TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat 35, 7 ja 0.
|
|
- Niina Lahti
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku.. Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat, 7 ja 0.. a) Luvun vastaluku on, koska + ( ) 0. b) Luvun 7 vastaluku on 7, koska 7 + ( 7) 0. c) Luvun 0 vastaluku on 0, koska d) Luvun vastaluku on, koska + 0. e) Luvun vastaluku on, koska a) b) 7 7 c) 0 0 d) e). a) 7 + ( ) 7 8 b) 6 + ( 9) 6 9 c) 0 d) 7 ( ) 7 tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
2 . 6. a) ( ) 0 b) ( ) 7 ( ) 7 ( ) ( ) 70 c) 8 : ( ) 6 d) 0 : ( 8) : ( ) 0 : ( ) tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
3 8. a) 8 : 6 b) c) ( 6 : ) ( ) 0 0 d) 0 : ( + 6) 9 0 : ( + ) 9 0 : a) : b) Suurin arvo: : (6 9) : (6 8) : ( ) Pienin arvo: : (6 9) : 8 tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
4 0. a) 80 + (7 + 0) Vaihdantalaki: lukujen 7 ja 0 järjestys voidaan vaihtaa (0 + 7) Liitäntälaki: summa voidaan laskea ensin. (80 + 0) b) 76 Vaihdantalaki: lukujen 76 ja järjestys voidaan vaihtaa c) Osittelulaki: luku 769 voidaan erottaa yhteiseksi tekijäksi. 769 ( + 6) Lasketaan tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
5 . a) Vaihdantalaki: lukujen 687 ja 60 järjestys voidaan vaihtaa b) 70 Puretaan luku 0 summaksi (00 + ) Osittelulaki: yhteenlaskettavat voidaan kertoa erikseen luvulla c) 89 + ( ) Vaihdantalaki: lukujen 89 ja järjestys voidaan vaihtaa. ( 89) + ( ) Osittelulaki: luku voidaan erottaa yhteiseksi tekijäksi. ( 98) ( 00) 00. a) Lukujen ja summa on + ( ). b) Lukujen ja summa on, jonka vastaluku on. c) Lukujen ja vastalukujen summa on +.. a) (7 ) : ( ) 8 :( ) b) ( ) ( 6) + 6 c) ( 6) + ( ) tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
6 . a) 7 ( 6) Siis lämpötila laski astetta. b) Lämpötila oli 8 astetta. c) + ( 7) 0 0 Keskiarvo on 0 ºC.. Summan arvo on kolme kertaa keskimmäisessä ruudussa oleva luku. a) b) 6. a) Merkintä x tarkoittaa, että luvun x vastaluku on. Siten x. b) Merkintä x 6 tarkoittaa, että luvun x vastaluku on 6. Siten x 6. c) Merkintä x 0 tarkoittaa, että luvun x vastaluku on 0. Siten x 0. d) Luku ja luvun vastaluvun arvo on sama, kun x a) Yhtälö x 6 toteutuu, kun luvun x etäisyys luvusta 0 on 6. Siten x 6 tai x 6. b) Yhtälö x 0 toteutuu, kun luvun x etäisyys luvusta 0 on 0. Siten x 0. c) Mikään luku ei toteuta yhtälöä x, koska itseisarvo on aina vähintään nolla. d) Mikään luku ei toteuta yhtälöä x, koska itseisarvo on aina vähintään tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
7 8. a) a b ( 8) + 8 b) ( ab) a+ b 8 c) a ( b) a+ b 8 9. a) ( ) + ( ) + ( ) 6 Tulo ( ) on negatiivinen luku. b) Koska yhtälössä + ( ) 0 tulo 6, niin tulon ( ) täytyy olla 6. c) Koska + ( ) 0, niin ( ) ( + ( )) ( ) + ( ) ( ) 0. Koska yhtälössä ( ) + ( ) ( ) 0 tulo ( ) 6, niin ( ) ( ) täytyy olla a) Jakolaskun määritelmän mukaan m q täsmälleen silloin, kun m nq. n Jos olisi olemassa sellainen luku q, että q, niin silloin olisi 0 q. Mutta tämä on 0 mahdotonta. b) Osamäärässä 0 q arvo q ei ole yksikäsitteinen, koska 0 q 0 kaikilla luvun q arvoilla. tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
8 . a) Luvut ovat toistensa vastalukuja, jos niiden summa on nolla. Lasketaan lukujen summa. ( π ) + ( π + ) π π + π π + 0 b) Luvut ovat toistensa vastalukuja, jos niiden summa on nolla. Lasketaan lukujen summa. ( a ) + ( a) a + a aa + 0. a) Merkintä a < 0 tarkoittaa, että luvun a vastaluku on negatiivinen. Siten luku a on positiivinen, a > 0. b) Merkintä a > 0 tarkoittaa, että luvun a vastaluku on positiivinen. Siten luku a on negatiivinen, a < 0. c) Luvun a itseisarvo a on yhtä suuri kuin vastaluku a, kun a 0. d) Luvun a itseisarvo a on suurempi kuin vastaluku a, kun a > tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
9 Luku.. a) Luku voidaan esittää murtolukuna. b) Luku voidaan esittää murtolukuna 6. c) Luku, voidaan esittää murtolukuna 00. d) Luku 0, voidaan esittää murtolukuna tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
10 . a) Lavennetaan. ) Asetetaan suuruusjärjestykseen. < b) Lavennetaan. ) ) Asetetaan suuruusjärjestykseen. > c) Lavennetaan. 0) ) ) Asetetaan suuruusjärjestykseen. > > 0 tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
11 . a) Supistetaan. ( 6 6: 9 9: ( 8 8: : Asetetaan suuruusjärjestykseen b) Supistetaan. ( : 7 7 : ( 8 8: : Asetetaan suuruusjärjestykseen. < c) Supistetaan. ( : : 8 ( : : 8 Asetetaan suuruusjärjestykseen. > tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
12 6. a) ) ) b) c) d) ) 6 6 ) ) ) a) 6 0 b) c) ( ) ( ) tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
13 8. a) Luvun 8 käänteisluku on 8, koska 8. 8 b) Luvun käänteisluku on, koska. c) Luvun 6 käänteisluku on 6, koska ( 6 ). 6 d) Luvun käänteisluku on, koska ( ). e) Luvun 7 käänteisluku on 7, koska 7. 7 ( f) Luvun 0, 0 käänteisluku on,, koska. 9. a) : b) 6 : 6 : c) d) : : : tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
14 ) ) 0. a) + ( ) b) ( ) c) ( ) 6 6 d) :( ) ( ). a) tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
15 . a) + : + : b) : c) d) : : :. a) b) 7 : Aluksi mansikkamehua oli litraa. Kun Salma joi mehusta puolet, jäljelle jäi litraa. Kun Ilja joi mehusta yhden kolmasosan, jäljelle jäi 0, Aatokselle jäi siis 0, L, dl. tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
16 . Lasketaan Ideatalo Oy:n osakkeiden osuus kaikista osakkeista Kaikkiaan salkussa on 0 osaketta. Lasketaan Ideatalo Oy:n osakkeiden lukumäärä Vastaus: Ideatalo Oy osakkeita on 7 kaikista osakkeista, ja niitä on 80 kpl. 6. Kun Farid istutti taimista Kun Harri istutti taimista Jinin osuus 960 tainta oli siis Taimia oli yhteensä, jäljelle jäi., jäljelle jäi. kaikista taimista Vastaus: Jin istutti kaikista taimista, ja taimia oli yhteensä 00 kpl. 7. Merkintä x a) Luvun tarkoittaa luvun x käänteislukua. x käänteisluku. x b) Luvun x käänteisluku 8. 8 x c) Luvun x käänteisluku x d) Luvun x 6 käänteisluku. tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
17 8. a) Merkintä x tarkoittaa, että luvun x käänteisluku on. Siis x. b) Merkintä x tarkoittaa, että luvun x käänteisluku on. Siis x. c) Merkintä x tarkoittaa, että luvun x käänteisluku on. Siis x. d) Merkintä x tarkoittaa lukua, joka on yhtä suuri kuin oma käänteislukunsa. x Siis x tai x a) ab ( 6) b) ab 7 7. ) x,... ) 00x,... ) 00x x,...,... ) 99x 00x x x tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
18 . a) ) x, ) 00x 0, ) 00x x 0, , ) 99x 00x x 00 x b) ) x, ) 00x 99, ) 00x x 99, , ) 99x 00x x 9 x 9 99 c) ) x, ) 000x 98, ) 000x x 98, , ) 999x 000x x 9 x d) ) x,0... ) 0x 0,... ) 000x 0,... ) 990x 000x 0x 0,... 0, x 00 tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
19 . a) Lasketaan jakolaskua jakokulmassa, kunnes desimaalit alkavat toistua. 0, Erotus on jokin luvuista 6. Viimeistään seitsemäs erotus on sama kuin jokin aikaisempi ja jakolasku alkaa toistaa itseään. b) Jokaisessa jakolaskun vaiheessa erotus on jokin luvuista,, n. Viimeistään n:s erotus on sama kuin jokin aikaisempi. Jakson pituus on n tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
20 . a) 6, siis + 6 b) 0, siis , siis c) 9 0, siis , siis , siis tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
21 Luku.. Sijoitetaan luku 6 yhtälöön muuttujan x paikalle Tämä on epätosi, joten luku 6 ei ole yhtälön x+ x ratkaisu. Sijoitetaan luku 7 yhtälöön muuttujan x paikalle Tämä on tosi, joten luku 7 on yhtälön x+ x ratkaisu. Sijoitetaan luku 8 yhtälöön muuttujan x paikalle Tämä on epätosi, joten luku 8 ei ole yhtälön x+ x ratkaisu. Vastaus: tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
22 6. a) x x 6 : x b) x x x, + x x x : x c) x+ 6 x x, 6 x x 6 6x 8 : ( 6) x Vastaus: a) x b) x c) x 7. a) + 9x + 9x : 9 x 9 b) x+ x x, x x x : ( ) x c) x+ x + x, x+ x 0 6x 0 :6 x 0 Vastaus: a) x b) x c) x tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
23 8. a) ( x+ ) ( x) x+ x x+ 8 x x x 8 x b) 8x ( x+ ) + 7 8x x x x x : 6 x c) (7 + x) x+ x x+ x x + 6x 7 : ( 6) x 7 6 Vastaus: a) x b) x c) x a) 8 x x 8 x x x x 8 x 8 :( ) x b) x+ 8 x x+ x 8 x : x Vastaus: a) 8 x x, x b) x + 8 x, tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
24 0. Lasketaan ensin yhtälön x+ x juuret. x+ x x x x x Tutkitaan seuraavaksi toteuttaako luku yhtälön 7 ( x+ ) 6x. 7 ( + ) Tämä on epätosi, joten luku ei toteuta yhtälöä 7 ( x+ ) 6x. Vastaus: Eivät toteuta.. a) + x + x x x b) x 7x + 8x 7x+ 0 8x 7x 0 x 0 c) x x 6 6 6x 6 x x 6 x x x 6 x 6 : ( ) x Vastaus: a) x b) x 0 c) tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
25 . a) x x x x x 6 : x b) x x + x (x+ ) xx x + x 6 : x c) x + x x+ + 0 x+ 0x ( x+ ) + 0 x x+ + 0 x x 7x : 7 x Vastaus: a) x b) x c) tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
26 . a) x x + x x+ 8 x x 8 x 8 : ( ) x 8 b) x + ( ) x 6 ( x ) x x x x x x x Vastaus: a) x x+, x 8 b) x + ( ) x, tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
27 . a) x 0 : x b) x < 0 x < : ( ) x >9 c) x > 7 x > 7 + x > : x > tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
28 . a) x8 x7 xx x : ( ) x b) x ( x) x x x+ x + x 6 : x c) x(x ) < x 6x+ < 8x < 8x < 0 : ( 8) x > 0 8 x tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
29 6. a) x 6< x < + 6 x < 0 : x < b) x 6> 0 x > 6 : x > Vastaus: x 6 <, x < b) x 6 > 0, x > 7. a) x > x > 6 x > x > 6 x < :( ) x < b) x x < x x (x ) < x x(x ) < x x x+ < x xx x< x < : ( ) x > x > Vastaus: a) x < b) x tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
30 8. a) x+ ( x) x+ x b) x(x 6) 0 x 9 c) x x 9x8 x Vastaus: a) x b) x > c) x 9. a) ( x 7) < 6x x >6 b) (x+ ) x x 7 c) x+ x > x x < Vastaus: a) x > 6 b) x c) x < tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
31 60. a) 6( x) 6 6 6x 6 6x 66 6x 0 : ( 6) x 0 b) 0 x 7 (x) 0 x 7 x+ x+ x Tosi Yhtälö on tosi riippumatta muuttujan x arvosta, joten yhtälön toteuttavat kaikki luvut. c) ( x) ( x) x 6x x+ x 6 0 Epätosi Yhtälö on epätosi riippumatta muuttuja x arvosta, joten yhtälöä ei toteuta mikään luku. Vastaus: a) x 0 b) Yhtälön toteuttavat kaikki luvut. c) Yhtälö ei toteuta mikään tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
32 6. a) x x x x x x+ x x+ x 0 Epätosi Yhtälö on epätosi riippumatta muuttuja x arvosta, joten yhtälöä ei toteuta mikään luku. b) x+ x x ( x+ ) ( x ) (x+ 6) x+ 0 x+ x+ xx x Tosi Yhtälö on tosi riippumatta muuttujan x arvosta, joten yhtälön toteuttavat kaikki luvut. Vastaus: a) Yhtälö ei toteuta mikään luku. b) Yhtälön toteuttavat kaikki luvut. 6. ax + a x + a + Siirretään a oikealle puolelle ja x vasemmalle puolelle ax x a + a ax x a xa ( ) a : ( a) x a a Koska luvulla 0 ei voi jakaa, niin yhtälöllä ei ole ratkaisua, kun a 0 a. Vastaus: x a +, Ei ratkaisua, kun a. tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
33 6. a) Ratkaistaan yhtälöstä muuttuja x. ( x) a0x 0 0x a0x 0x+ 0x a0 0 a 0 Yhtälön toteuttavat kaikki luvut, kun myös yhtälön oikealla puolella on luku 0. Siis: a 0 0 a 0 : a 0 b) Ratkaistaan yhtälöstä muuttuja x. ax x a ax x a + xa ( ) a+ : ( a) x a + a Koska luvulla 0 ei voi jakaa, niin yhtälöllä ei ole yhtään ratkaisua, kun a. Vastaus: a) a 0 b) tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
34 6. a) x+ (x ) > 0( x) x+ 8x 0 > 0x0 x+ 8x 0x> x > 0 : ( ) x < 0 b) 8( x) 8x 8+ 8x 8x 8x8x Tosi Epäyhtälö on tosi riippumatta muuttujan x arvosta, joten epäyhtälön toteuttavat kaikki luvut. c) x x > x 6 x( x) > x 8x + x > 0x 8x+ x 0x > 0> Epätosi Epäyhtälö on epätosi riippumatta muuttuja x arvosta, joten epäyhtälöä ei toteuta mikään luku. Vastaus: a) x < 0 b) Epäyhtälön toteuttavat kaikki luvut. c) Epäyhtälöä ei toteuta mikään luku. 6. Ratkaistaan epäyhtälö. ( x+ 6) < 6x+ x 8 < 6x+ x 6x< + 8 9x < : ( 9) x > x > 9 Epäyhtälö toteutuu, kun x >, joten jokainen epänegatiivinen (x 0) luku toteuttaa tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
35 66. Ratkaistaan ensin epäyhtälö x 7 > 6( x ). x 7 > 6( x) x 7 > 6x x 6x> + 7 x > ( ) x < Ratkaistaan seuraavaksi epäyhtälö ( x ) < ( + x ) +. ( x ) < ( + x) + x < + x+ x x< + + x < 6 Näin huomataan, että jos luku toteuttaa epäyhtälön x 7 > 6( x ) eli toteuttaa ehdon x <, niin se toteuttaa myös epäyhtälön ( x ) < ( + x ) + eli toteuttaa ehdon x < tekijät ja Sanoma Pro Oy 06
Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.
Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotKOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut
KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen
LisätiedotTekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2
Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen
Lisätiedot1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f
LisätiedotLuvuilla laskeminen. 1. Laske. a) 2 5 b) 6 11 c) 4 + ( 4) d) 1 ( 7) Ratkaisu. a) 2 5 = 7 b) 6 11 = 5 c) 4 + ( 4) = 4 4 = 0 d) 1 ( 7) = = 6
Luvuilla laskeminen. Laske. 6 4 + ( 4) d) ( 7) = 7 6 = 4 + ( 4) = 4 4 = 0 d) ( 7) = + 7 = 6. Laske. ( 9) 7 ( 8) 8 : ( ) d) 4 : 6 ( 9) = 7 7 ( 8) = 6 8 : ( ) = 9 d) 4 : 6 = 7. Muunna 8 sekaluvuksi 6 sekaluvuksi
Lisätiedot1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400
LisätiedotB. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?
Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,
LisätiedotRationaalilauseke ja -funktio
4.8.07 Rationaalilauseke ja -funktio Määritelmä, rationaalilauseke ja funktio: Kahden polynomin ja osamäärä, 0 on rationaalilauseke, jonka osoittaja on ja nimittäjä. Huomaa, että pelkkä polynomi on myös
LisätiedotKOKEITA KURSSI 1. 1. Pitemmдstд osasta sahaat pois 5. 3 b) Muunna murto- tai sekaluvuksi. d) 0,9 e) 1,3 f) 2,01
KOKEITA KURSSI kurssi (A). Laske. Kirjoita ainakin yksi vдlivaihe. 9 a) :. Merkitse ja laske. a) Lukujen ja tulosta vдhennetддn. Luvusta vдhennetддn lukujen ja erotus. Lukujen ja summan kolmasosa kerrotaan
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
LisätiedotTekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
LisätiedotRatkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,...
Ratkaisut 1 1. Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,.... Nolla, koska kerrotaan nollalla. 3. 16 15 50 = ( 8) 15 50 = (8 15) ( 50) = 1000 500 = 500 000. 4.
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
Lisätiedot( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty
Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 15 Päivitetty 19..6 31 Tapa 1 Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä sijoituskeinoa. x y+ z = x y + 3z = 3x 4y+ z = Ratkaistaan yhtälöstä (1) muuttuja
Lisätiedot3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen
LisätiedotMatematiikan pohjatietokurssi
Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio, 8.-9.9.015, ratkaisut 1. Jaa tekijöihin (joko muistikaavojen avulla tai ryhmittelemällä) (a) x +x+ = x + x + = (x+) x +x+ = (x +x+1) = (x+1) (c) x 9 = (x) 3
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.
Lisätiedot1 Numeroista lukuja 1.
1 1 Numeroista lukuja Mitä lukuyksikköä edustaa numero a) 4 luvussa 5 469 satoja b) 7 luvussa 35,271 sadasosia c) 1 luvussa 0,5281? kymmenestuhannesosia Kirjoita lukuyksiköiden mukaisena summalausekkeena.
Lisätiedot4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
LisätiedotNegatiiviset luvut ja laskutoimitukset
7.lk matematiikka Negatiiviset luvut ja laskutoimitukset Hatanpään koulu Syksy 2017 Janne Koponen Negatiiviset luvut ja laskutoimitukset 2 Negatiiviset luvut ja laskutoimitukset Sisällys 1. Negatiiviset
Lisätiedot1 PERUSLASKUTAITOJA. ALOITA PERUSTEISTA 1A. a) = 4 15 = 11. Vastaus: 11. b) 2 ( 6 + 5) = 2 ( 1) = 2. Vastaus: 2. c)
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.7.08 PERUSLASKUTAITOJA ALOITA PERUSTEISTA A. a) 5 = 5 = Vastaus: b) ( 6 + 5) = ( ) = Vastaus: c) 0 0 6 Vastaus: 6 d) 8 + 8 : = 8
LisätiedotLAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN
LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua
Lisätiedot1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =?
Tehtävät 1 1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? 3. 16 125 250 =? 4. Kirjoita lausekkeeseen sulut siten, että tulos on nolla. 2 + 2 2 2 : 2 + 2 2 2
LisätiedotOpettaja: tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 17:00-18:25, luokka 26.
MAB 0: Kertauskurssi Opettaja: Janne.Lemberg @ tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 17:00-18:25, luokka 26. Alustava aikataulu: ma 29.8 ke 31.8 ma 5.9 ke 7.9 ma 12.9 ke 14.9 ma 19.9 ke 21.9 ma 26.9 ke 28.9
LisätiedotNegatiiviset luvut ja laskutoimitukset
7.lk matematiikka Negatiiviset luvut ja laskutoimitukset Hatanpään koulu Syksy 2017 Janne Koponen 2 Sisällys 1. Negatiiviset ja positiiviset luvut sekä vertailut... 4 2. Lukujen vertailu... 8 3. Plussien
LisätiedotNegatiiviset luvut ja laskutoimitukset
7.lk matematiikka Negatiiviset luvut ja laskutoimitukset Hatanpään koulu Syksy 2017 Janne Koponen 2 Sisällys 1. Negatiiviset ja positiiviset luvut sekä vertailut... 4 2. Lukujen vertailu... 8 3. Plussien
Lisätiedot2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt
. Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri
LisätiedotTestaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo
Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja
Lisätiedot2 Raja-arvo ja jatkuvuus
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z
LisätiedotTämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }
7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko
Lisätiedot= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2
Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100
Lisätiedot2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä
2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja
LisätiedotJäännösluokat. Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan
Jäännösluokat LUKUTEORIA JA TODIS- TAMINEN, MAA Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan lukujoukkoja 3k k Z =, 6, 3, 0, 3, 6, 3k + k Z =,,,,, 7, 3k + k Z =,,,,, 8, Osoita,
LisätiedotJuuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
LisätiedotMAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x
MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =
Lisätiedot4 Matemaattinen induktio
4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla
LisätiedotMAY01 Lukion matematiikka 1
MAY01 Lukion matematiikka 1 - Oppikirja: Yhteinen tekijä, Lukion matematiikka 1: Luvut ja lukujonot (paperisena tai sähköisenä ) - Kurssilla tarvitaan myös tietokone, TI-laskinohjelma, geogebraohjelma,
Lisätiedot! 7! = N! x 8. x x 4 x + 1 = 6.
9. 10. 2008 1. Pinnalta punaiseksi maalattu 3 3 3-kuutio jaetaan 27:ksi samankokoiseksi kuutioksi. Mikä osuus 27 pikkukuution kokonaispinta-alasta on punaiseksi maalattu? 2. Positiivisen kokonaisluvun
Lisätiedot1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
Lisätiedot4 LUKUJONOT JA SUMMAT
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 4 LUKUJONOT JA SUMMAT ALOITA PERUSTEISTA 45A. Määritetään lukujonon (a n ) kolme ensimmäistä jäsentä ja sadas jäsen a 00 sijoittamalla
LisätiedotJuuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
LisätiedotVastaukset. 2. Ottamalla kaapista 4 kenkää ja 3 sukkaa.
Vastaukset. -. Ottamalla kaapista kenkää ja sukkaa.. Asetetaan vaakaan kummallekin puolelle aluksi sormusta ja punnitaan. Kolmas kolmen ryhmä on vaa'an ulkopuolella. Rihkamasormus kuuluu punnittavista
Lisätiedot= = = 1 3.
9. 10. 2008!"$#&%(')'*,#.-/* P1. lkuperäisen punaisen kuution pinta koostuu kuudesta 3 3-neliöstä, joten sen ala on 6 3 2 = 54. Koska 3 3 =, kuutio jakautuu leikatessa yksikkökuutioksi, joiden kokonaispinta-ala
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat
LisätiedotYmpyrän yhtälö
Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka
Lisätiedotniin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus- ja miinuslaskut vasemmalta oikealle.
Alkeistason matikkaa Plus-, miinus-, kerto- ja jakolaskujen laskujärjestys Esim. jos pitää laskea tällainen lasku:? niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus-
Lisätiedot3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:
LisätiedotApprobatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.
Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten
LisätiedotKompleksiluvut. JYM, Syksy /99
Kompleksiluvut JYM, Syksy 2014 1/99 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Kompleksiluvut Riikka Korte (muokannut Riikka Kangaslammen materiaalin pohjalta) Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.11.2015 1 /
LisätiedotMerkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.
13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin
LisätiedotLUKUTEORIA johdantoa
LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, sks 07 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.
LisätiedotPython-ohjelmointi Harjoitus 2
Python-ohjelmointi Harjoitus 2 TAVOITTEET Kerrataan tulostuskomento ja lukumuotoisen muuttujan muuttaminen merkkijonoksi. Opitaan jakojäännös eli modulus, vertailuoperaattorit, ehtorakenne jos, input-komento
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
LisätiedotVastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
LisätiedotJuuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =
Lisätiedot15 Yhtäsuuruuksia 1. Päättele x:llä merkityn punnuksen massa. a) x 4 kg. x 3 kg
1 15 Yhtäsuuruuksia Päättele :llä merkityn punnuksen massa. a) 1 kg 1 kg 1 kg 1 kg 1 kg 1 kg b) 1 kg 5 kg 5 kg 4 kg 3 kg Kuinka monta ympyrää jälkimmäisen vaa an oikealle puolelle on laitettava, jotta
LisätiedotPolynomi ja yhtälö Sievennä. a) 4a + 3a b) 11x x c) 9x + 6 3x. Ratkaisu a) 7a b) 12x c) 6x + 6
Polynomi ja yhtälö 103. Sievennä. a) 4a + 3a b) 11x x c) 9x + 6 3x a) 7a b) 12x c) 6x + 6 104. Ratkaise yhtälöt. a) 2x + 3 = 9 b) 8x + 2 = 5x + 17 a) 2x + 3 = 9 3 2x = 6 : 2 x = 3 b) 8x + 2 = 5x + 17 2
Lisätiedotx 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua
Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku
LisätiedotJoukot. Georg Cantor ( )
Joukot Matematiikassa on pyrkimys määritellä monimutkaiset asiat täsmällisesti yksinkertaisempien asioiden avulla. Tarvitaan jokin lähtökohta, muutama yleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite, joista
Lisätiedot1 Peruslaskuvalmiudet
1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,
LisätiedotJohdatus yliopistomatematiikkaan, 1. viikko (2 op)
Johdatus yliopistomatematiikkaan, 1. viikko (2 op) Jukka Kemppainen Mathematics Division Mitä matematiikka on? Karkeasti ottaen voidaan sanoa, että matematiikka on tietyistä peruskäsitteistä ja perustotuuksista
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10 13
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 2 x 2 3 2 3 x 1 4, (b) (x + 1)(x 2)
LisätiedotTehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17
Lisätiedot1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)
LisätiedotR1 Harjoitustehtävien ratkaisut
MAB R Harjoitustehtävien ratkaisut R Harjoitustehtävien ratkaisut. Jos lämpötila nousee asteesta asteella, mikä on uusi lämpötila? +. Lämpötila nousee viiteen asteeseen. Lukusuoralla: 0 + Nuolen pituus.
LisätiedotMerkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + =
Mikä X? Esimerkki: Merkitse yhtä puuta kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3 + 2 = 5 + = 5 + = 1. Merkitse yhtä päärynää kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi? Mikä tulee vastaukseksi?
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
Lisätiedot-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi
-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei
Lisätiedotc) 22a 21b x + a 2 3a x 1 = a,
Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. 1. Lukion A ja lukion B oppilasmäärien suhde oli a/b vuoden 2017 lopussa. Vuoden 2017 aikana
LisätiedotLue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:
MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x
LisätiedotRatkaisuja, Tehtävät
ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden
Lisätiedot6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI
MAA0 6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI Murtofunktio tarkoittaa kahden polynomin osamäärää, ja sen yleinen muoto on P() R : R(). Q() Mikäli osoittajapolynomin asteluku on nimittäjäpolynomin astelukua korkeampi
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotFunktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?
Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus syksy 008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä Todista ketjumurtoluvun peräkkäisille konvergenteille kaava ( ) n induktiolla käyttämällä jonojen ( ) ja ( ) rekursiokaavaa.
LisätiedotMatriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi
Matriisit, kertausta Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin
Lisätiedot