Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin"

Transkriptio

1 Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön., ( ) +, = Joten ja y = b) x+ 6 y = eli y sijoitetaan alempaan yhtälöön x 7y = ( y ) 7y = y = y = y = ( ) = Joten, y = c) ( x+ y) + ( x y) = 7 ( x+ ) (y+ ) = x y = 7 x y = 7 Yhtälöt ovat samat, joten yhtälöparin ratkaisuna ovat kaikki yhtälön 7 x y = 7 eli y = x, x toteuttavat lukuparit ( x, y). Vastaus: a) (, ) b) (, ) c) 7 y = x, x 7. a) x y = x + y = = epätosi Ei ratkaisua

2 b) x+ y + = x y = x+ + (y ) = 9 ( x y) = x+ y = x + y = 6 y = y = sijoitetaan yhtälöparin ylempään yhtälöön x + = 7 Vastaus: a) Ei ratkaisua, b) (7,) 8. x+,y + 7 = ( x ) x y ( x ) x y + + = 6 x+, y + 7( x ) = [y ( x )] + ( x y) + = 8x+,y = 8 eli y = 6x+ 76 sijoitetaan alempaan 7x + y = 7x+ ( 6x+ 76) = 6x = 6 y = = Vastaus: (,) 9. Sijoitetaan yhtälöpariin ja y =. a + ( a+ b) ( ) = b (a+ 7 b) ( ) = a b = eli a = b+ sijoitetaan alempaan a+ 79b = ( b+ ) + 79b= b = a = () + = 8 Vastaus: a = 8 ja b =

3 . Muutetaan suorat ratkaistuun muotoon x+ ay+ a = y = x, a a x+ ( a 6) y 9a+ = 9a y = x+ a 6 a 6 y = x+ 9, a 6 a 6 Yhtälöparilla ei ole ratkaisua, jos suorat ovat yhdensuuntaiset ja ne ovat eri suoria. Merkitään kulmakertoimet yhtä suuriksi ja ratkaistaan a = a a 6 a = a a = Kun a =, yhtälöt esittävät yhdensuuntaisia toisiaan leikkaamattomia suoria, joten yhtälöparilla ei ole silloin ratkaisua. Tarkastellaan vielä tapaukset a = ja a = 6 ) a = x+ y+ = x + ( 6) y 9 + = x = eli sijoitetaan alempaan x 6y = 6y = y = 9 Joten, kun a =, yhtälöparilla on ratkaisu. ) a = 6 x+ 6 y+ 6= x + (6 6) y = x+ 6y = x = sijoitetaan ylempään + 6y = y = Joten, kun a = 6, yhtälöparilla on ratkaisu Vastaus: Yhtälöparilla ei ole ratkaisua, kun a =.. a) a+ b+ c = a b+ c = a b c = Ratkaistaan alimmasta yhtälöstä a = b + c ja sijoitetaan muihin yhtälöihin. ( b+ c ) + b+ c = ( b + c ) b + c = b+ c = c = eli c = sijoitetaan ylempään b + = b =

4 Lasketaan a a = b + c = + = b) a+ b+ c = a b+ c = a b c = Ratkaistaan ylimmästä yhtälöstä a = b c ja sijoitetaan muihin yhtälöihin. ( b c) b+ c = ( b c) b c = b c = b = eli b = sijoitetaan ylempään ( ) c = Lasketaan a c = a = b c = = Vastaus: a) (,,) b) (,, ). a) x+ y = x y z = x z = Ratkaistaan ylimmästä yhtälöstä y ja sijoitetaan muihin yhtälöihin. ( y) y z = ( y) z = y z = eli z = y sijoitetaan alempaan y z = y ( y ) = y = Lasketaan z z = ( ) = Lasketaan x y = b) x+ y z = 6 x + y + z = x+ y 8z = 7 Ratkaistaan alimmasta yhtälöstä y = x + 8z + 7 ja sijoitetaan muihin yhtälöihin. x+ ( x+ 8z+ 7) z = 6 x + ( x + 8z + 7) + z =

5 x+ z = 8 ( ) x + z = 7 z = z = sijoitetaan ylempään x + ( ) = 8 Lasketaan y y = x + 8z + 7 = + 8 ( ) + 7 = c) x + z = x + y = y + z = Ratkaistaan keskimmäisestä yhtälöstä y ja sijoitetaan ylimpään yhtälöön. y + z = y+ z = y + = z = z = sijoitetaan alempaan y = Lasketaan y = Vastaus: a) (,, ) b) (,, ) c) (,,). a) x y = x+ y = 7 x+ y = Ratkaistaan keskimmäisestä yhtälöstä y = x + 7 ja sijoitetaan muihin yhtälöihin. x ( x+ 7) = x+ ( x+ 7) = 8x = 6 eli Lasketaan y y = + 7 = b) x+ y = x + 9y = 6x + y = Ratkaistaan alimmasta yhtälöstä y = x ja sijoitetaan muihin yhtälöihin. x+ x = x + 9 x =

6 8x = x = Koska x:lle saatiin kaksi eri arvoa, ei yhtälöryhmällä ole ratkaisua. Vastaus: a), y = b) ei ratkaisua. a) x+ y = x y z = Ratkaistaan ylimmästä yhtälöstä y = x ja sijoitetaan alempaan yhtälöön. x ( x) z = z = x+ 6 z = x Koska yhtälöitä on yksi vähemmän kuin tuntemattomia muuttujaa x ei saa ratkaistua, x. b) x+ y z = x + y z = Ratkaistaan ylimmästä yhtälöstä y = x + z ja sijoitetaan alempaan yhtälöön. x+ ( x+ z ) z = x = z z y = z + z = z Koska yhtälöitä on yksi vähemmän kuin tuntemattomia muuttujaa z ei saa ratkaistua, z. Vastaus: a) y = x, z = x, x b) z, y = z, z. b( x+ y) az = b a ( a+ b)( x y) ( a b) z = ( ) ( a+ b) z ( a b)( x y) = ab Lasketaan kaksi alinta yhtälöä yhteen ( a+ b)( x y) ( a b) z = ( a b)( x y) + ( a + b) z = ab [( a+ b) ( a b)]( x y) + [ ( a b) + ( a+ b)] = ab ( bx y) + bz= ab :b x y+ z = a z = x+ y+ a

7 Kerrotaan keskimmäinen yhtälö luvulla ja lasketaan kaksi alinta yhtälöä yhteen. ( a + b)( x y) + ( a b) z = ( a b)( x y) + ( a + b) z = ab [ ( a+ b) ( a b)]( x y) + [( a b) + ( a+ b)] = ab Ratkaistaan yhtälöpari z = x+ y+ a ( ) z = x y + b z = x+ y+ a z = x y + b z = a+ b z = a+ b z = x y a z = x y + b = x y a+ b a b = x y a b = x y ax ( y) + az= ab :a x+ y+ z = b z = x y+ b Sijoitetaan yhtälöryhmän ylimpään yhtälöön z = a + b b x+ y a( a+ b) = b a ( ) bx ( + y) = a + ab+ b a : b x+ y = a+ b Ratkaistaan yhtälöpari a b = x y x + y = a + b x y = a b x + y = a + b x = a a sijoitetaan alempaan a+ y = a+ b y = b Vastaus: a, y = b, z = a + b 6. Kaupungin A asukasmäärä y t:n vuoden kuluttua y = 7 8 t Kaupungin B asukasmäärä y t:n vuoden kuluttua y = + t Asukasmäärät yhtä suuret 7 8 t = + t ( ) 6t = : 6 t = Asukasmäärä on tällöin y = 7 8 = 6 8. Vastaus: Kaupunkien asukasmäärä on sama neljän vuoden kuluttua ja tällöin asukkaita on 6 8.

8 7. Vuxna x Ungdomar y ( ) x+ y = 6 x+ 8y = x y = 9 x+ 8y = ( ) y = : y = x + = 6 Vastaus: vuxna och ungdomar har köpt biljetter. 8. Oskarin ikä x, Leenan y ja Alicen z x+ y+ z = 6 y = x sijoitetaan muihin z = ( y ) x+ x+ z = 6 z = (x ) x+ z = 6 eli z = x+ 6 sijoitetaan alempaan 6x + z = 6 x+ ( x+ 6) = y = 6 = 8 Vastaus: 8 vuotta 6 9. Kirjoitin A tulostaa x kpl ajassa h min = min x Kirjoittimen A nopeus Kirjoitin B tulostaa x kpl ajassa h min = 9 min Kirjoittimen B nopeus x 9 x 8 Kirjoitinta B käytetään h min = 8 min, jolloin se tulostaa 8 = ( x) kpl 9 9 x Kirjoitinta A käytetään h min = min, jolloin se tulostaa = 6 x kpl Yhteensä A ja B tulostava kpl eli 8 ( x) x 6x + =

9 Kirjoittimen A nopeus: kpl / min =,8 kpl/min Kirjoittimen B nopeus kpl/min = 7, kpl/min 9 Nopeampaa käyttäen 7, min = 66 min 67 min = h 7 min. Vastaus: Nopeudet A,8 sivua minuutissa ja B 7,. Jos käytetään vain kirjoitinta B, aikaa kuluu h 7 min. Itseisarvoyhtälöt ja -epäyhtälöt. a) x = x = tai x = x = x = 7 b) x = 7 x = Ei ratkaisua, koska itseisarvo on aina ei-negatiivinen 7 c) + ( x) x 8 = ( x) 8 ( x) ( x) ( x) x tai ( x) x = = x x x x x x + = + = + Vastaus: a) tai b) Ei ratkaisua c) tai +. a) x 7 7 x ehto x 7 x tai 7 x 7 ei käy

10 b) x+ x+ x ehto x eli x x tai ( x ) = epätosi 8 ei käy x c) x+ x+ ehto x x+ tai x+ ( ) ( ) + ) + ) + + Vastaus: a) b) Ei ratkaisua c) tai. a) x = x x x x = x x tai x = x x b) = x + x x = x+ x x, x x x+ ( x )( x+ ) x tai x x

11 x x + + = ( ) ± () ± 8 x = = + + x = = x x + = ± () ( ) ( ) ( ) ± 8 x = = + + x = = c) x+ x = ( x+ )( x) = x x+ = x x+ = x x+ = tai x x(x+ ) = tai x+ = 6 x x+ = ( ) ( ) ( ) 6 ± () ± 7 ± 7 Vastaus: a) b) ± tai x= ± c). a) x > x > tai x< x > x< x< x > ±, tai 7 b) x x ja x x 7 x ) x 7 Nollakohdat x 7 = ± 7 Epäyhtälön x 7 ratkaisu on 7 x 7

12 ) x Nollakohdat x = ± Epäyhtälön x ratkaisu on x tai x Epäyhtälö x toteutuu, kun epäyhtälöt ) ja ) toteutuvat yhtä aikaa. Ratkaisu on 7 x tai x 7 c) ( x ) ( x ) tai ( x ) x x x x 8 + ) x x 8 Nollakohdat x x 8= ( ) ± ( ) ( 8) ± 6 6 x = = + 6 x = = Epäyhtälön x x 8 ratkaisu on x tai x ) x x+ Nollakohdat x x+ = ( ) ( ) ± ± ei reaalijuuria Epäyhtälöllä x x+ ei ole ratkaisua. Epäyhtälö x tai x. ( x ) toteutuu, kun jompikumpi epäyhtälöistä ) tai ) toteutuu, joten epäyhtälön ratkaisu on Vastaus: a) x < tai x > b) 7 x tai x 7 c) x tai x

13 . x< + x + x < x x > x x > x tai x < x+ x > x< 6 x< x< Vastaus: x <. x< x+ a x + a < x ehto x > eli x< x + a < x tai x+ a > + x x< a a > a x < Ehto x < Joten a < a < a > a Kun a >, on epäyhtälön ratkaisuna x <. Kun a, ei epäyhtälöllä ole ratkaisua. a Vastaus: a : ei ratkaisua; a > : x < 6. k, kun k x < < < Jos x <, on >, joten epäyhtälö voi toteutua vain, kun x >. x < k ja > k x x ) k x x < > x< kx ( k) x< :( k) < x > k x > + k

14 ) k x x > > x > kx ( + kx ) > :( + k) < x < + k x < k Vastaus: < x < k+ k+ 7. x gx ( ) = + Polynomin x + nollakohta x + = [ ( + x)], x < x+, x< ( ) gx= = ( + x), x x, x x+, x< Vastaus: gx ( ) = x, x 8. Polynomin x nollakohta on ( x ) +, x< x+, x < f( x) = = x +, x x, x Funktio g( x) = x xx, < gx ( ) = xx, Piirretään kummankin funktion kuvaajat koordinaatistoon.

15 Yhtälön x + = x ratkaisuna ovat kuvaajien f ja g yhteisten pisteiden x-koordinaatit. Kuvaajat yhtyvät, kun x, muualla ne eivät kohtaa. Vastaus: x Janan pituus ja keskipiste 9. a) (, 8) ja (6, 8) pituus d = (6 ( )) + (8 8) = keskipiste M =, = (,8) b) (,6) ja (,8) pituus d = ( ) + (8 6) = = keskipiste M = +, = (7,7) c) (, ) ja ( 7,) pituus d = ( 7 ( )) + ( ( )) = + ( 7) + 9 keskipiste M =, = (, ) Vastaus: a) (,8) ja b) (7,7) ja c) 9 (, ) ja 6. a) (,;) ja (, ) pituus d = (, ) + (, ) = 9,, + ( ), + ( ) keskipiste M =, = (, 7;6) b) (,) ja ( ;,) 8 89 pituus d = ( ) + (, ) =, = = + ( ) +, keskipiste M =, = ( 6;8, ) c) (, ) ja (,) pituus d = ( ) + ( ( )) = + + keskipiste M =, = (6, ) Vastaus: a) (,7;9) ja 9, b) ( 6;,7) ja 89 c) (6; ) ja keskipiste M = 7, 7 = (, ) 7 halkaisija d = ( ) + ( ) = =

16 säde := 7 Vastaus: 6. (, ) 7 ja Vähennetään suorakulmion alasta kolmioiden alat A = ( + + ) = Vastaus: 6. Piste B(x,y) y = + y = y = 7 B:n etäisyys pisteestä, d = ( ) + ( ( 7)) = = Vastaus: B(, 7) ja Pisteet A(,), B(6, ) ja C(, ) Lasketaan janojen pituudet AB = (6 ( )) + ( ) = 8 AC = ( ( )) + ( ) = 8 BC = (6 ) + ( ) =

17 Kosinilauseen perusteella AB = AC + BC AC BC cosα 8 = cosα cosα = 8 α 78,7 Vastaus: 78,7 6. Vähennetään suorakulmion alasta kolmioiden alat A = 9 ( ) = Lasketaan kuvion kulmat 9 tanα = α 67, 6 tan β = 7 β,6 Kolmion kulma γ = 8 α β 7, δ = 9 β 9, tanω = ω 7, Kolmion kulma ϕ = 8 ω δ 8, Kolmion kulma ε = 8 γ ϕ 9, Mikään kolmion kulma ei ole suorakulma. Vastaus: Ei ole suorakulmainen ja ala on.

18 SUORAN YHTÄLÖ 66. a) Suoran kulmakerroin k = ja suora kulkee pisteen P(,) kautta. y y = k ( x x) k =,, y = ( x ) y = y = x 6+ y = x b) Suoran kulmakerroin k = ja suora kulkee pisteen P(,) kautta. y y = k ( x x) k =,, y = ( x ) y = y = x+ + y = x+ 6 c) Suoran kulmakerroin k =,6 ja suora kulkee pisteen P(,) kautta. y y = k ( x x) k =, 6;, y = ( x ) y =,6 + y =, 6x+,8 + y =, 6x+,8 d) Suoran kulmakerroin k =,7 ja suora kulkee pisteen P(, ) kautta. y y = k ( x x) k =, 7;, y = ( x ) y+ =,7 y =, 7x+ y =,7x+ Vastaus: Suoran yhtälö on a) y = x b) y = x+ 6c) y =, 6x+,8 d) y =,7x a) Pisteet (, ) ja (, ) y y Kulmakerroin k = x x k = = Yhtälö y y k ( x x ) y = x+ ( x, y ) = (,), ( x, y ) = (,) = k =, ( x, y) = (, ) y = x ( ) y = x + b) Pisteet ( 7, 6) ja (, ) y y Kulmakerroin k = x x 6 k = = 7 ( ) ( x, y ) = ( 7,6), ( x, y ) = (, )

19 Yhtälö y y k ( x x ) = k =,( x, ) (,) y = y ( ) = ( x ) 7 y+ = x+ x+ y = c) Pisteet 8, ja (, ) y y Kulmakerroin k = x x 8 k = = = 8 6 Yhtälö y y k ( x x ) ( x, y) = (8,), ( x, y) = (, ) = 8,(, ) = (8,) = k x y 8 y = x y = x 8 8x+ y+ 68= Vastaus: a) Suoran kulmakerroin on ja yhtälö on y = x+ b) Suoran kulmakerroin on ja yhtälö on y = x c) Suoran kulmakerroin on ja yhtälö on x+ y = d) Suoran kulmakerroin on 8 ja yhtälö on x+ y+ = 68. Pistemäärä x ja arvosana y Suora kulkee pisteiden (,) ja (,7). y y Kulmakerroin k = ( x, y) = (,), ( x, y) = (,7) x x 7 k = = 6 Yhtälö y y k ( x x ) =,(, ) = (,) 6 = k x y y = 6 y = x+ 6 ( x ) Vastaus: Suora on y = x+. 6

20 69. Kohtaamiseen kuluva aika x (h) Etäisyys Lahdesta y (km) Alpon nopeus 8 (km/h) Sirkan nopeus (km/h) Sirkan etäisyys Lahdesta x tunnin kuluttua y = x Alpon etäisyys Lahdesta x tunnin kuluttua y = 8x + Lasketaan suorien leikkauspiste. y = x y = 8x + x= 8x+, Sirkan kulkema matka y =, = Alpon kulkema matka 8, = Vastaus: Sirkka km ja Alpo km 7. Pisteen (6, 8) kautta kulkevan suoran yhtälö y ( 8) = k x 6 ( ) y = kx 6k 8 Suoran leikkauspisteet koordinaattiakseleilla Sijoitetaan y = = kx 6k 8 6k + 8 k Sijoitetaan y = k 6k 8= 6k 8 Kolmion ala 6k + 8 ( 6 k 8) = k, k k (6k+ 8)( 6k 8) = k 6 6 ( ) k k = 6 6 k + k + = 6 6 ± k = 6 ± 78 k = k = = k = = 7 Sijoittamalla k = huomataan, että koordinaattiakselien leikkauspisteet ovat negatiivia. 6() + 8 = ja y = 6() 8= Joten k = ei käy.

21 Suoran yhtälö y = kx 6k 8 = x 6 ( ) 8 x 9 9 = 9 + Yhtälön normaalimuoto 6x +9y = Vastaus: 6x + 9y = 7. d = ax + by + c (, ), a =, b =, c = 9 a + b ) + 9 = = = = + ( ) Vastaus: 7. Janan AB keskipiste + + ( ), = (, ) Janan BC keskipiste + + ( ), = (,) Pisteestä C lähtevän mediaanin yhtälö y y Kulmakerroin k = ( x, y) = (,), ( x, y) = (, ) x x k = = Yhtälö y y k ( x x ) =,(, ) = (,) = k x y y = y = x+ ( x ) Pisteestä A lähtevän mediaanin yhtälö y y Kulmakerroin k = ( x, y) = (, ), ( x, y) = (,) x x ( ) k = = ( ) Yhtälö y y k ( x x ) =,(, ) = (,) = k x y y = ( x ) y = x Kaikki mediaanit leikkaavat samassa pisteessä. Lasketaan mediaanien leikkauspiste.

22 y = x + y = x x+ = x 6x+ = 8x 8 y = ( ) = Vastaus: Leikkauspiste on (, ). 7. Lasketaan kummaltakin suoralta kaksi pistettä ja piirretään paloittain määritellyn funktion kuvaaja. x y =x + x y = x

23 PISTEEN ETÄISYYS SUORASTA 7. Kulmakerroin y y k = x x ( x, y ) = (,), ( x, y ) = (8, 7) 7 k = = 8 Suoran x,y + 6 = ratkaistu muoto on y = x+, joten sen kulmakerroin on. Koska kulmakertoimien tulo on = ovat suorat kohtisuorassa toisiinsa nähden ja suorien välinen kulma on 9. Vastaus: ja ja 9 7. Suoran x + y - 6 = ratkaistu muoto on y = x+, joten sen kulmakerroin on normaalin kulmakerroin on. Normaalin yhtälö y y = k ( x x) k =, ( x, y) = (,) Vastaus: y = x + 6 ( x ) y = ( ) y = x a) (, ) ja -x + y + = ax + by + c d = (,), a =, b=, c = a + b + + = = = = ( ) + b) (-, ) ja x - 6y + 7 = ja ax + by + c = (,), =, = 6, c = 7 a + b ( ) = = = = + ( 6) d a b

24 c) (,; -,) ja y = x Suoran normaalimuoto x + y + = ax + by + c d a + b, + (,) + = = + (,;,),, b=, c = = a = d) (, ) ja -x + y - = 7 ax + by + c 7 = (, ), =, =, c = a + b ( ) = = = = ( ) + d a b e) (9, -) ja x y = ax + by + c = (9, ), =, =, = a + b d a b c 9 ( ) 8 = = = = = ( ) + ( ) Vastaus: a) b) 7 c) d) e) 77. Kulman puolittajalla olevan pisteen (x, y) etäisyys kumpaankin suoraan on yhtä suuri. x y+ = x+ y+ 9 + ( ) ( ) + x y+ x+ y+ 9 = x y+ = x+ y+ 9 ( ) x y+ = x+ y+ 9 tai x y+ = x+ y+ 9 7x 7 y+ = x+ y+ 9 = Vastaus: Puolittajasuorien yhtälöt ovat 7x 7y + = ja x + y + 9 =

25 78. Valitaan suoralta x - 8y + 6 = yksi piste ja lasketaan pisteen etäisyys suorasta x 8y - =. Kun y =, x =, josta saadaan eli piste (, ). Pisteen (,) etäisyys suorasta x -8y - = ax + by + c d = (,), a =, b= 8, c = a + b = = = + ( 8) 6 6 Vastaus: Suorien etäisyys on Janan keskipiste + + ( ), = (, ) Janan suuntaisen suoran kulmakerroin y y k = ( x, y) = (, ), ( x, y) = (, ) x x ( ) k = = = 9 Joten keskinormaalin kulmakerroin on. Keskinormaalin yhtälö y y = k ( x x) k =, ( x, y) = (, ) Vastaus: y = x 9 y ( ) = x y = x 9 8. Suoran x y + = ratkaistu muoto on y = x+, joten sen kulmakerroin on ja normaalin kulmakerroin on.

26 Normaalin yhtälö y y = k ( x x) k =,( x, ) (,) y = y = ( x ) 9 y = x+ Suoran y = x+ ja normaalin leikkauspiste y = x+ 9 y = x+ 9 x+ = x+ 6x+ = 9x+ y = + = Suorien y = x+ ja x 7y = leikkauspiste y = x + sijoitetaan alempaan x 7y = x 7( x+ ) = y = ( ) + =

27 9 Suorien y = x+ ja x 7y = leikkauspiste 9 y = x + sijoitetaan alempaan x 7y = 9 x 7( x+ ) = y = + 9 = Pisteet (,) ja (, ) yhdistävän kateetin pituus d = ( ) + ( ) = 6 = Pisteet (,) ja 6 6 (, ) yhdistävän kateetin pituus d = ( ) + ( ) = 6 = Vastaus: Molempien pituus on. 8. Leikkauspisteet x y+ = y = x sijoitetaan ylempään x x + = x + x+ = ± ( ) () ± x = = + x = =

28 y = = 8 y = ( ) = Pisteet A(, 8) ja B(, ) Janan OA suuntaisen suoran kulmakerroin y y k = ( x, y) = (,), ( x, y) = (,8) x x 8 k = = Janan OB suuntaisen suoran kulmakerroin y y k = ( x, y) = (,), ( x, y) = (, ) x x k = = Koska kulmakertoimien tulo on =, ovat janat kohtisuorassa toisiaan vastaan ja jana AB näkyy origosta suorassa kulmassa. Vastaus: Jana AB näkyy origosta suorassa kulmassa. 8. Kulman puolittajalla olevan pisteen (x, y) etäisyys kumpaankin suoraan on yhtä suuri. x+ y+ x+ y = + + y x+ y = y = x+ y y = x+ y tai y = x+ y x+ y+ = x 9y+ = Terävän kulman puolittaja on laskeva suora, joten kysytty puolittaja on x 9y+ = eli x+ 9y = Vastaus: Puolittajasuoran yhtälö on x+ 9y =.

29 8. Sivun AB keskipiste 6 + ( ) + ( ) 7, =, Sivun BC keskipiste + ( ) + ( ), = (,) Sivun CA keskipiste 6 + ( ) + 9, =, Sivun BC suuntaisen suoran kulmakerroin y y k = ( x, y) = (, ), ( x, y) = (,) x x ( ) k = = ( ) Joten A:sta piirretyn korkeusjanan kulmakerroin on. A:sta piirretyn korkeusjanan yhtälö y y = k ( x x) k =,( x, ) ( 6,) y = y = ( y = x+ ( x 6) )

30 Sivun BC suuntaisen suoran yhtälö y y = k x x k =, ( x, y ) = (, ) ( ) ( x ) y ( ) = ( ) y = x A:sta piirretyn korkeusjanan kantapiste y = x y = x+ x+ = x 8 y = ( ) = Sivun AB keskipisteen ja A:sta piirretyn korkeusjanan kantapisteen yhdistysjanan pituus 7 7 [ ( )] + [ ( )] = Sivujen BC ja CA keskipisteiden välinen etäisyys 9 [ ( )] [ )] + = 7 Etäisyydet ovat yhtä suuret.

31 PARAABELI 8. Sijoitetaan pisteiden koordinaatit paraabelin yhtälöön y = ax + bx. a + b = a + b = a+ b = eli b = a sijoitetaan alempaan a+ b = a+ ( a) = a = b= a = Vastaus: a =, b = 8. Paraabelin yhtälö y y = a( x x ), y = y a( x ( )) x, y = = = = a(+ ) a = y y = a( x x ) a =,, y = y = ( x ( )) y = x x 6 Vastaus: y = x 6x 86. a) y = x x b huipun x-koordinaatti x = = = a huipun y-koordinaatti y = =

32 Leikkauspisteet x-akselilla x x = ( ) ( ) ( ) ± ± 6 6 x = = x = = Leikkauspiste y-akselilla y = = b) y y = x x b huipun x-koordinaatti x = = = a huipun y-koordinaatti Leikkauspisteet x-akselilla x x = x y = = ± ( ) ( ) ( ) ± x = = + x = = + Leikkauspiste y-akselilla y = =

33 y x c) y = x + x b huipun x-koordinaatti x = = = a ( ) huipun y-koordinaatti 8 y = ( ) + = Leikkauspisteet x-akselilla x + x = ± ( ) ( ) () ± x = = + x = = Leikkauspiste y-akselilla y = + = d) y = x +x y b huipun x-koordinaatti x = = = a huipun y-koordinaatti x y = ( ) + ( ) =

34 Leikkauspisteet x-akselilla x + x = xx ( + ) = x = x = Leikkauspiste y-akselilla y = + = y x e) y =,x,x b, huipun x-koordinaatti x = = = a (,) huipun y-koordinaatti y =, ( ), ( ) = 8 Leikkauspisteet x-akselilla,x, x(,x,) = x = Leikkauspiste y-akselilla y =,, = y f) y =,x +, x+ x b, huipun x-koordinaatti x = = =, a, huipun y-koordinaatti y =, (, ) +, (, ) + =,

35 Leikkauspisteet x-akselilla,x +, x+ = ±,,,,, ±, ei reaalijuuria Leikkauspiste y-akselilla y =, +, + = y x Vastaus: a) huippu (, ), leikkaa akselit pisteissä + 6 6,,, b) huippu (, ), leikkaa akselit pisteissä (, ) +, (, ) ja (, ) c) huippu, 8, leikkaa akselit pisteissä,,(, ) ja (, ) d) huippu (, ), leikkaa akselit pisteissä (, ) ja (, ) e) huippu,, leikkaa akselit pisteissä (, ) ja (, ) 8 f) huippu (,;,), ei leikkaa x-akselia, leikkaa y-akselin pisteessä (, ) ja (, ) 87. x y+ x = + 8 y = x x+ 8 b huipun x-koordinaatti x = = = a 8 huipun y-koordinaatti y = + = Huippupisteen etäisyys suorasta y = x 8 8 d = = + ( ) Vastaus:

36 88. y + x = bx + c y = x + bx + c Sijoitetaan pisteiden koordinaatit paraabelin yhtälöön + b + c = + b + c = 6 b+ c = 9 eli c = 9 b sijoitetaan alempaan b+ c = b+ 9 b= b = 7 c = 9 7 = 6 Paraabelin yhtälö y = x + 7x 6 b 7 huipun x-koordinaatti x = = = a ( ) huipun y-koordinaatti Vastaus:,6 y = ( ) = Sijoitetaan pisteen (, ) koordinaatit paraabelien yhtälöihin + a + b= a b + 9= a+ b = 7 eli b = 7 a sijoitetaan alempaan a b = 6 a (7 a) = 6 a = b = 7 =

37 Paraabelien yhtälöt y = x + x+ y = x x+ 9 x x x x + + = + 9 x + x = 6 6± 6 ( ) ( ) () 6± 6 x = = 6+ x = = Toisen leikkauspisteen y-koordinaatti y = + 9 = Vastaus: a =, b = ja toinen leikkauspiste on (,). 9. y = x y = kx x = kx x kx+ = Yhtälöllä on vähintään yksi ratkaisu, jos diskriminantti D. ( k) k 8 Nollakohdat k 8= k =± Vastaus: k tai k 9. Sievennetään paraabelin yhtälöä x x = x = x+ : x = x+ Piirretään paraabeli y = x ja ja suora y = x +.

38 y y = x x y = x + x x = ± ( ) ( ) ( ) ± 7 7 x =, x =, 78 Vastaus: Sievennetään paraabelin yhtälö muotoon y = x ja ja suora y = x +. Ratkaisut ± 7. x+ ja piirretään paraabeli 9. y = x + ax+ a y = x ax+ a x + ax+ a = x ax+ a x + ax+ a = : x + ax+ a = Jotta paraabelit sivuaisivat toisiaan, on niillä oltava tasan yksi yhteinen piste eli yhtälöllä x + ax+ a = tasan yksi juuri. Yhtälöllä on tasan yksi juuri, kun diskriminantti D =.

39 ( ) a a = a a = aa ( ) = a = tai a = a = a = Paraabelien yhtälöt y = x ja y = x x+ Vastaus: a = tai a =. 9. x = y+ a x = a y y+ = a y a Leikkauspisteet ovat x-akselilla, kun y =. + = a a a a = a a a+ = ± a = 8 a = Paraabelien yhtälöt y+ y+ y = x y y = x + 8 Vastaus: a = ( ) ( ) ± a =

40 9. Sekantit y = kx ja Leikkauspisteet y = x y = kx x = kx x k xx ( k) = tai k y = y = k y = x k y = x y = x k x k x + k xx ( + ) = k tai k y = y = k OA ( k ) ( k ) k k = + = + k + OB = ( ) + ( ) = + = k k k k k Kolmion ala k + k + k = k ( )( ) k + k k + k k ( + k )( k + ) = k ( ) + k k + k k = = =

41 + k + k = tai = k k k k+ = k + k+ = ± ± k = k = ( ) ( ) ± 6 ± 6 k = k = k = = k = = k = = k = + 8 = 6 6 Vastaus: Sekanttien yhtälöt ovat y = x ja y = x tai y = x ja y = x. 9. Leikkauspisteet y = x ax y eli y = x sijoitetaan ylempään x a x x ( a+ ) xx [ ( a+ )] = tai x ( a+ ) = a+ y = 9 y = ( a+ ) = a+ 6

42 Jänteen pituus d = ( a+ ) + [ ( a+ )] = ( a + ) = 6 a + = a + = a+ = tai a+ = a = a = Vastaus: a = tai a = YMPYRÄ 96. a) ( x ) + ( y ) = 8 Keskipiste (, ) ja säde 8 b) x + y y = x y y + = x y y + + = 9 x + ( y ) = Keskipiste (, ) ja säde + c) x y 8x y = x x y y 8 + = x x y y = ( x ) + ( y ) = Keskipiste (, ) ja säde

43 97. Ympyrän keskipiste on janan keskipiste + +, = (,) Ympyrän säde on janan keskipisteen etäisyys toisesta päätepisteestä r = ( ) + ( ) = Ympyrän yhtälö x + y = ( ) ( ) ( x + y = ( ) ( ) + = x y x y ) Vastaus: Yhtälö on x + y x y =. 98. Ympyrän keskipiste (a, ) Keskipisteen etäisyys kumpaankin kehäpisteeseen (, ) ja (6, ) on säteen suuruinen. [( ( )] ( ) ( 6) ( ) a + = a = a a a a Keskipiste on (,) a = Säde on ( 6) + ( ) = Ympyrän yhtälö ( x ) + y = x + y x = Vastaus: Yhtälö on x + y x =. 99. x + x+ y = + x + x+ + y = ( x+ ) + y = Keskipiste on (,) ja säde = Pisteen (,) etäisyys ympyrästä Vastaus:,, r =, d = d = [ ( )] + ( ) =

44 . x + y + 6x 8y = x x y y x x y y = = 6 ( x+ ) + ( y ) = 6 Keskipiste on (,) ja säde 6. Origon etäisyys ympyrän keskipisteestä d = ( ) + ( ) = Koska origon etäisyys ympyrän keskipisteestä on pienempi kuin säde, on origo ympyrän sisäpuolella ja origon lyhin etäisyys ympyrän kehältä on 6 = Vastaus: Keskipiste on (, ) ja säde 6. Origon lyhin etäisyys ympyrästä on.. x + y x = x x+ y = x x+ + y = ( x ) + y = + Keskipiste on (,) ja säde. Suoran x + y = ja ympyrän lyhin etäisyys saadaan laskemalla ympyrän keskipisteen etäisyys suorasta ja vähentämällä tästä säteen pituus. d = = + ( )

45 Kehän pisteistä se, jolla on lyhin etäisyys suorasta, saadaan määrittämällä suoralle normaali, joka kulkee ympyrän keskipisteen kautta ja laskemalla normaalin ja ympyrän leikkauspisteet. Suoran kulmakerroin x + y = y = x+ Suoran kulmakerroin on ja normaalin kulmakerroin on. Ympyrän keskipisteen kautta kulkevan normaalin yhtälö y = ( x ) y = x Normaalin ja ympyrän leikkauspisteet x + y x = y = x sijoitetaan ylempää n x + ( x ) x = 6 x x+ x = x x = ( ) ( ) ( ) ± ± 6 6 x = = + 6 x = =

46 Kysytty piste y = = Vastaus:,, d =

47 . Ympyrän keskipiste on janan keskipiste +, =, Ympyrän säde on janan keskipisteen etäisyys toisesta päätepisteestä r = ( ) + ( ( )) = Ympyrän yhtälö x + ( y+ ) = 9 x x+ + y + y+ = x + y x+ y = Suoran x + y = 9 etäisyys ympyrän keskipisteestä ) + ( ) d = = = = + Koska suoran x + y = 9 etäisyys ympyrän keskipisteestä on säteen suuruinen, suora sivuaa ympyrää. Vastaus: Yhtälö on x + y x+ y =.

48 . x + y x+ 6y = x = y sijoitetaan ylempään ( y ) + y ( y ) + 6y = y + y+ + y + y+ + y = Vastaus: (, ) ja (, ) y + y = ( 8) ± y = 76 ± 7 6 y = y = = y = = 8 () = x = =. x + y + y = x + y y = y + = vähennetään yhtälöt puolittain y = sijoitetaan ylmepään yhtälöön x + = 7 Vastaus: Leikkauspisteet ovat 7 7 ± =± 7, ja 7,.

49 . x + y = Keskipiste on (,) ja säde. Sivuamispisteisiin (, ) ja (, ) piirrettyjen säteiden kulmakertoimet k = ja k = Sivuamispisteisiin (, ) ja (, ) piirrettyjen tangenttien kulmakertoimet t = k ja k t = Tangenttien yhtälöt y = ( x ) y = x+ ja y+ = ( x ) y = x Koska sivuamispisteisiin piirretyt säteet ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan ( k k = ( ) = ) ja samoin tangentit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan ( kt k ( ) t = = ) ja samaan pisteeseen piirretty säde ja tangentti ovat kohtisuorassa, muodostuu kuvioon neliö. Kysytty ala saadaan vähentämällä ympyrän sektorin alasta neliön ala.

50 Neliön sivuna on säde ja sektorin keskuskulma on 9. 9 π A= Aneliö Asektori = ( ) π ( ) =,79 6 Vastaus: Sivuajat ovat y = x+ π ja y = x. Ala on, x + y = Keskipiste on (,) ja säde. Sivuamispisteeseen (, ) piirretyn säteen kulmakerroin k =, joten tangentin kulmakerroin. Tangentin yhtälö y+ = ( x ) y = x Kaikki pisteet, joiden etäisyys origosta on, ovat ympyrän x + y = 9 kehällä. Tangentin ja ympyrän x + y = 9 leikkauspisteet y = x sijoitetaan alempaan x + y = 9 x + (x ) = 9 6 x x+ = ( ) ( ) 6 ± ± 8 x = = x + + = = y = = = y = = = Vastaus: Piste P on, + + tai,.

51 7. x + y = 9 Keskipiste on (, ) ja säde. Pisteen (, ) kautta kulkevan suoran yhtälö y = k( x ) y = kx kx y + = Tangentin etäisyys ympyrän keskipisteestä on säteen suuruinen k + = k + = k + k k k + = + = + = k 9 = ± Vastaus: y = x+ tai y = x+

52 8. x + y + x y = + + = + + x x y y = 8 x x y y ( ) ( ) 8 x+ + y = Keskipiste on (,) ja säde 8. Pisteen (, ) kautta kulkevan suoran yhtälö y ( ) = k( x ) y+ = kx kx y = Tangentin etäisyys ympyrän keskipisteestä on säteen suuruinen k ( ) = 8 k + ( ) k = 8 k + 8 k + = k 8 8 k + = k 8 8 k + = k k + = k + k k k = ( 6) ( 6) 7 ( ) ± k = 7 6± 6 k = 6 8 k = = k = = Tangenttien yhtälöt y = kx = x ja y = kx = x 7 Vastaus: Yhtälöt ovat y = x ja y = x. 7

53 9. x + y + x y = + + = + + x x y y = 8 x x y y ( ) ( ) 8 x+ + y = Keskipiste on (,) ja säde 8. Tangentin kulmakerroin k = tan = Tangentin yhtälö y = x+ b x y+ b= Tangentin etäisyys ympyrän keskipisteestä on säteen suuruinen ( ) + b = 8 + ( ) + b = 8 8 = + b 6 = + b = + b + b= tai + b = b = 7 b = Tangenttien yhtälöt y = x+ b = x+ 7 ja y = x Vastaus: Yhtälöt ovat y = x ja y = x x + y = Keskipiste on (,) ja säde.

54 Kaaren piste A x = x + y = + y = y =± Piste A(,) Piste B y = x x + y = x + ( x ) = x x = ± ( ) ( ) ( ) ± 6 6 x = = + 6 x = = y = = y = = Piste B(, ) Säteen OA suuntaisen suoran kulmakerroin on. Säteen OB suuntaisen suoran kulmakerroin on. Säteiden välinen kulma + + kk cosα = = = = ( k + )( k + ) ( + )(( ) + ) α = 6,86... Kaaren AB pituus α 6,86... b = πr = π, 6 6 Vastaus: Lyhyimmän kaaren pituus on,.

55 HARJOITUSKOE. Koska suorat eivät leikkaa, ovat ne yhdensuuntaiset ja kulmakertoimet ovat silloin yhtä suuret. Lasketaan kulmakerroin: y x+ = y = x : y = x Siis k = Pisteen (, ) kautta kulkevan suoran yhtälö: y = ( x ) y = x + Vastaus: y = x+. Kehystetään kolmio suorakulmiolla, jonka kärkipisteet ovat (, ), (, ), (, ) ja (, ). Vähennetään suorakulmion alasta kolmen suorakulmaisen kolmion alat. 6 A = =. Kulma ABC saadaan myös suorakulmaisten kolmioiden avulla. tan α =, josta α =,96... ja tan β =, josta β = 78,69... ja ABC = 8 α β = 8 78, 69..., Vastaus: ja ABC = 7. Lähin piste on origon kautta kulkevan normaalin ja suoran leikkauspiste. Suoran kulmakerroin on, joten normaalin kulmakerroin on. Origon kautta kulkevan normaalin yhtälö on y = x. Suoran ja normaalin leikkauspiste saadaan x+ y = yhtälöparista, josta sijoittamalla saadaan x+ ja edelleen y = x 6 ja y = =. 6 Vastaus: Piste, 6

56 . x = + x x = x x = x tai x = x + tai x = 6 6 (<) tai x= ( > ) molemmat puolet, joten x eli x Vastaus:. vokaalit a, e ja i a+ e+ i = a+ i = eli i = a sijoitetaan muihin a+ e+ i = a+ e+ a = a+ e+ ( a) = a+ e= eli e= a sijoitetaan alempaan a + e = a+ ( a ) = a = e = = i = = sanan matematiikka vokaalit maksavat + + = Vastaus: 6. Piste on leikkauspiste, jos se toteuttaa kummankin yhtälön. Sijoitetaan koordinaatit (, ) yhtälöihin: k + = eli yhtälö toteutuu ( ) + = eli yhtälö toteutuu.

57 Ratkaistaan yhtälöpari y = k( x ) + sijoitetaan alempaan x + y = ( ) ( ) x k x k x = ( k ) x ( k k ) x ( k k ) = ( k k ) ( k k ) ( k ) ( k k ) ( + k ) ± + Juuret ovat rationaalilukuja, jos k on rationaaliluku ja jos neliöjuurilausekkeesta tulee rationaaliluku. Sievennetään juurrettava D: ( ) 6 ( )( ) k 6k 6k ( 6k 6k 6 6k 6k 6k ) D = k k + k k k = + + = k 6k + 6k 6k + 6k+ 6 6k + 6k + 6k = + + k 6k 6 ( k ) = + eli neliöjuuren arvo on ( ) rationaalilukuja. Jos k =, saadaan ( ) ( ) ( + ) ± + k + = k +, joka on rationaaliluku. Siis koordinaatit ovat ± 8 x = x = Lasketaan kysytyn toisen leikkauspisteen y -koordinaatti sijoittamalla x -koordinaatti suoran yhtälöön: y = = Vastaus: Toinen leikkauspiste, 7. Lasketaan arvoja a = ja a = vastaavien paraabelien leikkauspisteet ja osoitetaan, että kaikki muutkin paraabeliparven paraabelit kulkevat leikkauspisteen kautta.

58 y + ( + ) y+ + y + ( + ) y + ( ) + = + + x y y = + x y y sijoitetaan ylempään + = y + y+ y = Leikkauspisteen x-koordinaatti ( ) + = Sijoitetaan ja y = yhtälöön y + (a +)y + a + = ( ) + ( a+ ) ( ) + a+ = a + a+ = identtisesti tosi Koska yhtälö toteutuu a:n arvosta riippumatta, kun ja y =, kulkevat kaikki yhtälön y + (a +)y + a + esittämät paraabelit pisteen (, ) kautta. 8. Muutetaan neliöön täydentämällä ympyrän yhtälö keskipiste muotoon ( ) x x + ( y y ) = r = x y x ay a a x x+ + y ay+ ( a) = a a+ + ( a) x + y a = a a+ ( ) ( ) Yhtälö esittää ympyrää, jos Ratkaistaan epäyhtälö Nollakohdat Merkkikaavio r a a = + > a a+ > + = a a a = ( ) () ± 8 a = + a = = a ± = = +

59 b) Ympyrän pinta-ala a a+ > < a < + A = π r on suurin, kun säteen neliö r on mahdollisimman suuri. Haetaan säteen neliön r = a a+suurin arvo, kun < a < +. Merkitään r = f( a) = a a+ Funktion f (a) kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Se saavuttaa suurimman arvonsa huipussa. Paraabelin huippu a = ( ) = Koska huippu kuuluu välille < a < +, niin säteen neliö on suurimmillaan tässä kohdassa. Suurin mahdollinen pinta-ala A= π r r = f( ) = ( ) ( ) + = A = π = π Vastaus: a) Yhtälö esittää ympyrää, kun < a < +. b) Ympyrän suurin ala on π. HARJOITUSKOE. a) x + < x + > x+ > tai x+ < x > x< x > x<

60 b) x + = x x + = x = ehto eli x x x x = tai = + x x x x = + = x x x x ± xx ( ) = x= ( ) ± 9 (ei käy) tai x = = ei käy + x = = Vastaus: a) x < tai x > b). Janan keskipiste, = (, ) Janan suuntaisen suoran kulmakerroin y y k = ( x, y) = (,), ( x, y) = (, ) x x ( ) 6 k = = = ( ) Joten keskinormaalin kulmakerroin on. Keskinormaalin yhtälö y y = k ( x x) k =,( x, ) (, ) y = y ( ) = ( ) 8 y = x 8 Vastaus: y = x ( x )

61 . ax + y = 6a + x y = eli y = x sijoitetaan ylempään ax + x = 6a + (a+ ) 6a+ : (a+ ),ehto a 6a + a + y = x = Ratkaistaan yhtälöpari erikseen, kun a =. ( ) x + y = 6( ) + x y = x+ y = x y = y = x y = x Kun a =, yhtälöparin yhtälöt ovat identtisesti samat, joten yhtälöparin ratkaisu on silloin y = x, x Vastaus:, kun a ; x, kun a =. x + y 8x+ = x 8x+ y = + 6 x 8x+ 6+ y = ( x ) + y = Keskipiste on (, ) ja säde.

62 Pisteen (, ) kautta kulkevan suoran yhtälö y = k( x ) y = kx k kx y k + = Tangentin etäisyys ympyrän keskipisteestä on säteen suuruinen k k+ = k + ( ) k + = k + k + = k+ k + = k+ k + = k+ k + = k + k = k+ 9

63 Tangenttien yhtälöt kx y k + = x y ( ) + = y = x+ 6 Ympyrän ulkopuolisesta pisteestä voidaan aina piirtää kaksi tangenttia, koska yhtälöstä saatiin vain yksi k:n arvo, on toinen tangentti sellainen suora, jolla ei ole kulmakerrointa eli y-akselin suuntainen suora. Vastaus: Yhtälöt ovat y = x+ tai 6. Paraabelin yhtälö y = ax + bx+c. Asetetaan kiven lähtöpiste origoon, tällöin paraabeli kulkee pisteiden (, ), (8;,) ja (7, ) kautta. = a + b + c, = a 8 + b 8 + c = a 7 + b 7 + c c = a+ 8b+ c =, 8a+ 7b+ c = a+ 8b =, 8a+ 7b = eli b = 7 a sijoitetaan ylempään a+ 8 (7 a) =, a = 6 7 b = 7 ( ) = 6 Paraabelin yhtälö on y = x + 7 x. 6 Paraabelin huippu 7 b x = = = 6 a ( ) 6 7 y = 6 + 6, 6 Vastaus:, m

64 6. x + y + ax ay+ a+ = x + ax + y ay = a + a + a = x ax a y ay a a a ( ) ( ) x+ a + y a = a a Yhtälö esittää ympyrää, kun r = a a > a a > Nollakohdat a a = ± a = () () () ± 9 a = 7 a = = + 7 a = = Vastaus: a < tai a > 7. y = x x+ Polynomi x + vaihtaa merkkinsä, kun x [ ( x+ )],kun x< x+, kun x< y = = x ( x+ ), kun x, kun x Yhtälön x x+ = x ratkaisut ovat kuvaajien y = x x+ ja leikkauspisteiden x-koordinaatit. Piirretään kuvaajat. Leikkauspisteet y = x+ y = x x+ x + x+ = ± ± = y = () + = y = x

65 y = y = x x x = = ± Vastaus: tai 8. Kulman puolittajalla olevan pisteen (x, y) etäisyys kumpaankin suoraan on yhtä suuri. x+ y x y = + + ( ) x+ y x y = 6 x+ y = x y x + y = x y tai x+ y = x+ y 8x+ y = : x+ 8y = : x+ 6y = 6x+ y = Vastaus: Puolittajasuorien yhtälöt ovat x +6y = ja 6x + y =. HARJOITUSKOE. a) kulkee pisteiden (, ) ja (, 7) kautta. 7 k = = Suoran yhtälö y = ( x ) y = x b) kulkee pisteen (, ) kautta ja on a) kohtisuorassa suoraa x+ y = vastaan. x+ y = y = x+ Normaalin kulmakerroin on Normaalin yhtälö y = ( x ) y = x+

66 Vastaus: a) y = x b) y = x+. x y+ z = eli y z+ sijoitetaan muihin x y z = x y + z = 6 ( y z+ ) y z = y z + y + z = 6 y z = 8 eli y = z 8 sijoitetaan alempaan y + z = (z 8) + z = z = y = 8= + = Vastaus:, y =, z =. + 6 = x y x y + 6 = x x y y = x x y y ( ) ( ) x + y = Keskipiste on (,) ja säde. Pisteen (, ) etäisyys ympyrän keskipisteestä d = ( ) + ( ) = 7 >, joten piste ei ole sisäpuolella. Vastaus: Ei ole.. x+ y y+ = = + x y Huippu b y = = a ( ) = x = + = y Suorien leikkauspiste x+ y = eli y = x sijoitetaan alempaan x+ y =

67 x+ ( x) = y = = Pisteiden (, ) ja (,) etäisyys ( ) + ( ) = Vastaus: Etäisyys on.. a) + = Ehto x eli x x x x x x x x x x + = tai + = + x x x x + = = ( ) ± ( ) x( x ) = ± 9 (ei käy) tai x = = ei käy + x = = Ratkaisut ovat tai b) x+ x+ x+ (x+ ) tai x+ x+ x x x, kun x < Kuvasta nähdään, että funktion x + = x+,kun x x + yläpuolella, kun x tai x kuvaaja kulkee suoran y = Vastaus: a) tai b) x tai x 6. y = x 7 kulmakerroin 6x y 6 = eli y = x + kulmakerroin Suorat ovat yhdensuuntaiset, koska kulmakertoimet ovat yhtä suuret. Valitaan suoralta y = x 7 yksi piste ja y = 7 = Lasketaan pisteen (,) etäisyys suorasta 6x y 6 =

68 ) 6 6 d = = = = = = 6 + ( ) Vastaus: 7. Lasketaan arvoja a = ja a = vastaavien suorien leikkauspisteet ja osoitetaan, että kaikki muutkin suoraparven suorat kulkevat leikkauspisteen kautta. y = x 6 y = x 6 y = sijoitetaan alempaan y = x 7 x 7 = y = 7= Sijoitetaan ja y = yhtälöön y = ax 6a = a 6a = 6a 6a = identtisesti tosi Koska yhtälö toteutuu a:n arvosta riippumatta, kun ja y =, kulkevat kaikki yhtälön y = ax 6a esittämät suorat pisteen (, ) kautta. 8. x + y = Keskipiste on (,) ja säde.

69 Pisteen (,) kautta kulkevan suoran yhtälö y = k( x ) y = kx k kx y k + = Tangentin etäisyys ympyrän keskipisteestä on säteen suuruinen k k+ = k + ( ) k + = k + k k k + = k+ + = k+ k + = k+ k + = k k k 7 = 6± 6 ( 7) k = 6± 6 k = 6 8 k = = k = =

70 Tangenttien yhtälöt kx y k + = x y + = y = x+ ja kx y k + = 7 x y ( 7) + = y = 7x+ Vastaus: Yhtälöt ovat y = x + ja y = 7x +

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.

Lisätiedot

Ympyrän yhtälö

Ympyrän yhtälö Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Paraabeli suuntaisia suoria.

Paraabeli suuntaisia suoria. 15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Juurifunktio Ennakkotehtävät. a) = 6, koska 4 = 6 b) + = 6, eli = 4 c) + = + + =0 4 ( ) ( ) tai Ratkaisuista = ei toteuta alkuperäistä yhtälöä, koska. Luvun tulee siis olla. . a) b) f ( ) ( ) (6) 44 9

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ.0.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole

Lisätiedot

MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste

MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste Tason ja avaruuden vektorit 1. Olkoon A(, -, 4) ja B(5, -1, -3). a) Muodosta pisteen A paikkavektori. b) Muodosta vektori AB. c) Laske vektorin AB pituus.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3] Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,] Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4 T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + )

Lisätiedot

5 TASOGEOMETRIA. ALOITA PERUSTEISTA 190A. Muunnetaan 23,5 m eri yksiköihin. 23,5 m = 235 dm = 2350 cm = mm ja 23,5 m = 0,0235 km

5 TASOGEOMETRIA. ALOITA PERUSTEISTA 190A. Muunnetaan 23,5 m eri yksiköihin. 23,5 m = 235 dm = 2350 cm = mm ja 23,5 m = 0,0235 km Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 30.7.018 5 TASOGEOMETRIA ALOITA PERUSTEISTA 190A. Muunnetaan 3,5 m eri yksiköihin. 3,5 m = 35 dm = 350 cm = 3 500 mm ja 3,5 m = 0,035

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

ANALYYTTISTA GEOMETRIAA LUKIO-OPETUKSESSA. Eeva Kuparinen. Pro gradu -tutkielma Tammikuu 2008 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO

ANALYYTTISTA GEOMETRIAA LUKIO-OPETUKSESSA. Eeva Kuparinen. Pro gradu -tutkielma Tammikuu 2008 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO ANALYYTTISTA GEOMETRIAA LUKIO-OPETUKSESSA Eeva Kuparinen Pro gradu -tutkielma Tammikuu 2008 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO Sisältö 1 Johdanto 1 2 Koordinaatisto 3 2.1 Tason suorakulmainen xy-koordinaatisto............

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

origo III neljännes D

origo III neljännes D Sijoita pisteet A(1,4) ja B(4,5;5) sekä C(-3,4) ja D(-4,--5) y II neljännes C A I neljännes B x origo III neljännes D IV neljännes KOTIT. Sijoita ja nimeä koordinaatistoon pisteitä niin, että pisteet yhdistettäessä

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a) K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

3 Yhtälöryhmä ja pistetulo

3 Yhtälöryhmä ja pistetulo Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5..06 Yhtälöryhmä ja pistetulo Ennakkotehtävät. z = x y, x y + z = 6 ja 4x + y + z = Sijoitetaan z = x y muihin yhtälöihin. x y + x y =

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

Piste ja jana koordinaatistossa

Piste ja jana koordinaatistossa 607 Piste ja jana koordinaatistossa ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 Kertausta kurssi Eri asioiden välisten riippuvuuksien havainnollistamiseen kätetään usein koordinaatistoesitstä Pstakselilla riippuvan muuttujan

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5 Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x

Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa

Lisätiedot

Ratkaisut. π π. Ratkaisu: a) Tapa I: Yhtälön diskriminantin D = a = 4 4a kyseisen funktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli.

Ratkaisut. π π. Ratkaisu: a) Tapa I: Yhtälön diskriminantin D = a = 4 4a kyseisen funktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Ratkaisut A. a) Sievennä (x ) (x )(x + ). 7 b) Laske ( ) π + sin( ). c) Ratkaise yhtälö (x 5x ) = 5. Ratkaisu: a) (x ) (x )(x + ) = 4x x + 9 (4x 9) = x + 8 + 7 b) ( ) π π + sin( ) = ( ) + sin( + π ) 5

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt 6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran

Lisätiedot

7.lk matematiikka. Geometria 2. Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen

7.lk matematiikka. Geometria 2. Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen 7.lk matematiikka Geometria 2 Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen 2 Sisällys 8. Keskinormaali (kulmaviivaimella tai geometrisesti)... 4 9. Kulman puolittaminen ja siirtäminen geometrisesti...

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( ) Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB

Lisätiedot

Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty YHTÄLÖITÄ ALOITA PERUSTEISTA A. Luku on yhtälön ratkaisu, jos luku toteuttaa yhtälön. a) Sijoitetaan luku = yhtälöön. 6 = 0 0 = 0 Yhtälö on tosi, joten = on yhtälön ratkaisu. Vastaus: on b) Sijoitetaan

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut. 77 cm Ratkaisu. Toisen kierron jälkeen syntyvä neliö on

Tehtävien ratkaisut. 77 cm Ratkaisu. Toisen kierron jälkeen syntyvä neliö on Solmu /00 Tehtävien ratkaisut Ratkaisu Toisen kierron jälkeen syntyvä neliö on peilikuva alkuperäisestä neliöstä pisteen P suhteen Jos P ei ole alkuperäisen neliön sisällä, niin peilikuvalla alkuperäisellä

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto.

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto. Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y

Lisätiedot