BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016

Transkriptio

1 BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon ja yhdistämällä sitten nämä pisteet. (a) f (t) = cos(t)i + sin(t)j, t [0,π] (b) f (t) = (1 2π t )(cos(t)i + sin(t)j), t [0,2π] 2. Merkitään x = [x 1,x 2,x 3 ] ja mietitään usean muuttujan vektoriarvoista funktiota f : R 3 R 3 joka on määritelty kaavalla f (x) = [x 2,1,x 1 + x 2 3 ]. (a) Mitä f on pisteessä x = [1,3,2]? Eli laske arvo f ([1,3,2]). (Huomautus: Usein tämä merkitään lyhyemmin ilman hakasulkuja f (1, 3, 2)). (b) Olkoon x kuten edellä. Mitä on ( f f )(x)? (c) Jos tiedetään että f (w) = [1,1,5] niin mitä voidaan sanoa argumentista w? (d) Entäpä mitä olis w jos f (w) = [1,1,5] ja f (2w) = [2,1,17]? (a) (b) f ([1,3,2]) = [3,1, ] = [3,1,5] ( f f )(x) = f ( f ([1,3,2])) = f ([3,1,5]) = [1,1, ] = [1,1,28] (c) Merkitään w = [w 1,w 2,w 3 ]. Tällöin f (w) = [1,1,5] = [w 2,1,w 1 + w 2 3] eli w 2 = 1 ja w 1 + w 2 3 = 5. Siis w = [5 w2 3,1,w 3], missä w 3 R. (d) Edellisen lisäksi nyt siis f (2w) = f ([2w 1,2w 2,2w 3 ]) = [2w 2,1,2w 1 + (2w 3 ) 2 ] = [2,1,17], eli 2w 2 = 2 (kuten pitääkin) ja 2w 1 + (2w 3 ) 2 = 17 2(5 w 2 3) + (2w 3 ) 2 = 17 w 3 = ± 7/2 ja w 1 = 5 7/2 = 3/2. Siis w = [3/2,1,± 7/2]. 3. Mietitään tasoa joka määritetään kolmen vektorin avulla siten että jokainen tason piste saadaan paikkavektorina r = r 0 +t 1 v 1 +t 2 v 2 missä t 1,t 2 R. Olkoon nyt r 0 = 0i+1j 1k, v 1 = 0i+0j 1k ja v 2 = 1i + 0j + 1k. (a) Etsi sellainen vektori n joka pituus on yksi ja joka on kohtisuorassa tasoon nähden. (b) Olkoon v = 2i + 1j 3k. Määritä t, t 1 ja t 2 siten että v = r 0 +t 1 v 1 +t 2 v 2 +tn. (c) Jos kertoimet t 1, t 2 ja t ovat kuten edelisessä kohdassa, niin mikä geometrinen merkitys on pisteellä jonka paikkavektori on r = r 0 +t 1 v 1 +t 2 v 2? Entä arvolla tn?

2 (a) Merkitään n = n 1 i + n 2 j + n 3 k. Kohtisuoruusehto voidaan kirjoittaa tason suuntavektorien avulla: { { { n v1 = 0 n3 = 0 n3 = 0. n v 2 = 0. n 1 + n 3 = 0. n 1 = 0. (b) Siis n = n 2 i. Koska halutaan että n on yksikkövektori, täytyy olla n 2 = ±1. Valitaan n 2 = 1, jolloin n = j. v = r 0 +t 1 v 1 +t 2 v 2 +tn 2i + 1j 3k = +1j 1k t 1 k +t 2 (1i + 1k) +tj 2 = t 2 1 = 1 +t 3 = 1 t 1 +t 2 t 2 = 2 t = 0 t 1 = 4 (c) Paikkavektori r osoittaa origosta tasolle pistettä (2, 1, -3) lähinnä olevaan pisteeseen. Arvo tn = 0 on pisteen (2, 1, -3) etäisyys tasolta, eli pistehän on itseasiassa tasolla! 4. Jatketaan edellisen tehtävänannon mukaisen tilanteen tarkastelua. (a) Missä pisteessä origon kautta kulkeva suora leikkaa tason kun suoran suuntavektori on 2i + 1j 3k (b) Vektori u = 0i + 0j + 1k on tason suuntainen, osoita tämä. (c) Jos nyt mietitään suoraa jonka kulkee pisteen (10, 0,0) kautta ja jonka suuntavektori on u, niin kuvaile miten tämän suoran ja tason välisen etäisyyden voisi laskea. (lukuarvonkaan laskenta ei ole mitenkään mahdotonta, sitä nyt ei vain vaadita). (a) Olkoon r nyt sen pisteen paikkavektori missä suora ja taso leikkaavat ja v 3 = 2i + 1j 3k. Täytyy löytää sellaiset t 1, t 2 ja t 3 että Saamme yhtälöryhmän r = r 0 +t 1 v 1 +t 2 v 2 = t 3 v 3. 1j 1k t 1 k +t 2 (1i + 1k) = t 3 (2i + 1j 3k) t 2 = 2t 3 1 = t 3 1 t 1 +t 2 = 3t 3 t 2 = 2 t 3 = 1 t 1 = = 4 Etsityn pisteen paikkavektori on siis r = 1v 3, eli piste on (2,1,-3). Tämän pitäisi olla tietysti itsestään selvää jos muistaa kohdan 3c tuloksen.

3 (b) Tämä on itsestään selvää kun huomaa että u = v 1. Yleisesti ratkaisu menisi niin että osoitetaan että on olemassa t 1 ja t 2 siten että u = t 1 v 1 +t 2 v 2, eli t 1 k +t 2 (1i + 1k) = 1k t 2 = 0 0 = 0 t 1 +t 2 = 1 { t2 = 0 t 1 = 1 (c) Voidaan ottaa mikä tahansa piste suoralta (ne kaikki ovat yhtä kaukana tasosta), esim. (10,0,0) ja tämän jälkeen toimittaisiin kuten tehtävässä, korvattaisiin vain piste (2, 1, -3) pisteellä (10, 0, 0) ja laskettaisiin t. 5. Mikä on pistettä (2,0,0) lähin piste suoralta joka kulkee pisteen (0, 1,0) kautta ja jonka suuntavektori on 1i + 0j + 2k. Olkoon suoran suuntavektori v = i+2k, pisteen (0, 1,0) paikkavektori r 0 = j, pisteen (2,0,0) paikkavektori w = 2i ja kysytyn pisteen paikkavektori r = r 1 i + r 2 j + r 3 k. Ensinäkin on oltava v r w (i + 2k) (r 1 i + r 2 j + r 3 k 2i) = 0 r r 3 = 0 r 1 = 2 2r 3. Tämän lisäksi lähimmälle pisteelle täytyy päteä että on olemassa t siten että r = r 0 +tv (2 2r 3 )i + r 2 j + r 3 k = j +t(i + 2k) 2 2r 3 = t r 2 = 1 r 3 = 2t r 3 = 4/5 r 2 = 1 t = 2/5 Kysytyn pisteen paikkavektori on siis r = 2 5 i j k. 6. (a) Tarkastellaan vielä tehtävän 3 tasoa. Esitä taso muodossa A(x x 0 )+B(y y 0 )+C(z z 0 ) = 0 (b) Määritä tasojen x + y + z = 0 ja x + 2y + 3z = 5 välinen kulma. (a) Muistetaan että tason normaalivektori oli n = j ja eräs piste tasolta on (0, 1, -1). Voimme siis valita A = 0, B = 1, C = 0 ja (x 0,y 0,z 0 ) = (0,1, 1). Tason yhtälö on siis y 1 = 0. (1) Huomaa että x ja z eivät esiinny tason yhtälössä, joka tarkoittaa että taso xz-tason suuntainen.

4 (b) Pikkuisen kuvaa hahmottelemalla on selvä että jos θ on tasojen normaalivektoreiden välinen kulma niin tasojen välinen kulmalle α pätee että α = θ jos θ π/2 ja α = π θ jos θ > π/2. Lasketaan siis ensin θ. Normaalivektorit ovat n 1 = i + j + k ja n 2 = 1i + 2j + 3k. Siis θ = cos 1 ( 6 ) < π/2. cos(θ) = n 1 n 2 n 1 n 2 = = Erästä kappaletta työnnettäessä optimaalinen työntösuunta on vektorin v = i + j + k suuntaan. Oletetaan että jos kappaleeseen kohdistetaan voima F niin ainoastaan v:n suuntainen komponentti voimasta tekee (tuottavaa) työtä. Kuinka suuri osuus voimasta F tekee työtä jos (a) F = 4i + 5j + 5k? (b) F = 4i 5j 5k? Ohje: tehtävä ratkeaa helposti vektoreiden välisen kulman määräävän yhtälön ja kosinin ja suorakulmaisen kolmion yhteyden avulla. 8. (a) Hahmottele funktion f (x,y) = 4 x 2 y 2 tasa-arvokäyriä (joita kutsutaan joskus myös korkeuskäyriksi tai tasokäyriksi). (b) Määritä D( f ) ja R ( f ). (c) Hahmottele f :n kuvaaja.

5 Vastauksia: Teht.#1: Teht.#2: (a) [3, 1, 5] (b) [1, 1, 28] (c) [5 w 2 3,1,w 3] missä w 3 R (d) [3/2,1,± 7/2] Teht.#3: (a) n = j (b) t 1 = 4,t 2 = 2,t = 0 Teht.#4: (a) (2, 1, -3) Teht.#5: ( 2 5, 1, 4 5 ) Teht.#6: (a) y 1 = 0 (ja x,z R) (b) cos 1 ( 6 ) Teht.#7: (a) % (b) 0% Teht.#8: