Lasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut:

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Lasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut:"

Transkriptio

1 Varsi arkiäiväisiä, geometrise joo teoriaa liittyviä käytäö sovellutuksia ovat jaksottaisii maksuihi ja kuoletuslaiaa (auiteettilaiaa) liittyvät robleemat. Tällaisii joutuu lähes jokaie yhteiskutakeloie kasalaie käytäössä tutustumaa. Asiaa liittyy hyvi likeisesti myös rosetuaalie kasvu. Muistettaee, että jos joki kohde kasvaa % aja t kuluessa, ii ajassa, joka sisältää kl t: t mittaisia aikajaksoja, kohde kasvaa α -kertaiseksi, missä α + 0 o s. korkotekijä tai kasvutekijä. Prosettiluku voi luoollisesti olla egatiivieki, jolloi ollaa tekemisissä egatiivise kasvu, rosetuaalise väheemise kassa. Oletetaa aluksi sellaie teoreettie tilae, että Sari o maksettava kertaa aia vuode loussa a (vaikkaa säästöö omalle tilillee tai elivelkojaa Jaelle, joka taas voi aa rahat säästöö omalle tilillee), ja että kuki vuode loussa ääomaa liitetää % mukaa laskettu vuotuie korko. Halutaa tietää, kuika suureksi summaksi (K) ääoma o vuode aikaa kasvaut. Kysymysasettelut o tieteki muotoiltava äivällee. Lasketaa kulleki a euro maksuerälle eriksee, kuika suureksi erä o vuodessa kasvaut: Viimeie erä, joka siis maksetaa viimeise eli. vuode loussa, ei ehdi kasvaa korkoa laikaa, jote se suuruus o vai elkkä a euroa. Toiseksi viimeie maksuerä ehtii kasvaa korkoa vuode, jote se arvo :e vuode loussa o αa. Kolmaeksi viimeie maksuerä ehtii kasvaa korkoa kaksi vuotta, ja se arvo o tuolloi site aα. Päättelyä äi jatkae todetaa, että kaikkei esimmäie maksuerä ehtii kasvaa korkoa ( ) vuotta ja o s. erääivää arvoltaa a euroa. Ku kaikki maksuerää, joista jokaie o kasvaut korkoa eriituise aja, lasketaa yhtee, saadaa (Jae) tili (ko. aikajakso äättyessä) ääomaksi K a + aα + aα + aα aα (7)

2 a ( + α + α + α α ), sillä oha viimeksi kirjoitetulla rivillä sulkulausekkeessa geometrise joo termie summa, missä esimmäie termi o ykköe, termie lukumäärä ja suhdelukuα. Käytäössä tilae voisi olla vaikka sellaie, että Sari olisi maksettava viisi kl 00 euro suuruisia summia, esimmäie vaikkaa..007, jolloi viimeise maksu äivämäärä o..0. Ku käytäössä usei uhutaa äi muodostuva ääoma K ykyarvosta k elettäessä vuode 007 viimeistä äivää, ii K tarkoittaa..0 Jae tilillä olevaa summaa ja k tarkoittaa sitä kertasummaa, joka itäisi tilille laittaa..007, ja joka sitte kasvaisi K markaksi..0 meessä tilii muutoi koskematta kui lisäämällä korot. Yleisesti rahaa o tilillä korkokautta (esimerkissä tasa eljä vuotta, vaikka Sari viisi erää maksaaki). kα ja Tällöi o K K kα (I) Huom.! O toki mahdollista uhua tuleva ääoma ykyarvosta k vaikkaa , jos kerra Sari juuri tuolloi vetoja hävisi. Tällöi k: esimmäie korkokausi olisi vai 6½ kuukautta. Tuleva ääoma ykyarvosta o edellä uhuttu elettäessä äivää..007, jolloi tilillä oloaika o siis tasa 4 vuotta. Päivämäärissä sikatarkkaa!!! Jos maksatussysteemi o sellaie, että summa maksetaaki jokaise vuode alussa, ii jokaie maksuerä ehtii kasvaa korkoa vuotta itemmä aja, viimeie maksuerä vuode, toiseksi viimeie kaksi vuotta, je. ja esimmäie maksuerä täydet vuotta. Tämä tarkoittaa Sari elivelkataauksessa esimerkiksi sitä, että hä maksaisi Jae tilille esimmäise 00 erä..007, toise..008 ja viidee..0 ja sitte kysyttäisii, mikä o tilitilae..0. Tässä taauksessa kaavaa (I) o oikealle uolelle lisättävä tekijä α (oha jokaie maksuerä ollut vuotta idemmä aja akissa), jolloi (7)

3 aα ( α ) K (II) Esim. 7. Oletetaa, että Sari maksaa Jae tilille viisi 00 euro suuruista summaa vuosittai vuode viimeiseä äivää ja esimmäie maksu o Olkoo tili korko 4%, jolloi vuode 0 viimeiseä äivää Jae tilillä o 5 00 (,04 ) K,04 546,56 euroa yhtälö (I) mukaa. Jos Sari haluaisi maksaa koko summa kertamaksulla vaikkaa juuri..007, ii (,04 ) k 469, α (,04 (,04 ) ja summa olisi sitä ieemi, mitä aiemmi hä maksusa suorittaisi. Kasvaisiha se Jae tilillä korkoa. Edellä saottu edellyttäisi tietysti sitä, että Jae tilitilatee tulisi..0 olla juuri 546..euroa yöristettyä kokoaisii setteihi euro suuruie ääoma kasvaisi siis eljässä vuodessa 4% mukaa 546 euroksi ja setiksi. Huom.! Jos maksut suoritetaaki uolivuosittai (kuukausittai), o kaavoissa korvattava arvolla ½ (/) ja korvattava arvolla (). kt Ku korkolasku kaavaa r sijoitetaa t ½ (vuotta), ii korkoa 0 kasvava summa k arvo uoli vuotta myöhemmi o k ½ K ½ k + k( + ), ja vuodessa uole vuode mittaisia 0 00 korkokausia o kaikkiaa kl. Etää sitte, ku maksut suoritetaa kerra kuussa? Esim. 8. Erja o ostaut lähes uude Mercedes-Bezi ja kauiaa kassa soiut, että maksaisi käsirahaksi keluutetu vaha BMW: lisäksi kolme vuode aja a) 000 /vuosi aia tasavuosie kuluttua kauateosta b) 00 /kk kuki kuukaude loussa. (7)

4 Oletetaa, että Erja soi kauat Samaa iltaa hä taaa uelmiesa rissi, joka koeajaa MB: ja se hyväksi toteaa. Prissi o tieteki rikas ja toteaa, ettei autokauiaille korkoja maksella. Prissi siis käy suorittamassa jäljellä oleva kauahia välittömästi. Kuika suure summa rissi kumaisessaki taauksessa maksoi, jos osamaksukaua korko oli 8% (korkotaso ousee)? Jos Erja olisi joutuut osamaksukierteesee, hä olisi kolmesti maksaut 000 euroa eli , ja Jäljellä oleva osamaksukauasumma ykyarvo saadaa suoraa yhtälöstä (I) eli k α k ja ku a 000, α + α ( 0 000(,08 ).08 ja, ii k 095, ,08 0,08 mk 7 settiä. Rahaa säästyi yli 5000 euroa. Asia syvemmäksi ymmärtämiseksi tilaetta voidaa katsella vielä yksityiskohtaisemmiki. Tiedustellaa siis, mitkä ovat e kolme rahasummaa, a, a ja a, joista 8 % koro mukaa - esimmäie kasvaa kolmessa vuodessa 000 euroksi - toie kasvaa kahdessa vuodessa 000 euroksi ja - kolmas kasvaa vuodessa 000 euroksi. Nyt o 000 aα aα aα a + a + a + + k α α α 000( α + α + ) 000( k 000( + + ). α α α α α ( Sovellutuksissa o tieteki huomattavasti jalomaa ystyä johtamaa laskukaava joka tilateelle eriksee kui käyttää valmiita kaavoja. Kaava johtamistaito osoittaa vakuuttavasti asia kohtalaise syvää ymmärtämistä, mitä taas valmiisee kaavaa sijoittelemie ei välttämättä ole. 4(7)

5 Toisessa vaihtoehdossa Erja iti maksaa 6 kl 00 eriä. Kuukaude mittaisia korkokausia o vuodessa, ja korkotekijä o tällöi 8 t 8 5 α ja korkokausia kolmessa vuodessa kaikkiaa 6 kl. Yhtälö (I) mukaa saadaa k [( ) ) ( ) settiä. Jos laia maksetaa takaisi site, että ääoma lyheys o joka kerta samasuuruie, laia hoito voi alussa olla melko rasittavaa, sillä oha jokaise lyheykse yhteydessä maksettava myös kulloiki jäljellä oleva ääoma korko. Asutolaiat saattavat viedä ottajasa maksukyvy äärirajoille. Jotta maksurasitus olisi laiaajalle tasaisemi, käytetää takaisimaksussa usei auiteettieriaatetta. Vuosittai, useimmite ehkä kuukausittai maksetaa koko laia-aja (ellei korkokata muutu) yhtä suuri maksu, jota saotaa laia auiteetiksi ja laiaa kuoletuslaiaksi. Tähä s. tasaerää sisältyvät sekä jäljellä oleva ääoma korko että lyheys. Heti laia ottamise jälkee lyheys saattaa olla ieemi kui korko ku taas laia-aja louuolella viimeisissä erissä korko o lyheyksee verrattua vähäie. Esim. 9. Oletetaa, että Riikka lähtee oiskelemaa kauukii, jossa vuokraasutotilae o sage huoo. Niiä ostavat Riika (äveriäät) vahemmat oiskelukauugista yksiö ja ottavat tätä varte akista laiaa euroa 5.5% korolla kymmeeksi vuodeksi. Laia sovitaa takaisimaksettavaksi a) kymmeeä yhtä suurea tasaerää vuode välei laia ostamisesta b) 0 yhtä suurea tasaerää kuukausittai. Laske ko. tasaerä suuruus sekä se, c) kuika aljo kumaisessaki taauksessa jouduttii maksamaa korkoa. 5(7)

6 a) Jaetaa laia kymmeee osaa a, a, a,..., a9 ja a, joide summa laia ääoma k. Esimmäie osa a kasvaa korkoa vuode ja se arvo tällöi, siis vuotta myöhemmi laia vuotuismaksu a. Tässä imeomaisessa taauksessa a a. 055 ja yleisesti o a aα, missä α +. 0 Toie osa a ehtii kasvaa korkoa kaksi vuotta, ja se arvo tämä aja kuluttua laia vuotuismaksu a ja toisaalta a yleisesti o voimassa a a α. a. ; 055 Viimeie osa a ehtii kasvaa korkoa korolle vuotta, ja tämä jälkee seki arvo laia vuotuismaksu a Yleisesti o voimassa a a α. O saatu kymmee yhtälöä: a aα a aα a aα a... aα a a a α a a α... a a α Laskemalla yhtee oikeauoleise ryhmä kaikki kymmee yhtälöä saadaa (alaideksei varustetut a-kirjaita yhtee laskie) laia ääoma k a + a a9 + a ) 9 α α α α α + α + α α + α + a ( a. α α ( Ratkaistaa saatu yhtälö a: suhtee, jolloi tullaa yhtälöö (III): 6(7)

7 kα ( a (III) Jos laiaa lyheetää kerra vuodessa, ii 80000,055 (,055 ) a 6,45, settiä. Maksamalla kl lasketu suuruisia eriä Riika vahemmat maksavat akille yhteesä 64., jote he tulevat maksaeeksi korkoa tämä summa ja laia ääoma erotukse verra, suuillee siis ( ) 64 euroa!! b) Jos laiaa lyheetää kuukausittai, o lyheyksiä kaikkiaa kl ja korkotekijä α + + sekä kuukausimaksu akk 868, settiä. Maksamalla 0 kl lasketu suuruisia eriä Riika vahemmat maksavat akille kaikkiaa oi 485, jote akki ettoaa korkoa 485. Kaattaa aa merkille, että maksettaessa tasaerällä kuukausittai maksu ei ole kahdestoista osa koko vuode maksusta. Valitsemalla maksu kerra kuussa säästää koroissa lähes 960 euroa verrattua siihe, että suorittaisi maksu kerra vuodessa. 7(7)

2.3.1. Aritmeettinen jono

2.3.1. Aritmeettinen jono .3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2007 104,1 2009 108,3 108,3 a) Jakamalla 1,040345 104,1 saadaa iflaatioprosetiksi 4,03 %. 104,1 b) Jakamalla 0,96121 saadaa, että raha

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2002 104,2 2004 106,2 a) Jakamalla 106,2 1,01919 saadaa iflaatioprosetiksi 1,92 %. 104,2 b) Jakamalla 104,2 0,98116 saadaa, että raha

Lisätiedot

3.6. Geometrisen summan sovelluksia

3.6. Geometrisen summan sovelluksia Tyypillie geometrise summa sovellusalue o taloude rahoituslaskut mutta vai tyypillie. Tammikuu alussa 988 vahemmat avaavat pitkäaikaistili Esikoisellee. Tiliehdot ovat seuraavat. Korko kiiteä 3,85 % pa

Lisätiedot

Huom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14).

Huom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14). Auiteettiperiaate Huom 4 Jaksolliste suorituste periaate soveltuu luoollisesti laia- ja luottolaskelmii. Lähtökohtaisea yhtälöä o yhtälö (14). Auiteetti Nimellisarvoltaa K 0 suuruise laia maksuerä k, joka

Lisätiedot

Tehtävä 1. Etsi Neperin luvulle e vaihtoehtoisia esitysmuotoja joko suppenevia lukujonoja tai päättymättömiä summia eli sarjamuotoja.

Tehtävä 1. Etsi Neperin luvulle e vaihtoehtoisia esitysmuotoja joko suppenevia lukujonoja tai päättymättömiä summia eli sarjamuotoja. POHDIN rojekti Jatkuva korko ja e Eksoettifuktioille voidaa johtaa omiaisuus f ( x) f (0) f( x). Riittää ku oletetaa, että f (0) o olemassa. Nyt eksoettifuktioide f( x) 2 x ja gx ( ) 3 x välistä yritää

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot Calculus Lukio MAA9 Trigoometriset fuktiot ja lukujoot Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Trigoometriset fuktiot ja lukujoot (MAA9) Pikatesti

Lisätiedot

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt Eksoettifuktio ja -htälöt Eksoettifuktio ja eksoettihtälöt Ku otessi käsitettä laajeetaa sallimalla eksoetille muitaki arvoja kui kokoaislukuja, tämä taahtuu ii, että ii saotut otessikaavat ovat voimassa,

Lisätiedot

MAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan

MAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan 3.3 Laiat MAB7 Talousmatematiia Otava Opisto / Kati Jorda Laia ottamie Suuri osa ihmisistä ottaa laiaa jossai elämävaiheessa. Pailaiaa tarvitaa yleesä vauusia ja/tai taausia. Laiatulle pääomalle masetaa

Lisätiedot

Talousmatematiikka (3 op) Sisältö. Tero Vedenjuoksu. Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231

Talousmatematiikka (3 op) Sisältö. Tero Vedenjuoksu. Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231 Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedejuoksu Oulu yliopisto Matemaattiste tieteide laitos 2010 Sisältö Yhteystiedot: Tero Vedejuoksu tero.vedejuoksu@oulu.fi Työhuoe M231 Kurssi kotisivu http://cc.oulu.fi/~tvedeju/talousmatematiikka/

Lisätiedot

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi SMG-400 Sähkömageettiste järjestelmie lämmösiirto Ehdotukset harjoitukse 6 ratkaisuiksi Tarkastellaa suljetu järjestelmä tehotasaaioa joka o P + P P = P i g out st Oletetaa että verkotetussa alueessa jossa

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 Vaasa yliopisto, kevät 206 Talousmatematiika perusteet, ORMS030 5. harjoitus, viikko 7 5. 9.2.206 R ma 0 2 F455 R5 ti 0 2 F9 R2 ma 4 6 F455 R6 to 2 4 F455 R3 ti 08 0 F455 R7 pe 08 0 F455 R4 ti 2 4 F455

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Harjoitustehtävien ratkaisuja 3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,

Lisätiedot

3.9. Mallintaminen lukujonojen avulla harjoituksia

3.9. Mallintaminen lukujonojen avulla harjoituksia 3.9 Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia 3.9. Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia Lukujoo määritelmä harjoituksia 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3

Lisätiedot

10.5 Jaksolliset suoritukset

10.5 Jaksolliset suoritukset 4.5 Jaksollset suortukset Tarkastellaa tlaetta, jossa asakas tallettaa pakktllle tostuvast yhtäsuure rahasumma k aa korkojakso lopussa. Asakas suorttaa talletukse kertaa. Lasketaa tlllä oleva pääoma :e

Lisätiedot

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim. 8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi

Lisätiedot

Viimeinen erä on korot+koko laina eli 666, 67 + 100000 100667, 67AC.

Viimeinen erä on korot+koko laina eli 666, 67 + 100000 100667, 67AC. Kotitehtäviä 6. Aihepiiri Rahoitusmuodot Ratkaisuehdotuksia 1. Pankki lainaa 100000 bullet-luoton. Laina-aika on 4kk ja luoton (vuotuinen) korkokanta 8% Luoton korot maksetaan kuukausittain ja laskutapa

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2 Kotitehtäviä 5. Ratkaisuehdotuksia. a) Jono a,..., a 500 on aritmeettinen, a = 5 ja erotusvakio d = 4. Laske jäsenet a, a 8 ja a 00 sekä koko jonon summa. b) Jono b,..., b 0 on geometrinen, b = ja suhdeluku

Lisätiedot

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen.

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen. 10 Kertolaskusäätö Kahta tapahtumaa tai satuaisilmiötä saotaa riippumattomiksi, jos toise tulos ei millää tavalla vaikuta toisee. Esim. 1 A = (Heitetää oppaa kerra) ja B = (vedetää yksi kortti pakasta).

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. Verrattuna lähtöarvoon kurssi oli laskenut. Kalliimman tukkuhinta 1,2 480 = 576 Kalliimman myyntihinta 1,3

Kertausosa. Kertausosa. Verrattuna lähtöarvoon kurssi oli laskenut. Kalliimman tukkuhinta 1,2 480 = 576 Kalliimman myyntihinta 1,3 Kertusos. ) Edullisemm hit 480, = 64 Klliimm tukkuhit, 480 = 576 Klliimm myytihit, 576 = 748,80 b) 748,80 64 = 0,666... = 6,66% 7% 748,80. Liittymä puhelimell mks khde vuode ik 4 8,50 = 684. Liittymä ilm

Lisätiedot

diskonttaus ja summamerkintä, L6

diskonttaus ja summamerkintä, L6 diskonttaus ja summamerkintä, L6 1 Edellä aina laskettiin kasvanut pääoma alkupääoman ja koron perusteella. Seuraavaksi pohdimme käänteistä ongelmaa: Miten suuri tulee alkupääoman K 0 olla, jotta n jakson

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka IA

Insinöörimatematiikka IA Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Lisätiedot

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy

Lisätiedot

3 Lainat ja talletukset

3 Lainat ja talletukset 3 Laiat ja talletukset Korkolasku 17. 0,8 3 = 64,96 ( Lähdevero määrä pyöristetää alaspäi täysii kymmeii setteihi. Lähdeveroa peritää 64,90. 173. 0,05 1 6 = 40,5 ( a 0,8 40,5 = 11,7 ( Lähdeveroa peritää

Lisätiedot

On olemassa eri lainatyyppiä, jotka eroavat juuri sillä, miten lainaa lyhennetään. Tarkastelemme muutaman yleisesti käytössä olevan tyypin.

On olemassa eri lainatyyppiä, jotka eroavat juuri sillä, miten lainaa lyhennetään. Tarkastelemme muutaman yleisesti käytössä olevan tyypin. Rahoitusmuodot HUOM. Tässä esitetään vain teoriaa ja joitakin esimerkkejä. Enemmän esimerkkejä ja laskuja löytyy ratkaistuina EXCEL-tiedostosta "Rahoitusmuodot - laskut ja esimerkit", joka on MOODLESSA

Lisätiedot

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Normaalijäits N N Leikkausjäits Q Q KAKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Lerakee STRE SS CONTOURS OF SE 4.4483 8.8966 4.345 65.793 7.4 48.69 9.38 33.586 373.35 Ma 45.4 At Node 438 Mi.9

Lisätiedot

Liike-elämän matematiikka Opettajan aineisto

Liike-elämän matematiikka Opettajan aineisto Liike-elämä matematiikka Opettaja aieisto Pirjo Saarae, Eliisa Kolttola, Jarmo Pösö ISBN 978-951-37-5741-0 Päivitetty 13.8.2014 Tehtävie ratkaisut - Luku 1 Verotus - Luku 2 Katelaskut ja talousfuktiot

Lisätiedot

Korkolasku ja diskonttaus, L6

Korkolasku ja diskonttaus, L6 Korkolasku ja diskonttaus, L6 1 Merkinnät Tarkastellaan tilannetta, jossa pääomalle maksetaan korkoa. Tulemme seuraavassa systemaattisesti käyttämään seuraavia merkintöjä K 0 = alkupääoma p = korkoprosentti

Lisätiedot

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,

Lisätiedot

Kiinteätuottoiset arvopaperit

Kiinteätuottoiset arvopaperit Mat-.34 Ivestoititeoria Kiiteätuottoiset arvopaperit 6..05 Lähtöohtia Lueolla tarasteltii tilateita, joissa yyarvo laseassa äytettävä oro oli aettua ja riippuato aiaperiodista Käytäössä orot äärittyvät

Lisätiedot

Tasaerälaina ja osamaksukauppa

Tasaerälaina ja osamaksukauppa Tasaerälaina ja osamaksukauppa Merkintöjä Yleensä laskussa lähdetään todellisesta vuosikorosta. Merkitään todellista vuosikorkokantaa kirjaimella i a, jolloin vuosikorkotekijä on (1 + i a ). Vuosi jaetaan

Lisätiedot

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S 3.3. Aritmeettie summ 3.3. Aritmeettie summ Mikä olisi helpoi tp lske 0 esimmäistä luoollist luku yhtee? Olisiko r voim käyttö 0 + + + 3 + + 00 hyvä jtus? Tekiik vull se iki toimii. Fiksumpiki tp kuiteki

Lisätiedot

TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET. Kokooma 23.1.2008. Viimeisin perustemuutos on vahvistettu 3.2.1998.

TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET. Kokooma 23.1.2008. Viimeisin perustemuutos on vahvistettu 3.2.1998. TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET Kokooma 23.1.2008. Viimeisi perustemuutos o vahvistettu 3.2.1998. TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET Sisällysluettelo

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

Jaksolliset suoritukset, L13

Jaksolliset suoritukset, L13 , L13 1 Jaksollinen talletus Tarkastellaan tilannetta, jossa asiakas tallettaa pankkitilille toistuvasti yhtäsuuren rahasumman k aina korkojakson lopussa. Asiakas suorittaa talletuksen n kertaa. Lasketaan

Lisätiedot

BH60A0900 Ympäristömittaukset

BH60A0900 Ympäristömittaukset BH60A0900 Yäitöittauket Lakuhajoitu Kuiva ja kotea kaau, tilavuuvita ehtävä Savukaau läötila o 00 ja aie 99 kpa. ekittäviät kaaukooetit ovat 0 %, H 0 %, 0 % ja lout tyeä. ikä o a) kotea ja kuiva kaau tilavuukie

Lisätiedot

Esimerkki 2 (Kaupparatsuongelma eli TSP)

Esimerkki 2 (Kaupparatsuongelma eli TSP) 10 Esimerkki 2 (Kaupparatsuogelma eli TSP) Kauppamatkustaja o kierrettävä kaupukia site, että hä lähtee kaupugista 1 ja palaa sie sekä käy jokaisessa muussa kaupugissa täsmällee kerra. Matka kaupugista

Lisätiedot

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia?

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) Kysymys Mite mitata raha arvo muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) o sovittu kulutustavaroide ja palveluide hitakehitykse mittari. KHI muodostetaa paiotettua keskiarvoa eri pääryhmie

Lisätiedot

a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on

a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on Kotitehtävät 4 Ratkaisuehdotukset. 1. Kuinka suureksi 3500000 euroa kasvaa 8 vuodessa, kun lähdevero on 30% ja vuotuinen korkokanta on 10, 5%, kun korko lisätään a) kerran vuodessa b) kuukausittain c)

Lisätiedot

SV ruotsi. 02532 Kokkolan sosiaali- ja terveysalan opisto

SV ruotsi. 02532 Kokkolan sosiaali- ja terveysalan opisto Näyttötutkitoje palautejärjestelmä Tietolähde: AIPAL-tietokata Valittu aikajakso 0.0.00-0..00 0-DEC-0 ( ) Hakuehdot Kysymyssarja Opetuskieli Valtakualliset palautekysymykset FI suomi SV ruotsi Oppilaitos

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

Diskonttaus. Diskonttaus. Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0,jolloin Virallinen diskonttauskaava. = K t. 1 + it. (3) missä

Diskonttaus. Diskonttaus. Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0,jolloin Virallinen diskonttauskaava. = K t. 1 + it. (3) missä Diskonttaus Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0,jolloin Virallinen diskonttauskaava K t 1 + it. (3) missä pääoman K t diskontattu arvo, eli nykyarvo(t = 0) i = korkokanta jaksosta kulunut aika t = korkojakson

Lisätiedot

2. Mittaus ja data 2.1. Johdanto. 2.2. Mittaustyypit

2. Mittaus ja data 2.1. Johdanto. 2.2. Mittaustyypit 2. Mittaus ja data 2.. Johdato Voidaksemme keksiä tosimaailma relaatioita tarkastelemme sitä kuvaavaa dataa, jote esiksi selvitämme, mitä data perimmiltää o. Data kerätää kuvaamalla mielekiitoaluee oliot

Lisätiedot

Korkolasku, L6. Koronkorko. Korko-kaavat. Aiheet. Yksinkertainen korkolasku. Koronkorko. Jatkuva korkolasku. Korko-kaavat

Korkolasku, L6. Koronkorko. Korko-kaavat. Aiheet. Yksinkertainen korkolasku. Koronkorko. Jatkuva korkolasku. Korko-kaavat Korkolasku, L6 1 Merkinnät Tarkastellaan tilannetta, jossa pääomalle maksetaan korkoa. Tulemme seuraavassa systemaattisesti käyttämään seuraavia merkintöjä K 0 = alkupääoma p = korkoprosentti i = p 100

Lisätiedot

10 Liiketaloudellisia algoritmeja

10 Liiketaloudellisia algoritmeja 218 Liiketaloudellisia algoritmeja 10 Liiketaloudellisia algoritmeja Tämä luku sisältää liiketaloudellisia laskelmia. Aiheita voi hyödyntää vaikkapa liiketalouden opetuksessa. 10.1 Investointien kannattavuuden

Lisätiedot

Sormenjälkimenetelmät

Sormenjälkimenetelmät Sormejälkimeetelmät Matti Risteli mristeli@iksula.hut.fi Semiaariesitelmä 23.4.2008 T-106.5800 Satuaisalgoritmit Tietotekiika laitos Tekillie korkeakoulu Tiivistelmä Sormejälkimeetelmät ovat satuaisuutta

Lisätiedot

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,

Lisätiedot

4.7 Todennäköisyysjakaumia

4.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma

Lisätiedot

TIIVISTELMÄRAPORTTI (SUMMARY REPORT)

TIIVISTELMÄRAPORTTI (SUMMARY REPORT) 2012/MAT814 ISSN 1797-3457 (vekkojulkaisu) ISBN (PDF) 978-951-25-2408-2 TIIVISTELMÄRAPORTTI (SUMMARY REPORT) Vaiheistettu heijastipita valemaalia Joha Ste, Päivi Koivisto, Ato Hujae, Tommi Dufva, VTT,

Lisätiedot

3.7. Rekursiivisista lukujonoista

3.7. Rekursiivisista lukujonoista .7 Rekursiivisist lukujooist.7. Rekursiivisist lukujooist Kerrt vielä, että lukujoo void määritellä khdell eri tvll, joko käyttämällä lyyttistä säätöä ti rekursiivist säätöä. Joo määrittelemie rekursiivisesti

Lisätiedot

MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.

MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. MAA9. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan

Lisätiedot

Tilapäinen vanhempainraha lapsen hoidon yhteydessä [Tillfällig föräldrapenning vid vård av barn]

Tilapäinen vanhempainraha lapsen hoidon yhteydessä [Tillfällig föräldrapenning vid vård av barn] Tilapäie vahempairaha lapse hoido yhteydessä [Tillfällig föräldrapeig vid vård av bar] Klicka här, skriv ev. Udertitel Lapset sairastuvat usei. Tämä vuoksi voit saada tilapäistä vahempairahaa, jos joudut

Lisätiedot

Kompleksiluvut. Johdanto

Kompleksiluvut. Johdanto Kompleksiluvut Johdato Tuomo Pirie tuomo.pirie@tut.fi Aikoje kuluessa o matematiikassa kohdattu tilateita, jolloi käytetyt määrittelyt ja rajoitukset (esimerkiksi käytetyt lukujoukot) eivät ole olleet

Lisätiedot

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008 Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot

Lisätiedot

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015 Stokastiika perusteet Harjoitukset (Todeäköisyysavaruus, -mitta ja -fuktio) 2..205. Määritä potessijoukko 2,ku (a) {0, } (b) {(0, ]} ja ku (c) (0, ]. Ratkaisu: (a) 2 {;, {0}, {}, {0, }} (b) 2 {;, {(0,

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 008 MATEMATIIKKA TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtävä. Maljakossa on 0 keltaista ja 0 punaista tulppaania, joista puutarhuriopiskelijan on määrä

Lisätiedot

Kun vuoden alussa varastossa oli 100 karaattia ja Antwerpenin ostot oheisen kuvan

Kun vuoden alussa varastossa oli 100 karaattia ja Antwerpenin ostot oheisen kuvan Optimoitimeetelmät Kirjallisuutta: Rardi Roald R.: Optimizatio i Operatios Research, 998 Wisto Waye L.: Operatios Research. Applicatios ad Algorithms, 3rd editio, 994. Matemaattie mallius ja ogelmie ratkaisu

Lisätiedot

10 y 2 3 x D 100; D 30 29 59 6 D 10 5. 100 10 2 3 a: Vastaavasti sadalla kilometrillä kulutettavan polttoaineen E10 energiasisältö on 90 100 x a C 10

10 y 2 3 x D 100; D 30 29 59 6 D 10 5. 100 10 2 3 a: Vastaavasti sadalla kilometrillä kulutettavan polttoaineen E10 energiasisältö on 90 100 x a C 10 Helsingin ylioisto, Itä-Suomen ylioisto, Jyväskylän ylioisto, Oulun ylioisto, Tamereen ylioisto ja Turun ylioisto Matematiikan valintakokeen 3.6.0 ratkaisut. Oletetaan, että litralla (uhdasta) bensiiniä

Lisätiedot

1,085 64,5 12,00 = 839,79 (mk) Vastaus: 839,79 mk

1,085 64,5 12,00 = 839,79 (mk) Vastaus: 839,79 mk K00 1. Asunto-osakeyhtiö nosti asuntojen yhtiövastikkeita 8,5 %. Kuinka suureksi muodostui 64,5 neliömetrin suuruisen asunnon kuukauden yhtiövastike, kun neliömetriltä oli aiemmin maksettu 12,00 mk kuukaudessa?

Lisätiedot

tilavuudessa dr dk hetkellä t olevien elektronien

tilavuudessa dr dk hetkellä t olevien elektronien Semiklassie johtavuusmalli Metalleissa vastus aiheutuu virrakuljettajie törmäyksistä, joita karakterisoi relaksaatioaika τ Oletetaa, että ifiitesimaalisella aikavälillä dt elektroi törmäystodeäköisyys

Lisätiedot

HE 174/1995 vp ESITYKSEN PÄÄASIALLINEN SISÄLTÖ PERUSTELUT

HE 174/1995 vp ESITYKSEN PÄÄASIALLINEN SISÄLTÖ PERUSTELUT HE 174/1995 vp Hallituksen esitys Eduskunnalle laeiksi palkkaturvalain 2 ja :n sekä merimiesten palkkaturvalain 2 ja :n muuttamisesta ESITYKSEN PÄÄASIALLINEN SISÄLTÖ Esityksessä ehdotetaan muutettavaksi

Lisätiedot

Laudatur 6 Todennäköisyys ja tilastot Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 6 Todennäköisyys ja tilastot Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 6 Todeäköisyys ja tilastot Tarmo Hautajärvi Jukka Otteli Leea Walli-Jaakkola Opettaja aieisto Helsigissä Kustausosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Toimiallisia tehtäviä...3 Ratkaisut kirja tehtävii...4

Lisätiedot

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio.

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio. Yo-tehtäviä Mb06 kurssista Sarja 1 k09/12. Mikä on suurin arvo, jonka lauseke x + y saa epäyhtälöiden x 0, y 0, 2x + 3y 24, 5x + 3y 30 määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit.

Lisätiedot

15 MEKAANISET AALLOT (Mechanical Waves)

15 MEKAANISET AALLOT (Mechanical Waves) 3 15 MEKAANISET AALLOT (Mechaical Waves) Luoto o täyä aaltoja. Aaltoliikettä voi sytyä systeemeissä, jotka poikkeutettua tasapaiotilastaa pyrkivät palaamaa siihe takaisi. Aalto eteee, ku poikkeama (häiriö)

Lisätiedot

YRITTÄJÄN ELÄKELAIN (YEL) MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPERUSTEET. Kokonaisperuste vahvistettu 20.12.2006. Voimassa 1.1.2007 alkaen.

YRITTÄJÄN ELÄKELAIN (YEL) MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPERUSTEET. Kokonaisperuste vahvistettu 20.12.2006. Voimassa 1.1.2007 alkaen. YRITTÄJÄN ELÄKELAIN (YEL) MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPERUSTEET Kokonaisperuste vahvistettu 20.12.2006. Voimassa 1.1.2007 alkaen. YRITTÄJÄN ELÄKELAIN (YEL) MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPERUSTEET 1

Lisätiedot

= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1

= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1 35 Naiivi Bayes Luokkamuuttua C o Bayes-verko uuri a attribuutit X i ovat se lehtiä Naiivi oletus o, että attribuutit ovat ehdollisesti riippumattomia toisistaa aettua luokka Ku käytössä o Boole muuttuat,

Lisätiedot

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4) http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.

Lisätiedot

Tämä. Tili-ja kulutusluotot. -aineisto on tarkoitettu täydentämään. Liiketalouden matematiikka 2. kirjan sisältöä.

Tämä. Tili-ja kulutusluotot. -aineisto on tarkoitettu täydentämään. Liiketalouden matematiikka 2. kirjan sisältöä. Tämä Tili-ja kulutusluotot -aineisto on tarkoitettu täydentämään Liiketalouden matematiikka 2 kirjan sisältöä. 1 Sisällysluettelo TILI- JA KULUTUSLUOTOT...3 Esim. 1... 4 Esim. 2... 6 Esim. 3... 7 Esim.

Lisätiedot

Talousmatematiikka (3 op)

Talousmatematiikka (3 op) Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Talousmatematiikka 2011 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

Verkkokurssin tuotantoprosessi

Verkkokurssin tuotantoprosessi Verkkokurssin tuotantoprosessi Tietotekniikan perusteet Excel-osion sisältökäsikirjoitus Heini Puuska Sisältö 1 Aiheen esittely... 3 2 Aiheeseen liittyvien käsitteiden esittely... 3 2.1 Lainapääoma...

Lisätiedot

Korkojen aikarakenteen ja tulevan inflaation välinen yhteys

Korkojen aikarakenteen ja tulevan inflaation välinen yhteys Korkoje aikaraketee ja tuleva iflaatio välie yhteys Perttu Tuomi Pro gradu -tutkielma Kasataloustietee laitos Tamperee yliopisto Toukokuu 2000 1 Tamperee yliopisto Kasataloustietee laitos TUOMI PERTTU:

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta I. Heikki Ruskeepää

Todennäköisyyslaskenta I. Heikki Ruskeepää Todeäköisyyslasketa I Heikki Ruskeepää 2012 Sisällys 2 1 Todeäköisyys 3 1.1 Klassie todeäköisyys 3 1.2 Kombiatoriikkaa 4 1.3 Aksiomaattie todeäköisyys 8 1.4 Ehdollie todeäköisyys 13 1.5 Riippumattomuus

Lisätiedot

Lahden Merrasjärven Tähtikylän aluetaidekonseptin ideakilpailu LINTUKOTO. Taiteen neljä konseptia

Lahden Merrasjärven Tähtikylän aluetaidekonseptin ideakilpailu LINTUKOTO. Taiteen neljä konseptia Lahde Measjäve Tähtikylä aluetaidekosepti ideakilpailu LINTUKOTO Taitee eljä koseptia 1 SISÄLLYS 1. Meäsjäve Tähtikylä taidekosepti lähtökohta tavoitteet 3 2. Lituko-kosepti sisältö 3 2.1. eisellisia teoia

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a)

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a) Kertusos Kertusos ). ) : j 7 0 7 ) 0 :( ) c) :( ). Merkitää merirosvorht (kg) sukltrffelit (kg) ) 7, 0 hit: /kg hit: 7 /kg ) 00 g 0,kg 7 0,,0,,0, 0, (kg) :. ) Vstus: ) 7, 0 ( ) ) 00 g. ) 0 7 9 7 0 0 Kertusos

Lisätiedot

PERUSYHTÄLÖ, JOKA OSOITTAA YHTÄÄLTÄ LUOTON JA TOISAALTA LYHENNYSTEN JA MAKSUJEN VASTAAVUUDEN:

PERUSYHTÄLÖ, JOKA OSOITTAA YHTÄÄLTÄ LUOTON JA TOISAALTA LYHENNYSTEN JA MAKSUJEN VASTAAVUUDEN: 6 LIITE PERUSYHTÄLÖ, JOKA OSOITTAA YHTÄÄLTÄ LUOTON JA TOISAALTA LYHENNYSTEN JA MAKSUJEN VASTAAVUUDEN: K m K 1 A K t K m A K K t K ' K 1 Kirjainten ja merkkien selitykset: ' ' K luoton numero K lyhennyksen

Lisätiedot

5. Väliestimoi tehtävän 3 tilanteessa tulppien keskimääräinen kestoa.

5. Väliestimoi tehtävän 3 tilanteessa tulppien keskimääräinen kestoa. MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuiee luetomoistee lukuu 5 liittye 1. Olkoo puoluee A kaatusosuus populaatiossa 30 %. Tarkastellaa tästä populaatiosta tehtyä satuaisotosta, joka koko

Lisätiedot

1.5 Polynomin jako alkutekijöihin

1.5 Polynomin jako alkutekijöihin 1.5 Polyomi jako alkutekijöihi Käsky jakaa joki luku tai polyomi tekijöihi merkitsee sitä, että asiaomaie luku tai polyomi o esitettävä tulomuodossa. Astetta akarampi vaatimus jakaa alkutekijöihi edellyttää,

Lisätiedot

MAB7 Loppukoe 25.9.2014

MAB7 Loppukoe 25.9.2014 MAB7 Loppukoe 25.9.2014 Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko konseptin ekalle sivulle yläreunaan! Valitse kuusi tehtävää, joihin vastaat. Muista että välivaiheet perustelevat

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa. Testimuuttuja kriittie arvo 5 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 9,488. Koska laskettu arvo 4,35 o pieempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 9,488, ii ollahypoteesi jää voimaa.

Lisätiedot

Työ 55, Säteilysuojelu

Työ 55, Säteilysuojelu Työ 55, Säteilysuojelu Ryhmä: 18 Pari: 1 Joas Alam Atti Tehiälä Selostukse laati: Joas Alam Mittaukset tehty: 7.4.000 Selostus jätetty: 1.5.000 1. Johdato Tutkimme työssämme kolmea eri säteilylajia:, ja

Lisätiedot

Kombinatoriikka. Iiro Honkala 2015

Kombinatoriikka. Iiro Honkala 2015 Kombiatoriikka Iiro Hokala 2015 Sisällysluettelo 1. Haoi torit 1 2. Lokeroperiaate 3 3. Tuloperiaate 3 4. Permutaatioista ja kombiaatioista 4 5. Toistokombiaatioista 5 6. Biomikertoimista 5 7. Multiomikertoimista

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden, sisältöjen ja isteitysten luonnehdinta

Lisätiedot

6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 %

6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % 6 Kertausosa 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % Osakkeen arvo vuoden lopussa 1,289 0,957 12,63 = 15,580... 15,58 b) Indeksin muutos: 6500 1,1304...

Lisätiedot

MATKAILUTEOLLISUUDEN HANKETARKASTELUT - OSTAJAN OPAS

MATKAILUTEOLLISUUDEN HANKETARKASTELUT - OSTAJAN OPAS MATKAILUTEOLLISUUDEN HANKETARKASTELUT - OSTAJAN OPAS Martti Paloperä Vespertie 8 A 8, 00320 Helsiki mobiili 040 555 4707 martti.palopera@hia.fi - www.hia.fi MATKAILUTEOLLISUUDEN HANKETARKASTELUT 2 Esimmäiset

Lisätiedot

1.1 Luvut ja lukujoukot

1.1 Luvut ja lukujoukot Vahimmat tuetut todisteet lukuje käytöstä ovat vähitää 30 000 vuotta vahoja [Joh D Barrow: Lukuje taivas, Art House 1999]. Lukuja o tarvittu aiaki ilmaisemaa karjalauma koko. Siksi luvut ovat mahdollisesti

Lisätiedot

λ x = 0,100 nm, Eγ = 0,662 MeV, θ = 90. λ λ+ λ missä ave tarkoittaa aikakeskiarvoa.

λ x = 0,100 nm, Eγ = 0,662 MeV, θ = 90. λ λ+ λ missä ave tarkoittaa aikakeskiarvoa. S-114.46 Fysiikka V (Sf) Tetti 16.5.00 välikokee alue 1. Oletetaa, että protoi ja elektroi välie vetovoia o verraollie suureesee r ( F =- kr) eikä etäisyyde eliö kääteisarvoo ( F =-k / r ). Käytä kulaliikeäärä

Lisätiedot

Kantobiomassan määrän mallintaminen leimikoissa hakkuukonemittausten avulla

Kantobiomassan määrän mallintaminen leimikoissa hakkuukonemittausten avulla Metsätietee päivä, 6.0.0 Katobiomassa määrä mallitamie leimikoissa hakkuukoemittauste avulla Heikki Ovaskaie, Itä Suome yliopisto Pirkko Pihlaja, UPM Kymmee Teijo Palader, Itä Suome yliopisto Johdato Suomessa

Lisätiedot

Sote-alueen muodostamisen tarkemmat kriteerit on todettu väliraportin luvussa 4.1.2. (sivut 18 19).

Sote-alueen muodostamisen tarkemmat kriteerit on todettu väliraportin luvussa 4.1.2. (sivut 18 19). KYSYMYKSET Sosiaali- ja terveydehuoltoalueet (sote-alue) Väliraporti perusteella kua tulee kuulua sote-alueesee, joka järjestää sille sosiaali- ja terveyspalvelut. Sote-alue muodostuu maakutie keskuskaupukie

Lisätiedot

Tilastotieteen perusteet

Tilastotieteen perusteet VAASAN YLIOPISTO Tilastotieteeperusteet Luetoruko Christia Gustafsso SISÄLLYSLUETTELO 1. JOHDANTO... 3 1.1. Mitä tilastotiede o?... 3 1.. Tilastotietee historiaa... 4. HAVAINTOAINEISTO JA MITTAAMINEN...

Lisätiedot

ELÄKEKASSAN YEL-OSASTON LASKUPERUSTEET Kokonaisperuste, vahvistettu 20.2.2007.

ELÄKEKASSAN YEL-OSASTON LASKUPERUSTEET Kokonaisperuste, vahvistettu 20.2.2007. ELÄKEKASSAN YEL-OSASTON LASKUPERUSTEET Kokonaisperuste, ahistettu 20.2.2007. ELÄKEKASSAN YEL-OSASTON LASKUPERUSTEET Sisällysluettelo 1 PERUSTEIDEN SOVELTAMINEN... 1 2 VAKUUTUSMAKSU... 1 3 VAKUUTUSMAKSUVASTUU...

Lisätiedot

Nyt ensimmäisenä periodina (ei makseta kuponkia) odotettu arvo on: 1 (qv (1, 1) + (1 q)v (0, 1)) V (s, T ) = C + F

Nyt ensimmäisenä periodina (ei makseta kuponkia) odotettu arvo on: 1 (qv (1, 1) + (1 q)v (0, 1)) V (s, T ) = C + F Mat-2.34 Investointiteoria Laskuharjoitus 2/2008, Ratkaisut 29.04.2008 Binomihilan avulla voidaan laskea T vuoden ja tietyn kupongin sisältävän joukkovelkakirjan arvo eli hinta rekursiivisesti vaihtelevan

Lisätiedot

SV ruotsi. 00208916-8 Keski-Pohjanmaan koulutusyhtymä

SV ruotsi. 00208916-8 Keski-Pohjanmaan koulutusyhtymä Näyttötutkitoje palautejärjestelmä Tietolähde: AIPAL-tietokata 0-JAN- ( 6) Hakuehdot Kysymyssarja Opetuskieli Järjestäjä Valtakualliset palautekysymykset FI suomi SV ruotsi 000896-8 Keski-Pohjamaa koulutusyhtymä

Lisätiedot

- menetelmän pitää perustua johonkin standardissa ISO 140-5 esitetyistä menetelmistä

- menetelmän pitää perustua johonkin standardissa ISO 140-5 esitetyistä menetelmistä RAKENNUKSEN ULKOVAIPAN ÄÄNENERISTYSTÄ KOSKEVAN ASEMAKAAVAMÄÄRÄYKSEN TOTEUTUMISEN VALVONTA MITTAUKSIN Mikko Kylliäie, Valtteri Hogisto 2 Isiööritoimisto Heikki Helimäki Oy Piikatu 58 A, 3300 Tampere mikko.kylliaie@helimaki.fi

Lisätiedot

Taloyhtiön korjaushankkeen rahoitus

Taloyhtiön korjaushankkeen rahoitus Taloyhtiön korjaushankkeen rahoitus Taloyhtiölaina / Osakaslaina Saavatko taloyhtiöt lainaa Nordeasta? Millaisia muutoksia on tapahtunut uusien säädösten myötä? Suomen talous edelleen alavireessä, mutta

Lisätiedot