2 Pistejoukko koordinaatistossa

Transkriptio

1 Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =.

2 d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia pisteitä koordinaatistoon. Esimerkiksi pisteet (0, 1), (1, ), (, 3) toteuttavat annetun ehdon. Pisteet näyttäisivät sijaitsevan nousevalla suoralla. e) Yhtälö on y = x + 1.

3 . a) Yhtälössä y = y-koordinaatti on aina riippumatta x-koordinaatin arvosta. Kuvaaja on siis vaakasuora suora, joka leikkaa y-akselin kohdassa y =. Samoin voidaan päätellä y = 1 kuvaajaksi vaakasuora suora, joka leikkaa y-akselin kohdassa y = 1. Yhtälössä x = 3 x-koordinaatti on aina 3 riippumatta y-koordinaatin arvosta. Kuvaaja on siis pystysuora suora, joka leikkaa x-akselin kohdassa x = 3. Yhtälö y = x tarkoittaa, että kuvaajalla x- ja y-koordinaatti on sama. Tämän kuvaaja on nouseva suora, jolla on esimerkiksi pisteet (1, 1), (, ), (3, 3) jne. b) Kirjoitetaan yksitellen yhtälöt syöttökenttään, jolloin applettiin piirtyvät kaikki ne pisteet, jotka toteuttavat annetut yhtälöt. Kuvan perusteella pisteet, joiden koordinaatit toteuttavat molemmat yhtälöt ovat (, 3) ja (1, 0).

4 c) Ne koordinaatiston pisteet, jotka toteuttavat molemmat yhtälöt, voidaan selvittää ratkaisemalla yhtälöpari. y x 1 y x 1 0 y x 1 y x 1 x 1 x 1 x x 0 x 1 x 1tai x ( ) 1 3 Kun x = 1, y + 1 = 1, eli y = 0. Kun x =, y + ( ) = 1, eli y = 3. Pisteet ovat (, 3) ja (1, 0).

5 .1 Käyrän yhtälö YDINTEHTÄVÄT 01. a) Esimerkiksi b) c) Pisteet sijoittuvat x-akselin suuntaiselle suoralle, joka leikkaa y-akselin kohdassa y = Säännöt II ja III. Sääntö I ei toteudu, koska esimerkiksi pisteellä B kolmasosa x- koordinaatista olisi 1 ( 1) 1, mutta y-koordinaatti on Sääntö II toteutuu, koska esimerkiksi ja ovat toistensa vastalukuja. Muilla pisteillä vastaavasti. Sääntö III toteutuu, koska esimerkiksi = 0. Muilla pisteillä vastaavasti.

6 03. a) Esimerkiksi: kun x = 1, on y = 3, koska = kun x = 0, on y =, koska 0 + = kun x = 1, on y = 1, koska = kun x =, on y = 0, koska 0 + = kun x = 3, on y 0 1, koska 3 + ( 1) = 3 1 =. b) Pisteet toteuttavat yhtälön x + y =. 04. A II, B III, C IV ja D I 05. Käyrällä I on pisteitä, joilla on sama x-koordinaatti. Esimerkiksi x-koordinaattia x = 0 näyttäisi vastaavan pisteet (0, ) ja (0, ). Käyrä I ei voi olla muuttujan x funktion kuvaaja. Käyrällä II jokaista x-koordinaattia näyttäisi vastaavan tarkalleen yksi y-koordinaatti, joten käyrä II näyttäisi olevan muuttujan x funktion kuvaaja. Käyrällä III on pisteitä, joilla on sama x-koordinaatti. Esimerkiksi x-koordinaattia x = 1 näyttäisi vastaavan pisteet (1, ) ja (1, ). Käyrä III ei voi olla muuttujan x funktion kuvaaja. Vain käyrä II on funktion kuvaaja.

7 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 06. a) b) Käyrä näyttää muuttujan x funktion kuvaajalta, koska kuvaajalla ei näyttäisi olevan pisteitä, joilla on sama x-koordinaatti. Lauseke voidaan kirjoittaa muodossa y = x + 5, joten jokaista kohtaa x vastaa vain yksi y. Käyrä ei näytä muuttujan x funktion kuvaajalta, koska käyrällä on pisteitä, joilla on sama x-koordinaatti, esimerkiksi (1, ) ja (1, ).

8 c) Käyrä ei näytä muuttujan x funktion kuvaajalta, koska käyrällä on pisteitä, joilla on sama x-koordinaatti, esimerkiksi (1, ) ja (1, ). d) Käyrä näyttää muuttujan x funktion kuvaajalta, koska kuvaajalla ei näyttäisi olevan pisteitä, joilla on sama x-koordinaatti. Lauseke voidaan kirjoittaa muodossa y = x + 5, joten jokaista kohtaa x vastaa vain yksi y. Funktion lauseke on f(x) = x + 5.

9 07. a) x-koordinaatin neliö on x, y-koordinaatin neliö on y ja y-koordinaatin kuutio on y 3. Käyrän yhtälö on x y = y 3. b) Piste on käyrällä, jos se toteuttaa käyrän yhtälön. (6, 3): 6 3 = = 7 7 = 7 Piste (6, 3) toteuttaa käyrän yhtälön ja on siis käyrällä. ( 3, ): ( 3) = = 8 5 = 8 Piste ( 3, ) ei toteuta käyrän yhtälöä, joten se ei ole käyrällä. c) Käyrä ei ole funktion kuvaaja, koska käyrällä on pisteitä, joilla on sama x-koordinaatti, esimerkiksi pisteet (0, 0) ja (0, 1).

10 08. a) Yhtälö on x + y =. Sijoitetaan pisteen (1, 1) koordinaatit yhtälöön x + y =. 1 + ( 1) = = Piste toteuttaa yhtälön. b) Yhtälö on x y =. Sijoitetaan pisteen (1, 1) koordinaatit yhtälöön x y =. 1 ( 1) = 1 1 = 0 = Piste ei toteuta yhtälöä.

11 c) Yhtälö on x y =. Sijoitetaan pisteen (1, 1) koordinaatit yhtälöön x y =. 1 ( 1) = = = = Piste toteuttaa yhtälön. d) Yhtälö on x x y y. Sijoitetaan pisteen (1, 1) koordinaatit yhtälöön x x y y. 1 1 ( 1) Piste ei toteuta yhtälöä.

12 09. a) Etäisyys on (9 1) (10 4) b) Etäisyys on (1 ( 1)) (5 1) a) Pisteen B = (1, ) etäisyys pisteestä A = (, 1): ( 1) (1 ) 1 ( 1). Pisteen C = (3, 3) etäisyys pisteestä A = (, 1): d ( 3) (1 3) ( 1) ( ) 5. Pisteen D = (5, 1) etäisyys pisteestä A = (, 1): d ( 5) (1 1) ( 3) b) Piste C on ympyrällä, joten sen etäisyys pisteestä A on ympyrän säde. Ympyrän säde on Leppäkerttu kulkee pitkin ympyrää, jonka keskipiste on (3, ) ja säde 1.

13 1. a) Sanallinen sääntö on esimerkiksi: y-koordinaatti on yhtä suurempi kuin x-koordinaatti Vastaavasti yhtälöinä y = x + 1. b) Sijoitetaan pisteen A = (59, 60) koordinaatit yhtälöön y = x = = 60 Piste A on käyrällä. Sijoitetaan pisteen B = ( 30, 30) koordinaatit yhtälöön y = x = = 9 Piste B ei ole käyrällä. 13. a) A = (, 1), B = (, 1) ja C = ( 1, ) Sivun AC pituus on pisteiden A ja C etäisyys: ( 1 ( )) ( ( 1)) Sivun BC pituus on pisteiden B ja C etäisyys. ( 1 ) ( 1) ( 3) Sivut BC ja AC ovat yhtä pitkät, joten kolmio on tasakylkinen. b) Kannan keskipiste on janan AB keskipiste 1 1, (0,0).

14 c) Lasketaan kolmion pinta-ala vähentämällä kuvaan piirretyn suorakulmion pinta-alasta kolmen suorakulmaisen kolmion alat. Suorakulmion toisen sivun pituus on pisteiden A ja B x-koordinaattien erotuksen itseisarvo ( ) = 4 ja toisen sivun pituus on pisteiden A ja C y-koordinaattien erotuksen itseisarvo ( 1) = 3. Suorakulmion pinta-ala on 4 3 = 1. Suorakulmaisten kolmioiden kateettien pituudet saadaan vastaavasti koordinaattien avulla. Suurin kolmio alhaalla: Toinen kateetti on 4 ja toinen 1 ( 1) =. Pinta-ala on 4 4. Ylhäällä vasemmalla oleva kolmio: Toinen kateetti on 3 ja toinen ( 1) = 1. Pinta-ala on Ylhäällä oikealla oleva kolmio: Toinen kateetti on 3 ja toinen 1. Pinta-ala on Kolmion ABC pinta-ala on

15 14. a) Pisteen y-koordinaatin ja luvun erotus on y. Tämän neliö on (y ). y-koordinaatin neliö on y. Nämä ovat yhtä suuret, joten käyrän yhtälö on (y ) = y. Sievennetään käyrän yhtälö. (y ) = y y 4y + 4 = y 4y = 4 : ( 4) y = 1 b) Pistejoukko muodostuu pisteistä, joiden y-koordinaatti on 1. Pisteen (1, 1001) y-koordinaatti ei ole 1, joten se ei ole käyrällä. Pisteen (1001, 1) y-koordinaatti on 1, joten se on käyrällä. 15. a) b) Käyrällä olevat pisteet toteuttavat yhtälön (x 3)(y + ) = 0. Tulon nollasäännön perusteella yhtälö toteutuu, kun x 3 = 0 tai y + = 0 x = 3 y =. Eli yhtälö (x 3)(y + ) = 0 tarkoittaa pistejoukkoa, joka koostuu pisteistä, joiden x-koordinaatti on 3 ja pisteistä, joiden y-koordinaatti on.

16 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 16. a) Käyrän yhtälö on y 3 = x. b) Kun y =, niin 3 = x 8 = x x 8 tai x 8. Kysytyt pisteet ovat, ja,. c) Jos y < 0, niin y 3 < 0. Tällöin olisi löydettävä sellainen x-koordinaatti, että sen neliö on negatiivinen. Tällaisia ei ole, joten yhtälön y 3 = x toteuttavien pisteiden joukossa yhdenkään pisteen y-koordinaatti ei ole negatiivinen.

17 17. a) b) Piste on käyrällä, jos se toteuttaa käyrän yhtälön. Ratkaistaan t, kun x = 11: 11 = 1 3t, josta t = tai t =. Kun t =, on y = (3 ) =. Kun t =, on y = (3 ( ) ) =. Jos siis x = 11, niin y = tai y =. Täten piste ( 11, ) on käyrällä, mutta piste ( 11, 3) ei ole. c) Piste on x-akselilla, kun y = 0. 0 = t(3 t ), josta t = 0, t 3 tai t 3. Kun t = 0, niin x = = 1. Piste on (1, 0). Kun t 3, niin x Piste on ( 8, 0). t, niin Kun 3 x Piste on ( 8, 0). d) Piste on x-akselilla, kun t = 0, jolloin piste on ( 1, 0) tai t 3, jolloin piste on ( 8, 0). Kuva muistuttaa kalaa.

18 18. a) Esimerkiksi x = t ja y = t + 1. Esimerkiksi x = t ja y = t + 1. Esimerkiksi x = t ja y = t b) Esimerkiksi käyrä x = t + t, y = 3t + t 5 näyttää mielenkiintoiselta.

19 19. a) Appletissa ellipsin polttopisteet ovat (, 0) ja (, 0). Pisteen (, 3) etäisyys polttopisteistä on 3 ja 5. Näiden summa on = 8. Ellipsille kuuluu esimerkiksi pisteet (, 3), (, 3) ja (4, 0). b) Olkoon piste (x, y) ellipsillä. Lasketaan pisteen (x, y) etäisyys polttopisteistä (, 0) ja (, 0). Saadaan etäisyydet ( x ) ( y 0) ja ( x ( )) ( y 0), joiden summa on a-kohdan perusteella 8. Ellipsin yhtälö on ( x ) y ( x ) y 8. c) Olkoon piste (x, y) ellipsillä. Lasketaan pisteen (x, y) etäisyydet polttopisteistä (0, 1) ja (0, 4). Saadaan etäisyydet summa on 10. ( x 0) ( 1) y ja ( x 0) ( 4) y, joiden Ellipsin yhtälö on x ( y 1) x ( y 4) 10.

20 0. a) Lasketaan pisteen A = (4, ) etäisyys polttopisteistä P = ( 3, 3) ja Q = (, 0). AP (4 ( 3)) ( 3) 50 5 AQ (4 ) ( 0) 8 Laskettujen etäisyyksien erotuksen itseisarvo on kaikilla hyperbelin pisteillä sama. Olkoon piste (x, y) hyperbelillä. Lasketaan pisteen (x, y) ja polttopisteen P etäisyys. ( x ( 3)) ( y 3) ( x 3) ( y 3) Lasketaan pisteen (x, y) ja polttopisteen Q etäisyys. ( x ) ( y 0) ( x ) y b) Etäisyyksien erotuksen itseisarvo on 3, joten hyperbelin yhtälö on ( x 3) ( y 3) ( x ) y 3. Käyrä näyttäisi olevan tehtävän kuvan mukainen hyperbeli.

21 . Leikkauspisteitä YDINTEHTÄVÄT 1. a) Käyrän ja x-akselin leikkauspiste on ( 3, 0). Käyrän ja y-akselin leikkauspisteet ovat (0, 3) ja (0, 1). b) Sijoitetaan pisteen ( 3, 0) koordinaatit käyrän yhtälöön y x + y 3 = 0. 0 ( 3) = = 0 0 = 0 Piste ( 3, 0) toteuttaa käyrän yhtälön. Sijoitetaan pisteen (0, 3) koordinaatit käyrän yhtälöön. ( 3) 0 + ( 3) 3 = = 0 0 = 0 Piste (0, 3) toteuttaa käyrän yhtälön. Sijoitetaan pisteen (0, 1) koordinaatit käyrän yhtälöön = = 0 0 = 0 Myös piste (0, 1) toteuttaa käyrän yhtälön.

22 . a) x-akselilla y = 0. 4x x x 9 : 4 x x tai x x-akselin leikkauspisteet ovat 3,0 ja 3,0. b) y-akselilla x = y y 9 y 9 y 3taiy 3 c) y-akselin leikkauspisteet ovat (0, 3) ja (0, 3). Kuvan perusteella x-akselin leikkauspisteet ovat ( 1,5; 0) ja (1,5; 0) ja y-akselin leikkauspisteet ovat (0, 3) ja (0, 3).

23 3. Pisteet ovat (1, ), (1, 0) ja (1, ). Varmistetaan, että pisteiden koordinaatit toteuttavat käyrän y 3 = x + 4y 1 yhtälön sijoittamalla koordinaatit yhtälöön. (1, ): ( ) 3 = ( ) 1 8 = 8 Piste (1, ) on käyrällä. (1, 0): 0 3 = = 0 Piste (1, 0) on käyrällä. (1, ): 3 = = 8 Piste (1, ) on käyrällä. 4. Ratkaistaan käyrien leikkauspisteet sijoittamalla y = 1 käyrän yhtälöön x + y 3 3y + 3y = 5 ja ratkaistaan x. 3 x x 4 x tai x Käyrien leikkauspisteet ovat (, 1) ja (, 1). Kuvan perusteella leikkauspisteet ovat (, 1) ja (, 1).

24 5. a) Piirretään käyrien y = x 3 ja y = x + 5 kuvaajat samaan koordinaatistoon. Kuvan perusteella käyrät näyttäisivät leikkaavan pisteissä ( 1, 4) ja (, 1). Sijoitetaan pisteiden koordinaatit yhtälöihin. ( 1, 4): ( 1) Piste ( 1, 4) toteuttaa yhtälöparin. (, 1): Piste (, 1) toteuttaa yhtälöparin. Yhtälöparin ratkaisut ovat siis x = 1, y = 4 ja x =, y = 1.

25 b) Piirretään käyrien x + y = 5 ja y 3x = 6 kuvaajat samaan koordinaatistoon. Kuvan perusteella käyrät näyttäisivät leikkaavan pisteissä (4, 3) ja (4, 3). Sijoitetaan pisteiden koordinaatit yhtälöihin. (4, 3): Piste (4, 3) toteuttaa yhtälöparin. (4, 3): ( 3) ( 3) Piste (4, 3) toteuttaa yhtälöparin. Yhtälöparin ratkaisut ovat siis x = 4, y = 3 ja x = 4 ja y = 3.

26 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 6. a) x-akselilla y = 0, joten saadaan yhtälö x x 0 + 6x 0 7 = 0 x + 6x 7 = 0, josta saadaan x = 1 tai x = 7. Käyrä leikkaa x-akselin pisteissä (1, 0) ja ( 7, 0). b) Selvitetään käyrän ja suoran x = 1 leikkauspisteet. c) ( 1) + y + ( 1) y + 6 ( 1) y 7 = 0 y 4y 1 = 0, josta saadaan y = 6 tai y =. Leikkauspisteet ovat ( 1, 6) ja ( 1, ).

27 7. Käyrän, jonka pisteiden x-koordinaatti on y-koordinaatin ja luvun 1 erotuksen neliö, yhtälö on x = (y 1). Käyrän, jonka pisteiden x- ja y- koordinaattien neliöiden summa on 5, yhtälö on x + y = 5. Piste on käyrällä, jos se toteuttaa käyrän yhtälön. Sijoitetaan pisteen (4, 3) koordinaatit molempien käyrien yhtälöihin. 4 = (3 1) 4 = 4 = 4 Piste on käyrällä x = (y 1) = = 5 5 = 5 Piste on käyrällä x + y = 5.

28 8. a) Piirretään samaan koordinaatistoon käyrät y = 3 x ja y = 5. Koska käyrät leikkaavat pisteissä ( 1, 5) ja (4, 5), niin yhtälön 3 x = 5 ratkaisuja ovat x 1 ja x 4. b) 3 x = 5 3 x = 5 tai 3 x = 5 x = : ( ) x = 8 : ( ) x = 1 x = 4

29 9. a) Piirretään samaan koordinaatistoon käyrät y = x 1 ja y = 3. Yhtälön ratkaisuja ovat x ja x. Ratkaistaan yhtälö algebrallisesti. x 1 = 3 x 1 = 3 tai x 1 = 3 x = 4 x = x = tai x = ei ratkaisua x = tai x = b) Piirretään samaan koordinaatistoon käyrät y = x x ja y =. Yhtälön ratkaisuja ovat x 1 ja x.

30 Ratkaistaan yhtälö algebrallisesti. x x x x tai x x x x 0 x x 0 1 ( 1) 4 1 ( ) 1 ( 1) 4 1 x x 1 1 x 1 3 x 1 7 x 1 tai x ei ratkaisua x = 1 tai x = c) Piirretään samaan koordinaatistoon käyrät y = x 3 ja y =. Yhtälöllä ei näyttäisi olevan ratkaisuja. Ratkaistaan yhtälö algebrallisesti. x 3 = Minkään luvun itseisarvo ei ole negatiivinen, joten yhtälöllä ei ole ratkaisuja.

31 30. a) Piirretään samaan koordinaatistoon käyrät y = x + 1 ja y = 4 x. Yhtälön ratkaisuja ovat x 1 ja x 5. Ratkaistaan yhtälö algebrallisesti. x + 1 = 4 x x + 1 = 4 x tai x + 1 = 4 + x 3x = 3 : 3 x = 5 : ( 1) x = 1 x = 5 x = 1 tai x = 5

32 b) Piirretään samaan koordinaatistoon käyrät y = x 3 ja y = x. Yhtälön ratkaisuja ovat x 3, x 1, x 1 ja x 3. Ratkaistaan yhtälö algebrallisesti. x 3 = x x 3 = x tai x 3 = x x x 3 = 0 x + x 3 = 0 ( ) 4 1 ( 3) 4 1 ( 3) x x 1 1 x 4 x 4 x = 1 tai x = 3 x = 3 tai x = 1 x = 3, x = 1, x = 1 tai x = 3

33 31. a) Käyrä y = f(x) saadaan käyrästä y = f(x) peilaamalla kuvaajan x-akselin alapuolinen osa x-akselin suhteen x-akselin yläpuolelle. b) Positiivisen luvun itseisarvo on luku itse ja negatiivisen luvun itseisarvo on luvun vastaluku. Tällöin jokainen kuvaajan y = f(x) piste, jonka y-koordinaatti on positiivinen, on sama piste myös käyrän y = f(x) kuvaajalla. Jos kuvaajan y = f(x) pisteen y-koordinaatti on negatiivinen, on sitä vastaavan pisteen y-koordinaatti käyrän y = f(x) kuvaajalla vastaluku.

34 3. a) Piirretään käyrä y = x ja peilataan x-akselin alapuolinen osa x-akselin yläpuolelle. b) Piirretään käyrä y = 4 samaan koordinaatistoon käyrän y = x kanssa. Yhtälön x = 4 ratkaisu on x 4 tai x 4.

35 33. a) Piirretään käyrä y = x + ja peilataan x-akselin alapuolinen osa x- akselin yläpuolelle. b) Piirretään käyrä y = 3 samaan koordinaatistoon käyrän y = x + kanssa. Yhtälön x + = 3 ratkaisu on x 5 tai x 1. Ratkaistaan yhtälö algebrallisesti. x + = 3 x + = 3 tai x + = 3 x = 1 x = 5 Yhtälön ratkaisu on x = 5 tai x = 1.

36 34. Piirretään käyrät x + 3y 8 = 0, x 3y + 14 = 0 ja x y = 0 samaan koordinaatistoon. Huomataan, että kaikki käyrät kulkevat pisteen (, 4) kautta. Tarkistetaan, että piste (, 4) toteuttaa kaikki yhtälöt. ( ) = 0, joten piste on käyrällä x + 3y 8 = = 0, joten piste on käyrällä x 3y + 14 = 0. ( ) 4 = 0, joten piste on käyrällä x y = 0. Koska piste (, 4) on kaikilla käyrillä, se on niiden yhteinen piste.

37 35. a) Kun t = 0 x y 0, joten suora kulkee pisteen (1, ) kautta. Kun t = 1, saadaan x = = ja y = 1 = 1, eli piste (, 1). Kun t = 1, saadaan x = 1 + ( 1) = 0 ja y = ( 1) = 3, eli piste (0, 3). b) Suoran ja x-akselin leikkauspiste on (3, 0). Suoran ja y-akselin leikkauspiste on (0, 3). c) x-akselilla y = 0. Ratkaistaan, millä parametrin t arvolla y = 0. Saadaan t = 0, josta t =. Vastaavasti y-akselilla x = 0. a-kohdan perusteella y-akselin leikkauspisteessä t = 1.

38 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 36. a) Kaikki kulkevat pisteen (1, ) kautta. b) a-kohdan käyrät ovat käyräparven y ax = a käyriä arvoilla a = 1, a =, a = 3 ja a = 4. Kun sijoitetaan x = 1 ja y = yhtälö y ax = a on a = a, eli =. Yhtälö toteutuu riippumatta a:n arvosta, joten käyrällä on aina piste (1, ). c) Piirretään käyräparvi muuttamalla parametrin a arvoa liukusäätimellä ja jättämällä objektin jälki näkyviin.

39 37. a) Piirretään käyräparvi muuttamalla parametrin a arvoa liukusäätimellä ja jättämällä objektin jälki näkyviin. b) Sijoitetaan käyräparven yhtälöön x 3 + y 3 = 3axy pisteen (3, 3) koordinaatit: = 3a = a 3 3 :3 3 a =.

40 38. a) Käyräparven käyriä, kun a < 0 Käyräparven käyriä, kun a > 0. Käyrien muoto näyttäisi olevan sama. b) Ratkaistaan käyräparven yhtälöstä a, kun x = ja y = 0. 7a 0 = (a )( + 8a) (a )( + 8a) = 0 a = tai a = 1 4

41 39. a) Kuvan perusteella yhtälöparin ratkaisu on x 1, y 0 tai x 1, y 0. b) 3 x y 1 0 x y 3y y y 3y 0 y( y y 3) 0 y y y 0 tai 3 0 y Koska toisen asteen yhtälön diskriminantti on negatiivinen, sillä ei ole ratkaisuja. Yhtälöparilla on siis vain sellaisia ratkaisuja, joissa y = 0. Kun y = 0 x = 1 x = 1 x = 1 tai x = 1. Ratkaisut ovat x = 1, y = 0 tai x = 1, y = 0.

42 40. a) Käyrän ja x-akselin leikkauspisteessä y = 0, joten x = 0, josta x = 0. Eli käyrä leikkaa x-akselin origossa. y-akselilla x = y 4 3y 3 = 0, eli y 3 (y 3) = 0, josta y = 0 tai y = 3. Käyrä leikkaa y-akselin pisteissä (0, 0) ja (0, 3). b) Yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon x = y 4 + 3y 3. Jos käyrällä olisi piste, jolle y < 0 olisi y 4 < 0 ja 3y 3 < 0 eli yhtälön oikea puoli olisi negatiivinen. Tällaista yhtälöä ei toteuta yksikään tason piste, sillä x 0. Siis pisteitä, jotka toteuttavat käyrän ja ovat x-akselin alapuolella, ei ole.