xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x)

Transkriptio

1 BM20A580 Differetiaalilasketa ja sovellukset Harjoitus 3, Syksy 206. Laske seuraavat itegraalit si(4t + )dt (b) x(x ) 000 dx (c) x exp(ix )dx 2. Mitä o y, ku (x ) 2 + y 2 = 2 2, etäpä y? Vastaukset saa jätää implisiitisee muotoo. (b) Laske yhtälöä xe y = ye x puolittai derivoimalla y :lle lauseke implisiittisessä muodossa ja tämä jälkee laske arvo y (0). Huom! Yhtälöö xe y = ye x o itseasiassa vai "kätketty"varsi yksikertaie y: ja x: välie yhteys: y = x. Älä kuitekaa käytä tätä huomiota hyväksesi laskuissasi. (x ) 2 + y 4 = 4 d dx 2(x ) + 2y y = 0 y = 2(x ) 2y (ku y 0) (b) xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x d dx 3. Määrää lyhi etäisyys pisteestä (8,) käyrälle y = + x 3 2 Etäisyyde eliö S 2 = (x 8) 2 + (y ) 2 = (x 8) 2 + ( + x 3 2 ) 2 = x 3 + x 2 6x + 64 = D(x) D (x) = 3x 2 + 2x 6

2 Etsitää fuktio ollakohdat eli D (x) = 3x 2 + 2x 6 = 0 x = 8 3 x = 2 Hylätää egatiivie ratkaisu. D(2) = 44 eli etäisyys pisteestä o tällöi S(2) = 44 = 2 4. Olkoo xy 2 + x + 2yx 2 = 3. Määritä y : lauseke implisiittisesti derivoide (b) Oko käyrällä sellaisia pisteitä, joissa tagettisuora olisi pystysuora? xy 2 + x + 2yx 2 = 3 d dx y 2 + x 2y y + + 2y x 2 + 2y 2x = 0 y 2 4xy = y (2xy + 2x 2 ) y = y2 4xy 2xy + 2x 2 (b) Näissä pisteissä y ei olisi määritelty. Pisteiksi kelpaavat sellaiset pisteet, jotka toteuttavat yhtälö 2xy + 2x 2 = 0 (Nollalla jako). Ratkaistaa yhtälö. 2x(y + x) = 0 x = 0 y + x = 0 x = 0 y = x Sijoitetaa ämä alkuperäisee yhtälöö x = 0 eli käyrä ei saa ikiä arvoa x = 0 eli ei käy 2 y = x 0 y y 0 2 = x( x) 2 + x + 2( x) x 2 = 3 x 3 + x 2x 3 = 3 x 3 + x 3 = 0 Yhtälöllä o vähitää yksi ratkaisu, koska lim x = ja lim x = ja käyrä o jatkuva fuktio. Eli o olemassa vähitää yksi piste jossa käyrällä o pystysuora tagetti

3 5. Derivoi fuktio f (x) = ( + ix) i, x 0 (b) g(x) = (l(x)) cos(x), ku x > (eli l(x) > 0) ( + ix) i = ( + x) ( + 2x) 2 ( + 3x) 3...( + x) F( f ) = [0, [ f (x) > 0 Otetaa puolittai logaritmi jolloi saamme yhtälö muotoo l( f (x)) = l( ( + ix) i ) Derivoimalla yt puolittai saamme = l( + x) + l(( + 2x) 2 ) + l(( + 3x) 3 )...l(( + x) ) f (x) f (x) = + x + ( + 2x) 2 2( + 2x) 2 + ( + 3x) 3 3( + 3x) ( + x) ( + x) Tällöi siis = + x + = + ix i2 + 2x x f (x) = f (x) = ( (b) Otetaa puolittai logaritmi ja derivoidaa Kertomalla g(x):llä puolittai saamme + x 2 + ix i2 ( + ix) i )( + ix i2 ) l(g(x)) = l((l(x) cos(x) )) = cos(x)l(l(x)) g(x) g (x) = si(x) l(l(x)) + cos(x) l(x) x g (x) = g(x)( si(x) l(l(x)) + cos(x) l(x) x ) g (x) = (l(x)) cos(x) ( si(x) l(l(x)) + cos(x) l(x) x )

4 6. Suorakaiteise puuparru jäykkyys o suoraa verraollie parru leveytee ja korkeude kuutioo. Määrää leveys w ja korkeus h jäykimmälle parrulle, joka tehdää ympyrä muotoisesta R säteisestä parrusta. h R w Merkitää s = kappalee jäykkyys. Tällöi saamme jäykkyydelle lausekkee Kuvasta ähdää, että s = wh 3 R 2 = ( w 2 )2 + ( h 2 )2 w = 4R 2 h 2 Sijoittamalla tämä jäykkyyde lausekkeesee saadaa s = h 3 4R 2 h 2, 0 h 2R Tutkimalla fuktio s ääriarvoja löydämme milloi parru jäykkyys o suurimmillaa. Koska s(0) = s(2r) = 0, etsikäämme fuktio derivaata ollakohtia. s (h) = 3h 2 4R 2 h 2 + h 3 2h 2 4R 2 h 2 = 3h 2 4R 2 h 2 h 4 4R 2 h 2 Etsimme yt ollakohdat. = h 2 (3(4R 2 h 2 ) h 2 ) h 2 (3(4R 2 h 2 ) h 2 ) = 0 h 2 = 0 2R 2 4h 2 = 0 h = 0 h = 3R h = 3R hylätää ratkaisut h = 0 ja h = 3R, koska laskimme jo s: arvo ku h = 0 ja egatiivie säde ei ole mielekäs. Tällöi aioat vaihtoehdot korkeudelle ja leveydelle ovat h = 3R ja w = 4R 2 ( 3R) 2 = R

5 7. Liikumme ympyrä x 2 + y 2 = 5 2 kehällä vakiovauhdilla site että x-koordiaatti o x(t) = 5cos( t) ja y-koordiaatti o y(t) = 5si( t). Olkoo aja t yksikkö sekuti ja matka yksiköt metrejä. Mikä o tämä vakiovauhti jolla kehällä liikumme? Tämä voi laskea moella tapaa, mutta tee se tällä kertaa laskemalla esi y- ja x-akseleide suutaiset opeudet ja sitte laskemalla äistä kompoeteista muodostetu opeusvektori pituus. (b) Jatketaa edellise kohda tarkastelua, mutta määritetää yt vauhdi sijasta kiihtyvyyde itseisarvoa. Tämäki voi toki tehdä moella tavalla, mutta tehdää se yt laskemalla x- ja y-suutaiset kiihtyvyydet esi ja sitte laskemalla äistä muodostetu kiihtyvyysvektori pituus. Huom. Tämä tehtävä tekemisee ei tarvitse implisiittistä derivoitia. 8. Mäkie tie kulkee ii että se korkeusprofiili o fuktio f (x) = 0.0(x 3 x 2 ) muotoie välillä x [ 5,5]. (Joo, vähä o muoto outo, mutta meköö). Etsi tie korkei kohta ja matali kohta, eli f : globaalit maksimi- ja miimipisteet. (b) Lähdemme kaasuttamaa pisteestä x = 5 egatiivise x-akseli suutaa "sikatykkiprätkällä". Oli prätkämme kuika tykki tahasa, esimmäise kerra kummatki rekaat voivat ousta ilmaa vasta pisteessä jossa kokaavisuus vaihtuu. Mikä tämä piste o?

6 Vastauksia: Teht.#: (b) Teht.#2: y = 2(x ) 2y (ku y 0) (b) y = yex e y xe y e x Teht.#3: S(2) = 2 Teht.#4: y = y2 4xy 2xy+2x 2 (b) O Teht.#5: f (x) = ( ( + ix) i )( + ix i2 ) (b) g (x) = (l(x)) cos(x) ( si(x) l(l(x)) + cos(x) l(x) x ) Teht.#6: h = 3R ja w = R Teht.#7: 5 (b) 5 Teht.#8: x = 5 o globaali miimipiste, x = 5 o globaali maksimipiste (b) x = /3