2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x =

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x ="

Transkriptio

1 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. a) g( ) = Koska g o eljäe astee polyomi, ii ollakohtia o korkeitaa eljä. Hahmotellaa uktio kuvaaja laskimella ja lasketaa uktio arvot esimerkiksi kohdissa =, =, =, = ja =. g( ) = ( ) ( ) 5 ( ) + 6 ( ) = 7 > g( ) = 8< g( ) =,565 > g() = 8 < g() = 7 > Koska merkki vuorottelee ja uktio o jatkuva (polyomiuktioa), Bolzao lausee ojalla uktiolla o ollakohta avoimilla väleillä < <, < <, < < ja < <. Fuktiolla o siis eljä ollakohtaa. ( ) = b) Koska o kolmae astee polyomi, ii ollakohtia o korkeitaa kolme. Hahmotellaa uktio kuvaaja ja lasketaa uktio arvot esimerkiksi kohdissa =, =, = ja = 5. ( ) = 9> () = < (5) = 6 > ( ) = ( ) + 5 ( ) 6 ( ) + = 8 < Koska merkki vuorottelee ja uktio o jatkuva (polyomiuktioa), Bolzao lausee ojalla uktiolla o ollakohta avoimilla väleillä < <, < < ja < < 5. Fuktiolla o siis kolme ollakohtaa. a) Graaise tarkastelu perusteella uktiolla ( ) = 5 äyttäisi oleva vähemmä kui kolme ollakohtaa, jote tarvitaa tarkempaa uktio kulu tutkimusta. Tutkitaa kulkua derivaata ( ) = avulla. Derivaatta o olla, ku = = = =± Laaditaa uktio kulkukaavio derivaata merkkikaavio avulla. + + Lasketaa paikalliset ääriarvot. Koska o jatkuva, ii kulkukaavio perusteella se paikallie maksimiarvo o = + 5 =,9... < Paikallie miimiarvo o + = 5 = 6,88... < +

2 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. Kulkukaavio perusteella uktiolla ei ole ollakohtaa välillä, koska uktio suuri arvo tällä välillä o ( ) =,9... <. Fuktio o aidosti kasvava välillä, jote sillä o korkeitaa yksi ollakohta tällä välillä. Koska ( ) = 6,88... < ja koska esimerkiksi () = 5 = 6 >, ii Bolzao lausee perusteella uktiolla o aiaki yksi ollakohta välillä >. Näi olle uktiolla o siis täsmällee yksi ollakohta välillä >. Yhtälöllä 5= o siis yksi ratkaisu. b) Tutkitaa uktiota ( ) = + +. Tapa. Koska aia ja aia, ii ( ) = + + > aia, jote uktiolla ei ole (reaalisia) ollakohtia. Yhtälöllä + + = ei siis ole (reaalista) ratkaisua. Tapa. Tutkitaa uktio kulkua derivaata avulla. = + ( ) ( ) =, ku + = ( + ) = = tai + = = = = ei reaalista ratkaisua Laaditaa kulkukaavio derivaata merkkikaavio avulla. Testipisteet: = + = < () = + = 6 > ( ) ( ) ( ) 6 + Koska o jatkuva, kulkukaavio perusteella se piei arvo o () = + + = >. Koska piei arvo o suurempi kui olla, uktiolla ei ole ollakohtia eli yhtälöllä + + = ei ole (reaalista) ratkaisua. c) Tutkitaa uktio ( ) = + l,, kulkua derivaata avulla. ( ) = + = + () =, ku + = + = = = ei reaalista ratkaisua ( )

3 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. Laaditaa kulkukaavio derivaata merkkikaavio avulla. Testipisteet: ( ) = ( ) + = < () = + = > + Kulkukaavio perusteella uktio o aidosti kasvava, ku >. Valitaa suljetut välit, ja, ja lasketaa uktio arvot päätepisteissä. ( ) = ( ) + l( ) = + l= > ( ) = ( ) + l( ) = + l =,6 < ( ) = ( ) + l( ) = + l =,6 < () = + l = > Koska uktio o jatkuva, ku, ii Bolzao lausee perusteella uktiolla o aiaki yksi ollakohta väleillä < ja >. Koska uktio o aidosti mootoie sekä välillä < että välillä >, ii uktiolla o vai yksi ollakohta välillä < ja vai yksi ollakohta välillä >. Fuktiolla o siis kaksi ollakohtaa, jote yhtälöllä = l o kaksi ratkaisua. 5 ( ) = Tutkitaa uktio kulkua derivaata avulla. 9 = ( ) = 9 = =± Laaditaa uktio kulkukaavio derivaata merkkikaavio avulla. + + Lasketaa uktio paikalliset ääriarvot. Koska o jatkuva, ii kulkukaavio perusteella se paikallie maksimiarvo o = = =,6... >. 9 Paikallie miimiarvo o = = =,6... < Fuktio o jatkuva. Laskettuje ääriarvoje perusteella valitaa tarkemma tutkimise kohteiksi suljetut välit,,, ja,.

