 86). Vastaus pisteeseen (14, 86)

23 K19 Vektorit a ja b ovat yhdensuuntaiset täsmälleen silloin, kun löytyy sellainen nollasta eroava reaaliluku r, että a = rb. Tutkitaan, onko yhtälöllä a = rb, r 0, ratkaisu joillain vakion t arvoilla. a = rb ti 2 j = r( 2i + 4 tj ) ti 2j = 2ri + 4rtj Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöpari. t = 2r 2 = 4rt Yhtälöparille saadaan laskimella ratkaisut 1 r = ja t = r = ja t = 1 sekä 2 Kun t = 1, vektorit ovat a = ti 2j = i 2j ja 1 b = 2i + 4tj = 2i + 4j. Koska tällöin a = rb = b ja 2 1 < 0, niin vektorit ovat vastakkaissuuntaiset. 2 Kun t = 1, vektorit ovat a = ti 2j = i 2j ja b = 2i + 4tj = 2i 4j. Koska tällöin niin vektorit ovat samansuuntaiset. 1 a = rb = b ja >,

24 Vastaus Vektorit ovat yhdensuuntaiset, kun t = 1 tai t = 1. Arvolla t = 1 vektorit ovat vastakkaissuuntaiset, arvolla t = 1 samansuuntaiset.

25 K20 Vektorit u ja v ovat yhdensuuntaiset täsmälleen silloin, kun löytyy sellainen nollasta eroava reaaliluku r, että u = rv. Tutkitaan, onko yhtälöllä u = rv, r 0, ratkaisu joillain vakion t arvoilla. u = rv i + tj + 3 k = r( ti + 3 j ( t 4) k) i + tj + 3k = rti + 3 rj r( t 4) k Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöryhmä. 1 = rt t = 3r 3 = rt ( 4) Laskimella nähdään, että yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. Siten vektorit u ja v eivät ole yhdensuuntaiset millään vakion t arvolla. Vastaus eivät ole

26 K21 On etsittävä sellaiset luvut r ja s, että 6 i j = ra + sb = r( i 2 j ) + s(2 i + j ). Muokataan yhtälöä. 6 i j= ri ( 2 j) + s(2 i+ j) 6i j = ri 2rj + 2si + sj 6 i j= ( r+ 2) si+ ( 2 r+ s) j Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöpari. 6 = r+ 2s 1 = 2 r + s Yhtälöparin ratkaisuksi saadaan laskimella Siis i j = ra + sb = a b r = ja 5 13 s =. 5 Vastaus i j = a b 5 5

27 K22 Muodostetaan yhtälö v = ra + sb + tc ja ratkaistaan kertoimet r, s ja t. v = ra + sb + tc 25i + 40 j 15 k= ri ( + 2 j) + si ( + k) + t( j 3 k) 25i + 40 j 15k = ri + 2rj + si + sk + tj 3tk 25i + 40 j 15k = ri + si + 2rj + tj + sk 3tk 25i + 40 j 15 k= ( r+ si ) + (2 r+ t) j+ ( s 3 tk ) Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöryhmä. 25 = r+ s 40 = 2 r+ t 15 = s 3t Yhtälöryhmän ratkaisuksi saadaan laskimella r = 16, s = 9 ja t = 8. Siis v = ra + sb + tc = 16a + 9b + 8c. Vastaus v = 16a + 9b + 8c

28 K23 Vektorin a = 24i 13tj pituuden lauseke on a = + t = + t ( 13 ) Vektorin b = 12ti 25 j pituuden lauseke on b = t + = t (12 ) ( 25) Muodostetaan yhtälö a = laskimella. b ja ratkaistaan vakion t arvo t = 144t t = tai 5 7 t = 5 Siis vektorit a ja b ovat yhtä pitkät, kun 7 t = tai 5 7 t =. 5 Vastaus 7 t = tai 5 7 t = 5

29 K24 Kolmio on suorakulmainen, jos jokin sen kulmista on suora. Tarkastellaan vektoreita, jotka määräävät kolmion sivut. Kolmion sivut määräytyvät vektoreista a = 3i 5j, b = 13i + j ja näiden erotusvektorista a b = 3i 5 j (13 i + j) = 3i 5 j 13i j = 10i 6 j. Kolmion kulma on suora, jos kulmasta lähtevät tai siihen tulevat sivuvektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli jos niiden pistetulo on nolla. Lasketaan sivuvektorien pistetulot. Ensimmäinen kulma: a b = (3i 5 j) (13 i + j) = = 34 Toinen kulma: a ( a b) = (3i 5 j) ( 10i 6 j) = 3 ( 10) 5 ( 6) = 0 Huomataan, että kolmiossa on suora kulma, joten kolmio on suorakulmainen. (Koska löydettiin suora kulma, kolmannen vektoriparin pistetuloa ei tarvitse laskea.) Vastaus on

30 K25 Pisteiden A (5, 2) ja B (19, 5) välinen vektori AB on AB = (19 5) i + ( 5 2) j = 14i 7 j. Piste P jakaa janan AB suhteessa 1 : 6. Yhteensä jakovälejä on siis = 7, ja pisteeseen P päästään pisteestä A kulkemalla 1 7 vektorista AB. Muodostetaan pisteen P paikkavektori. 1 OP = OA + AB 7 1 = 5i + 2 j + (14i 7 j) 7 = 5i + 2j + 2i j = 7i + j Siis piste P on (7,1). Vastaus (7,1)

31 Tekijä Pitkä matematiikka K26 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = ( 6i + 2 j) ( 4i 9 j) = 6 ( 4) + 2 ( 9) = = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. b) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = ( i + 2 j k) ( i j 3 k) = 1 ( 1) + 2 ( 1) 1 ( 3) = = 0 Koska pistetulo a b = 0, niin vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Vastaus a) a b = 6, eivät ole kohtisuorassa b) a b = 0, ovat kohtisuorassa

32 K27 a) Kolmio on suorakulmainen, jos jokin sen kulmista on suora. Merkitään kärkipisteitä A ( 2, 3,1), B (4,1, 1) ja C ( 1,7, 2). Muodostetaan vektorit, jotka määräävät kolmion ABC sivut. AB = (4 ( 2)) i + (1 3) j + ( 1 1) k = 6i 2j 2k AC = ( 1 ( 2)) i + (7 3) j + (2 1) k = i + 4 j + k BC = ( 1 4) i + (7 1) j + (2 ( 1)) k = 5i + 6j + 3k Lasketaan sivuvektorien pistetulot. AB AC = (6i 2 j 2 k ) ( i + 4 j + k ) = = 4 AB BC = (6i 2 j 2 k ) ( 5i + 6 j + 3 k ) = 6 ( 5) = 48 AC BC = ( i + 4 j + k ) ( 5i + 6j + 3 k ) = 1( 5) = 22 Yksikään pistetuloista ei ole nolla, joten kolmion mikään kulma ei ole suora. Siten kolmio ei ole suorakulmainen.

33 b) Kolmio on suorakulmainen, jos jokin sen kulmista on suora. Merkitään kärkipisteitä A ( 1,3,0), B (2, 1,1) ja C (0,6,9). Muodostetaan vektorit, jotka määräävät kolmion ABC sivut. AB = (2 ( 1)) i + ( 1 3) j + (1 0) k = 3i 4j + k AC = (0 ( 1)) i + (6 3) j + (9 0) k = i + 3j + 9k BC = (0 2) i + (6 ( 1)) j + (9 1) k = 2i + 7j + 8k Lasketaan sivuvektorien pistetulot. AB AC = (3i 4 j + k ) ( i + 3 j + 9 k ) = = 0 Koska pistetulo AB AC = 0, niin sivut AB ja AC ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Siten kolmio on suorakulmainen. (Koska suorakulma löydettiin heti, muiden sivuvektorien pistetuloja ei tarvitse laskea.) Vastaus a) ei ole b) on

34 K28 Lasketaan pistetulo ja vektorien pituudet. a b = (2i 3j 4 k) ( i + 2j + 7 k) = 2 ( 1) = 36 a = 2 + ( 3) + ( 4) = 29 b = ( 1) = 54 = 3 6 Lasketaan vektorien välinen kulma. a b cos( ab, ) = = = a b = = ( ab, ) cos ( ) 155, Vastaus 155

35 K29 Kolmion suurin kulma on pisimmän sivun vastainen kulma. Muodostetaan kolmion sivuja vastaavat vektorit ja lasketaan niiden pituudet. Sivu AB: AB = (0 ( 3)) i + (4 ( 1)) j = 3i + 5 j AB 2 2 = = 34 5,8 Sivu AC: AC = (3 ( 3)) i + (2 ( 1)) j = 6i + 3 j AC 2 2 = = 45 = 3 5 6,7 Sivu BC: BC = (3 0) i + (2 4) j = 3i 2 j BC 2 2 = 3 + ( 2) = 13 3, 6 Kolmion pisin sivu on AC, joten kolmion suurin kulma on B = ( AB, BC ).

36 Lasketaan pistetulo ja vektorien välinen kulma. AB BC = ( 3i 5 j ) (3i 2 j ) = ( 2) = 1 AB BC 1 1 cos( AB, BC) = = = AB BC ( AB, BC) = cos ( ) = 87, Kolmion suurin kulma on 87. Vastaus 87

37 K30 Määritetään ensin suunnikkaan sivuvektorien a = 2i + j + 4k ja b = i + 3 j + k välinen kulma. Lasketaan vektorien pistetulo ja vektorien pituudet. a b = (2i + j + 4 k) ( i + 3 j + k) = 2( 1) = 5 a = = 21 b = ( 1) = 11 Lasketaan sivuvektorien välinen kulma. a b 5 cos( ab, ) = = ab ab 5 = = (, ) cos ( ) 70, Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret. Vierekkäiset kulmat ovat toistensa vieruskulmat, joten lasketun kulman vierekkäiset kulmat ovat suuruudeltaan = 109. Kaiken kaikkiaan suunnikkaan kulmat ovat siis 71, 109, 71 ja 109. Vastaus 71, 109, 71 ja 109

38 K31 Lasketaan ensin vektorin 2a 5b pituuden neliö 2 2a 5b. 2a 5b 2 2 = (2a 5 b) (2a 5 b) = 2a 2a + 2 a ( 5 b) 5b 2a 5 b ( 5 b) = 4a a 10a b 10a b + 25b b = 4 a 20a b + 25 b = = (Laskussa käytettiin tietoja a = 5, b = 4 ja a b = 10.) Vektorin 2a 5b pituus on 2a 5b = 300 = Vastaus 10 3

39 K32 Määritetään pistetulon 2 2 a + b. a b arvo. Tarkastellaan ensin neliötä 2 2 a + b = (2 a + b) (2 a + b) = 2a 2a + 2a b + b 2a + b b = 4a a + 2a b + 2a b + b b 2 = 4 a + 4a b + b 2 Ratkaistaan yhtälöstä pistetulo a b a + b = 4 a + 4a b + b a b = 4 a + b 2a + b a b = = + = Koska pistetulo a b on nolla, vektorit a ja b ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Vastaus ovat

40 K33 Käytetään laskuissa tietoa 3 cos150 =. 2 a) b) c) a b= abcos( ab, ) = 7 4 cos150 3 = 28 ( ) = a 5 b = ( 3 5)( a b) = 15( a b) = 15 abcos( ab, ) = cos150 3 = 420 ( ) = a ( a 3 b) = 2a a + 2 a ( 3 b) 2 = 2 a + (2 ( 3))( a b) cos(, ) = ab ab = cos150 3 = ( ) 2 = Vastaus a) 14 3 b) c)

41 K34 Lasketaan ensin vektorien a = ti + 2 j ja b = i + 3 j pistetulo ja vektorien pituudet. a b = ( ti + 2 j) ( i + 3 j) = t = t a = t + 2 = t + 4 b 2 2 = = 10 Jos vektorien a ja b välinen kulma on 45, kulman kosini on 1 cos( ab, ) = cos45 =. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan se 2 laskimella. a b= abcos( ab, ) t 1 2 t = 1 tai t = = t Vastaus t = 1 tai t = 4

42 K35 a) Merkitään pistettä (1, 2, 1) kirjaimella A. Paikkavektorin OA lauseke on OA = i + 2 j k. Suoran suuntavektori on v = 2i j + k, joten suoran vektoriyhtälöksi saadaan OP = OA + tv = i + 2 j k + t(2 i j + k ), missä t on reaaliluku. b) Pisteen (1, 2, 1) kautta kulkevan suoran suuntavektori on v = 2i j + k, joten suoran parametriesitys on x = 1+ 2t y = 2 t z = 1 + t, missä t on reaaliluku. Vastaus a) OP = i + 2 j k + t(2 i j + k ), missä t on reaaliluku. x = 1+ 2t b) y = 2 t, missä t on reaaliluku. z = 1 + t

43 K36 Määritetään ensin suoran vektoriyhtälö. Paikkavektorin OA lauseke on OA = i j +2k. Suoran suuntavektori on v = i + j + 3k, joten suoran vektoriyhtälöksi saadaan OP = OA + tv = i j + 2 k + t( i + j + 3 k ), missä t on reaaliluku. Suoralla oleva piste saadaan määritettyä, kun suoran vektoriyhtälössä luvulle t valitaan jokin arvo. Voidaan valita esimerkiksi t = 1 ja t = 2. Kun t = 1, OP = i j + 2k + 1( i + j + 3 k ) = i j + 2k i + j + 3k = 0i + 0j + 5 k. Saadaan piste (0,0,5).

