Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5."

Transkriptio

1 Tekijä Pitkä matematiikka Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän keskipiste on (4,1). Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r = 49 eli r = ± 49 = ± 7. Koska säde on positiivinen, niin r = 7. b) ( x+ 5) + ( y 8) = 5 x+ 5 = x ( 5) ( x ( 5)) + ( y 8) = 5 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 5 ja y 0 = 8, joten ympyrän keskipiste on ( 5,8). Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. c) x + y = 16 x = x 0 ja y = y 0 ( x 0) + ( y 0) = 16 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 0 ja y 0 = 0, joten ympyrän keskipiste on (0,0). Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r = 16 eli r = ± 16 = ± 4. Koska säde on positiivinen, niin r = 4.

2 d) ( x 1) + y = 1 ( x 1) + ( y 0) = 1 y = y 0 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 1 ja y 0 = 0, joten ympyrän keskipiste on (1, 0). Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r = 1 eli r = ± 1 = ± 1. Koska säde on positiivinen, niin r = 1. x + y = 1 : x + y = 1 1 x + y = 1 x = x 0 ja y = 4 ( x 0) + ( y 0) = 1 4 e) y 0 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 0 ja y 0 = 0, joten ympyrän keskipiste on (0,0). Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r = 1 eli 4 r = ± = ± 4 =±. Koska säde on positiivinen, niin r = 1.

3 Vastaus a) keskipiste (4,1) ja säde 7 b) keskipiste ( 5,8) ja säde 5 c) keskipiste (0,0) ja säde 4 d) keskipiste (1, 0) ja säde 1 e) keskipiste (0,0) ja säde 1

4 Tekijä Pitkä matematiikka Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 ( x ) + y = ( x ) + ( y 0) = y = y 0 Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r = 5 eli 4 r =± =± 4 =±. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. a) Käytetään pinta-alan kaavaa. A= πr = π 5 4 = 5 π 4 5 b) Käytetään piirin kaavaa. p = pr r = = p 5 = 5p Vastaus a) 5 4 π b) 5π 5 r = 4

5 Tekijä Pitkä matematiikka Määritetään kuvasta ympyrän keskipiste ja säde. a) Ympyrän keskipiste on (0,0) ja säde r = 4. Sijoitetaan ne ympyrän kaavaan. 0 0 ( x x ) + ( y y ) = r ( x 0) + ( y 0) = 4 x + y = 16 Sijoitetaan x = 0, y 0 0 = 0, r = 4 b) Ympyrän keskipiste on (1, ) ja säde r =. Sijoitetaan ne ympyrän kaavaan. 0 0 ( x x ) + ( y y ) = r ( x 1) + ( y ) = ( x 1) + ( y ) = 4 Sijoitetaan x = 1, y =, r = 0 0 Vastaus a) x + y = 16 b) ( x 1) + ( y ) = 4

6 Tekijä Pitkä matematiikka a) Ympyrän keskipiste on (0,0) ja säde r = 3. Sijoitetaan ne ympyrän yhtälön kaavaan. 0 0 ( x x ) + ( y y ) = r ( x 0) + ( y 0) = 3 x + y = 9 Sijoitetaan x = 0, y = 0, r = b) Ympyrän keskipiste on (,5) ja säde r = 1. 0 ( 0) ( x x ) + y y = r Sijoitetaan x =, y = 5, r = 1 ( x ) + ( y 5) = 1 ( x ) + ( y 5) = c) Ympyrän keskipiste on (3, 4) ja säde r = ( x x ) + ( y y ) = r 5 ( ) ( x 3) + ( y ( 4)) = ( x 3) + ( y + 4) = 5 4 Sijoitetaan x 5 0 = 3, y0 = 4, r = 1 =

7 Vastaus a) x + y = 9 b) ( x ) + ( y 5) = 1 c) ( x 3) + ( y+ 4) = 5 4

8 Tekijä Pitkä matematiikka a) Sijoitetaan ympyrän keskipiste ( 1, ) ja säde r = 10 ympyrän kaavaan. 0 0 ( x x ) + ( y y ) = r ( x ( 1)) + ( y ) = 10 ( x+ 1) + ( y ) = 10 Sijoitetaan x = 1, y =, r = b) Lasketaan pisteen A( 3,5) etäisyys ympyrän keskipisteestä ( 1, ). d = ( 1 ( 3)) + ( 5) A = ( 1 + 3) + ( 5) = + ( 3) = 4+ 9 = 13 Koska d A = 13 on suurempi kuin säde r = 10 ympyrän ulkopuolella., piste A on

9 Lasketaan pisteen B(, 1) etäisyys ympyrän keskipisteestä ( 1, ). d = ( 1 ( )) + ( ( 1)) B = ( 1 + ) + ( + 1) = = = Koska d B = 10 on yhtä suuri kuin säde r = 10 ympyrällä., piste B on Lasketaan pisteen C (,) etäisyys ympyrän keskipisteestä ( 1, ). d = ( 1 ) + ( ) C = ( 3) + (0) = 9 = 3 Koska d C = 9 = 3 on pienempi kuin säde r = 10 ympyrän sisäpuolella., piste C

10 Vastaus a) ( x+ 1) + ( y ) = 10 b) Piste A on ympyrän ulkopuolella, piste B ympyrällä ja piste C ympyrän sisäpuolella.

11 Tekijä Pitkä matematiikka Sijoitetaan ympyrän keskipiste (10, 15) ympyrän kaavaan. 0 0 ( x x ) + ( y y ) = r ( x 10) + ( y ( 15)) = r ( x 10) + ( y + 15) = r Sijoitetaan x = 10, y = a) Ympyrä kulkee pisteen (100,30), joten ympyrän säde on r = (100 10) + ( 15 30) = Tällöin säteen neliö on r = 1015 ja ympyrän yhtälö on ( x 10) + ( y+ 15) = b) Ympyrä kulkee pisteen (95, 10) kautta, joten ympyrän säde on r = (95 10) + ( 15 ( 10)) = 750. Tällöin säteen neliö on r = 750 ja ympyrän yhtälö on ( x 10) + ( y+ 15) = 750. Vastaus a) ( x 10) + ( y+ 15) = 1015 b) ( x 10) + ( y+ 15) = 750

12 37 Tekijä Pitkä matematiikka Jos halkaisijan päätepisteet ovat A (,10) ja B( 3,1), niin ympyrän keskipiste on janan AB keskipiste. Piirretään jana AB ja merkitään sen keskipiste C. Ympyrän keskipiste on ( 1, 11). Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on C ja joka kulkee pisteiden A ja B kautta. Saadaan ympyrän yhtälöksi ( x+ 1 ) + ( y 11) = 53. Vastaus ( x+ 1 ) + ( y 11) = 53

13 Tekijä Pitkä matematiikka Tavoitteena on löytää yhtälö, jonka janan keskipisteet toteuttavat. Merkitään keskipisteen koordinaatteja kirjaimilla x ja y, eli keskipiste on ( xy., ) Toinen päätepiste on x-akselilla, joten se on muotoa ( a,0). Toinen päätepiste on y-akselilla, joten se on vastaavasti muotoa (0, b ). Koska kepin keskipiste ( xy, ) = ( a+ 0, 0+ b) = ( a, b), niin päätepisteiden koordinaatit a ja b voidaan ilmaista keskipisteen avulla. x = a a = x y = b b= y Päätepisteiden ( a,0) = ( x,0) ja (0, b) = (0, y) välinen etäisyys on 4. Muodostetaan yhtälö. (0 x) + ( y 0) = 4 ( x) + ( y) = 4 4x + 4y = 4 a = b, kun b 0 ja a = b 4x + 4y = 4 :4 x + y = 4 ( x 0) + ( y 0) = 4

14 Ratkaistaan säde r. r = 4 r = ± r > 0, hylätään negatiivinen tulos r = Siis kepin keskipiste piirtää ympyrän ( x 0) + ( y 0) = 4, jonka keskipiste on (0,0) ja säde. Vastaus Ympyrän, jonka keskipiste on (0,0) ja säde.

15 Tekijä Pitkä matematiikka Ympyrän yhtälöstä ( x+ 5) + ( y 7) = 64 nähdään, että sen keskipiste on P( 5,7) ja säde r = 64 = 8. Ratkaisua voidaan havainnollistaa kuvan avulla. a) Lasketaan etäisyys ympyrän keskipisteestä P( 5,7) pisteeseen A (3,13). PA = (3 ( 5)) + (13 7) = 100 = 10 Huomataan, että etäisyys PA on suurempi kuin säde. Siis piste A (3,13) on ympyrän ulkopuolella ja sen lyhin etäisyys ympyrästä on AC = PA r = 10 8 =.

16 b) Lasketaan etäisyys ympyrän keskipisteestä P( 5,7) pisteeseen B( 1, 4). PB = ( 1 ( 5)) + (4 7) = 5 = 5 Huomataan, että etäisyys PB on pienempi kuin säde. Siis piste B( 1, 4) on ympyrän sisäpuolella ja sen lyhin etäisyys ympyrästä on BD = r PB = 8 5= 3. Vastaus a) b) 3

17 Tekijä Pitkä matematiikka Ratkaisua voidaan havainnollistaa kuvan avulla. Merkitään kysyttyä pituutta kirjaimella a. Ympyrän yhtälöstä x + y = 3 eli ( x 0) + ( y 0) = 3 nähdään, että keskipiste on A (0,0). Lasketaan keskipisteen A (0,0) etäisyys suorasta x+ y 10 = AC = = 10 = 5

18 Ratkaistaan ympyrän säde. r = 3 r = ± 3 r = 4 r > 0 Kysytty pituus a on suoran etäisyys keskipisteestä AC vähennettynä ympyrän säteellä r. a = AC r Sijoitetaan AC = 5 ja r = 4 = 5 4 = Koordinaatiston yksikkönä on 100 metriä, joten lyhimmän polun pituus tieltä järven rantaan on 100 m = 141,41... m 140 m. Vastaus 140 metriä

19 Tekijä Pitkä matematiikka a) Muutetaan suoran yhtälö yleiseen muotoon, jotta voidaan käyttää etäisyyden kaavaa. y = 1,5x 8,5 1,5x+ y+ 8,5= 0 3 x+ y+ 17 = 0 3x+ y+ 17 = 0 Jos ympyrä sivuaa suoraa 3x+ y+ 17 = 0, suora on säteen etäisyydellä ympyrän keskipisteestä ( 8, 3). Lasketaan säde. r = = = 3 ( 8) + ( 3) Lavennetaan neliöjuuri nimittäjäst ä Sijoitetaan ympyrän keskipiste ( 8, 3) ja säde ympyrän yhtälöön. 0 0 ( x x ) + ( y y ) = r ( x ( 8)) + ( y ( 3)) = 13 ( x+ 8) + ( y+ 3) = 13 Sijoitetaan x = 8, y = 3, r =

20 b) Muutetaan suoran yhtälö yleiseen muotoon, jotta voidaan käyttää etäisyyden kaavaa. x = 3,5 x + 3,5 = 0 x + 7 = 0 x + 7= 0 Jos ympyrä sivuaa suoraa x + 7= 0, suora on säteen etäisyydellä ympyrän keskipisteestä ( 8, 3). Lasketaan säde. ( 8) + 0 ( 3) + 7 r = + 0 = 9 Sijoitetaan ympyrän keskipiste ( 8, 3) ja säde ympyrän yhtälöön. 0 0 ( x x ) + ( y y ) = r 9 ( ) ( x ( 8)) + ( y ( 3)) = ( x+ 8) + ( y+ 3) = 81 4 Sijoitetaan x = 8, y = 3, r = Vastaus a) ( x+ 8) + ( y+ 3) = 13 b) ( x+ 8) + ( y+ 3) = 81 4

21 Tekijä Pitkä matematiikka Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 ( x+ 1 ) + ( y ) = 8 ( x ( 1 )) + ( y ) = 8 a) x+ 1 = x ( 1) Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 1 0 = ja y 0 =, joten ympyrän keskipiste on ( 1,). Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r = 8 eli r = ± 8 = ±. Koska säde on positiivinen, niin r =. b) ( x 1) + ( y+ 5) = 16 y+ 5 = y ( 5) ( x 1) + ( y ( 5)) = 16 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 1 ja y 0 = 5, joten ympyrän keskipiste on (1, 5). Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r = 16 eli r = ± 16 = ± 4. Koska säde on positiivinen, niin r = 4.

22 c) x + ( y + 3) = ( x 0) + ( y ( 3)) = x = x 0 ja y+ 3 = y ( 3) Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 0 ja y 0 = 3, joten ympyrän keskipiste on (0, 3). Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r = 1 eli 4 r = ± = ± 4 =±. Koska säde on positiivinen, niin r = 1. d) 4x + 4 y = 144 : 4 x + y = 36 ( x 0) + ( y 0) = 36 y = y 0 ja x = x 0 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 0 ja y 0 = 0, joten ympyrän keskipiste on (0,0). Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r = 36 eli r = ± 36 = ± 6. Koska säde on positiivinen, niin r = 6.

23 Vastaus a) keskipiste ( 1,) ja säde b) keskipiste (1, 5) ja säde 4 c) keskipiste (0, 3) ja säde 1 d) keskipiste (0,0) ja säde 6

24 Tekijä Pitkä matematiikka a) Ympyrän keskipiste on (0,1) ja säde r = 4. Sijoitetaan ne ympyrän yhtälön kaavaan. 0 0 ( x x ) + ( y y ) = r ( x 0) + ( y 1) = 4 x + ( y 1) = 16 Sijoitetaan x = 0, y = 1, r = b) Ympyrän keskipiste on ( 1,3) ja säde r = 3 5. ( x x 0) + ( y y0) = r Sijoitetaan x0 = 1, y0 = 3, r = 3 5 ( x ( 1 )) + ( y 3) = (3 5) 1 ( x+ ) + ( y 3) = 3 5 ( x+ 1 ) + ( y 3) = 9 5 ( x + 1 ) + ( y 3) = 45

25 c) Ympyrän säde r on keskipisteen (, 4) ja ympyrän pisteen (1, ) välinen etäisyys. Muodostetaan yhtälö. r = (1 ( )) + ( ( 4)) = (1 + ) + ( + 4) = 3 + = 9+ 4 = 13 Siis ympyrän keskipiste on (, 4) ja säde r = ( x x ) + ( y y ) = r ( x ( )) + ( y ( 4)) = 13 ( x+ ) + ( y+ 4) = 13 Sijoitetaan x =, y = 4, r = Vastaus a) x + ( y 1) = 16 b) ( x+ 1 ) + ( y 3) = 45 c) ( x+ ) + ( y+ 4) = 13

26 Tekijä Pitkä matematiikka a) Lasketaan pisteen ( 4, 1) etäisyys ympyrän keskipisteestä (0,1). d = (0 ( 4)) + (1 ( 1)) = 4 + (1 + 1) = 4 + = = 0 Ei tarvitse sieventää enempää Koska d = 0 on suurempi kuin säde r = 4 = 16, piste ( 4, 1) on ympyrän ulkopuolella.

27 b) Lasketaan pisteen ( 4, 1) etäisyys ympyrän keskipisteestä ( 1,3). d = ( 1 ( 4)) + (3 ( 1)) = ( 1 + 4) + (3 + 1) ( ) = = = 7 = = = Ei tarvitse sieventää enempää Koska d = 8 1 on pienempi kuin säde 4 r = 3 5 = 9 5 = 45, piste ( 4, 1) on ympyrän sisäpuolella.

28 c) Ympyrän säde r on keskipisteen (, 4) ja ympyrän pisteen (1, ) välinen etäisyys. Muodostetaan yhtälö. r = (1 ( )) + ( ( 4)) = (1 + ) + ( + 4) = 3 + = 9+ 4 = 13 Siis ympyrän keskipiste on (, 4) ja säde r = 13. Lasketaan pisteen ( 4, 1) etäisyys ympyrän keskipisteestä (, 4). d = ( ( 4)) + ( 4 ( 1)) = ( + 4) + ( 4+ 1) = + ( 3) = = Koska d = 13 on yhtä suuri kuin säde r = 13, piste ( 4, 1) on ympyrällä.

29 Vastaus a) ulkopuolella b) sisäpuolella c) ympyrällä

30 Tekijä Pitkä matematiikka Ympyrän yhtälöstä ( x 1) + ( y 5) = 16 nähdään, että sen keskipiste on P (1,5) ja säde r = 16 = 4. a) Ratkaisua voidaan havainnollistaa kuvan avulla. Lasketaan etäisyys ympyrän keskipisteestä P (1,5) pisteeseen A(13, 4). d = PA = (13 1) + ( 4 5) = 5 = 15 Huomataan, että etäisyys d on suurempi kuin säde r = 4. Siis piste (13, 4) on ympyrän ulkopuolella ja sen lyhin etäisyys ympyrästä on AB = AP BP = d r = 15 4 = 11.

31 b) Ratkaisua voidaan havainnollistaa kuvan avulla. Ympyrän yhtälöstä ( x 13) + ( y+ 4) = 36 nähdään, että sen keskipiste on (13, 4) ja säde r = 36 = 6. Ympyröiden keskipisteiden (1,5) ja (13, 4) välinen etäisyys PA = 15 laskettiin a-kohdassa. Koska tämä etäisyys on suurempi kuin ympyröiden säteiden r = r 1 = 4 ja r = 6 summa r1+ r = 10, ympyrät eivät leikkaa toisiaan eivätkä ne ole sisäkkäin. Nyt kysytty ympyröiden välinen lyhin etäisyys BC on ympyröiden keskipisteiden välinen etäisyys vähennettynä kummankin ympyrän säteellä. BC = PA r1 r = = 5

32 Vastaus a) 11 b) 5

33 Tekijä Pitkä matematiikka Ympyrän yhtälön ( x+ 1) + ( y 50) = k + 1 oikea puoli on säteen neliö r = k + 1. a) Ympyrän säde on 7. r = k = k + 1 k = 48 k = 4 Sijoitetaan säde r = 7 b) Jos ympyrän yhtälön keskipistemuodossa säde r = 0, esittää yhtälö pistettä. r = k = k + 1 k = 1 k = 1 Sijoitetaan säde r = 0 Ympyrän yhtälöstä ( x+ 1) + ( y 50) = k + 1 nähdään, että sen keskipiste on ( 1,50). Kun r = 0, yhtälö kuvaa tätä pistettä.

34 Vastaus a) k = 4 b) k = 1, ( 1,50)

35 Tekijä Pitkä matematiikka a) Muotoa ( x x 0) + ( y y0) = a oleva yhtälö esittää ympyrää, kun oikean puolen arvo on positiivinen. Yhtälö ( x 3) + ( y+ 3) = p + p esittää siis ympyrää, jos sen oikea puoli p + p > 0. Ratkaistaan laskimella polynomin nollakohdat. p + p = 0 p = 1 tai p = Polynomin. asteen termin kerroin on positiivinen, joten paraabeli aukeaa ylöspäin. Kuvaajan perusteella epäyhtälö p + p > 0 toteutuu, kun p < tai p > 1. Yhtälö siis esittää ympyrää, kun p < tai p > 1.

36 b) Kun ympyrä kulkee origon kautta, toteuttavat origon koordinaatit ympyrän yhtälön. Sijoitetaan origon koordinaatit x = 0 ja y = 0 yhtälöön. (0 3) + (0 + 3) = p + p 18 = p + p p + p 0= 0 Ratkaistaan yhtälö laskimella. p = 4 tai p = 5 Huomioidaan vielä a-kohdassa määritetty ehto sille, että yhtälö esittää ympyrää: p < tai p > 1. Ratkaisut kelpaavat, koska 4> 1 ja 5<. Siis yhtälö esittää origon kautta kulkevaa ympyrää, kun p = 4 tai p = 5. Vastaus a) p < tai p > 1 b) p = 4 tai p = 5

37 Tekijä Pitkä matematiikka Piirretään kuvio. Jana AB on ympyrän jänne. Kun jänne AB liikkuu pituuden muuttumatta huomataan, että jänteen keskipiste C pysyy aina vakioetäisyydellä ympyrän keskipisteestä P(1, ). Toisin sanoen janan keskipiste piirtää ympyrän, jonka keskipiste on P(1, ) ja säde PC.

38 Tiedetään, että janan AB pituus on 4, ja piste C on janan AB keskipiste. Tällöin etäisyys AC = 1 4 =. Ympyrän ( x 1) + ( y+ ) = 9 säteen neliö PA = 9. Käytetään suorakulmaiseen kolmioon PAC Pythagoraan lausetta ja ratkaistaan etäisyys PC. PA = PC + AC Sijoitetaan PA = 9 ja AC = PC 9= PC + = 5 PC = ± 5 PC = 5 PC > 0 Sijoitetaan ympyrän keskipiste P(1, ) ja säde r = PC = 5 ympyrän kaavaan. 0 0 ( x x ) + ( y y ) = r ( x 1) + ( y ( )) = 5 ( x 1) + ( y+ ) = 5 Siis janan AB keskipiste piirtää ympyrän ( x 1) + ( y+ ) = 5, jonka keskipiste on (1, ) ja säde 5.

39 Vastaus Ympyrän, jonka keskipiste on (1, ) ja säde 5. Yhtälö on ( x 1) + ( y+ ) = 5.

40 Tekijä Pitkä matematiikka Tavoitteena on löytää yhtälö, jonka janan keskipisteet toteuttavat. Merkitään keskipisteen koordinaatteja kirjaimilla x ja y, eli keskipiste on ( xy., ) Toinen päätepiste on x-akselilla, joten se on muotoa ( b,0). Toinen päätepiste on y-akselilla, joten se on vastaavasti muotoa (0, c ). Koska janan keskipiste ( xy, ) = ( b+ 0, 0+ c) = ( b, c), niin päätepisteiden koordinaatit b ja c voidaan ilmaista keskipisteen avulla. x = b b= x y = c c = y Päätepisteiden ( b,0) = ( x,0) ja (0, c) = (0, y) välinen etäisyys on a. Muodostetaan yhtälö. (0 x) + ( y 0) = a ( x) + ( y) = a ( x 0) 4x + 4y = a 4x + 4 y = a : 4 x + y = a 4 + ( y 0) = a 4 a = b, kun b 0 j a a = b

41 Yhtälö on muodoltaan ympyrän keskipistemuotoinen yhtälö. Ratkaistaan säde r. r = a 4 r = ± a 4 a r = ± a r = r = a r > 0, hylätään negatiivinen tulos a on pituus, jolloin a > 0 Siis janan keskipiste piirtää ympyrän ( x 0) + ( y 0) = a, 4 jonka keskipiste on (0,0) ja säde a. Vastaus Ympyrän, jonka keskipiste on (0,0) ja säde a.

42 Tekijä Pitkä matematiikka Ympyrän keskipiste ( x0, y 0) on suoralla y = 3x+, eli keskipisteen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. y = 3x Koska pisteet (1, 4) ja (3, 3) ovat ympyrällä, ovat ne yhtä kaukana ympyrän keskipisteestä (x 0, y 0 ) = (x 0, -3x 0 + ). Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan x = ( x 1) (( 3x ) 4) ( x 3) (( 3x ) 3) () = ( x 1) ( 3x ) ( x 3) ( 3x 1) Laskin: x 0 = 1 Tällöin y = 3x0 + = 3 + =. Ympyrän säde on keskipisteen etäisyys (mistä hyvänsä) ympyrän pisteestä. r = ( 1 3) + ( 1 3) = 5, josta r = 5. Ympyrän yhtälöksi saadaan ( x 1) + ( y 1) = 5. Vastaus ( x 1) + ( y 1) = 5

43 Tekijä Pitkä matematiikka a) Piirretään pisteet A = (1, 7) ja B = (5, 1). Merkitään jana AB ja sen keskipiste C = (3,3). Piirretään C:n kautta janan AB keskinormaali. Ympyröiden, jotka kulkevat pisteiden A ja B kautta, keskipisteet ovat tällä keskinormaalilla. Piirretään kolme ympyrää, joiden keskipiste on janan AB keskinormaalilla ja jotka kulkevat pisteen A kautta. Tällöin ne kulkevat myös pisteen B kautta.

44 b) Ympyrän keskipiste on janan AB keskinormaalilla kohdassa x = 5. Tällöin keskipiste on G = (5, 4) eli keskipisteen y-koordinaatti on 4. c) Ympyrän keskipisteet ovat keskinormaalilla, jonka yhtälö on x+ y = 3. Ratkaistaan keskinormaalin yhtälöstä y. x+ y = 3 y = x+ 3 y = 1 x+ 3 Siis ympyrän keskipisteen y-koordinaatti x-koordinaatin avulla lausuttuna on y = 1 x+ 3.

45 Vastaus a) b) y = 4 c) y = 1 x+ 3

46 Tekijä Pitkä matematiikka Piirretään epäyhtälöryhmän epäyhtälöt ( x 1) + ( y 1) 5 sekä y 1 x+ 5. Kuvioon muodostuva suurempi ympyräsegmentti toteuttaa molemmat epäyhtälöryhmän epäyhtälöt, koska sen kohdalla alueet menevät päällekkäin. Epäyhtälömerkkien yhtäsuuruudesta johtuen myös segmentin ääriviivat toteuttavat epäyhtälöryhmän.

47 Vastaus Suurempi ympyräsegmentti ääriviivoineen.

48 Tekijä Pitkä matematiikka a) Piste (x, y) on origokeskisellä, 5-säteisellä taksinkuljettajan ympyrällä, kun sen taksinkuljettajan etäisyys origoon (0, 0) on 5. x 0 + y 0 = 5 x + y = 5 b) Ratkaistaan yhtälöstä y. x + y = 5 y = 5 x Koska yhtälön vasen puoli on suurempi tai yhtä suuri kuin nolla, myös oikean puolen on oltava epänegatiivinen. 5 x 0 x 5 x 5 ja x 5 5 x 5

49 Jatketaan sieventämistä. y = 5 x y = 5 x tai y = (5 x) y = 5 + x Kun x 0 (ja edellisen mukaan x 5), on x = x, ja yhtälöt sievenevät muotoihin y = 5 x, missä 0 x 5 ja y = 5 + x, missä 0 x 5 Kun x < 0 (ja edellisen mukaan x 5), on x = x, ja yhtälöt sievenevät muotoihin y = 5 + x, missä 5 x< 0 ja y = 5 x, missä 5 x< 0 Piirretään siis suorat y = 5 x ja y = 5 + x välillä 0 x 5 ja suorat y = 5 + x ja y = 5 x välillä 5 x < 0.

50 Vastaus a) x + y = 5 b)

51 Tekijä Pitkä matematiikka Merkitään pisteiden (x 1, y 1 ) ja (x, y ) välistä maksimietäisyyttä, eli suurempaa arvoista x x 1 ja y y 1 lyhyemmin max( x x 1, y y 1 ). Piste (x, y) on origokeskisellä, 5-säteisellä maksimietäisyysympyrällä, jos sen maksimietäisyys origosta (0, 0) on 5. Saadaan seuraava yhtälö. max( x 0, y 0 ) = 5 max( x, y ) = 5 Yhtälö voi toteutua kahdella tavalla: Tapaus 1: x = 5 ja y 5 x = 5 tai x = 5 ja 5 y 5 Tapaus : y = 5 ja x 5 y = 5 tai y = 5 ja 5 x 5 Ympyrä koostuu siis vaakasuorista suorista y = ±5 välillä 5 x 5 ja pystysuorista suorista x = ±5 välillä 5 y 5. Piirretään kuva.

52 Tekijä Pitkä matematiikka a) ( x 6) + ( y 1) = 1 x + x y + y 1+ 1 = 1 x 1x y y+ 1 = 1 x + y 1x y+ 5= 0 Korotetaan neliöön Järjestellään termt i b) ( x 1 ) + ( y+ 5) = 5 x + x 1 + ( 1) + y + y 5+ 5 = 5 x x+ 1 + y + 10y+ 5 = 5 4 x + y x+ 10y+ 1 = 0 4 Korotetaan neliöön Järjestellään termit Vastaus a) x + y 1x y+ 5 = 0 b) x + y x+ 10y+ 1 = 0 4

53 Tekijä Pitkä matematiikka Muistetaan binomin neliön kaava ( a + b) = a + ab + b. a) ( x+ ) = x + 6 x+ ( x+ 3) = x + 6x + 3 ( x + 3) = x + 6x + 9 6x = x 3= ab b) ( x ) = x = ( 4) = b ( x 4) = x + x ( 4) + 16 ( x 4) = x 8x+ 16 ab = x ( 4) ( y ) = y 3 y+ 3y = y ( 3 ) = ab c) ( y 3) = y 3 y+ ( 3) 3 9 ( y ) = y 3y + 4 d) ( y ) = y + ky + ( y + k) = y + ky + ( k) ( y + k) = y + ky + k 4 ky = y k = ab

54 Vastaus a) ( x+ 3) = x + 6x+ 9 b) ( x 4) = x 8x+ 16 ( y 3) = y 3y+ 9 4 ( y + k) = y + ky + k 4 c) d)

55 Tekijä Pitkä matematiikka Muokataan yhtälöt muotoon ( x x 0) + ( y y0) = r. Tätä kutsutaan neliöön täydentämiseksi. a) Ryhmitellään termit muuttujan mukaan ja siirretään vakiotermi yhtälön oikealle puolelle. x + y + 4x 6y 3= 0 x + 4x+ y 6y = 3 Kirjoitetaan ensimmäisen asteen termit tulomuotoon, jossa tekijänä on. x + x + y + y ( 3) = 3 Lisätään sopivat termit yhtälön molemmille puolille käyttäen havaintoja ( x+ ) = x + x + ja ( y 3) = y + y ( 3) + ( 3). x + x + + y + y ( 3) + ( 3) = ( 3) ( x+ ) + ( y 3) = 16 Pistejoukon yhtälö esittää siis ympyrää, jonka keskipiste on (,3) ja säde r = 16 = 4.

56 b) Ryhmitellään termit muuttujan mukaan ja siirretään vakiotermi yhtälön oikealle puolelle. x + y 10x+ 4 y+ 9 = 0 x 10x+ y + 4 y = 9 Kirjoitetaan ensimmäisen asteen termit tulomuotoon, jossa tekijänä on. x + x ( 5) + y + y = 9 Lisätään sopivat termit yhtälön molemmille puolille käyttäen havaintoja ( x 5) = x + x ( 5) + ( 5) ja ( y+ ) = y + y +. x + x ( 5) + ( 5) + y + y + = 9 + ( 5) + ( x 5) + ( y+ ) = 0 Säteen neliöksi tuli 0, joten yhtälö esittää pistettä (5, ).

57 c) Jaetaan. asteen termien kertoimella. Ryhmitellään termit muuttujan mukaan ja siirretään vakiotermi yhtälön oikealle puolelle. x + y 1 y+ 4 = 0 : x + y 6y+ = 0 x + y 6y = Kirjoitetaan ensimmäisen asteen termit tulomuotoon, jossa tekijänä on. Muuttujalla x ei ole ensimmäisen asteen termiä, joten voidaan suoraan sijoittaa x = x 0. x + y 6y = ( x 0) + y + y ( 3) = Lisätään sopiva termi yhtälön molemmille puolille käyttäen havaintoa ( y 3) = y + y ( 3) + ( 3). ( x 0) + y + y ( 3) + ( 3) = + ( 3) ( x 0) + ( y 3) = 7 Pistejoukon yhtälö esittää siis ympyrää, jonka keskipiste on (0,3) ja säde r = 7.

58 Vastaus a) Ympyrää, jonka keskipiste on (,3) ja säde 4. b) pistettä (5, ) c) Ympyrää, jonka keskipiste on (0,3) ja säde 7.

59 Tekijä Pitkä matematiikka Muokataan yhtälöt muotoon ( x x 0) + ( y y0) = r. Tätä kutsutaan neliöön täydentämiseksi. a) Jaetaan. asteen termien kertoimella ja ryhmitellään termit muuttujan mukaan ja siirretään vakiotermi yhtälön oikealle puolelle. 9x + 9 y 1x 6y 76 = 0 : 9 x + y 4 x y 76 = x 4 x+ y y = Kirjoitetaan ensimmäisen asteen termit tulomuotoon, jossa tekijänä on. x + x ( ) + y + y ( 1) = Lisätään sopivat termit yhtälön molemmille puolille hyödyntäen havaintoa ( x ) = x + x ( ) + ( ) ja ( y 1) = y + y ( 1) + ( 1)

60 ( ) ( ) x + x ( ) + ( ) + y + y ( 1) + ( 1) = ( x ) + ( y 1) = ( x ) + ( y 1) = ( x ) + ( y 1) = Pistejoukon yhtälö esittää siis ympyrää, jonka keskipiste on (, 1) ja säde r = 9 =

61 b) Ryhmitellään termit muuttujan mukaan ja siirretään vakiotermi yhtälön oikealle puolelle. x + y 18x+ 40y+ 481 = 0 x 18x+ y + 40y = 481 Kirjoitetaan ensimmäisen asteen termit tulomuotoon, jossa tekijänä on. x + x ( 9) + y + y 0 = 481 Lisätään sopivat termit yhtälön molemmille puolille käyttäen havaintoa ( x 9) = x + x ( 9) + 9 ja ( y+ 0) = y + y x + x ( 9) y + y = ( 9) + 0 ( x 9) + ( y+ 0) = ( x 9) + ( y+ 0) = 0 Säteen neliöksi tuli 0, joten yhtälö esittää pistettä (9, 0).

62 c) Ryhmitellään termit muuttujan mukaan ja siirretään vakiotermi yhtälön oikealle puolelle. x + y + x 6y+ 15 = 0 x + x+ y 6y = 15 Kirjoitetaan ensimmäisen asteen termiet tulomuotoon, jossa tekijänä on. x + x 1+ y + y ( 3) = 15 Lisätään sopivat termit yhtälön molemmille puolille käyttäen havaintoa ( x+ 1) = x + x ja ( y 3) = y + y ( 3) + ( 3). x + x y + y ( 3) + ( 3) = ( 3) ( x+ 1) + ( y 3) = 5 Koska yhtälön vasen puoli on negatiivinen, yhtälö ei esitä mitään pistejoukkoa.

63 Vastaus a) Ympyrää, jonka keskipiste on (, 1) 3 3 b) pistettä (9, 0) c) ei mitään pistejoukkoa ja säde 3.

64 Tekijä Pitkä matematiikka Muokataan yhtälö muotoon ( x x ) + ( y y ) = r. x + y + 50x y+ 606 = x + 50x+ y y = 606 x + 5x+ y 1y = 606 x + 5x+ 5 + y 1y+ 1 = ( x+ 5) + ( y 1) = 0 Nähdään, että ympyrän säde on r = 0 = 5. a) p = p r = p 5 = 4 5p b) A= π r =π ( 5) = 0π Vastaus a) 4 5π b) 0π

65 Tekijä Pitkä matematiikka Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon siirtämällä vakiot oikealle puolelle ja täydentämällä yhtälön vasen puoli neliöiksi. x + y 4x+ 6y+ 179 m = 0 x 4x+ y + 6y = m 179 x 1x+ 1 + y + 3y+ 3 = m ( x 1) + ( y+ 3) = m 6 a) Yhtälö esittää ympyrää, kun oikealla puolella oleva luku on positiivinen. Tällöin tämä luku on säteen neliö. m 6 > 0 m > 6 Siis yhtälö esittää ympyrää, kun m > 6. b) Kun oikealla puolella oleva luku on nolla, esittää yhtälö pistettä. m 6 = 0 m = 6 Vastaus a) m > 6 b) m = 6

66 Tekijä Pitkä matematiikka Haettu ympyrä kulkee pisteiden (0, 3), (10, 7) ja (8, 9) kautta. Ympyrän yhtälön yleinen muoto on x + y + ax + by + c = 0. Tavoitteena on määrittää kertoimien a, b ja c arvot. Koska ympyrä kulkee pisteiden (0,3), (10, 7) ja (8, 9) kautta, nämä pisteet toteuttavat ympyrän yhtälön. Sijoittamalla pisteiden koordinaatit ympyrän yhtälön yleiseen muotoon saadaan kolme yhtälöä. + + a + b + c = ( 7) + a 10 + b ( 7) + c = 0 8 ( 9) + + a 8 + b ( 9) + c = b+ c = 0 Ratkaistaan yhtälöryhmä laskimella a 7b+ c = a 9b+ c = 0 Yhtälöryhmän ratkaisu on a = 8, b = 6 ja c = 7. Sijoitetaan kertoimet yhtälöön x + y + ax + by + c = 0. x + y 8x+ 6y 7 = 0 Vastaus x + y 8x+ 6y 7 = 0

67 Tekijä Pitkä matematiikka Tavoitteena on löytää yhtälö, jonka kuminauhan keskipisteen koordinaatit toteuttavat. Olkoon kuminauhan keskipiste ( xy, ) ja liikkuva päätepiste ( ab, ). Kiinteä päätepiste on (0,0). Koska janan keskipiste ( xy, ) = ( a+ 0, b+ 0) = ( a, b), niin pisteen ( ab, ) koordinaatit voidaan ilmaista keskipisteen koordinaattien avulla. x = a a = x y = b b= y Koska piste ( ab, ) on ympyrällä x + y 4x 8y+ 19= 0, sen koordinaatit toteuttavat ympyrän yhtälön. a + b 4a 8b+ 19 = 0 ( x) + ( y) 4 x 8 y+ 19 = 0 4x + 4 y 8x 16y+ 19 = 0 : 4 x + y x 4 y+ 19 = 0 4 a = x, b= y Kuminauhan keskipiste ( xy, ) toteuttaa siis yhtälön 19 x + y x 4y+ = 0. 4

68 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon, jotta voidaan päätellä, esittääkö se ympyrää. x + y x 4y+ 19 = 0 4 ( x 1) + ( y ) = 1 4 Täydennetään neliöksi laskimella. Kyseessä on ympyrä, jonka keskipiste on (1, ) ja säde 1. Vastaus Ympyrän ( x 1) + ( y ) = 1, jonka keskipiste on 4 (1, ) ja säde 1.

69 Tekijä Pitkä matematiikka Kirjoitetaan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon, jotta voidaan päätellä sen säde. x + y y = 0 ( x 0) + ( y+ 7000) = Täydennetään neliöiksi laskimella. Säde on siis r = = Tällöin halkaisija on d = r = = 63, Koska saaren halkaisija on n. 630 m, saarella sijaitsevien kesämökkien etäisyys ei voi olla 700 m. Vastaus Ei voi, koska saaren halkaisija on n. 630 m.

70 Tekijä Pitkä matematiikka Kirjoitetaan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon. x + y + 16x+ 14 y+ 95 = 0 Täydennetään neliöiksi laskimella. ( x+ 8) + ( y+ 7) = 18 Siis ympyrän keskipiste on ( 8, 7) ja säde r = 18 = 3. a) Ratkaisua voidaan havainnollistaa kuvan avulla. Keskipisteen ( 8, 7) etäisyys pisteestä ( 3, ) on d = ( 3 ( 8)) + ( ( 7)) = 5. Koska pisteiden etäisyys on suurempi kuin säde, piste ( 3, ) on ympyrän ulkopuolella. Tällöin pisteen etäisyys ympyrältä on d r = 5 3 =.

71 b) Ratkaisua voidaan havainnollistaa kuvan avulla. Koordinaatiston pisteen etäisyys y-akselista on pisteen x- koordinaatin itseisarvo. Keskipisteen ( 8, 7) etäisyys y- akselista on d = 8 = 8. Koska y-akselin etäisyys ympyrästä on suurempi kuin säde r = 3 = 4,4..., y-akseli ei leikkaa ympyrää ja on siis ympyrän ulkopuolella. Tällöin y-akselin etäisyys ympyrältä on d r = 8 3 3,76.

72 Vastaus a) b) 8 3 3,76

73 Tekijä Pitkä matematiikka Ratkaisua voidaan havainnollistaa kuvan avulla. Kirjoitetaan ympyröiden yhtälöt keskipistemuotoon. x + y 4x 10y+ 19 = 0 ( x ) + ( y 5) = 10 Täydennetään neliöiksi laskimella. Siis ympyrän keskipiste on (,5) ja säde r 1 = 10. x + y 8x y+ 157 = 0 ( x 14) + ( y 1) = 40 Täydennetään neliöiksi laskimella.

74 Siis ympyrän keskipiste on (14,1) ja säde r = 40 = 10. Lasketaan ympyröiden keskipisteiden (,5) ja (14,1) välinen etäisyys. d = (14 ) + (1 5) = 160 = 4 10 Verrataan tätä ympyröiden säteiden summaan r1+ r = = Koska pisteiden välinen etäisyys on suurempi kuin säteiden summa 4 10 > 3 10, niin ympyrät ovat irrallaan toisistaan, eli ne eivät leikkaa toisiaan. Tällöin ympyröiden välinen etäisyys on d ( r1+ r) = = 10. Vastaus 10

75 Tekijä Pitkä matematiikka Muokataan yhtälöt muotoon ( x x 0) + ( y y0) = r. Tätä kutsutaan neliöön täydentämiseksi. a) Ryhmitellään termit muuttujan mukaan ja siirretään vakiotermi yhtälön oikealle puolelle. x + y 4x+ 6y+ 9= 0 x 4x+ y + 6y = 9 Kirjoitetaan ensimmäisen asteen termit tulomuotoon, jossa tekijänä on. x + x ( ) + y + y 3 = 9 Lisätään sopivat termit yhtälön molemmille puolille käyttäen havaintoa ( x ) = x + x ( ) + ( ) ja ( y+ 3) = y + y x + x ( ) + ( ) + y + y 3+ 3 = 9 + ( ) + 3 ( x ) + ( y+ 3) = 4 Pistejoukon yhtälö esittää siis ympyrää, jonka keskipiste on (, 3) ja säde r = 4 =.

76 b) Ryhmitellään termit muuttujan mukaan ja siirretään vakiotermi yhtälön oikealle puolelle. x + y x+ 16y+ 185 = 0 x x+ y + 16y = 185 Kirjoitetaan ensimmäisen asteen termit tulomuotoon, jossa tekijänä on. x + x ( 11) + y + y 8 = 185 Lisätään sopivat termit yhtälön molemmille puolille käyttäen havaintoa ( x 11) = x + x ( 11) + ( 11) ja ( y+ 8) = y + y x + x ( 11) + ( 11) + y + y = ( 11) + 8 ( x 11) + ( y+ 8) = 0 Säteen neliöksi tuli 0, joten yhtälö esittää pistettä (11, 8).

77 c) Jaetaan. asteen termien kertoimella. Ryhmitellään termit muuttujan mukaan ja siirretään vakiotermi yhtälön oikealle puolelle. 4x + 4y + 4x 7= 0 :4 x + y + x 7 = 0 4 x + x+ y = 7 4 Kirjoitetaan ensimmäisen asteen termit tulomuotoon, jossa tekijänä on. Muuttujalla y ei ole 1. asteen termiä, joten voidaan sijoittaa suoraan y = y 0. x + x 1 + ( y 0) = 4 7 Lisätään sopiva termi yhtälön molemmille puolille käyttäen havaintoa ( x+ 1) = x + x ( ). 7 ( ) ( ) x + x ( y 0) = ( x+ 1 ) + ( y 0) = Pistejoukon yhtälö esittää siis ympyrää, jonka keskipiste on ( 1,0) ja säde r =.

78 Vastaus a) Ympyrää, jonka keskipiste on (, 3) ja säde. b) pistettä (11, 8) c) Ympyrää, jonka keskipiste on ( 1,0) ja säde.

79 Tekijä Pitkä matematiikka Muokataan yhtälöt muotoon ( x x 0) + ( y y0) = r. Tätä kutsutaan neliöön täydentämiseksi. a) Jaetaan. asteen termien kertoimella ja ryhmitellään termit muuttujan mukaan ja siirretään vakiotermi yhtälön oikealle puolelle. 5x + 5y 45 = 0 : 5 x + y 9= 0 x + y = 9 Huomataan, että yhtälössä ei ole 1. asteen termejä.. asteen termit voidaan kirjoittaa suoraan binomin neliöinä sijoittamalla x = x 0 ja y = y 0. ( x 0) + ( y 0) = 9 Pistejoukon yhtälö esittää siis ympyrää, jonka keskipiste on (0,0) ja säde r = 9 = 3.

80 b) Ryhmitellään termit muuttujan mukaan ja siirretään vakiotermi yhtälön oikealle puolelle. x + y x+ 3y+ 5 = 0 x x+ y + 3y = 5 Kirjoitetaan ensimmäisen asteen termit tulomuotoon, jossa tekijänä on. x + x ( 1 ) + y + y 3 = 5 Lisätään sopivat termit yhtälön molemmille puolille käyttäen havaintoa ( x 1) = x + x ( 1) + ( 1) ja ( y+ 3) = y + y ( ). x + x ( 1) + ( 1) + y + y 3 + ( 3) = 5 + ( 1) + ( 3) ( x 1) + ( y+ 3) = ( x 1 ) + ( y+ 3 ) = 0 Säteen neliöksi tuli 0, joten yhtälö esittää pistettä ( 1, 3).

81 c) Ryhmitellään termit muuttujan mukaan ja siirretään vakiotermi yhtälön oikealle puolelle. x + y + 10x 1 y+ 64 = 0 x + 10x+ y 1 y = 64 Kirjoitetaan ensimmäisen asteen termit tulomuotoon, jossa tekijänä on. x + x 5 + y + y ( 6) = 64 Lisätään sopivat termit yhtälön molemmille puolille käyttäen havaintoa ( x+ 5) = x + x ja ( y 6) = y + y ( 6) + ( 6). x + x y + y ( 6) + ( 6) = ( 6) ( x+ 5) + ( y 6) = 3 Koska yhtälön oikea puoli on negatiivinen, yhtälö ei esitä mitään pistejoukkoa.

82 d) Jaetaan. asteen termien kertoimella ja ryhmitellään termit muuttujan mukaan ja siirretään vakiotermi yhtälön oikealle puolelle. x + y x+ 4 y+ 5 a = 0, a > 0 x x+ y + 4y = a 5 Kirjoitetaan ensimmäisen asteen termit tulomuotoon, jossa tekijänä on. x + x ( 1) + y + y = a 5 Lisätään sopivat termit yhtälön molemmille puolille käyttäen havaintoa ( x 1) = x + x ( 1) + ( 1) ja ( y+ ) = y + y +. x + x ( 1) + ( 1) + y + y + = a 5 + ( 1) + ( x 1) + ( y+ ) = a Koska a > 0, pistejoukon yhtälö esittää ympyrää, jonka keskipiste on (1, ) ja säde r = a.

83 Vastaus a) Ympyrää, jonka keskipiste on (0,0) ja säde 3. b) pistettä ( 1, 3 ) c) ei mitään pistejoukkoa d) Ympyrää, jonka keskipiste on (1, ) ja säde a.

84 Tekijä Pitkä matematiikka Piirretään epäyhtälöryhmän epäyhtälöt x + y 4x 6y 3 0 sekä x. Kuvion oikeanpuoleinen, tumma ympyräsegmentti toteuttaa molemmat epäyhtälöt, koska siinä alueet menevät päällekkäin. Epäyhtälömerkin yhtäsuuruudesta johtuen myös tumman alueen ääriviivat toteuttavat epäyhtälöryhmän.

85 Vastaus Kuvion oikeanpuoleinen ympyräsegmentti ääriviivoineen

86 Tekijä Pitkä matematiikka Kirjoitetaan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon. x + y 8x 46y+ 343 = 0 ( x 4) + ( y 3) = 0 Täydennetään neliöiksi laskimella. Siis ympyrän keskipiste on (4,3) ja säde r = 0 = 14,1.... Ratkaisua voidaan havainnollistaa kuvan avulla. Keskipisteen (4, 3) etäisyys pisteestä A (1,13) on d 1 = (1 4) + (13 3) = 41 = 1,

87 Koska pisteiden välinen etäisyys on pienempi kuin säde, piste A (1,13) on ympyrän sisäpuolella. Tällöin pisteen etäisyys ympyrältä on a = r d1 = 0 41 = 1, Keskipisteen (4, 3) etäisyys pisteestä B (16,14) on d = (16 4) + (14 3) = 15. Koska pisteiden välinen etäisyys on suurempi kuin säde, piste B (16,14) on ympyrän ulkopuolella. Tällöin pisteen etäisyys ympyrältä on b= d r = 15 0 = 0, Koska b= 0, < a = 1,406..., niin piste B on lähempänä ympyrää. Vastaus piste B

88 Tekijä Pitkä matematiikka Muokataan yhtälö ympyrän keskipistemuotoon. x + y + px 4py + 4p = 0 x + px + y py = 4p x + px + p + y py + ( p) = 4 p + p + ( p) ( x+ p) + ( y p) = p Yhtälö esittää ympyrää, kun sen oikea puoli on positiivinen. p > 0 p 0 p 0 Tällöin ympyrän keskipiste on ( p, p) ja säde r = p = p.

89 Annetaan p:lle arvoja ja piirretään joitakin ympyräparven ympyröitä. p ( x+ p) + ( y p) = p ( x+ ) + ( y 4) = ( x+ 1) + ( y ) = ( x+ ) + ( y 1) = 4 1 ( x 1) + ( y+ ) = 1 ( x ) + ( y+ 4) = 4

90 Vastaus p 0, keskipiste on ( p, p) ja säde p.

91 Tekijä Pitkä matematiikka Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon. x + y + kx + 4ky + y + 6k + 1= 0 x + kx + y + 4ky + y = 6k 1 x + kx + y + (k + 1) y = 6k 1 + k + (k + 1) x + kx + k + y + (k + 1) y + (k + 1) = 6k 1 + k + (k + 1) ( x+ k) + ( y+ k + 1) = 6k 1+ k + 4k + 4k + 1 ( x ( k)) + ( y ( k 1)) = 5k k Yhtälö esittää ympyrää, jos sen oikea puoli on positiivinen, eli 5k k > 0. Määritetään polynomin 5k k nollakohdat. 5k k = 0 k(5k ) = 0 Tulon nollasääntö k = 0 tai 5k = 0 k = 5 Kuvaajan perusteella 5k k > 0 kun k < 0 tai k >. Tällöin 5 yhtälö esittää ympyrää.

92 Ympyrän ( x ( k)) + ( y ( k 1)) = 5k k keskipiste on ( k, k 1). Merkitään keskipisteen x-koordinaattia x:llä. x = k, jolloin k = x k:n ehdoista seuraa ehdot muuttujalle x. k < 0 tai k > 5 x < 0 x > x > 0 5 x < 5 Sijoitetaan k y = k 1 = ( x) 1 = x 1 = x keskipisteen y-koordinaatin yhtälöön. Keskipisteiden joukko koostuu siis niistä suoran y = x 1 pisteistä, joissa x < tai x > 0. 5

93 Vastaus k < 0 tai k >. Keskipisteiden joukko muodostuu 5 suoran y = x 1 pisteistä, joissa x < tai x > 0. 5

94 7 a) Ympyrän yhtälön yleinen muoto on x + y + ax + by + c = 0. Sijoitetaan annetut pisteet tähän yhtälöön ja ratkaistaan kertoimet yhtälöryhmästä laskimella. + + a + b + c = a 1+ b 5+ c = a 1+ b 1+ c = 0 8b+ c = 64 a + 5b + c = 6 a + b + c = a = 0 b = 6 c = 16 Täydennetään syntyvä yhtälö laskimella neliöiksi. x + y + 0x 6y 16 = 0 ( x+ 10) + ( y 3) = 15 Pisteet kuuluvat ympyrälle ( x+ 10) + ( y 3) = 15.

95 b) Ympyrän yhtälön yleinen muoto on x + y + ax + by + c = 0. Sijoitetaan annetut pisteet tähän yhtälöön ja ratkaistaan kertoimet yhtälöryhmästä laskimella. + + a + b + c = a 1+ b 1+ c = 0 ( 6) + + a + b ( 6) + c = 0 8b+ c = 64 a + b + c = a 6b+ c = 40 Ei ratkaisua Yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua, joten pisteet eivät sijaitse samalla ympyrällä. Kuva paljastaa, että pisteet sijaitsevat samalla suoralla. Vastaus a) x + y + 0x 6y 16 = 0 b) Ei mahdollista, sillä pisteet ovat samalla suoralla.

96 73 Ympyrän yhtälön yleinen muoto on x + y + ax + by + c = 0. Sijoitetaan annetut pisteet tähän yhtälöön ja ratkaistaan kertoimet yhtälöryhmästä laskimella. + + a + b + c = a 70 + b 11 + c = a 16 + b 84 + c = 0 8a+ 98b+ c = a+ 11b+ c = a+ 84b+ c = 93 a = 140 b = 84 c = 1764 Täydennetään syntyvä yhtälö laskimella neliöiksi. x + y 140x 84 y = 0 ( x 70) + ( y 4) = 4900 Ympyrän säde on r = 4900 = 70. Yksikkö kartalla vastaa 5 metriä luonnossa, joten ympyrän säde on 70 5 m = 1750 m Vastaus 1750 m

97 74 Tavoitteena on löytää yhtälö, jonka janan keskipisteen koordinaatit toteuttavat. Olkoon janan keskipiste ( xy, ) ja liikkuva päätepiste ( ab, ). Kiinteä päätepiste on (,1). Koska janan keskipiste ( xy, ) = ( a, b+ 1), niin pisteen ( ab, ) koordinaatit voidaan ilmaista keskipisteen koordinaattien avulla. x = a a = x a = x+ y = b + 1 b+ 1= y b= y 1 Koska piste ( ab, ) on ympyrällä x + y x 15 = 0, sen koordinaatit toteuttavat ympyrän yhtälön. a + b a 15 = 0 a = x+, b= y 1 (x+ ) + ( y 1) (x+ ) 15 = 0 Sievennetään laskimella. x + x+ y y 7 = 0 ( x+ 1) + ( y 1) = 4 Janan keskipiste ( xy, ) toteuttaa siis yhtälön ( x+ 1) + ( y 1) = 4. janan keskipiste piirtää siis ympyrän, jonka keskipiste on ( 1, 1) ja säde.

98 Vastaus Ympyrän ( x+ 1) + ( y 1) = 4, jonka keskipiste on ( 1, 1) ja säde.

99 75 Merkitään P= ( xy, ). Pisteen P etäisyys d A pisteestä A (6,0) on kaksi kertaa niin suuri kuin pisteen P etäisyys d B pisteestä B (0,3). Muodostetaan yhtälö. d A B = d ( x 6) + ( y 0) = ( x 0) + ( y 3) x ( x 6) + y = x + ( y 3) ( x 6) + y = 4( x + ( y 3) ) + y + 4x 8y = 0 ( x+ ) + ( y 4) = 0 a = b a = b Sievennetään laskimella. Täydennetään neliöiksi laskimella. Siis piste P piirtää ympyrän ( x+ ) + ( y 4) = 0 eli x + y + 4x 8y = 0.

100 Vastaus Ympyrä ( x+ ) + ( y 4) = 0 eli x + y + 4x 8y = 0.

101 76 Ratkaisua voidaan havainnollistaa kuvan avulla.

102 Muokataan ympyröiden yhtälöt keskipistemuotoon. x + y 18x+ y 78 = 0 ( x 9) + ( y+ 1) = 160 x + y 4y 6= 0 ( x 0) + ( y ) = 10 Täydennetään neliöiksi laskimella. Täydennetään neliöiksi laskimella. Toisen ympyrän keskipiste on siis P(9, 1) ja säde R = 160 = 4 10 ja toisen keskipiste Q (0,) ja säde r = 10. Lasketaan ympyröiden keskipisteiden välinen etäisyys. d = PQ = (9 0) + ( 1 ) = 90 = 3 10 Koska keskipisteiden välinen etäisyys on pienempi kuin isomman ympyrän säde, pienempi ympyrä on suuremman ympyrän sisällä. Koska r+ d = = 4 10 = R, ympyrät sivuavat toisiaan sisäpuolisesti.

103 77 a) Muokataan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon. x + y ax ay + a 1 = 0 16 x ax + y ay = 1 a 16 x ax + a + y a y + ( a ) = 1 a + a + ( a ) 16 ( x a) + ( y a) = a4+ 1a Koska a4 0, 1a 0 ja 1 > 0, yhtälön oikea puoli on aina 16 positiivinen. Siis yhtälö esittää ympyrä, jonka keskipiste on ( aa, ) ja säde r = a4 + 1 a = ( a) + 1a = ( a + 1 ) 4 = a ( ) a + ab + b = ( a+ b)

104 b) Annetaan vakiolla a arvoja ja piirretään niitä vastaavat ympyrän yhtälöt. a ( x a) + ( y a) = a4+ 1a+ 1 Keskipiste 16 x 1 + y = (0,0) 16 5 ( x 1) + ( y 1) = (1,1) 16 5 ( x+ 1) + ( y 1) = 16 ( 1,1) ( x ) + ( y 4) = (,4) ( x+ ) + ( y 4) = (,4) ( x 3) + ( y 9) = (3,9) ( x+ 3) + ( y 9) = ( 3,9) Keskipisteet näyttäisivät muodostavan paraabelin. c) Merkitään keskipistettä ( xy., ) Toisaalta ympyrän keskipiste on ( aa, ). Muodostetaan yhtälöt.

105 x = a y = a y = x Sijoitetaan a = x Siis keskipisteet muodostavat paraabelin y = x. Vastaus a) keskipiste ( aa, ) ja säde a b) Keskipisteet näyttäisivät muodostavan paraabelin. c) Paraabelin y = x

106 78 Muokataan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon. x + y 4x y 3= 0 ( x ) + ( y 1) = 8 Täydennetään neliöiksi laskimella. Siis ympyrän keskipiste on (,1) ja säde r = 8 = =, a) Lasketaan pisteen (,1) etäisyys suorasta 3x+ 4 y 6 = 0. d = = 16 = 3, Koska etäisyys on suurempi kuin säde d = 3, >,88... = r, ympyrä ja suora eivät leikkaa.

107 b) Lasketaan pisteen (,1) etäisyys suorasta x y+ 5= 0. d = = 5 = 5 =, ( ) 5 ja Koska etäisyys on pienempi kuin säde d =,36... <,88... = r, suora lävistää ympyrän, eli suoralla ympyrällä on kaksi leikkauspistettä.

108 c) Lasketaan pisteen (,1) etäisyys suorasta x+ y+ 5= 0. d = = 4 = ( 1) + 1 Koska etäisyys on yhtä suuri kuin säde d = = r, suora sivuaa ympyrää, eli ympyrällä ja suoralla on yksi leikkauspiste. Vastaus a) 16 = 3,, eivät leikkaa 5 b) 5, kaksi leikkauspistettä c), yksi leikkauspiste

109 79 Suoran ja ympyrän leikkauspisteiden koordinaatit toteuttavat molempien yhtälöt. Leikkauspisteet saadaan siis ratkaisemalla yhtälöistä muodostettu yhtälöpari. x y = 5x + y = 104 Sijoitetaan muuttujan y lauseke alempaan yhtälöön. x + y = 104 x + 5x = 104 6x = 104 x = x = 4 x = ± 4 x = ± Sijoitetaan y = 5x Lasketaan leikkauspisteiden y-koordinaatit sijoittamalla saadut x- koordinaatit yhtälöön y = 5x. Kun x =, niin y = 5 ( ) = 10 Kun x =, niin y = 5 = 10. Suoran ja ympyrän leikkauspisteet ovat siis (, 10) ja (,10). Vastaus (, 10) ja (,10)

110 80 Suoran ja ympyrän leikkauspisteiden koordinaatit toteuttavat molempien yhtälöt. Leikkauspisteet saadaan siis ratkaisemalla yhtälöistä muodostettu yhtälöpari. x 3y+ 5= 0 x y + 6x+ 8y 5 = 0 Ratkaistaan suoran yhtälöstä toinen muuttujista, esimerkiksi x. Sijoitetaan muuttujalle saatu lauseke x = 3y 5 ympyrän yhtälöön. x + y 6x+ 8y 5 = 0 (3y 5) + y 6 (3y 5) + 8y 5 = 0 9 y 30y+ 5 + y 18y y 5 = 0 10y 40y+ 30 = 0 :10 y Sijoitetaan x = 3y 5 4 y+ 3= 0. asteen yhtälön ratkaisukaava ( 4) ± ( 4) y = 1 y = 4 ± 16 1 y = 4± 4 y = 4± y = 4+ = 6 = 3 tai y = 4 = = 1

111 Lasketaan leikkauspisteiden x-koordinaatit sijoittamalla saadut y- koordinaatit yhtälöön x = 3y 5. Kun y = 3, niin x = 33 5= 9 5= 4 Kun y = 1, niin x = 31 5= 3 5=. Suoran ja ympyrän leikkauspisteet ovat siis (4,3) ja (,1). Vastaus (4,3) ja (,1)

112 81 Suoran ja ympyrän leikkauspisteiden koordinaatit toteuttavat molempien yhtälöt. Leikkauspisteet saadaan siis ratkaisemalla yhtälöistä muodostettu yhtälöpari. x y = 0 x y + + 4x 6y 5= 0 Ratkaistaan suoran yhtälöstä toinen muuttujista, esimerkiksi x. Sijoitetaan muuttujalle saatu lauseke x = y+ ympyrän yhtälöön. x + y + 4x 6y 5= 0 (y+ ) + y + 4 (y+ ) 6y 5= 0 4y + 8y+ 4+ y + 8y+ 8 6y 5= 0 Sijoitetaan x = y+ 5y + 10y+ 7 = 0. asteen yhtälön ratkaisukaava y = y = y = 10 ± ± ± ei ole määritelty. Siis y:llä ei ole ratkaisuja. Tällöin suoralla ja ympyrällä ei ole leikkauspisteitä. Vastaus ei leikkauspisteitä

113 8 Koska y-akselilla x = 0, ympyrän ja y-akselin leikkauspisteiden koordinaatit toteuttavat yhtälöparin x = 0 x y + 6x 16 = 0. Sijoitetaan x:n arvo ympyrän yhtälöön. x + y 6x 16 = y = 0 y = 16 y = ± 16 y = ± 4 Sijoitetaan x = 0 Ympyrän ja y-akselin leikkauspisteet ovat (0,4) ja (0, 4). Koska x-akselilla y = 0, ympyrän ja x-akselin leikkauspisteiden koordinaatit toteuttavat yhtälöparin y = 0. x y + 6x 16 = 0

114 Sijoitetaan y:n arvo ympyrän yhtälöön. x x + y 6x 16 = x 16 = 0 x 6x 16 = 0 Sijoitetaan y = 0. asteen yhtälön ratkaisukaava ( 6) ± ( 6) 4 1 ( 16) x = 1 x = 6 ± x = 6 ± 100 x = 6 ± 10 x = = 16 = 8 tai x = 6 10 = 4 = Ympyrän ja x-akselin leikkauspisteet ovat (8,0) ja (,0). Vastaus (0, 4), (0,4), (,0) ja (8,0)

115 83 a) Ympyrän ( x 1) + ( y+ 4) = 5 keskipiste on (1, 4) ja säde 5. Lasketaan suoran x+ 4y 5= 0 etäisyys ympyrän keskipisteestä. d ( 4) 5 = = 0 = 4, Koska etäisyys on pienempi kuin säde, suora leikkaa ympyrän. b) Ympyrän ( x+ 1) + ( y ) = 16 keskipiste on ( 1, ) ja säde 4. Lasketaan suoran 3x y 8= 0 etäisyys ympyrän keskipisteestä. d 3 ( 1) 8 = = 15 = 4, ( ) 13 Koska etäisyys on suurempi kuin säde, suora ei leikkaa ympyrää. Vastaus a) 0 17, leikkaa b) 15 13, ei leikkaa

116 84 Tapa 1. Mikäli suora sivuaa ympyrää, on suoralla ja ympyrällä täsmälleen yksi leikkauspiste. Ratkaistaan suoran ja ympyrän leikkauspisteet muodostamalla yhtälöpari. x y+ 3= 0 x y + 8x y 1= 0 Ratkaistaan muuttuja x suoran yhtälöstä ja sijoitetaan saatu lauseke x = y 3 ympyrän yhtälöön ja ratkaistaan y. ( y 3) + y 8( y 3) y 1 = 0 y 6y+ 9 + y 8y+ 4 y 1 = 0 y 16y+ 3 = 0 : y y 8y+ 16 = 0 4y+ 4 = 0 ( y 4) = 0 y 4= 0 y = 4 a ab + b = ( a b) Nollan tulosääntö Lasketaan leikkauspisteen x-koordinaatti sijoittamalla saatu y- koordinaatti yhtälöön x = y 3. x = 4 3= 1 Siis löytyi täsmälleen yksi leikkauspiste (1, 4), eli suora sivuaa ympyrää.

117 Tapa. Suora sivuaa ympyrää täsmälleen silloin, kun ympyrän keskipisteen etäisyys suorasta on yhtä suuri kuin säde. Muokataan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon. x + y 8x y 1= 0 x 4 x+ y 1 y = 1 x 4 x+ 4 + y 1 y+ 1 = ( x 4) + ( y 1) = 18 Ympyrän ( x 4) + ( y 1) = 18 keskipiste on (4,1) ja säde r = 18 = 9 = 9 = 3. Lasketaan suoran x y+ 3= 0 etäisyys ympyrän keskipisteestä. d = = = 6 = 6 = 6 = ( 1) 1+ 1 Koska etäisyys on yhtä suuri kuin säde, suora sivuaa ympyrää.

118 85 Kahden ympyrän leikkauspisteiden koordinaatit toteuttavat molempien ympyröiden yhtälöt. Leikkauspisteet saadaan siis ratkaisemalla yhtälöstä muodostettu epälineaarinen yhtälöpari. Muodostetaan yhtälöpari ja eliminoidaan yhtälöparista toisen asteen termit x ja y. x + y + y = x + y 10x y + 17 = 0 ( 1) x + y + y = x y + 10x + y 17 = 0 10x + 10y 30 = 0 x+ y 3= 0 Eliminoimalla toisen asteen termit saatiin suoran yhtälö. Mikäli ympyröillä on leikkauspisteitä, toteuttavat leikkauspisteiden koordinaatit myös saadun suoran yhtälön. Koska mahdolliset leikkauspisteet sijaitsevat tällä suoralla, niin voidaan jatkaa selvittämällä suoran ja jommankumman ympyrän leikkauspisteet.

119 Ratkaistaan suoran yhtälöstä x+ y 3= 0 toinen muuttujista, esimerkiksi y. Sijoitetaan muuttujalle saatu lauseke y = 3 x esimerkiksi ympyrän x + y + 8y 13 = 0 yhtälöön ja ratkaistaan x. x + (3 x) + 8 (3 x) 13 = 0 x + 9 6x+ x + 4 8x 13 = 0 x 14x+ 0 = 0 : x 7x+ 10 = 0 ( 7) ± ( 7) x = 1 x = 7 ± x = 7± 9 x = 7± 3 x = 7+ 3 = 5 tai x = 7 3 = Saadaan siis kaksi leikkauspistettä, joiden y-koordinaatit voidaan ratkaista yhtälöstä y = 3 x. Kun x = 5, niin y = 3 5=. Leikkauspiste on (5, ). Kun x =, niin y = 3 = 1. Leikkauspiste on (,1). Vastaus (,1) ja (5, )

120 86 Kahden ympyrän leikkauspisteiden koordinaatit toteuttavat molempien ympyröiden yhtälöt. Leikkauspisteet saadaan siis ratkaisemalla yhtälöstä muodostettu epälineaarinen yhtälöpari. Muodostetaan yhtälöpari ja eliminoidaan yhtälöparista toisen asteen termit x ja y. x + y x y + = x + y + 8x 1 y + 7 = 0 ( 1) x + y x y + = x y 8x + 1 y 7 = 0 16x + 8y + 8 = 0 : ( 8) x y 1= 0 Eliminoimalla toisen asteen termit saatiin suoran yhtälö. Mikäli ympyröillä on leikkauspisteitä, toteuttavat leikkauspisteiden koordinaatit myös saadun suoran yhtälön. Koska mahdolliset leikkauspisteet sijaitsevat tällä suoralla, niin voidaan jatkaa selvittämällä suoran ja jommankumman ympyrän leikkauspisteet.

121 Ratkaistaan suoran yhtälöstä x y 1= 0 toinen muuttujista, esimerkiksi y. Sijoitetaan muuttujalle saatu lauseke y = x 1 esimerkiksi ympyrän x + y 8x 4 y+ 15 = 0 yhtälöön ja ratkaistaan x. x + (x 1) 8x 4 (x 1) + 15 = 0 x + 4x 4x+ 1 8x 8x = 0 5x 0x+ 0 = 0 : 5 x 4x+ 4= 0 ( 4) ± ( 4) x = 1 x = 4 ± x = 4± 0 x = Saadaan siis yksi leikkauspiste, jonka y-koordinaatti voidaan ratkaista yhtälöstä y = x 1. y = 1= 4 1= 3. Leikkauspiste on (,3). Vastaus (,3)

122 87 Toisen ympyrän keskipiste on (0,8) ja säde 10 ja toisen ympyrän (1, 6) ja 85. Muodostetaan ympyröiden yhtälöt. ( x 0) + ( y 8) = 10 x + ( y 8) = 100 ( x 1) + ( y 6) = 85 ( x 1) + ( y 6) = 85 Ympyröiden leikkauspisteet saadaan muodostamalla yhtälöpari. x + y = ( 8) 100 ( x 1) ( y 6) + = 85 Ratkaistaan yhtälöpari laskimella. x = 6 y = 0 tai x = 10 y = 8 Siis ympyröiden leikkauspisteet ovat ( 6,0) ja (10,8). Vastaus ( 6,0) ja (10,8).

123 88 Piirretään ympyrä x + y 9 = 0 ja piste A(3, 7 1 ), sekä ympyrän keskipiste B (0,0) koordinaatistoon. Piirretään suora pisteiden A(3, 7 1 ) ja B (0,0) kautta ja merkitään suoran ja ympyrän leikkauspiste C(, 5). Tämä ympyrän piste on lähimpänä pistettä A. Vastaus (, 5)

124 89 Ratkaisua voidaan havainnollistaa kuvan avulla. Ympyrän keskipiste on (16,0) ja säde 5. Muodostetaan ympyrän yhtälö. ( x 16) + ( y 0) = 5 ( x 16) + y = 65 Määritetään ympyrän ja suoran 9x 13y 19 = 0 leikkauspisteet muodostamalla yhtälöpari. x + y = ( 16) 65 9x 13y 19 = 0

125 Ratkaistaan yhtälöpari laskimella. x = 8 y = 7 tai x = 31 y = 0 Siis ympyröiden leikkauspisteet ovat ( 8, 7) ja (31,0). Radioasema kuuluu maantiellä leikkauspisteiden välisellä janalla. Lasketaan leikkauspisteiden välisen janan pituus. d = ( 8 31) + ( 7 0) = = 47, Koordinaatiston yksikkönä on kilometri. Siis radioasema kuuluu autossa 47 km matkalla. Vastaus 47 km

126 90 Suoran ja ympyrän leikkauspisteiden koordinaatit toteuttavat molempien yhtälöt. Leikkauspisteet saadaan siis ratkaisemalla yhtälöistä muodostettu yhtälöpari. x 3y+ 8= 0 x y + x+ 4 y 40 = 0 Ratkaistaan suoran yhtälöstä toinen muuttujista, esimerkiksi x. Sijoitetaan muuttujalle saatu lauseke x = 3y 8 ympyrän yhtälöön. x + y x+ 4 y 40 = 0 (3y 8) + y (3y 8) + 4 y 40 = 0 9 y 48y y 6y y 40 = 0 ( 5) ± ( 5) y = 1 10y 50y+ 40 = 0 :10 y Sijoitetaan x = 3y 8 5y+ 4= 0. asteen yhtälön ratkaisukaava y = 5 ± 5 16 y = 5± 9 y = 5± 3 y = 5+ 3 = 8 = 4 tai y = 5 3 = = 1

127 Lasketaan leikkauspisteiden x-koordinaatit sijoittamalla saadut y- koordinaatit yhtälöön x = 3y 8. Kun y = 4, niin x = 3 4 8= 1 8= 4 Kun y = 1, niin y = 31 8= 3 8= 5. Suoran ja ympyrän leikkauspisteet ovat siis (4,4) ja ( 5,1). Vastaus (4, 4) ja ( 5,1)

128 91 Pisteet, jotka ovat etäisyydellä 4 origosta, muodostavat origokeskisen, 4-säteisen ympyrän. Tämän yhtälö on (x 0) + (y 0) = 4 x + y = 16 Haetut pisteet ovat tämän ympyrän ja suoran x 3y +1 = 0. Ratkaistaan leikkauspisteet yhtälöparista. x 3y+ 1 = 0 x y + = 16 Ratkaistaan yhtälöpari laskimella. 1 x 0 x = = 5 tai y = 4 y = 16 5 Siis suoran pisteet (0,4) ja ( 1, 16 ) ovat etäisyydellä origosta. Vastaus (0, 4) ja ( 1, 16 ) 5 5

129 9 Suora on ympyrän tangentti jos ja vain jos suoralla ja ympyrällä on täsmälleen yksi leikkauspiste. Muodostetaan yhtälöpari ja ratkaistaan suoran ja ympyrän leikkauspisteet. x+ y = 0 x y + + 4x+ 8y = 0 Ratkaistaan suoran yhtälöstä toinen muuttujista, esimerkiksi y. Sijoitetaan muuttujalle saatu lauseke y = x ympyrän yhtälöön. x + y + 4x+ 8y = 0 x + ( x) + 4x+ 8( x) = 0 x + 4 8x+ 4x + 4x x = 0 5x 0x+ 0 = 0 x 4y + 4 = 0 Sijoitetaan y = x : 5. asteen yhtälön ratkaisukaava ( 4) ± ( 4) x = 1 x = 4 ± x = 4± 0 = 4 =

130 Voidaan ratkaista vielä leikkauspisteen y-koordinaatti sijoittamalla saatu x-koordinaatti yhtälöön y = x y = = 4= Siis suoralla x+ y = 0 ja ympyrällä x + y + 4x+ 8y = 0 on yksi leikkauspiste (, ), joten suora on ympyrän tangentti. Vastaus on tangentti (ainoa leikkauspiste (, ) )

131 93 Kahden ympyrän leikkauspisteiden koordinaatit toteuttavat molempien ympyröiden yhtälöt. Leikkauspisteet saadaan siis ratkaisemalla yhtälöstä muodostettu epälineaarinen yhtälöpari. Muodostetaan yhtälöpari ja eliminoidaan yhtälöparista toisen asteen termit x ja y. x + y x y = x + y 17x 4 y 43 = 0 ( 1) x + y x y = x y + 17x + 4 y + 43 = 0 4x + y + 10 = 0 Eliminoimalla toisen asteen termit saatiin suoran yhtälö. Mikäli ympyröillä on leikkauspisteitä, toteuttavat leikkauspisteiden koordinaatit myös saadun suoran yhtälön. Koska mahdolliset leikkauspisteet sijaitsevat tällä suoralla, niin voidaan jatkaa selvittämällä suoran ja jommankumman ympyrän leikkauspisteet. Ratkaistaan suoran yhtälöstä 4x+ y+ 10 = 0 toinen muuttujista, esimerkiksi y. 4x+ y+ 10 = 0 y = 4x 10 : y = x 5 Sijoitetaan muuttujalle saatu lauseke y = x 5 esimerkiksi ympyrän x + y 13x y 33 = 0 yhtälöön ja ratkaistaan x.

132 x + ( x 5) 13x ( x 5) 33 = 0 x + ( x) + ( x)( 5) + ( 5) 13x+ 4x = 0 x + 4x + 0x+ 5 13x+ 4x 3 = 0 5x + 11x+ = 0 x = 11± x = 11± x = 11± x = 11± 9 10 x = = = 1 tai x = 11 9 = 0 = Saadaan siis kaksi leikkauspistettä, joiden y-koordinaatit voidaan ratkaista yhtälöstä y = x 5. Kun x = 1, niin y = ( 1) 5= 5= Leikkauspiste on ( 1, 43). 5 5 Kun x =, niin y = ( ) 5 = 4 5 = 1. Leikkauspiste on (, 1). Vastaus (, 1) ja ( 1, 43) 5 5

133 94 Kahden ympyrän leikkauspisteiden koordinaatit toteuttavat molempien ympyröiden yhtälöt. Leikkauspisteet saadaan siis ratkaisemalla yhtälöstä muodostettu epälineaarinen yhtälöpari. Muodostetaan yhtälöpari ja eliminoidaan yhtälöparista toisen asteen termit x ja y. x + y x y + = 3 0 x + y 4x + 7y + 5 = 0 ( 1) x + y x y + = x y + 4x 7y 5 = 0 x 9y 3 = 0 Eliminoimalla toisen asteen termit saatiin suoran yhtälö. Mikäli ympyröillä on leikkauspisteitä, toteuttavat leikkauspisteiden koordinaatit myös saadun suoran yhtälön. Koska mahdolliset leikkauspisteet sijaitsevat tällä suoralla, niin voidaan jatkaa selvittämällä suoran ja jommankumman ympyrän leikkauspisteet. Ratkaistaan suoran yhtälöstä x 9y 3= 0 toinen muuttujista, esimerkiksi x. Sijoitetaan muuttujalle saatu lauseke x = 9y+ 3 esimerkiksi ympyrän x + y 3x y+ = 0 yhtälöön ja ratkaistaan y. (9 y+ 3) + y 3(9 y+ 3) y+ = 0 81y + 54 y+ 9 + y 7 y 9 y+ = 0 8 y + 5y+ = 0

134 x = x = x = 5 ± ± ± ei ole määritelty. Siis yhtälöparilla ei ole ratkaisuja eli ympyröillä ei ole leikkauspisteitä. Vastaus Ei leikkauspisteitä

135 95 Selvitetään ensin ympyröiden keskipisteet ja säteet. Ympyrän ( x+ 3) + ( y 1) = 0 keskipiste on ( 3,1) ja säde r 1 = 0 = 5. Ympyrän ( x 3) + ( y+ ) = 1 keskipiste on (3, ) ja säde r = 1 = 1. Lasketaan keskipisteiden välinen etäisyys. d = (3 ( 3)) + ( 1) = (3 + 3) + ( 1) = 6 + ( 3) = = = = 9 5 = 3 5 Verrataan säteiden summaa etäisyyteen. r1+ r = 5 + 1< = 3 5 = d. Keskipisteiden välinen etäisyys on suurempi kuin säteiden summa. Tällöin ympyrät eivät leikkaa. Vastaus Eivät leikkaa. Keskipisteiden etäisyys 3 5 on suurempi kuin säteiden summa

136 96 Ympyröiden keskipisteet ovat (0,0) ja (3, 4). Merkitään ympyröiden säteitä r 1 ja r. Koska ympyrät leikkaavat pisteessä (1, 3), pisteen koordinaatit toteuttavat yhtälön. Muodostetaan ympyröiden yhtälöt ja ratkaistaan säteiden neliöt sijoittamalla leikkauspisteen koordinaatit yhtälöihin. 1 x y r 1 r 1 = r 1 = 10 ( x 0) + ( y 0) = r + = Sijoitetaan x = 1 ja y = 3 = r = (1 3) + (3 4) r = 5 ( x 3) + ( y 4) r Sijoitetaan x = 1 ja y = 3 Siis ympyröiden yhtälöt ovat x + y = 10 ja ( x 3) + ( y 4) = 5. Ympyröiden leikkauspisteet voidaan ratkaista yhtälöparista. x + y = 10 ( x 3) + ( y 4) = 5 13 x 1 x = = 5 tai y = 3 y = 9 5 Siis ympyröiden toinen leikkauspiste on ( 13, 9 ) 5 5 Ratkaistaan yhtälöpari laskimella.

137 Vastaus 13 9 (, ) 5 5

138 97 Antamalla vakiolle k kaksi arvoa saadaan kaksi parven x + y + kx ky 1 = 0 ympyrää. Kun k = 0, ympyrän yhtälö on x + y 1= 0. Kun k = 1, ympyrän yhtälö on x + y + x y 1= 0. Määritetään näiden kahden ympyrän leikkauspisteet ratkaisemalla yhtälöpari. + = x y 1 0 x y + + x y 1= 0 Ratkaistaan yhtälöpari laskimella. x = 1 x = 1 tai y = 1 y = 1 Näillä kahdella ympyrällä on siis kaksi leikkauspistettä: ( 1, 1 ) ja ( 1, 1 ).

139 Osoitetaan, että kaikki parven ympyrät kulkevat näiden pisteiden kautta. Sijoitetaan pisteen ( 1, 1 ) koordinaatit parven yhtälöön ( ) + ( ) + k( ) k( ) 1= k( ) 1= 0 0= 0 Piste ( 1, 1 ) toteuttaa kaikki parven yhtälöt, eli piste kuuluu jokaiselle ympyrälle. Sijoitetaan pisteen ( 1, 1 ) koordinaatit parven yhtälöön ( ) + ( ) + k k 1= k( 1 1 ) 1= 0 0= 0 Piste ( 1, 1 ) toteuttaa kaikki parven yhtälö, eli piste kuuluu jokaiselle ympyrälle Siis osoitettiin, että tason pisteet ( 1, 1 ) ja ( 1, 1 ) ovat yhteisiä kaikkien eri k:n arvoja vastaaville ympyräviivoille x + y + kx ky 1 = 0.

140 Lavennetaan vielä neliöjuuret koordinaattien nimittäjästä. ( 1, 1 ) = (, ) ( 1, 1 ) (, ) = Vastaus Pisteet ovat ( 1, 1 ) ja ( 1, 1 ), eli (, ) ja (, ).

141 98 Antamalla vakioille a ja b kaksi arvoparia saadaan kaksi parven x + y ax by + a + b 5 = 0 ympyrää. Kun a = 0 ja b = 0, ympyrän yhtälö on x + y 5= 0. Kun a = 0 ja b = 1, ympyrän yhtälö on x + y y 4= 0. Määritetään näiden kahden ympyrän leikkauspiste ratkaisemalla yhtälöpari. x + y = 5 0 x y + y 4= 0 Ratkaistaan yhtälöpari laskimella. x = x = tai y = 1 y = 1 Näillä kahdella ympyrällä on siis kaksi leikkauspistettä: (,1) ja (,1).

142 Osoitetaan, että toinen näistä pisteistä on yhteinen kaikille parven ympyröille sijoittamalla pisteiden koordinaatit ympyräparven yhtälöön. x + y ax by + a + b 5= 0 ( ) + 1 a ( ) b 1+ a+ b 5 = 0 a = 0 Sijoitetaan x = ja y = 1 Piste (,1) on yhteinen vain niille ympyräparven ympyröille, joilla a = 0. Siis se ei ole yhteinen kaikille ympyräparven ympyröille. x + y ax by + a + b 5= a b 1+ a+ b 5= 0 0= 0 Sijoitetaan x = ja y = 1 Siis osoitettiin, että piste (,1) toteuttaa kaikkia a:n ja b:n eri arvopareja vastaavat ympyrät.

143 99 Muokataan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon. x + y 8x 4 y+ 15 = 0 ( x 4) + ( y ) = 5 Siis ympyrän keskipiste on (4,) ja säde r = 5. Halkaisija on osa pisteiden (4, ) ja (0, 0) kautta kulkevaa suoraa. Muodostetaan suoran yhtälö. Kulmakerroin k = 0 = 1. Koska suora kulkee origon kautta, on 4 0 sen yhtälö y = 1 x. Pisteet A ja B ovat tämän suoran ja ympyrän leikkauspisteet. Ratkaistaan leikkauspisteet yhtälöparista laskimella. x + y 8x 4 y+ 15 = 0 y = 1 x x = x = 6 tai y = 1 y = 3 Ratkaisua voidaan havainnollistaa kuvan avulla. Vastaus (,1) ja (6,3)

144 300 Merkitään rannan pistettä ( x0, y 0). Tämä piste on yhtä kaukana Lucan mökistä (35,16) ja Maaretin mökistä (45,40). Muodostetaan yhtälö. d = d L M = ( x 35) ( y 16) ( x 45) ( y 40) Ratkaistaan laskimella y = x0 1 1 Piste ( x0, y ) = ( x0, x0) on saaren rannalla, eli se 1 1 toteuttaa ympyrän yhtälön x + y 56x 60y = 0. Sijoitetaan koordinaatit ja ratkaistaan x 0 laskimella. x 0 + ( x ) 56x0 60 ( x0) = x = 5 tai x = Ratkaistaan vastaavat y 0. y = = 3 tai y = = Siis yhtä kaukana mökeistä ovat ympyrän pisteet (5,3) ja ( 1036, 7117 ) Lasketaan vielä, kumpi pisteistä on lähempänä mökkejä.

145 Pisteen (, ) etäisyys Lucan mökiltä (35,16). ( ) + ( ) = 38, Pisteen (5,3) etäisyys Lucan mökiltä (35,16). (5 35) + (3 16) = 18, Piste (5,3) on siis lähempänä Lucan ja Maaretin mökkejä kuin piste ( 1036, 7117 ) Siis piste (5,3) on mahdollisimman lähellä ja yhtä kaukana molempien mökeiltä. Luca ja Maaret tapaavat tässä pisteessä. Vastaus (5,3)

146 Tekijä Pitkä matematiikka Piirretään ympyrä x + y + x y 3 = 0 ja suora 4x+ 3y 49 = 0. Merkitään ympyrän keskipiste A = ( 1,1). Piirretään se suoran normaali, joka kulkee pisteen A kautta. Merkitään normaalin ja ympyrän suoraa 4x+ 3y 49 = 0 lähinnä oleva leikkauspiste B. Pisteen koordinaatit ovat (3, 4). Vastaus (3, 4)

147 30 Ratkaisua voidaan havainnollistaa kuvan avulla. Maakaapelin päätepisteet B ja C löytyvät suoran 3x y 76 = 0 normaalilta, joka kulkee ympyrän keskipisteen kautta. Muokataan ympyrän x + y 1x 8y+ 180 = 0 yhtälö keskipistemuotoon. x + y 1x 8y+ 180 = 0 ( x 6) + ( y 14) = 5 Käytetään laskinta Ympyrän keskipiste on siis A = (6,14).

148 Muokataan suoran 3x y 76 = 0 yhtälö ratkaistuun muotoon. 3x y 76 = 0 y = 3 x 138 Suoran kulmakerroin on siis 3. Tällöin suoran normaalin kulmakerroin on tämän käänteisluvun vastaluku eli. 3 Normaali kulkee ympyrän keskipisteen (6,14) kautta. Muodostetaan normaalin yhtälö sijoittamalla pisteen koordinaatit ja kulmakerroin suoran yhtälön kaavaan y y0 = k( x x0). y 14 = ( x 6) 3 y = x Piste C on suoran 3x y 76 = 0 ja normaalin y = x leikkauspiste. Muodostetaan yhtälöpari ja ratkaistaan pisteen koordinaatit. 3x y 76 = 0 y = x Ratkaistaan yhtälöpari laskimella x = 7 y = 30 Siis C = (7, 30).

149 Piste B on normaalin y = x+ 18 ja ympyrän 3 x + y 1x 8y+ 180 = 0 se leikkauspiste, joka on lähempänä suoraa. Muodostetaan yhtälöpari ja ratkaistaan leikkauspisteiden koordinaatit. y = x + 18 Ratkaistaan yhtälöpari laskimella 3 x y + 1x 8y+ 180 = 0 x = 0 x = 1 tai y = 18 y = 10 Lasketaan pisteiden (0,18) ja (1,10) etäisyydet pisteestä C = (7, 30). d d 1 = (0 7) + (18 ( 30)) = 4 13 = 86, = (1 7) + (10 ( 30)) = 0 13 = 7, Koska d on pienempi, maakaapeli sijaitsee pisteiden B = (1,10) ja C = (7, 30) välissä ja d on maakaapelin pituus. Siis maakaapeli liittyy taloon pisteessä B = (1,10), maakaapeli lähtee sähkölinjan pisteestä C = (7, 30) ja maakaapelin pituus on 7, m 7 m. Vastaus Päätepisteet: talo (1,10), sähkölinja (7, 30), maakaapelin pituus 7 m.

150 303 a) Ympyrät x + y + x + y 100 = 0 ja x + y 0x = 0 leikkaavat toisensa kahdessa pisteessä. Kun yhtälöt vähennetään puolittain toisistaan, saadaan yhtälö (x + y +x + y 100) (x + y 0x) = 0 0 x + y 100 = 0. Piirretään samaan kuvaan ympyrät ja tämä suora. Huomataan, että muodostunut suora kulkee ympyröiden leikkauspisteiden kautta. Huomataan myös, että suoralta ympyröille piirretyt tangenttijanat ovat yhtä pitkät.

151 b) Ympyrän yhtälöstä tiedetään, että x + y + ax + by + c = ( x x ) + ( y y ) r, missä 0 0 ( x0, y 0) on ympyrän keskipiste ja r on säde. Lauseke ( x x 0) + ( y y0) on pisteiden ( xy, ) ja ( x0, y 0) välisen etäisyyden neliö. Sovelletaan Pythagoraan lausetta kuvan kolmioon ABC. AB = AC + BC AC = AB BC = ( 0) + ( 0) AC x x y y r AC = ( x x 0) + ( y y0) r = ( 0) + ( 0) ja = r AB x x y y BC

152 Siis ( x x 0) + ( y y0) r ilmaisee pisteestä ( xy, ) ympyrälle piirretyn tangenttijanan AC pituuden neliön. Merkitään nyt kahta ympyrää ( x x ) + ( y y ) = r ja ( x x ) + ( y y ) = r. Vähennetään yhtälöt toisistaan. ( x x 1) + ( y y1) (( x x) + ( y y) ) = r1 r ( x x ) + ( y y ) r (( x x ) + ( y y ) r ) = 0 Nyt lauseke ( x x 1) + ( y y1) r1 on pisteestä ( xy, ) toiselle ympyrälle piirretyn tangenttijanan pituus ja lause ( x x ) + ( y y) r samasta pisteestä toiselle ympyrälle piirretyn tangenttijanan pituus. Näiden erotus on nolla täsmälleen silloin kun pituudet ovat yhtä suuret. Siis vähentämällä ympyröiden yhtälöt toisistaan saatiin yhtälö, joka kuvaa niiden pisteiden joukkoa, joista piirretyt tangenttijanat ovat yhtä pitkät. c) Sama todistus pätee myös ympyröille, jotka eivät leikkaa. Vastaus a) Suoralta ympyröille piirretyt tangenttijanat ovat yhtä pitkät. b) Perusteltiin havainto laskemalla. c) Havainto pätee myös tilanteessa, jossa ympyrät eivät leikkaa.

153 304 Piirretään ympyrä ( x 1) + ( y 5) = 34 sekä pisteet A = ( 1, 0), B = (6,) ja C = (5,10). Piirretään ympyrän tangentit kunkin pisteen kautta. a) Pisteen A = ( 1, 0) kautta ei voida piirtää yhtään tangenttia ympyrälle, koska piste sijaitsee ympyrän sisäpuolella. b) Piste B = (6,) sijaitsee ympyrällä, joten sen kautta voidaan piirtää yksi tangentti b. c) Piste C = (5,10) sijaitsee ympyrän ulkopuolella, joten sen kautta voidaan piirtää kaksi tangenttia c 1 ja c. Vastaus a) ei yhtään b) yksi c) kaksi

154 305 Tutkitaan, onko piste ( 8,6) ympyrällä ( x+ 6) + ( y ) = 0. Sijoitetaan ympyrän yhtälöön x = 8 ja y = 6. ( x+ 6) + ( y ) = 0 ( 8 + 6) + (6 ) = 0 0 = 0 tosi Koska piste ( 8,6) toteuttaa ympyrän yhtälön, piste on ympyrällä ja sen kautta voidaan piirtää ympyrälle yksi tangentti.

155 Lasketaan sivuamispisteeseen B piirretyn säteen r kulmakerroin. Ympyrän keskipiste on ( 6,), ja tangentti sivuaa ympyrää kehäpisteessä ( 8,6). Säde on näiden pisteiden välinen jana. Säteen kulmakerroin on 6 = 8 ( 6) Lasketaan tangentin kulmakerroin. Tangentti on kohtisuorassa sivuamispisteeseen piirrettyä sädettä vastaan, joten sen kulmakerroin on säteen kulmakertoimen käänteisluvun vastaluku 1. Muodostetaan tangentin yhtälö. y y = k( x x ) 0 y 6 = 1 ( x ( 8)) y = 1 x + 10 x y+ 10 = 0 Sijoitetaan x = 8, y = 6 ja k = 1 Vastaus y = 1 x+ 10 eli x y+ 10 = 0

156 306 Tutkitaan, onko piste (4,7) ympyrällä x + y x 6y 15 = 0. Sijoitetaan ympyrän yhtälöön x = 4 ja y = 7. x + y x 6y 15 = = 0 0= 0 tosi Koska piste (4,7) toteuttaa ympyrän yhtälön, piste on ympyrällä ja sen kautta voidaan piirtää ympyrälle yksi tangentti. Muokataan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon. x + y x 6y 15 = 0 ( x 1) + ( y 3) = 5 Siis ympyrän keskipiste on (1, 3).

157 Lasketaan sivuamispisteeseen B piirretyn säteen r kulmakerroin. Ympyrän keskipiste on siis (1, 3), ja tangentti sivuaa ympyrää kehäpisteessä (4,7). Säde on näiden pisteiden välinen jana. Säteen kulmakerroin on 7 3 = Lasketaan tangentin kulmakerroin. Tangentti on kohtisuorassa sivuamispisteeseen piirrettyä sädettä vastaan, joten sen kulmakerroin on säteen kulmakertoimen 4 3 käänteisluvun vastaluku 3. 4 Muodostetaan tangentin yhtälö. y y = k( x x ) 0 y 7 = 3 ( x 4) 4 y = 3 x x + 4 y 40 = 0 Sijoitetaan x = 4, y 3 0 = 7 ja k = Vastaus y = 3 x+ 10 eli 3x+ 4 y 40 = 0 4

158 307 Tutkitaan, onko piste (4, 1) ympyrällä ( x 1) + ( y+ ) = 5. Sijoitetaan ympyrän yhtälöön x = 4 ja y = 1. ( x 1) + ( y+ ) = 5 (4 1) + (1 + ) = 5 18 = 5 Epätosi Koska 18 > 5, piste (4, 1) on ympyrän ulkopuolella ja sen kautta voidaan piirtää ympyrälle täsmälleen kaksi tangenttia. Muodostetaan tangentin yhtälö. y y0 = k( x x0) Sijoitetaan pisteen (4, 1) koordinaatit y ( 1) = k( x 4) y + 1= kx 4k Muokataan yleiseen muotoon kx y 4k 1= 0 Muodostetaan lauseke ympyrän keskipisteen (1, ) etäisyydelle tangentista kx y 4k 1= 0. d = = = ax0 + by0 + c a = k, b= 1, c = 4k 1, x0 = 1, y0 = a + b k 1 1 ( ) 4k 1 1 3k k k ( 1)

159 Muodostetaan yhtälö, josta voidaan ratkaista tangenttien kulmakertoimet. Ympyrän keskipisteen etäisyys tangentista on yhtä suuri kuin ympyrän säde k = 5 k + 1 ( 0) k k = 5 k + 1 a = b, kun b 0 ja a = b ( 1 3 k) = ( 5 k + 1) (1 3 k) = 5( k + 1) Ratkaistaan laskimella k = 1 tai k = Sijoitetaan saadut kulmakertoimet tangentin yhtälöön kx y 4k 1= 0. Kun k = 1, tangentin yhtälö on 1 x y 4 ( 1) 1= 0 1 x y+ 1 = 0 ( ) x+ y = 0. Kun k =, tangentin yhtälö on x y 4 1= 0 x y 9 = 0. Vastaus x+ y = 0 tai x y 9= 0

160 308 Tutkitaan, onko piste ( 5, 4) ympyrällä ( x 1) + ( y 1) = 9. Sijoitetaan ympyrän yhtälöön x = 5 ja y = 4. ( x 1) + ( y 1) = 9 ( 5 1) + (4 1) = 9 45 = 9 Epätosi Koska 45 > 9, piste ( 5, 4) on ympyrän ulkopuolella ja sen kautta voidaan piirtää ympyrälle täsmälleen kaksi tangenttia. Muodostetaan tangentin yhtälö. y y0 = k( x x0) Sijoitetaan pisteen ( 5,4) koordinaatit y 4 = k( x ( 5)) y 4= kx + 5k Muokataan yleiseen muotoon kx y + 5k + 4= 0 Muodostetaan lauseke ympyrän keskipisteen (1,1) etäisyydelle tangentista kx y + 5k + 4= 0. d = = ax + by + c 0 0 a + b k k + 4 k + ( 1) a = k, b= 1, c = 5k + 4, x = 1, y = = 6k + 3 k + 1

161 Muodostetaan yhtälö, josta voidaan ratkaista tangenttien kulmakertoimet. Ympyrän keskipisteen etäisyys tangentista on yhtä suuri kuin ympyrän säde 3. 6k + 3 = 3 k + 1 ( 0) k + 1 6k + 3 = 3 k + 1 a = b, kun b 0 ja a = b ( 6k + 3) = (3 k + 1) (6k + 3) = 9( k + 1) Ratkaistaan laskimella k = 4 tai k = 0 3 Sijoitetaan saadut kulmakertoimet tangentin yhtälöön kx y + 5k + 4= 0. Kun k = 4, tangentin yhtälö on 3 4 x y+ 5( 4) + 4= x y 8 = ( 3) 4x+ 3y+ 8 = 0. Kun k = 0, tangentin yhtälö on 0 x y = 0 y = 4. Vastaus 4x+ 3y+ 8= 0 tai y = 4

162 309 Piirretään mallikuva. Tutkitaan, onko piste (1, 1) ympyrällä ( x+ 1) + ( y 3) = 4. Sijoitetaan ympyrän yhtälöön x = 1 ja y = 1. ( x+ 1) + ( y 3) = 4 (1 + 1) + ( 1 3) = 4 0 = 4 Epätosi Koska 0 > 4, piste (1, 1) on ympyrän ulkopuolella ja sen kautta voidaan piirtää ympyrälle täsmälleen kaksi tangenttia.

163 Muodostetaan tangentin yhtälö. y y = k( x x ) 0 0 y ( 1) = k( x 1) y + 1 = kx k kx y k 1= 0 Sijoitetaan pisteen (1, 1) koordinaatit Muokataan yleiseen muotoon Muodostetaan lauseke ympyrän keskipisteen ( 1, 3) etäisyydelle tangentista kx y k 1= 0. d = = = ax0 + by0 + c a = k, b= 1, c = k 1, x0 = 1, y0 = 3 a + b k ( 1) 1 3 k 1 k k 4 k ( 1) Muodostetaan yhtälö, josta voidaan ratkaista tangenttien kulmakertoimet. Ympyrän keskipisteen etäisyys tangentista on yhtä suuri kuin ympyrän säde. k 4 k + 1 = k + 1 ( 0) k 4 = k + 1 a = b, kun b 0 ja a = b ( k 4) = ( k + 1) ( k 4) = 4( k + 1) k = 3 4 Ratkaistaan laskimella

164 Sijoitetaan saatu kulmakerroin tangentin yhtälöön kx y k 1= 0. 3 x y ( 3) 1= x y 1 = ( 4) 3x+ 4y+ 1= 0. Saatiin vain yksi kulmakerroin, vaikka piste (1, 1) on ympyrän ulkopuolella, jolloin tangentteja on täsmälleen kaksi. Koska toisella tangenteista ei ole kulmakerrointa, sen on oltava pystysuora. Sama voidaan havaita mallikuvasta. Pystysuora tangentti kulkee pisteen (1, 1), joten sen yhtälö on x = 1. Siis tangentit ovat 3x+ 4y+ 1= 0 ja x = 1. Vastaus 3x+ 4y+ 1= 0 ja x = 1

165 310 Ratkaisua voidaan havainnollistaa kuvan avulla. Muodostetaan tangentin yhtälö. Tangentti on suora, joten sen yhtälö on muotoa y = kx + s. Sijoitetaan yhtälöön tangentin kulmakerroin k = 3. y = 3x+ s Ratkaistaan vakiotermin s arvo. Suoralla ja ympyrällä on yksi yhteinen piste, kun yhtälöparilla y = 3x+ s x y + 4x 6= 0 on täsmälleen yksi ratkaisu.

166 x + y 4x 6= 0 y = 3x+ s Sijoitetaan y:n lauseke ympyrän yhtälöön. x + ( 3 x+ s) 4x 6= 0 x + 9 x 6sx + s 4x 6= 0 Otetaan x yhteiseksi tekijäksi. 10 x + ( 6s 4) x+ s 6 = 0 Yhtälöparilla on täsmälleen yksi ratkaisu, kun saadun toisen asteen yhtälön diskriminantti on nolla. Muodostetaan diskriminantin lauseke. D = 0 4ac = 0 ( 6s 4) 4 10 ( s 6) = 0 b 4s + 48s + 56 = 0 a = 10, b = 6s 4, c = s 6 Ratkaistaan laskimella s = 4 tai s = 16 Sijoitetaan saadut vakiotermin s arvot tangentin yhtälöön y = 3x+ s. Kun s = 4, tangentin yhtälö on y = 3x 4 Kun s = 16, tangentin yhtälö on y = 3x+ 16 Vastaus y = 3x 4 tai y = 3x+ 16

167 311 Ratkaisua voidaan havainnollistaa kuvan avulla. Muodostetaan tangentin yhtälö. Tangentti on suora, joten sen yhtälö on muotoa y = kx + s. Koska tangentti on suoran y = 3x 5 suuntainen, niin tangentin kulmakerroin on 3. Tangenttisuoran yhtälö on siis muotoa y = 3x+ s Ratkaistaan vakiotermin s arvo. Suoralla ja ympyrällä on yksi yhteinen piste, kun yhtälöparilla y = 3x+ s x y + 4x+ 4y = 0 on täsmälleen yksi ratkaisu.

168 y = 3x+ s x y + 4x+ 4y = 0 Sijoitetaan y:n lauseke ympyrän yhtälöön. x + (3 x+ s) 4x+ 4 (3 x+ s) = 0 x + 9x + 6sx + s 4x + 1x + 4s = 0 Otetaan x yhteiseksi tekijäksi. 10 x + (6s+ 8) x+ s + 4s = 0 Yhtälöparilla on täsmälleen yksi ratkaisu, kun saadun toisen asteen yhtälön diskriminantti on nolla. Muodostetaan diskriminantin lauseke. D = 0 4ac = 0 (6s+ 8) 4 10 ( s + 4s ) = 0 b a = 10, b= 6s+ 8, c = s + 4s 4s 64s+ 144 = 0 Ratkaistaan laskimella s = 18 tai s = Sijoitetaan saadut vakiotermin s arvot tangentin yhtälöön y = 3x+ s. Kun s = 18, tangentin yhtälö on y = 3x 18 Kun s =, tangentin yhtälö on y = 3x+ Vastaus y = 3x 18 tai y = 3x+

169 31 Ratkaisua voidaan havainnollistaa kuvan avulla. Määritetään ympyröiden ( x 8) + ( y+ ) = ja ( x 4) + ( y ) = 18 sivuamispiste A yhtälöparilla. x + y+ = ( 8) ( ) ( x 4) ( y ) + = 18 Ratkaistaan yhtälöpari laskimella x = 7 y = 1 Siis sivuamispiste on A = (7, 1).

170 Sivuamispisteeseen piirretty tangentti on ympyröiden keskipisteiden (4, ) ja (8, ) välisen janan normaali. Keskipisteiden välisen janan kulmakerroin on = Tangentin kulmakerroin on tämän käänteisluvun vastaluku, eli 1. Muodostetaan tangentin yhtälö sijoittamalla suoran yhtälöön y y0 = k( x x0) sivuamispisteen A = (7, 1) koordinaatit y = ja x 0 = 7 sekä kulmakerroin k = y ( 1) = 1( x 7) y = x 8 x y 8= 0 Vastaus y = x 8 eli x y 8= 0

171 313 Ratkaisua voidaan havainnollistaa kuvan avulla. Merkitään ympyrän pisteitä A = (5,14) ja B = (7,0). Ympyrän ( x+ 1) + ( y 6) = 100 keskipiste on P = ( 1, 6). Lasketaan janojen PA ja PB kulmakertoimet. kpa = 14 6 = 4 5 ( 1) 3 kpb = 0 6 = 3 7 ( 1) 4 Pisteen A kautta piirretty tangentti on kohtisuorassa janaa PA vastaan. Siis tangentin kulmakerroin on janan PA kulmakertoimen käänteisluvun vastaluku, eli 3. 4

172 Sijoitetaan pisteen A koordinaatit x 0 = 5 ja y 0 = 14 sekä kulmakerroin suoran yhtälöön y y0 = k( x x0). y 14 = 3 ( x 5) 4 y = 3 x Pisteen B kautta piirretty tangentti on kohtisuorassa janaa PB vastaan. Siis tangentin kulmakerroin on janan PB kulmakertoimen käänteisluvun vastaluku, eli 4 3. Sijoitetaan pisteen B koordinaatit x 0 = 7 ja y 0 = 0 sekä kulmakerroin suoran yhtälöön y y0 = k( x x0). y 0 = 4 ( x 7) 3 y = 4 x 8 3 3

173 Siis tangenttien yhtälöt ovat y = 3 x+ 71 ja y = 4 x Ratkaistaan niiden leikkauspiste yhtälöparista. y = 3 x y = 4 x Ratkaistaan yhtälöpari laskimella x = 13 y = 8 Siis tangenttien leikkauspiste on (13,8). Vastaus (13,8)

174 314 Tutkitaan, onko piste (5,1) ympyrällä ( x+ 1) + ( y 4) = 45. Sijoitetaan ympyrän yhtälöön x = 5 ja y = 1. ( x+ 1) + ( y 4) = 45 (5 + 1) + (1 4) = = 45 tosi Koska piste (5,1) toteuttaa ympyrän yhtälön, piste on ympyrällä ja sen kautta voidaan piirtää ympyrälle täsmälleen yksi tangentti.

175 Lasketaan sivuamispisteeseen B piirretyn säteen r kulmakerroin. Ympyrän keskipiste on ( 1, 4), ja tangentti sivuaa ympyrää kehäpisteessä (5,1). Säde on näiden pisteiden välinen jana. Säteen kulmakerroin on 1 4 = 1 5 ( 1) Lasketaan tangentin kulmakerroin. Tangentti on kohtisuorassa sivuamispisteeseen piirrettyä sädettä vastaan, joten sen kulmakerroin on säteen kulmakertoimen 1 käänteisluvun vastaluku. Muodostetaan tangentin yhtälö. y y = k x x 0 ( 0) Sijoitetaan x0 = 5, y0 = 1 y 1 = ( x 5) y = x 9 x y 9= 0 ja k = Vastaus y = x 9 eli x y 9= 0

176 315 Tutkitaan, onko piste ( 17,) ympyrällä x + ( y 1) = 18. Sijoitetaan ympyrän yhtälöön x = 17 ja y =. x + ( y 1) = ( 1) = = 18 tosi Koska piste ( 17,) toteuttaa ympyrän yhtälön, piste on ympyrällä ja sen kautta voidaan piirtää ympyrälle yksi tangentti.

177 Lasketaan sivuamispisteeseen B piirretyn säteen r kulmakerroin. Ympyrän keskipiste on (0,1), ja tangentti sivuaa ympyrää kehäpisteessä ( 17,). Säde on näiden pisteiden välinen jana. Säteen kulmakerroin on 1 = Lasketaan tangentin kulmakerroin. Tangentti on kohtisuorassa sivuamispisteeseen piirrettyä sädettä vastaan, joten sen kulmakerroin on säteen kulmakertoimen 1 17 Muodostetaan tangentin yhtälö. käänteisluvun vastaluku 17. y y = k x x 0 ( 0) Sijoitetaan x0 17, 0 ja y = 17 ( x 17 ) y = 17 x x + y 19 = 0 = y = k = 17 Vastaus y = 17 x+ 19 eli 17x+ y 19 = 0

178 316 Tutkitaan, onko piste (3, 5 ) ympyrällä x + y 6x+ 4= 0. Sijoitetaan ympyrän yhtälöön x = 3 ja y = 5. x + y 6x+ 4= = 0 0= 0 tosi Koska piste (3, 5 ) toteuttaa ympyrän yhtälön, piste on ympyrällä ja sen kautta voidaan piirtää ympyrälle täsmälleen yksi tangentti.

179 Lasketaan sivuamispisteeseen B piirretyn säteen r kulmakerroin. Muokataan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon. x + y 6x+ 4= 0 ( x 3) + y = 5 Ympyrän keskipiste on siis (3,0), ja tangentti sivuaa ympyrää kehäpisteessä (3, 5 ). Säde on näiden pisteiden välinen jana. Määritetään säteen kulmakerroin. 5 0 = Kulmakerrointa ei ole määritelty. Siis säde on pystysuora. Koska tangentti on kohtisuorassa sädettä vastaan, tangentti on vaakasuora. Tangentti kulkee pisteen (3, 5 ) kautta, joten sen yhtälö on y = 5. Vastaus y = 5

180 317 Tutkitaan, onko piste (0,0) ympyrällä ( x 4) + ( y ) =. Sijoitetaan ympyrän yhtälöön x = 0 ja y = 0. ( x 4) + ( y ) = (0 4) + (0 ) = 0 = Epätosi Koska 0 >, origo on ympyrän ulkopuolella ja sen kautta voidaan piirtää ympyrälle täsmälleen kaksi tangenttia. Muodostetaan tangentin yhtälö. y y0 = k( x x0) Sijoitetaan pisteen (0,0) koordinaatit y 0 = k( x 0) y = kx Muokataan yleiseen muotoon kx y = 0 Muodostetaan lauseke ympyrän keskipisteen (4,) etäisyydelle tangentista kx y = 0. d = = ax + by + c 0 0 a + b k 4 1 k + ( 1) a = k, b= 1, c = 0, x = 4, y = 0 0 = 4k k + 1

181 Muodostetaan yhtälö, josta voidaan ratkaista tangenttien kulmakertoimet. Ympyrän keskipisteen etäisyys tangentista on yhtä suuri kuin ympyrän säde. 4k = k + 1 ( 0) k + 1 4k = k + 1 a = b, kun b 0 ja a = b ( 4k ) = ( k + 1) (4k ) = ( k + 1) Ratkaistaan laskimella k = 1 tai k = 1 7 Sijoitetaan saadut kulmakertoimet tangentin yhtälöön kx y = 0. Kun k = 1, tangentin yhtälö on 7 1 x y = x 7y = 0. Kun k = 1, tangentin yhtälö on x y = 0. Vastaus x 7y = 0 tai x y = 0

182 318 Muokataan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon. x + y 5x+ 4y 3 = 0 4 ( x 5 ) + ( y+ ) = 16 Siis ympyrän keskipiste on ( 5, ) ja säde 4. Tutkitaan, onko piste ( 13, 4) ympyrällä ( x 5 ) + ( y+ ) = 16. Sijoitetaan ympyrän yhtälöön x = 13 ja y = 4. ( x 5 ) + ( y+ ) = 16 ( 13 5 ) + ( 4 + ) = 16 0 = 16 Epätosi Koska 0 > 16, piste ( 13, 4) on ympyrän ulkopuolella ja sen kautta voidaan piirtää ympyrälle täsmälleen kaksi tangenttia.

183 Mallikuva: Muodostetaan tangentin yhtälö. y y = k( x x ) 0 0 y ( 4) = k( x 13) y + 4 = kx 13k kx y 13k 4= 0 Sijoitetaan pisteen ( 13, 4) koordinaatit Muokataan yleiseen muotoon

184 Muodostetaan lauseke ympyrän keskipisteen ( 5, ) etäisyydelle tangentista kx y 13k 4= 0. d = = = ax0 + by0 + c a = k, b= 1, c = 13k 4, x 5 0 =, y0 = a + b k 5 1 ( ) 13k 4 k 4k k ( 1) Muodostetaan yhtälö, josta voidaan ratkaista tangenttien kulmakertoimet. Ympyrän keskipisteen etäisyys tangentista on yhtä suuri kuin ympyrän säde 4. 4k k + 1 = 4 k + 1 ( 0) 4k = 4 k + 1 a = b, kun b 0 ja a = b ( 4k ) = (4 k + 1) ( 4k ) = 16( k + 1) Ratkaistaan laskimella k = 3 4

185 Sijoitetaan saatu kulmakerroin tangentin yhtälöön kx y 13k 4= 0. 3 x y = x y 71 = x 8y 71 = 0 Saatiin vain yksi kulmakerroin, vaikka piste ( 13, 4) on ympyrän ulkopuolella, jolloin tangentteja on täsmälleen kaksi. Koska toisella tangenteista ei ole kulmakerrointa, sen on oltava pystysuora. Pystysuora tangentti kulkee pisteen ( 13, 4), joten sen yhtälö on x = 13. Siis tangentit ovat 6x 8y 71 = 0 ja x = 13. Vastaus 6x 8y 71 = 0 ja x = 13

186 319 Muokataan suoran yhtälö ratkaistuun muotoon. x y 15 = 0 y = x 15 Muodostetaan tangentin yhtälö. Tangentti on suoran y = x 15 suuntainen, joten sen yhtälö on muotoa y = kx + s, missä kulmakerroin on. Ratkaistaan vakiotermin s arvo. Suora on ympyrän tangentti, kun suoralla ja ympyrällä on yksi yhteinen piste eli kun yhtälöparilla y = x+ s x y + + 4x 1 = 0 on täsmälleen yksi ratkaisu. y = x+ s x y + + 4x 1 = 0 Sijoitetaan y:n lauseke ympyrän yhtälöön x + ( x+ s) + 4x 1 = 0 x + 4x + 4sx + s + 4x 1 = 0 Otetaan x yhteiseksi tekijäksi 5 x + (4s+ 4) x + s 1 = 0

187 Yhtälöparilla on täsmälleen yksi ratkaisu, kun saadun toisen asteen yhtälön diskriminantti on nolla. Muodostetaan diskriminantin lauseke. D = 0 (4s+ 4) 4 5 ( s 1) = 0 b 4ac = 0 a = 5, b= 4s+ 4, c = s 1 4s + 3s+ 56 = 0 Ratkaistaan laskimella s = tai s = Sijoitetaan saadut vakiotermin s arvot tangentin yhtälöön y = x+ s. Kun s = 4 4 5, tangentin yhtälö on x y = 0. y = x Kun s = , tangentin yhtälö on x y = 0. y = x

188 Vastaus x y = 0 tai x y = 0 Kuva:

189 30 Muokataan suoran yhtälö ratkaistuun muotoon. x+ 5y 15 = 0 y = 1 x+ 3 5 Muodostetaan tangentin yhtälö. Tangentin yhtälö on muotoa y = kx + s. Koska tangentti on kohtisuorassa suoraa y = 1 x+ 3 5 vastaan, niin tangentin kulmakerroin on suoran kulmakertoimen 1 5 käänteisluvun vastaluku eli 5. Tangenttisuoran yhtälö on siis muotoa y = 5x+ s Ratkaistaan vakiotermin s arvo. Suoralla ja ympyrällä on yksi yhteinen piste, kun yhtälöparilla y = 5x+ s x + y 6x+ y+ 7 = 0 on täsmälleen yksi ratkaisu.

190 y = 5x+ s Sijoitetaan y:n lauseke ympyrän yhtälöön. x + y 6x+ y+ 7 = 0 x + (5 x+ s) 6x+ (5 x+ s) + 7 = 0 x + 5x + 10sx + s 6x + 10x + s + 7 = 0 Otetaan x yhteiseksi tekijäksi. 6 x + (10s+ 4) x+ s + s+ 7 = 0 Yhtälöparilla on täsmälleen yksi ratkaisu, kun saadun toisen asteen yhtälön diskriminantti on nolla. Muodostetaan diskriminantin lauseke. D = 0 b 4ac = 0 a = 6, b= 10s+ 4, c = s + s + 7 (10s+ 4) 4 6 ( s + s+ 7 ) = 0 4s 18s 348 = 0 Ratkaistaan laskimella s = 9 tai s = 3 Sijoitetaan saadut vakiotermin s arvot tangentin yhtälöön y = 5x+ s. Kun s = 9, tangentin yhtälö on y = 5x 9 Kun s = 3, tangentin yhtälö on y = 5x 3

191 Vastaus y = 5x 9 tai y = 5x 3 Kuva:

192 31 Ympyrän (x + 1,) + (y,) = 9 keskipiste on ( 1,;,) ja säde on r = 9 = 3. Mallikuva: Ympyrän vaakasuorat tangentit kulkevat ympyrän keskipisteen kautta piirretyn pystysuoran suoran ja ympyrän leikkauspisteiden kautta. Nämä pisteet ovat säteen etäisyydellä ympyrän keskipisteestä suoraan keskipisteen päällä tai alla. Leikkauspisteet ovat siis ( 1,;, + 3) = ( 1,; 5,) ja ( 1,;, 3) = ( 1,; 0.8). Näiden kautta kulkevat vaakasuorat tangentit ovat y = 5, ja y = 0,8. Ympyrän pystysuorat tangentit kulkevat ympyrän keskipisteen kautta piirretyn vaakasuoran suoran ja ympyrän leikkauspisteiden kautta. Nämä pisteet ovat säteen etäisyydellä ympyrän keskipisteestä suoraan keskipisteen vasemmalla tai oikealla puolella. Leikkauspisteet ovat siis ( 1, 3;,) = ( 4,;,) ja ( 1, + 3;,) = (1,8;,). Näiden kautta kulkevat pystysuorat tangentit ovat x = 4, ja x = 1,8. Vastaus x = 1,8, x = 4,, y = 5, ja y = 0,8

193 3 Ratkaisua voidaan havainnollistaa kuvan avulla. Merkitään ympyrän pisteitä A = (1, 10) ja B = (8, 9). Muokataan ympyrän x + y 8x+ 1 y+ 7 = 0 yhtälö keskipistemuotoon. x + y 8x+ 1 y+ 7 = 0 ( x 4) + ( y+ 6) = 5 Ympyrän keskipiste on siis P = (4, 6) ja säde r = 5.

194 Lasketaan janojen PA ja PB kulmakertoimet. k PA k PB 10 ( 6) = = ( 6) = = Pisteen A kautta piirretty tangentti on kohtisuorassa janaa PA vastaan. Siis tangentin kulmakerroin on janan PA kulmakertoimen käänteisluvun vastaluku, eli k 3 A =. 4 Sijoitetaan pisteen A koordinaatit x 0 = 1 ja y 0 = 10 sekä kulmakerroin suoran yhtälöön y y0 = k( x x0). y ( 10) = 3 ( x 1) 4 y = 3 x Pisteen B kautta piirretty tangentti on kohtisuorassa janaa PB vastaan. Siis tangentin kulmakerroin on janan PB kulmakertoimen käänteisluvun vastaluku, eli k 4 B =. 3 Sijoitetaan pisteen B koordinaatit x 0 = 8 ja y 0 = 9 sekä kulmakerroin suoran yhtälöön y y0 = k( x x0). y ( 9) = 4 ( x 8) 3 y = 4 x Siis tangenttien yhtälöt ovat y = 3 x 37 ja y = 4 x

195 Ratkaistaan niiden leikkauspiste yhtälöparista. y = 3 x y = 4 x Ratkaistaan yhtälöpari laskimella x = 5 y = 13 Tangenttien leikkauspisteen C = (5, 13) etäisyys ympyrästä on pisteen C etäisyys ympyrän keskipisteestä P = (4, 6) vähennettynä ympyrän säteellä. d r = (5 4) + ( 13 ( 6)) 5= 5 5 Vastaus 5 5

196 33 Saaren halkaisija on 50 m. Kun koordinaatiston yksikkönä on 5 m, niin halkaisija on koordinaatistossa d = 50 m = 10 yksikköä ja 5 m tällöin säde r = d = 10 = 5. Ympyrän keskipiste on origo. Piirretään ympyrä sijoittamalla keskipisteen koordinaatit x 0 = 0 ja y 0 = 0 sekä säde ympyrän yhtälöön. ( x 0) + ( y 0) = 5 x + y = 5 Piirretään ympyrä x + y = 5 sekä piste A = (5,5) koordinaatistoon. Lyhyin matka kulkee ympyrän pisteen A kautta kulkevia tangentteja pitkin. Piirretään ympyrälle nämä tangentit. Merkitään tangenttien ja ympyrän leikkauspisteet. Koordinaateiksi saadaan B = ( 3, 4) ja C = (4, 3). Ellenin pitää suunnata jompaankumpaan pisteeseen, jotta soutumatka olisi mahdollisimman lyhyt.

197 Vastaus pisteeseen ( 3, 4) tai (4, 3).

198 34 Joonas näkee Ympyrätalon ympyrän x + y + 300x 400y = 0 pisteen (0,0) kautta kulkevien tangenttien välisessä terävässä kulmassa.

199 Ratkaistaan ensin tangenttien kulmakertoimet ja suuntakulmat, ja sitten tangenttien välinen kulma. Muokataan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon. x + y + 300x 400y = 0 ( x+ 150) + ( y 00) = 1600 Ympyrän keskipiste on siis ( 150,00) ja säde 1600 = 40. Tutkitaan, onko origo ympyrällä sijoittamalla x = 0 ja y = 0 ympyrän yhtälöön. ( x+ 150) + ( y 00) = 1600 ( ) + (0 00) = = 1600 Epätosi Koska 6500 > 1600, origo on ympyrän ulkopuolella ja sen kautta voidaan piirtää ympyrälle täsmälleen kaksi tangenttia. Origo toteuttaa tangenttisuoran yhtälön. y y0 = k( x x0) Sijoitetaan pisteen (0,0) koordinaatit y 0 = k( x 0) y = kx Muokataan yleiseen muotoon kx y = 0

200 Muodostetaan lauseke ympyrän keskipisteen ( 150,00) etäisyydelle tangentista kx y = 0. d = = = ax0 + by0 + c a = k, b= 1, c = 0, x0 = 150, y0 = 00 a + b k ( 150) 1 00 k + ( 1) 150k 00 k + 1 Muodostetaan yhtälö, josta voidaan ratkaista tangenttien kulmakertoimet. Ympyrän keskipisteen etäisyys tangentista on yhtä suuri kuin ympyrän säde k 00 k + 1 = 40 k + 1 ( 0) 150k 00 = 40 k + 1 ( 150k 00) = (40 k + 1) ( 150k 00) = 1600( k + 1) Ratkaistaan laskimella a = b, kun b 0 ja a = b k 1 = tai k =

201 Ratkaistaan kulmakertoimia vastaavat suuntakulmat yhtälöstä k = tan a tan k tan a = = = 6, tan k tan a = = + = 43, Tangenttien välinen kulma on suuntakulmien erotus. 43,93... ( 6, ) = 18, Siis Joonas näkee Ympyrätalon 18 kulmassa. Vastaus 18

202 35 Muokataan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon ja annetaan vakiolle a joitakin arvoja. x + y ax + ay = 8a + 8 ( x a) + ( y+ a) = a + 8a+ 8 a = 0 : x + y = 8 a = 1 : ( x 1) + ( y+ 1) = 18 a = 1: ( x+ 1) + ( y 1) = Ratkaisua voidaan havainnollistaa kuvan avulla.

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto.

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto. Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 15 Päivitetty 19..6 31 Tapa 1 Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä sijoituskeinoa. x y+ z = x y + 3z = 3x 4y+ z = Ratkaistaan yhtälöstä (1) muuttuja

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja funktioita

2 Yhtälöitä ja funktioita Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

Matematiikan pohjatietokurssi

Matematiikan pohjatietokurssi Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio, 8.-9.9.015, ratkaisut 1. Jaa tekijöihin (joko muistikaavojen avulla tai ryhmittelemällä) (a) x +x+ = x + x + = (x+) x +x+ = (x +x+1) = (x+1) (c) x 9 = (x) 3

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota. MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5 A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.

Lisätiedot

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset 4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa: Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset

Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe 18.5.2015 Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset 7. a) Matti ja Maija lähtevät kävelemään samasta pisteestä vastakkaisiin

Lisätiedot

ANALYYTTISTA GEOMETRIAA LUKIO-OPETUKSESSA. Eeva Kuparinen. Pro gradu -tutkielma Tammikuu 2008 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO

ANALYYTTISTA GEOMETRIAA LUKIO-OPETUKSESSA. Eeva Kuparinen. Pro gradu -tutkielma Tammikuu 2008 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO ANALYYTTISTA GEOMETRIAA LUKIO-OPETUKSESSA Eeva Kuparinen Pro gradu -tutkielma Tammikuu 2008 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO Sisältö 1 Johdanto 1 2 Koordinaatisto 3 2.1 Tason suorakulmainen xy-koordinaatisto............

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon

Lisätiedot

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R } 7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko

Lisätiedot

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät 11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit

Lisätiedot

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin Peruskäsitteitä 8. CA CB + BA BC AB b a a b DA DB + BA ( BC) + ( AB) b a a b Vastaus: CA a b, DA a b 8. DC DA + AC BA + AC BA BC AC ( BC AC ) + AC AC CB Vastaus:

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt

Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt Ensimmäisen ja toisen t nimittäjien poistaminen sieventäminen ensimmäisen identtinen yhtälö yhtälö verranto toisen asteen yhtälö korkeamman ristiin kertominen suhde täydellinen toisen ratkaisukaava vaillinainen

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015 PREPPAUSTA 05.nb LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 05 MURTOLUVUT. Laske murtolukujen 3 ja 5 6 summa, tulo ja osamäärä. Summa 3 5 6 4 3 5 6 8 6 5 6 3 6 6. Laske

Lisätiedot

MAA 2 - POLYNOMIFUNKTIOT

MAA 2 - POLYNOMIFUNKTIOT MAA MAA - POLYNOMIFUNKTIOT 1 On annettu muuttujan x polynomi P(x) = x + x + Mitkä ovat sen termien kertoimet, luettele kaikki neljä (?) Mitä astelukua polynomi on? Mikä on polynomin arvo, kun x = 0 Entä

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( ) Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot