2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x =

Transkriptio

1 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. a) g( ) = Koska g o eljäe astee polyomi, ii ollakohtia o korkeitaa eljä. Hahmotellaa uktio kuvaaja laskimella ja lasketaa uktio arvot esimerkiksi kohdissa =, =, =, = ja =. g( ) = ( ) ( ) 5 ( ) + 6 ( ) = 7 > g( ) = 8< g( ) =,565 > g() = 8 < g() = 7 > Koska merkki vuorottelee ja uktio o jatkuva (polyomiuktioa), Bolzao lausee ojalla uktiolla o ollakohta avoimilla väleillä < <, < <, < < ja < <. Fuktiolla o siis eljä ollakohtaa. ( ) = b) Koska o kolmae astee polyomi, ii ollakohtia o korkeitaa kolme. Hahmotellaa uktio kuvaaja ja lasketaa uktio arvot esimerkiksi kohdissa =, =, = ja = 5. ( ) = 9> () = < (5) = 6 > ( ) = ( ) + 5 ( ) 6 ( ) + = 8 < Koska merkki vuorottelee ja uktio o jatkuva (polyomiuktioa), Bolzao lausee ojalla uktiolla o ollakohta avoimilla väleillä < <, < < ja < < 5. Fuktiolla o siis kolme ollakohtaa. a) Graaise tarkastelu perusteella uktiolla ( ) = 5 äyttäisi oleva vähemmä kui kolme ollakohtaa, jote tarvitaa tarkempaa uktio kulu tutkimusta. Tutkitaa kulkua derivaata ( ) = avulla. Derivaatta o olla, ku = = = =± Laaditaa uktio kulkukaavio derivaata merkkikaavio avulla. + + Lasketaa paikalliset ääriarvot. Koska o jatkuva, ii kulkukaavio perusteella se paikallie maksimiarvo o = + 5 =,9... < Paikallie miimiarvo o + = 5 = 6,88... < +

2 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. Kulkukaavio perusteella uktiolla ei ole ollakohtaa välillä, koska uktio suuri arvo tällä välillä o ( ) =,9... <. Fuktio o aidosti kasvava välillä, jote sillä o korkeitaa yksi ollakohta tällä välillä. Koska ( ) = 6,88... < ja koska esimerkiksi () = 5 = 6 >, ii Bolzao lausee perusteella uktiolla o aiaki yksi ollakohta välillä >. Näi olle uktiolla o siis täsmällee yksi ollakohta välillä >. Yhtälöllä 5= o siis yksi ratkaisu. b) Tutkitaa uktiota ( ) = + +. Tapa. Koska aia ja aia, ii ( ) = + + > aia, jote uktiolla ei ole (reaalisia) ollakohtia. Yhtälöllä + + = ei siis ole (reaalista) ratkaisua. Tapa. Tutkitaa uktio kulkua derivaata avulla. = + ( ) ( ) =, ku + = ( + ) = = tai + = = = = ei reaalista ratkaisua Laaditaa kulkukaavio derivaata merkkikaavio avulla. Testipisteet: = + = < () = + = 6 > ( ) ( ) ( ) 6 + Koska o jatkuva, kulkukaavio perusteella se piei arvo o () = + + = >. Koska piei arvo o suurempi kui olla, uktiolla ei ole ollakohtia eli yhtälöllä + + = ei ole (reaalista) ratkaisua. c) Tutkitaa uktio ( ) = + l,, kulkua derivaata avulla. ( ) = + = + () =, ku + = + = = = ei reaalista ratkaisua ( )

3 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. Laaditaa kulkukaavio derivaata merkkikaavio avulla. Testipisteet: ( ) = ( ) + = < () = + = > + Kulkukaavio perusteella uktio o aidosti kasvava, ku >. Valitaa suljetut välit, ja, ja lasketaa uktio arvot päätepisteissä. ( ) = ( ) + l( ) = + l= > ( ) = ( ) + l( ) = + l =,6 < ( ) = ( ) + l( ) = + l =,6 < () = + l = > Koska uktio o jatkuva, ku, ii Bolzao lausee perusteella uktiolla o aiaki yksi ollakohta väleillä < ja >. Koska uktio o aidosti mootoie sekä välillä < että välillä >, ii uktiolla o vai yksi ollakohta välillä < ja vai yksi ollakohta välillä >. Fuktiolla o siis kaksi ollakohtaa, jote yhtälöllä = l o kaksi ratkaisua. 5 ( ) = Tutkitaa uktio kulkua derivaata avulla. 9 = ( ) = 9 = =± Laaditaa uktio kulkukaavio derivaata merkkikaavio avulla. + + Lasketaa uktio paikalliset ääriarvot. Koska o jatkuva, ii kulkukaavio perusteella se paikallie maksimiarvo o = = =,6... >. 9 Paikallie miimiarvo o = = =,6... < Fuktio o jatkuva. Laskettuje ääriarvoje perusteella valitaa tarkemma tutkimise kohteiksi suljetut välit,,, ja,.

4 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. = < ja ( ) ) ( ) > Fuktio arvot ovat siis erimerkkiset väli, päätepisteissä. Bolzao lausee perusteella uktiolla o aiaki yksi ollakohta. Koska lisäksi aidosti mootoie tällä välillä, ii uktiolla o vai yksi ollakohta välillä,. ) ( ) > ja ( ) < Fuktio arvot ovat siis erimerkkiset väli, päätepisteissä. Bolzao lausee perusteella uktiolla o aiaki yksi ollakohta. Koska lisäksi aidosti mootoie tällä välillä, ii uktiolla o vai yksi ollakohta välillä,. ) ( ) < ja () = > Fuktio arvot ovat siis erimerkkiset väli, päätepisteissä. Bolzao lausee perusteella uktiolla o aiaki yksi ollakohta. Koska lisäksi aidosti mootoie tällä välillä, ii uktiolla o vai yksi ollakohta välillä,. Fuktiolla o siis olemassa kolme ollakohtaa. Kulkukaavio perusteella maisemassa o siis kaksi vesialuetta, jotka muodostuvat siis - akseli alapuolelle. Vastaus Maisemassa o kaksi vesialuetta. 7 Väite. Fuktiolla ( ) = + cos + o vai yksi ollakohta. Todistus. Huomataa aluksi, että cos cos + cos +. Jos ( ) = + cos + = = (cos + ),. Toisi saoe uktiolla voi olla ollakohtia vai välillä [, ]., ii [ ] Koska ( ) = + cos( ) + =, <, = + cos+ = > ( ) ja o jatkuva, ii Bolzao lausee ojalla välillä [, ] o aiaki yksi ollakohta. Tutkitaa tarkemmi uktio kulkua välillä [, ] derivaata avulla. Derivaata ollakohdat: ( ) = si= si = si = π 5π = + π tai = + π, Z. 6 6 Näistä vai 5 π π= 7 π 7, o välillä [, ]. Koska ( ) < ja ( ) >, ii o aidosti väheevä välillä, π 6 ja aidosti kasvava 7 välillä π, 6. Näi olle ollakohtia voi olla välillä [, ] vai yksi. Väite o todistettu.

5 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. Toie (hakalampi) tapa. Koska pätee ( + π ) = ( + π)+ cos( + π ) + = + π+ cos + = ( + cos + ) + π = ( ) + π kaikilla Z, ii tarkastellaa aluksi väliä [, π[. Laaditaa uktio kulkukaavio välillä [, π[ derivaata merkkikaavio avulla. Kulkukaaviosta saadaa seuraavalaie: π 5π Huomataa, että uktio kulku o tämä kaavio mukaie jokaisella välillä [ π, π + π[, Z, kaava ( + π ) = ( ) + π perusteella. Lasketaa uktio arvo kohdassa ja välillä [, π[ olevissa derivaata ollakohdissa: () >, 5 ( π ) > ja ( π ) >. Näide arvoje ja 6 6 kulkukaavio perusteella o ( ) > välillä [, π[ ja samalla koko välillä [, [, koska ( + π ) = ( ) + π. Lasketaa seuraavaksi kriittiset arvot välillä [π, [: ( ) 5 ( π π ) < ja ( ) π π <, π π <. Näide arvoje, Bolzao lausee, 6 6 kulkukaavio ja kaava ( + π ) = ( ) + π perusteella välillä [π, [ o täsmällee yksi ollakohta ja tämä väli vasemmalla puolella ei ole ollakohtia. 9 a) Aetu yhtälö juuret ovat uktio ( ) = 5 ollakohtia. Fuktio ( ) = 5 o kaikkialla jatkuva, jote voidaa soveltaa Bolzao lausetta: jatkuva uktio ei voi vaihtaa merkkiää käymättä olla kautta. Sovelletaa Bolzao lausetta yhä pieeevillä väleillä: Fuktio arvo ja merkki Juure sijaiti Väli pituus () = 5 = < () = 6 > () = < (,) =,6 > (,9) =,567 < (,95) =,57... > ],[ = ];,[, ],9;,95[,5 Kaikki luvut välillä, 9 < <, 95 pyöristyvät kahde desimaali tarkkuudella samaa arvoo,9, jote ollakohta kahde desimaali tarkkuudella o,9. b) Aetu yhtälö si= juuret ovat uktio g ( ) = si+ ollakohtia. Fuktio g ( ) = si+ o kaikkialla jatkuva, jote voidaa soveltaa Bolzao lausetta: jatkuva uktio ei voi vaihtaa merkkiää käymättä olla kautta. Sovelletaa Bolzao lausetta yhä pieeevillä väleillä.huomaa, että laskimessa pitää olla kulma yksikköä radiaai.

6 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. Fuktio arvo ja merkki Juure sijaiti Väli pituus g( ) =, < g( ) =,99... > ], [ ( ) = g(,) =,8 < g(,) =,75 > g(,75) =,76 > g(,8) =, < ],;,[,,8 < <,75,5 Kaikki luvut välillä,8 < <,75 pyöristyvät kahde desimaali tarkkuudella samaa arvoo,8, jote ollakohta kahde desimaali tarkkuudella o,8. Kuvaajat a- ja b-kohtii: Vastaus a),9 b),8 Väite. Yhtälöllä l = o täsmällee kaksi ratkaisua. Todistus. Tutkitaa uktio ( ) = l +, >, ollakohtie lukumäärää. Laaditaa uktio kulkukaavio derivaata merkkikaavio avulla. ( ) = () =, ku = = =. Testipisteet: () = = > () = = < 6 Kulkukaavio: +

7 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. Koska o jatkuva, ii kulkukaavio perusteella paikallie maksimiarvo o () = l + = l + =,69 >. Fuktio o aidosti kasvava välillä <, jote sillä o korkeitaa yksi ollakohta tällä välillä. Koska () =,69 > ja koska esimerkiksi ( ) = l + =,5 <, ii Bolzao lausee perusteella uktiolla o aiaki yksi ollakohta välillä < <. Näi olle uktiolla o täsmällee yksi ollakohta tällä välillä. Fuktio o aidosti väheevä välillä, jote sillä o korkeitaa yksi ollakohta tällä välillä. Koska () =,69 > ja koska esimerkiksi (9) = l 9 + =, <, 9 ii Bolzao lausee perusteella uktiolla o aiaki yksi ollakohta välillä >. Näi olle uktiolla o täsmällee yksi ollakohta tällä välillä. Yhtälöllä l = o siis yksi ratkaisu välillä < < ja toie välillä >. ) Määritetää välillä < < oleva ratkaisu likiarvo. Valitaa suljettu väli [,;,5]: (,) =,5 <, (,5) =, > Väli Väli keskikohta c (c),+,5 [,;,5] =,5 = c, < [,5;,5],75 = c,5 < [,75;,5],75 = c, < [,75;,5],6875 = c 8,8 > [,75;,6875],55 = c 5,5 < [,55;,6875] Viimeisessä vaiheessa väli päätepisteet pyöristyvät kahde desimaali tarkkuudella samaa lukuu, jote iteroiti voidaa lopettaa. Yhtälö juuri o kahde desimaali tarkkuudella,5. ) Määritetää välillä > oleva ratkaisu likiarvo. Valitaa suljettu väli [8,; 8,]: (8,) =,59 >, (8,) =, < Väli Väli keskikohta c (c) [8,; 8,] 8,+ 8, = 8,5 = c,5 < [8,; 8,5] 8,5 = c 5,9 < [8,; 8,5] Juuri o siis välillä [8,; 8,5], jote juuri o kahde desimaali tarkkuudella 8,. Vastaus,5 ja 8,

8 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. 5ta = 5ta = Merkitää ( ) = 5 ta, π π,. Fuktio o jatkuva ja derivoituva, ja ( ) = 5(ta + ) = 5ta 5. Derivaata ollakohdat: ( ) = 5ta 5= ta = ta = tai ta = π π = + π tai = + π, Z Laaditaa uktio kulkukaavio derivaata merkkikaavio avulla. Derivaata merkki testipisteide avulla: π ( ) > 8 () 5 < ( ) > π 8 Kulkukaavio perusteella paikallie maksimiarvo saadaa kohdassa π =. π π π Koska ( ) = 5 ta( ) ( ),5 <, kulkukaavio mukaa välillä π π, ei ole ollakohtaa. Koska o jatkuva, kulkukaavio mukaa uktio paikallie miimiarvo o myös egatiivie eli π <. ( ), ;,, joka sisältyy välii π π,. (, ), < (,), > Valitaa suljettu väli [ ] Fuktio o jatkuva suljetulla välillä [, ;, ], jote Bolzao lausee mukaa sillä o ollakohta tällä välillä. Välillä π π, o lisäksi aidosti kasvava, jote uktiolla o vai yksi ollakohta. Nollakohta eli yhtälö 5ta = juuri o siis kulkukaavio mukaa välillä π π,. Haarukoidaa uusi suljettu väli [,5;,]. Koska (,5),5 < ja (, ) >, yhtälö juuri o välillä ], 5;, [. Juure likiarvo yhde desimaali tarkkuudella o siis,. Vastaus, π π π π + +

