LISÄTEHTÄVÄT. Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto Piirretään suorat. Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt. y x ja a) b) y x.

Save this PDF as:
Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "LISÄTEHTÄVÄT. Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto Piirretään suorat. Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt. y x ja a) b) y x."

Transkriptio

1 LISÄTEHTÄVÄT Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt 0. a) b) y 7 x 4 0 y x 0 y7 x 4 : y x y,5 x c) d) 5x 8y 5 8y 5x5 :( 8) 7y 5x 7y 5x : y x y x Piirretään suorat y x 0 y x ja x y 0 y x Leikkauspiste (, ) y = x y = x y =,5x y = x y 5 x 7 7. a) Vastaus: Leikkauspiste on (, ). y 5 x y = x + 5 y = x + y = x y = x y = x 4 Suorat ovat yhdensuuntaisia. KERTOMA 6! MAB6 47 LISÄTEHTÄVÄT

2 b). Piirretään mallikuva: y = x y = x y = 0,5x y = 0,5x y = x y = x y = kx + 0 Kaikki suorat kulkevat pisteen (0, ) kautta. c) y = x + y = x + y = 0,5x + 0,5 y = 0,5x 0,5 y = x y = x Kaikki suorat kulkevat pisteen (, 0) kautta. Kolmio on suorakulmainen ja sen korkeus on 0 ja kannan pituus on suoran nollakohdan ja nollan erotus. Suoran nollakohta: kx 0 0 kx 0 : k 0 x k Kolmion pinta-alan pitää olla 5, joten saadaan yhtälö, josta ratkaistaan kulmakertoimen k arvo. 0 0 k k k Kun k =, niin suora on y = x + 0. KERTOMA 6! MAB6 48 LISÄTEHTÄVÄT

3 Suoran nollakohta on tällöin: 0 x 0 x 0 x 5 Kolmion kanta on 5 ja kolmion pinta-ala on kanta korkeus 50 A 5 Sama kolmio muodostuu, toiselle puolelle, jos kulmakerroin on. (ks. kuva alla) Kun k =, niin suora on y = x + 0 Suoran nollakohta on tällöin: 0 x 0 x 0 x 5 Kolmion kanta on 5 ja kolmion pinta-ala on kanta korkeus 50 A 5 Yhtälöryhmät 4. a) y x 4 x Algebrallisesti: Sijoitetaan x = : y ( ) 4 4 x Vastaus: y 4 Graafisesti: Piirretään suorat ja määritetään niiden leikkauspiste. x = y x 4 y = x + 0 y = x + 0 Leikkauspiste ( ; 0,5) Leikkauspiste on ( ; 0,5). Vastaus: k = tai k = Vastaus: x ja y 0,5 KERTOMA 6! MAB6 49 LISÄTEHTÄVÄT

4 b) y x 4 x 5x Algebrallisesti: Ratkaistaan alemmasta yhtälöstä x. x 5x x5x 4x x 4 9 Sijoitetaan x ylempään: y ( ) c) y x y 4 Algebrallisesti: Sijoitetaan alempi yhtälö ylempään x 4 x x ja y x ( ) 4 tai x ja y x 4 Vastaus: x = ja y = 4 tai x = ja y = 4. Vastaus: x 4 9 y 6 Graafisesti: Piirretään kuvaajat y = x Graafisesti: Piirretään suorat ja määritetään niiden leikkauspiste. x 4 Leikkauspiste (, 4) Leikkauspiste (, 4) y = 4 Leikkauspiste ( 0,;,) y x 4 Leikkauspiste on ( 0,;,). Vastaus: x 0, ja y, Leikkauspisteet (, 4) ja (, 4) Vastaus: x = ja y = 4 tai x = ja y = 4. KERTOMA 6! MAB6 50 LISÄTEHTÄVÄT

5 5. On määritettävä vakio a siten, että suorilla y = x + a ja y = ax + on yhteinen piste (, 4). Suorilla on yhteinen piste, jos (, 4) on molempien suorien piste. Sijoitetaan piste (, 4) ensimmäisen suoran yhtälöön y = x + a: + a = 4, josta saadaan a = 0. Tällöin toinen suora on y = ax + = 0 x + = 0 + =, joka ei kulje pisteen (,4) kautta. Ei ole olemassa sellaista lukua a, että suorat kulkisivat pisteen (, 4) kautta samanaikaisesti. Vastaus: Suorilla ei ole yhteisenä pisteenä (, 4) millään a:n arvolla. 6. Määritetään kuvassa esiintyvien suorien yhtälöt. Laskeva (sininen) suora leikkaa y-akselin, kun y = 4 ja suoran kulmakerroin on,5 eli suoran yhtälö on y =,5x + 4. Muodostetaan kysytty yhtälöpari ja ratkaistaan se. y x y,5x 4 x,5x4 4,5x : 4,5 x 7 y x Vastaus: y (Tai etsitään kaksi suoran pistettä esim. (0, 4) ja (, ) ja lasketaan y y kulmakerroin: k,5) x x 0 Nouseva (musta)suora leikkaa y-akselin, kun y = ja suoran kulmakerroin on eli suoran yhtälö on y = x +. (Tai etsitään kaksi suoran pistettä esim. (0, ) ja (, ) ja lasketaan y y kulmakerroin: k ) x x 0 KERTOMA 6! MAB6 5 LISÄTEHTÄVÄT

6 Lineaariset epäyhtälöt 7. y x y 0 x x 0 y x y Muokataan epäyhtälöryhmä muotoon x x. Piirretään rajasuorat koordinaatistoon (katkoviivoilla, koska ne eivät kuulu ratkaisualueeseen). y = x = x = (, ) (, ) y = x y = x = x = 8. Lasketaan suorien leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa. Suora 00x + 400y = 00 (eli y = 0,75x + ) x akseli (sijoitetaan y = 0) 00 x 00 :00 x 4 y akseli (sijoitetaan x = 0) 400 y 00 :400 y Suora 500x + 000y = 000 (eli y = 0,5x + ) x akseli (sijoitetaan y = 0) 500 x 000 :500 x 6 y akseli (sijoitetaan x = 0) 000 y 000 :000 y Piirretään suorat ja väritetään kysytty alue: y = x Tutkitaan testipisteellä, onko väritetty tasoalue oikea. Valitaan testipisteeksi alueen piste (,5; ): >,5 tosi,5 > 0 tosi,5 < tosi,5 > 0 tosi x = 0 y = 0,5x + y = 0 y = 0,75x + KERTOMA 6! MAB6 5 LISÄTEHTÄVÄT

7 9. Suorat: B Vasemmanpuoleinen leikkaa y-akselin kohdassa 0 ja oikeanpuoleinen kohdassa 0. Suorien yhtälöt ovat täten y x0 ja y x 0. a) Nousevat suorat ovat yhdensuuntaiset ja niiden kulmakerroin on 0,5. (Tai lasketaan esim. ylemmän punaisen suoran kulmakerroin kahden pisteen (0, 8) ja (4, 0) avulla: y y 0 8 k 0,5 ) x x 40 4 Ylempi leikkaa y-akselin kohdassa 8 ja alempi kohdassa 5. Suorien yhtälöt ovat täten y x8ja y x 5. Laskevat suorat ovat yhdensuuntaiset ja niiden kulmakerroin on. (Tai lasketaan esim. vasemmanpuoleisimman suoran kulmakerroin kahden pisteen ( 4, ) ja (0, 0) avulla: y y 0 ( ) 8 k ) x x 0 ( 4) 4 A D C Valitaan tasoalueen piste (0, 0) testipisteeksi ja tutkitaan suorilla: Kirjoitetaan epäyhtälöryhmä ja koska rajoitesuorat kuuluvat, niin yhtäsuuruus otetaan mukaan. y x 8 y x 5 y x 0 y x 0 y x 8 Vastaus: y x 5 y x 0 y x 0 KERTOMA 6! MAB6 5 LISÄTEHTÄVÄT

8 b) Lasketaan suorien leikkauspisteet A: B: y x 8 y x 8 y x0 y x0 x8x0 x 8x0 x6 4x0 x6 4x0 5x 6 :5 5x 4 :5 6 4 x x y 0 y Leikkauspiste: Leikkauspiste: 6 4 4, ( 7,;4,4) 5 5, (0,8;8, 4) 5 5 C: D: y x 5 y x 5 y x0 y x0 x5x0 x5x0 x0 4x0 x0 4x0 5x 0 :5 5x 0 :5 x 6 x y 6 0 y ( ) 06 Leikkauspiste: (6, ) Leikkauspiste: (, 6) Pinta-ala: Kuvio on muodoltaan suorakulmio, koska suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaa. (kulmakertoimien tulo on koska 0,5 ( ) =.) Lasketaan kannan CD ja korkeuden BC pituus CD (6 ( )) ( ( 6) 80 6 ( ) BC Pinta-ala: 676 A Vastaus: Kärkipisteet ovat A = 04.,,,,(, 6),(6, ) ja Merkitään tennareiden määrää x:llä ja laukkujen määrää y:llä. Tennareihin kuluu kumia 0,5x kg ja kangasta 0,08x. Laukkuihin kuluu kumia 0,06y kg ja kangasta 0,y. Kumia oli käytössä 500 kg ja kangasta 000 kg Saadaan rajoitteet 0,5 x 0,06 y 500 0,08 x 0, y 000 Lukumäärät ovat ei-negatiivisia, joten x 0 y 0. Hahmotellaan ratkaisu koordinaatistoon ja päätellään alueen kärkipisteistä suurimmat valmistusmäärät: Rajoitesuorien 0,5 x 0,06 y 500 0,08 x 0, y 000 leikkauspisteet akselien kanssa: KERTOMA 6! MAB6 54 LISÄTEHTÄVÄT

9 y-akseli (x = 0): 0, 06 y 500 :0,06 y 5000 ja 0, y 000 :0, y 0000 x-akseli (y = 0): 0,5 x 500 x 0000 ja 0, 08 x 000 x 5000 Eniten molempia valmistetaan suorien 0,5 x 0,06 y 500 0,08 x 0, y 000 leikkauspisteessä. Ratkaistaan yhtälöpari: 0,5x 0,06y 500 0, 08 0, 08x 0, y 000 ( 0,5) 0,0x0,0048y 0 0,0x 0,0y 00 0, 05y 80 : 0,05 y 74,8574 Sijoitetaan alempaan 0,08 x 0,74, ,08 x 57,48574 :0,08 x 74,8574 Molempia voidaan valmistaa 7 4 kappaletta eli noin 7 00 kappaletta. Lineaarinen optimointi. Hillomunkit: x, pasteijat: y, tuotto,5x + y. Rajoite-epäyhtälöt x 0 y 0 x 00 y 400 x y 500 x y Piirretään rajoitesuorat. x 0 y 0 x 00 y 400 y x500 y x Vastaus: Rajoite-epäyhtälöt: 0,5x + 0,06y 500, 0,08x + 0,y 00, x 0 ja y 0. Molempia voidaan valmistaa noin 7 00 kappaletta. KERTOMA 6! MAB6 55 LISÄTEHTÄVÄT

10 Valitaan testipiste (00,00) 00 0 tosi 00 0 tosi tosi tosi tosi tosi Testipiste on tosi kaikilla epäyhtälöillä, joten tasoalue on kuvaan rajattu alue. Lasketaan alueen kärkipisteet ja määritetään optimoitavan lausekkeen,5x + y arvo kärkipisteissä. (0, 0) on suorien x = 0 ja y = 0 leikkauspiste. (00, 0) on suorien x = 00 ja y = 0 leikkauspiste. Lasketaan suorien x = 00 ja y = x leikkauspiste: x 00 y x 500 y (00, 00) Lasketaan suorien y = x ja y = x leikkauspiste: y x y x 500 x x 500 x 500 : x 66,666 y 66,666, (66,67;,) Tuotteita valmistetaan kappalemäärä, joten tutkitaan toteuttaako kokonaislukupiste (67, ) epäyhtälöt: 67 0 tosi 0 tosi tosi 400 tosi tosi 67 66,5 tosi Lasketaan arvot Kärkipisteet,5x + y (0,0) 0 (00,0),5 00 = 450 (00, 00), = 650 suurin (67, ), = 58,5 Kun valmistetaan 00 kpl hillomunkkeja ja 00 kpl pasteijoita, saadaan tuotolle suurin arvo 650 euroa. Vastaus: Tuottoa voidaan saada 650 euroa.. Mansikoita viljellään x neliömetriä sataa neliötä kohden ja perunoita y neliömetriä sataa neliötä kohden. Sataa neliötä kohden saadaan tehtävän mukaan tuottoa 650x + 000y Rajoite-ehdot: Direktiivin vuoksi x 40 ja y 0 ja toisaalta tutkittavan alueen pinta-ala on 00 m, joten x + y 00. Mansikoiden viljelyyn tarvitaan vähintään kaksinkertainen ala verrattuna perunaan, joten x y. KERTOMA 6! MAB6 56 LISÄTEHTÄVÄT

11 Saadaan epäyhtälöryhmä: x 40 y 0 x y x y 00 Ratkaistaan alueen kärkipisteet: A: Suorien y = 0,5x ja y = 0 leikkauspiste: 0, 5x 0 :0,5 x 60 (60, 0) Piirretään rajoitesuorat y 0 x 40 y x y x 00 x = 40 y = x + 00 C B: Suorien y = x + 00 ja y = 0 leikkauspiste x 00 0 x 70 (70, 0) C: Suorien y = x + 00 ja y = 0,5x leikkauspiste 0, 5 x x 00, 5 x 00 :,5 x 66,666 y 0,566,666, y = 0 y = 0,5x A B Tutkitaan, toteuttaako (66,6;,) epäyhtälöt 66,6 40 tosi, 0 tosi 66,6, 66,6 tosi 66,6,99,900 tosi Piste (66,6;,) käy. Valitaan testipiste (65, ) tosi 0 tosi 65 6 tosi tosi Alue on kuvaan merkitty alue. Myös kokonaislukupiste (67, ) kelpaa, koska tosi 0 tosi 67 tosi tosi KERTOMA 6! MAB6 57 LISÄTEHTÄVÄT

12 (Piste (66,7;,) ei käy koska 66,7, on epätosi. Piste (66,6;,4) ei käy koska 66,6,4 on epätosi. Piste (66,7;,4) ei käy koska 66,7,4 on epätosi.) Lasketaan optimoitavan lausekkeen arvot kärkipisteissä: Piste 650x + 000y (60, 0) = (70, 0) = (66,6;,) , , = suurin (Kokonaislukupisteellä (67, ) saadaan = , joten kelpaa) Kannattaa viljellä mansikkaa 66,6 m 67 m ja perunaa, m m jokaista sataa neliömetriä kohden. Vastaus: Kannattaa viljellä mansikkaa 67 m ja perunaa m jokaista sataa neliömetriä kohden.. Kilpapallojen määrä: x Harjoituspallojen määrä: y Tuotto: 0x + 7y. Määritetään rajoite-ehdot. Koneet ovat toiminnassa 45 min jokaista tuntia kohden eli 75 %. Viikossa työskennellään 50 tuntia, joten koneiden (6 kpl) käyttöaika viikossa on 0,75 50 h 6 = 5 h = 60 5 min = 500 min. Kilpapallon leikkaamiseen kuluu 5 min ja harjoituspallon min. Koneet käyttävät siis leikkaamiseen aikaa 5x + y minuuttia Rajoite-ehto on 5x + y 500. Työntekijöitä on 800, joten heidän työaika minuutteina on yhteensä = Kilpapalloon kuluu 60 min ja harjoituspalloon 600 min. Siis yhteensä pallojen viimeistelyyn kuluu 60x + 600y minuuttia. Rajoite-ehto on 60x + 600y Valmistusmäärät ovat ei-negatiivisia, joten saadaan epäyhtälöryhmä x 0 y 0 5xy x600y Rajoitesuorat: x 0 y 0 5xy x600y Piirretään suorat koordinaatistoon. Lasketaan kahden alemman suoran leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa. 60x + 600y = x + y = 500 x-akseli (y = 0): x-akseli (y = 0): 60 x :60 5 x 500 : 5 x 6666,666. x 700 y-akseli (x = 0): y-akseli (x = 0): 600 y :600 y 4000 y 500 : y 4500 KERTOMA 6! MAB6 58 LISÄTEHTÄVÄT

13 A B 60x + 600y x + y 500 C B: 5x y 500 ( 00) 60x600y x600y x600y x : ( 640) x 468,75 Sijoitetaan ylempään yhtälöön ja ratkaistaan y: 5468,75 y 500 4,75 y 500 y 56,5 : y 78,75 Valitaan testipiste (00, 00) 00 0 tosi 00 0 tosi tosi tosi Lasketaan alueen kärkipisteet. Pisteet A ja C on laskettu jo suorien piirtämisen yhteydessä. A: (0, 4000) C: (700, 0) Pallojen valmistusmäärä on kokonaisluku, joten mahdollisia kokonaislukupisteitä voivat olla (468, 78) (469, 78) (468, 79) ja (469, 79). Tutkitaan kelpaavatko pisteet. Tutkitaan pistettä (468, 78): tosi 78 0 tosi tosi tosi Piste käy. Tutkitaan pistettä (469, 78): tosi 78 0 tosi tosi tosi Piste käy. KERTOMA 6! MAB6 59 LISÄTEHTÄVÄT

14 Tutkitaan pistettä (468, 79): tosi 79 0 tosi tosi tosi Piste käy. Tutkitaan pistettä (469, 79): tosi 79 0 tosi EPÄTOSI EPÄTOSI Piste ei käy. Ehdot toteuttavia kokonaislukupisteitä ovat siis pisteet (468, 78) (469, 78) ja (468, 79). Käytetään pistettä (468, 78) ja lasketaan optimoitava lauseke kärkipisteissä. Piste 0x + 7y (0, 4000) = 8000 (700, 0) = 7000 (468, 78) = 0706 suurin Tutkitaan, millä kolmesta kokonaislukupisteestä saadaan suurin voitto: Pisteellä (468, 78) saadaan = 0706 Pisteellä (469, 78) saadaan = 076 (suurin) Pisteellä (468, 79) saadaan = 07 Kannattaa valmistaa 469 kilpapalloa ja 78 harjoituspalloa. (Arvot voi pyöristää lukuihin 470 ja 700 tarkkuuksien ja ehtojen rajoissa.) Lukujonot 4. Lasketaan muutama termi a n = n a = = a = = 4 a = = 8 Seuraava termi on aina kaksi kertaa edellinen, joten rekursiivinen sääntö on a n+ = a n, a = (n =,,, ) Miljoona on 0 6, joten ratkaistaan yhtälöstä muuttujan n arvo. n 6 0 lg n 6 lg lg 0 6 nlg lg 0 : lg n 9,9 a 9 = 9 = (< ) a 0 = 0 = (> ) joten 0. jäsen ylittää miljoonan. Vastaus: Rekursiivinen sääntö on a n+ = a n, a = ja lukujonon 0. jäsen ylittää miljoonan. 5. a) Seuraava jäsen on yhden pienempi kuin edellinen. 5, 4,,,, 0,,. Lukujono on aritmeettinen ja d = ( ), joten lukujonon analyyttinen sääntö saadaan aritmeettisen lukujonon avulla. a n = a + (n ) d = 5 + (n ) ( ) = 5 n + = n + 6 Vastaus: a n = n + 6 Vastaus: Kannattaa valmistaa 469 kilpapalloa ja 78 harjoituspalloa. KERTOMA 6! MAB6 60 LISÄTEHTÄVÄT

15 b) Seuraava jäsen on kaksi suurempi kuin edellinen., 4, 6, 8, 0,, 4. Lukujono on aritmeettinen ja d =, joten lukujonon analyyttinen sääntö saadaan aritmeettisen lukujonon avulla. a n = a + (n ) d = + (n ) = + n = n Vastaus: a n = n c) Lukujono vuorottelee,,,,,,. Vuorotteleva jono saadaan luvun potenssina a n = ( ) n Vastaus: a n = ( ) n. d) Seuraava jäsen saadaan edellisestä kertomalla viidellä. 5, 5, 5, 65, 5, 565 Lukujono on geometrinen ja q = 5, joten lukujonon analyyttinen sääntö saadaan geometrisen lukujonon avulla. a n = a q n = 5 5 n = 5 +n = 5 n (Tai analyyttinen sääntö saadaan suoraan luvun viisi potenssina a n = 5 n.) Vastaus: a n = 5 n. 6. a) a n = n + Tutkitaan yhtälöä n 75 n 750 : n 75 Luku 75 on lukujonon 75:s jäsen. Vastaus: On. b) a n = n + Tutkitaan yhtälöä n 75 n 75 : n 50 n 50 5,8... Ratkaisu ei ole kokonaisluku, joten luku 75 ei ole lukujonon jäsen. Vastaus: Ei ole. c) a n + = a n, a = 00 Lukujonon sääntö on rekursiivinen, joten lasketaan muutamia jäseniä eteenpäin. a 4 = 00 = 600 a 5 = 600 = 00 > ei ole lukujonon jäsen. Vastaus: Ei ole. 7. a) Ensimmäisen vuoden alussa metsässä on 000 puuta. (a = 000) Ensimmäisen vuoden aikana kaadetaan 0, = 00 puuta. Toisen vuoden alussa metsässä on = 00 puuta. (a = 000 0, ) Toisen vuoden aikana kaadetaan 0,05 00 = 05 puuta. Kolmannen vuoden alussa metsässä on = 95 puuta. (a = ( 000 0, ) 0, = 000 0, , ) Vastaus: Kolmannen vuoden alussa metsässä on 95 puuta. KERTOMA 6! MAB6 6 LISÄTEHTÄVÄT

16 b) Edellisen vuoden aikana kaadetaan,5 % puista ja lisätään 500 vuoden lopussa. a n+ = a n 0,05 a n + 500, a = 000 (n =,,, ) Sääntö voidaan sieventää: a n+ = a n 0,05 a n = 0,975 a n Tehtävässä pyydettiin ilmaisemaan lukujono a n, joten se saadaan muodossa a n = 0,975 a n + 500, a = 000 (n =,, 4 ). Vastaus: a n = 0,975 a n + 500, a = 000 (n =,, 4 ). Aritmeettinen lukujono 8. a) a n+ = a n, a = 00. Lukujonon seuraava termi saadaan edellisestä kertomalla se luvulla, joten lukujono ei ole aritmeettinen. Vastaus: Ei ole. b) a n+ = a n + 5, a =. Lasketaan termejä: a = a = + 5 = 4 a = = Lasketaan erotukset: 4 = 9 4 = Kahden peräkkäisen termin erotus ei ole vakio, joten lukujono ei ole aritmeettinen. c) a n+ = (a n + ), a = 4. Lasketaan termejä a = 4 a 4 = ( 4 + ) = 4 a 5 = ( 4 + ) = 4 Kyseessä on vakiojono 4, 4, 4,, joten erotusluku on d = 0 a n = 4 Vastaus: On, a n = 4. d) a n+ = + a n, a = 00. Lasketaan termejä a = 00 a 4 = + 00 = 0 a 5 = + 0 = 04 Kahden peräkkäisen termin erotus on aina vakio (04 0 = 0 00 = ), joten lukujono on aritmeettinen ja erotusluku eli differenssi on d =. (Tai tutkitaan kahden peräkkäisen erotusta: a n+ a n = + a n a n =. Erotus on vakio, joten jono on aritmeettinen.) Määritetään yleinen termi. a = 00 a = 00 = 98 a = 00 = 96. a n = a + (n ) d = 96 + (n ) = 96 + n = n + 94 Vastaus: On, a n = n Lukujono muodostuu siten, että seuraava jäsen on kahden edellisen jäsenen keskiarvo. Lukujonon jäsenet peräkkäiset jäsenet ovat a n, a n+, a n+. Vastaus: Ei ole. KERTOMA 6! MAB6 6 LISÄTEHTÄVÄT

17 Seuraava jäsen on kahden edellisen jäsenen keskiarvo, eli an an an. Tutkitaan kahden peräkkäisen jäsenen erotusta an an an an an an an an Erotus ei ole yleisesti vakio. Jos lukujonon kaksi ensimmäistä lukua ovat samat a = a ja a = a, a a niin a a. Tällöin lukujono on aritmeettinen, koska muodostuu vakiojono. an an Vastaus: Lukujonon rekursiivinen sääntö on an. Lukujono ei ole aritmeettinen ellei jonon kaksi ensimmäistä lukua ole samat. 0. Sainin säätösumma on Kun on kulunut n viikkoa Sainilla on n euroa rahaa. Saadaan yhtälö, josta ratkaistaan viikkojen lukumäärä n. n 600 : n 00 (Tai aritmeettinen lukujono, jossa a =, a n = ja d = 0. Sn n 600 n 600 n n 00) Vastaus: 00 viikon kuluttua.. (vrt. 8 d) a n+ = + a n, a = 00. a = 00 a 4 = + 00 = 0 Lukujono on aritmeettinen, joten d = 0 00 =. a = 00 a = 00 = 98 a = 00 = 96. a n = a + (n ) d a 50 = = 94 (Tai yleisen jäsenen a n = n + 94 (ks. 8d) avulla a 50 = = 94.) a an Sn n S Vastaus: S 50 = Katsomossa on 70 penkkiriviä ja ensimmäisessä on 00 paikkaa. Paikkoja on yhteensä Viimeisellä rivillä on x paikkaa. Lukujono on aritmeettinen, joten käytetään aritmeettista summaa. 00 x (00 x) x 0 70x 60 : 70 x 76 Vastaus: Viimeisellä penkkirivillä on 76 paikkaa. KERTOMA 6! MAB6 6 LISÄTEHTÄVÄT

18 . Piirretään kaaviokuva, kun katu oli 0 korttelia pitkä ja kunkin korttelin pituus oli 00 m. Etäisyys ensimmäisen korttelin alusta kaatopaikalle oli,5 km. Kaatopaikka Korttelit ,5 km 0, km 0, km 0, km 0, km Ensimmäisen matkan pituus oli,5 + 0, + 0, +,5 = 5,4 (km) (a = 5,4) Toisen matkan pituus oli,5 + 0, + 0, + 0, + 0, +,5 = 5,4 + 0,4 = 5,8 (km) (a = a + 0,4) Kolmannen matkan pituus oli 5,8 + 0,4 = 6, (km) (a = a + 0,4) 4. Aritmeettinen summa, Aritmeettinen lukujono, jossa a =,5 ja erotusluku on d = 7,5 = 5,5. Selvitetään kuinka mones jäsen 7 on lukujonossa. a n = a + (n ) d a n =,5 + (n ) 5,5 7,5 5,5 n 5,5 5,5n : ( 5,5) n On siis laskettava jäsenen summa. a an Sn n, 5 7 S 0,5 Vastaus:, = 0,5 Matkan pituus kasvaa aina 0,4 km, joten viimeinen kolmaskymmenes matka oli 5,4 km + 9 0,4 = 7 km (a 0 = a + 9 0,4) (Tai (, ,) = 7) Kuljetusta matkasta tulee aritmeettinen summa 5,4 + 5,8 + 6, , 4 7 S0 0 6 Vastaus: Matkaa kertyi yhteensä 6 km. KERTOMA 6! MAB6 64 LISÄTEHTÄVÄT

19 Geometrinen lukujono 5. Lukujono x, x x, x on geometrinen, jos peräkkäisten jäsenten suhde on vakio. Ratkaistaan yhtälö (esimerkiksi ristiin kertomalla). x x x x x x x x ( x x)( x x) 4 4 x x x x x 4 4 x x x x x x 0 x (x) 0 Tulon nollasäännöllä saadaan x 0 tai x 0 x 0 tai x 0,5 Jos x = 0, niin tulee jono 0, 0, 0, joka ei ole geometrinen. Jos x = 0,5, niin tulee jono 0,5; 0,5; 0,5, joka on geometrinen 0,5 0,5 lukujono ja q 0,5. 0,5 0, 5 Vastaus: x = 0,5 6. Lasketaan 00 ensimmäisen termin summa geometrisen summan kaavalla, kun a = 00 ja q = 0,7. ( n a q S ) n q 00 00( 0,7 ) S00,... 0, ( 0,7 ) S500,... 0, ( 0,7 ) S000,... 0,7 Summa näyttää pysyvän likimain samana, joten summa ei saavuta arvoa 000 koskaan. Vastaus: S 00,. Lukujonon summa ei saavuta arvoa 000 koskaan. 7. Lasketaan geometrisen lukujonon, 9, 7, summia, kun a = 00 ja 9 q. n a( q ) Sn q ( ) S ( ) S ( ) S 9 Osasummien muodostama lukujono on,, 9, Lasketaan suhteet: 4 9,5 Jonon termien suhde ei ole vakio, joten jono ei ole geometrinen. Vastaus: Lukujono summista ei ole geometrinen. Tutkitaan summan muutosta laskemalla 500 ja 000 ensimmäisen termin summa KERTOMA 6! MAB6 65 LISÄTEHTÄVÄT

20 8. (vrt. Esimerkki s. 5) Ensimmäinen talletus kasvaa korkoa 0 vuotta, seuraava 9 jne. Korkokerroin on q =,0075 Tilin saldo 0 vuoden kuluttua säästämisen aloittamisesta muodostaa geometrisen summan 000, , , , ,0075 Muutetaan termien järjestys 000, , , , , Sijoitetaan geometriseen summakaavaan a = 000,0075, q =,0075 ja n = ,0075(,0075 ) S0 50,908...,0075 Vastaus: 50,90 9. Geometrisen lukujonon ensimmäinen termi on a =. ( q ) Lukujonon n ensimmäisen termin summa on Sn. q 00 ( q ) Lukujonon 00 ensimmäisen termin summa on S00. q On ratkaistava, millä q:n arvolla Etsitään haarukoimalla q:lle sopiva arvo. 00 ( q ) q 00 (, 5 ) 8 6 Kun q =,5, niin S00, , joten q:n,5 arvon on oltava pienempi. n 00 (, ) 6 Kun q =,, niin S ,4... 0, joten q:n, arvon on oltava suurempi. 00 (, ) 6 Kun q =,, niin S , joten q:n, arvon on oltava pienempi. 00 (, ) 6 Kun q =,, niin S00 690, , joten q:n, arvon on oltava suurempi. 00 (,5 ) 6 Kun q =,5, niin S , , joten,5 q:n arvon on oltava suurempi. 00 (,6 ) 6 Kun q =,6, niin S , , joten,6 q:n arvon on oltava pienempi. Jos päätetään käyttää vastauksessa kolmen desimaalin likiarvoa, lasketaan vielä arvolla 00 (,55 ) 6 q =,55, jolloin S , , joten,55 q:n arvon on oltava suurempi. Kysytty arvo on siis kolmen desimaalin tarkkuudella q =,6. ( q )! Voi myös muodostaa yhtälön Tämä johtaa q kuitenkin yhtälöön, joka on ratkaistava kokeilemalla (haarukoimalla) vastaavasti kuin tässä ratkaisussa on tehty. Lukujonon 00 ensimmäisen termin summa on yli miljoona, kun q =,6. Vastaus: Kysytty arvo on kolmen desimaalin tarkkuudella q =,6. 00 KERTOMA 6! MAB6 66 LISÄTEHTÄVÄT

21 PIKAOSIO. Muutetaan suoran yhtälö y + x = 00 ratkaistuun muotoon y = x + 00, josta nähdään, että kulmakerroin on. Vastaus: Kulmakerroin on.. Ratkaistaan yhtälöpari y x y x x x xx x x. y x Vastaus: Suorien leikkauspiste on (, ). 4. Kuvasta saadaan tasoalueen kärkipisteen koordinaatit (, ), (6, ) ja (, ). Lasketaan lausekkeen x + y arvo kärkipisteissä. Tasoalueen piste (x, y) Lauseke x + y (, ) ( ) + ( ) = 6 (6, ) 6 + ( ) = 0 suurin (, ) + = 6 Vastaus: Lausekkeen suurin arvo on 0. 5x x 5xx x x Vastaus: x 5. x 5 lg x lg 5 lg x lg5 lg :lg5 lg x 0,406 lg 5 lg Vastaus: x 0, 4 lg 5 KERTOMA 6! MAB6 67 PIKAOSIO

22 6. Differenssi on d = 7 = 5 an a n d a Vastaus: Viidestoista termi on a 5 = Suhdeluku on q, Vastaus: q, Lukujono, x, 7 on aritmeettinen, jos peräkkäisten termien erotus on vakio. Saadaan x 7x xx 7 x 9 : 9 x 4 4,5 Vastaus: 9 x 4 4,5 9. Piirretään suorat y = x ja y = x + koordinaatistoon ja väritetään suorien ja y-akselin rajoittama tasoalue. y = x y = x + A B C x = 0 Kolmion pinta-alan laskemiseksi tarvitaan pisteiden B ja C y-koordinaatit, joiden avulla määritetään kolmion kanta pisteen A x-koordinaatti, joka kertoo kolmion korkeuden Piste B y x x 0 y x 00 Piste C y x x 0 y x0 Kolmion kantasivun BC pituus on a =. Piste A y x y x x x xx x x Kolmion korkeus on h. kanta korkeus Kolmion pinta-ala on A 6 Vastaus: Kolmion pinta-ala on 6. KERTOMA 6! MAB6 68 PIKAOSIO

23 0.. Geometrinen lukujono, jossa a = ja a 7 = 00. a a q n a a q 7 n 6 00 q 6 Ratkaistaan suhdeluku q yhtälöstä. 6 q 00 : q 6 00 q 6 00,544 q,54 tai q,54 Vastaus: Suhdeluku on q =,54 tai q =,54. Kuvassa esitettyä tasoaluetta rajoittaa kaksi suoraa: musta nouseva suora ja sininen laskeva suora. Mustan nousevan suoran yhtälö on y = x. (Kulmakerroin on ja kulkee origon kautta.) Sinisen laskevan suoran yhtälö on y = x + 4. (Kulmakerroin on ja leikkaa y-akselin pisteessä (0, 4).) Kuvassa esitettyä tasoaluetta kuvaa siten epäyhtälöryhmä y x4, koska rajasuorat kuuluvat mukaan (piirretty y x kokonaisilla viivoilla). Vastaus: y x4 y x. Lukujonon ensimmäinen jäsen on a = 500. Seuraava jäsen on 0 % suurempi, kuin edellinen, joten q =,0. Rekursiivinen sääntö on a n+ =,0a n, a = 500, n =,,, Vastaus: a n+ =,0a n, a = 500. a = ja d = 0 = a n = a + (n )d a 00 = + 99 ( ) = 96 ( 96) S Vastaus: S 00 = a = ja q Lukujonon seitsemän ensimmäisen termin summa on ( ) 7 ( ) S7 54 ( n a q S ) n q a n = a q n a 7 = a q 6 = 6 = 8 a 8 = a q 7 = 7 = 56 KERTOMA 6! MAB6 69 PIKAOSIO

24 Lukujonon seuraavien seitsemän termin summa on ( ) 7 56( ) S 5 Lasketaan kuinka monta prosenttia 54 on pienempi kuin ,00785 eli noin 99, % pienempi. 5 (Tai 7 ( ) 0,00785 ) 7 56( ) 65 Vastaus: 99, prosenttia pienempi KERTOMA 6! MAB6 70 PIKAOSIO

25 HARJOITUSKOE. a) Suorien leikkauspisteessä x- ja y-koordinaatit ovat yhtä suuret. y x y 5x 5 x5x5 x5x 5 7x x y x Vastaus: Leikkauspiste on, 7 7. b) Ratkaistaan yhtälöpari TAI y x y x x x x x x x 0 x(x) 0 x 0 tai x0 x x x x x 0 xx ( ) 0 x 0 tai x 0 x Kun. 4 x, niin y x Vastaus: Leikkauspisteet ovat (0, 0) ja, 4.. Aritmeettinen lukujono, 7,, missä a = ja d = 7 = 5. Yleinen jäsen on a n = a + (n )d. a n = + (n ) 5 = + 5n 5 = 5n Kymmenes jäsen on a 0 = 5 0 = 47. (Tai a 0 = = 47) Kymmenen ensimmäisen termin summa saadaan summakaavalla a an Sn n. S Vastaus: a n = 5n, a 0 = 47, S 0 = 45. y x 4 y 5x x 0 Piirretään rajasuorat y x 0,75 x, y 5x ja x 0 4 koordinaatistoon. Kun x = 0, niin y = x = 0 = 0. KERTOMA 6! MAB6 7 HARJOITUSKOE

26 x = 0 A = (0, ) B = (0, 0) y = 5x + y = 0,75x Väritetään epäyhtälöryhmän määrittämä tasoalue (esim. nuolia apuna käyttäen). Tarkistetaan testipisteen (, ) avulla, onko väritetty tasoalue oikea. Epäyhtälö y x : 4 tosi 4 Siis testipiste kuuluu ratkaisualueeseen. Täten suoran yläpuolinen alue on ratkaisu ja suora ei kuulu ratkaisuun. (Suora on piirretty kuvaan katkoviivalla). Epäyhtälö y < 5x +: < 5 + tosi Siis testipiste kuuluu ratkaisualueeseen. Täten suoran alapuolinen alue on ratkaisu ja suora ei kuulu ratkaisuun. (Suora on piirretty kuvaan katkoviivalla). Epäyhtälö x 0: 0 tosi Siis testipiste kuuluu ratkaisualueeseen. Täten suoran oikeanpuoleinen alue on ratkaisu ja suoran osa kuulu ratkaisuun. (Suora on piirretty kuvaan yhtenäisellä viivalla). Merkitään tasoalueen kärkipisteet A ja B. Ratkaistaan kärkipisteet suorien leikkauspisteistä yhtälöpareilla. Piste A x 0 y 5x y 50 Piste on A = (0, ). Piste B x 0 y x 4 y Piste on B = (0, 0). x = 0 y = 0,75x (0, ) (0, 0) y = 5x + Vastaus: Yhtälöryhmän ratkaisu on esitetty graafisesti oheisessa kuvassa. Tasoalueen kärkipisteet ovat (0, ) ja (0, 0). KERTOMA 6! MAB6 7 HARJOITUSKOE

27 4. x 0 y 0 x y 8 x y 7 Määritetään epäyhtälöryhmän graafinen ratkaisu ja lasketaan lausekkeen x + y arvot alueen kärkipisteissä. Piirretään rajoitesuorat. x 0 y 0 x y 8 x y 7 Tapa Ratkaistaan kaksi alinta epäyhtälöä muuttujan y suhteen. x y 8 y x8 : x y 75 y x 75 y x4 Piirretään rajasuorat y x 4, y = x + 75, x = 0 (y-akseli) ja y = 0 (x-akseli) Tapa Ratkaistaan kahdesta alemmasta suorasta x- ja y- akselin leikkauspisteet ja piirretään suorat niiden avulla siten että y-akselilla x = 0 ja x-akselilla y = 0. Suora x + y = 8: Kun x = 0, niin 0 y 8 : y 4 eli piste on (0,4). (Myöhemmin huomataan, että tämä on kärkipiste D) Kun y = 0, niin x + 0 = 8 eli piste on (8, 0). Suora x + y = 7: Kun x = 0, niin 0 + y = 7 eli piste on (0,7). Kun y = 0, niin x 0 7 : x,5 eli piste on (,5; 0). (Myöhemmin huomataan, että tämä on kärkipiste B) Lisäksi merkitään nuolet kuvaamaan jokaisen yksittäisen epäyhtälön määrittämää tasoaluetta. Koordinaatistoon piirrettyjen rajasuorien ja nuolien avulla voidaan päätellä, että tasoalue, jolla kaikki epäyhtälöt toteutuvat on suorien rajoittama nelikulmio. Väritetään kyseinen alue. Nimetään nelikulmio ABCD. x = 0 D = (0, 4) y = x + 7 y = 0 C = (, ) y = 0,5x + 4 A = (0, 0) B = (,5; 0) KERTOMA 6! MAB6 7 HARJOITUSKOE

28 Tarkistetaan, onko väritetty tasoalue oikea. Valitaan tarkistuspisteeksi piste (, ) ja sijoitetaan se erikseen jokaiseen epäyhtälöön. x 0 0 tosi y 0 0 tosi x y 8 8 tosi x y 7 7 tosi Tavassa Selvitetään vielä kyseisen tasoalueen kärkipisteiden koordinaatit A, B, C ja D yhtälöparien avulla. Piste A Piste B x 0 y x7 y 0 y 0 x 70 x 7 7 x,5 Piste on A = (0, 0). Piste on B = (,5; 0). Piste C Piste D y x 4 y x 4 y x7 x 0 x4x7 y x 74 x x y 7 Piste on C = (, ). Piste on D = (0, 4). Tavassa Jos suorat on piirretty suoran ja koordinaattiakseleiden leikkauspisteiden avulla kuten tavassa, niin silloin on jo laskettu pisteet B ja D, joten nyt riittää laske pisteet A ja C. Piste A: x 0 y 0 Piste C: xy 8 x y 7 ( ) xy 8 4x y 4 x 6 :( ) x Sijoitetaan alempaan yhtälöön: y 7 y Piste on C = (, ). Lasketaan lausekkeen x + y arvo tasoalueen kärkipisteissä. Tasoalueen piste (x, y) x + y A = (0, 0) = 0 B = (,5; 0),5 + 0 =,5 C = (, ) + = 5 suurin D = (0, 4) = 4 Vastaus: Lausekkeen x + y suurin arvo on 5. KERTOMA 6! MAB6 74 HARJOITUSKOE

29 5. Geometrinen lukujono, jossa a = 5 ja q =. a) a n = a q n a 5 = 5 5 = Vastaus: b) Ratkaistaan n:n arvo, jolla saadaan arvo 0 9. n 9 5q 0 :5 n 8 0 lg n 8 lg lg ( n )lglg 0 :lg lg 0 n lg lg 0 n lg n 8,9 a 8 = 5 8 = < 0 9 a 9 = 5 9 = < 0 9 Siis lukujonon 9. jäsen ylittää miljardin. Vastaus: Lukujonon 9. jäsen ylittää miljardin. 6. Merkitään kaulakorujen määrää muuttujalla x ja rintakorujen määrää muuttujalla y. Optimoitava funktio on saatava rahamäärä 5000x + 500y. Taulukoidaan koruihin kuluvat raaka-aineet Kulta (g) Platina (g) Rintakoru (x) 5x x Kaulakoru (y) y 4y Yhteensä Korujen määrät ovat ei-negatiivisia. Korujen valmistusta rajoittavat epäyhtälöt x 0 y 0 5xy 00 x4y 00 Määritetään epäyhtälöryhmän graafinen ratkaisu ja lasketaan lausekkeen 5000x + 500y arvot alueen kärkipisteissä. Tapa Ratkaistaan kaksi alinta epäyhtälöä muuttujan y suhteen. 5x y 00 x 4y 00 y 5x00 : 4y x00 :4 5 y x00 y x50 Piirretään rajoitesuorat. x 0 y 0 5xy 00 x4y 00 KERTOMA 6! MAB6 75 HARJOITUSKOE

30 Tapa Kaksi ensimmäistä suoraa ovat y- ja x- akseli. Lasketaan kahden alemman suoran leikkauspisteet x- ja y-akselien kanssa. Ratkaistaan kahdesta alemmasta suorasta x- ja y- akselin leikkauspisteet ja piirretään suorat niiden avulla siten että y-akselilla x = 0 ja x-akselilla y = 0. Suora 5x + y = 00: Kun x = 0, niin 50 y 00 : y 00 eli piste on (0,00). Kun y = 0, niin 5 x 0 00 :5 x 60 eli piste on (60, 0). (Myöhemmin huomataan, että tämä on kärkipiste B) Suora x + 4y = 00: Kun x = 0, niin 0 4 y 00 :4 y 50 eli piste on (0,50). (Myöhemmin huomataan, että tämä on kärkipiste D) Kun y = 0, niin x : x 00 eli piste on (00, 0). Lisäksi merkitään nuolet kuvaamaan jokaisen yksittäisen epäyhtälön määrittämää tasoaluetta. Koordinaatistoon piirrettyjen rajasuorien ja nuolien avulla voidaan päätellä, että tasoalue, jolla kaikki epäyhtälöt toteutuvat on suorien rajoittama nelikulmio. Väritetään kyseinen alue. Nimetään nelikulmio ABCD. x = 0 D = (0, 50) 5 y x00 C = (4,9; 8,6) y 0,5x50 A = (0, 0) y = 0 B = (60, 0) Tarkistetaan, onko väritetty tasoalue oikea. Valitaan tarkistuspisteeksi piste (0, 0) ja sijoitetaan se erikseen jokaiseen epäyhtälöön. x tosi y tosi 5xy tosi x4y tosi Ratkaisualue on kaikkien suorien väliin jäävä alue, joka on nelikulmio ABCD. KERTOMA 6! MAB6 76 HARJOITUSKOE

31 Tavassa Selvitetään vielä kyseisen tasoalueen kärkipisteiden koordinaatit A, B, C ja D yhtälöparien avulla. Piste A: x 0 y 0 Piste on A = (0, 0). Piste B: 5 y x 00 y 0 5 x x 00 : x 60 Piste on B = (60, 0). Piste C: 5 y x 00 y x50 5 x00 x50 5 x x x 50 : x 4 4,857 4, y x ,57 8, C, 4,8 (4,9;8,6) Piste on Piste D: y x 50 x 0 y Piste on D = (0, 50). Tavassa Jos suorat on piirretty suoran ja koordinaattiakseleiden leikkauspisteiden avulla kuten tavassa, niin silloin on jo laskettu pisteet B ja D, joten nyt riittää laske pisteet A ja C. Piste A: x 0 y 0 Piste C: 5xy 00 ( ) x4y x6y 600 0x0y 000 4y 400 :4 00 y 8,6 7 KERTOMA 6! MAB6 77 HARJOITUSKOE

32 Sijoitetaan alempaan 00 x x : 7 00 x 4, Piste on C, 4, 8 (4, 9; 8,6) Lasketaan lausekkeen 5000x + 500y arvot tasoalueen kärkipisteissä. Ilmoitetaan C likiarvona. Tasoalueen piste (x, y) 5000x + 500y A = (0, 0) = 0 B = (60, 0) = C = (4,9; 8,6) , ,6 = suurin D = (0, 50) = Lauseke 5000x + 500y saa suurimman arvonsa pisteessä C, 4, 8 (4, 9; 8,6) Tehtävässä pitää tarkastella kokonaislukuja, joiden arvot on testattava epäyhtälöissä. x = 4, y = 8 x = 4, y = 9 x = 4, y = 8 x = 4, y = 9 5x + y 00 x + 4y = OK = OK = OK = 0 > 00 EI KÄY = OK = OK = OK = 0 > 00 EI KÄY Laskelmien perusteella nähdään, että kokonaislukuparit (4, 8), (4, 9) ja (4, 8) täyttävät vaaditut ehdot. Selvitetään, missä pisteessä tuotto 5000x + 500y on suurin. Piste (x, y) 5x + 4y (4, 8) = (4, 9) = 500 (4, 8) = 000 suurin Tuotto on suurin pisteessä (4, 8), joten rintakoruja (x) kannattaa valmistaa 4 kpl ja kaulakoruja (y) kannattaa valmistaa 8 kpl. Vastaus: Valmistettava 4 rintakorua ja 8 kaulakorua. Tarkastellaan C pisteen lähellä olevat kokonaislukuarvot x = 4 tai x = 4 ja y = 8 tai y = 9 Tutkitaan missä kokonaislukupisteissä vaaditut epäyhtälöt toteutuvat. Epäyhtälöt x 0 ja y 0 toteutuvat varmasti, joten tutkitaan muut epäyhtälöt: KERTOMA 6! MAB6 78 HARJOITUSKOE

33 7. a) Aritmeettinen lukujono, jossa a = ja a = 8. a a n d n a a d 8 d 6 d d 6 : d Lasketaan sadan ensimmäisen termin summa kun q = : 00 ( ) 0 0 S00,550,550 Vastaus: Sadan ensimmäisen termi summa on S 00,5 0 0 tai S 00 8, Sadas jäsen on a 00 = a + (00 )d = + 99 = 99. Sadan ensimmäisen termin summa saadaan summakaavalla: a an Sn n 99 S Vastaus: S 00 = 5050 b) Geometrinen lukujono, jossa a = ja a = 8. n an aq a aq q 8 : q 4 q Lukujono voi olla siis muotoa, 4, 8, tai, 4, 8, Lasketaan sadan ensimmäisen termin summa kun q = : n a( q ) Sn q 00 ( ( ) ) 9 9 S00 8, ,450 ( ) KERTOMA 6! MAB6 79 HARJOITUSKOE

34 HARJOITUSKOE. Lukujonon jäsen saadaan lisäämällä edelliseen luku,5 ja a = 8. a) Lukujono muodostuu säännön mukaan a = 8 +,5 = 9,5 a = 9,5 +,5 = a 4 = 9,5 +,5 =,5 Merkitään edellistä jäsentä a n, jolloin seuraava jäsen on a n+. Rekursiivinen sääntö on a n+ = a n +,5, a = 8 ja n =,,, Vastaus: a n+ = a n +,5, a = 8 ja n =,,, b) Lukujono muodostuu säännön mukaan a = 8 +,5 a = 8 +,5 +,5 = 8 +,5 a 4 = 8 +,5 +,5 +,5 = 8 +,5 = 8 + (4 ),5 a 5 = 8 +,5 +,5 +,5 +,5 = 8 + 4,5 = 8 + (5 ),5 Lukujonon analyyttinen sääntö on a n = 8 + (n ),5 = 8 +,5n,5 =,5n + 6,5 (Tämä on aritmeettinen lukujono, joten yleinen sääntö voidaan muodostaa myös aritmeettisen jonon avulla.). Koiranäyttelyssä on yhteensä 00 koiraa ja ihmistä ja jalkojen lukumäärä on yhteensä 040. Merkitään koirien lukumäärää muuttujalla x, jolloin koirilla on jalkoja yhteensä 4x kappaletta. Merkitään ihmisten lukumäärää muuttujalla y, jolloin ihmisillä on jalkoja yhteensä y. Saadaan yhtälöpari, josta ratkaistaan koirien lukumäärä x. x y 00 4xy 040 y 00 x 4xy 040 4x(00 x) 040 4x600 x 040 x 440 : x 0 Koirien lukumäärä on 0. (Ihmisiä on y = 00 0 = 80.) Vastaus: Näyttelyssä on 0 koiraa. TAI NÄIN: x y 00 ( ) 4xy 040 xy 600 4xy 040 x 440 x 0 Vastaus: a n =,5n + 6,5 KERTOMA 6! MAB6 80 HARJOITUSKOE

35 . Lukujonon seuraava jäsen on 0 % suurempi kuin edellinen jäsen, joten seuraava jäsen saadaan edellisestä kertomalla,:lla. Lukujono on geometrinen, koska peräkkäisten termien suhde on vakio an q,. a n 4. Lukujonon neljäs jäsen on a 4 =,456 ja on selvitettävä yleinen jäsen. Yleinen sääntö a n = a q n,456 a, :, a 4 = a q 4 a Yleinen sääntö on a n = a q n =, n Vastaus: a n =, n Määritetään rajoitesuorien yhtälöt kuvaajan avulla. Tasoalue on suorien väliin jäävä kolmio. Sininen suora kulkee pisteiden (0, 5) ja (4, ) kautta, joten sen kulmakerroin on y y 5 ( ) k. x x 04 Suora leikkaa y-akselin pisteessä (0, 5), joten suoran yhtälö on y = x + 5. Musta suora kulkee pisteiden (0, 0) ja (5, 5) kautta, joten sen kulmakerroin on y y 5 0 k. x x 50 Suora leikkaa y-akselin pisteessä (0, 0), joten suoran yhtälö on y = x. Oranssi suora on x-akselin suuntainen, ja kulkee pisteen (0, ) kautta, joten suoran yhtälö on y =. Suorat rajaavat kolmionmuotoisen tasoalueen. Määritetään sitä vastaava epäyhtälöryhmä. KERTOMA 6! MAB6 8 HARJOITUSKOE

36 Tapa Kolmio on sinisen suoran alapuolella, joten rajoite-epäyhtälö on y x + 5. Kolmio on mustan suoran alapuolella, joten rajoite-epäyhtälö on y x. Kolmio on oranssin suoran yläpuolella, joten rajoite-epäyhtälö on y. Kaikki suorat kuuluvat mukaan tasoalueeseen, joten kaikkiin epäyhtälöihin tulee mukaan =-merkki. Tapa Valitaan kolmiosta testipiste (, 0) ja määritetään epäyhtälömerkin suunta: Siniselle suoralle y = x + 5 pätee + 5 = > 0 Ensimmäinen epäyhtälö on siten y x + 5. Mustalle suoralle y = x pätee 0 <. Toinen epäyhtälö on siten y x. Oranssille suoralle y = pätee 0 >. Kolmas epäyhtälö on siten y. Tasoalue määräytyy yhtälöryhmästä y x5 y x y. y x 5 Vastaus: y x y 5. Aritmeettisen jonon viides jäsen on a 5 = 70 ja 0 jäsen on a 0 = 50. On laskettava lukujonon 00 ensimmäisen termin summa, joten a an käytetään kaavaa Sn n. Ensin on selvitettävä a 00, mitä varten tarvitaan erotusluku d. Tapa Jono on aritmeettinen, joten jonon yleinen jäsen on a n = a + (n )d. Ratkaistaan tästä erotusluku ja ensimmäinen jäsen yhtälöparilla a (5 ) d 70 a (0 ) d 50 ( ) a 4d 70 a 9d 50 5d 0 :( 5) d 4 Sijoitetaan ylempään yhtälöön a 4 ( 4) 70 a a 66 Tapa Lukujono on aritmeettinen, joten muodostetaan yhtälö a 0 = a 5 + 5d. Sijoitetaan yhtälöön a 5 = 70 ja a 0 = 50 ja ratkaistaan erotusluku d. a0 a5 5d d d 0 d 4 5 KERTOMA 6! MAB6 8 HARJOITUSKOE

37 Sijoitetaan erotusluku d = 4 yhtälöön a 5 = a + 4d (tai yhtälöön a 0 = a + 9d) ja ratkaistaan muuttujan a arvo. a5 a4d 70 a 4 ( 4) 70 a 96 a Saatiin a = 66 ja d = 4, joten lasketaan lukujonon sadas jäsen. an a n d a Sadan ensimmäisen termin summa saadaan summakaavalla: a an Sn n 66 0 S Määritetään milloin (millä n:n arvolla) alittaa = 0 6. Yleinen jäsen on a n = a + (n )d = 66 + (n ) ( 4) = 66 4n + 4 = 4n n ensimmäisen termin summa: a an Sn n 66 ( 4n90) 4n56 4n 56n Sn n n Tapa Ratkaistaan yhtälö S n = n 56n n 56n0 0 b b 4ac n a ( 4) 0 ( 4) n 8, tai n 96,87 48 Negatiivinen arvo ei kelpaa, joten n = 96,87... Jos n = 96, niin a 96 = 66 + (96 ) ( 4) = S , joten ei riitä. Jos n = 97, niin a 97 = 66 + (97 ) ( 4) = S < , joten kelpaa. Siis n arvosta 97 summa alittaa KERTOMA 6! MAB6 8 HARJOITUSKOE

38 Tapa Ratkaistaan epäyhtälö S n < n 56n n 56n0 0 Ratkaistaan nollakohdat 6 4n 56n 0 0 b b 4ac n a ( 4) 0 ( 4) n 8, tai n 96,87 48 n = 8,5 tai n = 96,87 Kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joten merkki muuttuu negatiiviseksi suuremman nollakohdan jälkeen. Negatiivisia ratkaisuja ei huomioida, joten on oltava n > 96,87 eli n arvosta 97 summa alittaa Vastaus: Sadan ensimmäisen jäsenen summa on 0 00 ja summa alittaa , kun on laskettu 97 ensimmäisen jäsenen summa. 6. Lukujono, x, x on geometrinen, jos peräkkäisten termien suhde on vakio. On oltava: x x x x xx x x 0 x (x) 0 x 0 tai x0 x 0 tai x 0,5 Jos x = 0, niin lukujono on, 0, 0. Piirretään mallikuva. Suhdelukua ei voi laskea, koska osamäärä 0 0 ei ole määritelty. 8,5 96,87 + Kyseinen lukujono ei siten voi olla geometrinen lukujono, joten arvo x = 0 ei kelpaa. Jos x = 0,5, niin lukujono on ; 0,5; 0,5, suhdeluku on 0, 5 0,5 q 0,5 ja lukujono on geometrinen. 0,5 Vastaus: Lukujono on geometrinen, kun x = 0,5. KERTOMA 6! MAB6 84 HARJOITUSKOE

39 7. Koska istumapaikkojen määrä lisääntyy rivi riviltä yhtä paljon, niin istumapaikkojen määrät muodostavat aritmeettisen lukujonon. Merkitään lukujonossa alimman rivin paikkojen lukumäärää a = 800 ja ylimmän rivin (. rivi) paikkojen lukumäärää a = Tällöin saadaan an a n d a a d d 60 d d 05 Rivin paikkojen lukumäärä lisääntyy siten aina 05:llä. Määritetään keskimmäisen rivin paikkojen lukumäärä. 6,5, joten keskimmäisin on 7. rivi. a 7 = a + (7 )d = = 480. Keskimmäisellä rivillä on 480 paikkaa. Stadionilla on istumapaikkoja yhteensä: a an Sn n S Vastaus: Keskimmäisellä rivillä on 480 paikkaa ja yhteensä paikkoja on KERTOMA 6! MAB6 85 HARJOITUSKOE

40 HARJOITUSKOE. a) Tutkitaan, onko lukujono aritmeettinen: 4 = 6 4 = 8 6 =. Kahden peräkkäisen termin erotus on aina vakio, joten lukujono on aritmeettinen ja d =, a =. Määritetään, kuinka mones jäsen 46 on lukujonossa. an a n d 46 n 46 n 46 n : n 7 joten a 7 = 46.! Tarkistus: a 7 = + 7 = 46 On laskettava 7 ensimmäisen termin summa. S S n 7 a an n Vastaus: = 5 40 b) Tutkitaan, onko lukujono geometrinen Kahden peräkkäisen termin suhde on aina vakio, joten lukujono on geometrinen ja q = 5, a = 4. Määritetään kuinka mones jäsen 500 on lukujonossa. a n = a q n a n = 4 5 n n n : 4 n lg n lg 5 lg 785 ( n )lg 5 lg 785 : lg 5 n 7 n 8 joten a 8 = 500.! Tarkistus: a 8 = = 500 On laskettava kahdeksan ensimmäisen summa n a( q ) Sn q 8 4( 5 ) S Vastaus: = KERTOMA 6! MAB6 86 HARJOITUSKOE

41 . yx40 y x Graafinen ratkaisu: Ratkaistaan y ylemmästä yhtälöstä: y x 40 y x4 : 4 y x 4 y x Piirretään suorat koordinaatistoon: y x y = x + 4 y x A Tapa Käytetään graafisessa ratkaisussa muokattua suoran yhtälöä. yx40 y x 4 y x y x 4 x x x46x9 5x 5 :( 5) x Sijoitetaan alempaan yhtälöön y = ( ) + = Tapa Käytetään alkuperäisiä yhtälöitä. yx40 y x (x) x4 0 6x9x40 5x 50 5x 5 x Yhtälöparin ratkaisu on suorien leikkauspisteen A koordinaatit x ja y. Algebrallinen ratkaisu: Ratkaistaan yhtälöpari. Vastaus: x y y x ( ) KERTOMA 6! MAB6 87 HARJOITUSKOE

42 . x6y x80y 4800 x 0 y 0 Määritetään epäyhtälöryhmän graafinen ratkaisu ja lasketaan lausekkeen x + y arvot alueen kärkipisteissä. Piirretään rajoitesuorat. x6y x80y 4800 x 0 y 0 Tapa Ratkaistaan kaksi ylintä epäyhtälöä muuttujan y suhteen. x 6y 540 6y x540 :6 60x 80y y 60x4800 : 80 y x90 y x60 4 Piirretään rajasuorat y = x + 90, y = 0 (x-akseli) y x 60, x = 0 (y-akseli) ja 4 Tapa Ratkaistaan kahdesta ylemmästä suorasta x- ja y- akselin leikkauspisteet ja piirretään suorat niiden avulla siten että y-akselilla x = 0 ja x-akselilla y = 0. Suora x + 6y = 540: Kun x = 0, niin 0 6 y 540 : 6 y 90 eli piste on (0, 90). Kun y = 0, niin x : x 45 eli piste on (45, 0). (Myöhemmin huomataan, että tämä on kärkipiste B) Suora 60x + 80y = 4800: Kun x = 0, niin y 4800 : 80 y 60 eli piste on (0, 60). (Myöhemmin huomataan, että tämä on kärkipiste D) Kun y = 0, niin 60 x : 60 x 80 eli piste on (80, 0). Lisäksi merkitään nuolet kuvaamaan jokaisen yksittäisen epäyhtälön määrittämää tasoaluetta. Koordinaatistoon piirrettyjen rajasuorien ja nuolien avulla voidaan päätellä, että tasoalue, jolla kaikki epäyhtälöt toteutuvat on suorien rajoittama nelikulmio. Väritetään kyseinen alue. Nimetään nelikulmio ABCD. KERTOMA 6! MAB6 88 HARJOITUSKOE

43 D = (0, 60) C = (4, 4) A = (0, 0) B = (45, 0) 60x + 80y = 4800 x + 6y = 540 Tarkistetaan, onko väritetty tasoalue oikea. Valitaan tarkistuspisteeksi piste (0, 0) ja sijoitetaan se erikseen jokaiseen epäyhtälöön. Tutkitaan, toteuttaako testipiste epäyhtälöt tosi tosi 0 0tosi 0 0tosi Väritetty alue on kysytty tasoalue. Rajoitesuorat kuuluvat tasoalueeseen. Nelikulmion ABCD pinta-alan määrittämiseksi on laskettava kärkipisteiden A, B, C ja D koordinaatit. Tavassa Selvitetään kärkipisteiden koordinaatit A, B, C ja D yhtälöparien avulla. Piste A: Piste B: x 0 y x90 y 0 y 0 x 900 x 90 x 45 Piste on A = (0, 0). Piste on B = (45, 0). Piste C: Piste D: y x 60 4 y x 60 4 y x90 x 0 x60 x90 y xx x 0 4 x 4 y Piste on C = (4, 4). Piste on D = (0, 60). Tavassa Jos suorat on piirretty suoran ja koordinaattiakseleiden leikkauspisteiden avulla kuten tavassa, niin silloin on jo laskettu pisteet B ja D, joten nyt riittää laskea pisteet A ja C. Piste A: x 0 y 0 KERTOMA 6! MAB6 89 HARJOITUSKOE

44 Piste C: x6y 540 ( 5) 60x80y x0y x80y y 00 : y 4 Sijoitetaan ylempään ja ratkaistaan x: x x x 88 : x 4 Leikkauspiste on (4, 4). Alue koostuu suorakulmiosta ja kahdesta suorakulmaisesta kolmiosta, joiden mitat on laskettu kuvassa A Vastaus: Tasoalueen pinta-ala on 665 ja alue on piirretty oheiseen kuvaan. Kun kärkipisteet on selvitetty, voidaan laskea alueen pinta-ala. (0, 60) korkeus = 60 4 = 8 kanta = 4 (4, 4) korkeus = 4 4. Aritmeettinen lukujono, jossa a =, a n = 70 ja S n = 994. Ratkaistaan kuinka mones termi 70 on lukujonossa, kun a n = 70 ja S n = 994. a an Sn n 70 n 994 5,5n 994 : 5,5 n 8 (0, 0) (45, 0) kanta = 45 4 = Siis a 8 = 70 ja S 8 = 994. KERTOMA 6! MAB6 90 HARJOITUSKOE

45 Määritetään erotusluku d: an a n d a8 a 8 d 70 7d 69 7 d : 7 69 d 7 9 Tällöin a = a + d 5 a Vastaus: a 9 5. a) Aritmeettisessa lukujonossa peräkkäisten termien erotus on vakio, joten saadaan yhtälö a 5 a a 6 : a 8 Vastaus: a = 8 b) Geometrisessä lukujonossa peräkkäisten termien suhde on vakio, joten saadaan yhtälö a 5 a a 55 a 55. Vastaus: a 55 tai a Geometrinen lukujono, jossa a = ja q,5. Yleinen jäsen a n = a q n a n =,5 n. Ratkaistaan yhtälö n, : n, lg n lg,5 lg n lg,5 lg 5000 : lg,5 n 9,95 n 0, 95 a n =,5 n. a 0 =,5 9 = 7 69,94 < OK a =,5 0 = 9 07,486 > ei kelpaa Vastaus: Lukujonon kymmenen ensimmäistä termiä ovat pienempiä, kuin Merkitään korujen määrää muuttujalla x ja kintaiden määrää muuttujalla y. Halutaan suurin arvo myyntituloille, joten optimoitava lauseke on myyntitulot 40x + 45y. Taulukoidaan tehtävän tiedot. Aika (h) Raaka-aineiden hinta ( ) Koru (x),x x Kinnas (y),5y 7y Yhteensä KERTOMA 6! MAB6 9 HARJOITUSKOE

46 Määritetään reunaehdot. Aika ja raha ovat tehtävät reunaehdot. Korujen ja kintaiden valmistamiseen kuluu aikaa,x +,5y (h). Aikaa oli käytössä 80h. Rahaa kuluu x + 7y ( ). Rahaa oli käytössä 540. Valmistusmäärät ovat positiivisia. Rajoittavat epäyhtälöt ovat,x, 5 y 80 x7y 540 x 0 y 0. Piirretään rajoitesuorat,x, 5 y 80 x7 y 540 x 0 y 0. Joko ratkaistaan kaksi ylintä epäyhtälöä muuttujan y suhteen ja piirretään suorat,x, 5 y 80,5 y,x80 :,5 60 y x 5 x 7 y 540 7y x540 :7 540 y x 7 7 Suoralle,x +,5y = 80: Kun x = 0 niin,5 y 80 :,5 60 y 5, Kun y = 0, niin, x 80 :, 800 x 7,77 Suoralle x + 7y = 540: Kun x = 0, niin 7 y 540 :7 540 y 77,4 7 Kun y = 0, niin x 540 : x 45. Piirretään suorat koordinaatistoon ja lisäksi merkitään nuolet kuvaamaan jokaisen yksittäisen epäyhtälön määrittämää tasoaluetta. Koordinaatistoon piirrettyjen rajasuorien ja nuolien avulla voidaan päätellä, että tasoalue, jolla kaikki epäyhtälöt toteutuvat on suorien rajoittama nelikulmio. Väritetään kyseinen alue. Nimetään nelikulmio ABCD. tai lasketaan kahden ensimmäisen suoran leikkauspisteet akseleiden kanssa ja piirretään suorat. KERTOMA 6! MAB6 9 HARJOITUSKOE

47 x + 7y = 540 D C A B,x +,5y = 80 Piste A: x 0 y 0 Piste on A = (0, 0). Piste B: x7y 540 y 0 x x 540 : x 45 Piste on B = (45, 0). Tarkistetaan, onko väritetty tasoalue oikea. Valitaan tarkistuspisteeksi piste (0, 0) ja sijoitetaan se erikseen jokaiseen epäyhtälöön., 0, tosi tosi x 0 tosi y 0 tosi Selvitetään vielä kyseisen tasoalueen kärkipisteiden koordinaatit A, B, C ja D yhtälöparien avulla. (Jos aiemmin suoria piirrettäessä on jo laskettu pisteet B ja D, niin nyt riittää laskea vaan pisteet A ja C.) Piste C:,x, 5 y 80 7 x7y 540 (.5) 7,7x0,5y 560 8x 0,5y 80 0,x 50 :0, 500 x 4,7 0 Sijoitetaan alempaan yhtälöön 4,77y 540 7y 48,7 :7 660 y 5, C, (4,;5,5). 0 0 Piste on KERTOMA 6! MAB6 9 HARJOITUSKOE

48 Piste D:,x, 5 y 80 x 0,0, 5 y 80, 5 y 80 :, 5 60 y 5, 5, 60 Piste on D 0, (0;5,). Lasketaan lausekkeen 40x + 45y arvot tasoalueen kärkipisteissä. Lasketaan C ja D likiarvoina kokonaislukupisteinä. Tasoalueen piste (x, y) 40x + 45y A = (0, 0) = 0 B = (45, 0) = , ,5 = 569,5 suurin C, (4,;5,5) , = 98,5 D 0, (0;5,) Epäyhtälöt x 0 ja y 0 toteutuvat varmasti, joten tutkitaan muut epäyhtälöt: x = 4, y = 5 x = 4, y = 6 x = 5, y = 5 x = 5, y = 6,x +,5y 80 x + 7y 540, 4 +,5 5 = 78,9 80 OK, 4 +,5 6 = 80,4 > 80 EI KELPAA, 5 +,5 5 = OK, 5 +,5 6 = 8,5 > 80 EI KELPAA = OK (tätä ei tarvitse laskea enää) = 545 > 540 EI KELPAA (tätä ei tarvitse laskea enää) Laskelmien perusteella nähdään, että vain kokonaislukupari (4, 5) täyttää vaaditut ehdot. Myyntitulo on suurin pisteessä (4, 5), joten koruja (x) kannattaa valmistaa 4 kpl ja kintaita (y) kannattaa valmistaa 5 kpl. Vastaus: On valmistettava 5 kinnasta. Lauseke 40x + 45y saa suurimman arvonsa pisteessä C, (4, ;5, 5) 0 0 Tehtävässä pitää tarkastella kokonaislukuja, joiden arvot on testattava epäyhtälöissä. Tarkastellaan C pisteen lähellä olevat kokonaislukuarvot: x = 4 tai x = 5 ja y = 5 tai y = 6 Tutkitaan, missä kokonaislukupisteissä vaaditut epäyhtälöt toteutuvat. KERTOMA 6! MAB6 94 HARJOITUSKOE

4 LUKUJONOT JA SUMMAT

4 LUKUJONOT JA SUMMAT Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 4 LUKUJONOT JA SUMMAT ALOITA PERUSTEISTA 45A. Määritetään lukujonon (a n ) kolme ensimmäistä jäsentä ja sadas jäsen a 00 sijoittamalla

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a) K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1. TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Lineaarinen yhtälöryhmä

Lineaarinen yhtälöryhmä Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.

Lisätiedot

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit

Lisätiedot

Aritmeettinen lukujono

Aritmeettinen lukujono Aritmeettinen lukujono 315. Aritmeettisen lukujonon kolme ensimmäistä jäsentä ovat 1, 4 ja 7. a) Mikä on jonon peräkkäisten jäsenten erotus d? b) Mitkä ovat jonon kolme seuraavaa jäsentä? a) d = 7 4 =

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

origo III neljännes D

origo III neljännes D Sijoita pisteet A(1,4) ja B(4,5;5) sekä C(-3,4) ja D(-4,--5) y II neljännes C A I neljännes B x origo III neljännes D IV neljännes KOTIT. Sijoita ja nimeä koordinaatistoon pisteitä niin, että pisteet yhdistettäessä

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.

Lisätiedot

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

MAB Jussi Tyni. Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.

MAB Jussi Tyni. Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. MAB6. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan

Lisätiedot

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Lämpötila maanpinnalla nähdään suoran ja y-akselin leikkauspisteen y- koordinaatista, joka on noin 10. Kun syvyys on 15 km, nähdään suoralta, että lämpötila

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (

Lisätiedot

5 Kertaus: Matemaattisia malleja

5 Kertaus: Matemaattisia malleja 5 Kertaus: Matemaattisia malleja 5. Kurssin keskeiset asiat. a) Muodostetaan suoran yhtälö kulmakerroin k = ja pisteen (0, 3) avulla. y ( 3) ( x 0) y 3 x y x 3 b) Muodostetaan suoran yhtälö kulmakerroin

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

3 Määrätty integraali

3 Määrätty integraali Määrätty integraali. a) Muodostuva alue on kolmio, jonka kanta on. Kolmion korkeus on funktion arvo kohdassa, eli f() = = 6. Lasketaan A() kolmion pintaalana. 6 A() 6 Vastaus: A() = 6 b) Muodostuva alue

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

2.3. Lausekkeen arvo tasoalueessa

2.3. Lausekkeen arvo tasoalueessa Monissa käytännön tilanteissa, joiden kaltaisista kappaleessa Epäyhtälöryhmistä puhuttiin, tärkeämpää kuin yleinen mahdollisten ratkaisujen etsiminen, on löytää tavalla tai toisella jotkin tavoitteet täyttävät

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

Paraabeli suuntaisia suoria.

Paraabeli suuntaisia suoria. 15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki

Lisätiedot

derivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,.

derivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,. Matematiikka, MAA9. a) Ratkaise yhtälö tan (YOS) Kulma on välillä [, 6]. Ratkaise asteen tarkkuudella seuraavat yhtälöt: b) sin c) cos (YOs). Kulmalle [9,6 ] on voimassa sin = 8 7. Määritä cos ja tan..

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x

Lisätiedot

3 Eksponentiaalinen malli

3 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 ESITYS pisteitykseksi Yleisohje tarkkuuksista: Ellei tehtävässä vaadittu tiettyä tarkkuutta, kelpaa numeerisissa vastauksissa ohjeen vastauksen lisäksi yksi merkitsevä

Lisätiedot

1. taskulaskimen funktionäppäimet, pankkiautomaatti, postimerkkiautomaatti,...

1. taskulaskimen funktionäppäimet, pankkiautomaatti, postimerkkiautomaatti,... Vastaukset:. taskulaskimen funktionäppäimet, pankkiautomaatti, postimerkkiautomaatti,.... a) 0 b) 0 c) ( a 3) 3. 0 5 8 3 4 4 4. a) 7 b) -7 c) d) 5 5. - 8-7 0 6 5 4 6. a) Tbsjub b) Eino c) - 7. a) b) 5

Lisätiedot

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio.

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio. Yo-tehtäviä Mb06 kurssista Sarja 1 k09/12. Mikä on suurin arvo, jonka lauseke x + y saa epäyhtälöiden x 0, y 0, 2x + 3y 24, 5x + 3y 30 määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit.

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 15 Päivitetty 19..6 31 Tapa 1 Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä sijoituskeinoa. x y+ z = x y + 3z = 3x 4y+ z = Ratkaistaan yhtälöstä (1) muuttuja

Lisätiedot

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3] Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,] Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4 T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + )

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty YHTÄLÖITÄ ALOITA PERUSTEISTA A. Luku on yhtälön ratkaisu, jos luku toteuttaa yhtälön. a) Sijoitetaan luku = yhtälöön. 6 = 0 0 = 0 Yhtälö on tosi, joten = on yhtälön ratkaisu. Vastaus: on b) Sijoitetaan

Lisätiedot

Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi

Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot