4.3 Signaalin autokorrelaatio

Transkriptio

1 5 4.3 Sigaali autokorrelaatio Sigaali autokorrelaatio kertoo kuika paljo sigaali eri illä korreloi itsesä kassa (josta imiki). Se o Fourier-muuokse ohella yksi käyttökelpoisimmista sigaalie aalysoitimeetelmistä. Puheekäsittelyssä sitä käytetää erityisesti puhee perustaajuude määrittämisessä Autokorrelaatio määritelmä Meidä tarkoituksiimme riittää hyvi määritellä autokorrelaatio vai äärellise pituisille sigaaleille, jotka käytäössä ovat kehyksiä jostai pidemmästä sigaalista. Kuviossa 4. o esimerkki tällaisesta sigaalista. Sigaali ideksoii kaalta o usei kuiteki äppärämpää esittää tämä äärettömä pitkää sigaalia, joka o muualla kui tämä äärellise ikkua kohdalla. Kuvio 4. esittää tämä ollilla jatketu sigaali. Sigaali s() autokorrelaatio r(k) määritellää kaavalla r(k) = = s()s( k), (4.) missä k saa kaikki kokoaislukuarvot k =...,,,,,,.... Huomaa että autokorrelaatio o siis e fuktio vastaavasti kui esimerkiksi FFT o taajuude fuktio, joka takia sitä imitetää myös autokorrelaatiofuktioksi. Autokorrelaatio o itse asiassa korrelaatio sigaalie s() ja s( k) välillä: se arvo o sitä suurempi mitä eemmä ämä sigaalit korreloivat keskeää. Eräs ogelma autokorrelaatio määrittelemisessä kaavalla (4.) o se, että suuremmilla illä k summaa tulee mukaa vähemmä termejä ja tämä takia autokorrelaatio arvo pieeee e kasvaessa sigaalista riippumatta. Esimerkiksi jos meillä o N: äyttee pituie ikkua vakiosigaalia (eli s() = ku < N ja s() = muulloi), ku k < N autokorrelaatio o r(k) = s()s( k) = = N =k N =k s()s( k) = N k. Ku N < k, vastaavalla päättelyllä todetaa että autokorrelaatio o r(k) = N k.

2 4.3. SIGNAALIN AUTOKORRELAATIO 53. puhekehys äyte Kuvio 4.: Äärellise pituie kehys. Ku k N, toie termi summassa (4.) o aia, jote kaike kaikkiaa tässä tapauksessa autokorrelaatioksi tulee { N k, ku k < N r(k) =, ku k N Toisi saoe tämä autokorrelaatio määritelmä suosii pieempiä itä. Tämä takia autokorrelaatiosta löytyy myös pari muuelmaa joissa tämä ogelma pyritää kiertämää. Esimmäie muuelma o määritellä autokorrelaatio kaavalla r (k) = s()s( k), (4.) N k jossa yksikertaisesti otetaa keskiarvo kaikista ollasta eroavista tulo termeistä ellä k. Tämä kyllä poistaa arvoje pieeemise ogelma mutta tilalle tulee toie: mitä suurempi k o, sitä vähemmä termejä summaa tulee mukaa ja sitä epäluotettavampi tulos o. Esimerkiksi kohiaisella sigaalilla autokorrelaatio voi saada suuriaki arvoja ku o suuri vaikka sigaali ei äillä illä oikeastaa korreloikaa, esimerkki tästä löytyy jäljempää. Koko homma saataisii perusteltua täsmällisemmi sillä että tämä autokorrelaatiofuktio estimaattori variassi kasvaa ku kasvaa (vaikka se oki harhato) mutta tämä vaatisi stokastiste prosessie teoriaa jote ei käydä tätä se tarkemmi läpi.

3 54. ollilla jatkettu puhekehys äyte Kuvio 4.: Nollilla jatkettu äärellise pituie kehys. Vielä yksi muuos autokorrelaatiosta saadaa kaavalla r (k) = N = N+ s()s( k), ku N < k < N ja summa laskemisee käytetää s(): arvoja ku = N +,..., N. Tässä jippo o siiä, että kaikilla illä otetaa summaa mukaa sama määrä termejä jolloi luotettavuus säilyy. Ogelmaa o se että sigaalista tarvitaa pidempi ikkua kui edellisillä meetelmillä ja eri illä autokorrelaatio tulee laskettua eri äytteide yli, joka seurauksea osa seuraava kappalee omiaisuuksista eivät ole voimassa. Jatkossa käytämme autokorrelaatiota (4.) mutta o hyvä pitää mielessä että myös vaihtoehtoja o olemassa. Matlabissa autokorrelaatio saa laskettua komeolla xcorr. Autokorrelaatiofuktio omiaisuuksia Kaava (4.) autokorrelaatiolla o seuraavat omiaisuudet: r(k) = r( k), toisi saoe autokorrelaatio o symmetrie fuktio - e suhtee. Jätetää tämä lukija todettavaksi.

4 4.3. SIGNAALIN AUTOKORRELAATIO 55 r() = sigaali eergia. Tämä seuraa suoraa siitä että r() = s(). r() r(k) kaikilla k: arvoilla. Otetaa lähtökohdaksi perusmatika kursseilta tuttu Cauchy-Schwarz epäyhtälö N: pituisille reaalivektoreille x ja y: ( N ( N ) ( N ) x()y()) x() y(). = = = Myös tässä voidaa summata kaikkie kokoaislukuideksie yli kuha vai äärellie määrä arvoista poikkeaa ollasta. Ku meillä o joku k ii otetaa vektoriksi x sigaali s() ja vektoriksi y viivästetty sigaali s( k). Huomaa että koska s():ssa vai äärellise mota arvoa eroaa ollasta, sekä s() että s( k) voidaa esittää äärellise pituisia vektoreia. Kokreettie esimerkki: jos s() = [ 3 ] ja k = ii tehdää vektorit x = [ 3 ] ja y = [ 3 ]. Nyt ku sovelletaa Cauchy-Schwarz-epäyhtälöä äihi vektoreihi saadaa ( ( ) ( ) s()s( k)) s() s( k) ( ) = s(), koska s() = s( k). Tästä seuraa että r(k) r(), josta puolestaa seuraa että r() r(k). autokorrelaatiofuktio Fourier-muuos = sigaali Fourier-muuokse amplitudi eliö (Wieer-Khichi teoreema). Tarkallee ottae siis r() exp( jω) = s() exp( jω).

5 56 Tämä o hituse yllättävä tulos ja yksi tapa hahmottaa sitä o seuraava: autokorrelaatiofuktio r(k) symmetrisyydestä seuraa helposti että se Fouriermuuos o reaalie. Tämä teoreema saoo että Fourier-muuos o paitsi reaalie myös ei-egatiivie (koska edellise yhtälö oikea puoli o aia. Tällä kurssilla emme isommi käytä tätä tulosta mutta se o kuiteki hyvä pitää miele perukoilla. Esimerkkejä autokorrelaatiosta Katsotaa läpi muutamia sigaaleja ja iide autokorrelaatio jotta saadaa joki käsitys siitä mite autokorrelaatio toimii. Olemme lähiä kiiostueita siitä mikä autokorrelaatiofuktio muoto o, jote tätä tarkoitusta varte autokorrelaatio saadaa äppärästi ormalisoitua jakamalla se arvot r():lla. Esimerkki : s() = eli vakiosigaali. Totesimme jo aiemmi että tämä sigaali autokorrelaatiofuktio o r(k) = N k. Tässä tapauksessa r() = N, jote ormalisoitu autokorrelaatio (siis autokorrelaatio jaettua sigaali eergialla) o r(k) = k N. Tämä o esitetty kuviossa 4.3. Tässä o oleellista huomata että vaikka s(): äytteet eri illä korreloivat täysi, ii sigaali ikkuoiti aiheuttaa se että autokorrelaatio kuiteki pieeee lieaarisesti e kasvaessa. Esimerkki : s() = satuaista kohiaa joka keskiarvo =. Ajatellaa vaikka että sigaali saadaa heittämällä 4-sivuista oppaa joka arvot ovat 3,, ja. Ku k = ii r() o sigaali eergia, kute tavallista. Ku k, meillä o summa r(k) = s()s( k). Nyt mikä tahasa kahde arvo s() ja s( k) tulo saadaa taulukosta

6 4.3. SIGNAALIN AUTOKORRELAATIO 57 vakiosigaali ormalisoitu autokorrelaatio Kuvio 4.3: Vakiosigaali ja autokorrelaatio. Todetaa että tauluko alkioide summa o ja jokaie iistä o yhtä todeäköie, jote summasta s()s( k) tulee arvoksi keskimääri. Tämä päättely saataisii huomattavasti vakaammalle pohjalle käyttämällä todeäköisyyslaskea teoriaa mutta tämä tarkkuus riittää meidä tarpeisiimme. Eli satuaise sigaali tapauksessa autokorrelaatio r(k) o sigaali eergia ku k = ja koko lailla ku k. Kuviossa 4.4 o esitetty yksi realisaatio tästä sigaalista ku se pituus o N = ja tämä ormalisoitu autokorrelaatio. Todetaa että autokorrelaatio ei ole tarkallee ku k mutta kuiteki aika liki. Kuviossa 4.5 o esitelty tilae ku sigaali pituus N =, josta huomataa että ormalisoitu autokorrelaatio o huomattavasti pieempi ku k. Normalisoitu autokorrelaatio käyttäe kaavaa (4.) o vielä laskettu kuviossa 4.6 josta välittömästi havaitaa että pitkillä illä tämä meetelmä ei ole kovi luotettava. Tavallaa ämä kaksi esimerkkisigaalia kuvastavat autokorrelaatio ääripäitä: täysi korreloiva sigaali ormalisoitu autokorrelaatio o k ja täysi N satuaise sigaali ormalisoitu autokorrelaatio o impulssi (siis ku k =

7 58 kohiasigaali ormalisoitu autokorrelaatio Kuvio 4.4: Satuaissigaali autokorrelaatio. ja muute). Käytäö sigaalit elävät jossai äide ääripäide välimaastossa jota varte katsotaa pari esimerkkiä autokorrelaatiosta eri puheääteissä. Esimerkki 3: kuviossa 4.7 o esitetty kehys (suorakaideikkualla ikkuoitu) [ä]-ääteestä ja se autokorrelaatio. Havaitaa että autokorrelaatiossa o useita suuria piikkejä jote eri et korreloivat vahvasti keskeää. Erityisesti ellä 5 autokorrelaatiossa o iso positiivie piikki joka johtuu puhee perustaajuudesta tässä kehyksessä; yhdellä jaksopituudella viivästetty puhe äyttää aika samalta kui viivästämätö puhe. Tässä kehyksessä puhee perustaajuus o siis 6 Hz 5 7 Hz. Itse asiassa autokorrelaatio piikkie etsitä o hyvä tapa löytää puhee perustaajuus (tästä tarkemmi seuraavassa luvussa). Esimerkki 4: kuviosta 4.7 löytyy kehys (taas suorakaideikkualla ikkuoitu) [s]-ääteestä ja se autokorrelaatio. Tässä tapauksessa autokorrelaatio o kohtuullise impulssimaie mikä viittaa siihe että [s]-äätee aaltomuoto o melko satuaie.

8 4.3. SIGNAALIN AUTOKORRELAATIO 59 pidempi kohiasigaali ormalisoitu autokorrelaatio Kuvio 4.5: Pidemmä satuaissigaali autokorrelaatio. pidempi kohiasigaali ormalisoitu autokorrelaatio r (k) Kuvio 4.6: Satuaissigaali autokorrelaatio kaavalla (4.).

9 6. [ä] ääe ormalisoitu autokorrelaatio Kuvio 4.7: [ä]-ääe ja autokorrelaatio..3 [s] ääe ormalisoitu autokorrelaatio Kuvio 4.8: [s]-ääe ja autokorrelaatio.