4 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. = < ja ( ) ) ( ) > Fuktio arvot ovat siis erimerkkiset väli, päätepisteissä. Bolzao lausee perusteella uktiolla o aiaki yksi ollakohta. Koska lisäksi aidosti mootoie tällä välillä, ii uktiolla o vai yksi ollakohta välillä,. ) ( ) > ja ( ) < Fuktio arvot ovat siis erimerkkiset väli, päätepisteissä. Bolzao lausee perusteella uktiolla o aiaki yksi ollakohta. Koska lisäksi aidosti mootoie tällä välillä, ii uktiolla o vai yksi ollakohta välillä,. ) ( ) < ja () = > Fuktio arvot ovat siis erimerkkiset väli, päätepisteissä. Bolzao lausee perusteella uktiolla o aiaki yksi ollakohta. Koska lisäksi aidosti mootoie tällä välillä, ii uktiolla o vai yksi ollakohta välillä,. Fuktiolla o siis olemassa kolme ollakohtaa. Kulkukaavio perusteella maisemassa o siis kaksi vesialuetta, jotka muodostuvat siis - akseli alapuolelle. Vastaus Maisemassa o kaksi vesialuetta. 7 Väite. Fuktiolla ( ) = + cos + o vai yksi ollakohta. Todistus. Huomataa aluksi, että cos cos + cos +. Jos ( ) = + cos + = = (cos + ),. Toisi saoe uktiolla voi olla ollakohtia vai välillä [, ]., ii [ ] Koska ( ) = + cos( ) + =, <, = + cos+ = > ( ) ja o jatkuva, ii Bolzao lausee ojalla välillä [, ] o aiaki yksi ollakohta. Tutkitaa tarkemmi uktio kulkua välillä [, ] derivaata avulla. Derivaata ollakohdat: ( ) = si= si = si = π 5π = + π tai = + π, Z. 6 6 Näistä vai 5 π π= 7 π 7, o välillä [, ]. Koska ( ) < ja ( ) >, ii o aidosti väheevä välillä, π 6 ja aidosti kasvava 7 välillä π, 6. Näi olle ollakohtia voi olla välillä [, ] vai yksi. Väite o todistettu.

5 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. Toie (hakalampi) tapa. Koska pätee ( + π ) = ( + π)+ cos( + π ) + = + π+ cos + = ( + cos + ) + π = ( ) + π kaikilla Z, ii tarkastellaa aluksi väliä [, π[. Laaditaa uktio kulkukaavio välillä [, π[ derivaata merkkikaavio avulla. Kulkukaaviosta saadaa seuraavalaie: π 5π Huomataa, että uktio kulku o tämä kaavio mukaie jokaisella välillä [ π, π + π[, Z, kaava ( + π ) = ( ) + π perusteella. Lasketaa uktio arvo kohdassa ja välillä [, π[ olevissa derivaata ollakohdissa: () >, 5 ( π ) > ja ( π ) >. Näide arvoje ja 6 6 kulkukaavio perusteella o ( ) > välillä [, π[ ja samalla koko välillä [, [, koska ( + π ) = ( ) + π. Lasketaa seuraavaksi kriittiset arvot välillä [π, [: ( ) 5 ( π π ) < ja ( ) π π <, π π <. Näide arvoje, Bolzao lausee, 6 6 kulkukaavio ja kaava ( + π ) = ( ) + π perusteella välillä [π, [ o täsmällee yksi ollakohta ja tämä väli vasemmalla puolella ei ole ollakohtia. 9 a) Aetu yhtälö juuret ovat uktio ( ) = 5 ollakohtia. Fuktio ( ) = 5 o kaikkialla jatkuva, jote voidaa soveltaa Bolzao lausetta: jatkuva uktio ei voi vaihtaa merkkiää käymättä olla kautta. Sovelletaa Bolzao lausetta yhä pieeevillä väleillä: Fuktio arvo ja merkki Juure sijaiti Väli pituus () = 5 = < () = 6 > () = < (,) =,6 > (,9) =,567 < (,95) =,57... > ],[ = ];,[, ],9;,95[,5 Kaikki luvut välillä, 9 < <, 95 pyöristyvät kahde desimaali tarkkuudella samaa arvoo,9, jote ollakohta kahde desimaali tarkkuudella o,9. b) Aetu yhtälö si= juuret ovat uktio g ( ) = si+ ollakohtia. Fuktio g ( ) = si+ o kaikkialla jatkuva, jote voidaa soveltaa Bolzao lausetta: jatkuva uktio ei voi vaihtaa merkkiää käymättä olla kautta. Sovelletaa Bolzao lausetta yhä pieeevillä väleillä.huomaa, että laskimessa pitää olla kulma yksikköä radiaai.

6 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. Fuktio arvo ja merkki Juure sijaiti Väli pituus g( ) =, < g( ) =,99... > ], [ ( ) = g(,) =,8 < g(,) =,75 > g(,75) =,76 > g(,8) =, < ],;,[,,8 < <,75,5 Kaikki luvut välillä,8 < <,75 pyöristyvät kahde desimaali tarkkuudella samaa arvoo,8, jote ollakohta kahde desimaali tarkkuudella o,8. Kuvaajat a- ja b-kohtii: Vastaus a),9 b),8 Väite. Yhtälöllä l = o täsmällee kaksi ratkaisua. Todistus. Tutkitaa uktio ( ) = l +, >, ollakohtie lukumäärää. Laaditaa uktio kulkukaavio derivaata merkkikaavio avulla. ( ) = () =, ku = = =. Testipisteet: () = = > () = = < 6 Kulkukaavio: +

7 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. Koska o jatkuva, ii kulkukaavio perusteella paikallie maksimiarvo o () = l + = l + =,69 >. Fuktio o aidosti kasvava välillä <, jote sillä o korkeitaa yksi ollakohta tällä välillä. Koska () =,69 > ja koska esimerkiksi ( ) = l + =,5 <, ii Bolzao lausee perusteella uktiolla o aiaki yksi ollakohta välillä < <. Näi olle uktiolla o täsmällee yksi ollakohta tällä välillä. Fuktio o aidosti väheevä välillä, jote sillä o korkeitaa yksi ollakohta tällä välillä. Koska () =,69 > ja koska esimerkiksi (9) = l 9 + =, <, 9 ii Bolzao lausee perusteella uktiolla o aiaki yksi ollakohta välillä >. Näi olle uktiolla o täsmällee yksi ollakohta tällä välillä. Yhtälöllä l = o siis yksi ratkaisu välillä < < ja toie välillä >. ) Määritetää välillä < < oleva ratkaisu likiarvo. Valitaa suljettu väli [,;,5]: (,) =,5 <, (,5) =, > Väli Väli keskikohta c (c),+,5 [,;,5] =,5 = c, < [,5;,5],75 = c,5 < [,75;,5],75 = c, < [,75;,5],6875 = c 8,8 > [,75;,6875],55 = c 5,5 < [,55;,6875] Viimeisessä vaiheessa väli päätepisteet pyöristyvät kahde desimaali tarkkuudella samaa lukuu, jote iteroiti voidaa lopettaa. Yhtälö juuri o kahde desimaali tarkkuudella,5. ) Määritetää välillä > oleva ratkaisu likiarvo. Valitaa suljettu väli [8,; 8,]: (8,) =,59 >, (8,) =, < Väli Väli keskikohta c (c) [8,; 8,] 8,+ 8, = 8,5 = c,5 < [8,; 8,5] 8,5 = c 5,9 < [8,; 8,5] Juuri o siis välillä [8,; 8,5], jote juuri o kahde desimaali tarkkuudella 8,. Vastaus,5 ja 8,

8 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. 5ta = 5ta = Merkitää ( ) = 5 ta, π π,. Fuktio o jatkuva ja derivoituva, ja ( ) = 5(ta + ) = 5ta 5. Derivaata ollakohdat: ( ) = 5ta 5= ta = ta = tai ta = π π = + π tai = + π, Z Laaditaa uktio kulkukaavio derivaata merkkikaavio avulla. Derivaata merkki testipisteide avulla: π ( ) > 8 () 5 < ( ) > π 8 Kulkukaavio perusteella paikallie maksimiarvo saadaa kohdassa π =. π π π Koska ( ) = 5 ta( ) ( ),5 <, kulkukaavio mukaa välillä π π, ei ole ollakohtaa. Koska o jatkuva, kulkukaavio mukaa uktio paikallie miimiarvo o myös egatiivie eli π <. ( ), ;,, joka sisältyy välii π π,. (, ), < (,), > Valitaa suljettu väli [ ] Fuktio o jatkuva suljetulla välillä [, ;, ], jote Bolzao lausee mukaa sillä o ollakohta tällä välillä. Välillä π π, o lisäksi aidosti kasvava, jote uktiolla o vai yksi ollakohta. Nollakohta eli yhtälö 5ta = juuri o siis kulkukaavio mukaa välillä π π,. Haarukoidaa uusi suljettu väli [,5;,]. Koska (,5),5 < ja (, ) >, yhtälö juuri o välillä ], 5;, [. Juure likiarvo yhde desimaali tarkkuudella o siis,. Vastaus, π π π π + +

9 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. 5 7 Merkitää ( ) = e. Fuktio o jatkuva ja derivoituva, ja ( ) = + e. Käytetää Newtoi algoritmia: + = Alkuarvo: =. ( ), =,,, ( ) () = = = e () + e =, =, =, Fuktiolla ( ) = äyttäisi oleva kohdassa = vaakasuora tagetti, joka ei leikkaa -akselia. Tämä merkitsee sitä, että uktio derivaatta kohdassa = o olla, jote Newtoi algoritmissa jaetaa ollalla. Newtoi meetelmä ei siis sovellu tähä tilateesee. Yhtälö ratkaisu äyttäisi oleva kuude desimaali tarkkuudella,57. 7 Tarkkuude osoitus: koska (,575) = 5,7... < ja 6 (,575) =,... >, ii Bolzao lausee ojalla välillä ],575;,575[ o ollakohta, jolloi se likiarvo kuude desimaali tarkkuudella o,57 Vastaus,57

10 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. 9 Fuktio ( ) = + + o kaikkialla jatkuva ja derivoituva. Koska () = > ja () = <, uktio arvot ovat erimerkkiset väli päätepisteissä, jote Bolzao lausee ojalla uktiolla ( ) o ollakohta avoimella välillä < <. Sovelletaa Newtoi meetelmää alkuarvolla = : Newtoi meetelmällä määritetää umeerisesti uktio ollakohtaa. Fuktiolle piirretää tiettyy alkuarvokohtaa tagetti. Määritetää tämä tageti ja - akseli leikkauskohta, joka o uusi likiarvo ollakohdalle. Tähä kohtaa piirretää taas tagetti uktiolle ja määritetää uusi -akseli leikkauskohta. Tätä algoritmia toistetaa, kues saadaa ollakohda likiarvo vaaditulla tarkkuudella. ( ) Algoritmi rekursiokaava: + =. ( ) Merkitää ( ) = e + si. Fuktio o jatkuva ja derivoituva, ja ( ) = e + cos. Newtoi meetelmä ei toimi, sillä arvot ja vuorottelevat ikuisesti. Kohtaa = piirretty tagetti leikkaa -akseli kohdassa =, ja kohtaa = piirretty tagetti leikkaa -akseli kohdassa =. Koska ( ), 7 < ja () = > ja uktio o jatkuva, ii Bolzao lausee perusteella uktiolla o ollakohta välillä ], [. Välillä [, ] o cos >, ja e > aia, jote ( ) = e + cos >. Ku >, o e > ja cos, jote ( ) = e + cos >. Siis uktio o aidosti kasvava, ku. Välillä ], [ oleva ollakohta o site aioa uktio ollakohta välillä, jote se o myös suuri ollakohta. Määritetää ollakohta Newtoi meetelmällä: e + = e + si + cos Valitaa alkuarvoksi =.

11 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. e + si( ) = =, e + cos( ) =, =, =, Tarkkuude osoitus: koska (,58855) =, 7... > ja 6 (,58855) =,... <, ii Bolzao lausee perusteella välillä ],58855;,58855[ o ollakohta, joka viisidesimaalie likiarvo o -,5885 Vastaus,5885 Tutkitaa välillä > määriteltyä, jatkuvaa ja derivoituvaa uktiota ( ) = l. Nollakohtia o tasa yksi, sillä esiäki () = = < ja () =,98... >, jote Bolzao lausee ojalla ollakohta varmasti o olemassa. Toisaalta ollakohtia voi olla korkeitaa yksi, sillä uktio ( ) o aidosti kasvava, koska derivaatalle pätee ( ) = > välillä >. Newtoi meetelmä mukaie palautuskaava o jote yt l + = / = (l ) = l + = ( l ). ( ) + ( ) =, Käyttämällä alkuarvoa =,7 saadaa = (,7 l,7),78,78888, Täte jo likiarvo =,78888 o sama kui laskime luvulle e atama likiarvo. Vastaus e,78888, kaksi iteraatiota

12 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. 5 Fuktio ( ) ku >. = ( ) lg l + o määritelty, jatkuva ja derivoituva, Newtoi meetelmä soveltuu huoosti ollakohda likiarvo määrittämisee, sillä derivaata laskemie o työlästä ja vaativaa. Sovelletaa Bolzao lausetta. ) Tarkastellaa väliä [,] : koska () =, < ja () =,75... >, ii uktio ( ) vaihtaa merkkiää tällä välillä, jote ollakohta o välillä < <. ) Tarkastellaa väliä [,] : koska () = 9,.. < ja () = 9,57... >, ii uktio ( ) vaihtaa merkkiää tällä välillä, jote ollakohta o välillä < <. ) Tarkastellaa väliä [;,5] : koska () = 9,.. < ja (,5) =,6... >, ii uktio ( ) vaihtaa merkkiää tällä välillä, jote ollakohta o välillä < <,5. Kaikki tämä väli arvot pyöristyvät kokoaislukuu. Kohtie ojalla ollakohda kokoaislukulikiarvo o. Vastaus Derivaata laskemie o työlästä ja vaativaa. Nollakohda kokoaislukulikiarvo o. 7 ( ) = Fuktio o jatkuva ja derivoituva, ja ( ) = Derivaatta o kolmae astee polyomi, jolla o korkeitaa kolme ollakohtaa. Ääriarvokohdat voivat olla vai derivaata ollakohdissa. Määritetää derivaata ollakohdat Newtoi meetelmällä. ( ) + =, =,,,... ( ) = + ( ) 8 6 Graaise tarkastelu perusteella valitaa alkuarvoiksi =, = ja = ) = 5 =, =,96... =, =, =, Joo vakiituu arvoo -, Tarkkuude osoitus: koska (,7985) = 9,... > ja 5 (,7985) =,8... <, ii Bolzao lausee perusteella derivaatalla o ollakohta välillä ],7985;,7985 [. Nollakohda likiarvo kuude desimaali tarkkuudella o,798.

13 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. ) = =, =, =, =, Joo vakiituu arvoo, Tarkkuude osoitus: koska (, 79755) =,... > ja 5 (,79765) =,... <, ii Bolzao lausee perusteella derivaatalla o ollakohta välillä ],79755;,79765[. Nollakohda likiarvo kuude desimaali tarkkuudella o,7976. ) = =, 65 =,6... =, =, Joo vakiituu arvoo,66. 5 Tarkkuude osoitus: koska (, 655) =, < ja 6 (, 665) =,... >, ii Bolzao lausee perusteella derivaatalla o ollakohta välillä ],655;,665[. Nollakohda likiarvo kuude desimaali tarkkuudella o,66. 9 a) Fuktio derivaatta o ( ) = ja toie derivaatta ( ) = 6, jote [ ( )] [ ] ( ) ( ) ( )(6 ) = 6 = 9 =. a+ b a b = + c c c Etsitää luvu,6 sisältävä väli, jossa tämä lauseke o pieempi kui. Välillä < < uktio g ( ) = o aidosti kasvava ( aid. kasvava, jote / aid.väheevä ja edellee / aid. kasvava). Lasketaa väli päätepistearvot: g () = / ja g () = /. Täte < < välillä < <. ( ) ( ) Näi olle ehto < toteutuu välillä < < ja [ ( )] Newtoi meetelmä soveltuu juure määrittämisee. Vastaus Miimit ovat kohdissa,798 ja,66. Maksimi o kohdassa,7976.

14 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. b) Derivaatta o ( ) = ja toie derivaatta ( ) =, jote sillä [ ( )] [ ] ( ) ( ) ( ) = = = < < välillä < <, < < välillä < <. Näi olle ehto ( ) ( ) [ ( )] < toteutuu välillä < <. c) Tutkitaa uktiota ( ) = =. Derivaatta o ( ) =, ku 5, ja toie derivaatta ( ) =, ku. 9 Newtoi algoritmi palautuskaava o ( ) + ( ) =, jote yt Suppeemisehto ei toteudu millää origo sisältävällä välillä, koska ei ole edes derivoituva kohdassa : erotusosamäärä / ( h) () h h / = = = h h h h ei lähesty mitää reaalilukua, ku h lähestyy ollaa. Iteraatiot: alkuarvo =, = =, = =, = =,8 = =,6 O ilmeistä, että joo hajaatuu (lukuje itseisarvot kasvavat rajatta). am + = a = = =. m = a

15 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. ( ) = 5 + o polyomia jatkuva. Koska o toise astee polyomi, sillä o korkeitaa kaksi ollakohtaa. () = 5 + = > () = 5 + = < () = 5 + = < (5) = = > Tarkkuude osoitus: koska (, 5) =,... > ja (,5) =,6... <, Bolzao lausee ojalla uktiolla o ollakohta välillä ],8;,85[. Nollakohda likiarvo kahde desimaali tarkkuudella o siis,. Vastaus Pieempi ollakohdista o,. Tarvitaa iteraatiota. Bolzao lausee perusteella uktiolla o ollakohta välillä [, ] ja välillä [, 5]. Yleise sekattimeetelmä algoritmi o + = ( ), =,,,... ( ) ( ) Lasketaa pieempi ollakohdista lähtie alkuarvoista = ja =. Tulokset o koottu seuraavaa taulukkoo:,5,,9 Kolmaella iteraatiolla saadaa =,9, joka likiarvo kahde desimaali tarkkuudella o,. Oikea tarkkuus saadaa jo toisella iteraatiolla.

16 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. a) cos = Tarkastellaa uktiota ( ) = cos. Yleise sekattimeetelmä algoritmi o + = ( ), =,,,... ( ) ( ) Alkuarvoje = ja = avulla saadaa = ( ) ( ) ( ) Kootaa taulukkoo juure likiarvot:,6857,7698,799 5,7985 Juuriehdokas eljä merkitsevä umero tarkkuudella o,79. Tarkkuude osoitus: koska (,795),9 > ja (,795) 5,88 5 <, Bolzao lausee perusteella ollakohta o välillä ],795;,795[. Yhtälö juure likiarvo eljä merkitsevä umero tarkkuudella o siis,79. Vastaus,79 b) e = Tarkastellaa uktiota ( ) = e. Yleise sekattimeetelmä algoritmi o + = ( ), =,,,... ( ) ( ) Alkuarvoje = ja = avulla saadaa = ( ) ( ) ( ) Kootaa taulukkoo juure likiarvot:,87,58779, , ,567 7,567 Juuriehdokas eljä merkitsevä umero tarkkuudella o,567. Tarkkuude osoitus: koska (,5675),5 < ja (,5675), 5 >, Bolzao lausee perusteella ollakohta o välillä ],5675;,5675[. Yhtälö juure likiarvo eljä merkitsevä umero tarkkuudella o siis,567. Vastaus,567

17 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. c) si = cos Tarkastellaa uktiota ( ) = si+ cos. Yleise sekattimeetelmä algoritmi o + = ( ), =,,,... ( ) ( ) Alkuarvoje = ja = avulla saadaa = ( ) ( ) ( ) Kootaa taulukkoo juure likiarvot: k k,96,57, ,777 6,7767 8,78 Juuriehdokas eljä merkitsevä umero tarkkuudella o,78. Tarkkuude osoitus: koska (,785) 7,7 5 < ja (,775),7 >, Bolzao lausee perusteella yhtälöllä o juuri välillä ],775;,785[. Juure likiarvo eljä merkitsevä umero tarkkuudella o,78. Vastaus, = a) Tiedetää, että uktiolla ( ) = o ollakohta välillä [, 5]. () = = = = < (5) = = = 7 55 = 5 > a+ b + 5 Lasketaa c = = =,5. Lasketaa (c ) = (,5) = 5,5 >. Uudeksi suljetuksi väliksi valitaa seuraavaksi [;,5]. +,5 Suljetu väli keskikohta o c = =, 5. Lasketaa (c ) = (,5) =,665 >. Uusi suljettu väli o siis [;,5]. Iteroiti jatkuu seuraavasti: Väli Väli keskikohta c (c) [;,5] c =,5,7 [;,5] c =,65,886 [,65;,5] c 5 =,975,6965 [,975;,5] c 6 =,975,57678 [,975;,975] c 7 =,565, [,565;,975] c 8 =,56875,789 [,565;,56875] c 9 =,5565,9575 [,5565;,56875] c =,9875,78

18 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. Viimeisessä vaiheessa väli keskipistee c =,9875 ja samalla yhtälö juure likiarvo kolme merkitsevä umero tarkkuudella o,. Tarvittii siis iteraatiokierrosta. b) Newtoi meetelmä palautuskaava o ( N) ( ) + = ( ) = Käytetää juure löytämiseksi alkuarvoa =.,,86,8 Juure likiarvoksi saadaa kolme merkitsevä umero tarkkuudella,. Iteroitikierroksia tarvitaa kolme, mutta oikea tarkkuus saadaa jo toisella iteraatiolla. Tarkkuude osoitus: koska (,5) =,... > ja (,95) =,8... <, ii Bolzao lausee perusteella yhtälöllä o juuri välillä ],95;,5[. Juure likiarvo kolme merkitsevä umero tarkkuudella o siis,. c) Yleise sekattimeetelmä algoritmi o + = ( ), =,,,... ( ) ( ) Alkuarvoje = ja = 5 avulla saadaa = ( ) ( ) ( ) Kootaa taulukkoo juure likiarvot: 5,65,87669, 5,799 Juure likiarvo kolme merkitsevä umero tarkkuudella äyttäisi oleva,. Iteroitikierroksia tarvittii eljä, mutta oikea tarkkuus saavutettii jo kolmaella iteraatiolla. Tarkkuude osoitus: koska (,5) =,... > ja (,95) =,8... <, ii Bolzao lausee perusteella yhtälöllä o juuri välillä ],95;,5[. Juure likiarvo kolme merkitsevä umero tarkkuudella o siis,.

19 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. 7 a) Tutkitaa uktiota ( ) = e. Fuktio o jatkuva kaikilla : reaaliarvoilla. Huomaa, että yt uktio saa alkuarvoilla ja samamerkkiset arvot: () = () = e > ja () = e >. Yleise sekattimeetelmä algoritmi o: = ( ) +, =,,, ( ) ( ) Kootaa taulukkoo juure likiarvot:,8765, , , ,5679 Juuriehdokas kuude desimaali tarkkuudella o,567. Viideellä iteraatiolla kuutee desimaalii pyöristetty arvo ei eää muutu. Vaadittu tarkkuus saadaa jo eljäellä iteraatiolla. Tarkkuude osoitus: koska (,5675), 7 > ja (,5675), 6 <, ii Bolzao lausee perusteella juuri o välillä ],5675;,5675[, jolloi se kuusidesimaalie likiarvo o,567. Vastaus,567 b) Tutkitaa uktiota ( ) = e. Fuktio o jatkuva kaikilla : reaaliarvoilla. Koska () = = < ja () = e >, ii uktiolla o aiaki yksi ollakohta välillä [, ]. Sekattimeetelmä algoritmi o + = ( ), =,,, ( ) ( ) Regula alsi -meetelmä ataa seuraavat arvot: + ( + ),66998,7895 >,66998,578,78887 >,578,5677,8779 >,5677,567555,9756 > 5,567555,5675,8 > 6,5675,5676, > 7,5676,5678, > 8,5678,567,5 8 > Juuriehdokas kuude desimaali tarkkuudella o,567. Kahdeksaella iteraatiolla kuutee desimaalii pyöristetty arvo ei eää muutu. Vaadittu tarkkuus saadaa jo seitsemäellä iteraatiolla. Yleie sekattimeetelmä siis atoi ratkaisu pieemmällä iteroitimäärällä (a-kohta). Tarkkuude osoitus: koska (,5675), 7 > ja (,5675), 6 <, ii Bolzao lausee perusteella juuriehdokas o välillä ],5675;,5675[, jolloi se kuusidesimaalie likiarvo o,567. Vastaus,567

20 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. 9 Kirjoitetaa aettu yhtälö muotoo = g ( ) seuraavasti: e = cos + l e = l(cos + ) l e = l(cos + ) = l(cos + ) Yhtälö o määritelty kaikilla : reaaliarvoilla, koska cos ja tällöi cos +. Kiitopistemeetelmä palautuskaava o siis + = l(cos + ), =,,, Tarkkuude osoitus: koska (,9875), < ja (,9885), >, ii Bolzao lausee perusteella juuri o välillä ],9875;,9885[, jolloi se likiarvo eljä merkitsevä umero tarkkuudella o siis,988. Vastaus,988 Ku lähdetää liikkeelle alkuarvosta =, saadaa iteraatiolla + = l(cos + ), =,,,, seuraava taulukko:,98,9597,9787,996 5,9865 6, , ,9889 Havaitaa, että kaksi viimeistä likiarvoa pyöristyvät eljä merkitsevä umero tarkkuudella samaa, jote juuriehdokas o,988.

21 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. = l + Merkitää ( ) = l. Fuktio o jatkuva ja derivoituva, ku >. Tutkitaa uktio kulkua tarkemmi derivaata avulla. ( ) = ( ) =, ku = = Tutkitaa uktio kulkua derivaata merki avulla. Derivaata merkki testipisteide avulla: (,5) = = <,5 () = = > + Koska uktio o jatkuva, ku >, ii kulkukaavio perusteella uktio paikallie miimiarvo o () = l = <. Valitaa esimerkiksi suljettu väli [,; ]. Koska o jatkuva, ku > ja (,) =,l, =,... > ja () <, ii Bolzao lausee perustella uktiolla o aiaki yksi ollakohta välillä ],; [. Koska lisäksi aidosti mootoie tällä välillä, uktiolla o vai yksi ollakohta tällä välillä. Valitaa toie suljettu väli, esimerkiksi [, ]. Koska o jatkuva, ku > ja () = l =,6... > ja () <, ii Bolzao lausee perusteella uktiolla o aiaki yksi ollakohta välillä ], [. Koska lisäksi aidosti mootoie tällä välillä, uktiolla o vai yksi ollakohta tällä välillä. Näi olle uktiolla o siis kaksi ollakohtaa eli yhtälöllä = l + o kaksi juurta. Suurempi juuri kuuluu siis välille ], [. Yhtälöstä = l + ähdää, että iteroitiuktio o g ( ) = l +. Tällöi siis + = l +. Valitaa alkuarvoksi esimerkiksi =. Taulukoidaa tulokset.,86,97,69,55 5,85 Havaitaa, että kaksi viimeistä likiarvoa pyöristyvät kahde desimaali tarkkuudella samaa, jote juuriehdokas o,5. Tarkkuude osoitus: koska (,5) = 8,... < ja (,55) = 6,... >, ii Bolzao lausee ojalla uktiolla o ollakohta välillä ],5;,55[, joka kaksidesimaalie likiarvo o,5. Vastaus,5

22 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty = 5 8= + 5 = :8 5 Tutkitaa palautuskaava uktiota g= ( ) +. Fuktio g o polyomia määritelty, jatkuva ja derivoituva kaikilla : reaaliarvoilla. 5 g ( ) = = (5 + ) Koska meetelmä suppeemisehto o g ( ) k <, tutkitaa derivaata arvoja välillä [, ]. Lasketaa toie derivaatta: g ( ) = ( + 6) <, ku < < 8 Derivaatta g o siis aidosti väheevä. Koska lisäksi g () = ja g () =, ii g ( ) <, ku ], [. Millekää k < ehto g ( ) k ei kuitekaa toteudu välillä ], [. Etsitää pieempi väli, jossa suppeemisehto toteutuu. Ku merkitää () = , ii () = < ja (,9) 5,5 >. Yhtälö juuri o siis välillä ];,9[. Tällä välillä suppeemisehto toteutuu, koska edellä tehdy tarkastelu ojalla g ( ) g (,9),7 välillä ];,9[. Kiitopistemeetelmä palautuskaava o 5 + = ( + ),,,, 8 = Valitaa alkuarvoksi esimerkiksi =,5. Iteroimalla saadaa seuraava taulukko:,5,556875,68676,67887,679 5, ,6796 Havaitaa, että kaksi viimeistä likiarvoa pyöristyvät kuude desimaali tarkkuudella samaa, jote juuriehdokas o,679. Tarkkuude osoitus: koska (,6795),9 6 > ja (,6795) 5,57 6 <, ii Bolzao lausee perusteella yhtälöllä o juuri välillä ],6795;,6795[, jolloi juure likiarvo kuude desimaali tarkkuudella o,679. Vastaus,679

23 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. 5 a) Tutkitaa uktiota ( ) = si. Fuktio o määritelty, jatkuva ja derivoituva kaikilla : reaaliarvoilla. Fuktio derivaatta o ( ) = cos. Newtoi meetelmä mukaie palautuskaava o ( ) ( ) si =, =,,, cos + = Ku käytetää alkuarvoa =, juurelle saadaa seuraavat likiarvot: k k ( k ),59757,5888,895,597,5795,977,65,97, Juure viide merkitsevä umero tarkkuutee pyöristetty likiarvo äyttäisi oleva,97. 5 Tarkkuude osoitus: (,975),6 > ja (,975) 5,7 <, jote Bolzao lausee ojalla välillä,975 < <,975 o ollakohta, jolloi se viide merkitsevä umero tarkkuutee pyöristetty likiarvo o,97. b) Kirjoitetaa yhtälö muotoo = si +. Palautuskaava o + = si +,,,, = Alkuarvosta = lähtemällä saadaa seuraava lukujoo: k k,798,78998,958,9756 5, , Juure viide merkitsevä umero tarkkuutee pyöristetty likiarvo o,97. (Tarkkuus tarkistetaa samalla tavalla kui a-kohdassa.) Vastaus,97

24 TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. 7 a) + = = Saadaa palautuskaava =. b) + = = : ( > ) = Saadaa palautuskaava =. c) + = = = = =± = : ( > ) > Saadaa palautuskaava =. d) + = = = Saadaa palautuskaava =. Kiitopistemeetelmä suppeemisehto o g ( ) k <. a) Kiitopistemeetelmä mukaie iteroitiuktio o g ( ) = ja se derivaatta g ( ) =. Fuktio g ( ) = kuvaaja o alaspäi aukeava paraabeli, ja uktio saa välillä / arvot y. Suppeemisehto g ( ) k < ei siis toteudu. b) Kiitopistemeetelmä mukaie iteroitiuktio o g ( ) =. Derivaataksi saadaa osamäärä derivoimiskaava avulla g ( ) = 6 =. ( ) Koska esimerkiksi g () = 5, ii ehto g ( ) k < ei toteudu välillä. Vastaus Suppeemisehto ei toteudu.

Laudatur 13. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi MAA 13. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Opettajan aineisto

Laudatur 13. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi MAA 13. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Opettajan aineisto Laudatur Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Otteli Leea Walli-Jaakkola Opettaja aieisto Helsigissä Kustausosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirja tehtävii... Kokeita...7

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot Calculus Lukio MAA9 Trigoometriset fuktiot ja lukujoot Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Trigoometriset fuktiot ja lukujoot (MAA9) Pikatesti

Lisätiedot

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa

Lisätiedot

Harjoituskokeiden ratkaisut Painoon mennyt versio.

Harjoituskokeiden ratkaisut Painoon mennyt versio. Harjoituskokeiden ratkaisut 8.6.7 Painoon mennyt versio. PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 Koe a) i) =,, = kpl ii) 9,876 =,9876,99 = 9,9 iii),66,66 =,7 =,7

Lisätiedot

3.2 Polynomifunktion kulku. Lokaaliset ääriarvot

3.2 Polynomifunktion kulku. Lokaaliset ääriarvot 3. Polyomifuktio kulku. Lokaaliset ääriarvot Tähäastiste opitoje perusteella osataa piirtää esiasteise polyomifuktio kuvaaja, suora, ku se yhtälö o aettu. Osataa myös pääpiirtei hahmotella toise astee

Lisätiedot

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p MAA9 Koe.5.0 Jussi Tyi Tee koseptii pisteytysruudukko! Muista kirjata imesi ja ryhmäsi. Valitse kuusi tehtävää!. a) Ratkaise yhtälö si x. Ilmoita vastaus radiaaeia! b) Määritä paljoko o cos. Ilmoita tarkka

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi Calculus Lukio 8 MAA Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Mite opit parhaite? Valmistaudu pitkä- tai lyhye matematiika kirjoituksii ilmaiseksi Mafyetti-ohjelmalla! Harjoittelu tehdää aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat

Lisätiedot

1 Eksponenttifunktion määritelmä

1 Eksponenttifunktion määritelmä Ekspoettifuktio määritelmä Selvitimme aikaisemmi tällä kurssilla, millaie potessisarja säilyy derivoiissa muuttumattomaa. Se perusteella määritellää: Määritelmä. Ekspoettifuktio exp : R R määritellää lausekkeella

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat

Lisätiedot

Tee kokeen yläreunaan pisteytysruudukko. Valitse kuusi tehtävää seuraavista kahdeksasta. Perustele vastauksesi!

Tee kokeen yläreunaan pisteytysruudukko. Valitse kuusi tehtävää seuraavista kahdeksasta. Perustele vastauksesi! MAA Loppukoe 70 Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunaan! Vastauksiin välivaiheet, jotka perustelevat vastauksesi! Lue ohjeet huolellisesti! Tee kokeen yläreunaan pisteytysruudukko Valitse

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa.

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. MAA 12 kertaus Funktion kuvaaja n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. Funktion nollakohta on piste, jossa f () = 0, eli kuvaaja leikkaa -akselin. Kuvaajan avulla

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims 75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä Calculus Lukion 7 MAA Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo.

Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo. Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo. Iterointi on menetelmä, missä jollakin likiarvolla voidaan määrittää jokin toinen,

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kurssikerta 3 1 Lisää iduktiota Jatketaa iduktio tarkastelua esimerki avulla. Yritetää löytää kaava : esimmäise (positiivise) parittoma luvu summalle eli summalle 1 + 3 + 5 + 7 +...

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla. Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

3 10 ei ole rationaaliluku.

3 10 ei ole rationaaliluku. Harjoitukset / 011 RATKAISUT Lukuteoria 1. Etsi Eratostheee seulalla samatie kaikki lukua 400 pieemmät alkuluvut. (Tai ohjelmoi tietokoeesi etsimää paljo lisää.) Kirjoita rivii kaikki luvut 1-00. Poista

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Matematiikkaa kauppatieteilijöille

Matematiikkaa kauppatieteilijöille Matematiikkaa kauppatieteilijöille Harjoitus 7, syksy 2016 1. Funktio f(x) = x 2x 2 + 4 on jatkuva ja derivoituva kaikilla x R. Nyt funktio f(x) on aidosti alaspäin kupera kun f (x) > 0 ja aidosti ylöspäin

Lisätiedot

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA,

Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA, Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA, MAA6 1. Suurin ja pienin arvo suljetulla välillä Lause, jatkuvan funktion ääriarvolause: Suljetulla välillä a, b jatkuva funktio f saa aina pienimmän ja suurimman

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit .4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x)

xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x) BM20A580 Differetiaalilasketa ja sovellukset Harjoitus 3, Syksy 206. Laske seuraavat itegraalit si(4t + )dt (b) x(x 2 + 00) 000 dx (c) x exp(ix )dx 2. Mitä o y, ku (x ) 2 + y 2 = 2 2, etäpä y? Vastaukset

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

117 = 27 + (11 1) d = 90 :10. Yhdeksäs termi a. Vastaus: Yhdeksäs jäsen on 99.

117 = 27 + (11 1) d = 90 :10. Yhdeksäs termi a. Vastaus: Yhdeksäs jäsen on 99. a = a+ ( ) d a = 7, a = 7, = 7 = 7 + ( ) d 0d = 90 :0 d = 9 Yhdeksäs termi a 9 = 7 + (9 ) 9 = 99 Vastaus: Yhdeksäs jäse o 99. 0. Aritmeettisesta lukujoosta tiedetää, että S =. Mikä o lukujoo 7. ja :s jäse?

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka IA

Insinöörimatematiikka IA Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin

Lisätiedot

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1 Mapu. Laskuharjoitus 3, Tehtävä Lineaarisessa approksimaatiossa funktion arvoa lähtöpisteen x 0 ympäristössä arvioidaan liikkumalla lähtöpisteeseen sovitetun tangentin kulmakertoimen mukaisesti: f(x 0

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia? Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Kertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja.

Kertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja. MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Aalyysi I Harjoitus 5. 0. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia ( sivua) (Rami Luisto) Laskuharjoituksista saa pistettä, jos laskettu vähitää 50 tehtävää; 3 pistettä,

Lisätiedot

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B Tilastollie päättely II, kevät 7 Harjoitus 3B Heikki Korpela 3. maaliskuuta 7 Tehtävä. Jatkoa harjoitukse B tehtävii -3. Oletetaa, että x i c kaikilla i, ku c > o vakio. Näytä, että ˆβ, T ja T ovat tarketuvia.

Lisätiedot

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim. 8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua) Algebra I Matematiika ja tilastotietee laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksii 5 (6 sivua) 14.2. 17.2.2011 1. Määritellää kuvaus f : S 3 S 3, f(α) = (123) α. Osoita, että f o bijektio. Mikä o se kääteiskuvaukse

Lisätiedot

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2) MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

4 Polynomifunktion kulku

4 Polynomifunktion kulku 4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion

Lisätiedot

2.2 Monotoniset jonot

2.2 Monotoniset jonot Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu 83A Tietoraketeet ja algoritmit 06-07, Harjoitus ratkaisu Harjoitukse aiheea o algoritmie oikeellisuus. Tehtävä. Kahvipurkkiogelma. Kahvipurkissa P o valkoisia ja mustia kahvipapuja, yhteesä vähitää kaksi

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

Kompleksilukujen alkeet

Kompleksilukujen alkeet Kompleksilukuje alkeet Samuli Reuae Soja Kouva Kuva 1: Abraham De Moivre (1667-175) Sisältö 1 Kompleksiluvut ja kompleksitaso 1.1 Yhtee- ja väheyslasku...................... 1. Kertolasku ja z = x + yi

Lisätiedot

3 Lukujonot matemaattisena mallina

3 Lukujonot matemaattisena mallina 3 Lukujoot matemaattisea mallia 3. Aritmeettie ja geometrie joo 64. a) Lukujoo o aritmeettie joo, joka yleie jäse o a 3 ( ) 4 34 4 4 b) Lukujoo o geometrie joo, joka yleie jäse o c) Lukujoo o geometrie

Lisätiedot

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät

Matematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät Matematiika tukikurssi Kertausta. välikokeesee Tehtävät Algebraa Tämä kappale sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Suurimpaa osaa tehtävistä löytyy ratkaisut lopusta. Syyä rusaasee tehtävämäärää o, että

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1 Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa

Lisätiedot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),

Lisätiedot

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt Eksoettifuktio ja -htälöt Eksoettifuktio ja eksoettihtälöt Ku otessi käsitettä laajeetaa sallimalla eksoetille muitaki arvoja kui kokoaislukuja, tämä taahtuu ii, että ii saotut otessikaavat ovat voimassa,

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k =

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k = Diskreeti Matematiika Paja Ratkaisuja viikolle 4. (7.4-8.4) Jeremias Berg. Osoita iduktiolla että k = ( + ) Ratkaisu: Kute kaikissa iduktiotodistuksissa meidä täytyy siis osoittaa asiaa. Ns. perustapaus,

Lisätiedot

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016 Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kertauslueto. välikokeesee Algebraa Tämäkertaie kurssimoiste sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Syyä tähä o se, että matematiikkaa oppii parhaite itse tekemällä ja laskemalla.

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Kirjoitetaan FIR-suotimen differenssiyhtälö (= suodatuksen määrittelevä kaava):

Kirjoitetaan FIR-suotimen differenssiyhtälö (= suodatuksen määrittelevä kaava): TL536, DSK-algoritmit (S4) Harjoitus. Olkoo x(t) = cos(πt)+cos(8πt). a) Poimi sigaalista x äytepisteitä taajuudella f s = 8 Hz. Suodata äi saamasi äytejoo x[] FIR-suotimella, joka suodikertoimet ovat a

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali 6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla

Lisätiedot

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi SMG-400 Sähkömageettiste järjestelmie lämmösiirto Ehdotukset harjoitukse 6 ratkaisuiksi Tarkastellaa suljetu järjestelmä tehotasaaioa joka o P + P P = P i g out st Oletetaa että verkotetussa alueessa jossa

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, , Harjoitus 4, Ratkaisu

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, , Harjoitus 4, Ratkaisu 81112A Tietoraketeet ja algoritmit, 217-218, Harjoitus 4, Ratkaisu Harjoitukse aiheita ovat algoritmie aikakompleksisuus ja lajittelualgoritmit Tehtävä 4.1 Selvitä seuraavie rekursioyhtälöide ratkaisuje

Lisätiedot

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2. Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja 1. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x + 1. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x

Lisätiedot