Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)

Transkriptio

1 Algebra I Matematiika ja tilastotietee laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksii 5 (6 sivua) Määritellää kuvaus f : S 3 S 3, f(α) = (123) α. Osoita, että f o bijektio. Mikä o se kääteiskuvaukse lauseke? Mikä o jouko {(13), (12)} kuva kuvauksessa f? Etä jouko {(1), (132), (23)} alkukuva? Ratkaisu: Kuvaus o bijektio jos ja vai jos sillä o kääteiskuvaus. Etsitää kuvaukse f kääteiskuvaukse lauseke, jolloi samalla tulee todistetuksi, että f o bijektio. Havaitaa, että alkio (123) S 3 kääteisalkio o (321) = (132), jote o järkevää tutkia fuktiota g : S 3 S 3, g(α) = (132) α. Koska kaikilla σ S 3 f(g(σ)) = f((132) σ) = (123) ((132) σ) = ((123) (132)) σ) = (1) σ = σ, ja g(f(σ)) = f((123) σ) = (132) ((123) σ) = ((132) (123)) σ) = (1) σ = σ, o f g = id S3 = g f. Siis kuvaus g o kuvaukse f kääteiskuvaus, ja f o bijektio. Jouko {(13), (12)} kuva kuvauksessa f o f({(13), (12)}) = {f((13)), f((12))} = {(123) (13), (123) (12)} = {(23), (13)}. Etsitää jouko {(1), (132), (23)} alkukuva kuvauksessa f. Havaitaa, että jos α, β, γ S 3 ii f(α) = (123) α = (1) α = (123) 1 (1) = (132), f(β) = (123) β = (132) β = (123) 1 (132) = (132) (132) = (123), 1

2 f(γ) = (123) γ = (23) γ = (123) 1 (23) = (132) (23) = (13). Siis f {(1), (132), (23)} = {(132), (123), (13)}. Tapa2: Koska f o bijektio, jouko {(1), (132), (23)} alkukuva kuvauksessa f o sama kui se kuva kuvauksessa g. Siis f {(1), (132), (23)} = g({(1), (132), (23)}) = {(132) (1), (132) (132), (132) (23)} = {(132), (123), (13)}. 2. a) Määritä ryhmä S 6 aliryhmä (1563)(24). Mikä o alkio (1563)(24) kertaluku? b) Millä ryhmä (Q \ {0}, ) alkioista o äärellie kertaluku? c) Tutkitaa ryhmää G = {f : R R f o bijektio}, joka laskutoimitus o kuvauste yhdistämie. Määritellää g : R R, g(x) = 3x. Määritä ryhmä G aliryhmä g. Mikä o alkio g kertaluku? Ratkaisu: a) Merkitää σ = (1563)(24) S 6. Se virittämä aliryhmä o σ = {σ Z}, ja koska σ 2 = (16)(53), σ 3 = (1365)(24), ja σ 4 = (1), saadaa, että σ = {σ = 1,..., 4} = {(1), (1563)(24), (16)(53), (1365)(24)}. Yllä havaitaa myös, että alkio (1563)(24) kertaluku o 4. b) Ryhmä (Q \ {0}, ) eutraalialkio o 1. Olkoo m Q \ {0}, missä m, Z \ {0}. Alkio m kertaluku o äärellie jos ja vai jos o olemassa luku r N \ {0}, jolla ( m )r = 1. Koska ( m )r = 1 m r = r m = ± (jos r o parillie), tai m = (jos r o parito), ähdää, että alkio m Q \ {0} kertaluku o äärellie vai jos m {±1}. 2

3 c) Määritelmä mukaa g = {g Z}, missä g (x) = 3 x. Koska ei ole olemassa lukua N\{0}, jolla 3 = 1, alkio g G kertaluku o ääretö, ja se virittämä aliryhmä koostuu siis g: positiivisista ja egatiivisista potesseista, sekä eutraalialkiosta g 0 = id R. 3. a) Määritä ryhmä (Z, +) aliryhmä 8, 12. b) Määritä ryhmä S 4 aliryhmä (13)(24), (12)(34). Ratkaisu: a) Määritelmä mukaa 8, 12 o piei ryhmä (Z, +) aliryhmä, joka sisältää jouko {8, 12}. Aliryhmä 8, 12 määrittämie o kuiteki usei hakalaa pelkä määritelmä perusteella. Käytetää luetomateriaali lausetta , joka mukaa 8, 12 koostuu kaikista mahdollisista alkioide 8 ja 12 sekä iide vastaalkioide -8 ja -12 summista. Siis 8, 12 = {s 1 + s 2 + s r s i {±8, ±12}, r N}. Koska (Z, +) o vaihdaaie ryhmä, voidaa kirjoittaa 8, 12 = {8 + 12m :, m Z}. Nyt havaitaa, että luvut 8 ja 12 ovat jaollisia eljällä. Siis 8, 12 = {4 : Z} = 4Z. Huom. Koska ryhmässä (Z, +) laskutoimitus o summa, käytetää additiivista merkitätapaa, missä vasta-alkioita merkitää miiusmerkillä. b) Merkitää σ = (13)(24), τ = (12)(34). Kute a-kohdassa, σ, τ = {s 1 + s 2 + s r s i {σ, σ 1, τ, τ 1 }, r N}. Nyt σ 2 = (1) = τ 2 ja στ = (14)(23), jote σ, τ sisältää aiaki alkiot {(1), σ, τ, στ} = {(1), (13)(24), (12)(34), (14)(23)}. Harjoituste 4 tehtävästä 7a) muistetaa, että joukko {(1), (13)(24), (12)(34), (14)(23)} o ryhmä S 4 aliryhmä. Tämä ähdää se laskutoimitustaulusta: 3

4 (1) (13)(24) (12)(34) (14)(23) (1) (1) (13)(24) (12)(34) (14)(23) (13)(24) (13)(24) (1) (14)(23) (12)(34) (12)(34) (12)(34) (14)(23) (1) (13)(24) (14)(23) (14)(23) (12)(34) (13)(24) (1) Määritelmä mukaa σ, τ o piei ryhmä S 4 aliryhmä, joka sisältää jouko {σ, τ}. Yllä ähtii, että {(1), (13)(24), (12)(34), (14)(23)} σ, τ, ja toisaalta, että {(1), (13)(24), (12)(34), (14)(23)} o ryhmä S 4 aliryhmä. Siis o oltava voimassa yhtäsuuruus: {(1), (13)(24), (12)(34), (14)(23)} = σ, τ. 4. Harjoitukse 4 tehtävässä 4 löydettii ryhmä S 4 aliryhmä, joka kertaluku o eljä. Etsi sellaie eljä alkio aliryhmä, joka kertotaulu o erilaie. Ratkaisu: Harjoituksissa 4 o jo löydetty kaksi ryhmä S 4 aliryhmää, joilla o sama kertotaulu kui Kleii eliryhmällä, imittäi {(1), (12), (34), (12)(34)} tehtävässä 4, ja {(1), (13)(24), (12)(34), (14)(23)} tehtävässä 7a). Toisaalta tiedetää, että eljä alkio ryhmiä o täsmällee kaksi erilaista: Kleii eliryhmä V 4 ja syklie ryhmä C 4. Halutaa siis löytää aliryhmä, jolla o sama kertotaulu kui syklisellä ryhmällä C 4. Tätä varte etsitää alkio σ S 4, joka kertaluku o 4. Silloi σ o haluttu aliryhmä. Koska jokaise 4-sykli kertaluku o 4, voidaa valita esimerkiksi σ = (1234). Nyt σ 2 = (13)(24), σ 3 = (1432) ja σ 4 = (1). Siis σ = {σ = 1,..., 4} = {(1), (1234), (13)(24), (1432)} o haluttu aliryhmä. Se kertotaulu o (1) (1234) (13)(24) (1432) (1) (1) (1234) (13)(24) (1432) (1234) (1234) (13)(24) (1432) (1) (13)(24) (13)(24) (1432) (1) (1234) (1432) (1432) (1) (1234) (13)(24) 4

5 5. Oletetaa, että G o ryhmä ja se alkio g kertaluku o 6. Mitkä ovat alkioide g 2, g 4 ja g 5 kertaluvut? Ratkaisu: Havaitaa, että (g 2 ) k = e g 2k = e, (g 4 ) l = e g 4l = e, (1) (g 5 ) m = e g 5m = e, missä k, l, m N \ {0}. Koska o(g) = 6, pätee g e, ku = 1,..., 5, ja g 6 = e. Nyt valitsemalla k = 3, l = 3 ja m = 6 yhtälöt (1) toteutuvat. Toisaalta, g 2k e ku k = 1, 2, g 4l e ku l = 1, 2, ja (g 5 ) m e ku m = 1,..., 5. Siis o(g 2 ) = k = 3, o(g 4 ) = l = 3, ja o(g 5 ) = m = 6. Huom. Huomataa, että 2 o(g 2 ) = 2 3 = 6 = pyj(2, 6), ja 4 (g 4 ) = 4 3 = 12 = pyj(4, 6), 5 o(g 5 ) = 5 6 = 30 = pyj(5, 6). 6. a) Olkoo G ryhmä ja g G. Osoita, että g = g 1. Totea, että alkioide g ja g 1 kertaluvut ovat samat. b) Olkoo G ryhmä ja g, x G. Jos alkio g kertaluku o, ii mikä o alkio xgx 1 kertaluku? Perustele vastauksesi huolellisesti hyvällä suome kielellä. Ratkaisu: 5

6 a) Olkoo G ryhmä ja g G. Väite: g = g 1. Todistus: Määritelmä mukaa g o piei ryhmä G aliryhmä, joka sisältää alkio g, ja toisaalta g 1 o piei ryhmä G aliryhmä, joka sisältää alkio g 1. Koska g o G: aliryhmä ja g g, myös kääteisalkio g 1 g. Siis g 1 g. Samoi ähdää, että g g 1. Siis g = g 1, mikä oli todistettava. Tapa2: Alkio g virittämä aliryhmä o g = {g Z} = {g Z}. Vaihtamalla ideksöitiä jälkimmäisessä joukossa ja käyttämällä potessi omiaisuuksia ähdää, että {g Z} = {(g 1 ) Z} = g 1, mikä oli todistettava. Väite: Alkioide g ja g 1 kertaluvut ovat samat. Todistus: Olkoo o(g) alkio g kertaluku. Jos o(g) o äärellie, ii ryhmässä g o täsmällee o(g) alkiota, ja jos o(g) =, ii ryhmässä g o äärettömä mota alkiota. Sama pätee alkio g 1 kertaluvulle o(g 1 ) ja ryhmälle g 1. Toisaalta, koska g = g 1, o molemmissa ryhmissä yhtä mota alkiota. Siis alkioide g ja g 1 kertaluvut ovat samat, mikä oli todistettava. b) Koska alkio g kertaluku o, pätee g k e, ku k = 1,..., 1, ja g = e. Havaitaa, että kaikilla k N \ {0}, Nyt (xgx 1 ) k = (xgx 1 )(xgx 1 ) (xgx 1 ) = xgx 1 xgx 1 xgx 1 = xgegeg egx 1 = xg k x 1. Toisaalta, jos (xgx 1 ) = xg x 1 = xex 1 = xx 1 = e. (xgx 1 ) k = xg k x 1 = e jollai k {1,..., 1}, ii kertomalla yhtälö vasemmalta alkio x kääteisalkiolla ja oikealta alkiolla x ähdää, että eli Siis x 1 xg k x 1 x = x 1 ex, eg k e = x 1 ex = x 1 x = e. g k = e jollai k {1,..., 1}, mikä o mahdotota, koska alkio g kertaluku o. Siis myös alkio xgx 1 kertaluku o. 6