Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!"

Transkriptio

1 Mite opit parhaite? Valmistaudu pitkä- tai lyhye matematiika kirjoituksii ilmaiseksi Mafyetti-ohjelmalla! Harjoittelu tehdää aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat asiat. Lasket kyällä ja paperilla, mutta Mafyetti opettaa ja euvoo videoide ja ratkaisuje avulla. Mafyetti huolehtii kertauksesta, jote et uohda oppimiasi asioita. Mafyetti o yt kokoaa ilmaie! Lataa ilmaiseksi mafyvalmeus.fi/mafyetti

2 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata eitää kymmeee tehtävää. Tähdellä (*) merkittyje tehtävie maksimipistemäärä o 9, muide tehtävie maksimipistemäärä o 6.. a) Ratkaise yhtälö 3 x = x. b) Suorakulmaise kolmio hypoteuusa pituus o 5 ja toise kateeti pituus. Laske toise kateeti pituus. c) Ratkaise yhtälö 4 x x + 3 = + x a) Sieveä lauseke + välivaiheet esittäe. + b) Laske suora y = x ja ympyrä x x c) Olkoo f ( x) =. Laske f (). + y = leikkauspisteet. 3. a) Ratkaise yhtälö l( x + ) l( x ) = l 4 + l. b) Ratkaise epäyhtälö x + 3. x c) Määritä pistee (3, ) etäisyys suorasta 4x 3y =. 4. a) Näytä, että molemmat fuktiot x F ( x) = ja F ( x) = x x ovat fuktio f ( x) = ( x) itegraalifuktioita, ku x >. b) Sieveä erotus F ( x) F ( x). c) Laske fuktio f ( x) kuvaaja ja x -akseli rajoittama aluee pita-ala, ku x 5.

3 5. Laske vektoreide a = i + j k ja b = 3i j k välie kulma astee kymmeesosa tarkkuudella. x 4 6. a) Laske lim. x x b) Ratkaise epäyhtälö x 4 4 < 0,0. x 7. Poiseuille lai (Jea Louis Marie Poiseuille, ) mukaa putkessa virtaava vede virtausopeus o suoraa verraollie putke halkaisija eljätee potessii, ku muut tilateesee liittyvät suureet pysyvät samoia. Kuika mota prosettia halkaisijaa o suureettava, jos virtausopeus halutaa kaksikertaistaa? 8. Eräässä tietokoepelissä pelaaja eteee ylimmälle tasolle oheise kaavio mukaisesti ja saa kaavioo merkity pistemäärä. Jokaisessa risteyksessä hä valitsee satuaisesti yhde tasavertaisista vaihtoehdoista ja eteee seuraavalle tasolle ylöspäi. a) Millä todeäköisyydellä pelaaja saavuttaa suurimma pistemäärä 40? b) Määritä pistemäärä odotusarvo KUVA: puu.pdf 9. a) Näytä, että fuktiolla b) Määritä kääteisfuktio f ( x) = x x o kääteisfuktio, ku x. f ( x) lauseke. c) Piirrä fuktio f ( x ) ja se kääteisfuktio f ( x) kuvaajat samaa koordiaatistoo.

4 Määritä fuktio f ( x) = 3cos x si x ollakohdat sekä suuri ja piei arvo... Lukujoo ( a ) termit ovat muotoa a) Näytä, että 0 < a <, ku =,,3,. b) Näytä, että a > a, ku =,,3,. + c) Määritä lim a. a =, =,,3,. +.. Isaac Newto esitti vuoa 669 imeää katava meetelmä, joka avulla fuktioide ollakohtia voidaa laskea umeerisesti. Yhteä esimerkkiä meetelmäsä toimivuudesta 3 hä käytti polyomia f ( x) = x x 5. a) Laske f ( x ). b) Näytä, että Newtoi tutkimalla yhtälöllä f ( x ) = 0 o ratkaisu välillä [,3]. c) Laske ratkaisulle eljä iteraatioaskelee approksimaatio Newtoi meetelmällä lähtie alkuarvosta x 0 =. Ilmoita vastaus eljä desimaali tarkkuudella Osoita epäsuoraa todistusta käyttämällä, että lg 50 ei ole ratioaaliluku. (lg = log 0)

