Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
|
|
- Ahti Heino
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f( ) = =, kun + = = =± Määrittelyehdon toteuttaa vain =. Vastaus: Määrittelyehto on ja nollakohta =. b) +, määrittelyehto ja. ) ) + + ( ) ( ) ( ) Nollakohta: =, kun ( ) = =.
2 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Tehdään merkkikaavio osamäärä + + +, kun < tai >. a) b)
3 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Tutkitaan funktion f() = 4 kulkua kulkukaavion avulla. f () = 4 Derivaatan nollakohdat. f () = 4 = = 4 = ± f () + + f() Funktio on kasvava väleillä ], ] ja [, [ ja vähenevä välillä [, ]. b) Funktiolla f on paikallinen maksimiarvo f ( ) = ( ) 4 ( ) = 8 + 8= = 6 ja paikallinen minimiarvo f () = 4 = 8 8 = 8 4 = 6.
4 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) f () =,. Lasketaan -akselin leikkauspisteet eli funktion f nollakohdat. = 6 = 6 = 6 = 6 6 = =± Leikkauspisteet ovat (, ) ja (, ). b) Määritetään kuvaajan ja -akselin leikkauspisteisiin asetettujen tangenttisuorien yhtälöt. Tangentin kulmakerroin on derivaatan arvo sivuamispisteessä. f( ) = = 4 f ( ) = ( ) = + 4 f ( ) = ( ) + = 6= k 4 ( ) f () = + = 6 = k 4 Pisteen (, ) kautta kulkevan tangentin yhtälö: y y = k( ) y = 6( ( )) y = 6( + ) y = 6+ 6
5 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Pisteen (, ) kautta kulkevan tangentin yhtälö: y = 6( ) y = a) Tosi Bolzanon lauseen perusteella funktiolla on ainakin yksi nollakohta välillä ], [. Koska f on kasvava voi nollakohtia olla enintään yksi, joten funktiolla f on täsmälleen yksi nollakohta. b) Tosi Koska f on kasvava ja f () >, on derivaatta positiivinen kun >. Funktio on kasvava kun, joten f() < f(4). c) Tosi Koska derivaattafunktion merkki vaihtuu negatiivisesta positiiviseksi jossakin välin kohdassa, on funktiolla tässä kohdassa paikallinen minimi. Funktio on vähenevä ennen tätä kohtaa ja kasvava sen jälkeen, joten funktio saavuttaa pienimmän arvonsa tässä kohdassa. 6. Funktion f() = 4 arvojen laskeminen ilman apuvälineitä on työlästä, joten pyritään selvittämään suuruusjärjestys funktion kulkua tutkimalla. Laaditaan funktion kulkukaavio derivaatan avulla. f ( ) = 4 Määritetään derivaatan nollakohdat. f ( ) = 4 = (4 ) = = tai4 = = = 4
6 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Tehdään kulkukaavio f () + f() Koska 6 = =,, niin tarkastellaan väliä. Tällä välillä funktio f on kasvava. Koska,45 > on f(,45) > f ( ) a) Funktiolla on raja-arvo kohdassa =, jos sen vasemman- ja oikean puoleiset raja-arvot ovat yhtä suuret. a +, kun < f( ) = 4, kun > lim ( a + ) = a( ) + = a + = = lim ( 4) ( ) 4 + Toispuolisten raja-arvojen tulee olla yhtä suuret. lim ( a + ) = lim ( 4) + a + = a = 4
7 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 b) + a f( ) =, + Jotta funktiolla olisi raja-arvo kohdassa =, pitää nimittäjän nollakohdan = olla myös osoittajan nollakohta, jotta lauseke + voitaisiin supistaa pois nimittäjästä. () + a = a = 8. Kolmion OPQ kannan pituus on pisteiden O ja P etäisyys 4, ja korkeus on Pisteen Q ja -akselin etäisyys 5. Merkitään AB = ja h = kolmion ABC korkeus. Kolmiot OPQ ja ABQ ovat yhdenmuotoisia, sillä kulmat QOP ja QAB ovat samankohtaisia kulmia ja AB OC, joten kulmat QOP ja QAB ovat yhtä suuria ja kulma AQB on molemmissa sama. Yhdenmuotoisuuden perusteella saadaan näistä kahdesta kolmiosta muodostettua verranto.
8 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 = 5 h = 4(5 h) 5 = 4h 4h= 5 h = 5 4 Kolmion ABC pinta-alaa kuvaava funktio on 5 ( ) A ( ) = h = = : =, Ratkaistaan funktion A suurin arvo tutkimalla sen kulkua A ( ) = = 8 4 A () =, kun 5 5 = = = Tehdään kulkukaavio. A () + A() Pinta-ala saa suurimman arvonsa, kun sivun AB pituus on.
9 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Muutetaan epäyhtälö muotoon f(). + + ), Funktion f( ) = lausekkeen osoittaja on aina + negatiivinen, koska + = + = ( ) (( ) + ) <. Nimittäjä + on aina positiivinen, joten funktion lauseke saa vain negatiivisia arvoja ja siten epäyhtälö on aina tosi. b) 6 + > >, joten tutkitaan funktiota f() = Tutkitaan funktion f kulkua derivaatan avulla. f () = = ( 4) Derivaatan nollakohdat ovat = ja =±. Tehdään kulkukaavio f () + + f()
10 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Lasketaan funktion paikalliset minimiarvot. f ( ) = 7 > ja f ( ) = ( ) ( ) + = + = = = > 7 7 Koska minimiarvot ovat positiivisia, ja funktio on jatkuva, saa funktio vain positiivisia arvoja. Vastaava epäyhtälö on siten aina tosi, kuten myös alkuperäinenkin.. Käyrät y = 4 ja y = kulkevat origon kautta ja funktion f kuvaaja kulkee käyrien välissä, joten f() =. Funktion f erotusosamäärä kohdassa on f ( ) f () ( ) = f. Kuvan mukaan kaikilla (ainakin nollan läheisyydessä) on voimassa f() 4. Kun >, jakamalla edellisen kaksoisepäyhtälön jokainen jäsen luvulla saadaan erotusosamäärälle arvio 4 f( ) f( ). Koska sekä että lähestyvät nollaa, kun lähestyy nollaa positiiviselta puolelta, niin myös välissä oleva erotusosamäärä lähestyy nollaa.
11 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kun <, epäyhtälömerkit kääntyvät vastakkaisiksi, kun kaksoisepäyhtälön jokainen jäsen jaetaan luvulla. Erotusosamäärälle saadaan arvio 4 f( ) f( ). Tästä voidaan päätellä, että erotusosamäärä lähestyy nollaa, kun lähestyy nollaa negatiiviselta puolelta. f ( ) f() f( ) Siis lim = lim = eli f () =.
12 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 APUVÄLINEET SALLITTU. Opiskelija on ensin muodostanut derivaattafunktion ja laskenut sen nollakohdat. Tämän jälkeen hän on laskenut funktion arvot derivaatan nollakohdissa. Tuloksen perusteella hän on päätellyt, että kohdassa = on paikallinen maksimi ja kohdassa = 4 paikallinen minimi, ilmeisesti funktion arvoja vertaamalla. Opiskelija ei ole kuitenkaan varmistanut derivaatan merkkiä tarkastelemalla, että ovatko kohdat ylipäätään ääriarvokohtia ja jos ovat, niin onko kyseessä maksimi vai minimi. Korjaus: Derivaattafunktion f () = 48 = ( 4) merkkiin vaikuttaa vain tekijän 4 merkki, koska kaikilla :n arvoilla f () + f() Kohta = 4 on paikallinen minimikohta kulkukaavion perustella. Vastaus: Funktiolla on paikallinen minimiarvo f(4) = 56.
13 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Tarkastellaan funktioiden kulkua piirtämällä kuvaajat. f() = + g() = 4 + h() = + + p ( ) = Vastaus: f: C ja D, g: B, C ja D, h: A ja C, p: mikään ei sovi.. a) Lasketaan funktion raja-arvo kohdassa = 5., kun < 5 f( ) = +, kun > 5 4 lim f( ) = lim ( ) = lim f( ) = lim = Toispuoliset raja-arvot eivät ole yhtä suuret. Funktiolla ei ole rajaarvoa kohdassa = 5, joten sitä ei saada jatkuvaksi tässä kohdassa.
14 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) f( ) = 5 5 lim f( ) = lim = Jotta funktio olisi jatkuva, tulee funktion arvon kohdassa = 5 olla sama kuin sen raja-arvo. Valitaan f (5) =. 4. Tutkitaan funktion f( ) = + 6 kulkua kulkukaavion avulla. Derivoidaan funktio. f () = Derivaatan nollakohdat: = = ja =. Tehdään kulkukaavio. f () + + f() Funktio f on jatkuva funktio ja se on kasvava väleillä ], ] ja [, [ sekä vähenevä välillä [, ]. Näistä jokaisella välillä voi olla korkeintaan yksi nollakohta. Lasketaan funktion ääriarvot. Maksimiarvo f() = 6. Minimiarvo f() =. Koska f() ja f() ovat positiivisia, ei välillä ole nollakohtaa. Koska funktio on kasvava, kun, ja f() > ei funktiolla voi olla nollakohtaa kun.
15 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Koska f( ) = 8 < ja f() = 6 > on funktiolla f Bolzanon lauseen mukaan ainakin yksi nollakohta välillä ], [. Koska funktio f on kasvava, kun, on funktiolla täsmälleen yksi nollakohta tällä välillä. Funktiolla on täsmälleen yksi nollakohta. 5. Muutosnopeuden ilmoittaa derivaattafunktion arvo. Derivoidaan funktiot f ja g. f( ) =, ( ) ( ) f ( ) = =, ( ) ( ) g ( ) = g ( ) = Tutkitaan, milloin funktion f muutosnopeus on suurempi kuin funktion g muutosnopeus. f ( ) > g ( ) ( ) > > ( ) 4 > ( ) Lausekkeen nimittäjä ( ) >, kun. Rationaalilausekkeen merkki riippuu vain osoittajan 4 merkistä. Lasketaan nollakohdat: 4 = = tai =
16 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Päätellään lausekkeen merkki kuvaajasta. 4 > eli f () > g (), kun < < ja. ( ) 6. Kuvan leveys on 5 5 =. Kuvan korkeus on 5. Kuvan pinta-ala on A = ( )(y 5) Ratkaistaan toinen muuttuja y, kun tiedetään, että julisteen pinta-alan tulee olla m = cm. y Koko julisteen pinta-ala on y. y = y =, Sijoitetaan y:n arvo pinta-alan lausekkeeseen. A ( ) = ( )( y 5) = ( )( 5) = = > 985 5, Määritetään pinta-alafunktion A suurin arvo. Tutkitaan pinta-alafunktiota kulkukaavion avulla. A ( ) = 5 +, > A ( ) = =± =± 6 8,65
17 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Tehdään kulkukaavio testikohtien avulla. A() = >, A(8) = < 6 A () + A() Pinta-alafunktio saa suurimman arvonsa, kun leveys Tällöin y = = 5 6, Julisteen leveys on 8 cm ja korkeus cm. = 6 8, Piirretään kuvaaja. Suora 4y = eli yläpuolella, kun y= kulkee käyrän y = 4
18 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 > > > ( 4)( ) Lausekkeen nimittäjä on aina positiivinen, kun, joten lausekkeen merkkiin vaikuttaa vain osoittajan merkki. Lasketaan nollakohdat: ( 4)( ) = 4= tai = =± = Tehdään merkkikaavio ( 4)( ) + + ( 4)( ) > eli >, kun > ja. 4 Suoran ja käyrän leikkauskohdat ovat = ja =. Vastaavat y- koordinaatit ovat y = ( ) = ja y = =. 4 4 Leikkauspisteet ovat (, ) ja (, ). Pisteessä (, ) suora on käyrän tangentti eli suora ja käyrä sivuavat toisiaan tässä pisteessä. Pisteessä (, ) käyrä ja suora leikkaavat toisensa.
19 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kolmannen asteen polynomifunktio voidaan kirjoittaa muodossa f() = a + b + c + d, a. Sijoitetaan tunnetut arvot funktion lausekkeeseen. f( ) = a + b c + d = f() = a + b + c + d = Lisäksi tiedetään, että funktiolla f on paikalliset ääriarvokohdat = ja =. Paikalliset ääriarvokohdat ovat derivaattafunktion nollakohtia eli f () = ja f ( ) =. Derivaattafunktio on f () = a + b + c. f () = a + b + c = f ( ) = a a + c = Ratkaistaan yhtälöryhmä a+ b c+ d = a+ b+ c+ d = a+ b+ c= a a+ c= josta saadaan a =, b =, c = ja d =. Funktion lauseke on f() = +
20 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Piirretään kuva. Käyrällä olevan pisteen koordinaatit ovat (, + ). Suorakulmion toisen sivun leveys on ja korkeus +, >. Lasketaan suorakulmion piiri. ) ( ) ( ) p= + + = + + = + + = Lasketaan suorakulmion pinta-ala. A= + Määritetään piirin ja pinta-alan suhde. ( + + ) p ( ) f( ) + + = = + = A = + + Tutkitaan funktion f kulkua kulkukaavion avulla. f ( ) = = = Derivaattafunktion lausekkeen nimittäjä on aina positiivinen, kun >. Riittää tutkia osoittajan merkkiä.
21 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 = =± Tehdään kulkukaavio. f () + f() Kulkukaavion perusteella f() on pienin arvo. f () = + + = 6. Piirin ja pinta-alan ja suhde on 6, eli 6 :.. a) Koska lauseketta y = + ei ole määritelty kun =, ei sillä ja suoralla = voi olla yhteisiä pisteitä. Yhtälö + = yksinkertaistuu yhtälöksi =, joka on epätosi kaikilla luvuilla. Käyrä ei siis voi leikata kumpaakaan asymptooteistaan.
22 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 b) Piirretään kuva. Merkitään pisteen P koordinaatteja (a, b) = (a, a + a ) = (a, a + ). a Asymptootit ovat = ja y =. Näiden leikkauspiste on origo eli (, ). Kolmion kanta on tangentin ja y-akselin leikkauskohdan y- koordinaatin etäisyys origosta. Kolmion korkeus tangentin ja suoran y = leikkauskohdan etäisyys origosta. Muodostetaan tangentin yhtälö. Tangentin kulmakerroin on derivaatan arvo pisteessä P. y = + = +. D( + ) = = kun = a, k = = a a a
23 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Määritetään pisteeseen P = (a, y y = k( ) a + y ( ) = k( a) a a + a y ( ) = ( a) a a a a a + y = + a a a a y = + a a a + ) piirrettävän tangentin yhtälö: a Kolmion kanta on a. a Suorien y = + ja y = leikkauskohta on a a a + = a a = a. Kolmion korkeus on a. Kolmion ala on A = 4a 4 a a = a = =. Näin huomataan, että kolmion ala ei riipu pisteen P valinnasta.
5 Rationaalifunktion kulku
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
LisätiedotJuuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =
LisätiedotKERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.
KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.
Lisätiedot2 Raja-arvo ja jatkuvuus
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti
LisätiedotJuuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
Lisätiedot11 MATEMAATTINEN ANALYYSI
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.
LisätiedotVastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
LisätiedotMikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen.
4.1 Polynomifunktion kulun tutkiminen s. 100 digijohdanto Funktio f on kasvava jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa ehto f(a) < f(b). Funktio f on vähenevä jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa
Lisätiedot4 Polynomifunktion kulku
4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion
LisätiedotLisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x
MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa
Lisätiedot4. Kertausosa. 1. a) 12
. Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle
LisätiedotMAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!
A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim
LisätiedotJuuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +
Lisätiedot1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400
LisätiedotVASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN
Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa
LisätiedotRationaalilauseke ja -funktio
4.8.07 Rationaalilauseke ja -funktio Määritelmä, rationaalilauseke ja funktio: Kahden polynomin ja osamäärä, 0 on rationaalilauseke, jonka osoittaja on ja nimittäjä. Huomaa, että pelkkä polynomi on myös
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
Lisätiedot3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?
Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.
Lisätiedot3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit
.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun
LisätiedotMAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!
MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele
Lisätiedot7 Differentiaalilaskenta
7 Differentiaalilaskenta 7. Raja-arvo ja jatkuvuus LUVUN 7. YDINTEHTÄVÄT 70. a) lim f( ), lim f ( ) ja f(). b) lim f ( ), lim f ( ),5 ja lim f ( ) 5 Raja-arvoa kohdassa ei ole olemassa. c) Funktio on jatkuva
LisätiedotHuippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] saadaan laskemalla kohtia x = 0 ja x = vastaavien kuvaajan
Lisätiedot3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen
LisätiedotDifferentiaalilaskenta 1.
Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,
LisätiedotMAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!
MAA7 7. Koe Jussi Tyni 1..01 1. Laske raja-arvot: a) 5 x lim x5 x 10 b) x 8x16 lim x x 9 x. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (5). b) Onko funktio f x vastauksesi lyhyesti 1 9 x ( ) x f ( x)
LisätiedotÄänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016
Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut
LisätiedotKertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman
LisätiedotB-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.
B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,
LisätiedotJuuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =
LisätiedotMAA7 7.2 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! lim.
MAA7 7. Koe Jussi Tyni 8.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 9 lim 6 lim 1. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). 1 f ( ) derivaatta 1 Onko funktio f ( ) 9 kaikkialla vähenevä? Perustele vastauksesi
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10-13
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo -. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x +9, b) log (x) 7, c) x + x 4 =.. Määrää kaikki ne
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai
. (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään
Lisätiedotx = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x
KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9
Lisätiedot5 Differentiaalilaskentaa
5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.
Lisätiedot4 FUNKTION ANALYSOINTIA
Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 1.1.018 4 FUNKTION ANALYSOINTIA POHDITTAVAA 1. Appletin avulla huomataan, että suorakulmion pinta-ala on mahdollisimman suuri, kun kaikki
Lisätiedotmäärittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.
MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,
LisätiedotTekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
LisätiedotMatematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.
7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f
Lisätiedot( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2
Lisätehtävät Polnomifunktio 7. Epähtälöt = + 8. a) < + < + < Vastaus: ) < < Vastaus: < 8 8 8 = 8 = + c) ( ) < + ( ) < + < + < : ( > ) < Vastaus: < d) ( )
Lisätiedot1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f
LisätiedotA-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:
Lisätiedot1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6
. Polynomifunktio. a Suoran kulmakerroinn k = , joten suora on nouseva. c Suoran kulmakerroinn k =, joten suora on -akselin suuntainen vaakasuora.
LisätiedotJuuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K. a) Polynomi P() = 3 + 8 on jaollinen polynomilla Q() = 3, jos = 3 on polynomin P nollakohta, eli P(3) = 0. P(3) = 3 3 3 + 8 3 = 54 08 + 54 = 0. Polynomi P on jaollinen polynomilla Q. b) Jaetaan
LisätiedotMaksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
LisätiedotRatkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen
Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin
Lisätiedoty=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A
LisätiedotMatematiikkaa kauppatieteilijöille
Matematiikkaa kauppatieteilijöille Harjoitus 7, syksy 2016 1. Funktio f(x) = x 2x 2 + 4 on jatkuva ja derivoituva kaikilla x R. Nyt funktio f(x) on aidosti alaspäin kupera kun f (x) > 0 ja aidosti ylöspäin
LisätiedotA = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.
MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
Lisätiedot4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
Lisätiedotmäärittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.
MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä
LisätiedotMatematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to
Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat
Lisätiedot3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n
LisätiedotPyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja
Lisätiedot1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)
Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)
LisätiedotMAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ
MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan
LisätiedotRatkaisuehdotus 2. kurssikoe
Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen
Lisätiedotorigo III neljännes D
Sijoita pisteet A(1,4) ja B(4,5;5) sekä C(-3,4) ja D(-4,--5) y II neljännes C A I neljännes B x origo III neljännes D IV neljännes KOTIT. Sijoita ja nimeä koordinaatistoon pisteitä niin, että pisteet yhdistettäessä
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti
LisätiedotA-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
Lisätiedotjakokulmassa x 4 x 8 x 3x
Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:
Lisätiedot3 Määrätty integraali
Määrätty integraali. a) Muodostuva alue on kolmio, jonka kanta on. Kolmion korkeus on funktion arvo kohdassa, eli f() = = 6. Lasketaan A() kolmion pintaalana. 6 A() 6 Vastaus: A() = 6 b) Muodostuva alue
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
Lisätiedotn. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa.
MAA 12 kertaus Funktion kuvaaja n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. Funktion nollakohta on piste, jossa f () = 0, eli kuvaaja leikkaa -akselin. Kuvaajan avulla
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
Lisätiedot1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6
. Polynomiunktio. a Suoran kulmakerroinn k = , joten suora on nouseva. c Suoran kulmakerroinn k =, joten suora on -akselin suuntainen vaakasuora.
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
Lisätiedotx + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli
BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Syksy 015 1. a) Funktio f ) = 1) vaihtaa merkkinsä pisteissä = 1, = 0 ja = 1. Lisäksi se on pariton funktio joten voimme laskea vain pinta-alan
Lisätiedotx 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua
Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö
Lisätiedotyleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p
MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
LisätiedotOletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä
LisätiedotMatematiikan pohjatietokurssi
Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio, 8.-9.9.015, ratkaisut 1. Jaa tekijöihin (joko muistikaavojen avulla tai ryhmittelemällä) (a) x +x+ = x + x + = (x+) x +x+ = (x +x+1) = (x+1) (c) x 9 = (x) 3
LisätiedotMAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x
MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =
Lisätiedotf(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim
Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotFunktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA,
Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA, MAA6 1. Suurin ja pienin arvo suljetulla välillä Lause, jatkuvan funktion ääriarvolause: Suljetulla välillä a, b jatkuva funktio f saa aina pienimmän ja suurimman
Lisätiedot= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2
Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100
Lisätiedot