4 LUKUJONOT JA SUMMAT

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "4 LUKUJONOT JA SUMMAT"

Transkriptio

1 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty LUKUJONOT JA SUMMAT ALOITA PERUSTEISTA 45A. Määritetään lukujonon (a n ) kolme ensimmäistä jäsentä ja sadas jäsen a 00 sijoittamalla jäsenten järjestysluvut yleisen jäsenen a n lausekkeeseen. a) Yleisen jäsenen lauseke on a n = 4n +. a = 4 + = 7 a = 4 + = a = 4 + = 5 a 00 = = 40 Vastaus: a = 7, a =, a = 5 ja a 00 = 40 b) Yleisen jäsenen lauseke on a n = 4 n. a = 4 = a = 4 = 6 a = 4 = 08 a 00 = 4 00 =, , Vastaus: a =, a = 6, a = 08 ja a 00 =, A. a) Aritmeettisen lukujonon erotusluku d on peräkkäisten jäsen erotus, joten d = 8 = 7. Vastaus: d = 7 b) Geometrisen lukujonon suhdeluku q on peräkkäisten jäsenten osamäärä, joten q 6. Vastaus: q = 6

2 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty A. Merkintä a = tarkoittaa, että lukujonon kolmas jäsen on, joten merkintä A ja kuvaus IV kuuluvat yhteen. Merkintä a = tarkoittaa, että lukujonon toinen jäsen on, joten merkintä B ja kuvaus I kuuluvat yhteen Merkintä a n = tarkoittaa, että lukujonon jokainen jäsen on, joten merkintä C ja kuvaus V kuuluvat yhteen Merkintä d = tarkoittaa, että lukujonon erotusluku on, joten merkintä D ja kuvaus II kuuluvat yhteen. Merkintä a n = n tarkoittaa, että lukujonon jäsen on sama kuin jäsenen järjestysluku, joten lukujono on,,, eli positiivisten kokonaislukujen jono. Merkintä E ja kuvaus III kuuluvat siis yhteen. Vastaus: A: IV, B: I, C: V, D: II ja E: III 48A. Määritetään jäsenet a, a ja a 4. a =,5 a =,5 a =,5 6 = 9 a =,5 a =,5 a =,5 9 =,5 a 4 =,5 a 4 =,5 a =,5,5 = 0,5 Vastaus: a = 9, a =,5 ja a 4 = 0,5

3 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty A. a) Aritmeettisen lukujonon, 4, erotusluku on d = 4 =, joten sen yleinen termi on a n = a + (n ) d = + (n ) = + n = n. Lasketaan kymmenes termi sijoittamalla yleisen termin lausekkeeseen järjestysluku n = 0. a 0 = 0 = 8 Kymmenes termi on siis a 0 = 8. Vastaus: a 0 = 8 b) Geometrisen lukujonon, 4,... suhdeluku on 9 joten kolmas termi on a 4 8 aq. 9 7 Vastaus: a q :, 9 9

4 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty A. a) Aritmeettisen lukujonon yleinen jäsen on a n = a + (n ) d = 5 + (n ) ( ) = 5 n + = n + 7. Havainnollistetaan lukujonoa koordinaatistossa. Vastaus: a n = n + 7,

5 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Muodostetaan yleisen jäsenen lausekkeen avulla yhtälö ja tutkitaan sen avulla, onko luku 8 lukujonon jäsen. 8 n 7 n 5 : n,5 Koska n =,5 ei ole positiivinen kokonaisluku, luku 8 ei ole lukujonon jäsen. Vastaus: ei ole

6 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty B. a) Geometrisen lukujonon yleinen jäsen on a n = a q n = 5 n. Havainnollistetaan lukujonoa koordinaatistossa. Vastaus: a n = 5 n,

7 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Muodostetaan yleisen jäsenen lausekkeen avulla yhtälö ja tutkitaan sen avulla, kuinka mones lukujonon jäsen luku 85 on. n 85 5 : n 5 65 n Koska yhtälön vasemman ja oikean puolen potenssien kantaluvut ovat samat, on eksponenttienkin oltava samat. n 4 n 5 Luku 85 on lukujonon viides jäsen. Vastaus: viides 5B. a) Geometrisen lukujonon, 6,, 4, ensimmmäinen jäsen on a = 6 ja suhdeluku q, joten sen analyyttinen sääntö on a n = a q n = n. Vastaus: a n = n b) Geometrisen lukujonon, 6,, 4, ensimmäinen jäsen on a = ja a-kohdan perusteella suhdeluku q =. Lukujonon jäsen saadaan siis kertomalla edellinen jäsen luvulla, ja lukujonon rekursiivinen sääntö on a =, a n = a n, n =,, 4, Vastaus: a =, a n = a n, n =,, 4,

8 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) Määritetään lukujonon 0. jäsen taulukkolaskentaohjelmalla käyttäen b-kohdan sääntöä. Lasketaan ensin soluviittauksen avulla toinen jäsen. Kopioidaan kaava alemmille riveille. Lukujonon 0. jäsen on a 0 = Vastaus: a 0 =

9 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty B. a) Aritmeettisen lukujonon 4,, erotusluku on d = 4 = 8. Lasketaan lukujonon kolmas jäsen soluviittausta käyttäen. Kopioidaan kaava riveille 0. Määritetään lukujonon kymmenen ensimmäisen jäsenen summa. Lukujonon kymmenen ensimmäisen jäsenen summa on 400. Vastaus: S 0 = 400

10 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Geometrisen lukujonon 4,, suhdeluku on q. Lasketaan 4 lukujonon kolmas jäsen soluviittausta käyttäen. Kopioidaan kaava riveille 0. Määritetään lukujonon kymmenen ensimmäisen jäsenen summa. Lukujonon kymmenen ensimmäisen jäsenen summa on Vastaus: S 0 = 8 096

11 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a a 54A. a) Aritmeettisen summan kaavan S 4 ensimmäinen yhteenlaskettava on, viimeinen yhteenlaskettava 4 ja yhteenlaskettavien määrä on. Summan arvo 4 6 on 56. Vastaus:, 4,, 56 n n n perusteella lausekkeessa b) Geometrisen summan kaavan ( n a q S ) n perusteella lausekkeessa q 8 5 ensimmäinen yhteenlaskettava on 5, suhdeluku ja yhteenlaskettavien lukumäärä 8. Summan arvo on Vastaus: 5,, 8, 75

12 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty A. a) Geometrisessa summassa ensimmäinen yhteenlaskettava on a = ja yhteenlaskettavien lukumäärä n = 9. Vastaus: a =, n = 9 b) Suhdeluku on Vastaus: q = q 6. c) Lasketaan summa geometrisen summan kaavalla ( n a q S ) n, q ensimmäinen yhteenlaskettava on a =, suhdeluku q = ja yhteenlaskettavien määrä n = 9. kun S 9 9 ( ) 9 68 Vastaus: S = 9 68

13 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty A. a) Aritmeettisessa summassa ensimmäinen yhteenlaskettava on a = 4 ja viimeinen a n =. Vastaus: a = 4, a n = b) Yhteenlaskettavien lukumäärä on viimeisen yhteenlaskettavan a n = järjestysluku. Sijoitetaan aritmeettisen lukujonon yleisen jäsenen kaavaan jonon ensimmäinen jäsen a = 4, erotusluku d = 7 4 = ja n:s jäsen a n =. Ratkaistaan yhtälöstä viimeisen yhteenlaskettavan järjestysluku n. a n = a + (n ) d = 4 + (n ) = 4 + n n = 0 : n = 0 Vastaus: 0 a an c) Lasketaan summa aritmeettisen summan kaavalla Sn n, kun yhteenlaskettavien määrä on n = 0, ensimmäinen yhteenlaskettava a = 4 ja viimeinen yhteenlaskettava a 0 =. S Vastaus: S 0 = 75

14 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty VAHVISTA OSAAMISTA 57A. Aritmeettisessa lukujonossa peräkkäisten jäsenten erotus on vakio. a) Lasketaan peräkkäisten jäsenten erotukset. a a = 9 = 8 a a = 7 9 = 8 Koska peräkkäisten jäsenten erotukset ovat yhtä suuria, lukujono voi olla aritmeettinen. Vastaus: voi b) Lasketaan peräkkäisten jäsenten erotukset. a a = 4 9 = 5 a a = 9 5 = 4 5 Koska peräkkäisten jäsenten erotukset eivät ole yhtä suuria, lukujono ei voi olla aritmeettinen. Vastaus: ei voi c) Lasketaan peräkkäisten jäsenten erotukset. a a = 4 4 = 0 a a = 4 4 = 0 Koska peräkkäisten jäsenten erotukset ovat yhtä suuret, lukujono voi olla aritmeettinen. Vastaus: voi

15 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty A. Geometrisessä lukujonossa peräkkäisten jäsenten suhde on vakio. a) Lasketaan peräkkäisten jäsenten suhteet. a a a a Koska peräkkäisten jäsenten suhteet ovat yhtä suuria, lukujono voi olla geometrinen. Vastaus: voi b) Lasketaan peräkkäisten jäsenten suhteet. a 5 5 a a 5 a Koska peräkkäisten jäsenten suhteet eivät ole yhtä suuria, lukujono ei voi olla geometrinen. Vastaus: ei voi c) Lasketaan peräkkäisten jäsenten suhteet. a a 6 a : a Koska peräkkäisten jäsenten suhteet ovat yhtä suuria, lukujono voi olla geometrinen. Vastaus: voi

16 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty A. TAPA : Lukujonon 8, 6,, 64, ensimmäinen jäsen on a = 8 ja suhdeluku q 6, joten sen yleinen jäsen on 8 a n = 8 n = n = n = 4 + n = 4 n. Lukujono A ja sääntö II kuuluvat siis yhteen. Lukujonon 4,,,, ensimmäinen jäsen on a = 4 ja suhdeluku n q, joten sen yleinen jäsen on a 4 4 n. Lukujono B ja sääntö VI kuuluvat siis yhteen. Lukujonon, 4, 8, 6, ensimmäinen jäsen on a = ja suhdeluku 4 n n n q, joten sen yleinen jäsen on a. n Lukujono C ja sääntö I kuuluvat siis yhteen. Lukujonon,,,,... ensimmäinen jäsen on a ja suhdeluku q :, joten sen yleinen jäsen on 4 4 n n n a n. Lukujono D ja sääntö IV kuuluvat siis yhteen. Lukujonon 4, 8, 6,, ensimmäinen jäsen on a = 4 ja suhdeluku q 8, joten sen yleinen jäsen on 4 n 4. a n Lukujono E ja sääntö III kuuluvat siis yhteen.

17 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Lukujonon,,,, 4 ensimmäinen jäsen on a = ja suhdeluku q, joten sen yleinen jäsen on n n n 4 n a n Lukujono F ja sääntö V kuuluvat siis yhteen. Vastaus: A: II, B: VI, C: I, D: IV, E: III ja F: V TAPA : Lasketaan lukujonojen I VI ensimmäisiä jäseniä sääntöjen avulla ja yhdistetään säännöt jonoihin A F. Sääntö I a n = n a = = a = = 4 a = = 8 a 4 = 4 = 6 Joten lukujono C ja sääntö I kuuluvat yhteen. Sääntö II a 4 n n a 4 8 a 4 6 a 4 4 a Joten lukujono A ja sääntö II kuuluvat yhteen.

18 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Sääntö III 4 n a n 4 0 a a a a 4 4 Joten lukujono E ja sääntö III kuuluvat yhteen. Sääntö IV n a n a a 4 a 8 4 a 4 6 Joten lukujono D ja sääntö IV kuuluvat yhteen. Sääntö V n a n 4 a 4 4 a a a Joten lukujono F ja sääntö V kuuluvat yhteen.

19 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Sääntö VI n a n 4 0 a a 4 4 a a Joten lukujono B ja sääntö VI kuuluvat yhteen. Vastaus: A: II, B: VI, C: I, D: IV, E: III ja F: V 60A. a) Sievennetään lukujonon lauseke a n = 8 + (n ) 5 = 8 +5n 5 = + 5n. Huomataan, että lukujonon jäsenen arvo kasvaa aina 5:llä, kun järjestysluku kasvaa :llä. Lukujonon ensimmäinen jäsen on a = 8 + ( ) 5 = 8, joten lukujonon rekursiivinen sääntö on a = 8, a n = a n + 5. Vastaus: a = 8, a n = a n + 5 b) Huomataan, että lukujonon a n = 9 7 n jäsenen arvo tulee aina 7- kertaiseksi, kun järjestysluku kasvaa :llä. Ensimmäinen jäsen on a = 9 7 = 9 = 9, joten lukujonon rekursiivinen sääntö on siis a = 9, a n = 7a n. Vastaus: a = 9, a n = 7a n

20 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty A. a) Aritmeettisen lukujonon yleinen jäsen on a n = a + (n ) d, joten neljäs jäsen on a 4 = a + (4 ) d = a + ( 4) = a. Toisaalta tehtävänannon tietojen mukaan neljäs jäsen on a 4 =. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä ensimmäinen jäsen a. a a 5 Lukujonon ensimmäinen jäsen on siis a = 5. Koska ensimmäinen jäsen on a = 5 ja erotusluku d = 4, yleinen jäsen on a n = 5 + (n ) ( 4) = 5 4n + 4 = 4n + 9. Vastaus: a = 5, a n = 4n + 9 b) Lasketaan lukujonon 80. jäsen sijoittamalla yleisen jäsenen lausekkeeseen järjestysluku n = 80. a 80 = = 9 Vastaus: a 80 = 9 c) Muodostetaan yleisen jäsenen avulla yhtälö ja tutkitaan sen avulla, kuinka mones lukujonon jäsen luku 6 on. 4n 9 6 4n 9 : 4 n 48 Luku 6 on lukujonon 48. jäsen. Vastaus: 48. jäsen

21 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty B. TAPA : Geometrisen lukujonon yleinen jäsen on a n = a q n ja sen peräkkäisten jäsenten suhde on q = 4, joten sen kolmas jäsen on a = a q = a q = a 4 = 6a. Toisaalta tehtävänannon mukaan kolmas jäsen on a = 96. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä lukujonon ensimmäinen jäsen a. 6a 96 :6 a 6 Lukujonon ensimmäinen jäsen on a = 6 ja sen peräkkäisten jäsenten suhde on q = 4, joten sen yleinen jäsen on a n = 6 4 n. Muodostetaan yleisen jäsenen avulla yhtälö ja tutkitaan sen avulla, onko luku lukujonon jäsen. n :6 n n log n 7 n 8 Luku on lukujonon 8. jäsen. Vastaus: on TAPA : Lasketaan taulukkolaskentaohjelmalla lukujonon jäseniä kolmannesta jäsenestä 96 eteenpäin kertomalla edellinen jäsen luvulla 4. Huomataan, että luku lukujonon jäsen. Vastaus: on

22 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty A. a) Kun aritmeettisen lukujonon viidenteen termiin a 5 = 9 lisätään erotusluku 5 = 8 kertaa, saadaan. termi a = 4. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä erotusluku d. 98d 4 8d :8 d 4 Lukujonon erotusluku on d = 4. Kun erotusluku d = 4 lisätään ensimmäiseen termiin a neljä kertaa, saadaan 5. termi a 5 = 9. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä ensimmäinen termi a. a 44 9 a 6 9 a 7 Lukujonon ensimmäinen termi on a = 7. Vastaus: d = 4, a = 7

23 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Kun geometrisen lukujonon neljäs jäsen a 4 = 48 kerrotaan neljästi suhdeluvulla q, saadaan kahdeksas jäsen a 8 = 768. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä suhdeluku q. 4 48q 768 : 48 4 q q q Suhdeluku on q = tai q =. Kun lukujonon ensimmäinen jäsen a kerrotaan suhdeluvulla q kolmesti, saadaan neljäs jäsen a 4 = 48. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä ensimmäinen jäsen a. Tutkitaan ensin tapaus q =. 48 a 8a 48 :8 a 6 Jos q =, niin ensimmäinen jäsen on a = 6. Tällöin yleinen jäsen on a n = a q n = 6 n. Tutkitaan sitten tapaus q =. a 48 8a 48 : 8 a 6 Jos q =, niin ensimmäinen jäsen on a = 6. Tällöin yleinen jäsen on a n = a q n = 6 ( ) n. Vastaus: q = ja a n = 6 n tai q = ja a n = 6 ( ) n.

24 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty A. a) Lasketaan yrityksen liikevaihto syyskuussa, joka on vuoden 9. kuukausi. L(9) = = Liikevaihto oli Vastaus: euroa b) Liikevaihdon lausekkeessa kuukauden järjestysluku kerrotaan luvulla 4000, joten liikevaihto kasvoi kuukaudessa Vastaus: 4000 euroa c) Tutkitaan yhtälön avulla, missä kuussa liikevaihto ylitti n n : 4000 n 6,5 Kuudentena kuukautena eli kesäkuussa liikevaihto oli vielä alle Liikevaihto ylitti seitsemäntenä kuukautena eli heinäkuussa. Vastaus: heinäkuussa

25 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty A. a) Lasketaan summa geometrisen summan kaavalla, kun ensimmäinen jäsen on a =, suhdeluku q = 4 ja yhteenlaskettavien määrä n = 5. S Vastaus: S 5 = b) Lukujonon ensimmäinen jäsen on a = 4 ( ) = ja toinen jäsen a = 4 ( ) a = 6, joten suhdeluku on q 6. a Lasketaan summa geometrisen summan kaavalla, kun ensimmäinen jäsen on a =, suhdeluku q = ja yhteenlaskettavien määrä n = 5. S 5 5 Vastaus: S 5 = c) Kun geometrisen lukujonon ensimmäinen jäsen a kerrotaan suhdeluvulla q =, saadaan toinen jäsen a = 7. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä ensimmäinen jäsen a. a 7 : a 9 Lasketaan summa geometrisen summan kaavalla, kun ensimmäinen jäsen on a = 9, suhdeluku q = ja yhteenlaskettavien määrä n = 5. S 5 5 9( ) Vastaus: S 5 =

26 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty d) Kun geometrisen lukujonon neljäs jäsen a 4 = 4 kerrotaan suhdeluvulla q kolmesti, saadaan seitsemäs jäsen a 7 =9. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä suhdeluku q. 4q 9 : 4 q 8 q 8 q Suhdeluku on siis q =. Kun lukujonon ensimmäinen jäsen a kerrotaan kolmesti suhdeluvulla q =, saadaan neljäs jäsen a 4 = 4. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä ensimmäinen jäsen a. 4 a 8a 4 :8 a Ensimmäinen jäsen on siis a =. Lasketaan summa geometrisen summan kaavalla, kun ensimmäinen jäsen on a =, suhdeluku q = ja yhteenlaskettavien määrä n = 5. S 5 5 ( ) 98 0 Vastaus: S 5 = 98 0

27 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty A. a) Lukujonon ensimmäinen jäsen on a = 5 ja erotusluku d = 6, joten 0. jäsen on a 0 = 5 + (0 ) 6 = 79. Lasketaan 0 ensimmäisen jäsenen summa sijoittamalla aritmeettisen summan kaavaan yhteenlaskettavien lukumäärä n = 0, ensimmäinen jäsen a = 5 ja 0. jäsen a 0 = 79. S Vastaus: S 0 = 760 b) Lukujonon ensimmäinen jäsen on a = 00 ja erotusluku on d = = 00, joten 0. jäsen on a 0 = 00 + (0 ) ( 00) = 00. Lasketaan 0 ensimmäisen jäsenen summa sijoittamalla aritmeettisen summan kaavaan yhteenlaskettavien lukumäärä n = 0, ensimmäinen jäsen a = 00 ja 0. jäsen a 0 = 00. S Vastaus: S 0 = c) Lukujonon ensimmäinen jäsen on a = ja erotusluku on d =. Lukujonon 0. jäsen on a 0 = + (0 ) = 85. Lasketaan 0 ensimmäisen jäsenen summa sijoittamalla aritmeettisen summan kaavaan yhteenlaskettavien lukumäärä n = 0, ensimmäinen jäsen a = ja 0. jäsen a 0 = 85. S Vastaus: S 0 = 45

28 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty A. a) Aritmeettisen jonon erotusluku on d a a 7. Lukujonon yleinen jäsen on siis a ( ) n a n d n. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä, kuinka monta jäsentä lukujonossa on. n 7 n 4 n 4 n 8 4 n 4 : n Yhteenlaskettavien määrä on siis n =. Lasketaan summa sijoittamalla aritmeettisen summan kaavaan yhteenlaskettavien määrä n =, ensimmäinen yhteenlaskettava a ja viimeinen yhteenlaskettava a = 7. S Kysytty summa on Vastaus: S

29 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a an b) Sijoitetaan aritmeettisen summan kaavaan Sn n termien summa S n = 96, jonon ensimmäinen termi a = ja n:s termi a n = 6. Ratkaistaan saadusta yhtälöstä yhteenlaskettavien määrä n. 96 n 6 96 n 6 n 96 : n Luku 6 on siis jonon. termi. Sijoitetaan aritmeettisen jonon yleisen termin kaavaan a n = a + (n ) d termin järjestysluku n =, ensimmäinen termi a = ja. termi a = 6. Ratkaistaan saadusta yhtälöstä erotusluku d. 6 d 6 0d 0d 60 :0 d Jonon yleinen termi on siis a = a + d = + =, joten jonon toinen termi on a =. Vastaus: a =

30 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty B. Koska ponnahduksen korkeus on 0,8-kertainen edelliseen ponnahdukseen verrattuna, ponnahdusten korkeudet muodostavat geometrisen lukujonon, jonka suhdeluku on q = 0,8. Kun pallo osuu kymmenennen kerran lattiaan, se on pudonnut alaspäin 0 kertaa ja pompannut lattiasta 9 kertaa. Pallo kulkee alaspäin pudotessaan metreinä yhteensä matkan + 0,8 + 0,8 + 0,8 9. Lasketaan summa sijoittamalla geometrisen summan kaavaan ensimmäinen yhteenlaskettava a =, yhteenlaskettavien määrä n = 0 ja suhdeluku q = 0,8. S 0 0,8 0,8 0 4,46... Pallo kulkee ylöspäin noustessaan metreinä yhteensä matkan 0,8 + 0,8 + 0,8 9. Lasketaan summa sijoittamalla geometrisen summan kaavaan ensimmäinen yhteenlaskettava a = 0,8, yhteenlaskettavien määrä n = 9 ja suhdeluku q = 0,8. S 0 0,8 0,8 0,8 9,46... Pallo kulkee yhteensä 4,46 m +,46 m = 7,96 m 8 m. Vastaus: 8 metriä

31 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty A. Lukujen 000 ja 000 välissä olevien :lla jaolliset luvut muodostavat aritmeettisen lukujonon, koska peräkkäisten jäsenten erotus on luku. Pienin luvulla jaollinen, lukujen 000 ja 000 välissä oleva luku on 00 = 77 ja suurin 989 = 5. Yhteenlaskettavien lukumäärä on viimeisen yhteenlaskettavan a n = 989 järjestysluku. Sijoitetaan aritmeettisen lukujonon yleisen jäsenen kaavaan jonon ensimmäinen jäsen a = 00, erotusluku d = ja n:s jäsen a n = 989. Ratkaistaan yhtälöstä viimeisen yhteenlaskettavan järjestysluku n. a n = a + (n ) d 989 = 00 + (n ) 989 = 00 + n n = 00 : n = 77 Lasketaan summa sijoittamalla aritmeettisen summan kaavaan yhteenlaskettavien määrä n = 77, ensimmäinen yhteenlaskettava a = 00 ja viimeinen a 77 = 989. S Kysytty summa on 5 5. Vastaus: 5 5

32 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty B. Rahaa siirtyy tilille euroina Joka vaiheessa tilille siirtyvien rahojen määrä kolminkertaistuu, joten siirretyt rahamäärät muodostavat geometrisen lukujonon, jonka suhdeluku on q =. TAPA : Muodostetaan n:ssä ensimmäisessä vaiheessa siirrettyjen rahamäärien summa sijoittamalla geometrisen summan kaavaan ensimmäinen yhteenlaskettava a = 00 ja suhdeluku q =. S n n n n 50. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan sen avulla, kuinka monen vaiheen jälkeen tilillä oleva rahasumma ylittää euroa. n : ( 50) n n ( ) n n log n 8,94 Tilillä oleva rahasumma ylittää euroa 9. vaiheen jälkeen. Vastaus: 9 vaiheen jälkeen

33 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty TAPA : Lasketaan taulukkolaskentaohjelmalla tilille siirtyvän rahan määrä jokaisessa vaiheessa kertomalla edellinen luku aina :lla. Lasketaan viereiseen sarakkeeseen tilille kertyvän rahan määrä. Havaitaan, että tilillä oleva rahasumma ylittää euroa 9. vaiheen jälkeen. Vastaus: 9 vaiheen jälkeen

34 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty B. a) TAPA : Lukujonon erotusluku on d a a, joten lukujonon yleinen termi on a 0 8 n n n n Tällöin jonon sadas termi on a Lasketaan sadan ensimmäisen termin summa sijoittamalla aritmeettisen summan kaavaan yhteenlaskettavien määrä n = 00, ensimmäinen yhteenlaskettava a = ja viimeinen yhteenlaskettava a S Jonon sadan ensimmäisen termin summa on 80. Vastaus: S 00 = 80 TAPA : Lasketaan taulukkolaskentaohjelmalla lukujonon 00 ensimmäistä jäsentä ja niiden summa. Havaitaan, että summa on 80. Vastaus: S 00 = 80

35 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) TAPA : a Lukujonon suhdeluku on q : 6. a 5 5 Lasketaan sadan ensimmäisen termin summa sijoittamalla geometrisen summan kaavaan ensimmäinen yhteenlaskettava a =, suhdeluku q 6 ja yhteenlaskettavien määrä n = S , 0... Jonon sadan ensimmäisen termin summa on , Vastaus: S 00 = TAPA : Lasketaan taulukkolaskentaohjelmalla lukujonon 00 ensimmäistä jäsentä ja niiden summa. Havaitaan, että summa on , Vastaus: S 00 =

36 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty A. a) Muodostetaan lukujonon (a n ) analyyttinen sääntö, kun a = 4 ja a n + = a n,5. Vähentämällä lukujonon jäsenestä,5 saadaan lukujonon seuraava jäsen, joten lukujono on aritmeettinen ja sen erotusluku on d =,5. Koska lisäksi lukujonon ensimmäinen jäsen on a = 4, niin lukujonon analyyttinen sääntö on a n = a + (n ) d = 4 + (n ) (,5) = 4,5n +,5 =,5n + 6,5. Vastaus: a n =,5n + 6,5 b) Muodostetaan lukujonon (a n ) analyyttinen sääntö, kun a = 0 ja a n + = a n. Kertomalla lukujonon jäsen luvulla saadaan lukujonon seuraava jäsen, joten lukujono on geometrinen ja sen suhdeluku on q =. 0 = a = a + = a, joten muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä lukujonon ensimmäinen jäsen a. a 0 : a 5 Koska lukujonon ensimmäinen jäsen on a = 5, niin lukujonon analyyttinen sääntö on a n = a q n = 5 n. Vastaus: a n = 5 n c) Muodostetaan lukujonon (a n ) analyyttinen sääntö, kun a = ja a n + = a n. Koska lukujonon jäsen on yhtä suuri kuin seuraava jäsen, lukujono on vakiojono,,, Lukujonon analyyttinen sääntö on siis a n =. Vastaus: a n =

37 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty B. Koska lukujonon seuraava termi on 5 % edellistä termiä suurempi, lukujono on geometrinen ja sen suhdeluku on q =,05. Koska lisäksi ensimmäinen termi on, n:s termi on a n = a q n =,05 n. TAPA : Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan sen avulla, kuinka moni jonon termi on pienempi kuin 000 miljoonaa. n, : n, n log, n 40,55... n 4,55... Jonon 4 ensimmäistä termiä ovat pienempiä kuin 000 miljoonaa. Lasketaan näiden termien summa geometrisen summan kaavalla sijoittamalla siihen ensimmäinen termi a =, suhdeluku q =,05 ja yhteenlaskettavien määrä n = 4. S 4 4, , ,05 Kysytty summa on kolmen numeron tarkkuudella Vastaus: 4 termiä, S 4 =

38 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty TAPA : Lasketaan taulukkolaskentaohjelmalla lukujonon termejä kertomalla aina edellinen termi luvulla,05, kunnes löydetään termi, joka ylittää luvun 000 miljoonaa. Havaitaan, että ensimmäinen termi, joka ylittää luvun 000 miljoonaa, on 4.termi. Siis 4 termiä ovat pienempiä kuin 000 miljoonaa. Lasketaan näiden summa. Havaitaan, että summa on , Kysytty summa on kolmen numeron tarkkuudella Vastaus: 4 termiä,

39 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty B. Tutkitaan puun määrän kehitystä taulukkolaskentaohjelmalla. Lasketaan ensin soluviittauksen avulla puun määrä vuoden kuluttua. Puun määrä alkuperäiseen verrattuna on 00 % + 7 % = 7 %. Kasvun jälkeen puun määrä vähenee 6 m. Kymmenen vuoden kuluttua puuta on,9. Vastaus: m

40 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty B. a) Alkuperäisen janan pituus l =. Seuraavassa kuviossa janan keskimmäinen kolmannes korvataan kahdella janalla, joista kummankin pituus on kolmasosa alkuperäisen janan pituudesta. Tällöin käyrän kokonaispituus kasvaa yhdellä kolmasosalla ja on 4 alkuperäisestä. Toisessa kuviossa käyrän pituus on l 4. Kolmannessa kuviossa jokaisen janan keskimmäinen kolmannes korvataan kahdella janalla, joista kummankin pituus on kolmasosa edellisen kuvionjanan pituudesta. Kolmannen kuvionkokonaispituus on 4 -kertainen edelliseen kuvioon verrattuna. Näin jatkamalla käyrien pituudet muodostavat geometrisen lukujonon n n l 4 4 n, missä n on kuvion järjestysnumero. n Vastaus: 4 b) Kirjoitetaan soluun A luku. Soluun A kirjoitetaan =4/ A ja kopioidaan solua A alaspäin. Pituus on yli 00-kertainen alkuperäiseen nähden 8. kuviossa. Vastaus: 8. kuviossa

41 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty SYVENNÄ YMMÄRRYSTÄ 76A. a) Summamerkintä ( 4 n) tarkoittaa summaa, jossa lasketaan n0 yhteen lukujonon a n = + 4n jäseniä. Ensimmäinen yhteenlaskettava on a 0 = =. Toinen yhteenlaskettava on a = + 4 = 7. Kolmas yhteenlaskettava on a = + 4 =. Viimeinen yhteenlaskettava a = + 4 = 9. Huomataan, että seuraava yhteenlaskettava saadaan, kun edelliseen lisätään luku 4, joten kyseessä on aritmeettinen summa. Koska summan laskeminen alkaa indeksistä n = 0 ja päättyy indeksiin, yhteenlaskettavien lukumäärä on + =. Lasketaan summa sijoittamalla aritmeettisen summan kaavaan yhteenlaskettavien määrä n =, ensimmäinen yhteenlaskettava a 0 = ja viimeinen yhteenlaskettava a = 9. S 9 08 Kysytty summa on 08. Vastaus: 08

42 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Summassa 5 ( ) n lasketaan yhteen lukujonon a n = ( ) n jäseniä. n Ensimmäinen yhteenlaskettava on a = ( ) = 9. Toinen yhteenlaskettava on a = ( ) = 7. Kolmas yhteenlaskettava on a 4 = ( ) 4 = 8. Viimeinen yhteenlaskettava a 5 = ( ) 5 = Huomataan, että seuraava yhteenlaskettava saadaan, kun edellinen kerrotaan luvulla, joten kyseessä on geometrinen summa ja suhdeluku on q =. Koska summan laskeminen alkaa indeksistä n = ja päättyy indeksiin 5, yhteenlaskettavien lukumäärä on n = 5 = 4. Lasketaan summa sijoittamalla geometrisen summan kaavaan ensimmäinen yhteenlaskettava a = 9, suhdeluku q = ja yhteenlaskettavien määrä n = 4. S Kysytty summa on Vastaus:

43 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty B. a) Laskemalla taulukossa auton arvo edelliseen vuoden arvoon verrattuna huomataan, että auton arvo näyttää alenevan 0 % vuodessa. Vastaus: Auton arvo näyttää alenevan 0 % vuodessa. b) Koska auton arvo alenee joka vuosi 0 %:lla, on auton arvo 00 % 0 % = 80 % edellisen vuoden arvosta eli 0,80-kertainen edellisen vuoden arvoon nähden. Auton arvon vuonna n noudattaa siis geometrista lukujonoa. Lukujonon ensimmäinen jäsen on a 0 = ja suhdeluku on q = 0,8. Auton arvon vuonna n on a n = ,8 n. Vastaus: a n = ,8 n

44 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) TAPA Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan sen avulla, kuinka monen vuoden jälkeen auton ostamisesta sen arvo on kaavan mukaan laskenut alle 000 euron. n , n 0,8 0, 05 n log0,8 0,05 n,45... Auton arvo on kaavan mukaan laskenut alle 000 euron 4 vuoden jälkeen auton ostamisesta. Vastaus: 4 vuoden jälkeen TAPA : Käyttämällä b-kohdan kaavaa ja taulukkolaskenta ohjelmaa havaitaan, että auton arvo on kaavan mukaan laskenut alle 000 euron 4 vuoden jälkeen auton ostamisesta. Vastaus: 4 vuoden jälkeen

45 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty A. Geometrisen lukujonon peräkkäisten jäsenten suhde on vakio. a) Lukujonon ensimmäiset jäsenet ovat, x ja. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä x. x x x x 6 x 6 x 6 6 Kun x = 6, niin jonon suhdeluku on q. 6 Kun x = 6, niin jonon suhdeluku on q. Vastaus: x = 6 ja q =, tai x = 6 ja q =

46 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Lukujonon ensimmäiset jäsenet ovat 4, x + ja 6. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä x. x 6 4 x xx46 x xx4 44 x 4x x x x x 44 x 44 tai x 44 x0 x 4 Kun x = 0, lukujonon toinen jäsen on x + = 0 + =, joten q. 4 Kun x = 4, lukujonon toinen jäsen on x + = 4 + =, joten q. 4 Vastaus: x = 0 ja q =, tai x = 4 ja q =

47 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) Lukujonon ensimmäiset jäsenet ovat 8, x ja x. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä x. x x x 8 x x 8x x 8x6 8x x x 8 0 x 8 0 x 4 Koska x = 4, niin Vastaus: x = 4 ja q 4. 8 q

48 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty B. a) Kun aritmeettisen lukujonon ensimmäiseen termiin a = 4 lisätään erotusluku d neljästi, saadaan viides termi a 5 =. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä erotusluku d. 44d 4d :4 d 4 Lukujonon yleinen termi on an a n d 4n 4 4 n n. 4 4 Lasketaan lukujonon toinen, kolmas, neljäs ja kymmenes termi ohjelman avulla. a 4 a 5 a a 0 4 Vastaus: a, a 5, a4 7 ja a

49 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Kun geometrisen lukujonon ensimmäinen termi a = 4 kerrotaan suhdeluvulla q neljästi, saadaan viides termi a 5 =. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä suhdeluku q ohjelman avulla. Suhdeluku on siis q tai q Jos an q niin lukujonon yleinen termi on n n a q 4. Lasketaan ohjelman avulla lukujonon toinen, kolmas, neljäs ja kymmenes termi tässä tapauksessa. a 4 a 4 a a Jos an q, niin lukujonon yleinen termi on n n aq 4.

50 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Lasketaan lukujonon toinen, kolmas, neljäs ja kymmenes termi tässä tapauksessa. a 4 a 4 a a Vastaus: q, a, a, a4, a0 8 tai q, a, a, a4, a0 8 80A. a) Lukujonon jäsen, jonka järjestysluku on n, on a n = k(n ) + b = kn k + b. Vastaus: a n = kn k + b b) Lasketaan lukujonon (a n ) peräkkäisten jäsenten erotus. a n a n = (kn + b) (kn k + b) = kn + b kn + k b = k Koska peräkkäisten jäsenten erotus on vakio, lukujono (a n ) on aritmeettinen. Vastaus:

51 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a 8B. a) Geometrisen lukujonon suhdeluku on q x. a x Lasketaan lukujonon kahdenkymmenen ensimmäisen jäsenen summa sijoittamalla geometrisen summan kaavaan ensimmäinen yhteenlaskettava a = x, suhdeluku q = ja yhteenlaskettavien määrä n = 0. S 0 x x Vastaus: S 0 = x a b) Geometrisen lukujonon suhdeluku on q x x. Lasketaan a lukujonon kahdenkymmenen ensimmäisen jäsenen summa sijoittamalla geometrisen summan kaavaan ensimmäinen yhteenlaskettava a =, suhdeluku q = x ja yhteenlaskettavien määrä n = 0. S 0 x x x x 0 0 Vastaus: S 0 x x 0

52 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty A. a) Lasketaan ensin lukujonojen (a n ) ja (b n ) toinen ja kolmas jäsen. a = 5a = 5 4 = 0 a = 5a = 5 0 = 00 b = b = = 6 b = b = 6 = Lasketaan lukujonon (c n ) kolme ensimmäistä jäsentä. c = a b = 4 = c = a b = 0 6 = 0 c = a b = 00 = 00 Vastaus: c =, c = 0 ja c = 00 b) Kertomalla lukujonon (a n ) jäsen luvulla 5 saadaan lukujonon (a n ) seuraava jäsen, joten lukujono (a n ) on geometrinen ja sen suhdeluku q = 5. Lukujonon (a n ) analyyttinen sääntö on siis a n = a q n = 4 5 n. Kertomalla lukujonon (b n ) jäsen luvulla saadaan lukujonon (b n ) seuraava jäsen, joten lukujono (b n ) on geometrinen ja sen suhdeluku q =. Lukujonon (b n ) analyyttinen sääntö on siis b n = b q n = n. Vastaus: a n = 4 5 n ja b n = n c) Lukujonon (c n ) analyyttinen sääntö on c n = a n b n = 4 5 n n = 4 (5 ) n = 0 n. Vastaus: c n = 0 n.

53 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty B. Aritmeettisen lukujonon yleinen jäsen on a n = a + (n ) d. Muodostetaan lausekkeet lukujonon ensimmäisille jäsenille. a = a + ( ) d = a + d a = a + ( ) d = a + d a 4 = a + (4 ) d = a + d a 5 = a + (5 ) d = a + 4d a 6 = a + (6 ) d = a + 5d Kolmen ensimmäisen jäsenen summa on 9, joten a + (a + d) + (a + d) = 9. Kolmen seuraavan jäsenen summa on 9, joten (a + d) + (a + 4d) + (a + 5d) = 9. Muodostetaan yhtälöpari ja ratkaistaan siitä erotusluku d. aad ad 9 ad a4d a5d 9 d 9 a d 9 a d 9 a d 9 9d 8 :9 d Sijoitetaan d = yhtälöön a + d = 9. a 9 a 49 a 5 : a 5 Yhtälöpari voidaan ratkaista myös ohjelman avulla.

54 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään ohjelmaan a = a. Aritmeettisen lukujonon ensimmäinen jäsen on a = 5 ja erotusluku d =, joten sen yleinen jäsen on a n = 5 + (n ) = 5 + n = n 7. Vastaus: a n = n 7

55 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty A. Luvut,,,, m muodostavat aritmeettisen lukujonon, jonka erotusluku on =. Muodostetaan lauseke summalle m sijoittamalla aritmeettisen summan kaavaan yhteenlaskettavien määrä m, ensimmäinen yhteenlaskettava a = ja viimeinen yhteenlaskettava m. S m m m Muodostetaan edellisen lausekkeen avulla epäyhtälö ja ratkaistaan sen avulla suurin luonnollinen luku m, jolle m m m m 46 4 m m mm m Ratkaistaan vastaava yhtälö. m m ( 9448) m m m 9 m 9 = 96 tai m 9 96 Negatiivinen luku ei tule kysymykseen, koska m on luonnollinen luku. Kun m = 96, summa on Summa kasvaa, kun siihen lisätään positiivisia yhteenlaskettavia, joten 96 on suurin sellainen luonnollinen luku m, että m Vastaus: m = 96

56 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty B. a) Ensimmäisen kuution särmän pituus on m. Toisen kuution särmän pituus on 0,5 m = 0,5 m. Kolmannen kuution särmän pituus on 0,5 0,5 m = 0,5 m. n:nnen kuution särmän pituus on 0,5 n m. Vastaus: m, 0,5 m, 0,5 m ja 0,5 n m b) Kuutioiden pituudet muodostavat geometrisen jonon, jonka suhdeluku on q = 0,5. TAPA : Lasketaan 0 ensimmäisen kuution muodostaman pinon korkeus sijoittamalla geometrisen summan kaavaan ensimmäinen yhteenlaskettava a =, suhdeluku q = 0,5 ja yhteenlaskettavien määrä n = 0. S 0 0,5 0,5 0, Pinon korkeus on,9980 m,998 m. Vastaus:,998 m TAPA : Lasketaan 0 ensimmäisen kuution muodostaman pinon korkeus taulukkolaskentaohjelman avulla. Havaitaan, että pinon korkeus on,9980 m,998 m. Vastaus:,998 m

57 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) TAPA : Lasketaan vastaavalla tavalla niiden pinojen korkeudet, joissa on,, ja 4 kuutiota. S S S S 4 0,5, ,9990 0,5 0,5, ,9995 0,5 0,5, ,9998 0,5 4 0,5, ,9999 0,5 Pinon korkeuden arvot ovat,9990 m;,9995 m;,9998 m ja,9999 m. Kun kuutioiden lukumäärä kasvaa rajatta, pinon korkeus näyttää lähestyvän lukua m. Vastaus:,9990 m;,9995 m;,9998 m ja,9999 m; lukua m

58 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty TAPA : Lasketaan taulukkolaskentaohjelman niiden pinojen korkeudet, joissa on,, ja 4 kuutiota. Pinon korkeuden arvot ovat,9990 m;,9995 m;,9998 m ja,9999 m. Kun kuutioiden lukumäärä kasvaa rajatta, pinon korkeus näyttää lähestyvän lukua m. Vastaus:,9990 m;,9995 m;,9998 m ja,9999 m; lukua m

59 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty B. Lasketaan luvun 9 likiarvoja taulukkolaskentaohjelmalla eli jonon x 9 x ( x ) jäseniä. n n n Jonon ensimmäinen jäsen on tehtävänannon mukaan x =. Lasketaan toinen jäsen soluviittauksia käyttäen. Kopioidaan kaava alemmille riveille. Indeksin arvolla n = 7 pitää ensimmäisen kerran paikkansa, että lukujen x n = x 7 ja x n + = x 8 seitsemän ensimmäistä desimaalia ovat samat. Vastaus: n = 7

60 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty B. a) Kun lääkkeestä häviää 5 %, jäljelle jää 00 % 5 % = 65 %. Tutkitaan taulukkolaskentaohjelmalla, kuinka paljon lääkettä on elimistössä toisen annoksen ottamisen jälkeen. Kopioidaan kaava alemmille riveille. Toisen lääkkeenottokerran lääkettä on elimistössä 99 mg ja viidennen kerran jälkeen 5,57 mg 50 mg. Vastaus: 99 mg ja 50 mg

61 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Taulukoidaan lääkkeen määriä välittömästi lääkkeen oton jälkeen. Lääkkeenottokerta Lääkkeen määrä (mg) 60 0, ,65(0, ) + 60 = 0, , ,65 (0, , ) + 60 = 0, , , n 0,65 n ,65 n , Taulukon viimeisellä rivillä on välittömästi n:nnen lääkkeenottokerran jälkeen elimistössä olevan lääkkeen määrä ja se saadaan laskettua geometrisena summana, jossa a = 60 ja q = 0,65. S a ( q ) 60 ( 0,65 ) 60 ( 0,65 ) mg mg q 0,65 0,5 n n n n Vastaus: 60 ( 0,65 n ) mg 0,5 c) Lasketaan taulukkolaskentaohjelmalla lisää lukujonon jäseniä. Lääkkeen määrä näyttää lähestyvän arvoa 7,48 mg 7 mg. Vastaus: 7 mg

62 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty A. Yhtälöissä = l + ja = oikealla puolella on vasemman puolen kantaluvun verran peräkkäisiä parittomia luonnollisia lukuja, joten vastaava yhtälö luvulle 4 on 4 = Parittomat luvut ovat muotoa a n = n, jossa n =,,, Todistetaan, että n = (n ). Summassa (n ) on peräkkäisiä parittomia luonnollisia lukuja, joten summa on aritmeettinen ja sen erotusluku on d =. Lasketaan summa sijoittamalla aritmeettisen summan kaavaan yhteenlaskettavien määrä n, ensimmäinen yhteenlaskettava a = ja viimeinen yhteenlaskettava a n = n. n Sn n n n n n nn n, mikä oli osoitettava. Vastaus: 4 =

63 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty B. a) Esitetään lukujonon rekursiivinen sääntö f = f =, f n + = f n + + f n, n =,, sanallisesti: Lukujonon kaksi ensimmäistä jäsentä ovat molemmat, ja lukujonon jäsen on kahden edellisen jäsenen summa. Lasketaan taulukkolaskentaohjelmalla soluviittausten avulla lukujonon kolmas jäsen. Kopioidaan kaava alemmille riveille. Kysytyt jäsenet ovat f =, f 4 =, f 5 = 5, f 6 = 8, f 7 =, f 8 =, f 9 = 4 ja f 0 = 55. Vastaus: f =, f 4 =, f 5 = 5, f 6 = 8, f 7 =, f 8 =, f 9 = 4 ja f 0 = 55

64 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) TAPA : Kun n =, niin kaava saa muodon f ( ) Sijoitetaan tähän kaavaan 5 ja sievennetään. ) f ) ) Koska f =, kaava pitää paikkansa. 5 Kun n =, kaava saa muodon f ( ).

65 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Sijoitetaan tähän kaavaan 5 f ja sievennetään ) 6) Koska f =, kaava pitää paikkansa.

66 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty TAPA : Kun n =, niin kaava saa muodon f ( ) Sijoitetaan tähän kaavaan 5 ja sievennetään. Sievennetään lauseke sopivalla ohjelmalla muotoon. Koska f =, kaava pitää paikkansa. 5 Kun n =, kaava saa muodon f Sijoitetaan tähän kaavaan 5 ( ). ja sievennetään. 5 Sievennetään lauseke 5 5 ohjelmalla muotoon. Koska f =, kaava pitää paikkansa. Vastaus: sopivalla

67 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) TAPA : Ratkaistaan yhtälö x x = 0 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla. 4 x x 5 x 5 Yhtälön ratkaisut ovat siis 5 ja Sievennetään lauseke ) 5 5) ,. 5. jonka jo todettiin olevan yhtälön x x = 0 toinen ratkaisu.

68 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty TAPA : Ratkaistaan yhtälö x x = 0 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla. 4 x x 5 x 5 Yhtälön ratkaisut ovat siis 5 ja Sievennetään lauseke Sievennetään lauseke. ) 5 5. sopivalla ohjelmalla muotoon 5, jonka jo todettiin olevan yhtälön x x = 0 toinen ratkaisu. Vastaus:

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Aritmeettinen lukujono

Aritmeettinen lukujono Aritmeettinen lukujono 315. Aritmeettisen lukujonon kolme ensimmäistä jäsentä ovat 1, 4 ja 7. a) Mikä on jonon peräkkäisten jäsenten erotus d? b) Mitkä ovat jonon kolme seuraavaa jäsentä? a) d = 7 4 =

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1. TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

Aritmeettinen summa Laske. a) b) 23 + ( 24) + ( 25) + ( 26) + ( 27) + ( 28) Ratkaisu.

Aritmeettinen summa Laske. a) b) 23 + ( 24) + ( 25) + ( 26) + ( 27) + ( 28) Ratkaisu. Aritmeettinen summa 403. Laske. a) 101 + 103 + 105 + 107 + 109 + 111 b) 3 + ( 4) + ( 5) + ( 6) + ( 7) + ( 8) a) 636 b) 153 404. ijoita ensimmäinen yhteenlaskettava a1, viimeinen yhteenlaskettava an sekä

Lisätiedot

MAB Jussi Tyni. Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.

MAB Jussi Tyni. Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. MAB6. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan

Lisätiedot

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. a) Kun suoran s pisteen -koordinaatti kasvaa yhdellä, pisteen y- koordinaatti kasvaa kahdella. Suoran s kulmakerroin on siis. Kun suoran t pisteen -koordinaatti kasvaa kahdella,

Lisätiedot

2.3.1. Aritmeettinen jono

2.3.1. Aritmeettinen jono .3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a) K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +

Lisätiedot

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.

MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. MAA9. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan

Lisätiedot

MAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 2016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä.

MAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 2016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä. MAY1 kokeeseen kertaavia tehtäviä: Jussi Tyni 016 A-osion tehtäviä: Laskinta ei saa käyttää. Taulukkokirja saa olla esillä. 3 1 3 ja 1. Laske lukujen 4 summa b. erotus c. tulo d. osamäärä e. käänteislukujen

Lisätiedot

LISÄTEHTÄVÄT. Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto Piirretään suorat. Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt. y x ja a) b) y x.

LISÄTEHTÄVÄT. Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto Piirretään suorat. Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt. y x ja a) b) y x. LISÄTEHTÄVÄT Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt 0. a) b) y 7 x 4 0 y x 0 y7 x 4 : y x y,5 x c) d) 5x 8y 5 8y 5x5 :( 8) 7y 5x 7y 5x :7 5 5 5 y x y x 8 8 7 7. Piirretään suorat y x 0 y x ja x y 0 y x Leikkauspiste

Lisätiedot

Luvut ja lukujonot. otavan matematiikka. Helsingissä Kustannusyhtiö Otava

Luvut ja lukujonot. otavan matematiikka. Helsingissä Kustannusyhtiö Otava otavan matematiikka Luvut ja lukujonot Hanna Halinen Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Sampsa Kurvinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Jukka Ottelin Kati Parmanen Terhi Raittila Tommi Tauriainen Tommi

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Ma4 Yhtälöt ja lukujonot

Ma4 Yhtälöt ja lukujonot Ma4 Yhtälöt ja lukujonot H4 Lukujonot 4.1 Kirjoita lukujonon seuraavat viisi termiä, kun ensimmäinen termi on 1 ja muut muodostuvat seuraavien sääntöjen mukaan. a) Lisää edelliseen termiin 3. b) Kerro

Lisätiedot

1 Luvut jonossa 1. Kuinka monta pikkuneliötä on a) neljännessä kuviossa b) seitsemännessä kuviossa c) kymmenennessä kuviossa?

1 Luvut jonossa 1. Kuinka monta pikkuneliötä on a) neljännessä kuviossa b) seitsemännessä kuviossa c) kymmenennessä kuviossa? 1 1 Luvut jonossa Kuinka monta pikkuneliötä on a) neljännessä kuviossa b) seitsemännessä kuviossa c) kymmenennessä kuviossa? kuvio kuvio kuvio 10 28 55 a) Jos muodostelmaluistelujoukkue tekee 4 luistelijan

Lisätiedot

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon

Lisätiedot

derivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,.

derivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,. Matematiikka, MAA9. a) Ratkaise yhtälö tan (YOS) Kulma on välillä [, 6]. Ratkaise asteen tarkkuudella seuraavat yhtälöt: b) sin c) cos (YOs). Kulmalle [9,6 ] on voimassa sin = 8 7. Määritä cos ja tan..

Lisätiedot

5 Kertaus: Matemaattisia malleja

5 Kertaus: Matemaattisia malleja 5 Kertaus: Matemaattisia malleja 5. Kurssin keskeiset asiat. a) Muodostetaan suoran yhtälö kulmakerroin k = ja pisteen (0, 3) avulla. y ( 3) ( x 0) y 3 x y x 3 b) Muodostetaan suoran yhtälö kulmakerroin

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2

Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2 Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen

Lisätiedot

Induktio, jonot ja summat

Induktio, jonot ja summat Induktio, jonot ja summat Matemaattinen induktio on erittäin hyödyllinen todistusmenetelmä, jota sovelletaan laajasti. Sitä verrataan usein dominoefektiin eli ketjureaktioon, jossa ensimmäisen dominopalikka

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti

Lisätiedot

9 VEROTUS, TALLETUKSET JA LAINAT

9 VEROTUS, TALLETUKSET JA LAINAT 9 VEROTUS, TALLETUKSET JA LAINAT ALOITA PERUSTEISTA 370A. Kunnallisveroprosentti oli 19,5, joten 31 200 tuloista oli maksettava kunnallisveroa 0,195 31 200 = 6084. Vastaus: 6084 euroa 371A. a) Hajuveden

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio.

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio. Yo-tehtäviä Mb06 kurssista Sarja 1 k09/12. Mikä on suurin arvo, jonka lauseke x + y saa epäyhtälöiden x 0, y 0, 2x + 3y 24, 5x + 3y 30 määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit.

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. a) Kun suoran s pisteen -koordinaatti kasvaa yhdellä, pisteen y- koordinaatti kasvaa kahdella. Suoran s kulmakerroin on siis. Kun suoran t pisteen -koordinaatti kasvaa kahdella,

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen

Talousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen Luennon sisältö Prosenttilaskennan kertausta Korkolaskentaa Käsitteitä Koron lisäys kerran

Lisätiedot

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

c) 22a 21b x + a 2 3a x 1 = a,

c) 22a 21b x + a 2 3a x 1 = a, Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. 1. Lukion A ja lukion B oppilasmäärien suhde oli a/b vuoden 2017 lopussa. Vuoden 2017 aikana

Lisätiedot

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5 A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat 35, 7 ja 0.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat 35, 7 ja 0. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku.. Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat, 7 ja 0.. a) Luvun vastaluku on, koska + ( ) 0. b) Luvun 7 vastaluku on 7, koska 7 + ( 7) 0. c) Luvun 0 vastaluku on

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2 Kotitehtäviä 5. Ratkaisuehdotuksia. a) Jono a,..., a 500 on aritmeettinen, a = 5 ja erotusvakio d = 4. Laske jäsenet a, a 8 ja a 00 sekä koko jonon summa. b) Jono b,..., b 0 on geometrinen, b = ja suhdeluku

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

4 EKSPONENTIAALINEN MALLI

4 EKSPONENTIAALINEN MALLI EKSPONENTIAALINEN MALLI POHDITTAVAA 1. promillea on tuhannesosaa eli 1000 0,00. Maahan sitoutuneen hiilen määrä on 0,00 1500 biljoonaa tonnia = 6 biljoonaa tonnia. Neljä promillea maaperään sitoutuneesta

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

3 Eksponentiaalinen malli

3 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =?

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =? Tehtävät 1 1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? 3. 16 125 250 =? 4. Kirjoita lausekkeeseen sulut siten, että tulos on nolla. 2 + 2 2 2 : 2 + 2 2 2

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

1 PERUSLASKUTAITOJA. ALOITA PERUSTEISTA 1A. a) = 4 15 = 11. Vastaus: 11. b) 2 ( 6 + 5) = 2 ( 1) = 2. Vastaus: 2. c)

1 PERUSLASKUTAITOJA. ALOITA PERUSTEISTA 1A. a) = 4 15 = 11. Vastaus: 11. b) 2 ( 6 + 5) = 2 ( 1) = 2. Vastaus: 2. c) Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.7.08 PERUSLASKUTAITOJA ALOITA PERUSTEISTA A. a) 5 = 5 = Vastaus: b) ( 6 + 5) = ( ) = Vastaus: c) 0 0 6 Vastaus: 6 d) 8 + 8 : = 8

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ?

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? Polynomiyhtälön ratkaiseminen Eri lajin yhtälöiden ratkaisutavat poikkeavat toisistaan. Siksi on tärkeää tunnistaa yhtälötyyppi. Polynomiyhtälö on yhtälö, joka voidaan

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +

Lisätiedot

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =

Lisätiedot

1.1. RATIONAALILUVUN NELIÖ

1.1. RATIONAALILUVUN NELIÖ 1.1. RATIONAALILUVUN NELIÖ 1. Käyttäen tietoa a = a a laske: a) 8 b) ) c) 0, d) ) 1 e) 1) f) +,) g) 7 h) ) i). Laske näiden lukujen neliöt: 17 9 1,6 1. Laske: ) a) ) b). Laske a, kun 5) 1 ) 11 11 81. j)

Lisätiedot

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 15 Päivitetty 19..6 31 Tapa 1 Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä sijoituskeinoa. x y+ z = x y + 3z = 3x 4y+ z = Ratkaistaan yhtälöstä (1) muuttuja

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

Potenssi eli potenssiin korotus on laskutoimitus, jossa luku kerrotaan itsellään useita kertoja. Esimerkiksi 5 4 = Yleisesti.

Potenssi eli potenssiin korotus on laskutoimitus, jossa luku kerrotaan itsellään useita kertoja. Esimerkiksi 5 4 = Yleisesti. x 3 = x x x Potenssi eli potenssiin korotus on laskutoimitus, jossa luku kerrotaan itsellään useita kertoja. Esimerkiksi 4 = Yleisesti a n = a a a n kappaletta a n eksponentti kuvaa tuloa, jossa a kerrotaan

Lisätiedot

3. PROSENTTI JA GEOMETRINEN LUKUJONO

3. PROSENTTI JA GEOMETRINEN LUKUJONO . PROSENTTI JA GEOMETRINEN LUKUJONO. Prosenttikerroin LUO PERUSTA 0. a) 56 % = 0,56 b) 0, % = 0,00 c),9 % = 0,09 d) 0 % =, Vastaus: a) 0,56 b) 0,00 c) 0,09 d), 0. A: 00 % + 5 % = 05 % =,05 = 05. Vaihtoehdot

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa.

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. MAA 12 kertaus Funktion kuvaaja n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. Funktion nollakohta on piste, jossa f () = 0, eli kuvaaja leikkaa -akselin. Kuvaajan avulla

Lisätiedot

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,

Lisätiedot

diskonttaus ja summamerkintä, L6

diskonttaus ja summamerkintä, L6 diskonttaus ja summamerkintä, L6 1 Edellä aina laskettiin kasvanut pääoma alkupääoman ja koron perusteella. Seuraavaksi pohdimme käänteistä ongelmaa: Miten suuri tulee alkupääoman K 0 olla, jotta n jakson

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,

Lisätiedot

1. a) Laske lukujen 1, 1 ja keskiarvo. arvo. b) Laske lausekkeen. c) Laske integraalin ( x xdx ) arvo. MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

1. a) Laske lukujen 1, 1 ja keskiarvo. arvo. b) Laske lausekkeen. c) Laske integraalin ( x xdx ) arvo. MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 13..015 MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot