Tehtävä 1. Voidaanko seuraavat luvut esittää kahden neliön summina? Jos voidaan, niin kuinka monella eri tavalla? (i) n = 145 (ii) n = 770.

Transkriptio

1 JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 0, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Voidaako seuraavat luvut esittää kahde eliö summia? Jos voidaa, ii kuika moella eri tavalla? (i) = 45 (ii) = 770. Ratkaisu. (i) Jaetaa luku 45 alkutekijöihi: 45 = 5 9. Koska sekä 5 että 9 (mod 4), luku 45 voidaa esittää kahde eliö summaa. Luetoje lausee perusteella eri tapoja o 4 = 6. Kaksi tapaa ovat 45 = = 8 9 ja loput saadaa äistä vaihtamalla termie järjestystä ja merkkejä. (ii) Koska 770 = 5 7, ja 7 (mod 4), lukua 770 ei voi esittää kahde eliö summaa. Tehtävä. (i) Miksi esitykset 3 = ( 3i)( 3i) = (3 i)(3 i) eivät ole ristiriidassa Gaussiste kokoaislukuje yksikäsitteise alkulukuesitykse kassa. (ii) Oko 4 i Gaussi alkuluku? Etä 6 7i? Ratkaisu. (i) Koska i( 3i) = 3 i ja i( 3i) = 3 i, esityksissä esiityvät alkuluvut ovat toistesa liitääislukuja. (ii) Lasketaa lukuje ormit. Luku 4 i o siis Gaussi alkuluku. N(4 i) = 4 = 7 P N(6 7i) = 6 7 = 85 = 5 7 P Luku 6 7i ei siis ole Gaussi alkuluku, ja se tekijöihijako o itse asiassa 6 7i = ( i)( 4i). Tehtävä 3. Palaa edellise kerra tehtävää 3, ja määritä seuraavie Gaussi kokoaislukuje alkutekijät keties yt käyttämällä paremmi hyväksi juuri oppimaamme tietoutta Gaussi alkuluvuista. (i) 60 (ii) 7 6i. Ratkaisu 3. (i) Luvu tekijöihijako tavalliste kokoaislukuje joukossa o 60 = 3 5. Luvulle tiedetää tekijöihijako = ( i)( i). Alkuluku 3 o muotoa 4k, jote se o Gaussi alkuluku, ja 5 = ( i)( i). Nyt siis 60 = ( i) ( i) 3( i)( i) = i( i) 4 3( i)( i).

2 (ii) Tiedetää, että luvu tekijöide ormi o jaettava luvu ormi. Koska N(7 6i) = 7 ( 6) = 85 = 5 7, ähdää, että se alkutekijöillä o ormit 5 ja 7. Luku 7 6i o siis jaollie toisella luvuista i ja i, ja kokeilemalla ähdää, että 7 6i = ( i)( 4i) = ( i)( 4i). Tehtävä 4. Olkoo positiivie kokoaisluku, joka (tavallie) alkulukuesitys o = e p α p α k k qβ q β l missä p i :t ja q i :t ovat eri alkulukuja, joille p j (mod 4) ( j k) ja q s (mod 4) ( s l). Kuika mota eri Gaussi kokoaislukua jakaa luvu? Ratkaisu 4. Gaussi kokoaisluvuilla luvu alkulukuesitys o = µ( i) e λ α λ α k k λ α α kq β λk q β l missä µ o yksikkö. Luvu jakajat ovat siis muotoa µ ( i) e λ α λ α k k λ γ γ kq β λk q β l missä µ o yksikkö, 0 e e, 0 α j, γ j α j kaikilla j k, ja 0 β s β s kaikilla s l. Eri tekijöitä o siis yhteesä 4(e ) ( k j=(α j ) ) ( l s= (β s ) Tehtävä 5. Lueoilla luku r () määriteltii iide kokoaislukuparie (x, y) lukumäärää, joille x y =. Osoita, että lim r (k) = π. k= havaitsemalla, että oikealla puolella oleva summa o lukumäärä iistä taso kokoaislukupisteistä, jotka sijaitsevat suljetu ympyrä B(0, ) sisällä (kyseessä siis origokeskie ympyrä, joka säde o.) Ratkaisu 5. Havaitaa, että todistettavassa yhtäsuuruudessa esiityvä summa o iide kokoaislukuparie (x, y) lukumäärä, joille 0 < x y. Toisi saoe, r (k) = #{(x, y) Z : 0 < x y }. k= Tämä o sama kui suljetussa kiekossa B(0, ) olevie origosta poikkeavie kokoaislukuparie määrä. Koska tämä kieko pita-ala o π, arvioidaa tätä summaa pitaaloje avulla. ).

3 Olkoo T = Z B(0, ), ja määritellää A = {z = (x, y) C : z := ( x, y ) T }. Joukko T o siis suljetu kieko B(0, ) sisältämie kokoaislukupisteide joukko, ja joukko A o yhdiste yksikköeliöitä, joide vase alakulma o joukossa T. Erityisesti, jouko T alkioide lukumäärä o sama kui jouko A pita-ala. Osoitetaa, että B(0, ) A B(0, ). Olkoo z = (x, y) C. Silloi z z = (x x, y y ) = (x x ) (y y ) =. Erityisesti kolmioepäyhtälö ojalla kaikilla z B(0, ) pätee z z z z, jote B(0, ) A. Vastaavasti jos z A, ii z z z z, jote A B(0, ). Nyt voidaa arvioida alkuperäistä summaa ja tarkastella arvioita, ku kasvaa rajatta. Saadaa ja k= k= r (k) = (#T ) (π( ) ) = π π π r (k) = (#T ) (π( ) ) = π π π π π. Täte siis lim r (k) = π. k= Tehtävä 6. Legedre ja Gauss todistivat seuraava tulokse: Positiivie kokoaisluku voidaa lausua kolme eliö summaa jos ja vai jos ei ole muotoa 4 t (8k 7). (i) Todista helpompi suuta edellisestä tuloksesta: luvut 4 t (8k 7) eivät ole kolme eliö summia. [Ehdotus: tarkastele esi milloi kolme eliö summa o jaollie eljällä.] (ii) Kolmioluku o muotoa ( )/ oleva luku, missä 0. Olettae ylläesitetty lause, todista Fermat i kolmiolukulause: jokaie positiivie kokoaisluku o kolme kolmioluvu summa. Ratkaisu 6. (i) Tehdää vastaoletus, että luku = 4 t (8k 7) o esitettävissä kolme eliö summaa = x y z. Jos t > 0, tarkastellaa esitystä modulo 4. Silloi x y z 0 (mod 4). Toisaalta ähdää, että joko m 0 tai m (mod 4) kaikilla kokoaisluvuilla m. Jos joki luvuista x, y, z olisi muotoa 4l, ii silloi lauseke x y z olisi joko, tai 3 modulo 4. Site luvut x, y, z ovat jaollisia eljällä, eli luku o esitettävissä kolme 4 eliö summaa = ( x ( 4 ) y ( ) z. ) 3

4 Voidaa siis olettaa, että = 8k 7 = x y z. Tarkastelemalla lauseketta modulo 4 saadaa edellise päättely kaltaisesti, että luvut x, y, z ovat kaikki parittomia. Mutta kaikilla parittomilla luvuilla m pätee m (mod 8). Site 8k 7 = x y z = 3 (mod 8), mikä o ristiriitaista. Lukuja muotoa 4 t (8k 7) ei siis voi esittää kolme eliö summaa. (ii) Olkoo positiivie kokoaisluku. Tarkastellaa, milloi se o esitettävissä kolme kolmioluvu summaa, eli = x(x ) y(y ) joillaki kokoaisluvuilla x, y, z. Muokataa yhtälöä: z(z ) = x x y y z z 8 = 4x 4x 4y 4y 4z 4z 8 3 = 4x 4x 4y 4y 4z 4z 8 3 = (x ) (y ) (z ) Luku o siis kolme kolmioluvu summa, jos luku 8 3 o kolme parittoma luvu eliö summa. Oletetu lausee mukaa 8 3 o kolme eliöluvu summa. Tarkastelu modulo 4 osoittaa, että ämä kolme eliölukua ovat parittomia, ja Fermat kolmiolukulause seuraa tästä. Tehtävä 7. Etsi yhtälö x 5 = y kokoaislukuratkaisut. [Vihje: tutki lauseketta y Gaussiste kokoaislukuje avulla.] Ratkaisu 7. Käytetää ratkaisussa hyväksi Gaussi kokoaislukuja. Yhtälö o yhtäpitävässä muodossa x 5 = y = (y i)(y i), ja lukuje x ja y o oltava tavallisia kokoaislukuja. Jos a Z[i] jakaa molemmat luvuista yi ja y i, se o jaettava myös luku yi (y i) = i. Tästä seuraa, että suurimma yhteise tekijä (y i, y i) o oltava joko, i tai. Jos olisi ( i) (y i), silloi myös ( i) x 5 ja koska x 5 o tavallie kokoaisluku, tästä seuraa, että x 5. Koska o alkuluku, ii myös x ja silloi y 0 (mod 4). Mutta y 0 tai y (mod 4), jote tämä o mahdotota. Täytyy siis olla (y i, y i) =. Jos Gaussi alkuluvulla q pätee q (y i), silloi q x ja site q 5 (y i), sillä (y i, y i) =. Jollai Gaussi kokoaisluvulla w = u iv ja yksiköllä µ pätee siis µw 5 = y i. Koska µ 5 = µ kaikilla yksiköillä µ, voidaa sopivalla w olettaa, että µ =. 4

5 Avataa biomikaavalla luku w 5 ja tarkastellaa se imagiaariosaa. w 5 = (u iv) 5 = u 5 5iu 4 v 0u 3 v 0iu v 3 5uv 4 iv 5 = (u 5 0u 3 v 5uv 4 ) iv(5u 4 0u v v 4 ) Tästä seuraa, että v(5u 4 0u v v 4 ) =, jote v = ±. Jos v =, ii silloi o oltava 5u 4 0u v v 4 = 5u 4 0u =, eli 5u 4 0u = 5u (u ) = 0. Tämä yhtälö aioa kokoaislukuratkaisu o u = 0. Silloi yi = i 5 = i, eli tästä saadaa alkuperäise yhtälö ratkaisu, jossa y = 0. Yhtälöllä o siis ratkaisu (x, y) = (, 0). Jos v =, ii silloi o oltava 5u 4 0u v v 4 = 5u 4 0u =, eli 5u 4 0u =. Koska yhtälö vase puoli o aia jaollie viidellä, yhtälöllä ei ole kokoaislukuratkaisuja. Yhtälö x 5 = y aioa kokoaislukuratkaisu o siis (x, y) = (, 0). 5