Lasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut:

Transkriptio

1 Varsi arkiäiväisiä, geometrise joo teoriaa liittyviä käytäö sovellutuksia ovat jaksottaisii maksuihi ja kuoletuslaiaa (auiteettilaiaa) liittyvät robleemat. Tällaisii joutuu lähes jokaie yhteiskutakeloie kasalaie käytäössä tutustumaa. Asiaa liittyy hyvi likeisesti myös rosetuaalie kasvu. Muistettaee, että jos joki kohde kasvaa % aja t kuluessa, ii ajassa, joka sisältää kl t: t mittaisia aikajaksoja, kohde kasvaa α -kertaiseksi, missä α + 0 o s. korkotekijä tai kasvutekijä. Prosettiluku voi luoollisesti olla egatiivieki, jolloi ollaa tekemisissä egatiivise kasvu, rosetuaalise väheemise kassa. Oletetaa aluksi sellaie teoreettie tilae, että Sari o maksettava kertaa aia vuode loussa a (vaikkaa säästöö omalle tilillee tai elivelkojaa Jaelle, joka taas voi aa rahat säästöö omalle tilillee), ja että kuki vuode loussa ääomaa liitetää % mukaa laskettu vuotuie korko. Halutaa tietää, kuika suureksi summaksi (K) ääoma o vuode aikaa kasvaut. Kysymysasettelut o tieteki muotoiltava äivällee. Lasketaa kulleki a euro maksuerälle eriksee, kuika suureksi erä o vuodessa kasvaut: Viimeie erä, joka siis maksetaa viimeise eli. vuode loussa, ei ehdi kasvaa korkoa laikaa, jote se suuruus o vai elkkä a euroa. Toiseksi viimeie maksuerä ehtii kasvaa korkoa vuode, jote se arvo :e vuode loussa o αa. Kolmaeksi viimeie maksuerä ehtii kasvaa korkoa kaksi vuotta, ja se arvo o tuolloi site aα. Päättelyä äi jatkae todetaa, että kaikkei esimmäie maksuerä ehtii kasvaa korkoa ( ) vuotta ja o s. erääivää arvoltaa a euroa. Ku kaikki maksuerää, joista jokaie o kasvaut korkoa eriituise aja, lasketaa yhtee, saadaa (Jae) tili (ko. aikajakso äättyessä) ääomaksi K a + aα + aα + aα aα (7)

2 a ( + α + α + α α ), sillä oha viimeksi kirjoitetulla rivillä sulkulausekkeessa geometrise joo termie summa, missä esimmäie termi o ykköe, termie lukumäärä ja suhdelukuα. Käytäössä tilae voisi olla vaikka sellaie, että Sari olisi maksettava viisi kl 00 euro suuruisia summia, esimmäie vaikkaa..007, jolloi viimeise maksu äivämäärä o..0. Ku käytäössä usei uhutaa äi muodostuva ääoma K ykyarvosta k elettäessä vuode 007 viimeistä äivää, ii K tarkoittaa..0 Jae tilillä olevaa summaa ja k tarkoittaa sitä kertasummaa, joka itäisi tilille laittaa..007, ja joka sitte kasvaisi K markaksi..0 meessä tilii muutoi koskematta kui lisäämällä korot. Yleisesti rahaa o tilillä korkokautta (esimerkissä tasa eljä vuotta, vaikka Sari viisi erää maksaaki). kα ja Tällöi o K K kα (I) Huom.! O toki mahdollista uhua tuleva ääoma ykyarvosta k vaikkaa , jos kerra Sari juuri tuolloi vetoja hävisi. Tällöi k: esimmäie korkokausi olisi vai 6½ kuukautta. Tuleva ääoma ykyarvosta o edellä uhuttu elettäessä äivää..007, jolloi tilillä oloaika o siis tasa 4 vuotta. Päivämäärissä sikatarkkaa!!! Jos maksatussysteemi o sellaie, että summa maksetaaki jokaise vuode alussa, ii jokaie maksuerä ehtii kasvaa korkoa vuotta itemmä aja, viimeie maksuerä vuode, toiseksi viimeie kaksi vuotta, je. ja esimmäie maksuerä täydet vuotta. Tämä tarkoittaa Sari elivelkataauksessa esimerkiksi sitä, että hä maksaisi Jae tilille esimmäise 00 erä..007, toise..008 ja viidee..0 ja sitte kysyttäisii, mikä o tilitilae..0. Tässä taauksessa kaavaa (I) o oikealle uolelle lisättävä tekijä α (oha jokaie maksuerä ollut vuotta idemmä aja akissa), jolloi (7)

3 aα ( α ) K (II) Esim. 7. Oletetaa, että Sari maksaa Jae tilille viisi 00 euro suuruista summaa vuosittai vuode viimeiseä äivää ja esimmäie maksu o Olkoo tili korko 4%, jolloi vuode 0 viimeiseä äivää Jae tilillä o 5 00 (,04 ) K,04 546,56 euroa yhtälö (I) mukaa. Jos Sari haluaisi maksaa koko summa kertamaksulla vaikkaa juuri..007, ii (,04 ) k 469, α (,04 (,04 ) ja summa olisi sitä ieemi, mitä aiemmi hä maksusa suorittaisi. Kasvaisiha se Jae tilillä korkoa. Edellä saottu edellyttäisi tietysti sitä, että Jae tilitilatee tulisi..0 olla juuri 546..euroa yöristettyä kokoaisii setteihi euro suuruie ääoma kasvaisi siis eljässä vuodessa 4% mukaa 546 euroksi ja setiksi. Huom.! Jos maksut suoritetaaki uolivuosittai (kuukausittai), o kaavoissa korvattava arvolla ½ (/) ja korvattava arvolla (). kt Ku korkolasku kaavaa r sijoitetaa t ½ (vuotta), ii korkoa 0 kasvava summa k arvo uoli vuotta myöhemmi o k ½ K ½ k + k( + ), ja vuodessa uole vuode mittaisia 0 00 korkokausia o kaikkiaa kl. Etää sitte, ku maksut suoritetaa kerra kuussa? Esim. 8. Erja o ostaut lähes uude Mercedes-Bezi ja kauiaa kassa soiut, että maksaisi käsirahaksi keluutetu vaha BMW: lisäksi kolme vuode aja a) 000 /vuosi aia tasavuosie kuluttua kauateosta b) 00 /kk kuki kuukaude loussa. (7)

4 Oletetaa, että Erja soi kauat Samaa iltaa hä taaa uelmiesa rissi, joka koeajaa MB: ja se hyväksi toteaa. Prissi o tieteki rikas ja toteaa, ettei autokauiaille korkoja maksella. Prissi siis käy suorittamassa jäljellä oleva kauahia välittömästi. Kuika suure summa rissi kumaisessaki taauksessa maksoi, jos osamaksukaua korko oli 8% (korkotaso ousee)? Jos Erja olisi joutuut osamaksukierteesee, hä olisi kolmesti maksaut 000 euroa eli , ja Jäljellä oleva osamaksukauasumma ykyarvo saadaa suoraa yhtälöstä (I) eli k α k ja ku a 000, α + α ( 0 000(,08 ).08 ja, ii k 095, ,08 0,08 mk 7 settiä. Rahaa säästyi yli 5000 euroa. Asia syvemmäksi ymmärtämiseksi tilaetta voidaa katsella vielä yksityiskohtaisemmiki. Tiedustellaa siis, mitkä ovat e kolme rahasummaa, a, a ja a, joista 8 % koro mukaa - esimmäie kasvaa kolmessa vuodessa 000 euroksi - toie kasvaa kahdessa vuodessa 000 euroksi ja - kolmas kasvaa vuodessa 000 euroksi. Nyt o 000 aα aα aα a + a + a + + k α α α 000( α + α + ) 000( k 000( + + ). α α α α α ( Sovellutuksissa o tieteki huomattavasti jalomaa ystyä johtamaa laskukaava joka tilateelle eriksee kui käyttää valmiita kaavoja. Kaava johtamistaito osoittaa vakuuttavasti asia kohtalaise syvää ymmärtämistä, mitä taas valmiisee kaavaa sijoittelemie ei välttämättä ole. 4(7)

5 Toisessa vaihtoehdossa Erja iti maksaa 6 kl 00 eriä. Kuukaude mittaisia korkokausia o vuodessa, ja korkotekijä o tällöi 8 t 8 5 α ja korkokausia kolmessa vuodessa kaikkiaa 6 kl. Yhtälö (I) mukaa saadaa k [( ) ) ( ) settiä. Jos laia maksetaa takaisi site, että ääoma lyheys o joka kerta samasuuruie, laia hoito voi alussa olla melko rasittavaa, sillä oha jokaise lyheykse yhteydessä maksettava myös kulloiki jäljellä oleva ääoma korko. Asutolaiat saattavat viedä ottajasa maksukyvy äärirajoille. Jotta maksurasitus olisi laiaajalle tasaisemi, käytetää takaisimaksussa usei auiteettieriaatetta. Vuosittai, useimmite ehkä kuukausittai maksetaa koko laia-aja (ellei korkokata muutu) yhtä suuri maksu, jota saotaa laia auiteetiksi ja laiaa kuoletuslaiaksi. Tähä s. tasaerää sisältyvät sekä jäljellä oleva ääoma korko että lyheys. Heti laia ottamise jälkee lyheys saattaa olla ieemi kui korko ku taas laia-aja louuolella viimeisissä erissä korko o lyheyksee verrattua vähäie. Esim. 9. Oletetaa, että Riikka lähtee oiskelemaa kauukii, jossa vuokraasutotilae o sage huoo. Niiä ostavat Riika (äveriäät) vahemmat oiskelukauugista yksiö ja ottavat tätä varte akista laiaa euroa 5.5% korolla kymmeeksi vuodeksi. Laia sovitaa takaisimaksettavaksi a) kymmeeä yhtä suurea tasaerää vuode välei laia ostamisesta b) 0 yhtä suurea tasaerää kuukausittai. Laske ko. tasaerä suuruus sekä se, c) kuika aljo kumaisessaki taauksessa jouduttii maksamaa korkoa. 5(7)

6 a) Jaetaa laia kymmeee osaa a, a, a,..., a9 ja a, joide summa laia ääoma k. Esimmäie osa a kasvaa korkoa vuode ja se arvo tällöi, siis vuotta myöhemmi laia vuotuismaksu a. Tässä imeomaisessa taauksessa a a. 055 ja yleisesti o a aα, missä α +. 0 Toie osa a ehtii kasvaa korkoa kaksi vuotta, ja se arvo tämä aja kuluttua laia vuotuismaksu a ja toisaalta a yleisesti o voimassa a a α. a. ; 055 Viimeie osa a ehtii kasvaa korkoa korolle vuotta, ja tämä jälkee seki arvo laia vuotuismaksu a Yleisesti o voimassa a a α. O saatu kymmee yhtälöä: a aα a aα a aα a... aα a a a α a a α... a a α Laskemalla yhtee oikeauoleise ryhmä kaikki kymmee yhtälöä saadaa (alaideksei varustetut a-kirjaita yhtee laskie) laia ääoma k a + a a9 + a ) 9 α α α α α + α + α α + α + a ( a. α α ( Ratkaistaa saatu yhtälö a: suhtee, jolloi tullaa yhtälöö (III): 6(7)

7 kα ( a (III) Jos laiaa lyheetää kerra vuodessa, ii 80000,055 (,055 ) a 6,45, settiä. Maksamalla kl lasketu suuruisia eriä Riika vahemmat maksavat akille yhteesä 64., jote he tulevat maksaeeksi korkoa tämä summa ja laia ääoma erotukse verra, suuillee siis ( ) 64 euroa!! b) Jos laiaa lyheetää kuukausittai, o lyheyksiä kaikkiaa kl ja korkotekijä α + + sekä kuukausimaksu akk 868, settiä. Maksamalla 0 kl lasketu suuruisia eriä Riika vahemmat maksavat akille kaikkiaa oi 485, jote akki ettoaa korkoa 485. Kaattaa aa merkille, että maksettaessa tasaerällä kuukausittai maksu ei ole kahdestoista osa koko vuode maksusta. Valitsemalla maksu kerra kuussa säästää koroissa lähes 960 euroa verrattua siihe, että suorittaisi maksu kerra vuodessa. 7(7)