9 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. 5 7 Merkitää ( ) = e. Fuktio o jatkuva ja derivoituva, ja ( ) = + e. Käytetää Newtoi algoritmia: + = Alkuarvo: =. ( ), =,,, ( ) () = = = e () + e =, =, =, Fuktiolla ( ) = äyttäisi oleva kohdassa = vaakasuora tagetti, joka ei leikkaa -akselia. Tämä merkitsee sitä, että uktio derivaatta kohdassa = o olla, jote Newtoi algoritmissa jaetaa ollalla. Newtoi meetelmä ei siis sovellu tähä tilateesee. Yhtälö ratkaisu äyttäisi oleva kuude desimaali tarkkuudella,57. 7 Tarkkuude osoitus: koska (,575) = 5,7... < ja 6 (,575) =,... >, ii Bolzao lausee ojalla välillä ],575;,575[ o ollakohta, jolloi se likiarvo kuude desimaali tarkkuudella o,57 Vastaus,57

10 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. 9 Fuktio ( ) = + + o kaikkialla jatkuva ja derivoituva. Koska () = > ja () = <, uktio arvot ovat erimerkkiset väli päätepisteissä, jote Bolzao lausee ojalla uktiolla ( ) o ollakohta avoimella välillä < <. Sovelletaa Newtoi meetelmää alkuarvolla = : Newtoi meetelmällä määritetää umeerisesti uktio ollakohtaa. Fuktiolle piirretää tiettyy alkuarvokohtaa tagetti. Määritetää tämä tageti ja - akseli leikkauskohta, joka o uusi likiarvo ollakohdalle. Tähä kohtaa piirretää taas tagetti uktiolle ja määritetää uusi -akseli leikkauskohta. Tätä algoritmia toistetaa, kues saadaa ollakohda likiarvo vaaditulla tarkkuudella. ( ) Algoritmi rekursiokaava: + =. ( ) Merkitää ( ) = e + si. Fuktio o jatkuva ja derivoituva, ja ( ) = e + cos. Newtoi meetelmä ei toimi, sillä arvot ja vuorottelevat ikuisesti. Kohtaa = piirretty tagetti leikkaa -akseli kohdassa =, ja kohtaa = piirretty tagetti leikkaa -akseli kohdassa =. Koska ( ), 7 < ja () = > ja uktio o jatkuva, ii Bolzao lausee perusteella uktiolla o ollakohta välillä ], [. Välillä [, ] o cos >, ja e > aia, jote ( ) = e + cos >. Ku >, o e > ja cos, jote ( ) = e + cos >. Siis uktio o aidosti kasvava, ku. Välillä ], [ oleva ollakohta o site aioa uktio ollakohta välillä, jote se o myös suuri ollakohta. Määritetää ollakohta Newtoi meetelmällä: e + = e + si + cos Valitaa alkuarvoksi =.

11 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. e + si( ) = =, e + cos( ) =, =, =, Tarkkuude osoitus: koska (,58855) =, 7... > ja 6 (,58855) =,... <, ii Bolzao lausee perusteella välillä ],58855;,58855[ o ollakohta, joka viisidesimaalie likiarvo o -,5885 Vastaus,5885 Tutkitaa välillä > määriteltyä, jatkuvaa ja derivoituvaa uktiota ( ) = l. Nollakohtia o tasa yksi, sillä esiäki () = = < ja () =,98... >, jote Bolzao lausee ojalla ollakohta varmasti o olemassa. Toisaalta ollakohtia voi olla korkeitaa yksi, sillä uktio ( ) o aidosti kasvava, koska derivaatalle pätee ( ) = > välillä >. Newtoi meetelmä mukaie palautuskaava o jote yt l + = / = (l ) = l + = ( l ). ( ) + ( ) =, Käyttämällä alkuarvoa =,7 saadaa = (,7 l,7),78,78888, Täte jo likiarvo =,78888 o sama kui laskime luvulle e atama likiarvo. Vastaus e,78888, kaksi iteraatiota

12 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. 5 Fuktio ( ) ku >. = ( ) lg l + o määritelty, jatkuva ja derivoituva, Newtoi meetelmä soveltuu huoosti ollakohda likiarvo määrittämisee, sillä derivaata laskemie o työlästä ja vaativaa. Sovelletaa Bolzao lausetta. ) Tarkastellaa väliä [,] : koska () =, < ja () =,75... >, ii uktio ( ) vaihtaa merkkiää tällä välillä, jote ollakohta o välillä < <. ) Tarkastellaa väliä [,] : koska () = 9,.. < ja () = 9,57... >, ii uktio ( ) vaihtaa merkkiää tällä välillä, jote ollakohta o välillä < <. ) Tarkastellaa väliä [;,5] : koska () = 9,.. < ja (,5) =,6... >, ii uktio ( ) vaihtaa merkkiää tällä välillä, jote ollakohta o välillä < <,5. Kaikki tämä väli arvot pyöristyvät kokoaislukuu. Kohtie ojalla ollakohda kokoaislukulikiarvo o. Vastaus Derivaata laskemie o työlästä ja vaativaa. Nollakohda kokoaislukulikiarvo o. 7 ( ) = Fuktio o jatkuva ja derivoituva, ja ( ) = Derivaatta o kolmae astee polyomi, jolla o korkeitaa kolme ollakohtaa. Ääriarvokohdat voivat olla vai derivaata ollakohdissa. Määritetää derivaata ollakohdat Newtoi meetelmällä. ( ) + =, =,,,... ( ) = + ( ) 8 6 Graaise tarkastelu perusteella valitaa alkuarvoiksi =, = ja = ) = 5 =, =,96... =, =, =, Joo vakiituu arvoo -, Tarkkuude osoitus: koska (,7985) = 9,... > ja 5 (,7985) =,8... <, ii Bolzao lausee perusteella derivaatalla o ollakohta välillä ],7985;,7985 [. Nollakohda likiarvo kuude desimaali tarkkuudella o,798.

13 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. ) = =, =, =, =, Joo vakiituu arvoo, Tarkkuude osoitus: koska (, 79755) =,... > ja 5 (,79765) =,... <, ii Bolzao lausee perusteella derivaatalla o ollakohta välillä ],79755;,79765[. Nollakohda likiarvo kuude desimaali tarkkuudella o,7976. ) = =, 65 =,6... =, =, Joo vakiituu arvoo,66. 5 Tarkkuude osoitus: koska (, 655) =, < ja 6 (, 665) =,... >, ii Bolzao lausee perusteella derivaatalla o ollakohta välillä ],655;,665[. Nollakohda likiarvo kuude desimaali tarkkuudella o,66. 9 a) Fuktio derivaatta o ( ) = ja toie derivaatta ( ) = 6, jote [ ( )] [ ] ( ) ( ) ( )(6 ) = 6 = 9 =. a+ b a b = + c c c Etsitää luvu,6 sisältävä väli, jossa tämä lauseke o pieempi kui. Välillä < < uktio g ( ) = o aidosti kasvava ( aid. kasvava, jote / aid.väheevä ja edellee / aid. kasvava). Lasketaa väli päätepistearvot: g () = / ja g () = /. Täte < < välillä < <. ( ) ( ) Näi olle ehto < toteutuu välillä < < ja [ ( )] Newtoi meetelmä soveltuu juure määrittämisee. Vastaus Miimit ovat kohdissa,798 ja,66. Maksimi o kohdassa,7976.

14 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. b) Derivaatta o ( ) = ja toie derivaatta ( ) =, jote sillä [ ( )] [ ] ( ) ( ) ( ) = = = < < välillä < <, < < välillä < <. Näi olle ehto ( ) ( ) [ ( )] < toteutuu välillä < <. c) Tutkitaa uktiota ( ) = =. Derivaatta o ( ) =, ku 5, ja toie derivaatta ( ) =, ku. 9 Newtoi algoritmi palautuskaava o ( ) + ( ) =, jote yt Suppeemisehto ei toteudu millää origo sisältävällä välillä, koska ei ole edes derivoituva kohdassa : erotusosamäärä / ( h) () h h / = = = h h h h ei lähesty mitää reaalilukua, ku h lähestyy ollaa. Iteraatiot: alkuarvo =, = =, = =, = =,8 = =,6 O ilmeistä, että joo hajaatuu (lukuje itseisarvot kasvavat rajatta). am + = a = = =. m = a

15 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. ( ) = 5 + o polyomia jatkuva. Koska o toise astee polyomi, sillä o korkeitaa kaksi ollakohtaa. () = 5 + = > () = 5 + = < () = 5 + = < (5) = = > Tarkkuude osoitus: koska (, 5) =,... > ja (,5) =,6... <, Bolzao lausee ojalla uktiolla o ollakohta välillä ],8;,85[. Nollakohda likiarvo kahde desimaali tarkkuudella o siis,. Vastaus Pieempi ollakohdista o,. Tarvitaa iteraatiota. Bolzao lausee perusteella uktiolla o ollakohta välillä [, ] ja välillä [, 5]. Yleise sekattimeetelmä algoritmi o + = ( ), =,,,... ( ) ( ) Lasketaa pieempi ollakohdista lähtie alkuarvoista = ja =. Tulokset o koottu seuraavaa taulukkoo:,5,,9 Kolmaella iteraatiolla saadaa =,9, joka likiarvo kahde desimaali tarkkuudella o,. Oikea tarkkuus saadaa jo toisella iteraatiolla.

16 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. a) cos = Tarkastellaa uktiota ( ) = cos. Yleise sekattimeetelmä algoritmi o + = ( ), =,,,... ( ) ( ) Alkuarvoje = ja = avulla saadaa = ( ) ( ) ( ) Kootaa taulukkoo juure likiarvot:,6857,7698,799 5,7985 Juuriehdokas eljä merkitsevä umero tarkkuudella o,79. Tarkkuude osoitus: koska (,795),9 > ja (,795) 5,88 5 <, Bolzao lausee perusteella ollakohta o välillä ],795;,795[. Yhtälö juure likiarvo eljä merkitsevä umero tarkkuudella o siis,79. Vastaus,79 b) e = Tarkastellaa uktiota ( ) = e. Yleise sekattimeetelmä algoritmi o + = ( ), =,,,... ( ) ( ) Alkuarvoje = ja = avulla saadaa = ( ) ( ) ( ) Kootaa taulukkoo juure likiarvot:,87,58779, , ,567 7,567 Juuriehdokas eljä merkitsevä umero tarkkuudella o,567. Tarkkuude osoitus: koska (,5675),5 < ja (,5675), 5 >, Bolzao lausee perusteella ollakohta o välillä ],5675;,5675[. Yhtälö juure likiarvo eljä merkitsevä umero tarkkuudella o siis,567. Vastaus,567

17 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. c) si = cos Tarkastellaa uktiota ( ) = si+ cos. Yleise sekattimeetelmä algoritmi o + = ( ), =,,,... ( ) ( ) Alkuarvoje = ja = avulla saadaa = ( ) ( ) ( ) Kootaa taulukkoo juure likiarvot: k k,96,57, ,777 6,7767 8,78 Juuriehdokas eljä merkitsevä umero tarkkuudella o,78. Tarkkuude osoitus: koska (,785) 7,7 5 < ja (,775),7 >, Bolzao lausee perusteella yhtälöllä o juuri välillä ],775;,785[. Juure likiarvo eljä merkitsevä umero tarkkuudella o,78. Vastaus, = a) Tiedetää, että uktiolla ( ) = o ollakohta välillä [, 5]. () = = = = < (5) = = = 7 55 = 5 > a+ b + 5 Lasketaa c = = =,5. Lasketaa (c ) = (,5) = 5,5 >. Uudeksi suljetuksi väliksi valitaa seuraavaksi [;,5]. +,5 Suljetu väli keskikohta o c = =, 5. Lasketaa (c ) = (,5) =,665 >. Uusi suljettu väli o siis [;,5]. Iteroiti jatkuu seuraavasti: Väli Väli keskikohta c (c) [;,5] c =,5,7 [;,5] c =,65,886 [,65;,5] c 5 =,975,6965 [,975;,5] c 6 =,975,57678 [,975;,975] c 7 =,565, [,565;,975] c 8 =,56875,789 [,565;,56875] c 9 =,5565,9575 [,5565;,56875] c =,9875,78

18 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. Viimeisessä vaiheessa väli keskipistee c =,9875 ja samalla yhtälö juure likiarvo kolme merkitsevä umero tarkkuudella o,. Tarvittii siis iteraatiokierrosta. b) Newtoi meetelmä palautuskaava o ( N) ( ) + = ( ) = Käytetää juure löytämiseksi alkuarvoa =.,,86,8 Juure likiarvoksi saadaa kolme merkitsevä umero tarkkuudella,. Iteroitikierroksia tarvitaa kolme, mutta oikea tarkkuus saadaa jo toisella iteraatiolla. Tarkkuude osoitus: koska (,5) =,... > ja (,95) =,8... <, ii Bolzao lausee perusteella yhtälöllä o juuri välillä ],95;,5[. Juure likiarvo kolme merkitsevä umero tarkkuudella o siis,. c) Yleise sekattimeetelmä algoritmi o + = ( ), =,,,... ( ) ( ) Alkuarvoje = ja = 5 avulla saadaa = ( ) ( ) ( ) Kootaa taulukkoo juure likiarvot: 5,65,87669, 5,799 Juure likiarvo kolme merkitsevä umero tarkkuudella äyttäisi oleva,. Iteroitikierroksia tarvittii eljä, mutta oikea tarkkuus saavutettii jo kolmaella iteraatiolla. Tarkkuude osoitus: koska (,5) =,... > ja (,95) =,8... <, ii Bolzao lausee perusteella yhtälöllä o juuri välillä ],95;,5[. Juure likiarvo kolme merkitsevä umero tarkkuudella o siis,.

19 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. 7 a) Tutkitaa uktiota ( ) = e. Fuktio o jatkuva kaikilla : reaaliarvoilla. Huomaa, että yt uktio saa alkuarvoilla ja samamerkkiset arvot: () = () = e > ja () = e >. Yleise sekattimeetelmä algoritmi o: = ( ) +, =,,, ( ) ( ) Kootaa taulukkoo juure likiarvot:,8765, , , ,5679 Juuriehdokas kuude desimaali tarkkuudella o,567. Viideellä iteraatiolla kuutee desimaalii pyöristetty arvo ei eää muutu. Vaadittu tarkkuus saadaa jo eljäellä iteraatiolla. Tarkkuude osoitus: koska (,5675), 7 > ja (,5675), 6 <, ii Bolzao lausee perusteella juuri o välillä ],5675;,5675[, jolloi se kuusidesimaalie likiarvo o,567. Vastaus,567 b) Tutkitaa uktiota ( ) = e. Fuktio o jatkuva kaikilla : reaaliarvoilla. Koska () = = < ja () = e >, ii uktiolla o aiaki yksi ollakohta välillä [, ]. Sekattimeetelmä algoritmi o + = ( ), =,,, ( ) ( ) Regula alsi -meetelmä ataa seuraavat arvot: + ( + ),66998,7895 >,66998,578,78887 >,578,5677,8779 >,5677,567555,9756 > 5,567555,5675,8 > 6,5675,5676, > 7,5676,5678, > 8,5678,567,5 8 > Juuriehdokas kuude desimaali tarkkuudella o,567. Kahdeksaella iteraatiolla kuutee desimaalii pyöristetty arvo ei eää muutu. Vaadittu tarkkuus saadaa jo seitsemäellä iteraatiolla. Yleie sekattimeetelmä siis atoi ratkaisu pieemmällä iteroitimäärällä (a-kohta). Tarkkuude osoitus: koska (,5675), 7 > ja (,5675), 6 <, ii Bolzao lausee perusteella juuriehdokas o välillä ],5675;,5675[, jolloi se kuusidesimaalie likiarvo o,567. Vastaus,567

20 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. 9 Kirjoitetaa aettu yhtälö muotoo = g ( ) seuraavasti: e = cos + l e = l(cos + ) l e = l(cos + ) = l(cos + ) Yhtälö o määritelty kaikilla : reaaliarvoilla, koska cos ja tällöi cos +. Kiitopistemeetelmä palautuskaava o siis + = l(cos + ), =,,, Tarkkuude osoitus: koska (,9875), < ja (,9885), >, ii Bolzao lausee perusteella juuri o välillä ],9875;,9885[, jolloi se likiarvo eljä merkitsevä umero tarkkuudella o siis,988. Vastaus,988 Ku lähdetää liikkeelle alkuarvosta =, saadaa iteraatiolla + = l(cos + ), =,,,, seuraava taulukko:,98,9597,9787,996 5,9865 6, , ,9889 Havaitaa, että kaksi viimeistä likiarvoa pyöristyvät eljä merkitsevä umero tarkkuudella samaa, jote juuriehdokas o,988.

21 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. = l + Merkitää ( ) = l. Fuktio o jatkuva ja derivoituva, ku >. Tutkitaa uktio kulkua tarkemmi derivaata avulla. ( ) = ( ) =, ku = = Tutkitaa uktio kulkua derivaata merki avulla. Derivaata merkki testipisteide avulla: (,5) = = <,5 () = = > + Koska uktio o jatkuva, ku >, ii kulkukaavio perusteella uktio paikallie miimiarvo o () = l = <. Valitaa esimerkiksi suljettu väli [,; ]. Koska o jatkuva, ku > ja (,) =,l, =,... > ja () <, ii Bolzao lausee perustella uktiolla o aiaki yksi ollakohta välillä ],; [. Koska lisäksi aidosti mootoie tällä välillä, uktiolla o vai yksi ollakohta tällä välillä. Valitaa toie suljettu väli, esimerkiksi [, ]. Koska o jatkuva, ku > ja () = l =,6... > ja () <, ii Bolzao lausee perusteella uktiolla o aiaki yksi ollakohta välillä ], [. Koska lisäksi aidosti mootoie tällä välillä, uktiolla o vai yksi ollakohta tällä välillä. Näi olle uktiolla o siis kaksi ollakohtaa eli yhtälöllä = l + o kaksi juurta. Suurempi juuri kuuluu siis välille ], [. Yhtälöstä = l + ähdää, että iteroitiuktio o g ( ) = l +. Tällöi siis + = l +. Valitaa alkuarvoksi esimerkiksi =. Taulukoidaa tulokset.,86,97,69,55 5,85 Havaitaa, että kaksi viimeistä likiarvoa pyöristyvät kahde desimaali tarkkuudella samaa, jote juuriehdokas o,5. Tarkkuude osoitus: koska (,5) = 8,... < ja (,55) = 6,... >, ii Bolzao lausee ojalla uktiolla o ollakohta välillä ],5;,55[, joka kaksidesimaalie likiarvo o,5. Vastaus,5

22 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty = 5 8= + 5 = :8 5 Tutkitaa palautuskaava uktiota g= ( ) +. Fuktio g o polyomia määritelty, jatkuva ja derivoituva kaikilla : reaaliarvoilla. 5 g ( ) = = (5 + ) Koska meetelmä suppeemisehto o g ( ) k <, tutkitaa derivaata arvoja välillä [, ]. Lasketaa toie derivaatta: g ( ) = ( + 6) <, ku < < 8 Derivaatta g o siis aidosti väheevä. Koska lisäksi g () = ja g () =, ii g ( ) <, ku ], [. Millekää k < ehto g ( ) k ei kuitekaa toteudu välillä ], [. Etsitää pieempi väli, jossa suppeemisehto toteutuu. Ku merkitää () = , ii () = < ja (,9) 5,5 >. Yhtälö juuri o siis välillä ];,9[. Tällä välillä suppeemisehto toteutuu, koska edellä tehdy tarkastelu ojalla g ( ) g (,9),7 välillä ];,9[. Kiitopistemeetelmä palautuskaava o 5 + = ( + ),,,, 8 = Valitaa alkuarvoksi esimerkiksi =,5. Iteroimalla saadaa seuraava taulukko:,5,556875,68676,67887,679 5, ,6796 Havaitaa, että kaksi viimeistä likiarvoa pyöristyvät kuude desimaali tarkkuudella samaa, jote juuriehdokas o,679. Tarkkuude osoitus: koska (,6795),9 6 > ja (,6795) 5,57 6 <, ii Bolzao lausee perusteella yhtälöllä o juuri välillä ],6795;,6795[, jolloi juure likiarvo kuude desimaali tarkkuudella o,679. Vastaus,679

23 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. 5 a) Tutkitaa uktiota ( ) = si. Fuktio o määritelty, jatkuva ja derivoituva kaikilla : reaaliarvoilla. Fuktio derivaatta o ( ) = cos. Newtoi meetelmä mukaie palautuskaava o ( ) ( ) si =, =,,, cos + = Ku käytetää alkuarvoa =, juurelle saadaa seuraavat likiarvot: k k ( k ),59757,5888,895,597,5795,977,65,97, Juure viide merkitsevä umero tarkkuutee pyöristetty likiarvo äyttäisi oleva,97. 5 Tarkkuude osoitus: (,975),6 > ja (,975) 5,7 <, jote Bolzao lausee ojalla välillä,975 < <,975 o ollakohta, jolloi se viide merkitsevä umero tarkkuutee pyöristetty likiarvo o,97. b) Kirjoitetaa yhtälö muotoo = si +. Palautuskaava o + = si +,,,, = Alkuarvosta = lähtemällä saadaa seuraava lukujoo: k k,798,78998,958,9756 5, , Juure viide merkitsevä umero tarkkuutee pyöristetty likiarvo o,97. (Tarkkuus tarkistetaa samalla tavalla kui a-kohdassa.) Vastaus,97

24 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. 7 a) + = = Saadaa palautuskaava =. b) + = = : ( > ) = Saadaa palautuskaava =. c) + = = = = =± = : ( > ) > Saadaa palautuskaava =. d) + = = = Saadaa palautuskaava =. Kiitopistemeetelmä suppeemisehto o g ( ) k <. a) Kiitopistemeetelmä mukaie iteroitiuktio o g ( ) = ja se derivaatta g ( ) =. Fuktio g ( ) = kuvaaja o alaspäi aukeava paraabeli, ja uktio saa välillä / arvot y. Suppeemisehto g ( ) k < ei siis toteudu. b) Kiitopistemeetelmä mukaie iteroitiuktio o g ( ) =. Derivaataksi saadaa osamäärä derivoimiskaava avulla g ( ) = 6 =. ( ) Koska esimerkiksi g () = 5, ii ehto g ( ) k < ei toteudu välillä. Vastaus Suppeemisehto ei toteudu.