Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto Vuosi Indeksi , ,7. a) Jakamalla 1, ,76 %. c) Jakamalla 0,92802

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802"

Transkriptio

1 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi , ,3 108,3 a) Jakamalla 1, ,1 saadaa iflaatioprosetiksi 4,03 %. 104,1 b) Jakamalla 0,96121 saadaa, että raha arvo laski 108,3 100 % 96,121 % = 3,878 % 3,88 %. c) Merkitää iflaatioproseti määräämää muutoskerroita muuttujalla q. Tapa 1: Käytetää a-kohda tulosta hyväksi, jolloi saadaa 2 q 1, q 1, , Vai positiivie arvo kelpaa, jote keskimääräie vuotuie iflaatioprosetti o oi 1,997 % 2,0 %. Tapa 2: Keskimääräie iflaatioprosetti saadaa yhtälöstä 2 104,1q 108, ,3 q 1, ,1 q 1,040341, Vai positiivie arvo kelpaa, jote keskimääräie vuotuie iflaatioprosetti o oi 1,997 % 2,0 %. Vastaus: a) Koko aikaväli iflaatioprosetti oli 4,03 %. b) Raha arvo oli laskeut 3,88 % tällä aikavälillä. c) Keskimääräie vuotuie iflaatioprosetti tällä aikavälillä oli 2,0 % Vuosi Ideksi , ,7 116,7 a) Jakamalla 1, ,3 7,76 %. saadaa iflaatioprosetiksi oi b) Tällä aikavälillä o 4 vuotta, jote keskimääräie vuotuie iflaatioprosetti saadaa a-kohda avulla 4 q 1,07756 q 4 1,077561,01885 Vai positiivie arvo kelpaa, jote keskimääräie vuotuie iflaatioprosetti o oi 1,89 %. 108,3 c) Jakamalla 0,92802 saadaa, että raha arvo laski 116,7 100 % 92,802 % = 7,197 % 7,2 %. d) Raha arvo keskimääräie lasku vuodessa saadaa c-kohda avulla: q 4 0, ,98149 Vai positiivie arvo kelpaa, jote raha arvo laski vuodessa keskimääri 100 % 98,149 % = 1,850 % 1,85 %. e) Vuosi Ideksi Palkka ( ) , ,7 x (2 052) Lasketaa esi, mikä Mati palkka olisi pitäyt olla vuoa 2012, jotta Mati reaalipalkka olisi pysyyt samaa. Merkitää tätä palkkaa muuttujalla x. KERTOMA 7! MAB7 83

2 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto Reaalipalkka pysyy samaa, jos palkkoje suhde o sama kui ideksie suhde. Palkka o tällöi suoraa verraollie ideksii ja saadaa verrato, josta voidaa ratkaista muuttuja x arvo. x 116, ,3 116,7 x , ,3 (Tai ristii kertomalla) Koska Mati palkka vuoa 2012 oli 2 052, ii Mati reaalipalkka oli kasvaut , = 112, ,39 Määritetää, kuika mota prosettia suurempi Mati palkka oli kui palkka 1 939, ,6121 1, eli Mati reaalipalkka oli oussut oi 5,8 %. Vastaus: a) Vuosie 2008 ja 2012 välie iflaatioprosetti oli 7,76 %. b) Sama ajajakso keskimääräie iflaatioprosetti vuodessa oli 1,89 %. c) Raha arvo oli laskeut 7,2 % tällä aikavälillä. d) Raha arvo keskimääräie laskuprosetti vuodessa oli 1,85 %. e) Mati reaalipalkka oli oussut 5,8 % Merkitää Tuula palkkaa ajajakso alkuhetkellä muuttujalla a. Tällöi Tuula palkka kuude vuode kuluttua oli 1,15a. Merkitää kuluttajahitaideksi arvoa alkuhetkellä vastaavasti muuttujalla b, jolloi se kuude vuode kuluttua oli 1,12b. Ideksi Palkka ( ) b a 1,12b 1,15a Jos Tuula reaalipalkka olisi pysyyt samaa, ii Tuula palkka ajajakso loppuhetkellä olisi ollut 1,12a. Nyt kuiteki Tuula palkka oli 1,15a, jote Tuula reaalipalkka oli oussut. Lasketaa tämä ousu prosetteia eli kuika mota prosettia 1,15a o suurempi kui 1,12a. 1,15 a 1,12 a 1,02678 Reaalipalkka ousi oi 2,68 %. Vastaus: Tuula ostokyky ousi reaalisesti kyseisellä kuude vuode ajajaksolla 2,68 %. 3 Hekilöverotus 205. a) Eakkovero o ,26 = b) Eakkovero o ,26 + ( ) 0,42 = = Vastaus: a) b) KERTOMA 7! MAB7 84

3 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 206. Tulot vuodessa ovat ( ) = Valtio vuode 2014 tuloveroasteiko (kirjassa s. 43) mukaa valtio tuloveroa ei tarvitse maksaa, koska tulot ovat alle vuodessa. Kuallisvero o ,205 = 1 960,62. Nettoasiot ovat ,62 = 7 603,38. Vastaus: Sai ettoasiot vuoa 2014 ovat 7 603, Käytetää peritö- ja lahjaverotaulukoita kirja sivuilla 48 ja 49. Matti joutuu maksamaa peritöveroa 2. veroluoka mukaa eli ( ) 0,2 = Matille jää kätee rahaa = Tämä summa hä lahjoittaa pojallee, joka joutuu maksamaa lahjaveroa 1. veroluoka mukaa eli ( ) 0,10 = Pojalle jää kätee rahaa = Vastaus: Mati poika saa rahaa a) Valtio tuloveroa maksettii tauluko mukaa ( ) 0,235 = b) Espoo kuallisveroa maksettii ,175 = c) Veroja yhteesä maksettii = d) Kokoaisveroprosetti oli 0, ,9 % Vastaus: a) b) c) d) 28,9 % 209. a) Myytivoitto oli = 650. b) Pääomatulovero oli 650 0,30 = 195. c) Kätee jäi = Vastaus: a) 650 b) 195 c) a) Kuukausittaie eakkovero o ,24 = 576. b) Vuosittaie eakkovero o = c) Vuode asiotulo o = Valtio vuode 2014 tuloveroasteiko (kirjassa s. 43) mukaa valtio tulovero o ( ) 0,175 = 1 315,50 d) Kuallisvero o ,185 = e) Yhteelaskettu vero o 1 315, = 6 643,50. f) Koska Tero maksama eakkovero o suurempi, kui todellie maksettavaksi määrätty vero 6 643,50, ii Tero saa veropalautusta ,50 = 268,50 Vastaus: a) Kuukausittaie eakkovero o 576. b) Vuosittaie eakkovero o c) Valtio tulovero o 1 315,50. d) Kuallisvero o e) Yhteelaskettu vero o 6 643,50. f) Veropalautusta tulee 268,50. KERTOMA 7! MAB7 85

4 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 4 Hioittelu ja kustauslasketa 211. Käykä veroto hita o 150, jote verollie myytihita o 150 1,24 = 186. Vastaus: Merkitää verotota hitaa muuttujalla x. x 1, :1, x 892, ,68 ( ) 1, 23 Vastaus: 892,68 Vastaus: a) Verollise myytihia tulee olla 821,20. b) Myytikateprosetti o 19,6 % a) Arvolisäverollie myyti o 600 4,49 = b) Arvolisäveroto myyti o 1, 23 4,49 (Tai ,24 ) 1, ,24. c) Arvolisäveroto kate o 2 190, ,50 = 1 290, ,24 d) Myytikateprosetti o ,9 %. 2190, a) Merkitää verotota hitaa muuttujalla x. x 1, :1, x 532,258 ( ) 1, 24 Jos arvolisäverotota myytikatetta jää 130, ii arvolisäveroto myytihita pitää olla x = 532, = 662,258. Arvolisäverollie myytihita o tällöi 1,24 662,258 = 821,20. Sama voidaa laskea ilma välituloksia: ,24 821,20. 1, 24 b) Myytikateprosetti o ,1962 0,196 19,6 % , , Vastaus: a) b) 2 190,24 c) 1 290,24 d) 58,9 % Arvolisä- Alv veroto , , ,20 1,23 = 25,804 25,80 (tai 0,23 112,195 ) Arvolisäverollie 138 Ostohita Myyti-140,2kate (eli 0,20 140,25 = 112,20 = 28,05 28,05) Myytihita 112,20 140,25 0,8 28,05 0,23 = 6,4515 6,45 172,50 140,25 = 32,25 (tai 0,23 140,25 32,26) 28,05 + 6,45 = 34,50 (tai 1,23 28,05 34,50) ,50 0,8 KERTOMA 7! MAB7 86

5 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 216. a) Peruoide myytiosuus o ,52 = Lattuje myytiosuus o ,12 = 348. Porkkaoide myytiosuus o ,36 = Peruoide myytikate o ,14 = 211,12. Lattuje myytikate o 348 0,28 = 97,44. Porkkaoide myytikate o ,23 = 240,12. b) Kokoaisostohita o ,12 97,44 240,12 = 2 351,32. Vastaus: a) Peruat 211,12, latut 97,44 ja porkkaat 240,12. b) 2 351, a) Veroto hakitahita (koko erä) o ,50 = Veroto myytihita (1 lakki) o 4,92 0,92 = 4,00. Hävikki oli 18 lakkia, jote myytii = lakkia. Veroto myyti (1482 lakkia) o ,00 = Veroto myytikate o = b) Myytikateprosetti o % Vastaus: a) b) 62 % 218. a) Verollie hakitahita o = Veroto hakitahita o , ,76. 1, 23 Verollie myyti o = Veroto myyti o , ,86. 1, 23 Veroto myytikate o , ,76 = 9 756, ,10 b) Myytikateprosetti o % ,86 c) Arvolisävero suuruus o 9 756,10 0,23 = 2 243,90. Vastaus: a) 9 756,10 b) 27 % c) 2 243, a) Veroto myytihita 28 % katteella o 2,8 /kg 3,89 /kg. 0,72 Verollie (alv 13 %) myytihita o 3,89 /kg 1,13 = 4,3957 /kg 4,40 /kg. b) Myyti o 400 kg 60 kg = 340 kg. Häviki osuus o 60 kg 0,176 17,6 %. 340 kg c) Todellie veroto myyti o 3,89 /kg 340 kg = 1 322,60. d) Todellie myytikate o 1 322,60 2,8 /kg 400 kg = 202, ,60 e) Todellie myytikateprosetti o ,3 %. 1322,60 Vastaus: a) Verollie kilohita o 4,40. b) Hävikki o 17,6 % myyistä. c) Todellie veroto myyti o 1 322,60. d) Todellie myytikate o 202,60. e) Todellie myytikateprosetti o 15,3 %. KERTOMA 7! MAB7 87

6 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 5 Korkolasketaa 220. Korkopäiviä o (31 2) = 162 pv. 162 Korko o , , Vastaus: 146, i 199, , 45 i i 0, ,069 6,9 % 221. a) 1.6. lasku päivästä o kuluut aikaa = 10 pv. Laskusta saadaa tällöi siis 2 % aleus, jote o maksettava ,98 = b) o eräpäivästä myöhässä = 5 pv. Maksettava viivästyskorko o ,115 55, , Yhteesä o siis maksettava ,90 = ,90. c) o eräpäivästä myöhässä = 116 pv. Maksettava viivästyskorko o , , , Yhteesä o siis maksettava ,94 = ,94. Vastaus: a) b) ,90 c) ,94 Vastaus: Vuotuie korko oli 6,9 % Merkitää sijoitettavaa summaa k:lla. 10 k 1, k , , 046 Vastaus: O sijoitettava K 5 = ,07 5 =4 908, ,93 Vastaus: Kasvaa 4 908,93 euroksi Lopullie arvo o K 6 = 6 1,4 3 1,6 2 0,3 = 12, ,64. Vastaus: Lopullie arvo o 12, Merkitää sijoitettavaa summaa k:lla. 8 k 1, k 4 384, ,14 8 1, 04 Vastaus: O talletettava 4 384,14. KERTOMA 7! MAB7 88

7 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto q q q 6 1,2202 1,22 Vai positiivie arvo kelpaa, jote vuotuie tuottoprosetti o (1,22 1 = 0,22 =) 22 %. Vastaus: Vuotuie tuotto o 22 % a) Hita laskee vuodessa 2 kertaa ja eljässä vuodessa 4 2 = 8 kertaa. Hita vuoa 2014 o K 8 = 350 0,88 8 = 125, ,87. b) Merkitää hita alussa o a. Ku puhelime saa puolee hitaa, o hita 0,5a. a0,88 0,5 a : a 0,88 0,5 lg 0,88 lg 0,5 lg 0,88 lg 0,5 lg 0,5 5, 422 lg 0,88 Pitää siis odottaa yli 5,422 puoli vuotta eli vuosia 5, ,711 2,8. 2 O odotettava aiaki 2,8 vuotta (3 vuotta). Vastaus: a) Vuode 2014 lopussa maksaa 125,87. b) O odotettava 2,8 vuotta Besalitra hita 20 vuode kuluttua olisi 1,3 1,04 20 = 2,8484 2,85. Vastaus: Besalitra maksaa 2, K 70 = 1 1,30 70 = ,45 Vastaus: Vuoa 2010 maksaa ,45. 6 Jaksolliset suoritukset ja laiat a) Laia lyheys o 833, , b) 1. korko o ,090, maksuerä o 833, = 1 058,33. c) 2. korko o ( ,33) 0,09 0,5 = 187, , maksuerä o 833, ,50 = 1 020,83. d) Viimeisellä maksukerralla laiaa o jäljellä viimeise lyheykse verra 833,33, jote viimeie korko o 833,33 0,09 0,5 = 37, ,50. Viimeie maksuerä o 833, ,50 = 870,83. e) Kaikki korot yhteesä muodostavat aritmeettise summa ,50. Joossa o yhteesä 6 termiä, jote aritmeettie ,50 summa o 6 787,50. 2 KERTOMA 7! MAB7 89

8 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto Voi myös laatia laialaskelma taulukkoo: Maksukerta Laiapääoma ( ) Korko ( ) Lyheys ( ) Hoitomaksu ( ) ,00 225,00 833, , ,67 187,50 833, , ,33 150,00 833,33 983, ,00 112,50 833,33 945, ,67 75,00 833,33 908, ,33 37,50 833,33 870,83 Yhteesä 787,50 Tehtävä 231 (.xls) Vastaus: a) Laia lyheys o 833,33,. b) Esimmäie maksuerä o 1 058,33. c) Toie maksuerä o 1 020,83. d) Viimeie maksuerä o 870,83. e) Korkoje summa o 787, Viimeie sijoitus ei ehdi kasvaa korkoa laikaa ja esimmäie sijoitus kasvaa korkoa korolle 14 vuotta. Saadaa summa viimeie sijoitus 2. sijoitus 1. sijoitus S , , ,20, jossa o 15 termiä. Tämä voidaa laskea geometrisea summaa: 15 a 1(1 q ) , 2 S 28814, ,04 ( ) 1q 11,2 Vastaus: Tilillä o 15 sijoituskerra jälkee rahaa , Merkitää talletettavaa summaa vakiolla k. Talletuste yhteisarvo 30 vuode päästä (esimmäisestä talletuksesta) o viimeie sijoitus 2. sijoitus 1. sijoitus k1, 05 k1, 05 k1, 05, jossa o 30 termiä. Tämä voidaa laskea geometrisea summaa: 30 k 1,051 1, , ,05 k 573, , 39 ( ) 30 1, 05 11, 05 Vastaus: Joka vuosi olisi talletettava 573,39. 8, 4 % 234. Kuukausittaie korko o 0,7 %, jote q = 1, Maksukertoja o 8 12 = ,007 A , , ,82 ( ) 96 11,007 Vastaus: Kuukausittaie tasaerä o 286, Viimeie sijoitus ei ehdi kasvaa korkoa laikaa ja esimmäie sijoitus kasvaa korkoa korolle 14 vuotta. Saadaa summa viimeie sijoitus S , , ,12, jossa o 8 termiä. Tämä voidaa laskea geometrisea summaa: 8 a 1(1 q ) ,12 S 61498, ,47 ( ) 1q 11,12 2. sijoitus 1. sijoitus 6 7 Vastaus: Bisesmiehellä o 8 sijoitukse jälkee rahaa ,47. KERTOMA 7! MAB7 90

9 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 7 Ivestoitilaskelmia 236. (Tietokoeella tai kokeilemalla) a) Vuotuie ettotuotto o = 700, jote sisäie korkokata ratkeaa yhtälöstä q q. 1 q Tästä saadaa kokeilemalla q = 1,33, jote sisäie korkokata o r = 33 %. Tietokoeella laskemalla saadaa r = 32,9753 % 33 %. Vastaus: 33 % b) Sisäie korkokata ratkeaa yhtälöstä q q. 1 q Tästä saadaa kokeilemalla q = 0,975, jote sisäie korkokata o r = 2,5 %. Tietokoeella laskemalla saadaa r = 2,4666 % 2,5 %. Vastaus: 2,5 % Tehtävä 236 (.xls) 237. Ks. Esimerkki 3 ja 4 s ykyarvomeetelmä. Vuotuiset ettotuotot ovat 1. vuosi = vuosi = vuosi = vuosi = vuosi = Tuottoje ykyarvoksi saadaa , , , 08 1,08 1,08 1, , 48 ( ). Koska hakitakustaus o suurempi kui tuottoje ykyarvo, ii ivestoiista jää tappiolle ,48 = 2 276,52 ja ivestoiti ei siis ole kaattava. Vastaus: Ivestoiti ei ole kaattava, tuottaa 2 276, Ks. Esimerkki 5 s. 112 auiteettimeetelmä. Hakitameo o ja vuotuiset kustaukset ovat Käyttöikä o 7 vuotta ja jääösarvo o 0. Rahoituskorkokata o 8 %. Merkitää vuosituottoa muuttujalla a 1. Lasketaa, mikä vuosituoto pitää olla, jotta se tuottaa 7 vuodessa hakitakustaukset ja korot. Vuosittaie auiteetti hakitameosta saadaa yhtälöstä 7 a1 11, ,08 11, ,08 11,08 a , ,43 ( ). 7 11,08 Vuotuiste bruttotuottoje o oltava vähitää , (vuotuiset kustaukset) = ,43. Vastaus: Vuotuise bruttotuoto pitää olla vähitää ,43. KERTOMA 7! MAB7 91

10 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 239. Ks. Esimerkki 6 s. 113 sisäise korkokaa meetelmä. Meot ja tulot ovat ivestoii lopussa yhtä suuret. Merkitää sisäise koro korkokerroita muuttujalla q q Tuloje lopussa ( ) pitää olla yhtä suuret kui meot 1 q lopussa (85000 q 10 ), jote saadaa yhtälö, josta sisäie korkokata ratkeaa (kokeilemalla) q q 1 q Kokeilemalla (tai tietokoeella) saadaa q 1,12, jote sisäie korkokata o r = 1,12 1 = 0,12 = 12 %. Vastaus: Sisäie korkokata o oi 12 % Ks. Esimerkki 8 s takaisimaksumeetelmä. Meoje ja tuloje o ivestoii lopussa oltava yhtä suuret. Saadaa yhtälö, josta ratkaistaa muuttuja arvo , 08 11, , , 08 0, ,08 ( 0,08) , ,08 ( 0,08) , ,08 0, , ,08 0,08 0 1, 08 (120000, ) , , , ,08 2,777 log1,08 log 2,777 log1,08 log 2,777 log 2,777 13,274 13, 3 log1,08 Vastaus: Aikaa kuluu 13,3 vuotta. KERTOMA 7! MAB7 92

11 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto PIKAOSIO 1. Talletuspäivää ei lasketa, jote maaliskuussa korkopäiviä ovat eli 8 päivää. Lokakuussa korkopäiviä ovat eli 10 päivää. Korkopäiviä o yhteesä = Keskimääräie muutos vuodessa saadaa ekspoetiaalise malli avulla: 3 3 1,0140,9851,023 1, , , siis keskimääri +0,72 % vuodessa. 3. EUR JPY 1 135,205 x 1 Valuutat ovat suoraa verraolliset, jote saadaa verratoyhtälö, joka voidaa ratkaista ristii kertomalla ,205 x 1 135,205x 1 1 x 0, , ,205 1 EUR = 135,205 JPY ja 1 JPY = 0,007 EUR Yksi jei o siis oi 0,7 st eli alle 1 seti. Vastaus: Yksi jei o 0, Viivästyskorko o tällöi 30 r kit 7000,08 4,666 4,67 ( ) Olkoo vuoa 2008 tuottee hita H. Vuosi Ideksi Hita , ,3 H Saadaa verratoyhtälö H 115, , 2 115,3 H , ,2 Tuottee hita vuoa 2008 oli 542, Arvolisävero osuus oli 4,50 4,13 = 0,37. 0,37 Prosetteia se o 0, ,0 %. 4,13 7. Vaihtolaitos myy Norja kruuut, jote käytetää myytikurssia eli 1 EUR = 8,43155 NOK. Merkitää Norja kruuuje määrää muuttujalla x. Muodostetaa verratoyhtälö, josta ratkaistaa muuttuja x arvo ristii kertomalla. 1 8, x x 2008, , 31 Vastaus: Norja kruuuja saa 1 686,31. KERTOMA 7! MAB7 93 PIKAOSIO

12 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 8. Merkitää muutoskerroita q:lla, jolloi saadaa yhtälö q 2500 : q 1, q 1, 25 1, Vai positiivie arvo kelpaa, jote vuotuie etto korko. 5,7 %. 9. Koska hiat laskivat 5,2 %, ii vastaava muutoskerroi o 0,948. Raha arvo muutos o tälle kääteie, jote raha arvo muutoskerroi o 1 1, ,948 Vastaus: Raha arvo ousi. 5,5 %. 10. a) Maksukertoje lukumäärä o = = 120. Lyheys o L Seitsemä vuode kuluttua o laiaa lyheetty 7 12 = 84 kertaa. Jäljellä oleva laia määrä o tällöi = Vastaus: Laiaa o jäljellä 7 vuode kuluttua , 4 % b) Kuukausikorko o 0,2 %, jote korkotekijä o q = 1, ,002 A , , ,61( ) ,002 Vastaus: Tasaerälaiassa auiteeti eli tasaerä suuruus o 506,61. KERTOMA 7! MAB7 94 PIKAOSIO

13 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto HARJOITUSKOE 1 1. a) Merkitää x = veroto hita. Tällöi 0, 24x 7,68 7,68 x 32. 0,24 Verollie hita o 32 7,68 39,68. Vastaus: Veroto hita o 32 ja verollie 39,68. b) Outi myi pakille jeit ja pakki osti e, jote käytetää seteli ostokurssia eli 1 = 145,32 JPY Merkitää euroje määrää muuttujalla x ja taulukoidaa tiedot. EUR JPY 1 145,32 x Valuutat ovat suoraa verraolliset, jote saadaa verratoyhtälö, joka voidaa ratkaista ristii kertomalla ,32 x ,32x x 137, ,63 145, JPY = 137,627 EUR Tästä summasta pakki peri 2 euro välityspalkkio, jote Outi sai rahaa 137,63 2 = 135,63. Vastaus: Outi sai 135,63 euroa. 2. a) Nettokorkokata o 0,70 3,2 % = 2,24 %. Ratkaistaa pääoma k. kit = r 200 k 0, k 4, : 4,48 k 1607, ,14 ( ) Vastaus: Pääoma 1 607,14 euroa tuottaa korkoa 20 euroa. b) Nettokorkokata o 0,72 4 % = 2,88 %, jote q = 1,0288. Merkitää kysyttyä aikaa (vuosia) :llä. Lisäksi K = 100 ja K = 200. Saadaa yhtälö, josta ratkaistaa muuttuja arvo logaritmeilla. Kq K 1001, : 100 1, lg lg1,0288 lg 2 lg1,0288 lg 2 : lg1,0432 lg 2 24, (vuotta) lg1,0288 Vastaus: 100 kaksikertaistuu 25 vuodessa. 3. a) Palkka o suurempi kui tuloraja. Perusproseti 26,0 % mukaa pidätetää veroa eurosta. Lisäproseti 40,0 % mukaa pidätetää veroa ylimeevästä osasta. Veroa meee yhteesä 0, , ,92 63, ,12. Kätee jää rahaa ,12 = 2 789,88. Vastaus: Satu sai palkkaa eakkovero pidätykse jälkee kätee 2 789,88 euroa. KERTOMA 7! MAB7 95 HARJOITUSKOE 1

14 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 4. b) Valtio verotus o ( ) 0,175 = ,25 = 1 660,25. Mikkeli kuallisveroprosetti vuoa 2014 oli 20,00, jote Simo maksoi kuallisveroa 0, = Simo maksoi kirkollisveroa 0, = 461,55. Verot yhteesä ovat 1 660, ,55 = 8 275,80 Maksetut eakot 8 525, eli Simo saa veropalautusta ,80 = 249,20. Vastaus: Simo maksoi veroja yhteesä 8 275,80 ja sai veropalautusta 249,20. Vuosi Ideksi , ,4 118,4 a) Jakamalla 1,0793 saadaa iflaatioprosetiksi oi 109,7 7,9 % koko kolme vuode ajajaksoa. b) Tällä aikavälillä o 3 vuotta, jote keskimääräie vuotuie iflaatioprosetti saadaa a-kohda avulla. 3 q 1,0793 q 3 1,07931,0257 Keskimääräie vuotuie iflaatioprosetti o oi 2,6 %. 109,7 c) Jakamalla 0,9265 saadaa, että raha arvo laski 118,4 100 % 92,65 % = 7,347 % 7,3 %. d) Vuosi Ideksi Palkka ( ) , ,4 x (2 380) Lasketaa esi, mikä Olli palkka olisi pitäyt olla vuoa 2013, jotta Olli reaalipalkka olisi pysyyt samaa. Merkitää tätä palkkaa muuttujalla x. Reaalipalkka pysyy samaa, jos palkkoje suhde o sama kui ideksie suhde. Palkka o tällöi suoraa verraollie ideksii, ja saadaa verrato, josta voidaa ratkaista muuttuja x arvo. x 118, ,7 118,4 x , ,7 (Tai ristii kertomalla) Koska Olli palkka vuoa 2013 oli 2 380, ii Olli reaalipalkka oli kasvaut. Määritetää, kuika mota prosettia suurempi Olli palkka oli kui palkka 2298, ,03526 eli Olli reaalipalkka oli oussut oi 3,5 %. 2298,924 Vastaus: a) Vuosie 2010 ja 2013 välie iflaatioprosetti oli 7,9 %. b) Sama ajajakso keskimääräie iflaatioprosetti vuodessa oli 2,6 %. c) Raha arvo oli laskeut 7,3 % tällä aikavälillä. d) Olli reaalipalkka oli oussut 3,5 %. KERTOMA 7! MAB7 96 HARJOITUSKOE 1

15 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 5. A-tarjoukse ykyarvo o , ,10-4 = ,221 B-tarjoukse ykyarvo o , ,10-2 = ,743 C -tarjoukse ykyarvo o Vastaus: Myyjälle o edullisi tarjous C, koska se ykyarvo o suuri. 6. a) Tasalyheyslaia Maksukerta Laiapääoma ( ) Korko ( ) Lyheys ( ) Hoitomaksu ( ) ,00 189, , , ,00 157, , , ,00 126, , , ,00 94, , , ,00 63, , , ,00 31, , ,50 Yhteesä 661, , ,50 b) Käsi tehty laskelma: 1 q 6 11,021 AKq 90001, , ,16 6 1q 11,021 1 Esimmäie korko o , Auiteettilaia Maksukerta Laiapääoma ( ) Korko ( ) Lyheys ( ) Hoitomaksu ( ) ,00 189, , , ,84 159, , , ,79 128, , , ,23 97, , , ,51 65, , , ,99 33, , ,16 Yhteesä 672, , ,96 Excelillä tehty laskelma: Auiteettilaia Maksukerta Laiapääoma ( ) Korko ( ) Lyheys ( ) Hoitomaksu ( ) ,00 189, , , ,84 159, , , ,80 128, , , ,24 97, , , ,52 65, , , ,00 33, , ,16 Yhteesä 672, , ,95 Tehtävä 6 (.xls) 7. Tili ettokorkokata 1,2 %, jote i = 0,012 ja q = 1,012. Tarkastellaa esimmäise vuode talletuksia. Koko vuode korot ovat r 50,012 50, , , ,012 0,39 ( ) (Tai aritmeettisella summakaavalla.) Tilillä o rahaa vuode kuluttua 125 0,39 60,39. Kaikki eri vuosie talletukset ovat 60,39. Nämä kasvavat korkoa korolle eri vuosie määrä. Tilillä o rahaa 20 vuode kuluttua 19 S 60,39 60,391, ,391,012. Tämä voidaa laskea geometriseä summaa, missä a 1 =60,39, q = 1,012 ja = ,39 (11,012 ) S , , 93 ( ) 11,012 Vastaus: Tilillä o 20 vuode kuluttua 1 355,93 euroa. KERTOMA 7! MAB7 97 HARJOITUSKOE 1

16 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto HARJOITUSKOE 2 1. a) K = ,04 = (Tai K kr , b) K kr ,060,5 154,50 c) K kr 380 kk0, ,035k 380 k 367, ,15 1, 035 (Tai suoraa 1,035k = 380.) 2. Lasketaa peritövero määrä: ( ) 0, Vastaus: Peritöveroa meee euroa. 3. Muutetaa 200 puiksi (x): x 0,82 x 2000, ( ) Jäljelle jää Muutetaa 64 putaa euroiksi (y): y ,85 0,85y y 75, ,29 ( ) 0,85 4. a) Veroto hita o 40, jote alv o 40 0,24 9,60 ja verollie myytihita o 40 9,60 49,60 (tai 40 1,24 = 49,60). Vastaus: Arvolisävero o 9,60 ja myytihita 49,60. b) Merkitää verotota hitaa muuttujalla x. 1,24x x 52, , 42 1, 24 Arvolisävero o 65 52, 42 12,58 (tai 52,419 0,24 12,58). Vastaus: Arvolisävero o 12,58 ja veroto hita 52,42. 3,6 5. a) Kuukausikorko o 0,3 %, jote korkotekijä o q = 1, Maksukertoja o = 240 kpl ,003 A , , ,13 ( ) ,003 b) 702, kk = , , , = ,10 Vastaus: a) Kuukausittaie tasaerä o 702,13. b) Pekka maksaa korkoja yhteesä ,10. Vastaus: Timo saa pakista 75,29 euroa. KERTOMA 7! MAB7 98 HARJOITUSKOE 2

17 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 6. Hakitameo o ja vuotuiset kustaukset ovat Käyttöikä o 6 vuotta ja jääösarvo o 0. Korkokata o 8 %. Merkitää vuosituottoa muuttujalla a 1. Lasketaa, mikä pitää olla vuosituoto, jotta se 6 vuodessa tuottaa hakitakustaukset ja korot. Vuosittaie auiteetti hakitameosta saadaa yhtälöstä: 6 a1 11, ,08 11, ,08 11,08 a1 5407, ,88 ( ) 6 11,08 Vuotuiste bruttotuottoje o oltava vähitää 5 407, = ,88. Vastaus: Vuotuise bruttotuoto pitää olla vähitää ,88 euroa. KERTOMA 7! MAB7 99 HARJOITUSKOE 2

18 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto HARJOITUSKOE 3 1. a) Palkka yt o vuodessa. Palkka viide vuode päästä o = b) Palkka 5 vuode päästä tulisi olla ,015 5 = 3 231, ,85 ( ). c) Iflaatio mukaa laskettu palkka olisi ,015 = ( ). Palkka todellisuudessa o kuiteki = Reaalipalkka o laskeut = 5 ( ). 5 Reaalipalka lasku o prosetteia 0, ,16 % (Tai 0,9983 eli laskeut. 0,16 % ) 3045 Vastaus: a) b) 3 231,85 c) Reaalipalkka laskee 0,16 %. 2. a) Kuukaudessa hä maksaa eakkoveroja ,23 + ( ) 0,41 = 616 euroa. Vuodessa hä maksaa eakkoveroja = ( ). b) Vuode tulot ovat = Valtio tulovero o ( ) 0,175 = 1 735,50 euroa. (ks. taulukko s. 154) c) Kuallisvero o ,18 = euroa. d) Häe pitäisi maksaa veroja yhteesä 1 735, = 7 351,50 euroa. Hä o vuodessa maksaut eakkoveroja vaa euroa, jote hä saa veropalautusta ,50 = 40,50. Vastaus: a) b) 1 735,50 c) d) Veropalautusta 40, a) Veroto hakitahita o = ( ). Veroto myyti o , ,05 ( ). 1, 23 Veroto myytikate o , = 5 878,05 ( ). b) Veroto myyti o 6000, ,5920, , ,34 ( ). 1,23 1, 23 Veroto myytikate o , = 853,66 ( ). c) Myyi pitäisi olla = ( ). Tällöi veroto myytihita o , ,67 ( ). 600 Verollie myytihita olisi silloi 81,67 1,23 = 100, ,45 ( ). Vastaus: a) 5 878,05 b) 853,66 c) 100,45 4. a) K 4 = ,035 4 = 2 868,81 ( ) b) K 8 = 600 0,93 8 = 335,75 ( ) c) 10 k 1, k 2791, ,97 ( ) 10 1, 06 d) q q q 5 14 q 5 1,1218 1,122 Korko o 1,122 1 = 0,122 = 12,2 %. Vastaus: a) 2 868,81 b) 335,75 c) 2 791,97 d) 12,2 % KERTOMA 7! MAB7 100 HARJOITUSKOE 3

19 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 5. a) Lyheys o b) 1. korko o , ,50 ( ) maksuerä suuruus o ,50 = 577,50 ( ). c) Laiaa o viimeisellä maksukerralla jäljellä Viimeie korko o 3750,054 1,6875 1,69 ( ). 12 Viimeie maksuerä o ,69 = 376,69. d) Kuukausikorko o 5, 4 % 0, 45 %. 12 Auiteeti suuruus o ,0045 A , ,14 ( ) ,0045 Vastaus: a) 375 b) 577,50 c) 376,69 d) A = 486,14 6. Merkitää hakitahitaa muuttujalla S. Meoje ja tuloje o oltava yhtä suuret, jote saadaa ,07 8 S1, 07 11, ,07 S , ,97 ( ). 8 1, 07 11, 07 Vastaus: Yritykse kaattaa maksaa korkeitaa ,97 euroa. KERTOMA 7! MAB7 101 HARJOITUSKOE 3

6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 %

6 Kertausosa. 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % 6 Kertausosa 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % Osakkeen arvo vuoden lopussa 1,289 0,957 12,63 = 15,580... 15,58 b) Indeksin muutos: 6500 1,1304...

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT OPETTAJAN MATERIAALI

TEHTÄVIEN RATKAISUT OPETTAJAN MATERIAALI TEHTÄVIEN RATKAISUT OPETTAJAN MATERIAALI Sisällysluettelo 1 Prosettilasketa ja verotus 3 Prosettilasketa 3 Verotus 18 2 Hiat ja raha arvo 23 Ideksit 23 Euro ja muut valuutat 39 3 Laiat ja talletukset 52

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla. Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä

Lisätiedot

3 Lainat ja talletukset

3 Lainat ja talletukset 3 Laiat ja talletukset Korkolasku 17. 0,8 3 = 64,96 ( Lähdevero määrä pyöristetää alaspäi täysii kymmeii setteihi. Lähdeveroa peritää 64,90. 173. 0,05 1 6 = 40,5 ( a 0,8 40,5 = 11,7 ( Lähdeveroa peritää

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 Vaasa yliopisto, kevät 206 Talousmatematiika perusteet, ORMS030 5. harjoitus, viikko 7 5. 9.2.206 R ma 0 2 F455 R5 ti 0 2 F9 R2 ma 4 6 F455 R6 to 2 4 F455 R3 ti 08 0 F455 R7 pe 08 0 F455 R4 ti 2 4 F455

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Harjoitustehtävien ratkaisuja 3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,

Lisätiedot

Prosenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g?

Prosenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g? PERUSPROSENTTILASKUT Prosenttiarvon laskeminen Esimerkki. Kuinka paljon pitsapala painaa, kun koko pitsa painaa 350 g? Kuinka paljon 12 % on 350 grammasta? 350 g 12 % % g 12 x 100 350 12 x 100 350 100

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 Vaasa yliopisto, kevät 04 Talousmatematiika perusteet, ORMS030 6. harjoitus, viikko 0 3. 7.3.04 R ma 0 D5 R5 ti 4 6 C09 R ma 4 6 D5 R6 to 4 C09 R3 ti 08 0 D5 R7 pe 08 0 D5 R4 ti 4 C09 R8 pe 0 D5. Laske

Lisätiedot

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 kevät 2017 Talousmatematiika perusteet, ORMS1030 Opettaja: Matti Laaksoe A1. välikoe torstaia 16.2.2017 A Ratkaise 3 tehtävää. Kokeessa saa olla mukaa laski ja taulukkokirja (MAOL tai vastaava). Ku teet

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen

Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen Luennon sisältö Prosenttilaskennan kertausta Korkolaskentaa Käsitteitä Koron lisäys kerran

Lisätiedot

2.1 Kertaus prosenttilaskennasta

2.1 Kertaus prosenttilaskennasta Verotus 2.1 Kertaus prosenttilaskennasta 1. Alennukset yhteensä 1500 + 800 = 2300 Alennusprosentti 2300 0,184 18,4% 12500 Vastaus: Alennus 18,4 % 2. Reetun alennusprosentti: 99,90 0,8649... 115,50 alennusprosentti100%

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu

811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu 83A Tietoraketeet ja algoritmit 06-07, Harjoitus ratkaisu Harjoitukse aiheea o algoritmie oikeellisuus. Tehtävä. Kahvipurkkiogelma. Kahvipurkissa P o valkoisia ja mustia kahvipapuja, yhteesä vähitää kaksi

Lisätiedot

Vaihdettavat valuutat klo 15.30

Vaihdettavat valuutat klo 15.30 HAAGA-HELIA HARJOITUS 4/Ratkaisut s. / 6 Liike-elämän matematiikka Syksy 20 Käytä tehtävissä tarvittaessa alla olevia valuuttakursseja. Kurssit ilmaisevat yhden euron arvon kyseisessä valuuttayksikössä.

Lisätiedot

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy

Lisätiedot

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p MAA9 Koe.5.0 Jussi Tyi Tee koseptii pisteytysruudukko! Muista kirjata imesi ja ryhmäsi. Valitse kuusi tehtävää!. a) Ratkaise yhtälö si x. Ilmoita vastaus radiaaeia! b) Määritä paljoko o cos. Ilmoita tarkka

Lisätiedot

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia?

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) Kysymys Mite mitata raha arvo muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) o sovittu kulutustavaroide ja palveluide hitakehitykse mittari. KHI muodostetaa paiotettua keskiarvoa eri pääryhmie

Lisätiedot

Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 1/2008, Ratkaisu Yleistä: Laskarit tiistaisin klo luokassa U352.

Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 1/2008, Ratkaisu Yleistä: Laskarit tiistaisin klo luokassa U352. Yleistä: Laskarit tiistaisin klo 14-16 luokassa U352. Kysyttävää laskareista yms. jussi.kangaspunta@tkk. tai huone U230. Aluksi hieman teoriaa: Kassavirran x = (x 0, x 1,..., x n ) nykyarvo P x (r), kun

Lisätiedot

3 10 ei ole rationaaliluku.

3 10 ei ole rationaaliluku. Harjoitukset / 011 RATKAISUT Lukuteoria 1. Etsi Eratostheee seulalla samatie kaikki lukua 400 pieemmät alkuluvut. (Tai ohjelmoi tietokoeesi etsimää paljo lisää.) Kirjoita rivii kaikki luvut 1-00. Poista

Lisätiedot

Suomen verotus selkeästi

Suomen verotus selkeästi Suomen verotus selkeästi Avainsanat Vero: pakollinen maksu, jonka valtio kerää yhteiskunnan palveluita varten Veroprosentti: osuus, jonka työnantaja ottaa palkasta ja välittää Verohallinnolle Verohallinto:

Lisätiedot

Talousmatematiikka (3 op)

Talousmatematiikka (3 op) Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Talousmatematiikka 2011 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa

Lisätiedot

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,

Lisätiedot

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1 Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Harjoitustehtävien ratkaisuja 3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,

Lisätiedot

MAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 2016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä.

MAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 2016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä. MAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä. 3 1 3 ja 1. Laske lukujen 4 summa b. erotus c. tulo d. osamäärä e. käänteislukujen

Lisätiedot

Induktio, jonot ja summat

Induktio, jonot ja summat Induktio, jonot ja summat Matemaattinen induktio on erittäin hyödyllinen todistusmenetelmä, jota sovelletaan laajasti. Sitä verrataan usein dominoefektiin eli ketjureaktioon, jossa ensimmäisen dominopalikka

Lisätiedot

797 E. matematiikka. Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

797 E. matematiikka. Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 797 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava 24 Ongelmanratkaisu yhtälön avulla Yhtälön

Lisätiedot

HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN

HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN S-08-0 OPTIIKKA /6 HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN Laboratoriotyö S-08-0 OPTIIKKA /6 Sisällysluettelo Teoria... 3 Työ suoritus... 4. Kokoaisheijastus... 4. Brewsteri kulma... 5 3 Mittauspöytäkirja... 6 S-08-0

Lisätiedot

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE.6.016: Mallivastaukset Sivunumerot mallivastauksissa viittaavat pääsykoekirjan [Matti Pohjola, Taloustieteen oppikirja, 014] sivuihin. (1) (a) Julkisten menojen kerroin (suljetun

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, , Harjoitus 3, Ratkaisu

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, , Harjoitus 3, Ratkaisu 111A Tietoraketeet ja algoritmit, 016-017, Harjoitus, Ratkaisu Harjoitukse aiheita ovat algoritmie aikakompleksisuus ja lajittelualgoritmit Tehtävä.1 Selvitä seuraavie rekursioyhtälöide ratkaisuje kompleksisuusluokat

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1. TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.

Lisätiedot

Aihe: Yhtälön käyttö soveltamisessa ja ongelmanratkaisussa

Aihe: Yhtälön käyttö soveltamisessa ja ongelmanratkaisussa Harjoituksia 9 Aihe: Yhtälön käyttö soveltamisessa ja ongelmanratkaisussa 1. Kirjoita yhtälö ja ratkaise x. a) lukujen x ja 6 summa on yhtä suuri kuin lukujen x ja 4 tulo. b) Kun luku x kerrotaan kolmella

Lisätiedot

Verotusmenettelyjen uudistus laajenee ennakonkantoon

Verotusmenettelyjen uudistus laajenee ennakonkantoon Verotusmenettelyjen uudistus laajenee ennakonkantoon Ennakonkanto Uusia säännöksiä sovellettaisiin ensimmäisen kerran yhteisön verovuodelta 2017 toimitettavassa verotuksessa, ja ennakon määräämistä koskevia

Lisätiedot

Toimitettaessa verotusta vuodelta 2004 voidaan todeta, että yhtiön kirjanpidon mukainen voitto on 250 000 i. Lisäksi todetaan seuraavaa:

Toimitettaessa verotusta vuodelta 2004 voidaan todeta, että yhtiön kirjanpidon mukainen voitto on 250 000 i. Lisäksi todetaan seuraavaa: OIKEUSTIETEELLINEN TIEDEKUNTA FINANSSIOIKEUS Julkisoikeuden laitos Aineopinnot OTK, ON täydennystentti 2.12.2004 Vastaukset kysymyksiin 1, 2, 3a ja 3b eri arkeille. Kysymykseen 4 vastataan erilliselle

Lisätiedot

HE 174/1995 vp ESITYKSEN PÄÄASIALLINEN SISÄLTÖ PERUSTELUT

HE 174/1995 vp ESITYKSEN PÄÄASIALLINEN SISÄLTÖ PERUSTELUT HE 174/1995 vp Hallituksen esitys Eduskunnalle laeiksi palkkaturvalain 2 ja :n sekä merimiesten palkkaturvalain 2 ja :n muuttamisesta ESITYKSEN PÄÄASIALLINEN SISÄLTÖ Esityksessä ehdotetaan muutettavaksi

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua) Algebra I Matematiika ja tilastotietee laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksii 5 (6 sivua) 14.2. 17.2.2011 1. Määritellää kuvaus f : S 3 S 3, f(α) = (123) α. Osoita, että f o bijektio. Mikä o se kääteiskuvaukse

Lisätiedot

Markov-ketjun hetkittäinen käyttäytyminen

Markov-ketjun hetkittäinen käyttäytyminen Matematiika ja systeemiaalyysi laitos B Markov-ketju hetkittäie käyttäytymie Tämä harjoitukse tavoitteea o oppia muodostamaa Markov-malleja satuaisilmiöille, piirtämää tiettyä siirtymämatriisia vastaava

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

R S T R S. Yhdeksäs termi a. Vastaus: Yhdeksäs termi on 99.

R S T R S. Yhdeksäs termi a. Vastaus: Yhdeksäs termi on 99. 9. Aritmeettise lukujoo yleie termi a = a + ( ) d Erotusluku a = a + ( ) d a = 7, a = 7, = 7 = 7 + ( ) d 0d = 90 :0 d = 9 Yhdeksäs termi a 9 = 7 + (9 ) 9 = 99 Vastaus: Yhdeksäs termi o 99. 0. Lukujoo rekursiivie

Lisätiedot

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on 4 4 KORKEAAN KERTAUVUN INEAARISET DIFFERENTIAAIYHTÄÖT Kertalukua olevassa differetiaalihtälössä F(x,,,, () ) = 0 esiit :e kertaluvu derivaatta () = d /dx ja mahdollisesti alempia derivaattoja, :tä ja x:ää.

Lisätiedot

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2. Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja 1. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x + 1. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x

Lisätiedot

Alkuräjähdysteoria. Kutistetaan vähän...tuodaan maailmankaikkeus torille. September 30, fy1203.notebook. syys 27 16:46.

Alkuräjähdysteoria. Kutistetaan vähän...tuodaan maailmankaikkeus torille. September 30, fy1203.notebook. syys 27 16:46. Alkuräjähdysteoria Maailmakaikkeude umerot Ikä: 14. 10 9 a Läpimitta: 10 26 m = 10 000 000 000 valovuotta Tähtiä: Aiaki 10 24 kpl Massaa: 10 60 kg Atomeja: 10 90 kpl (valtaosa vetyä ja heliumia) syys 27

Lisätiedot

KONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT

KONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT KONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT 1 6/2016 1 6/2015 1 12/2015 Liikevaihto, 1000 EUR 10 370 17 218 27 442 Liikevoitto ( tappio), 1000 EUR 647 5 205 6 471 Liikevoitto, % liikevaihdosta 6,2 % 30,2 % 23,6 %

Lisätiedot

Nyt ensimmäisenä periodina (ei makseta kuponkia) odotettu arvo on: 1 (qv (1, 1) + (1 q)v (0, 1)) V (s, T ) = C + F

Nyt ensimmäisenä periodina (ei makseta kuponkia) odotettu arvo on: 1 (qv (1, 1) + (1 q)v (0, 1)) V (s, T ) = C + F Mat-2.34 Investointiteoria Laskuharjoitus 2/2008, Ratkaisut 29.04.2008 Binomihilan avulla voidaan laskea T vuoden ja tietyn kupongin sisältävän joukkovelkakirjan arvo eli hinta rekursiivisesti vaihtelevan

Lisätiedot

Eräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n.

Eräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n. POHDIN projekti Neliöide summa Lukujoo : esimmäise jäsee summa kirjoitetaa tavallisesti muotoo S ai i 1. Aritmeettisesta lukujoosta ja geometrisesta lukujoosta muodostetut summat voidaa johtaa varsi helposti.

Lisätiedot

117 = 27 + (11 1) d = 90 :10. Yhdeksäs termi a. Vastaus: Yhdeksäs jäsen on 99.

117 = 27 + (11 1) d = 90 :10. Yhdeksäs termi a. Vastaus: Yhdeksäs jäsen on 99. a = a+ ( ) d a = 7, a = 7, = 7 = 7 + ( ) d 0d = 90 :0 d = 9 Yhdeksäs termi a 9 = 7 + (9 ) 9 = 99 Vastaus: Yhdeksäs jäse o 99. 0. Aritmeettisesta lukujoosta tiedetää, että S =. Mikä o lukujoo 7. ja :s jäse?

Lisätiedot

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04

Lisätiedot

KONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT

KONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT KONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT 07-12/2016 7-12/2015 1-12/2016 1-12/2015 Liikevaihto, 1000 EUR 9 743 10 223 20 113 27 442 Käyttökate, 1000 EUR 1672 1563 2750 6935 Käyttökate, % liikevaihdosta 17,2 % 15,3

Lisätiedot

AHJOS & KUMPPANIT OY (6) TASEKIRJA

AHJOS & KUMPPANIT OY (6) TASEKIRJA AHJOS & KUMPPANIT OY 31.12.2009 1 (6) TASEKIRJA Sisältö: Sivu: Tuloslaskelma 2 Tase 3 Liitetiedot 4 Kirjanpitoasiakirjat 6 Voiton käyttöä koskeva esitys 6 Allekirjoitus 6 AHJOS & KUMPPANIT OY 31.12.2009

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi Calculus Lukio 8 MAA Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi

Lisätiedot

BRONEX SOFTWARE OY , 15:07:25, Sivu 1. Lähtö. Ehdotus A TULOT OSAKKAALLE KÄTEEN (1000 )

BRONEX SOFTWARE OY , 15:07:25, Sivu 1. Lähtö. Ehdotus A TULOT OSAKKAALLE KÄTEEN (1000 ) EHDOTUSLASKELMA, Verovuosi 2014 Nimi: Erkki Esimerkki Jakopohjana oleva nettovarallisuus: 100000.00 113.5 +3.2 D KUSTANNUKSET YHTIÖLLE (1000 ) 108.7-1.6 103.9-6.4 99.1-11.2 B Lähtö Ehdotus C 94.3-16.0

Lisätiedot

DANSKE BANK OYJ:N OSAKETALLETUS 6/2013

DANSKE BANK OYJ:N OSAKETALLETUS 6/2013 Danske Bank Oyj, www.danskebank.fi DANSKE BANK OYJ:N OSAKETALLETUS 6/2013 Tietoa Osaketalletuksesta: Talletuksen vastaanottaja: Danske Bank Oyj OSAKETALLETUS 6/2013 Osaketalletus 6/2013 kohde-etuudeksi

Lisätiedot

YRITYS JA VEROT. Yritystoiminta Pia Niuta

YRITYS JA VEROT. Yritystoiminta Pia Niuta YRITYS JA VEROT Verohallinto Yritystoimintaan liittyvät rekisteröintitoimenpiteet (verohallinto) Toiminnan aloittaminen Muutokset toiminnassa Toiminnan lopettaminen Ennakkoperintärekisteri Ennakkoverotus

Lisätiedot

Martikaisen mallin taloudelliset vaikutukset

Martikaisen mallin taloudelliset vaikutukset Martikaisen mallin taloudelliset vaikutukset Johdanto Nämä ovat Martikaisen mallin laskelmat vuoden 22 osalta. Tosin aivan lopussa kerrotaan vuoden 211 osalta päätulokset ja päivityksestä. (Laskelmien

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kertauslueto. välikokeesee Algebraa Tämäkertaie kurssimoiste sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Syyä tähä o se, että matematiikkaa oppii parhaite itse tekemällä ja laskemalla.

Lisätiedot

Suomen verotus selkokielellä

Suomen verotus selkokielellä Suomen verotus selkokielellä Mitä sanat tarkoittavat? Vero: pakollinen maksu, jonka valtio kerää yhteiskunnan palveluita varten Veroprosentti: osuus, jonka työnantaja ottaa palkasta ja välittää Verohallinnolle

Lisätiedot

Tilastotieteen jatkokurssi 8. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset (viikot 13 ja 14)

Tilastotieteen jatkokurssi 8. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset (viikot 13 ja 14) Tilatotietee jatkokuri 8. lakuharjoitute ratkaiuehdotuket (viikot 13 ja 14) 1) Perujoukko o aluee A aukkaat ja tutkittavaa omiaiuutea ovat tulot, Tiedämme, että perujouko tulot oudattaa ormaalijakaumaa,

Lisätiedot

ELITE VARAINHOITO OYJ LIITE TILINPÄÄTÖSTIEDOTTEESEEN 2015

ELITE VARAINHOITO OYJ LIITE TILINPÄÄTÖSTIEDOTTEESEEN 2015 KONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT, 1000 EUR 7-12/2015 7-12/2014 1-12/2015 1-12/2014 Liikevaihto, tuhatta euroa 6 554 5 963 15 036 9 918 Liikevoitto, tuhatta euroa 69 614 1 172 485 Liikevoitto, % liikevaihdosta

Lisätiedot

Verotuksen perusteet Eri yritysmuotojen verotus: osakeyhtiö. Nettovarallisuus.

Verotuksen perusteet Eri yritysmuotojen verotus: osakeyhtiö. Nettovarallisuus. Verotuksen perusteet Eri yritysmuotojen verotus: osakeyhtiö. Nettovarallisuus. Apulaisprofessori Tomi Viitala Miksi osakeyhtiötä verotetaan? Fiskaalisen tavoitteen tehokkaampi toteutuminen Veropohjan laajuus

Lisätiedot

KONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT

KONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT KONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT 7 12/2015 7 12/2014 1 12/2015 1 12/2014 Liikevaihto, 1000 EUR 10 223 9 751 27 442 20 427 Liikevoitto ( tappio), 1000 EUR 1 266 1 959 6 471 3 876 Liikevoitto, % liikevaihdosta

Lisätiedot

AVAINLUVUT tammi maalis tammi joulu milj. euroa Muutos, % 2015

AVAINLUVUT tammi maalis tammi joulu milj. euroa Muutos, % 2015 Munksjö Osavuosikatsaus Tammi maaliskuu 2016 AVAINLUVUT tammi maalis tammi joulu milj. euroa 2016 20 Muutos, % 20 Liikevaihto 288,0 280,2 +3% 1 130,7 Käyttökate (oik.*) 31,0 26,5 +17% 93,6 Käyttökateprosentti,

Lisätiedot

Vanhusten asumisen maksut Kuusamossa 1.10.2015 alkaen

Vanhusten asumisen maksut Kuusamossa 1.10.2015 alkaen Vanhusten asumisen maksut Kuusamossa 1.10.2015 alkaen Asumispalveluiden järjestäminen perustuu sosiaalihuoltolain (1982/710) 17 ja asetuksen (1983/607) 10 säädöksiin, joiden mukaan kunnan on huolehdittava

Lisätiedot

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi.

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. 10.1 Yleistä Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. Esimerkkejä: 2x 8 = 12 A = πr 2 5 + 7 = 12 Yhtälöissä voi olla yksi tai useampi muuttuja Tuntematonta muuttujaa merkitään usein

Lisätiedot

MAB Jussi Tyni. Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.

MAB Jussi Tyni. Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. MAB6. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

Nimi ja opiskelijanro :

Nimi ja opiskelijanro : 1 (6) Lappeenrannan teknillinen yliopisto KATI / Pasi Syrjä A250A0250 Kirjanpidon peruskurssi Tentti 4.2.2016 Nimi ja opiskelijanro : Tentissä ei saa olla mukana kirjallista materiaalia. Laskimen käyttö

Lisätiedot

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse

Lisätiedot

Verot, palkat ja kehysriihi PALKANSAAJAN OSTOVOIMA 2000-2013

Verot, palkat ja kehysriihi PALKANSAAJAN OSTOVOIMA 2000-2013 Verot, palkat ja kehysriihi PALKANSAAJAN OSTOVOIMA 2000-2013 1 Teemu Lehtinen 9.1.2013 PALKANSAAJAN OSTOVOIMAAN VAIKUTTAVAT TEKIJÄT 1) Palkka keskituloinen palkansaaja, palkka v. 2013: 39.900 /v (3192

Lisätiedot

MUNKSJÖ OYJ Osavuosikatsaus Tammi maaliskuu Materials for innovative product design

MUNKSJÖ OYJ Osavuosikatsaus Tammi maaliskuu Materials for innovative product design MUNKSJÖ OYJ Osavuosikatsaus Tammi maaliskuu 2015 Materials for innovative product design AVAINLUVUT tammi maalis tammi joulu milj. euroa 2015 20 20 Liikevaihto 280,2 287,9 1 7,3 Käyttökate (oik.*) 26,5

Lisätiedot

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015 PREPPAUSTA 05.nb LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 05 MURTOLUVUT. Laske murtolukujen 3 ja 5 6 summa, tulo ja osamäärä. Summa 3 5 6 4 3 5 6 8 6 5 6 3 6 6. Laske

Lisätiedot

Uusi tapa sijoittaa suomalaisiin osakkeisiin

Uusi tapa sijoittaa suomalaisiin osakkeisiin www.handelsbanken.fi/sertifikaatit KUPONKISERTIFIKAATTI SUOMI Uusi tapa sijoittaa suomalaisiin osakkeisiin VIIMEINEN MERKINTÄPÄIVÄ 9 HELMIKUUTA 2010 MARKKINATILANNE Globaalin talouden elpyminen jatkuu.

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Korko ja inflaatio. Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016

Korko ja inflaatio. Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016 Korko ja inflaatio Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016 Sisältö Nimellis ja reaalikorot, Fisher yhtälö Lyhyt ja pitkä korko Rahapolitiikka ja korot Korko ja inflaatio Nimellinen korko i: 1 tänä vuonna

Lisätiedot

Makrotaloustiede 31C00200

Makrotaloustiede 31C00200 Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016 Harjoitus 5 1.4.2016 Arttu Kahelin arttu.kahelin@aalto.fi Tehtävä 1 a) Käytetään kaavaa: B t Y t = 1+r g B t 1 Y t 1 + G t T t Y t, g r = 0,02 B 2 Y 2 = 1 + r g B 1

Lisätiedot

AHJOS & KUMPPANIT OY (6) TASEKIRJA

AHJOS & KUMPPANIT OY (6) TASEKIRJA AHJOS & KUMPPANIT OY 31.12.2008 1 (6) TASEKIRJA Sisältö: Sivu: Tuloslaskelma 2 Tase 3 Liitetiedot 4 Kirjanpitoasiakirjat 6 Voiton käyttöä koskeva esitys 6 Allekirjoitus 6 AHJOS & KUMPPANIT OY 31.12.2008

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät

Matematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät Matematiika tukikurssi Kertausta. välikokeesee Tehtävät Algebraa Tämä kappale sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Suurimpaa osaa tehtävistä löytyy ratkaisut lopusta. Syyä rusaasee tehtävämäärää o, että

Lisätiedot

Emoyhtiön tilinpäätöksen liitetiedot (FAS)

Emoyhtiön tilinpäätöksen liitetiedot (FAS) Emoyhtiön tilinpäätöksen liitetiedot (FAS) Ulkomaan rahan määräisten erien muuntaminen Ulkomaanrahan määräiset liiketapahtumat on kirjattu tapahtumapäivän kurssiin. Tilikauden päättyessä avoimina olevat

Lisätiedot

Kompleksilukujen alkeet

Kompleksilukujen alkeet Kompleksilukuje alkeet Samuli Reuae Soja Kouva Kuva 1: Abraham De Moivre (1667-175) Sisältö 1 Kompleksiluvut ja kompleksitaso 1.1 Yhtee- ja väheyslasku...................... 1. Kertolasku ja z = x + yi

Lisätiedot

3.2 Sijaintiluvut. MAB5: Tunnusluvut

3.2 Sijaintiluvut. MAB5: Tunnusluvut MAB5: Tuusluvut 3.2 Sijaitiluvut Sijaitiluvut ovat imesä mukaiset: e etsivät muuttuja tyypillise arvo, jos sellaie o olemassa, tai aiaki luvu, joka lähellä muuttuja arvoja o eite. Sijaitiluvut jaetaa kahtee

Lisätiedot

Suhteellisia osuuksia ilmaistaessa käytetään prosenttilukujen ohella myös murtolukuja.

Suhteellisia osuuksia ilmaistaessa käytetään prosenttilukujen ohella myös murtolukuja. PROSENTTILASKUT Prosenttilaskuun ja sen sovelluksiin, jotka ovat kerto- ja jakolaskun sovelluksia, perustuu suuri osa kaikesta laskennasta, jonka avulla talousyksikön toimintaa suunnitellaan ja seurataan.

Lisätiedot

LISÄTEHTÄVÄT. Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto Piirretään suorat. Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt. y x ja a) b) y x.

LISÄTEHTÄVÄT. Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto Piirretään suorat. Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt. y x ja a) b) y x. LISÄTEHTÄVÄT Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt 0. a) b) y 7 x 4 0 y x 0 y7 x 4 : y x y,5 x c) d) 5x 8y 5 8y 5x5 :( 8) 7y 5x 7y 5x :7 5 5 5 y x y x 8 8 7 7. Piirretään suorat y x 0 y x ja x y 0 y x Leikkauspiste

Lisätiedot

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 008 MATEMATIIKKA TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtävä. Maljakossa on 0 keltaista ja 0 punaista tulppaania, joista puutarhuriopiskelijan on määrä

Lisätiedot

Egentliga Finlands Lantbruk Finansiering AB ("EFF") on myöntänyt pääomalainan Super Rye Oy:lle tässä sopimuksessa esitetyin ehdoin.

Egentliga Finlands Lantbruk Finansiering AB (EFF) on myöntänyt pääomalainan Super Rye Oy:lle tässä sopimuksessa esitetyin ehdoin. PÄÄOMALAINASOPIMUS Velallinen Super Rye Oy Y-tunnus 1234567-0 Velan määrä 2.000.000,00 euroa Velan numero 1010700 Sopimuksen päivämäärä 1.8.2012 1 OSAPUOLET JA JOHDANTO Egentliga Finlands Lantbruk Finansiering

Lisätiedot

Rahoituksen rahavirta *Lyhytaik.lainojen lisäys/vähenn 0,7 0,0 *Lainojen takaisinmaksut -90,0-90,0 *Omien osakkeiden hankinta 0,0-89,3 0,0-90

Rahoituksen rahavirta *Lyhytaik.lainojen lisäys/vähenn 0,7 0,0 *Lainojen takaisinmaksut -90,0-90,0 *Omien osakkeiden hankinta 0,0-89,3 0,0-90 RAHOITUSLASKELMA (1000 euroa) VUODELTA 2016 Liiketoiminnan rahavirta *Myynnistä ja muista liiketoim. tuotoista saadut maksut 957,8 989,4 *Maksut liiketoiminnan kuluista -865,2-844,3 *Saadut korot 0,5 0,8

Lisätiedot

Lasketaan esimerkkinä seuraava tehtävä. Monisteen sivulla 14 on vastaavanlainen. x 1

Lasketaan esimerkkinä seuraava tehtävä. Monisteen sivulla 14 on vastaavanlainen. x 1 Kertausta Luku o viimeistä pkälää (iduktio) lukuu ottamatta kertausta koulukurssi asioista (tai asioista joide pitäisi kuulua koulukurssii) Tämä luku kädää siksi lueoilla läpi opeasti Jos asiat eivät ole

Lisätiedot

Ennakonpidätyksen muutokset. Ohjelmistotalopäivä 26.11.2015 ylitarkastaja Päivi Verkasalo Henkilöverotuksen ohjaus- ja kehittämisyksikkö

Ennakonpidätyksen muutokset. Ohjelmistotalopäivä 26.11.2015 ylitarkastaja Päivi Verkasalo Henkilöverotuksen ohjaus- ja kehittämisyksikkö Ennakonpidätyksen muutokset Ohjelmistotalopäivä 26.11.2015 ylitarkastaja Päivi Verkasalo Henkilöverotuksen ohjaus- ja kehittämisyksikkö Verohallinnon päätös ennakonpidätyksen toimittamistavoista ja määrästä

Lisätiedot

BRONEX SOFTWARE OY , 9:40:01, Sivu 1 Laatija: Esittely. Lähtö. Ehdotus A TULOT OSAKKAALLE KÄTEEN (1000 )

BRONEX SOFTWARE OY , 9:40:01, Sivu 1 Laatija: Esittely. Lähtö. Ehdotus A TULOT OSAKKAALLE KÄTEEN (1000 ) EHDOTUSLASKELMA, Verovuosi 2013 Jakopohjana oleva nettovarallisuus: 100000.00 109.5 +3.0 D KUSTANNUKSET YHTIÖLLE (1000 ) 104.5-2.1 99.4-7.1 94.4-12.1 B Lähtö Ehdotus C 89.4-17.2 A 56.9 59.4 61.9 64.4 66.8

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Am16 - Asterin malli, Ammatinharjoittaja

Am16 - Asterin malli, Ammatinharjoittaja T A S E Vastaavaa PYSYVÄT VASTAAVAT Aineettomat hyödykkeet Aineelliset hyödykkeet Sijoitukset VAIHTUVAT VASTAAVAT Vaihto-omaisuus Pitkäaikaiset Myyntisaamiset pitkäaik. Muut pitkäaikaiset saamiset Lyhytaikaiset

Lisätiedot

derivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,.

derivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,. Matematiikka, MAA9. a) Ratkaise yhtälö tan (YOS) Kulma on välillä [, 6]. Ratkaise asteen tarkkuudella seuraavat yhtälöt: b) sin c) cos (YOs). Kulmalle [9,6 ] on voimassa sin = 8 7. Määritä cos ja tan..

Lisätiedot

Sisältö. Kvantitatiivinen metodologia verkossa. Monitasomallintaminen. Monitasomallit. Regressiomalli dummy-muuttujilla.

Sisältö. Kvantitatiivinen metodologia verkossa. Monitasomallintaminen. Monitasomallit. Regressiomalli dummy-muuttujilla. Kvatitatiivie metodologia verkossa Moitasomallius Pekka Ratae Helsigi yliopisto isältö Moitasomallit Matemaattisia peruskäsitteitä Esimerkki kovariassista Otatavirhe Esimerkki elittävie muuttujie lisäämie

Lisätiedot

Tilastokatsaus 2:2014

Tilastokatsaus 2:2014 Tilastokatsaus 2:2014 Vantaa 1 17.1.2014 Tietopalvelu B2:2014 Vantaalaisten tulot ja verot vuonna 2012 (lähde: Verohallinnon Maksuunpanon Vantaan kuntatilasto vuosilta 2004 2012) Vuonna 2012 Vantaalla

Lisätiedot

HE 71/2016 vp. Esityksessä ehdotetaan muutettavaksi Kansaneläkelaitoksesta annettua lakia.

HE 71/2016 vp. Esityksessä ehdotetaan muutettavaksi Kansaneläkelaitoksesta annettua lakia. Hallituksen esitys eduskunnalle laiksi Kansaneläkelaitoksesta annetun lain muuttamisesta ESITYKSEN PÄÄASIALLINEN SISÄLTÖ Esityksessä ehdotetaan muutettavaksi Kansaneläkelaitoksesta annettua lakia. Kansaneläkelaitoksen

Lisätiedot

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie

Lisätiedot

Määritä seuraavien suodattimien impulssivasteet ja tutki, ovatko ne kausaaleja:

Määritä seuraavien suodattimien impulssivasteet ja tutki, ovatko ne kausaaleja: TL56, Näytejoosysteemit (K5). Kausaali suodati käyttää laskeassaa vai ykyisiä ja aiempia ajaetkiä (= pieemmillä ideksiarvoilla) mitattuja tai laskettuja sigaaliarvoja, jotka suodati lukee muistista. Kausaalisuus

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot