Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 3
|
|
- suho seno
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 83 Tekijä Pitkä matematiikka a) Osoitetaa sijoittamalla, että yhtälö toteutuu, ku x =. + 6= 0 6 6= 0 0= 0 tosi Luku x = toteuttaa yhtälö x + x 6= 0. b) Osoitetaa ratkaisemalla yhtälö. x + x 6= 0 ± 4( 6) x = x = ± 5 x = ± 5 x = tai x = 3 Yhtälö aioat ratkaisut ovat x = ja x = 3.
2 84 Osoitetaa sievetämällä biomi kuutio ( a b ) 3. Käytetää apua biomi kuutio muistikaavaa: ( a + b) 3 = a3 + 3a b + 3ab + b ( a b) = a + 3 a ( b) + 3 a( b) + ( b) 3 3 = a 3a b + 3 ab b
3 85 TAPA : Osoitetaa ratkaisemalla epäyhtälö f( x ) > 0. 3x 6x + 9> 0 Ratkaistaa fuktio ollakohdat: 3x 6x+ 9= 0 6 ± ( 6) x = 3 x = 6 ± 08 6 Ei ollakohtia. Koska fuktio kuvaaja o ylöspäi aukeava paraabeli, jolla ei ole ollakohtia, fuktio saa vai positiivisia arvoja.
4 TAPA : Osoitetaa muokkaamalla fuktio lauseketta. 3x 6x+ 9= x + x 6x+ 9 = x + ( x 6x+ 9) = x + ( x 3) Biomi eliö Koska summalausekkee molemmat yhteelaskettavat ovat positiivia, summa o positiivie. Fuktio saa vai positiivisia arvoja.
5 86 Oletuksea o, että luvut a ja b ovat parittomia kokoaislukuja. Pitää osoittaa, että tällöi myös lukuje tulo ab o parito kokoaisluku. Oletus Väite Todistus a ja b ovat parittomia kokoaislukuja. ab o parito kokoaisluku. Koska luvut a ja b ovat parittomia, o olemassa sellaiset kokoaisluvut ja m, että a = + ja b= m +. Muodostetaa tulo ab. ab = ( + )(m + ) = m+ + m+ = 4m + + m + = ( m + + m) + m + + m o välttämättä kokoaisluku. Nyt voidaa merkitä m + + m = p ( p Z ). Lukuje a ja b tulo voidaa yt esittää muodossa ab = p +, joka o parito kokoaisluku.
6 87 Oletuksea o, että luku a o parito kokoaisluku. Pitää osoittaa, että tällöi myös luvu kuutio 3 a o parito kokoaisluku. Oletus a o parito kokoaisluku. Väite a3 o parito kokoaisluku. Todistus Koska luku a o parito, o olemassa sellaie kokoaisluku, että a = +. Muodostetaa kuutio 3 a. a = (+ ) 3 3 = ( ) + 3 ( ) = = ( ) o välttämättä kokoaisluku. Nyt voidaa merkitä = p ( p Z ). Luvu a kuutio voidaa esittää muodossa a3 = p +, joka o parito kokoaisluku.
7 88 Oletuksea o, että luku o kahdella jaollisee eli parillisee umeroo päättyvä kokoaisluku. Pitää osoittaa, että tällöi koko luku o myös parillie. Oletus Väite Todistus Luvu a viimeie umero o parillie. a o parillie kokoaisluku. Koska luvu a viimeie umero o parillie, o olemassa sellaie kokoaisluku ja sellaie parillie kokoaisluku k, että a = 0+ k. Merkitää, että k = m ( m Z ). Tällöi a = 0+ m = 5 + m = (5 + m) 5 + mo välttämättä kokoaisluku. Nyt voidaa merkitä 5 + m = p ( p Z ). Luku a voidaa esittää muodossa a = p, joka o parillie kokoaisluku.
8 89 Oletuksea o, että luku o luvulla 3 jaollie kokoaisluku. Pitää osoittaa, että tällöi luvu kuutio o jaollie luvulla 7. Oletus a jaollie luvulla 3. Väite a 3 o jaollie luvulla 7. Todistus Koska luku a o jaollie luvulla 3, o olemassa sellaie kokoaisluku, että a = 3. Muodostetaa luvu a kuutio. a 3 3 = (3 ) 3 3 = 3 = 7 3 Koska luku a 3 o kokoaislukuje 7 ja 3 tulo, ii se o jaollie luvulla 7.
9 90 Määritelmä mukaa suuikas o elikulmio, joka vastakkaiset sivut ovat yhdesuutaiset. Lisäksi esimerki 3 perusteella vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkä. Oletus Nelikulmio ABCD vastakkaiset sivut ovat yhdesuutaiset ja yhtä pitkät. Väite Todistus Nelikulmio lävistäjät puolittavat toisesa. Piirretää lävistäjät. Lävistäjie leikkauskohtaa sytyvät ristikulmat ovat yhtä suuret: CED = AEB ( = α) DEA = BEC ( = γ ). Koska vastakkaiset sivut ovat yhdesuutaiset, samakohtaiset kulmat ovat myös yhtä suuret: EDC = EBA ( = β ) ADE = CBE ( = δ ). Kolmioide yhdemuotoisuuslausee (kk) perusteella kolmiot ADE ja CBE sekä kolmiot DCE ja BAE ovat yhdemuotoiset ja iide vastisivuje suhteet ovat yhtä suuret.
10 Esimerkissä 3 osoitettii, että vastisivuje AD ja CB suhde o : ja AD = CB (eli AD = BC ). Tällöi myös kolmioide ADE ja CBE muide vastisivuje suhde o : ja vastisivut ovat yhtä pitkät. Kolmio ADE sivu DE vastisivu kolmiossa CBE o BE. Sivuje suhde o : ja DE = BE. Vastaava pätee myös kolmioille DCE ja BAE. Eli vastisivuje suhde o : ja vastisivut ovat yhtä pitkät. Kolmio DCE sivu CE vastisivu kolmiossa BAE o AE. Sivuje suhde o : ja CE = AE. Koska DE = BE ja CE = AE, piste E eli lävistäjie leikkauspiste o lävistäjie puolivälissä. Toisi saoe suuikkaa lävistäjät puolittavat toisesa.
11 9 Määritelmä mukaa vieruskulmat muodostavat oikokulma eli vieruskulmie summa o 80. Oletus Väite Todistus Vieruskulmie summa o 80. Vieruskulmie puolittajat ovat kohtisuorassa toisiaa vastaa. Eli vieruskulmie puolittajat muodostavat 90 kulma. Piirretää kuva. Hyödyetää tietoa vieruskulmie summasta: α + β = 80 α = 80 β. Vieruskulmie puolittajie välie kulma: α + β = (80 β) + β = 90 β + β = 90.
12 9 Oletus Väite Todistus o kokoaisluku. 3 o jaollie luvulla 3. Jaetaa luku 3 tekijöihi: 3 = ( ) = ( + )( ). Koska o kokoaisluku, luvut, ja + ovat kolme peräkkäistä kokoaislukua. Koska luvut ovat peräkkäiset, äistä täsmällee yksi luku o jaollie luvulla 3. Koska yksi luvu 3 tekijöistä o jaollie luvulla 3, o luku 3 jaollie luvulla 3.
13 93 Sieveetää lauseke ( a+ b+ c ). ( a+ b+ c) = ( a+ b) + ( a+ b) c+ c = a + ab + b + ac + bc + c = a + b + c + ab + ac + bc. Sievetämisessä hyödyetty biomi eliö muistikaavaa.
14 94 Tutkitaa tulo x(4x 4x+ ) merkkiä. Ratkaistaa tekijöide ollakohdat. 0 x = x = 0 4x 4x+ = 0 (x ) = 0 x = 0 x = Hahmotellaa kuvaajat. Laaditaa merkkikaavio. x x x x(4x 4x+ ) x 0
15 Koska tulo x(4x 4x+ ) o 0, ku x = 0 tai x = ja muutoi arvoltaa egatiivie, fuktio f( x) = x(4x 4x + ) arvot ovat aia egatiivisia.
16 95 Oletus o kokoaisluku. Väite 3 + o parillie. Todistus Jaetaa luku 3 + tekijöihi: 3 + = ( + ). Tutkitaa eriksee tapauksia, joissa o parillie ja parito.. Jos o parillie, tulo ( + ) o parillie eli 3 + o parillie.. Jos o parito, o myös parito (osoitettu esimerkissä ), ja site + o parillie. Tulo ( + ) o parillie eli 3 + o parillie. Kohtie ja perusteella 3 + o parillie.
17 96 Oletus a < b ja c< d Väite a+ c< b+ d Todistus Lasketaa oletukse epäyhtälöt puolittai yhtee. a < b c< d a+ c< b+ c Epäyhtälö a+ c< b+ d pitää paikkasa.
18 97 Oletus Luvut a, b, c, d, e ovat peräkkäisiä ja luoollisia. Väite Tulo abcde o jaollie luvulla 5. Todistus Koska viisi lukua ovat peräkkäisiä ja luoollisia, äistä täsmällee yksi luku o jaollie luvulla 5. Koska yksi tulo abcde tekijöistä o jaollie luvulla 5, o tulo abcde jaollie luvulla 5.
19 98 Oletus Luku kokoaisluku. Väite Luku 3 9 o parillie. Todistus Jaetaa luku 3 9 tekijöihi: 3 9 = ( 9) = ( + 3)( 3) Tarkastellaa eriksee tapaukset, joissa o parillie ja o parito.. Jos o parillie, tulo ( + 3)( 3) o myös parillie. Eli 3 9 o parillie.. Jos o parito, + 3 o parillie (tai vastaavasti 3 o parillie) ja tulo ( + 3)( 3) o parillie. Eli 3 9 o parillie. Kohdista ja seuraa, että 3 9 o parillie.
20 99 Oletus Väite Todistus Kolmio o tasakylkie. Tasakylkise kolmio katakulmat ovat yhtä suuret. Piirretää mallikuva. Jaetaa kolmio korkeusjaalla kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi. Tasakylkise kolmio huipusta piirretty korkeusjaa puolittaa huippukulma. Kolmiot ABD ja CBD ovat yhdemuotoisuuslausee (kk) perusteella yhdemuotoiset, koska ABD = DBC ja BDA = CDB. Koska kolmiot ovat yhdemuotoiset, ovat myös kulmat a ja β yhtä suuret. Eli tasakylkise kolmio katakulmat ovat yhtä suuret.
21 00 Oletus Luvut b, c ja d eivät ole ollia. Väite a : c = a d b d b c Todistus Hyödyetää jakolasku määritelmää: m : = q, jos q = m ( 0). Merkitää: m = a, = c, q= a d b d b c q = c a d d b c = a c d b c d = a = m b Eli : = a c a d b d b c.
22 0 Oletus Luvut x ja y ovat reaalilukuja. Väite x y = xy Todistus Hyödyetää itseisarvo määritelmää. x, ku x< 0 x = x, ku x 0 Tutkitaa kaikki 4 tapausta eriksee.. x< 0, y < 0 x y = ( x)( y) = xy = xy. x< 0, y 0 x y = ( x) y = xy = xy 3. x 0, y < 0 x y = x ( y) = xy = xy 4. x 0, y 0 x y = xy = xy Kohdista -4 seuraa, että ku x ja y ovat reaalilukuja, x y = xy.
23 0 Oletus x ja y ovat vektoreita. Väite x + y x + y eli vektoreide summavektori pituus o pieempi tai yhtä suuri kui vektoreide pituuksie summa. Todistus Koska väitteeä oleva epäyhtälö molemmat puolet ovat epäegatiivisia, epäyhtälö säilyy yhtäpitävää, ku se molemmat puolet korotetaa eliöö. x + y x + y ( ) x + y ( x + y) Tutkitaa epäyhtälö vaseta puolta. x + y = ( x + y) ( x + y) = x + x y + y = x + x y cos( x, y) + y cosa x + x y + y = ( x + y ) a = a a = x x + x y + y y a a = a a b = a bcos( ab, ) Nyt o todistettu, että x + y ( x + y ). Samalla o todistettu, että väitteeä ollut epäyhtälö + + x y x y pitää paikkasa.
24 03 Oletus x ja y ovat reaalilukuja. Väite x y x+ y Todistus Hyödyetää tietoa: x = x+ y y = ( x+ y) + ( y) ja y = x+ y x = ( x+ y) + ( x). Sovelletaa äihi tuloksii kolmioepäyhtälöä: x = ( x+ y) + ( y) a+ b a + b x+ y + y = x+ y + y ja y = ( x+ y) + ( x) x+ y + x = x+ y + x. a+ b a + b Nyt siis x x+ y + y ja y x+ y + x.
25 Muokataa saatuja epäyhtälöitä. x x+ y + y x y x+ y ja y x+ y + x y x x+ y b a = ( a b) ( x y) x+ y. Eli saadaa epäyhtälöt: x y x+ y ja ( x y) x+ y. Itseisarvo määritelmä perusteella voidaa yt todeta, että kääteie kolmioepäyhtälö x y x+ y pätee.
26 04 Laaditaa lauseille vastaesimerkki. a) Kuva suorakulmio lävistäjie välie terävä kulma o kooltaa: ta( a) = 3 a = ta ( ) 8,43 3 a 36 Kyseise suorakulmio lävistäjät eivät ole kohtisuorassa toisiaa vastaa, jote a-kohda lause o epätosi. b) Kyseise suorakulmio lävistäjät jakavat suorakulmio kulmat oi 8 (samakohtaie kui a-kohda kulma ) ja 7 a kokoisiksi kulmiksi. Kyseise suorakulmio lävistäjä ei jaa suorakulmio kulmaa kahtee yhtä suuree osaa, jote b-kohda lause o epätosi.
27 05 a) Laaditaa lauseelle vastaesimerkki. Mikää kyseise kolmio kärjestä vastakkaiselle sivulle piirretty keskijaa ei ole kohtisuorassa vastakkaista sivua vastaa. Lause pätee tasakylkiselle kolmiolle, sillä voidaa osoittaa, että tasakylkise kolmio huippukulma kärjestä piirretty keskijaa o kohtisuorassa vastakkaista sivua vaste. b) Laaditaa lauseelle vastaesimerkki. Kyseise kolmio aiaki yhde sivu keskiormaali ei kulje vastakkaise kärkipistee kautta, jote lause o epätosi. Lause pätee tasasivuiselle kolmiolle, sillä voidaa osoittaa, että tasasivuise kolmio jokaise sivu keskiormaali kulkee vastakkaise kärkipistee kautta.
28 06 a) Etsitää lauseelle vastaesimerkki järjestelmällisellä kokeilulla. 3 3 tosi 4 8 tosi tosi epätosi Huomataa, että kokoaisluku käy lausee vastaesimerkiksi. Koska lauseella Z : 3 o aiaki yksi vastaesimerkki, lause o epätosi. b) Etsitää lauseelle vastaesimerkki järjestelmällisellä kokeilulla tosi tosi tosi tosi epätosi Huomataa, että luoollie luku 5 käy lausee vastaesimerkiksi. Koska lauseella N : 3 50 o aiaki yksi vastaesimerkki, lause o epätosi.
29 07 a) Etsitää lauseelle vastaesimerkki järjestelmällisellä kokeilulla. x x x < 3 x 9 4 tosi tosi tosi tosi 0 0 tosi tosi tosi tosi 4 tosi tosi 3 9 tosi tosi 4 6 tosi epätosi Huomataa, että reaaliluku 4 käy lausee vastaesimerkiksi. Koska lauseella jos x< 3, ii x < 9 o aiaki yksi vastaesimerkki, lause o epätosi. b) Etsitää lauseelle vastaesimerkki järjestelmällisellä kokeilulla. x x x > x > 4 tosi tosi 3 9 tosi tosi 4 6 tosi tosi tosi tosi 4 tosi epätosi Huomataa, että reaaliluku käy lausee vastaesimerkiksi. Koska lauseella jos x >, ii x > o aiaki yksi vastaesimerkki, lause o epätosi.
30 08 a) Oletus Luvut x ja y ovat ratioaalilukuja. Väite Luku x+ y o ratioaaliluku. Todistus Koska x ja y ovat ratioaalilukuja, e voidaa esittää muodossa x = m ja y = p, missä, m, p ja q q ovat kokoaislukuja ( 0, q 0 ). Lasketaa summa x+ y. q) x+ y = m + ) p q qm p = + q q mq + p = q Laveetaa samaimisiksi. Lasketaa osoittajie summa. Nimittäjäksi tulee yhteie imittäjä. Koska luvut mq + p ja q ( q 0 ) ovat kokoaislukuja, luku x+ y o ratioaaliluku.
31 b) Muodostetaa lause: Kahde irratioaaliluvu summa o aia irratioaaliluku. Esitetää lauseelle vastaesimerkki: + = 0 Koska luku 0 ei ole irratioaalie, kahde irratioaaliluvu summa ei ole aia irratioaalie. Alkuperäie lause o epätosi.
32 09 a) Oletus Luvut, + ja + ovat peräkkäisiä kokoaislukuja. Väite Lukuje, + ja + summa o jaollie luvulla 3. Todistus Lasketaa summa lukuje, + ja + summa. + ( + ) + ( + ) = 3+ 3 = 3( + ) Erotetaa yhteie tekijä 3. Koska lukuje, + ja + summa voidaa esittää tuloa 3( + ), jossa toisea tekijää o luku 3, summa o jaollie luvulla 3. b) Muodostetaa lause: Neljä peräkkäise kokoaisluvu summa o aia jaollie luvulla 4. Esitetää lauseelle vastaesimerkki: = 6. Koska luku 6 ei ole jaollie luvulla 4, eljä peräkkäise kokoaisluvu summa ei ole aia jaollie luvulla 4. Alkuperäie lause o epätosi.
33 0 Laaditaa lauseelle vastaesimerkki. Kuva elikulmio kolme sivu keskiormaalit eivät leikkaa samassa pisteessä. Koska lauseella o aiaki yksi vastaesimerkki, lause o epätosi.
34 a) Riittää, että löydetää yksi esimerkki suorakulmaisesta, tasakylkisestä kolmiosta. Lause o tosi. b) Laaditaa lauseelle vastaesimerkki. Kuva kolmio kulmat ovat: taa = a 63 ta β = 3 β 34 γ = = 83 Kuva kolmio kaikki kulmat ovat teräviä, mutta erisuuria, jote kolmio ei ole tasakylkie. Alkuperäie väite o epätosi.
35 Oletus x o reaaliluku. Väite x R :3 4x 0 eli o olemassa (aiaki ) reaaliluku x, joka toteuttaa epäyhtälö 3 4x 0. Todistus Riittää, että löydetää yksi reaaliluku, joka toteuttaa tämä epäyhtälö. Sijoitetaa x = 0 epäyhtälö vasemmalle puolelle = 3 Saatu tulos 3 o suurempi tai yhtä suuri kui 0. Väite o totta.
36 3 Oletus x o reaaliluku. Väite x 6x + 5< 0, ku < x < 5. Todistus Todistetaa ratkaisemalla epäyhtälö. Ratkaistaa fuktio x 6x + 5 ollakohdat. 6 ± ( 6) 4 5 x = = 6 ± 36 0 = 6± 4 x = 5 tai x =
37 Hahmotellaa fuktio kuvaaja. Laaditaa merkkikaavio. x 6x Merkkikaaviosta ja kuvaajasta ähdää, että x 6x + 5< 0, ku < x < 5. Väite x 6x + 5< 0, ku < x < 5 o tosi.
38 4 a) Moikulmio o sääöllie, jos se kaikki sivut ovat yhtä pitkiä ja se kaikki kulmat yhtä suuria. Neljäkäs o suuikas, joka kaikki sivut ovat yhtä pitkät. Laaditaa lauseelle vastaesimerkki. Kuva eljäkäs ei ole sääöllie moikulmio, koska se kulmat eivät ole yhtä suuret. Lause o epätosi.
39 b) Suuikas o elikulmio, joka vastakkaiset sivut ovat yhdesuutaiset. Laaditaa lauseelle vastaesimerkki. Neliö o suuikas, joka kaikki sivut ovat yhtä pitkät ja kaikki kulmat ovat yhtä suuret. Neliö o site myös sääöllie moikulmio. Lause o epätosi.
40 5 a) Määritelmäsä mukaisesti suorakulmio o suuikas, joka kaikki kulmat ovat suoria. Jote kaikki suuikkaille voimassa olevat omiaisuudet ovat voimassa myös kaikille suorakulmioille. Väite o tosi. b) Määritelmäsä mukaisesti eliö o suorakulmio, joka kaikki sivut ovat yhtä pitkät. Laaditaa lauseelle vastaesimerkki. Kuva suorakulmio kaikki sivut eivät ole yhtä pitkät, jote kaikki eliö omiaisuudet eivät ole voimassa kaikille suorakulmioille. Väite o epätosi.
41 b) Suuikas o elikulmio, joka vastakkaiset sivut ovat yhdesuutaiset. Laaditaa lauseelle vastaesimerkki. Neliö o suuikas, joka kaikki sivut ovat yhtä pitkät ja kaikki kulmat ovat yhtä suuret. Neliö o site myös sääöllie moikulmio. Lause o epätosi.
42 6 a) Osoitetaa lause Z : 3 0 eli kaikilla kokoaislukuarvoilla pätee: luvu kuutio ja luvu eliö erotus o suurempi tai yhtä suuri kui olla epätodeksi vastaesimerkillä. Etsitää lauseelle vastaesimerkki järjestelmällisellä kokeilulla tosi tosi tosi epätosi Huomataa, että kokoaisluku käy lausee vastaesimerkiksi. Koska lauseella Z : 3 0 o aiaki yksi vastaesimerkki, lause o epätosi.
43 b) Osoitetaa lause R : eli kaikilla reaalilukuarvoilla pätee: luvu vastaluku o pieempi tai yhtä suuri kui luku itse epätodeksi vastaesimerkillä. Etsitää lauseelle vastaesimerkki järjestelmällisellä kokeilulla. tosi tosi 3 3 tosi epätosi Huomataa, että reaaliluku käy lausee vastaesimerkiksi. Koska lauseella R : o aiaki yksi vastaesimerkki, lause o epätosi.
44 7 a) Osoitetaa lause jos x< y, ii x < y epätodeksi vastaesimerkillä. Etsitää lauseelle vastaesimerkki kokeilulla. x y x y x < y 4 tosi tosi tosi 0 0 epätosi Huomataa, että arvot x =, y = 0 käyvät lausee vastaesimerkiksi, sillä: < 0, mutta ( ) =, joka o suurempi kui 0. Koska lauseella jos x< y, ii x < y o aiaki yksi vastaesimerkki, lause o epätosi.
45 b) Osoitetaa lause jos x< y ja x 0 ja y 0, ii > x y epätodeksi vastaesimerkillä. Etsitää lauseelle vastaesimerkki kokeilulla. x y x y 3 4 > x y tosi tosi tosi epätosi Huomataa, että arvot x =, y = käyvät lausee vastaesimerkiksi, sillä: <, mutta <. Koska lauseella jos x< y ja x 0 ja y 0, ii > x y o aiaki yksi vastaesimerkki, lause o epätosi.
46 8 a) Oletus Luvut x ja y ovat ratioaalilukuja. Väite Todistus Luku xy o ratioaaliluku. Koska x ja y ovat ratioaalilukuja, e voidaa esittää muodossa x = m ja y = p, missä, m, p ja q q ovat kokoaislukuja ( 0, q 0 ). Lasketaa tulo xy. m p xy = q mp = q Osoittajat kerrotaa keskeää ja imittäjät kerrotaa keskeää. Koska luvut mp ja q ( q 0 ) ovat kokoaislukuja, luku xy o ratioaaliluku.
47 b) Muodostetaa lause: Kahde irratioaaliluvu tulo o aia irratioaaliluku. Esitetää lauseelle vastaesimerkki: = Koska luku ei ole irratioaalie, kahde irratioaaliluvu tulo ei ole aia irratioaalie. Alkuperäie lause o epätosi.
48 9 a) Oletus Luvut + ja + 3 ovat peräkkäisiä parittomia kokoaislukuja. Väite Lukuje + ja + 3 summa o jaollie luvulla 4. Todistus Lasketaa summa lukuje + ja + 3 summa. (+ ) + (+ 3) = 4+ 4 = 4( + ) Erotetaa yhteie tekijä 4. Koska lukuje + ja + 3 summa voidaa esittää tuloa 4( + ), jossa toisea tekijää o luku 4, kahde peräkkäise parittoma kokoaisluvu summa o jaollie luvulla 4. b) Muodostetaa lause: Kahde peräkkäise parillise kokoaisluvu summa o aia jaollie luvulla 4. Esitetää lauseelle vastaesimerkki: + 4 = 6. Koska luku 6 ei ole jaollie luvulla 4, kahde peräkkäise parillise kokoaisluvu summa ei ole aia jaollie luvulla 4. Alkuperäie lause o epätosi.
49 0 Laaditaa lauseelle vastaesimerkki. Kuva elikulmio kolme kulma kulmapuolittajat eivät leikkaa samassa pisteessä. Koska lauseella o aiaki yksi vastaesimerkki, lause o epätosi.
50 a) Todistetaa lause. Olkoo ABCD leija, joka sivut AB ja AD ovat yhtä pitkät ja sivut CB ja CD ovat yhtä pitkät. Tällöi kärjet A ja C ovat jaa BD keskiormaalilla. Eli leija lävistäjät ovat aia kohtisuorassa toisiaa vastaa. Väite o tosi.
51 b) Laaditaa vastaesimerkki väitteelle. Neliö kaikki sivut ovat yhtä pitkät eli eliössä o paria yhtä pitkiä vierekkäisiä sivuja. Neliö o site leija. Neliö vastakkaiset sivut ovat kuiteki yhdesuutaiset. Ei pidä siis paikkaasa, että leija kaikki sivut ovat aia erisuutaiset. Väite o epätosi.
52 a) Todistetaa väite x y : xy = x eli kaikilla reaaliluvuilla x o olemassa joki y site, että xy = x. Olkoo x mikä tahasa reaaliluku. Valitaa y =. Jos luku x kerrotaa luvulla y (joka o ), tuloksea o luku x. Eli jos luvulla kerrotaa mikä tahasa reaaliluku, tuloksea o reaaliluku itse. Väite o tosi. b) Todistetaa väite y x : xy = x eli kaikilla reaaliluvuilla y o olemassa joki x site, että xy = x. Olkoo y mikä tahasa reaaliluku. Valitaa x = 0. Jos yt luku y kerrotaa luvulla x (joka o 0), tuloksea o luku x. Eli jos luvulla 0 kerrotaa mikä tahasa reaaliluku, tuloksea o 0. Väite o tosi.
53 b) Laaditaa vastaesimerkki väitteelle. Neliö kaikki sivut ovat yhtä pitkät eli eliössä o paria yhtä pitkiä vierekkäisiä sivuja. Neliö o site leija. Neliö vastakkaiset sivut ovat kuiteki yhdesuutaiset. Ei pidä siis paikkaasa, että leija kaikki sivut ovat aia erisuutaiset. Väite o epätosi.
54 3 a) Todistetaa väite x y: x+ y = x eli kaikilla reaaliluvuilla x o olemassa joki y site, että x+ y = x. Olkoo x mikä tahasa reaaliluku. Valitaa y = 0. Jos lukuu x lisätää luku y (joka o 0), tuloksea o luku x. Eli jos luku 0 lisätää mihi tahasa reaalilukuu, tuloksea o reaaliluku itse. Väite o tosi. b) Todistetaa väite y x: x+ y = x eli kaikilla reaaliluvuilla y o olemassa joki x site, että x+ y = x. Esitetää vastaesimerkki. Valitaa y =. Tällöi mikää luku x ei toteuta yhtälöä x+ = x. Väite o epätosi.
55 b) Laaditaa vastaesimerkki väitteelle. Neliö kaikki sivut ovat yhtä pitkät eli eliössä o paria yhtä pitkiä vierekkäisiä sivuja. Neliö o site leija. Neliö vastakkaiset sivut ovat kuiteki yhdesuutaiset. Ei pidä siis paikkaasa, että leija kaikki sivut ovat aia erisuutaiset. Väite o epätosi.
56 Tekijä Pitkä matematiikka Oletus Väite Todistus Lapsia o kahdeksa. Aiaki kaksi lasta o sytyyt samaa viikopäivää. Oletetaa vastoi väitettä, että kaikki lapset ovat sytyeet eri viikopäiviä. Koska viikopäiviä o seitsemä, lapsia voi olla eitää seitsemä. O osoitettu, että jos väite o epätosi, ii oletus o epätosi. Siis väite o tosi.
57 5 Oletus Väite Todistus Päivittäi sytyy oi lasta. Aiaki viisi lasta sytyy samalla sekuilla. Oletetaa vastoi väitettä, että eitää eljä lasta sytyy samalla sekuilla. Koska vuorokaudessa o = sekutia, vuorokaudessa voisi sytyä eitää = lasta. O osoitettu, että jos väite o epätosi, ii oletus o epätosi. Siis väite o tosi.
58 6 Oletus Kokoaisluvu eliö a o parito. Väite Todistus Kokoaisluku a o parito. Oletetaa vastoi väitettä, että kokoaisluku a o parillie. Tällöi o olemassa sellaie kokoaisluku, että a =. Lasketaa eliö a. a = ( ) = 4 = ( ) Koska luku o kokoaisluku, ii kokoaisluvu eliö a = ( ) o parillie. O osoitettu, että jos väite o epätosi, ii oletus o epätosi. Siis väite o tosi.
59 7 Oletus Väite Todistus Kokoaislukuje a ja b tulo ab o parillie. Aiaki toie luvuista a ja b o parillie. Oletetaa vastoi väitettä, että molemmat luvut a ja b ovat parittomia. Tällöi o olemassa sellaiset kokoaisluvut m ja, että a = m+ ja b= +. Lasketaa tulo ab. ab = (m + )( + ) = 4m + m + + = ( m + m + ) + Koska luku m + m + o kokoaisluku, ii kahde kokoaisluvu tulo ab = ( m + m + ) + o parito. O osoitettu, että jos väite o epätosi, ii oletus o epätosi. Siis väite o tosi.
60 8 Oletus Väite ABC o kolmio. Kolmiossa o eitää yksi kulma, joka o suurempi kui 90. Todistus Oletetaa vastoi väitettä, että aiaki kulmat A ja B ovat suurempia kui 90. Tällöi kulmie A ja B summa o suurempi kui = 80. Koska kolmio kulmie summa o aia 80, o päädytty ristiriitaa. Siis väite o tosi.
61 9 Oletus ABC o kolmio. C Väite Kulma α o suurempi kui 90. D Todistus Oletetaa vastoi väitettä, että kulma α o pieempi tai yhtä suuri kui 90. Koska kolmio kulmie summa o aia 80, tällöi kolmio ABD katakulmie summa o vähitää = 90. Koska kolmio ABD katakulmat ovat kolmio ABC katakulmie puolikkaita, kolmio ABC katakulmie (kaksi kulmaa) summa o vähitää 90 = 80. Koska kolmio kaikkie kulmie summa o aia 80, o päädytty ristiriitaa. Siis väite o tosi. A B
62 30 Oletus x o irratioaaliluku. Väite Todistus x o irratioaaliluku. Oletetaa vastoi väitettä, että x o ratioaaliluku. Tällöi o olemassa sellaiset kokoaisluvut m ja, että x = m. Lasketaa eliö x. x = m ( ) = m Koska m ja ovat kokoaislukuja, o x ratioaaliluku. O osoitettu, että jos väite o epätosi, ii oletus o epätosi. Siis x o irratioaaliluku.
63 3 Väite Luku 6 o irratioaaliluku. Todistus Oletetaa vastoi väitettä, että 6 o ratioaaliluku. Tällöi o olemassa sellaiset kokoaisluvut m ja ( 0), että 6 = m. Koska murtoluku ei eää supistu, eitää toie luvuista m ja o parillie. Tutkitaa luvu 6 eliötä. ( 6 ) = m ( ) 6 = m Ratkaistaa tästä yhtälöstä m. m = 6 = (3 ) Koska 3 o kokoaisluku, o m parillie kokoaisluku. Tällöi myös m o parillie kokoaisluku (todistettu esimerkissä ). Tällöi o olemassa sellaie kokoaisluku k, että m = k.
64 Saadaa: m = (3 ) ( k) = (3 ) 4k = (3 ) : k = 3. Nyt luku 3 o parillie. Tästä seuraa, että luku o välttämättä parillie (koska luku 3 o parito), ja samoi luvu o oltava parillie (Esimerkki ). O päädytty ristiriitaa, sillä edellä todettii, että eitää toie luvuista m ja o parillie. Siis luku 6 o irratioaaliluku.
65 3 Oletus Luku x o irratioaaliluku. Väite Luku x o irratioaaliluku. Todistus Oletetaa vastoi väitettä, että x o ratioaaliluku. Tällöi o olemassa sellaiset kokoaisluvut m ja ( 0), että x = m. Ratkaistaa x. x = m x = m : ) x = m x = m Laveetaa murtoluvut samaimisiksi. Koska m ja ovat kokoaislukuja, o x ratioaaliluku. O osoitettu, että jos väite o epätosi, ii oletus o epätosi. Siis väite o tosi.
66 33 Oletus Luku x o yhtälö 3 x = ratkaisu. Väite Todistus x o irratioaaliluku. Oletetaa vastoi väitettä, että x o ratioaaliluku. Tällöi o olemassa sellaiset kokoaisluvut m ja ( 0), että x = m. Koska 3 x = >, ii x > 0. Voidaa olettaa, että kokoaisluvut m ja ovat molemmat positiivisia. Saadaa: m 3 = m 3 = m 3 =. Korotetaa yhtälö molemmat puolet potessii. Luku 3 m o parito. Tämä voidaa johtaa tiedosta, että kahde parittoma luvu tulo o parito. Luku parillie, sillä = ( ) ja o kokoaisluku, jos o kokoaisluku. O päädytty ristiriitaa, sillä luku 3 m o parito ja o parillie. Siis x o irratioaaliluku.
67 34 Oletus Espoo väkiluku o oi Väite Todistus Aiaki kolmella espoolaisella o päässää yhtä mota hiusta. Oletetaa vastoi väitettä, että eitää kahdella espoolaisella o päässää yhtä mota hiusta. Koska ihmise päässä voi olla eitää oi hiusta, espoolaisia voi olla eitää = O osoitettu, että jos väite o epätosi, ii oletus o epätosi. Siis väite o tosi.
68 35 Oletus Väite Todistus Kokoaislukuje a ja b summa a + b o parito. Täsmällee toie luvuista a ja b o parito. ) Oletetaa vastoi väitettä, että luvuista a ja b molemmat ovat parillisia. Tällöi o olemassa sellaiset kokoaisluvut m ja, että a = m ja b =. a+ b= m+ = ( m+ ) Koska summa a + b o kokoaislukuje ja m + tulo, se o parillie. ) Oletetaa vastoi väitettä, että luvuista a ja b molemmat ovat parittomia. Tällöi o olemassa sellaiset kokoaisluvut m ja, että a = m + ja b = +. a+ b= (m+ ) + (+ ) = m+ + = ( m+ + ) Koska summa a + b o kokoaislukuje ja m + + tulo, se o parillie. 3) O osoitettu, että jos väite o epätosi, ii oletus o epätosi. Siis täsmällee toie luvuista a ja b o parito.
69 36 Oletus Kokoaisluvu eliö ei ole jaollie luvulla 9. Väite Kokoaisluku ei ole jaollie luvulla 3. Todistus Oletetaa vastoi väitettä, että kokoaisluku o jaollie luvulla 3. Tällöi o olemassa kokoaisluku a site, että = 3a. Muodostetaa eliö. = (3 a) = 3 a = 9a Huomataa, että kokoaisluvu eliö o jaollie luvulla 9. O osoitettu, että jos väite o epätosi, ii oletus o epätosi. Siis väite o tosi.
70 37 Väite Todistus Nelikulmiossa o eitää yksi kupera kulma. Oletetaa vastoi väitettä, että elikulmiossa o vähitää kaksi kuperaa kulmaa. Kupera kulma o kulma, joka o suurempi kui 80 ja pieempi kui 360. Tällöi kahde kupera kulma summa o välttämättä suurempi kui = 360. O päädytty ristiriitaa, sillä elikulmio kulmie summa o täsmällee 360. Siis väite o tosi.
71 38 Oletus Käytetää kuva merkitöjä. ABCD o puolisuuikas. Väite Kulma γ ei aia ole 90. Todistus Oletetaa vastoi väitettä, että kulma γ o aia 90. Koska kolmio ABE kulmie summa o 80, ii α + β = 90. Puolisuuikkaa ABCD katakulmie A ja B summa o ( α + β) = 90 = 80. Tästä seuraa, että myös sivut AD ja BC ovat yhdesuutaiset ja ABCD o suuikas. O päädytty ristiriitaa, sillä kaikki puolisuuikkaat eivät ole suuikkaita. Siis väite o tosi.
72 39 Oletus x o irratioaaliluku (x 0). Väite x o irratioaaliluku. Todistus Oletetaa vastoi väitettä, että x o ratioaaliluku. Tällöi x voidaa esittää muodossa m, jossa luvut m ja ovat kokoaislukuja (m 0 ja 0 ). Saadaa: = m x xm = x = m Kerrotaa ristii. Ratkaistaa x. Mutta tällöi x olisi ratioaaliluku, mikä o ristiriita. Siis väite o tosi.
73 40 Väite Luku 3 o irratioaaliluku. Todistus Oletetaa vastoi väitettä, että luku 3 o ratioaaliluku. Tällöi luku 3 voidaa esittää muodossa m, jossa luvut m ja ovat kokoaislukuja ja 0. Lisäksi tiedetää, että murtoluku m ei eää supistu. Tutkitaa luvu ( 3) = m ( ) 3 = m m = 3 3 eliötä. Ratkaistaa m. Koska m o kokoaislukuje 3 ja tulo, ii se o jaollie luvulla 3. Site myös luku m o jaollie luvulla 3. O siis olemassa sellaie kokoaisluku k, että m = 3k.
74 Saadaa m = 3 (3 k) = 3 9k = 3 Ratkaistaa. = 3 k. Site luvut ja ovat jaollisia luvulla 3. Eli molemmat kokoaisluvut m ja ovat jaollisia luvulla 3. Tämä o ristiriita, sillä aiemmi todettii, että murtoluku m ei eää supistu. Siis väite o tosi.
75 4 Oletus Luku x o yhtälö 5 x = 3 ratkaisu. Väite Todistus x o irratioaaliluku. Oletetaa vastoi väitettä, että x o ratioaaliluku. Tällöi o olemassa sellaiset kokoaisluvut m ja ( 0), että x = m. Koska 5 x = 3 >, ii x > 0. Voidaa olettaa, että kokoaisluvut m ja ovat molemmat positiivisia. Saadaa: m 5 = 3 m 5 = 3 m 5 =3. Korotetaa yhtälö molemmat puolet potessii. Luku 3 m o parito. Tämä voidaa johtaa tiedosta, että kahde parittoma luvu tulo o parito. Luku parillie, sillä = ( ) ja o kokoaisluku, jos o kokoaisluku. O päädytty ristiriitaa, sillä luku 5 m ei ole jaollie luvulla 3, mutta luku 3 o jaollie luvulla 3. Siis x o irratioaaliluku.
76 4 Oletetaa, että luku esittää muodossa m o ratioaaliluku. Tällöi luku voidaa, jossa luvut m ja ovat kokoaislukuja ja 0. Lisäksi tiedetää, että murtoluku m ei eää supistu. Saadaa: = m Kerrotaa ristii. = ( ) m = m m Ratkaistaa. + m = m ( + m) = m = m. m+ Saadu tulokse mukaa ristiriita. voidaa esittää murtolukua. Tämä o Eli luku o irratioaaliluku.
77 43 Oletus Luku x o irratioaaliluku. Väite Luku x o irratioaaliluku. x + Todistus Oletetaa vastoi väitettä, että luku x x + o ratioaaliluku. Tällöi luku x x + voidaa esittää muodossa m, jossa luvut m ja ovat kokoaislukuja ja 0. Lisäksi tiedetää, että murtoluku m ei eää supistu. Saadaa: x = m Kerrotaa ristii. x+ ( x+ ) m = ( x ) Lähdetää ratkaisemaa, mitä x o. xm + m = x xm x = m xm ( ) = ( m+ ) x = m+. m x o yt ratioaaliluku. Tämä o ristiriita, sillä oletukse mukaa x o irratioaaliluku. Väite o siis tosi.
78 44 a) Oletus a = 3 ja a = a, ku =, 3, 4,.... Väite a = + kaikilla =,, 3,.... Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi, ku =. a = 3 ja toisaalta a = + = 3. Väite o tosi, ku =. ) Iduktioaskel Osoitetaa, että jos a = +, ii a = Iduktio-oletus: a = + mielivaltaisella =,, Iduktioväite: a + + = +.
79 Iduktioväittee todistus: Sovelletaa rekursiokaavaa a = a jäseee a +. a = a - + ( + ) - = a - = ( + ) - + = = + Käytetää iduktio- oletusta a = +. Iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Väite o äi todistettu. b) Lukujoo 3. jäse eli a3 voidaa yt laskea lausekkeella a = +. 3 a 3 = + = 89 Vastaus: a 3 = 6385
80 45 a) Lähdetää taulukoimaa rekursiokaava avulla saatavia joo jäseiä. a = a a = 4 a = 4 = 8 3 a3 a a 4 a4 a = 4 = 4 (4 ) = 4 = 3 = 4 = 4 (4 ) = 4 = 8 a ( ) a = 4 = 4 (4 ) = 4 Todistetaa joo yleise jäsee lauseke a = 4 oikeaksi iduktiolla. Oletus a = ja a = 4 a, ku =, 3, 4,.... Väite a = 4 kaikilla =,, 3,.... Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi, ku =. 0 a = ja toisaalta a = 4 = 4 = =. Väite o tosi, ku =.
81 ) Iduktioaskel Osoitetaa, että jos a = 4, ii a = 4( ) + = 4. + Iduktio-oletus: a = 4 mielivaltaisella =,, Iduktioväite: a + = 4. Iduktioväittee todistus: Sovelletaa rekursiokaavaa a = 4 a jäseee a +. a = 4a + ( + ) - = 4 a - = 4 4 = 4 Käytetää iduktio-oletusta a = 4-. Iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Väite o äi todistettu.
82 b) Lukujoo 0. jäse eli a0 voidaa yt laskea lausekkeella a = a 0 = 4 = 4 = 5488 Vastaus: a 0 = 5488
83 46 Väite ( ) kaikil = la =,, 3,.... Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi, ku =. = = Väite o tosi, ku =. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus: = ( ) mielivaltaisella =,, Iduktioväite: ( + ) = (+) ( )
84 Iduktioväittee todistus: Muokataa iduktioväittee ( + ) = (+) ( ) puolta iduktio-oletukse perusteella ja sieveetää lauseketta (( + ) -) = (- ) + (( + ) -) ((( ((( iduktio-oletukse perusteella = + (+ -) = + + = ( + ) vaseta Iduktioväittee vase ja oikea puoli ovat samat, jote iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
85 47 Väite = 3 3 kaikilla =,,... Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi, ku =. + 3 = = 3 3 = 9 3 3= 3 Väite o tosi, ku =. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus: = 3 3 mielivaltaisella =,, Iduktioväite: = 3( + ) + 3
86 Iduktioväittee todistus: Muokataa iduktioväittee ( + ) = 3 3 vaseta puolta iduktio-oletukse perusteella = iduktio-oletukse perusteella + ) + = Laveetaa yhteelaskettavat samaimisiksi. + + = Yhdistetää termit 3 + ja 3 +. = = ) m m+ a a = a Iduktioväittee vase ja oikea puoli ovat samat, jote iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
87 48 Oletus Joo esimmäie jäse o a. Väite Joo yleie jäse o. Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi, ku =. a = a q a = a q a = a a = a 0 Väite o tosi, ku =. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus: a = aq mielivaltaisella =,, Iduktioväite: a + = aq = aq ( + )
88 Iduktioväittee todistus: Muokataa iduktioväittee a+ = aq vaseta puolta iduktio-oletukse perusteella. a+ = a q - aq idu tiooletu se perusteella - = aq q = aq Perä äiste jäsete suhdelu u o q. Iduktioväittee vase ja oikea puoli ovat samat, jote iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
89 49 Väite ( ) + kaikilla = 3, 4, 5,. Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi alkuarvolla eli ku = 3. ( ) Väite o tosi, ku = 3. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus: ( + ) mielivaltaisella = 3, 4, Iduktioväite: ( + ) ( + ) + ( )
90 Iduktioväittee todistus: Muokataa iduktioväittee vaseta puolta iduktio-oletukse perusteella. ( + ) = ( + + ) = + 4+ ( + ) idu tiooletu se perusteella ( + ) + 4+ = = >, u = ( + ) ( a + b) = a + ab + b Saatii ( + ) ( + ) = (( + ) + ). Iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
91 Tekijä Pitkä matematiikka Kirja. paioksessa o virhe a-kohda kysymyksessä. Kysymykse pitäisi olla Tutki, mistä kokoaisluvusta > lähtie epäyhtälö pätee. a) Tutkitaa sijoittamalla, mistä kokoaisluvusta > lähtie epäyhtälö pätee = 4 = 8 = 6 = 3 = 4 tosi 3 = 9 epätosi 4 = 6 tosi 5 = 5 tosi Epäyhtälö äyttää pätevä luvusta = 4 alkae. b) Väite Todistus o tosi kaikilla = 4, 5, 6,.... ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi alkuarvolla eli ku = Väite o tosi, ku = 4.
92 ) Iduktioaskel Iduktio-oletus: mielivaltaisella = 4, 5, Iduktioväite: + ( + ) Iduktioväittee todistus: Muokataa iduktioväittee vaseta puolta iduktio-oletukse perusteella. + = iduktiooletukse perusteella a = a a m+ m = + = + + > 3, ku 4 = >, ku = + ( ) Saatii + ( + ). Iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
93 5 Väite ( ab) = a b o tosi kaikilla =,, 3,.... Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi alkuarvolla eli ku =. ( ab) = ab = ab Väite o tosi, ku =. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus: ( ab) = ab mielivaltaisella =,, Iduktioväite: ( ab) = a b + + +
94 Iduktioväittee todistus: Muokataa iduktioväittee vaseta puolta iduktio-oletukse perusteella. + ( ab) = ab ( ab) = = a b idu tiooletu se perusteella ab a b = aa bb x = x x m+ m ryhmitellää uudellee x x = x m m+ = a b Saatii ( ab) = a b. Iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
95 5 Väite 7 4 o jaollie luvulla 3 kaikilla = 0,,,.... Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi alkuarvolla eli ku = = 4 = 3 = 3 ( ) Väite o tosi, ku = 0. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus: 7 4 o jaollie luvlla 3 mielivaltaisella = 0,,.... Eli o olemassa sellaie kokoaisluku s, että 7 4= 3s. Iduktioväite: o jaollie luvulla 3.
96 Iduktioväittee todistus: Iduktio-oletukse mukaa o olemassa sellaie kokoaisluku s, että 7 4= 3s. Site 7 = 4+ 3s. Sieveetää luku muotoo, josta ähdää, että se o jaollie luvulla = = 4+ 3s idu tiooletu se perusteella = 7 (4 + 3 s) -4 = s -4 = 7 3s = 3(7s + 4) = 3(7s + 8) x m+ m = x x Yhdistetää termit 7 4 ja -4. Erotetaa lu u 3 yhteise si te ijä si. Koska s o kokoaisluku, ii myös 7s + 8 o kokoaisluku. Site 7 4 o jaollie luvlla 3 Iduktioväite o tosi.. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
97 Tekijä Pitkä matematiikka Väite o jaollie luvulla 8 kaikilla = 0,,,.... Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi alkuarvolla eli ku = = + 7 = 8 Väite o tosi, ku = 0. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus: o jaollie luvulla 8 mielivaltaisella Z. Iduktioväite: o jaollie luvulla 8.
98 Iduktioväittee todistus: Iduktio-oletukse mukaa o olemassa sellaie kokoaisluku s, että 9 + 7= 8s. Site 9 = 8s 7. Sieveetää luku muotoo, josta ähdää, että se o jaollie luvulla = = 8s 7 iduktiooletukse perusteella a = a a m+ m = 9 (8s 7) + 7 = 9 8s = 98 s 87 Yhdistetää termit 9 7 ja 7. Erotetaa luku 8 yhteiseksi tekijäksi. = 8(9s 7) Koska s o kokoaisluku, ii myös 9s 7 o kokoaisluku. Site o jaollie luvulla 8. Iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
99 Tekijä Pitkä matematiikka Väite o parillie kaikilla = 0,,,.... Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi alkuarvolla eli ku = = 0 Luku 0 kuuluu parillisii lukuihi. Väite o tosi, ku = 0. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus: o parillie mielivaltaisella = 0,,.... Eli o olemassa sellaie kokoaisluku s, että = s. Iduktioväite: ( + ) ( + ) o parillie.
100 Iduktioväittee todistus: Iduktio-oletukse mukaa o olemassa sellaie kokoaisluku s, että = s. Site = + s. Sieveetää luku muotoo, josta ähdää, että se o parillie. ( + ) -( + ) = = + + s idu tiooletu se perusteella = + s+ = s+ = ( s + ) ( a + b) = a + ab + b Yhdistetää termit ja. Erotetaa lu u yhteise si te ijä si. Koska ja s ovat kokoaislukuja, ii myös s+ o kokoaisluku. Site o parillie luku. Iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
101 55 a) Oletus a = ja a = a + 3, ku =, 3, 4,.... Väite a = 4 3 kaikilla =,, 3,.... Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi, ku =. a = ja toisaalta a = 4 3 = 4 3 =. Väite o tosi, ku =. ) Iduktioaskel Osoitetaa, että jos a = 4 3, ii a = 4 ( + ) 3. + Iduktio-oletus: a = 4 3 mielivaltaisella =,, Iduktioväite: a ( + ) + = 4 3 = 4 3
102 Iduktioväittee todistus: Sovelletaa rekursiokaavaa a = a + 3 jäseee a +. a = a ( + ) - = a = 4-3 idu tiooletu se perusteella - = (4-3) + 3 = = 4 ( - ) + -3 = 4-3 Iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Väite o äi todistettu. b) Lukujoo 5. jäse eli a5 voidaa yt laskea lausekkeella a = a 5 = 4 3 = Vastaus: a 5 =
103 56 a) Lähdetää taulukoimaa rekursiokaava avulla saatavia joo jäseiä. a = 3 a = 4 a + 3= a 3 a 3 a 4 a 3 4 a 3... = 4 + 3= 4 (4 3+ 3) + 3= = 4 + 3= 4 ( ) + 3= a = 4 a + 3 = ( 4 ) 3( 4 ) = = (3 = ( 4 ) = Hyödyetää geometrise summa kaavaa. Todistetaa joo yleise jäsee lauseke a = 4 oikeaksi iduktiolla. Oletus a = 3 ja a = 4a + 3, ku =, 3, 4,.... Väite a = 4 kaikilla =,, 3,....
104 Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi, ku =. a = 3 ja toisaalta a = 4 = 4 = 3. Väite o tosi, ku =. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus: a = 4 mielivaltaisella =,, Iduktioväite: a =. Iduktioväittee todistus: Sovelletaa rekursiokaavaa a = 4a + 3 jäseee a +. a = 4a ( + ) - = 4 a 3 + = 4 - idu tiooletu se perusteella = 4 (4 - ) + 3 = = 4+ - Iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Väite o äi todistettu.
105 57 a) Väite ( ) = + 4 kaikilla =,, 3,... Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi, ku =. 3 ( + ) = 4 = 4 = 4 Väite o tosi, ku =. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus: ( ) = + 4 mielivaltaisella =,, Iduktioväite: ( + ) = = ( + ) (( + ) + ) 4 ( + ) ( + ) 4
106 Iduktioväittee todistus: Muokataa iduktioväittee vaseta puolta iduktio-oletukse perusteella ( + ) = (( ( ( + + ( + ) ( + ) 4 iduktio-oletukse perusteella 3 3 ( + ) = + ( + ) 4 = = = 4) 3 Erotetaa ( + ) yhteiseksi tekijäksi. (((+((( 3 ( + ) + 4( + ) ( ) ( 4( )) ( ) ( 4 ( + ) ( + ) = 4 + 4) Iduktioväittee vase ja oikea puoli ovat samat, jote iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
107 b) Laskettava summa o S00 S 99. S S S Vastaus: (00 + ) = = (99 + ) = = S =
108 58 Väite ( + )( + ) ( + ) = 3 kaikilla =,, 3,... Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi, ku =. ( + )( + ) = 3 = 3 = 3 Väite o tosi, ku =. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus: ( + )( + ) ( + ) = 3 mielivaltaisella =,, Iduktioväite: ( + ) (( + ) + ) ( + )(( + ) + )(( + ) + ) = 3
109 Iduktioväittee todistus: Muokataa iduktioväittee vaseta puolta iduktio-oletukse perusteella ja sieveetää lauseketta ( + ) (( + ) + ) = ( + ) + ( + ) (( + ) + ) ((( ( ((((( ( + )( + ) = 3 iduktio-oletukse perusteella ( + )( + ) 3) = + ( + )( + ) 3 ( + ) ( + ) + 3( + )( + ) Erotetaa (+)(+ ) = 3 yhteiseksi tekijäksi. = ( + )( + )( + 3) 3 Iduktioväittee vase ja oikea puoli ovat samat, jote iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
110 59 (4 ) Väite ( ) = 3 kaikilla =,, 3,... Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi, ku =. (4 ) = 3 = 3 = 3 Väite o tosi, ku =. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus: ( ) = 3 mielivaltaisella =,, (4 ) Iduktioväite: ( ) ( + ) ( + )(4( + ) ) = 3
111 Iduktioväittee todistus: Sieveetää esi oikea puole lauseketta. ( + )(4( + ) ) 3 ( + )(4( + + ) ) = 3 ( + )( ) = = =
112 Muokataa iduktioväittee vaseta puolta iduktio-oletukse perusteella ja sieveetää lauseketta. (4 -) 3 ( ) ( + ) ( ) (( + = (((( (((( iduktio-oletukse perusteella (4 -) = + ( + -) 3 (4 -) = + ( + ) 3 = = = 3) (4 - ) + 3(+ ) (4 4 ) )-) Iduktioväittee vase ja oikea puoli ovat samat, jote iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
113 60 Väite ( )... a + aq+ aq + + aq a q = q o tosi kaikilla =,, 3,... Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi, ku =. a( q ) a = q = a ( ( q) Väite o tosi, ku =. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus:... a + aq+ aq + + aq a q = mielivaltaisella =,, ( ) q Iduktioväite: ( ) ( + ) a q a aq aq aq = q
114 Iduktioväittee todistus: Muokataa iduktioväittee vaseta puolta iduktio-oletukse perusteella. a + aq+ aq aq ( + ) - = a + aq+ aq aq + aq (((( (((( - ( + ) - a ( - q ) - q = + a (-q ) = -q iduktio-oletukse perusteel l a aq ( (-q) a( - q ) + aq ( -q) = - q a- aq + aq -aq q = - q + a -aq a( -q = = - q - q + ) Erotetaa a yhteiseksi tekijäksi. Iduktioväittee vase ja oikea puoli ovat samat, jote iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
115 6 a) k = Väite k = ( + )(+ ) 6 kaikilla =,, 3,... Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi, ku =. ( + )( + ) = 6 = 6 = 6 Väite o tosi, ku =. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus: k = k ( + )(+ ) = 6 mielivaltaisella =,, Iduktioväite: + k = k ( + )(( + ) + )(( + ) + ) = 6
116 Iduktioväittee todistus: Sieveetää esi oikea puole lauseketta. ( + )(( + ) + )(( + ) + ) 6 ( + )( + )(+ 3) = 6 + = 3 ( )(+ 3) = = =
117 Muokataa iduktioväittee vaseta puolta iduktio-oletukse perusteella ja sieveetää lauseketta. + = + ( + ) = = ( + )(+ ) = 6 idu tio-oletu se perusteella ( + )(+ ) = + ( + ) 6 (6 = ( + )(+ ) + 6( + ) 6 = = = 6 ( + )( + ) + 6( + + ) Iduktioväittee vase ja oikea puoli ovat samat, jote iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
118 b) Lasketaa summie erotus: S0 S 9 S 0 0 (0 + ) ( 0 + ) = 6 = 870 S 9 9 (9 + ) ( 9 + ) = 6 = 85 S S = = Vastaus: 585
119 6 Väite ( a+ b) a + b kaikilla =,, 3,. Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi alkuarvolla eli ku =. ( a+ b) = a+ b = a + b Väite o tosi, ku =. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus: ( a+ b) a + b mielivaltaisella =,, Iduktioväite: ( a+ b) a + b + + +
120 Iduktioväittee todistus: Muokataa iduktioväittee vaseta puolta iduktio-oletukse perusteella. ( a+ b) + = ( a+ b)( a+ b) ( ( a + b iduktiooletukse perusteella ( a+ b)( a + b ) + + = a + ab ( + ba ( + b + + a + b 0, ku a ja b ovat positiivisia kokoaislukj u a Saatii ( a+ b) + a + + b +. Iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
121 63 a a b b Väite ( ) = kaikilla =,, 3,. Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi alkuarvolla eli ku =. a ( ) b = = a b a b Väite o tosi, ku =. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus: a ( ) = a b b mielivaltaisella =,, Iduktioväite: + a + ( ) = a b b+
122 Iduktioväittee todistus: Muokataa iduktioväittee vaseta puolta iduktio-oletukse perusteella. + a a a = b b b a a = b b a a = b b a = b a = b idu tiooletu se perusteella + + Iduktioväittee vase puoli ja oikea puoli ovat samat. Iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
123 64 Väite! > kaikilla 4. Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi alkuarvolla eli ku = 4. 4! = 4 3 = 4 4 = 6 Väite o tosi, ku = 4. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus:! > mielivaltaisella = 4, 5, Iduktioväite: ( + )! > +
124 Iduktioväittee todistus: Muokataa iduktioväittee vaseta puolta iduktio-oletukse ja kertoma määrittely perusteella. ( + )! = ( + ) ( -)... ((( ((( = ( + )! >, u 4, u 4 idu tiooletu se perusteella ( + ) = + =! Iduktioväittee vase puoli ja oikea puoli ovat samat. Iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
125 65 Väite Luvu 6 viimeie umero o 6 kaikilla =,, 3,... Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi alkuarvolla eli ku =. 6 = 6 Väite o tosi, ku =. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus: Luvu 6 viimeie umero o 6 mielivaltaisella =,, 3... eli luku 6 voidaa kirjoittaa muodossa 0s + 6, missä s o kokoaisluku. Iduktioväite: Luvu 6 + viimeie umero o 6.
126 Iduktioväittee todistus: Muokataa iduktioväitettä iduktio-oletukse perusteella. + 6 = 6 6 = 0s+ 6 idu tiooletu se perusteella = 6 (0s + 6) = 60s + 36 = 60 ( s + ( Erotetaa 0 yhteise si te ijä si. = 0 (6s + 3) + 6 Saatii 6 + = 0 (6s + 3) + 6, jossa luku 6s + 3 o kokoaisluku, ku s o kokoaisluku. Iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
127 66 Väite 3 + o jaollie luvulla 3 kaikilla = 0,,,.... Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi alkuarvolla eli ku = = 0 Luku 0 o jaollie luvulla 3. Väite o tosi, ku = 0. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus: 3 + o jaollie luvulla 3 mielivaltaisella = 0,,.... Eli o olemassa sellaie kokoaisluku s, että 3 + = 3s. Iduktioväite: ( + ) 3 + ( + ) o jaollie luvulla 3
128 Iduktioväittee todistus: Sieveetää luku ( + ) 3 + ( + ) muotoo, josta ähdää, että se o jaollie luvulla ( + ) + ( + ) = = ( + ( = 3s iduktiooletukse perusteella = 3 (( (( s Erotetaa luku 3 yhteiseksi tekijäksi. = 3( s+ + + ) Luku 3( s+ + + ) o jaollie luvulla 3, ku s+ + + o kokoaisluku. Iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
129 67 Väite Todistus Origo kautta kulkevat eri suoraa jakavat taso osaa. ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi alkuarvolla eli ku =. Yksi suora jakaa taso kahtee osaa. Väite o tosi, ku =. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus: Origo kautta kulkevat eri suoraa jakavat taso osaa mielivaltaisella =,, Iduktioväite: Origo kautta kulkevat + eri suoraa jakavat taso ( + ) osaa.
130 Iduktioväittee todistus: Iduktio-oletukse mukaa origo kautta kulkevat eri suoraa jakavat taso osaa.
131 Ku tähä lisätää uusi origo kautta kulkeva suora +, se jakaa kaksi olemassa olevaa taso osaa molemmat kahtee osaa (alkuaskelee perusteella). Eli taso o tämä jälkee jakautuut + = ( + ) osaa. Iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
132 68 Väite o kokoaisluku kaikilla =,, 3,... 6 Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi, ku = = 6= 6 6 Väite o tosi, ku =. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus: mielivaltaisella =,, Eli + 5 = s, ku s o kokoaisluku. 6 Iduktioväite: ( + ) 3 + 5( + ) 6 o kokoaisluku.
133 Iduktioväittee todistus: 3 Iduktio-oletukse perusteella + 5 = s, ku s 6 o kokoaisluku. Tästä saadaa = 6s eli o jaollie luvulla 6. Muokataa iduktioväitettä iduktio-oletukse perusteella ja sieveetää lauseketta. 3 3 ( + ) + 5( + ) = = 6 s iduktio- Erotetaa 3 oletukse yhteiseksi perusteella tekijäks i. + ( + ( = s+ 3 ( + ) + 6 = 6 Luku 6s+ 3 ( + ) + 6 o jaollie luvulla 6, sillä yhteelaskettavat 6s, 3( + ) ja 6 ovat jaollisia luvulla 6. Luvu 3( + ) tekijöistä tai + o parillie ja site luku 3( + ) o jaollie luvulla 6. Iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
134 69 a) Väite ( ) + x + x, missä x >, o tosi kaikilla = 0,,,. Todistus ) Alkuaskel Osoitetaa väite todeksi alkuarvolla eli ku = 0. 0 ( + x) = + 0 x = Väite o tosi, ku = 0. ) Iduktioaskel Iduktio-oletus: ( + x) + x, missä x >, o tosi mielivaltaisella = 0,,.... Iduktioväite: + + x + ( + ) x( missä x > ). ( )
135 Iduktioväittee todistus: Muokataa iduktioväittee vaseta puolta iduktio-oletukse perusteella. ( ) + + x = ( + x) ( + x) ( ( + x idu tiooletu se perusteella ( + x) ( + x) = + x + x + x Erotetaa x 0 yhteise si te ijä si. + ( + ) x Saatii ( + x) + + ( + ) x. Iduktioväite o tosi. O todistettu alkuaskel ja iduktioaskel. Alkuperäie väite o äi todistettu.
136 b) Väite ( ) 3 +, kaikilla = 0,,, Nähdää, että epäyhtälö o Beroulli epäyhtälö, jossa x =. Todistus Kirjoitetaa epäyhtälö muotoo ( ) Koska Beroulli epäyhtälö pätee, aia ku x > ja N, epäyhtälö ( ) 3 + pätee.
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 3 1 Lisää iduktiota Jatketaa iduktio tarkastelua esimerki avulla. Yritetää löytää kaava : esimmäise (positiivise) parittoma luvu summalle eli summalle 1 + 3 + 5 + 7 +...
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa
LisätiedotRATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan
RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa
LisätiedotTehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta
Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:
Lisätiedot2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x =
TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. a) g( ) = 5 + 6 Koska g o eljäe astee polyomi, ii
LisätiedotEpäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin
Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k =
Diskreeti Matematiika Paja Ratkaisuja viikolle 4. (7.4-8.4) Jeremias Berg. Osoita iduktiolla että k = ( + ) Ratkaisu: Kute kaikissa iduktiotodistuksissa meidä täytyy siis osoittaa asiaa. Ns. perustapaus,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kertauslueto. välikokeesee Algebraa Tämäkertaie kurssimoiste sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Syyä tähä o se, että matematiikkaa oppii parhaite itse tekemällä ja laskemalla.
Lisätiedot3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.
Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja 1. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x + 1. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x
LisätiedotMatematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät
Matematiika tukikurssi Kertausta. välikokeesee Tehtävät Algebraa Tämä kappale sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Suurimpaa osaa tehtävistä löytyy ratkaisut lopusta. Syyä rusaasee tehtävämäärää o, että
Lisätiedot1 Eksponenttifunktion määritelmä
Ekspoettifuktio määritelmä Selvitimme aikaisemmi tällä kurssilla, millaie potessisarja säilyy derivoiissa muuttumattomaa. Se perusteella määritellää: Määritelmä. Ekspoettifuktio exp : R R määritellää lausekkeella
Lisätiedot33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut
33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 1. Kutsutaan (eri) positiivisten kokonaislukujen joukkoa merkitykselliseksi, jos sen jokaisen äärellisen epätyhjän osajoukon aritmeettinen ja geometrinen
Lisätiedota) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.
Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.
LisätiedotTehtävä 1. Voidaanko seuraavat luvut esittää kahden neliön summina? Jos voidaan, niin kuinka monella eri tavalla? (i) n = 145 (ii) n = 770.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 0, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Voidaako seuraavat luvut esittää kahde eliö summia? Jos voidaa, ii kuika moella eri tavalla? (i) = 45 (ii) = 770. Ratkaisu. (i) Jaetaa
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)
Algebra I Matematiika ja tilastotietee laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksii 5 (6 sivua) 14.2. 17.2.2011 1. Määritellää kuvaus f : S 3 S 3, f(α) = (123) α. Osoita, että f o bijektio. Mikä o se kääteiskuvaukse
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
LisätiedotKertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja.
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Aalyysi I Harjoitus 5. 0. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia ( sivua) (Rami Luisto) Laskuharjoituksista saa pistettä, jos laskettu vähitää 50 tehtävää; 3 pistettä,
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Mite opit parhaite? Valmistaudu pitkä- tai lyhye matematiika kirjoituksii ilmaiseksi Mafyetti-ohjelmalla! Harjoittelu tehdää aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5
Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =
Lisätiedot1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1
Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +
Lisätiedot3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.
Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x +. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x < 9. Itse
Lisätiedot( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.
Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä
Lisätiedot3 10 ei ole rationaaliluku.
Harjoitukset / 011 RATKAISUT Lukuteoria 1. Etsi Eratostheee seulalla samatie kaikki lukua 400 pieemmät alkuluvut. (Tai ohjelmoi tietokoeesi etsimää paljo lisää.) Kirjoita rivii kaikki luvut 1-00. Poista
Lisätiedot3 Lukujonot matemaattisena mallina
3 Lukujoot matemaattisea mallia 3. Aritmeettie ja geometrie joo 64. a) Lukujoo o aritmeettie joo, joka yleie jäse o a 3 ( ) 4 34 4 4 b) Lukujoo o geometrie joo, joka yleie jäse o c) Lukujoo o geometrie
LisätiedotTilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B
Tilastollie päättely II, kevät 7 Harjoitus 3B Heikki Korpela 3. maaliskuuta 7 Tehtävä. Jatkoa harjoitukse B tehtävii -3. Oletetaa, että x i c kaikilla i, ku c > o vakio. Näytä, että ˆβ, T ja T ovat tarketuvia.
LisätiedotTekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2
Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen
LisätiedotAnalyysi A. Harjoitustehtäviä lukuun 1 / kevät 2018
Aalyysi A Harjoitustehtäviä lukuu / kevät 208 Ellei toisi maiita, tehtävissä esiityvät muuttujat ja vakiot ovat mielivaltaisia reaalilukuja.. Aa joki ylä- ja alaraja joukoille { x R x 2 + x 6 ja B = {
LisätiedotEpäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin
Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie 1999 Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a 1,a,...,a ja b 1,b,...,b pätee Cauchy epäyhtälö (a 1 b 1 + a
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotInsinöörimatematiikka IA
Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Lisätiedot2.3.1. Aritmeettinen jono
.3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo
LisätiedotVuosien Baltian tie -kilpailutehtävien ratkaisuja
f Vuosie 000 08 Baltia tie -kilpailutehtävie ratkaisuja 00.. Koska (x+y+z) =(x+y+z)(x +y +z +xy+xz+yz) =x +y +z +xy + x y+y z+yz +x z+xz +6xyz, havaitaa, ettäkutehtävä yhtälöide vasemmista puolista kaksi
Lisätiedot102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja
LisätiedotJuuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.
Lisätiedot0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin
LisätiedotMatematiikan olympiavalmennus 2015 helmikuun helpommat
Matematiikan olympiavalmennus 05 helmikuun helpommat tehtävät Ratkaisuja. Määritä kolmiot, joiden kulmille α, β, γ pätee cos α cos β +sinαsin β sin γ =. Ratkaisu. Koska 0 < sin γ, täytyy olla cos(α β)
LisätiedotLukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015
Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä
LisätiedotJuuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,
LisätiedotJuuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman
LisätiedotLaajennetaan lukualuetta lisäämällä murtoluvut
91 5 KOMPLEKSILUVUT 5.1 LUKUALUEEN LAAJENNUS Luoolliset luvut N : 1,, 3,... Määritelty - yhteelasku ab N, ku a, b N - kertolasku ab N, ku a, b N Kysymys: Löytyykö aia sellaie x N, että ax b, ku a, b N
LisätiedotHarjoitustehtävät, syyskuu Helpommat
Harjoitustehtävät, syyskuu 2011. Helpommat Ratkaisuja 1. Ratkaise yhtälö a a + x = x. Ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö reaalilukujen joukossa. Jos yhtälöllä onratkaisux, niin x 0. Jos a =0,yhtälöllä onratkaisux
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)
LisätiedotLaudatur 13. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi MAA 13. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Opettajan aineisto
Laudatur Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Otteli Leea Walli-Jaakkola Opettaja aieisto Helsigissä Kustausosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirja tehtävii... Kokeita...7
Lisätiedotxe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x)
BM20A580 Differetiaalilasketa ja sovellukset Harjoitus 3, Syksy 206. Laske seuraavat itegraalit si(4t + )dt (b) x(x 2 + 00) 000 dx (c) x exp(ix )dx 2. Mitä o y, ku (x ) 2 + y 2 = 2 2, etäpä y? Vastaukset
Lisätiedot302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360
Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 01 a) Ainakin yksi kulma yli 180. 0 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 ) 180 = 60. a) 90 + 190 = 80 < 60, joten nelikulmio on olemassa. Hamotellaan kuvaaja, joon
Lisätiedot3 Yhtälöryhmä ja pistetulo
Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5..06 Yhtälöryhmä ja pistetulo Ennakkotehtävät. z = x y, x y + z = 6 ja 4x + y + z = Sijoitetaan z = x y muihin yhtälöihin. x y + x y =
Lisätiedot! 7! = N! x 8. x x 4 x + 1 = 6.
9. 10. 2008 1. Pinnalta punaiseksi maalattu 3 3 3-kuutio jaetaan 27:ksi samankokoiseksi kuutioksi. Mikä osuus 27 pikkukuution kokonaispinta-alasta on punaiseksi maalattu? 2. Positiivisen kokonaisluvun
Lisätiedot3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p
MAA9 Koe.5.0 Jussi Tyi Tee koseptii pisteytysruudukko! Muista kirjata imesi ja ryhmäsi. Valitse kuusi tehtävää!. a) Ratkaise yhtälö si x. Ilmoita vastaus radiaaeia! b) Määritä paljoko o cos. Ilmoita tarkka
LisätiedotMAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste
MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste Tason ja avaruuden vektorit 1. Olkoon A(, -, 4) ja B(5, -1, -3). a) Muodosta pisteen A paikkavektori. b) Muodosta vektori AB. c) Laske vektorin AB pituus.
Lisätiedot203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotRATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.
RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion
LisätiedotTodistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
LisätiedotTekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
LisätiedotTasokuvioita. Monikulmio: Umpinainen eli suljettu, itseään leikkaamaton murtoviivan rajaama tason osa on monikulmio. B
Tasokuvioita GOMTRI M3 Murtoviiva: Sanotaan, että kaksi janaa on liitetty toisiinsa, jos niiden toinen päätypiste on sama. Peräkkäin toisiinsa liitettyjen janojen muodostamaa viivaa kutsutaan murtoviivaksi,
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu
83A Tietoraketeet ja algoritmit 06-07, Harjoitus ratkaisu Harjoitukse aiheea o algoritmie oikeellisuus. Tehtävä. Kahvipurkkiogelma. Kahvipurkissa P o valkoisia ja mustia kahvipapuja, yhteesä vähitää kaksi
LisätiedotHavainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.
Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause
LisätiedotLIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3
LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi
LisätiedotLaudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin
Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,
LisätiedotNoora Nieminen. Hölderin epäyhtälö
Noora Niemie Hölderi epäyhtälö Matematiika aie Turu yliopisto 4. huhtikuuta 2008 Sisältö 1 Johdato 1 2 Cauchy-Schwarzi epäyhtälö 2 2.1 Cauchy-Schwarzi epäyhtälö todistus............. 2 2.2 Aritmeettis-geometrise
Lisätiedot1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.
ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.
LisätiedotMATA172 Sami Yrjänheikki Harjoitus Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki!
MATA17 Sami Yrjäheikki Harjoitus 7 1.1.018 Tehtävä 1 Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki! (a) Jokaie jatkuva fuktio f : R R o tasaisesti jatkuva. (b) Jokaie jatkuva fuktio f : [0, 1[ R
LisätiedotKansainväliset matematiikkaolympialaiset 2013
Kasaiväliset matematiikkaolympialaiset 013 Tehtävie ratkaisuja 1. Todista, että jokaista positiiviste kokoaislukuje paria k ja kohdeoolemassak sellaista positiivista kokoaislukua m 1,m,..., m k,jotkaeivät
Lisätiedot****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.
8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi
LisätiedotT Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen
T-1.1 Datasta tietoo, syksy 5 Laskuharjoitus.1., ratkaisuja Joui Seppäe 1. Simuloidaa tasoittaista algoritmia. Esimmäisessä vaiheessa ehdokkaia ovat kaikki yhde muuttuja joukot {a}, {b}, {c} ja {d}. Aaltosulkeide
LisätiedotPyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien
Lisätiedot0. 10. 017 a b c d 1. + +. + +. + + 4. + + + 5. + 6. + P1. Lehtipuiden lukumäärä olkoon aluksi n, jolloin havupuiden määrä on 1,4n. Hakkuiden jälkeen lehtipuiden määrä putoaa lukuun n 0,1n = 0,88n ja havupuiden
Lisätiedot5 TASOGEOMETRIA. ALOITA PERUSTEISTA 190A. Muunnetaan 23,5 m eri yksiköihin. 23,5 m = 235 dm = 2350 cm = mm ja 23,5 m = 0,0235 km
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 30.7.018 5 TASOGEOMETRIA ALOITA PERUSTEISTA 190A. Muunnetaan 3,5 m eri yksiköihin. 3,5 m = 35 dm = 350 cm = 3 500 mm ja 3,5 m = 0,035
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotJokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.
3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä
Lisätiedot4 Matemaattinen induktio
4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
Lisätiedot1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400
Lisätiedot9 Lukumäärien laskemisesta
9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta
LisätiedotÄärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims
75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva
Lisätiedot3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
LisätiedotPistetulo eli skalaaritulo
Pistetulo eli skalaaritulo VEKTORIT, MAA4 Pistetulo on kahden vektorin välinen tulo. Tarkastellaan ensin kahden vektorin välistä kulmaa. Vektorien a ja, kun a 0, välinen kulma on (kuva) kovera kun a vektorit
LisätiedotHilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen
Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
Lisätiedot(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
LisätiedotTehtävien ratkaisut
Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta
Lisätiedot2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt
Eksoettifuktio ja -htälöt Eksoettifuktio ja eksoettihtälöt Ku otessi käsitettä laajeetaa sallimalla eksoetille muitaki arvoja kui kokoaislukuja, tämä taahtuu ii, että ii saotut otessikaavat ovat voimassa,
LisätiedotC. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %
1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
Lisätiedot