2 Pistejoukko koordinaatistossa

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "2 Pistejoukko koordinaatistossa"

Transkriptio

1 Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =.

2 d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia pisteitä koordinaatistoon. Esimerkiksi pisteet (0, 1), (1, ), (, 3) toteuttavat annetun ehdon. Pisteet näyttäisivät sijaitsevan nousevalla suoralla. e) Yhtälö on y = x + 1.

3 . a) Yhtälössä y = y-koordinaatti on aina riippumatta x-koordinaatin arvosta. Kuvaaja on siis vaakasuora suora, joka leikkaa y-akselin kohdassa y =. Samoin voidaan päätellä y = 1 kuvaajaksi vaakasuora suora, joka leikkaa y-akselin kohdassa y = 1. Yhtälössä x = 3 x-koordinaatti on aina 3 riippumatta y-koordinaatin arvosta. Kuvaaja on siis pystysuora suora, joka leikkaa x-akselin kohdassa x = 3. Yhtälö y = x tarkoittaa, että kuvaajalla x- ja y-koordinaatti on sama. Tämän kuvaaja on nouseva suora, jolla on esimerkiksi pisteet (1, 1), (, ), (3, 3) jne. b) Kirjoitetaan yksitellen yhtälöt syöttökenttään, jolloin applettiin piirtyvät kaikki ne pisteet, jotka toteuttavat annetut yhtälöt. Kuvan perusteella pisteet, joiden koordinaatit toteuttavat molemmat yhtälöt ovat (, 3) ja (1, 0).

4 c) Ne koordinaatiston pisteet, jotka toteuttavat molemmat yhtälöt, voidaan selvittää ratkaisemalla yhtälöpari. y x 1 y x 1 0 y x 1 y x 1 x 1 x 1 x x 0 x 1 x 1tai x ( ) 1 3 Kun x = 1, y + 1 = 1, eli y = 0. Kun x =, y + ( ) = 1, eli y = 3. Pisteet ovat (, 3) ja (1, 0).

5 .1 Käyrän yhtälö YDINTEHTÄVÄT 01. a) Esimerkiksi b) c) Pisteet sijoittuvat x-akselin suuntaiselle suoralle, joka leikkaa y-akselin kohdassa y = Säännöt II ja III. Sääntö I ei toteudu, koska esimerkiksi pisteellä B kolmasosa x- koordinaatista olisi 1 ( 1) 1, mutta y-koordinaatti on Sääntö II toteutuu, koska esimerkiksi ja ovat toistensa vastalukuja. Muilla pisteillä vastaavasti. Sääntö III toteutuu, koska esimerkiksi = 0. Muilla pisteillä vastaavasti.

6 03. a) Esimerkiksi: kun x = 1, on y = 3, koska = kun x = 0, on y =, koska 0 + = kun x = 1, on y = 1, koska = kun x =, on y = 0, koska 0 + = kun x = 3, on y 0 1, koska 3 + ( 1) = 3 1 =. b) Pisteet toteuttavat yhtälön x + y =. 04. A II, B III, C IV ja D I 05. Käyrällä I on pisteitä, joilla on sama x-koordinaatti. Esimerkiksi x-koordinaattia x = 0 näyttäisi vastaavan pisteet (0, ) ja (0, ). Käyrä I ei voi olla muuttujan x funktion kuvaaja. Käyrällä II jokaista x-koordinaattia näyttäisi vastaavan tarkalleen yksi y-koordinaatti, joten käyrä II näyttäisi olevan muuttujan x funktion kuvaaja. Käyrällä III on pisteitä, joilla on sama x-koordinaatti. Esimerkiksi x-koordinaattia x = 1 näyttäisi vastaavan pisteet (1, ) ja (1, ). Käyrä III ei voi olla muuttujan x funktion kuvaaja. Vain käyrä II on funktion kuvaaja.

7 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 06. a) b) Käyrä näyttää muuttujan x funktion kuvaajalta, koska kuvaajalla ei näyttäisi olevan pisteitä, joilla on sama x-koordinaatti. Lauseke voidaan kirjoittaa muodossa y = x + 5, joten jokaista kohtaa x vastaa vain yksi y. Käyrä ei näytä muuttujan x funktion kuvaajalta, koska käyrällä on pisteitä, joilla on sama x-koordinaatti, esimerkiksi (1, ) ja (1, ).

8 c) Käyrä ei näytä muuttujan x funktion kuvaajalta, koska käyrällä on pisteitä, joilla on sama x-koordinaatti, esimerkiksi (1, ) ja (1, ). d) Käyrä näyttää muuttujan x funktion kuvaajalta, koska kuvaajalla ei näyttäisi olevan pisteitä, joilla on sama x-koordinaatti. Lauseke voidaan kirjoittaa muodossa y = x + 5, joten jokaista kohtaa x vastaa vain yksi y. Funktion lauseke on f(x) = x + 5.

9 07. a) x-koordinaatin neliö on x, y-koordinaatin neliö on y ja y-koordinaatin kuutio on y 3. Käyrän yhtälö on x y = y 3. b) Piste on käyrällä, jos se toteuttaa käyrän yhtälön. (6, 3): 6 3 = = 7 7 = 7 Piste (6, 3) toteuttaa käyrän yhtälön ja on siis käyrällä. ( 3, ): ( 3) = = 8 5 = 8 Piste ( 3, ) ei toteuta käyrän yhtälöä, joten se ei ole käyrällä. c) Käyrä ei ole funktion kuvaaja, koska käyrällä on pisteitä, joilla on sama x-koordinaatti, esimerkiksi pisteet (0, 0) ja (0, 1).

10 08. a) Yhtälö on x + y =. Sijoitetaan pisteen (1, 1) koordinaatit yhtälöön x + y =. 1 + ( 1) = = Piste toteuttaa yhtälön. b) Yhtälö on x y =. Sijoitetaan pisteen (1, 1) koordinaatit yhtälöön x y =. 1 ( 1) = 1 1 = 0 = Piste ei toteuta yhtälöä.

11 c) Yhtälö on x y =. Sijoitetaan pisteen (1, 1) koordinaatit yhtälöön x y =. 1 ( 1) = = = = Piste toteuttaa yhtälön. d) Yhtälö on x x y y. Sijoitetaan pisteen (1, 1) koordinaatit yhtälöön x x y y. 1 1 ( 1) Piste ei toteuta yhtälöä.

12 09. a) Etäisyys on (9 1) (10 4) b) Etäisyys on (1 ( 1)) (5 1) a) Pisteen B = (1, ) etäisyys pisteestä A = (, 1): ( 1) (1 ) 1 ( 1). Pisteen C = (3, 3) etäisyys pisteestä A = (, 1): d ( 3) (1 3) ( 1) ( ) 5. Pisteen D = (5, 1) etäisyys pisteestä A = (, 1): d ( 5) (1 1) ( 3) b) Piste C on ympyrällä, joten sen etäisyys pisteestä A on ympyrän säde. Ympyrän säde on Leppäkerttu kulkee pitkin ympyrää, jonka keskipiste on (3, ) ja säde 1.

13 1. a) Sanallinen sääntö on esimerkiksi: y-koordinaatti on yhtä suurempi kuin x-koordinaatti Vastaavasti yhtälöinä y = x + 1. b) Sijoitetaan pisteen A = (59, 60) koordinaatit yhtälöön y = x = = 60 Piste A on käyrällä. Sijoitetaan pisteen B = ( 30, 30) koordinaatit yhtälöön y = x = = 9 Piste B ei ole käyrällä. 13. a) A = (, 1), B = (, 1) ja C = ( 1, ) Sivun AC pituus on pisteiden A ja C etäisyys: ( 1 ( )) ( ( 1)) Sivun BC pituus on pisteiden B ja C etäisyys. ( 1 ) ( 1) ( 3) Sivut BC ja AC ovat yhtä pitkät, joten kolmio on tasakylkinen. b) Kannan keskipiste on janan AB keskipiste 1 1, (0,0).

14 c) Lasketaan kolmion pinta-ala vähentämällä kuvaan piirretyn suorakulmion pinta-alasta kolmen suorakulmaisen kolmion alat. Suorakulmion toisen sivun pituus on pisteiden A ja B x-koordinaattien erotuksen itseisarvo ( ) = 4 ja toisen sivun pituus on pisteiden A ja C y-koordinaattien erotuksen itseisarvo ( 1) = 3. Suorakulmion pinta-ala on 4 3 = 1. Suorakulmaisten kolmioiden kateettien pituudet saadaan vastaavasti koordinaattien avulla. Suurin kolmio alhaalla: Toinen kateetti on 4 ja toinen 1 ( 1) =. Pinta-ala on 4 4. Ylhäällä vasemmalla oleva kolmio: Toinen kateetti on 3 ja toinen ( 1) = 1. Pinta-ala on Ylhäällä oikealla oleva kolmio: Toinen kateetti on 3 ja toinen 1. Pinta-ala on Kolmion ABC pinta-ala on

15 14. a) Pisteen y-koordinaatin ja luvun erotus on y. Tämän neliö on (y ). y-koordinaatin neliö on y. Nämä ovat yhtä suuret, joten käyrän yhtälö on (y ) = y. Sievennetään käyrän yhtälö. (y ) = y y 4y + 4 = y 4y = 4 : ( 4) y = 1 b) Pistejoukko muodostuu pisteistä, joiden y-koordinaatti on 1. Pisteen (1, 1001) y-koordinaatti ei ole 1, joten se ei ole käyrällä. Pisteen (1001, 1) y-koordinaatti on 1, joten se on käyrällä. 15. a) b) Käyrällä olevat pisteet toteuttavat yhtälön (x 3)(y + ) = 0. Tulon nollasäännön perusteella yhtälö toteutuu, kun x 3 = 0 tai y + = 0 x = 3 y =. Eli yhtälö (x 3)(y + ) = 0 tarkoittaa pistejoukkoa, joka koostuu pisteistä, joiden x-koordinaatti on 3 ja pisteistä, joiden y-koordinaatti on.

16 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 16. a) Käyrän yhtälö on y 3 = x. b) Kun y =, niin 3 = x 8 = x x 8 tai x 8. Kysytyt pisteet ovat, ja,. c) Jos y < 0, niin y 3 < 0. Tällöin olisi löydettävä sellainen x-koordinaatti, että sen neliö on negatiivinen. Tällaisia ei ole, joten yhtälön y 3 = x toteuttavien pisteiden joukossa yhdenkään pisteen y-koordinaatti ei ole negatiivinen.

17 17. a) b) Piste on käyrällä, jos se toteuttaa käyrän yhtälön. Ratkaistaan t, kun x = 11: 11 = 1 3t, josta t = tai t =. Kun t =, on y = (3 ) =. Kun t =, on y = (3 ( ) ) =. Jos siis x = 11, niin y = tai y =. Täten piste ( 11, ) on käyrällä, mutta piste ( 11, 3) ei ole. c) Piste on x-akselilla, kun y = 0. 0 = t(3 t ), josta t = 0, t 3 tai t 3. Kun t = 0, niin x = = 1. Piste on (1, 0). Kun t 3, niin x Piste on ( 8, 0). t, niin Kun 3 x Piste on ( 8, 0). d) Piste on x-akselilla, kun t = 0, jolloin piste on ( 1, 0) tai t 3, jolloin piste on ( 8, 0). Kuva muistuttaa kalaa.

18 18. a) Esimerkiksi x = t ja y = t + 1. Esimerkiksi x = t ja y = t + 1. Esimerkiksi x = t ja y = t b) Esimerkiksi käyrä x = t + t, y = 3t + t 5 näyttää mielenkiintoiselta.

19 19. a) Appletissa ellipsin polttopisteet ovat (, 0) ja (, 0). Pisteen (, 3) etäisyys polttopisteistä on 3 ja 5. Näiden summa on = 8. Ellipsille kuuluu esimerkiksi pisteet (, 3), (, 3) ja (4, 0). b) Olkoon piste (x, y) ellipsillä. Lasketaan pisteen (x, y) etäisyys polttopisteistä (, 0) ja (, 0). Saadaan etäisyydet ( x ) ( y 0) ja ( x ( )) ( y 0), joiden summa on a-kohdan perusteella 8. Ellipsin yhtälö on ( x ) y ( x ) y 8. c) Olkoon piste (x, y) ellipsillä. Lasketaan pisteen (x, y) etäisyydet polttopisteistä (0, 1) ja (0, 4). Saadaan etäisyydet summa on 10. ( x 0) ( 1) y ja ( x 0) ( 4) y, joiden Ellipsin yhtälö on x ( y 1) x ( y 4) 10.

20 0. a) Lasketaan pisteen A = (4, ) etäisyys polttopisteistä P = ( 3, 3) ja Q = (, 0). AP (4 ( 3)) ( 3) 50 5 AQ (4 ) ( 0) 8 Laskettujen etäisyyksien erotuksen itseisarvo on kaikilla hyperbelin pisteillä sama. Olkoon piste (x, y) hyperbelillä. Lasketaan pisteen (x, y) ja polttopisteen P etäisyys. ( x ( 3)) ( y 3) ( x 3) ( y 3) Lasketaan pisteen (x, y) ja polttopisteen Q etäisyys. ( x ) ( y 0) ( x ) y b) Etäisyyksien erotuksen itseisarvo on 3, joten hyperbelin yhtälö on ( x 3) ( y 3) ( x ) y 3. Käyrä näyttäisi olevan tehtävän kuvan mukainen hyperbeli.

21 . Leikkauspisteitä YDINTEHTÄVÄT 1. a) Käyrän ja x-akselin leikkauspiste on ( 3, 0). Käyrän ja y-akselin leikkauspisteet ovat (0, 3) ja (0, 1). b) Sijoitetaan pisteen ( 3, 0) koordinaatit käyrän yhtälöön y x + y 3 = 0. 0 ( 3) = = 0 0 = 0 Piste ( 3, 0) toteuttaa käyrän yhtälön. Sijoitetaan pisteen (0, 3) koordinaatit käyrän yhtälöön. ( 3) 0 + ( 3) 3 = = 0 0 = 0 Piste (0, 3) toteuttaa käyrän yhtälön. Sijoitetaan pisteen (0, 1) koordinaatit käyrän yhtälöön = = 0 0 = 0 Myös piste (0, 1) toteuttaa käyrän yhtälön.

22 . a) x-akselilla y = 0. 4x x x 9 : 4 x x tai x x-akselin leikkauspisteet ovat 3,0 ja 3,0. b) y-akselilla x = y y 9 y 9 y 3taiy 3 c) y-akselin leikkauspisteet ovat (0, 3) ja (0, 3). Kuvan perusteella x-akselin leikkauspisteet ovat ( 1,5; 0) ja (1,5; 0) ja y-akselin leikkauspisteet ovat (0, 3) ja (0, 3).

23 3. Pisteet ovat (1, ), (1, 0) ja (1, ). Varmistetaan, että pisteiden koordinaatit toteuttavat käyrän y 3 = x + 4y 1 yhtälön sijoittamalla koordinaatit yhtälöön. (1, ): ( ) 3 = ( ) 1 8 = 8 Piste (1, ) on käyrällä. (1, 0): 0 3 = = 0 Piste (1, 0) on käyrällä. (1, ): 3 = = 8 Piste (1, ) on käyrällä. 4. Ratkaistaan käyrien leikkauspisteet sijoittamalla y = 1 käyrän yhtälöön x + y 3 3y + 3y = 5 ja ratkaistaan x. 3 x x 4 x tai x Käyrien leikkauspisteet ovat (, 1) ja (, 1). Kuvan perusteella leikkauspisteet ovat (, 1) ja (, 1).

24 5. a) Piirretään käyrien y = x 3 ja y = x + 5 kuvaajat samaan koordinaatistoon. Kuvan perusteella käyrät näyttäisivät leikkaavan pisteissä ( 1, 4) ja (, 1). Sijoitetaan pisteiden koordinaatit yhtälöihin. ( 1, 4): ( 1) Piste ( 1, 4) toteuttaa yhtälöparin. (, 1): Piste (, 1) toteuttaa yhtälöparin. Yhtälöparin ratkaisut ovat siis x = 1, y = 4 ja x =, y = 1.

25 b) Piirretään käyrien x + y = 5 ja y 3x = 6 kuvaajat samaan koordinaatistoon. Kuvan perusteella käyrät näyttäisivät leikkaavan pisteissä (4, 3) ja (4, 3). Sijoitetaan pisteiden koordinaatit yhtälöihin. (4, 3): Piste (4, 3) toteuttaa yhtälöparin. (4, 3): ( 3) ( 3) Piste (4, 3) toteuttaa yhtälöparin. Yhtälöparin ratkaisut ovat siis x = 4, y = 3 ja x = 4 ja y = 3.

26 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 6. a) x-akselilla y = 0, joten saadaan yhtälö x x 0 + 6x 0 7 = 0 x + 6x 7 = 0, josta saadaan x = 1 tai x = 7. Käyrä leikkaa x-akselin pisteissä (1, 0) ja ( 7, 0). b) Selvitetään käyrän ja suoran x = 1 leikkauspisteet. c) ( 1) + y + ( 1) y + 6 ( 1) y 7 = 0 y 4y 1 = 0, josta saadaan y = 6 tai y =. Leikkauspisteet ovat ( 1, 6) ja ( 1, ).

27 7. Käyrän, jonka pisteiden x-koordinaatti on y-koordinaatin ja luvun 1 erotuksen neliö, yhtälö on x = (y 1). Käyrän, jonka pisteiden x- ja y- koordinaattien neliöiden summa on 5, yhtälö on x + y = 5. Piste on käyrällä, jos se toteuttaa käyrän yhtälön. Sijoitetaan pisteen (4, 3) koordinaatit molempien käyrien yhtälöihin. 4 = (3 1) 4 = 4 = 4 Piste on käyrällä x = (y 1) = = 5 5 = 5 Piste on käyrällä x + y = 5.

28 8. a) Piirretään samaan koordinaatistoon käyrät y = 3 x ja y = 5. Koska käyrät leikkaavat pisteissä ( 1, 5) ja (4, 5), niin yhtälön 3 x = 5 ratkaisuja ovat x 1 ja x 4. b) 3 x = 5 3 x = 5 tai 3 x = 5 x = : ( ) x = 8 : ( ) x = 1 x = 4

29 9. a) Piirretään samaan koordinaatistoon käyrät y = x 1 ja y = 3. Yhtälön ratkaisuja ovat x ja x. Ratkaistaan yhtälö algebrallisesti. x 1 = 3 x 1 = 3 tai x 1 = 3 x = 4 x = x = tai x = ei ratkaisua x = tai x = b) Piirretään samaan koordinaatistoon käyrät y = x x ja y =. Yhtälön ratkaisuja ovat x 1 ja x.

30 Ratkaistaan yhtälö algebrallisesti. x x x x tai x x x x 0 x x 0 1 ( 1) 4 1 ( ) 1 ( 1) 4 1 x x 1 1 x 1 3 x 1 7 x 1 tai x ei ratkaisua x = 1 tai x = c) Piirretään samaan koordinaatistoon käyrät y = x 3 ja y =. Yhtälöllä ei näyttäisi olevan ratkaisuja. Ratkaistaan yhtälö algebrallisesti. x 3 = Minkään luvun itseisarvo ei ole negatiivinen, joten yhtälöllä ei ole ratkaisuja.

31 30. a) Piirretään samaan koordinaatistoon käyrät y = x + 1 ja y = 4 x. Yhtälön ratkaisuja ovat x 1 ja x 5. Ratkaistaan yhtälö algebrallisesti. x + 1 = 4 x x + 1 = 4 x tai x + 1 = 4 + x 3x = 3 : 3 x = 5 : ( 1) x = 1 x = 5 x = 1 tai x = 5

32 b) Piirretään samaan koordinaatistoon käyrät y = x 3 ja y = x. Yhtälön ratkaisuja ovat x 3, x 1, x 1 ja x 3. Ratkaistaan yhtälö algebrallisesti. x 3 = x x 3 = x tai x 3 = x x x 3 = 0 x + x 3 = 0 ( ) 4 1 ( 3) 4 1 ( 3) x x 1 1 x 4 x 4 x = 1 tai x = 3 x = 3 tai x = 1 x = 3, x = 1, x = 1 tai x = 3

33 31. a) Käyrä y = f(x) saadaan käyrästä y = f(x) peilaamalla kuvaajan x-akselin alapuolinen osa x-akselin suhteen x-akselin yläpuolelle. b) Positiivisen luvun itseisarvo on luku itse ja negatiivisen luvun itseisarvo on luvun vastaluku. Tällöin jokainen kuvaajan y = f(x) piste, jonka y-koordinaatti on positiivinen, on sama piste myös käyrän y = f(x) kuvaajalla. Jos kuvaajan y = f(x) pisteen y-koordinaatti on negatiivinen, on sitä vastaavan pisteen y-koordinaatti käyrän y = f(x) kuvaajalla vastaluku.

34 3. a) Piirretään käyrä y = x ja peilataan x-akselin alapuolinen osa x-akselin yläpuolelle. b) Piirretään käyrä y = 4 samaan koordinaatistoon käyrän y = x kanssa. Yhtälön x = 4 ratkaisu on x 4 tai x 4.

35 33. a) Piirretään käyrä y = x + ja peilataan x-akselin alapuolinen osa x- akselin yläpuolelle. b) Piirretään käyrä y = 3 samaan koordinaatistoon käyrän y = x + kanssa. Yhtälön x + = 3 ratkaisu on x 5 tai x 1. Ratkaistaan yhtälö algebrallisesti. x + = 3 x + = 3 tai x + = 3 x = 1 x = 5 Yhtälön ratkaisu on x = 5 tai x = 1.

36 34. Piirretään käyrät x + 3y 8 = 0, x 3y + 14 = 0 ja x y = 0 samaan koordinaatistoon. Huomataan, että kaikki käyrät kulkevat pisteen (, 4) kautta. Tarkistetaan, että piste (, 4) toteuttaa kaikki yhtälöt. ( ) = 0, joten piste on käyrällä x + 3y 8 = = 0, joten piste on käyrällä x 3y + 14 = 0. ( ) 4 = 0, joten piste on käyrällä x y = 0. Koska piste (, 4) on kaikilla käyrillä, se on niiden yhteinen piste.

37 35. a) Kun t = 0 x y 0, joten suora kulkee pisteen (1, ) kautta. Kun t = 1, saadaan x = = ja y = 1 = 1, eli piste (, 1). Kun t = 1, saadaan x = 1 + ( 1) = 0 ja y = ( 1) = 3, eli piste (0, 3). b) Suoran ja x-akselin leikkauspiste on (3, 0). Suoran ja y-akselin leikkauspiste on (0, 3). c) x-akselilla y = 0. Ratkaistaan, millä parametrin t arvolla y = 0. Saadaan t = 0, josta t =. Vastaavasti y-akselilla x = 0. a-kohdan perusteella y-akselin leikkauspisteessä t = 1.

38 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 36. a) Kaikki kulkevat pisteen (1, ) kautta. b) a-kohdan käyrät ovat käyräparven y ax = a käyriä arvoilla a = 1, a =, a = 3 ja a = 4. Kun sijoitetaan x = 1 ja y = yhtälö y ax = a on a = a, eli =. Yhtälö toteutuu riippumatta a:n arvosta, joten käyrällä on aina piste (1, ). c) Piirretään käyräparvi muuttamalla parametrin a arvoa liukusäätimellä ja jättämällä objektin jälki näkyviin.

39 37. a) Piirretään käyräparvi muuttamalla parametrin a arvoa liukusäätimellä ja jättämällä objektin jälki näkyviin. b) Sijoitetaan käyräparven yhtälöön x 3 + y 3 = 3axy pisteen (3, 3) koordinaatit: = 3a = a 3 3 :3 3 a =.

40 38. a) Käyräparven käyriä, kun a < 0 Käyräparven käyriä, kun a > 0. Käyrien muoto näyttäisi olevan sama. b) Ratkaistaan käyräparven yhtälöstä a, kun x = ja y = 0. 7a 0 = (a )( + 8a) (a )( + 8a) = 0 a = tai a = 1 4

41 39. a) Kuvan perusteella yhtälöparin ratkaisu on x 1, y 0 tai x 1, y 0. b) 3 x y 1 0 x y 3y y y 3y 0 y( y y 3) 0 y y y 0 tai 3 0 y Koska toisen asteen yhtälön diskriminantti on negatiivinen, sillä ei ole ratkaisuja. Yhtälöparilla on siis vain sellaisia ratkaisuja, joissa y = 0. Kun y = 0 x = 1 x = 1 x = 1 tai x = 1. Ratkaisut ovat x = 1, y = 0 tai x = 1, y = 0.

42 40. a) Käyrän ja x-akselin leikkauspisteessä y = 0, joten x = 0, josta x = 0. Eli käyrä leikkaa x-akselin origossa. y-akselilla x = y 4 3y 3 = 0, eli y 3 (y 3) = 0, josta y = 0 tai y = 3. Käyrä leikkaa y-akselin pisteissä (0, 0) ja (0, 3). b) Yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon x = y 4 + 3y 3. Jos käyrällä olisi piste, jolle y < 0 olisi y 4 < 0 ja 3y 3 < 0 eli yhtälön oikea puoli olisi negatiivinen. Tällaista yhtälöä ei toteuta yksikään tason piste, sillä x 0. Siis pisteitä, jotka toteuttavat käyrän ja ovat x-akselin alapuolella, ei ole.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Piste ja jana koordinaatistossa

Piste ja jana koordinaatistossa 607 Piste ja jana koordinaatistossa ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 Kertausta kurssi Eri asioiden välisten riippuvuuksien havainnollistamiseen kätetään usein koordinaatistoesitstä Pstakselilla riippuvan muuttujan

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja funktioita

2 Yhtälöitä ja funktioita Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto.

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto. Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

ANALYYTTISTA GEOMETRIAA LUKIO-OPETUKSESSA. Eeva Kuparinen. Pro gradu -tutkielma Tammikuu 2008 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO

ANALYYTTISTA GEOMETRIAA LUKIO-OPETUKSESSA. Eeva Kuparinen. Pro gradu -tutkielma Tammikuu 2008 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO ANALYYTTISTA GEOMETRIAA LUKIO-OPETUKSESSA Eeva Kuparinen Pro gradu -tutkielma Tammikuu 2008 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO Sisältö 1 Johdanto 1 2 Koordinaatisto 3 2.1 Tason suorakulmainen xy-koordinaatisto............

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi

Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Johdatus GeoGebraan Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Harjoitus 1B. Konstruoi tasakylkinen kolmio ABC, jonka kyljen pituus on 5. Vihje: käytä Kiinteä jana työvälinettä kahdesti. Ota kolmion

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 15 Päivitetty 19..6 31 Tapa 1 Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä sijoituskeinoa. x y+ z = x y + 3z = 3x 4y+ z = Ratkaistaan yhtälöstä (1) muuttuja

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R } 7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 201 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 6 1..201 1. Tarkastellaan Gouraudin sävytysmallia. Olkoon annettuna kolmio ABC, missä A = (0,0,0), B = (2,0,0) ja C = (1,2,0)

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 ESITYS pisteitykseksi Yleisohje tarkkuuksista: Ellei tehtävässä vaadittu tiettyä tarkkuutta, kelpaa numeerisissa vastauksissa ohjeen vastauksen lisäksi yksi merkitsevä

Lisätiedot

Ellipsit, hyperbelit ja paraabelit vinossa

Ellipsit, hyperbelit ja paraabelit vinossa Ellipsit, hyperbelit ja paraabelit vinossa Matti Lehtinen 1 Ellipsi, hyperbeli ja paraabeli suorassa Opimme lukion analyyttisen geometrian kurssilla ainakin, jos kävimme lukiota vielä muutama vuosi sitten

Lisätiedot

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt 6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran

Lisätiedot

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

2) Kaksi lentokonetta lähestyy toisiaan samalla korkeudella kuvan osoittamalla tavalla. Millä korkeudella ja kuinka kaukana toisistaan ne ovat?

2) Kaksi lentokonetta lähestyy toisiaan samalla korkeudella kuvan osoittamalla tavalla. Millä korkeudella ja kuinka kaukana toisistaan ne ovat? 2..207 Määritelmä, (terävän kulman) trigonometriset funktiot: Suorakulmaisessa kolmiossa terävän kulman trigonometriset funktiot ovat: kulman sini hpotenuusa sin a c kulman kosini hpotenuusa kulman tangentti

Lisätiedot

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin Peruskäsitteitä 8. CA CB + BA BC AB b a a b DA DB + BA ( BC) + ( AB) b a a b Vastaus: CA a b, DA a b 8. DC DA + AC BA + AC BA BC AC ( BC AC ) + AC AC CB Vastaus:

Lisätiedot

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2.

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2. Hyvän ratkaisun piirteitä: a) Neliöpohjainen rakennelma Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva ), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 =

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS: 6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,

Lisätiedot

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Metropolia ammattikorkeakoulu 05.02.2015 TI00AA43-3004: Ohjelmointi Kotitehtävät 3

Metropolia ammattikorkeakoulu 05.02.2015 TI00AA43-3004: Ohjelmointi Kotitehtävät 3 : http://users.metropolia.fi/~pasitr/2014-2015/ti00aa43-3004/kt/03/ratkaisut/ Tehtävä 1. (1 piste) Tee ohjelma K03T01.cpp, jossa ohjelmalle syötetään kokonaisluku. Jos kokonaisluku on positiivinen, niin

Lisätiedot

Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa Ympyrän ja pallon ominaisuuksia

Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa Ympyrän ja pallon ominaisuuksia 10. Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa 10.1. Ympyrän ja pallon ominaisuuksia 446. Minkä käyrän muodostavat ne tason E 2 pisteet, joista pisteitä ( a,0) ja (a,0) yhdistävä jana (a > 0) näkyy 45

Lisätiedot

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät 11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit

Lisätiedot