Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0"

Transkriptio

1 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K. a) , b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) ( ) a a a, a > a a a a, a > a a a a a ( a ) a a a, a > 0

2 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K. Koska vaa an lukema on kääntäen verrannollinen Maan keskipisteestä mitatun etäisyyden neliöön, saadaan yhtälö l k. Ratkaistaan k, kun r tiedetään, että vaa an lukema on 55,7 kg, kun etäisyys keskipisteestä on 680 km. 55,7 k 680 k 55, Pohjoisnavalla r = 660 km. Ratkaistaan vaa an lukema l. l , , 660 Vaa an lukema on pohjoisnavalla 56, kg. K4. Olkoon verrannollisuuskerroin k. Sisälämpötilan ollessa C, lämmityskustannukset ovat k ( ( )) = 4k. Sisälämpötilan ollessa C, lämmityskustannukset ovat k ( ( )) = k. Lämmityskustannukset pienenevät 4 k k 0, , %. 4k 4

3 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K5. a) Funktio f ( ) 5 on määritelty, kun 5 0, eli 5. f( ) D(5 ) (5 ) ( ) 5 f () b) Funktio f ( ) 6 on määritelty, kun + 6 0, eli. f( ) D(6) (6) 6 f () 6 9 6

4 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K6. a) : ( ) 6 b) 000 Yhtälön vasen puoli on määritelty, kun 0. Tällöin yhtälön molemmat puolet ovat ei-negatiivisia ja yhtälö voidaan korottaa puolittain toiseen potenssiin Ratkaisu toteuttaa määrittelyehdon. c) Yhtälön vasen puoli on määritelty ja ei-negatiivinen, kun. Myös yhtälön oikean puolen tulee olla ei-negatiivinen, eli. Molemmat ehdot toteutuvat, kun. Korotetaan yhtälö puolittain toiseen potenssiin. ( ) 0 ( ) 0 0tai Ratkaisuista ehdot toteuttaa vain =.

5 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty d) Yhtälön vasen puoli on määritelty, kun. Tällöin myös oikea puoli saa ei-negatiivisia arvoja. Korotetaan yhtälö puolittain toiseen potenssiin. 6( ) tai Molemmat ratkaisut toteuttavat ehdot. e) f ( ) Funktio f on määritelty, kun juurrettava = 0 ( + ) = 0 = 0 tai = Kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten + 0, kun tai 0. f( ) D( ) ( ) (), < ja < 0 0, kun 0 Ratkaisu ei kuulu määrittelyjoukkoon, joten yhtälöllä ei ole ratkaisuja.

6 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K7. Funktion f kuvaajan ja suoran leikkauspisteet ratkaistaan yhtälöstä 5 0. Yhtälön vasen puoli on määritelty ja ei-negatiivinen, kun 5 0, eli 5. Yhtälön oikean puolen tulee myös olla ei-negatiivinen: 0 0, eli 5. Molemmat ehdot toteutuvat, kun 5. Korotetaan yhtälö puolittain toiseen potenssiin. 5 (0) tai 7 4 Ratkaisuista ehdon täyttää vain = 7. Leikkauspisteen y-koordinaatti on y = 7 0 = 4. Leikkauspiste on (7, 4)

7 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K8. Vaakasuoran tangentin kulmakerroin on 0. Funktion kuvaajalla on vaakasuora tangentti, jos jollakin muuttujan arvolla f () = 0. f( ) D( ) Ratkaistaan derivaatan nollakohdat, kun > 0. 0 Koska > 0, ei yhtälön vasen puoli voi olla negatiivinen millään :n arvolla, joten yhtälöllä ei ole ratkaisua. Opiskelijan väite on siis tosi.

8 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K9. Laaditaan funktion f( ), 0, kulkukaavio. Määritetään funktion f derivaatta. f( ) D D ( ) ( ) ) ( ) ( ) Lasketaan derivaatan nollakohdat. 0, kun 0 Kun > 0, on derivaatan lausekkeen nimittäjä aina positiivinen. Derivaatan merkki määräytyy osoittajan merkin perusteella. > 0, kun > ja < 0, kun 0 < <. 0 f () + f() Funktion f pienin arvo on f (). Suurinta arvoa ei ole.

9 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K0. Funktio f ( ) 4 4 on määritelty, kun + 4 0, eli ja 4 0, eli 4. Funktio f on siis määritelty välillä 4. Tutkitaan funktion kulkua derivaatan avulla. f( ) D( 4 4 ) D((4) (4 ) ) (4) (4 ) ( ), Ratkaistaan derivaatan nollakohdat (), 4 4(4 ) : ( 6) Derivaatan nollakohta = kuuluu funktion määrittelyvälille. Lasketaan derivaatan merkki nollakohdan kummallakin puolella testikohtien avulla. f (0) = 0 4 f () = 0 0 Funktio f on kasvava, kun ja vähenevä, kun 4. Jatkuva funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa suljetulla välillä välin päätepisteissä tai derivaatan nollakohdissa. f( ) = = 6 f(4) = 0 4 f() = 8 (suurin). Funktion suurin arvo on.

10 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K. a) b) f ( ) e D( ) e ( ) e f ( ) e D( ) e 6e f 0 (0) 6e 6 6 K. Määritetään derivaattafunktio. f e e ( ) 8 8 Lasketaan derivaattafunktion nollakohdat. e 80 e 8 : e 9 ln9 : ln 9 ln9 ln9 ln 9 ln

11 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K. Pinta-alan funktio on f( ) ,995. Vuodesta 970 on kulunut vuoteen 00 mennessä 60 vuotta. 60 f (60) , , Pinta-ala on pienentynyt vuoteen 00 mennessä 6 %. Pinta-ala on puolittunut, kun kerroin 0,995 on 0,5. 0,995 = 0,5 ln 0,995 = ln 0,5 ln 0,995 = ln 0,5 : ln 0,995 ln 0,5 = 8,8... ln 0,995 Pinta-ala on puolittunut, kun on kulunut 8, vuotta vuodesta 970, eli vuoden 08 aikana. K4. Tarkastellaan funktion f( ) kulkua derivaatan avulla. e ( ) e f e e ( ) ( e ) e e e Derivaattafunktion lausekkeessa nimittäjä e on positiivinen kaikilla muuttujan arvoilla. Derivaatan merkkiin vaikuttaa vain osoittajan merkki. Funktio f on kasvava, kun 0, eli ja vähenevä, kun.

12 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K5. Laaditaan funktion ( ) ( ) e f ( ) kulkukaavio. f e Derivaatan lausekkeessa tekijä e on aina positiivinen. Derivaatan merkkiin vaikuttaa vain tekijä. Lasketaan derivaatan nollakohdat. = 0 = = tai f () + f() Funktion f paikallinen minimiarvo on ( ) f ( ) e e e. Funktion f paikallinen maksimiarvo on ( ) f ( ) e e e. Lasketaan funktion arvo suljetun välin [, ] päätepisteissä. ( ) f ( ) e e e 6 f() e e 6 e Funktion suurin arvo välillä [, ] on e ja pienin arvo 6 e.

13 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K6. Tutkitaan funktion f() = ( 5)e kulkua derivaatan avulla, kun 0. f e e e ( ) ( ) ( 5) ( ) ( 4) Derivaatan lausekkeessa tekijä e on aina positiivinen, joten derivaatan merkkiin vaikuttaa vain tekijän merkki. Lasketaan derivaatan nollakohta = 0 = tai = 4 Laaditaan kulkukaavio. 0 4 f () + f() Funktion suurin arvo on f(4) = (4 4 5)e 4 = 7e 4 = 7 4. e Funktion arvo kohdassa = 0 on f(0) = 5. Kun muuttujan arvot kasvavat kohdan = 4 jälkeen, funktio arvot pienenevät. Funktion lausekkeessa tekijän 5 nollakohdat ovat,8 ja,8. Tekijällä 5 ei ole nollakohtia kohdan = 4 oikealla puolella ja koska sen kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, on tekijä aina positiivinen, kun > 4. Myös tekijä e on aina positiivinen. Funktio f saa siis vain positiivisia arvoja kohdan = 4 oikealla puolella. Tällöin funktion f pienin arvo on 5.

14 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K7. a) log 6 = 4, koska 4 = 6. b) Yhtälön = 0 ratkaisu on = log 0,7 c) log 9 =, koska = 9 log, koska log = 0, koska 0 = d) log 5 = = 5 = 5 5 e) ln 7 7 e K8. a) b) c) d) log log log64 log69 log64 9 log66 log66 ln 7 ln ln 7 ln 7 0,5 ln 0,5ln6 ln ln6 ln ln 6 ln ln 4 ln 4 ln ln ln

15 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K9. Lasketaan kuvaajien leikkauspiste yhtälöstä g() = h(). lg = lg( ) = = = y = g( ) = lg = lg Leikkauspiste on (, lg ).

16 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K0. a) 7 b) + ln = ln = = e = e tai = e c) log log ( 8), 0 log log ( 8) log ( 8) ( 8) 890 9tai Määrittelyehdon täyttää vain =. d) 55 0,

17 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K. Funktio f() = ln ( ) on määritelty, kun > 0, eli kun <. Funktion f arvo kohdassa nolla: f(0) = ln ( 0) = ln. Funktion f nollakohdat: ln ( ) = 0 = e 0 = = K. a) f ( ) ln ln, > 0 f( ) b)

18 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K. Tutkitaan funktion f() = ln, > 0 kulkua derivaatan avulla. f ( ) ln ln, > 0 Lasketaan derivaatan nollakohdat. ln + = 0 (ln + ) = 0 = 0 tai ln + = 0 ln = ln = e 0,6 e toteuttaa määrittelyehdon. Vain nollakohta = e Laaditaan funktion kulkukaavio. Kun > 0, derivaatan lausekkeessa tekijä on positiivinen, joten derivaatan merkkiin vaikuttaa vain tekijä ln +. Lasketaan derivaatan merkki testipisteissä. f () merkki 0,5 0,9 + 0 e f () + f() Funktion pienin arvo on f ( ) ( ) ln ln e ( ). e e e e e e

19 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K4. Epäyhtälö ln voidaan kirjoittaa muodossa ln 0. Tarkastellaan funktiota f() = ln. Funktio f on määritelty, kun > 0. Tutkitaan funktion f kulkua derivaatan avulla. f( ), > 0 Lasketaan derivaatan nollakohdat. 0 Laaditaan funktion kulkukaavio. Lasketaan derivaatan merkki testipisteissä. f () merkki 0,5 + 0 f () + f() Funktion f pienin arvo on f() = ln = 0. Tällöin epäyhtälö ln 0 pätee aina, joten myös epäyhtälö ln on tosi.

20 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) epätosi Ilmakehän hiilidioksidipitoisuus kasvaa joka vuosi yhtä monta prosenttia. b) epätosi Ilmakehän hiilidioksidipitoisuus kasvaa. (koska kerroin,007 > ). c) epätosi Ilmakehän hiilidioksidipitoisuus kasvaa joka vuosi 0,7 %. d) tosi. a) 4 6 b) = 4 = tai = c) = = 5 d) ln = 0 = = tai = e) ( ) 0 ( ) 0

21 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty f) 8 9 tai. Ratkaistaan e ehdosta e = 9. e 9 ( e ) 9 e (taie ) e e e ( e ) a) ln( ) ln ln ln ln ln ln ln ln 0 b) ln ln ln ln( ) ln e e e, > 0 c) a a a a aa a a aa a a

22 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Tutkitaan funktion f() = kulkua derivaatan avulla. e ( ) e f e e e e ( ) ( e ) e e e e e Lasketaan derivaatan nollakohta. 0 e 0 Laaditaan funktion kulkukaavio. Derivaatan lausekkeessa nimittäjä e saa vain positiivisia arvoja. Derivaatan merkkiin vaikuttaa vain osoittajan merkki. 0, kun ja 0, kun. f () + f() Funktion suurin arvo on f() = e. Funktiolla ei ole pienintä arvoa. e

23 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Jos tangentti on yhdensuuntainen suoran y 5 = 0 eli y = 5 kanssa, sen kulmakerroin on 5. Tangentin kulmakerroin on derivaatan arvo tangentin sivuamispisteessä. f () = e Ratkaistaan kohta, jossa derivaatan arvo on 5. e = 5 = ln 5 Kun = ln 5, y = f(ln 5) = e ln 5 = 5. Tangentin sivuamispiste on (ln 5, 5). Tangentin yhtälö on y 5 = 5( ln 5) y = 5 5 ln

24 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) f( ) D D( ) ( ), > 0 5 Yhtälön vasen puoli on määritelty, kun > 0. Tällöin molemmat puolet ovat ei-negatiivisia, joten yhtälö voidaan korottaa puolittain toiseen potenssiin :50 50 y f( ) Tangentin sivuamispiste on Tangentin yhtälö on y 5( ) 5 50 y y 5. 0 (, ) 50 5.

25 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) II, A, C, D, E Funktio f on kasvava, koska eksponenttifunktion kantaluku >. Funktion f kuvaajalla on pisteet (0, 0 )= (0, ) ja (, ) = (, ). Nämä ehdot sopivat kuvaajaan II. Eksponenttifunktio on määritelty kaikilla reaaliluvuilla ja se saa vain positiivisia arvoja. Kun muuttujan arvo kasvaa yhdellä saadaan f( + ) = + = = f(), eli funktion arvo kaksinkertaistuu. b) IV, A, B, C Funktio f on vähenevä, koska eksponenttifunktion kantaluku 0,5 <. Funktion f kuvaajalla on pisteet (0, 0,5 0 )= (0, ) ja (; 0,5 ) = (; 0,5). Nämä ehdot sopivat kuvaajaan IV. Eksponenttifunktio on määritelty kaikilla reaaliluvuilla ja se saa vain positiivisia arvoja. Kun muuttujan arvo kasvaa yhdellä saadaan f( + ) = 0,5 + = 0,5 0,5 = 0,5f(), eli funktion arvo puolittuu. c) I, D, F Funktio f on kasvava, koska logaritmifunktion kantaluku e >. Funktio on määritelty, kun > 0. Funktion f kuvaajalla on piste (, ln ) = (, 0). Nämä ehdot sopivat kuvaajaan I. Kun muuttujan arvo kaksinkertaistuu, saadaan f() = ln () = ln + ln = f() +. eli funktion arvo kasvaa vakioluvulla ln. d) III, D Parillinen juurifunktio on kasvava. Funktion f määrittelyehto on 0. Funktion f kuvaajalla on pisteet (0, 0), (, ) ja (4, ). Nämä ehdot sopivat kuvaajaan III.

26 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Jos funktion f() = kuvaaja kulkee funktion g() = ln kuvaajan yläpuolella, tulee epäyhtälön f() > g() olla voimassa, kun > 0. ln ln 0 Tarkastellaan funktion h() = h( ) ln saamia arvoja. Lasketaan derivaatan nollakohdat. 0, ( 4) 0 0tai 4 Vain ratkaisu = 4 toteuttaa määrittelyehdon. Laaditaan funktion h kulkukaavio. h () merkki h () + h() Funktion h pienin arvo on h(4) = 4 ln4ln 0,64. Koska pienin arvo on positiivinen, saa funktio h vain positiivisia arvoja. Tällöin epäyhtälö ln 0 toteutuu kun > 0 ja funktion f kuvaaja kulkee funktion g kuvaajan yläpuolella.

27 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kun 0, on yhtälön molemmat puolet määritelty ja einegatiivisia, joten yhtälö voidaan korottaa puolittain toiseen potenssiin Tutkitaan funktion 6 f ( ), 0 kulkua. 5 ( ) 6, > 0 f Ratkaistaan derivaatan nollakohdat ,7 5 6 Laaditaan funktion kulkukaavio. f () merkki 0, f () + f() 6 f ( ) ( ), f(0) = Funktio on vähenevä välillä [0, 5 6 ] ja se saa välin päätepisteissä negatiivisen arvon, joten välillä ] 0, 5 [ ei voi olla nollakohtia. 6

28 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Välillä [ 5 6, [ funktio f on kasvava, joten sillä on tällä välillä korkeintaan yksi nollakohta. f() = 6 = f() = 6 = 6 Koska f() on positiivinen ja f() negatiivinen, on välillä ], [ Bolzanon lauseen mukaan ainakin yksi nollakohta. Funktiolla on siis täsmälleen yksi nollakohta välillä. 5 6 Funktion f ainut nollakohta on siis välillä ], [. 0. Määritetään vektori c t. ct ta ( t) b ti ( j k) ( t)(i5 k) ti tj tk i 5k ti 5tk ( t) i tj ( t5) k Lasketaan vektorin c t pituus. ct ( t) ( t) ( t5) t 4t4 4t 4t 0t5 9t 4t9 Vektorin pituus on pienin, kun juurrettava 9t 4t + 9 on pienin. Juurrettavan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, jonka pienin arvo on sen huipussa. Huippu löytyy derivaatan nollakohdasta. D(9t 4t + 9) = 8t 4 8t 4 = 0 t = Vektorin pituus on mahdollisimman pienin parametrin arvolla t = 4.

29 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty APUVÄLINEET SALLITTU. a) A ja C b) B c) ei mikään. Opiskelija korotti yhtälön molemmat puolet toiseen potenssiin. Kun yhtälö korotetaan parilliseen potenssiin, on varmistettava, että yhtälön molemmat puolet ovat määriteltyjä ja ei-negatiivisia. Opiskelija ei tehnyt tätä tarkistusta. Saaduista ratkaisuista = ei toteuta alkuperäistä yhtälöä. Yhtälön oikea ratkaisu olisi: Vasen puoli on määritelty ja ei negatiivinen, kun 0, eli. Koska oikea puoli on neliöjuuren tulos, on sen oltava ei-negatiivinen, eli 0, eli. Tällöin molemmat puolet voidaan korottaa toiseen potenssiin, kun. ( ) tai Vain = toteuttaa määrittelyehdon.

30 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Merkitään tiikerien määrää vuonna 006 kirjaimella a ja vuosia vuodesta 006 kirjaimella. Vuotuinen kasvukerroin on p. Tiedetään, että vuonna 0 tiikereitä on kaksi kertaa niin paljon kuin vuonna 006, eli a. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan p. a p 6 = a p 6 = p = 6, Tiikerien määrää kuvaava funktio on f() = a,044, missä a on tiikerien määrä vuonna 006 ja aika vuosina vuodesta 006. b) Lasketaan, kuinka monta tiikeriä mallin mukaan vuonna 04 pitäisi olla. f(8) = a,044 8 = a,4 Vuonna 06 tiikereitä oli 60 % enemmän kuin vuonna 006, eli a,6. Tämä on enemmän kuin tavoitteen mukainen lukema, eli tavoite ollaan saavuttamassa. c) Kun tiikerien määrä on nelinkertaistunut vuoteen 006 verrattuna, on määrä 4a. Ratkaistaan yhtälö f() = 4a. a,044 = 4a,044 = 4 ln,044 = ln4 ln,044 = ln 4 : ln,044 = Tiikerien määrä on nelinkertaistunut vuoteen 006 verrattuna vuonna 08.

31 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Piirretään kuva tilanteesta. Suorakulmion kanta on ja korkeus kuvaava funktio on A ( ) e, 0. Määritetään funktion A suurin arvo. Laaditaan funktion A kulkukaavio. e. Suorakulmion pinta-alaa A( ) e e ( ) ( ) e e Derivaatan lausekkeessa tekijä on aina positiivinen, joten derivaatan merkki riippuu vain tekijästä +. Lasketaan derivaatan nollakohta. + = 0 = tai = Tekijän + kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. 0 A () + A() 0 Funktion A suurin arvo on A() = e e.

32 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Yhtälö ( + ) = voidaan kirjoittaa muodossa ( + ) = 0. Yhtälöllä on täsmälleen yksi reaalijuuri, jos funktiolla f() = ( + ) on täsmälleen yksi nollakohta. Tutkitaan funktion f kulkua derivaatan avulla. f () = ( + ) = Lasketaan derivaatan nollakohdat = 0 tai f () + + f() f ( ),8 f ( ) 0,6 Koska funktion arvo on positiivinen kohdissa ja ja funktio f on välillä [, ] monotoninen, ei tällä välillä voi olla nollakohtaa. Välillä on kasvava, joten se ei voi vaihtaa merkkiään positiivisesta negatiiviseksi, joten funktiolla f ei voi olla nollakohtaa tälläkään välillä. Funktiolla voi olla nollakohta vain välillä <. f( ) = 5

33 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Koska f( ) on negatiivinen ja f( ) positiivinen, on välillä ], [ ainakin yksi nollakohta. Koska funktio f on tällä välillä kasvava, on nollakohtia korkeintaan yksi. Funktiolla f on siis tarkalleen yksi nollakohta. Yhtälöllä ( + ) = on täsmälleen yksi reaalijuuri. 6. Käyrä y e on käyrän toteutuu. y e alapuolella, kun epäyhtälö Ratkaistaan ensin käyrien leikkauspisteet yhtälöstä e e. e e Yhtälön vasen puoli on määritelty, kun 0. Tällöin molemmat puolet ovat ei-negatiivisia, joten yhtälö voidaan korottaa puolittain toiseen potenssiin ( ) 0 0tai Kun = 0, y = e 0 = ja kun =, y = e = e. Käyrien leikkauspisteet ovat (0, ) ja (, e ). Ratkaistaan epäyhtälö e epäyhtälö toteutuu, kun : ( ). e. Eksponenttifunktio e on kasvava, joten

34 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kun 0, on yhtälön molemmat puolet määritelty ja ei-negatiivisia, joten epäyhtälö voidaan korottaa toiseen potenssiin. > 4 4 > 0 ( ) > 0 Kun = 0, epäyhtälö ei toteudu. Kun > 0, riippuu lausekkeen merkki vain tekijän merkistä. > 0 > : ( ) < < Epäyhtälön ratkaisu on 0 < <.

35 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään kuvan mukaisesti suuremman neliön sivun pituutta kirjaimella ja pienemmän kirjaimella y, > 0 ja y > 0. Kuvion piiri on + y + ( y) = 4 + y. Kuvion pinta-ala on + y. Koska pinta-ala on 0 cm, saadaan yhtälö, josta ratkaistaan y. + y = 0 y = 0 (0 > 0 eli 0 < < 5) Kuvion piiri voidaan ilmoittaa funktiona p() = 4 + 0, 0 < < 5. Määritetään funktion p suurin arvo. p( ) 4 0 Derivaatan nollakohdat: Kulkukaavio: p () > 0, kun 0 < < 4 ja p () < 0, kun 4 < < p () + p() Funktion p suurin arvo on p(4) = 0. Suuremman neliön sivun pituuden tulee olla 4 cm ja pienemmän cm.

36 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Koska sairastuneiden lukumäärä on kääntäen verrannollinen t lausekkeeseen e, on funktio f muotoa f () t k. Koska aluksi t e sairastuneita oli 50, voidaan verrannollisuuskerroin k ratkaista yhtälöstä f(0) = 50. k 50 0 e k 50 k 00 Funktio f on f () t 00, t 0. t e a) t f() t 50 e t ( e ) Derivaatan lausekkeessa nimittäjä saa positiivisen luvun neliönä ja osoittaja positiivisen luvun neliöjuurena vain positiivisia arvoja. Kun positiivinen lauseke kerrotaan luvulla, voidaan päätellä, että derivaatan arvo aina negatiivinen. Tällöin muutosnopeus on negatiivinen ja siten sairastuneiden määrä vähenee. b) Ratkaistaan yhtälö f(t) = t e t ln 9 4,9... Koska sairastuneiden määrä vähenee, on sairastuneita alle 0, kun on kulunut 5 viikkoa alkuhetkestä. c) Sairastuneita ei enää ole, kun sairastuneiden lukumäärä on alle. Ratkaistaan epäyhtälö f(t) <. 00 t e t ln 99 9,... Sairastuneita ei enää ole, kun on kulunut 0 viikkoa alkuhetkestä.

37 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Piirretään kuva, joka havainnollistaa tilannetta. Merkitään kulkijan etäisyyttä Dracosta kirjaimella. Tulisuihkun vaikutus on suoraan verrannollinen lohikäärmeen kokoon ja kääntäen verrannollinen lohikäärmeestä mitatun etäisyyden kolmanteen potenssiin. Merkitään lohikäärmeen kokoa kirjaimella M ja etäisyyttä kulkijasta kirjaimella s. Tulisuihkun vaikutus on k M. s Jos Nidin koko on m, on Dracon koko m. Tulisuihkujen yhteisvaikutus on k m k m km( ) (00 ) (00 ). Yhteisvaikutus on suurin, kun lauseke (00 ) arvonsa. saa suurimman Merkitään f( ) (00 ), 0 < < 00. Määritetään funktion f suurin arvo. Derivaatta: f( ) (00 ) Derivaatan nollakohdat: (00 ) 08,6... tai 57,0... Näistä välillä 0 < < 00 on vain = 08,6

38 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty f () < 0, kun 0 < < 08,6 ja f () > 0, kun 08,6 < < ,6 00 f () + f() Funktion f pienin arvo on kohdassa = 08,6 Kulkijan tulee kulkea kohdassa, joka on 09 kyynärää Dracosta. 0. ln ln f ( ) e e, 0 Funktio f saa suurimman arvonsa, kun eksponentti ln Merkitään g( ) ln, 0. on suurin. Tutkitaan funktion g kulkua derivaatan avulla. g( ) ln Derivaatan nollakohdat: ln 0 ln 0 e g () > 0, kun 0 < < e ja g () < 0, kun > e Kulkukaavio: 0 e g () + g() Funktion g suurin arvo on kohdassa = e. Myös funktion f suurin arvo on kohdassa e. Suurin arvo on f(e) = e e.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

4 Polynomifunktion kulku

4 Polynomifunktion kulku 4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion

Lisätiedot

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia? Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] saadaan laskemalla kohtia x = 0 ja x = vastaavien kuvaajan

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 Derivaatta. a) Vastaus: Merenpinta nousee aikavälillä 00:00-06:00 ja :30-7:30. Merenpinta laskee aikavälillä 06:00-:30 ja 7:30-3:00. b) Merenpinta nousi 0,35 cm ( 0,) cm = 0,55 cm tuona aikana. Merenpinta

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen.

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen. 4.1 Polynomifunktion kulun tutkiminen s. 100 digijohdanto Funktio f on kasvava jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa ehto f(a) < f(b). Funktio f on vähenevä jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa

Lisätiedot

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia 3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016 Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6 . Polynomifunktio. a Suoran kulmakerroinn k = , joten suora on nouseva. c Suoran kulmakerroinn k =, joten suora on -akselin suuntainen vaakasuora.

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2 Lisätehtävät Polnomifunktio 7. Epähtälöt = + 8. a) < + < + < Vastaus: ) < < Vastaus: < 8 8 8 = 8 = + c) ( ) < + ( ) < + < + < : ( > ) < Vastaus: < d) ( )

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku. Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

Matematiikan pohjatietokurssi

Matematiikan pohjatietokurssi Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio, 8.-9.9.015, ratkaisut 1. Jaa tekijöihin (joko muistikaavojen avulla tai ryhmittelemällä) (a) x +x+ = x + x + = (x+) x +x+ = (x +x+1) = (x+1) (c) x 9 = (x) 3

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x

Lisätiedot

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5 A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.

Lisätiedot

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja funktioita

2 Yhtälöitä ja funktioita Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Rationaalilauseke ja -funktio

Rationaalilauseke ja -funktio 4.8.07 Rationaalilauseke ja -funktio Määritelmä, rationaalilauseke ja funktio: Kahden polynomin ja osamäärä, 0 on rationaalilauseke, jonka osoittaja on ja nimittäjä. Huomaa, että pelkkä polynomi on myös

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6 . Polynomiunktio. a Suoran kulmakerroinn k = , joten suora on nouseva. c Suoran kulmakerroinn k =, joten suora on -akselin suuntainen vaakasuora.

Lisätiedot

Matematiikkaa kauppatieteilijöille

Matematiikkaa kauppatieteilijöille Matematiikkaa kauppatieteilijöille Harjoitus 7, syksy 2016 1. Funktio f(x) = x 2x 2 + 4 on jatkuva ja derivoituva kaikilla x R. Nyt funktio f(x) on aidosti alaspäin kupera kun f (x) > 0 ja aidosti ylöspäin

Lisätiedot

Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:

Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin: Määrittelyjoukot Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:, 0 ; log, > 0 ;, 0 (parilliset juuret) ; tan, π + nπ Potenssisäännöt Ole tarkkana kantaluvun kanssa 3 3

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

Paraabeli suuntaisia suoria.

Paraabeli suuntaisia suoria. 15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, sks 07 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot