R S T R S. Yhdeksäs termi a. Vastaus: Yhdeksäs termi on 99.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "R S T R S. Yhdeksäs termi a. Vastaus: Yhdeksäs termi on 99."

Transkriptio

1 9. Aritmeettise lukujoo yleie termi a = a + ( ) d Erotusluku a = a + ( ) d a = 7, a = 7, = 7 = 7 + ( ) d 0d = 90 :0 d = 9 Yhdeksäs termi a 9 = 7 + (9 ) 9 = 99 Vastaus: Yhdeksäs termi o Lukujoo rekursiivie lauseke a + = a + 0 ja a = 0 Lasketaa lukujoo termejä. a = 0 a = a + 0 = a = a + 0 = = a 4 = a + 0 = = a 5 = a = = a 6 = a = = a = 0 + ( ) 0 = = 0 + 0, Vastaus: Aalyyttie lauseke o a = 0 + 0,. KETAUHAJOITUKIA 7. Vastaus: T x = 6 y = 5, x+ y = 46 T x+ y = 4 y = 4 x b 5, x+ 4 x = 46 5, x+ 86 4x = 46 g 5, x = 40 : 5, x = 6 y = 4 6 = b g 46

2 8. Vastaus: y = x Ty x = 0 x x = 0 x = x = y = T x = y = 9. T T 4x 0y = 6 6x+ 5y+ 9 = 0 x 0y = 8 x+ 0y+ 8 = 0 8 = 8 Vastaus: Yhtälöpari toteuttavat kaikki suora 4x 0y = 6 pisteet. 40. T T x y = 6 x+ y = x 4y = 6 x+ 4y = 0= 4 Vastaus: Ei ratkaisua. 4. T T T ( x+ y) + ( x y) = 7 5( x+ ) ( y+ ) = x+ y+ x 6y = 7 5x+ 0 4y 6= 5x 4y = 7 5x 4y = 7 0= 0 Vastaus: Yhtälöpari toteuttavat kaikki suora 5x 4y = 7 pisteet. 47

3 4. x+ y + = 4 4 x y = T T T x+ + 4y = 9 x+ y = x+ 4y = x+ y = 6 5y = 5 y = x + = 6 Vastaus: x = 7 T : 5 x = 7 y = 4. Kaupugi A asukasmäärä y t: vuode kuluttua y = t Kaupugi B asukasmäärä y t: vuode kuluttua y = t Asukasmäärät yhtä suuret t = t :b g 600t = t = 4 Asukasmäärä o tällöi y = = Vastaus: Kaupukie asukasmäärä o sama eljä vuode kuluttua ja tällöi asukkaita o Vuxa x Ugdomar y T T x+ y = 600 x+ 8y = 4 00 x y = 9 00 x+ 8y = y = y = 50 b :b g g x + 50 = 600 x = 50 varet: 50 vuxa och 50 ugdomar har köpt biljetter. 48

4 45.a) x 5y = 7 T x+ 7y = 4 Piirretää suorat koordiaatistoo laskemalla joitai suora pisteitä. atkaistaa y piirtämistä varte. x 5y = 7 7 y y = x x y = x =,4 x + 7y = x 5y = 7 (, ) 5 6 x x+ 7y = 4 4 y = x x y = x , 4 atkaistaa yhtälöpari laskemalla x 5y = 7 T T x+ 7y = 4 6x 5y = 6x 4y = 8 b g 9y = 9 y = sijoitetaa ylempää yhtälöö bg x = x 5 = 7 Vastaus: x = ja y = b) x+ 6y = 4x 7y = T Piirretää suorat koordiaatistoo. atkaistaa piirtämistä varte yhtälöstä y. 49

5 x+ 6y = y = x 4 x y = x = 0,5 4 4 =,5 4x 7y = 4 y = x x y = x , 9 4 4, Kuvaajasta saadaa x 04, ja y 0 atkaistaa yhtälöpari laskemalla x+ 6y = 4 4x 7y = T b g x+ 4y = 6 T 9 x+ y = 45y = x + 6y = 4x 7y = y = sijoitetaa ylempää yhtälöö F 0 x + 6 H G I 0 K J = x = + 5 x = 0 x = y 5 6 x 50

6 Vastaus: x = 0 ja y = Lota luut x x + 6 Veti luut y y % + 5 % = 5 % =,5 00 %,5 % = 87,5 % = 0,875 aadaa yhtälöpari T x = 5, y y+ 6 = x+ 6, b g ijoittamalla saadaa y+ 6= 0875, 5, y+ 6 y = 8 x = 5, y= 5, 8= 0 b Vastaus: Lotta o jemmaut 0 luuta. g 47. Kirjoiti A tulostaa x kpl ajassa h 55 mi = 5 mi x Kirjoittime A opeus 5 Kirjoiti B tulostaa 00 x kpl ajassa h 0 mi = 90 mi Kirjoittime B opeus 00 x 90 Kirjoitita B käytetää h 0 mi = 80 mi, jolloi se tulostaa x = 90 8 b 9 00 xgkpl Kirjoitita A käytetää h 0 mi = 0 mi, jolloi se tulostaa 0 5 Yhteesä A ja B tulostava 00 kpl eli b xg + x = x 6x + = x = 07 9 x = 55 Kirjoittime A opeus: 55 kpl / mi = 4,8 kpl/mi Kirjoittime B opeus kpl/mi = 7, kpl/mi 90 x 6 = x kpl 5

7 Nopeampaa käyttäe 00 mi = 66 7, mi 67 mi = h 47 mi. Vastaus: Nopeudet A 4,8 sivua miuutissa ja B 7,. Jos käytetää vai kirjoitita B aikaa kuluu h 47 mi. Yhtälöryhmie sovelluksia 48. T y = x + x y = x ijoittamalla saadaa x + x = x x x = 0 b g b g b g ± 4 x = x = ± e j = + x = + = + y = x = + e j = x = = y = x = Vastaus: Leikkauspisteet ovat (+, + ) tai (, ) 49. Tageti yhtälö o y = 4x, jote se kulmakerroi o 4 ja derivaata arvo kohdassa x = o 4. Paraabeli kulkee pistee (,4) kautta, jote koordiaatit x = ja y = 4 toteuttavat paraabeli yhtälö. y = f( x) = ax + c ( ) f ' x = ax aadaa yhtälöpari f () = 4 f ' () = 4 a + = a = 4 c 4 a+ c = 4 a = sijoitetaa ylempää + c = 4 c = Jote paraabeli yhtälö o y = x +. Vastaus: Paraabeli yhtälö o y = x +. 5

8 50. Paraabeli yleie yhtälö o muotoa f x ax bx c. Yhtälö toteuttavat paraabeli pisteet ja vai e. aadaa yhtälöryhmä. 4, = 5 b g a b c (, 6) a + b + c= 6 b, g a b g + b b g+ c = 6a+ 4b+ c= 5 T 4a+ b+ c= 6 4a b+ c = bg= + + Laskemalla kaksi alita yhtälö yhtee saadaa 8a+ c= 8 ja edellee c = 4a 4. ijoittamalla tämä ylimpää yhtälöö saadaa 6a+ 4b 4a 4 = 5, josta b = a. ijoitetaa b ja c keskimmäisee yhtälöö 4 F I HG K J =, josta 4a+ a 4a a = 4 b = a 4 = 4 4 = c = 4a 4= 4 4 = 5 4 Paraabeli yhtälö fbg= x x x 5 4 Huippu saadaa derivaata ollakohdasta f 'bxg= x x = 0 x = y = 4 5 = 6 Vastaus: Paraabeli yhtälö fbg= x x x 4 ja se huippu o pisteessä, 6. b g 5. a) a+ b+ c = T a b+ c= 4 a b c= 4 Laskemalla kaksi ylitä yhtälöä yhtee saadaa 4a+ 4c= 6, josta a = 4 c. ijoittamalla tämä ylimpää yhtälöö saadaa 5

9 b g ja edellee b =. ijoitetaa tämä yhtälöryhmä alimpaa 4 c + b+ c= yhtälöö. a c = 4, eli a = c. Toisaalta a = 4 c, jote c = 4 c, eli c = ja a =. b) T a+ b+ c= 0 5a 5b+ c= 0 a b c= atkaistaa ylimmästä yhtälöstä a ja sijoitetaa keskimmäisee. 5 b c 5b+ c= b g 0 b = 04, c b g a = 04, c c= 06, c b g b g ijoittamalla ämä alimpaa saadaa 06, c 04, c c=, josta c = 5, b = 04, 5, = a = 06, 5, = 5, Vastaus: a) a =, b = ja c = b) a =,5; b = ja c =,5 5. a) 0x+ 0y = 0 T 0x 0y 0z = 0x 0z = atkaistaa ylimmästä yhtälöstä y ja alimmasta z sekä sijoitetaa ämä keskimmäisee. 0x 0y 0z = y = x, z = x 0 b g I 0x 0 x 0 x HG 0 K J = 0x = x = 0, y = 0, z = 0, 0, = 0, b) x+ y 4z = 6 F x+ y+ z = 0 T x+ y 8z = 7 atkaistaa keskimmäisestä yhtälöstä x ja sijoitetaa alimpaa yhtälöö. x+ y 8z = 7 x = y+ z b g 7 y+ z + y 8z = 54

10 4y = 7+ z x = y+ z= 7 + z+z= z 4 4 ijoitetaa kummatki ylimpää yhtälöö x+ y 4z = 6 x = + z, y = + z 4 4 F F 7 5 I HG 4 K J I z + + z HG 4 K J z = z = 05, 7 y = + z 4 = 7 + b 05, g=, x = + z 4 = b 05, g = 0,5 4 Vastaus: a) x = 0,; y = 0, ja z = 0, b) x = 0,5; y =,5 ja z = 05, 5. x+ z = T x+ y = 0 y+ z = atkaistaa kahdesta ylemmästä yhtälöstä y ja z muuttuja x avulla ja sijoitetaa alimpaa yhtälöö. y+ z = z = x, y = x x + x = x = z = y = Vastaus: x =, y = ja z = 54. Oskari ikä x, Leea y ja Alice z x+ y+ z = 56 y = x sijoitetaa muihi z 4 = ( y 4) x+ x+ z = 56 z 4 = (x 4) 4x+ z = 56 eli z = 4x+ 56 sijoitetaa alempaa 6x + z = 4 6 x+ ( 4x+ 56) = 4 x = 6 55

11 y = 6 = 48 Vastaus: 48 vuotta Koordiaatisto tasoalueet ja lieaarie optimoiti 55. y T y x+ y x+ Piirretää rajasuorat laskemalla suorie leikkauspisteet koordiaattiakselie kassa. y = o x-akseli suutaie ja kulkee pistee x = 0, y = kautta. y = x+ x = 0, y = y = 0, x = =,5 y = x+ x = 0, y = y = 0, x = 5 4 y 4 x Koska y, alue sijaitsee suora y = yläpuolella. Vastaavasti alue sijaitsee suorie y = x+ ja y = x+ alapuolella. ajasuorat tulevat mukaa. 56. y T x 0 x+ y 0 Piirretää rajasuorat laskemalla suorie leikkauspisteet koordiaattiakselie kassa. y = o x-akseli suutaie ja kulkee pistee x = 0, y = kautta. x = 0 o y-akseli y = B x + y = 0 y A y+ x =0 x = 0, y = 0 Tälle suoralle pitää laskea vielä toie piste x =, y = 4 O x = 0 x 56

12 Alue sijaitsee suora y = alapuolella ja y-akseli vasemmalla puolella. ijoitetaa piste, alimmaisee epäyhtälöö b g x+ y tosi Koska alimmaieki epäyhtälö toteutuu kyseessä o kolmio OAB. Määritetää kärkipisteide koordiaatit O(0,0) Piste A o laskettu piirtämise yhteydessä A(0, ) y = B Tx+ y = 0 ijoittamalla saadaa x + = 0 x = B, b g Lasketaa kolmio piiri. OA = 0 = AB = OB = Piiri + = 8 = p = + + = 6 + 0, V astaus: Piiri o 6 + 0, 57. x 0 T y 5x y 6 Piirretää rajasuorat laskemalla suorie leikkauspisteet koordiaattiakselie kassa. x = 0 o y-akseli y = o x-akseli suutaie ja kulkee pistee x = 0, y = kautta. C x = y y = B 4 5x y = 6 x 5x y = 6 x = 0, y = 8 y = 0, x =, 7 8 A Alue sijaitsee y-akseli vasemmalla puolella ja suora y = alapuolella. ijoitetaa piste (, 0) alimmaisee epäyhtälöö. 5x y tosi 57

13 Koska kolmaski epäyhtälö toteutuu, kyseessä o kolmio ABC. Lasketaa kolmio kärkipisteet Piste A o laskettu piirtämise yhteydessä A(0, 8 ) y = B T 5 x y = 6 ijoittamalla saadaa 5x = 6 5x = 0 x=4 B(4, ) Piste C o laskettu piirtämise yhteydessä C(0, ) Lasketaa lausekkee x + y arvot kolmio kärkipisteissä Piste x + y A(0, 8 ) 0 8= 8 piei B(4, ) 4 + = 0 suuri C(0, ) 0 + = Vastaus: Piei arvo o 8 ja suuri x = y = x Ty + = 0 Piirretää rajasuorat koordiaatistoo. x = o y-akseli suutaie ja kulkee pistee x =, y = 0 k autta y y = x x = 0, y = 0 x =, y = y + = 0 y = x-akseli suutaie suora, joka kulkee pistee x = 0, y = x Koska alue o suora x = vasemmalla puolella, x < Koska alue o suora y = yläpuolella, y > Koska alue o suora y = x alapuolella, y < x aadaa epäyhtälöryhmä x < T y < x y > V astaus: x <, y < x ja y > 58

14 59. Tehdää taulukko Baaai (00 g) x C (mg) 0x B6 (mg) 0,6x hita ( ) 0x = 0 x Appelsiii y 49y 0,06y 0y, = y yhteesä 70,0 0x + y vähitää Optimoitava lauseke o tuotto 0x + y, joka piei arvo haetaa ajoite-epäyhtälöt x 0 y 0 0x+ 49y 70 T 06, x+ 006, y Piirretää suorat laskemalla leikkauspisteet koordiaattiakselie kassa 0x+ 49y = 70 x = 0, y = = 7 4, y = 0, x = 7 06, x+ 006, y = x = 0, y = y = 0, x = = , 6 x = 0 o y-akseli y = 0 o x-akseli, = 00 06, 6 56, ijoitetaa piste (,) T 06, + 006, Koska kaksi alimmaista ei toteudu, kyseessä o äide suorie yläpuolie alue. Lasketaa avoime aluee BAC kärkipisteide koordiaatit 0x+ 49y = 70 A T 06, x+ 006, y = atkaisemalla ylemmästä yhtälöstä x ja sijoittamalla alempaa saadaa 0 x = 70 49y x = 7 49, y b g 06, 7 49, y + 0,06y = 5 C appelsiiit (00 g) A baaait (00 g) B 59

15 , 704y = 0, 5 y = 65 y 0, x = 7 49, 65 x = x 550, A(5,50; 0,) Piste B o laskettu piirtämise yhteydessä B(7, 0) Piste C o laskettu piirtämise yhteydessä C(0;,) Lasketaa optimoitava lausekkee 0 x + 5y Piste 0x + y A(5,50; 0,) 0 55, + 0, =, 7 piei B(7, 0) = 40 C(0;,) 0 0 +, = 99, 6 Baaaeja 5,50 00 g = 550 g Appelsiieja 0, 00 g = g Vastaus: Baaaeja 550 g ja appelsiieja 0 g. 60. Tehdää taulukko uusi x ruskea laka (g) 400x vihreä laka (g) 400y hita (mk) 700x vaha y 600y 00y 600y käytössä korkeitaa x +600y Optimoitava lauseke o tuotto 700x + 600y, joka suuri arvo haetaa ajoite-epäyhtälöt vahakuosi (g) x 0 y 0 400x+ 600y 7 00 T 400 x+ 00 y Piirretää suorat laskemalla leikkauspisteet koordiaattiakselie kassa 400x+ 600y =7 00 x = 0, y = y = 0, x = 8 400x+ 00y =4 800 x = 0, y = 4 y = 0, x = C x + 00y = B 400x + 600y = 7 00 A uusikuosi (g) O

16 x = 0 o y-akseli y = 0 o x-akseli ijoitetaa piste (,) 0 T Kaikki epäyhtälöt toteutuvat, jote kyseessä o elikulmio OABC Lasketaa kärkipisteide koordiaatit O(0, 0) Piste A o laskettu piirtämise yhteydessä A(, 0) 400x+ 600y = 7 00 B 400x+ 00y = T atkaistaa alemmasta y ja sijoitetaa ylempää 400x+ 00y = y = x :00 y = 4 x sijoitetaa ylempää 400x+ 600 ( 4 x) = x = 7 00 : b 800g x = 9 y = 4 x = 4 9 = 6 B(9, 6) Piste C o laskettu piirtämise yhteydessä C(0,) Lasketaa optimoitava lause kkee 700x + 600y arvot kärkipisteissä Piste O(0, 0) 700x + 600y = 0 A(, 0) = B(9, 6) = 9900 suuri C(0,) = 7 00 Vastaus: Uusikuosisia 9 ja vahakuosisia Tehdää taulukko aika ( h) raaka-aieet ( ) tuotto ( ) esie A x,5x 5x 5x esie B y 5y 0y 8,y yhteesä korkeitaa x + 8,y Optimoitava lauseke o tuotto 5x + 8,y 6

17 ajoite-epäyhtälöt x 0 T y 0 5, x+ 5y 40 5x+ 0y 00 Piirretää suorat laskemalla leikkauspisteet koordiaattiakselie kassa 5, x+ 5y = 40 x = 0, y = 8 y = 0, x = 6 5x+ 0y = 00 x = 0, y = 0 y = 0, x = 40, x = 0 o y-akseli y = 0 o x-akseli ijoitetaa piste (,) T, Kaikki epäyhtälöt toteutuvat, jote kyseessä o elikulmio OABC Lasketaa kärkipisteide koordiaatit O(0, 0) Piste A o laskettu piirtämise yhteydessä A( 40, 0) B T 5, x+ 5y = 40 5x+ 0y = 00 atkaistaa ylemmästä y ja sijoitetaa alempaa 5y = 40 5, x :5 y = 8 05, x b g 5x , 5x = 00 sijoitetaa alempaa 0 C B (kpl) 5x + 0y = 00 5x = 40 x = 8 y = 8 05, x= 8 05, 8=4 B(8, 4) Piste C o laskettu piirtämise yhteydessä C(0,88) Lasketaa optimoitava lausekkee 5x + 8,y arvo kärkipisteissä B,5x + 5y = 40 A (kpl) O A 6

18 Piste 5x + 8,y O(0, 0) , 0 = 0 A( 40, 0) , 0 suuri B(8, 4) , 4 =, C(0,) , = 99, 96 uuri pisteessä A Vastaus: Esieitä A 40 kpl,eikä yhtää esiettä B Lukujoot 6. a) a rekursiivie säätö aalyyttie säätö a a + +( ) =+ b) a rekursiivie säätö aalyyttie säätö,,, 0,77, 0,7, 0,7 0,59 0,77 0,7, 0,7 0,7... a a 0,7, 0,7 c) a rekursiivie säätö aalyyttie säätö a + ( ) = + ( ) Vastaus: a) a = + b) a =, 0,7 c) a = 6

19 6. a = + a = + = a 00 = = 0 0 a 0000 = = a = = a = a = = 0 b g a b g = = = b g a = = = = b g a 4 4 = 4 = 4= b g a 5 5 = 5 = 5 = = Vastaus: 0,,,, a F I = + HG K J b g F I = HG 00 K J =,... F I = + HG 000 F I = + HG a = + = a a = 76,... KJ a e =, =, KJ Vastaus: Luvut eroavat 4. desimaalissa. 66. a a = b g b = b g b a = = g g 9 64

20 b g b g 45 b g = 4 b g 89 b g = 5 b g 79 F I HG K J = a = = 4 a 4 = 4 5 a 5 = Vastaus: Pii kaksidesimaalie likiarvo 46,... 4, 67. Ylläpitoaoksia o. vrk: aikaa ja muia, yhteesä 8 aosta. Näppäillää laskimella 400 = AN x 0, = (paietaa =-merkkiä 8 kertaa) Vastaus: 48 mg Aritmeettie ja geometrie lukujoo 68. Esimerkiksi a) 9, 8, 7, b) 9, 8, 79, c) 9,9,9, 69. a) a = 9+ ( ) = + 7, a 5 = = 7 b) a = + ( ) ( ) = + 5, a 5 = 5 + 5= 40 5 F I c) a = + ( ) HG K J = +, a 5 = 5 + = 70. a = a + ( ) d a) a = a + 0 9d 47 = a a = a = + ( ) 5= 5 a 00 = 5 00 = 497 b) a8 = a+ 7d = a + 7 0, b g b g a = +,4 = 4,4 a = 44, + ( ) 0, = 0, + 46, a 00 = 0, , = 54, 65

21 c) a4 = a + d = a 5 + a = 5 = a = ( ) = 5 a 00 = 00 9 = 45 9 Vastaus: a) a = 5, a 00 = 497 b) a = 0, + 4,6, a 00 = 5,4 5 9 c) a =, a 00 = a = a q a = 6 q = = a b g b g = 7 a 7 = = 458 Vastaus: =, a = a b g a) a = a q = 4, 5 a 5 = = 4, 8, 944 b) a = a q = a 0, b a = = 5 0, a g b g b g = 5 0, 5 a 5 = 5 0, = 0, 04 5 c) a 6 = F H G I K J 5 5 a 5 6 F = H G I K J = 4 8 Vastaus: a) 5 c) a 6 = F H G I K J a 4, =, 5 8, 944, 5 a = a = b) = 5 0,, a = 4 8 a b g 5 0, 04 66

22 7. a+ = a 5, a = 4 a = 4,5 =,5 a = 4,5 a 4 = 4,5 a = 4 5 = 5 + 6, b g,, 5 Vastaus: a =, 5+ 6, a0 = a + 0 d 00 = a + 9 a = = 4 a = a + ( ) d 4 = 4+ = 0 b b g g 0 = = 4 o oltava luoollie luku, jote 4 ei kuulu jooo Vastaus: a = 4, luku 4 ei kuulu jooo. 75. a) 77 = 5 + = 7 = 4 b) 77 = 0 4 ( ) 77 = = 8 = 7 Vastaus : a) 4. b) a = a + 6 = 5 + 4d 4d = 7 4d d = 4 a = a+ d 5 = a + 4 a = 4 67

23 a 00 = = Vastaus : a 4 =, a 00 = a + a + a = T a + a + a = a = a+ d a = a + d a = a + d 4 a6 = a+ 5d sijoitetaa yllä olevat alkuperäisee yhtälöparii a+ a+ d + a+ d = Ta+ d + a+ d + a+ 5d = 4 a + d = T a + 9d = 4 6d = d = b g sijoitetaa a + = a = a 0 = + 0 = 4 Vastaus : a 0 = b g b 60, + d = 60, + 60, + d 6 + 4d + 4d = d + d d + d 6=0 d = ± 4 6 = ± 576 = ± d = = 6, ei käy, d > d = + = 6 Vastaus: sivut ovat 6,0 m, 8,0 m ja 0,0 m g b g 68 6,0 6,0 + d 6,0 + d

24 79. x = lisättävä luku joo +x, 6+x ja +x 6 + x + x = + x 6 + x 6 + x+ x = + x+ x+ x 0x = 5 x = 5, Vastaus: Lisättävä luku o, a = aq = 5 q 5 q = 5 5 q = 5 q =± 5 F = H G I 5 K J F 5 tai a 6 I = 5 HG 5KJ F = tai a 6 I = HG 5 5KJ 5 a 6 5 a 6 5 a 6 = tai a 6 = 5 5 Vastaus: a 6 = tai a 6 = a) 00 = 4. Koska 00 o jaollie 7:llä, o 00 yö kuluttua myös suutai. 7 b) 0 00 ei ole jaollie 7:llä, jote kyseessä ei ole suutai. Etsitää lähi 7:llä jaollie luku = 48, jote yö kuluttua o suutai ja edellee siitä 5: yö kuluttua 7 o perjatai. Vastaus: a) suutai b) perjatai 8. a) 40 = 55 = 8 = = 69

25 = 4 b b g b 05, g = b 05, g g b) 40 = 0, , = 0065, = 4 = 5 4 Vastaus: a) 4. b) , 5 = 949, Vastaus: Ala o 950 mm 9 84., 0, 7 0, 048 yksikkömuuos 0,048 m = 4,8 cm Vastaus: 4,8 cm korkeudelle , 0 0, 85, 4 Vastaus:, kg a) 500 0, b) kuluut aika (a) puita ,9+80 (500 0,9+80) 0,9+80= 500 0, , , , , , , , , , , 9 5 = 500 0, , 600 Vastaus: a) 890 puuta b) 600 puuta e 5 j 70

26 87. aika (6h) lääkettä ,+50 (50 0,+50) 0,+50=50 0, +50 0, , , = e, j 90 0, Vastaus: 90mg 88. a = 64, 70 a = a q 70 = 64, 70 q q 70 = 64, 70 q =± a , 70 egatiivie juuri ei käy F 70 = 70 H G I K J 7, 80, Vastaus: 7,80 rahaa ummat 89. a + a Aritmeettise lukujoo summa = =, a =, a = + = = 49, 5 Vastaus: umma o 49, Erotusluku d = lukujoo kymmees termi a0 = a + ( ) d = + 9 = a + a 5 umma 0 = = 0 = Vastaus: 0 = 7

27 9. a) Erotusluku d = 9 = Lukujoo 0. termi a0 = a + ( ) d = = 56 a + a 9 56 umma + 0 = = 0 = 650 b) Erotusluku d = 4 ( 6) = 8 Lukujoo 0. termi a0 = a + ( ) d = ( 8) = 58 ( ) a + a 6 58 umma + 0 = = 0 = 640 c) Erotusluku d = 4,8 =, Lukujoo 0. termi a0 = a + ( ) d =,8+ 9,= 4,6 a + a,8 4, 6 umma + 0 = = 0 = 454 d) Erotusluku d = = 5 5 Lukujoo 0. termi a0 = a + ( ) d = + 9 = + a + a umma 0 = = 0 = Vastaus: umma o a) 650 b) 640 c) 454 d). 9. a) Kahdeksas termi a8 = a+ ( ) d = a+ 7d Esimmäie termi 85, = a , a = 5 adas termi a00 = a + ( ) d = , 5 = 54, 5 a + a 5 54,5 umma + 00 = = 00 = 975 b) Erotusluku a7 = a7 + 0d 54 = 4 + 0d 0d = 0 :0 d = Esimmäie termi a = a + d = a + 6 a = 58 7

28 adas termi a00 = a + ( ) d = = 00 a + a umma + 00 = = 00 = 4600 Vastaus: umma o a) 975 b) q a) Geometrie summa = a a =,, q =, = 8 q umma 8 8 ( ) ( ) =, = 77 q b) Geometrie summa = a a =, q =, = 8 q 6 umma 8 8 = = 4 6 Vastaus: umma o a) 77 b) Joo o aritmeettie. Erotusluku d = = 4 Yhteelaskettavie lukumäärä = 8 + a + a umma 8 = = 8 = 4 Vastaus: umma o Joo o geometrie. uhde q = Termie lukumäärä = 7 umma q 8 5 = a = = 9 q Vastaus: umma o

29 96. Yhteelaskettavia o vastalukuja ja summa sieveee muotoo = = = Vastaus: umma o Esimmäie termi a = Erotusluku d = = Yleie termi a00 = a + ( ) d = + ( ) = + a + a Aritmeettie summa + + > > 0 F I HG 4 4 K J > > Nollakohdat = = 0 Merkkikaavio 98,50 0 = yli b g = ± = = 050, = + = 98,

30 > 0, ku > 98,50 eli Vastaus: Yhteelaskettavia o oltava vähitää Esimmäie termi a = 7 Erotusluku d = 9 7= Yleie termi a00 = a + ( ) d = 7 + ( ) = + 5 a + a Aritmeettie summa = yli > > > 0 b g > 0 Nollakohdat = 0 b g = 6 ± = = 5, = + = 5,... Merkkikaavio 0 5, > 0, ku > 5, eli 6 Vastaus: Yhteelaskettavia o oltava vähitää Kuljetaa ulkoa sisälle päi..kierros 0 m + 40 m + 0 m + 6 m = 6 m. kierros 6 m + m + m + 8 m = 08 m. kierros 8 m + 4 m + 4 m + 0 m =76 m 4. kierros 0 m + 6 m + 6 m + m = 44 m Edward kulkee yhteesä 6 m + 08 m + 76 m + 44 m = 64 m Vastaus: Edward kulkee yhteesä 64 m. 75

31 00. Esimmäie kättelee kaikkia muita paitsi itseää, eli kättelyä Toie kättelee kaikkia muita paitsi itseää ja esimmäistä eli kättelyä Viimeie ei kättele ketää eli = 0 kättelyä aadaa yhtälö = 9 b g b g b g b g... = = 9 b + = 9 + = 8 g b g 8 = 0 b g b g b g ± 4 8 = 7 = = ei käy 7 = + = 4 Vastaus: Kutsuilla oli 4 osallistujaa. 0. Esimmäie termi a = 4 Viides termi a + a 5 = 5 = 4 + a5g 5 = 0 a 5 = b Erotusluku a = a + ( ) d 4 + a 5 5= 5 a = a + 4d a =, a =4 5 5 = 4 + 4d d = 6, 5 Lukujoo 8. termi a 8 = , 5 = 46, 5 b g ( ) a + a 4 46,5 umma + 8 = = 8 = 9,5 Vastaus: umma o 9,5. 76

32 0. Kolme esimmäise termi summa uhdeluku + q+ q = 68, q + q+ 0, = 0 q = ± 40, q =, = 08, 4 q = +, = 0, Vastaus: uhdeluku o 0,8 tai 0,. = a + aq+ aq 0. uhdeluku q = ( q ) Geometrie summa = a q Esimmäie termi = 6 5 a = a = 6 a F + umma HG I K J = 0 a = 0 0 ( q ) 04 4 = a = = = q + 5 Vastaus: umma o

33 04. Kyseessä o aritmeettie joo, koska = 80 ja = 80. Erotusluku d = 80 Termie lukumäärä 7 5 a = a+ ( ) d a =, a =, d = = + ( ) = : = a + a umma 8 8 = = = 7 Vastaus: umma o Kyseessä o geometrie joo, koska π π = ja π = π π uhdeluku q = π umma 9 9 ( q ) ( π ) 9 π = a = = 98,660 q π π 9 π Vastaus: umma o 98, 660. π 06. Aritmeettise lukujoo yleie termi a = a + ( ) d Kuudes termi a6 = d Toisaalta kuudes termi a6 = 7 a = 7 a+ d = 7a+ 7d = +7 8 aadaa yhtälö 7 + = + 8 7d 8 5d 6 d = : 8 d = 8 b g d 78

34 + + 9 a + a umma 0 = = 0 = Vastaus: umma o Geometrise lukujoo kahde esimmäise jäsee summa = a+ aq Esimmäise ja kolmae jäse summa aadaa yhtälöpari a+ a q = a+ a q = 5 = a + a q atkaistaa ylemmästä yhtälöstä a a + aq = ( q) a + = :(+ q ) a = + q ijoitetaa yhtälöpari alempaa yhtälöö. 5 + q + + q q = + q + q = 5 ( + q) + q = 5 + q q 5q =0 b g b g b g b g 5 ± 5 4 q = 5 7 q = = ijoittamalla saadaa a = 6 = 9 Vastaavat summat 4 ( q ) 9 5 = a = = q tai q 5+ 7 = = ijoittamalla saadaa a = =

35 5 4 ( q ) ( ) = a = = 5 q Vastaus: umma o tai Paikkoje määrät riveillä muodostavat aritmeettise summa. Paikkoja esimmäisellä rivillä a = 5 Erotusluku d = Paikkoja viimeisellä rivillä a = a + ( ) d = 5 + ( ) = + 4 ivie lukumäärä a + a = 75 = = = = 470 b = 0 g b g = 49 ± = + < 0 ei käy 49 9 = + = Vastaus: ivejä o yhteesä. 09. Juoksumatkat muodostavat aritmeettise summa =,0 +, +, + Viimeie juoksumatka a 0 = 0, + 9 0, = 9, a + a, 0 +, 9 0 = = 0 = 9 Vastaus: Asku o juossut 9 km. 0. Tyhjeyskerta Matka. (80+9)=78. (80+9+9)= (80+ 9)=96. (80+ 9)=4 80

36 Tyhjeyksiä 0 = eli 9m + m 9 Viimeisellä 4. kerralla kerättävää o m.. tyhjeyskerta (80+ 9) = 94 täyde tyhjeyskerra kokoaismatka saadaa aritmeettisesta summasta a + a = = = 78 Viimeie vajaa tyhjeyskerta (97+) = 400 Yhteesä matkaa 78 m m = 4 8 m Vastaus: Matti joutui kävelemää 4, km. 4, km äästämie summa sovelluksea. Talletettu pääoma k = 900 Korkoprosetti i =,4 % = 0,04 Talletusaika vuosia t = 5 kk = 5 a Korko 5 r= kit = 900 0,04,78 Tilillä o rahaa 900 +,78 = 9,78 Vastaus: jai voi ostaa 9,78 talletusaaja päätyttyä.. Ajatellaa, että jokaie talletus laitetaa omalle tilillee. Jokaiselle talletukselle lasketaa oma korko. aadut korot lasketaa yhtee, ja lisätää siihe talletettu pääoma. Korkoprosetti i =,4 % = 0,04 8 Esimmäie 50 : talletus kasvaa korkoa 8 kuukautta, t = a 7 Toie 50 : talletus kasvaa korkoa 7 kuukautta, t = a Viimeie 50 : talletus kasvaa korkoa kuukaude, t = a Korko 8 7 r = kit k = 50, i = 0,04, t = a, a,, a 8

37 8 7 6 r = 50 0, , , ,04 a + a = = = = 50 0,04 ( ), 8, a 8, a = 50 0, = 8 = 4,9 Tilillä o rahaa ,9 = 84,9 Vastaus: Juka tilillä o rahaa 84,9.. Korkoprosetti i =,0 % = 0,0 0 Talletusaika t = a, a,, a Talletuksia yhteesä 6 kertaa Kertatalletus k Pääoma vuode lopussa k 0, 0 + 6k + 6 = 00 6k + 0,077k = 00 0 K = 6k+ kit K =00, i = 0,0, t = a, a,, a 0 00 = 6k + k 0, 0 + k 0, k 0, 0 a + a k 0,0 = 00 = 6 k + ( ) = 6, a =, a = 6, 077k = 00 :6, 077 k 45, 57 Vastaus: Oskari pitää tallettaa tilille kuukausittai 45, Korkokata i = 5,00 % = 0,05 Korkokerroi q = + 0,05 =,05 Alkupääoma 000 Talletukse määrä talletusaja lopussa K a) Talletusaika t = a K = 000, ,00 = kq t 8

38 b) Talletusaika t = 0 a 0 K = 000, 05 68,89 c) Talletusaika t = 00 a 00 K = 000, 05 50,6 Vastaus: Pääoma o talletukse päättyessä a) 050,00 b) 68,89 c) 50,6. 5. Korkokata i =,80 % = 0,08 Korkokerroi q = + 0,08 =,08 Alkupääoma Talletusaika t = 4 a Talletukse määrä talletusaja lopussa K 4 K = 6 400, ,9 Korko r = 6 87, = 47,9 = kq t Vastaus: Ai saa talletuksellee 47,9 : koro. 6. Korkokata i =,5 % = 0,05 Korkokerroi q = + 0,05 =,05 Esimmäie talletus tehdää vuode 000 lopussa ja se o tilillä 9 vuotta euraava talletus vuode päästä ja se o tilillä 8 vuotta. Näi jatketaa yhdeksä kertaa. Viimeie talletus tehdää vuode 009 lopussa ja se o tilillä 0 vuotta. Talletuksie määrät talletusaja lopussa K = kq t Talletus Pääoma talletusaja lopussa. talletus 000 vuode lopussa ,05. talletus 00 vuode lopussa ,05. talletus 00 vuode lopussa ,05 9. talletus 008 vuode lopussa ,05 0. talletus 009 vuode lopussa Pääoma yhteesä yhdeksä vuode jälkee 8

39 K = , , , = 700 ( +, ,05 +,05 ) 0, 05 = 700,05 888, 70 q = a q a =, q =, 05, = 0 Vastaus: Tilillä o rahaa 8 88, Korkokerroi q = + 0,050 =,05 Talletusaika t = 0, 9, 8,, a Kertatalletus k ( ) Talletukse k määrä talletusaja t kuluttua K = kq t Talletus Pääoma talletusaja lopussa Talletus. vuode alussa k 0 k,05 Talletus. vuode alussa k 9 k, 05 Talletus. vuode alussa k 8 k, 05 Talletus 8. vuode alussa k k,05 Talletuste pääoma säästöaja jälkee pitää olla yhteesä , jote k + k + + k = 0 9, 05, 05..., q 0 9 = a k (, 05 +, , 05) = q 0, 05 k,05 = 50000, 05 9, k = : 9, k 708, 6 a =, 05, q =, 05, = 0 Vastaus: Veijo pitää tallettaa vuosittai 708,6. 84

40 Harjoituskoe. x+ y = x y 6 ( ) = 9x+ 4y = 7 9x + 0y = 7 4y = 44 y = x+ 0y = 60 8x 0y = 44 6x = 6 x = 7 Vastaus: x = ja 7 y = 0 7. a) Joo jäse saadaa laskemalla kaksi edellistä jäsetä yhtee, jote d + 0 =, josta d =. Jatkamalla samoi saadaa c + = 0, josta c =, b =, josta b = ja a + =, josta a =. b) Osoittaja o parito ja kasvaa kahdella, imittäjä o aia sama, jote a = 4. c) Joo o geometrie q = = Vastaus: a) a = b) a = 4 c) 7 a = : 7. 4 :. Täte a = F H G I K J = = =. Esimmäie luku a = 0 000, viimeie luku a = , lukuja yhteesä = = Lukuje summa a + a = Vastaus: = =

41 4. x+ y 4x+ y 0 y 0 Piirretää rajasuorat laskemalla suorie ja koordiaattiakselie leikkauspisteet. y = 0 o x-akseli x+ y = x = 0, y = y = 0, x = 4x+ y = 0 x = 0, y = 0 y = 0, x = 0 ijoitetaa epäyhtälöihi piste ( 0,5; 0,5), ja varmistetaa, että kyseessä o suorie rajoittama kolmio. ( 0,5) + ( 0,5) 4 ( 0,5) + ( 0,5) 0 0,5 0 Kaikki epäyhtälöt toteutuvat. Lasketaa kolmio ABC kärkipisteet. A o laskettu piirtämise yhteydessä A(,0) B: x+ y = 4x+ y = 0 eli y = 4 x sijoitetaa ylempää 86

42 x + ( 4x) = x = y = 4 = 4 B (, 4) Piste C o laskettu piirtämise yhteydessä C(0,0) Lasketaa lausekkee x y arvo kolmio kärkipisteissä Piste x y A(,0) ( ) 0 = piei B(, 4) ( 4) = 6 suuri C(0,0) 0 0 = 0 Vastaus: Piei arvo o ja suuri Lasketaa yhtälö vasemma puole summa = a + a = =, a =, a = + = = 78 atkaistaa yhtälö = x + 7x x + 7x = 78 x + 7x 78= 0 Vastaus: x = tai x = 6. x = 7 ± 7 4 ( 78) 7 6 x = + = x = = 6. Aritmeettie lukujoo 0 a = b 0. Geometrie lukujoo 6 b =. a 6 aadaa yhtälöpari b= 40 a sijoitetaa alempaa. ab = 56 a( 40 a ) = 56 a 40a+ 56 = 0 a = ja a 40 ± ( 40) ± 576 a = =. = 8 Vastaavat b: arvot b = 40 = 8 ja b = 40 8 =. Vastaus: a = ja b = 8 tai a = 8 ja b =. 87

43 7. Esimmäise vuode talletuksille lasketaa yksikertaie korko. Pääoma, joka o tilillä esimmäise vuode jälkee o tilillä vielä eljä vuotta kasvae korkoa korolle. Korkoprosetti i =,00 % = 0,0 Talletusaika t = a, a,, a Kertatalletus k = 40 Korko talletusaja lopussa r = kit k = 40, i = 0,0, t = a, a,, a r = 40 0, , ,0 40 0,0 a (... ) + a = =, =, a =, a =, + = = 7,8 Tilillä rahaa vuode kuluttua ,8 = 487,80 Loppu säästöaika talletus kasvaa korolle korkoa t K = kq k = 487,80, q = + 0,0 =,0, t = a K = 487,80, 0 50,4 Toisea vuoa tapahtuvat talletukset kasvavat yksikertaista korkoa kute esimmäise vuode talletukset, jote toise vuode talletuksista kertyy 487,80. Talletukset korkoiee yhteesä 50, ,4 = 990,. Vastaus: Tilillä o rahaa 990, talletusaja jälkee. 8. Maapallo öljyvarat 00a Vuotuie kulutus ykyää a Kulutusta pieeetää 0,8 % vuodessa, jote kulutus. vuoa 0,99a. Kulutus. vuoa 099, a Kulutus. vuoa 099, Kulutus yhteesä 00a, jote a+ 0, 99a+ 0, 99 a , 99 a = 00a :a a 88

44 + 0, , , 99 = , 99 0, 99 + q q a =, q = 099, = a = 00 ( 0, 99) 0, 99 = 00 99, 099, + = 0, lg ( + )lg 099, = lg 0, :lg 099, lg 0, = = 99, lg 099, Vastaus: Öljyvarat riittäisivät 00 vuotta. Harjoituskoe. Piei :lla jaollie eliumeroie luku a = 00 uuri :lla jaollie eliumeroie luku a = Lukuja yhteesä = = 000 Lukuje summa a + a = = 000 = Vastaus: Aritmeettise lukujoo yleie jäse a = a + ( ) d Lukujoo esimmäise ja kolmae jäsee summa s= a + ( a + d) = a + d Toise ja kuudee jäsee summa = ( a+ d) + ( a+ 5d) = a+ 6 d aadaa yhtälöpari a + d = T a + 6d = 5 Vähetämällä yhtälöt puolittai saadaa 4d =, josta d =. ijoittamalla tämä ylempää yhtälöö saadaa a + =, josta a =. umma esimmäie jäse a = adas jäse a 00 = + 99 = 0 ada esimmäise jäsee summa a + a 00 = Vastaus: = 00 = 575

45 . ajasuorat x =, y = x + 5 ja y = x. Tarkistetaa, että pistee (,) koordiaatit toteuttavat kaikki epäyhtälöt. > + < 5 < 9 Kaikki epäyhtälöt toteutuvat, jote varjostettu alue o oikea. 4. a) = 9 b) 6 5 x x = 9 x 9 = 64 : 9 x = 4 x = = 05 8 q q a =, q =, = 6 = a 7 x x = 05 x 05 = 80 : 05 x = 6 x = 4 x = 4 Vastaus: a) x = b) x = 4 q q a =, q =, = 8 = a 90

46 5. Elokuvissa käyit x Urheilukilpailuissa käyit y Tehdää taulukko aha ( ) Aika (h) Elokuvat, x 8x x Urheilukilpailut, y 5y y Käytettävissä eitää Haetaa lausekkee x + y suuri arvo. ajoite-epäyhtälöt x y 8 8x+ 5y 40 x+ y 56 Piirretää rajasuorat laskemalla suorie ja koordiaattiakselie leikkauspisteet. x = y = 8 8x + 5y = 40 x = 0, y = 8 y = 0, x = 7,5 y-akseli suutaie suora x-akseli suutaie suora x + y = 56 x = 0, y = 8 y = 0, x = 8 9

47 Testataa toteuttaako piste (,0) rajoite-epäyhtälöt Koska epäyhtälöt toteutuvat, varjostettu alue toteuttaa rajoite-epäyhtälöt. Viisikulmio kärkipisteet Piste A(0,8) Piste B(,8) Piste C x = 8x+ 5y = 40 ijoittamalla x: arvo saadaa 8 + 5y = 40, josta y = 8,8. C(; 8,8) Piste D 8x+ 5y = 40 x+ y = 56 ( 4) 8x + 5y = 40 8x y = 4 7y = 84 y = ijoittamalla y: arvo alempaa yhtälöö saadaa x + = 56, josta x = 0. D(0, ) Piste E(0,8) Koska muuttujie x ja y arvoje pitää olla luoollisia lukuja, lasketaa optimoitava lausekkee arvo pisteitä A,B, D ja E sekä pistettä C lähiä olevissa kokoaislukupisteissä (,9) ja (,0). Piste A(0,8): x + y = = 8 Piste B(,8): x + y = + 8 = 0 Piste D(0,): x + y = 0 + = suuri Piste E(0,8): x + y = = 8 Piste (,9): x + y = + 9 = 0 Piste (,0): x + y = + 0 = Vastaus: Elokuvissa 0 ja urheilukilpailuissa kertaa. 9

48 6. Joo perättäiste jäsete suhde o aia sama x x + = x + 8= 0x + 0 b b 4ac x 0x+ 8= 0 x = ± a x = ( 0) ± ( 0) x = 6 = x = = 6 Jos x =, joo. jäse a = x+ = + = 6 Joo. jäse a = x + 6= + 6= Joo suhdeluku q = = = aq = = = Joo. jäse a 6 6 Jos x = 4, joo. jäse a x 4 4 = + = + = F 4 70 Joo. jäse a = x + 6 = 6 H G I K J + = Joo suhdeluku q = : = = F Joo. jäse a = HG I KJ = 7 = 7 Vastaus: Lukujoo kolmas jäse o 6 tai A: hita a ( ) ja I: hita i ( ). aadaa seuraavat yhtälöt: masikka: a + i = 9,00 siirita: a + i = 9,50 eli a = 9,50 i sijoitetaa ylempää yhtälöö (9,50 i) + i = 9,00 9,00 6i + i = 9,00 i =,00 a = 9,50 i = 9,50,00 =,50 Vastaus: Vokaalie hita: a,50 ja i,00. 9

49 8. Esimmäise vuode talletuksesta saatu korko o r = kit, missä k = 00, i =,50 % = 0,050 ja t = 9, 6,, a. Korko r = 00 0, , , , 050 = 00 0, ( 9 6 ) =,50 Pääoma vuode jälkee 400 +,50 = 8,50. Tämä talletus kasvaa korolle korkoa 7 a. amalaisia talletusvuosia o seitsemä. Korkokerroi q =,05. Talletusvuosi k ( ) K ( ). 8,50 8, 50, ,50 8, 50, ,50 8, 50, 05 Talletukset yhteesä 7 = 8,50 05, 7 + 8,50 05, ,50 05, = 8,50, 05 ( +, , 05 ) = 8,50 05,, 05, 05 = 8 046,09 Vastaus: Tilillä oli rahaa 8 046,09. = a 6 7 q q a =, q = 05,, = 7 Harjoituskoe. Lukuje ja 4 välissä 6 lukua, jote iide välillä o 7 väliä. 4 Kahde perättäise luvu erotus d = = 7 7 Luvut ovat, 7 6, 7, 7 5, 7 ja Vastaus: Luvut ovat, 7 6, 7, 7 5, 7 ja

50 . Puaise ruusu hita x ( ) Valkoise ruusu hita y. kimppu x+ 4y =,90. kimppu x+ y = 4,70 aadaa yhtälöpari x+ 4y =,90 x+ y = 4,70 atkaistaa alemmasta yhtälöstä y. x + y = 4,70 y = 4,70 x : y = 4,90 x ijoitetaa y yhtälöpari ylempää yhtälöö. x + 4y =,90 y = 4,90 x x + 4(4,90 x) =,90 x + 9,60 4x =,90 x = 5,70 :( ) x =,85 Lasketaa y = 4,90 x = 4,90,85 =,05 Vastaus: Puaiset ruusut maksoivat,85 ja valkoiset,05 kappale.. Esimmäie tyttö kätteli 40 poikaa ja 9 tyttöä Toie tyttö kätteli 40 poikaa ja 8 tyttöä Kolmas tyttö kätteli 40 poikaa ja 7 tyttöä Neljäskymmees tyttö kätteli 40 poikaa eikä yhtää tyttöä Kättelyjä yhteesä = a + a =, = 40, a = 79, a = = 40 = 80 Vastaus: Kättelyjä suoritettii 80 kertaa. 4. Väkiluku kasvaa vuodessa q-kertaiseksi ja t vuodessa q t -kertaiseksi. Kasvuprosetti t K = kq K = 0 000, k = 000, t = = 000q : = q q = 0 = 07,... 95

51 Väkiluku sada vuode kuluttua t 0 K = kq k = 000, q = 0, t = F K = H G I K J 000 Vastaus: Väkiluku o sada vuode kuluttua Aritmeettise lukujoo yleie termi a = a + ( ) d Kuudes termi a 6 = 8,9, jote a + 5d = 89, Viidestoista termi a 5 = 8,0, jote a + 4d = 8, 0 aadaa yhtälöpari a + 5d = 89, T a + 4d = 8, 0 Vähetämällä yhtälöt puolittai saadaa 9d = 0,7, josta d = 0,0. ijoittamalla ylempää yhtälöö saadaa a + 5 ( 0, 0) = 8, 9, josta a = 8,44. Termi o egatiivie, ku a < 0, jote 8, 44 + ( ) ( 0, 0) < 0 00, + 847, < 0 Nollakohta 00, + 847, = 0 Merkkikaavio 65 _ = 65 Vastaus: Joo termit ovat egatiivisia 66. termistä lähtie. 6. Jokaise polu pituus lyheee aia kuljettaessa vastakkaisee suutaa yhdellä metrillä. Esimmäie polku vaakasuoraa 9,5 m Esimmäie polku pystysuoraa 9,0 m Toie polku vaakasuoraa 8,5 m Toie polku pystysuoraa 8,0 m Yhdeksäs polku vaakasuoraa,5 m Yhdeksäs polku pystysuoraa,0 m Kymmees polku vaakasuoraa 0,5 m Kymmeettä polkua pystysuoraa ei ole. Polkuje yhteispituus = 9,5 + 9,0 + 8,5 + 8,0 + +,5 +,0 + 0,5 96

52 = (9,5 + 8, ,5) + (9,0 + 8,0 + +,0) a + a = 9, 5+ 0, 5 90, + 0, = = 95 Vastaus: Jai joutuu kävelemää 95 m. 7. ukset x auvat y Tehdää taulukko aha ( ) Aika (mi) ukset x 80x 45x auvat y 0y 5y Käytettävissä eitää = Haetaa tuottolausekkee 0x +50 y suuri arvo. ajoite-epäyhtälöt x 0 T y 0 80x+ 0y x+ 5y Piirretää rajasuorat koordiaatistoo. x = 0 y-akseli y = 0 x-akseli uora uora 80x+ 0y = x+ 5y = y = x+ 800 y = x+ 000 Taulukoidaa joitaki arvoja suorie piirtämistä varte x 8 y = x+ 800 x y = x

53 y D 45x + 5y = x = 0 80x + 0y = y = 0 x A B Kuva viivoitettu alue toteuttaa rajoite-epäyhtälöt. Nelikulmio kärkipisteet Piste A o origo A(0,0) Piste B T y = 0 45x+ 5y = ijoittamalla y: arvo saadaa 45x = 0 000, josta x = 666. Piste B( 666,0) C Piste C 80x+ 0y = T 45x+ 5y = ( ) 80x+ 0y = T 90x 0y = ( ) Laskemalla yhtälöt yhtee saadaa 0x = 6 000, josta x = 600 ijoittamalla x: arvo alempaa yhtälöö saadaa y = 0 000, josta y = 00. Piste C(600,00) Piste D T x = 0 80x+ 0y = ijoittamalla x: arvo alempaa yhtälöö saadaa y = , josta y = 800. Piste D(0, 800) 98

54 Koska x ja y ovat kokoaislukuja, ja aluee aioat kokoaislukupisteet ovat (,) ja B(,), ii lasketaa optimoitava lausekkee arvo äissä pisteissä. Piste 0x +50 y A(0,0) = 0 B( 666,0) C(600,00) = D(0, 800) = suuri Vastaus: Kaattaa tehdä vai sauvoja. 8. Korkoprosetti i =,5 % = 0,05 0 Talletusaika t = a, a,, a Talletuksia yhteesä 6 kertaa Kertatalletus 55 Pääoma vuode lopussa 0 K = 6k+ kit k = 55, i = 0, 05, t = a, a,, a 0 K = , , ,05 a + a 55 0,05 = = ( ) = 6, a =, a = 55 0, 05 + = ,4 Vastaus: Oskarilla o tilillä,4. 99

2.3.1. Aritmeettinen jono

2.3.1. Aritmeettinen jono .3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo

Lisätiedot

3 Lukujonot matemaattisena mallina

3 Lukujonot matemaattisena mallina 3 Lukujoot matemaattisea mallia 3. Aritmeettie ja geometrie joo 64. a) Lukujoo o aritmeettie joo, joka yleie jäse o a 3 ( ) 4 34 4 4 b) Lukujoo o geometrie joo, joka yleie jäse o c) Lukujoo o geometrie

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot Calculus Lukio MAA9 Trigoometriset fuktiot ja lukujoot Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Trigoometriset fuktiot ja lukujoot (MAA9) Pikatesti

Lisätiedot

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa

Lisätiedot

117 = 27 + (11 1) d = 90 :10. Yhdeksäs termi a. Vastaus: Yhdeksäs jäsen on 99.

117 = 27 + (11 1) d = 90 :10. Yhdeksäs termi a. Vastaus: Yhdeksäs jäsen on 99. a = a+ ( ) d a = 7, a = 7, = 7 = 7 + ( ) d 0d = 90 :0 d = 9 Yhdeksäs termi a 9 = 7 + (9 ) 9 = 99 Vastaus: Yhdeksäs jäse o 99. 0. Aritmeettisesta lukujoosta tiedetää, että S =. Mikä o lukujoo 7. ja :s jäse?

Lisätiedot

2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x =

2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x = TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. a) g( ) = 5 + 6 Koska g o eljäe astee polyomi, ii

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kurssikerta 3 1 Lisää iduktiota Jatketaa iduktio tarkastelua esimerki avulla. Yritetää löytää kaava : esimmäise (positiivise) parittoma luvu summalle eli summalle 1 + 3 + 5 + 7 +...

Lisätiedot

LISÄTEHTÄVÄT. Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto Piirretään suorat. Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt. y x ja a) b) y x.

LISÄTEHTÄVÄT. Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto Piirretään suorat. Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt. y x ja a) b) y x. LISÄTEHTÄVÄT Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt 0. a) b) y 7 x 4 0 y x 0 y7 x 4 : y x y,5 x c) d) 5x 8y 5 8y 5x5 :( 8) 7y 5x 7y 5x :7 5 5 5 y x y x 8 8 7 7. Piirretään suorat y x 0 y x ja x y 0 y x Leikkauspiste

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku

Lisätiedot

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p MAA9 Koe.5.0 Jussi Tyi Tee koseptii pisteytysruudukko! Muista kirjata imesi ja ryhmäsi. Valitse kuusi tehtävää!. a) Ratkaise yhtälö si x. Ilmoita vastaus radiaaeia! b) Määritä paljoko o cos. Ilmoita tarkka

Lisätiedot

3.9. Mallintaminen lukujonojen avulla harjoituksia

3.9. Mallintaminen lukujonojen avulla harjoituksia 3.9 Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia 3.9. Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia Lukujoo määritelmä harjoituksia 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3

Lisätiedot

Laudatur 13. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi MAA 13. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Opettajan aineisto

Laudatur 13. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi MAA 13. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Opettajan aineisto Laudatur Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Otteli Leea Walli-Jaakkola Opettaja aieisto Helsigissä Kustausosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirja tehtävii... Kokeita...7

Lisätiedot

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1 Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +

Lisätiedot

xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x)

xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x) BM20A580 Differetiaalilasketa ja sovellukset Harjoitus 3, Syksy 206. Laske seuraavat itegraalit si(4t + )dt (b) x(x 2 + 00) 000 dx (c) x exp(ix )dx 2. Mitä o y, ku (x ) 2 + y 2 = 2 2, etäpä y? Vastaukset

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2007 104,1 2009 108,3 108,3 a) Jakamalla 1,040345 104,1 saadaa iflaatioprosetiksi 4,03 %. 104,1 b) Jakamalla 0,96121 saadaa, että raha

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2002 104,2 2004 106,2 a) Jakamalla 106,2 1,01919 saadaa iflaatioprosetiksi 1,92 %. 104,2 b) Jakamalla 104,2 0,98116 saadaa, että raha

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Harjoitustehtävien ratkaisuja 3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

3.6. Geometrisen summan sovelluksia

3.6. Geometrisen summan sovelluksia Tyypillie geometrise summa sovellusalue o taloude rahoituslaskut mutta vai tyypillie. Tammikuu alussa 988 vahemmat avaavat pitkäaikaistili Esikoisellee. Tiliehdot ovat seuraavat. Korko kiiteä 3,85 % pa

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a)

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a) Kertusos Kertusos ). ) : j 7 0 7 ) 0 :( ) c) :( ). Merkitää merirosvorht (kg) sukltrffelit (kg) ) 7, 0 hit: /kg hit: 7 /kg ) 00 g 0,kg 7 0,,0,,0, 0, (kg) :. ) Vstus: ) 7, 0 ( ) ) 00 g. ) 0 7 9 7 0 0 Kertusos

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa

Lisätiedot

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio.

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio. Yo-tehtäviä Mb06 kurssista Sarja 1 k09/12. Mikä on suurin arvo, jonka lauseke x + y saa epäyhtälöiden x 0, y 0, 2x + 3y 24, 5x + 3y 30 määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit.

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Lasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut:

Lasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut: Varsi arkiäiväisiä, geometrise joo teoriaa liittyviä käytäö sovellutuksia ovat jaksottaisii maksuihi ja kuoletuslaiaa (auiteettilaiaa) liittyvät robleemat. Tällaisii joutuu lähes jokaie yhteiskutakeloie

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Harjoitustehtävien ratkaisuja 3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Mite opit parhaite? Valmistaudu pitkä- tai lyhye matematiika kirjoituksii ilmaiseksi Mafyetti-ohjelmalla! Harjoittelu tehdää aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Ympyrän yhtälö

Ympyrän yhtälö Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( ) Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

1 Eksponenttifunktion määritelmä

1 Eksponenttifunktion määritelmä Ekspoettifuktio määritelmä Selvitimme aikaisemmi tällä kurssilla, millaie potessisarja säilyy derivoiissa muuttumattomaa. Se perusteella määritellää: Määritelmä. Ekspoettifuktio exp : R R määritellää lausekkeella

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2 Kotitehtäviä 5. Ratkaisuehdotuksia. a) Jono a,..., a 500 on aritmeettinen, a = 5 ja erotusvakio d = 4. Laske jäsenet a, a 8 ja a 00 sekä koko jonon summa. b) Jono b,..., b 0 on geometrinen, b = ja suhdeluku

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1. TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin Peruskäsitteitä 8. CA CB + BA BC AB b a a b DA DB + BA ( BC) + ( AB) b a a b Vastaus: CA a b, DA a b 8. DC DA + AC BA + AC BA BC AC ( BC AC ) + AC AC CB Vastaus:

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

3 10 ei ole rationaaliluku.

3 10 ei ole rationaaliluku. Harjoitukset / 011 RATKAISUT Lukuteoria 1. Etsi Eratostheee seulalla samatie kaikki lukua 400 pieemmät alkuluvut. (Tai ohjelmoi tietokoeesi etsimää paljo lisää.) Kirjoita rivii kaikki luvut 1-00. Poista

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

Tehtävä 1. Etsi Neperin luvulle e vaihtoehtoisia esitysmuotoja joko suppenevia lukujonoja tai päättymättömiä summia eli sarjamuotoja.

Tehtävä 1. Etsi Neperin luvulle e vaihtoehtoisia esitysmuotoja joko suppenevia lukujonoja tai päättymättömiä summia eli sarjamuotoja. POHDIN rojekti Jatkuva korko ja e Eksoettifuktioille voidaa johtaa omiaisuus f ( x) f (0) f( x). Riittää ku oletetaa, että f (0) o olemassa. Nyt eksoettifuktioide f( x) 2 x ja gx ( ) 3 x välistä yritää

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

3 Lainat ja talletukset

3 Lainat ja talletukset 3 Laiat ja talletukset Korkolasku 17. 0,8 3 = 64,96 ( Lähdevero määrä pyöristetää alaspäi täysii kymmeii setteihi. Lähdeveroa peritää 64,90. 173. 0,05 1 6 = 40,5 ( a 0,8 40,5 = 11,7 ( Lähdeveroa peritää

Lisätiedot

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims 75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva

Lisätiedot

MAB Jussi Tyni. Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.

MAB Jussi Tyni. Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. MAB6. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan

Lisätiedot

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla. Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä

Lisätiedot

Eräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n.

Eräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n. POHDIN projekti Neliöide summa Lukujoo : esimmäise jäsee summa kirjoitetaa tavallisesti muotoo S ai i 1. Aritmeettisesta lukujoosta ja geometrisesta lukujoosta muodostetut summat voidaa johtaa varsi helposti.

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi Calculus Lukio 8 MAA Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT OPETTAJAN MATERIAALI

TEHTÄVIEN RATKAISUT OPETTAJAN MATERIAALI TEHTÄVIEN RATKAISUT OPETTAJAN MATERIAALI Sisällysluettelo 1 Prosettilasketa ja verotus 3 Prosettilasketa 3 Verotus 18 2 Hiat ja raha arvo 23 Ideksit 23 Euro ja muut valuutat 39 3 Laiat ja talletukset 52

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat 35, 7 ja 0.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat 35, 7 ja 0. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku.. Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat, 7 ja 0.. a) Luvun vastaluku on, koska + ( ) 0. b) Luvun 7 vastaluku on 7, koska 7 + ( 7) 0. c) Luvun 0 vastaluku on

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

3 Eksponentiaalinen malli

3 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,

Lisätiedot

MAOL-pisteytysohje. Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät 2014

MAOL-pisteytysohje. Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät 2014 0..0 MAOL-pistetsohje Matematiikka lht oppimäärä Kevät 0 Hvästä suorituksesta näk, miten vastaukseen on päädtt. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut ja lopputulos. Arvioinnissa

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot