yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p"

Markus Kyllönen
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y 6 c) Missä kulmassa suora y x leikkaa x-akselin? a) Määritä ympyrän x y 0x 8y 6 0keskipiste ja säde. Laske kuinka kaukana ympyrä on origosta! b) Suora kulkee pisteen (-,) kautta ja yhdensuuntainen suoran x y 0 kanssa. Määritä suoran yhtälö. a) Kumpi pisteistä A(, 0) vai B(, ) on lähempänä suoraa y x? b) Laske yhdensuuntaisten suorien y x ja y x välinen etäisyys. Kolmion ABC kärkipisteet ovat A(-00,-0), B(0,-00) ja C(00,00). a) Ratkaise kolmion korkeusjanan yhtälö, joka kulkee pisteestä C kohtisuoraan janalle AB. b) Kuinka korkea korkeusjana on? c) Mikä on kolmion pinta-ala? a) Ratkaise ympyrälle x y x y 60 0 piirrettyjen tangenttien yhtälöt, jos tangentit kulkevat pisteen (,8) kautta. b) Ympyrän halkaisijana on jana AB, missä A= (, ) ja B=(, ). Määritä ympyrän yhtälö yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6 a) Määritä ympyröiden x + y 6 x + y = 0 ja x + y + x 6 y 7 = 0 leikkauspisteet. b) Määritä sen ympyrän yhtälö, jonka keskipiste on (, ) ja joka sivuaa suoraa x y + = 0. 7 Ratkaise x y z 7 x y z x y z 8 Oviaukko on paraabelin muotoinen. Se on m leveä ja m korkea. Voiko ovesta työntää kallistamatta läpi kaappia, joka on suorakulmaisen särmiön muotoinen. Kaappi on rullilla, joiden halkaisija on 0 cm ja kaapin mitat ovat cm x cm x 00 cm? Ota tama paperi matkaasi kun poistut kokeesta ja kirjaa siihen vastauksesi lyhyesti. Oikeat vastaukset näet kokeen jälkeen:

2 Ratkaisut:. a) x x määritelty kun x 0 x 0 x x tai x ( x) x x tai x x x tai x x tai x Nyt kumpikaan ratkaisuista x tai x ei toteuta määrittelyjoukon ehtoa, että x:n pitäisi olla negatiivinen, joten itseisarvoyhtälöllä ei ole ratkaisua. x y * xy6 x 6y 6 x y 6 7y, y. Sijoitetaan jompaankumpaan yht. => x= -/7 7 b) y c) Suoran kulmakerroin k=-, ts. k x tan tan 76 Kulman suuruus on siis n. 76 astetta. lasketaan alekkain yhteen. =>, joten. a) x y 0x 8y 6 0 x x y y ( x ) ( y ) kp: (-,) ja r. Nyt d=keskipisteen etäisyys origosta on: d ( 0) ( 0) ( ) 6 Täten s=ympyrän (reunan) etäisyys origosta on: s,7 b) Suora x y 0. Kirjoitetaan normaaliin muotoon: y x : ( ) y x Hakemamme suora on tämän kanssa yhdensuuntainen, joten niillä on sama kulmakerroin, k = /. y y0 k( x x0) Nyt: y ( x ( )) y x. a) Kirjoitetaan suoran yhtälö ensin muotoon x y 0 0.

3 0 0 d, A 9 Vastaus: piste B d B Nähdään, että d d. B A b) Piste (0,) on suoralla y x, koska se leikkaa y-akselin korkeudella. Lasketaan siis pisteen (0,) etäisyys suorasta y x. Täytyy muuttaa yleiseen muotoon: 0 x y. Nyt 0 d 6 Etäisyys on siis / 6. Ratkaisu: a) Pisteiden AB kautta kulkevan suoran yhtälö on y x. Korkeusjana pisteestä C tälle janalle AB on äskeisen suoran normaali, eli sen kulmakerroin k lasketaan: k, k. Lisäksi normaali kulkee pisteen C kautta, joten normaalin yhtälö saadaan: y 9 ( x 7) y x 6 b) Käytännössä lasketaan pisteen C etäisyys suorasta y x. Nyt y x x y 6 0, joten d 0. ( ) ( ) 0 c) Kolmion pinta-ala on (kanta*korkeus)/. Ajatellaan nyt b-kohdan d korkeutena ja janan AB pituus kantana. Lasketaan pisteiden A ja B välinen etäisyys, olkoon se s. s (9 6) ( 6) 0. Nyt A ( 0 * 0) /.. a) x y x y 60 0 x x y y ( x ) ( y) Eli keskipiste on (,), r Tangentti kulkee pisteen (,8) kautta, mutta sen kulmakerrointa ei tiedetä. Muodostetaan kuitenkin tangentin yhtälö väkisin: y y k( x x ) 0 0 y 8 k( x ) kx y 8 k 0 Tämän suoran etäisyys ympyrän keskipisteestä (,) pitää olla säteen verran, joten:

4 k 8 k k k 6800k k k k k k 6800k 6 Toisen asteen yhtälön ratkaisuiksi saadaan (valitettavasti) likiarvot Ja näiden avulla, sekä jo muodostetulla tangenttien yhtälöllä kx y 8 k 0 saadaan yhtälöt:,x y8, 0 0,x y8 ( 0,) 0 ja,x y 8, 0 0,x y 0 k, k 0, b) Ratkaisu: Ympyrän keskipiste on, = (0, ). Säteen neliö on ( 0 ) ( ). Ympyrän yhtälö on ( 0) ( ) x y eli x y 6y 9 0 ja edelleen sievennettynä x y 6y 0. Tästä käy ilmi, että a 0, b 6 ja c. Vastaus: a 0, b 6 ja c 6. a) Ratkaisu x + y 6 x + y = 0 x + y + x 6 y 7 = 0 Vähennetään yhtälöt puolittain 8 x 8 y = 0 8 y = 8 x : 8 y = x Sijoitetaan toiseen ympyrän yhtälöön y = x ja ratkaistaan leikkauspisteiden x-koordinaatit x + (x ) 6 x + (x ) = 0 x + x 6 x x + x 6 = 0 x 0 x = 0 : x x = 0, josta x = 0 tai x = y = x, josta, josta y = tai y = Vastaus: (0, ) ja (, ) b) Ratkaisu: Kysytyn ympyrän säde on keskipisteen etäisyys ympyrän tangentista eli annetusta suorasta. Se on

5 . Ympyrän yhtälö on siis ( x ) ( y ) 9 eli yleisessä muodossa x y x y 0. Vastaus: ( ) ( ) x y eli x y x y 0 7. x y z 7 x y z x y z x y z 7 x y z ja x y x y z 7 x y z 6x y Jäljelle jäävistä x:ää ja y:tä sisältävistä yhtälöistä voidaan tehdä yhtälöpari: x y 6x y Nyt 0 y 0 y 0, 0y 0 joten koska x y, niin x 0 x x Nyt voidaan laskea myös z, vaikka yhtälöryhmän alimmasta yhtälöstä: x ( ) 0 z z => y 0 z 9 z 9 8. Muodostetaan paraabelin yhtälö. Sijoitetaan parabelin huippu y-akselille, jolloin se leikkaa y-akselin korkeudella => paraabelin yhtälön vakiotermi c=. Nollakohdat tulevat x-akselille symmetrisesti nollan molemmille puolille pisteisiin (-,0) ja (,0). Koska paraabeli on symmetrinen y-akselin suhteen, sen yhtälö on muotoa y ax c ax avulla. Koska paraabeli kulkee pisteen (,0) kautta, tällöin:. Ratkaistaan tästä a, esim. pisteen (,0) 0 a 0 a a. Tällöin paraabelin yhtälö on y x. Kokeillaan työntää laatikkoa ensin lyhin sivu cm =, m lattiaa kohti. Tällätään laatikko tismalleen keskeltä oviaukkoa läpi. Tällöin laatikon kulmat menevät x-akselin kohdista -0,6 ja +0,6. Lasketaan oviaukon korkeus kohdassa x=0,6 paraabelin yhtälöstä: y (0,6), m Laatikon pystysivu on tässä vaihtoehdossa, m korkea, ja siinä on 0cm=0,m korkeat rullat alla, joten laatikon pystysivu olisi,m korkeudella, eli ei tule mahtumaan! Kokeillaan kääntää laatikko toisinpäin, eli, m sivu lattiaa vasten: Tällöin laatikon kulmat menevät x-akselin kohdista 0,7 ja -0,7. Lasketaan oviaukon korkeus kohdassa x=0,7 paraabelin yhtälöstä: y (0,7), m Laatikon pystysivu on tässä vaihtoehdossa, m korkea, ja siinä on edelleen 0, m korkeat rullat alla, joten laatikon pystysivu olisi, m korkeudella. Eli näin päin laatikko mahtuu!

Samankaltaiset tiedostot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon