Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Transkriptio

1 Mite opit parhaite? Valmistaudu pitkä- tai lyhye matematiika kirjoituksii ilmaiseksi Mafyetti-ohjelmalla! Harjoittelu tehdää aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat asiat. Lasket kyällä ja paperilla, mutta Mafyetti opettaa ja euvoo videoide ja ratkaisuje avulla. Mafyetti huolehtii kertauksesta, jote et uohda oppimiasi asioita. Mafyetti o yt kokoaa ilmaie! Lataa ilmaiseksi mafyvalmeus.fi/mafyetti

2 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata eitää kymmeee tehtävää. Tähdellä (*) merkittyje tehtävie maksimipistemäärä o 9, muide tehtävie maksimipistemäärä o 6.. a) Ratkaise yhtälö 3 x = x. b) Suorakulmaise kolmio hypoteuusa pituus o 5 ja toise kateeti pituus. Laske toise kateeti pituus. c) Ratkaise yhtälö 4 x x + 3 = + x a) Sieveä lauseke + välivaiheet esittäe. + b) Laske suora y = x ja ympyrä x x c) Olkoo f ( x) =. Laske f (). + y = leikkauspisteet. 3. a) Ratkaise yhtälö l( x + ) l( x ) = l 4 + l. b) Ratkaise epäyhtälö x + 3. x c) Määritä pistee (3, ) etäisyys suorasta 4x 3y =. 4. a) Näytä, että molemmat fuktiot x F ( x) = ja F ( x) = x x ovat fuktio f ( x) = ( x) itegraalifuktioita, ku x >. b) Sieveä erotus F ( x) F ( x). c) Laske fuktio f ( x) kuvaaja ja x -akseli rajoittama aluee pita-ala, ku x 5.

3 5. Laske vektoreide a = i + j k ja b = 3i j k välie kulma astee kymmeesosa tarkkuudella. x 4 6. a) Laske lim. x x b) Ratkaise epäyhtälö x 4 4 < 0,0. x 7. Poiseuille lai (Jea Louis Marie Poiseuille, ) mukaa putkessa virtaava vede virtausopeus o suoraa verraollie putke halkaisija eljätee potessii, ku muut tilateesee liittyvät suureet pysyvät samoia. Kuika mota prosettia halkaisijaa o suureettava, jos virtausopeus halutaa kaksikertaistaa? 8. Eräässä tietokoepelissä pelaaja eteee ylimmälle tasolle oheise kaavio mukaisesti ja saa kaavioo merkity pistemäärä. Jokaisessa risteyksessä hä valitsee satuaisesti yhde tasavertaisista vaihtoehdoista ja eteee seuraavalle tasolle ylöspäi. a) Millä todeäköisyydellä pelaaja saavuttaa suurimma pistemäärä 40? b) Määritä pistemäärä odotusarvo KUVA: puu.pdf 9. a) Näytä, että fuktiolla b) Määritä kääteisfuktio f ( x) = x x o kääteisfuktio, ku x. f ( x) lauseke. c) Piirrä fuktio f ( x ) ja se kääteisfuktio f ( x) kuvaajat samaa koordiaatistoo.

4 Määritä fuktio f ( x) = 3cos x si x ollakohdat sekä suuri ja piei arvo... Lukujoo ( a ) termit ovat muotoa a) Näytä, että 0 < a <, ku =,,3,. b) Näytä, että a > a, ku =,,3,. + c) Määritä lim a. a =, =,,3,. +.. Isaac Newto esitti vuoa 669 imeää katava meetelmä, joka avulla fuktioide ollakohtia voidaa laskea umeerisesti. Yhteä esimerkkiä meetelmäsä toimivuudesta 3 hä käytti polyomia f ( x) = x x 5. a) Laske f ( x ). b) Näytä, että Newtoi tutkimalla yhtälöllä f ( x ) = 0 o ratkaisu välillä [,3]. c) Laske ratkaisulle eljä iteraatioaskelee approksimaatio Newtoi meetelmällä lähtie alkuarvosta x 0 =. Ilmoita vastaus eljä desimaali tarkkuudella Osoita epäsuoraa todistusta käyttämällä, että lg 50 ei ole ratioaaliluku. (lg = log 0)

5 4 *4. Olkoo f ( x) = ax + b. a) Laske f ( x) dx. ( p.) 0 b) Johda lausekkeet summille i i S = f ja s = f, i= i= ku =,,3,. (4 p.) c) Laske raja-arvot lim S ja lim( S s). (3 p.) y y=ax+b KUVA: summat.pdf 0 x *5. Merkitää kolmio ABC keskijaoje AD ja BE leikkauspistettä kirjaimella P. a) Jos F o jaa AP keskipiste ja G jaa BP keskipiste, ii osoita, että jaa FG pituus o puolet jaa AB pituudesta. ( p.) b) Osoita, että elikulmio FGDE o suuikas. ( p.) c) Osoita, että jaa DP pituus o kolmasosa jaa AD pituudesta. ( p.) d) Todista edelliste kohtie perusteella seuraava lause: Kolmio keskijaat leikkaavat toisesa samassa pisteessä, joka jakaa jokaise keskijaa site, että sivu puoleise osa pituus o kolmasosa koko keskijaa pituudesta. (3 p.) C KUVA: kolmio.pdf E P D A F G B

6 Pitkä matematiikka, syksy 0 Mallivastaukset, Mallivastauste laatimisesta ovat vastaeet filosofia maisteri Teemu Kekkoe ja diplomi-isiööri Atti Suomie. Teemu Kekkoe o opettaut lukiossa viide vuode aja pitkää ja lyhyttä matematiikkaa sekä fysiikkaa. Hä o tarkastaut matematiika ja fysiika yo-kokeita koko tämä aja. Teemu Kekkoe ja Atti Suomie toimivat opettajia MA-FY Valmeuksessa. Nämä mallivastaukset ovat MA-FY Valmeukse omaisuutta. MA-FY Valmeus o Helsigissä toimiva, matematiika ja fysiika valmeuskursseihi erikoistuut yritys. Palveluitamme ovat TKK-pääsykoekurssit arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit yo-kokeisii valmetavat kurssit yksityisopetus Vuode 00 keväästä alkae olemme julkaisseet iteret-sivuillamme kaike palauttee, joka asiakkaat atavat kursseistamme. Näi varmistamme, että palveluistamme kiiostueilla ihmisillä o mahdollisuus saada tarkka ja rehellie kuva siitä, mitä meiltä voi odottaa. Tämä asiakirja o tarkoitettu yksityishekilöille opiskelukäyttöö ja omie yo-vastauste tarkistamista varte. Kopio tästä asiakirjasta voi ladata MA-FY Valmeukse iteret-sivuilta Käyttö kaikissa kaupallisissa tarkoituksissa o kielletty. Lukio matematiika opettajaa voit käyttää äitä mallivastauksia oppimateriaalia lukiokursseilla. MA-FY Valmeukse yhteystiedot: iteret: s-posti: ifo@mafyvalmeus.fi puheli: (09) TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit

7 . a) 3x = x 3x + x = 0 x(3x + ) = 0 (tulo ollasäätö) x = 0 tai 3x + = 0 3x = : 3 x = 3 Vastaus: x = 3 tai x = 0 b) Suorakulmaie kolmio. Pythagoraa lausee mukaa 5 = + x x = 5 x = ( + ) Vastaus: Toise kateeti pituus o. c) 4x 5 4 0(4x ) 5 = = x x 4 0 0(x + ) (3 x) 4 6x 4 = 0x x 6x 0x + 5x = x = 9 : x = 9 TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit

8 . a) ) + ) + = + = + + = = = b) Leikkauspisteet saadaa yhtälöparista { y = x () Sijoitetaa () yhtälöö (), saadaa x + y = () x + (x) = x + 4x = 5x = : 5 Sijoitetaa (3) yhtälöö (). y = ± 5 ( ) ( Vastaus: Leikkauspisteet ovat 5, 5 ja c) Fuktio f(x) = x derivaattafuktio o Kysytty derivaata arvo o Vastaus: f () = l x = 5 x = ± 5 (3) 5, 5 ). f (x) = x l ( ) = x l f () = l = l TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit

9 3. a) l(x + ) l(x ) = l 4 + l Määrittelyehdot ovat: x + > 0 ja x > 0 (x > ja) x > l(x + ) l(x ) = l 4 + l ( ) x + l = l(4 ) x x + = 8 (x ) (määrittelyehdo x mukaa x > 0) x + = 8(x ) x + = 8x 8 7x = 9 x = 9 7 : ( 7) b) x + x 3 Määrittelyehto o x 0 x x + x x ) 3 x + x 3x 3 x x + x 3x 3 x 0 x + (3x 3) 0 x Muodostetaa yhtälö merkkikaavio. x + 4 x 0 osoittaja: x + 4 = 0 x = 4 imittäjä: x = 0 x = TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit 3

10 Vastaus: < x 4 c) Suora yhtälö o 4x 3y = eli 4x 3y = 0. Piste (x 0, y 0 ) = (3, ) Pistee etäisyys suorasta o d = Ax 0 + By 0 + C A + B, missä A = 4, B = 3 ja C =. Saadaa d = ( 3) ( ) + ( ) 4 + ( 3) d = 6 5 d = 6 5 Vastaus: Pistee etäisyys suorasta o 6 5. TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit 4

11 4. a) F ja F ovat f: itegraalifuktioita, jos ja vai jos F ja F ovat sama fuktio kui f se määrittelyjoukossa. Lasketaa derivaattafuktiot. F (x) = D x = D( x) = ( x) ( ) = ( x) F (x) = D x x D x ( x) x D( x) = ( x) ( x) x ( ) = ( x) = x + x ( x) = ( x) F, F ja f ovat määriteltyjä kaikilla x >. Lisäksi todettii, että F (x) = F (x) = f(x), jote F ja F ovat fuktio f itegraalifuktioita. b) Vastaus: F (x) F (x) = F (x) F (x) = x x x = x x = TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit 5

12 c) Kysytty ala o 5 f(x) dx = / 5 F (x) = F (5) F () = 5 = 3 4 Vastaus: Kysytty ala o 3 4. TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit 6

13 5. ā = ī + j k b = 3ī j k Vektorie ā ja b välie kulma α saadaa kaavasta Lasketaa skalaaritulo. Lasketaa vektorie ā ja b pituudet. Ratkaistaa kulma α. cos α = ā b ā b. ā b = 3 + ( ) + ( ) ( ) = 6 ā = + + ( ) = 3 b = 3 + ( ) + ( ) = 4 6 cos α = 3 4 α = 57, α 57,7 Vastaus: Vektorie välie kulma o 57,7. TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit 7

14 6. a) x 4 lim x x = lim (x )(x + ) x (x ) = lim x (x + ) = + = 4 b) x 4 x 4 < 0,0 Epäyhtälö määrittelyehto o x 0 Vastaus:,99 < x <,0 ja x. x x 4 x 4 < 0,0 (x )(x + ) 4 (x ) < 0,0 x + 4 < 0,0 x < 0,0 x < 0,0 ja x > 0,0 x <,0 ja x >,99 TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit 8

15 7. Jos putke halkaisija o d, ii vede virtausopeus v o v = k d 4, missä k o vakio. Piei putki: v ja d Iso putki: v ja d Virtausopeus halutaa kaksikertaistaa, jote oltava Vaadittu halkaisija muutos o v = v k d 4 k d 4 = d 4 4 d 4 = d 4 d = ( + 4 ) d d d d = 4 d d d = 4 = 0, ,9 % Vastaus: Halkaisijaa o suureettava 8,9 %. TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit 9

16 8. Merkitää vaihtoehtoisia tapauksia oheise kuva mukaisesti Solmukohdissa I III jokaie haara eteepäi o yhtä todeäköie. Site P (I) = 3 P (II) = P (III) = 3 a) M : Tulee 40 pistettä P (M) = P (B tai B ) = P (I ja II tai I ja III) = = 5 8 Vastaus: Suuri pistemäärä saavutetaa todeäköisyydellä 5 8. TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit 0

17 b) Olkoo satuaismuuttuja X saatu pistemäärä. Nyt P (X = 40) = 5 8 (a-kohta) P (X = 30) = P (C) = P (I ja III) = 3 3 = 9 P (X = 0) = P (A tai A ) = P (I tai I ja II) = = Pistemäärä odotusarvo P (X = 5) = P (D) = P (I ja III) = 3 3 = 9 E(X) = i p i X i = = 5 Vastaus: Pistemäärä odotusarvo o 5. TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit

18 9. a) f(x) = x x Fuktiolla f o kääteisfuktio, ku x, mikäli se o aidosti mootoie, ku x. Tutkitaa fuktio f mootoisuutta derivaata avulla Derivaatta o positiivie, ku f (x) = x f (x) 0 x 0 x : x. Derivaatta f (x) = 0 yhdessä kohdassa (x = ) ja f (x) > 0, ku x >. Näi olle fuktio f o aidosti kasvava, ku x ja sillä o kääteisfuktio, ku x. b) Merkitää y:llä fuktio f arvoa kohdassa x eli Ratkaistaa x yhtälöstä (). x x y = 0 y = f(x) y = x x () y = x x Kääteisfuktio lauseke o siis joko missä + x 0 x = ± ( ) + 4 y 4 + 4y x = ± 4( + y) x = ± x = ± + y f (x) = + + x tai f (x) = + x, x. Kääteisfuktio arvojoukko o A f = M f = [, ]. TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit

19 f saa siis vai arvoja, jotka ovat suurempia tai yhtäsuuria kui. Tällöi f (x) = + + x. Vastaus: Kääteisfuktio lauseke o f (x) = + + x. c) Lasketaa pisteitä fuktioide kuvaajie piirtämiseksi. f(x) = x x x f(x) f (x) x Fuktio f kuvaaja saadaa peilaamalla fuktio f kuvaaja suora y = x suhtee. Piirretää kuvaajat koordiaatistoo. Huomautus lukijalle: Kääteisfuktio kuvaaja piirtämiseksi ei tarvitse eriksee laskea pisteitä (x, f (x)). Kääteisfuktio kuvaaja saadaa peilaamalla fuktio f kuvaaja suora y = x suhtee. Tästä seuraa, että kääteisfuktio kuvaaja pisteet (x, f (x)) saadaa käätämällä fuktio f kuvaaja pisteide x- ja y-koordiaatit, kute taulukossa o tehty. TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit 3

20 0. f(x) = 3 cos x si x Tiedetää, että si x + cos x =, jote Sijoitetaa () fuktio f(x) lausekkeesee. si x = cos x. () f(x) = 3 cos x ( cos x) f(x) = 4 cos x 3 Ratkaistaa fuktio ollakohdat 3 cos x = f(x) = 0 4 cos x 3 = 0 4 cos x = 3 : 4 cos x = cos x = ± 4 3 cos x = ± 3 tai cos x = x = ± 5π 6 + π tai x = ±π + π, missä Z. 6 Määritetää seuraavaksi fuktio suuri ja piei arvo. Lausekkee cos x arvojoukko o [0, ], jote 0 cos x cos x cos x 3 Vastaus: Nollakohdat ovat x = ± 5π 6 + π ja x = ± π + π, missä Z. 6 Fuktio suuri arvo o ja piei arvo o 3. Huomautus lukijalle! Saatu trigoometrise yhtälö ratkaisu voidaa esittää yksikertaisemmassa muodossa. Emme kuitekaa usko, että seuraavaa TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit 4

21 vaaditaa täysie pisteide saamiseksi. x = ± 5π 6 π + π tai x = ±π 6 + π eli x = 5 6 π + π tai x = π 6 + π tai x = 5 6 π + π tai x = π 6 + π eli x = π 6 π + π + π tai x = π 6 + π tai x = π 6 π + π tai x = π 6 + π eli x = π 6 + π( + ) tai x = π 6 + π tai x = π 6 + π( ) tai x = π 6 + π π( + ) sisältää kaikki π: parittomat moikerrat ja π parilliset moikerrat, jote e sisältävät kaikki π: kokoaislukumoikerrat. Sama pätee lausekkeille π( ) ja π. Näi ratkaisu yksikertaistuu muotoo x = π 6 + π tai x = π 6 + π, Z eli Vastaus: Nollakohdat ovat x = ± π 6 + π, missä Z. TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit 5

22 . a =, =,, 3,... + a) 0 < a < eli + > 0 () ja + < () Epäyhtälö () o tosi kaikilla =,, 3,..., sillä > 0 ja + > 0 kaikilla =,, 3,.... Ratkaistaa epäyhtälö (). + < ( + ) ( + > 0, ku =,, 3,...) < + 0 < Epäyhtälö o tosi kaikilla =,, 3,.... Epäyhtälöt () ja () ovat tosia, jote kaksoisepäyhtälö o tosi kaikilla =,, 3,.... b) 0 < a < a + > a + ( + ) + > > + Huomataa, että + 3 > 0, ku =,, 3,... ja + > 0, ku =,, 3,.... Tällöi epäyhtälö voidaa kertoa ristii ja saadaa ( + )( + ) > ( + 3) > + 3 > 0, tosi Näi olle epäyhtälö o tosi kaikilla =,, 3,.... a + > a TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit 6

23 c) lim a = lim + = lim ( ) + = lim + = + 0 = TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit 7

24 . f(x) = x 3 x 5 a) f (x) = 3x b) f() = 3 5 = f(3) = = 6 Koska siis f() < 0, f(3) > 0 ja f(x) o polyomifuktioa kaikkialla jatkuva, o fuktiolla f Bolzao lausee mukaa aiaki yksi ollakohta välillä ], 3[ ja site myös välillä [, 3]. Näi olle yhtälöllä o ratkaisu välillä [, 3] f(x) = 0 c) Newtoi meetelmällä saadaa joo Alkuarvauksella x 0 = saadaa x + = x f(x ) f (x ). x = x 0 f(x 0) f (x 0 ) = =, x =,,3, 5 3, =, x 3 =, x 4 =, x,0946 TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit 8

25 3. Tehdää vastaoletus: lg 50 o ratioaaliluku. Tällöi löytyy keskeää jaottomat kokoaisluvut a ja b, b 0, site, että lg 50 = a b. Koska 0 < 50 ja lg x o aidosti kasvava fuktio, saadaa a b = lg 50 > lg 0 =. Tästä epäyhtälöstä ähdää, että a o positiivie luku, jote voidaa olettaa, että a ja b ovat positiivisia kokoaislukuja. Tällöi, kertomalla epäyhtä- b lö molemmat puolet luvulla b, saadaa a > b. Nyt lg 50 = a b b lg 50 = a b lg 50 b = a 0 () 50 b = 0 a Koska a ja b ovat positiivisia kokoaislukuja, ii 50 b ja 0 a ovat kokoaislukuja. Näide lukuje alkutekijähajotelmat ovat 0 a = ( 5) a = a 5 a ja 50 b = ( 5 ) b = b 5 b. Koska a > b, ii alkutekijä potessit äissä alkutekijähajotelmissa eivät ole samat, jote alkutekijähajotelmat eivät ole samat. Saatu ristiriita osoittaa, että vastaoletus o väärä. Siis lg 50 ei ole ratioaaliluku. Huomautus lukijalle! Alussa osoitettii, että a > b. Todistus o pätevä, vaikka osoitettaisii vai, että a b. Uskomme, että jälkimmäise osoittamiseksi riittää todeta, että a = lg 50 =, , josta seuraa, että a b. Laskimella laskettu arvo, riittää luultavasti myös se perustelemiseksi, b että a ja b voidaa olettaa positiivisiksi. Vaihtoehtoie tapa ratkaista tehtävä o todeta alussa, että lg 50 = lg(5 0) = lg 5 + lg 0 = lg 5 + ja osoittaa, että lg 5 o irratioaaliluku. Tässä ratkaisutavassa ei tarvitse osoittaa, että a b, jote silloi pisteytys voi olla erilaie. TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit 9

26 *4. f(x) = ax + b. a) f(x) dx = 0 0 / (ax + b) dx = ( ax + bx) 0 = a + b. b) S = = = ( ) i f (a i ) + b i= i= ( a ) i + b i= Saatu lauseke o aritmeettie summa, jolle a = a + b ja a = a + b = a + b. Aritmeettise summa kaavasta saadaa S = a + a a S = + b + a + b S = a + a + b TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit 0

27 Toie summa s = = = = ( ) i f ( ) i a + b ( ) ai a + b ( a i a ) + b i= i= i= i= Saatu lauseke o aritmeettie summa, jolle a = a a + b = b ja a = a a + b = a a + b. Aritmeettise summa kaavasta saadaa s = a + a s = b + a a + b s = a + a + b c) ( a lim S = lim + a ) + b = a 0 + a + b = a + b. Lasketaa esi raja-arvo ( lim s = lim a + a ) + b = a 0 + a + b = a + b TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit

28 Kysytty raja-arvo o lim (S s ) = lim S lim s = a ( a ) + b + b = 0. TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit

29 *5. a) Kolmioide F GP ja ABP vastisivuje suhteet ovat GP BP = GP GP = F P ja AP = F P F P =. Lisäksi kolmioilla F GP ja ABP o sama vastikulma AP B, jote F GP ABP (sks). Yhdemuotoisuudesta seuraa, että myös F G AB =. b) Kolmioilla CED ja CAB o sama kulma C ja vastisivuje suhteet ovat CE CA = CD CB =, jote CED CAB (sks). Viimeisestä yhdemuotoisuudesta seuraa, että samakohtaiset kulmat CED ja CAB ovat yhtäsuuret, jote ED AB. Toisaalta F GP : ja ABP : yhdemuotoisuudesta seuraa, että samakohtaiset kulmat P F G ja P AB ovat yhtäsuuret, jote F G AB. Tästä seuraa, että myös ED F G. Yhdesuutaisuudesta ED F G seuraa, että samakohtaiset kulmat DEG ja F GE ovat yhtäsuuret. Kolmioilla DEG ja F GE o yhteie sivu EG, josta yhdessä edelliste kassa seuraa, että DEG = F GE (sks). Viimeisestä yhteevyydestä seuraa, että samakohtaiset kulmat F EG ja DGE ovat yhtäsuuret, jote EF DG. O osoitettu, että elikulmio F GDE vastakkaiset sivut ovat yhdesuutaiset, jote F GDE o suuikas. c) Samakohtaiset kulmat EDP ja P F G ovat yhtäsuuret, jote yhdessä edellise kassa seuraa, että EDP = P F G (ksk). Viimeisestä yhteevyydestä seuraa, että vastisivuille DP ja F P pätee DP = F P. Näi olle DP AD = DP AF + F P + DP DP AD = DP AD = 3 F P F P + F P + F P TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit 3

30 d) Merkitää sivu AB keskipistettä H:lla. Voidaa osoittaa vastaavasti kui kohdissa a c, että DR AD =. Koska R ja P jakavat jaa AD samassa suhteessa :, ii e ovat sama piste. Näi olle sekä pisteestä B että C 3 piirretyt keskijaat jakavat keskijaa AD site, että sivu BC puoleie osa o kolmasosa keskijaa AD pituudesta. Saadaa kuva Koska missää edellä olevassa ei tehty oletuksia kulma A laadusta, voidaa osoittaa vastaavasti kute edellä, että pisteistä B ja C lähteville keskijaoille pätee EP BE = HP ja 3 CH = 3. Näi olle kolmio keskijaat leikkaavat toisesa samassa pisteessä P site, että P jakaa jokaise keskijaa site, että sivu puoleise osa pituus o kolmasosa koko keskijaa pituudesta. TKK: ja arkkitehtiosastoje pääsykoekurssit YO-valmeuskurssit 4