5 4 *4. Olkoo f ( x) = ax + b. a) Laske f ( x) dx. ( p.) 0 b) Johda lausekkeet summille i i S = f ja s = f, i= i= ku =,,3,. (4 p.) c) Laske raja-arvot lim S ja lim( S s). (3 p.) y y=ax+b KUVA: summat.pdf 0 x *5. Merkitää kolmio ABC keskijaoje AD ja BE leikkauspistettä kirjaimella P. a) Jos F o jaa AP keskipiste ja G jaa BP keskipiste, ii osoita, että jaa FG pituus o puolet jaa AB pituudesta. ( p.) b) Osoita, että elikulmio FGDE o suuikas. ( p.) c) Osoita, että jaa DP pituus o kolmasosa jaa AD pituudesta. ( p.) d) Todista edelliste kohtie perusteella seuraava lause: Kolmio keskijaat leikkaavat toisesa samassa pisteessä, joka jakaa jokaise keskijaa site, että sivu puoleise osa pituus o kolmasosa koko keskijaa pituudesta. (3 p.) C KUVA: kolmio.pdf E P D A F G B

6 Pitkä matematiikka, syksy 0 Mallivastaukset, Mallivastauste laatimisesta ovat vastaeet filosofia maisteri Teemu Kekkoe ja diplomi-isiööri Atti Suomie. Teemu Kekkoe o opettaut lukiossa viide vuode aja pitkää ja lyhyttä matematiikkaa sekä fysiikkaa. Hä o tarkastaut matematiika ja fysiika yo-kokeita koko tämä aja. Teemu Kekkoe ja Atti Suomie toimivat opettajia MA-FY Valmeuksessa. Nämä mallivastaukset ovat MA-FY Valmeukse omaisuutta. MA-FY Valmeus o Helsigissä toimiva, matematiika ja fysiika valmeuskursseihi erikoistuut yritys. Palveluitamme ovat TKK-pääsykoekurssit arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit yo-kokeisii valmetavat kurssit yksityisopetus Vuode 00 keväästä alkae olemme julkaisseet iteret-sivuillamme kaike palauttee, joka asiakkaat atavat kursseistamme. Näi varmistamme, että palveluistamme kiiostueilla ihmisillä o mahdollisuus saada tarkka ja rehellie kuva siitä, mitä meiltä voi odottaa. Tämä asiakirja o tarkoitettu yksityishekilöille opiskelukäyttöö ja omie yo-vastauste tarkistamista varte. Kopio tästä asiakirjasta voi ladata MA-FY Valmeukse iteret-sivuilta Käyttö kaikissa kaupallisissa tarkoituksissa o kielletty. Lukio matematiika opettajaa voit käyttää äitä mallivastauksia oppimateriaalia lukiokursseilla. MA-FY Valmeukse yhteystiedot: iteret: s-posti: puheli: (09) TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit

7 . a) 3x = x 3x + x = 0 x(3x + ) = 0 (tulo ollasäätö) x = 0 tai 3x + = 0 3x = : 3 x = 3 Vastaus: x = 3 tai x = 0 b) Suorakulmaie kolmio. Pythagoraa lausee mukaa 5 = + x x = 5 x = ( + ) Vastaus: Toise kateeti pituus o. c) 4x 5 4 0(4x ) 5 = = x x 4 0 0(x + ) (3 x) 4 6x 4 = 0x x 6x 0x + 5x = x = 9 : x = 9 TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit

8 . a) ) + ) + = + = + + = = = b) Leikkauspisteet saadaa yhtälöparista { y = x () Sijoitetaa () yhtälöö (), saadaa x + y = () x + (x) = x + 4x = 5x = : 5 Sijoitetaa (3) yhtälöö (). y = ± 5 ( ) ( Vastaus: Leikkauspisteet ovat 5, 5 ja c) Fuktio f(x) = x derivaattafuktio o Kysytty derivaata arvo o Vastaus: f () = l x = 5 x = ± 5 (3) 5, 5 ). f (x) = x l ( ) = x l f () = l = l TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit

9 3. a) l(x + ) l(x ) = l 4 + l Määrittelyehdot ovat: x + > 0 ja x > 0 (x > ja) x > l(x + ) l(x ) = l 4 + l ( ) x + l = l(4 ) x x + = 8 (x ) (määrittelyehdo x mukaa x > 0) x + = 8(x ) x + = 8x 8 7x = 9 x = 9 7 : ( 7) b) x + x 3 Määrittelyehto o x 0 x x + x x ) 3 x + x 3x 3 x x + x 3x 3 x 0 x + (3x 3) 0 x Muodostetaa yhtälö merkkikaavio. x + 4 x 0 osoittaja: x + 4 = 0 x = 4 imittäjä: x = 0 x = TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit 3

10 Vastaus: < x 4 c) Suora yhtälö o 4x 3y = eli 4x 3y = 0. Piste (x 0, y 0 ) = (3, ) Pistee etäisyys suorasta o d = Ax 0 + By 0 + C A + B, missä A = 4, B = 3 ja C =. Saadaa d = ( 3) ( ) + ( ) 4 + ( 3) d = 6 5 d = 6 5 Vastaus: Pistee etäisyys suorasta o 6 5. TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit 4

11 4. a) F ja F ovat f: itegraalifuktioita, jos ja vai jos F ja F ovat sama fuktio kui f se määrittelyjoukossa. Lasketaa derivaattafuktiot. F (x) = D x = D( x) = ( x) ( ) = ( x) F (x) = D x x D x ( x) x D( x) = ( x) ( x) x ( ) = ( x) = x + x ( x) = ( x) F, F ja f ovat määriteltyjä kaikilla x >. Lisäksi todettii, että F (x) = F (x) = f(x), jote F ja F ovat fuktio f itegraalifuktioita. b) Vastaus: F (x) F (x) = F (x) F (x) = x x x = x x = TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit 5

12 c) Kysytty ala o 5 f(x) dx = / 5 F (x) = F (5) F () = 5 = 3 4 Vastaus: Kysytty ala o 3 4. TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit 6

13 5. ā = ī + j k b = 3ī j k Vektorie ā ja b välie kulma α saadaa kaavasta Lasketaa skalaaritulo. Lasketaa vektorie ā ja b pituudet. Ratkaistaa kulma α. cos α = ā b ā b. ā b = 3 + ( ) + ( ) ( ) = 6 ā = + + ( ) = 3 b = 3 + ( ) + ( ) = 4 6 cos α = 3 4 α = 57, α 57,7 Vastaus: Vektorie välie kulma o 57,7. TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit 7

14 6. a) x 4 lim x x = lim (x )(x + ) x (x ) = lim x (x + ) = + = 4 b) x 4 x 4 < 0,0 Epäyhtälö määrittelyehto o x 0 Vastaus:,99 < x <,0 ja x. x x 4 x 4 < 0,0 (x )(x + ) 4 (x ) < 0,0 x + 4 < 0,0 x < 0,0 x < 0,0 ja x > 0,0 x <,0 ja x >,99 TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit 8

15 7. Jos putke halkaisija o d, ii vede virtausopeus v o v = k d 4, missä k o vakio. Piei putki: v ja d Iso putki: v ja d Virtausopeus halutaa kaksikertaistaa, jote oltava Vaadittu halkaisija muutos o v = v k d 4 k d 4 = d 4 4 d 4 = d 4 d = ( + 4 ) d d d d = 4 d d d = 4 = 0, ,9 % Vastaus: Halkaisijaa o suureettava 8,9 %. TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit 9

16 8. Merkitää vaihtoehtoisia tapauksia oheise kuva mukaisesti Solmukohdissa I III jokaie haara eteepäi o yhtä todeäköie. Site P (I) = 3 P (II) = P (III) = 3 a) M : Tulee 40 pistettä P (M) = P (B tai B ) = P (I ja II tai I ja III) = = 5 8 Vastaus: Suuri pistemäärä saavutetaa todeäköisyydellä 5 8. TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit 0

17 b) Olkoo satuaismuuttuja X saatu pistemäärä. Nyt P (X = 40) = 5 8 (a-kohta) P (X = 30) = P (C) = P (I ja III) = 3 3 = 9 P (X = 0) = P (A tai A ) = P (I tai I ja II) = = Pistemäärä odotusarvo P (X = 5) = P (D) = P (I ja III) = 3 3 = 9 E(X) = i p i X i = = 5 Vastaus: Pistemäärä odotusarvo o 5. TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit

18 9. a) f(x) = x x Fuktiolla f o kääteisfuktio, ku x, mikäli se o aidosti mootoie, ku x. Tutkitaa fuktio f mootoisuutta derivaata avulla Derivaatta o positiivie, ku f (x) = x f (x) 0 x 0 x : x. Derivaatta f (x) = 0 yhdessä kohdassa (x = ) ja f (x) > 0, ku x >. Näi olle fuktio f o aidosti kasvava, ku x ja sillä o kääteisfuktio, ku x. b) Merkitää y:llä fuktio f arvoa kohdassa x eli Ratkaistaa x yhtälöstä (). x x y = 0 y = f(x) y = x x () y = x x Kääteisfuktio lauseke o siis joko missä + x 0 x = ± ( ) + 4 y 4 + 4y x = ± 4( + y) x = ± x = ± + y f (x) = + + x tai f (x) = + x, x. Kääteisfuktio arvojoukko o A f = M f = [, ]. TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit

19 f saa siis vai arvoja, jotka ovat suurempia tai yhtäsuuria kui. Tällöi f (x) = + + x. Vastaus: Kääteisfuktio lauseke o f (x) = + + x. c) Lasketaa pisteitä fuktioide kuvaajie piirtämiseksi. f(x) = x x x f(x) f (x) x Fuktio f kuvaaja saadaa peilaamalla fuktio f kuvaaja suora y = x suhtee. Piirretää kuvaajat koordiaatistoo. Huomautus lukijalle: Kääteisfuktio kuvaaja piirtämiseksi ei tarvitse eriksee laskea pisteitä (x, f (x)). Kääteisfuktio kuvaaja saadaa peilaamalla fuktio f kuvaaja suora y = x suhtee. Tästä seuraa, että kääteisfuktio kuvaaja pisteet (x, f (x)) saadaa käätämällä fuktio f kuvaaja pisteide x- ja y-koordiaatit, kute taulukossa o tehty. TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit 3

20 0. f(x) = 3 cos x si x Tiedetää, että si x + cos x =, jote Sijoitetaa () fuktio f(x) lausekkeesee. si x = cos x. () f(x) = 3 cos x ( cos x) f(x) = 4 cos x 3 Ratkaistaa fuktio ollakohdat 3 cos x = f(x) = 0 4 cos x 3 = 0 4 cos x = 3 : 4 cos x = cos x = ± 4 3 cos x = ± 3 tai cos x = x = ± 5π 6 + π tai x = ±π + π, missä Z. 6 Määritetää seuraavaksi fuktio suuri ja piei arvo. Lausekkee cos x arvojoukko o [0, ], jote 0 cos x cos x cos x 3 Vastaus: Nollakohdat ovat x = ± 5π 6 + π ja x = ± π + π, missä Z. 6 Fuktio suuri arvo o ja piei arvo o 3. Huomautus lukijalle! Saatu trigoometrise yhtälö ratkaisu voidaa esittää yksikertaisemmassa muodossa. Emme kuitekaa usko, että seuraavaa TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit 4

21 vaaditaa täysie pisteide saamiseksi. x = ± 5π 6 π + π tai x = ±π 6 + π eli x = 5 6 π + π tai x = π 6 + π tai x = 5 6 π + π tai x = π 6 + π eli x = π 6 π + π + π tai x = π 6 + π tai x = π 6 π + π tai x = π 6 + π eli x = π 6 + π( + ) tai x = π 6 + π tai x = π 6 + π( ) tai x = π 6 + π π( + ) sisältää kaikki π: parittomat moikerrat ja π parilliset moikerrat, jote e sisältävät kaikki π: kokoaislukumoikerrat. Sama pätee lausekkeille π( ) ja π. Näi ratkaisu yksikertaistuu muotoo x = π 6 + π tai x = π 6 + π, Z eli Vastaus: Nollakohdat ovat x = ± π 6 + π, missä Z. TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit 5

22 . a =, =,, 3,... + a) 0 < a < eli + > 0 () ja + < () Epäyhtälö () o tosi kaikilla =,, 3,..., sillä > 0 ja + > 0 kaikilla =,, 3,.... Ratkaistaa epäyhtälö (). + < ( + ) ( + > 0, ku =,, 3,...) < + 0 < Epäyhtälö o tosi kaikilla =,, 3,.... Epäyhtälöt () ja () ovat tosia, jote kaksoisepäyhtälö o tosi kaikilla =,, 3,.... b) 0 < a < a + > a + ( + ) + > > + Huomataa, että + 3 > 0, ku =,, 3,... ja + > 0, ku =,, 3,.... Tällöi epäyhtälö voidaa kertoa ristii ja saadaa ( + )( + ) > ( + 3) > + 3 > 0, tosi Näi olle epäyhtälö o tosi kaikilla =,, 3,.... a + > a TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit 6

23 c) lim a = lim + = lim ( ) + = lim + = + 0 = TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit 7

24 . f(x) = x 3 x 5 a) f (x) = 3x b) f() = 3 5 = f(3) = = 6 Koska siis f() < 0, f(3) > 0 ja f(x) o polyomifuktioa kaikkialla jatkuva, o fuktiolla f Bolzao lausee mukaa aiaki yksi ollakohta välillä ], 3[ ja site myös välillä [, 3]. Näi olle yhtälöllä o ratkaisu välillä [, 3] f(x) = 0 c) Newtoi meetelmällä saadaa joo Alkuarvauksella x 0 = saadaa x + = x f(x ) f (x ). x = x 0 f(x 0) f (x 0 ) = =, x =,,3, 5 3, =, x 3 =, x 4 =, x,0946 TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit 8

25 3. Tehdää vastaoletus: lg 50 o ratioaaliluku. Tällöi löytyy keskeää jaottomat kokoaisluvut a ja b, b 0, site, että lg 50 = a b. Koska 0 < 50 ja lg x o aidosti kasvava fuktio, saadaa a b = lg 50 > lg 0 =. Tästä epäyhtälöstä ähdää, että a o positiivie luku, jote voidaa olettaa, että a ja b ovat positiivisia kokoaislukuja. Tällöi, kertomalla epäyhtä- b lö molemmat puolet luvulla b, saadaa a > b. Nyt lg 50 = a b b lg 50 = a b lg 50 b = a 0 () 50 b = 0 a Koska a ja b ovat positiivisia kokoaislukuja, ii 50 b ja 0 a ovat kokoaislukuja. Näide lukuje alkutekijähajotelmat ovat 0 a = ( 5) a = a 5 a ja 50 b = ( 5 ) b = b 5 b. Koska a > b, ii alkutekijä potessit äissä alkutekijähajotelmissa eivät ole samat, jote alkutekijähajotelmat eivät ole samat. Saatu ristiriita osoittaa, että vastaoletus o väärä. Siis lg 50 ei ole ratioaaliluku. Huomautus lukijalle! Alussa osoitettii, että a > b. Todistus o pätevä, vaikka osoitettaisii vai, että a b. Uskomme, että jälkimmäise osoittamiseksi riittää todeta, että a = lg 50 =, , josta seuraa, että a b. Laskimella laskettu arvo, riittää luultavasti myös se perustelemiseksi, b että a ja b voidaa olettaa positiivisiksi. Vaihtoehtoie tapa ratkaista tehtävä o todeta alussa, että lg 50 = lg(5 0) = lg 5 + lg 0 = lg 5 + ja osoittaa, että lg 5 o irratioaaliluku. Tässä ratkaisutavassa ei tarvitse osoittaa, että a b, jote silloi pisteytys voi olla erilaie. TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit 9

26 *4. f(x) = ax + b. a) f(x) dx = 0 0 / (ax + b) dx = ( ax + bx) 0 = a + b. b) S = = = ( ) i f (a i ) + b i= i= ( a ) i + b i= Saatu lauseke o aritmeettie summa, jolle a = a + b ja a = a + b = a + b. Aritmeettise summa kaavasta saadaa S = a + a a S = + b + a + b S = a + a + b TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit 0

27 Toie summa s = = = = ( ) i f ( ) i a + b ( ) ai a + b ( a i a ) + b i= i= i= i= Saatu lauseke o aritmeettie summa, jolle a = a a + b = b ja a = a a + b = a a + b. Aritmeettise summa kaavasta saadaa s = a + a s = b + a a + b s = a + a + b c) ( a lim S = lim + a ) + b = a 0 + a + b = a + b. Lasketaa esi raja-arvo ( lim s = lim a + a ) + b = a 0 + a + b = a + b TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit

28 Kysytty raja-arvo o lim (S s ) = lim S lim s = a ( a ) + b + b = 0. TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit

29 *5. a) Kolmioide F GP ja ABP vastisivuje suhteet ovat GP BP = GP GP = F P ja AP = F P F P =. Lisäksi kolmioilla F GP ja ABP o sama vastikulma AP B, jote F GP ABP (sks). Yhdemuotoisuudesta seuraa, että myös F G AB =. b) Kolmioilla CED ja CAB o sama kulma C ja vastisivuje suhteet ovat CE CA = CD CB =, jote CED CAB (sks). Viimeisestä yhdemuotoisuudesta seuraa, että samakohtaiset kulmat CED ja CAB ovat yhtäsuuret, jote ED AB. Toisaalta F GP : ja ABP : yhdemuotoisuudesta seuraa, että samakohtaiset kulmat P F G ja P AB ovat yhtäsuuret, jote F G AB. Tästä seuraa, että myös ED F G. Yhdesuutaisuudesta ED F G seuraa, että samakohtaiset kulmat DEG ja F GE ovat yhtäsuuret. Kolmioilla DEG ja F GE o yhteie sivu EG, josta yhdessä edelliste kassa seuraa, että DEG = F GE (sks). Viimeisestä yhteevyydestä seuraa, että samakohtaiset kulmat F EG ja DGE ovat yhtäsuuret, jote EF DG. O osoitettu, että elikulmio F GDE vastakkaiset sivut ovat yhdesuutaiset, jote F GDE o suuikas. c) Samakohtaiset kulmat EDP ja P F G ovat yhtäsuuret, jote yhdessä edellise kassa seuraa, että EDP = P F G (ksk). Viimeisestä yhteevyydestä seuraa, että vastisivuille DP ja F P pätee DP = F P. Näi olle DP AD = DP AF + F P + DP DP AD = DP AD = 3 F P F P + F P + F P TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit 3

30 d) Merkitää sivu AB keskipistettä H:lla. Voidaa osoittaa vastaavasti kui kohdissa a c, että DR AD =. Koska R ja P jakavat jaa AD samassa suhteessa :, ii e ovat sama piste. Näi olle sekä pisteestä B että C 3 piirretyt keskijaat jakavat keskijaa AD site, että sivu BC puoleie osa o kolmasosa keskijaa AD pituudesta. Saadaa kuva Koska missää edellä olevassa ei tehty oletuksia kulma A laadusta, voidaa osoittaa vastaavasti kute edellä, että pisteistä B ja C lähteville keskijaoille pätee EP BE = HP ja 3 CH = 3. Näi olle kolmio keskijaat leikkaavat toisesa samassa pisteessä P site, että P jakaa jokaise keskijaa site, että sivu puoleise osa pituus o kolmasosa koko keskijaa pituudesta. TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit 4

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot Calculus Lukio MAA9 Trigoometriset fuktiot ja lukujoot Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Trigoometriset fuktiot ja lukujoot (MAA9) Pikatesti

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x =

2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x = TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. a) g( ) = 5 + 6 Koska g o eljäe astee polyomi, ii

Lisätiedot

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen?

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen? YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 3.3.0 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kurssikerta 3 1 Lisää iduktiota Jatketaa iduktio tarkastelua esimerki avulla. Yritetää löytää kaava : esimmäise (positiivise) parittoma luvu summalle eli summalle 1 + 3 + 5 + 7 +...

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy

Lisätiedot

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1 Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka IA

Insinöörimatematiikka IA Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Lisätiedot

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p MAA9 Koe.5.0 Jussi Tyi Tee koseptii pisteytysruudukko! Muista kirjata imesi ja ryhmäsi. Valitse kuusi tehtävää!. a) Ratkaise yhtälö si x. Ilmoita vastaus radiaaeia! b) Määritä paljoko o cos. Ilmoita tarkka

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

3 10 ei ole rationaaliluku.

3 10 ei ole rationaaliluku. Harjoitukset / 011 RATKAISUT Lukuteoria 1. Etsi Eratostheee seulalla samatie kaikki lukua 400 pieemmät alkuluvut. (Tai ohjelmoi tietokoeesi etsimää paljo lisää.) Kirjoita rivii kaikki luvut 1-00. Poista

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

1 Eksponenttifunktion määritelmä

1 Eksponenttifunktion määritelmä Ekspoettifuktio määritelmä Selvitimme aikaisemmi tällä kurssilla, millaie potessisarja säilyy derivoiissa muuttumattomaa. Se perusteella määritellää: Määritelmä. Ekspoettifuktio exp : R R määritellää lausekkeella

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi Calculus Lukio 8 MAA Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

Kokeile ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu täydellisesti lääkiksen pääsykokeeseen! Miten opit parhaiten?

Kokeile ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu täydellisesti lääkiksen pääsykokeeseen! Miten opit parhaiten? Miten opit parhaiten? Valmistaudu täydellisesti lääkiksen pääsykokeeseen! n Voit harjoitella kotoa käsin huippusuositulla Mafynetti-ohjelmalla. Mukaan kuuluu 4 täysimittaista harjoituskoetta!! n Harjoittelu

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Kokelaan sukunimi ja kaikki etunimet selväsi kirjoitetuna. Kaava 1 b =2a 2 b =0,5a 3 b =1,5a 4 b = 1a. 4 5 b =4a 6 b = 5a

Kokelaan sukunimi ja kaikki etunimet selväsi kirjoitetuna. Kaava 1 b =2a 2 b =0,5a 3 b =1,5a 4 b = 1a. 4 5 b =4a 6 b = 5a 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 28.9.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit

Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit Lyhyt matematiikka, syksy 015 Mallivastaukset, 3.9.015 Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Teemu Kekkonen ja

Lisätiedot

Tiesitkö tätä? Lääkiskurssi. DI-pääsykoekurssi.

Tiesitkö tätä? Lääkiskurssi. DI-pääsykoekurssi. Tiesitkö tätä? MAFY:n lääkiskurssi,6-kertaistaa mahdollisuutesi päästä sisään yhdellä yrityksellä. Poikkeuksellisen kovista tuloksista johtuen lääkikset alkavatkin täyttyä MAFY:n kurssilaisista. Lääkiskurssi

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

5-8 täysmittaista harjoituspääsykoetta oikeassa koesalissa.

5-8 täysmittaista harjoituspääsykoetta oikeassa koesalissa. Tiesitkö tätä? MAFY:n lääkiskurssi,5-kertaistaa mahdollisuutesi päästä sisään yhdellä yrityksellä. Poikkeuksellisen kovista tuloksista johtuen lääkikset alkavatkin täyttyä MAFY:n kurssilaisista. Lääkiskurssi

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x)

xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x) BM20A580 Differetiaalilasketa ja sovellukset Harjoitus 3, Syksy 206. Laske seuraavat itegraalit si(4t + )dt (b) x(x 2 + 00) 000 dx (c) x exp(ix )dx 2. Mitä o y, ku (x ) 2 + y 2 = 2 2, etäpä y? Vastaukset

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua) Algebra I Matematiika ja tilastotietee laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksii 5 (6 sivua) 14.2. 17.2.2011 1. Määritellää kuvaus f : S 3 S 3, f(α) = (123) α. Osoita, että f o bijektio. Mikä o se kääteiskuvaukse

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims 75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilij oille I

Matematiikan perusteet taloustieteilij oille I Matematiikan perusteet taloustieteilijöille I Harjoitukset syksy 2006 1. Laskeskele ja sieventele a) 3 27 b) 27 2 3 c) 27 1 3 d) x 2 4 (x 8 3 ) 3 y 8 e) (x 3) 2 f) (x 3)(x +3) g) 3 3 (2x i + 1) kun, x

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit

Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit Pitkä matematiikka, kevät 016 Mallivastaukset, 3.3.016 Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Teemu Kekkonen ja

Lisätiedot

Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit

Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit Pitkä matematiikka, syksy 05 Mallivastaukset, 3.9.05 Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Teemu Kekkonen ja diplomi-insinööri

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2) Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 8906 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Tutkintoaineen sensorikokous on hyväksynyt seuraavat hyvän vastauksen piirteet Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

Laudatur 13. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi MAA 13. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Opettajan aineisto

Laudatur 13. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi MAA 13. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Opettajan aineisto Laudatur Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Otteli Leea Walli-Jaakkola Opettaja aieisto Helsigissä Kustausosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirja tehtävii... Kokeita...7

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

T Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen

T Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen T-1.1 Datasta tietoo, syksy 5 Laskuharjoitus.1., ratkaisuja Joui Seppäe 1. Simuloidaa tasoittaista algoritmia. Esimmäisessä vaiheessa ehdokkaia ovat kaikki yhde muuttuja joukot {a}, {b}, {c} ja {d}. Aaltosulkeide

Lisätiedot

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5 A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.

Lisätiedot

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla. Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ..07 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Tutkintoaineen sensorikokous on hyväksynyt seuraavat hyvän vastauksen piirteet. Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty.

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

2.3.1. Aritmeettinen jono

2.3.1. Aritmeettinen jono .3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo

Lisätiedot