Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin"

Transkriptio

1 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin cos us( ) s( ) 3sin cos c) 3 Dsin us ( ) 3 cos 3 us( ) s( ) 3 3 cos 3 s( ) ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos

2 d) Dtan 3 D tan3 us ( ) 3 n n, n 6 3 s( ) tan3 u( ) ja u( ) s( ) 3 ja s ( ) 3 tan3 Dtan3 us( ) s( ) u( ) tan ja u ( ) tan tan3 tan 3 3 u s ( ) s ( ) 6t an3 tan 3, n, n 6 3 Tapa Dtan 3 D tan3 us ( ) 3 n n, n 6 3 s( ) tan3 u( ) ja u( )

3 s( ) 3 ja s ( ) 3 tan3 Dtan3 us( ) s( ) u( ) tan ja u ( ) cos tan3 3 cos 3 u s( ) s ( ) 6tan3, n, n cos e) Dsin cos tulon derivaatta: D f g Df g Dg f Dsin cos Dcos sin cos cos sin sin cos sin kaksinkertaisen kulman kosini: cos sin cos cos Tapa kaksinkertaisen kulman sini: Dsin cos sin cos sin, josta sin cos sin

4 D sin s( ) ja s( ) Dsin u( ) sin ja u( ) cos us ( ) cos us( ) s( ) cos f ) cos 0 D cos n osamäärän derivoimissääntö: f D g D D f g g f g D cos Dcos cos 0cos sin cos sin, n, n cos

5 Vastaus voidaan antaa myös toisessa muodossa: sin sin tan cos cos cos cos tan, n, n cos Tapa cos 0 D cos n Dcos us ( ) cos sin us( ) s( ) cos sin sin, n, n cos tan, n, n cos s( ) cos ja s( ) sin u( ) ja u( )

6 Vastaus a) 3cos3 b) 3sin cos c) d) 3 3 cos 6 tan3 ( tan 3 ), n, n 6 3 6tan3, n, n cos e) cos f) sin, n, n cos tan, n, n cos

7 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK- a) cos muistikolmiosta tai taulukkokirjasta: cos 4 cos cos cos cos 4 n n 4 Vastaus n, n 4

8 b) sin sin sin 3 muistikolmiosta tai taulukkokirjasta: 3 sin 3 sin sin sin sin 3 3 n tai n n tai n n 3 3 tai n n 3 Vastaus n tai n, n 3 Huomautus: Tehtävän olisi voinut ratkaista myös merkitsemällä t. 3

9 c) 5 n 6 3) ) 3) 5 n n 6 tan 5 6 n 5 5 muistikolmiosta tai taulukkokirjasta: tan 4 tan tan tan 5 tan 6 4 n 5 n n n :5 n toteuttaa määrittelyehdon 5 Vastaus c) n, n 5

10 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK-3 Tutkitaan aritmeettista lukujonoa (a n ), n =,, 3,..., jonka 7. termi on a7 3 ja 5. termi on a5. Koska jono on aritmeettinen, niin a 5 a7 5 7 d 3 8d d a) a a 7d 7 3 a 6 4 a b) Saadaan epäyhtälö a n 0 a nd 0 4 n 0 4

11 n n 4 n 58 n59 n,, 3,... n 58 Siis negatiivisia termejä on 58 kpl a 0, kun n,, 3,..., 58 n c) Saadaan yhtälö 4 n 4 n 4 4 Siis on jonon 43. termi. 7 n 4 43 Vastaus a) a 4 b) Negatiivisia termejä on 58 kpl. c) On jonon jäsen.

12 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK-4 a) cos cos cos3 cos 4 n 3 n 4 3 n tai 3 n 4 4 n tai 4 n 4 4 n tai n 8 6 Vastaus n tai n, n n tai n, n 8 6

13 b) trigonometrian 3sin 6cos 9 0 peruskaavasta: 3cos 6cos90 sin cos 33cos 6cos90 3cos 6cos cos cos cos tai cos ei ratkaisua cos laskimella 3 3 cos, cos cos, cos cos n, n Vastaus,30n, n

14 c) cos cos4 0 suplementtikulmien cos cos 4 kosinit: cos cos cos cos 4 cos cos n 4n 4n tai 4n 5 n tai 3 n n tai n Vastaus n tai n, n

15 d) sin 3 sin 0 6 sin sin 3 sin sin 6 sin sin sin sin 3 n tai 6 n 3n tai 3n n tai 3 n n tai n n tai n 4 Vastaus 5 n tai n, n 4

16 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK-5 00 a) i) i i0 Summa on aritmeettinen, sillä kahden peräkkäisen termin erotus a i ai i i on vakio. Siis 00 i0 ii a i S n n a n

17 ii) 9 k 0... k Summa on geometrinen, koska kahden peräkkäisen termin suhde a k k k k a k k k k 3 on aina vakio. Siis 9 k 0 k ( q ) q 3 a, q, n S n a n

18 iii) 999 n n lg n lg lg lg... lg lg lg 3 lg 3 lg 4 osamäärän logaritmi: log a log a log ay y lg 4 lg 5... lg999 lg 000 lg lg 000 lg 000 osamäärän logaritmi: log a log a y log a y lg 000 lg 0 3 lg0 3 3lg0 potenssin logaritmi: log a r rlog kantaluvun logaritmi: log a a a 3 3

19 Tapa osamäärän logaritmi: 999 n lg n n log a log a log a y y 999 lg nlgn n lg lg 3 lg 3 lg 4 lg lg 000 lg 4 lg 5... lg 999 lg 000 lg lg 000 lg lg lg000 tulon logaritmi: log y log log y a a a lg lg lg000 lg0 3 3lg0 potenssin logaritmi: log a r rlog kantaluvun logaritmi: log a a a 3 3

20 Tapa n n lg n lg lg lg... lg tulon logaritmi: log log ylog y a a a lg lg 000 osamäärän logaritmi: lg 000 log log log y a a a y lglg000 0lg0 3 3lg0 luvun yksi logaritmi: log 0 potenssin logaritmi: log a a r rlog kantaluvun logaritmi: log a a a 3 3

21 b) Lukujono an 3 n 4n n, n 0,,,... 3 Tutkitaan funktiota f ( ) 4, jolloin a f ( n), n 0,,,.... n Funktio f on polynomifunktiona jatkuva ja derivoituva. Laaditaan funktion kulkukaavio. f ( ) 3 8 Derivaatan nollakohdat: f ( ) tai y f ( ) f ( ) f ( ) 3 0 3

22 Kulkukaavion perusteella nähdään, että lukujono a n on aidosti kasvava, kun n,, 3,..., ja aidosti vähenevä, kun n 3, 4, 5,.... Siis lukujonon a, n 0,,,..., suurin termi on joko a tai a 3. n a a 3 3 f () f (3) (suurin arvo) Vastaus a) i) 9999 ii) 3 iii) b) 60

23 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK-6 a) sin cos sin cos sin cos sin sin n n 4 Vastaus n, n 4

24 b) n tan cos sin tan cos sin cos cos 0 cos sin cos sin cos cos sin sin sin sin sin 0 Merkitään t sin. t t0 4 t 5 t t sin 5 5 sin tai sin ei ratkaisua

25 Laskin: 5 sin 5 sin, sin sin sin sin, n tai n 0, n tai 0, n 0,67 n tai,48 n Ratkaisut toteuttavat määrittelyehdon. Vastaus 0,67 n tai,48 n, n

26 c) 4cos4 cos 4 4 cos cos 4 cos cos 4 cos cos 4 8cos 4 cos 4 7cos 0 cos 0 cos 0 n n 4 Vastaus n, n 4

27 Tapa 4cos4 cos 4 4coscos 4 4sin sin 4 cos sin cos sin 48sin sin 30 7sin 7 0 sin sin n n 4 Vastaus n, n 4

28 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK-7 a) sin 6cos sin 3cos Trigonometrian peruskaavan mukaan sin cos sin 3cos 3cos cos 9cos cos 0cos cos 0 Sinin kaksinkertaisen kulman kaavan mukaan sin sin cos sin 3cos 3coscos 6cos cos Vastaus 3 sin 5

29 b) Olkoon tasakylkisen kolmion kantakulma ja huippukulma. Koska cos, niin kolmion kannan puolikas on a ja 5 kylki 5a. Piirretään mallikuva. Taulukkokirjan mukaan tan tan tan Mallikuvasta saadaan a tan

30 Pythagoraan lauseella saadaan kolmion korkeus : a 5a a 5a 4a ( ) 4a 0 46a a a a 6 a 0 a 6 Tällöin tan a a a 6 6. Näin ollen tan tan tan tan

31 Vastaus 0, ,43 3

32 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK-8 a) Piste, on käyrän y cos sin piste, koska cos sin 0 4 Määritetään derivaatan avulla tangentin kulmakerroin. y cos sin D( f g) ( D f ) g ( D g) f y cossin cos cos sincos Tangentin kulmakerroin on kt y cos sin cos Normaalin kulmakerroin on k N 4 k T

33 Tangentin yhtälö on y y k 0 0 k T, y, y 4 3 y y 4 8 Normaalin yhtälö on y y k y 4 y Vastaus Tangentin yhtälö on Normaalin yhtälö on k N, y, y y

34 b) f ( ) sin cos Kaksinkertaisen kulman kosinin kaavan mukaan saadaan f ( ) sinsin, Merkitään t sin On siis määritettävä funktion. Koska, niin, g t t t, t suurin ja pienin arvo. Tapa t. ) Funktio g on jatkuva suljetulla välillä, ja derivoituva avoimella välillä,, joten g saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteissä tai derivaatan nollakohdissa. (Fermat n lause). ) Derivaatan nollakohdat g t tt g t 4t Saadaan yhtälö gt 0 4t 0 t,

35 3) Funktion arvot välin päätepisteissä ja derivaatan nollakohdissa g 3(pienin arvo) g g (suurin arvo) Vastaus Suurin arvo on ja pienin arvo on 3. Tapa Funktion g t t t, t, kuvaaja y t t, t on osa alaspäin aukeavasta paraabelista. Paraabelin huippu: t 0 y 0 b a y

36 Funktion g suurin arvo on ja pienin arvo on g 3. Siis funktio f suurin arvo on Tapa 3 ja pienin arvo on 3. Funktion f ( ) sin sin jakso on, joten voidaan rajoittua esimerkiksi välille 0,. ) Funktio f on jatkuva suljetulla välillä 0, ja derivoituva avoimella välillä 0,, joten se saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteissä tai derivaatan nollakohdissa (Fermat n lause).

37 ) Derivaatan nollakohdat f ( ) sinsin f ( ) cos sin cos cossin Saadaan yhtälö f ( ) 0 cos sin 0 cos 0 tai sin 0 sin muistikolmiosta tai taulukkokirjasta: sin 6 sin sin sin sin n tai 6 n 5 n tai n tai n 6 6

38 Derivaatan nollakohdista välillä 0 ovat ) Funktion arvot välin päätepisteissä ja derivaatan nollakohdissa f f f f f f (pienin arvo) (suurin arvo) (suurin arvo) Siis funktio suurin arvo on ja pienin arvo on 3.

39 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK-9 a) 5 f ( ) 3tan, 4 s( ), u( ) tan 4 4 f ( ) 0 3Dtan 4 s( ), u( ) tan tan 4 4 us( ) s( ) tan tan Siis f ( ) 0 kaikilla, joten funktio f on aidosti kasvava.

40 b) Väite: sin, kun 0 eli sin 0, kun 0. Todistus: Tarkastellaan funktiota f ( ) sin, 0, ja osoitetaan, että se ei saa positiivisia arvoja. Tutkitaan funktion f kulkua derivaatan avulla. f ( ) sin f ( ) cos ja cos vain yksittäisissä kohdissa, niin aina f ( ) 0 ja f ( ) 0 vain yksittäisissä kohdissa. Näin ollen funktio f on aidosti vähenevä, jolloin se saa suurimman arvonsa, kun 0. Koska cos, Koska f 0 sin00 0, niin f ( ) 0 kaikilla 0. Siis epäyhtälö sin 0 eli sin on voimassa kaikilla 0.

41 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK-0 a) Taulukkokirjan mukaan vakioerä A (annuiteetti) on K = n q A= Kq q = + =,005 n q 00 n = 3 = 36 36,005 = 0 000,005 36,005 = 608, Korkojen yhteismäärä on 36 A = 903, Korkojen osuus lainan määrästä on % 9,5 % Vastaus Vakioerä on 608. Korot ovat yhteensä 904 (9,5 %).

42 Tapa Vuosikorko on 6 %, joten kuukausikorko on 6% 0,5 % =. Maksueriä on yhteensä 3 36 = kappaletta. Olkoon maksuerän suuruus euroina A. Tällöin velka euroina. maksun jälkeen on V =, A velka euroina. maksun jälkeen on V =,005V A ( A) =,005, A =, ,005 A A velka euroina 3. maksun jälkeen on V =,005V A 3 ( ) =,005, ,005 A A A 3 =, ,005 A,005 A A

43 velka euroina 36. maksun jälkeen on V =,005V A =, ,005 A,005 A...,005 A A Koska velka on maksettu pois 36. maksun jälkeen, saadaan yhtälö V 36 = , ,005 A,005 A...,005 A A= 0 ( ) , A,005 +, ,005 + = 0 ( ) , A +, ,005 +,005 = 0 geometrinen summa, jossa a =, q=,005 ja n= (,005 ), A = 0, ,005, = A, , A = 36,005,005 A = 608, A 608 ( )

44 korkojen yhteismäärä on 36 A = 903, ( ) Korkojen osuus lainan määrästä on % 9,5 % Vastaus Vakioerä on 608. Korot ovat yhteensä 904

45 b) Määritetään kahden peräkkäisen ympyrän säteiden suhde. ΔABC ΔABC ΔABC (kk)

46 r n+ n+ r n c = c n r sin 30 = c r c r r r = = r c c n+ n n n+ n n n n r r r r = r r n+ n n n+ n r r r = r r n+ n n+ n n n+ = n n n+ rr r rr n n n+ n n n c n = r ( ) 3 rr = r : r 0 n n n 3r r n+ n+ r n = r = n 3 Siis rn+ = rn 3.

47 Suurimman ympyrän lisäksi on muita ympyröitä yhteensä 99, joista kolme on aina yhtä suurta. Näin ollen ( ) Aymp = A + 3 A + A3 + A4 + + A34 33 kpl = r + 3( r + r3 + r r34 ) rn+ = r 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 33 = r 3 r r r... r = r + 3 r geometrinen summa 3 3 = r + 3 r 3 a =, q = ja n= = r + 3 r r 66 8 = n = r r =

48 r Δ ABC : tan30 = a r = atan 30 a r = 3 Siis A r a a ymp = = 65 = Kolmion ala: 3 AΔ = a a sin60 a a 3 = = Saadaan A ymp A Δ a % = 00% 4 a 3 5 = % = % = 83, % 83 % Vastaus 5 3 % 83 %

49 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK- a) rad 80 eli rad sin sin 3 sin sin( n ) 6 6 sin 3 6 taulukkokirjasta: 7 sin 6 sin cos cos3 cos cos( n ) 6 6 cos3 6 taulukkokirjasta: 7 cos 6 cos

50 b) tan ja Taulukkokirjan mukaan sin tan tan tan Koska 90 80, niin sin 0, joten sin. 3 Taulukkokirjan mukaan cos tan tan Koska 90 80, niin cos 0, joten cos. 3 Vastaus sin ja cos

51 Tapa tan 3 sin cos 3 sin cos 3 tangentin määritelmä Trigonometrian peruskaavan mukaan sin cos sin cos 3 cos cos 3 4 cos cos 9 9 4cos 9cos 9 3cos 9 cos 9 3 cos cos

52 Koska 90 80, niin cos 0, joten 3 cos. 3 Tällöin 3 sin cos Vastaus sin ja cos

53 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK- a) 3cos sin 0 cos 0 tai sin 0 n tai n n Sijoitetaan saatujen kulmien kehäpisteet yksikköympyrään ja tutkitaan, voidaanko yhtälön juuret esittää yksinkertaisemmin. Yhtälön juuret voidaan esittää lyhyesti n, n.

54 b) n ja n n tan tan 0 n Siis n, n. tan tan tan tan tan tan tan tan n n n n Siis yhtälöllä ei ole ratkaisua. ei toteuta määrittelyehtoa n

55 c) Muunnetaan yhtälö muotoon tan tan. : cos, jolloin pitää olla cos 3sin cos 0 eli n Tutkitaan tapaus cos 0 erikseen. sin 3 cos 3tan taulukkokirjasta: tan 3 tan 6 3 tan tan tan tan 6 n n toteuttavat määrittelyehdon 6 Jos cos 0 eli n, niin sin 0. Tällöin yhtälö cos 3sin on epätosi. Siis yhtälö cos 3sin ei 0 0 toteudu, kun n. Vastaus n, n 6

56 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK-3 Piirretään mallikuva, jossa on tasakylkisen kolmion kantakulma ja huippukulma. Kolmion kulmien summa on tan tan 80 tan n 80 tan tan tan tan tan tan tan tan taulukkokirjasta: tan tan tan tan ( ) 8 7 7

57 Tapa Koska tan, niin kolmion korkeus on a ja kannan puolikas a. Piirretään mallikuva. Tällöin a tan. a

58 Taulukkokirjan mukaan tan tan Sijoitetaan. tan tan tan tan tan Vastaus 4 7

59 Tapa 3 Koska tan, niin kolmion korkeus on a ja kannan puolikas a. Piirretään mallikuva.

60 Pythagoraan lauseen mukaan a a ( ) a 8a 9a 9a 0 9a a a 3a a 0 3a Siis a a sin 3 a 3 a a cos 3 a 3

61 Näin ollen sin tan cos tangentin määritelmä kaksinkertaisen kulman sin sini ja kosini: sin sincos cos cos cos sin cos sin 3 cos cos Vastaus 4 7

62 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK-4 Oletus: a 6 an 5an 4, n, 3, 4,... Väite: Todistus: Yleinen termi an n 5, n,, 3,... Jonon ensimmäinen termi, n = : a Rekursiosääntö: n 5an n n n n3 5 n 5 a n Rekursiivisesti määritellyn jonon molemmat ehdot täyttyvät, joten n yleinen termi on an 5, n,, 3,....

63 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK-5 a) Käyrien y tan ja y tan leikkauspisteet saadaan ratkaisemalla yhtälöpari y tan n y tan n eli n 4 Sijoitetaan yhtälö () yhtälöön (). tan tan tan tan n n n n toteuttaa määrittelyehdot Ratkaisuista n, välillä, ovat, 0 ja. Ratkaistaan y sijoittamalla :n arvot yhtälöön (). : y tan 0 0: y tan00 : y tan 0 Vastaus Leikkauspisteet ovat, 0,, 0. 0,0 ja

64 b) Yhtälön e cos eli yhtälön e cos 0 pienin positiivinen juuri on sama kuin funktion f ( ) e cos pienin positiivinen nollakohta. Funktion f derivaatta on f ( ) e sin e sin Derivaattafunktion f derivaatta on f ( ) e cos e cos Välillä 0, on f ( ) 0, koska e 0 ja cos 0. Tällöin derivaattafunktio f on aidosti kasvava välillä 0,. Koska f 0 0 f,8 0 f jatkuva suljetulla välillä 0, f aidosti kasvava välillä 0, niin derivaatalla on täsmälleen yksi nollakohta t välillä 0,.

65 Funktion f kulkukaavio: f ( ) f ( ) 0 t Koska f 0 0 f 0, 0 f on jatkuva niin kulkukaavion perusteella funktiolla f on täsmälleen yksi nollakohta 0 välillä 0,. Haetaan tämä pienin positiivinen nollakohta 0 haarukoimalla. f ( ) e cos 0 f (0) 0 jatkuva suljetulla välillä nollakohta avoimella välillä f f,5 f,5 0, f ( 0) 0 0;,5,5,45 f, 45 0, f,5 0, 45;,5, 45,5,454 f, 454 0,, 45 0, 45;, 455, 45, 454 0, (0) 0 0, f 0 Nollakohta kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella on 0,45. Vastaus, 45 f 0

66 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK-6 Paperin paksuus on 0,0 mm 0,00 cm. Seuraavan paperikierroksen halkaisija on 0,0mm 0,0mm suurempi kuin edellisen kierroksen. Kierrosten halkaisijat muodostavat siis aritmeettisen jonon. Tällöin paperin pituus on p p p... p p r d d d... d a d d... dn Sn n d n aritmeettinen summa d n Ensimmäisen paperikierroksen halkaisija on d 0,5 m 0,0 mm 5,0 cm Viimeisen paperikierroksen halkaisija on d,5 m 0,0 mm 49,99 cm n n n a n

67 Rullassa on kierroksia (,5 m 0,5 m): 6,5 cm n 650 0,0 mm 0,00 cm Paperin pituus on p n d d n 5,0 cm 49,99 cm , m 7, km

68 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK-7 Olkoon vuotuinen talletus a euroa ja talletusten ja samalla talletusvuosien lukumäärä n.. talletus on n vuoden kuluttua,05 n a. talletus on n vuoden kuluttua,05 n a 3. talletus on n vuoden kuluttua,05 n a n. talletus on vuoden kuluttua,05a Tilillä on rahaa n vuoden kuluttua n 3 n a ( q ) n, 05a,05 a,05 a..., 05 a S geometrinen summa a,05 a, q,05 ja termejä on n kpl,05 a (,05 ),05 n q Saadaan yhtälö n,05 a (,05 ) 0 a : a 0,05 n,05 (,05 ) 0 0,05,05 n,05 (,05 ) 0,5 :,05

69 ,05 n 0,5,05 Funktio lg t, t 0, on n 0,5,05 aidosti kasvava,,05 joten yhtäsuuruus säilyy ,5 potenssin logaritmi: n lg,05 lg,05 r log rlog 0,5 n lg,05 lg,05 lg 0,5,05 n lg,05 n 6, n 7 a a Vastaus 7

70 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK-8 f ( ) 43tan 7 Funktio f on määritelty, kun n. Funktio f on jaksollinen, jaksona on. Riittää tutkia esimerkiksi väliä,. Laaditaan funktion f kulkukaavio. f ( ) 4 3D tan 0 D tan tan 43 tan 3tan Derivaatan nollakohdat saadaan yhtälöstä f ( ) 0 3tan 0 tan 3 tan 3

71 taulukkokirjasta: 5 tan tai tan tan tan tan tai tan tan 6 6 tan 6 3 tan tan 5 n tai n n 6 6 tai 6 6 Derivaatta f on jatkuva, joten selvitetään derivaatan merkki testipisteiden avulla. f ( ) f ( ) f ( ) min. ma. kohta kohta

72 Koska funktion jakso on, niin kulkukaavion perusteella funktiolla on maksimikohdat n 6 ja minimikohdat n 6 Vastaus maksimikohdat minimikohdat n, n ja 6 n, n 6

73 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK-9 Olkoon ensimmäisen neliön sivun pituus a. Tällöin toisen neliön sivun pituus saadaan Pythagoraan lauseella. a a a a 4 4 a ( ) a Siis seuraavan neliön sivun pituus on aina edeltävän neliön sivun pituuteen verrattuna. -kertainen sitä

74 a) 50 ensimmäisen neliön piirien summa on p p p p... p geometrinen summa a 4 a, q ja n50 4a 4 a 4 a 4 a... 4 a 50 4a 4a 5 4a 5 4a 5 4a 5 3,7a 4 3,7a 5 Vastaus a

75 b) 50 ensimmäisen neliön alojen summa on A A A A... A a a a a... a a a a a... a geometrinen summa a a q n, ja 50 a 50 a 50 a 50 a Vastaus a a 50

76 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK-0 Piirretään mallikuva. Merkitään sivua BC a, jolloin sivu AB 4a. Sinilauseen avulla saadaan verranto sinilause: 4a a sin sin 45 a b sin sin 4asin 45 asin : a taulukkokirjasta: y 4sin 45 sin sin sin cos ycos sin y muistikolmiosta tai 4sin cos 45cos sin 45sin taulukkokirjasta: sin 45cos45

77 4sin cos sin 4 4 sin cos sin : cos, jolloin pitää olla cos 0 eli 4 sin 4 cos 90 ( n 80 ) Tapaus cos 0, jolloin sin, on mahdoton. sin 4 4 cos laskimesta: 4 4 tan tan , tan tan 57, , ( n 80 ) tan tan n toteuttaa ehdon 90

78 Kolmion kulmien summa on 80, joten kolmas kulma saadaan yhtälöstä ( 45 ) , , ,8 Vastaus Kolmion kolmas kulma on 0,8.

79 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK3- Renkaan pyörähtäessä kerran ympäri, se etenee kehänsä pituisen matkan ja piste P kiertää kulman 360 renkaan keskipisteen ympäri. Kun rengas etenee 0 m, niin rengas pyörii akselinsa ympäri 0 m 000 cm 7, cm 0 cm kertaa. Tällöin piste P kiertää renkaan keskipisteen ympäri kulman 7, Vastaus 865

80 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK3- a) Saadaan yhtälö sin 4 0 sin 4 4 n n 8 Vastaus n, n 8 b) Saadaan yhtälö sin sin sin 3 sin n 3 n 3 n tai 3 n 3 3 n tai 3 n n 9 3 Vastaus n tai n, n

81 c) cos 3cos 0 t 3t t 3 5 t t 4 0 merkitään t cos t tai t t cos taulukkokirjasta: cos tai cos cos ei ratkaisua 3 cos cos cos cos 3 n n 3 Siis n. 3 4 Näistä vain ja Vastaus tai 3 3 ovat välillä 0,.

82 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK3-3 a) 7 sin, 5 Taulukkokirjan mukaan tan sin 7 sin sin Koska, niin tan 0, joten 7 tan. 4 Vastaus 7 4

83 Tapa 7 sin, 5 Trigonometrian peruskaavan mukaan sin cos cos sin 7 cos sin sin 5 7 cos 5 cos cos cos 5 Koska, niin cos 0, joten 4 cos. 5 Tällöin sin tan : cos

84 taulukkokirjasta: b) sin 6 sin sin cos cossin kaksinkertaisen kulman sini: sin sin cos sin cos cos sin 6 6 kaksinkertaisen kulman kosini: cos cos muistikolmiosta tai taulukkokirjasta: 3 cos ja sin sin cos cos Taulukkokirjasta: tan sin tan 5 cos tan 5 sin Koska tan 0, niin sin ja cos cos ovat keskenään samanmerkkisiä.

85 Näin ollen joko sin ja cos 5 5 tai sin ja cos 5 5 Siis 3 sincos (cos ) huomautus: ylä- ja alamerkit vastaavat toisiaan

86 Tapa tan sin cos tangentin määritelmä: sin tan cos sin cos Trigonometrian peruskaavan mukaan sin cos sin cos cos cos 5cos cos 5 cos 5 Tällöin sin cos. 5 5 Siis joko sin ja cos tai 5 5 sin ja cos. 5 5

87 Nyt sin 6 taulukkokirjasta: sin sincos cossin kaksinkertaisen kulman sini: sin sin cos sin cos cos sin 6 6 kaksinkertaisen kulman kosini: cos cos muistikolmiosta tai taulukkokirjasta: 3 cos ja sin sin cos cos huomautus: ylä- ja alamerkit vastaavat toisiaan

88 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK3-4 Lukujono 500, 497,... a geometrinen, joten n 497 q ja 500 n n 497 an a q 500, n,, 3, Saadaan epäyhtälö a n n : n 497 on aidosti kasvava Suuruusjärjestys 0 n 0 Funktio ln t, t 0, säilyy. 497 r ln ln log a rlog a n ln ln :ln ln n ln 500

89 ln n ln 500 n 033,7 n033 n,, 3,... n 033 Termeistä 033 kpl on ykköstä suurempia. a n, kun n,, 3,..., 033 Vastaus 033 kpl

90 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK3-5 e f ( ) n cos D D e f f g g f f ( ) D D cos g g e cos ( sin ) e e (cos sin ), (cos ) cos n Tällöin vastakulmien kosinit: 4 e cos sin 4 4 cos cos f 4 cos vastakulmien sinit: 4 sin sin 4 e cos sin 4 4 cos 4 muistikolmiosta tai taulukkokirjasta: sin cos e 0

91 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK cos sin sin cos sin sin a b abab cos sin cos sin sin sin cos cos cos sin Tapa cos sin Muunnetaan yhtälö muotoon cos cos. cos sin sin cos cos cos cos cos n n tai n 4 n tai n n 8 ei ratkaisua Vastaus n, n 8

92 Tapa : Muunnetaan yhtälö muotoon sin sin. cos sin cos sin sin sin sin sin n tai n n tai n 4 n tai 0 n n tai 0 n 8 ei ratkaisua Vastaus n, n 8

93 Tapa 3 cos sin : cos, jolloin pitää olla cos 0 eli n sin cos n 4 Tutkitaan tapaus cos 0 myöhemmin. sin cos muistikolmiosta tai tan taulukkokirjasta: tan tan 4 tan 4 tan tan n n 4 toteuttaa n 8 määrittelyehdon

94 Jos cos 0, niin sin. Tällöin yhtälö cos sin 0 0 on epätosi. Vastaus n, n 8

95 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK3-7 Ajatellaan tiilikerrosten yläreunojen korkeus lattiasta aritmeettisena jonona, yksikkönä senttimetri. a = 9,0 a 6 = 49,0 On selvitettävä termi a 5. a 6 a 6 d 49,0 9,0 5d d d 49,0 9,0 5 8,0 a 5 a 5 d 9,048,0 0,0 Siis takan korkeus on 0,0 cm.

96 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK3-8 Tasakylkisen suorakulmaisen kolmion terävät kulmat ovat 45 eli radiaania. 4 Kulmanpuolittaja jakaa tämän kulman kahteen osaan, jotka ovat 8 radiaania. Piirretään mallikuva, jossa kateetteja merkitään kirjaimella a ja hypotenuusaa kirjaimella c. Kulmanpuolittaja jakaa vastaisen kateetin osiin ja a. Hypotenuusa saadaan Pythagoraan lauseen avulla. a a c c a 0 c ( ) a c

97 Kulmanpuolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa. a a c a a a a a c a a a : a Siis ) a tan 8 a a ) a a( ) Vastaus tan 8

98 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK3-9 a) Geometrisen jonon summa on,,, n. ensimmäisen termin S n a n ( q ) a q q n 3 n n Ratkaistaan epäyhtälö Sn 3 0, n ,000 00

99 a a, kun a n 34 0 n n n Funktio lg t, t 0, on aidosti kasvava, joten suuruus- järjestys säilyy potenssin logaritmi: n lg lg 4 3 r log rlog lg n lg 4 : lg lg 3 lg 4 n n 9,7... n,, 3,... n 0,,,... a a Vastaus vähintään 0

100 b) h h 4,0 m 0,85h 0,854,0 m h 0,85h 0,85 4,0 m 3 h n n 0,85 4,0 m Pallon kulkema matka ennen 00. pomppua on h h h h... h h h h h... h ,0 m 0,854,0 m0,85 4,0 m... 0,85 4,0 m geometrinen summa a 0,854,0 m; q0,85 ja n99 0,854,0 m (0,85 ) 4,0 m 0,85 49, m 49,3 m 99

101 Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK3-0 a) f ( ) tan 4tan Funktio f on määritelty, kun n eli n. 4 Kun käy läpi kaikki arvot \ n 4, niin tan käy läpi kaikki reaalilukuarvot. Sijoitetaan t tan, jossa t, ja tutkitaan funktiota g t t 4, t t. Funktioiden g ja f saamat arvot ovat samat, joten myös niiden pienimmät arvot ovat samat. Funktion g kuvaaja y t 4t on ylöspäin aukeava paraabeli, joten g saa pienimmän arvonsa paraabelin huipussa eli kohdassa t 0 b 4 a Pienin arvo on g g t Siis myös funktion f pienin arvo on 4.

102 b) Todistus. Piirretään mallikuva. Kolmion kulmien summa on 80, joten kulma 80. Tällöin sin sin 80 sin suplementtikulmien sinit: sin sin 80

103 Oletuksen sin sin sin oikea puoli on siis y sin sin sin taulukkokirjasta: sin cos ycos sin y sin cos cos sin ab a abb sin cos sincos cossin cos sin Muokataan oletuksen vasenta puolta. sin sin kaksinkertaisen kulman sini: sin sin cos sincossincos 4sincossin cos Oletus saadaan muotoon sin cos sin cos cos sin cos sin 4sincossin cos Josta edelleen sin cos sincos cossin cos sin 0

104 Koska ab a ab b, niin saadaan sin cos cos sin 0 taulukkokirjasta: sincos cossin 0 sin y sin 0 sin cos ycos sin y Koska 0n niin vain n 0 kelpaa. Koska, niin kolmio on tasakylkinen.

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö ESITIEDOT: trigonometriset funktiot

Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö ESITIEDOT: trigonometriset funktiot Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö Ulkoa muistettavat peruskaavat Trigonometrisia funktioita koskevia kaavoja on paljon. Seuraavassa esitetään tärkeimmät ja lyhyet ohjeet niiden muistamiseen. Varsinaisesti

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

derivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,.

derivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,. Matematiikka, MAA9. a) Ratkaise yhtälö tan (YOS) Kulma on välillä [, 6]. Ratkaise asteen tarkkuudella seuraavat yhtälöt: b) sin c) cos (YOs). Kulmalle [9,6 ] on voimassa sin = 8 7. Määritä cos ja tan..

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

Vinokulmainen kolmio. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio

Vinokulmainen kolmio. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio Vinokulmainen kolmio Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Yksikköympyrä ja suunnattu kulma Yksikköympyrä 1 y 0 x -1-1 0 1 Hannu Lehto 18. maaliskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio 2 / 8 Yksikköympyrä ja suunnattu

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Mitkä kuutiot on taiteltu kuvassa

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

2) Kaksi lentokonetta lähestyy toisiaan samalla korkeudella kuvan osoittamalla tavalla. Millä korkeudella ja kuinka kaukana toisistaan ne ovat?

2) Kaksi lentokonetta lähestyy toisiaan samalla korkeudella kuvan osoittamalla tavalla. Millä korkeudella ja kuinka kaukana toisistaan ne ovat? 2..207 Määritelmä, (terävän kulman) trigonometriset funktiot: Suorakulmaisessa kolmiossa terävän kulman trigonometriset funktiot ovat: kulman sini hpotenuusa sin a c kulman kosini hpotenuusa kulman tangentti

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa 1 Aste, 1 (engl. degree) Täsi kierros on 360 (360 astetta). Yksi aste jaetaan 60 kulmaminuuttiin (1 = 60 ) ja ksi kulmaminuutti jaetaan 60 kulmasekuntiin (1 =

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa a c b Olkoon suorakulmaisen kolmion terävä kulma, a tämän vastainen kateetti, b viereinen kateetti ja c kolmion

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo 1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 ESITYS pisteitykseksi Yleisohje tarkkuuksista: Ellei tehtävässä vaadittu tiettyä tarkkuutta, kelpaa numeerisissa vastauksissa ohjeen vastauksen lisäksi yksi merkitsevä

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti MAA8 Ko 5..04 T konsptiin pisttsruudukko! Muista kirjata nimsi ja rhmäsi. Lu ohjt huolllissti A-Osio: Ei saa kättää laskinta. MAOL saa olla alusta asti kätössä. Maksimissaan h aikaa suorittaa A- Osio.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ INTERNETIX Ylioppilaskirjoitusten tehtävät Page YLIOPPILSTUTINTO MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ okeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Eräät tehtävät sisältävät useita osia [merkittynä a), b) jne],

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5. a) Ratkaise epäyhtälö >. b) Määritä kaikki luvut, jotka toteuttavat vaatimuksen: Luvun neliön ja vastaluvun summa on. c) Sievennä

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2.

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2. Hyvän ratkaisun piirteitä: a) Neliöpohjainen rakennelma Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva ), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 =

Lisätiedot

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia 3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016 Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

3 Eksponentiaalinen malli

3 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55.

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55. RATKAISUT, Insinöörimatematiikan koe 1.5.201 1. Kahdessa astiassa on bensiinin ja etanolin seosta. Ensimmäisessä astiassa on 10 litraa seosta, jonka tilavuudesta 5 % on etanolia. Toisessa astiassa on 20

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Trigonometriset funk4ot

Trigonometriset funk4ot Trigonometriset funk4ot Suorakulmainen kolmio sin() = a c cos() = b c hypotenuusa c tan() = sin() cos() = a b kulma b katee= a katee= a = c sin() b = c cos() cot() = cos() sin() = b a Trigonometriset funk4ot

Lisätiedot

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14.9.016 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. a) Lattia päällystetään neliöillä. Laatoitukseen syntyvä toistuva kuvio on b) Lattia

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto.

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto. Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Trigonometria Ennakkotehtävät. a) Mäessä korkeus kasvaa metriä jokaista vaakasuunnassa edettyä 0 metriä kohden eli jyrkkyys prosentteina on : 0 = 0, = 0 %. b) Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla. Kun

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot

Trigonometriset funktiot Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5 Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

MAOL-pisteytysohje. Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät 2014

MAOL-pisteytysohje. Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät 2014 0..0 MAOL-pistetsohje Matematiikka lht oppimäärä Kevät 0 Hvästä suorituksesta näk, miten vastaukseen on päädtt. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut ja lopputulos. Arvioinnissa

Lisätiedot

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit

Lisätiedot