44 Kun t = 2, OP = i j + 2k + 2 ( i + j + 3 k ) = i j + 2k 2i + 2j + 6k = i + j + 8 k. Saadaan piste ( 1,1,8). Vastaus esimerkiksi (0,0,5) ja ( 1,1,8)

45 K37 Määritetään ensin suoran parametriesitys. Pisteen ( 3,5, 0) kautta kulkevan suoran suuntavektori on v = i + j +3k, joten suoran parametriesitys on x = 3 t y = 5 + t z = 3, t missä t on reaaliluku. Suoran ja yz-tason leikkauspisteen x-koordinaatti on nolla, joten leikkauspiste on muotoa (0, yz., ) Ratkaistaan parametri t. x = 3 t 0= 3 t t = 3 Lasketaan leikkauspisteen y- ja z-koordinaatit. y = 5+ t = 5 3= 2 z = 3t = 3 ( 3) = 9 Leikkauspiste on (0,2, 9). Vastaus (0, 2, 9)

46 K38 Muodostetaan pisteiden A (3, 3, 6) ja B (8, 8,16) kautta kulkevan suoran suuntavektori. AB = (8 3) i + ( 8 ( 3)) j + (16 6) k = 5i 5 j + 10k Muodostetaan suoran AB parametriesitys. x = 3 + 5t y = 3 5t z = t, missä t on reaaliluku. Muodostetaan pisteiden C (15,5, 5) ja D (12, 4, 4) kautta kulkevan suoran suuntavektori. CD = (12 15) i + (4 5) j + ( 4 ( 5)) k = 3i j + k Muodostetaan suoran CD parametriesitys. x = 15 3s y = 5 s z = 5 + s, missä s on reaaliluku.

47 Suoran leikkauspisteen ( xyz,, ) koordinaatit toteuttavat molemmat parametriesitykset. Muodostetaan yhtälöryhmä ja ratkaistaan se laskimella t = 15 3s 3 5t = 5 s t = 5 + s Yhtälöryhmän ratkaisu on 3 t = ja s = 5. 5 Lasketaan leikkauspisteen koordinaatit esimerkiksi sijoittamalla s = 5 suoran CD parametriesitykseen. x = 15 3s = = 0 y = 5 s = 5 5 = 0 z = 5 + s = = 0 Leikkauspiste on origo (0,0,0). Vastaus (0,0,0)

48 K39 x = 1+ 2t Suoran y = 3t suuntavektorin komponentit ovat luettavissa z = 2 + t parametrin t kertoimista, joten (yhdeksi) suuntavektoriksi saadaan u = 2i + 3j + k. x = 3 s Vastaavasti suoran y = 2 suuntavektorin komponentit ovat z = 1 + 3s luettavissa parametrin s kertoimista, joten suuntavektoriksi saadaan v = i +3k. Lasketaan suuntavektorien pituudet ja pistetulo. u = = 14 v 2 2 = ( 1) + 3 = 10 u v = (2i + 3 j + k) ( i + 0 j + 3 k) = 2 ( 1) = 1

49 Lasketaan suuntavektorien välisen kulman suuruus. u v 1 1 cos( uv, ) = = = u v uv 1 = = (, ) cos ( ) 85, Koska saatu suuntavektorien välinen kulma on terävä, kysytty suorien välinen kulma on myös 85. Vastaus 85

50 K40 a) Pisteen A (4, 3,5) paikkavektori on OA = 4i 3j + 5k. Pisteen A kautta kulkevan tason suuntavektorit ovat u = 2i j + 5k ja v = 3i + 6j 8k. Tason vektoriyhtälöksi saadaan OP = OA + su + tv = 4i 3 j + 5 k + s(2i j + 5 k ) + t( 3i + 6 j 8 k ), missä s ja t ovat reaalilukuja. b) Taso sisältää pisteen A (4, 3,5) ja sillä on suuntavektorit u = 2i j + 5k ja v = 3i + 6j 8k, joten tason parametriesitys on x = 4+ 2s 3t y = 3 s + 6t z = 5 + 5s 8, t missä s ja t ovat reaalilukuja. Vastaus a) OP = 4i 3 j + 5 k + s(2i j + 5 k) + t( 3i + 6 j 8 k ), missä s ja t ovat reaalilukuja. x = 4+ 2s 3t b) y = 3 s + 6, t missä s ja t ovat reaalilukuja. z = 5 + 5s 8t

51 K41 x = 8+ 4t a) Suoran y = 2 3t suuntavektorin komponentit ovat z = 3 + t luettavissa parametrin t kertoimista, joten (yhdeksi) suuntavektoriksi saadaan 4i 3j + k. Koska taso on kohtisuorassa suoraa vastaan, kyseinen suuntavektori voidaan valita tason normaalivektoriksi. Tason yhtälön koordinaattiyhtälö on muotoa ax ( x) + by ( y) + cz ( z ) = 0, missä nyt pisteen A koordinaatit x 0 = 4, y 0 = 3 ja z 0 = 1 sekä normaalivektorin kertoimet a = 4, b = 3 ja c = 1. Sijoitetaan koordinaatit ja kertoimet ja sievennetään koordinaattiyhtälö normaalimuotoon. ax ( x) + by ( y) + cz ( z) = ( x 4) 3 ( y ( 3)) + 1 ( z ( 1)) = 0 4x 16 3y 9 + z+ 1 = 0 4x 3y+ z 24 = 0

52 b) Tason ja y-akselin leikkauspiste on muotoa (0, y,0). Sijoitetaan pisteen koordinaatit tason yhtälöön ja lasketaan y-koordinaatin arvo. 4x 3y+ z 24 = y = 0 3y = 24 y = 8 Leikkauspiste on (0, 8,0). Vastaus a) 4x 3y+ z 24 = 0 b) (0, 8,0)

53 K42 Pisteen (6, 2, 8) kautta kulkevan suoran suuntavektori on u = 2i + j + 3k, joten suoran parametriesitys on x = 6 2r y = 2 + r z = 8 + 3, r missä r on reaaliluku. x = 2+ s+ 2t Määritetään suoran ja tason y = 1 + s + t leikkauspiste. Suoran z = 1 + 3t ja tason leikkauspisteen ( xyz,, ) koordinaatit toteuttavat sekä tason että suoran parametriesityksen. Muodostetaan yhtälöryhmä ja ratkaistaan se laskimella. 6 2 r = 2+ s+ 2t 2 + r = 1 + s + t r = 1 + 3t Yhtälöryhmän ratkaisu on r = 2, s = 2 ja t = 1.

54 Koska yhtälöryhmällä on ratkaisu, suora ja taso leikkaavat toisensa. Lasketaan leikkauspisteen koordinaatit esimerkiksi sijoittamalla arvo r = 2 suoran parametriesitykseen. x = 6 2r = 6 2 2= 2 y = 2 + r = = 0 z = 8 + 3r = = 2 Leikkauspiste on (2,0, 2). Vastaus (2,0, 2)

55 K43 Tason suuntavektoreiksi voidaan valita vektorit AB ja AC. Muodostetaan vektorien lausekkeet. AB = (2 1) i + (0 ( 1)) j + (1 2) k = i + j k AC = ( 1 1) i + (2 ( 1)) j + (3 2) k = 2i + 3j + k Taso sisältää pisteen A (1, 1, 2) ja sillä on suuntavektorit i + j k ja 2i + 3j + k, joten tason parametriesitys on x = 1+ s 2t y = 1 + s + 3t z = 2 s + t, missä s ja t ovat reaalilukuja. Tason ja y-akselin leikkauspiste on muotoa (0, y,0). Määritetään parametrien s ja t arvot sijoittamalla parametriesityksen ensimmäiseen ja viimeiseen yhtälöön x = 0 ja z = 0 ja ratkaisemalla yhtälöpari laskimella. 0= 1+ s 2t 0 = 2 s + t Yhtälöparin ratkaisu on s = 5 ja t = 3.

56 Lasketaan leikkauspisteen y-koordinaatti parametriesityksen keskimmäisen yhtälön avulla. y = 1+ s+ 3t = = 13 Leikkauspiste on (0,13,0). Vastaus (0,13,0)

57 K44 Merkitään kysyttyä tasoa kirjaimella T. Koska taso T ja taso 2x y+ 4z 1= 0 ovat yhdensuuntaiset, myös niiden normaalivektorit ovat yhdensuuntaiset. Muuttujien kertoimista voidaan lukea, että yksi tason 2x y+ 4z 1= 0 normaalivektori on 2i j + 4k. Kyseinen vektori voidaan valita myös tason T normaalivektoriksi. Tason yhtälön koordinaattiyhtälö on muotoa ax ( x) + by ( y) + cz ( z ) = 0, missä nyt tason sisältämän pisteen koordinaatit x 0 = 8, y 0 = 5 ja z 0 = 7 sekä normaalivektorin kertoimet a = 2, b = 1 ja c = 4. Sijoitetaan koordinaatit ja kertoimet ja sievennetään koordinaattiyhtälö normaalimuotoon. ax ( x) + by ( y) + cz ( z) = ( x 8) 1 ( y ( 5)) + 4 ( z 7) = 0 2x 16 y 5 + 4z 28 = 0 2x y+ 4z 49 = 0 Tason T yhtälö on siis 2x y+ 4z 49 = 0. Vastaus 2x y+ 4z 49 = 0

58 K45 a) Merkitään suoran pistettä (9, 3, 4) kirjaimella A ja suoran suuntavektoria 3i 2j + 2k kirjaimella s. Olkoon Q se suoran piste, joka on lähimpänä pistettä P (1, 0, 2). Tällöin vektori PQ on kohtisuorassa suoraa vastaan. Suoran suuntavektori on s = 3i 2j + 2k ja suora kulkee pisteen A (9, 3, 4) kautta, joten suoran parametriesitys on x = 9+ 3t y = 3 2t z = 4 + 2, t missä t on reaaliluku. Piste Q on suoralla, joten pisteen Q koordinaatit toteuttavat suoran parametriesityksen ja voidaan merkitä Q = (9 + 3 t, 3 2 t,4 + 2 t ). Muodostetaan vektorin PQ lauseke. PQ = (9 + 3t 1) i + ( 3 2t 0) j + (4 + 2t 2) k = (8+ 3) ti+ ( 3 2) t j+ (2+ 2) tk

59 Koska vektori PQ on kohtisuorassa suoraa vastaan, niin se on kohtisuorassa suoran suuntavektoria s vastaan, ja vektorien pistetulo on nolla. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan parametrin t arvo. PQ s = 0 ((8+ 3) ti+ ( 3 2) t j+ (2+ 2) tk) (3i 2j+ 2 k) = 0 (8+ 3) t 3 + ( 3 2) t ( 2) + (2+ 2) t 2= 0 17t + 34 = 0 t = 2 Lasketaan pisteen Q koordinaatit sijoittamalla saatu parametrin arvo t = 2 suoran parametriesitykseen. x = 9+ 3t = 9+ 3 ( 2) = 3 y = 3 2t = 3 2 ( 2) = 1 z = 4 + 2t = ( 2) = 0 Siten piste (3,1,0) on suoran pisteistä lähimpänä pistettä P. b) Pisteen P etäisyys suorasta on pisteiden P ja Q välinen etäisyys. Muodostetaan vektori PQ ja lasketaan sen pituus. PQ = (3 1) i + (1 0) j + (0 2) k = 2i + j 2k PQ = ( 2) = 9 = 3 Pisteen P etäisyys suorasta on 3. Vastaus a) (3,1,0) b) 3

60 K46 a) Olkoon Q se tason piste, joka on lähimpänä pistettä P. Tällöin vektori PQ on kohtisuorassa tasoa vastaan. Tason suuntavektoreiksi voidaan valita vektorit AB ja AC. AB = (3 4) i + (5 ( 2)) j + (5 0) k = i + 7j + 5k AC = ( 1 4) i + (3 ( 2)) j + (1 0) k = 5i + 5j + k Taso sisältää pisteen A (4, 2,0) ja sillä on edellä lasketut suuntavektorit, joten tason parametriesitys on x = 4 s 5t y = 2 + 7s + 5t z = 5 s + t, missä s ja t ovat reaalilukuja. Piste Q on tasossa, joten pisteen Q koordinaatit toteuttavat tason parametriesityksen ja voidaan merkitä Q = (4 s 5, t 2+ 7s+ 5,5 t s+ t ).

61 Muodostetaan vektorin PQ lauseke. PQ = (4 s 5t 2) i + ( 2+ 7s + 5 t ( 3)) j + (5s + t 8) k = (2 s 5) ti+ (1+ 7s+ 5) t j+ ( 8+ 5 s+ tk ) Koska vektori PQ on kohtisuorassa tasoa vastaan, niin se on kohtisuorassa tason molempia suuntavektoreita AB = i + 7j + 5k ja AC = 5i + 5j + k vastaan. Muodostetaan yhtälöpari ja ratkaistaan parametrien s ja t arvot laskimella. PQ AB = 0 PQ AC = 0 ((2 s 5) ti+ (1+ 7s+ 5) t j+ ( 8+ 5 s+ tk ) ) ( i+ 7j+ 5 k) = 0 ((2 s 5) ti+ (1+ 7s+ 5) t j+ ( 8+ 5 s+ tk ) ) ( 5i+ 5 j+ k) = 0 (2 s 5) t ( 1) + (1+ 7s+ 5) t 7 + ( 8+ 5 s+ t) 5= 0 (2 s 5) t ( 5) + (1+ 7s+ 5) t 5 + ( 8+ 5 s+ t) 1= 0 75s+ 45t 35 = 0 45s+ 51t 13 = 0 Yhtälöparin ratkaisu on 2 s = ja 3 1 t =. 3

62 Lasketaan pisteen Q koordinaatit sijoittamalla saadut 2 1 parametrien arvot s = ja t = tason parametriesitykseen x = 4 s 5t = 4 5( ) = y = 2 + 7s + 5t = ( ) = z = 5s + t = 5 = Saadaan piste (5,1, 3). b) Pisteen P etäisyys tasosta on pisteiden P ja Q välinen etäisyys. Muodostetaan vektori PQ ja lasketaan sen pituus. PQ = (5 2) i + (1 ( 3)) j + (3 8) k = 3i + 4j 5k PQ = ( 5) = 50 = 5 2 Pisteen P etäisyys tasosta on 5 2. Vastaus a) (5,1, 3) b) 5 2

63 K47 Olkoon vektorien a = i + j ja b = 2i 3j alkupiste origo. Tällöin kolmion kärjet ovat pisteissä O (0,0), A (1,1) ja B ( 2, 3). On laskettava origosta piirretyn korkeusjanan pituus eli origon etäisyys pisteiden A ja B kautta kulkevasta suorasta. Suoran suuntavektoriksi voidaan valita vektori BA. BA = (1 ( 2)) i + (1 ( 3)) j = 3i + 4j Suoran suuntavektori on BA = 3i + 4j ja suora kulkee pisteen A (1,1) kautta, joten suoran parametriesitys on x = 1+ 3t y = 1 + 4, t missä t on reaaliluku. Olkoon Q se suoran AB piste, joka on lähimpänä origoa O. Tällöin vektori OQ on kohtisuorassa suoraa AB vastaan.

64 Piste Q on suoralla, joten pisteen Q koordinaatit toteuttavat suoran parametriesityksen ja voidaan merkitä Q = (1 + 3 t,1 + 4 t ). Pisteen Q paikkavektori OQ on OQ = (1 + 3 t) i + (1 + 4 t) j. Koska vektori OQ on kohtisuorassa suoraa AB vastaan, niin se on kohtisuorassa suoran suuntavektoria BA vastaan, ja vektorien pistetulo on nolla. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan parametrin t arvo. OQ BA = 0 ((1 + 3 ti ) + (1 + 4 t) j) (3i + 4 j) = 0 (1 + 3 t) 3 + (1 + 4 t) 4 = 0 25t + 7 = 0 t = Lasketaan pisteen Q koordinaatit sijoittamalla saatu parametrin arvo 7 t = suoran parametriesitykseen x = 1 + 3t = ( ) = y = 1+ 4t = 1+ 4 ( ) =

65 Siten piste 4 3 (, ) on suoran AB pisteistä lähimpänä origoa Origon etäisyys suorasta on origon ja pisteen Q välinen etäisyys eli 4 3 pisteen Q paikkavektorin OQ = i j pituus OQ = ( ) + ( ) = = Origon etäisyys suorasta eli kysytty korkeusjanan pituus on 1 5. Vastaus 1 5

66 K48 a) On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 2 3 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että 2 DE = AB. 3 Muodostetaan vektori DE. DE = DC + CE 2 2 = AC + CB = ( AC + CB ) 3 2 = AB 3 On siis osoitettu, että 2 DE = AB. 3

67 b) Nelikulmio DEGF on puolisuunnikas, jos sivut DE ja FG ovat yhdensuuntaiset. Muodostetaan vektori FG. FG = FC + CG 1 1 = AC + CB = ( AC + CB ) 3 1 = AB 3 Koska 1 FG = AB ja 3 2 DE = AB, niin DE = AB = 2 AB = 2FG. 3 3 Siten sivut DE ja FG ovat yhdensuuntaiset, joten nelikulmio DEGF on puolisuunnikas.

68 K49 Tutkitaan oheisen kuvan suunnikasta ABCD. Merkitään AQ = s AC ja BQ = tbp, missä s ja t ovat reaalilukuja. Kertoimien s ja t selvittämiseksi tarvitaan vektoriyhtälö, joten esitetään vektori AQ kahdella eri tavalla. Valitaan kantavektoreiksi AB ja AD. AQ = s AC = s( AB + BC) = s( AB + AD) = s AB + s AD AQ = AB + BQ = AB + tbp = AB + t( BC + CP) 1 1 = AB + t( AD + CD) = AB + t( AD DC) = AB + t( AD AB) = AB + t AD t AB = (1 t) AB + t AD 3

69 Muodostetaan yhtälö. AQ = AQ 1 s AB + s AD = (1 t) AB + t AD 3 Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöpari. 1 s = 1 t 3 s = t Yhtälöparin ratkaisuksi saadaan (esim. laskimella) 3 s = ja 4 3 t =. 4 3 Siten AQ = s AC = AC, joten piste Q jakaa lävistäjän AC 4 suhteessa 3 : 1. Vastaus suhteessa 3 : 1

70 Tekijä Pitkä matematiikka M1 r + 3= 1 Yhtälöryhmän 2s + 12 = 0 3s 18 = 0 muuttujalle s ratkaisu keskimmäisestä yhtälöstä saadaan 2s + 12 = 0 2s = 12 s = 6. Viimeisestä yhtälöstä saadaan 3s 18 = 0 3s = 18 s = 6. Koska muuttujalla s ei ole yksikäsitteistä ratkaisua, joka toteuttaisi yhtälöryhmän kaikki yhtälöt, yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. Vastaus c

71 M2 Vektorit ovat toistensa vastavektorit, jos ne ovat vastakkaissuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin u vastavektori on vektori c. Vastaus c M3 Siirretään vektori v alkamaan samasta pisteestä kuin vektori u. Nähdään, että vektorien u ja v välinen kulma muodostuu suorakulmasta ja suorakulman puolikkaasta. Siten ( uv, ) = = 135. Vastaus b

72 M4 d = v u Vastaus c M5 Vektori u on 1 3 kertaa niin pitkä kuin vektori a ja sen kanssa vastakkaissuuntainen, joten 1 u = a. 3 Vastaus c M6 e = 3u 2v Vastaus b

73 M7 Pisteen x-koordinaatti on sen paikkavektorin i -suuntaisen komponentin kerroin ja y-koordinaatti j -suuntaisen komponentin kerroin. Siten pisteen (2, a + 1) paikkavektori on 2 i + ( a + 1) j = 2i + aj + j = 2i + j + aj. Vastaus b ja c M8 v = i + j = + = + = = ( 12) Vastaus b M9 Voidaan huomata, että. Siten vektorit ovat yhdensuuntaiset ja erityisesti vastakkaissuuntaiset, koska. Vastaus a ja c

74 M10 Vektorin 3i + 4 j pituus on 2 2 3i + 4 j = ( 3) + 4 = = 25 = pituusyksikön siirtyminen vastavektorin suuntaan tarkoittaa siis sitä, että kuljetaan vektori 2 ( 3i + 4 j) = 6i 8j. Päädytään pisteeseen (6, 8). Vastaus b M11 Pisteen x-koordinaatti on sen paikkavektorin i -suuntaisen komponentin kerroin, y-koordinaatti j -suuntaisen komponentin kerroin ja z-koordinaatti k -suuntaisen komponentin kerroin. Siten pisteen (3,0,7) paikkavektori on 3i + 0j + 7k = 3i + 7k. Vastaus c

75 M12 a b = 2i 4 j + k ( i + 5j 6 k) = 2i 4j + k i 5j + 6k = i 9j + 7k tai b a = i + 5j 6 k (2i 4 j + k) = i + 5j 6k 2i + 4j k = i + 9j 7k Vastaus b ja c M13 i j + k = + + = + + = ( 2) Vastaus c

76 M14 Vektorit ovat yhdensuuntaiset täsmälleen silloin, kun löytyy sellainen nollasta eroava reaaliluku r, että. Tutkitaan, onko yhtälöllä ratkaisua. 1 i j + 3 k = r( 3i j + 9 k) 3 1 i j + 3k = 3ri rj + 9rk 3 Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöryhmä. 1= 3r 1 = r 3 3= 9r Ratkaistaan kaikista yhtälöistä r. 1 r = 3 1 r = 3 1 r = 3 Nähdään, että yksikäsitteistä ratkaisua ei löydy. Siten vektorit eivät ole yhdensuuntaiset vaan erisuuntaiset. Vastaus c

77 M15 Lasketaan pistetulot. Vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos niiden pistetulo on nolla. (2i 3 j k) ( 2i + 3 j + k) = 2 ( 2) = 14 (2i 3 j k) ( i 3 j + 2 k) = ( 3) 1 2 = 9 (2i 3 j k) (4i + 2 j + 2 k) = = 0 Kohtisuora vektori on 4i + 2j + 2k. Vastaus c M16 Tarkastellaan neliötä 2 a b. 2 a b = ( a b) ( a b) = a a + a ( b) b a b ( b) = a a a b a b + b b 2 = a 2a b + b 2 Siten a b = a b = a + b a b = = 0, joten Vastaus a

78 M17 Ratkaistaan tehtävä graafisesti. Kuvan perusteella kolmio on teräväkulmainen. Vastaus a M18 a b= abcos( ab, ) = a b cos91 0,017 a b Pituudet a ja b ovat positiivisia, joten pistetulo negatiivinen. a b on Vastaus b

79 M19 Merkitään pisteitä A (7,0, 8) ja B (6,5, 8). Suoran suuntavektoriksi voidaan valita vektori AB. AB = (6 7) i + (5 0) j + ( 8 ( 8)) k = i + 5j + 0k = i + 5 j Vastaus b M20 Suora kulkee pisteen (7,0, 8) kautta ja suoran suuntavektori on edellisen tehtävän perusteella i + 5j = i + 5j + 0k, joten suoran parametriesitys on x = 7 t y = 5t z = 8, missä t on reaaliluku. Vastaus c

80 M21 Taso kulkee pisteen (1, 0,1) kautta ja sen suuntavektorit ovat i +2 j ja i + j k, joten tason parametriesitys on missä s ja t ovat reaalilukuja. Vastaus a M22 Muuttujien kertoimista voidaan suoraan lukea, että yksi tason 2x y+ 3z 5= 0 normaalivektori on 2i j + 3k. Toisaalta myös vastavektori 2i + j 3k käy normaalivektoriksi yhtä hyvin. Vastaus a ja b

81 M23 Pisteen P ( 2, 3,1) etäisyys xz-tasosta on 3 (y-koordinaatin arvo). Vastaus c

82 M24 Pisteen P(5, 15,12) etäisyys y-akselista saadaan laskettua Pythagoraan lauseella = 169 = 13 Vastaus a

83 Tekijä Pitkä matematiikka A1 a) Kuvan perusteella CB = v. b) HC = HG + GC = u w c) EC = EH + HG + GC = v + u w = u + v w Vastaus a) CB = v b) HC = u w c) EC = u + v w

84 A2 Ratkaistaan yhtälöstä 3( a + b) ( a b ) = 0 vektori a. 3( a + b) ( a b) = 0 3a + 3b a + b = 0 2a + 4b = 0 2a = 4b a = 2b Koska kerroin 2 on negatiivinen, vektorit a ja b ovat vastakkaissuuntaiset. Vektori a on kaksi kertaa niin pitkä kuin vektori b. Vastaus Vektorit a ja b ovat vastakkaissuuntaiset. Vektori on kaksi kertaa niin pitkä kuin vektori b.

85 A3 On etsittävä sellaiset luvut r ja s, että. Muokataan yhtälöä. 8a 15 b = r( a b ) + sb 8a 15b = ra rb + sb 8a 15 b = ra + ( r + s) b Komponenttiesitys on yksikäsitteinen, joten vektorien a ja b kertoimien on oltava yhtä suuret yhtälön molemmilla puolilla. r = 8 r + s = 15 Ylemmästä yhtälöstä nähdään suoraan, että r = 8. Ratkaistaan s alemmasta yhtälöstä. Siis r+ s = 15 s = 15 + r = = 7 8a 15 b = r( a b ) + sb = 8( a b) 7 b. Vastaus 8a 15b = 8( a b) 7b

86 A4 Vektori a = 3i j, joten 2 2 a = 3 + ( 1) = = 10. Vektori b = 5i 5j, joten b 2 2 = 5 + ( 5) = = 50 = 25 2 = 5 2. Vektori a + b = 3i j + 5i 5j = 8i 6j, joten 2 2 a + b = 8 + ( 6) = = 100 = 10. Vastaus a = 10,, a + b = 10

87 A5 a) Pisteiden A = (2,3) ja B = (5, 1) välinen vektori AB saadaan vähentämällä loppupisteen koordinaateista alkupisteen koordinaatit. AB = (5 2) i + ( 1 3) j = 3i 4j b) Lasketaan vektorin pituus. AB 2 2 = 3 + ( 4) = = 25 = 5 Vektorin AB suuntainen yksikkövektori on AB 0 1 = AB AB = (3i 4 j) = i j Siten yksikkövektori a, joka on vastakkaissuuntainen vektorin AB kanssa, on a = AB = i + j. 5 5 Vastaus a) AB = 3i 4j 3 4 b) a = i + j 5 5

88 A6 a) Pisteen x-koordinaatti on sen paikkavektorin i -suuntaisen komponentin kerroin, y-koordinaatti j -suuntaisen komponentin kerroin ja z-koordinaatti k -suuntaisen komponentin kerroin. Siten pisteen A (2, 4,4) paikkavektori on OA = 2i 4j + 4k. b) Merkitään loppupistettä kirjaimella B. Vektorin OA = 2i 4j + 4k pituus on OA = + + = + + = = ( 4) Kolmen pituusyksikön siirtyminen vastaa siis sitä, että kuljetaan puolet vektorista OA. Määritetään loppupisteen B paikkavektori. 1 OB = OA 2 1 = (2 i 4 j + 4 k ) 2 = i 2j + 2k Päädytään siis pisteeseen B = (1, 2, 2). Vastaus a) OA = 2i 4j + 4k b).

89 A7 a) On selvitettävä alkupiste A, kun kuljetaan vektori AB = 17i j + 19k ja päädytään pisteeseen. Pisteen B(5, 5, 40) paikkavektori on. Muodostetaan pisteen A paikkavektori. OA = OB AB = 5i 5 j + 40 k (17i j + 19 k) = 5i 5 j + 40k 17i + j 19k = 12i 4 j + 21k Alkupiste on siis A ( 12, 4,21). b) Määritetään pisteen D paikkavektori. OD = OB + 2AB = 5i 5 j + 40k + 2(17i j + 19 k) = 5i 5 j + 40k + 34i 2 j + 38k = 39i 7 j + 78k Saadaan siis piste D (39, 7,78). Vastaus a) ( 12, 4, 21) A b)

90 A8 a) Lasketaan vektorien a ja pistetulo. Koska pistetulo a b = 0, niin vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. b) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = ( i + k) ( i + j) = ( i + 0 j + k) ( i + j + 0 k) = 1( 1) = = 1 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Vastaus a) ovat kohtisuorassa b) eivät ole kohtisuorassa

91 A9 Vektorit a ja b ovat yhdensuuntaiset täsmälleen silloin, kun löytyy sellainen nollasta eroava reaaliluku r, että a = rb. Tutkitaan, onko yhtälöllä a = rb, r 0, ratkaisu joillain vakion t arvoilla. a = rb 2 i j = r( ti + 3 j) 2i j = rti + 3rj Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöpari. 2 = rt 1 = 3r Alemmasta yhtälöstä saadaan ratkaisu ylempään yhtälöön ja ratkaistaan t. 1 r =. Sijoitetaan ratkaisu 3 2 = rt rt = 2 1 t = 2 3 t = 6

92 Kun t = 6, vektorit ovat a = 2i j ja b = ti + 3j = 6i + 3j. 1 1 Koska tällöin a = rb = b ja < 0, niin vektorit ovat 3 3 vastakkaissuuntaiset. Vastaus Vektorit ovat yhdensuuntaiset, kun t = 6. Vektorit ovat tällöin vastakkaissuuntaiset.

93 A10 Lausutaan vektorit BD ja PQ vektorien BA ja AD avulla. BD = BA + AD PQ = PA + AQ = BA + AD = ( BA + AD ) Nähdään siis, että PQ = BD. Tulos tarkoittaa, että vektorit BD 3 ja PQ ovat samansuuntaiset ja vektorin BD pituus on kolminkertainen vektorin PQ pituuteen verrattuna. 1 Vastaus BD = BA + AD, PQ = ( BA + AD ). Vektori BD on 3 samansuuntainen ja kolme kertaa niin pitkä kuin vektori PQ.

94 Tekijä Pitkä matematiikka B1 Voiman F suuruus F = 250 N. Lasketaan komponenttien suuruudet kuvan suorakulmaisesta kolmiosta. Fx cos56 = F F = Fcos56 = 250 N cos56 = 139,7... N 140 N x Fy sin56 = F F = Fsin56 = 250 N sin56 = 207,2... N 210 N y Vastaus F 140 N ja F 210 N x y

95 B2 Merkitään annettua suunnikkaan sivuvektoria a = 2i j + 3k ja annettua lävistäjävektoria a + b = 4i + j k, missä b on toinen sivuvektori. Määritetään vektori b. b = a + ( a + b) = (2i j + 3 k) + 4i + j k = 2i + j 3k + 4i + j k = 2i + 2j 4k Suunnikkaan toinen lävistäjävektori on b a eli b a = 2i + 2j 4 k (2i j + 3 k) = 2i + 2j 4k 2i + j 3k = 0i + 3j 7k = 3j 7 k. Lasketaan molempien lävistäjien pituus a + b = ( 1) = = 18 = 3 2 4, b a = 3 + ( 7) = = 58 7,6 Suunnikkaan lyhyemmän lävistäjän pituus on siis 3 2. Vastaus 3 2

96 B3 Merkitään pistettä, johon päädytään kirjaimella B. Piste B saadaan selville määrittämällä sen paikkavektori OB. Selvitetään ensin pisteen A paikkavektori ja vektorin a suuntainen yksikkövektori. Pisteen A ( 7,13,8) paikkavektori on OA = 7i + 13 j + 8k. Vektorin a = 2i j 2k pituus on a = + + = + + = = ( 1) ( 2) Vektorin a suuntainen yksikkövektori on a = a = (2i 2 ) 3 j k = i 3 j 3 k a 3. Määritetään pisteen B paikkavektori. OB = OA + 15 a = 7i + 13 j + 8k + 15 ( i j k) = 7i + 13 j + 8k + 10i 5 j 10k = 3i + 8j 2k Päädytään siis pisteeseen (3,8, 2). Vastaus pisteeseen (3,8, 2)

97 B4 Kolmio on suorakulmainen, jos jokin sen kulmista on suora. Muodostetaan vektorit, jotka määräävät kolmion ABC sivut. AB = (4 ( 1)) i + ( 1 3) j = 5i 4j AC = (1 ( 1)) i + (5 3) j = 2i + 2j BC = (1 4) i + (5 ( 1)) j = 3i + 6j Lasketaan sivuvektorien pistetulot. AB AC = (5i 4 j ) (2i + 2 j ) = = 2 AB BC = (5i 4 j ) ( 3i + 6 j ) = 5 ( 3) 4 6 = 39 AC BC = (2i + 2 j ) ( 3i + 6 j ) = 2 ( 3) + 2 6= 6 Yksikään pistetuloista ei ole nolla, joten kolmion mikään kulma ei ole suora. Siten kolmio ABC ei ole suorakulmainen. Vastaus ei ole

98 B5 Kolmion suurin kulma on pisimmän sivun vastainen kulma. Muodostetaan kolmion sivuja vastaavat vektorit ja lasketaan niiden pituudet. Sivu AB: AB = (3 2) i + (0 ( 3)) j + (1 ( 1)) k = i + 3 j + 2k AB = = 14 3, 7 Sivu AC: AC = ( 1 2) i + (2 ( 3)) j + (3 ( 1)) k = 3i + 5j + 4k AC = ( 3) = 50 = 5 2 7,1 Sivu BC: BC = ( 1 3) i + (2 0) j + (3 1) k = 4i + 2 j + 2k BC = ( 4) = 24 = 2 6 4,9 Kolmion pisin sivu on AC, joten kolmion suurin kulma on B = ( AB, BC ).

99 Lasketaan pistetulo ja vektorien välinen kulma. AB BC = ( i 3j 2 k ) ( 4i + 2j + 2 k ) = 1 ( 4) = 6 AB BC 6 3 cos( AB, BC) = = = AB BC ( AB, BC) = cos ( ) = 109, Kolmion suurin kulma on 109. Vastaus 109

100 B6 Kolme pistettä A, B ja P ovat samalla suoralla, jos esimerkiksi pisteiden väliset vektorit AB ja AP ovat yhdensuuntaiset. Pisteiden A ( 2, 0, 1) ja B (1,8, 3) välinen vektori AB on AB = (1 ( 2)) i + (8 0) j + ( 3 ( 1)) k = 3i+ 8j 2 k. Pisteiden A( 2,0, 1) ja P (7,24, 7) välinen vektori AP on AP = (7 ( 2)) i + (24 0) j + ( 7 ( 1)) k = 9i+ 24 j 6 k. Vektorit AB ja AP ovat yhdensuuntaiset täsmälleen silloin, kun löytyy sellainen nollasta eroava reaaliluku r, että AB = r AP. Tutkitaan, onko yhtälöllä AB = r AP, r 0, ratkaisu. AB = r AP 3i+ 8 j 2 k = r(9i+ 24 j 6 k) 3i + 8 j 2k = 9ri + 24rj 6rk

101 Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöryhmä. 3= 9r 8 = 24r 2 = 6r Ratkaistaan kaikista yhtälöistä r. 3 1 r = = r = = r = = Saatiin ratkaisu r =, joten AB = AP. Vektorit AB ja AP 3 3 ovat siis yhdensuuntaiset ja annetut kolme pistettä A, B ja P ovat samalla suoralla. Vastaus on

102 B7 Muuttujien kertoimista nähdään, että yksi tason x 5y+ 6z 8= 0 normaalivektori on n = i 5j + 6k. Vastaavasti tason 2x+ 4 y+ 3z 17 = 0 yksi normaalivektori on p = 2i + 4j + 3k. Lasketaan normaalivektorien pistetulo. n p = ( i 5 j + 6 k) (2i + 4 j + 3 k) = = = 0 Koska normaalivektorien pistetulo on nolla, vektorit ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa. Siten myös tasot ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa.

103 B8 Suora kulkee pisteen A (5,0,3) kautta ja sen suuntavektori on s = 2i 5j + 6k, joten suoran parametriesitys on x = 5+ 2t y = 5t z = 3 + 6, t missä t on reaaliluku. Taso kulkee pisteen B(2, 1, 0) kautta ja sen suuntavektorit ovat u = 2i + 3k ja v = 3i + 2j 3k, joten tason parametriesitys on x = 2+ 2r 3s y = 1 + 2s z = 3r 3, s missä r ja s ovat reaalilukuja. Suoran ja tason leikkauspisteen ( xyz,, ) koordinaatit toteuttavat sekä tason että suoran parametriesityksen. Muodostetaan yhtälöryhmä ja ratkaistaan se laskimella. Yhtälöryhmän ratkaisu on 4 r =, 3 1 s = ja 3 1 t =. 3

104 Koska yhtälöryhmällä on ratkaisu, suora ja taso leikkaavat toisensa. Lasketaan leikkauspisteen koordinaatit esimerkiksi sijoittamalla arvo suoran parametriesitykseen x = 5 + 2t = = y = 5t = 5 = z = 3 + 6t = = 5 3 Leikkauspiste on 17 5 (,,5). 3 3 Vastaus 17 5 (,,5) 3 3

105 B9 a) Muodostetaan pisteiden A ( 12,1,5) ja B( 9, 4,8) kautta kulkevan suoran suuntavektori. Muodostetaan suoran AB parametriesitys. x= t y = 1 + 3t z = 5 + 3, t missä t on reaaliluku. Muodostetaan pisteiden C ( 8, 1,5) ja D( 11, 5,8) kautta kulkevan suoran suuntavektori. CD = ( 11 ( 8)) i + (5 ( 1)) j + (8 5) k = 3i + 6j + 3k Muodostetaan suoran CD parametriesitys. x= 8 3s y = 1 + 6s z = 5 + 3, s missä s on reaaliluku.

106 Suorien leikkauspisteen koordinaatit toteuttavat molemmat parametriesitykset. Muodostetaan yhtälöryhmä ja ratkaistaan se laskimella t = 8 3s 1+ 3t = 1+ 6s 5+ 3t = 5+ 3s Yhtälöryhmän ratkaisu on 2 s = ja 3 2 t =. 3 Lasketaan leikkauspisteen koordinaatit esimerkiksi sijoittamalla 2 t = suoran AB parametriesitykseen. 3 2 x = t = = y = 1 + 3t = = z = 5 + 3t = = 7 3 Suorien leikkauspiste on ( 10,3,7).

107 b) Merkitään a-kohdassa laskettua suorien leikkauspistettä kirjaimella P. Olkoon Q se tason 5x+ 3y+ z = 1 piste, joka on lähimpänä pistettä P. Tällöin piste Q on pisteen P kautta piirretyn tason normaalisuoran ja tason leikkauspiste. Normaalisuoran suuntavektoriksi voidaan valita tason normaalivektori. Tason yksi normaalivektori on n = 5i + 3j + k. Normaalisuora kulkee pisteen P ( 10,3,7) kautta, joten suoran parametriesitys on x= r y = 3 + 3r z = 7 + r, missä r on reaaliluku. Sijoitetaan lausekkeet tason yhtälöön parametrin r arvo. ja ratkaistaan 5( 10+ 5) r + 3(3 + 3) r + (7 + r) = 1 35r 34 = 1 r = 1

108 Lasketaan leikkauspisteen Q koordinaatit sijoittamalla saatu parametrin arvo r = 1 normaalisuoran parametriesitykseen. x= r = 5 y = 3 + 3r = 6 z = 7 + r = 8 Pisteeksi Q saadaan ( 5,6,8). Pisteen P etäisyys tasosta on pisteiden P ja Q välinen etäisyys. Muodostetaan vektori PQ ja lasketaan sen pituus. PQ = ( 5 ( 10)) i + (6 3) j + (8 7) k = 5i + 3j + k PQ = = 35 Siis suorien AB ja CD leikkauspisteen P etäisyys tasosta on 35. Vastaus a) ( 10,3, 7) b) 35

109 B10 Tutkitaan oheisen kuvan suunnikasta ABCD. Merkitään AQ = s AP ja DQ = tdb, missä s ja t ovat reaalilukuja. Kertoimien s ja t selvittämiseksi tarvitaan vektoriyhtälö, joten esitetään vektori AQ kahdella eri tavalla. Valitaan kantavektoreiksi AB ja AD. AQ = s AP = s( AD + DP) 1 = s( AD + DC) 2 1 = s( AD + AB) 2 1 = s AB + s AD 2 AQ = AD + DQ = AD + tdb = AD + t( DA + AB) = AD + t( AD + AB) = AD t AD + t AB = t AB + (1 t) AD

110 Muodostetaan yhtälö. AQ = AQ 1 s AB + s AD = t AB + (1 t) AD 2 Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöpari. 1 s = t 2 s = 1 t Yhtälöparin ratkaisuksi saadaan (esim. laskimella) 2 s = ja 3 1 t =. 3 Siten 2 : 1. 2 AQ = s AP = AP, joten piste Q jakaa janan AP suhteessa 3 Vastaus suhteessa 2 : 1