Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin"

Transkriptio

1 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin cos us( ) s( ) 3sin cos c) 3 Dsin us ( ) 3 cos 3 us( ) s( ) 3 3 cos 3 s( ) ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos

2 d) Dtan 3 D tan3 us ( ) 3 n n, n 6 3 s( ) tan3 u( ) ja u( ) s( ) 3 ja s ( ) 3 tan3 Dtan3 us( ) s( ) u( ) tan ja u ( ) tan tan3 tan 3 3 u s ( ) s ( ) 6t an3 tan 3, n, n 6 3 Tapa Dtan 3 D tan3 us ( ) 3 n n, n 6 3 s( ) tan3 u( ) ja u( )

3 s( ) 3 ja s ( ) 3 tan3 Dtan3 us( ) s( ) u( ) tan ja u ( ) cos tan3 3 cos 3 u s( ) s ( ) 6tan3, n, n cos e) Dsin cos tulon derivaatta: D f g Df g Dg f Dsin cos Dcos sin cos cos sin sin cos sin kaksinkertaisen kulman kosini: cos sin cos cos Tapa kaksinkertaisen kulman sini: Dsin cos sin cos sin, josta sin cos sin

4 D sin s( ) ja s( ) Dsin u( ) sin ja u( ) cos us ( ) cos us( ) s( ) cos f ) cos 0 D cos n osamäärän derivoimissääntö: f D g D D f g g f g D cos Dcos cos 0cos sin cos sin, n, n cos

5 Vastaus voidaan antaa myös toisessa muodossa: sin sin tan cos cos cos cos tan, n, n cos Tapa cos 0 D cos n Dcos us ( ) cos sin us( ) s( ) cos sin sin, n, n cos tan, n, n cos s( ) cos ja s( ) sin u( ) ja u( )

6 Vastaus a) 3cos3 b) 3sin cos c) d) 3 3 cos 6 tan3 ( tan 3 ), n, n 6 3 6tan3, n, n cos e) cos f) sin, n, n cos tan, n, n cos

7 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK- a) cos muistikolmiosta tai taulukkokirjasta: cos 4 cos cos cos cos 4 n n 4 Vastaus n, n 4

8 b) sin sin sin 3 muistikolmiosta tai taulukkokirjasta: 3 sin 3 sin sin sin sin 3 3 n tai n n tai n n 3 3 tai n n 3 Vastaus n tai n, n 3 Huomautus: Tehtävän olisi voinut ratkaista myös merkitsemällä t. 3

9 c) 5 n 6 3) ) 3) 5 n n 6 tan 5 6 n 5 5 muistikolmiosta tai taulukkokirjasta: tan 4 tan tan tan 5 tan 6 4 n 5 n n n :5 n toteuttaa määrittelyehdon 5 Vastaus c) n, n 5

10 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK-3 Tutkitaan aritmeettista lukujonoa (a n ), n =,, 3,..., jonka 7. termi on a7 3 ja 5. termi on a5. Koska jono on aritmeettinen, niin a 5 a7 5 7 d 3 8d d a) a a 7d 7 3 a 6 4 a b) Saadaan epäyhtälö a n 0 a nd 0 4 n 0 4

11 n n 4 n 58 n59 n,, 3,... n 58 Siis negatiivisia termejä on 58 kpl a 0, kun n,, 3,..., 58 n c) Saadaan yhtälö 4 n 4 n 4 4 Siis on jonon 43. termi. 7 n 4 43 Vastaus a) a 4 b) Negatiivisia termejä on 58 kpl. c) On jonon jäsen.

12 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK-4 a) cos cos cos3 cos 4 n 3 n 4 3 n tai 3 n 4 4 n tai 4 n 4 4 n tai n 8 6 Vastaus n tai n, n n tai n, n 8 6

13 b) trigonometrian 3sin 6cos 9 0 peruskaavasta: 3cos 6cos90 sin cos 33cos 6cos90 3cos 6cos cos cos cos tai cos ei ratkaisua cos laskimella 3 3 cos, cos cos, cos cos n, n Vastaus,30n, n

14 c) cos cos4 0 suplementtikulmien cos cos 4 kosinit: cos cos cos cos 4 cos cos n 4n 4n tai 4n 5 n tai 3 n n tai n Vastaus n tai n, n

15 d) sin 3 sin 0 6 sin sin 3 sin sin 6 sin sin sin sin 3 n tai 6 n 3n tai 3n n tai 3 n n tai n n tai n 4 Vastaus 5 n tai n, n 4

16 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK-5 00 a) i) i i0 Summa on aritmeettinen, sillä kahden peräkkäisen termin erotus a i ai i i on vakio. Siis 00 i0 ii a i S n n a n

17 ii) 9 k 0... k Summa on geometrinen, koska kahden peräkkäisen termin suhde a k k k k a k k k k 3 on aina vakio. Siis 9 k 0 k ( q ) q 3 a, q, n S n a n

18 iii) 999 n n lg n lg lg lg... lg lg lg 3 lg 3 lg 4 osamäärän logaritmi: log a log a log ay y lg 4 lg 5... lg999 lg 000 lg lg 000 lg 000 osamäärän logaritmi: log a log a y log a y lg 000 lg 0 3 lg0 3 3lg0 potenssin logaritmi: log a r rlog kantaluvun logaritmi: log a a a 3 3

19 Tapa osamäärän logaritmi: 999 n lg n n log a log a log a y y 999 lg nlgn n lg lg 3 lg 3 lg 4 lg lg 000 lg 4 lg 5... lg 999 lg 000 lg lg 000 lg lg lg000 tulon logaritmi: log y log log y a a a lg lg lg000 lg0 3 3lg0 potenssin logaritmi: log a r rlog kantaluvun logaritmi: log a a a 3 3

20 Tapa n n lg n lg lg lg... lg tulon logaritmi: log log ylog y a a a lg lg 000 osamäärän logaritmi: lg 000 log log log y a a a y lglg000 0lg0 3 3lg0 luvun yksi logaritmi: log 0 potenssin logaritmi: log a a r rlog kantaluvun logaritmi: log a a a 3 3

21 b) Lukujono an 3 n 4n n, n 0,,,... 3 Tutkitaan funktiota f ( ) 4, jolloin a f ( n), n 0,,,.... n Funktio f on polynomifunktiona jatkuva ja derivoituva. Laaditaan funktion kulkukaavio. f ( ) 3 8 Derivaatan nollakohdat: f ( ) tai y f ( ) f ( ) f ( ) 3 0 3

22 Kulkukaavion perusteella nähdään, että lukujono a n on aidosti kasvava, kun n,, 3,..., ja aidosti vähenevä, kun n 3, 4, 5,.... Siis lukujonon a, n 0,,,..., suurin termi on joko a tai a 3. n a a 3 3 f () f (3) (suurin arvo) Vastaus a) i) 9999 ii) 3 iii) b) 60

23 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK-6 a) sin cos sin cos sin cos sin sin n n 4 Vastaus n, n 4

24 b) n tan cos sin tan cos sin cos cos 0 cos sin cos sin cos cos sin sin sin sin sin 0 Merkitään t sin. t t0 4 t 5 t t sin 5 5 sin tai sin ei ratkaisua

25 Laskin: 5 sin 5 sin, sin sin sin sin, n tai n 0, n tai 0, n 0,67 n tai,48 n Ratkaisut toteuttavat määrittelyehdon. Vastaus 0,67 n tai,48 n, n

26 c) 4cos4 cos 4 4 cos cos 4 cos cos 4 cos cos 4 8cos 4 cos 4 7cos 0 cos 0 cos 0 n n 4 Vastaus n, n 4

27 Tapa 4cos4 cos 4 4coscos 4 4sin sin 4 cos sin cos sin 48sin sin 30 7sin 7 0 sin sin n n 4 Vastaus n, n 4

28 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK-7 a) sin 6cos sin 3cos Trigonometrian peruskaavan mukaan sin cos sin 3cos 3cos cos 9cos cos 0cos cos 0 Sinin kaksinkertaisen kulman kaavan mukaan sin sin cos sin 3cos 3coscos 6cos cos Vastaus 3 sin 5

29 b) Olkoon tasakylkisen kolmion kantakulma ja huippukulma. Koska cos, niin kolmion kannan puolikas on a ja 5 kylki 5a. Piirretään mallikuva. Taulukkokirjan mukaan tan tan tan Mallikuvasta saadaan a tan

30 Pythagoraan lauseella saadaan kolmion korkeus : a 5a a 5a 4a ( ) 4a 0 46a a a a 6 a 0 a 6 Tällöin tan a a a 6 6. Näin ollen tan tan tan tan

31 Vastaus 0, ,43 3

32 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK-8 a) Piste, on käyrän y cos sin piste, koska cos sin 0 4 Määritetään derivaatan avulla tangentin kulmakerroin. y cos sin D( f g) ( D f ) g ( D g) f y cossin cos cos sincos Tangentin kulmakerroin on kt y cos sin cos Normaalin kulmakerroin on k N 4 k T

33 Tangentin yhtälö on y y k 0 0 k T, y, y 4 3 y y 4 8 Normaalin yhtälö on y y k y 4 y Vastaus Tangentin yhtälö on Normaalin yhtälö on k N, y, y y

34 b) f ( ) sin cos Kaksinkertaisen kulman kosinin kaavan mukaan saadaan f ( ) sinsin, Merkitään t sin On siis määritettävä funktion. Koska, niin, g t t t, t suurin ja pienin arvo. Tapa t. ) Funktio g on jatkuva suljetulla välillä, ja derivoituva avoimella välillä,, joten g saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteissä tai derivaatan nollakohdissa. (Fermat n lause). ) Derivaatan nollakohdat g t tt g t 4t Saadaan yhtälö gt 0 4t 0 t,

35 3) Funktion arvot välin päätepisteissä ja derivaatan nollakohdissa g 3(pienin arvo) g g (suurin arvo) Vastaus Suurin arvo on ja pienin arvo on 3. Tapa Funktion g t t t, t, kuvaaja y t t, t on osa alaspäin aukeavasta paraabelista. Paraabelin huippu: t 0 y 0 b a y

36 Funktion g suurin arvo on ja pienin arvo on g 3. Siis funktio f suurin arvo on Tapa 3 ja pienin arvo on 3. Funktion f ( ) sin sin jakso on, joten voidaan rajoittua esimerkiksi välille 0,. ) Funktio f on jatkuva suljetulla välillä 0, ja derivoituva avoimella välillä 0,, joten se saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteissä tai derivaatan nollakohdissa (Fermat n lause).

37 ) Derivaatan nollakohdat f ( ) sinsin f ( ) cos sin cos cossin Saadaan yhtälö f ( ) 0 cos sin 0 cos 0 tai sin 0 sin muistikolmiosta tai taulukkokirjasta: sin 6 sin sin sin sin n tai 6 n 5 n tai n tai n 6 6

38 Derivaatan nollakohdista välillä 0 ovat ) Funktion arvot välin päätepisteissä ja derivaatan nollakohdissa f f f f f f (pienin arvo) (suurin arvo) (suurin arvo) Siis funktio suurin arvo on ja pienin arvo on 3.

39 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK-9 a) 5 f ( ) 3tan, 4 s( ), u( ) tan 4 4 f ( ) 0 3Dtan 4 s( ), u( ) tan tan 4 4 us( ) s( ) tan tan Siis f ( ) 0 kaikilla, joten funktio f on aidosti kasvava.

40 b) Väite: sin, kun 0 eli sin 0, kun 0. Todistus: Tarkastellaan funktiota f ( ) sin, 0, ja osoitetaan, että se ei saa positiivisia arvoja. Tutkitaan funktion f kulkua derivaatan avulla. f ( ) sin f ( ) cos ja cos vain yksittäisissä kohdissa, niin aina f ( ) 0 ja f ( ) 0 vain yksittäisissä kohdissa. Näin ollen funktio f on aidosti vähenevä, jolloin se saa suurimman arvonsa, kun 0. Koska cos, Koska f 0 sin00 0, niin f ( ) 0 kaikilla 0. Siis epäyhtälö sin 0 eli sin on voimassa kaikilla 0.

41 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK-0 a) Taulukkokirjan mukaan vakioerä A (annuiteetti) on K = n q A= Kq q = + =,005 n q 00 n = 3 = 36 36,005 = 0 000,005 36,005 = 608, Korkojen yhteismäärä on 36 A = 903, Korkojen osuus lainan määrästä on % 9,5 % Vastaus Vakioerä on 608. Korot ovat yhteensä 904 (9,5 %).

42 Tapa Vuosikorko on 6 %, joten kuukausikorko on 6% 0,5 % =. Maksueriä on yhteensä 3 36 = kappaletta. Olkoon maksuerän suuruus euroina A. Tällöin velka euroina. maksun jälkeen on V =, A velka euroina. maksun jälkeen on V =,005V A ( A) =,005, A =, ,005 A A velka euroina 3. maksun jälkeen on V =,005V A 3 ( ) =,005, ,005 A A A 3 =, ,005 A,005 A A

43 velka euroina 36. maksun jälkeen on V =,005V A =, ,005 A,005 A...,005 A A Koska velka on maksettu pois 36. maksun jälkeen, saadaan yhtälö V 36 = , ,005 A,005 A...,005 A A= 0 ( ) , A,005 +, ,005 + = 0 ( ) , A +, ,005 +,005 = 0 geometrinen summa, jossa a =, q=,005 ja n= (,005 ), A = 0, ,005, = A, , A = 36,005,005 A = 608, A 608 ( )

44 korkojen yhteismäärä on 36 A = 903, ( ) Korkojen osuus lainan määrästä on % 9,5 % Vastaus Vakioerä on 608. Korot ovat yhteensä 904

45 b) Määritetään kahden peräkkäisen ympyrän säteiden suhde. ΔABC ΔABC ΔABC (kk)

46 r n+ n+ r n c = c n r sin 30 = c r c r r r = = r c c n+ n n n+ n n n n r r r r = r r n+ n n n+ n r r r = r r n+ n n+ n n n+ = n n n+ rr r rr n n n+ n n n c n = r ( ) 3 rr = r : r 0 n n n 3r r n+ n+ r n = r = n 3 Siis rn+ = rn 3.

47 Suurimman ympyrän lisäksi on muita ympyröitä yhteensä 99, joista kolme on aina yhtä suurta. Näin ollen ( ) Aymp = A + 3 A + A3 + A4 + + A34 33 kpl = r + 3( r + r3 + r r34 ) rn+ = r 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 33 = r 3 r r r... r = r + 3 r geometrinen summa 3 3 = r + 3 r 3 a =, q = ja n= = r + 3 r r 66 8 = n = r r =

48 r Δ ABC : tan30 = a r = atan 30 a r = 3 Siis A r a a ymp = = 65 = Kolmion ala: 3 AΔ = a a sin60 a a 3 = = Saadaan A ymp A Δ a % = 00% 4 a 3 5 = % = % = 83, % 83 % Vastaus 5 3 % 83 %

49 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK- a) rad 80 eli rad sin sin 3 sin sin( n ) 6 6 sin 3 6 taulukkokirjasta: 7 sin 6 sin cos cos3 cos cos( n ) 6 6 cos3 6 taulukkokirjasta: 7 cos 6 cos

50 b) tan ja Taulukkokirjan mukaan sin tan tan tan Koska 90 80, niin sin 0, joten sin. 3 Taulukkokirjan mukaan cos tan tan Koska 90 80, niin cos 0, joten cos. 3 Vastaus sin ja cos

51 Tapa tan 3 sin cos 3 sin cos 3 tangentin määritelmä Trigonometrian peruskaavan mukaan sin cos sin cos 3 cos cos 3 4 cos cos 9 9 4cos 9cos 9 3cos 9 cos 9 3 cos cos

52 Koska 90 80, niin cos 0, joten 3 cos. 3 Tällöin 3 sin cos Vastaus sin ja cos

53 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK- a) 3cos sin 0 cos 0 tai sin 0 n tai n n Sijoitetaan saatujen kulmien kehäpisteet yksikköympyrään ja tutkitaan, voidaanko yhtälön juuret esittää yksinkertaisemmin. Yhtälön juuret voidaan esittää lyhyesti n, n.

54 b) n ja n n tan tan 0 n Siis n, n. tan tan tan tan tan tan tan tan n n n n Siis yhtälöllä ei ole ratkaisua. ei toteuta määrittelyehtoa n

55 c) Muunnetaan yhtälö muotoon tan tan. : cos, jolloin pitää olla cos 3sin cos 0 eli n Tutkitaan tapaus cos 0 erikseen. sin 3 cos 3tan taulukkokirjasta: tan 3 tan 6 3 tan tan tan tan 6 n n toteuttavat määrittelyehdon 6 Jos cos 0 eli n, niin sin 0. Tällöin yhtälö cos 3sin on epätosi. Siis yhtälö cos 3sin ei 0 0 toteudu, kun n. Vastaus n, n 6

56 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK-3 Piirretään mallikuva, jossa on tasakylkisen kolmion kantakulma ja huippukulma. Kolmion kulmien summa on tan tan 80 tan n 80 tan tan tan tan tan tan tan tan taulukkokirjasta: tan tan tan tan ( ) 8 7 7

57 Tapa Koska tan, niin kolmion korkeus on a ja kannan puolikas a. Piirretään mallikuva. Tällöin a tan. a

58 Taulukkokirjan mukaan tan tan Sijoitetaan. tan tan tan tan tan Vastaus 4 7

59 Tapa 3 Koska tan, niin kolmion korkeus on a ja kannan puolikas a. Piirretään mallikuva.

60 Pythagoraan lauseen mukaan a a ( ) a 8a 9a 9a 0 9a a a 3a a 0 3a Siis a a sin 3 a 3 a a cos 3 a 3

61 Näin ollen sin tan cos tangentin määritelmä kaksinkertaisen kulman sin sini ja kosini: sin sincos cos cos cos sin cos sin 3 cos cos Vastaus 4 7

62 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK-4 Oletus: a 6 an 5an 4, n, 3, 4,... Väite: Todistus: Yleinen termi an n 5, n,, 3,... Jonon ensimmäinen termi, n = : a Rekursiosääntö: n 5an n n n n3 5 n 5 a n Rekursiivisesti määritellyn jonon molemmat ehdot täyttyvät, joten n yleinen termi on an 5, n,, 3,....

63 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK-5 a) Käyrien y tan ja y tan leikkauspisteet saadaan ratkaisemalla yhtälöpari y tan n y tan n eli n 4 Sijoitetaan yhtälö () yhtälöön (). tan tan tan tan n n n n toteuttaa määrittelyehdot Ratkaisuista n, välillä, ovat, 0 ja. Ratkaistaan y sijoittamalla :n arvot yhtälöön (). : y tan 0 0: y tan00 : y tan 0 Vastaus Leikkauspisteet ovat, 0,, 0. 0,0 ja

64 b) Yhtälön e cos eli yhtälön e cos 0 pienin positiivinen juuri on sama kuin funktion f ( ) e cos pienin positiivinen nollakohta. Funktion f derivaatta on f ( ) e sin e sin Derivaattafunktion f derivaatta on f ( ) e cos e cos Välillä 0, on f ( ) 0, koska e 0 ja cos 0. Tällöin derivaattafunktio f on aidosti kasvava välillä 0,. Koska f 0 0 f,8 0 f jatkuva suljetulla välillä 0, f aidosti kasvava välillä 0, niin derivaatalla on täsmälleen yksi nollakohta t välillä 0,.

65 Funktion f kulkukaavio: f ( ) f ( ) 0 t Koska f 0 0 f 0, 0 f on jatkuva niin kulkukaavion perusteella funktiolla f on täsmälleen yksi nollakohta 0 välillä 0,. Haetaan tämä pienin positiivinen nollakohta 0 haarukoimalla. f ( ) e cos 0 f (0) 0 jatkuva suljetulla välillä nollakohta avoimella välillä f f,5 f,5 0, f ( 0) 0 0;,5,5,45 f, 45 0, f,5 0, 45;,5, 45,5,454 f, 454 0,, 45 0, 45;, 455, 45, 454 0, (0) 0 0, f 0 Nollakohta kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella on 0,45. Vastaus, 45 f 0

66 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK-6 Paperin paksuus on 0,0 mm 0,00 cm. Seuraavan paperikierroksen halkaisija on 0,0mm 0,0mm suurempi kuin edellisen kierroksen. Kierrosten halkaisijat muodostavat siis aritmeettisen jonon. Tällöin paperin pituus on p p p... p p r d d d... d a d d... dn Sn n d n aritmeettinen summa d n Ensimmäisen paperikierroksen halkaisija on d 0,5 m 0,0 mm 5,0 cm Viimeisen paperikierroksen halkaisija on d,5 m 0,0 mm 49,99 cm n n n a n

67 Rullassa on kierroksia (,5 m 0,5 m): 6,5 cm n 650 0,0 mm 0,00 cm Paperin pituus on p n d d n 5,0 cm 49,99 cm , m 7, km

68 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK-7 Olkoon vuotuinen talletus a euroa ja talletusten ja samalla talletusvuosien lukumäärä n.. talletus on n vuoden kuluttua,05 n a. talletus on n vuoden kuluttua,05 n a 3. talletus on n vuoden kuluttua,05 n a n. talletus on vuoden kuluttua,05a Tilillä on rahaa n vuoden kuluttua n 3 n a ( q ) n, 05a,05 a,05 a..., 05 a S geometrinen summa a,05 a, q,05 ja termejä on n kpl,05 a (,05 ),05 n q Saadaan yhtälö n,05 a (,05 ) 0 a : a 0,05 n,05 (,05 ) 0 0,05,05 n,05 (,05 ) 0,5 :,05

69 ,05 n 0,5,05 Funktio lg t, t 0, on n 0,5,05 aidosti kasvava,,05 joten yhtäsuuruus säilyy ,5 potenssin logaritmi: n lg,05 lg,05 r log rlog 0,5 n lg,05 lg,05 lg 0,5,05 n lg,05 n 6, n 7 a a Vastaus 7

70 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK-8 f ( ) 43tan 7 Funktio f on määritelty, kun n. Funktio f on jaksollinen, jaksona on. Riittää tutkia esimerkiksi väliä,. Laaditaan funktion f kulkukaavio. f ( ) 4 3D tan 0 D tan tan 43 tan 3tan Derivaatan nollakohdat saadaan yhtälöstä f ( ) 0 3tan 0 tan 3 tan 3

71 taulukkokirjasta: 5 tan tai tan tan tan tan tai tan tan 6 6 tan 6 3 tan tan 5 n tai n n 6 6 tai 6 6 Derivaatta f on jatkuva, joten selvitetään derivaatan merkki testipisteiden avulla. f ( ) f ( ) f ( ) min. ma. kohta kohta

72 Koska funktion jakso on, niin kulkukaavion perusteella funktiolla on maksimikohdat n 6 ja minimikohdat n 6 Vastaus maksimikohdat minimikohdat n, n ja 6 n, n 6

73 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK-9 Olkoon ensimmäisen neliön sivun pituus a. Tällöin toisen neliön sivun pituus saadaan Pythagoraan lauseella. a a a a 4 4 a ( ) a Siis seuraavan neliön sivun pituus on aina edeltävän neliön sivun pituuteen verrattuna. -kertainen sitä

74 a) 50 ensimmäisen neliön piirien summa on p p p p... p geometrinen summa a 4 a, q ja n50 4a 4 a 4 a 4 a... 4 a 50 4a 4a 5 4a 5 4a 5 4a 5 3,7a 4 3,7a 5 Vastaus a

75 b) 50 ensimmäisen neliön alojen summa on A A A A... A a a a a... a a a a a... a geometrinen summa a a q n, ja 50 a 50 a 50 a 50 a Vastaus a a 50

76 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK-0 Piirretään mallikuva. Merkitään sivua BC a, jolloin sivu AB 4a. Sinilauseen avulla saadaan verranto sinilause: 4a a sin sin 45 a b sin sin 4asin 45 asin : a taulukkokirjasta: y 4sin 45 sin sin sin cos ycos sin y muistikolmiosta tai 4sin cos 45cos sin 45sin taulukkokirjasta: sin 45cos45

77 4sin cos sin 4 4 sin cos sin : cos, jolloin pitää olla cos 0 eli 4 sin 4 cos 90 ( n 80 ) Tapaus cos 0, jolloin sin, on mahdoton. sin 4 4 cos laskimesta: 4 4 tan tan , tan tan 57, , ( n 80 ) tan tan n toteuttaa ehdon 90

78 Kolmion kulmien summa on 80, joten kolmas kulma saadaan yhtälöstä ( 45 ) , , ,8 Vastaus Kolmion kolmas kulma on 0,8.

79 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK3- Renkaan pyörähtäessä kerran ympäri, se etenee kehänsä pituisen matkan ja piste P kiertää kulman 360 renkaan keskipisteen ympäri. Kun rengas etenee 0 m, niin rengas pyörii akselinsa ympäri 0 m 000 cm 7, cm 0 cm kertaa. Tällöin piste P kiertää renkaan keskipisteen ympäri kulman 7, Vastaus 865

80 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK3- a) Saadaan yhtälö sin 4 0 sin 4 4 n n 8 Vastaus n, n 8 b) Saadaan yhtälö sin sin sin 3 sin n 3 n 3 n tai 3 n 3 3 n tai 3 n n 9 3 Vastaus n tai n, n

81 c) cos 3cos 0 t 3t t 3 5 t t 4 0 merkitään t cos t tai t t cos taulukkokirjasta: cos tai cos cos ei ratkaisua 3 cos cos cos cos 3 n n 3 Siis n. 3 4 Näistä vain ja Vastaus tai 3 3 ovat välillä 0,.

82 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK3-3 a) 7 sin, 5 Taulukkokirjan mukaan tan sin 7 sin sin Koska, niin tan 0, joten 7 tan. 4 Vastaus 7 4

83 Tapa 7 sin, 5 Trigonometrian peruskaavan mukaan sin cos cos sin 7 cos sin sin 5 7 cos 5 cos cos cos 5 Koska, niin cos 0, joten 4 cos. 5 Tällöin sin tan : cos

84 taulukkokirjasta: b) sin 6 sin sin cos cossin kaksinkertaisen kulman sini: sin sin cos sin cos cos sin 6 6 kaksinkertaisen kulman kosini: cos cos muistikolmiosta tai taulukkokirjasta: 3 cos ja sin sin cos cos Taulukkokirjasta: tan sin tan 5 cos tan 5 sin Koska tan 0, niin sin ja cos cos ovat keskenään samanmerkkisiä.

85 Näin ollen joko sin ja cos 5 5 tai sin ja cos 5 5 Siis 3 sincos (cos ) huomautus: ylä- ja alamerkit vastaavat toisiaan

86 Tapa tan sin cos tangentin määritelmä: sin tan cos sin cos Trigonometrian peruskaavan mukaan sin cos sin cos cos cos 5cos cos 5 cos 5 Tällöin sin cos. 5 5 Siis joko sin ja cos tai 5 5 sin ja cos. 5 5

87 Nyt sin 6 taulukkokirjasta: sin sincos cossin kaksinkertaisen kulman sini: sin sin cos sin cos cos sin 6 6 kaksinkertaisen kulman kosini: cos cos muistikolmiosta tai taulukkokirjasta: 3 cos ja sin sin cos cos huomautus: ylä- ja alamerkit vastaavat toisiaan

88 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK3-4 Lukujono 500, 497,... a geometrinen, joten n 497 q ja 500 n n 497 an a q 500, n,, 3, Saadaan epäyhtälö a n n : n 497 on aidosti kasvava Suuruusjärjestys 0 n 0 Funktio ln t, t 0, säilyy. 497 r ln ln log a rlog a n ln ln :ln ln n ln 500

89 ln n ln 500 n 033,7 n033 n,, 3,... n 033 Termeistä 033 kpl on ykköstä suurempia. a n, kun n,, 3,..., 033 Vastaus 033 kpl

90 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK3-5 e f ( ) n cos D D e f f g g f f ( ) D D cos g g e cos ( sin ) e e (cos sin ), (cos ) cos n Tällöin vastakulmien kosinit: 4 e cos sin 4 4 cos cos f 4 cos vastakulmien sinit: 4 sin sin 4 e cos sin 4 4 cos 4 muistikolmiosta tai taulukkokirjasta: sin cos e 0

91 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK cos sin sin cos sin sin a b abab cos sin cos sin sin sin cos cos cos sin Tapa cos sin Muunnetaan yhtälö muotoon cos cos. cos sin sin cos cos cos cos cos n n tai n 4 n tai n n 8 ei ratkaisua Vastaus n, n 8

92 Tapa : Muunnetaan yhtälö muotoon sin sin. cos sin cos sin sin sin sin sin n tai n n tai n 4 n tai 0 n n tai 0 n 8 ei ratkaisua Vastaus n, n 8

93 Tapa 3 cos sin : cos, jolloin pitää olla cos 0 eli n sin cos n 4 Tutkitaan tapaus cos 0 myöhemmin. sin cos muistikolmiosta tai tan taulukkokirjasta: tan tan 4 tan 4 tan tan n n 4 toteuttaa n 8 määrittelyehdon

94 Jos cos 0, niin sin. Tällöin yhtälö cos sin 0 0 on epätosi. Vastaus n, n 8

95 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK3-7 Ajatellaan tiilikerrosten yläreunojen korkeus lattiasta aritmeettisena jonona, yksikkönä senttimetri. a = 9,0 a 6 = 49,0 On selvitettävä termi a 5. a 6 a 6 d 49,0 9,0 5d d d 49,0 9,0 5 8,0 a 5 a 5 d 9,048,0 0,0 Siis takan korkeus on 0,0 cm.

96 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK3-8 Tasakylkisen suorakulmaisen kolmion terävät kulmat ovat 45 eli radiaania. 4 Kulmanpuolittaja jakaa tämän kulman kahteen osaan, jotka ovat 8 radiaania. Piirretään mallikuva, jossa kateetteja merkitään kirjaimella a ja hypotenuusaa kirjaimella c. Kulmanpuolittaja jakaa vastaisen kateetin osiin ja a. Hypotenuusa saadaan Pythagoraan lauseen avulla. a a c c a 0 c ( ) a c

97 Kulmanpuolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa. a a c a a a a a c a a a : a Siis ) a tan 8 a a ) a a( ) Vastaus tan 8

98 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK3-9 a) Geometrisen jonon summa on,,, n. ensimmäisen termin S n a n ( q ) a q q n 3 n n Ratkaistaan epäyhtälö Sn 3 0, n ,000 00

99 a a, kun a n 34 0 n n n Funktio lg t, t 0, on aidosti kasvava, joten suuruus- järjestys säilyy potenssin logaritmi: n lg lg 4 3 r log rlog lg n lg 4 : lg lg 3 lg 4 n n 9,7... n,, 3,... n 0,,,... a a Vastaus vähintään 0

100 b) h h 4,0 m 0,85h 0,854,0 m h 0,85h 0,85 4,0 m 3 h n n 0,85 4,0 m Pallon kulkema matka ennen 00. pomppua on h h h h... h h h h h... h ,0 m 0,854,0 m0,85 4,0 m... 0,85 4,0 m geometrinen summa a 0,854,0 m; q0,85 ja n99 0,854,0 m (0,85 ) 4,0 m 0,85 49, m 49,3 m 99

101 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK3-0 a) f ( ) tan 4tan Funktio f on määritelty, kun n eli n. 4 Kun käy läpi kaikki arvot \ n 4, niin tan käy läpi kaikki reaalilukuarvot. Sijoitetaan t tan, jossa t, ja tutkitaan funktiota g t t 4, t t. Funktioiden g ja f saamat arvot ovat samat, joten myös niiden pienimmät arvot ovat samat. Funktion g kuvaaja y t 4t on ylöspäin aukeava paraabeli, joten g saa pienimmän arvonsa paraabelin huipussa eli kohdassa t 0 b 4 a Pienin arvo on g g t Siis myös funktion f pienin arvo on 4.

102 b) Todistus. Piirretään mallikuva. Kolmion kulmien summa on 80, joten kulma 80. Tällöin sin sin 80 sin suplementtikulmien sinit: sin sin 80

103 Oletuksen sin sin sin oikea puoli on siis y sin sin sin taulukkokirjasta: sin cos ycos sin y sin cos cos sin ab a abb sin cos sincos cossin cos sin Muokataan oletuksen vasenta puolta. sin sin kaksinkertaisen kulman sini: sin sin cos sincossincos 4sincossin cos Oletus saadaan muotoon sin cos sin cos cos sin cos sin 4sincossin cos Josta edelleen sin cos sincos cossin cos sin 0

104 Koska ab a ab b, niin saadaan sin cos cos sin 0 taulukkokirjasta: sincos cossin 0 sin y sin 0 sin cos ycos sin y Koska 0n niin vain n 0 kelpaa. Koska, niin kolmio on tasakylkinen.

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Vinokulmainen kolmio. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio

Vinokulmainen kolmio. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio Vinokulmainen kolmio Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Yksikköympyrä ja suunnattu kulma Yksikköympyrä 1 y 0 x -1-1 0 1 Hannu Lehto 18. maaliskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio 2 / 8 Yksikköympyrä ja suunnattu

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Mitkä kuutiot on taiteltu kuvassa

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa 1 Aste, 1 (engl. degree) Täsi kierros on 360 (360 astetta). Yksi aste jaetaan 60 kulmaminuuttiin (1 = 60 ) ja ksi kulmaminuutti jaetaan 60 kulmasekuntiin (1 =

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa a c b Olkoon suorakulmaisen kolmion terävä kulma, a tämän vastainen kateetti, b viereinen kateetti ja c kolmion

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti MAA8 Ko 5..04 T konsptiin pisttsruudukko! Muista kirjata nimsi ja rhmäsi. Lu ohjt huolllissti A-Osio: Ei saa kättää laskinta. MAOL saa olla alusta asti kätössä. Maksimissaan h aikaa suorittaa A- Osio.

Lisätiedot

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2.

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2. Hyvän ratkaisun piirteitä: a) Neliöpohjainen rakennelma Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva ), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 =

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

3 Eksponentiaalinen malli

3 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot

Trigonometriset funktiot Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit

Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit Pitkä matematiikka, syksy 05 Mallivastaukset, 3.9.05 Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Teemu Kekkonen ja diplomi-insinööri

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ.9.013 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan

Lisätiedot

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen?

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen? YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 3.3.0 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

Mb03 Koe 21.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/4

Mb03 Koe 21.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/4 Mb03 Koe 2..20 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu /4 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Kertauskirja. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava TEHTÄVIÄ KURSSIEN MAA1 10 YDINAIHEISTA RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Kertauskirja. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava TEHTÄVIÄ KURSSIEN MAA1 10 YDINAIHEISTA RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Kertauskirja Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava TEHTÄVIÄ KURSSIEN MAA 0 YDINAIHEISTA RATKAISUINEEN Pitkä matematiikka Kertauskirja Tehtäväsarjat ja niiden ratkaisut Tehtäväsarjoja

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat Harjoitustehtävät, syys lokakuu 010. Helpommat Ratkaisuja 1. Kellon minuutti- ja tuntiosoittimet ovat tasan suorassa kulmassa kello 9.00. Milloin ne ovat seuraavan kerran tasan suorassa kulmassa? Ratkaisu.

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli Kertausosa 1. Kulma α on 7 suurempi kuin kulma eli 7. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli 180 7 180 14 : 71,5 Siis 7 71,5 7 108, 5 Vastaus: 108,5, 71, 5. Kuvaan merkityt kulmat

Lisätiedot

MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.

MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. MAA9. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 4.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 4.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka 4..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1

Lisätiedot

2 arvo muuttujan arvolla

2 arvo muuttujan arvolla Mb Mallikoe Määritä funktion f ( ) arvo muuttujan arvolla a) b) c) k 6 a) Määritä suorien y 0 ja y leikkauspiste b) Määritä suoran yhtälö, kun se kulkee pisteen (, ) kautta ja on yhdensuuntainen suoran

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2008

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2008 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5..008 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. Ratkaise

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2 Kotitehtäviä 5. Ratkaisuehdotuksia. a) Jono a,..., a 500 on aritmeettinen, a = 5 ja erotusvakio d = 4. Laske jäsenet a, a 8 ja a 00 sekä koko jonon summa. b) Jono b,..., b 0 on geometrinen, b = ja suhdeluku

Lisätiedot

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT ARI LEHTONEN. Trigonometriset funktiot.. Peruskaavat. tan x := sin x cos x, cos x cot x := sin x Anglosaksisissa maissa käytössä ovat myös funktiot sekantti sec

Lisätiedot

Derivaatan sovelluksia

Derivaatan sovelluksia Derivaatan sovelluksia Derivaatta muutosnopeuden mittarina Tehdään monisteen esimerkistä 5 hiukan mutkikkaampi versio Olete- taan, että meillä on mpräpohjaisen kartion muotoinen astia, johon virtaa vettä

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Koordinaatistot 1/6 Sisältö Koordinaatiston ja koordinaattien käsite Geometrisissa tehtävissä ja siten mös monissa kätännön ongelmissa on usein tarpeen ilmoittaa pisteiden sijainti jonkin kiinteän vertailussteemin

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään

Lisätiedot

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155.

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155. Monikulmiot 1. Kulmia 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 5 = 155. b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α = 8.. Kulma α ja 47 kulma ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia,

Lisätiedot

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Johdatus GeoGebraan Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Harjoitus 1B. Konstruoi tasakylkinen kolmio ABC, jonka kyljen pituus on 5. Vihje: käytä Kiinteä jana työvälinettä kahdesti. Ota kolmion

Lisätiedot

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot

MAB 9 kertaus MAB 1. Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi

MAB 9 kertaus MAB 1. Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi MAB 9 kertaus MAB 1 Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi Kertolaskussa osoittajat ja nimittäjät kerrotaan keskenään Jakolasku lasketaan kertomalla

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 015 Lhen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Tekijät: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen Ratkaisut on laadittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmalla kättäen Muistiinpanot -sovellusta.

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o.

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o. KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA 45 l 6. a) Samankohtaisista kulmista 80( 80456) 08 b) Kolmion kulmien summa on ( 80) 80 6 l 5 80 :( 5) 6 Kysytty kulma 80 8067 Vastaus: a) 08 o b) 7 o 7. Kulmien summa on ( )

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29.

Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29. 1 Yhdenmuotoisuus Keskenään samanmuotoisia kuviota kutsutaan yhdenmuotoisiksi kuvioiksi. Yhdenmuotoisten kuvioiden toisiaan vastaavia kulmia kutsutaan vastinkulmiksi ja toisiaan vastaavia osia vastinosiksi.

Lisätiedot

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b ja Logaritmit, L3b eksponentti-funktio Eksponentti-funktio Linkkejä kurssi8, / Etälukio (edu.) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.) Potenssifunktio y = f (x) = 2 Vakiofunktion y = a kuvaaja on vaakasuora

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 4.9.04 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Matematiikka vuosiluokat 7 9

Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa

Lisätiedot

3. Yhtälön numeeristen ratkaisujen etsimisestä

3. Yhtälön numeeristen ratkaisujen etsimisestä Olkoon funktio f x jatkuva jollain välillä [a;b]. Jos on olemassa sellainen luku c, että a < c < b ja f a f b 0, niin on olemassa sellainen luku c, että a < c < b ja f c =0. Tämän Bolzanon lauseen mukaan

Lisätiedot

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Selosta, miten puolitat (jaat kahtia) annetun koveran kulman pelkästään harppia ja viivoitinta käyttäen. 2. Piirrä kolmio, kun tunnetaan sen kaksi kulmaa (α ja β) sekä näiden

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Kertaustehtävien ratkaisut. x y = x + 6 (x, y) 0 0 + 6 = 6 (0, 6) + 6 = (, ) + 6 = 0 (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0).. x y = x (x, y) 0 0 (0, 0) (, ) (, ) x y = x + (x, y) 0

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8] 2015 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 8] Trigometrian ja avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille Sisällysluettelo 8.1 PYTHAGORAAN LAUSE... 3 8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6...

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

diskonttaus ja summamerkintä, L6

diskonttaus ja summamerkintä, L6 diskonttaus ja summamerkintä, L6 1 Edellä aina laskettiin kasvanut pääoma alkupääoman ja koron perusteella. Seuraavaksi pohdimme käänteistä ongelmaa: Miten suuri tulee alkupääoman K 0 olla, jotta n jakson

Lisätiedot

Trigonometriaa: kolmioita ja kaavoja

Trigonometriaa: kolmioita ja kaavoja Trigonometriaa: kolmioita ja kaavoja Trigonometriset funktiot voidaan määritellä eri tavoin Yksikköympyrään x + y 1 perustuva määritelmä on yleensä selkeä Jos A 1, 0) ja t 0 on reaaliluku, on olemassa

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360.

Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360. 9. Särmiä pitkin matka on a. Avaruuslävistäjää pitkin matka on a + a + a a a Matkojen suhde on 0,577, eli avaruuslävistäjää pitkin kuljettu matka on a 00 % 57,7 % 4, % lyhyempi. Vastaus: 4, % 0. Tilavuus

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

MIKROTEORIA 1, HARJOITUS 1 BUDJETTISUORA, PREFERENSSIT, HYÖTYFUNKTIO JA VALINTA

MIKROTEORIA 1, HARJOITUS 1 BUDJETTISUORA, PREFERENSSIT, HYÖTYFUNKTIO JA VALINTA MIKROTEORIA, HARJOITUS BUDJETTISUORA, PREFERENSSIT, HYÖTYFUNKTIO JA VALINTA tilasto (600 00) 00 a. Kulmakerroin: = = =, koska 00 sivua lisää ta aiheuttaa (00 400) 00 luopumisen 00 sivusta tilastoa. Toisin

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut sivu 1 / 22 Ratkaisut TEHTÄVÄ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 VASTAUS A C E C A A B A D A TEHTÄVÄ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 VASTAUS A C B C B C D B E B TEHTÄVÄ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 VASTAUS D C C E E

Lisätiedot