Eräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n.

Transkriptio

1 POHDIN projekti Neliöide summa Lukujoo : esimmäise jäsee summa kirjoitetaa tavallisesti muotoo S ai i 1. Aritmeettisesta lukujoosta ja geometrisesta lukujoosta muodostetut summat voidaa johtaa varsi helposti. Kuiteki jos säätö, joka määrittelee lukujoo jäseet, o hiukaki mutkikas, ii summa lasketa ja erityisesti summakaava oikeaksi todistamie o työlästä. Tavallisesti todistuskeioa käytetää matemaattista iduktiota. Eräs matematiikassa paljo hyödyetty summa o s. luoolliste lukuje eliöide summa Neliöide summalle voidaa todistaa summakaava ( 1) ( 1) k k 1 Tämäki todistamie suoritetaa tavallisesti matemaattista iduktiota käyttäe. Lasketakaavalle o olemassa myös hyvi yksikertaie s. geometrie todistus, joka voidaa esittää yhteä kuvaa ja siitä tehtyä kahtea päätelmää.

2 Harmaa aluee pita-ala o ( 1) A, jote koko kuvio ala o ( 1) 3 S ( 1), josta saadaa tulos S ( 1) ( 1). Tykikuulat 1 Matematiikka paljastaa otteesa moista ilmiöistä moesti hyvi erikoisella tavalla. Parhaimmillaa ja kaueimmillaa matematiikka o silloi, ku todella yksikertaie ogelma syyttää todella korkeataso matematiikkaa tai peräti ii, että äeäisesti hyvi yksikertaie ogelma syyttää yhä uutta ja uutta matematiika teoriaa, mutta itse ogelma pysyy avoimea tai ratkeaa parhaimmillaaki vasta vuosisatoje saatossa toki sitte lopullisesti. Tässä piilee matematiika viehätys. Oletetaa, että tykikuulat o kasattu eliöpohjaiseksi pyramidiksi site, että ylimmässä kerroksessa o yksi kuula, toiseksi ylimmässä eljä, kolmaeksi ylimmässä yhdeksä je

3 Oletetaa, että pyramidi romahtaa ja tykikuulat vierivät kaikki samaa tasoo. Nyt voidaa esittää hyvi yksikertaie kysymys: Voidaako tykikuulista muodostaa eliö? Jos pyramidissa oli kolme kerrosta, ii tykikuulia oli yhteesä , jote iistä ei voi muodostaa eliötä. Triviaalit kokoaislukuratkaisut ovat luoollisesti olla ja yksi. Mutta yt voidaaki kysyä, että oko olemassa muita kokoaislukuratkaisuja. Jos pyramidi korkeus o x, ii tällöi pyramidissa o tykikuulia yhteesä x kappaletta. Toisaalta edellä saatua tulosta käyttäe tykikuulie kokoaismäärälle saadaa lasketakaava x( x 1)(x 1) x. Jotta itse ogelma ratkeaisi, ii o löydettävä kokoaislukupari ( xy,, ) joka toteuttaa yhtälö x( x 1)(x 1) y Tällaista yhtälöä kutsutaa elliptiseksi yhtälöksi ja yhtälö ratkaisujouko tasoo piirtämää käyrää elliptiseksi käyräksi 3. Näitä yhtälöitä tutkittii jo muiaisessa Kreikassa ja laajemmassa mielessä e ovat s. Diofatokse yhtälöitä eli kokoaislukukertoimisia yhtälöitä, joille etsitää kokoaislukuratkaisuja. Diofatokse yhtälöide eräällä yleisellä ratkaisukeiolla o yt käyttöä. Aloitetaa triviaaleista ratkaisuista eli pisteistä (0,0) ja (1,1) sekä äide pisteide kautta kulkevasta suorasta y x. Suora ja elliptise käyrä leikkauspiste toteuttaa yhtälö x( x 1)(x 1) x x x x, 3 3

4 josta saadaa sieveettyä yhtälö x x x 0. Kolmae astee polyomi voidaa jakaa tekijöihi seuraavasti 3 ( x a)( x b)( x c) x ( a b c) x ( ab ac bc) x abc. Toise astee kertoimia vertailemalla saadaa juurte summasta tulos 3 a b c ja koska tiedetää, että x 0 ja x 1 ovat eräät ratkaisut, ii saadaa yhtälö Näi olle muuttuja arvo 1 1 (, ) x. 1 x o eräs ratioaalie ratkaisu ja koska y x, ii piste 1 1 o eräs ratkaisu ja samoi symmetria ojalla myös piste (, ). Luoollisestikaa ei voida saoa, että äillä ratkaisuilla o yhteys tykikuulie kasa suuruutee, koska e eivät ole kokoaislukuratkaisuja. Toistamalla edellä esitetty meetelmä ja käyttäe pisteitä ( 1, 1 ) ja (1,1) saadaa suora y 3x, joka tulisi leikata alkuperäie käyrä. O siis ratkaistava yhtälö x( x 1)(x 1) (3x ). Samoi kui edellä sievetämällä saadaa yhtälö 3 51 x x... 0, jossa itse asiassa ei yt tarvita alemma astee termie kertoimia. Nyt ealta jo tiedetää kaksi juurta 1 x ja x 1, jote vastaavasti kui edellä saadaa yhtälö x, joka ratkaisu o x 4. Edellee koska y 3x, ii saadaa tulos y 70. Tämä tarkoittaa, että eräs ratkaisu alkuperäise ogelmaa o tulos

5 Tämä tarkoittaa, että ku tykikuulia o 4900 kappaletta, ii iistä voidaa koota 4- kerroksie pyramidi ja pyramidi romahdettua myös 70x70 kokoie eliö. Periaatteessa edellä esiteltyä proseduuria voitaisii jatkaa ja yrittää löytää myös muita ratkaisuja. Ratioaalisia ratkaisuja kyllä löytyy, mutta syvällisempi matemaattie tutkimus o osoittaut, että muita kokoaislukuratkaisuja ei löydy. Hätkähdyttävää! Mikälaisee matematiikkaa tämä yksikertaie ogelma johtaa? Kehitys kohde moderia algebrallista geometriaa alkoi varsiaisesti Descartesi ja Fermat keksiöstä kuvata pistee sijaiti euklidisessa avaruudessa pistee koordiaattie avulla. Näi sytyi aalyyttie geometria, jossa keskeisitä o, että pistejoukkoa vastaa algebrallie yhtälö ja algebrallie yhtälö voidaa kuvata geometrisea pistejoukkoa. Algebrallie geometria puolestaa keskittyy tutkimaa iitä geometrisia kuvioita, jotka voidaa määritellä käyttämällä polyomiyhtälöitä. Tavallisesti muodostetaa polyomiyhtälöistä koostuva ryhmä, jossa voi olla mikä tahasa määrä muuttujia. Näi saadaa algebrallisia käyriä, pitoja sekä äide korkeampiulotteisia vastieita. Polyomie käytöstä o rusaasti hyötyä. Esiäki polyomit ovat sääöllisesti käyttäytyviä ja algebra tarjoaa keioja polyomiyhtälöide muokkaamisee. Lisäksi kokoais- ja ratioaalilukuratkaisut atavat tietoa lukuteoria kysymyksii mm. ykyaikaisii salausalgoritmeihi ja yleisesti mm. kryptografiaa. Tehtävä 1. Luoolliste lukuje kuutioide summalle voidaa todistaa seuraava summakaava ( 1) k k 1 Pyri määrittämää geometrie kostruktio, joka osoittaa edellä oleva tulokse oikeaksi. Tehtävä. Tutustu Iteretissä aiheesee lähemmi hakusaoje matemaattie iduktio, cao problem, elliptic curves, kryptografia, RSA-salaus ja Fermat lause. Kerro mitä opit!