4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ"

Transkriptio

1 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on 1 x + 1 x 3 x. Muodostetaan yhtälö neliöiden pintaalojen summalle ja ratkaistaan siitä 4 4 x. 3 x + x x + x x + x x 100 : x 5 x 64 Ratkaistaan kokeilemalla, mikä luku kerrottuna itsellään on 64. x x x x Taulukosta huomataan, että x 8 on yhtälön x 64 ratkaisu.

2 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Isomman neliön sivun pituus on 8 kyynärää ja pienemmän neliön kyynärää. 4 8 Vastaus: 8 kyynärää ja 6 kyynärää. Jos henkilön ikä on x vuotta, silloin vuosi on x. Taulukoidaan iän ja vuosien arvoja. ikä x vuosi x Taulukosta huomataan, että tällä hetkellä elävien joukossa voi olla vain henkilö, joka täyttää 45 vuotta vuonna 05 ja hän on syntynyt vuonna Vastaus: vuonna 1980

3 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Neliöjuuri ja neliöyhtälö ALOITA PERUSTEISTA 401. Vastaus: Neliön pinta-ala Neliön sivun pituus a) Luvussa 45 kg ei ole nollia, joten kaikki numerot ovat merkitseviä. Vastaus: b) Luku m on kokonaisluku, joten kaikki muut numerot ovat merkitseviä, paitsi kokonaisluvun lopussa olevat nollat. Vastaus: c) Luku 53,0 cm on desimaaliluku, joten myös luvun lopussa oleva nolla on merkitsevä. Vastaus: 3 d) Luku 0,1 s on desimaaliluku, joten merkitseviä numeroita ovat nollan jälkeen tulevat numerot. Vastaus: e) Luku 0,060 g on desimaaliluku, joten merkitseviä numeroita ovat kaikki muut numerot, paitsi luvun alussa olevat nollat. Vastaus: 3

4 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) 36 6, koska 6 36 ja 6 0. Vastaus: 6 b) 64 8, koska 8 64 ja 8 0. Vastaus: 8 c) koska ja Vastaus: 10 d) 49 ei ole määritelty, sillä minkään reaaliluvun neliö ei ole negatiivinen luku. Vastaus: ei ole reaaliluku 404. a) x 49 x 49 tai x 49 x 7 tai x 7 Vastaus: x ±7 b) x 1 Yhtälöllä ei ole ratkaisua, koska minkään reaaliluvun neliö ei ole negatiivinen luku. Vastaus: ei ratkaisua c) x x 100 x 100 x 100 tai x 100 x 10 tai x 10 Vastaus: x ±10 d) x 7 x 7 tai x 7 Vastaus: x ± 7

5 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) x x 36 x ± 36 x ±6 Vastaus: x ±6 b) x : 8 x 16 x ± 16 x ±4 Vastaus: x ±4 c) 4x x 36 : 4 x 9 x ± 9 x ±3 Vastaus: x ± a) Merkitään neliön sivun pituutta kirjaimella x. Muodostetaan yhtälö neliön pinta-alalle ja ratkaistaan siitä x. x x 31 x 31 x ± 31 x ±5,567 x ± 5,6 A 31 m x x Neliön sivun pituus ei voi olla negatiivinen, joten vain positiivinen ratkaisu kelpaa. Vastaus: Sivun pituus on 5,6 metriä. b) Lasketaan neliön piiri. x + x + x + x 4x 4 31,71... Vastaus: Köyttä tarvitaan metriä.

6 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty VAHVISTA OSAAMISTA 407. a) 350 m 47 m m Molemmissa lähtöarvoissa on kaksi merkitsevää numeroa, joten tulos pyöristetään kahden merkitsevän numeron tarkkuuteen. Vastaus: m b) 3 6,9 m,41 m, m Epätarkimmassa lähtöarvossa on kaksi merkitsevää numeroa, joten tulos pyöristetään kahden merkitsevän numeron tarkkuuteen. Vastaus:,9 m c) 0,65 s 8,401 m s 5,5065 m Epätarkimmassa lähtöarvossa on kolme merkitsevää numeroa, joten tulos pyöristetään kolmen merkitsevän numeron tarkkuuteen. Vastaus: 5,5 m d),60 m 3,9 m 8,554 m 3 Molemmissa lähtöarvoissa on kolme merkitsevää numeroa, joten tulos pyöristetään kolmen merkitsevän numeron tarkkuuteen. Vastaus: 8,55 m 3

7 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) 5 5 Vastaus: 5 b) 49 7 Vastaus: 7 c) Vastaus: 8 d) Vastaus: 3

8 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juurrettava luku luetaan y-akselilta ja tätä vastaava neliöjuuren arvo x- akselilta. Kun juurrettava on 3, luvun 3 neliöjuuri 3 on noin 1,73. Kun juurrettava on 7, luvun 7 neliöjuuri 7 on noin,65. Vastaus: 3 1,73ja 7,65

9 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) 4x 100 : 4 x 5 x 5 tai x 5 x 5 tai x 5 Vastaus: x ±5 b) 3y y 15 : 3 y 5 y ± 5 Vastaus: y ± 5 c) 6z z 0 : 6 z 0 Vastaus: z 0 d) 18 + x 0 x 18 : x 9 Yhtälöllä ei ole ratkaisuja, koska minkään luvun neliö ei ole negatiivinen luku. Vastaus: ei ratkaisua

10 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) 100x x 99x 0 : 99 x 0 x 0 Vastaus: x 0 b) x + 1 x + x x 1 x 1 tai x 1 x 1 tai x 1 Vastaus: x ± c) x + 0 x x 81 : ( 1) x 81 x 81 tai x 81 x 9 tai x 9 Vastaus: x ±9 d) (x + 1)(x 3) x(x 1) + 3x 19 x 3x + x 3 x x + 3x 19 x x 3 5x x 19 4x 16 : ( 4) x 4 x 4 tai x 4 x tai x Vastaus: x ±

11 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan se. 4x x 0 : 4 x 0 x 0 Vastaus: x 0 b) 4x x 100 : 4 x 5 x 5 tai x 5 x 5 tai x 5 Vastaus: x ±5 c) 4x x : 4 x 4 Yhtälöllä ei ole ratkaisuja, koska minkään luvun neliö ei ole negatiivinen luku. Vastaus: ei millään d) 4x x 8 : 4 x x ± Vastaus: x ±

12 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) f(x) 3x + 75 f( 3) 3 ( 3) Vastaus: f ( 3) 48 b) f(x) 3x + 75 f(x) 63, kun 3x x 1 : ( 3) x 4 x 4 tai x 4 x tai x Vastaus: x ± c) Nollakohdassa funktio f(x) 3x + 75 saa arvon nolla. f(x) 0, kun 3x x 75 : ( 3) x 5 x 5 tai x 5 x 5 tai x 5 Vastaus: x ±5

13 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Yhtälöllä a x on juuri x 8, joten x 8 toteuttaa yhtälön. Sijoitetaan x 8 yhtälöön ja ratkaistaan a. a x a a 576 : a 64 a 9 a 9 tai a 9 a 3 tai a 3 Sijoitetaan a 3 alkuperäiseen yhtälöön ja ratkaistaan se. a x x x 576 : x 9 x 64 x 64 tai x 64 x 8 tai x 8 Yhtälön toinen juuri on x 8. Sijoitetaan a 3 alkuperäiseen yhtälöön ja ratkaistaan se. a x ( 3) x x 576 Huomataan, että yhtälö on sama kuin edellä, joten sen ratkaisut ovat samat. Yhtälön toinen juuri on x 8. Vastaus: a 3 tai a 3, x 8

14 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Kokeillaan eri lukuja, joista toinen on neljä kertaa suurempi kuin toinen. Taulukoidaan tulokset: Lapsen ikä (vuotta) Äidin ikä (vuotta) Ikien tulo ei kelpaa ei kelpaa ei kelpaa ei kelpaa ei kelpaa kelpaa Vastaus: Lapsi on 6-vuotias ja äiti on 4-vuotias b) Merkitään lapsen ikää kirjaimella x. Tällöin äidin ikä on 4x. Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö, kun tiedetään, että ikien tulo on 144. x 4x 144 4x 144 : 4 x 36 x 36 tai x 36 x 6 tai x 6 Yhtälön ratkaisuista x 6 hylätään, koska ikä on aina positiivinen luku. Lapsen ikä on 6 vuotta ja äiti on 4x vuotta. Vastaus:

15 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään mainostaulun korkeutta kirjaimella x. Tällöin sen leveys on 0x. Muodostetaan yhtälö suorakulmion pinta-alalle, kun suorakulmion pintaala on leveyden ja korkeuden tulo. Ratkaistaan tästä yhtälöstä x. 0x x 880 0x 880 : 0 x 144 x 144 tai x 144 x 1 tai x 1 Yhtälön ratkaisuista x 1 hylätään, koska pituus on aina positiivinen luku. Suorakulmion korkeus on siis 1 metriä ja leveys 0x metriä. Vastaus: korkeus 1 m ja leveys 40 m

16 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään uima-altaan sädettä kirjaimella r. Muodostetaan yhtälö ympyrän pinta-alalle ja ratkaistaan siitä säde r. πr 5, 5, r π 5, r ± π r ±1,87 : π Yhtälön ratkaisuista r 1,87 hylätään, koska pituus on aina positiivinen luku. Uima-altaan säde on siis 1,87 metriä ja halkaisija r 1,87,574 metriä. Parvekkeen mitat ovat,7 metriä ja 6, metriä. Koska altaan halkaisija on pienempi kuin parvekkeen sivun pituus, uima-allas mahtuu parvekkeelle. Vastaus: Mahtuu.

17 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty SYVENNÄ YMMÄRRYSTÄ 418. a) (x 3) 3(4 x) 0 (x 3)(x 3) ( x) 0 x 3x 3x x 0 x 3 0 x 3 x 3 tai x 3 b) Vastaus: x ± 3 ) 3) x 5 6) 1 + x x 15 1x x x x 14 : ( 10) ( 14 x 10 7 x 5 x ± 7 5 Vastaus: x ± 7 5

18 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Sijoitetaan H 50 kovuuden kaavaan H sin68 d H sin68 d sin68 50 d d 50d sin 68 : 50 d sin68 50 d ± sin68 50 d ± 0,193 ja ratkaistaan d. Yhtälön ratkaisuista d 0,193 hylätään, koska pituus on aina positiivinen luku. Sijoitetaan H 15 kovuuden kaavaan H sin68 d H sin68 d sin68 15 d d 15d sin 68 : 15 d sin68 15 d ± sin68 15 d ± 0,1 ja ratkaistaan d. Yhtälön ratkaisuista d 0,1 hylätään, koska pituus on aina positiivinen luku. Kullan raaputussyvyys on 0,19 mm ja platinan raaputussyvyys on 0,1 mm. Vastaus: d(kulta) 0,19 mm ja d(platina) 0,1 mm

19 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Yhtälöllä (x + 1)3 a ( x + 3) on juuri x 1. Sijoitetaan x 1 tähän 4 yhtälöön ja ratkaistaan siitä vakio a. 1 (( 1) + 1)3 a (( 1) + 3) a 4 4 9a 1 :9 1 a 9 1 a ± 9 1 a ± 3 1 Sijoitetaan a ± alkuperäiseen yhtälöön ja ratkaistaan siitä muuttuja x (x + 1) 3 ± ( x + 3) (x + 1) 3 x (x + 1) x ) 4) 3) 3) x + x x + x x + 4 3x + 9 5x 5 : 5 x 1 x ±1 Toinen juuri on x Vastaus: a tai a, x 1 3 3

20 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Sijoitetaan L 5 (jalkaa) runkonopeuden kaavaan v 1,34 L ja ratkaistaan yhtälöstä nopeus v. v 1,34 L v 1,34 5 v 44,89 v ± 44,89 v ±6,7 Yhtälön ratkaisuista v 6,7 hylätään, koska nopeus on positiivinen luku. Runkonopeus on 6,7 1,85 1,41 (km/h) Vastaus: Nopeus on 6,7 solmua 1,4 km/h. 4. Merkitään lyhyempää kateettia kirjaimella x. Tällöin pidempi kateetti on 3x. Muodostetaan yhtälö kolmion pinta-alalle ja ratkaistaan siitä x. ah A x 3x 40 3x 480 : 3 x 160 x ± 160 x ±1,649 3x x y Yhtälön ratkaisuista x 1,649 hylätään, koska pituus on aina positiivinen luku. Kateettien pituudet ovat siis 160 ja metriä.

21 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään kolmion hypotenuusaa kirjaimella y ja ratkaistaan sen pituus Pythagoraan lauseella (hypotenuusa kateetti + kateetti ). y ( 160) ( 3 160) + y y 1600 y ± 1600 y ±40 Yhtälön ratkaisuista y 40 hylätään, koska pituus on aina positiivinen luku. Kolmion piiri on x + 3x + y metriä. Aitaa tarvitaan noin 91 metriä. Vastaus: 91 metriä

22 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Sijoitetaan h 1000 (m) ja g 9,81 (m/s ) aallon nopeuden laskukaavaan v gh ja ratkaistaan siitä v. v gh v 9, v ± 9, v ± 9810 v ±99,0 Tässä tilanteessa vain positiivinen nopeus v 99,0 kelpaa. Sijoitetaan h 4000 (m) ja g 9,81 (m/s ) aallon nopeuden laskukaavaan v gh ja ratkaistaan siitä v. v gh v 9, v ± 9, v ± 3940 v ±198,1 Tässä tilanteessa vain positiivinen nopeus v 198,1 kelpaa. Kun meren syvyys kasvaa nelinkertaiseksi, niin aallon nopeus muuttuu kertaiseksi. Vastaus: Nopeudet ovat 99 m/s ja 198 m/s. Ei kasva.

23 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava ALOITA PERUSTEISTA 44. a) 3x 4x + 0 toisen asteen termin kerroin a 3 ensimmäisen asteen termin kerroin b 4 vakiotermi c Vastaus: a 3, b 4 ja c b) x x 5 0 x + x 5 0 toisen asteen termin kerroin a 1 ensimmäisen asteen termin kerroin b 1 vakiotermi c 5 Vastaus: a 1, b 1 ja c 5 c) x toisen asteen termin kerroin a ensimmäisen asteen termin kerroin b 0 vakiotermi c 8 Vastaus: a, b 0 ja c a) Kuvaajan perusteella funktion nollakohdat ovat x 1 ja x. Vastaus: x 1 ja x b) Nollakohdassa funktio saa arvon nolla, eli ratkaistiin yhtälö x x 0. Vastaus: x x 0 c) Lasketaan funktion arvot f( 1) ja f(). f( 1) ( 1) ( 1) f() 4 0 Vastaus: f( 1) 0 ja f() 0

24 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) x + 3x 4 0 a 1, b 3, c 4 ± 4 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan x b b ac a sievennetään lauseke. ( ) 3± x 1 3± 5 3± 5 ja Yhtälön ratkaisut ovat 3+ 5 x 1 tai x 4. Vastaus: x 1 tai x 4 b) x 5x a 1, b 5, c 6 ± 4 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan x b b ac a sievennetään lauseke. ( ) ( ) 5 ± x 1 5± 1 5± 1 ja Yhtälön ratkaisut ovat x 3 tai x. Vastaus: x 3 tai x

25 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Funktion nollakohdassa funktio saa arvon nolla, joten ratkaistaan yhtälö x 6 + x 0. x + x 6 0 a 1, b 1, c 6 ± 4 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan x b b ac a sievennetään lauseke. 1± 1 41( 6) x 1 1± ± 5 1± 5 ja Funktion nollakohdat ovat x tai x 3. Tarkistus: Piirretään funktion f(x) x + x 6 kuvaaja ja luetaan kuvaajasta funktion nollakohdat. Nollakohdat ovat x 3 ja x. Vastaus: x tai x 3

26 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) x 9x 0 a 1, b 9, c 0 ± 4 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan x b b ac a sievennetään lauseke. ( ) ( ) 9 ± x 1 9± 81 9± 9 ja Funktion nollakohdat ovat x 9 tai x 0. Tarkistus: Piirretään funktion f(x) x 9x kuvaaja ja luetaan kuvaajasta funktion nollakohdat. Nollakohdat ovat x 9 ja x 0. Vastaus: x 9 tai x 0

27 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) 3x 3 0 3x 3 : 3 x 1 x ±1 Tarkistus: Piirretään funktion f(x) 3x 3 kuvaaja ja luetaan kuvaajasta funktion nollakohdat. Nollakohdat ovat x 1 ja x 1. Vastaus: x ±1

28 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) x + 1 5x x 4x +5x a 4, b 5, c 1 b± b 4ac Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan x ja a sievennetään lauseke. 5± x 4 5± ± 9 8 5± 3 8 Yhtälön ratkaisut ovat x tai x Vastaus: x 1 tai 1 x 4

29 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) 1+ x 3(x +1) 1 + x 3x + 3 x 3x 4 0 a 1, b 3, c 4 b± b 4ac Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan x ja a sievennetään lauseke. ( 3) ± ( 3) 4 1 ( 4) x 1 3± ± 5 3± 5 Yhtälön ratkaisut ovat x 4 tai 3 5 x 1. Vastaus: x 4 tai x 1

30 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään huoneen leveyttä kirjaimella x. Tällöin huoneen pituus on x +. Muodostetaan yhtälö suorakulmion pinta-alalle ja ratkaistaan siitä x. x (x + ) 1 x + x 1 0 a 1, b, c 1 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan lauseke. ± 4 1 ( 1) x 1 ± 88 Yhtälön ratkaisut ovat + 88 x 3,69 tai b± b 4ac x ja sievennetään a 88 x 5,69. Yhtälön ratkaisuista x 5,69 hylätään, koska pituus on aina positiivinen luku. Huoneen leveys on siis noin 3,7 metriä ja pituus on x + 3,69 + 5,7 metriä. Vastaus: pituus 5,7 m ja leveys 3,7 m

31 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty VAHVISTA OSAAMISTA 430. a) 4x + 6x 8 0 : x + 3x 14 0 a, b 3, c 14 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan sievennetään lauseke. b± b 4ac x ja a 3 ± 3 4 ( 14) x 3 ± ± 11 4 Yhtälön ratkaisut ovat x tai 4 4 ( x. 4 4 Vastaus: x tai x 7

32 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) 0,1x 1,5 0,x 10 x 15 x x + x 15 0 a 1, b, c 15 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan sievennetään lauseke. b± b 4ac x ja a ± 4 1 ( 15) x 1 ± 64 ± 8 Yhtälön ratkaisut ovat x 3 tai 8 10 x 5. Vastaus: x 3 tai x 5

33 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) x 3(x x ) x 3x 3x 3x x 0 a 3, b 1, c 0 b± b 4ac Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan x ja a sievennetään lauseke. ( 1) ± x 3 1± 1 6 1± 1 6 Yhtälön ratkaisut ovat ( x tai x Tarkistus: 1 Lasketaan yhtälön vasemman ja oikean puolen arvo, kun x. 3 1 vasen puoli: 3 3 3) ( oikea puoli: Koska vasemman ja oikean puolen arvot ovat samat, x on yhtälön 3 ratkaisu. Lasketaan yhtälön vasemman ja oikean puolen arvo, kun x 0. vasen puoli: 0 0 oikea puoli: 3 (0 0 ) 0 Koska vasemman ja oikean puolen arvot ovat samat, x 0 on yhtälön ratkaisu.

34 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: x tai x 0 3 b) (x )(x + ) 8 x + 4x x 44 8 x 18x 7 0 : x 9x 36 0 a 1, b 9, c 36 b± b 4ac Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan x ja a sievennetään lauseke. ( 9) ( 9) 4 1 ( 36) ± x 1 9 ± 5 9± 15 Yhtälön ratkaisut ovat x 1 tai x 3. Tarkistus: Lasketaan yhtälön vasemman puolen arvo, kun x 1. vasen puoli: ( 1 )(1 + ) (4 ) oikea puoli: 8 Koska vasemman ja oikean puolen arvot ovat samat, x 1 on yhtälön ratkaisu. Lasketaan yhtälön vasemman puolen arvo, kun x 3. vasen puoli: ( ( 3) )( 3 + ) ( 6 )( 1) 8 ( 1) 8 oikea puoli: 8 Koska vasemman ja oikean puolen arvot ovat samat, x 3 on yhtälön ratkaisu.

35 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: x 3 tai x Ratkaistaan yhtälöt x + ja 3x 7x x asteen yhtälö x 1 : x 3 3x 7x 0 0. asteen yhtälö a 3, b 7, c 0 b± b 4ac Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan x ja sievennetään a lauseke. ( 7) ± ( 7) 4 3 ( 0) x 3 7± ± 17 6 ( x 4 tai x Vastaus: sama ratkaisu 5 x 3

36 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Muodostetaan yhtälö funktion arvolle ja ratkaistaan siitä x. 3x + 15x 18 3x + 15x : 3 x + 5x a 1, b 5, c 6 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan sievennetään lauseke. b± b 4ac x ja a ( ) ( ) 5± x 1 5± 49 5± 7 Yhtälön ratkaisut ovat 5+ 7 x 1 tai x 6. Vastaus: x 1 tai x 6

37 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Ratkaistaan funktion nollakohdat yhtälöstä f(x) 0. 3x + 15x 0 : 3 x + 5x 0 a 1, b 5, c 0 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan sievennetään lauseke. b± b 4ac x ja a ( ) ( ) 5± x 1 5± 5 5± 5 Funktion nollakohdat ovat x 0 Vastaus: x 0 tai x 5 tai x 5.

38 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) P(x) Q(x) 4x + 7x + 8 5x x 7 x + 8x a 1, b 8, c 15 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan sievennetään lauseke. b± b 4ac x ja a 8± x 1 8± 4 8± Yhtälön ratkaisut ovat 8+ 6 x 3 tai 8 10 x 5. Vastaus: x 5 tai x 3

39 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) P(x) Q(x) 8 4x + 7x + 8 ( 5x x 7) 8 4x + 7x x + x x + 8x a 1, b 8, c 7 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan sievennetään lauseke. b± b 4ac x ja a 8± x 1 8± 36 8± 6 Yhtälön ratkaisut ovat 8+ 6 x 1 tai x 7. Vastaus: x 7 tai x 1

40 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) 1 1 x + x x + x 0 a 1, b 1, c 0 b± b 4ac Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan x ja a sievennetään lauseke. ( ) ( ) 1± x 1 1± 1 1± 1 Yhtälön ratkaisut ovat x 0 Vastaus: x 0 tai x 1 tai 1 1 x 1. b) 3y 18y 15 0 : ( 3) y + 6y a 1, b 6, c 5 b± b 4ac Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan x ja a sievennetään lauseke. 6± y 1 6± 16 6± 4 Yhtälön ratkaisut ovat 6+ 4 y 1 tai Vastaus: y 1 tai y y 5.

41 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) 0,001z + 0,00z 0, z + z 1 z + z 1 0 a 1, b, c 1 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan sievennetään lauseke. b± b 4ac x ja a ( ) ( ) ( ) ± z 1 ± 0 ± 0 1 Vastaus: z 1

42 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Sijoitetaan a 0,001 yhtälöön 4x 4ax 3a 0. 4x 4 0,001x 3 0, x 0,004x 0, x 4x 0,003 0 a 4000, b 4, c 0,003 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan lauseke. b± b 4ac x ja sievennetään a ( 4) ( 4) ( 0,003) ± x ± ± Yhtälön ratkaisut ovat x 0, tai x 0, Vastaus: x 0,0015 tai x 0, Toisen asteen yhtälössä muuttujan x suurin eksponentti on kaksi. Esimerkiksi yhtälö x 1 toteuttaa tehtävän ehdot, sillä sen ratkaisut ovat x ± 1 ± 1. Vastaus: Esimerkiksi x 1, jonka ratkaisut ovat x ±1.

43 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) 5x + x 3 0 a 5, b, c 3 Sijoitetaan kertoimet a, b ja c diskriminantin lausekkeeseen D b 4ac. D 4 5 ( 3) Koska D > 0, yhtälöllä 5x + x 3 0 on kaksi ratkaisua. Vastaus: 64, kaksi ratkaisua b) Funktiolla f(x) x + x + t on täsmälleen yksi nollakohta, jos yhtälön x + x + t 0 diskriminantti on nolla. b 4ac 0 a 1, b, c t 4 ( 1) t t 0 4t 4 : 4 t 1 Vastaus: t 1

44 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään lukua kirjaimella x. Tällöin sen neliö on x ja neliön puolikas x on. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä x. x x x x x x 0 a 1, b, c 0 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan lauseke. ( ) ( ) ± x 1 ± 4 ± Yhtälön ratkaisut ovat + 4 x tai b± b 4ac x ja sievennetään a 0 x 0. Vastaus: Luku on 0 tai.

45 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään lyhyemmän kateetin pituutta kirjaimella x. Tällöin pidemmän kateetin pituus on x + 4. Muodostetaan yhtälö kolmion pinta-alalle kaavan ah A mukaan ja ratkaistaan yhtälöstä x. x( x+ 4) 10,5 x (x + 4) 1 x + 4x 1 x + 4x 1 0 a 1, b 4, c 1 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan lauseke. b± b 4ac x ja sievennetään a ( ) 4± x 1 4 ± 100 4± 10 Yhtälön ratkaisut ovat x 3 tai x 7. Yhtälön ratkaisuista x 7 hylätään, sillä pituus on aina positiivinen. Lyhyemmän kateetin pituus on siis 3 mm ja pidemmän kateetin pituus on x mm. Vastaus: Kateettien pituudet ovat 3 mm ja 7 mm.

46 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Koiran hypyn yhtälö on y 0,90x +,x, missä y on hypyn korkeus ja x koiran vaakasuuntainen etäisyys ponnistuspisteestä. Hypyn pituus on ponnistuskohdan ja hypyn alastulokohdan välinen etäisyys. Ponnistus- ja alastulokohdissa hypyn korkeus on nolla, joten saadaan yhtälö 0,90x +,x 0. a 0,90, b,, c 0 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan lauseke. b± b 4ac x ja sievennetään a, ±, 4 ( 0,90) 0 x ( 0,90), ± 4, ,80, ±, 1,80 Yhtälön ratkaisut ovat, +, x 0 1,80 tai,, 4,4 x, ,80 1,80 Ponnistuskohta on x 0 ja hypyn alastulokohta x,444. Hypyn pituus on siis noin,4 metriä. Koska y 0,90x +, on alaspäin aukeava paraabeli, hypyn suurin korkeus on paraabelin huipussa. Paraabelin huipun x-koordinaatti on nollakohtien puolivälissä eli kohdassa 0 +, x 1,... 1,. Hypyn suurin korkeus saadaan laskemalla huipun y-koordinaatti. y 0,90 1, +, 1, 1,344. Vastaus: Hypyn pituus on,4 m ja korkeus on 1,3 m.

47 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Suoran ja paraabelin leikkauspisteet ovat yhtälöparin ratkaisut. y x 3 y x x 3 Merkitään yhtälöiden y x 3 ja y x x 3 oikeat puolet yhtä suuriksi ja ratkaistaan saadusta yhtälöstä x. x 3 x x 3 x + 3x 0 a 1, b 3, c 0 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan lauseke. ( ) ( ) 3± x 1 3± 9 3± 3 b± b 4ac x ja sievennetään a Yhtälön ratkaisut ovat x 0 tai x 3. Sijoitetaan x 0 yhtälöön y x 3. y Toinen leikkauspiste on siten (0, 3). Sijoitetaan x 3 yhtälöön y x 3. y Toinen leikkauspiste on siten (3, 0).

48 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Tarkistus: Piirretään paraabeli y x x 3 ja suora y x 3 samaan koordinaatistoon ja luetaan siitä kuvaajien leikkauspisteet. Vastaus: Leikkauspisteet ovat (0, 3) ja (3, 0).

49 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri x 3 toteuttaa yhtälön x + ax 3 0. Sijoitetaan x 3 yhtälöön ja ratkaistaan siitä a. x + ax a a 3 0 3a asteen yhtälö 3a 15 : 3 a 5 Sijoitetaan a 5 alkuperäiseen yhtälöön ja ratkaistaan yhtälöstä x. x 5x 3 0. asteen yhtälö a, b 5, c 3 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan lauseke. b± b 4ac x ja sievennetään a ( 5) ( 5) 4 ( 3) ± x 5± ± 7 4 Yhtälön ratkaisut ovat x tai ( x 4 4. Vastaus: a 5, toinen juuri 1 x

50 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) 6x(7 x) 0 tulon nollasääntö 6x 0 : ( 6) tai 7 x 0 x 0 x 7 Vastaus: x 0 tai x 7 b) x 3x 0 x(x 3) 0 tulon nollasääntö x 0 tai x 3 0 x 3 Vastaus: x 0 tai x 3 c) x 4x 4x x 0 x(4x 1) 0 tulon nollasääntö x 0 tai 4x 1 0 4x 1 : 4 Vastaus: x 0 tai 1 x 4 1 x 4

51 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty SYVENNÄ YMMÄRRYSTÄ 445. a) (x + )(x 3) 0 tulon nollasääntö x + 0 tai x 3 0 x x 3 : Vastaus: x tai 3 x b) (x + 1) 0 (x + 1) (x + 1) 0 tulon nollasääntö x x 1 : Vastaus: 1 x 1 x c) (x 1)(x + ) 1 x + x x 1 + x 3 0 a 1, b 1, c 3 3 x Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan sievennetään lauseke. b± b 4ac x ja a ( ) 1± x 1 1± 13 Vastaus: 1± 13 x

52 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Ratkaistaan yhtälö 3x + x + 1 x x 1. 3x + x + 1 x x 1 4x + 4x + 0 : x + x a, b, c 1 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan lauseke. ± 4 1 x ± ± 4 4 b± b 4ac x ja sievennetään a Negatiivisella luvulla ei ole neliöjuurta, joten yhtälöllä ei ole ratkaisua. Piirtämällä paraabelit y 3x + x + 1 ja y x x 1 samaan koordinaatistoon, havaitaan, että näillä paraabeleilla ei ole leikkauspisteitä. Yhtälöllä 3x + x + 1 x x 1 ei siis ole ratkaisua. Vastaus: On.

53 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään suorakulmion sivuja kirjaimilla x ja y. Muodostetaan yhtälöt suorakulmion piirille ja pinta-alalle. Saadaan yhtälöpari x+ y 4,6. xy 1, Ratkaistaan ylemmästä yhtälöstä y ja sijoitetaan se alempaan yhtälöön. x + y 4,6 y 4,6 x : y,3 x xy 1, x (,3 x) 1,,3x x 1, 0 x +,3x 1, 0 a 1, b,3, c 1, Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan lauseke. ( ) ( ) ( ),3 ±, , x 1,3 ± 0, 49,3 ± 0,7 b± b 4ac x ja sievennetään a Yhtälön ratkaisut ovat,3 + 0,7 1,6 x 0,8 tai,3 0,7 3,0 x 1,5. Toinen suorakulmion sivuista on 0,8 metriä ja toinen on y,3 x,3 0,8 1,5 metriä. Vastaus: Sivujen pituudet ovat 0,8 m ja 1,5 m.

54 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Sijoitetaan v 0 3,0 (m/s) s 7 (m) g 9,81 (m/s ) yhtälöön s v 0 t + 0,5 gt ja ratkaistaan yhtälöstä t. s v 0 t + 0,5 gt 7 3,0t + 0,5 9,81t 4,905t + 3t 7 0 a 4,905, b 3, c 7 Symbolisen laskennan yhtälönratkaisutoiminnolla saadaan t 3,54 ja t 4,15. Näistä ratkaisuista t 4,15 hylätään, sillä aika on positiivinen luku. Putoaminen kestää 3,5 sekuntia. Vastaus: 3,5 s b) Sijoitetaan v 0 3,0 (m/s) t (s) g 9,81 (m/s ) yhtälöön s v 0 t + 0,5 gt ja lasketaan s. s v 0 t + 0,5 gt s 3,0 + 0,5 9, ,6 5,6 Ensimmäisen kahden sekunnin aikana avainnippu tippuu noin 6 metriä. Vastaus: 6 m

55 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) Sijoitetaan v 0 3,0 (m/s) g 9,81 (m/s ) t 3,53768 (s) yhtälöön v v 0 + gt ja lasketaan v. v v 0 + gt 3,0 + 9,81 3, ,7046 Muutetaan nopeus yksiköstä m/s yksikköön km/h. 37,7046 m 0, km , km/h s 1 h ,73656 km/h 136 km/h Avainnipun nopeus on noin 136 km/h. Vastaus: 136 km/h

56 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Suorakulmion alkuperäinen pinta-ala on 0,0 m 1,0 m 40 m. Merkitään lisättävän nurmikaistaleen leveyttä kirjaimella x. Tällöin suurennetun nurmialueen sivujen pituudet ovat 0 + x ja 1 + x metriä. Koska suurennetun alueen pinta-ala on kaksinkertainen alkuperäiseen pinta-alaan verrattuna, saadaan yhtälö (0 + x)(1 + x) x + 1x + x 480 x + 3x Sijoitetaan yhtälön kertoimet a 1, b 3 ja c 40 ratkaisukaavaan ja sievennetään lauseke. ( ) 3 ± x 1 3 ± 1984 Yhtälön ratkaisut ovat x + 6,7 tai x 38,7. Ratkaisu x 38,7 hylätään, sillä pituus ei voi olla negatiivinen. Nurmikentän mitat ovat siis 0,0 + 6,7 6,7 6,3 metriä ja 1,0 + 6,7 18,7 18,3 metriä. Vastaus: pituus 6,3 m ja leveys 18,3 m

57 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään vähennysten määrää kirjaimella x. Hahmotellaan tilannetta taulukoimalla. Vähennysten määrä Kappalehinta ( ) Myytyjen aurinkolasien määrä x x 16 x Myyntitulojen lauseke saadaan, kun aurinkolasien kappalehinta kerrotaan myytyjen aurinkolasien määrällä. (8 + x)(16 x) 18 16x + 16x x x + 18 Aurinkolaseista kertyy kustannuksia euroa kappaleelta eli (16 x) 3 4x. Myyntivoiton y lauseke saadaan vähentämällä myyntituloista x + 18 kustannukset 3 4x. y x + 18 (3 4x) x x x + 4x + 96 Koska myyntivoiton lausekkeen kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, myyntivoitto y saa suurimman arvonsa paraabelin huippukohdassa. Ratkaistaan paraabelin ja x-akselin leikkauskohdat symbolisen laskennan yhtälönratkaisutoiminnolla. Saadaan x 6 ja x 8. Huipun x-koordinaatti on leikkauskohtien puolessa välissä Suurin myyntivoitto saadaan, kun kappalehinta on 8 + x euroa. Aurinkolaseja menee tällöin kaupaksi kappaletta. Myyntitulo on ja voittoa saadaan Vastaus: 9 euroa/kpl ja voitto 98 euroa

58 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään pidemmän osan pituutta kirjaimella x. Tällöin lyhyempi osa on 170 x. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä x. x x x x 170 (170 x ) x x x + 170x a 1, b 170, c 8900 Sijoitetaan yhtälön kertoimet a 1, b 3 ja c 40 ratkaisukaavaan ja sievennetään lauseke. 170 ± ( 8900) x ± ± Yhtälön ratkaisut ovat x 105,1 tai x 75,1. Yhtälön ratkaisu x 75,1 hylätään, sillä pituus on positiivinen luku. Pidempi osa on noin 105 cm ja lyhyempi osa noin 170 x cm. Kultaiset mitat ovat 105 cm ja 65 cm. Vastaus: 105 cm ja 65 cm

59 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Sijoitetaan pisteen (,3) koordinaatit yhtälöön y (x a) 1 ja ratkaistaan yhtälöstä a. y (x a) 1 3 ( a) 1 3 ( a) ( a) a a + a 1 a 4a 0 a(a 4) 0 tulon nollasääntö a 0 tai a 4 0 a 4 Piirretään paraabelien y (x 0) 1 x 1 ja y (x 4) 1 (x 4) (x 4) 1 x 8x + 15 kuvaajat samaan koordinaatistoon. Vastaus: a 0 tai a 4

60 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Toisen asteen yhtälöllä on täsmälleen yksi ratkaisu silloin, kun ratkaisukaavan neliöjuuren sisällä oleva lauseke eli diskriminantti b 4ac on nolla. Tutkitaan, millä vakion t arvolla ehto toteutuu. x + tx a 1, b t, c 4 b 4ac 0 t t 16 0 neliöyhtälö t 16 t ± 16 t ±4 Vastaus: t ±4 b) Tutkitaan, millä vakion t arvolla yhtälön x + tx + t 0 diskriminantti on nolla. x + tx + t 0 a 1, b t, c t b 4ac 0 t 4 1 t 0 t 4t 0 t(t 4) 0 tulon nollasääntö t 0 tai t 4 0 t 4 Vastaus: t 0 tai t 4

61 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty ALOITUSAUKEAMAAN LIITTYVIÄ TEHTÄVIÄ 1 1. Merkitään apinajoukkoa kirjaimella x. Tällöin metsässä oli 8 x ja kukkulalla 1 apinaa. Koska apinajoukko jakaantui kahteen paikkaan, pienempien joukkojen summa on yhtä suuri kuin alkuperäinen joukko. 1 x + 1 x 8 1 x + 1 x x x x 64x Symbolisen laskennan yhtälönratkaisutoiminnolla saadaan x 16 tai x 48. Vastaus: Apinoita oli 16 tai 48.

62 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään apinajoukkoa kirjaimella x. Tällöin luolaan meni 3 5 x. Lisäksi yksi oli kiivennyt oksalle. Koska alueella ei ollut enempää apinoita, luolaan menneiden apinoiden ja oksalle kiivenneen apinan summa on yhtä suuri kuin alkuperäinen apinajoukko. 1 x x x 3 x x x x x x x x+ 10 x x 30x x x 55x Symbolisen laskennan yhtälönratkaisutoiminnolla saadaan x 5 tai x 50. Apinoiden määrä ei voinut olla 5, koska siitä viidesosa on 1 ja yhdestä ei voi vähentää kolmea apinaa. Apinoita oli siis 50. Vastaus: Apinoita oli 50.

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 5 Paraabeli Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 13..017 ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Jos a > 0, paraabeli aukeaa oikealle. Jos a < 0, paraabeli aukeaa vasemmalle. Jos a = 0, paraabeli

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja funktioita

2 Yhtälöitä ja funktioita Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

4 Polynomifunktion kulku

4 Polynomifunktion kulku 4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Laudatur 2. Opettajan aineisto. Polynomifunktiot MAA2. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 2. Opettajan aineisto. Polynomifunktiot MAA2. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur Polynomifunktiot MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Toimittaja: Sanna Mäkitalo Taitto: Tekijät. painos Painovuosi

Lisätiedot

6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt

6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt 6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt 6.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) ( x x) 3( x ) ( x x) (3 x 3 ) x x (3x 6) x x 3x 6 x x 6 b) 9( x 1) 5( x ) 9 x ( 9) 1 5 x 5 9x 9 5x 10 4x 1 c) (3x )(4 5 x) 3x 4 3 x (

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan.

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. MAA Koe..05 Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko. konseptin yläreunaan. A-osio. Ilman laskinta! MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Laske kaikki tehtävät. Vastaa tälle paperille.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 ESITYS pisteitykseksi Yleisohje tarkkuuksista: Ellei tehtävässä vaadittu tiettyä tarkkuutta, kelpaa numeerisissa vastauksissa ohjeen vastauksen lisäksi yksi merkitsevä

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =

Lisätiedot

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus Ensimmäisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 1 + 5 = 4( 3) Toisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 3 5 + 4 = 0 Kolmannen asteen yhtälö: :n korkein

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

A-osio. Ei laskinta! Laske kaikki tehtävät. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa.

A-osio. Ei laskinta! Laske kaikki tehtävät. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. MAB2 koe Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Muista, että välivaiheet perustelevat vastauksesi. Muista kirjoittaa konseptille nimesi ja tee pisteytysruudukko konseptin yläreunaan. A-osio. Ei laskinta!

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

Matematiikan pohjatietokurssi

Matematiikan pohjatietokurssi Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio, 8.-9.9.015, ratkaisut 1. Jaa tekijöihin (joko muistikaavojen avulla tai ryhmittelemällä) (a) x +x+ = x + x + = (x+) x +x+ = (x +x+1) = (x+1) (c) x 9 = (x) 3

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Kertaustehtävien ratkaisut. x y = x + 6 (x, y) 0 0 + 6 = 6 (0, 6) + 6 = (, ) + 6 = 0 (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0).. x y = x (x, y) 0 0 (0, 0) (, ) (, ) x y = x + (x, y) 0

Lisätiedot

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2 Lisätehtävät Polnomifunktio 7. Epähtälöt = + 8. a) < + < + < Vastaus: ) < < Vastaus: < 8 8 8 = 8 = + c) ( ) < + ( ) < + < + < : ( > ) < Vastaus: < d) ( )

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5 A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

Kokonaisluvut. eivät ole kokonaislukuja!

Kokonaisluvut. eivät ole kokonaislukuja! Luvut Lähdetään liikkeelle kertaamalla mitä tiedämme luvuista. Mitä erilaiset luvut kuvaavat ja millaisia ominaisuuksia niillä on? Mikä voisi olla luonnollisin luku aloittaa? Luonnolliset luvut Luonnolliset

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit

Lisätiedot

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja. nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja.  nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 15 Päivitetty 19..6 31 Tapa 1 Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä sijoituskeinoa. x y+ z = x y + 3z = 3x 4y+ z = Ratkaistaan yhtälöstä (1) muuttuja

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä NELIÖJUURI POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA2 Tarkoittaa positiivista tai nollaa Määritelmä, neliöjuuri: Luvun a R neliöjuuri, merkitään a, on se ei-negatiivinen luku, jonka neliö (eli toiseen potenssiin

Lisätiedot

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 015 Lhen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Tekijät: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen Ratkaisut on laadittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmalla kättäen Muistiinpanot -sovellusta.

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 Derivaatta. a) Vastaus: Merenpinta nousee aikavälillä 00:00-06:00 ja :30-7:30. Merenpinta laskee aikavälillä 06:00-:30 ja 7:30-3:00. b) Merenpinta nousi 0,35 cm ( 0,) cm = 0,55 cm tuona aikana. Merenpinta

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Ympyrän yhtälö

Ympyrän yhtälö Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka

Lisätiedot

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016 Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

Paraabeli suuntaisia suoria.

Paraabeli suuntaisia suoria. 15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki

Lisätiedot

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015 PREPPAUSTA 05.nb LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 05 MURTOLUVUT. Laske murtolukujen 3 ja 5 6 summa, tulo ja osamäärä. Summa 3 5 6 4 3 5 6 8 6 5 6 3 6 6. Laske

Lisätiedot

Metropolia ammattikorkeakoulu 05.02.2015 TI00AA43-3004: Ohjelmointi Kotitehtävät 3

Metropolia ammattikorkeakoulu 05.02.2015 TI00AA43-3004: Ohjelmointi Kotitehtävät 3 : http://users.metropolia.fi/~pasitr/2014-2015/ti00aa43-3004/kt/03/ratkaisut/ Tehtävä 1. (1 piste) Tee ohjelma K03T01.cpp, jossa ohjelmalle syötetään kokonaisluku. Jos kokonaisluku on positiivinen, niin

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen.

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen. 4.1 Polynomifunktion kulun tutkiminen s. 100 digijohdanto Funktio f on kasvava jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa ehto f(a) < f(b). Funktio f on vähenevä jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot