Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4)."

Transkriptio

1 Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4)

2 213 Merkitään pistettä (5, 1, 2) kirjaimella B. Suoran suuntavektoriksi voidaan valita vektori OB, jonka lauseke on OB = 5i j 2k. Suoran vektoriyhtälöksi saadaan OP = tob = t(5i j 2 k ), missä t on reaaliluku. Vastaus OP = t(5i j 2 k ), missä t on reaaliluku.

3 214 a) Muodostetaan vektorin OA lauseke. OA= 6i j + 0k = 6i j Suoran vektoriyhtälöksi saadaan OP = OA + tv = 6 i j + t( 2i + j + 3 k ), missä t on reaaliluku. b) Suoralla oleva piste saadaan määritettyä, kun suoran vektoriyhtälössä luvulle t valitaan jokin arvo. Voidaan valita esimerkiksi t = 1 ja t = 2. Kun t = 1, OP = 6i j + 1( 2i + j + 3 k ) = 6i j 2i + j + 3k = 4i + 3 k. Saadaan piste (4,0,3).

4 Kun t = 2, OP = 6i j + 2 ( 2i + j + 3 k ) = 6i j 4i + 2j + 6k = 2i + j + 6 k. Saadaan piste (2,1, 6). Vastaus a) OP = 6 i j + t( 2i + j + 3 k ), missä t on reaaliluku. b) esimerkiksi (4,0,3) ja (2,1, 6)

5 215 a) Suoran suuntavektoriksi v voidaan valita vektori AB. Muodostetaan vektorin AB lauseke. AB = (4 1) i + ( 11 ( 7)) j + (14 9) k = 3i 4j + 5 k ( = v) Suoran parametriesitys on x= x0 + vt x y = y0 + vt y z = z0 + vt z, missä nyt x 0 = 1, y 0 = 7 ja z 0 = 9 sekä v = 3, v = 4 ja v z = 5. Saadaan siis x = 1+ 3t y = 7 4t z = 9 + 5, t missä t on reaaliluku. x y

6 b) Sijoitetaan pisteen P( 5, 0, 1) koordinaatit x = 5, y = 0 ja z = 1 yhtälöryhmään ja ratkaistaan jokaisesta yhtälöstä t. 5 = 1+ 3t 0= 7 4t 1 = 9 + 5t t = 2 7 t = 4 t = 2 Koska yhtälöryhmällä ei ole yksikäsitteistä ratkaisua, piste P( 5, 0, 1) ei ole suoralla. Sijoitetaan sitten pisteen Q(31, 47,59) koordinaatit x = 31, y = 47 ja z = 59 yhtälöryhmään ja ratkaistaan jokaisesta yhtälöstä t. 31 = 1+ 3t 47 = 7 4t 59 = 9 + 5t t = 10 t = 10 t = 10 Koska yhtälöryhmällä on yksikäsitteinen ratkaisu, piste Q(31, 47,59) on suoralla. x = 1+ 3t Vastaus a) y = 7 4, t missä t on reaaliluku z = 9 + 5t b) piste P ei ole suoralla, piste Q on

7 216 Määritettään ensin suoran parametriesitys. Esitys on muotoa x= x0 + vt x y = y0 + vt y z = z0 + vt z, missä nyt x 0 = 6, y 0 = 0 ja z 0 = 8 sekä v x = 1, v y = 3 ja v = 4. Saadaan siis z x = 6 + t y = 3, t z = 8 4t missä t on reaaliluku. Suoran ja yz-tason leikkauspisteen x-koordinaatti on nolla, joten leikkauspiste on muotoa (0, yz., ) Ratkaistaan parametri t. x = 6 + t 0= 6+ t t = 6 Lasketaan leikkauspisteen y- ja z-koordinaatit. y = 3t = 3 ( 6) = 18 z = 8 4t = 8 4 ( 6) = 32 Leikkauspiste on (0, 18,32). Vastaus (0, 18,32)

8 217 Suoran suuntavektoriksi v voidaan valita vektori AB. Muodostetaan vektorin AB lauseke. AB = (5 ( 7)) i + ( 8 13) j + (9 ( 9)) k = 12i 21 j + 18 k ( = v) Suoran parametriesitys on x= x0 + vt x y = y0 + vt y z = z0 + vt z, missä nyt x 0 = 7, y 0 = 13 ja z 0 = 9 sekä v x = 12, v y = 21 ja v z = 18. Saadaan siis x = t y = 13 21t z = t, missä t on reaaliluku.

9 Sijoitetaan pisteen P(1, 1, 3) koordinaatit x = 1, y = 1 ja z = 3 yhtälöryhmään ja ratkaistaan jokaisesta yhtälöstä t. 1 = t 1 = 13 21t 3 = t t = t = t = Koska yhtälöryhmällä on yksikäsitteinen ratkaisu, piste P(1, 1, 3) on suoralla. Vastaus on suoralla

10 218 Pisteen A(2, 1, 0) kautta kulkevan suoran suuntavektori on u = i + 7j + 3k, joten suoran parametriesitys on x = 2 + t y = 1 + 7t z = 3, t missä t on reaaliluku. Pisteen B (6,12,11) kautta kulkevan suoran suuntavektori on v = 2i j + 5k, joten suoran parametriesitys on x = 6+ 2s y = 12 s z = s, missä s on reaaliluku. Suoran leikkauspisteen ( xyz,, ) koordinaatit toteuttavat molemmat parametriesitykset. Muodostetaan yhtälöryhmä ja ratkaistaan se laskimella. 2+ t = 6+ 2s 1 + 7t = 12 s 3t = 11+ 5s Yhtälöryhmän ratkaisu on t = 2 ja s = 1.

11 Lasketaan leikkauspisteen koordinaatit esimerkiksi sijoittamalla t = 2 pisteen A kautta kulkevan suoran parametriesitykseen. x = 2+ t = 2+ 2= 4 y = 1 + 7t = = 13 z = 3t = 6 Leikkauspiste on (4,13, 6). Vastaus (4,13, 6)

12 219 Muodostetaan pisteiden A(7, 5, 4) ja B(9, 7, 2) kautta kulkevan suoran suuntavektori. AB = (9 7) i + ( 7 ( 5)) j + ( 2 4) k = 2i 2j 6k Muodostetaan suoran AB parametriesitys. x = 7+ 2t y = 5 2t z = 4 6, t missä t on reaaliluku. Muodostetaan pisteiden C (0,0,15) ja D(6, 3,12) kautta kulkevan suoran suuntavektori. CD = (6 0) i + ( 3 0) j + (12 15) k = 6i 3j 3k Muodostetaan suoran CD parametriesitys. x = 6s y = 3s z = 15 3 s, missä s on reaaliluku.

13 Jos suorilla on leikkauspiste ( xyz,,, ) niin sen koordinaatit toteuttavat molemmat parametriesitykset. Muodostetaan yhtälöryhmä ja ratkaistaan se laskimella. 7+ 2t = 6s 5 2t = 3s 4 6t = 15 3s Yhtälöryhmän ratkaisu on 3 t = ja 2 2 s =. 3 Koska yhtälöryhmällä on ratkaisu, suorat leikkaavat toisensa. Lasketaan leikkauspisteen koordinaatit esimerkiksi sijoittamalla 2 s = suoran CD parametriesitykseen. 3 2 x = 6s = 6 = y = 3s = 3 = 2 3 z = 15 3s = 15 2 = 13 Leikkauspiste on (4, 2,13).

14 Tehtävän tarkistus piirtämällä geometriaohjelmalla: Vastaus Suorat leikkaavat pisteessä (4, 2,13).

15 220 Lasketaan suuntavektorien pituudet ja pistetulo u = 1 + ( 1) + 2 = v = ( 1) = 14 u v = ( i j + 2 k) (3i + 2 j k) = ( 1) = 1 Lasketaan suuntavektorien välisen kulman suuruus. u v cos( uv, ) = = u v uv 1 = = (, ) cos ( ) 96, Koska saatu suuntavektorien välinen kulma on tylppä, kysytty suorien välinen kulma on sen vieruskulma = 84. Vastaus 84

16 221 Määritetään suorien suuntavektorit. AB = (3 ( 5)) i + (1 1) j + (4 10) k = 8i + 0j 6k = 8i 6k CD = (3 0) i + (1 ( 3)) j + (4 4) k = 3i + 4j + 0k = 3i + 4j Lasketaan suuntavektorien pituudet ja pistetulo. 2 2 AB = 8 + ( 6) = 100 = CD = = 25 = 5 AB CD = (8i + 0j 6 k) (3i + 4j + 0 k) = = 24 Lasketaan suuntavektorien välisen kulman suuruus. AB CD cos( AB, CD) = = = AB CD = = 25 1 ( AB, CD) cos ( ) 61, Koska saatu suuntavektorien välinen kulma on terävä, kysytty suorien välinen kulma on myös 61. Vastaus 61

17 222 Suorat l ja m ovat sama suora, jos ne kulkevat saman pisteen kautta ja jos niillä on yhdensuuntaiset suuntavektorit. Osoitetaan ensin, että suorat kulkevat saman pisteen kautta. Osoitetaan esimerkiksi, että suora l kulkee suoralla m sijaitsevan pisteen B( 21,7,14) kautta. Suoran l suuntavektoriksi voidaan valita vektori OA, jonka lauseke on OA = 15i 5 j 10k. Suora kulkee origon kautta, joten sen parametriesitys on x = 15t y = 5t z = 10 t, missä t on reaaliluku. Tutkitaan, sijaitseeko piste B( 21,7,14) suoralla l. Sijoitetaan pisteen B( 21,7,14) koordinaatit x = 21, y = 7 ja z = 14 yhtälöryhmään ja ratkaistaan jokaisesta yhtälöstä t. 21 = 15t 7 = 5t 14 = 10t t = t = t =

18 Koska yhtälöryhmällä on yksikäsitteinen ratkaisu, piste B( 21,7,14) on suoralla l. Siten molemmat suora kulkevat saman pisteen kautta. Osoitetaan sitten, että suorien suuntavektorit ovat yhdensuuntaiset. Suoran m suuntavektori on v = 9i + 3j + 6k. Edellä todettiin, että suoran l suuntavektori on OA = 15i 5 j 10k. Vektorit v ja OA ovat yhdensuuntaiset täsmälleen silloin, kun löytyy sellainen nollasta eroava reaaliluku r, että v = roa. Tutkitaan, onko yhtälöllä v = roa, r 0, ratkaisu. v = roa 9i + 3 j + 6 k = r(15i 5 j 10 k) 9i + 3 j + 6k = 15ri 5rj 10rk Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöryhmä. 9 = 15r 3= 5r 6 = 10r

19 Ratkaistaan kaikista yhtälöistä r. 3 r = 5 3 r = 5 3 r = Saatiin yksikäsitteinen ratkaisu r =, joten v = OA. Siten 5 5 molempien suorien l ja m suuntavektorit ovat yhdensuuntaiset. On osoitettu, että molemmat suorat kulkevat saman pisteen kautta ja suorien suuntavektorit ovat yhdensuuntaiset. Suorat ovat siten sama suora.

20 223 a) Normaalivektori n on kohtisuorassa suoraa vastaan. Kuvan perusteella näyttää siltä, että suoran suuntavektoriksi voidaan valita esimerkiksi vektori v = 2i + 3j. Vahvistetaan havainto laskemalla vektorien n = 3i + 2j ja v pistetulo. n v = ( 3i + 2 j) (2i + 3 j) = = 0 Koska pistetulo n v = 0, vektorit n ja v ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa, joten vektori v = 2i + 3j käy suoran suuntavektoriksi. Suora kulkee pisteen (6, 1) kautta ja sen suuntavektori on v = 2i + 3j, joten suoran parametriesitys on x = 6+ 2t y = 1 + 3, t missä t on reaaliluku.

21 b) Suoran ja x-akselin leikkauspisteen y-koordinaatti on nolla, joten leikkauspiste on muotoa ( x,0). Ratkaistaan parametri t. y = 1+ 3t 0= 1+ 3t t = 1 3 Lasketaan leikkauspisteen x-koordinaatti x = 6+ 2t = 6+ = 3 3 Suora leikkaa x-akselin pisteessä 20 (,0). 3 Suoran ja y-akselin leikkauspisteen x-koordinaatti on nolla, joten leikkauspiste on muotoa (0, y ). Ratkaistaan parametri t. x = 6+ 2t 0= 6+ 2t t = 3 Lasketaan leikkauspisteen y-koordinaatti. y = 1+ 3t = 1+ 3 ( 3) = 10 Suora leikkaa y-akselin pisteessä (0, 10). x = 6+ 2t Vastaus a) missä t on reaaliluku y = 1 + 3, t 20 b) pisteissä (,0) ja (0, 10) 3

22 224 a) Sijoitetaan koordinaatistoon pisteet A (6,0,8) ja B (3,5, 6) ja piirretään niiden kautta kulkeva suora. Lisätään suoralle AB kolmas piste (kuvassa C), jota liikutellaan suoralla ja jonka koordinaattien arvoja luetaan. Suoran ja yz-tason leikkauspisteessä x-koordinaatti on nolla. Liikutetaan piste C sellaiseen kohtaan, jossa sen x-koordinaatti on nolla. Piste on (0,10,4). b) Suoran ja xy-tason leikkauspisteessä z-koordinaatti on nolla. Liikutetaan piste C sellaiseen kohtaan, jossa sen z-koordinaatti on nolla. Piste on ( 6,20,0). Vastaus a) (0,10,4) b) ( 6,20,0)

23 225 a) Muodostetaan vektorin OA lauseke. OA= 3i + 8j + 0k = 3i + 8j Lentosuoran vektoriyhtälöksi saadaan OP = OA + tv = 3i + 8 j + t( 2i 5 j + 39 k ), missä t on reaaliluku. Fysikaalisesti tulkittuna luku t on aika sekunneissa, joka on kulunut raketin laukaisusta. b) Raketti räjähtää, kun t = 3. Määritetään kysytty piste lentosuoran vektoriyhtälön avulla. OP = 3i + 8 j + 3 ( 2i 5 j + 39 k ) = 3i + 8 j 6i 15 j + 117k = 3i 7 j + 117k Raketti räjähtää pisteessä ( 3, 7,117). Raketti on tuolloin 117 metrin korkeudella (z-koordinaatin arvo). Vastaus a) OP = 3i + 8 j + t( 2i 5 j + 39 k ), missä t on reaaliluku. b) 117 metrin korkeudella pisteessä ( 3, 7,117)

24 226 a) Suoran parametriesitys on x= x0 + ut x y = y0 + ut y z = z0 + ut z, missä nyt x 0 = 2, y 0 = 1 ja z 0 = 0 sekä u = 1, u = 7 ja u z = 3. Saadaan siis x y x = 2 + t y = 1 + 7t z = 3, t missä t on reaaliluku. b) Suoran ja xz-tason leikkauspisteen y-koordinaatti on nolla, joten leikkauspiste on muotoa ( x,0, z ). Ratkaistaan parametri t. y = 1+ 7t 0= 1+ 7t 7t = 1 1 t = 7

25 Lasketaan leikkauspisteen x- ja z-koordinaatit x = 2+ t = 2+ = z = 3t = 7 Leikkauspiste on 15 3 (,0, ) 7 7. x = 2 + t Vastaus a) b) y = 1 + 7, t z = 3t 15 3 (,0, ) 7 7 missä t on reaaliluku

26 227 Suoran suuntavektoriksi v voidaan valita vektori AB. Muodostetaan vektorin AB lauseke. AB = (0 3) i + (4 3) j + (5 0) k = 3i + j + 5 k ( = v) Suoran parametriesitys on x= x0 + vt x y = y0 + vt y z = z0 + vt z, missä nyt x 0 = 3, y 0 = 3 ja z 0 = 0 sekä v x = 3, v y = 1 ja v z = 5. Saadaan siis x = 3 3t y = 3 + t z = 5, t missä t on reaaliluku.

27 Sijoitetaan pisteen C(9,1, 9) koordinaatit x = 9, y = 1 ja z = 9 yhtälöryhmään ja ratkaistaan jokaisesta yhtälöstä t. 9= 3 3t 1= 3 + t 9 = 5t t = 2 t = 2 9 t = 5 Koska yhtälöryhmällä ei ole yksikäsitteistä ratkaisua, piste C(9,1, 9) ei ole suoralla. Vastaus ei ole suoralla

28 228 Suorat ovat yhdensuuntaiset, jos niiden suuntavektorit ovat yhdensuuntaiset. Suoran OP = 2 i k + t( i 3j + 2 k ) lausekkeesta voidaan suoraan lukea, että suoran suuntavektori on u = i 3j + 2k. x = 5 2s Vastaavasti suoran y = 6s suuntavektorin komponentit ovat z = 1 4s luettavissa parametrin s kertoimista, joten suuntavektoriksi saadaan v = 2i + 6j 4k. Vektorit u ja v ovat yhdensuuntaiset täsmälleen silloin, kun löytyy sellainen nollasta eroava reaaliluku r, että u = rv. Tutkitaan, onko yhtälöllä u = rv, r 0, ratkaisu. Voitaisiin muodostaa yhtälö ja ratkaista saatava yhtälöryhmä, mutta voidaan 1 myös huomata suoraan, että i 3j + 2 k = ( 2i + 6j 4 k) eli 2 1 u = v. Siten suorien suuntavektorit ovat yhdensuuntaiset, joten 2 myös suorat ovat yhdensuuntaiset.

29 229 Muodostetaan pisteiden A(2, 1,8) ja B(5, 1, 7) kautta kulkevan suoran suuntavektori. AB = (5 2) i + ( 1 ( 1)) j + ( 7 8) k = 3i + 0 j 15k = 3i 15k Muodostetaan suoran AB parametriesitys. x = 2 + 3t y = 1 z = 8 15 t, missä t on reaaliluku. Muodostetaan pisteiden C(0, 13, 3) ja D(2, 5,3) kautta kulkevan suoran suuntavektori. CD = (2 0) i + ( 5 ( 13)) j + (3 3) k = 2i + 8j + 0k = 2i + 8j Muodostetaan suoran CD parametriesitys. x = 2s y = s z = 3, missä s on reaaliluku.

30 Suoran leikkauspisteen ( xyz,, ) koordinaatit toteuttavat molemmat parametriesitykset. Muodostetaan yhtälöryhmä ja ratkaistaan se laskimella. 2+ 3t = 2s 1 = s 8 15t = 3 Yhtälöryhmän ratkaisu on 1 t = ja 3 3 s =. 2 Lasketaan leikkauspisteen koordinaatit esimerkiksi sijoittamalla 1 t = suoran AB parametriesitykseen. 3 x = 2+ 3t = 2+ 1= 3 y = 1 z = 8 15t = 8 5 = 3 Leikkauspiste on (3, 1, 3). Vastaus (3, 1, 3)

31 230 Pisteestä A( 1, 0, 4) lähtevän lasersäteen suuntavektori on u = i + 3 j k, joten sädettä vastaavan suoran parametriesitys on x = 1+ t y = z = 3, t 4 t missä t on reaaliluku. Pisteestä B(3, 2, 6) lähtevän lasersäteen suuntavektori on v = 2i j + 4k, joten sädettä vastaavan suoran parametriesitys on x = 3 2s y = 2 s, z = 6 + 4s missä s on reaaliluku. Jos suorilla on leikkauspiste ( xyz,,, ) niin sen koordinaatit toteuttavat molemmat parametriesitykset. Muodostetaan yhtälöryhmä ja ratkaistaan se laskimella. 1+ t = 3 2s 3t = 2 s 4 t = 6+ 4s Osoittautuu, että yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. Siten lasersäteitä vastaavat suorat eivät leikkaa toisiaan. Vastaus eivät leikkaa

32 231 Pisteen P paikkavektori on suoran vektoriyhtälö, joten pisteet P piirtävät suoran, kun parametri t käy läpi kaikki reaaliluvut. Suoran OP = (2i 4 j + k ) + t( i + 10 j + 3 k ) parametriesitys on x = 2 t y = t z = 1 + 3, t missä t on reaaliluku. Muodostetaan pisteiden A( 2, 8,2) ja B (4,12,4) kautta kulkevan suoran suuntavektori. AB = (4 ( 2)) i + (12 ( 8)) j + (4 2) k = 6i + 20 j + 2k Muodostetaan suoran AB parametriesitys. x = 2 + 6s y = s z = 2 + 2, s missä s on reaaliluku.

33 Piste P on suoralla AB, jos suorat leikkaavat toisensa. Tutkitaan, onko suorilla jollakin parametrin t arvolla leikkauspiste ( xyz,,, ) jolloin pisteen koordinaatit toteuttavat molemmat parametriesitykset. Muodostetaan yhtälöryhmä ja ratkaistaan se laskimella. 2 t = 2+ 6s t = s 1+ 3t = 2+ 2s Yhtälöryhmän ratkaisu on 7 t = ja s =. 20 Siten suorat leikkaavat toisensa (ja piste P on suoralla AB), kun 7 t =. 10 Vastaus 7 t = 10

34 232 Määritetään suorien suuntavektorit. AB = ( 3 ( 2)) i + (0 ( 1)) j + (4 5) k = i + j k CD = (1 ( 3)) i + ( 4 0) j + (8 5) k = 4i 4j + 3k Lasketaan suuntavektorien pituudet ja pistetulo AB = ( 1) ( 1) = CD = 4 + ( 4) + 3 = 41 AB CD = ( i + j k ) (4i 4 j + 3 k ) = 14+ 1( 4) 13 = 11 Lasketaan suuntavektorien välisen kulman suuruus. AB CD cos( AB, CD) = = AB CD AB CD 11 = = (, ) cos ( ) 172, Koska saatu suuntavektorien välinen kulma on tylppä, kysytty suorien välinen kulma on sen vieruskulma = 7. Vastaus 7

35 233 Suora AB leikkaa suoran CD kohtisuorasti, jos suorat leikkaavat toisensa ja jos niiden suuntavektorit ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa. Osoitetaan ensin, että suorien suuntavektorit ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa. Määritetään suorien suuntavektorit. AB = (5 3) i + (4 5) j + (1 ( 2)) k = 2i j + 3k CD = (9 9) i + (5 ( 1)) j + (8 6) k = 0i + 6j + 2k = 6j + 2k Lasketaan suuntavektorien pistetulo. AB CD = (2i j + 3 k ) (0i + 6 j + 2 k ) = = 0 Koska pistetulo AB CD = 0, suuntavektorit ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa.

36 Osoitetaan sitten, että suorat leikkaavat toisensa. Pisteiden A(3,5, 2) ja B (5, 4,1) kautta kulkevan suoran parametriesitys on (suuntavektori AB laskettiin jo edellä) x = 3+ 2t y 5 t z = 2 + 3, t missä t on reaaliluku. Pisteiden C(9, 1, 6) ja D (9, 5,8) kautta kulkevan suoran parametriesitys on (suuntavektori CD laskettiin jo edellä) x = 9 y = 1 + 6s z = 6 + 2, s missä s on reaaliluku. Jos suorilla on leikkauspiste ( xyz,,, ) niin sen koordinaatit toteuttavat molemmat parametriesitykset. Muodostetaan yhtälöryhmä ja ratkaistaan se laskimella. 3+ 2t = 9 5 t = 1+ 6s 2 + 3t = 6 + 2s Yhtälöryhmän ratkaisu on t = 3 ja 1 s =. 2

37 Koska yhtälöryhmällä on ratkaisu, suorat leikkaavat toisensa. On osoitettu, että suorien suuntavektorit ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa ja suorat leikkaavat toisensa. Siten suora AB leikkaa suoran CD kohtisuorasti.

38 234 Pisteestä A( 2,12,0) lähtevän lentosuoran suuntavektori on v = 2i 5j + k, joten lentosuoran parametriesitys on x = 2 2t y = 12 5t z = t, missä t on reaaliluku. Lentokone on x-akselin yläpuolella silloin, kun lentosuora leikkaa xz-tason. Suoran ja xz-tason leikkauspisteen y-koordinaatti on nolla, joten leikkauspiste on muotoa ( x,0, z ). Ratkaistaan parametri t. y = 12 5t 0 = 12 5t t = 12 5 Lasketaan leikkauspisteen x- ja z-koordinaatit x = 2 2t = 2 = = 6, z = t = = 2,4 5 Siten lentokone ylittää rautatien pisteessä ( 6,8; 0; 2,4). Lentokone on tällöin 2,4 kilometrin korkeudella (z-koordinaatin arvo). Vastaus 2,4 km korkeudella pisteessä ( 6,8; 0; 2,4)

39 235 a) Suoran suuntavektoriksi voidaan valita vektori AP. Muodostetaan vektorin AP lauseke. AP = ( x 1) i + ( y ( 1)) j = ( x 1) i + ( y+ 1) j Normaalivektori n = 3i + 5j on kohtisuorassa suoraa vastaan. Siten vektorien n ja AP pistetulon täytyy olla nolla. Ehdosta saadaan yhtälö pisteen Pxy (, ) koordinaateille x ja y. n AP = 0 ( 3i + 5 j) (( x 1) i + ( y+ 1) j) = 0 3 ( x 1) + 5 ( y+ 1) = 0 3x+ 3+ 5y+ 5= 0 3x+ 5y+ 8= 0

40 b) Suoran ja x-akselin leikkauspisteen y-koordinaatti on nolla. Ratkaistaan leikkauspisteen x-koordinaatti a-kohdassa johdetun yhtälön avulla. 3x+ 5y+ 8= 0 3x = 0 x = 8 3 Suora leikkaa x-akselin pisteessä 8 (,0). 3 Suoran ja y-akselin leikkauspisteen x-koordinaatti on nolla. Ratkaistaan leikkauspisteen y-koordinaatti a-kohdassa johdetun yhtälön avulla. 3x+ 5y+ 8= y + 8= 0 8 y = 5 Suora leikkaa y-akselin pisteessä 8 (0, ). 5 Vastaus a) 3x+ 5y+ 8= b) (,0) ja (0, ) 3 5

41 236 On määritettävä jokin vektori c = xi + yj + zk, joka on kohtisuorassa vektoreita a = 3i j + k ja b = i + 5 j + k vastaan. Näin on täsmälleen silloin, kun molemmat pistetulot a c ja b c ovat nollia. Muodostetaan ja ratkaistaan syntyvät kaksi yhtälöä eli yhtälöpari. a c = 0 (3 i j + k ) ( xi + yj + zk ) = 0 3x y+ z = 0 b c = 0 ( i + 5 j + k ) ( xi + yj + zk ) = 0 Päädyttiin siis yhtälöpariin 3 x y+ z = 0 x+ 5y+ z = 0. x+ 5y+ z = 0

42 Poistetaan saadusta yhtälöparista muuttuja z ja ratkaistaan muuttuja y muuttujan x avulla. 3 x y+ z = 0 ( 1) x+ 5y+ z = 0 3 x y z = x+ 5y+ z = 0 2x+ 6 y = 0 1 y = x 3 1 Sijoitetaan y = x esimerkiksi yhtälöparin ylempään yhtälöön ja 3 ratkaistaan muuttuja z muuttujan x avulla. 3x y+ z = 0 1 3x x+ z = z = x On siis saatu y = x ja z = x. Jos valitaan esimerkiksi 3 3 x = 3, saadaan y = 1 ja z = 8, joten vektoriksi c saadaan c = xi + yj + zk = 3i j + 8k. Siis vihreä lasersäde lähetetään suuntaan 3i j + 8k. Vastaus suuntaan 3i j + 8k

43 HUOM 1. Kannattaa vielä tarkistaa suoralla laskulla, että yhtälöt a c = 0 ja b c = 0 toteutuvat, kun c = 3i j + 8k. HUOM 2. Jos muuttujan x arvoksi olisi valittu positiivinen luku, muuttuja z olisi ollut negatiivinen. Tällöin vektorin c = xi + yj + zk z-akselin suuntainen komponentti osoittaisi alaspäin eli vihreä lasersäde ammuttaisiin kohti maata, mikä tuskin on järkevää. Siksi muuttujan x arvoksi on valittava negatiivinen luku.

44 237 Pisteen A (20,0,8) kautta kulkevan suoran suuntavektori on u = 4i + 3j + 2k, joten suoran parametriesitys on x = 20 4t y 3t z = 8 + 2, t missä t on reaaliluku. Pisteen B( 4,32,0) kautta kulkevan suoran suuntavektori on v = 6i + j + 7k, joten suoran parametriesitys on x = 4 6s y = 32 + s z = 7, s missä s on reaaliluku. Tutkitaan ensin, leikkaavatko suorat (lasersäteet) toisensa.

45 Jos suorilla on leikkauspiste ( xyz,,, ) niin sen koordinaatit toteuttavat molemmat parametriesitykset. Muodostetaan yhtälöryhmä ja ratkaistaan se laskimella. 20 4t = 4 6s 3t = 32 + s 8+ 2t = 7s Osoittautuu, että yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua, joten suorat eivät leikkaa toisiaan.

46 Määritetään sitten suorien (lasersäteiden) risteämiskohta, kun säteitä katsotaan alhaalta. Risteämiskohdassa suorien x- ja y-koordinaatit ovat yhtä suuret, joten kyseisen kohdan ( xy, ) koordinaatit toteuttavat molemmat parametriesitykset. Muodostetaan yhtälöpari (edellisen yhtälöryhmän ensimmäinen ja toinen yhtälö) ja ratkaistaan se laskimella. 20 4t = 4 6s 3t = 32 + s Yhtälöparin ratkaisu on t = 12 ja s = 4. Selvitetään lopuksi, kumpi risteävistä suorista (lasersäteistä) on ylempänä. Lasketaan suorien z-koordinaatti sijoittamalla t = 12 pisteen A kautta kulkevan suoran parametriesitykseen ja s = 4 pisteen B kautta kulkevan suoran parametriesitykseen. z = 8 + 2t = = 32 z = 7s = 7 4 = 28 Siis pisteen A kautta kulkeva säde on = 4 metriä ylempänä. Vastaus Säteet eivät leikkaa. Punainen lasersäde on 4 metriä ylempänä.

47 Tekijä Pitkä matematiikka a) Kuvan perusteella piste D(3, 2, 2) ei voi olla tasossa. b) Kuvan perusteella piste E (2,2,7) voi olla tasossa. Vastaus a) ei voi b) voi

48 239 a) Pisteen A(2, 1, 3) paikkavektori on OA = 2i j + 3k. Pisteen A kautta kulkevan tason suuntavektorit ovat u = i + j k ja v = 4i 2j + k. Tason vektoriyhtälöksi saadaan OP = OA + su + tv = 2i j + 3 k + s( i + j k ) + t(4i 2 j + k ), missä s ja t ovat reaalilukuja. b) Voidaan valita esimerkiksi s = 1 ja t = 0 sekä s = 0 ja t = 1. Kun s = 1 ja t = 0, OP = 2i j + 3k + 1 ( i + j k ) + 0 (4i 2 j + k ) = 2i j + 3k + i + j k = 3i + 2 k. Saadaan piste (3, 0, 2). Kun s = 0 ja t = 1, OP = 2i j + 3k + 0 ( i + j k ) + 1 (4i 2 j + k ) = 2i j + 3k + 4i 2j + k = 6i 3j + 4 k. Saadaan piste (6, 3, 4). Vastaus a) OP = 2i j + 3 k + s( i + j k ) + t(4i 2 j + k ), missä s ja t ovat reaalilukuja b) esimerkiksi (3, 0, 2) ja (6, 3, 4)

49 240 a) Tason suuntavektoreiksi voidaan valita vektorit AB ja AC. Muodostetaan vektorien lausekkeet. AB = ( 5 ( 3)) i + (2 ( 1)) j + (1 2) k = 2i + 3j k AC = ( 2 ( 3)) i + (3 ( 1)) j + ( 4 2) k = i + 4j 6k b) Pisteen A( 3, 1, 2) paikkavektori on OA = 3i j + 2k. Tason vektoriyhtälöksi saadaan OP = OA + sab + tac = 3i j + 2 k + s( 2i + 3 j k ) + t( i + 4 j 6 k ), missä s ja t ovat reaalilukuja. Vastaus a) AB = 2i + 3j k ja AC = i + 4j 6k b) OP = 3i j + 2 k + s( 2i + 3 j k ) + t( i + 4 j 6 k ), missä s ja t ovat reaalilukuja

50 241 a) Tason parametriesitys on x= x0 + us x + vt x y = y0 + us y + vt y z= z + us+ vt 0 z z, missä nyt x 0 = 2, y 0 = 0 ja z 0 = 1 sekä u = 1, u = 2 ja u = 1 sekä v = 3, v = 1 ja v = 2. Saadaan siis z x = 2 + s 3t y = 2 s + t z = 1 + s 2, t x missä s ja t ovat reaalilukuja. y z x y

51 b) Sijoitetaan pisteen P(11, 8,8) koordinaatit x = 11, y = 8 ja z = 8 yhtälöryhmään ja tutkitaan laskimella, onko yhtälöryhmällä ratkaisu. 11 = 2 + s 3t 8 = 2 s + t 8 = 1 + s 2t Yhtälöryhmän ratkaisu on s = 3 ja t = 2. Koska yhtälöryhmälle saatiin ratkaisu, piste P(11, 8,8) on tasossa. x = 2 + s 3t Vastaus a) y = 2 s + t, missä s ja t ovat reaalilukuja z = 1 + s 2t

52 242 a) Tason suuntavektoreiksi u ja v voidaan valita vektorit AB ja AC. Muodostetaan vektorien lausekkeet. AB = (4 1) i + (3 0) j + (0 4) k = 3i + 3j 4 k ( = u) AC = ( 1 1) i + ( 2 0) j + (3 4) k = 2i 2 j k ( = v) Tason parametriesitys on x= x0 + us x + vt x y = y0 + us y + vt y z= z + us+ vt 0 z z, missä nyt esimerkiksi x 0 = 1, y 0 = 0 ja z 0 = 4 sekä u = 3, u = 3 ja u = 4 sekä v = 2, v = 2 ja v = 1. y Saadaan siis x = 1+ 3s 2t y = 3s 2t z = 4 4 s t, z missä s ja t ovat reaalilukuja. x y z x

53 7 b) Sijoitetaan pisteen D (4, 3, ) koordinaatit x = 4, y = 3 ja 4 7 z = yhtälöryhmään ja tutkitaan laskimella, onko 4 yhtälöryhmällä ratkaisu. 4= 1+ 3s 2t 3 = 3s 2t 7 = 4 4 s t 4 Yhtälöryhmän ratkaisu on 15 s = ja 22 yhtälöryhmälle saatiin ratkaisu, piste 21 t =. Koska 44 7 D (4, 3, ) on tasossa. 4 x = 1+ 3s 2t Vastaus a) y = 3s 2, t z = 4 4 s t b) on missä s ja t ovat reaalilukuja

54 243 a) Merkitään pistettä (4,0, 2) kirjaimella A. Parametriesitystä varten tarvitaan pisteen A lisäksi kaksi muuta tason pistettä B ja C. Määritetään annetulta suoralta kaksi pistettä sijoittamalla parametrille r kaksi arvoa, esimerkiksi arvot 0 ja 1. Sijoitetaan r = 0. x = 1 4r = 1 4 0= 1 y = 1 3r = = 1 z = 1 r = 1 0 = 1 Saadaan piste B(1, 1,1). Sijoitetaan r = 1. x = 1 4r = 1 4 1= 3 y = 1 3r = = 4 z = 1 r = 1 1 = 0 Saadaan piste C( 3, 4, 0). Muodostetaan tasolle kaksi suuntavektoria. AB = (1 4) i + ( 1 0) j + (1 ( 2)) k = 3i j + 3k AC = ( 3 4) i + ( 4 0) j + (0 ( 2)) k = 7i 4j + 2k

55 Tason parametriesitys on x = 4 3s 7t y = s 4t z = 2 + 3s + 2, t missä s ja t ovat reaalilukuja. b) Tason ja z-akselin leikkauspiste on muotoa (0,0, z ). Määritetään parametrien s ja t arvot sijoittamalla parametriesityksen kahteen ensimmäiseen yhtälöön x = 0 ja y = 0 ja ratkaisemalla yhtälöpari laskimella. 0= 4 3s 7t 0 = s 4t Yhtälöparin ratkaisu on 16 s = ja 5 4 t =. 5 Lasketaan leikkauspisteen z-koordinaatti parametriesityksen viimeisen yhtälön avulla. z = 2+ 3s+ 2t 16 4 = ( ) 5 5 = 6 Leikkauspiste on (0,0,6).

56 x = 4 3s 7t Vastaus a) y = s 4, t z = 2 + 3s + 2t b) (0,0,6) missä s ja t ovat reaalilukuja

57 244 Kuvan perusteella piste D(3, 1, 2) ei ole tasossa. Vastaus ei ole

58 245 a) Tason yhtälön koordinaattiyhtälö on muotoa ax ( x) + by ( y) + cz ( z) = 0, missä nyt pisteen koordinaatit x 0 = 2, y 0 = 1 ja z 0 = 1 sekä normaalivektorin kertoimet a = 5, b = 2 ja c = 3. Sijoitetaan koordinaatit ja kertoimet ja sievennetään koordinaattiyhtälö normaalimuotoon. ax ( x) + by ( y) + cz ( z) = ( x 2) 2 ( y 1) + 3 ( z ( 1)) = 0 5x 10 2 y z+ 3 = 0 5x 2y+ 3z 5= 0 b) Tutkitaan, toteuttavatko pisteen P (2,4,1) koordinaatit tason yhtälön. 5x 2y+ 3z 5= = 0 0= 0 tosi Pisteen P koordinaatit toteuttavat tason yhtälön, joten piste on tasossa. Vastaus a) 5x 2y+ 3z 5= 0 b) on

59 246 Muodostetaan vektorin AB lauseke. AB = ( 2 5) i + (5 0) j + ( 1 ( 4)) k = 7i + 5j + 3k Koska taso on kohtisuorassa suoraa AB vastaan, vektori AB voidaan valita tason normaalivektoriksi. Tason yhtälön koordinaattiyhtälö on muotoa ax ( x) + by ( y) + cz ( z) = 0, missä nyt pisteen P koordinaatit x 0 = 1, y 0 = 2 ja z 0 = 5 sekä normaalivektorin kertoimet a = 7, b = 5 ja c = 3. Sijoitetaan koordinaatit ja kertoimet ja sievennetään koordinaattiyhtälö normaalimuotoon. ax ( x) + by ( y) + cz ( z) = ( x 1) + 5 ( y ( 2)) + 3 ( z 5) = 0 7x y z 15 = 0 7x+ 5y+ 3z+ 2= 0 Vastaus 7x+ 5y+ 3z+ 2= 0 HUOM. Yhtälö on matemaattisesti identtinen kirjassa vastauksena annetun yhtälön 7x 5y 3z 2= 0 kanssa. Jälkimmäiseen muotoon päädyttäisiin suoraan, jos normaalivektoriksi olisi valittu AB = BA.

60 247 Suoran ja tason leikkauspisteen koordinaatit toteuttavat sekä suoran parametriesityksen että tason yhtälön. Sijoitetaan suoran parametriesityksestä koordinaattien lausekkeet x = 5+ 3t, 1 7 y = 2t ja z = 3 t tason yhtälöön 7x+ y 2z = (5+ 3) t + ( 2) t 2 ( 3) t = t + = 4 2 t = Koska parametrille t saadaan ratkaisu, suora ja taso leikkaavat toisensa. Lasketaan leikkauspisteen koordinaatit sijoittamalla arvo 3 t = suoran parametriesitykseen x = 5 + 3t = ( ) = y = 2t = 2 ( ) = z = 3t = 3( ) = Leikkauspiste on 1 5 (,,1). 2 2 Vastaus pisteessä 1 5 (,,1) 2 2

61 248 Suoran ja tason leikkauspisteen ( xyz,, ) koordinaatit toteuttavat sekä tason että suoran parametriesityksen. Muodostetaan yhtälöryhmä ja ratkaistaan se laskimella. 13 2t = 1+ 3r+ 2s t = 5r s 14 t = 2 + 8r+ 14s Yhtälöryhmän ratkaisu on 6 r =, 13 9 s = ja t = Koska yhtälöryhmällä on ratkaisu, suora ja taso leikkaavat toisensa. Lasketaan leikkauspisteen koordinaatit esimerkiksi sijoittamalla arvo t = 6 suoran parametriesitykseen. 13 2t = = t = = 3 14 t = 14 6 = 8 Leikkauspiste on (1, 3,8). Vastaus (1, 3,8)

62 249 x = 5+ 2t a) Suoran y = 8 3t suuntavektorin komponentit ovat z = t luettavissa parametrin t kertoimista, joten (erääksi) suuntavektoriksi saadaan v = 2i 3j + 7k. xy-tason normaalivektoriksi voidaan valita n Lasketaan vektorien pituudet ja pistetulo. = k v = 2 + ( 3) + 7 = 62 n = 1 v n = (2i 3 j + 7 k) k = = 7 Lasketaan vektorien välinen kulma. v n cos( vn, ) = = v n = = 62 1 ( vn, ) cos ( ) 27,

63 Kuvan perusteella suora leikkaa tason kulmassa α = = 63. (Kuva havainnollistaa kulmia, mutta vektorien pituuksien suhteet ovat kuvassa väärin.) b) yz-tason normaalivektoriksi voidaan valita n = i. Lasketaan vektorien pituudet ja pistetulo ( v laskettiin jo a-kohdassa). n = 1, v n = (2i 3 j + 7 k) i = = 2 Lasketaan vektorien välinen kulma. v n cos( vn, ) = = v n = = 62 1 ( vn, ) cos ( ) 75, a-kohdan tapaan voidaan päätellä, että suora leikkaa tason kulmassa = 15. Vastaus a) 63 b) 15

64 250 a) Kuvan perusteella piste Q( 3, 2,1) ei voi olla tasossa.

65 b) Kuvan perusteella piste Q( 3, 2,1) voi olla tasossa. Vastaus a) ei voi b) voi

66 251 a) Määritetään ensin tason suuntavektorit. Suuntavektoreiksi voidaan valita vektorit AB ja AC. AB = (2 2) i + ( 1 ( 3)) j + (1 6) k = 0i + 2j 5k = 2j 5k AC = (3 2) i + (1 ( 3)) j + (0 6) k = i + 4j 6k Pisteen A(2, 3, 6) paikkavektori on OA = 2i 3j + 6k. Tason vektoriyhtälöksi saadaan OP = OA + sab + tac = 2i 3 j + 6 k + s(2 j 5 k ) + t( i + 4 j 6 k ), missä s ja t ovat reaalilukuja. b) Voidaan valita esimerkiksi s = 1 ja t = 1 sekä s = 1 ja t = 1. Kun s = 1 ja t = 1, OP = 2i 3 j + 6k + 1 (2 j 5 k ) + 1 ( i + 4 j 6 k ) = 2i 3j + 6k + 2j 5k + i + 4j 6k = 3i + 3j 5 k. Saadaan piste (3, 3, 5).

67 Kun s = 1 ja t = 1, OP = 2i 3 j + 6k + 1 (2 j 5 k ) 1 ( i + 4 j 6 k ) = 2i 3j + 6k + 2j 5k i 4j + 6k = i 5j + 7 k. Saadaan piste (1, 5, 7). Vastaus a) OP = 2i 3 j + 6 k + s(2 j 5 k ) + t( i + 4 j 6 k ), missä s ja t ovat reaalilukuja b) esimerkiksi (3, 3, 5) ja (1, 5, 7)

68 252 a) Pisteen A(2,1, 1) paikkavektori on OA = 2i + j k. Pisteen A kautta kulkevan tason suuntavektorit ovat u = i 5j + 3k ja v = 3i + 4j 2k. Tason vektoriyhtälöksi saadaan OP = OA + su + tv = 2 i + j k + s( i 5 j + 3 k ) + t( 3i + 4 j 2 k ), missä s ja t ovat reaalilukuja. b) Määritetään ensin tason parametriesitys. Esitys on muotoa x= x0 + us x + vt x y = y0 + us y + vt y z= z + us+ vt 0 z z, missä nyt x 0 = 2, y 0 = 1 ja z 0 = 1 sekä u = 1, u = 5 ja u = 3 sekä v = 3, v = 4 ja v = 2. Saadaan siis z x = 2 + s 3t y = 1 5s + 4t z = 1 + 3s 2, t x y missä s ja t ovat reaalilukuja. (Parametriesitys voidaan myös lukea suoraan vektoriyhtälöstä.) z x y

69 Sijoitetaan pisteen Q(1, 5, 3) koordinaatit x = 1, y = 5 ja z = 3 yhtälöryhmään ja tutkitaan laskimella, onko yhtälöryhmällä ratkaisu. 1 = 2 + s 3t 5 = 1 5s + 4t 3= 1+ 3s 2t Yhtälöryhmän ratkaisu on s = 2 ja t = 1. Koska yhtälöryhmälle saatiin ratkaisu, piste Q(1, 5, 3) on tasossa. Vastaus a) OP = 2 i + j k + s( i 5 j + 3 k ) + t( 3i + 4 j 2 k ), missä s ja t ovat reaalilukuja

70 253 a) Tason suuntavektoreiksi u ja v voidaan valita vektorit AB ja AC. Muodostetaan vektorien lausekkeet. AB = (8 6) i + ( 1 ( 2)) j + ( 3 1) k = 2i + j 4 k ( = u) AC = (2 6) i + (1 ( 2)) j + (2 1) k = 4i + 3 j + k ( = v) Tason parametriesitys on x= x0 + us x + vt x y = y0 + us y + vt y z= z + us+ vt 0 z z, missä nyt esimerkiksi x 0 = 6, y 0 = 2 ja z 0 = 1 sekä u = 2, u = 1 ja u = 4 sekä v = 4, v = 3 ja v = 1. Saadaan y siis x = 6+ 2s 4t y = 2 + s + 3t z = 1 4 s + t, z missä s ja t ovat reaalilukuja. x y z x

71 b) Tason ja z-akselin leikkauspiste on muotoa (0,0, z ). Määritetään parametrien s ja t arvot sijoittamalla parametriesityksen kahteen ensimmäiseen yhtälöön x = 0 ja y = 0 ja ratkaisemalla yhtälöpari laskimella. 0 = 6+ 2s 4t 0 = 2 + s + 3t Yhtälöparin ratkaisu on s = 1 ja t = 1. Lasketaan leikkauspisteen z-koordinaatti parametriesityksen viimeisen yhtälön avulla. z = 1 4s+ t = 1 4 ( 1) + 1 = 6 Leikkauspiste on (0,0,6). x = 6+ 2s 4t Vastaus a) y = 2 + s + 3, t missä s ja t ovat reaalilukuja z = 1 4 s + t b) pisteessä (0,0,6)

72 254 a) Parametriesitystä varten tarvitaan pisteen A(5, 2, 1) lisäksi kaksi muuta tason pistettä B ja C. Määritetään annetulta suoralta kaksi pistettä sijoittamalla parametrille t kaksi arvoa, esimerkiksi arvot 0 ja 1. Sijoitetaan t = 0. x = 2 t = 2 0= 2 y = 1 + 2t = = 1 z = 1 + t = = 1 Saadaan piste B(2,1, 1). Sijoitetaan t = 1. x = 2 t = 2 1= 1 y = 1 + 2t = = 3 z = 1 + t = = 0 Saadaan piste C (1,3,0). Muodostetaan tasolle kaksi suuntavektoria. AB = (2 5) i + (1 2) j + ( 1 ( 1)) k = 3i j + 0k = 3i j AC = (1 5) i + (3 2) j + (0 ( 1)) k = 4i + j + k

73 Tason parametriesitys on x = 5 3r 4s y = 2 r + s z = 1 + s, missä r ja s ovat reaalilukuja. b) Sijoitetaan pisteen P( 9,2,1) koordinaatit x = 9, y = 2 ja z = 1 yhtälöryhmään ja tutkitaan laskimella, onko yhtälöryhmällä ratkaisu. 9 = 5 3r 4s 2 = 2 r+ s 1= 1 + s Yhtälöryhmän ratkaisu on r = 2 ja s = 2. Koska yhtälöryhmälle saatiin ratkaisu, piste P( 9,2,1) on tasossa. c) Sijoitetaan pisteen Q(2,4, 1) koordinaatit x = 2, y = 4 ja z = 1 yhtälöryhmään ja tutkitaan laskimella, onko yhtälöryhmällä ratkaisu. 2 = 5 3r 4s 4 = 2 r+ s 1 = 1 + s Yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua, joten piste (2,4, 1) Q ei ole tasossa.

74 x = 5 3r 4s Vastaus a) y = 2 r + s, z = 1 + s b) on c) ei ole missä r ja s ovat reaalilukuja

75 255 Määritetään ensin parametriesitys tasolle, joka kulkee pisteiden A( 1, 2, 2), B (4,0,2) ja C(3, 4, 0) kautta. Tason suuntavektoreiksi voidaan valita vektorit AB ja AC. Muodostetaan vektorien lausekkeet. AB = (4 ( 1)) i + (0 2) j + (2 ( 2)) k = 5i 2j + 4k AC = (3 ( 1)) i + ( 4 2) j + (0 ( 2)) k = 4i 6j + 2k Tason parametriesitys on esimerkiksi x = 1+ 5s+ 4t y = 2 2s 6t z = 2 + 4s + 2, t missä s ja t ovat reaalilukuja.

76 Tutkitaan seuraavaksi, sijaitseeko piste D tasossa. Sijoitetaan pisteen D (2, 3,1) koordinaatit x = 2, y = 3 ja z = 1 yhtälöryhmään ja tutkitaan laskimella, onko yhtälöryhmällä ratkaisu. 2= 1+ 5s+ 4t 3 = 2 2s 6t 1 = 2 + 4s + 2t 1 Yhtälöryhmän ratkaisu on s = 1 ja t =. Koska yhtälöryhmälle 2 saatiin ratkaisu, piste D on tasossa, joka kulkee pisteiden A, B ja C kautta. Siten kaikki neljä pistettä ovat samassa tasossa. Vastaus ovat

77 256 a) Muodostetaan vektorin BA lauseke. BA = (12 7) i + ( 15 ( 3)) j + (4 ( 3)) k = 5i 12 j + 7k Koska taso on kohtisuorassa janaa AB vastaan, vektori BA voidaan valita tason normaalivektoriksi. (Voitaisiin valita myös vektori AB. Valinta johtaa matemaattisesti identtiseen tulokseen.) Tason yhtälön koordinaattiyhtälö on muotoa ax ( x) + by ( y) + cz ( z) = 0, missä nyt tasossa sijaitsevan pisteen B koordinaatit x 0 = 7, y 0 = 3 ja z 0 = 3 sekä normaalivektorin kertoimet a = 5, b = 12 ja c = 7. Sijoitetaan koordinaatit ja kertoimet ja sievennetään koordinaattiyhtälö normaalimuotoon. ax ( x) + by ( y) + cz ( z) = ( x 7) 12 ( y ( 3)) + 7 ( z ( 3)) = 0 5x y z+ 21 = 0 5x 12 y+ 7z 50 = 0

78 b) Tason ja x-akselin leikkauspiste on muotoa ( x,0,0). Määritetään leikkauspisteen x-koordinaatti sijoittamalla normaalimuotoiseen yhtälöön y = 0 ja z = 0 ja ratkaisemalla yhtälö. 5x 12 y+ 7z 50 = 0 5x = 0 5x 50 = 0 x = 10 Leikkauspiste on (10,0,0). Tarkistus piirtämällä (leikkauspiste merkitty punaisella): Vastaus a) 5x 12 y+ 7z 50 = 0 b) pisteessä (10,0,0)

79 257 Koska taso T ja taso x 30y+ 12z 7 = 0 ovat yhdensuuntaiset, myös niiden normaalivektorit ovat yhdensuuntaiset. Muuttujien kertoimista voidaan suoraan lukea, että yksi tason x 30y+ 12z 7 = 0 normaalivektori on i 30 j + 12k. Kyseinen vektori voidaan valita myös tason T normaalivektoriksi. Tason yhtälön koordinaattiyhtälö on muotoa ax ( x) + by ( y) + cz ( z) = 0, missä nyt pisteen A koordinaatit x 0 = 5, y 0 = 17 ja z 0 = 3 sekä normaalivektorin kertoimet a = 1, b = 30 ja c = 12. Sijoitetaan koordinaatit ja kertoimet ja sievennetään koordinaattiyhtälö normaalimuotoon. ax ( x) + by ( y) + cz ( z) = ( x 5) 30 ( y ( 17)) + 12 ( z 3) = 0 x 5 30y z 36 = 0 x 30y+ 12z 551 = 0 Tason T yhtälö on siis x 30y+ 12z 551 = 0. Vastaus x 30y+ 12z 551 = 0

80 258 Pisteestä P( 1, 9, 3) lähtevän lasersäteen suuntavektori on v = i 2 j + k, joten sädettä vastaavan suoran parametriesitys on x = 1 + s y = 9 2s z = 3 + s, missä s on reaaliluku. Määritetään suoran ja tason x y+ z 2= 0 leikkauspiste A. Suoran ja tason leikkauspisteen koordinaatit toteuttavat sekä suoran parametriesityksen että tason yhtälön. Sijoitetaan suoran parametriesityksestä koordinaattien lausekkeet x = 1+ s, y = 9 2s ja z = 3 + s tason yhtälöön x y+ z 2= 0. ( 1 + s) (9 2 s) + ( 3 + s) 2= 0 1+ s 9+ 2s 3+ s 2= 0 4s 15 = 0 s = 15 4

81 Koska parametrille s saadaan ratkaisu, suora ja taso leikkaavat toisensa. Lasketaan leikkauspisteen A koordinaatit sijoittamalla arvo 15 s = suoran parametriesitykseen x = 1 + s = 1 + = y = 9 2s = 9 2 = z = 3+ s = 3+ = 4 4 Leikkauspiste on A (,, ) Määritetään sitten suoran ja tason x = 1 + r+ 3t y = 5 3r + 3t z = 1 + r 6t leikkauspiste B. Suoran ja tason leikkauspisteen ( xyz,, ) koordinaatit toteuttavat sekä tason että suoran parametriesityksen. Muodostetaan yhtälöryhmä ja ratkaistaan se laskimella. 1 + s = 1 + r+ 3t 9 2 s = 5 3r+ 3t 3 + s = 1 + r 6t Yhtälöryhmän ratkaisu on r = 0, s = 2 ja t = 0.

82 Koska yhtälöryhmällä on ratkaisu, suora ja taso leikkaavat toisensa. Lasketaan leikkauspisteen B koordinaatit esimerkiksi sijoittamalla arvo s = 2 suoran parametriesitykseen. x = 1+ s = 1+ 2= 1 y = 9 2s = = 5 z = 3 + s = = 1 Leikkauspiste on B(1,5, 1). On siis saatu selvitettyä molemmat leikkauspisteet B(1,5, 1) A (,, ) ja Määritetään lopuksi vektori AB ja sen pituus AB = (1 ) i + (5 ) j + ( 1 ) k = i + j k AB = ( ) + ( ) + ( ) = = Vastaus 7 6 4

83 259 a) Määritetään ensin lentokoneen lentosuora. Merkitään pistettä (14,5; 14,5; 1) kirjaimella A ja pistettä (12; 12; 0,8) kirjaimella B. Muodostetaan pisteiden A ja B kautta kulkevan suoran suuntavektori. AB = (12 14,5) i + (12 14,5) j + (0,8 1) k = 2,5i 2,5 j 0, 2k Muodostetaan lentosuoran AB parametriesitys. x = 14,5 2,5t y = 14,5 2,5t z = 1 0,2 t, missä t on reaaliluku. Piste, jossa lentokone koskettaa kiitorataa, on lentosuoran ja xytason leikkauspiste. Leikkauspisteen z-koordinaatti on nolla, joten leikkauspiste on muotoa ( xy,,0). Ratkaistaan parametri t. z = 1 0,2t 0 = 1 0,2t t = 5

84 Lasketaan leikkauspisteen x- ja y-koordinaatit. x = 14,5 2,5t = 14,5 2,5 5 = 2 y = 14,5 2,5t = 2 Lentokone koskettaa kiitorataa pisteessä (2,2,0). b) On laskettava lentosuoran ja xy-tason välinen kulma. Lentosuoran suuntavektoriksi laskettiin jo a-kohdassa AB = 2,5i 2,5 j 0, 2k. xy-tason normaalivektoriksi voidaan valita n Lasketaan vektorien pituudet ja pistetulo. = k AB = ( 2,5) + ( 2,5) + ( 0, 2) = 12,54 n = 1 AB n = ( 2,5i 2,5 j 0, 2 k ) k = 2,5 0 2,5 0 0,2 1 = 0,2 Lasketaan vektorien välinen kulma. AB n cos( AB, n) = = AB n 0,2 12,54 1 0,2 = = 12,54 1 ( AB, n) cos ( ) 93, ,2

85 Suoran suuntavektorin ja tason normaalivektorin välinen kulma on tylppä. Kuvan perusteella lentosuoran ja tason välinen kulma α = 93, 2 90 = 3, 2. (Kulmien ja vektorien pituuksien mittasuhteet ovat kuvassa väärin.) Vastaus a) pisteessä (2,2,0) b) 3, 2

86 260 Jos halutaan muodostaa normaalimuotoinen yhtälö tasolle x = 1 s+ t (1) y = 3 2s + 4 t (2) z = 4 + s + 3 t (3) on päästävä eroon parametreista s ja t. Ratkaistaan ensin parametri t yhtälöstä 1. x 1+ s = t x = 1 s+ t t = x 1+ s Sijoitetaan saatu lauseke yhtälöihin 2 ja 3 ja sievennetään yhtälöparia. y = 3 2s+ 4t = 3 2s+ 4 ( x 1 + s) z = 4 + s + 3t = 4 + s + 3 ( x 1 + s) y = 3 2s+ 4x 4+ 4s = 1+ 2s+ 4x z = 4 + s + 3x 3 + 3s = 1 + 4s + 3x

87 Ratkaistaan yhtälöparin ylemmästä yhtälöstä parametri s. y+ 1 4x = 2s y = 1+ 2s+ 4x 2s = y+ 1 4x = 1 4x+ y 1 1 s = 2x+ y 2 2 Sijoitetaan saatu lauseke yhtälöparin alempaan yhtälöön ja sievennetään yhtälöä. 5x 2y+ z 3= 0 z = 1+ 4s+ 3x 1 1 z = 1+ 4 ( 2 x+ y) + 3x 2 2 z = x+ 2y+ 3x z = 3 5x+ 2y Huomataan, että on päädytty normaalimuotoiseen yhtälöön, jossa ei esiinny parametreja s ja t. Vastaus 5x 2y+ z 3= 0

88 261 Annettu suora on tason 3x+ 2y 4z+ 7= 0 suuntainen silloin, kun suoran suuntavektori on kohtisuorassa tason normaalivektoria vastaan. Suoran suuntavektorin ja tason normaalivektorin pistetulon pitää siis olla nolla. x = 3 a+ 4t Suoran y = 2 at suuntavektorin komponentit ovat luettavissa z = 7 + 2at parametrin t kertoimista, joten (erääksi) suuntavektoriksi saadaan v = 4i aj + 2ak. Vastaavasti muuttujien kertoimista voidaan nähdä suoraan, että yksi tason 3x+ 2y 4z+ 7= 0 normaalivektori on n = 3i + 2j 4k. Nyt siis vektorien v ja n pistetulon täytyy olla nolla. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan vakion a arvo. v n = 0 (4i aj + 2 ak ) (3i + 2 j 4 k ) = a a ( 4) = a = 0 6 a = 5 Annettu suora on tason 3x+ 2y 4z+ 7= 0 suuntainen vakion 6 arvolla a =. 5 Vastaus 6 a = 5

89 262 a) Muuttujien kertoimista nähdään suoraan, että yksi tason 2x+ y z+ 3= 0 normaalivektori on n = 2i + j k. Vastaavasti tason x+ 2y+ 3z 8= 0 yksi normaalivektori on p = i + 2j + 3k. Lasketaan normaalivektorien pituudet ja pistetulo n = ( 2) ( 1) = p = = 14 n p = ( 2 i + j k) ( i + 2j + 3 k) = = 3 Lasketaan vektorien välinen kulma. n p 3 3 cos( n, p) = = = n p = = ( n, p) cos ( ) 109, ,1 Normaalivektorien välinen kulma on tylppä. Kysytty tasojen välinen kulma on kuvan perusteella α = , = 70,9. (Kuva havainnollistaa kulmia, mutta vektorien pituudet ovat kuvassa väärin. Tasoja on merkitty punaisilla viivoilla.)

90 b) Muuttujien kertoimista nähdään, että yksi tason x 2y+ 4z+ 3= 0 normaalivektori on n = i 2j + 4k. Vastaavasti tason 7x 2 y 4z 35 = 0 yksi normaalivektori on p = 7i 2j 4k. Lasketaan normaalivektorien pituudet ja pistetulo n = 1 + ( 2) + 4 = p = 7 + ( 2) + ( 4) = 69 n p = ( i 2j + 4 k) (7i 2j 4 k) = ( 2) + 4 ( 4) = 5 Lasketaan vektorien välinen kulma. n p 5 5 cos( n, p) = = = n p = = ( n, p) cos ( ) 97, ,5 Koska saatu normaalivektorien välinen kulma on tylppä, a-kohdan tapaan voidaan päätellä, että kysytty tasojen välinen kulma on , = 82,5. Vastaus a) 70,9 b) 82,5

91 Tekijä Pitkä matematiikka a) Kuvan perusteella pisteen P (2,3, 4) etäisyys xy-tasosta on 4 (z-koordinaatin arvo). b) Pisteen P (2,3, 4) etäisyys xz-tasosta on 3 (y-koordinaatin arvo). c) Pisteen P (2,3, 4) etäisyys x-akselista saadaan laskettua Pythagoraan lauseella = 25 = 5 d) Pisteen P (2,3, 4) etäisyys z-akselista saadaan laskettua Pythagoraan lauseella = 13 Vastaus a) 4 b) 3 c) 5 d) 13

92 264 Olkoon Q se suoran piste, joka on lähimpänä pistettä P. Tällöin vektori PQ on kohtisuorassa suoraa vastaan. Suoran suuntavektori on s = 4i j + 2k ja suora kulkee pisteen A (8, 0,1) kautta, joten suoran parametriesitys on x = 8+ 4t y = t z = 1 + 2, t missä t on reaaliluku. Piste Q on suoralla, joten pisteen Q koordinaatit toteuttavat suoran parametriesityksen ja voidaan merkitä Q = (8 + 4 t, t,1+ 2 t). Muodostetaan vektorin PQ lauseke. PQ = (8+ 4 t ( 1)) i + ( t 4) j + (1+ 2t 0) k = (9+ 4) ti+ ( 4 t) j+ (1+ 2) tk

93 Koska vektori PQ on kohtisuorassa suoraa vastaan, niin se on kohtisuorassa suoran suuntavektoria s vastaan, ja vektorien pistetulo on nolla. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan parametrin t arvo. PQ s = 0 ((9+ 4) ti+ ( 4 t) j+ (1+ 2) tk) (4i j+ 2 k) = 0 (9+ 4) t 4 + ( 4 t) ( 1) + (1+ 2) t 2= 0 21t + 42 = 0 t = 2 Lasketaan pisteen Q koordinaatit sijoittamalla saatu parametrin arvo t = 2 suoran parametriesitykseen. x = 8+ 4t = 8+ 4 ( 2) = 0 y = t = ( 2) = 2 z = 1 + 2t = ( 2) = 3 Siten piste (0,2, 3) on suoran pisteistä lähimpänä pistettä P. Vastaus (0, 2, 3)

94 265 a) Olkoon Q se suoran piste, joka on lähimpänä pistettä P. Tällöin vektori PQ on kohtisuorassa suoraa AB vastaan. Suoran suuntavektoriksi voidaan valita vektori AB. AB = (6 ( 2)) i + ( 1 3) j + (4 ( 2)) k = 8i 4j + 6k Suora kulkee pisteen A( 2, 3, 2) kautta, joten suoran parametriesitys on x = 2+ 8t y = 3 4t z = 2 + 6, t missä t on reaaliluku. Piste Q on suoralla AB, joten pisteen Q koordinaatit toteuttavat suoran parametriesityksen ja voidaan merkitä Q = ( 2+ 8 t,3 4 t, 2+ 6 t).

95 Muodostetaan vektorin PQ lauseke. PQ = ( 2+ 8t 4) i + (3 4t 2) j + ( 2+ 6 t ( 1)) k = ( 6+ 8 ti ) + (1 4 t) j+ ( 1+ 6 tk ) Koska vektori PQ on kohtisuorassa suoraa AB vastaan, niin se on kohtisuorassa suoran suuntavektoria AB vastaan, ja vektorien pistetulo on nolla. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan parametrin t arvo. PQ AB = 0 (( 6+ 8 ti ) + (1 4 t) j+ ( 1+ 6 tk ) ) (8i 4j+ 6 k) = 0 ( 6+ 8 t) 8 + (1 4 t) ( 4) + + ( 1 6 t) 6= 0 116t 58 = 0 t = Lasketaan pisteen Q koordinaatit sijoittamalla saatu parametrin 1 arvo t = suoran parametriesitykseen. 2 1 x = 2 + 8t = = y = 3 4t = 3 4 = z = 2+ 6t = 2+ 6 = 1 2 Saadaan piste Q (2,1,1). 1 2

96 b) Pisteen P etäisyys suorasta on pisteiden P ja Q välinen etäisyys. Muodostetaan vektori PQ ja lasketaan sen pituus. PQ = (2 4) i + (1 2) j + (1 ( 1)) k = 2i j + 2k PQ = ( 2) + ( 1) + 2 = 9 = 3 Pisteen P etäisyys suorasta AB on 3. Vastaus a) (2,1,1) b) 3

97 266 Olkoon Q se suoran piste, joka on lähimpänä pistettä P. Tällöin vektori PQ on kohtisuorassa suoraa AB vastaan. Suoran suuntavektoriksi voidaan valita vektori AB. AB = ( 3 12) i + (5 ( 5)) j + ( 4 6) k = 15i + 10 j 10k Suora kulkee pisteen A(12, 5,6) kautta, joten suoran parametriesitys on x = 12 15t y = t z = 6 10 t, missä t on reaaliluku. Piste Q on suoralla AB, joten pisteen Q koordinaatit toteuttavat suoran parametriesityksen ja voidaan merkitä Q = (12 15 t, t,6 10 t).

98 Muodostetaan vektorin PQ lauseke. PQ = (12 15t 1) i + ( t 0) j + (6 10t 2) k = (11 15 ti ) + ( t) j+ (4 10 tk ) Koska vektori PQ on kohtisuorassa suoraa AB vastaan, niin se on kohtisuorassa suoran suuntavektoria AB vastaan, ja vektorien pistetulo on nolla. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan parametrin t arvo. PQ AB = 0 ((11 15 ti ) + ( t) j+ (4 10 tk ) ) ( 15i + 10 j 10 k) = 0 (11 15 t) ( 15) + ( t) 10 + (4 10 t) ( 10) = 0 425t 255 = 0 t = Lasketaan pisteen Q koordinaatit sijoittamalla saatu parametrin arvo 3 t = suoran parametriesitykseen. 5 3 x = 12 15t = = y = t = = z = 6 10t = 6 10 = 0 5 Saadaan piste Q (3,1,0). 3 5

99 Pisteen P etäisyys suorasta on pisteiden P ja Q välinen etäisyys. Muodostetaan vektori PQ ja lasketaan sen pituus. PQ = (3 1) i + (1 0) j + (0 2) k = 2i + j 2k PQ = ( 2) = 9 = 3 Pisteen P etäisyys suorasta AB on 3. Vastaus 3

100 267 Merkitään kolmion huippua eli pistettä (1, 3, 1) kirjaimella P. Kolmion pinta-ala on puolet kannan pituuden ja korkeuden tulosta. Koska kannan pituus tunnetaan, on selvitettävä korkeus eli pisteen P etäisyys annetusta suorasta. Olkoon Q se suoran piste, joka on lähimpänä pistettä P. Tällöin vektori PQ on kohtisuorassa suoraa vastaan. Suoran parametriesitys on x = 2 t y = 3 t z = 1 t, missä t on reaaliluku. Esityksestä nähdään, että yksi suoran suuntavektori on s = i j k. Piste Q on suoralla, joten pisteen Q koordinaatit toteuttavat suoran parametriesityksen ja voidaan merkitä Q = (2 t,3 t,1 t).

101 Muodostetaan vektorin PQ lauseke. PQ = (2 t 1) i + (3 t 3) j + (1 t ( 1)) k = (1 t) i tj + (2 t) k Koska vektori PQ on kohtisuorassa suoraa vastaan, niin se on kohtisuorassa suoran suuntavektoria s vastaan, ja vektorien pistetulo on nolla. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan parametrin t arvo. PQ s = 0 ((1 t) i tj + (2 t) k ) ( i j k ) = 0 (1 t) ( 1) t ( 1) + (2 t) ( 1) = 0 3t 3= 0 t = 1 Lasketaan pisteen Q koordinaatit sijoittamalla saatu parametrin arvo t = 1 suoran parametriesitykseen. x = 2 t = 2 1= 1 y = 3 t = 3 1 = 2 z = 1 t = 1 1 = 0 Siten piste (1, 2, 0) Q on suoran pisteistä lähimpänä kolmion huippua P.

102 Pisteen P etäisyys suorasta on pisteiden P ja Q välinen etäisyys. Muodostetaan vektori PQ ja lasketaan sen pituus. PQ = (1 1) i + (2 3) j + (0 ( 1)) k = 0i j + k = j + k PQ = 0 + ( 1) + 1 = 2 Pisteen P etäisyys suorasta on tutkittavan kolmion korkeus. 2. Kyseessä on siis myös Lasketaan lopuksi kolmion pinta-ala kolmion kannan pituuden ja korkeuden tulon puolikkaana: A = = 5. 2 Vastaus 5

103 268 Merkitään suoran pisteitä ( 7,7,0) ja (5,1, 3) kirjaimilla A ja B. Ympyrän keskipiste on origossa O (0,0,0). On määritettävä ympyrän säde eli origon O etäisyys suorasta AB. Olkoon Q se suoran piste, joka on lähimpänä pistettä O. Tällöin vektori OQ on kohtisuorassa suoraa AB vastaan. Suoran suuntavektoriksi voidaan valita vektori AB. AB = (5 ( 7)) i + (1 7) j + (3 0) k = 12i 6 j + 3k Suora kulkee pisteen A( 7,7,0) kautta, joten suoran parametriesitys on x = t y 7 6t z = 3, t missä t on reaaliluku.

104 Piste Q on suoralla AB, joten pisteen Q koordinaatit toteuttavat suoran parametriesityksen ja voidaan merkitä Q = ( t,7 6 t,3 t). Vektori OQ on pisteen Q paikkavektori, joten OQ = ( t) i + (7 6 t) j + 3tk. Koska vektori OQ on kohtisuorassa suoraa AB vastaan, niin se on kohtisuorassa suoran suuntavektoria AB vastaan, ja vektorien pistetulo on nolla. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan parametrin t arvo. OQ AB = 0 (( t) i + (7 6 t) j + 3 tk ) (12i 6 j + 3 k ) = 0 ( t) 12 + (7 6 t) ( 6) + 3t 3 = 0 189t 126 = 0 t = 2 3

105 Lasketaan pisteen Q koordinaatit sijoittamalla saatu parametrin arvo 2 t = suoran parametriesitykseen. 3 2 x = t = = y = 7 6t = 7 6 = z = 3t = 3 = 2 3 Saadaan piste Q (1, 3, 2). Ympyrän säde on origon etäisyys suorasta AB eli origon ja pisteen Q välinen etäisyys. Vektori OQ on paikkavektorina OQ = i + 3j + 2k. Lasketaan sen pituus OQ = = 14 Siis ympyrän säde on 14. Vastaus 14

106 269 Merkitään pistettä (4, 3, 5) kirjaimella A. Olkoon Q se tason piste, joka on lähimpänä pistettä P. Tällöin vektori PQ on kohtisuorassa tasoa vastaan. Taso sisältää pisteen A(4, 3, 5) ja sillä on suuntavektorit u = 2i j + k ja v = i + 2j 3k, joten tason parametriesitys on x = 4 2 s+ t y = 3 s + 2t z = 5 + s 3, t missä s ja t ovat reaalilukuja. Piste Q on tasossa, joten pisteen Q koordinaatit toteuttavat tason parametriesityksen ja voidaan merkitä Q = (4 2 s+ t,3 s+ 2 t, 5+ s 3 t). Muodostetaan vektorin PQ lauseke. PQ = (4 2s + t 3) i + (3 s + 2 t ( 13)) j + ( 5+ s 3 t ( 2)) k = (1 2 s+ ti ) + (16 s+ 2 t) j+ ( 3 + s 3 tk )

107 Koska vektori PQ on kohtisuorassa tasoa vastaan, niin se on kohtisuorassa tason molempia suuntavektoreita u = 2i j + k ja v = i + 2j 3k vastaan. Muodostetaan yhtälöpari ja ratkaistaan parametrien s ja t arvot laskimella. PQ u = 0 PQ v = 0 ((1 2 s+ ti ) + (16 s+ 2 t) j+ ( 3 + s 3 tk ) ) ( 2 i j+ k) = 0 ((1 2 s+ ti ) + (16 s+ 2 t) j+ ( 3 + s 3 tk ) ) ( i+ 2 j 3 k) = 0 (1 2 s+ t) ( 2) + (16 s+ 2 t) ( 1) + ( 3+ s 3 t) 1= 0 (1 2 s+ t) 1 + (16 s+ 2 t) 2 + ( 3 + s 3 t) ( 3) = 0 6 s 7t 21 = 0 7s + 14t + 42 = 0 Yhtälöparin ratkaisu on s = 0 ja t = 3.

108 Lasketaan pisteen Q koordinaatit sijoittamalla saadut parametrien arvot s = 0 ja t = 3 tason parametriesitykseen. x = 4 2s+ t = = 1 y = 3 s + 2t = ( 3) = 3 z = 5 + s 3t = ( 3) = 4 Saadaan piste (1, 3, 4). Vastaus (1, 3, 4)

109 270 a) Olkoon Q se tason piste, joka on lähimpänä pistettä P. Tällöin vektori PQ on kohtisuorassa tasoa vastaan. Tason suuntavektoreiksi voidaan valita vektorit AB ja AC. AB = (2 1) i + ( 1 0) j + (0 ( 1)) k = i j + k AC = (2 1) i + (2 0) j + (2 ( 1)) k = i+ 2j + 3k Taso sisältää pisteen A(1, 0, 1) ja sillä on edellä lasketut suuntavektorit, joten tason parametriesitys on x = 1 + s+ t y = s + 2t z = 1 + s + 3, t missä s ja t ovat reaalilukuja. Piste Q on tasossa, joten pisteen Q koordinaatit toteuttavat tason parametriesityksen ja voidaan merkitä Q = (1 + s+ t, s+ 2 t, 1 + s+ 3 t).

110 Muodostetaan vektorin PQ lauseke. 3 PQ = (1+ s + t 8) i + ( s + 2 t ) j + ( 1+ s + 3 t ( 1)) k 2 3 = ( 7 + s+ ti ) + ( s+ 2) t j+ ( s+ 3) tk 2 Koska vektori PQ on kohtisuorassa tasoa vastaan, niin se on kohtisuorassa tason molempia suuntavektoreita AB = i j + k ja AC = i + 2j + 3k vastaan. Muodostetaan yhtälöpari ja ratkaistaan parametrien s ja t arvot laskimella. PQ AB = 0 PQ AC = 0 3 (( 7 + s+ ti ) + ( s+ 2 t) j+ ( s+ 3 tk ) ) ( i j+ k) = (( 7 + s + ti ) + ( s + 2 t) j + ( s + 3 tk ) ) ( i + 2 j + 3 k) = ( 7 + s + t)1 + ( s + 2)( t 1) + ( s + 3)1 t = ( 7 + s+ t) 1 + ( s+ 2) t 2 + ( s+ 3) t 3= s+ 2t = 0 2 2s+ 14t 10 = 0

111 Yhtälöparin ratkaisu on 3 s = ja 2 1 t =. 2 Lasketaan pisteen Q koordinaatit sijoittamalla saadut 3 1 parametrien arvot s = ja t = tason parametriesitykseen x = 1 + s + t = = y = s + 2t = + 2 ( ) = z = 1+ s+ 3t = ( ) = Saadaan piste 1 (3,, 2). 2 b) Pisteen P etäisyys tasosta on pisteiden P ja Q välinen etäisyys. Muodostetaan vektori PQ ja lasketaan sen pituus. 1 3 PQ = (3 8) i + ( ) j + (2 ( 1)) k 2 2 = 5i 2j + 3k PQ = ( 5) + ( 2) + 3 = 38 Pisteen P etäisyys tasosta on 38. Vastaus a) 1 (3,, 2) b) 38 2

112 271 a) Olkoon Q se tason piste, joka on lähimpänä pistettä P. Tällöin piste Q on pisteen P kautta piirretyn tason normaalisuoran ja tason leikkauspiste. Normaalisuoran suuntavektoriksi voidaan valita tason normaalivektori. Tason x+ y+ z 2= 0 yksi normaalivektori on n = i + j + k. Normaalisuora kulkee pisteen P(2, 2, 1) kautta, joten suoran parametriesitys on x = 2 + t y = 2 + t z = 1 + t, missä t on reaaliluku. Sijoitetaan lausekkeet tason yhtälöön x+ y+ z 2= 0 ja ratkaistaan parametrin t arvo. (2 + t) + ( 2 + t) + ( 1 + t) 2= 0 3t 3= 0 t = 1

113 Lasketaan leikkauspisteen Q koordinaatit sijoittamalla saatu parametrin arvo t = 1 normaalisuoran parametriesitykseen. x = 2+ t = 2+ 1= 3 y = 2 + t = = 1 z = 1 + t = = 0 Pisteeksi Q saadaan (3, 1, 0). b) Pisteen P etäisyys tasosta on pisteiden P ja Q välinen etäisyys. Muodostetaan vektori PQ ja lasketaan sen pituus. PQ = (3 2) i + ( 1 ( 2)) j + (0 ( 1)) k = i + j + k PQ = = 3 Pisteen P etäisyys tasosta on 3. Vastaus a) (3, 1, 0) b) 3

114 272 Merkitään kartion huippua eli pistettä (2, 1, 3) kirjaimella P. Kartion tilavuus on kolmasosa pohjan pinta-alan ja kartion korkeuden tulosta. Koska pohjan pinta-ala tunnetaan, on selvitettävä kartion korkeus eli pisteen P etäisyys annetusta tasosta. Olkoon Q se tason piste, joka on lähimpänä pistettä P. Tällöin piste Q on pisteen P kautta piirretyn tason normaalisuoran ja tason leikkauspiste. Normaalisuoran suuntavektoriksi voidaan valita tason normaalivektori. Tason x y+ 3z+ 10 = 0 yksi normaalivektori on n = i j + 3k. Normaalisuora kulkee pisteen P(2, 1, 3) kautta, joten suoran parametriesitys on x = 2 + t y = 1 t z = 3 + 3, t missä t on reaaliluku. Sijoitetaan lausekkeet tason yhtälöön x y+ 3z+ 10 = 0 ja ratkaistaan parametrin t arvo. (2 + t) ( 1 t) + 3 (3 + 3 t) + 10 = 0 11t + 22 = 0 t = 2

115 Lasketaan leikkauspisteen Q koordinaatit sijoittamalla saatu parametrin arvo t = 2 normaalisuoran parametriesitykseen. x = 2+ t = 2 2= 0 y = 1 t = 1 ( 2) = 1 z = 3 + 3t = ( 2) = 3 Siten piste Q(0,1, 3) on tason pisteistä lähimpänä kartion huippua P. Huipun P etäisyys tasosta on pisteiden P ja Q välinen etäisyys. Muodostetaan vektori PQ ja lasketaan sen pituus. PQ = (0 2) i + (1 ( 1)) j + ( 3 3) k = 2i + 2j 6k PQ = ( 2) ( 6) = 44 = 2 11 Pisteen P etäisyys tasosta on Kyseessä on siis myös tutkittavan kartion korkeus. Lasketaan lopuksi kartion tilavuus jakamalla pohjan pinta-alan ja kartion korkeuden tulo luvulla 3: V = = Vastaus 44

116 273 a) Pisteen P(3, 2,5) etäisyys pisteen A (1,1, 2) kautta kulkevasta xy-tason suuntaisesta tasosta on 5 2= 3 (z-koordinaattien erotus). b) Pisteen P(3, 2,5) etäisyys pisteen A (1,1, 2) kautta kulkevasta yz-tason suuntaisesta tasosta on 3 1= 2 (x-koordinaattien erotus). c) Pisteen P(3, 2,5) etäisyys pisteen A (1,1, 2) kautta kulkevasta x-akselin suuntaisesta suorasta saadaan laskettua Pythagoraan lauseella = 18 = 3 2 d) Pisteen P(3, 2,5) etäisyys pisteen A (1,1, 2) kautta kulkevasta z-akselin suuntaisesta suorasta saadaan laskettua Pythagoraan lauseella = 13 Vastaus a) 3 b) 2 c) 3 2 d) 13

117 274 Olkoon Q se suoran piste, joka on lähimpänä pistettä P. Tällöin vektori PQ on kohtisuorassa suoraa AB vastaan. Suoran suuntavektoriksi voidaan valita vektori AB. AB = ( 1 1) i + ( 7 ( 4)) j + (2 3) k = 2i 3j k Suora kulkee pisteen A(1, 4, 3) kautta, joten suoran parametriesitys on x = 1 2t y = 4 3t z = 3 t, missä t on reaaliluku. Piste Q on suoralla AB, joten pisteen Q koordinaatit toteuttavat suoran parametriesityksen ja voidaan merkitä Q = (1 2 t, 4 3 t,3 t).

118 Muodostetaan vektorin PQ lauseke. PQ = (1 2 t ( 1)) i + ( 4 3t 2) j + (3 t 3) k = (2 2 t) i + ( 6 3 t) j tk Koska vektori PQ on kohtisuorassa suoraa AB vastaan, niin se on kohtisuorassa suoran suuntavektoria AB vastaan, ja vektorien pistetulo on nolla. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan parametrin t arvo. PQ AB = 0 ((2 2 t) i + ( 6 3 t) j tk ) ( 2i 3 j k ) = 0 (2 2 t) ( 2) + ( 6 3 t) ( 3) t ( 1) = 0 14t + 14 = 0 t = 1 Lasketaan pisteen Q koordinaatit sijoittamalla saatu parametrin arvo t = 1 suoran parametriesitykseen. x = 1 2t = 1 2 ( 1) = 3 y = 4 3t = 4 3 ( 1) = 1 z = 3 t = 3 ( 1) = 4 Saadaan piste Q(3, 1, 4).

119 Pisteen P etäisyys suorasta on pisteiden P ja Q välinen etäisyys. Muodostetaan vektori PQ ja lasketaan sen pituus. PQ = (3 ( 1)) i + ( 1 2) j + (4 3) k = 4i 3j + k PQ = 4 + ( 3) + 1 = 26 Pisteen P etäisyys suorasta AB on 26. Vastaus 26

120 275 On laskettava kahden annetun suoran välinen etäisyys. Määritetään ensin esimerkiksi ensimmäiseltä suoralta jokin piste ja lasketaan sen etäisyys jälkimmäisestä suorasta. x = 1+ 2t Suoralla y = 2 + 3t on esimerkiksi z = 1 + t piste (1, 2,1), joka saadaan, kun esitykseen sijoitetaan parametrin arvo t = 0. Merkitään tätä pistettä kirjaimella P. Olkoon Q se jälkimmäisen suoran x = 2 2s y = 1 3s piste, joka on z = 4 s lähimpänä pistettä P. Tällöin vektori PQ on kohtisuorassa suoraa vastaan. Jälkimmäisen suoran parametriesityksestä nähdään, että yksi suoran suuntavektori on r = 2i + 3j + k. Piste Q on suoralla, joten pisteen Q koordinaatit toteuttavat suoran parametriesityksen ja voidaan merkitä Q = ( 2 2 s,1 3 s, 4 s).

121 Muodostetaan vektorin PQ lauseke. PQ = ( 2 2s 1) i + (1 3s 2) j + ( 4 s 1) k = ( 3 2 si ) + ( 1 3 s) j+ ( 5 sk ) Koska vektori PQ on kohtisuorassa suoraa vastaan, niin se on kohtisuorassa suoran suuntavektoria r vastaan, ja vektorien pistetulo on nolla. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan parametrin s arvo. PQ r = 0 (( 3 2 si ) + ( 1 3 s) j+ ( 5 sk ) ) (2i+ 3 j+ k) = 0 ( 3 2 s) 2 + ( 1 3 s) 3 + ( 5 s) 1= 0 14s 14 = 0 s = 1 Lasketaan pisteen Q koordinaatit sijoittamalla saatu parametrin arvo s = 1 suoran parametriesitykseen. x = 2 2s = 2 2 ( 1) = 0 y = 1 3s = 1 3 ( 1) = 4 z = 4 s = 4 ( 1) = 3 Siten piste (0,4, 3) Q on jälkimmäisen suoran pisteistä lähimpänä ensimmäisen suoran pistettä P.

122 Suorien välinen etäisyys on sama kuin pisteiden P ja Q välinen etäisyys. Muodostetaan vektori PQ ja lasketaan sen pituus. PQ = (0 1) i + (4 2) j + ( 3 1) k = i + 2j 4k PQ = ( 1) ( 4) = 21 Siis suorien välinen etäisyys on 21. Vastaus 21

123 276 a) On laskettava pisteen P (1700,1450,0) etäisyys annetusta lentosuorasta. x = t Olkoon Q se lentosuoran y = t piste, joka on z = 16t lähimpänä pistettä P. Tällöin vektori PQ on kohtisuorassa suoraa vastaan. Suoran parametriesityksestä nähdään, että yksi suoran suuntavektori on s = 50i + 2 j + 16k. Piste Q on suoralla, joten pisteen Q koordinaatit toteuttavat suoran parametriesityksen ja voidaan merkitä Q = ( t, t,16 t). Muodostetaan vektorin PQ lauseke. PQ = ( t 1700) i + (50 + 2t 1450) j + (16t 0) k = ( t) i + ( t) j + 16tk

124 Koska vektori PQ on kohtisuorassa suoraa vastaan, niin se on kohtisuorassa suoran suuntavektoria s vastaan, ja vektorien pistetulo on nolla. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan parametrin t arvo. PQ s = 0 (( t) i + ( t) j + 16 tk ) (50i + 2 j + 16 k ) = 0 ( t) 50 + ( t) t 16 = t = 0 t = 30 Lasketaan pisteen Q koordinaatit sijoittamalla saatu parametrin arvo t = 30 suoran parametriesitykseen. x = t = = 1600 y = t = = 110 z = 16t = = 480 Siten piste Q (1600,110,480) on lentosuoran pisteistä lähimpänä pistettä P. Pisteen P etäisyys lentosuorasta on pisteiden P ja Q välinen etäisyys. Muodostetaan vektori PQ ja lasketaan sen pituus. PQ = ( ) i + ( ) j + (480 0) k = 100i 1340 j + 480k PQ = ( 100) + ( 1340) = = Siis lentokone lensi 1,4 km päästä Aavasta.

125 b) Lentokone oli lähimmillään Aavaa pisteessä (1600,110,480). Lentokone oli tuolloin 480 metrin korkeudella (z-koordinaatin arvo). Vastaus a) 1,4 km päästä Aavasta b) 480 m korkeudella

126 277 Merkitään suoran pisteitä ( 7, 2,6) ja (3,8, 9) kirjaimilla A ja B ja ympyrän keskipistettä kirjaimella P. Lasketaan ensin ympyrän säde eli keskipisteen P etäisyys suorasta AB. Olkoon Q se suoran piste, joka on lähimpänä pistettä P. Tällöin vektori PQ on kohtisuorassa suoraa AB vastaan. Suoran suuntavektoriksi voidaan valita vektori AB. AB = (3 ( 7)) i + (8 ( 2)) j + ( 9 6) k = 10i + 10 j 15k Suora kulkee pisteen A( 7, 2,6) kautta, joten suoran parametriesitys on x = t y = t z = 6 15 t, missä t on reaaliluku.

127 Piste Q on suoralla AB, joten pisteen Q koordinaatit toteuttavat suoran parametriesityksen ja voidaan merkitä Q = ( t, t,6 15 t). Muodostetaan vektorin PQ lauseke. PQ = ( t 3) i + ( t ( 1)) j + (6 15t 2) k = ( ti ) + ( t) j+ (4 15 tk ) Koska vektori PQ on kohtisuorassa suoraa AB vastaan, niin se on kohtisuorassa suoran suuntavektoria AB vastaan, ja vektorien pistetulo on nolla. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan parametrin t arvo. PQ AB = 0 (( ti ) + ( t) j+ (4 15 tk ) ) (10i + 10 j 15 k) = 0 ( t) 10 + ( t) 10 + (4 15 t) ( 15) = 0 425t 170 = 0 2 t = 5

128 Lasketaan pisteen Q koordinaatit sijoittamalla saatu parametrin arvo 2 t = suoran parametriesitykseen. 5 2 x = t = = y = t = = z = 6 15t = 6 15 = 0 5 Saadaan piste Q( 3, 2, 0). Ympyrän säde on keskipisteen P etäisyys suorasta AB eli pisteiden P ja Q välinen etäisyys. Muodostetaan vektori PQ ja lasketaan sen pituus. PQ = ( 3 3) i + (2 ( 1)) j + (0 2) k = 6i + 3j 2k PQ = ( 6) ( 2) = 49 = 7 Siten ympyrän säde on 7 ja ympyrän kehän pituus 2πr = 2π 7 = 14π. Vastaus 14π

129 278 a) Olkoon Q se tason piste, joka on lähimpänä pistettä P. Tällöin vektori PQ on kohtisuorassa tasoa vastaan. Tason suuntavektoreiksi voidaan valita vektorit AB ja AC. AB = ( 2 2) i + ( 2 ( 1)) j + (2 4) k = 4i j 2k AC = (4 2) i + (2 ( 1)) j + (6 4) k = 2i+ 3j + 2k Taso sisältää pisteen A(2, 1, 4) ja sillä on edellä lasketut suuntavektorit, joten tason parametriesitys on x = 2 4s+ 2t y = 1 s + 3t z = 4 2s + 2, t missä s ja t ovat reaalilukuja. Piste Q on tasossa, joten pisteen Q koordinaatit toteuttavat tason parametriesityksen ja voidaan merkitä Q = (2 4s+ 2 t, 1 s+ 3 t,4 2s+ 2 t).

130 Muodostetaan vektorin PQ lauseke. PQ = (2 4s+ 2t 3) i + ( 1 s+ 3t 2) j + (4 2s+ 2 t ( 1)) k = ( 1 4s+ 2) t i + ( 3 s+ 3) t j + (5 2s+ 2) t k Koska vektori PQ on kohtisuorassa tasoa vastaan, niin se on kohtisuorassa tason molempia suuntavektoreita AB = 4i j 2k ja AC = 2i + 3j + 2k vastaan. Muodostetaan yhtälöpari ja ratkaistaan parametrien s ja t arvot laskimella. PQ AB = 0 PQ AC = 0 (( 1 4s+ 2 t) i + ( 3 s+ 3 t) j + (5 2s+ 2 t) k) ( 4i j 2 k) = 0 (( 1 4s+ 2) t i + ( 3 s+ 3) t j + (5 2s+ 2) t k) (2i+ 3j + 2 k) = 0 ( 1 4s+ 2 t) ( 4) + ( 3 s+ 3 t) ( 1) + (5 2s+ 2 t) ( 2) = 0 ( 1 4s+ 2) t 2 + ( 3 s+ 3) t 3 + (5 2s+ 2) t 2= 0 21s 15t 3 = 0 15s + 17t 1 = 0 Yhtälöparin ratkaisu on 1 s = ja 2 1 t =. 2

131 Lasketaan pisteen Q koordinaatit sijoittamalla saadut 1 1 parametrien arvot s = ja t = tason parametriesitykseen x = 2 4s + 2t = 2 4 ( ) + 2 ( ) = y = 1 s + 3t = 1 + 3( ) = z = 4 2s+ 2t = 4 2 ( ) + 2 ( ) = Saadaan piste (1, 0, 4). Pisteen P etäisyys tasosta on pisteiden P ja Q välinen etäisyys. Muodostetaan vektori PQ ja lasketaan sen pituus. PQ = (1 3) i + (0 2) j + (4 ( 1)) k = 2i 2j + 5k PQ = ( 2) + ( 2) + 5 = 33 Pisteen P etäisyys tasosta on 33.

132 b) Olkoon Q se tason piste, joka on lähimpänä pistettä P. Tällöin piste Q on pisteen P kautta piirretyn tason normaalisuoran ja tason leikkauspiste. Normaalisuoran suuntavektoriksi voidaan valita tason normaalivektori. Tason 2x y+ z+ 1= 0 yksi normaalivektori on n = 2i j + k. Normaalisuora kulkee pisteen P(3, 2, 1) kautta, joten suoran parametriesitys on x = 3+ 2t y 2 t z = 1 + t, missä t on reaaliluku. Sijoitetaan lausekkeet tason yhtälöön 2x y+ z+ 1= 0 ja ratkaistaan parametrin t arvo. 2 (3+ 2 t) (2 t) + ( 1 + t) + 1 = 0 6t + 4= 0 2 t = 3

133 Lasketaan leikkauspisteen Q koordinaatit sijoittamalla saatu 2 parametrin arvo t = normaalisuoran parametriesitykseen x = 3 + 2t = ( ) = y = 2 t = 2 ( ) = z = 1+ t = 1 = 3 3 Pisteeksi Q saadaan (,, ) Pisteen P etäisyys tasosta on pisteiden P ja Q välinen etäisyys. Muodostetaan vektori PQ ja lasketaan sen pituus PQ = ( 3) i + ( 2) j + ( ( 1)) k = i + j k PQ = ( ) + ( ) + ( ) = = Pisteen P etäisyys tasosta on Vastaus a) 33 b) 2 6 3

134 279 Pisteen A paikkavektori on OA = 3i 2j k, joten piste A on (3, 2, 1). On laskettava pisteen A etäisyys pisteiden O (origo), B ja C määräämästä tasosta OBC. Olkoon Q se tason OBC piste, joka on lähimpänä pistettä A. Tällöin vektori AQ on kohtisuorassa tasoa vastaan. Tason suuntavektoreiksi voidaan valita vektorit OB = i + 3j + 4k ja OC = 2i + j 2k. Taso sisältää pisteen O (0,0,0) ja sillä on edellä mainitut suuntavektorit, joten tason parametriesitys on x = s+ 2t y = 3 s + t z = 4s 2, t missä s ja t ovat reaalilukuja. Piste Q on tasossa, joten pisteen Q koordinaatit toteuttavat tason parametriesityksen ja voidaan merkitä Q = ( s+ 2 t,3 s+ t,4s 2 t).

135 Muodostetaan vektorin AQ lauseke. AQ = ( s + 2t 3) i + (3 s + t ( 2)) j + (4s 2 t ( 1)) k = ( s+ 2t 3) i + (3s+ t+ 2) j + (4s 2t+ 1) k Koska vektori AQ on kohtisuorassa tasoa vastaan, niin se on kohtisuorassa tason molempia suuntavektoreita OB = i + 3j + 4k ja OC = 2i + j 2k vastaan. Muodostetaan yhtälöpari ja ratkaistaan parametrien s ja t arvot laskimella. AQ OB = 0 AQ OC = 0 (( s+ 2t 3) i + (3s+ t+ 2) j + (4s 2t+ 1) k) ( i + 3 j + 4 k) = 0 (( s+ 2t 3) i + (3s+ t+ 2) j + (4s 2t+ 1) k) (2i + j 2 k) = 0 ( s+ 2t 3) 1 + (3s+ t+ 2) 3 + (4s 2t+ 1) 4 = 0 ( s+ 2t 3) 2 + (3s+ t+ 2) 1 + (4s 2t+ 1) ( 2) = 0 26s 3t+ 7 = 0 3s + 9t 6 = 0 Yhtälöparin ratkaisu on 1 s = ja 5 3 t =. 5

136 Lasketaan pisteen Q koordinaatit sijoittamalla saadut parametrien 1 3 arvot s = ja t = tason parametriesitykseen x = s + 2t = + 2 = y = 3s + t = 3( ) + = z = 4s 2t = 4 ( ) 2 = Saadaan piste (1, 0, 2). Pisteen A etäisyys tasosta OBC on pisteiden A ja Q välinen etäisyys. Muodostetaan vektori AQ ja lasketaan sen pituus. AQ = (1 3) i + (0 ( 2)) j + ( 2 ( 1)) k = 2i + 2j k AQ = ( 2) ( 1) = 9 = 3 Pisteen A etäisyys tasosta OBC on 3. Vastaus 3

137 280 Merkitään kartion huippua eli pistettä (9, 2, 7) kirjaimella A. 1 Kartion tilavuus on V 3 h kartion korkeus. Lasketaan ensin kartion korkeus eli pisteen A etäisyys annetusta tasosta. 2 = π rh, missä r on pohjaympyrän säde ja Olkoon Q se tason OP = i j 6 k + s( i + 2j + 6 k) + t( i + 4j + 3 k) piste, joka on lähimpänä kartion huippua A. Tällöin vektori AQ on kohtisuorassa tasoa vastaan. Tason suuntavektoreiksi voidaan valita vektorit u = i + 2j + 6k ja v = i + 4j + 3k, jotka voidaan lukea suoraan tason vektoriyhtälöstä. Lisäksi taso sisältää vektoriyhtälön mukaan pisteen (1, 1, 6), joten tason parametriesitys on x = 1 s+ t y = 1 + 2s + 4t z = 6 + 6s + 3, t missä s ja t ovat reaalilukuja. (Esitys voidaan myös lukea suoraan vektoriyhtälöstä.) Piste Q on tasossa, joten pisteen Q koordinaatit toteuttavat tason parametriesityksen ja voidaan merkitä Q = (1 s+ t, 1+ 2s+ 4 t, 6+ 6s+ 3 t).

138 Muodostetaan vektorin AQ lauseke. AQ = (1 s + t 9) i + ( 1+ 2s + 4 t ( 2)) j + ( 6+ 6s + 3 t ( 7)) k = ( 8 s+ ti ) + (1 + 2s+ 4 t) j+ (1 + 6s+ 3 tk ) Koska vektori AQ on kohtisuorassa tasoa vastaan, niin se on kohtisuorassa tason molempia suuntavektoreita u = i + 2j + 6k ja v = i + 4j + 3k vastaan. Muodostetaan yhtälöpari ja ratkaistaan parametrien s ja t arvot laskimella. AQ u = 0 AQ v = 0 (( 8 s+ ti ) + (1 + 2s+ 4 t) j+ (1 + 6s+ 3 tk ) ) ( i+ 2 j+ 6 k) = 0 (( 8 s+ ti ) + (1 + 2s+ 4 t) j+ (1 + 6s+ 3 tk ) ) ( i+ 4 j+ 3 k) = 0 ( 8 s+ t) ( 1) + (1 + 2s+ 4 t) 2 + (1 + 6s+ 3 t) 6 = 0 ( 8 s+ t) 1 + (1 + 2s+ 4 t) 4 + (1 + 6s+ 3 t) 3 = 0 41s+ 25t+ 16 = 0 25s+ 26 t 1 = 0 Yhtälöparin ratkaisu on s = 1 ja t = 1.

139 Lasketaan pisteen Q koordinaatit sijoittamalla saadut parametrien arvot s = 1 ja t = 1 tason parametriesitykseen. x = 1 s+ t = 1 ( 1) + 1 = 3 y = 1 + 2s + 4t = ( 1) + 4 = 1 z = 6 + 6s + 3t = ( 1) + 3 = 9 Siten piste Q(3,1, 9) on tason pisteistä lähimpänä kartion huippua A. Huipun A etäisyys tasosta on pisteiden A ja Q välinen etäisyys. Muodostetaan vektori AQ ja lasketaan sen pituus. AQ = (3 9) i + (1 ( 2)) j + ( 9 ( 7)) k = 6i + 3 j 2k AQ = ( 6) ( 2) = 49 = 7 Pisteen A etäisyys tasosta on 7. Kyseessä on siis myös tutkittavan kartion korkeus h. Koska pohjaympyrän säteen r ja kartion korkeuden suhde on 3 : 1, ympyrän säteeksi saadaan r h r 3 = 1 = 3h = 3 7 = 21. Kartion tilavuus on V = πrh= π 21 7 = 1029π. 3 3 Vastaus 1029π

140 281 On laskettava kahden annetun tason välinen etäisyys. Määritetään ensin esimerkiksi ensimmäiseltä tasolta jokin piste ja lasketaan sen etäisyys jälkimmäisestä tasosta. Tasolla 2x+ y 5z = 1 on esimerkiksi piste (0,1,0), sillä pisteen koordinaatit toteuttavat tason yhtälön. Merkitään tätä pistettä kirjaimella P. Olkoon Q se jälkimmäisen tason 2x+ y 5z+ 71 = 0 piste, joka on lähimpänä pistettä P. Tällöin piste Q on pisteen P kautta piirretyn tason 2x+ y 5z+ 71 = 0 normaalisuoran ja tason leikkauspiste. Normaalisuoran suuntavektoriksi voidaan valita tason normaalivektori. Tason 2x+ y 5z+ 71 = 0 yksi normaalivektori on n = 2i + j 5k. Normaalisuora kulkee pisteen P (0,1,0) kautta, joten suoran parametriesitys on x = 2t y = 1 + t z = 5, t missä t on reaaliluku.

141 Sijoitetaan lausekkeet tason yhtälöön 2x+ y 5z+ 71 = 0 ja ratkaistaan parametrin t arvo. 2 2 t+ (1 + t) 5 ( 5 t) + 71 = 0 30t + 72 = 0 t = Lasketaan leikkauspisteen Q koordinaatit sijoittamalla saatu 12 parametrin arvo t = normaalisuoran parametriesitykseen x = 2t = 2 ( ) = y = 1 + t = 1 + ( ) = z = 5t = 5 ( ) = Siten piste Q(,,12) on jälkimmäisen tason pisteistä 5 5 lähimpänä ensimmäisen tason pistettä P. 12 5

142 Tasojen välinen etäisyys on sama kuin pisteiden P ja Q välinen etäisyys. Muodostetaan vektori PQ ja lasketaan sen pituus PQ = ( 0) i + ( 1) j + (12 0) k = i j + 12k PQ = ( ) + ( ) + 12 = = Siis tasojen välinen etäisyys on Vastaus

143 282 Merkitään pallon keskipistettä kirjaimella P. Lasketaan ensin pallon säde eli keskipisteen P etäisyys tasosta x+ 4y z+ 3= 0. Olkoon Q se tason x+ 4y z+ 3= 0 piste, joka on lähimpänä pistettä P. Tällöin piste Q on pisteen P kautta piirretyn tason x+ 4y z+ 3= 0 normaalisuoran ja tason leikkauspiste. Normaalisuoran suuntavektoriksi voidaan valita tason normaalivektori. Tason x+ 4y z+ 3= 0 yksi normaalivektori on n = i + 4 j k. Normaalisuora kulkee pallon keskipisteen P( 1, 6,5) kautta, joten suoran parametriesitys on x = 1 + t y = 6 + 4t z = 5 t, missä t on reaaliluku.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( ) Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin Peruskäsitteitä 8. CA CB + BA BC AB b a a b DA DB + BA ( BC) + ( AB) b a a b Vastaus: CA a b, DA a b 8. DC DA + AC BA + AC BA BC AC ( BC AC ) + AC AC CB Vastaus:

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

TASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö.

TASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö. TSON YHTÄLÖT VEKTORIT, M4 Jokainen seuraavista määrää avaruuden tason yksikäsitteisesti: - kolme tason pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla, - yksi piste ja pisteen ulkopuolinen suora, - yksi piste

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota. MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään

Lisätiedot

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 5 Paraabeli Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 13..017 ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Jos a > 0, paraabeli aukeaa oikealle. Jos a < 0, paraabeli aukeaa vasemmalle. Jos a = 0, paraabeli

Lisätiedot

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt 6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran

Lisätiedot

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät 11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit

Lisätiedot

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2 Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48 Trigonometriset funktiot 169. Muutetaan asteet radiaaneiksi. 180 astetta on radiaaneina π eli 180 = π rad Tällöin 1 rad. 180 45 1 a) 45 180 4 4 65 1 b) 65 180 6 10 c) 10 180 5 5 d) 5 180 4 40 7 e) 40 180

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole

Lisätiedot

Paraabeli suuntaisia suoria.

Paraabeli suuntaisia suoria. 15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

Yleistä vektoreista GeoGebralla

Yleistä vektoreista GeoGebralla Vektoreita GeoGebralla Vektoreilla voi laskea joko komentopohjaisesti esim. CAS-ikkunassa tai piirtämällä piirtoikkunassa. Ensimmäisen tavan etuna on, että laskujen tueksi muodostuu kuva. Tästä on varmasti

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

Ympyrän yhtälö

Ympyrän yhtälö Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v. Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

Suora. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio

Suora. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio Suora Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Suuntavektori Normaalivektori Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 2 / 12 Esimerkki Suuntavektori Normaalivektori Tarkastellaan suoraa y = 2 3 x 1. kulmakerroin

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Taso. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio

Taso. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio Taso Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Taso avaruudessa Piste P 0 ja tason normaalivektori n määräävät tason. n=a i+b j+c k P 0 (x 0,y 0,z 0 ) Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 2 / 7 Taso

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 29.3.2016 4. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut 1. Olkoon u (4,0,4,2) ja v ( 1,1,3,5) vektoreita vektoriavaruudessa R 4. Annetun sisätulon (x,y) indusoima normi on x (x,x) ja

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d.

c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 20 a) Vektorin a kanssa samansuuntaisia ovat vektorit b ja d. b) Vektorit ovat erisuuntaiset, jos ne eivät ole yhdensuuntaiset (samansuuntaiset tai vastakkaissuuntaiset).

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3 Mb8 Koe 4.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa Ympyrän ja pallon ominaisuuksia

Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa Ympyrän ja pallon ominaisuuksia 10. Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa 10.1. Ympyrän ja pallon ominaisuuksia 446. Minkä käyrän muodostavat ne tason E 2 pisteet, joista pisteitä ( a,0) ja (a,0) yhdistävä jana (a > 0) näkyy 45

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

b 4i j k ovat yhdensuuntaiset.

b 4i j k ovat yhdensuuntaiset. MAA5. 1 Koe 29.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää! Muista tehdä pisteytysruuduo ensimmäisen onseptin yläreunaan! Perustele vastausesi välivaiheilla! 1. Oloon vetorit a 2i 6 j 3 ja b i 4 j 3 a) Määritä

Lisätiedot

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Lämpötila maanpinnalla nähdään suoran ja y-akselin leikkauspisteen y- koordinaatista, joka on noin 10. Kun syvyys on 15 km, nähdään suoralta, että lämpötila

Lisätiedot

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta)

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta) MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 3.3.06. ( piste/kohta) Sivu / 8 Kohta Vaihtoehdon numero A B C D E F 3. a) Ainakin yhdet sulut kerrottu oikein auki 6x 4x x( 3x) Ratkaistu nollakohdat sieventämisen lisäksi

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

3 Skalaari ja vektori

3 Skalaari ja vektori 3 Skalaari ja vektori Määritelmä 3.1 Skalaari on suure, jolla on vain suuruus, jota mitataan jossakin mittayksikössä. Skalaaria merkitään reaaliluvulla. Esimerkki 3.2 Paino, pituus, etäisyys, pinta-ala,

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot