Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r."

Transkriptio

1 Tekijä Pitkä matematiikka K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin ylempään yhtälöön ja 13 ratkaistaan muuttuja s. 3r s = s = s = 13 6 s = 13 Yhtälöparin ratkaisu on 2 r = ja 13 6 s =. 13 Vastaus 2 r = ja 13 6 s = 13

2 K2 Ratkaistaan muuttujat r ja s yhtälöryhmän r 7= 3 4s 8= 0 5 s = 10 kahdesta ensimmäisestä yhtälöstä. r 7= 3 r = 10 4s 8= 0 4s = 8 : 4 s = 2 Tarkastetaan sijoittamalla, toteuttaako luku s = 2 myös kolmannen yhtälön. 5s = = = 10 tosi Siis luvut r = 10 ja s = 2 toteuttavat kaikki kolme yhtälöä. Vastaus r = 10 ja s = 2

3 K3 Ratkaistaan muuttujat s ja t yhtälöryhmän s t = 3 2 s+ t = 0 3s 2t = 6 kahdesta ensimmäisestä yhtälöstä ja tarkastetaan, toteuttavatko luvut myös kolmannen yhtälön. Poistetaan kahden ensimmäisen yhtälön muodostamasta yhtälöparista muuttuja t ja ratkaistaan muuttuja s. s t = 3 + 2s+ t = 0 3 s = 3 s = 1 Sijoitetaan s = 1 esimerkiksi yhtälöparin alempaan yhtälöön ja ratkaistaan muuttuja t. 2s+ t = t = 0 t = 2

4 Sijoitetaan luvut s = 1 ja t = 2 yhtälöryhmän kolmanteen yhtälöön. 3s 2t = ( 2) = = 6 7= 6 epätosi Siis luvut s = 1 ja t = 2 eivät toteuta yhtälöryhmän viimeistä yhtälöä. Koska muuttujille s ja t ei löydy arvoja, jotka toteuttavat kaikki kolme yhtälöä, yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. Vastaus ei ratkaisua

5 K4 Valitaan poistettavaksi muuttujaksi t. Muodostetaan yhtälöryhmän r+ 2 s+ t = 5 (1) 2r 3 s t = 7 (2) 2 r s t = 15 (3) yhtälöistä 1 ja 2 yhtälöpari ja poistetaan muuttuja t. + r+ 2 s+ t = 5 2r 3 s t = 7 r s = 2 Muodostetaan seuraavaksi yhtälöryhmän yhtälöistä 1 ja 3 yhtälöpari ja poistetaan muuttuja t. + r+ 2s+ t = 5 2 r s t = 15 r+ s = 10 On päädytty yhtälöpariin r s = 2 r + s = 10 jossa esiintyvät vain muuttujat r ja s.

6 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. + r s = 2 r+ s = 10 2 r = 12 r = 6 Sijoitetaan tulos r = 6 äskeisen yhtälöparin jälkimmäiseen yhtälöön ja ratkaistaan muuttuja s. r+ s = s = 10 s = 10 6 = 4 Sijoitetaan r = 6 ja s = 4 esimerkiksi alkuperäisen yhtälöryhmän yhtälöön 1 ja ratkaistaan muuttuja t. r+ 2s+ t = t = t = 5 2+ t = 5 t = 5 2= 7 Yhtälöryhmän ratkaisu on r = 6, s = 4 ja t = 7. Vastaus r = 6, s = 4 ja t = 7

7 K5 Vektorin a pituus on toisaalta 12 ja toisaalta neljä ruutua. Siis yksi ruutu vastaa pituutta 3. a) Kuvassa ovat vektorit, jotka ovat vektorin a kanssa yhdensuuntaiset (samansuuntaiset tai vastakkaissuuntaiset) ja joiden pituus on 3 (eli 1 ruutu). b) Kuvassa on vektorin a kanssa vastakkaissuuntainen vektori, jonka pituus on 9 (eli 3 ruutua). c) Kuvassa ovat vektoria a vastaan kohtisuorat vektorit, joiden pituus on 6 (eli 2 ruutua).

8 K6 a) Siirretään vektori c alkamaan samasta pisteestä kuin vektori a. Trigonometrian avulla saadaan vektorien a ja c väliselle kulmalle 1 tan( ( ac, )) = ( ac, ) = tan ( ) 27 2 b) Siirretään vektori b alkamaan samasta pisteestä kuin vektori a. Nähdään, että vektorien a ja b välinen kulma koostuu suorakulmasta ja kulmasta, jonka tangentti on 2. Siten 1 ( ab, ) = 90 + tan c) Vektorien b ja c välinen kulma muodostuu kahdesta kulmasta, joiden molempien tangentti on 2. Siten 1 1 ( bc, ) = tan 2 + tan Vastaus a) ( ac, ) 27 b) ( ab, ) 153 c) ( bc, ) 127

9 K7 a) Asetetaan vektorit a ja b peräkkäin. Piirretään vektori a :n alkupisteestä b :n loppupisteeseen. Saatu vektori on a + b. b) Asetetaan vektorit b ja c peräkkäin. Piirretään vektori b :n alkupisteestä c :n loppupisteeseen. Saatu vektori on b c. c) Asetetaan vektorit a, b ja c peräkkäin. Palataan samaan pisteeseen, josta lähdettiin. Siten summavektori on nollavektori: a + b c = 0.

10 K8 a) Vektori 3c on 3 kertaa niin pitkä kuin vektori c ja sen kanssa samansuuntainen. b) Vektori 2b on 2 kertaa niin pitkä kuin vektori b ja sen kanssa vastakkaissuuntainen. 3 3 c) Vektori a on kertaa niin pitkä 4 4 kuin vektori a (eli 3 ruutua) ja sen kanssa vastakkaissuuntainen.

11 K9 Piirretään vektorin a alku- ja loppupisteen kautta vektorien u ja v suuntaiset suorat. Kuvasta nähdään, että a = 3v 5u = 5u + 3v. Vastaus a = 5u + 3v

12 K10 Kuvassa on alkuperäinen kuvio, johon on lisätty valmiiksi näkyviin vektorien a, b ja d siirrot, joita tarvitaan seuraavissa laskuissa. Lisäksi on laskettu nelikulmion neljäs kulma: nelikulmion kulmien summa on 360, joten neljäs kulma on = 116. a) Siirretään vektori a alkamaan samasta pisteestä kuin vektori b. Vektorien välinen kulma on = 90. Siis ( ab, ) = 90. b) Siirretään vektori b alkamaan samasta pisteestä kuin vektori c. Vektorien välinen kulma on = 98. Siis ( bc, ) = 98.

13 c) Siirretään vektori d alkamaan samasta pisteestä kuin vektori a. Vektorien välinen kulma on = 64. Siis ( ad, ) = 64. Vastaus a) ( ab, ) = 90 b) ( bc, ) = 98 c) ( ad, ) = 64

14 K11 a) b) Kysytyt kärkipisteiden koordinaatit saadaan luettua a-kohdan kuvasta: (3, 3, 0), (3,0,3), (0,3,3) ja (3, 3, 3). Vastaus b) (3, 3, 0), (3,0,3), (0,3,3) ja (3, 3, 3)

15 K12 Merkitään pisteitä A (0,5), B (2,2) ja C ( 4,1). a) Pisteen x-koordinaatti on sen paikkavektorin i -suuntaisen komponentin kerroin ja y-koordinaatti j -suuntaisen komponentin kerroin. Siten pisteen A (0,5) paikkavektori on OA = 0i + 5j = 5j. b) Pisteen B (2, 2) paikkavektori on OB = 2i + 2j. c) Pisteen C ( 4,1) paikkavektori on OC = 4i + j. Vastaus a) OA = 5 j b) OB = 2i + 2j c) OC = 4i + j

16 K13 Pisteiden A (0, 1), B (1,1) ja C (5, 2) paikkavektorit ovat OA = 0i j = j, OB = i + j ja OC = 5i 2j. Paikkavektorien summa on OA + OB + OC = j + i + j + 5i 2j = 6i 2 j. Selvitetään sitten loppupiste P, kun lähdetään pisteestä B (1,1) ja kuljetaan vektori OA + OB + OC = 6i 2j. Merkitään tätä siirtymävektoria BP. Muodostetaan pisteen P paikkavektori. OP = OB + BP = i + j + 6i 2j = 7i j Loppupiste on siis P = (7, 1). Vastaus paikkavektorien summa 6i 2j ; loppupiste P = (7, 1)

17 K14 a) Määritetään vektori AB. Vektori pisteestä A (3, 7,1) pisteeseen B ( 5,1, 3) saadaan vähentämällä loppupisteen koordinaateista alkupisteen koordinaatit. AB = ( 5 3) i + (1 ( 7)) j + ( 3 1) k = 8i + 8j 4k b) Pisteiden A ja B välinen etäisyys on sama kuin vektorin AB pituus. AB = ( 8) ( 4) = = 144 = 12 Vastaus a) AB = 8i + 8j 4k b) 12

18 K15 a) Merkitään alkupistettä kirjaimella A ja loppupistettä kirjaimella B. On selvitettävä loppupiste B, kun lähdetään pisteestä A (3, 10, 4) ja kuljetaan vektori v = 13i 8 j + 16k. Pisteen A (3, 10, 4) paikkavektori on OA = 3i 10 j + 4k. Muodostetaan pisteen B paikkavektori. OB = OA + v = 3i 10 j + 4k + 13i 8 j + 16k = 16i 18 j + 20k Loppupiste on siis (16, 18,20).

19 b) Merkitään alkupistettä kirjaimella C ja loppupistettä kirjaimella D. On selvitettävä alkupiste C, kun kuljetaan vektori v = 13i 8 j + 16k ja päädytään pisteeseen D (7, 7,7). Pisteen D (7, 7,7) paikkavektori on OD = 7i 7j + 7k. Muodostetaan pisteen C paikkavektori. OC = OD v = 7i 7 j + 7 k (13i 8 j + 16 k) = 7i 7 j + 7k 13i + 8 j 16k = 6i + j 9k Alkupiste on siis ( 6,1, 9). Vastaus a) (16, 18, 20) b) ( 6,1, 9)

20 K16 Muodostetaan ensin vektori b 3a. b 3a = i + 5 j k 3(2i 3 j 5 k) = i + 5 j k 6i + 9 j + 15k = 7i + 14 j + 14k Vektorin b 3a pituus on b a = + + = = ( 7) Vastaus 21

21 K17 a) Lasketaan vektorin a = 3i j pituus. a 2 2 = 3 + ( 1) = = 10 Vektorin a suuntainen yksikkövektori on a = a a = (3 i j) = i j b) Kun yksikkövektori a kerrotaan luvulla 3 10, saadaan vektori, joka on vektorin a kanssa vastakkaissuuntainen ja jonka pituus on b = 3 10 a = 3 10 ( i j) = 9i + 3j Vastaus a) a = i j b) b = 9i + 3j

22 K18 Lähtöpiste on A ( 14,10). Merkitään loppupistettä kirjaimella B. Vektorin v = 7i 24 j pituus on 2 2 v = 7 + ( 24) = 625 = 25. Vektorin v suuntainen yksikkövektori on v = v v = (7i 24 j) = i j Määritetään loppupisteen B paikkavektori. OB = OA + AB = OA v = 14i + 10 j ( i j) = 14i + 10 j + 28i 96 j = 14i 86 j Päädytään siis pisteeseen B = (14, 86). Vastaus pisteeseen (14, 86)

23 K19 Vektorit a ja b ovat yhdensuuntaiset täsmälleen silloin, kun löytyy sellainen nollasta eroava reaaliluku r, että a = rb. Tutkitaan, onko yhtälöllä a = rb, r 0, ratkaisu joillain vakion t arvoilla. a = rb ti 2 j = r( 2i + 4 tj ) ti 2j = 2ri + 4rtj Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöpari. t = 2r 2 = 4rt Yhtälöparille saadaan laskimella ratkaisut 1 r = ja t = r = ja t = 1 sekä 2 Kun t = 1, vektorit ovat a = ti 2j = i 2j ja 1 b = 2i + 4tj = 2i + 4j. Koska tällöin a = rb = b ja 2 1 < 0, niin vektorit ovat vastakkaissuuntaiset. 2 Kun t = 1, vektorit ovat a = ti 2j = i 2j ja b = 2i + 4tj = 2i 4j. Koska tällöin niin vektorit ovat samansuuntaiset. 1 a = rb = b ja >,

24 Vastaus Vektorit ovat yhdensuuntaiset, kun t = 1 tai t = 1. Arvolla t = 1 vektorit ovat vastakkaissuuntaiset, arvolla t = 1 samansuuntaiset.

25 K20 Vektorit u ja v ovat yhdensuuntaiset täsmälleen silloin, kun löytyy sellainen nollasta eroava reaaliluku r, että u = rv. Tutkitaan, onko yhtälöllä u = rv, r 0, ratkaisu joillain vakion t arvoilla. u = rv i + tj + 3 k = r( ti + 3 j ( t 4) k) i + tj + 3k = rti + 3 rj r( t 4) k Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöryhmä. 1 = rt t = 3r 3 = rt ( 4) Laskimella nähdään, että yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. Siten vektorit u ja v eivät ole yhdensuuntaiset millään vakion t arvolla. Vastaus eivät ole

26 K21 On etsittävä sellaiset luvut r ja s, että 6 i j = ra + sb = r( i 2 j ) + s(2 i + j ). Muokataan yhtälöä. 6 i j= ri ( 2 j) + s(2 i+ j) 6i j = ri 2rj + 2si + sj 6 i j= ( r+ 2) si+ ( 2 r+ s) j Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöpari. 6 = r+ 2s 1 = 2 r + s Yhtälöparin ratkaisuksi saadaan laskimella Siis i j = ra + sb = a b r = ja 5 13 s =. 5 Vastaus i j = a b 5 5

27 K22 Muodostetaan yhtälö v = ra + sb + tc ja ratkaistaan kertoimet r, s ja t. v = ra + sb + tc 25i + 40 j 15 k= ri ( + 2 j) + si ( + k) + t( j 3 k) 25i + 40 j 15k = ri + 2rj + si + sk + tj 3tk 25i + 40 j 15k = ri + si + 2rj + tj + sk 3tk 25i + 40 j 15 k= ( r+ si ) + (2 r+ t) j+ ( s 3 tk ) Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöryhmä. 25 = r+ s 40 = 2 r+ t 15 = s 3t Yhtälöryhmän ratkaisuksi saadaan laskimella r = 16, s = 9 ja t = 8. Siis v = ra + sb + tc = 16a + 9b + 8c. Vastaus v = 16a + 9b + 8c

28 K23 Vektorin a = 24i 13tj pituuden lauseke on a = + t = + t ( 13 ) Vektorin b = 12ti 25 j pituuden lauseke on b = t + = t (12 ) ( 25) Muodostetaan yhtälö a = laskimella. b ja ratkaistaan vakion t arvo t = 144t t = tai 5 7 t = 5 Siis vektorit a ja b ovat yhtä pitkät, kun 7 t = tai 5 7 t =. 5 Vastaus 7 t = tai 5 7 t = 5

29 K24 Kolmio on suorakulmainen, jos jokin sen kulmista on suora. Tarkastellaan vektoreita, jotka määräävät kolmion sivut. Kolmion sivut määräytyvät vektoreista a = 3i 5j, b = 13i + j ja näiden erotusvektorista a b = 3i 5 j (13 i + j) = 3i 5 j 13i j = 10i 6 j. Kolmion kulma on suora, jos kulmasta lähtevät tai siihen tulevat sivuvektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli jos niiden pistetulo on nolla. Lasketaan sivuvektorien pistetulot. Ensimmäinen kulma: a b = (3i 5 j) (13 i + j) = = 34 Toinen kulma: a ( a b) = (3i 5 j) ( 10i 6 j) = 3 ( 10) 5 ( 6) = 0 Huomataan, että kolmiossa on suora kulma, joten kolmio on suorakulmainen. (Koska löydettiin suora kulma, kolmannen vektoriparin pistetuloa ei tarvitse laskea.) Vastaus on

30 K25 Pisteiden A (5, 2) ja B (19, 5) välinen vektori AB on AB = (19 5) i + ( 5 2) j = 14i 7 j. Piste P jakaa janan AB suhteessa 1 : 6. Yhteensä jakovälejä on siis = 7, ja pisteeseen P päästään pisteestä A kulkemalla 1 7 vektorista AB. Muodostetaan pisteen P paikkavektori. 1 OP = OA + AB 7 1 = 5i + 2 j + (14i 7 j) 7 = 5i + 2j + 2i j = 7i + j Siis piste P on (7,1). Vastaus (7,1)

31 Tekijä Pitkä matematiikka K26 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = ( 6i + 2 j) ( 4i 9 j) = 6 ( 4) + 2 ( 9) = = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. b) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = ( i + 2 j k) ( i j 3 k) = 1 ( 1) + 2 ( 1) 1 ( 3) = = 0 Koska pistetulo a b = 0, niin vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Vastaus a) a b = 6, eivät ole kohtisuorassa b) a b = 0, ovat kohtisuorassa

32 K27 a) Kolmio on suorakulmainen, jos jokin sen kulmista on suora. Merkitään kärkipisteitä A ( 2, 3,1), B (4,1, 1) ja C ( 1,7, 2). Muodostetaan vektorit, jotka määräävät kolmion ABC sivut. AB = (4 ( 2)) i + (1 3) j + ( 1 1) k = 6i 2j 2k AC = ( 1 ( 2)) i + (7 3) j + (2 1) k = i + 4 j + k BC = ( 1 4) i + (7 1) j + (2 ( 1)) k = 5i + 6j + 3k Lasketaan sivuvektorien pistetulot. AB AC = (6i 2 j 2 k ) ( i + 4 j + k ) = = 4 AB BC = (6i 2 j 2 k ) ( 5i + 6 j + 3 k ) = 6 ( 5) = 48 AC BC = ( i + 4 j + k ) ( 5i + 6j + 3 k ) = 1( 5) = 22 Yksikään pistetuloista ei ole nolla, joten kolmion mikään kulma ei ole suora. Siten kolmio ei ole suorakulmainen.

33 b) Kolmio on suorakulmainen, jos jokin sen kulmista on suora. Merkitään kärkipisteitä A ( 1,3,0), B (2, 1,1) ja C (0,6,9). Muodostetaan vektorit, jotka määräävät kolmion ABC sivut. AB = (2 ( 1)) i + ( 1 3) j + (1 0) k = 3i 4j + k AC = (0 ( 1)) i + (6 3) j + (9 0) k = i + 3j + 9k BC = (0 2) i + (6 ( 1)) j + (9 1) k = 2i + 7j + 8k Lasketaan sivuvektorien pistetulot. AB AC = (3i 4 j + k ) ( i + 3 j + 9 k ) = = 0 Koska pistetulo AB AC = 0, niin sivut AB ja AC ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Siten kolmio on suorakulmainen. (Koska suorakulma löydettiin heti, muiden sivuvektorien pistetuloja ei tarvitse laskea.) Vastaus a) ei ole b) on

34 K28 Lasketaan pistetulo ja vektorien pituudet. a b = (2i 3j 4 k) ( i + 2j + 7 k) = 2 ( 1) = 36 a = 2 + ( 3) + ( 4) = 29 b = ( 1) = 54 = 3 6 Lasketaan vektorien välinen kulma. a b cos( ab, ) = = = a b = = ( ab, ) cos ( ) 155, Vastaus 155

35 K29 Kolmion suurin kulma on pisimmän sivun vastainen kulma. Muodostetaan kolmion sivuja vastaavat vektorit ja lasketaan niiden pituudet. Sivu AB: AB = (0 ( 3)) i + (4 ( 1)) j = 3i + 5 j AB 2 2 = = 34 5,8 Sivu AC: AC = (3 ( 3)) i + (2 ( 1)) j = 6i + 3 j AC 2 2 = = 45 = 3 5 6,7 Sivu BC: BC = (3 0) i + (2 4) j = 3i 2 j BC 2 2 = 3 + ( 2) = 13 3, 6 Kolmion pisin sivu on AC, joten kolmion suurin kulma on B = ( AB, BC ).

36 Lasketaan pistetulo ja vektorien välinen kulma. AB BC = ( 3i 5 j ) (3i 2 j ) = ( 2) = 1 AB BC 1 1 cos( AB, BC) = = = AB BC ( AB, BC) = cos ( ) = 87, Kolmion suurin kulma on 87. Vastaus 87

37 K30 Määritetään ensin suunnikkaan sivuvektorien a = 2i + j + 4k ja b = i + 3 j + k välinen kulma. Lasketaan vektorien pistetulo ja vektorien pituudet. a b = (2i + j + 4 k) ( i + 3 j + k) = 2( 1) = 5 a = = 21 b = ( 1) = 11 Lasketaan sivuvektorien välinen kulma. a b 5 cos( ab, ) = = ab ab 5 = = (, ) cos ( ) 70, Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret. Vierekkäiset kulmat ovat toistensa vieruskulmat, joten lasketun kulman vierekkäiset kulmat ovat suuruudeltaan = 109. Kaiken kaikkiaan suunnikkaan kulmat ovat siis 71, 109, 71 ja 109. Vastaus 71, 109, 71 ja 109

38 K31 Lasketaan ensin vektorin 2a 5b pituuden neliö 2 2a 5b. 2a 5b 2 2 = (2a 5 b) (2a 5 b) = 2a 2a + 2 a ( 5 b) 5b 2a 5 b ( 5 b) = 4a a 10a b 10a b + 25b b = 4 a 20a b + 25 b = = (Laskussa käytettiin tietoja a = 5, b = 4 ja a b = 10.) Vektorin 2a 5b pituus on 2a 5b = 300 = Vastaus 10 3

39 K32 Määritetään pistetulon 2 2 a + b. a b arvo. Tarkastellaan ensin neliötä 2 2 a + b = (2 a + b) (2 a + b) = 2a 2a + 2a b + b 2a + b b = 4a a + 2a b + 2a b + b b 2 = 4 a + 4a b + b 2 Ratkaistaan yhtälöstä pistetulo a b a + b = 4 a + 4a b + b a b = 4 a + b 2a + b a b = = + = Koska pistetulo a b on nolla, vektorit a ja b ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Vastaus ovat

40 K33 Käytetään laskuissa tietoa 3 cos150 =. 2 a) b) c) a b= abcos( ab, ) = 7 4 cos150 3 = 28 ( ) = a 5 b = ( 3 5)( a b) = 15( a b) = 15 abcos( ab, ) = cos150 3 = 420 ( ) = a ( a 3 b) = 2a a + 2 a ( 3 b) 2 = 2 a + (2 ( 3))( a b) cos(, ) = ab ab = cos150 3 = ( ) 2 = Vastaus a) 14 3 b) c)

41 K34 Lasketaan ensin vektorien a = ti + 2 j ja b = i + 3 j pistetulo ja vektorien pituudet. a b = ( ti + 2 j) ( i + 3 j) = t = t a = t + 2 = t + 4 b 2 2 = = 10 Jos vektorien a ja b välinen kulma on 45, kulman kosini on 1 cos( ab, ) = cos45 =. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan se 2 laskimella. a b= abcos( ab, ) t 1 2 t = 1 tai t = = t Vastaus t = 1 tai t = 4

42 K35 a) Merkitään pistettä (1, 2, 1) kirjaimella A. Paikkavektorin OA lauseke on OA = i + 2 j k. Suoran suuntavektori on v = 2i j + k, joten suoran vektoriyhtälöksi saadaan OP = OA + tv = i + 2 j k + t(2 i j + k ), missä t on reaaliluku. b) Pisteen (1, 2, 1) kautta kulkevan suoran suuntavektori on v = 2i j + k, joten suoran parametriesitys on x = 1+ 2t y = 2 t z = 1 + t, missä t on reaaliluku. Vastaus a) OP = i + 2 j k + t(2 i j + k ), missä t on reaaliluku. x = 1+ 2t b) y = 2 t, missä t on reaaliluku. z = 1 + t

43 K36 Määritetään ensin suoran vektoriyhtälö. Paikkavektorin OA lauseke on OA = i j +2k. Suoran suuntavektori on v = i + j + 3k, joten suoran vektoriyhtälöksi saadaan OP = OA + tv = i j + 2 k + t( i + j + 3 k ), missä t on reaaliluku. Suoralla oleva piste saadaan määritettyä, kun suoran vektoriyhtälössä luvulle t valitaan jokin arvo. Voidaan valita esimerkiksi t = 1 ja t = 2. Kun t = 1, OP = i j + 2k + 1( i + j + 3 k ) = i j + 2k i + j + 3k = 0i + 0j + 5 k. Saadaan piste (0,0,5).

44 Kun t = 2, OP = i j + 2k + 2 ( i + j + 3 k ) = i j + 2k 2i + 2j + 6k = i + j + 8 k. Saadaan piste ( 1,1,8). Vastaus esimerkiksi (0,0,5) ja ( 1,1,8)

45 K37 Määritetään ensin suoran parametriesitys. Pisteen ( 3,5, 0) kautta kulkevan suoran suuntavektori on v = i + j +3k, joten suoran parametriesitys on x = 3 t y = 5 + t z = 3, t missä t on reaaliluku. Suoran ja yz-tason leikkauspisteen x-koordinaatti on nolla, joten leikkauspiste on muotoa (0, yz., ) Ratkaistaan parametri t. x = 3 t 0= 3 t t = 3 Lasketaan leikkauspisteen y- ja z-koordinaatit. y = 5+ t = 5 3= 2 z = 3t = 3 ( 3) = 9 Leikkauspiste on (0,2, 9). Vastaus (0, 2, 9)

46 K38 Muodostetaan pisteiden A (3, 3, 6) ja B (8, 8,16) kautta kulkevan suoran suuntavektori. AB = (8 3) i + ( 8 ( 3)) j + (16 6) k = 5i 5 j + 10k Muodostetaan suoran AB parametriesitys. x = 3 + 5t y = 3 5t z = t, missä t on reaaliluku. Muodostetaan pisteiden C (15,5, 5) ja D (12, 4, 4) kautta kulkevan suoran suuntavektori. CD = (12 15) i + (4 5) j + ( 4 ( 5)) k = 3i j + k Muodostetaan suoran CD parametriesitys. x = 15 3s y = 5 s z = 5 + s, missä s on reaaliluku.

47 Suoran leikkauspisteen ( xyz,, ) koordinaatit toteuttavat molemmat parametriesitykset. Muodostetaan yhtälöryhmä ja ratkaistaan se laskimella t = 15 3s 3 5t = 5 s t = 5 + s Yhtälöryhmän ratkaisu on 3 t = ja s = 5. 5 Lasketaan leikkauspisteen koordinaatit esimerkiksi sijoittamalla s = 5 suoran CD parametriesitykseen. x = 15 3s = = 0 y = 5 s = 5 5 = 0 z = 5 + s = = 0 Leikkauspiste on origo (0,0,0). Vastaus (0,0,0)

48 K39 x = 1+ 2t Suoran y = 3t suuntavektorin komponentit ovat luettavissa z = 2 + t parametrin t kertoimista, joten (yhdeksi) suuntavektoriksi saadaan u = 2i + 3j + k. x = 3 s Vastaavasti suoran y = 2 suuntavektorin komponentit ovat z = 1 + 3s luettavissa parametrin s kertoimista, joten suuntavektoriksi saadaan v = i +3k. Lasketaan suuntavektorien pituudet ja pistetulo. u = = 14 v 2 2 = ( 1) + 3 = 10 u v = (2i + 3 j + k) ( i + 0 j + 3 k) = 2 ( 1) = 1

49 Lasketaan suuntavektorien välisen kulman suuruus. u v 1 1 cos( uv, ) = = = u v uv 1 = = (, ) cos ( ) 85, Koska saatu suuntavektorien välinen kulma on terävä, kysytty suorien välinen kulma on myös 85. Vastaus 85

50 K40 a) Pisteen A (4, 3,5) paikkavektori on OA = 4i 3j + 5k. Pisteen A kautta kulkevan tason suuntavektorit ovat u = 2i j + 5k ja v = 3i + 6j 8k. Tason vektoriyhtälöksi saadaan OP = OA + su + tv = 4i 3 j + 5 k + s(2i j + 5 k ) + t( 3i + 6 j 8 k ), missä s ja t ovat reaalilukuja. b) Taso sisältää pisteen A (4, 3,5) ja sillä on suuntavektorit u = 2i j + 5k ja v = 3i + 6j 8k, joten tason parametriesitys on x = 4+ 2s 3t y = 3 s + 6t z = 5 + 5s 8, t missä s ja t ovat reaalilukuja. Vastaus a) OP = 4i 3 j + 5 k + s(2i j + 5 k) + t( 3i + 6 j 8 k ), missä s ja t ovat reaalilukuja. x = 4+ 2s 3t b) y = 3 s + 6, t missä s ja t ovat reaalilukuja. z = 5 + 5s 8t

51 K41 x = 8+ 4t a) Suoran y = 2 3t suuntavektorin komponentit ovat z = 3 + t luettavissa parametrin t kertoimista, joten (yhdeksi) suuntavektoriksi saadaan 4i 3j + k. Koska taso on kohtisuorassa suoraa vastaan, kyseinen suuntavektori voidaan valita tason normaalivektoriksi. Tason yhtälön koordinaattiyhtälö on muotoa ax ( x) + by ( y) + cz ( z ) = 0, missä nyt pisteen A koordinaatit x 0 = 4, y 0 = 3 ja z 0 = 1 sekä normaalivektorin kertoimet a = 4, b = 3 ja c = 1. Sijoitetaan koordinaatit ja kertoimet ja sievennetään koordinaattiyhtälö normaalimuotoon. ax ( x) + by ( y) + cz ( z) = ( x 4) 3 ( y ( 3)) + 1 ( z ( 1)) = 0 4x 16 3y 9 + z+ 1 = 0 4x 3y+ z 24 = 0

52 b) Tason ja y-akselin leikkauspiste on muotoa (0, y,0). Sijoitetaan pisteen koordinaatit tason yhtälöön ja lasketaan y-koordinaatin arvo. 4x 3y+ z 24 = y = 0 3y = 24 y = 8 Leikkauspiste on (0, 8,0). Vastaus a) 4x 3y+ z 24 = 0 b) (0, 8,0)

53 K42 Pisteen (6, 2, 8) kautta kulkevan suoran suuntavektori on u = 2i + j + 3k, joten suoran parametriesitys on x = 6 2r y = 2 + r z = 8 + 3, r missä r on reaaliluku. x = 2+ s+ 2t Määritetään suoran ja tason y = 1 + s + t leikkauspiste. Suoran z = 1 + 3t ja tason leikkauspisteen ( xyz,, ) koordinaatit toteuttavat sekä tason että suoran parametriesityksen. Muodostetaan yhtälöryhmä ja ratkaistaan se laskimella. 6 2 r = 2+ s+ 2t 2 + r = 1 + s + t r = 1 + 3t Yhtälöryhmän ratkaisu on r = 2, s = 2 ja t = 1.

54 Koska yhtälöryhmällä on ratkaisu, suora ja taso leikkaavat toisensa. Lasketaan leikkauspisteen koordinaatit esimerkiksi sijoittamalla arvo r = 2 suoran parametriesitykseen. x = 6 2r = 6 2 2= 2 y = 2 + r = = 0 z = 8 + 3r = = 2 Leikkauspiste on (2,0, 2). Vastaus (2,0, 2)

55 K43 Tason suuntavektoreiksi voidaan valita vektorit AB ja AC. Muodostetaan vektorien lausekkeet. AB = (2 1) i + (0 ( 1)) j + (1 2) k = i + j k AC = ( 1 1) i + (2 ( 1)) j + (3 2) k = 2i + 3j + k Taso sisältää pisteen A (1, 1, 2) ja sillä on suuntavektorit i + j k ja 2i + 3j + k, joten tason parametriesitys on x = 1+ s 2t y = 1 + s + 3t z = 2 s + t, missä s ja t ovat reaalilukuja. Tason ja y-akselin leikkauspiste on muotoa (0, y,0). Määritetään parametrien s ja t arvot sijoittamalla parametriesityksen ensimmäiseen ja viimeiseen yhtälöön x = 0 ja z = 0 ja ratkaisemalla yhtälöpari laskimella. 0= 1+ s 2t 0 = 2 s + t Yhtälöparin ratkaisu on s = 5 ja t = 3.

56 Lasketaan leikkauspisteen y-koordinaatti parametriesityksen keskimmäisen yhtälön avulla. y = 1+ s+ 3t = = 13 Leikkauspiste on (0,13,0). Vastaus (0,13,0)

57 K44 Merkitään kysyttyä tasoa kirjaimella T. Koska taso T ja taso 2x y+ 4z 1= 0 ovat yhdensuuntaiset, myös niiden normaalivektorit ovat yhdensuuntaiset. Muuttujien kertoimista voidaan lukea, että yksi tason 2x y+ 4z 1= 0 normaalivektori on 2i j + 4k. Kyseinen vektori voidaan valita myös tason T normaalivektoriksi. Tason yhtälön koordinaattiyhtälö on muotoa ax ( x) + by ( y) + cz ( z ) = 0, missä nyt tason sisältämän pisteen koordinaatit x 0 = 8, y 0 = 5 ja z 0 = 7 sekä normaalivektorin kertoimet a = 2, b = 1 ja c = 4. Sijoitetaan koordinaatit ja kertoimet ja sievennetään koordinaattiyhtälö normaalimuotoon. ax ( x) + by ( y) + cz ( z) = ( x 8) 1 ( y ( 5)) + 4 ( z 7) = 0 2x 16 y 5 + 4z 28 = 0 2x y+ 4z 49 = 0 Tason T yhtälö on siis 2x y+ 4z 49 = 0. Vastaus 2x y+ 4z 49 = 0

58 K45 a) Merkitään suoran pistettä (9, 3, 4) kirjaimella A ja suoran suuntavektoria 3i 2j + 2k kirjaimella s. Olkoon Q se suoran piste, joka on lähimpänä pistettä P (1, 0, 2). Tällöin vektori PQ on kohtisuorassa suoraa vastaan. Suoran suuntavektori on s = 3i 2j + 2k ja suora kulkee pisteen A (9, 3, 4) kautta, joten suoran parametriesitys on x = 9+ 3t y = 3 2t z = 4 + 2, t missä t on reaaliluku. Piste Q on suoralla, joten pisteen Q koordinaatit toteuttavat suoran parametriesityksen ja voidaan merkitä Q = (9 + 3 t, 3 2 t,4 + 2 t ). Muodostetaan vektorin PQ lauseke. PQ = (9 + 3t 1) i + ( 3 2t 0) j + (4 + 2t 2) k = (8+ 3) ti+ ( 3 2) t j+ (2+ 2) tk

59 Koska vektori PQ on kohtisuorassa suoraa vastaan, niin se on kohtisuorassa suoran suuntavektoria s vastaan, ja vektorien pistetulo on nolla. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan parametrin t arvo. PQ s = 0 ((8+ 3) ti+ ( 3 2) t j+ (2+ 2) tk) (3i 2j+ 2 k) = 0 (8+ 3) t 3 + ( 3 2) t ( 2) + (2+ 2) t 2= 0 17t + 34 = 0 t = 2 Lasketaan pisteen Q koordinaatit sijoittamalla saatu parametrin arvo t = 2 suoran parametriesitykseen. x = 9+ 3t = 9+ 3 ( 2) = 3 y = 3 2t = 3 2 ( 2) = 1 z = 4 + 2t = ( 2) = 0 Siten piste (3,1,0) on suoran pisteistä lähimpänä pistettä P. b) Pisteen P etäisyys suorasta on pisteiden P ja Q välinen etäisyys. Muodostetaan vektori PQ ja lasketaan sen pituus. PQ = (3 1) i + (1 0) j + (0 2) k = 2i + j 2k PQ = ( 2) = 9 = 3 Pisteen P etäisyys suorasta on 3. Vastaus a) (3,1,0) b) 3

60 K46 a) Olkoon Q se tason piste, joka on lähimpänä pistettä P. Tällöin vektori PQ on kohtisuorassa tasoa vastaan. Tason suuntavektoreiksi voidaan valita vektorit AB ja AC. AB = (3 4) i + (5 ( 2)) j + (5 0) k = i + 7j + 5k AC = ( 1 4) i + (3 ( 2)) j + (1 0) k = 5i + 5j + k Taso sisältää pisteen A (4, 2,0) ja sillä on edellä lasketut suuntavektorit, joten tason parametriesitys on x = 4 s 5t y = 2 + 7s + 5t z = 5 s + t, missä s ja t ovat reaalilukuja. Piste Q on tasossa, joten pisteen Q koordinaatit toteuttavat tason parametriesityksen ja voidaan merkitä Q = (4 s 5, t 2+ 7s+ 5,5 t s+ t ).

61 Muodostetaan vektorin PQ lauseke. PQ = (4 s 5t 2) i + ( 2+ 7s + 5 t ( 3)) j + (5s + t 8) k = (2 s 5) ti+ (1+ 7s+ 5) t j+ ( 8+ 5 s+ tk ) Koska vektori PQ on kohtisuorassa tasoa vastaan, niin se on kohtisuorassa tason molempia suuntavektoreita AB = i + 7j + 5k ja AC = 5i + 5j + k vastaan. Muodostetaan yhtälöpari ja ratkaistaan parametrien s ja t arvot laskimella. PQ AB = 0 PQ AC = 0 ((2 s 5) ti+ (1+ 7s+ 5) t j+ ( 8+ 5 s+ tk ) ) ( i+ 7j+ 5 k) = 0 ((2 s 5) ti+ (1+ 7s+ 5) t j+ ( 8+ 5 s+ tk ) ) ( 5i+ 5 j+ k) = 0 (2 s 5) t ( 1) + (1+ 7s+ 5) t 7 + ( 8+ 5 s+ t) 5= 0 (2 s 5) t ( 5) + (1+ 7s+ 5) t 5 + ( 8+ 5 s+ t) 1= 0 75s+ 45t 35 = 0 45s+ 51t 13 = 0 Yhtälöparin ratkaisu on 2 s = ja 3 1 t =. 3

62 Lasketaan pisteen Q koordinaatit sijoittamalla saadut 2 1 parametrien arvot s = ja t = tason parametriesitykseen x = 4 s 5t = 4 5( ) = y = 2 + 7s + 5t = ( ) = z = 5s + t = 5 = Saadaan piste (5,1, 3). b) Pisteen P etäisyys tasosta on pisteiden P ja Q välinen etäisyys. Muodostetaan vektori PQ ja lasketaan sen pituus. PQ = (5 2) i + (1 ( 3)) j + (3 8) k = 3i + 4j 5k PQ = ( 5) = 50 = 5 2 Pisteen P etäisyys tasosta on 5 2. Vastaus a) (5,1, 3) b) 5 2

63 K47 Olkoon vektorien a = i + j ja b = 2i 3j alkupiste origo. Tällöin kolmion kärjet ovat pisteissä O (0,0), A (1,1) ja B ( 2, 3). On laskettava origosta piirretyn korkeusjanan pituus eli origon etäisyys pisteiden A ja B kautta kulkevasta suorasta. Suoran suuntavektoriksi voidaan valita vektori BA. BA = (1 ( 2)) i + (1 ( 3)) j = 3i + 4j Suoran suuntavektori on BA = 3i + 4j ja suora kulkee pisteen A (1,1) kautta, joten suoran parametriesitys on x = 1+ 3t y = 1 + 4, t missä t on reaaliluku. Olkoon Q se suoran AB piste, joka on lähimpänä origoa O. Tällöin vektori OQ on kohtisuorassa suoraa AB vastaan.

64 Piste Q on suoralla, joten pisteen Q koordinaatit toteuttavat suoran parametriesityksen ja voidaan merkitä Q = (1 + 3 t,1 + 4 t ). Pisteen Q paikkavektori OQ on OQ = (1 + 3 t) i + (1 + 4 t) j. Koska vektori OQ on kohtisuorassa suoraa AB vastaan, niin se on kohtisuorassa suoran suuntavektoria BA vastaan, ja vektorien pistetulo on nolla. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan parametrin t arvo. OQ BA = 0 ((1 + 3 ti ) + (1 + 4 t) j) (3i + 4 j) = 0 (1 + 3 t) 3 + (1 + 4 t) 4 = 0 25t + 7 = 0 t = Lasketaan pisteen Q koordinaatit sijoittamalla saatu parametrin arvo 7 t = suoran parametriesitykseen x = 1 + 3t = ( ) = y = 1+ 4t = 1+ 4 ( ) =

65 Siten piste 4 3 (, ) on suoran AB pisteistä lähimpänä origoa Origon etäisyys suorasta on origon ja pisteen Q välinen etäisyys eli 4 3 pisteen Q paikkavektorin OQ = i j pituus OQ = ( ) + ( ) = = Origon etäisyys suorasta eli kysytty korkeusjanan pituus on 1 5. Vastaus 1 5

66 K48 a) On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 2 3 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että 2 DE = AB. 3 Muodostetaan vektori DE. DE = DC + CE 2 2 = AC + CB = ( AC + CB ) 3 2 = AB 3 On siis osoitettu, että 2 DE = AB. 3

67 b) Nelikulmio DEGF on puolisuunnikas, jos sivut DE ja FG ovat yhdensuuntaiset. Muodostetaan vektori FG. FG = FC + CG 1 1 = AC + CB = ( AC + CB ) 3 1 = AB 3 Koska 1 FG = AB ja 3 2 DE = AB, niin DE = AB = 2 AB = 2FG. 3 3 Siten sivut DE ja FG ovat yhdensuuntaiset, joten nelikulmio DEGF on puolisuunnikas.

68 K49 Tutkitaan oheisen kuvan suunnikasta ABCD. Merkitään AQ = s AC ja BQ = tbp, missä s ja t ovat reaalilukuja. Kertoimien s ja t selvittämiseksi tarvitaan vektoriyhtälö, joten esitetään vektori AQ kahdella eri tavalla. Valitaan kantavektoreiksi AB ja AD. AQ = s AC = s( AB + BC) = s( AB + AD) = s AB + s AD AQ = AB + BQ = AB + tbp = AB + t( BC + CP) 1 1 = AB + t( AD + CD) = AB + t( AD DC) = AB + t( AD AB) = AB + t AD t AB = (1 t) AB + t AD 3

69 Muodostetaan yhtälö. AQ = AQ 1 s AB + s AD = (1 t) AB + t AD 3 Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöpari. 1 s = 1 t 3 s = t Yhtälöparin ratkaisuksi saadaan (esim. laskimella) 3 s = ja 4 3 t =. 4 3 Siten AQ = s AC = AC, joten piste Q jakaa lävistäjän AC 4 suhteessa 3 : 1. Vastaus suhteessa 3 : 1

70 Tekijä Pitkä matematiikka M1 r + 3= 1 Yhtälöryhmän 2s + 12 = 0 3s 18 = 0 muuttujalle s ratkaisu keskimmäisestä yhtälöstä saadaan 2s + 12 = 0 2s = 12 s = 6. Viimeisestä yhtälöstä saadaan 3s 18 = 0 3s = 18 s = 6. Koska muuttujalla s ei ole yksikäsitteistä ratkaisua, joka toteuttaisi yhtälöryhmän kaikki yhtälöt, yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. Vastaus c

71 M2 Vektorit ovat toistensa vastavektorit, jos ne ovat vastakkaissuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin u vastavektori on vektori c. Vastaus c M3 Siirretään vektori v alkamaan samasta pisteestä kuin vektori u. Nähdään, että vektorien u ja v välinen kulma muodostuu suorakulmasta ja suorakulman puolikkaasta. Siten ( uv, ) = = 135. Vastaus b

72 M4 d = v u Vastaus c M5 Vektori u on 1 3 kertaa niin pitkä kuin vektori a ja sen kanssa vastakkaissuuntainen, joten 1 u = a. 3 Vastaus c M6 e = 3u 2v Vastaus b

73 M7 Pisteen x-koordinaatti on sen paikkavektorin i -suuntaisen komponentin kerroin ja y-koordinaatti j -suuntaisen komponentin kerroin. Siten pisteen (2, a + 1) paikkavektori on 2 i + ( a + 1) j = 2i + aj + j = 2i + j + aj. Vastaus b ja c M8 v = i + j = + = + = = ( 12) Vastaus b M9 Voidaan huomata, että. Siten vektorit ovat yhdensuuntaiset ja erityisesti vastakkaissuuntaiset, koska. Vastaus a ja c

74 M10 Vektorin 3i + 4 j pituus on 2 2 3i + 4 j = ( 3) + 4 = = 25 = pituusyksikön siirtyminen vastavektorin suuntaan tarkoittaa siis sitä, että kuljetaan vektori 2 ( 3i + 4 j) = 6i 8j. Päädytään pisteeseen (6, 8). Vastaus b M11 Pisteen x-koordinaatti on sen paikkavektorin i -suuntaisen komponentin kerroin, y-koordinaatti j -suuntaisen komponentin kerroin ja z-koordinaatti k -suuntaisen komponentin kerroin. Siten pisteen (3,0,7) paikkavektori on 3i + 0j + 7k = 3i + 7k. Vastaus c

75 M12 a b = 2i 4 j + k ( i + 5j 6 k) = 2i 4j + k i 5j + 6k = i 9j + 7k tai b a = i + 5j 6 k (2i 4 j + k) = i + 5j 6k 2i + 4j k = i + 9j 7k Vastaus b ja c M13 i j + k = + + = + + = ( 2) Vastaus c

76 M14 Vektorit ovat yhdensuuntaiset täsmälleen silloin, kun löytyy sellainen nollasta eroava reaaliluku r, että. Tutkitaan, onko yhtälöllä ratkaisua. 1 i j + 3 k = r( 3i j + 9 k) 3 1 i j + 3k = 3ri rj + 9rk 3 Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöryhmä. 1= 3r 1 = r 3 3= 9r Ratkaistaan kaikista yhtälöistä r. 1 r = 3 1 r = 3 1 r = 3 Nähdään, että yksikäsitteistä ratkaisua ei löydy. Siten vektorit eivät ole yhdensuuntaiset vaan erisuuntaiset. Vastaus c

77 M15 Lasketaan pistetulot. Vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos niiden pistetulo on nolla. (2i 3 j k) ( 2i + 3 j + k) = 2 ( 2) = 14 (2i 3 j k) ( i 3 j + 2 k) = ( 3) 1 2 = 9 (2i 3 j k) (4i + 2 j + 2 k) = = 0 Kohtisuora vektori on 4i + 2j + 2k. Vastaus c M16 Tarkastellaan neliötä 2 a b. 2 a b = ( a b) ( a b) = a a + a ( b) b a b ( b) = a a a b a b + b b 2 = a 2a b + b 2 Siten a b = a b = a + b a b = = 0, joten Vastaus a

78 M17 Ratkaistaan tehtävä graafisesti. Kuvan perusteella kolmio on teräväkulmainen. Vastaus a M18 a b= abcos( ab, ) = a b cos91 0,017 a b Pituudet a ja b ovat positiivisia, joten pistetulo negatiivinen. a b on Vastaus b

79 M19 Merkitään pisteitä A (7,0, 8) ja B (6,5, 8). Suoran suuntavektoriksi voidaan valita vektori AB. AB = (6 7) i + (5 0) j + ( 8 ( 8)) k = i + 5j + 0k = i + 5 j Vastaus b M20 Suora kulkee pisteen (7,0, 8) kautta ja suoran suuntavektori on edellisen tehtävän perusteella i + 5j = i + 5j + 0k, joten suoran parametriesitys on x = 7 t y = 5t z = 8, missä t on reaaliluku. Vastaus c

80 M21 Taso kulkee pisteen (1, 0,1) kautta ja sen suuntavektorit ovat i +2 j ja i + j k, joten tason parametriesitys on missä s ja t ovat reaalilukuja. Vastaus a M22 Muuttujien kertoimista voidaan suoraan lukea, että yksi tason 2x y+ 3z 5= 0 normaalivektori on 2i j + 3k. Toisaalta myös vastavektori 2i + j 3k käy normaalivektoriksi yhtä hyvin. Vastaus a ja b

81 M23 Pisteen P ( 2, 3,1) etäisyys xz-tasosta on 3 (y-koordinaatin arvo). Vastaus c

82 M24 Pisteen P(5, 15,12) etäisyys y-akselista saadaan laskettua Pythagoraan lauseella = 169 = 13 Vastaus a

83 Tekijä Pitkä matematiikka A1 a) Kuvan perusteella CB = v. b) HC = HG + GC = u w c) EC = EH + HG + GC = v + u w = u + v w Vastaus a) CB = v b) HC = u w c) EC = u + v w

84 A2 Ratkaistaan yhtälöstä 3( a + b) ( a b ) = 0 vektori a. 3( a + b) ( a b) = 0 3a + 3b a + b = 0 2a + 4b = 0 2a = 4b a = 2b Koska kerroin 2 on negatiivinen, vektorit a ja b ovat vastakkaissuuntaiset. Vektori a on kaksi kertaa niin pitkä kuin vektori b. Vastaus Vektorit a ja b ovat vastakkaissuuntaiset. Vektori on kaksi kertaa niin pitkä kuin vektori b.

85 A3 On etsittävä sellaiset luvut r ja s, että. Muokataan yhtälöä. 8a 15 b = r( a b ) + sb 8a 15b = ra rb + sb 8a 15 b = ra + ( r + s) b Komponenttiesitys on yksikäsitteinen, joten vektorien a ja b kertoimien on oltava yhtä suuret yhtälön molemmilla puolilla. r = 8 r + s = 15 Ylemmästä yhtälöstä nähdään suoraan, että r = 8. Ratkaistaan s alemmasta yhtälöstä. Siis r+ s = 15 s = 15 + r = = 7 8a 15 b = r( a b ) + sb = 8( a b) 7 b. Vastaus 8a 15b = 8( a b) 7b

86 A4 Vektori a = 3i j, joten 2 2 a = 3 + ( 1) = = 10. Vektori b = 5i 5j, joten b 2 2 = 5 + ( 5) = = 50 = 25 2 = 5 2. Vektori a + b = 3i j + 5i 5j = 8i 6j, joten 2 2 a + b = 8 + ( 6) = = 100 = 10. Vastaus a = 10,, a + b = 10

87 A5 a) Pisteiden A = (2,3) ja B = (5, 1) välinen vektori AB saadaan vähentämällä loppupisteen koordinaateista alkupisteen koordinaatit. AB = (5 2) i + ( 1 3) j = 3i 4j b) Lasketaan vektorin pituus. AB 2 2 = 3 + ( 4) = = 25 = 5 Vektorin AB suuntainen yksikkövektori on AB 0 1 = AB AB = (3i 4 j) = i j Siten yksikkövektori a, joka on vastakkaissuuntainen vektorin AB kanssa, on a = AB = i + j. 5 5 Vastaus a) AB = 3i 4j 3 4 b) a = i + j 5 5

88 A6 a) Pisteen x-koordinaatti on sen paikkavektorin i -suuntaisen komponentin kerroin, y-koordinaatti j -suuntaisen komponentin kerroin ja z-koordinaatti k -suuntaisen komponentin kerroin. Siten pisteen A (2, 4,4) paikkavektori on OA = 2i 4j + 4k. b) Merkitään loppupistettä kirjaimella B. Vektorin OA = 2i 4j + 4k pituus on OA = + + = + + = = ( 4) Kolmen pituusyksikön siirtyminen vastaa siis sitä, että kuljetaan puolet vektorista OA. Määritetään loppupisteen B paikkavektori. 1 OB = OA 2 1 = (2 i 4 j + 4 k ) 2 = i 2j + 2k Päädytään siis pisteeseen B = (1, 2, 2). Vastaus a) OA = 2i 4j + 4k b).

89 A7 a) On selvitettävä alkupiste A, kun kuljetaan vektori AB = 17i j + 19k ja päädytään pisteeseen. Pisteen B(5, 5, 40) paikkavektori on. Muodostetaan pisteen A paikkavektori. OA = OB AB = 5i 5 j + 40 k (17i j + 19 k) = 5i 5 j + 40k 17i + j 19k = 12i 4 j + 21k Alkupiste on siis A ( 12, 4,21). b) Määritetään pisteen D paikkavektori. OD = OB + 2AB = 5i 5 j + 40k + 2(17i j + 19 k) = 5i 5 j + 40k + 34i 2 j + 38k = 39i 7 j + 78k Saadaan siis piste D (39, 7,78). Vastaus a) ( 12, 4, 21) A b)

90 A8 a) Lasketaan vektorien a ja pistetulo. Koska pistetulo a b = 0, niin vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. b) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = ( i + k) ( i + j) = ( i + 0 j + k) ( i + j + 0 k) = 1( 1) = = 1 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Vastaus a) ovat kohtisuorassa b) eivät ole kohtisuorassa

91 A9 Vektorit a ja b ovat yhdensuuntaiset täsmälleen silloin, kun löytyy sellainen nollasta eroava reaaliluku r, että a = rb. Tutkitaan, onko yhtälöllä a = rb, r 0, ratkaisu joillain vakion t arvoilla. a = rb 2 i j = r( ti + 3 j) 2i j = rti + 3rj Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöpari. 2 = rt 1 = 3r Alemmasta yhtälöstä saadaan ratkaisu ylempään yhtälöön ja ratkaistaan t. 1 r =. Sijoitetaan ratkaisu 3 2 = rt rt = 2 1 t = 2 3 t = 6

92 Kun t = 6, vektorit ovat a = 2i j ja b = ti + 3j = 6i + 3j. 1 1 Koska tällöin a = rb = b ja < 0, niin vektorit ovat 3 3 vastakkaissuuntaiset. Vastaus Vektorit ovat yhdensuuntaiset, kun t = 6. Vektorit ovat tällöin vastakkaissuuntaiset.

93 A10 Lausutaan vektorit BD ja PQ vektorien BA ja AD avulla. BD = BA + AD PQ = PA + AQ = BA + AD = ( BA + AD ) Nähdään siis, että PQ = BD. Tulos tarkoittaa, että vektorit BD 3 ja PQ ovat samansuuntaiset ja vektorin BD pituus on kolminkertainen vektorin PQ pituuteen verrattuna. 1 Vastaus BD = BA + AD, PQ = ( BA + AD ). Vektori BD on 3 samansuuntainen ja kolme kertaa niin pitkä kuin vektori PQ.

94 Tekijä Pitkä matematiikka B1 Voiman F suuruus F = 250 N. Lasketaan komponenttien suuruudet kuvan suorakulmaisesta kolmiosta. Fx cos56 = F F = Fcos56 = 250 N cos56 = 139,7... N 140 N x Fy sin56 = F F = Fsin56 = 250 N sin56 = 207,2... N 210 N y Vastaus F 140 N ja F 210 N x y

95 B2 Merkitään annettua suunnikkaan sivuvektoria a = 2i j + 3k ja annettua lävistäjävektoria a + b = 4i + j k, missä b on toinen sivuvektori. Määritetään vektori b. b = a + ( a + b) = (2i j + 3 k) + 4i + j k = 2i + j 3k + 4i + j k = 2i + 2j 4k Suunnikkaan toinen lävistäjävektori on b a eli b a = 2i + 2j 4 k (2i j + 3 k) = 2i + 2j 4k 2i + j 3k = 0i + 3j 7k = 3j 7 k. Lasketaan molempien lävistäjien pituus a + b = ( 1) = = 18 = 3 2 4, b a = 3 + ( 7) = = 58 7,6 Suunnikkaan lyhyemmän lävistäjän pituus on siis 3 2. Vastaus 3 2

96 B3 Merkitään pistettä, johon päädytään kirjaimella B. Piste B saadaan selville määrittämällä sen paikkavektori OB. Selvitetään ensin pisteen A paikkavektori ja vektorin a suuntainen yksikkövektori. Pisteen A ( 7,13,8) paikkavektori on OA = 7i + 13 j + 8k. Vektorin a = 2i j 2k pituus on a = + + = + + = = ( 1) ( 2) Vektorin a suuntainen yksikkövektori on a = a = (2i 2 ) 3 j k = i 3 j 3 k a 3. Määritetään pisteen B paikkavektori. OB = OA + 15 a = 7i + 13 j + 8k + 15 ( i j k) = 7i + 13 j + 8k + 10i 5 j 10k = 3i + 8j 2k Päädytään siis pisteeseen (3,8, 2). Vastaus pisteeseen (3,8, 2)

97 B4 Kolmio on suorakulmainen, jos jokin sen kulmista on suora. Muodostetaan vektorit, jotka määräävät kolmion ABC sivut. AB = (4 ( 1)) i + ( 1 3) j = 5i 4j AC = (1 ( 1)) i + (5 3) j = 2i + 2j BC = (1 4) i + (5 ( 1)) j = 3i + 6j Lasketaan sivuvektorien pistetulot. AB AC = (5i 4 j ) (2i + 2 j ) = = 2 AB BC = (5i 4 j ) ( 3i + 6 j ) = 5 ( 3) 4 6 = 39 AC BC = (2i + 2 j ) ( 3i + 6 j ) = 2 ( 3) + 2 6= 6 Yksikään pistetuloista ei ole nolla, joten kolmion mikään kulma ei ole suora. Siten kolmio ABC ei ole suorakulmainen. Vastaus ei ole

98 B5 Kolmion suurin kulma on pisimmän sivun vastainen kulma. Muodostetaan kolmion sivuja vastaavat vektorit ja lasketaan niiden pituudet. Sivu AB: AB = (3 2) i + (0 ( 3)) j + (1 ( 1)) k = i + 3 j + 2k AB = = 14 3, 7 Sivu AC: AC = ( 1 2) i + (2 ( 3)) j + (3 ( 1)) k = 3i + 5j + 4k AC = ( 3) = 50 = 5 2 7,1 Sivu BC: BC = ( 1 3) i + (2 0) j + (3 1) k = 4i + 2 j + 2k BC = ( 4) = 24 = 2 6 4,9 Kolmion pisin sivu on AC, joten kolmion suurin kulma on B = ( AB, BC ).

99 Lasketaan pistetulo ja vektorien välinen kulma. AB BC = ( i 3j 2 k ) ( 4i + 2j + 2 k ) = 1 ( 4) = 6 AB BC 6 3 cos( AB, BC) = = = AB BC ( AB, BC) = cos ( ) = 109, Kolmion suurin kulma on 109. Vastaus 109

100 B6 Kolme pistettä A, B ja P ovat samalla suoralla, jos esimerkiksi pisteiden väliset vektorit AB ja AP ovat yhdensuuntaiset. Pisteiden A ( 2, 0, 1) ja B (1,8, 3) välinen vektori AB on AB = (1 ( 2)) i + (8 0) j + ( 3 ( 1)) k = 3i+ 8j 2 k. Pisteiden A( 2,0, 1) ja P (7,24, 7) välinen vektori AP on AP = (7 ( 2)) i + (24 0) j + ( 7 ( 1)) k = 9i+ 24 j 6 k. Vektorit AB ja AP ovat yhdensuuntaiset täsmälleen silloin, kun löytyy sellainen nollasta eroava reaaliluku r, että AB = r AP. Tutkitaan, onko yhtälöllä AB = r AP, r 0, ratkaisu. AB = r AP 3i+ 8 j 2 k = r(9i+ 24 j 6 k) 3i + 8 j 2k = 9ri + 24rj 6rk

101 Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöryhmä. 3= 9r 8 = 24r 2 = 6r Ratkaistaan kaikista yhtälöistä r. 3 1 r = = r = = r = = Saatiin ratkaisu r =, joten AB = AP. Vektorit AB ja AP 3 3 ovat siis yhdensuuntaiset ja annetut kolme pistettä A, B ja P ovat samalla suoralla. Vastaus on

102 B7 Muuttujien kertoimista nähdään, että yksi tason x 5y+ 6z 8= 0 normaalivektori on n = i 5j + 6k. Vastaavasti tason 2x+ 4 y+ 3z 17 = 0 yksi normaalivektori on p = 2i + 4j + 3k. Lasketaan normaalivektorien pistetulo. n p = ( i 5 j + 6 k) (2i + 4 j + 3 k) = = = 0 Koska normaalivektorien pistetulo on nolla, vektorit ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa. Siten myös tasot ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa.

103 B8 Suora kulkee pisteen A (5,0,3) kautta ja sen suuntavektori on s = 2i 5j + 6k, joten suoran parametriesitys on x = 5+ 2t y = 5t z = 3 + 6, t missä t on reaaliluku. Taso kulkee pisteen B(2, 1, 0) kautta ja sen suuntavektorit ovat u = 2i + 3k ja v = 3i + 2j 3k, joten tason parametriesitys on x = 2+ 2r 3s y = 1 + 2s z = 3r 3, s missä r ja s ovat reaalilukuja. Suoran ja tason leikkauspisteen ( xyz,, ) koordinaatit toteuttavat sekä tason että suoran parametriesityksen. Muodostetaan yhtälöryhmä ja ratkaistaan se laskimella. Yhtälöryhmän ratkaisu on 4 r =, 3 1 s = ja 3 1 t =. 3

104 Koska yhtälöryhmällä on ratkaisu, suora ja taso leikkaavat toisensa. Lasketaan leikkauspisteen koordinaatit esimerkiksi sijoittamalla arvo suoran parametriesitykseen x = 5 + 2t = = y = 5t = 5 = z = 3 + 6t = = 5 3 Leikkauspiste on 17 5 (,,5). 3 3 Vastaus 17 5 (,,5) 3 3

105 B9 a) Muodostetaan pisteiden A ( 12,1,5) ja B( 9, 4,8) kautta kulkevan suoran suuntavektori. Muodostetaan suoran AB parametriesitys. x= t y = 1 + 3t z = 5 + 3, t missä t on reaaliluku. Muodostetaan pisteiden C ( 8, 1,5) ja D( 11, 5,8) kautta kulkevan suoran suuntavektori. CD = ( 11 ( 8)) i + (5 ( 1)) j + (8 5) k = 3i + 6j + 3k Muodostetaan suoran CD parametriesitys. x= 8 3s y = 1 + 6s z = 5 + 3, s missä s on reaaliluku.

106 Suorien leikkauspisteen koordinaatit toteuttavat molemmat parametriesitykset. Muodostetaan yhtälöryhmä ja ratkaistaan se laskimella t = 8 3s 1+ 3t = 1+ 6s 5+ 3t = 5+ 3s Yhtälöryhmän ratkaisu on 2 s = ja 3 2 t =. 3 Lasketaan leikkauspisteen koordinaatit esimerkiksi sijoittamalla 2 t = suoran AB parametriesitykseen. 3 2 x = t = = y = 1 + 3t = = z = 5 + 3t = = 7 3 Suorien leikkauspiste on ( 10,3,7).

107 b) Merkitään a-kohdassa laskettua suorien leikkauspistettä kirjaimella P. Olkoon Q se tason 5x+ 3y+ z = 1 piste, joka on lähimpänä pistettä P. Tällöin piste Q on pisteen P kautta piirretyn tason normaalisuoran ja tason leikkauspiste. Normaalisuoran suuntavektoriksi voidaan valita tason normaalivektori. Tason yksi normaalivektori on n = 5i + 3j + k. Normaalisuora kulkee pisteen P ( 10,3,7) kautta, joten suoran parametriesitys on x= r y = 3 + 3r z = 7 + r, missä r on reaaliluku. Sijoitetaan lausekkeet tason yhtälöön parametrin r arvo. ja ratkaistaan 5( 10+ 5) r + 3(3 + 3) r + (7 + r) = 1 35r 34 = 1 r = 1

108 Lasketaan leikkauspisteen Q koordinaatit sijoittamalla saatu parametrin arvo r = 1 normaalisuoran parametriesitykseen. x= r = 5 y = 3 + 3r = 6 z = 7 + r = 8 Pisteeksi Q saadaan ( 5,6,8). Pisteen P etäisyys tasosta on pisteiden P ja Q välinen etäisyys. Muodostetaan vektori PQ ja lasketaan sen pituus. PQ = ( 5 ( 10)) i + (6 3) j + (8 7) k = 5i + 3j + k PQ = = 35 Siis suorien AB ja CD leikkauspisteen P etäisyys tasosta on 35. Vastaus a) ( 10,3, 7) b) 35

109 B10 Tutkitaan oheisen kuvan suunnikasta ABCD. Merkitään AQ = s AP ja DQ = tdb, missä s ja t ovat reaalilukuja. Kertoimien s ja t selvittämiseksi tarvitaan vektoriyhtälö, joten esitetään vektori AQ kahdella eri tavalla. Valitaan kantavektoreiksi AB ja AD. AQ = s AP = s( AD + DP) 1 = s( AD + DC) 2 1 = s( AD + AB) 2 1 = s AB + s AD 2 AQ = AD + DQ = AD + tdb = AD + t( DA + AB) = AD + t( AD + AB) = AD t AD + t AB = t AB + (1 t) AD

110 Muodostetaan yhtälö. AQ = AQ 1 s AB + s AD = t AB + (1 t) AD 2 Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöpari. 1 s = t 2 s = 1 t Yhtälöparin ratkaisuksi saadaan (esim. laskimella) 2 s = ja 3 1 t =. 3 Siten 2 : 1. 2 AQ = s AP = AP, joten piste Q jakaa janan AP suhteessa 3 Vastaus suhteessa 2 : 1

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin Peruskäsitteitä 8. CA CB + BA BC AB b a a b DA DB + BA ( BC) + ( AB) b a a b Vastaus: CA a b, DA a b 8. DC DA + AC BA + AC BA BC AC ( BC AC ) + AC AC CB Vastaus:

Lisätiedot

c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d.

c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 20 a) Vektorin a kanssa samansuuntaisia ovat vektorit b ja d. b) Vektorit ovat erisuuntaiset, jos ne eivät ole yhdensuuntaiset (samansuuntaiset tai vastakkaissuuntaiset).

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( ) Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota. MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48 Trigonometriset funktiot 169. Muutetaan asteet radiaaneiksi. 180 astetta on radiaaneina π eli 180 = π rad Tällöin 1 rad. 180 45 1 a) 45 180 4 4 65 1 b) 65 180 6 10 c) 10 180 5 5 d) 5 180 4 40 7 e) 40 180

Lisätiedot

2 Vektorit koordinaatistossa

2 Vektorit koordinaatistossa Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5..06 Vektorit koordinaatistossa Ennakkotehtävät. Esimerkiksi 4i 4i4i i 4i Kaikkien reittien esitysmuoto vektoreiden i a avulla lausuttuna

Lisätiedot

TASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö.

TASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö. TSON YHTÄLÖT VEKTORIT, M4 Jokainen seuraavista määrää avaruuden tason yksikäsitteisesti: - kolme tason pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla, - yksi piste ja pisteen ulkopuolinen suora, - yksi piste

Lisätiedot

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3 Mb8 Koe 4.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2 Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Yleistä vektoreista GeoGebralla

Yleistä vektoreista GeoGebralla Vektoreita GeoGebralla Vektoreilla voi laskea joko komentopohjaisesti esim. CAS-ikkunassa tai piirtämällä piirtoikkunassa. Ensimmäisen tavan etuna on, että laskujen tueksi muodostuu kuva. Tästä on varmasti

Lisätiedot

3 Vektorin kertominen reaaliluvulla

3 Vektorin kertominen reaaliluvulla 3 Vektorin kertominen reaaliluvulla Summalla a + a + a tarkoitetaan lausekkeessa esiintyvän vektorin a kanssa samansuuntaista, mutta pituudeltaan tähän nähden kolminkertaista vektoria. Tätä summaa on tarkoituksenmukaista

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät 11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

169. 170. 171. 172. 173. 174. 5. Geometriset avaruudet. 5.1. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus

169. 170. 171. 172. 173. 174. 5. Geometriset avaruudet. 5.1. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus 5. Geometriset avaruudet 5.. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus 69. Olkoon {b,b 2 } tason E 2 kanta ja olkoon u = 2b + 3b 2, v = 3b + 2b 2, w = b 2b 2. Määritä vektoreiden 2u v + w ja

Lisätiedot

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

b 4i j k ovat yhdensuuntaiset.

b 4i j k ovat yhdensuuntaiset. MAA5. 1 Koe 29.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää! Muista tehdä pisteytysruuduo ensimmäisen onseptin yläreunaan! Perustele vastausesi välivaiheilla! 1. Oloon vetorit a 2i 6 j 3 ja b i 4 j 3 a) Määritä

Lisätiedot

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v. Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause

Lisätiedot

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt 6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran

Lisätiedot

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 5 Paraabeli Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 13..017 ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Jos a > 0, paraabeli aukeaa oikealle. Jos a < 0, paraabeli aukeaa vasemmalle. Jos a = 0, paraabeli

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Trigonometria Ennakkotehtävät. a) Mäessä korkeus kasvaa metriä jokaista vaakasuunnassa edettyä 0 metriä kohden eli jyrkkyys prosentteina on : 0 = 0, = 0 %. b) Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla. Kun

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

Ympyrän yhtälö

Ympyrän yhtälö Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa 1 Aste, 1 (engl. degree) Täsi kierros on 360 (360 astetta). Yksi aste jaetaan 60 kulmaminuuttiin (1 = 60 ) ja ksi kulmaminuutti jaetaan 60 kulmasekuntiin (1 =

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

Vektorin paikalla avaruudessa ei ole merkitystä. Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa kaikki kolme vektoria ovat samoja, ts.

Vektorin paikalla avaruudessa ei ole merkitystä. Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa kaikki kolme vektoria ovat samoja, ts. 49 3 VEKTORIT 3.1 VEKTORIN KÄSITE Vektori on suure, jolla suuruuden lisäksi on myös suunta (esim. kiihtyvyys). Skalaari puolestaan on suure, jolla on vain suuruus (esim. tiheys). Vektori graafisesti: Vektorin

Lisätiedot

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

Suora. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio

Suora. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio Suora Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Suuntavektori Normaalivektori Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 2 / 12 Esimerkki Suuntavektori Normaalivektori Tarkastellaan suoraa y = 2 3 x 1. kulmakerroin

Lisätiedot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14.9.016 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. a) Lattia päällystetään neliöillä. Laatoitukseen syntyvä toistuva kuvio on b) Lattia

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat Harjoitustehtävät, syyskuu 2011. Helpommat Ratkaisuja 1. Ratkaise yhtälö a a + x = x. Ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö reaalilukujen joukossa. Jos yhtälöllä onratkaisux, niin x 0. Jos a =0,yhtälöllä onratkaisux

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

Taso. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio

Taso. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio Taso Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Taso avaruudessa Piste P 0 ja tason normaalivektori n määräävät tason. n=a i+b j+c k P 0 (x 0,y 0,z 0 ) Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 2 / 7 Taso

Lisätiedot

HARJOITUSTEHTÄVIÄ. Millä vektorin c arvoilla voidaan vektoreita a + b, a + c ja b +2 c siirtelemällä muodostaa kolmio?

HARJOITUSTEHTÄVIÄ. Millä vektorin c arvoilla voidaan vektoreita a + b, a + c ja b +2 c siirtelemällä muodostaa kolmio? Pitkäranta: Calculus Fennicus II.2. Tason vektorit Koska ilmeisesti pätee v 1, v 2 W v 1 + v 2 W, v W λ v W λ R, on W itsekin vektoriavaruus. Sen kantaan tarvitaan vain yksi vektori, esim a, joten dim

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 15 Päivitetty 19..6 31 Tapa 1 Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä sijoituskeinoa. x y+ z = x y + 3z = 3x 4y+ z = Ratkaistaan yhtälöstä (1) muuttuja

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2008

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2008 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5..008 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. Ratkaise

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

Vektorit. Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi)

Vektorit. Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi) Vektorit Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi) Sisällys Vektorit Nimeäminen Vektorien kertolasku Vektorien yhteenlasku Suuntasopimus Esimerkki: laivan nopeus Vektorit Vektoreilla

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot