Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)

Save this PDF as:

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)"

Transkriptio

1 K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt ( + + ) + ( ) = = = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = = = Vastaus a) 4 + b) 4 + 1

2 K a) f ( ) = + 1 f () = + 1 = = 14 b) f( ) = + 4 f ( 1) = ( 1) + 4( 1) ( 1) = = 6 Vastaus a) f () = 14 b) f ( 1) = 6

3 K a) 1 ( a ( a (a+ 10))) = 1 ( a ( a a 10)) = 1 ( a a+ a+ 10) = 1 a 10 = a + b) (5 + ) + ( ) = 6+ + = 1+ + = 14 + Vastaus a) a + b) 14 +

4 K4 a) [ a ( a a)] { a [ a+ ( a a)]} = [ a ( a)] { a [ a+ 0]} = [ a+ a] { a+ a} = a a = 0 b) [( ) ( )] { [ ( + ) ]} = [ ( )] { [ ]} = [ + ] { [ ]} = 0 { + } = 4 Vastaus a) 0 b) 4

5 K5 a) 4 = = 6 6 ( 4) = 1 ( ) 1 = = = 0 : 5 = 6 b) = (+ 6) = 4 (1 ) 6= = = : ( 7) = 7 Vastaus a) = 6 b) = 7

6 K6 a) = = 6 = b) 4 = 4 = 4 = c) ( 4 ) = ( 4) = 1 = d) 4 ( ) = 4 ( ) = 8 =

7 K7 a) 4 ( ) = = b) ( ) = = c) 4 ( + 5 ) = 4 0 = d) ( 4 ) = 4 =

8 K8 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt ( + 1)(+ ) = = = b) + = + ( 1)( ) 1 1 = + 6 = + 6 c) ( )( + 5 ) = = = d) ( + )( + ) = ( + ) = + + =

9 K9 a) P = ( ) 5 ( 4 ) P = 5 ( 4) = 40 6 = = = 6 ( 1) 40 ( 1) b) P ( ) = ( + 1) ( + 1)( 4+ 5) P = 1 ( ) = = 6 5 ( 1) = 6 ( 1) ( 1) 5 = = Vastaus a) P ( ) = 40 6 b) P ( ) = 6 5 P( 1) = 40 P( 1) =

10 K10 ( 1)( 4) ( 1)( ) ( 4)( ) A= a+ a + + a+ a + a + a ( 1 4) ( 6 ) ( 4 8) = a + a+ a + + a a+ a + a a + a = a + a+ a + + a a+ a + a a + a = a + a + a Vastaus Särmiön kokonaispinta-ala A a a a =

11 K11 a) (+ ) = ( ) + + = b) ( 5) = + ( 5) + ( 5) = c) ( + 1) = ( ) + ( ) 1+ 1 = d) ( ) = ( ) + ( ) + ( ) = + 6 9

12 K1 a) ( 4) = ( ) + ( ) ( 4) + ( 4) = b) ( + ) = ( ) + + ( ) = c) = = + d) = =

13 K1 a) ( ) = + ( ) + ( ) + ( ) = b) ( ) = ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) = c) ( ) + 1 = ( ) + ( ) =

14 K14 a) 6+ a = + ( ) + a = = = ( ), kun a ( ) 9 Voi myös päätellä toisin: 6 + a = ( ) + ( ) + a = + = = ( ), kun a 9 b) a = a = + = = ( 5), kun a 5 5 Voi myös päätellä toisin: a = ( ) + ( ) ( 5) + a ( 5), kun a ( 5) 5 = = = c) a 4 a + 49 = ( ) + + ( 7) 4 a = ( 7 ), kun = 7 eli a = 8 4 tai a 4 a + 49 = ( ) a = ( + 7 ), kun = 7 eli a = 8 4

15 Voi myös päätellä toisin: a 4 a + 49 = ( ) + ( ) a = ( + 7 ), kun = 7 eli a = 8 4 tai a 4 a + 49 = ( ) + ( ) + ( 7) 4 a = ( 7 ), kun = 7 eli a = a = a + a + 6 Oltava a > 0 a d) ( ) ( a 6) = + 1 = ( + 6 ), kun = 6 eli a = eli a = 4 a Voi myös päätellä toisin (a > 0): ( ) ( ) 1 a = a + a + ( 6) a 1 = ( 6 ), kun = 6 eli a = eli a = 4 a Vastaus a) Kun a = 9, saadaan b) Kun a = 5, saadaan c) Kun a = 8, saadaan Kun a = 8, saadaan d) Kun a = 4, saadaan ( ) ( tai ( + 5) ( tai ( 7) ( tai ( + 7) ( tai ( + 6) ( tai ( ) ( 5) ) ( + 7) ) ( 7) ) ( 6) ) + )

16 K15 a) ( a b) = ( a) + ( a) ( b) + ( b) = a + ab + b = ( a+ b) b) ( a+ b) = ( a) + ( a) b+ b = a + a ( b) + ( b) = ( a b)

17 K16 a) ( + 6)( 6) = 6 = 6 b) (+ )( ) = ( ) = 9 4 c) (+ 5)( 5) = ( ) 5 = 4 5 d) (4+ )(4 ) = (4 ) = 16 9

18 K17 a) ( + )( ) = = 4 b) ( y+ )( y) = ( + y)( y) = y c) (5 )(5+ ) = 5 ( ) = 5 4 d) = = = 9 4

19 K18 a) ( 1)( + 4 ) ( ) = ( + ( ) + ( ) = = + b) ( ) ( )( 4 )( + 4 ) ( ) ( ) = + ( ) + ( ) + ( ) (4 ) ( ) ( ) = = = = Vastaus a) b)

20 K19 a) 5 5 = 10 ( 5) ( + 5) ( 5) = ( 5) = + 5 b) ( ) = = (1 + ) (1 ) 1+ = (4 ) c) = = 6 (4 ) (4 + ) (4 ) 6 = 4 + Vastaus a) + 5 b) 1 c) 6 4 +

21 K0 a) 4 =, koska 0 ja = 4. b) 6 = 6, koska 6 0 ja 6 = 6. c) 17 ( 4,1...). d) 16 ei määritelty, koska 16 < 0. Vastaus a) 4 = b) 6 = 6 c) 17 ( 4,1...) d) 16 ei määritelty

22 K1 a) = 64 = ± 64 = 8 tai = 8 b) = 5 = 5+ : = 8 = 4 = ± 4 = tai = c) 15 0 = 15 : = = 15 = 5 = 5 tai = 5 Vastaus a) = 8 tai = 8 b) = tai = c) = 5 tai = 5

23 K a) ( ) = b) ( ) ( ) 6 = ( ) 6 = 4 6 = 4 c) ( ) 4= 4= 6 4= d) a a = a a a< 0 < 0 = a ( a) = a+ a = a

24 K a) 1 7 = 4 9 = 4 9 = = b) 4 00 = = = = 40 1 = 8 c) ( ) = = = = = =

25 d) = = = = = 5 Vastaus a) b) 8 c) d) 5

26 K4 a) ( )( ) ( ) = 5 = 4 5 = 1 b) ( + ) = ( ) + + ( ) = = 5+ 6 Vastaus a) 1 b) 5+ 6

27 K5 a) 6 6 = = 9 = b) c) 5 5 = 9 9 = = = = = = 4 d) = = = 1 = = = 4 Vastaus a) b) 5 c) 1 d) 5

28 K6 a) Väite = 1 ei pidä paikkaansa sillä neliöjuuren arvo 1 = 1 < 0, mikä ei juuren määritelmän mukaan ole mahdollista. b) + = 1+ pitää paikkansa, sillä 1) 1+ 0 ) ( 1+ ) = ( ) = 1+ + = + Vastaus a) ei ole b) on

29 K7 7 a) 178 =, sillä 7 ( ) = 187. Yhtälö 7 = 187 toteutuu, kun =. (Ratkaisuja on yksi, koska eksponentti 7 on pariton.) b) = 9, sillä 9 0 ja 4 9 = Yhtälö 4 = 6561 toteutuu, kun 9 tai 9 = =. (Ratkaisuja on kaksi koska eksponentti 4 on parillinen.)

30 K8 a) 4 = 48 : 4 = = = = = 16 tai 16 b) c cis d dis e f fis g gis a ais h c... f f f f f f f f f f f f f c) f = f q n 1 n 1 Vastaus a) f = f q f = f q : f ( 0) = q q =± q> b) f 8 c) q = f = f q 7 1 ( ) = 61,6 = 91, f 1 q = = 61,1 Hz 1 9,0 (Hz)

31 K9 Väkiluku vuoden 01 kesällä Väkiluku vuoden 015 kesällä a) Väkiluku kasvaa vuodessa k-kertaiseksi. Saadaan yhtälö k = k k = = 1,045 k = 1,045 Vuoden 050 kesällä aikaa on kulunut 5 vuotta vuoden 015 kesästä, joten väkiluku on silloin ( ) 5 5 k = ,

32 b) Vuoden 015 jälkeen väkiluku kasvaa vuodessa p-kertaiseksi. Saadaan yhtälö p = p 15 p = = = 15 = = 1, ,48... % Vuotuinen väkiluvun kasvuprosentti on,48 %,44 %. Vastaus a) Vuoden 015 kesällä asukasluku on henkeä. b) Väkiluvun vuotuisen kasvun pitäisi olla,44 %.

33 K0 c cis d dis e f fis g gis a ais h c... f f f f f f f f f f f f f Taajuudet muodostavat geometrisen jonon, suhdelukuna q. Tiedetään, että f f q n 1 n = 1 ja että f1 f1 =. Saadaan yhtälö f = f q f = f q : f ( 0) = q q 1 1 = ± > q = 1 q 0 Selvitetään sävelen g taajuus f 8. f = f q ( ) = 61,6 = 91, f 1 q = = 61,1 Hz 1 9,0 (Hz) Vastaus 9,0 Hz

34 K1 a) Funktion kuvaaja kulkee pisteen (, 5) kautta, joten f () = 5. b) Funktion kuvaaja kulkee pisteiden (0, 8) ja (, 8) kautta, joten f( ) = 8, kun = 0 tai =. c) Funktion kuvaaja leikkaa -akselin kohdissa = ja = 4, joten funktion nollakohdat ovat ja 4. d) Funktion arvot ovat negatiivisia niissä kohdissa, joissa sen kuvaaja on -akselin alapuolella. Funktion f arvot ovat negatiivisia, kun < < 4. Vastaus: a) f () = 5 b) = 0 tai = c) = tai = 4 d) < < 4

35 K a) Funktion f arvo on negatiivinen, kun 4 < < 0. b) Funktion g arvo on negatiivinen, kun < 0 tai >. c) Yhtälön + 4 = 0 juuret ovat Juuret ovat = 4 ja = 0. d) Yhtälön + = 0 juuret ovat Juuret ovat = 0 ja =. f( ) 4 = + nollakohdat. g ( ) = + nollakohdat. Vastaus: a) 4 < < 0 b) < 0 tai > c) = 4 ja = 0 d) = 0 ja =

36 K Koska pallo lentää 1,0 m päähän, niin lentorata päättyy pisteeseen (1, 0). Sijoitetaan = 1 ja y = 0 paraabelin yhtälöön ja ratkaistaan v y = v 10 0 = 1 1 v = 0 v v + v = v : 1 v = = 10 v = 10 tai v = 10 Koska nopeus on positiivinen, niin v = 10 = 14, (m/s). Vastaus: 14 m/s Huomautus: Nopeuden v arvon voi ratkaista myös käyttämällä lentoradan lakipistettä (10,5; 5). Tällöin nopeudeksi saadaan v = 14, m/s 14 m/s.

37 K4 a) = 4 + 4= 0 a =, b=, c 4 = ( ) ( ) 4 ( 4) 6 6 ± ± ± = = = = = = 1 tai = = = b) = = a =, b= 7, c = ± ± ± = = = ( 4) = = = 4 tai = = = Vastaus: a) = 1 tai = b) = 4 tai 1 =

38 K5 a) + = ( 4) ( ) 8 + = = = 0 1, = 1, = 6 a = b c ( 6) ± ± ± = = = = = = tai = = = b) ( )( + ) + 4 = 14 ( 4) ( 9) + 4 = 14 ( ) = = = 0 a = 4, b= 6, c = ± ± ± = = = = = = 1 tai = = = Vastaus: a) = tai = b) = 1 tai 1 =

39 K6 a) f() s = = 4s s 1 1 ( 1) s + = = = = 4 s 0 a 4, b, c 0 ± ± s = = ( 4) 8 4 ( 4) s = = = tai s = = = b) f () s = 0 = 4s + s+ 1= 0 a = 4, b, c = 1 ± ± s = = ( 4) 8 4 ( 4) s = = = 1 tai = = =

40 c) f() s = + + = 4s s 1 4s + s 1 = 0 a = 4, b=, c = 1 ± ± s = = ( 4) 4 ( 4) ( 1) 10 7 Koska lukua 7 ei ole määritelty, yhtälöllä ei ole juuria. Täten funktion f arvo ei ole millään muuttujan s arvolla. Vastaus: a) s = 0 tai s = 4 1 b) s = tai s = 1 4 c) Ei millään muuttujan s arvolla.

41 K7 Sijoitetaan = yhtälöön ja ratkaistaan vakion a arvo. + a a = 0 + a a = ( ) 0 a + a+ = 0 a = tai a = Muodostetaan arvoa a = vastaava yhtälö ja ratkaistaan se. + ( ) = = 0 Ratkaistaan laskimella. = tai = Toinen juuri on siis.

42 Muodostetaan arvoa a = vastaava yhtälö ja ratkaistaan se. = 0 = 0 Ratkaistaan laskimella. = tai = Toinen juuri on siis. Vastaus: Kun a =, niin toinen juuri on =. Kun a =, niin toinen juuri on =.

43 K8 a) Ratkaistaan funktion f( ) = 4 nollakohdat. 4= 0 a =, b =, c = 4 ± ± = = 4 ( ) ( ) 4 ( 4) = = = 1 tai = = = Hahmotellaan funktion kuvaaja ja päätellään sen merkit. Funktion f( ) = 4 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Epäyhtälö 4 0 toteutuu, kun 1.

44 b) + < 1 0 Ratkaistaan funktion f( ) = + 1 nollakohdat. + 1= 0 a = 1, b=, c = 1 4 ( 1) ( 1) 0 ± ± = = = = 1 ( 1) Hahmotellaan funktion kuvaaja ja päätellään sen merkit. Funktion f( ) = + 1 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, jonka ainoa nollakohta on = 1. Epäyhtälö + 1< 0 toteutuu, kun 1.

45 c) ( 1)( + 1) ( 1) Ratkaistaan funktion f( ) = + + nollakohdat. + = 0 = 1, =, = + a b c ± 41 ± 8 = = 1 ei ratkaisua Hahmotellaan funktion kuvaaja ja päätellään sen merkit. Funktion f( ) = + + kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, jolla ei ole nollakohtia. Epäyhtälö arvoilla toteutuu kaikilla muuttujan Vastaus: a) 1 b) 1 c) Epäyhtälö toteutuu kaikilla muuttujan arvoilla

46 K9 Koska neliöjuuri on määritelty vain epänegatiivisille luvuille, niin funktio f( ) = on määritelty, kun 0. Ratkaistaan funktion nollakohdat. = 0 a = 1, b= 1, c = ( 1) ± ( 1) 4 1 ( ) ± 1 = = = = = 1 tai = = = Hahmotellaan funktion kuvaaja ja päätellään sen merkit. Funktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Epäyhtälö 0 toteutuu, kun 1 tai. Funktio. f( ) = on siis määritelty, kun 1 tai Vastaus: 1 tai

47 K40 Luvun neliön ja luvun erotuksen tulee olla enintään 70. Muodostetaan ja ratkaistaan epäyhtälö , , Ehdon täyttävät positiiviset kokonaisluvut ovat siis 1,,, 4, 5, 6, 7 ja 8. Vastaus: 1,,, 4, 5, 6, 7 ja 8

48 K41 a) Merkitään joen suuntaisen sivun pituutta kirjaimella y (m). Aitaa on käytettävissä 106 m. Ratkaistaan y. + y = 106 y = 106 Muodostetaan pinta-alan lauseke. A= y = (106 ) = 106 b) Muodostetaan pinta-alan 1040 m avulla yhtälö ja ratkaistaan. 106 = = = 1 tai = 40 Kun = 1, niin y = 106 = = 80. Kun = 40, niin y = 106 = = 6. Tontit mitat ovat siis 1 m ja 80 m tai 40 m ja 6 m. Vastaus: a) sivun pituus 106, pinta-ala (106 ) = 160. b) 1 m ja 80 m tai 40 m ja 6 m

49 K4 Piirretään kuva. Merkitään hakkuualueen leveyttä kirjaimella. Sisäosa on suorakulmio, jonka pituus on 100 (m) ja leveys 70 (m). Tämän alueen pinta-ala saadaan, kun alkuperäisestä metsän pinta-alasta vähennetään hakatun alueen pinta-ala. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan hakkuualueen leveys. (100 )(70 ) = = = 0 = 15 tai = 155 Hakkuualueen leveys ei voi olla yli 70 m, joten leveys = 15 m. Vastaus: 15 m

50 K4 Merkitään vuosittaista muutoskerrointa kirjaimella q, jolloin taimenkanta tulee vuosittain q-kertaiseksi. Vuonna 014 taimenia oli 000. Vuonna 015 taimenmäärä oli q-kertaistunut ja lisäksi istutettiin 1500 taimenta, tällöin taimenien määrä oli 000 q Vuonna 016 taimenien määrä oli jälleen q-kertaistunut, jolloin taimenien määrä oli (000 q+ 1500) q= 000q q. Vuonna 016 taimenia oli 00. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan muutoskerroin q. 000q 1500q 00 + = 000q q 00 = 0 q= 1,81... tai = 0, Muutoskertoimen arvo on positiivinen, joten q = 0, = 8,81... %. Taimenkanta pienenee siis vuosittain 100 % 8,81... % = 17,18... % 17 %. Vastaus: 17 %

51 K44 a) 4+ = 0 a =, b= 4, c = Lasketaan diskriminantin arvo. D = b 4ac = = = ( 4) Koska diskriminantin arvo on negatiivinen, niin yhtälöllä ei ole yhtään juurta. b) 5 4= + = = 5 4= 0 a 1, b 5, c = 4 Lasketaan diskriminantin arvo. D = 5 4 ( 1) ( 4) = 5 16 = 9 Koska diskriminanti arvo on positiivinen, niin yhtälöllä on kaksi juurta.

52 c) ( 1)(1 + ) = ( 1) ( 1)(+ 1) = = = 0 Lasketaan diskriminantin arvo. 6+ 9= 0 D = ( 6) = 6 6 = 0 Koska diskriminantin arvo on nolla, niin yhtälöllä on yksi juuri. Vastaus: a) ei yhtään juurta b) kaksi juurta c) yksi juuri

53 K45 a) Funktio saa vain positiivisia arvoja, kun sen kuvaaja on kokonaan -akselin yläpuolella. Funktion f ( ) = 4a + kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten se on kokonaan -akselin yläpuolella, kun sillä ei ole yhtään nollakohtaa. Siis yhtälöllä 4a 0 + = ei saa olla yhtään juurta. Lasketaan diskriminantti. D = a = a ( 4 ) Diskriminantin tulee olla negatiivinen eli pitää ratkaista epäyhtälö 16a 16 < 0. Ratkaistaan funktion 16a 16 nollakohdat. a = a :16 a = = 1 a = 1 tai a = 1 Hahmotellaan funktion kuvaaja ja päätellään merkit. Funktion 16a 16 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Epäyhtälö 16a 16 < 0 toteutuu, kun 1 < a < 1. Funktio f ( ) = 4a + saa vain positiviisia arvoja, kun 1 < a < 1.

54 b) Funktio a 0. g( ) = a + 4 on toisen asteen funktio vain, kun Arvoa a = 0 vastaava funktio g ( ) = 4 on ensimmäisen asteen funktio, joka saa myös negatiivisia arvoja (esimerkiksi g (0) = 4 ). Oletetaan, että a 0. Funktion g( ) = a + 4 kuvaaja voi olla kokonaan -akselin yläpuolella vain, jos se on ylöspäin aukeava paraabeli. Pitää siis olla a > 0. Lasketaan yhtälön a + 4= 0 diskriminantti. D = a = a+ 4 ( 4) 16 4 Yhtälöllä ei ole yhtään juurta, kun diskriminantti on negatiivinen. Muodostetaan epäyhtälö. 16a + 4 < 0 16a < 4 :16 a < 1 4 Koska piti olla a > 0, niin ratkaisu ei kelpaa. Siis funktion g( ) = a + 4 kuvaaja ei ole kokonaan -akselin yläpuolella millään vakion a arvolla. Vastaus: a) 1 < a < 1 b) Ei millään a:n arvolla.

55 K46 Sievennetään yhtälöä. t t t t = t t t t = t t = t 4t + 6= 0 a = t, b= 4 t, c = 6 + Yhtälö on toisen asteen yhtälö vain, kun t 0. Pitää siis tutkia erikseen tapaukset t = 0 ja t 0. 1) Oletetaan ensin, että t = 0. Muodostetaan arvoa t = 0 vastaava yhtälö ja ratkaistaan se. t + t + = = = 0 epätosi Yhtälö on identtisesti epätosi eli ei toteudu millään muuttujan arvolla.

56 ) Oletetaan seuraavaksi, että t 0. Lasketaan diskriminantti. D = (4 t) 4 ( t) 6 = 16t + 4t Yhtälöllä on täsmälleen yksi juuri, kun diskriminantti on nolla. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan t. 16t + 4t = 0 t = tai t = 0 Arvo t = 0 voidaan hylätä alkuoletuksen t 0 perusteella. Muodostetaan arvoa t = vastaava yhtälö ja ratkaistaan se. t + t + = ( ) 4 ( ) = 6+ 6= 0 = Näin on saatu selville, että yhtälöllä on täsmälleen yksi juuri, kun t = ja tämä juuri on =. Vastaus: Kun t =, niin =.

57 K47 Sievennetään yhtälöä. t t + + = t+ 4 ( 1) 7 ( 1) + + = 4 7 t t = = 0 =, = + 1, = ( t 1) t a b t c t Lasketaan diskriminantti. 1 D = t+ t+ = t + t+ t = t + t 4 ( 1) 4 ( 7) Yhtälöllä on kaksi juurta, kun diskriminantti on positiivinen. Muodostetaan epäyhtälö ja ratkaistaan t. t + t 6> 0 t < tai t > Vastaus: t < tai t >

58 K48 a) b) c) d) + = ( + 1) 4 5 = ( 5) = ( ) = (+ 1) = (5 ) + 5 ( ) + ( ) = (5 ) Vastaus: a) + ( 1) b) c) ( + 1) d) ( 5) (5 )

59 K49 a) b) 1 = 1 = ( + 1)( 1) 9 1 = ( ) 1 = (+ 1)( 1) c) + 9 = ( 1) + ( 1) = + ( 1)( ) d) = ( ) + 4( ) = + ( )( 4) Vastaus: a) ( + 1)( 1) b) (+ 1)( 1) c) ( 1)( ) + d) ( )( + 4)

60 K50 5 a) 9 = ( 9) = ( ) = + ( )( ) b) 16+ = ( ) 16( ) = ( )( 16) = ( )( + 4)( 4) ( ) c) 4 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) + + = + + = + + ( 1) ( ) d) y = ( y ) = y (( ) ( ) ) = y + y ( )( ) = y + y+ y ( )( )( ) Vastaus: a) c) ( + )( ) b) ( )( + 4)( 4) ( + 1) ( + ) d) ( y + )( y+ )( y )

61 K51 a) 5 ( 1) = 1 1 = ( + 1) ( 1) 1 = ( + 1) b) ( 4) + ( 4) = 16 4 ( 4) = ( + 4) ( 4) = c) = ( + 1) = ( + 1) = + 1 Vastaus: a) ( + 1) b) c) + 1

62 K5 a) ( + )( 9) = 0 + = 0 tai = 9= 0 = 9 = tai = b) 1 15 = 0 ( 4 5) = 0 = 0 tai 4 5= 0 a = 1, b = 4, c = 5 = 0 ( 4) ± ( 4) 4 1 ( 5) 4± 6 = = = = = 1 tai = = = 5

63 4 c) 4 16 = = ( ) 16( ) 0 + = ( )( 16) 0 + = = 0 tai = + 16 = 0 = 16 : = 8 8 = = Vastaus: a) =, = tai = b) = 1, = 0 tai = 5 c) = tai =

64 K5 a) = 0 ( ) 8( ) = 0 ( )( 8) = 0 = 0 tai = 8 0 = 8 : = = 4 = tai = 5 b) 5 0 = 0 5 ( 4) = 0 5 = 0 : 5 tai = 0 = 0 4= 0 = 4 = ti a =

65 c) sijoitetaan 4 + = = t t 5t+ 4= 0 ± ± t = = 1 ( 5) ( 5) t = = = 1 tai t = = = 4 = 1 = 4 = 1 tai = 1 = tai = Huomautus Yhtälön voi ratkaista myös tulon nollasäännön avulla jakamalla vasemman puolen tekijöihin ryhmittelemällä = = 0 ( 1) 4( 1) = 0 ( 1)( 4) = 0 Vastaus: a) =, = tai = b) =, = 0 tai = c) =, = 1, = 1 tai =

66 K54 Sijoitetaan = 1 yhtälöön ja ratkaistaan vakio a. a a + ( 1) = (a 1) a = a a = 0 5a 5= 0 5a = 5 :5 a = 1 Muodostetaan arvoa a = 1 vastaava yhtälö ja ratkaistaan se (laskimella). a a + ( 1) = = 0 = 4, = 0 tai = = 0 Muut juuret ovat siis = 4 ja = 0. Vastaus: a = 1, muut juuret = 4 ja = 0

67 K55 a) Aritmeettisen jonon peräkkäisten jäsenien erotus on vakio. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan. ( + ) ( ) = ( ) ( + ) + = + + = 6 0 =, = tai = Huomautus: Yhtälön voi ratkaista myös tulon nollasäännön avulla jakamalla vasemman puolen tekijöihin käyttämällä ryhmittelyä: + + = = ( ) ( ) 0 ( )( ) =

68 b) Geometrisen jonon peräkkäisten jäsenien suhde on vakio. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan. = = 0 6 = = 4 tai = 0 Huomautus: Yhtälön voi ratkaista myös tulon nollasäännöllä erottamalla yhteisen tekijän = 0 6 ( + 64) = 0 Vastaus: a) =, = tai = b) = 4 tai = 0

69 K56 a) ( 1)( 1) 0 Ratkaistaan tekijöiden nollakohdat ja päätellään merkit. Tekijä 1 : 1= 0 Kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. = 1 = 1 tai = 1 Tekijä 1: Kuvaaja on laskeva suora 1= 0 1 = = 1 Laaditaan polynomifunktion ( 1)( 1) merkkikaavio. ( 1)( 1) Epäyhtälö ( 1)( 1) 0 toteutuu, kun 1.

70 b) Jaetaan epäyhtälön vasen puoli tekijöihin. 4 0 ( 4) 0 Ratkaistaan tekijöiden nollakohdat ja päätellään merkit. Tekijä : Nollakohta on = 0. Tekijän arvo on negatiivinen, kun < 0 ja positiivinen, kun > 0. Tekijä 4 : Kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. 4= 0 = 4 = tai = Laaditaan polynomifunktion 4 merkkikaavio ( 4) Epäyhtälö ( 4) 0 toteutuu, kun 0 tai.

71 c) Jaetaan epäyhtälön vasen puoli tekijöihin. < 0 ( ) < 0 Ratkaistaan tekijöiden nollakohdat ja päätellään merkit. Tekijä : Nollakohta on = 0. Tekijän arvo on negatiivinen, kun < 0 ja positiivinen, kun > 0. Tekijä : Kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. = 0 a = 1, b= 1, c = ( 1) ± ( 1) 4 1 ( ) 1± = = = = = 1 tai = = = Laaditaan polynomifunktion merkkikaavio ( ) Epäyhtälö < 0 toteutuu, kun < 1 tai 0 < <. Vastaus: a) 1 b) 0 tai c) < 1 tai 0 < <

72 K57 4 Funktion f( ) = 4 kuvaaja on funktion g ( ) = 9 kuvaajan alapuolella niillä muuttujan arvoilla, joilla epäyhtälö f( ) < g ( ) toteutuu. Sievennetään epäyhtälöä. f( ) < g ( ) 4 < < (4 9) < 0 Ratkaistaan tekijöiden nollakohdat ja päätellään merkit. Tekijä = 0 = 0 : Kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Tekijä 4 9: Kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. 4 9= 0 4 = 9 :4 = 9 4 = tai =

73 Laaditaan polynomifunktion merkkikaavio (4 9) Epäyhtälö (4 9) < 0 toteutuu, kun < < 0 tai 0 < <. Vastaus: < < 0 tai 0 < <

74 Tekijä MAA Polynomifunktiot ja yhtälöt K58 Koska neliöjuuri on määritelty vain epänegatiivisille luvuille, niin funktio f( ) = on määritelty niillä muuttujan arvoilla, jotka toteuttavat molemmat epäyhtälöistä Ratkaistaan epäyhtälöt ja tai tai = 0 tai 1 Ne muuttujan arvot, jotka toteuttavat molemmat epäyhtälöt, on helpompi päätellä, kun merkitään epäyhtälöiden ratkaisujoukot näkyviin lukusuoralla. Molemmat epäyhtälöistä toteutuvat, kun tai = 0 tai 1. Vastaus: tai = 0 tai 1

75 K59 Luvun kuution tulee olla pienempi kuin sen neliö kolminkertaisena. Muodostetaan epäyhtälö ja ratkaistaan se (laskimella). < < 0 < 0 tai 0 < < Huomaa, että laskin saattaa näyttää ratkaisun myös muodossa < ja 0. Ehdon toteuttavat positiivisen kokonaisluvut ovat 1 ja. Vastaus: 1 ja

76 Tekijä MAA Polynomifunktiot ja yhtälöt K60 Sievennetään yhtälöä. a a+ 1 a = 9 4 a a+ 1 a 9= 0 4 Kyseessä on toisen asteen yhtälö vain, kun a 0. Pitää siis tutkia erikseen tapaukset a = 0 ja a 0. 1) Oletetaan ensin, että a = 0. Muodostetaan arvoa a = 0 vastaava yhtälö ja ratkaistaan se. a a+ 1 a 9= 0 4 9= 0 epätosi Kun a = 0, yhtälöllä ei ole yhtään juurta.

77 ) Oletetaan seuraavaksi, että a 0. a a+ 1 a 9= 0 a = a, b= a, c = 1 a Muodostetaan diskriminantin lauseke. D = ( a ) 4 a ( 1 a 9) = a 1a + 6a Yhtälöllä ei ole yhtään (reaalista) juurta, kun diskriminantti on negatiivinen. Muodostetaan epäyhtälö ja ratkaistaan vakio a. 6 4 a 1a + 6a < 0 < a< tai < a< Kohdista 1 ja seuraa, että yhtälöllä ei ole yhtään juurta, kun < a< tai a = 0 tai < a<. Vastaus: < a < tai a = 0 tai < a<

78 K61 a) Ratkaistaan nollakohdat = 0 : 6 5 = a b = 1, = 6, c = 5 ± ± ± = = = = = = 5 tai = = = 1 Jaetaan tekijöihin. ( )( ) = ( 5) ( 1) = ( + 5)( + 1)

79 b) Ratkaistaan nollakohdat = 0 a = 1, b= 6, c = 5 ± ± ± = = = 1 ( 6) ( 6) = = = 1 tai = = = 5 Jaetaan tekijöihin = ( 1)( 5) Vastaus: a) b) = ( + 5)( + 1) = ( 1)( 5)

80 K6 a) Toisen asteen polynomifunktiolla voi olla enintään kaksi nollakohtaa. 1 Nollakohdat ovat 1 = 1 ja =, joten tekijät ovat 1 ( ) = ( 1) = ( + 1), 1 = ( ). Funktion lauseke on siis muotoa missä a 0. 1 P ( ) = a ( + 1)( ), Ratkaistaan kertoimen a arvo. P(0) = 1 1 a(0 + 1)(0 ) = 1 1 a = 1 ( ) a = Siis 1 P ( ) = ( + 1)( ) = + 1.

81 b) Toisen asteen polynomifunktiolla voi olla enintään kaksi nollakohtaa. 1 Nollakohdat ovat 1 = ja =, joten tekijät ovat = ( ) = ( + ), = ( ). Funktion lauseke on siis muotoa missä a 0. 1 P ( ) = a ( + )( ), Ratkaistaan kertoimen a arvo. P( 1) = 6 1 a( 1 + )( 1 ) = 6 a = 6 : a = Siis 1 P ( ) = ( + )( ) = 5. Vastaus: a) b) 1 ( + 1)( ) = ( + )( ) = 5

82 Tekijä MAA Polynomifunktiot ja yhtälöt K6 Murtolauseke voidaan supistaa vain jos osoittajalla ja nimittäjällä on yhteinen tekijä. Jaetaan nimittäjä tekijöihin. 5 5 = 5( 7) Osoittajalla on tekijä 7, jos ja vain jos 7 on sen nollakohta. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan vakio c c = c = 0 c = 14 Osoittajaksi saadaan Ratkaistaan osoittajan nollakohdat ja jaetaan osoittaja tekijöihin = 0 = 1 tai = = ( + 1)( 7) Tekijöihin jaon voi tehdä myös laskimella tai ryhmittelemällä.

83 Supistetaan murtolauseke ( + 1 ) ( 7) = 5 ( 7) 1 1 ( + 1) + = = 5 5 Nimittäjän tekijä 7 saa arvon nolla, kun = 7. Koska nollalla ei voi jakaa, murtolauseke on määritelty vain, kun 7. Vastaus: c = 14, + ( 1) + =, kun 7 5 5

84 K64 Kolmannen asteen polynomilla P( ) = a + b + c voi olla korkeintaan kolme nollakohtaa ja täten kolme tekijää. Määritetään polynomin kolmas tekijä ratkaisemalla yhtälö, jolla on sama nollakohta kuin polynomilla = 0 = 7 Koska polynomilla on nollakohtana 7, niin kolmas tekijä on 7. Polynomin tekijät ovat siis +, 4 5 ja 7. Tällöin polynomin lauseke on muotoa P( ) a( )(4 5)( 7) 4a 1a 64a 105a = + = +, missä a 0. Vakiotermin 105a tulee 105, joten a = 1. Polynomin lauseke on siis P ( ) =

85 Selvitetään millä muuttujan arvoilla polynomi P() saa vain positiivisia arvoja. Muodostetaan epäyhtälö > 0 5 < < tai > 7 4 Vastaus: Polynomi P ( ) = saa vain 5 positiivisia arvoja, kun < < tai > 7. 4

86 A1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt ( 5) ( 5)( 5) = 4 ( ) + ( ) = = + + b) + ( ) ( 1)( 18 ) = ( ( ) ) ( ) = + ( 6 9) ( ) = = Vastaus a) b) 4 + 6

87 A a) = ( ) + ( 6) + 6 = ( 6) b) 9 Nollakohdat: 9 0 = = ( ) ± = = ( ) + ± 81 ± 9 = = = ( )( + ) 4 4 ( ) 4 ( 9) = tai = c) = ( 4 + 8) ( ( ) 4( ) ) = ( )( 4) = ( )( ) = = ( )( + )( ) = ( + )( ) Vastaus a) ( 6) b) c) ( + )( )

88 A a) 8 50 = 4 5 = 4 5 = 5 = 6 5 = b) ( 6 ) 6 ( ) = = = = = 9 =

89 c) 4 4a a a ( a ) 4a = 4 a 16 ( a ) 4 a 4 = a > a 4 a a a = a > 0 a 4 a a = a = a ( a ) ( a+ ) ( a ) a = a + 0 Vastaus a) b) c) a a +

90 A4 a) + 5 = = 0 Diskriminantti D = b 4ac = 5 4 ( 1) = = > 0 Siis yhtälöllä on kaksi juurta. b) = = Diskriminantti D = b 4ac = = = Siis yhtälöllä on yksi juuri. Vastaus a) kaksi juurta b) yksi juuri

91 A5 Väitetään, että = 4 +. Tutkitaan väitteen paikkansapitävyyttä neliöjuuren määritelmän avulla. 1) 4+ 0 ) ( 4+ ) = ( ) = = = Kohtien 1 ja perusteella väite pitää paikkansa. Vastaus on

92 A6 a) 5 15 = = 15 = 0 ( ) ( ) 4 1 ( 15) ± = 1 ± 64 ± 8 = = = tai = 5 b) 5 > > 0 Nollakohdat: Kuvaaja: a-kohdan perusteella nollakohdat ovat = ja = 5. Epäyhtälö toteutuu, kun < tai > 5. Vastaus a) = tai = 5 b) < tai > 5

93 A7 a) 4( ) = = = 0 4 ( 4) ( 4) = 0 ( )( 4) 0 = = 0 tai 4 = 0 = = ( 1) 0 tai 4 = 0 tai 1 = 0 tai = 4 tai = 4 = 0 tai = 1 tai = tai = 4 b) Epäyhtälö 4( ) on yhtäpitävä epäyhtälön 4 4( ) 0 kanssa. Polynomifunktio 4 f( ) = 4( ) voi vaihtaa merkkiään vain nollakohdissaan, jotka ovat a-kohdan perusteella, 0, 1 ja. Testataan funktion f merkki laskemalla testipiste kultakin väliltä. 4 f( ) = 4( ) f:n merkki f( ) 0 f ( ) = tosi 1 f ( 1) = 6 < 0 epätosi 0,5 f (0,5) = 0, tosi 1,5 f (1,5) = 1, 15 < 0 epätosi f () = tosi

94 Testipisteiden perusteella epäyhtälö toteutuu, kun tai 0 1 tai Toisin: Epäyhtälön voi ratkaista myös kuvaajan avulla. Epäyhtälö 4 4( ) on yhtäpitävä epäyhtälön 4 4( ) 0 kanssa. Piirretään geometriaohjelmalla funktion 4 f( ) = 4( ) kuvaaja ja selvitetään sen perusteella, millä :n arvoilla funktion arvo on 0. Funktion f nollakohdat ovat a-kohdan perusteella, 0, 1 ja. Epäyhtälö toteutuu, kun tai 0 1 tai. Vastaus a) = tai = 0 tai = 1 tai = b) tai 0 1 tai

95 A8 f 4 ( ) = + + a) b) c) = 0, kun = 1, = 1 tai = < 0, kun 1 < < 1 tai 1 < < , kun 1, = 1 tai.

96 A9 a) (1 + ) (1 ) (1 1 1 ) (1 1 ( ) 1( ) ( )) = (1 ) (1 ) = = = 6+ 6 = + b) 1 a) 1 1 a 1 a = a 1 a a 1 a a 1 a 1 = a 1 a 1 ( a 1) = ( a 1) a ( a+ 1) ( a 1) = ( a 1) a a + 1 = a

97 c) ( a+ b) ( a b) ( ) = ( a + a b+ b ) a + a ( b) + ( b) = a + a b+ b a ab+ b ( ) ( ) = a + ab + b a + ab b = 4ab a = 100 b = = = = = 41 = Vastaus a) b) c) + 6 a + 1 a ab = 4 kun a = 100 ja b = 100.

98 B1 a) + + ( 7) ( 4)( 4) ( ) = ( 7) ( 7) ( 4 ) ( 14 49) 16 = = b) = 4 ( 9 10) = + 4 ( 9 10) Ryhmittely = + 4 ( 10 10) ( ( 10) ( 10) ) = + 10 = 0 = + ( 1)( 10) = ± ( ) 41( 10) 1 ± 49 ± 7 = = = 5 tai = = ( + 1)( ( ))( 5) = + + ( 1)( )( 5)

99 c) ) Ratkaistaan nollakohdat. = 6= 0 1 ( 1) 41( 6) ± 1 1± 5 = 1± 5 = = tai = ) Hahmotellaan kuvaaja y = 6. Epäyhtälön ratkaisu on. Vastaus a) b) ( + 1)( + )( 5) c)

100 B Piirretään kuvaajat geometriaohjelmalla. f( ) 9 =, g ( ) = 7 a) f( ) > 0, kun < < 0 tai >. b) g< ( ) 0, kun < 0. c) g ( ) f( ), kun tai 0 4.

101 B Koko kuvion pinta-ala saadaan laskemalla punaisten suorakulmioiden pinta-alat yhteen ja vähentämällä saadusta summasta kahteen kertaan mukaan tulleen sinisellä värjätyn yhteisen osan pinta-ala. Alemman punaisen suorakulmion korkeus on a = ( 1) + ( 1) ( + 1) = = Sinisen suorakulmion kanta on b= ( + ) = Sinisen suorakulmion korkeus on c = ( 1) ( + 1) = 1 1 =

102 A= A + A A 1 = ( + 1)( 1) + ( + )( ) ( ) = = 4 Toisaalta pinta-ala on. Muodostetaan yhtälö. A = 4 = 4 = + : 4 = 6 4 = 9 = ± 9 > 0 = Vastaus =

103 B4 Mopoauton hinta tulee vuodessa k-kertaiseksi. Muodostetaan yhtälö. k = :(1 500 ) k 5 = = k = = 0, = 85,01... % Hinta laski keskimäärin vuodessa 100 % 85,01... % = 14,98... % 15 % Vastaus 15 %

104 B5 a) ( ) f( ) = a ( 1) ( 0)( )( ) = a( + 1)( )( ) f(1) = a 1 (1 + 1)(1 )(1 ) = a ( 1)( ) = 4a Toisaalta f (1) = 4, joten saadaan yhtälö 4a = 4 : 4 4 a = = 6 4 b) ( ) f( ) = a ( 1) ( ) = a ( + 1) ( ) f(1) = a(1 + 1) (1 ) = a ( 1) = a 41 = 4a

105 Toisaalta f (1) = 4, joten saadaan yhtälö 4a = 4 : 4 4 a = = 6 4 Vastaus a) f( ) = 6 ( + 1)( )( ) b) f( ) = 6( + 1) ( )

106 B6 Olkoon neliönmuotoisen tontin sivun pituus 6a, jolloin talon pituus on puolet tontin sivun pituudesta eli a ja leveys kolmannes tontin sivusta eli a. Tontin pinta-ala on A = (6 a) = 6a tontti Piha-alueen pinta-alan avulla saadaan yhtälö A piha = 400 (6 a) a a = 400 6a 6a = 400 0a = 400 : 0 a ( = = 0 Lasketaan tontin pinta-ala. A = 6a a = tontti 40 = = 40 1 = 480 (m ) Vastaus Tontin pinta-ala on 480 m.

107 B7 + t = 1 + t + + 1= 0 t + + 1= 0 t + ( 1) + 1 = 0 Kyseessä on toisen asteen yhtälö. Ratkaisuja on täsmälleen yksi, kun diskriminantti D = 0. t b D= 0 4ac = 0 ( 1) = 0 t ( 1) = 4 t 1= ± 4 t 1= ± t = + 1 tai t = + 1 t = 1 tai t =

108 Tapaus t = 1 : t t + ( 1) + 1 = 0 = 1 + ( 1 1) + 1 = 0 + 1= 0 + ( 1) + ( 1) = 0 Tapaus t = : ( 1) = 0 1= 0 = 1 t t + ( 1) + 1 = 0 = + ( 1) + 1 = = = 0 ( + 1) = 0 + 1= 0 = 1 Vastaus Kun t = 1, niin = 1. Kun t =, niin = 1.

109 B8 Aitauksen pinta-ala on A = y. Aitaa on käytettävissä yhteensä + y = 6 (m). Ratkaistaan y ja sijoitetaan saatu lauseke pinta-alan lausekkeeseen. + y = 6 > 0 ja y > 0 y = 6 6 > 0 > 6 A( ) = y 6 < = (6 ) < 18 = 6 0 < < 18 = + 6 Pinta-alafunktion kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, jonka suurin arvo löytyy huipusta. Huipun -koordinaatti on symmetrian perusteella nollakohtien keskiarvo.

110 A ( ) = = ( + 6) = 0 = 0 tai + 6 = 0 = 6 = Huipun -koordinaatti on 0 = = 9. Tämä arvo kelpaa, sillä se kuuluu määrittelyvälille 0 < < 18. Pinta-alan suurin mahdollinen arvo on A (9) = = 16 (m ) Vastaus Aitauksen suurin mahdollinen pinta-ala on 16 m. Paraabelin huippu toisin: Paraabelin y = a + b + c huipun -koordinaatin saa laskettua b myös suoraan kaavalla 0 =. a b y = = a a =, b= 6 6 = ( ) = 9

111 B9 Ratkaistaan epäyhtälö t 0,5 h eli t 0 min. t 0 m 0,01m + 0,0m m + m m m + m ) Nollakohdat ) Kuvaaja Kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. y m m = m m 0 0 m Vastaus Liikennevirran on oltava enintään autoa minuutissa.

112 B10 a 1 + b a + 8, a Nimittäjä on jaollinen binomilla, joten nimittäjällä on nollakohta =. Sijoitetaan nimittäjän lausekkeeseen a + 8 arvo = ja muodostetaan yhtälö.. a + 8= 0 6a + 1 = 0 6a = 1 : ( 6) 1 a = 6 a = Osoittaja on jaollinen binomilla 4, joten osoittajalla on nollakohta = 4. Sijoitetaan osoittajan lausekkeeseen a 1 + b arvot = 4 sekä jo ratkaistu a = ja muodostetaan yhtälö b 4= b = 0 4b = : 4 64 b = 4 b = 16

113 Sievennetään murtolauseke. a 1 + b a + 8 a =, b= 16 = ( 6+ 8) 6 ± 4 = ± ( 6) ± 4 ja =, 4 ja Vastaus a = ja b= 16 Murtolausekkeen supistettu muoto on ja se on määritelty, kun 4 ja.

Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

Matematiikan pohjatietokurssi

Matematiikan pohjatietokurssi Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio, 8.-9.9.015, ratkaisut 1. Jaa tekijöihin (joko muistikaavojen avulla tai ryhmittelemällä) (a) x +x+ = x + x + = (x+) x +x+ = (x +x+1) = (x+1) (c) x 9 = (x) 3

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

Rationaalilauseke ja -funktio

Rationaalilauseke ja -funktio 4.8.07 Rationaalilauseke ja -funktio Määritelmä, rationaalilauseke ja funktio: Kahden polynomin ja osamäärä, 0 on rationaalilauseke, jonka osoittaja on ja nimittäjä. Huomaa, että pelkkä polynomi on myös

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan.

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. MAA Koe..05 Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko. konseptin yläreunaan. A-osio. Ilman laskinta! MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Laske kaikki tehtävät. Vastaa tälle paperille.

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

MAA2 POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT

MAA2 POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT MAA POLYNOMIFUNKTIOT JA YHTÄLÖT 17.11.017 Nimi: 1 3 Yhteensä Kokeessa on kolme osaa: A, B1 ja B. Aosa: Tehtävät tehdään ilman laskinta Tee kaikki neljä () tehtävää (jokainen max 6p) Kun palautat tämän

Lisätiedot

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia? Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja funktioita

2 Yhtälöitä ja funktioita Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.

Lisätiedot

4 Polynomifunktion kulku

4 Polynomifunktion kulku 4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2 Lisätehtävät Polnomifunktio 7. Epähtälöt = + 8. a) < + < + < Vastaus: ) < < Vastaus: < 8 8 8 = 8 = + c) ( ) < + ( ) < + < + < : ( > ) < Vastaus: < d) ( )

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti

Lisätiedot

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku. Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)

Lisätiedot

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] saadaan laskemalla kohtia x = 0 ja x = vastaavien kuvaajan

Lisätiedot

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

MAA 2 - POLYNOMIFUNKTIOT

MAA 2 - POLYNOMIFUNKTIOT MAA MAA - POLYNOMIFUNKTIOT 1 On annettu muuttujan x polynomi P(x) = x + x + Mitkä ovat sen termien kertoimet, luettele kaikki neljä (?) Mitä astelukua polynomi on? Mikä on polynomin arvo, kun x = 0 Entä

Lisätiedot

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ?

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? Polynomiyhtälön ratkaiseminen Eri lajin yhtälöiden ratkaisutavat poikkeavat toisistaan. Siksi on tärkeää tunnistaa yhtälötyyppi. Polynomiyhtälö on yhtälö, joka voidaan

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2

Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2 Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

3 Määrätty integraali

3 Määrätty integraali Määrätty integraali. a) Muodostuva alue on kolmio, jonka kanta on. Kolmion korkeus on funktion arvo kohdassa, eli f() = = 6. Lasketaan A() kolmion pintaalana. 6 A() 6 Vastaus: A() = 6 b) Muodostuva alue

Lisätiedot

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit .4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun

Lisätiedot

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus Ensimmäisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 1 + 5 = 4( 3) Toisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 3 5 + 4 = 0 Kolmannen asteen yhtälö: :n korkein

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN

VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa

Lisätiedot

sin x cos x cos x = sin x arvoilla x ] π

sin x cos x cos x = sin x arvoilla x ] π Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 0, ratkaisuista. Todenna, että = + tan x. Mutta selvitäppä millä reaaliarvoilla se oikeasti pitää paikkansa! Ratkaisu. Yhtälön molemmat puolet ovat määriteltyjä

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty YHTÄLÖITÄ ALOITA PERUSTEISTA A. Luku on yhtälön ratkaisu, jos luku toteuttaa yhtälön. a) Sijoitetaan luku = yhtälöön. 6 = 0 0 = 0 Yhtälö on tosi, joten = on yhtälön ratkaisu. Vastaus: on b) Sijoitetaan

Lisätiedot

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3] Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,] Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4 T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + )

Lisätiedot

Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x

Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa

Lisätiedot

! 7! = N! x 8. x x 4 x + 1 = 6.

! 7! = N! x 8. x x 4 x + 1 = 6. 9. 10. 2008 1. Pinnalta punaiseksi maalattu 3 3 3-kuutio jaetaan 27:ksi samankokoiseksi kuutioksi. Mikä osuus 27 pikkukuution kokonaispinta-alasta on punaiseksi maalattu? 2. Positiivisen kokonaisluvun

Lisätiedot

4 LUKUJONOT JA SUMMAT

4 LUKUJONOT JA SUMMAT Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 4 LUKUJONOT JA SUMMAT ALOITA PERUSTEISTA 45A. Määritetään lukujonon (a n ) kolme ensimmäistä jäsentä ja sadas jäsen a 00 sijoittamalla

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

6 Funktioita ja yhtälöitä

6 Funktioita ja yhtälöitä 6 Funktioita ja yhtälöitä 6. Rationaali- ja juurifunktio LUVUN 6. YDINTEHTÄVÄT 60. a) Määritelty, kun a 0. ( a ) ( a ) a a y y ( a a )( a ( a )) a a a a y y a 6 a ( y) ( y) Toinen tapa: ( a ) ( a ) a a

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016 Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut

Lisätiedot

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6 . Polynomifunktio. a Suoran kulmakerroinn k = , joten suora on nouseva. c Suoran kulmakerroinn k =, joten suora on -akselin suuntainen vaakasuora.

Lisätiedot

Sähköinen koe (esikatselu) MAA A-osio

Sähköinen koe (esikatselu) MAA A-osio MAA2 2018 A-osio Laske molemmat tehtävät! Tee tehtävät huolellisesti. Muodosta vastaukset abitin kaavaeditoriin. Kysy opettajalta tarvittaessa neuvoa teknisissä ja ohjelmien käyttöön liittyvissä ongelmissa.

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt

Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt Ensimmäisen ja toisen t nimittäjien poistaminen sieventäminen ensimmäisen identtinen yhtälö yhtälö verranto toisen asteen yhtälö korkeamman ristiin kertominen suhde täydellinen toisen ratkaisukaava vaillinainen

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot