Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)
|
|
- Timo Halonen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4)
2 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori OA x1i y1 a pisteen B paikkavektori OB xi y AB AO OB OA OB ( x1i y1 ) ( xiy ) ( x x ) i( y y ) 1 1
3 K5. Summa: a b (5i1 ) ( i7 ) 5ii1 7 4i5 Erotus: a b (5i1 ) ( i7 ) 5i1 i7 6i19 a 5 ( 1) i1 a a 5 i 1 a 1 1 1
4 K6. a) Vektorit a a b ovat yhdensuuntaiset, os on olemassa luku t, siten, että a tb. a tb 1i8 5 k t( 6i4 k) 1i8 5k 6ti4t tk Vektoreiden komponentteihin aon yksikäsitteisyyden perusteella saadaan yhtälöryhmä, osta ratkaistaan t. 1 6 t : ( 6) 8 4 t : 4 5 t : ( ) t t t 5 Ei ole olemassa sellaista vakiota t, että ole yhdensuuntaiset. a tb. Vektorit a a b eivät
5 b) Vektorit a a b ovat yhdensuuntaiset, os on olemassa luku t, siten, että a tb. a tb ri 8 t( i 5 ) ri 8 ti 5t Vektoreiden komponentteihin aon yksikäsitteisyyden perusteella saadaan yhtälöryhmä, osta ratkaistaan r. r t 85t Alemmasta yhtälöstä saadaan t 8. 5 Sioitetaan tämä ylempään yhtälöön. r Vektorit a a b ovat vastakkaissuuntaiset, koska kerroin negatiivinen. t 8 on 5
6 K7. Merkitään pistettä, ohon päädytään, kiraimella A. Muodostetaan pisteen A paikkavektori OA. Pisteen P paikkavektori on OP i 0 k i k. Kun pisteestä P edetään 6 yksikköä vektorin u suuntaan, edetään 6 0 vektorin u yksikkövektoria, eli 6 u. Määritetään vektorin u yksikkövektori. u 4 ( 1) i 8k u u 4 i 1 8 k 0 u Kun edetään 5 yksikköä vektorille v vastakkaiseen suuntaan, edetään 5 0 vektorin v yksikkövektorin vastavektoria, eli 5 v. Määritetään vektorin v yksikkövektori. ( 14) ( ) 5 15 v 0 14i 5k v v 14 i 5 k 0 v Muodostetaan pisteen A paikkavektori. 0 0 OA OP 6u 5v ik 6 i k 5 i k ik 4 i 6 48 k 70 i 10 5 k i 8 i 70 i 10 k 16 k 5 k 4i 8 Päädytään pisteeseen (4,,0).
7 K8. Jaetaan vektori w komponentteihin, w sutv. wsutv i 5 s( i) t( i) i 5 sistit i 5 ( st) i( st) Vektoreiden komponentteihin aon yksikäsitteisyyden perusteella saadaan yhtälöpari, osta ratkaistaan s a t. st 1 s t 5 s 4 : s Sioitetaan s = ylempään yhtälöön s + t = 1. + t = 1 t = wuv Piirretään kuva.
8 K9. a) ai5k abi 4k Lasketaan pistetulo a b. ab ( 1) ( 5) ( 1) b) ak abi ab 0 ()1 10 K10. Vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, os niiden pistetulo on 0. Lasketaan vektorien a a b pistetulo. ab Pistetulo on 0, oten vektorit a a b ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.
9 K11. Piirretään kuva. Kulma A on kolmion sivuvektoreiden AB a AC välinen kulma a kulma C vektoreiden CA a CB välinen kulma. Määritetään kolmion sivuvektorit AB a AC sekä CA a CB. AB (6 ( 1)) i ( 1 ( )) 7i AC ( ( 1)) i (1 ( )) i CA AC i CB (6 ) i ( 11) 4i Määritetään kulma A. cos A AB AC 71 4 AB AC A 6,86... A 6,9 Määritetään kulma C. 4 () cosc CACB 6 CA CB ( ) ( ) 4 ( ) 18 0 C 108,4... C 108,4 Kolmion kulmien summa on 180. Määritetään kulma B. B = 180 6,86 108,4 = 4,69 4,7 A = 6,9, B = 4,7 a C = 108,4
10 K1. Vektoreiden välinen kulma on suora, os niiden pistetulo on 0. Lasketaan pistetulo u v. uvr1 ( ) ( 4) 1r 8 Ratkaistaan r, kun pistetulo on 0. 1r 8 0 1r 8 r 8 1 Piirretään vektorit u i a v 1i 4, a mitataan niiden välinen kulma.
11 K1. a) x y z x y z 7 x yz 4 Ratkaistaan x kahdesta viimeisestä yhtälöstä. x y z x yz 74 x : x 1 Sioitetaan x = 1 kahteen ylempään yhtälöön a ratkaistaan z. 1 y z y z 7 z 9 z 6 : z Sioitetaan z = yhtälöön 1 + y + z = a ratkaistaan y. 1 + y + = y = x = 1, y = a z =
12 b) x yz x y 4z x y6z 4 Vähennetään kaksi ylintä yhtälöä toisistaan a ratkaistaan z. x yz x y4z z 1 :( ) z 1 Sioitetaan z = 1 kahteen alimpaan yhtälöön a ratkaistaan x. 4 1 x y 6 1 x y 4 x y x y4 4x 17 4x 8 : 4 x Sioitetaan z = 1 a x = yhtälöön x y + z = a ratkaistaan y. y + 1 = y = 1 : ( 1) y = 1 x =, y = 1 a z = 1
13 K14. a) r 15 6r 6 r 1 Ratkaistaan r kaikista yhtälöistä. r 4 : r 6r 8 : 6 r r 4 : r Yhtälöllä ei ole ratkaisua. b) tr1 t 4r 1 tr 1 Ratkaistaan t a ylimmästä yhtälöstä a sioitetaan keskimmäiseen. t = 1 + r (1 + r) 4r = 1 + r 4r = 1 r = : (-1) r = Tällöin t = 1 + =. Sioitetaan r = a t = alimpaan yhtälöön t + r = 1. + = = 1 Luvut r = a t = toteuttavat myös alimman yhtälön, oten ne ovat yhtälöryhmän ratkaisu.
14 K15. xyz 5 xyz 7 Ratkaistaan ylimmästä yhtälöstä x. x = y z + 5 Sioitetaan tämä alempaan yhtälöön. ( y z + 5) y + z = 7 5y + z = Tästä on helpointa ratkaista z. z = 5y + Sioitetaan saatu z aiemmin saatuun x:n yhtälöön. x = y (5y + ) + 5 x = y 5y + 5 x = 8y + Yhtälön ratkaisu on esimerkiksi x8y z 5y y.
15 K16. Yhden litran purkkea on x kpl, kolmen litran y kpl a kymmenen litran z kpl. Kiroitetaan yhtälöt, kun tunnetaan maalin yhteismäärä, kokonaishinta a purkkien lukumäärä. xy10z 65 8x19y49z 77 x y z 18 Ratkaistaan yhtälöryhmä symbolisen laskennan ohelmalla. x = 5, y = 10 a z = Yhden litran purkkea on 5 kpl, kolmen litran 10 kpl a kymmenen litran kpl. K17. a) AB (151) i (76) ( 5 ( 4)) k i k Muodostetaan suoran vektorimuotoinen yhtälö, eli suoran pisteen P = (x, y, z) paikkavektori. OP OA t AB xi y zk 1i6 4 k t( i k) xi y zk (1 t) i(6 t) (4 t) k Muodostetaan suoran parametrimuotoinen yhtälö. x 1 t y 6 t, missä t z 4t
16 b) Piste on suoralla, os se toteuttaa suoran yhtälön. Sioitetaan pisteen (, 1, 1) koordinaatit suoran yhtälöön. 1t 1 6 t 14t Ratkaistaan kaikista t. 10 t : 5 t 5 t : ( 1) t 5 t 5 t 5 Kaikista yhtälöistä ratkaistu t on sama, oten piste (, 1, 1) on suoralla. K18. Muodostetaan tason yhtälö normaalivektorin a pisteen P avulla. (x 7) + (y 0) 5(z ( )) = 0 x + y 5z = 0 x + y 5z + 4 = 0 Piste on tasossa, os se toteuttaa tason yhtälön. Sioitetaan pisteen (1, 5, ) koordinaatit tason yhtälöön = = 0 Koska tulos ei ole 0, piste ei toteuta tason yhtälöä, eikä siis ole tasossa.
17 K19. a) Muodostetaan pisteen P kautta kulkevan suoran parametrimuotoinen yhtälö. x1t y 5 t ( t ) z 76t yz-tason pisteiden x-koordinaatti on 0. Pisteen P kautta kulkeva suora leikkaa yz-tason pisteessä, onka x- koordinaatti on 0. Saadaan x = 1 + t = 0, osta t = 1. y 5t z 76t yz-tason leikkauspiste on (0, 1, 10).
18 b) Muodostetaan pisteiden A a B kautta kulkevan suoran yhtälö. Suoran suuntavektori on AB. AB (1) i ( 7 ( 9)) ( ) k i 5k Pisteiden A a B kautta kulkevan suoran yhtälö on: x s y 9 s z 5 s. Ratkaistaan, leikkaavatko suorat. 1t s 5t 9s 76t 5s s = 7 a t = 5 Koska löytyi sellaiset s a t, että kaikki yhtälöt toteutuvat, suorat leikkaavat toisensa. Lasketaan suorien leikkauspiste. Sioitetaan s = 7 suoran AB yhtälöön. x ( 7) 79 y 9 ( 7) 9 14 z 5 ( 7) 5 7 Leikkauspiste on (9,, 7).
19 K0. Muodostetaan pisteiden A a B kautta kulkevan suoran parametrimuotoinen yhtälö. Suoran suuntavektori on. AB AB (87) i ( 1 ( 10)) ( 4 ( )) k i k Suoran AB yhtälö on: x7 t y 10 t ( t ) z t Määritetään suoran AB a tason x y + z = 0 leikkauspiste. (7 + t) ( 10 t) + ( t) = t t t = 0 t = 18 : t = 6 Sioitetaan t = 6 suoran yhtälöön. x 761 y 10 ( 6) 10 1 z ( 6) 9 Leikkauspiste on (1,, ). Tason x y + z = 0 normaalivektori on n i k. Lasketaan suoran AB suuntavektorin a tason normaalivektorin välinen kulma. 1 ( )( 1) ( 1)1 cos AB n 1 AB n 1 ( ) ( 1) ( 1) Suoran a tason välinen kulma on = 0.
20 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. a) Piste C. xy-tasossa pisteen z-koordinaatti on 0. b) AB (11 ( 5)) i ( ) (57) k 16i 5 k BC ( 11) i ( ( )) (0 5) k 9i 6 5k CA ( 5 ) i ( ) (7 0) k 7i 7k c) AB BC CA AC CA AA 0. Nelikulmio on suunnikas, os sen vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät a yhden suuntaiset. Pitää siis osoittaa, että AB DC a AD BC. AB (0 5) i (5 ( 5)) 15i 10 DC (10 ( 5)) i (10 0) 15i 10 AD ( 55) i (0 ( 5)) 10i 5 BC (10 0) i (10 5) 10i 5 Koska AB DC a AD BC, nelikulmio on suunnikas.
21 . Määritetään pisteen P koordinaatit paikkavektorin avulla. OP OA AP Koska AP : PB = :, on AP AB. 5 AB (4 ) i ( ( 1)) (6 ) k i 4 k OP OA AP OA AB 5 i k (i 4 k) 5 i k 4 i 8 6 k i 1 k Piste P on 14,, 1 4,,
22 4. a) tasakylkinen a suorakulmainen Kolmion kaksi sivua ovat yhtä pitkät a kohtisuorassa toisiaan vastaan. b) suorakulmainen Käänteinen Pythagoraan lause toteutuu kolmion sivuen pituuksille. c) tasasivuinen Kolmion kolmas sivu on vektori ovat yhtä pitkiä. a b. Kolmion kaikki kolme sivua d) tylppäkulmainen Jos vektoreiden pistetulo on negatiivinen, vektoreiden välinen kulma on tylppä.
23 5. Vektori a on yhdensuuntainen vektorin i kanssa, oten a ti ollakin t:n arvolla. a b i ti b i b i ti b ( t) i Vektoreiden a a b pistetulo on nolla. Ratkaistaan t. ab t( t) 0 tt t t0 94 ( 1) ( ) t 1 ( 1) t 1 tai t 4 a i a b ( 1) i i tai a i a b ( ) i i
24 6. Piirretään kuva. Merkitään säteiden leikkauspiste P. Muodostetaan pisteen P paikkavektori kahdella eri tavalla: pisteen A kautta a pisteen B kautta. OP OA t(4i ) i t(4i ) ( 4 t) i ( t) OP OB s( i ) 40i 9 s( i ) (40 s) i (9 s) ( 4 ti ) ( t) (40 si ) (9 s ) Saadaan yhtälöpari, osta ratkaistaan t. t t 4t 40s t 9s 4 s8 : s6 : ts19 ts t 1 : t 7 OP ( 4 t) i ( t) ( 47) i (7) 0i 4 Piste P on (0, 4). Säteet kohtaavat korkeudella 4 m.
25 7. Piirretään kuva. Koska nelikulmio on suunnikas DC AB a a BC AD b. Kiroitetaan vektori AF kahdella eri tavalla. AF t AE t( AD DE) t( AD DC) t( b a) ta tb AF AB BF AB sbd AB s( BA AD) a s( a b) (1 sa ) sb Saadaan yhtälöpari, osta ratkaistaan t. t 1s 4 t s t 1t 4 7 t 1 : t 4 7 AF ta tb 4 a 4 b a 4 b
26 8. Piirretään kuva. Piste P on analla BC, oten BP tbc Halutaan tietää, mikä t on. BA (1 ( 1)) i ( 4) i BC (5 ( 1)) i ( 4) 6i Kiroitetaan vektori BP kahdella eri tavalla. BP t BC t(6i ) 6ti t BP BA s( i ) i s( i ) ( s) i ( s) Saadaan yhtälöpari, osta ratkaistaan t. 6t s t s ( ) 6t s 4t 4s 10t 6 :10 t BP BC, oten piste P akaa anan BC suhteessa :. 5 Ratkaistaan pisteen P koordinaatit paikkavektorin avulla. OP OB BP i 4 (6i ) i 4 18 i 6 1 i Piste P on ,,
27 9. a) Vektorit u a v ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa, os pistetulo u v on 0. u v 1 p1 ( ) ( ) 6 p 1 p15 p 15 0 p 15 b) Vektorit u a v ovat yhdensuuntaiset, os on olemassa luku t siten, että v tu. v tu pi 6 k t( i k) pi 6k ti t tk) Saadaan yhtälöryhmä, osta ratkaistaan p. t p t t 6 Kun t = on myös p =. Tällöin myös yhtälö t = 6 toteutuu. p =
28 10. Kolmion OAB kolmas sivuvektori on AB AOOB OAOB ab. Kolmio on tasakylkinen, os Lasketaan AB. AB ab a b ( a b) ( a b) a( a b) b ( a b) aa ab ab b b aa abb b ababb b b b b OA OB tai OA AB tai OB AB. On siis voimassa AB OB oten myös AB OB. Kolmion OAB sivut OB a AB ovat yhtä pitkät, oten kolmio on tasakylkinen.
29 APUVÄLINEET SALLITTU 11. a) Kolmio on suorakulmainen, os sen oidenkin sivuvektorien pistetulo on 0. Kuvan perusteella vektorit BA a BC näyttäisivät olevan kohtisuorassa. BA (15 ( 5)) i (10 5) 0i 5 BC (5 15) i ( 0 10) 10i 40 BA BC ( 40) Kolmio on suorakulmainen. b) Kolmion kolmas sivuvektori on a b 10i 18 (70i 7 ) 60i 11. Lasketaan kolmannen sivun pituus. a b ( 60) 11 61
30 1. a) Piirretään kuva. Merkitään lävistäien leikkauspiste P. C = (, 6) a lävistäien välinen kulma on 4,5. b) Koska ABCD on suunnikas, sen vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät a yhdensuuntaiset. Tällöin DC AB. Ratkaistaan piste C paikkavektorin avulla. OC OD DC OA AD AB i 7i 5 i i 6 Piste C on (, 6). Lävistäien välinen kulma on vektorien PA a PB välinen kulma. Suunnikkaan lävistäät puolittavat toisensa, oten PA 1 CA 1 (( ( )) i (0 6) ) i. PB 1 DB 1 ( DA AB) 1 ( AD AB) 1 (7 i 5 i ) 5 i 5 ()() cos( PA, PB) PA PB 16 PA PB ( ) 5 ( ) 77 ( PA, PB) 4, ,5
31 1. a) Mediaanien leikkauspiste on (1, 1) a kulma A on 6,9. b) Merkitään mediaanien leikkauspiste P. Ja sivun BC keskipiste D. D 1, 11 (,0) Mediaanilauseen perusteella piste P akaa mediaanin suhteessa : 1 kärestä lukien. Tällöin AP AD. AD ( ( 1)) i (0 ( )) i Määritetään piste P paikkavektorin avulla. OP OA AP OA AD i (i ) i Piste P on (1, 1). Kulma A on vektorien AB a AC välinen kulma. AB ( ( 1)) i ( 1 ( )) 4i AC (1 ( 1)) i (1 ( )) i 4 cos( AB, AC) AB AC AB AC ( AB, AC) 6, ,9
32 14. a) Pisteen Q etäisyys pisteestä P on vektorin PQ pituus. PQ (11 7) i (0 4) ( 4 ) k 4i 4 7k PQ 4 ( 4) ( 7) b) Etäisyys xy-tasosta on pisteen p z-koordinaatti. c) Etäisyys x-akselista on pisteen P a pisteen (7, 0, 0) etäisyys d) Tason a pisteen P etäisyys on tasolla olevan proektiopisteen P a pisteen P etäisyys. Proektiopiste on pisteen P kautta kulkevan tason normaalin a tason leikkauspiste. Tason normaali on vektorin i 6k suuntainen. Normaalin yhtälö on x7t y 4 t ( t ) z 6 t. Ratkaistaan tason a normaalin leikkauspiste. (7 + t) (4 t) + 6( + 6t) + 17 = 0 49t = 147 t = x = 7 6 = 1, y = = 1 a z = 18 = 15 Leikkauspiste on P = (1, 1, 15). PP ' (17) i (14) ( 15) 6i 9 18k PP ' ( 6) 9 ( 18) 1
33 15. a) Tason yhtälö on 9x y + 8z 14,5 = 0 a leikkauspiste (0; 0; 1,8). b) Janan AB keskipiste on ,,, 1,1 C. Vektori AB on tason normaalivektori. AB (5 ( 4)) i ( 0) (5 ( )) k 9i 8k Muodostetaan tason yhtälö. 9 x 1 ( y( 1)) 8( z1) 0 9x4 1 y8z80 9xy8z z-akselin leikkauspisteessä x = 0 a y = z z 14 1 z Leikkauspiste on 0, 0,
34 16. u ra sb tc 7 k r( i k) s( i k) t( i k) 7 k ( r st) i ( rs) ( rst) k Saadaan yhtälöryhmä, osta ratkaistaan r, s a t. rst 0 rs7 rst r =, s = 4 a t = 5 u a 4b 5c 17. Opiskelia sioittaa osakkeisiin x, oukkovelkakiroihin y a korkotilille z. Tehtävänannon perusteella saadaan seuraavat yhtälöt, oista ratkaistaan x, y a z. x y z z x y ,07x0,05y0,0z 800 x = 757,14, y = 14,857 a z = Opiskelia sioittaa osakkeisiin 757, oukkovelkakiroihin 14 a korkotilille
35 18. Särmiö on suorakulmainen, os sen sivusärmät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Vektorit a, b a c ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan os niiden pistetulo on 0. ab x1 a c 4 y z b c x yz x 0 y z40 x yz 0 Ratkaistaan x, y a z. x1, y 7 a z 1 Lasketaan särmiön särmien pituudet. a ( 1) 1 6 b i k b ( 1) 1 11 c i 7 1 k 7 1 c ( ) ( ) ( ) 66 V a b c
36 19. Pitää esittää a u v. Koska u b, on u tb. Koska v b on v b 0. a u v, oten v a u. v b ( a u) b ( a tb) b ab tb b 451 ( ) t(11 ( )) 9t 9t = 0 9t = : ( 9) t = 1 u 1 b 1 (i k) i 1 k v a u 4i 5 k ( i 1 k) 4 i 4 1 k
37 0. Taso leikkaa xy-tason pitkin suoraa i t( i ). Suoran yhtälöstä voidaan päätellä, että piste (, 1, 0) on suoralla a suoran suuntavektori on s i. Tason normaalivektori on n ai b ck. Tason normaalivektori on kohtisuorassa vektoria s vastaan, oten ns 0. Pisteet (, 1, 0) a ( 7,, ) siaitsevat molemmat tasossa. Näiden pisteiden välinen vektori a on myös kohtisuorassa vektoria n vastaan a an 0. a ( 7 ( )) i ( 1) (0) k 5i 4 k Saadaan yhtälöpari. ns a1bc00 na a( 5) b( 4) c0 ab b b cb Eräs yhtälöryhmän toteuttava ratkaisu on a =, b = 1 a c =, olloin n i k. Tason yhtälö on x + y z + d = 0. Koska piste ( 7,, ) on tasossa, piste toteuttaa tason yhtälön. ( 7) () + d = d = 0 d = 5 Tason yhtälö on x + y z 5 = 0.
Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )
Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB
Lisätiedot2 Vektorit koordinaatistossa
Vektorit koordinaatistossa Ennakkotehtävät. Esimerkiksi 4i 4i4i i 4i Kaikkien reittien esitysmuoto vektoreiden i a avulla lausuttuna on sama. . a) Vektorin 4i komponentit muodostavat suorakulmaisen kolmion,
Lisätiedot2 Vektorit koordinaatistossa
Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5..06 Vektorit koordinaatistossa Ennakkotehtävät. Esimerkiksi 4i 4i4i i 4i Kaikkien reittien esitysmuoto vektoreiden i a avulla lausuttuna
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)
Lisätiedot3 Yhtälöryhmä ja pistetulo
Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5..06 Yhtälöryhmä ja pistetulo Ennakkotehtävät. z = x y, x y + z = 6 ja 4x + y + z = Sijoitetaan z = x y muihin yhtälöihin. x y + x y =
Lisätiedot0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan
LisätiedotJuuri Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Vektorit. Vektori LUVUN. YDINTEHTÄVÄT 0. Piste P jakaa janan BC suhteessa : eli kahteen yhtä suureen osaan. Siten CP CB u ja DP DC CP DC CBv u u v. Vastaavasti DQ DA AQ DA ABu v. 7 7 0. a) Pisteen koordinaatit
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5
Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
LisätiedotOta tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta
MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit
LisätiedotKertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,
Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0
LisätiedotA-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.
MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään
LisätiedotMb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3
Mb8 Koe 4.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.
LisätiedotVEKTORIT paikkavektori OA
paikkavektori OA Piste A = (2, -1) Paikkavektori OA = 2i j 3D: kuvan piirtäminen hankalaa Piste A = (2, -3, 4) Paikkavektori OA = 2i 3j + 4k Piste A = (a 1, a 2, a 3 ) Paikkavektori OA = a 1 i + a 2 j
LisätiedotMAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste
MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste Tason ja avaruuden vektorit 1. Olkoon A(, -, 4) ja B(5, -1, -3). a) Muodosta pisteen A paikkavektori. b) Muodosta vektori AB. c) Laske vektorin AB pituus.
Lisätiedot1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti määritelty: a) Määritä vektori. sekä laske sen pituus.
Matematiikan kurssikoe, Maa4 Vektorit RATKAISUT Sievin lukio Keskiviikko 12.4.2017 VASTAA YHTEENSÄ VIITEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL JA LASKIN/LAS- KINOHJELMAT OVAT SALLITTUJA! 1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti
Lisätiedot3 Vektorin kertominen reaaliluvulla
3 Vektorin kertominen reaaliluvulla Summalla a + a + a tarkoitetaan lausekkeessa esiintyvän vektorin a kanssa samansuuntaista, mutta pituudeltaan tähän nähden kolminkertaista vektoria. Tätä summaa on tarkoituksenmukaista
LisätiedotTASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö.
TSON YHTÄLÖT VEKTORIT, M4 Jokainen seuraavista määrää avaruuden tason yksikäsitteisesti: - kolme tason pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla, - yksi piste ja pisteen ulkopuolinen suora, - yksi piste
LisätiedotSuora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},
Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,
LisätiedotJuuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotJuuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman
LisätiedotYleistä vektoreista GeoGebralla
Vektoreita GeoGebralla Vektoreilla voi laskea joko komentopohjaisesti esim. CAS-ikkunassa tai piirtämällä piirtoikkunassa. Ensimmäisen tavan etuna on, että laskujen tueksi muodostuu kuva. Tästä on varmasti
Lisätiedotc) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 20 a) Vektorin a kanssa samansuuntaisia ovat vektorit b ja d. b) Vektorit ovat erisuuntaiset, jos ne eivät ole yhdensuuntaiset (samansuuntaiset tai vastakkaissuuntaiset).
LisätiedotPäähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48
Trigonometriset funktiot 169. Muutetaan asteet radiaaneiksi. 180 astetta on radiaaneina π eli 180 = π rad Tällöin 1 rad. 180 45 1 a) 45 180 4 4 65 1 b) 65 180 6 10 c) 10 180 5 5 d) 5 180 4 40 7 e) 40 180
LisätiedotMb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2
Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.
LisätiedotPyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien
LisätiedotHavainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.
Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause
LisätiedotLaudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin
Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,
LisätiedotVektorit, suorat ja tasot
, suorat ja tasot 1 / 22 Koulussa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä (x 1, x 2 ). Jos vektorin
Lisätiedot169. 170. 171. 172. 173. 174. 5. Geometriset avaruudet. 5.1. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus
5. Geometriset avaruudet 5.. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus 69. Olkoon {b,b 2 } tason E 2 kanta ja olkoon u = 2b + 3b 2, v = 3b + 2b 2, w = b 2b 2. Määritä vektoreiden 2u v + w ja
Lisätiedotb 4i j k ovat yhdensuuntaiset.
MAA5. 1 Koe 29.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää! Muista tehdä pisteytysruuduo ensimmäisen onseptin yläreunaan! Perustele vastausesi välivaiheilla! 1. Oloon vetorit a 2i 6 j 3 ja b i 4 j 3 a) Määritä
Lisätiedot203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C
LisätiedotSuorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt
6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran
LisätiedotBM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
Lisätiedot2 Kuvioita ja kappaleita
Kuvioita ja kappaleita.1 Suorakulmaisen kolmion geometriaa 97. a) Kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 39. Hypotenuusan pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 5 (
LisätiedotVanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
LisätiedotGeometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio
Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.
Lisätiedotyleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p
MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y
Lisätiedot1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)
Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)
LisätiedotSuorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009
Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden
LisätiedotAvaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät
11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit
Lisätiedota) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.
Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin
LisätiedotSuora. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio
Suora Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Suuntavektori Normaalivektori Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 2 / 12 Esimerkki Suuntavektori Normaalivektori Tarkastellaan suoraa y = 2 3 x 1. kulmakerroin
LisätiedotSuorat ja tasot, L6. Suuntajana. Suora xy-tasossa. Suora xyzkoordinaatistossa. Taso xyzkoordinaatistossa. Tason koordinaattimuotoinen yhtälö.
Suorat ja tasot, L6 Suora xyz-koordinaatistossa Taso xyz-koordinaatistossa stä stä 1 Näillä kalvoilla käsittelemme kolmen laisia olioita. Suora xyz-avaruudessa. Taso xyz-avaruudessa. Emme nyt ryhdy pohtimaan,
LisätiedotKansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008
Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun
LisätiedotA-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko
Lisätiedot3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h
HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)
LisätiedotTehtävien ratkaisut
Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta
LisätiedotSuora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste
Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa
LisätiedotHarjoituksia MAA5 - HARJOITUKSIA. 1. Olkoon ABCD mielivaltainen nelikulmio. Merkitse siihen vektorit. mutta molemmat puolet itseisarvojen sisällä????
MAA5 - HARJOITUKSIA 1. Olkn ABCD mielivaltainen nelikulmi. Merkitse siihen vektrit a) AB b) CA ja DB. 2. Neljäkäs eli vinneliö n suunnikkaan erikistapaus. Mitkä seuraavista väitteistä vat tsia neljäkkäässä
LisätiedotRistitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti
14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on
LisätiedotHARJOITUSTEHTÄVIÄ. Millä vektorin c arvoilla voidaan vektoreita a + b, a + c ja b +2 c siirtelemällä muodostaa kolmio?
Pitkäranta: Calculus Fennicus II.2. Tason vektorit Koska ilmeisesti pätee v 1, v 2 W v 1 + v 2 W, v W λ v W λ R, on W itsekin vektoriavaruus. Sen kantaan tarvitaan vain yksi vektori, esim a, joten dim
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on
Lisätiedot1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.
ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.
Lisätiedot102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotJuuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus
LisätiedotHilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen
Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
LisätiedotKoontitehtäviä luvuista 1 9
11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:
LisätiedotLieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa
Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen
LisätiedotHarjoitustehtävät, syyskuu Helpommat
Harjoitustehtävät, syyskuu 2011. Helpommat Ratkaisuja 1. Ratkaise yhtälö a a + x = x. Ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö reaalilukujen joukossa. Jos yhtälöllä onratkaisux, niin x 0. Jos a =0,yhtälöllä onratkaisux
LisätiedotLineaarialgebran laskumoniste Osa1 : vektorit
Lineaarialgebran laskumoniste Osa1 : vektorit A. Sinin, kosinin ja tangentin laajennetut määritelmät 1. Määritä ao. yksikköympyrän avulla a) sin(120 o ) b) cos(180 o ) (piirrä kulman kylki, ja lue kuvasta
LisätiedotYmpyrän yhtälö
Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n
Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden sisältöjen isteitysten luonnehdinta ei
Lisätiedot0. 10. 017 a b c d 1. + +. + +. + + 4. + + + 5. + 6. + P1. Lehtipuiden lukumäärä olkoon aluksi n, jolloin havupuiden määrä on 1,4n. Hakkuiden jälkeen lehtipuiden määrä putoaa lukuun n 0,1n = 0,88n ja havupuiden
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n
Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden, sisältöjen ja isteitysten luonnehdinta
Lisätiedot33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut
33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 1. Kutsutaan (eri) positiivisten kokonaislukujen joukkoa merkitykselliseksi, jos sen jokaisen äärellisen epätyhjän osajoukon aritmeettinen ja geometrinen
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.
Lisätiedoty=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
LisätiedotSolmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:
Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman
LisätiedotPistetulo eli skalaaritulo
Pistetulo eli skalaaritulo VEKTORIT, MAA4 Pistetulo on kahden vektorin välinen tulo. Tarkastellaan ensin kahden vektorin välistä kulmaa. Vektorien a ja, kun a 0, välinen kulma on (kuva) kovera kun a vektorit
LisätiedotMAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5
LisätiedotVektorin paikalla avaruudessa ei ole merkitystä. Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa kaikki kolme vektoria ovat samoja, ts.
49 3 VEKTORIT 3.1 VEKTORIN KÄSITE Vektori on suure, jolla suuruuden lisäksi on myös suunta (esim. kiihtyvyys). Skalaari puolestaan on suure, jolla on vain suuruus (esim. tiheys). Vektori graafisesti: Vektorin
LisätiedotYhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia
Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella
LisätiedotToisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa Ympyrän ja pallon ominaisuuksia
10. Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa 10.1. Ympyrän ja pallon ominaisuuksia 446. Minkä käyrän muodostavat ne tason E 2 pisteet, joista pisteitä ( a,0) ja (a,0) yhdistävä jana (a > 0) näkyy 45
LisätiedotHarjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.
MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotMAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.
MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise
LisätiedotMatikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )
LisätiedotLukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015
Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä
LisätiedotKaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!
MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki
Lisätiedot{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +
9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +
Lisätiedot