3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö"

Transkriptio

1 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen toinen potenssi on 4. x + 1 = tai x + 1 = x = 1 x = 3. b) x + x 5 = 0 x + x = 5 Lisätään yhtälön molemmille puolille 1, jotta saadaan vasemmalle puolelle sama lauseke kuin a-kohdassa. x + x + 1 = 6 (x + 1) = 6 x1 6 tai x1 6 x 6 1 tai x 6 1 c) x + 6x 7 = 0 x + 6x = 7 Lisätään yhtälön molemmille puolille sellainen luku, että vasen puoli saataisiin muotoon (x + ). (x + 3) = x + 6x + 9, joten kummallekin puolelle lisättävän luvun tulee olla 9. x + 6x + 9 = 16 (x + 3) = 16 x + 3 = 4 tai x + 3 = 4 x = 1 tai x = 7

2 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Funktion f kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli ja sen nollakohdat ovat x = ja x = 5. Kuvaaja on siis suurin piirtein seuraavanlainen. Funktion arvo on positiivinen, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella. Funktion arvo on positiivinen, kun x < tai x > 5. b) Piirretään funktion f (x) = (x 1)(x + 3) kuvaaja. Funktion arvo on positiivinen, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella. Ratkaistaan funktion nollakohdat. (x 1)(x + 3) = 0 x 1 = 0 tai x + 3 = 0 x = 1 x = 3 Funktion arvo on positiivinen, kun 3 < x < 1.

3 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) Piirretään funktion (x + ) 4 kuvaaja. Funktion arvo on positiivinen, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella. Ratkaistaan funktion nollakohdat. (x + ) 4 = 0 (x + ) = 4 x + = tai x + = x = x = x = 0 x = 4 Funktion arvo on positiivinen, kun x < 4 tai x > 0.

4 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava YDINTEHTÄVÄT 301. a) x 5x40 a1, b5, c4 x 1 x 53 tai x 53 x 8 x x4 x1 ( 5) ( 5) b) x x a b c , 3, 10 x 1 x 37 tai x 37 x 4 x 10 x x ( 10)

5 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Ratkaistaan funktion f(x) = x 5x 3 nollakohdat yhtälöstä f(x) = 0 ratkaisukaavan avulla. x 5x30 a, b5, c3 ( 5) ( 5) 4 ( 3) x x 57 tai x x 1 x 4 4 x3 x 1 Funktion f nollakohdat ovat x = 1 ja x = 3. b) f ( x) 0 x x a b c , 5, x x 51 tai x (4 (6 x 4 x x 1 x 1 3 Funktion f nollakohdat ovat x = 1 ja x = 1. 3

6 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) b) x 6 x 6 0 1, 1, 6 x x a b c x 1 x 15 tai x 15 x 4 x 6 x x ( 6) x3 x 1 3x x1 3x x10 a3, b, c1 ( ) ( ) 4 3 ( 1) x x 4 tai x ( x 6 x 6 6 x1 x 1 3

7 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) b) ( x1) x x1 x x xx10 x x 3x10 a1, b3, c1 ( x5)( x5) 10( x5) x 5 10x50 x 10x5 0 ( x 5) 0 x 50 x 5 x 1 x 3 5 tai x 3 5 ( 3) ( 3) tai ratkaisukaavalla ( x5)( x5) 10( x5) x 10x5 0 a1, b10, c5 ( 10) ( 10) x 1 x 10 0 tai x 10 0 x 5

8 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Funktio f(x) = 4x + 4x + saa arvon 1, kun yhtälö f(x) = 1 toteutuu. 4x 4x1 4x 4x10 x x a b c , 4, 1 x 4 8 x 40 tai x x Funktio saa arvon 1 muuttujan arvolla x = 1. b) Funktio f(x) = 3x + x + 10 saa arvon 6, kun yhtälö f(x) = 6 toteutuu. 3x x106 3x x1060 x x a b c ,, x Yhtälöllä ei ole ratkaisua. Funktio ei saa arvoa 6 millään muuttujan arvolla. c) Kuvaajien perusteella tulokset ovat oikeat.

9 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 306. a) Piirretään funktion f(t) = 0,8t + 9t + 1 kuvaaja. 1) Aika jonka kuluttua kappale tipahtaa Kuun pinnalle on n. 11 s ) Aika, jonka kuluttua kappale on 15 metrin korkeudella on noin s ja 9,5 s. 3) Kappaleen saavuttama maksimikorkeus on noin 6,5 m. b) 1) Aika, jonka kuluttua kappale tipahtaa Kuun pinnalle on funktion f nollakohta. 0,8t + 9t + 1 = 0 Ratkaistaan yhtälö symbolisen laskennan ohjelmalla. t = 0,1100 tai t = 11,36 Aika on noin 11,4 s.

10 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty ) Aika, jonka kuluttua kappale on 15 metrin korkeudella saadaan yhtälön f(t) = 15 ratkaisuna. 0,8t + 9t + 1 = 15 Ratkaistaan yhtälö symbolisen laskennan ohjelmalla. t = 1,864 tai t = 9,385.. Aika on noin 1,9 s ja 9,4 s. 3) Kappaleen saavuttama maksimikorkeus on paraabelin huipun y- koordinaatti. Paraabelin huippu on nollakohtien (laskettu kohdassa 1) puolivälissä. 0, ,36 t 5,65 Huipun korkeus on funktion arvo tässä kohdassa. f(5,65) = 6,315 Maksimikorkeus on noin 6,3 m.

11 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty A III Termi x siirretään vasemmalle puolelle ja ratkaistaan neliöjuuren avulla. x 16 0 x 16 x4 tai x4 B I Ratkaistaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla. x x a b c ( 8) ( 8) 435 x x 8 tai x ( x 6 x x1 x , 8, 5 C II Otetaan yhteinen tekijä ja käytetään tulon nollasääntöä. x 3x0 xx ( 3) 0 x0 tai x30 x 3

12 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) b) 18 x 4x6 0 : 6 3 x 4x10 a3, b4, c1 4 ( 4) x x 4 tai x ( x 6 x 6 6 x1 x xx ( ) 1 x x 0 x 4x1 0 a, b4, c ( 1) x x tai x (

13 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Funktioiden f(x) = x + x + 5 ja g(x) = x + 11x 0 arvot ovat yhtä suuret, kun yhtälö f(x) = g(x) toteutuu x x x x x x x 11x x 10x5 0 ( 5) 0 x x 50 x 5 Funktioiden arvot ovat yhtä suuret, kun x = 5. Funktioiden arvo on tällöin f(5) = = = 15. (g(5) = = = 15) Kuvan mukaan funktioilla on yhteinen piste (5, 15).

14 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Luku x = 3 on yhtälön x 4x + c = 0 ratkaisu jos se toteuttaa yhtälön. Sijoitetaan x = 3 yhtälöön. ( 3) 4 ( 3) + c = c = 0 c = 1 Ratkaistaan yhtälö x 4x 1 = 0. x x a b c , 4, 1 x 1 x 410 tai x 410 x 6 x 14 x3 x7 ( 4) ( 4) 4 1 ( 1) Yhtälön toinen ratkaisu eli juuri on x = 7.

15 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Urheilukentän pituus on 100 metriä ja leveys 50 metriä. Urheilukentän pinta-ala on 100 m 50 m = 5000 m. Luistinradan pinta-alan tulee olla 0, m = 500 m. Luistinradan pituus on 100 x metriä ja leveys 50 x metriä. Luistinradan pinta-alalle saadaan ehto (100 x) (50 x) = 500. Ratkaistaan x tästä yhtälöstä. 100 x50 x x 100x4x x 300x500 0 x9,54 tai x65,45 Ratkaisuista kelpaa vain x 9,54 m, koska 65,45 m on pidempi kuin luistinradan leveys. Luistinradan pituus on noin 100 9,54 81 (m). Luistinradan leveys on 50 9,54 31 (m).

16 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Geometrisen lukujonon ensimmäinen jäsen a 1 = 1. Toinen jäsen saadaan, kun ensimmäinen jäsen kerrotaan suhdeluvulla q. a = a 1 q = 1 q = q Kolmas jäsen on a 3 = a q = q q = q. Kolmen ensimmäisen jäsenen summa on a 1 + a + a 3 = 1 + q + q Ratkaistaan yhtälö. 1 + q + q = 1 q + q 0 = 0 q 1 q5taiq ( 0) Suhdeluku on 5 tai 4. b) Kun suhdeluku on 5, jonon viisi ensimmäistä jäsentä ovat a 1 = 1 a = 1 ( 5) = 5 a 3 = 5 ( 5) = 5 a 4 = 5 ( 5) = 15 a 5 = 15 ( 5) = 65. Kun suhdeluku on 4, jonon viisi ensimmäistä jäsentä ovat a 1 = 1 a = 1 4 = 4 a 3 = 4 4 = 16 a 4 = 16 4 = 64 a 5 = 64 4 = 56.

17 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Merkitään paperiarkin korkeutta metreinä kirjaimella x. Leveys on kolminkertainen korkeuteen verrattuna, eli 3x. Suorakulmion pinta-alalle saadaan ehto 3x x = 0,065. Ratkaistaan x tästä yhtälöstä. 3x x = 0,065 3x = 0,065 x = 0,144 tai x = 0,144 Ratkaisuista vain positiivinen arvo kelpaa paperiarkin korkeudeksi. Paperiarkin korkeus on noin 0,144 m = 14,4 cm ja leveys 3 0,144 m = 0,433 m = 43,3 cm. b) Merkitään paperiarkin korkeutta metreinä kirjaimella x. Leveys on 15 cm = 0,15 m korkeutta pidempi, eli x + 0,15. Suorakulmion pinta-alalle saadaan ehto (x + 0,15) x = 0,065. Ratkaistaan x tästä yhtälöstä. (x + 0,15) x = 0,065 x + 0,15x 0,065 = 0 x = 0,336 tai x = 0,186 Ratkaisuista kelpaa vain positiivinen tulos x = 0,186 m. Paperiarkin korkeus on 18,6 cm ja leveys 18,6 cm + 15 cm = 33,6 cm.

18 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Peltopalstan pinta-ala on 0,88 hehtaaria eli 0, m = 8800 m. Merkitään palstan leveyttä kirjaimella x. Alkuperäisen palstan leveys oli x + 30 (m). Peltopalstan pinta-alalle saadaan ehto (x + 30) x = Ratkaistaan x tästä yhtälöstä. (x + 30) x = 8800 x + 30x 8800 = 0 Ratkaisuksi kelpaa vain positiivinen tulos. Peltopalstan alkuperäinen leveys oli 80 m ja pituus 80 m + 30 m = 110 m. Lunastetun alueen pinta-ala on 30 m 80 m = 400 m. 400 m Lunastettu alue prosentteina on 0,77.. 7% m

19 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään ensimmäistä kokonaislukua kirjaimella x. Seuraavat kokonaisluvut ovat x + 1, x +, x + 3, x + 4, x + 5 ja x + 6. Kolmen suurimman neliöiden summa on (x + 4) + (x + 5) + (x + 6). Neljän pienimmän luvun neliöiden summa on x + (x + 1) + (x + ) + (x + 3). Merkitään summat yhtä suuriksi. (x + 4) + (x + 5) + (x + 6) = x + (x + 1) + (x + ) + (x + 3) 3x + 30x + 77 = 4x + 1x + 14 x + 18x +63 = 0 x = 3 tai x = 1 Kokonaisluvut ovat 3,, 1, 0, 1, ja 3 tai 1,, 3, 4, 5, 6 ja 7.

20 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Nollakohdat: 3x 10x80 a3, b10, c8 ( 10) ( 10) 43 ( 8) x x tai x x4 x 3 b) Kohta x = 1,3 on nollakohtien välissä. Funktion f kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Nollakohtien välissä se saa negatiivisia arvoja. f(1,3) on negatiivinen. c) Funktion f arvo on positiivinen muualla kuin nollakohdissa ja nollakohtien välissä. Funktion f arvo on positiivinen, kun x ja x > 4. 3

21 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) b) c) x 4x 5 x x4x85 x x850 x x30 a1, b, c3 x 1 x 4 tai x 4 x x 6 x1 x3 ( ) ( ) 4 1 ( 3) x 3 x 1 x 6x9 x1 x 6xx910 x 7x100 a1, b7, c10 x 5x 5 ( x 5) x 50 x 50 x 7 : x 36 x 6taix6 ( 7) ( 7) x 1 x 73 tai x 73 x 4 x 10 x x5

22 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty d) x 1 xx 4x 4x1x4x x 4x 4x1x 5x 4x10 a5, b4, c1 x x 46 tai x x x x 1 x1 5 ( 4) ( 4) 4 5 ( 1)

23 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Luku x = on yhtälön x + ax + a 7 = 0 juuri, eli ratkaisu, kun luku x = toteuttaa yhtälön. Sijoitetaan x = yhtälöön. ( ) + a ( ) + a 7 = 0 4 a + a 7 = 0 a a 3 = 0 a = 1, b =, c = 3 ( ) 41 ( 3) 41 4 a 1 a 1 tai a 6 3 Kun a = 1, yhtälö on x + ( 1) x+ ( 1) 7 = 0 x x 6 = 0. Ratkaistaan yhtälö. 1 ( 1) 41 ( 6) x x tai x3 Yhtälön toinen juuri on x = 3. Kun a = 3, yhtälö on x + 3x+ 3 7 = 0 x + 3x + = 0. Ratkaistaan yhtälö. x x tai x1 Yhtälön toinen juuri on x = 1.

24 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 319. a) x 6x9100 x x x x310 tai x310 x10 3 x10 3 x7 x13 b) c) x x x 6x50 x 6x 5 9 x3959 ( x 3) 4 x3 tai x3 x 3 x3 x5 x1 x 1x80 : x 6x40 x 6x 4 9 x3949 ( x 3) 5 x3 5 tai x3 5 x3 5 x3 5

25 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) (x + 1) = 100 x + 1 = 10 tai x + 1 = 10 x = 11 x = 9 ei ratkaisua x = 3 tai x = 3 x = 3 tai x = 3 b) (x 3x) = (x ) x 3x = x tai x 3x = (x ) 3x = x 3x = x + x = x + x 3x = 0 3 x 3x = 0 a =, b = 3, c = ( 3) ( 3) 4 ( ) x x 35 tai x x x x 1 x x= 1, x = 3 tai x =

26 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Yhtälön ax + bx + c = 0 juuret saadaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavasta. x b b 4ac a x 4 tai 4 a a b b ac b b ac Lasketaan juurten summa. b b 4ac b b 4ac b b 4ac b b 4ac a a a a a a b b b 4ac b 4ac a a a a 0 b b a a Lasketaan juurten tulo. muistikaava ( ab)( ab) a b b b 4ac b b 4ac a a a a ( b) ( b 4 ac) 4a b ( b 4 ac) b b 4ac 4a 4a 4ac c 4a a ( b b 4 ac )( b b 4 ac ) Juurten summa on b a ja tulo on c a. b) x + 3x 7 = 0 a =, b = 3, c = 7 Juurten summa on 3 ja tulo on 7 7.

27 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) x + 6x 7 =0 Toinen ratkaisu on x = 1. Merkitään toista ratkaisua kirjaimella x. Lasketaan juurten summa kahdella tavalla. Juurten summa on x + 1. Kaavan perusteella summa on b 6 6 a x = 6 x = 7 Tarkistetaan vielä, että tulos on oikein, laskemalla juurten tulo. 1 ( 7) = 7 c 7 7 a 1 Yhtälön toinen ratkaisu on x = 7. b) Yhtälön x + 3x 10 = 0 toinen ratkaisu on x =, koska = = 0. Lasketaan juurten summa kahdella tavalla. Juurten summa on x +. Kaavan perusteella summa on b 3 3. a 1 + x = 3 x = 5 Tarkistetaan vielä, että tulos on oikein, laskemalla juurten tulo. ( 5) = 10 c a 1 Yhtälön ratkaisut ovat x = 5 ja x =.

28 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kultainen leikkaus on suhde a : b ja a:lle ja b:lle pätee a b a. a b a) Merkitään janan pituutta b = 1. Tällöin a + b = a + 1. Sekä a että b tulee olla positiivisia. a b a a b a1 a a 1 aaa 1 a a10 1 ( 1) 41 ( 1) a a 1 5 tai a Kultainen leikkaus a a a on b , ,618. b) Merkitään suorakulmaisessa kolmiossa a, b ja c > 0 ja a < b < c. Keplerin kolmiossa tulee olla b c. a b Merkitään a = 1. Keplerin kolmiosta saadaan yhtälö b c 1 b b c.

29 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Pythagoraan lauseen perusteella a + b = c 1 + b = c b = c 1. Sijoitetaan tämä aiempaan yhtälöön b =c. c 1 = c c c 1 = 0 c 1 c 1 5 tai c Saatiin, että c =. 1 ( 1) 4 1 ( 1) 1 5 b = c b = b =, b > 0 Kolmion kateetit ovat 1 ja ja hypotenuusa on.

30 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Toisen asteen epäyhtälö YDINTEHTÄVÄT 34. a) 3x 4x 4 = 0 x x 48 tai x x 1 tai x x tai x 3 ( 4) ( 4) 4 3 ( 4) b) Funktion f(x) = 3x 4x 4 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, jonka nollakohdat ovat x = ja x =. 3 c) Epäyhtälö 3x 4x 4 0 toteutuu, kun funktio f(x) = 3x 4x 4 saa negatiivisia arvoja tai arvon nolla, eli kun kuvaaja kohtaa x-akselin tai on x-akselin alapuolella. 3x 4x 4 0, kun x, eli x välillä [, ]. 3 3

31 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) x 5x + 6 < 0 B, koska kuvaajan tulee olla ylöspäin aukeava paraabeli. Ratkaisu on < x < 3. b) x + 3 > 0 C, koska kuvaajan tulee olla laskeva suora. Ratkaisu on x < 1,5. c) x + 5x 4 < 0 A, koska kuvaajan tulee olla alapäin aukeava paraabeli. Ratkaisu on x < 1 tai x > Funktion arvo on positiivinen, kun epäyhtälö f(x) > 0 toteutuu. a) Funktion f(x) = x + 7x kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Lasketaan funktion f nollakohdat. x + 7x = 0 x(x + 7) = 0 x = 0 tai x + 7 = 0 x = 7 : x = 7 Hahmotellaan funktion f kuvaaja. Funktion f arvo on positiivinen väleillä x < 7 ja x > 0. b) Funktion f(x) = x 9 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Lasketaan funktion f nollakohdat. x 9 = 0 x = 9 x = 3 tai x = 3 Hahmotellaan funktion f kuvaaja. Funktion f arvo on positiivinen väleillä x < 3 ja x > 3.

32 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) Funktion f(x) = x 3x + 5 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Lasketaan funktion f nollakohdat. x 3x5 0 x ( ) 4 x 10 5 tai x ( 3) ( 3) 4 ( ) Hahmotellaan funktion f kuvaaja. Funktion f arvo on positiivinen välillä 5 x 1.

33 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) x 5 > 0 Tutkitaan milloin funktion f(x) = x 5 arvo on positiivinen. Lasketaan nollakohdat. x 5 = 0 x = 5 x = 5 tai x = 5. Funktion f kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Hahmotellaan funktion f kuvaaja. Epäyhtälö x 5 > 0 toteutuu kun x < 5 tai x > 5. b) (x + )(x 5) < 0 Tutkitaan milloin funktio f(x) = (x + )(x 5) = x 5x +x 10 = x 3x 10 saa positiivisen arvon. Ratkaistaan funktion f nollakohdat. (x + )(x 5) = 0 x + = 0 tai x 5 = 0 x = tai x = 5 Funktion f kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Hahmotellaan kuva. Epäyhtälö (x + )(x 5) < 0 toteutuu kun < x < 5.

34 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) x 5x 0 Tutkitaan milloin funktion f(x) = x 5x arvo on positiivinen tai nolla. Ratkaistaan funktion f nollakohdat. x 5x = 0 x(x 5) = 0 x = 0 tai x 5 = 0 x = 5 : x 5 1 Funktion f kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Hahmotellaan kuva. Epäyhtälö x 5x 0 toteutuu väleillä x 0 ja x A III, B IV, C II, D I

35 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 39. a) Esimerkiksi funktio f(x) = 0,5x + 0,5x + 3 saa negativisia arvoja, kun x < tai x > 3. b) Esimerkiksi funktio f(x) = 0,5x + 1 saa negatiivisia arvoja, kun x <. c). Esimerkiksi funktio f(x) = 0,5x 0,5x 3 saa negativisia arvoja, kun < x < 3.

36 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Hahmotellaan kuva funktiosta f, jonka kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli ja nollakohdat ovat ja 3. Epäyhtälön f(x) < 0 ratkaisu on < x < 3. b) Hahmotellaan kuva funktiosta f, jonka kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli ja funktion f ainoa nollakohta on 4. Funktion arvo on negatiivinen kaikilla muilla muuttujan x arvoilla paitsi f(4) = 0. Epäyhtälön f(x) < 0 ratkaisu on x 4. c) Hahmotellaan kuva funktiosta f, jonka kuvaaja on nouseva suora ja funktion f nollakohta on 4? Epäyhtälön f(x) < 0 ratkaisu on x < 4.

37 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) x > 8 : x > 4 b) x > 8 x 8 > 0 Funktion f(x) = x 8 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Ratkaistaan funktion f nollakohdat. x 8 = 0 x = 8 x = 8 x = tai x = Epäyhtälön x > 8 ratkaisu on x < tai x >. c) x < 8 x + 8 < 0 Funktion f(x) = x + 8 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Ratkaistaan funktion f nollakohdat. x + 8 = 0 x = 8 Funktiolla ei ole nollakohtia. Funktio f ei saa koskaan negatiivisia arvoja. Epäyhtälöllä x < 8 ei ole ratkaisua. d) x < 8 : ( ) x > 4

38 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) x 0 Epäyhtälö on aina tosi, koska minkä tahansa luvun neliö x on aina einegatiivinen. b) x + 1 > 0 Epäyhtälö on aina tosi, koska minkä tahansa luvun neliö x 0 ja kun neliöön lisätään luku 1, on summa varmasti positiivinen. c) x < 8 Epäyhtälö on aina epätosi, koska minkään luvun neliö x ei voi olla negatiivista lukua 8 pienempi eli negatiivinen. d) x 0 Epäyhtälö on aina tosi, koska x 0 ja sen vastaluku x on aina positiivinen tai nolla.

39 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) x x + 3 < 0 Ylöspäin aukeava paraabeli, leikkaa y akselin kohdassa y = 3. B Epäyhtälöllä ei ole ratkaisua. b) x + x < 0 Alaspäin aukeava paraabeli, leikkaa y-akselin kohdassa y =. C Epäyhtälö toteutuu kaikilla muuttujan x arvoilla c) x + 4x Ylöspäin aukeava paraabeli, leikkaa y-akselin kohdassa y = 4. A Epäyhtälö toteutuu, kun x =, koska tällöin x + 4x + 4 = 0.

40 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) x + 3x + 5 > 0 Tutkitaan milloin funktion f(x) = x + 3x + 5 arvo on positiivinen. Funktion f kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Lasketaan funktion f nollakohdat. x + 3x + 5 = 0 x 1 ei ratkaisua Hahmotellaan funktion f kuvaaja. Epäyhtälö x + 3x + 5 > 0 toteutuu kaikilla muuttujan x arvoilla. b) x x 1 > 0 Tutkitaan, milloin funktion f(x) = x x 1 arvo on positiivinen. Funktion f kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Lasketaan funktion f nollakohdat. x x 1 = 0 1 ( 1) 4 ( 1) ( 1) 1 3 x (1) ei ratkaisua Hahmotellaan funktion f kuvaaja. Funktion f arvo ei ole koskaan positiivinen. Epäyhtälöllä x x 1 > 0 ei ole ratkaisua.

41 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) x + 4x < 0 Tutkitaan, milloin funktion f(x) = x + 4x arvo on negatiivinen. Funktion f kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Lasketaan funktion f nollakohdat. x + 4x = 0 (x x +1) = 0 (x 1) = 0 x 1 = 0 x = 1 Hahmotellaan funktion f kuvaaja. Funktion f arvo on negatiivinen kaikilla muilla muuttujan x arvoilla, paitsi f(1) = 0. Epäyhtälön x + 4x < 0 ratkaisu on x Kirjoitetaan epäyhtälö x + x + x x + 1 muodossa f(x) 0. x + x + x x + 1 x x + x + x x + x +1 0 Tutkitaan milloin funktio f(x) = x + x +1 saa positiivisia arvoja tai arvon nolla. Lasketaan funktion f nollakohdat. x + x +1 = 0 (x + 1) = 0 x + 1 = 0 x = 1 Funktion f kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Hahmotellaan funktion f kuvaaja. Funktio f saa aina positiivisia arvoja tai arvon nolla, joten alkuperäinen epäyhtälö x + x + x x + 1 on aina tosi. Yhtäsuuruus toteutuu muuttujan arvolla x = 1.

42 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään kysyttyä kokonaislukua kirjaimella x. Ehdosta luvun neliö on pienempi kuin luku kerrottuna viidellä, saadaan epäyhtälö: x < x 5 x 5x < 0. Tutkitaan, milloin funktio f(x) = x 5x saa negatiivisia arvoja. Lasketaan funktion f nollakohdat. x 5x = 0 x(x 5) = 0 x = 0 tai x 5 = 0 x = 5 Funktion f kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Hahmotellaan funktion f kuvaaja. Epäyhtälö x 5x < 0 toteutuu välillä 0 < x < 5. Tällä välillä ovat kokonaisluvut 1,, 3 ja 4.

43 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Suora y = x 4 on paraabelin y = x + x 4 yläpuolella, kun epäyhtälö x 4 > x + x 4 toteutuu. Kirjoitetaan epäyhtälö muodossa f(x) > 0. x 4 > x + x 4 x 4 x x + 4 > 0 x 3x >0 Tutkitaan milloin funktio f(x) = x 3x saa positiivisia arvoja. Funktion f kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Lasketaan funktion f nollakohdat. x 3x = 0 x(x + 3) = 0 x = 0 tai x + 3 = 0 x = 3 Hahmotellaan funktion f kuvaaja. Funktio f saa positiivisia arvoja, eli epäyhtälö x 4 > x + x 4 toteutuu välillä 3 < x < 0. Suora y = x 4 on paraabelin y = x + x 4 yläpuolella välillä 3 < x < 0.

44 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Piirretään suoran y = x 4 ja paraabelin y = x + x 4 kuvaajat samaan koordinaatistoon. Suora on paraabelin yläpuolella kuvaajien leikkauspisteiden välissä, eli välillä 3 < x < 0.

45 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Aritmeettisen summan ensimmäinen jäsen on a 1 = 1 ja erotusluku d = 3 1 =. Ratkaistaan jäsenten lukumäärä aritmeettisen lukujonon yleisen jäsenen säännöstä, kun tiedetään, että n :s jäsen on 101. a n = a 1 + (n 1)d 101 = 1 + (n 1) 101 = 1 + n 10 = n : n = 51 Summa on a1 an Sn n S b) Aritmeettisessa lukujonossa, 5, 8,... ensimmäinen jäsen on a 1 = ja erotusluku d = 5 = 3. Yleisen termin lauseke on a n = + (n 1) 3 = + 3n 3 = 3n 1. Lasketaan, milloin summa on a1 an Sn n (3n 1) n 5000 n( 3n1) n(3n1) n n n57,9 tai n57,6 Vain positiivinen arvo voi olla ratkaisu. Lukujonossa on laskettava yhteen 58 jäsentä, jotta summa olisi suurempi kuin 5000.

46 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Puoli kilometriä eli 500m on 10 altaanmittaa. Ensimmäiseen 50 metriin menee aikaa 1 min = 60 s. Toiseen 50 metriin kuluu aikaa 60 s + s = 6 s. Uimarin altaanmitan uintiajat muodostavat lukujonon 60, 6, 64, 66, 68, 70, 7, 74, 76 ja 78. Lukujono on aritmeettinen lukujono, jossa erotusluku on, ensimmäinen termi on 60 ja viimeinen termi on 78 ja termejä on 10 kpl. Lasketaan aikojen summa aritmeettisen summan kaavalla Uimarilta kului puolen kilometrin uimiseen 690 sekuntia eli 11,5 minuuttia. b) Uintiajat muodostavat aritmeettisen lukujonon, jonka yleinen termi on a n = 60 + (n 1) = 60 + n = 58 + n, missä n on uitujen altaanmittojen lukumäärä. Uintiaikojen summan tulee olla 0,5 h = 30 min = 1800 s. 60 (58 n) n 1800 n(118 n) 3600 n 118n n81.17 tai n=.17 Ratkaisuista kelpaa vain positiivinen arvo, koska n ilmoittaa lukumäärän. Uimari ehtii uida täyttä altaanmittaa puolessa tunnissa, eli hän ehtii uida 50 m = 1100m = 1,1 km.

47 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 340. a) 1 < x + 3 < 1 < x + 3 ja x + 3 < x < 3 1 x < 3 : x < : ( ) x < 1 : x > 1 x < 1 Yhdistetään vastaukset 1 < x < 1 b) 1 x 4x + 1 x 4x + ja x 4x + x + 4x 3 0 x 4x 0 Ratkaistaan molemmat epäyhtälöt erikseen. f(x) = x + 4x 3 nollakohdat x + 4x 3 = 0 x = 1 tai x = 3 Kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. x + 4x 3 0, kun x 1 tai x 3 f(x) = x 4x nollakohdat x 4x = 0 x(x 4) = 0 x = 0 tai x = 4 Kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. x 4x 0, kun 0 x 4 Yhdistetään ratkaisut: 0 x 1 tai 3 x 4.

48 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kuviossa 1 on = 5 ruutua. Kuviossa on = 1 ruutua. Kuviossa 3 on = 1 ruutua. Kuvion keskellä olevien ruutujen määrä on n.:ssä kuviossa n n = n ja reunoilla olevien neliöiden määrä on 4 n, eli yhteensä kuviossa on ruutuja n + 4n kpl. Ruutujen määrä on ]100, 1000[, kun epäyhtälö 100 < n + 4n < 1000 toteutuu. Ratkaistaan kaksoisepäyhtälö symbolisella laskennalla. 8, < n < 9,7 tai 33,7< n < 1, Lukumäärän tulee olla positiivinen. Kuviossa 9 on yli 100 ruutua ja kuviossa 9 on alle tuhat ruutua. Tällä välillä kuvioita on 1 kpl.

49 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty n n 1 Summa... ( n) on aritmeettinen summa. Summassa n a 1 = 1, a n = n ja yhteenlaskettavia on n kpl. Lasketaan summa aritmeettisen summan kaavalla, missä n on positiivinen kokonaisluku n n n ( n) n Saadaan epäyhtälö 1 n n n n400 Ratkaistaan epäyhtälö symbolisen laskennan ohjelmalla. 13,65 < n < 19,51 tai 0,51 < n < 14,65 Epäyhtälö on tosi kun n:n arvoilla 14, 15, 16, 17, 18 ja 19.

50 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) f(x) = g(x) h(x) = 0, kun ainakin toinen funktioista g ja h saa arvon nolla. Funktio g saa arvon nolla, kun x = 1 ja funktio h saa arvon nolla, kun x = 4. Funktio f saa arvon nolla, kun x = 1 ja kun x = 4. b) Funktion f arvo on positiivinen, kun g ja h saavat saman merkkiset arvot. Eli kahden positiivisen luvun tulo on positiivinen ja kahden negatiivisen tulo on positiivinen. Funktion g arvo on positiivinen, kun x > 1 ja funktion h arvo on positiivinen, kun x < 4, joten funktion f arvo on positiivinen välillä 1 < x < 4. Funktion g arvo on negatiivinen, kun x < 1 ja funktion h arvo on negatiivinen, kun x > 4. Funktioiden g ja h arvo ei ole negatiivinen samoilla muuttujan arvoilla. Funktion f arvo on positiivinen välillä 1 < x < 4. c) Funktion f arvo on negatiivinen, kun funktiot g ja h saavat erimerkkiset arvot. Funktion g arvo on positiivinen ja funktion h arvo negatiivinen, kun x < 1. Funktion g arvo on negatiivinen ja funktion h arvo positiivinen, kun x > 4. Funktion f arvo on negatiivinen väleillä x < 1 ja x > 4.

51 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Yhtälön ax + bx + c = 0, a 0, ratkaisut saadaan selville ratkaisukaavalla. x b b 4ac a Jotta yhtälöllä olisi ratkaisuja, tulee juurrettavan b 4ac olla einegatiivinen. Vastaavasti yhtälöllä ei ole ratkaisua, jos b 4ac on negatiivinen, eli epäyhtälö b 4ac < 0 toteutuu. Lasketaan lausekkeen b 4ac nollakohdat muuttujan b suhteen. b 4ac = 0 b = 4ac Jotta nollakohtia olisi, tulee tulon ac olla positiivinen. Tämä toteutuu, koska a ja c ovat saman merkkiset. b 4ac ac tai b 4ac ac Lausekkeen b 4ac kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, koska b kerroin 1 on positiivinen. Jotta epäyhtälö b 4ac < 0 toteutuu, tulee olla ac b ac.

52 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Tarkastellaan funktioiden f(x) = ax + bx + c (paraabeli) ja g(x) = kx + d (suora) kuvaajia. Nyt a > 0, koska paraabeli aukeaa ylöspäin. Merkitään kuvaajien leikkauskohtia x 1 ja x. Jos paraabeli on suoran alapuolella leikkauskohtien välillä, tulee olla f(x) < g(x) eli erotuksen f(x) g(x) olla negatiivinen eli epäyhtälön ax + bx + c (kx + d) < 0 toteutua välillä x 1 < x < x. Merkitään h(x) = ax + bx + c kx d. Funktion h kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, koska a > 0. Funktion h nollakohdat ovat kuvaajien leikkauskohdat x 1 ja x. Ylöspäin aukeava paraabeli on nollakohtiensa välissä x-akselin alapuolella, eli funktio h saa tällä välillä negatiivisia arvoja. Koska funktio h saa negatiivisia arvoja välillä x 1 < x < x, on erotus f(x) g(x) negatiivinen ja siten f(x) < g(x) välillä x 1 < x < x. Paraabeli on näin ollen suoran alapuolella nollakohtien välillä.

53 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Diskriminantti YDINTEHTÄVÄT 346. a) 3x 4x = 0 Lasketaan diskriminantti, kun a = 3, b = 4 ja c =. D = b 4ac = ( 4) 4 3 ( ) = = 40 Koska diskriminantti on positiivinen, yhtälöllä on kaksi ratkaisua. b) x 5x + 7 = 0 Lasketaan diskriminantti, kun a = 1, b = 5 ja c = 7. D = b 4ac = ( 5) = 5 8 = 3 Koska diskriminantti on negatiivinen, yhtälöllä ei ole ratkaisua A Diskriminantti on positiivinen. I, koska kuvaajassa on kaksi nollakohtaa. B Diskriminantti on negatiivinen. II, koska kuvaajassa ei ole nollakohtia. C Funktio f saa sekä positiivisia että negatiivisia arvoja. I, koska kuvaaja on sekä x-akselin ylä- että alapuolella. D Epäyhtälöllä f(x) < 0 ei ole ratkaisuja. II, koska kuvan funktio saa vain positiivisia arvoja.

54 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Funktion f(x) = x + x + 1 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, koska toisen asteen termin kerroin on positiivinen. Lasketaan yhtälön x + x + 1 = 0 diskriminantti, kun a =, b = 1, c = 1. D = b 4ac = = 1 8 = 7 Koska diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole ratkaisuja eikä funktiolla f nollakohtia. Funktion f kuvaaja on kokonaan x-akselin yläpuolella, joten funktio f(x) = x + x + 1 saa vain positiivisia arvoja a) Yhtälöllä x + 5x + 3 = 0 on kaksi juurta jos diskriminantti on positiivinen. D = = 5 1 = 13. Diskriminantti on positiivinen, joten yhtälöllä on kaksi juurta. Väite on tosi. b) Funktio f(x) = x + x + 1 saa vain positiivisia arvoja, jos se kuvaaja on kaikkialla x-akselin yläpuolella. Kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli ja on x-akselin yläpuolella, jos funktiolla ei ole nollakohtia. x + x + 1 = 0 D = = 1 4 = 3 Diskriminantti on negatiivinen, joten funktiolla ei ole nollakohtia ja funktio saa vain positiivisia arvoja. Väite on tosi. c) Epäyhtälö x + x + < 0 on aina tosi, jos funktio f(x) = x + x + saa vain negatiivisia arvoja. Funktion f kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Ylöspäin aukeava paraabeli ei voi milloinkaan sijaita pelkästään x-akselin alapuolella. Väite on epätosi.

55 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Funktiolla on kaksi nollakohtaa, jos yhtälön x + 5x + c = 0 diskriminantti on positiivinen. Lasketaan diskriminantin arvo, kun a = 1, b = 5 ja c = c. D = b 4ac = c = 5 4c D > 0 5 4c > 0 4c > 5 : ( 4) c < b) Funktiolla on yksi nollakohta, kun yhtälön diskriminantti on nolla. D = 0 5 4c = 0 c = c) Funktiolla ei ole nollakohtia. kun yhtälön diskriminantti on negatiivinen. D < 0 5 4c < 0 c > d) Appletin perusteella funktiolla on yksi nollakohta, kun x 6,5. Tämä vastaa laskettua arvoa Kun c < 6,5 on funktiolla kaksi nollakohtaa ja kun c > 6,5 funktiolla ei ole nollakohtia.

56 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 351. a) Funktion f(x) = x + 3x + c + 1 lausekkeen vakiotermi on c + 1. b) Funktiolla f(x) = x + 3x + c + 1 on täsmälleen yksi nollakohta, kun yhtälön x + 3x + c + 1 = 0 diskriminantti on nolla. c) Lasketaan diskriminantti, kun a = 1, b = 3 ja c = c + 1. D = (c + 1) = 9 4c 4 = 5 4c D = 0 5 4c = 0 4c = 5 : ( 4) c =

57 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Funktiolla f(x) = x + qx + 1 on ainakin yksi nollakohta, kun yhtälön x + qx + 1 = 0 diskriminantti on ei-negatiivinen, eli D 0. Lasketaan diskriminantin arvo, kun a = 1, b = q ja c = 1. D = q = q 4 q 4 0 Ratkaistaan epäyhtälö lausekkeen q 4 kuvaajan avulla. Nollakohdat ovat q 4 = 0 q = 4 q = tai q = q 4 0 väleillä q ja q. Funktiolla f on ainakin yksi nollakohta, kun q tai q. Jos funktion nollakohta on, niin f( ) = 0. f( ) = ( ) + q ( ) + 1 = 4 q + 1 = 5 q 5 q = 0 q = 5 : ( ) q = 5 1 Funktiolla on nollakohta, kun q = 5 1.

58 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Kun q = ja q = funktiolla on yksi nollakohta. Nollakohta x =, kun q =,5.

59 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Yhtälöllä ax 6x 10 = 0 on yksi ratkaisu, kun diskriminantti on nolla. Lasketaan diskriminantti, kun a = a, b = 6 ja c = 10. D = ( 6) 4 a ( 10) = a D = a = 0 40a = 36 :40 a = 9 10 Yhtälöllä on yksi ratkaisu, kun a = Yhtälöllä on yksi ratkaisu myös, kun a = 0, koska tällöin yhtälö on ensimmäisen asteen yhtälö 6x 10 = 0, jolla on yksi ratkaisu. b) Yhtälöllä ax 6x 10 = 0 on kaksi ratkaisua, kun yhtälö on toisen asteen yhtälö, eli a 0 ja diskriminantti on positiivinen. D > a > 0 40a > 36 :40 a > 9 10 Yhtälöllä on kaksi ratkaisua, kun a > 9 ja a 0. 10

60 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Toisen asteen yhtälöllä ax + bx + c = 0 on kaksi ratkaisua, kun diskriminantti on positiivinen. Esimerkiksi yhtälöllä x + x 1 = 0 on kaksi ratkaisua, koska D = ( 1) = = 5. Aina kun a ja b ovat positiivisia ja b negatiivinen, diskriminantti on positiivinen. b) Kun diskriminantti on nolla, yhtälöllä on yksi ratkaisu. Esimerkiksi yhtälöllä x + x + 1 = 0 on yksi ratkaisu, koska D = = 4 4 = 0. c) Kun diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole ratkaisua. Esimerkiksi yhtälöllä x + x + 3 = 0 ei ole ratkaisua, koska D = = 1 1 = 11.

61 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Kuvaajan huippu sijaitsee x-akselilla, jos sillä on vain yksi nollakohta. Funktion f nollakohta voidaan ratkaista yhtälöstä x 4x 4 = 0. Yhtälöllä on yksi ratkaisu, kun diskriminantti on nolla. D = ( 4) 4 ( 1) ( 4) = = 0 Diskriminantti on nolla, joten funktiolla on vain yksi nollakohta, joka sijaitsee x-akselilla. b) Funktion f(x) = x + 3x + 4 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Se saa pienimmän arvonsa huipussa. Jos funktion pienin arvo on suurempi kuin 5, se ei voi saada koskaan arvoa 5. Lasketaan funktion arvo huipussa. Lasketaan nollakohdat huipun määrittämiseksi. x 3x40 x Funktiolla ei ole nollakohtia. Koska kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, jolla ei ole nollakohtia, se on kaikilla muuttujan x arvoilla x- akselin yläpuolella. Funktio f saa siis vain positiivisia arvoja, joten se ei voi saada negatiivista arvoa 5. c) Yhtälön ax + bx + c = 0 ratkaisu saadaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla. x b b 4ac a Jos diskriminantti on nolla, sievenee ratkaisu muotoon: x b 0 b. a a

62 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Yhtälön 3x + 14x + 13 = 0 juurten lukumäärä selviää tutkimalla diskriminantin merkkiä. Lasketaan diskriminantti, kun a = 3, b = 14 ja c = 13. D = = Koska luvut 1 ja 13 ovat pienempiä kuin luku 14, on niiden tulo 1 13 pienempi kuin 14 = Erotus on positiivinen. Koska diskriminantti on positiivinen, yhtälöllä on kaksi juurta a) Tutkitaan funktion f(x) = x + bx + 9 arvojen merkkiä. Funktion f kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Jotta epäyhtälö x + bx + 9 > 0 olisi tosi kaikilla muuttujan x arvoilla, tulee funktion saada vain positiivisia arvoja. Tällöin funktion kuvaajan tulee sijaita kokonaan x-akselin yläpuolella. Funktiolla f ei siis saa olla nollakohtia, eli diskriminantin tulee olla negatiivinen. b) Lasketaan diskriminantti, kun a = 1, b = b ja c = 9. D = b = b 36 D < 0 b 36 < 0 Tutkitaan lausekkeen b 36 merkkiä. Lasketaan nollakohdat. b 36 = 0 b = 36 b = 6 tai b = 6 b 36 < 0, kun 6 < b < 6. Epäyhtälö on tosi kaikilla muuttujan x arvoilla, kun 6 < b < 6.

63 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) Kun b = 6 tai b = 6 on funktiolla f(x)= x +bx + 9 yksi nollakohta. Kun b saa arvoja väliltä ] 6, 6[, on funktion arvo positivinen.

64 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Epäyhtälö x + bx 3 0 on epätosi, kun epäyhtälö x + bx 3 < 0 on tosi. Tutkitaan funktion f(x) = x + bx 3 arvoja. Funktion f kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Funktio saa vain negatiivisia arvoja, kun sillä ei ole nollakohtia. Funktiolla ei ole nollakohtia, kun yhtälön x + bx 3 = 0 diskriminantti on negatiivinen. Lasketaan diskriminantti, kun a =, b = b ja c = 3. D = b 4 ( ) ( 3) = b 4 D < 0 b 4 < 0 Tutkitaan lausekkeen b 4 merkkiä. Lasketaan nollakohdat. b 4 = 0 b = 4 b = 4 tai b = 4 b= 6 b = 6 b 4 < 0 välillä 6 b 6. Epäyhtälö x + bx 3 0 on epätosi, kun 6 b 6.

65 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Yhtälöllä px 4x + p = 0 on vähintään yksi ratkaisu, kun se on toisen asteen yhtälö, eli p 0 ja kun diskriminantti on positiivinen tai nolla, eli D 0. Yhtälöllä on tarkalleen yksi ratkaisu, kun se on ensimmäisen asteen yhtälö, eli kun p = 0. Lasketaan diskriminantti, kun a = p, b = 4 ja c = p. D = ( 4) 4 p p = 16 8p D p 0 Tutkitaan lausekkeen 16 8p merkkiä. Lasketaan nollakohdat. 16 8p = 0 8p = 16 : ( 8) p = p = tai p = 16 8p 0 välillä p. Yhtälöllä px 4x + p = 0 on vähintään yksi ratkaisu, kun p.

66 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Kun p =, yhtälöllä ei ole ratkaisua. Kun p = 0, yhtälöllä on yksi ratkaisu. Kun p = 1, yhtälöllä on kaksi ratkaisua. Kun p =, yhtälöllä ei ole ratkaisua Funktiolla f(x) = ax + bx + c on kaksi nollakohtaa, jos diskriminantti on positiivinen. D = b 4ac = b + ( 4ac) Jos kertoimet a ja c ovat erimerkkiset, on tulo ac negatiivinen. Tällöin tulo 4 ac on positiivinen. Koska b 0 kaikilla b:n arvoilla, on b 4ac positiivinen ja funktiolla f on kaksi nollakohtaa.

67 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 361. a) Diskriminantin merkki on negatiivinen, koska paraabelilla ei ole nollakohtia. b) (x + ) 1 = 0 (x + ) = 1 x + = 1 tai x + = 1 x = 1 x = 3 Yhtälöllä on kaksi ratkaisua, diskriminantti on positiivinen. (x 3) + = 0 (x 3) =, yhtälöllä ei ole ratkaisua, diskriminantti on negatiivinen. Tarkistus: kaksi nollakohtaa, D > 0 ei nollakohtia, D < 0 c) x 4x + 5 = x 4x = (x ) + 1, diskriminantti negatiivinen x 4x + 3 = x 4x = (x ) 1, diskriminantti positiivinen

68 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Yhtälöllä x + (a + )x + a = 0 on ratkaisuja vakion a arvoista riippumatta, jos sen diskriminantti ei ole koskaan negatiivinen, eli D 0. Lasketaan diskriminantti, kun a = 1, b = a + ja c = a. D = (a + ) 4 1 a = a + 4a + 4 8a = a 4a + 4 Diskriminantin lauseke voidaan kirjoitta muistikaavan (a b) = a ab + b avulla muodossa D = a 4a + 4 = (a ) Riippumatta vakion a arvosta neliö (a ) ei ole milloinkaan negatiivinen. Yhtälöllä on ratkaisuja vakion a arvosta rippumatta.

69 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Funktiolla f(x) = px + (p + 1)x + 1 on yksi nollakohta silloin kun se on ensimmäisen asteen polynomifunktio, eli kun p = 0. Kun p 0, funktiolla f(x) = px + (p + 1)x + 1 vain yksi nollakohta, kun yhtälön px + (p + 1)x + 1 = 0 diskriminantti on nolla. Lasketaan diskriminantti, kun a = p, b = p + 1 ja c = 1. D = (p + 1) 4 p 1 = p + p + 1 4p = p p + 1 = (p 1) D = 0 (p 1) = 0 p = 1 Diskriminantin lausekkeen p p + 1 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, jolla on yksi nollakohta p = 1. Muilla p:n arvoilla diskriminantti (p 1) on positiivinen, eli funktiolla on kaksi nollakohtaa. p = 0, yksi nollakohta p = 1, yksi nollakohta p = 1, kaksi nollakohtaa p = 3, kaksi nollakohtaa

70 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Funktiolla f(x) = ax + bx + c on täsmälleen yksi nollakohta, jos se on ensimmäisen asteen polynomifunktion, eli a = 0. Tällöin kertoimella a ei kuitenkaan ole merkkiä. Jos a 0, on funktio toisen asteen polynomifunktio ja sillä on tämälleen yksi nollakohta, kun yhtälön ax + bx + c = 0 diskriminantti on nolla. Lasketaan diskriminantti, kun b = ac. Jotta neliöjuuri olisi määritelty, tulee olla ac 0. Koska kertoimet a ja c ovat samanmerkkiset, niiden tulo on positiivinen. D = b 4ac = ( ac ) 4ac = 4ac 4ac = 0. Jos b ac, diskriminantti on nolla ja yhtälöllä on yksi ratkaisu. Tällöin funktiolla f on tasan yksi nollakohta. b) Yhtälöllä x + bx + 8 = 0 on a-kohdan perusteella täsmälleen yksi nollakohta, kun b = ac. b = 84 8 Kertoimeksi b voidaan valita myös luku 8, koska tällöinkin yhtälön diskriminantin b 4 8 = b 64 arvo on nolla. b = 8 tai b = 8

71 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Suoran y = ax ja paraabelin y = x + 3 leikkauskohdat voidaan selvittää yhtälöstä x + 3 = ax x ax + 3 = 0. Jos suora sivuaa paraabelia, on kuvaajilla yksi leikkauskohta eli yhtälöllä yksi ratkaisu. Tällöin yhtälön diskriminantti on nolla. Lasketaan diskriminantti, kun a = 1, b = a ja c = 3. D = ( a) = a 1 D = 0 a 1 = 0 a = 1 a = 1 3 tai a = 1 3 Suora sivuaa paraabelia, kun a = 3 tai a = 3. Paraabelia sivuavat suorat ovat y = 3 x ja y = 3x.

72 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Tekijöihin jako nollakohtien avulla YDINTEHTÄVÄT 366. a) x 4x 6 = 0 x 4 4 x 1 3 tai x Nollakohdat ovat x = 1 ja x = 3. ( 4) ( 4) 4 ( 6) b) x 4x 6 = (x ( 1))(x 3) = (x + 1)(x 3) 367. a) Jaetaan polynomi x x 6 tekijöihin nollakohtien avulla. Yhtälön x x 6 = 0 ratkaisut ovat: x 1 x 6 3 tai x 4 Näin ollen x x 6 = (x 3)(x + ). ( 1) ( 1) 4 1 ( 6) 1 5 b) Jaetaan polynomi 3x + 6x 9 tekijöihin nollakohtien avulla. Yhtälön 3x + 6x 9 = 0 ratkaisut ovat: ( 9) x x 6 1 tai x Näin ollen 3x + 6x 9 = 3(x 1)(x + 3)

73 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Jaetaan polynomi x 8x 10 tekijöihin nollakohtien avulla. Yhtälön x 8x 10 = 0 ratkaisut ovat: x 4 x 0 5 tai x ( 8) 4 ( 10) 8 1 Näin ollen x 8x 10 = (x 5)(x + 1) b) Jaetaan polynomi x 10x + 5 tekijöihin muistikaavan (a b) = a ab + b avulla. x 10x + 5 = x x = (x 5) a) x 5 = 0 x = 5 x = 5 tai x = 5 x 5 = (x 5)(x + 5) b) x 5 = x 5 = (x + 5)(x 5) 370. A - II, B - I, C - II, D - I, E - ei kumpikaan A Funktion f lausekkeen tekijät ovat x + ja x + 5. B f(x) = (x )(x 5) C Funktion f nollakohdat ovat x = ja x = 5. D Funktion f lausekkeen tekijät ovat x ja x 5. E f(x) = (x )(x 5)

74 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 371. a) Jaetaan polynomi x + 9x 5 tekijöihin nollakohtien avulla. Yhtälön x + 9x 5 = 0 ratkaisut ovat: x 4 x 1 tai x ( 5) 9 11 Näin ollen x + 9x 5 = (x 1 )(x + 5) = (x 1)(x + 5). b) Jaetaan polynomi 3x 7x 6 tekijöihin nollakohtien avulla. Yhtälön 3x 7x 6 = 0 ratkaisut ovat: x 3 6 x 18 3 tai x ( 7) ( 7) 4 3 ( 6) 7 11 Näin ollen 3x 7x 6 = 3(x 3)(x + 3 ) = 3(x + )(x 3) = (3x + ) (x 3). 3

75 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Jaetaan polynomi 6x x tekijöihin nollakohtien avulla. Yhtälön 6x x = 0 ratkaisut ovat: x 6 1 (4 (6 x 8 tai x ( 1) ( 1) 4 6 ( ) 1 7 Näin ollen 6x x = 6(x 3 )(x + 1 ) = 3(x 3 )(x + 1 ) = (3x )(x + 1). b) Jaetaan polynomi 10x + x 3 tekijöihin nollakohtien avulla. Yhtälön 10x + x 3 = 0 ratkaisut ovat x 10 0 (10 (4 x 10 1 tai x ( 3) 1 11 Näin ollen 10x + x 3 = 10(x 1 )(x ) = (x 1 )5(x ) = (x 1)(5x + 3) a) Jaetaan polynomi 3x 1x + 1 tekijöihin muistikaavan avulla. 3x 1x + 1 = 3(x 4x + 4) = 3(x ) b) Jaetaan polynomi x + 3x 4 tekijöihin nollakohtien avulla. x + 3x 4 = ( ) ( 4) 3 3 x ( ) 4 Polynomilla ei ole nollakohtia, joten sitä ei voi jakaa tekijöihin.

76 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty A-II, B-II, C-I, D-I, E-I ja III 375. a) Funktiolla ei ole nollakohtia. f, g Funktioiden f ja g kuvaajat eivät kohtaa x-akselia. b) Funktion lauseketta ei voida jakaa ensimmäisen asteen tekijöihin. f, g Koska funktioilla f ja g ei ole nollakohtia a-kohdan perusteella, ei niiden lauseketta voi jakaa teijöihin. c) Funktion lauseke voidaan jakaa tekijöihin. h, p Funktioilla h ja p on kuvaajien perusteella nollakohtia, joten niiden lauseke voidaan jakaa tekijöihin. d) Funktiolla on kaksinkertainen nollakohta. h Funktion h kuvaaja kohtaa x-akseli vain yhdessä kohdassa, eli sillä on vain yksi nollakohta. Tämä on kaksinkertainen nollakohta. e) Funktion lauseke voidaan kirjoittaa binomin neliöksi. h Funktiolla h on vain yksi nollakohta, joka on kaksinkertainen nollakohta. Sillä on kaksi samaa tekijää. Tällöin lauseke voidaan kirjoittaa binomin neliönä.

77 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Funktio on muotoa f(x) = a(x + )(x 5). Tiedetään, että f(1) = 1. f(1) = a(1 + )(1 5) = a 3 ( 4) = 1a 1a = 1 : ( 1) a = 1 Kysytty funktio on f(x) = (x + )(x 5) = x + 3x b) f(x) = a(x )( x 1 ) f(1) = a(1 )(1 + 1 ) = a ( 1) 3 = 3 a 3 a 1 : 3 a 1 3 a 8 f(x) = 8(x )( x 1 ) = 8x +1x + 8 c) f(x) = a(x 3) f(1) = a(1 3) = a( ) = 4a 4a = 1 :4 a = 3 f(x) = 3(x 3) = 3x 18x + 7

78 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Funktion lauseke on muotoa f(x) = a(x 1). f() = 3 f() = a( 1) = a 1 = a a = 3 f(x) = 3(x 1) = 3x 6x a) Kuvan mukaan funktion f nollakohdat ovat x = ja x = 1. Funktion lauseke voidaan kirjoittaa muodossa f(x) = a(x + )(x 1) Lisäksi kuvasta havaitaan, että f(0) = 4. f(0) = a(0 + )(0 1) = a ( 1) = a a = 4 a = : ( ) f(x) = (x + )(x 1) = x x + 4 b) Kuvan mukaan funktion f nollakohdat ovat x = 1 ja x = 3. Funktion lauseke voidaan kirjoittaa muodossa f(x) = a(x + 1)(x 3) Lisäksi kuvasta havaitaan, että f(0) = 1. f(0) = a(0 + 1)(0 3) = a 1 ( 3) = 3a 3a = 1 : ( 3) a = 1 3 f(x) = 1 3 (x + 1)(x 3) = 1 3 x 3 x 1

79 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Jos x + 3 on polynomin 3x + 11x + c tekijä, on x = 3 polynomin nollakohta. 3 ( 3) + 11 ( 3) + c = c = 0 c = 6 Ratkaistaan toinen nollakohta. 3x + 11x + 6 = 0 x 3 6 ( x 18 3 tai x Toinen tekijä on x x + 11x + 6 = 3(x + 3)(x + ) = (x + 3)(3x + ) Jos polynomilla on tekijänä x 1, on x = 1 polynomin nollakohta. a) Sijoitetaan nollakohta x = 1 polynomin qx + 6x + 3 lausekkeeseen. q = 0 q + 9 = 0 q = 9 Polynomi on 9x + 6x + 3. Ratkaistaan polynomin toinen nollakohta, josta saadaan toinen tekijä. 9x + 6x + 3 = 0 : 3 3x + x + 1 = 0 4 ( 3) 1 4 x ( 3) 6 ( x 6 1 tai x Toinen nollakohta on 1, joten toinen tekijä on x Jaetaan polynomi tekijöihin. 9x + 6x + 3 = 9(x 1)(x + 1 ) = 3(x 1)(3x + 1) 3

80 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Sijoitetaan nollakohta x = 1 polynomin x + qx 1 lausekkeeseen. 1 + q 1 1 = 0 + q 1 = 0 q = 1 Polynomi on x x 1. Ratkaistaan polynomin toinen nollakohta, josta saadaan toinen tekijä. x x 1 = 0 x 4 ( x 4 1 tai x ( 1) ( 1) 4 ( 1) 1 3 Toinen nollakohta on x = 1, joten toinen tekijä on x + 1. Jaetaan polynomi tekijöihin. x x 1 = (x 1)(x + 1 ) = (x 1)(x + 1)

81 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Jos polynomilla 10x + bx + 3 on tekijänä x + 3, on polynomilla sama nollakohta kuin tekijällä. x + 3 = 0 x = 3 x = 3 Sijoitetaan nollakohta x = ( ) b ( ) b b b 51 b 51 3 b 17 Vakion b pitää olla 17. Polynomi on 10x + 17x polynomin 10x + bx + 3 lausekkeeseen. Ratkaistaan polynomin toinen nollakohta, josta saadaan toinen tekijä. 10x + 17x + 3 = 0 x (4 (10 x 4 1 tai x Toinen nollakohta on x = 1, joten toinen tekijä on x x + 17x + 3 = 10(x + 3 )( x ) = (x + 3 )5( x + 1 ) = (x + 3)(5x + 1) 5

82 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 38. Hahmotellaan tilannetta kuvaajan avulla. Valitaan koordinaatiston asteikoksi 1 ruutu = 1 cm. Asetetaan paraabeli y-akselin suhteen symmetrisesti siten, että korkein kohta, eli huippu on y-akselilla pisteessä (0, 0). Koska antennin leveys on 100 cm, on paraabelin nollakohdat kohdissa x = 50 ja x = 50. Geogebra: 1. Luo pisteet A = ( 50, 0), B = (50, 0) ja C = (0, 0).. Luo polynomi, joka kulkee näiden pisteiden kautta: Polynomi[A,B,C]. Paraabelin yhtälö on nollakohtien avulla ilmoitettuna muotoa y = a(x + 50)(x 5 ). Koska paraabeli kulkee pisteen (0, 0) kautta, voidaan ratkaista vakio a. a(0 + 50)(0 50) = 0 500a = 0 : ( 500) a Paraabelin yhtälö on y ( x50)( x50) ( x 500) x

83 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) 7 7 b) ( x )( x 7) x7, x x c) x x1 ( x3 )( x 4) x4, x 3 x 3 x a) Jaetaan osoittaja tekijöihin muistikaavan (a + b) = a + ab + b avulla. x 14x 49 ( x 7) ( x 7)( x 7 ) x7, x 7 x7 x7 x 7 b) Jaetaan osoittaja tekijöihin muistikaavan (a b)(a + b) = a b avulla. x 64 ( x8)( x8 ) x8, x 8 x 8 x 8 c) Jaetaan osittaja tekijöihin muistikaavan (a + b) = a + ab + b avulla ja nimittäjä muistikaavan (a b)(a + b) = a b avulla. x 8x16 ( x4) ( x4)( x4) x 4, x 4, x 4 x 16 ( x4)( x4) ( x4)( x4) x 4

84 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty x xa 385. Jotta lauseke voidaan supistaa, pitää osoittaja pystyä ( x1)( x ) jakamaan tekijöihin siten, että sen tekijä on sama kuin nimittäjän tekijä, eli joko x 1 tai x. Jos x 1 on osoittajan tekijä, tulee x = 1 olla osoittajan nollakohta a = 0 + a = 0 a = Osoittajan toinen tekijä on x 1. Toinen tekijä voidaan päätellä lausekkeesta. ( 1 Tällöin x xa x x x )( x ) x, x 1, x. ( x1)( x) ( x1)( x) ( x 1)( x ) x Jos x on osoittajan tekijä, tulee x = olla osoittajan nollakohta. + + a = a = 0 a = 6 Tällöin x xa x x6 ( x )( x 3) x 3, x, x 1. ( x1)( x) ( x1)( x) ( x1)( x) x Jos polynomilla x + px + q on kaksinkertainen nollakohta, on sillä yksi nollakohta, eli yhtälön x + px + q diskriminantti on nolla. Lasketaan diskriminantti. D = p 4 1 q = p 4q p 4q = 0 4q = p : ( 4) p q = 4 Väite on osoitettu oikeaksi.

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Matematiikan pohjatietokurssi

Matematiikan pohjatietokurssi Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio, 8.-9.9.015, ratkaisut 1. Jaa tekijöihin (joko muistikaavojen avulla tai ryhmittelemällä) (a) x +x+ = x + x + = (x+) x +x+ = (x +x+1) = (x+1) (c) x 9 = (x) 3

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku. Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

Laudatur 2. Opettajan aineisto. Polynomifunktiot MAA2. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 2. Opettajan aineisto. Polynomifunktiot MAA2. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur Polynomifunktiot MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Toimittaja: Sanna Mäkitalo Taitto: Tekijät. painos Painovuosi

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1. TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan.

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. MAA Koe..05 Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko. konseptin yläreunaan. A-osio. Ilman laskinta! MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Laske kaikki tehtävät. Vastaa tälle paperille.

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia? Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ?

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? Polynomiyhtälön ratkaiseminen Eri lajin yhtälöiden ratkaisutavat poikkeavat toisistaan. Siksi on tärkeää tunnistaa yhtälötyyppi. Polynomiyhtälö on yhtälö, joka voidaan

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt

6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt 6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt 6.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) ( x x) 3( x ) ( x x) (3 x 3 ) x x (3x 6) x x 3x 6 x x 6 b) 9( x 1) 5( x ) 9 x ( 9) 1 5 x 5 9x 9 5x 10 4x 1 c) (3x )(4 5 x) 3x 4 3 x (

Lisätiedot

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus Ensimmäisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 1 + 5 = 4( 3) Toisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 3 5 + 4 = 0 Kolmannen asteen yhtälö: :n korkein

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

MAA 2 - POLYNOMIFUNKTIOT

MAA 2 - POLYNOMIFUNKTIOT MAA MAA - POLYNOMIFUNKTIOT 1 On annettu muuttujan x polynomi P(x) = x + x + Mitkä ovat sen termien kertoimet, luettele kaikki neljä (?) Mitä astelukua polynomi on? Mikä on polynomin arvo, kun x = 0 Entä

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat

Lisätiedot

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016 Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt

Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt Ensimmäisen ja toisen t nimittäjien poistaminen sieventäminen ensimmäisen identtinen yhtälö yhtälö verranto toisen asteen yhtälö korkeamman ristiin kertominen suhde täydellinen toisen ratkaisukaava vaillinainen

Lisätiedot

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.

Lisätiedot

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit .4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi

Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3] Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,] Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4 T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + )

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Kokonaisluvut. eivät ole kokonaislukuja!

Kokonaisluvut. eivät ole kokonaislukuja! Luvut Lähdetään liikkeelle kertaamalla mitä tiedämme luvuista. Mitä erilaiset luvut kuvaavat ja millaisia ominaisuuksia niillä on? Mikä voisi olla luonnollisin luku aloittaa? Luonnolliset luvut Luonnolliset

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2 Lisätehtävät Polnomifunktio 7. Epähtälöt = + 8. a) < + < + < Vastaus: ) < < Vastaus: < 8 8 8 = 8 = + c) ( ) < + ( ) < + < + < : ( > ) < Vastaus: < d) ( )

Lisätiedot

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo 1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):

Lisätiedot

LISÄTEHTÄVÄT. Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto Piirretään suorat. Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt. y x ja a) b) y x.

LISÄTEHTÄVÄT. Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto Piirretään suorat. Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt. y x ja a) b) y x. LISÄTEHTÄVÄT Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt 0. a) b) y 7 x 4 0 y x 0 y7 x 4 : y x y,5 x c) d) 5x 8y 5 8y 5x5 :( 8) 7y 5x 7y 5x :7 5 5 5 y x y x 8 8 7 7. Piirretään suorat y x 0 y x ja x y 0 y x Leikkauspiste

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

derivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,.

derivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,. Matematiikka, MAA9. a) Ratkaise yhtälö tan (YOS) Kulma on välillä [, 6]. Ratkaise asteen tarkkuudella seuraavat yhtälöt: b) sin c) cos (YOs). Kulmalle [9,6 ] on voimassa sin = 8 7. Määritä cos ja tan..

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 8906 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Tutkintoaineen sensorikokous on hyväksynyt seuraavat hyvän vastauksen piirteet Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 015 Lhen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Tekijät: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen Ratkaisut on laadittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmalla kättäen Muistiinpanot -sovellusta.

Lisätiedot

= = = 1 3.

= = = 1 3. 9. 10. 2008!"$#&%(')'*,#.-/* P1. lkuperäisen punaisen kuution pinta koostuu kuudesta 3 3-neliöstä, joten sen ala on 6 3 2 = 54. Koska 3 3 =, kuutio jakautuu leikatessa yksikkökuutioksi, joiden kokonaispinta-ala

Lisätiedot

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2.

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2. Hyvän ratkaisun piirteitä: a) Neliöpohjainen rakennelma Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva ), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 =

Lisätiedot

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 15 Päivitetty 19..6 31 Tapa 1 Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä sijoituskeinoa. x y+ z = x y + 3z = 3x 4y+ z = Ratkaistaan yhtälöstä (1) muuttuja

Lisätiedot

Laskentaa kirjaimilla

Laskentaa kirjaimilla MAB1 Polynomit Laskentaa kirjaimilla Tähän asti olemme laskeneet luvuilla, jotka on esitetty numeroiden avulla. Matematiikan säännöt, laskentamenetelmät, kaavat samoin kuin fysiikan ja itse asiassa kaikkien

Lisätiedot