117 = 27 + (11 1) d = 90 :10. Yhdeksäs termi a. Vastaus: Yhdeksäs jäsen on 99.

Transkriptio

1 a = a+ ( ) d a = 7, a = 7, = 7 = 7 + ( ) d 0d = 90 :0 d = 9 Yhdeksäs termi a 9 = 7 + (9 ) 9 = 99 Vastaus: Yhdeksäs jäse o Aritmeettisesta lukujoosta tiedetää, että S =. Mikä o lukujoo 7. ja :s jäse? S = a 7 = S 7 S 6 = 7 7 (6 6) = 0 a = S S = [( ) ( )] = Vastaus: 0 ja Laudatur 9 MAA9 ratkaisut kertausharjoituksii. Suuattu kulma. Kulma alkukylki o aia positiivisella x-akselilla. a) Kulma α = 80 Kulma kiertosuuta o vastapäivää. Kulma loppukylki sijaitsee egatiivisella x-akselilla, jote loppukylki leikkaa yksikköympyrä pisteessä (,0). b) Kulma α = 60 = Kulma kiertosuuta o vastapäivää. Kulma loppukylki sijaitsee egatiivisella y-akselilla, jote loppukylki leikkaa yksikköympyrä pisteessä (0, ). c) Kulma α = 50 = Kulma kiertosuuta o myötäpäivää. Kulma loppukylki sijaitsee egatiivisella y-akselilla, jote loppukylki leikkaa yksikköympyrä pisteessä (0, ). d) Kulma α = 50 = Kulma kiertosuuta o myötäpäivää. Kulma loppukylki sijaitsee egatiivisella y-akselilla, jote loppukylki leikkaa yksikköympyrä pisteessä (0, ). Vastaus: Loppukylki leikkaa yksikköympyrä pisteessä a) (,0) b) (0, ) c) (0, ) d) (0, ). 87

2 5. Astee ja radiaai välie yhteys 80 = Muuetaa asteet radiaaeiksi. a) 80 = :8 0 = 8 b) 80 = :80 = = 5 8 c) 80 = :80 = ( 0) 80 0 = 8 d) 80 = :80 = ( 90) = 8 e) 80 = :80 = ( 765) = Vastaus: Kulma radiaaeia o a) 8 b) 5 8 c) d) 8 9 e) Astee ja radiaai välie yhteys = 80 Muuetaa radiaait asteiksi. a) = = 080 b) = 80 = 5 88

3 c) = 80 :6 =,5 6 d) = 80 9 = 80 9 e) = = 05 Vastaus: Kulma asteia o a) 080 b) 5 c),5 d) 80 e) a) Eräs kulma, joka loppukylki o egatiivisella x-akselilla, o 80. Kulmat toistuvat 60 välei. Kaikki kulmat asteia , Kaikki kulmat radiaaeia +, b) Eräs kulma, joka loppukylki puolittaa positiiviste koordiaattiakseleide välise kulma, o 5. Kulmat toistuvat 60 välei. Kaikki kulmat asteia , Kaikki kulmat radiaaeia +, Vastaus: Kaikki kulmat saadaa lausekkeesta a) tai +, b) tai +,. 8. Suora yhtälö x + y = 7 y = x + 7 : 7 y = x+ Suora kulmakerroi k = Suora suutakulma ta α = k taα = α 8, Vastaus: Suora suutakulma o -8,. 89

4 9. Suora yhtälö y = x + Suora kulmakerroi k = Suora suutakulma ta α = k ta α = α = 6,... Suora yhtälö y = x Suora kulmakerroi k = Suora suutakulma ta α = k ta α = α = 7,56... Suorie välie kulma α = α α = 6,... ( 7,56... ) 8, Vastaus: Suorie välie kulma o 8,. 0. Auto opeus 80 km/h km 00 Kuljettu matka sekuissa 80 h = km = m h Rekaa kehä p = d = 0 = 0 0,05 m = 0,508 m Kierroksia sekuissa 9 = 0,508, rad rad Rekaa pyörimisopeus : s 87, 57 =, 57 s s Vastaus: Rekaa pyörimisopeus o 87 rad/s. 90

5 .Trigoometriset fuktiot. Piirretää kulmat yksikköympyrää. 9

6 a) si 0 = 0, b) cos 50 = 0,6 c) ta 65 =, d) cot 70 = 0,6 Vastaus: Trigoometriste fuktioide arvot ovat a) 0, b) 0,6 c), d) 0,6.. Kulma sii si α = 5 Lasketaa kulma kosii si α + cos α = si α = 5 9

7 + α = 5 cos α = 9 cos 5 6 cos α = 5 cosα = ± cosα > 0, ku 0 < α < 90 5 cosα = 5 siα Kulma tagetti taα = = 5 = cosα 5 Kulma kotagetti cotα = = : = taα Vastaus: cos α = 5, ta α = ja cot α =. Kulma sii si α = Lasketaa kulma kosii + α = 5 cos 5 si α + cos α = si α = 576 cos α = cos α = 65 7 cosα =± cosα < 0, ku 80 < α < cosα = 5 Kaksikertaise kulma kosii cos α = cos 7 57 α = = Vastaus: Kysytyt arvot ovat cos α = ja cos α =

8 . Kolmio hypoteuusa x = + 0 x = 8, x > 0 x = 9 Kolmiosta ja koska kulma 0 < α < 90 saadaa si α = 0 9 cos α = 9 Kaksikertaise kulma sii si α = si α cos α = Vastaus: Kysytyt arvot ovat cos α = ja si α = = Kolmio hypoteuusa x = x = 89, x > 0 x = 7 9

9 Kolmiosta ja koska kulma 70 < α < 60 saadaa si α = 5 7 cos α = 8 7 Kysytyt arvot si α = si α cos α = = cos α = cos α si α = = taα ta α = = = : = = ta α Vastaus: Kysytyt arvot ovat si α = 0, cos α = 89 6 ja ta α = Muotoillaa lausekkeita peruskaavoja käyttäe. cos α si α a) = = = ta α, ku α 80 cos α cos α cos α b) si αcos α cos αsi α si αcot α + cos α ta α = cos α si α, ku α 90 si α + cos α = + = 7. siα cosα si α + cos α taα + cot α = + = =, ku α 90 cosα siα siαcosα siαcosα 8. Muotoillaa lauseketta peruskaavoja käyttäe. 6si 5 x cos x 6cos 5 x si x = si x cos x(si x cos x) si x cos x = si x = si x(si x + cos x) (si x cos x) si x + cos x = = si x(si x cos x) cos x si x = cos x = si x( cos x) cos x si x = cos x = si x cos x si x cos x = si x = si x Koska 6si 5 x cos x 6cos 5 x si x = si x = A + Bcos x, ii A = 0 ja B =. Vastaus: Vakiot ovat A = 0 ja B =. 95

10 . Trigoometriste fuktioide kuvaajat 9. Piirretää fuktioide f(x) = si x ja g(x) = si x kuvaajat. 0. Piirretää fuktioide f(x) = ta x ja g(x) = ta x kuvaajat.. a) Fuktio si(5x +) Fuktio amplitudi A = Perusjakso 5x = :5 x = 5 Perusjakso o. 5 b) Fuktio cos( 6x) Fuktio amplitudi A = Perusjakso 6x = :6 96

11 x = Perusjakso o. c) Fuktio ta(x + ) Ei amplitudia Perusjakso x = : x = Perusjakso o. Vastaus: a) Amplitudi o A = ja perusjakso. b) Amplitudi o A = ja perusjakso 5. c) Ei amplitudia. Perusjakso o.. a) Fuktio si x si x si x Fuktio arvojoukko o y. b) Fuktio cos x cos x cos x 7 cos x Fuktio arvojoukko o 7 y. c) Fuktio si x 6 0 si x 0 si x 6 6 cos x 6 Fuktio arvojoukko o 6 y. Vastaus: Fuktio arvojoukko o a) y b) 7 y c) 6 y. 97

12 . a) Korkei kohta o m. b) Alimmillaa Ooa o metri korkeudella. Maailmapyörä halkaisija m m = 0 m Säde 0 m = 0 m c) Kyydissä oleva o alimmassa kohdassa, ku t = 0 ja seuraava kerra hä o alimmassa kohdassa, ku t = 0 s, jote yksi kierros kestää 0 sekutia. t d) f(x) = 0cos 0 Vastaus: a) Korkei kohta o m. b)säde o 0 m. c) Kierros kestää 0 s. t d) f(x) = 0cos 0 98

13 . Vastaus: a) Kaltevuus o tällä hetkellä b) Kulma o loiveemassa. c) Seuraava miimikulma saavutetaa ja maksimikulma vuode kuluttua. d) Vaihtelu jakso pituus o vuotta 5. Fuktio h( α) =,5cosα +,0, ku α o keiu kulma pystysuoraa ähde. a) Piirretää fuktio kuvaaja välillä [ 90,90 ] Vastaus: b) Keiuja o, metri korkeudessa, ku kulma o 5. c) Keiuja suuri etäisyys maapiasta o,0 m ja piei 0,5 m. 99

14 . Trigoometriset yhtälöt 6. Ratkaistaa yhtälöt piirtämällä kuvaaja. a) b) si x = 0,5 x = tai x = , cos x = 0, x = ±0 + 80, 00

15 c) ta x = x = , Vastaus: Yhtälö ratkaisu o a) x = tai x = b) x = ± c) x = ,. 7. Ratkaistaa yhtälöt. a) si x = si x = si 60 x = tai x = x = , b) cos x = cos x = cos 0 x = ±0 + 60, c) ta x = ta x ta 7,6 x = 7,6 + 80, Vastaus: Yhtälö ratkaisu o a) x = tai x = b) x = ± c) x = 7,6 + 80,. 0

16 8. Ratkaistaa yhtälöt. a) si x = si x si ( 0 ) x = : tai x = 80 ( 0 ) + 60 x = 7, x = : x = 5,5 + 90, b) cos x = cos x = cos 0 x = ± x = ± , c) ta x = ta x = ta 5 x = : x = , Vastaus: Yhtälö ratkaisu o a) x = 7, tai x = 5, b) x = ± c) x = ,. 9. Ratkaistaa yhtälöt. a) si x = si x x = x + tai x = x + x = 5x = + :5 x = +, 5 5 x x b) cos = cos + x x = ± + + x x = + + tai x x = + + x x 0 = + = +, Ei ratkaisua. x = +, 0

17 c) ta x = ta 6x x = 6x + 5x = :( 5) x =, 5 Vastaus: Yhtälö ratkaisu o a) x = tai x = + b) x = c) x =, Ratkaistaa yhtälöt. a) si x = si 0x si 0x = si ( 0x) si x = si ( 0x) x = 0x + tai x = + 0x + x = : 9x = + :( 9) x = x = +, 9 9 b) si x = cos(x ) si x = cos x cos x = cos( x ) x = ± ( x ) + x = x + tai x = ( x ) + x = + :( ) x = x+ + x = x = + 8 :( ) x = + x = +, 8 c) si x = cos(x + ) :( ) si x = cos(x + ) si x = si( x) si( x) = cos(x + ) si( x) = cos + x 0

18 cos + x = cos( x+ ) + x = ± ( x+ ) + + x = x+ + tai + x = ( x+ ) + x = + + x = x + x = + : x = +, Vastaus: Yhtälö ratkaisu o a) x = tai x = b) x = + tai x = + c) x = + tai x = 8 +,. Ratkaistaa yhtälöt. a) cos x = cos x cos x = cos x cos x = cos x cos x cos x = 0 Sijoitetaa cos x = t t t = 0 ( ) ± ( ) ( ) t = t = = =,66 Ei käy t = = = 0,66 Sijoitetaa t = cos x cos x = cos x cos,95 x = ±,95 +, b) si x = cos x : cos x ta x = ta x = ta 0

19 x = + : x = +, c) si x + cos x = 0 si x = si x cos x si x cos x + cos x = 0 cos x(si x + ) = 0 cos x = 0 tai si x + = 0 cos x = cos tai si x = : x = ± + si x = si x = si 6 x = + tai x = x = +, 6 Vastaus: Yhtälö ratkaisu o a) x = ±,95 + b) x = + c) x = ± + tai x = + tai x = 7 +, 6 6. Ratkaistaa yhtälö. si x = si x si x+ si x = 0 Sijoitetaa si x = t t + t = 0 ta x = cos x si x = cos x cos x cos x si x = cos x cos x = si x ( ) ± t = + 5 t = 0,68 5 t =,68 Ei käy Sijoitetaa t = si x si x =

20 si x = si 8, x = 8, + 60 Kovera kulma o,8 Vastaus: Kovera kulma o,8.. Ratkaistaa yhtälöt. a) cot x = = ta x ta x = ta x ta, x =,+, tai x = 80 8, + 60 x =,8 + 60, b) ta x + cot x = si x) cos x) si x cos x + = cos x si x si x+ cos x = si x cos x = si x si xcosx (cos x+ si x) = si x+ cos x = si x = si x six = : si x = si x si 0,7 x = 0,7 + : tai x = 0,7 + Vastaus: Yhtälö ratkaisu o a) x =,+ b) x = 0,6 + tai x =,+,. x 0,6 + x =,+ : x,+, x. Fuktio f(x) = si ollakohdissaa. Fuktio ollakohdat x si = 0 x si = : o jatkuva, jote se voi vaihtaa merkkisä aioastaa 06

21 x si = x si = si 6 x x = + tai = x 7 x = + = x = + 8 x = + 8, Merkkikaavio x Koska fuktio f(x) = si o jaksollie, perusjaksoa 8 riittää tutkia väliä 0 x 8. Välille 0 x 8 kuuluvat ollakohdat ovat x = ja x = x f(x) = si f() = si, > 0 6 f(6) = si = < 0 7 f( 7 ) = si 6 0,7 > 0 6 Väli alaraja 8 = f(x) > 0, ku + 8 < x < + 8, missä. x Vastaus: Fuktio f(x) = si saa positiivisia arvoja, ku + 8 < x < + 8, missä. 07

22 5. Surmaajaja korkeutta maapiasta metreiä h(t) = 6 5si t +, ku t o aika sekuteia. a) Ajaja korkeus ajahetkellä t = s o h() = 6 5si t + = = 6 5si + = b) Ajaja suuri etäisyys maapiasta saadaa, ku si t + =. Tällöi korkeus h = 6 5 ( ) =. Ajaja piei etäisyys maapiasta saadaa, ku si t + =. Tällöi korkeus h = 6 5 =. d) Ajaja,0 metri korkeudella maapiasta h(t) =,0 6 5si t + = 5si t + = :5 si t + = 0,6 si t + si 0,65 t + = 0,65 + tai t + = 0,65 + t 0,97 + : t 0,97 + : t 0,0 + t 0,0 +, Ajaja o,0 metri korkeudella ajahetkiä t = 0,0 + ja t = 0,0 +,. Vastaus: a) Ajaja korkeus o m. b) Ajaja suuri etäisyys maapiasta o m ja piei,0 m. c) Ajaja o,0 metri korkeudella ajahetkiä t = 0,0 + ja t = 0,0 +,. 6. Vaihtovirra suuruus oudattaa siifuktioa f(x) = Asi(kx) Amplitudi A = 60 ma Jakso pituus 0 ms kx = x = 0 0k = :0 k = 0, Fuktio f(x) = 60si(0,x) Virra suuruus o 0 ma f(x) = 0 60si(0,x) = 0 :60 si(0,x) = 08

23 si(0,x) si 0,98 0,x = 0,98 + :(0,) tai 0,x = 0,98 + x 0, ,x,808 + :(0,) x,6 + 0, Vastaus: Virra suuruus o 0 ma ajahetkillä x = 0,5 + 0 ja x =,6 + 0,. 7. Peltomyyrie (Microtus agrestis) määrä oudattaa siifuktiota f(x) = Asi(kx) Amplitudi A = 00: = 00 Jakso pituus vuotta kx = x = k = : k = Fuktio f(x) = si x Fuktio kuvaaja Myyrie määrä 00 myyrää/ha f(x) = si x = 00 00si x = 50 :00 si x = si x = si 6 09

24 x x = + : tai = x = + x 5 = + : 6 x = +, Vastaus: Fuktio o si x. Myyrie määrä 00 myyrää/ha ajahetkillä x = + ja x = +,. 5. Trigoometriste fuktioide derivaatat 8. a) Fuktio f(x) = si x cos x Derivaatta f (x) = cos x ( si x) = cos x + si x b) Fuktio f(x) = si x cosx Derivaatta f (x) = cos x cosx+ si x ( si x) = cos x cosx si xsi x c) Fuktio f(x) = (cos x + si x) = cos x + cos x si x + si x = + si x Derivaatta f (x) = cos x Vastaus: Derivaatta o a) f (x) = cos x + si x b) f (x) = cos x cosx si xsi x c) f (x) = cos x. 9. Fuktio f(x) = si x si x x + Derivaatta f (x) = cos x si x cos x si x = si x si x Vastaus: Derivaatta o a) f (x) = si x si x. 50. a) Fuktio f(x) = si x x cos x (cos x ) cos x (si x x)( si x) Derivaatta f (x) = cos x cos x cos x+ si x xsi x cos x xsi x = = cos x cos x x cos b) Fuktio f(x) = si x + x x si (si x + ) cos cosx Derivaatta f (x) = (si x + ) 0

25 = x x x si si x si cos cosx (si x + ) cosx xsix Vastaus: Derivaatta o a) f (x) = cos x x x x si si x si cos cosx b) f (x) =. (si x + ) 5. a) Fuktio f(x) = ta x Derivaatta f (x) = = cos x cos x Derivaatta toisi f (x) = ( + ta x) = + ta x b) Fuktio f(x) = ta x ta x tax Derivaatta f (x) = tax = cos x cos x cos x Derivaatta toisi f (x) = ( + ta x) ta x ( + ta x) = ta x + ta x ta x = ta x ta x + ta x Vastaus: Derivaatta o a) f (x) = cos x = + ta x b) f (x) = ta x ta tax x + ta x = cos x 5. a) Fuktio f(x) = ta x cot x = Derivaatta f (x) = + ta x a) Fuktio f(x) = cot x ta x Derivaatta f (x) = ( cot x) cot x ta x + cot x ( + ta x) = cot x ta x cot x ta x + cot x + cot x ta x = cot x + cot x + = cot x Vastaus: Derivaatta o a) f (x) = + ta x b) f (x) = cot x. 5. Fuktio f(x) = si x + si x+ x Derivaatta f (x) = si x + si x+ x = cos x+ cos x+ = cos x+ cos x+ = cos x + cos x + = cos x+ cos x Derivaata ollakohdat cos x+ cosx = 0 Sijoitetaa cos x = t t + t = 0

26 t(t + ) = 0 t = 0 tai t + = 0 t = Sijoitetaa takaisi t = cos x t = t = 0 cos x = 0 cos x = cos x = cos cos x = cos x =± + x = ± + Välille x 0 ollakohdista kuuluvat ja Vastaus: Nollakohdat ovat ja. 5. Fuktio f(x) = cos x Suuri ja piei arvo 0 cos x cos x cos x Vastaus: Suuri arvo o ja piei Fuktio f(x) = sx + cos x Derivaatta f (x) = s si x Fuktio o aidosti väheevä, ku f (x) 0. Koska si x, ii f (x) 0, ku s. Vastaus: Fuktio o aidosti väheevä, ku s. 56. Fuktio f(x) = si x Derivaatta f (x) = cos x Kuvaaja leikkaa y-akseli, ku x = 0. Derivaata arvo f (0) = cos 0 = Derivaata kuvaaja ja x-akseli suutaise suora välie kulma α kohdassa x = 0.

27 ta α = f '(0) taα = α =, 5... Kuvaaja ja y-akseli välie kulma 90 α 65,76 Vastaus: Fuktio kuvaaja leikkaa y-akseli 65,76 kulmassa. Lukujoot 57. a = Rekursiivie säätö a+ = a a = a = = a = = a = = a = 5 = 8 Vastaus: a =, a =, a = ja a 5 = a) Lukujoo,,,,... 5 Lukujoo aalyyttie säätö a = a = =, a = =, a = =, a = = b) Lukujoo 0,,,,,... = 0,,,,, Lukujoo aalyyttie säätö a = +

28 a = =, a 00 = = 0, a = =, a = = Vastaus: a) a =, a =, a =, a =, a = b) a = ja,,, a) a rekursiivie säätö aalyyttie säätö 5 5 = + 5 = = 5+ 7 = a a + +( ) =+ b) a rekursiivie säätö aalyyttie säätö,,, 0,77 0,77 =, 0,7 0,77 =, 0,7 0,59 0,59 = 0,77 0,7 0,59 =, 0,7 0,7... a a 0,7, 0,7 Vastaus: a) rekursiivie säätö a = ja a = a + ja, aalyyttie säätö a = + b) rekursiivie säätö a = ja a = a 0,7 ja, aalyyttie säätö a =, 0, a),,, a 6 6 : a rekursiivie säätö aalyyttie säätö 6 = 6 = = ( ) 6 = 6 6 = ( ) a ( )

29 Rekursiivie säätö: Lukujoo termit saadaa kertomalla edellie termi luvulla. a = a = a, ku Aalyyttie säätö: a = ( ), b) a rekursiivie säätö aalyyttie säätö = + + = = = a Ei säätöä + ( ) = + ( ) Ei rekursiivista säätöä, aalyyttie säätö a =, Vastaus: a) Rekursiivie säätö a =, a = a, Aalyyttie säätö a = ( ), b) Ei rekursiivista säätöä, aalyyttie säätö a =, 6. Lukujoo :s jäse a) a = + a = + 5

30 89 + = 89 = 89 = = ( ) ( ) kataluvut samat, ekspoetit samat b) = = Koska imittäjä ei ole kakkose potessi ( = 0975 ), ei luku kuulu jooo. Vastaus: a). termi b) ei kuulu Lukujoo :s jäse a = + 7, a) Lasketaa kahde perättäise termi erotus ( + ) a+ a = = = = > 0, ku koska osoittaja > 0 ja imittäjä ( + 7)( + 8) > 0, ku. Tällöi lukujoo o kasvava. b) Koska joo o kasvava, o joo esimmäie jäse piei eli a = = + 7 c) Jäsete eroavuus luvusta 6

31 < < < > , ku 6 < < > 6 0 > Jäseet eroavat luvusta vähemmä kui 0 6 alkae : arvosta Vastaus:b) a = c) Alkae : arvosta ( ) 6. Lukujoo :s jäse a =, Jäsete eroavuus luvusta + ( ) 9 a < 0 ) 9 < 0 ( ) 9 < 0 > 0 aia 9 < 0 :0 9 > Jäseet eroavat luvusta vähemmä kui 0 9 alkae : arvosta Vastaus: b) Piei jäse o. c) Alkae : arvosta Aritmeettie ja geometrie lukujoo 6. a) a00 = a + (00 ) d = = 505 b) a00 = a + (00 ) d = = 95 c) a00 = a + (00 ) d = ( 5) = 50 Vastaus: a) 505 b) 95 c) 50 7

32 65. a) a 0 = a 5 + 5d = d 5d = d = 55 a 0 = a + 9d = a + 9 ( 55) a = a = a = ( ) ( 55) = a = b) = = 58 8 = 999 c) = = Luku o ii suuri, että laskime suorituskyky ei riitä tarkkoihi arvoihi, jote jakolasku o suoritettava jakokulmassa Jote 8

33 06579 = 55 = 678 eli luku o 678. jäse ja kuuluu jooo Vastaus: a) a = 77 88, a = b) 999. jäse c) kuuluu. 66. a5 = + 5 d + 5 d = 0 5d = 0 d = 9,5 a 5 = 0 a 5 = 0 ( 9,5) = 9,5 a 50 = 0 + 9,5 = 59 a 9 = 0 + 9,5 = 78,5 Vastaus: 78,5; 59; 9,5 ja a) a = a q 5 a5 = a q = 0 = 560 b) a = a q 5 a5 = a q = () = 6 c) a F = H G I K J 6 a5 = 6 =, Vastaus: a) 560 b) 6 c) 68., q = = 0,6,0 Halkaisijat,0 ;,;, 0,6 = 0,7; 0,7 0,6 = 0,; 0, 0,6 = 0,59 ja 0,59 0,6 = 0,555 9

34 Yhteistilavuus, 0, 0, 7 0, 0, 59 0,555 [( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ] 5, Vastaus: 5, dm 69. a + a + d + a + d = a = 8 d geometrisessa joossa a + d a+ d = a = 8 d a a + d 8 d + d 8 d + d = 8 d 8 d + d 6 8+ d = d 7 7 d 6 d + d 0 = 0 ( 0) ± d = d = 5 tai d = a = tai a = a = + ( ) ( 5) = 8 5 tai a = + ( ) = Vastaus: a = 8 5 tai a = 70. a) a = a 5 = Aritmeettise lukujoo viides termi ( ) + d = d = : d = Lasketaa kysytyt termit a5 = a + 5 d. Ratkaistaa d. 0

35 a = + = a = + = a = + = a0 = + 9 = b) a = a5 = Geometrise lukujoo viides termi q = : q = q =± 5 5 a = a q = a q. Ratkaistaa q. Lasketaa kysytyt termit, ku q =± a =± =± =± 6 a a a =± =± =± =± =± 0 =± =± =± =± =± =± =± =± =± Vastaus: a) a =, a =, a =, a0 = b) a =± 6, a =±, a =±, a0 =± 9 5 =± =± =±

36 7. ) Aritmeettisessa lukujoossa peräkkäiste termie erotus o vakio Ku valitaa ikäluokkie väliksi 0 vuotta, saadaa ikäluokat ) Geometrisessa lukujoossa peräkkäiste termie suhde q o vakio. a = a q a = 8, a =, = = q q = 8 q = Luokkie alarajat a = aq a = a = = a = = 9 a = = 7 a 5 = 8 Vastaus: ) ) Aritmeettie summa 7. a) d = ( + ) = = 800 = 800 =

37 b) d = ( + ) + 7 ( + 7 ) = ( + 7 ) = = 6 = 0 c) 7( + ) 7 7 d = 0 ( 0 ) = ( 0 ) 5 = = 50 = Vastaus: a) 800 b) 6 c) a 7 = a + d = 8 + d d = a = a + d 8 = a + a = 5 a 99 = 5 + (99 ) = S99 = 99 = 7 77 Vastaus: 5 ja Nollakohdat m 6 + m m 6 m + m 9 8 0

38 m + m 9 8 = 0 ( 9 8) ± m = ± 9 m = + 9 m = = 96 9 m = = 96 Summa kasvaa ku siihe lisätää positiivisia yhteelaskettavia. Lisäksi m 0, jote luku m 96. Vastaus: Suuri luku o Aritmeettise lukujoo : esimmäise termi summa Lukujoo :s termi ( ) a = a + d Peräkkäiste termie erotus d = S a = + a a 999 = + ( 999 ) = = S999 = 999 = a 888 = + ( 888 ) = S888 = 888 = 789 S = =, S Suurempi 6,5... % 00 % 6,5 % Vastaus: 6,5 % suurempi 76. S = S = = S = = S = = 9... a = S = a = S S = =

39 d = = a = a + ( )d = + ( ) = Vastaus: a =, 77. Pylväitä = 0 kappaletta. 50 Urakoitsija joutuu hakemaa 0 67 = kuormaa. Kuljettu matka s = ( + 0,) + ( + 0,5) + ( + 0,) ( + 0) = (,+, 5 +, ),+ = 67 = 95 Vastaus: Urakoitsija joutuu kulkemaa 95 kilometri matka. 78. Halkaisijoita vastaavat säteet ovat,5 cm ja 6,0 cm. Kerroste määrä o 6,0, 5 = 75 0,0 Sisimmässä kerroksessa o paperia,5 cm. kerroksessa " ",5 cm. " " ",5 cm. " " ",56 cm... Viimeisessä kerroksessa " " cm Paperi määrä muodostaa aritmeettise lukujoo, jossa erotusluku d =,5,5 = (,5,5) = 0,0 Joo termie määrä o sama kui paperikerroste määrä 75. Paperi määrä saadaa lukujoo termie summaa: a + a,5 + s75 = = 75 cm cm = 97 m Vastaus: Rullassa o 97 m paperia. 5

40 79. Kävelymatkat muodostavat aritmeettise lukujoo. Aritmeettise lukujoo esimmäie termi a =50 Kahde peräkkäise termi erotus d = 00 Yhteelaskettavie määrä = 0 Viimeise päivä kävely matka a0 = a + ( ) d = = 950 a + a Summa S = = 0 m = 5000 m = 5 km Vastaus: Toipilas käveli 5 km. Geometrie summa 80. a) + ( ) q = = ( ) 5 5 ( ) ( ) ( ) = = 6 = b) + ( ) q = = ( ) 7 7 ( ) ( ) = ( ) = 9 ( ) = c) q = = 8 9 ( ) S 9 = 8 = 5 Vastaus: a) 6 b) 9 c) 5 8. S =

41 6 [ ( ) ] 67 = [ ( ) ] = 67 ( ) = ( ) = ( ) = ( ) sama kataluku, ekspoetit yhtä suuret = 6 Vastaus: 6 8. Geometrise lukujoo. jäse o 6 ja 8. jäse o Laske S 8. 7 a = a q = 6 q q = 7 q = ( ) S8 = = 070 Vastaus: q = = 5 k 5 > = k 5 ( ) > ( ) k 5 ( ) < k < k < k > 0000 l() k l > l 0000 k l > l 0000 : l > 0 Vastaus: l 0000 k > =,7... l 7

42 8. a ( q ) 8( q) = 8 eli a = q q 6 a ( q ) = 756 q 8( q) 6 ( q ) q = 756 q q q 6 + = q Sijoitus t = q 6 = 9 q = 9 9q 6 9q 8 0 t 9t = 9 9 ( ) ( 8) ± t = () t = tai t = 8 Sijoitus t = q q = q = ei käy q = 8 q = 8( ) a = = 0 S ( ) = = 565 Vastaus:

43 S a) Taulukoidaa särmä pituuksia. Kuutio järjestysumero Särmä pituus (m) : = = b) Kuutioide särmät muodostavat geometrise joo,,,..., Peräkkäiste termie suhde q = Kymmee esimmäise kuutio pio korkeus o geometrie summa = = = = = = =, Taulukoidaa pio korkeudet. Kuutioide määrä Pio korkeus (m) S =, 9990,9995,9998,9999 Taulukosta ähdää, että pio korkeus äyttää lähestyvä arvoa m. F HG I K J Vastaus: a) Pituudet ovat metreiä,, ja. b) Pio o,998 m korkea ja pio korkeus äyttää lähestyvä arvoa m, ku kuutioide määrä kasvaa rajatta. 9

44 86. Kumpaaki vuotea talletus tapahtuu kuukausittai, jote vuode aikaa kyseessä o yksikertaie korko. Vuode aikaa kertyyt pääoma o aia sama. Lasketaa vuotuie pääoma. r = kit k = 5, i = 0,0, t =,,..., a + a r = 5 0, ,0 = 5 0,0 ( ) S = + = 5 0,0 =,8 aritmeettie summa Vuotuie pääoma 5 +,8 = 0,8 Tämä talletus o tilillä vielä vuode, jote se tulee 00 %+, % =,0-kertaiseksi. Lopullie pääoma,0 0,8 + 0,8 = 607,0 Vastaus: 607,0 87. Kyseessä o yksikertaie korko. Talletetta summa x Korkokata 0,05 Pääoma vuode lopussa 000 Vero 9 %, jote korosta saa 00 % 9 % = 7 % Pääoma K = 0, 7 kit + k j= j = 0,7x 0,05 ( ) + x aritmeettie summa + = x 0, 05 + x =,0675x Saadaa yhtälö,0675x = 000 x = 65, Vastaus: 65, 88. Tasalyheyslaia eli lyheys joka kerta sama. Aika korkokausia Lyheyskertoja 5, jote lyheys 5000 = Korko maksetaa aia jäljellä olevasta pääomasta, r = kit, i = 0,05 0

45 Erä Laiaa jäljellä ( ) Korko r = kit ( ) Lyheys ( ) Maksuerä ( ) ,05 = = = 000 0,05 = = = 000 0,05 = = = ,05 = = = ,05 = = a) Auiteetti q A= Kq K = 5 000, q = 00 % +,5 % =,05, = 5 q 5, 05 A = 5 000,05 8,96 5, b) Tasalyheyslaia kokoaiskorkoprosetti =,5 % 5000 c) Tasaerälaia kokoaiskorko 5 A K 5 8,96 = 5 000,9 % K 5000 Vastaus: a) Auiteetti 8,96 b) Kokoaiskorko,5 % c) Kokoaiskorko,9 %

46 Harjoituskoe. Kulma sii o kehäpistee y-koordiaatti, eli siα = b Kulma kosii o kehäpistee x-koordiaatti, eli cosα = a si( α ) b b ta( α ) = = = cos( α ) a a b Vastaus: siα = b, cosα = a, ta( α ) = a. a) si x = si( x+ ) x = x+ + tai x = ( x+ ) + 0 = + epätosi, x = + ei ratkaisua x = + 8

47 b) Vastaus: a) cos x cos x = 0 cos x(cos x ) = 0 cos x = 0 tai cos x = cosx = cos cosx = cos x = + x =± + x = +, b) x = + tai x = ± +, 8. Fuktio f ( x) = tax ja y-akseli leikkauspiste o ta 0 = 0, eli (0, 0). Kuvaaja ja x-akseli leikkauskulma saadaa kuvaajalle piirrety sivuaja (tageti) kulmakertoimesta, sillä suora suutakulma α o k = taα ko. kohdassa. Fuktio kohtaa x = 0 piirrety tageti kulmakerroi o kt = f '(0) Fuktio f ( x) = tax derivaatta f '( x) = cos x Kulmakerroi kt = f '(0) = = cos 0 Sivuaja suutakulma kt = taα =, eli α = 5 Näi olle fuktio f ( x) = tax leikkaa y-akseli 5 astee kulmassa. Vastaus: 5

48 . Lukujoo,,,, Lukujoo termi osoittaja alkaa luvusta ja seuraava o aia yhtä isompi. Termi imittäjä alkaa luvusta ja seuraava o aia yhtä isompi. Yleie termi a =. + Poikkeamie luvusta a < ) < a a < =, =, + = +, b b < 0 000( + ) > > > Vastaus: Yleie termi a =, : arvosta lähtie Lukujoo a =, +, sisältyy fuktioo f( x) =, x +. x x x Haetaa kohta, jossa fuktio f( x) = = saavutaa suurimma arvosa. x x x Fuktio f( x) = o jatkuva ja derivoituva, ku x +. Se suuri arvo sijaitsee x x joko derivaata ollakohdassa tai kohdassa, jossa derivaatta ei ole määritelty. x ( x ) x x + x Derivaattafuktio f '( x) = = o määritelty, ku x 6 +. ( x ) x

49 Derivaata ollakohdat x + x x 6 = 0 x + x = 0 x ( x+ ) = 0 x = 0 tai x+ = 0 x = 0 ei käy, x + x = Kulkukaavio x + x f '( x) = 6 x + f '() = = > f '() = = 0, 065 < 0 6 Fuktio f( x) = suuri arvo sijaitsee aioassa maksimikohdassa x x x =. Koska lukujoo sisältyy fuktioo, se suuri termi saavutetaa, ku = tai =. a = a = = 0 a = = = 8 8 Vastaus: Suuri jäse o 8 5

50 6. a) Esimmäie talletus o tilillä kuukautta, toie, kolmas 0 ja ii edellee. Alle korkokaude talletus, jote yksikertaie korko. r = kit k = 0, i = 0,0, t =,,..., r = 0 0, , ,0 a + a = 0 0,0 ( ) S = aritmeettie summa + r = 0 0,0 =,95 Pääoma o 0 +,95 =,95 b) Esimmäise vuode pääoma o tilillä vielä eljä vuotta, jote kyseessä korkoa korolle. Lopullie pääoma t K = kq k =,95, q = 00 % + % =,0, tg = K =,95,0 7,6 Vastaus: a),95 b) 7,6 7. Ruokapussi p p Alussa päivittäie aos keskimääri 0 Kulutus tuli kasvoi 5 % joka päivä, eli tuli 00 % + 5 % =,05-kertaiseksi joka päivä. Uudella kulutuksella ruokapussi kestää x päivää p p p x p q +, 05 +, , 05 = p S = a q Vastaus: 7 päivää geometrie summa x+ p,05 p = p : 0, 05 0(, 05) x+,05 = 0,5 x+, 05 =, 5 lg() x+ lg, 05 = lg, 5 ( x + )lg,05 = lg,5 lg,5 x = lg, 05 x = 7,

51 8. O osoitettava, että cos x+ x >, ku x 0 Tarkastellaa fuktiota f( x) = cosx+ x. Fuktio o jatkuva ja derivoituva, ku x. Derivaatta f '( x) = si x+ x. Koska derivaata kaikkia ollakohtia o vaikea löytää, tarkastellaa derivaattafuktio kulkua. Merkitää derivaattafuktiota g( x) = f '( x) = six+ x. Fuktio g( x ) derivaatta g '( x) = cos x+. Koska cosx aia, ii g'( x) 0 ja yhtä suuruus o voimassa vai yksittäisissä pisteissä. Näi olle fuktio g( x) = f '( x) = six+ x o aidosti kasvava, ku x. Koska derivaattafuktio f '( x) = si x+ x o aidosti kasvava, ii sillä o korkeitaa yksi ollakohta. Huomataa, että f '(0) = si = 0, jote aioa ollakohta o x = 0. Koska derivaattafuktio o aidosti kasvava ja jatkuva, ii merkit + Merkkikaavio Fuktio f( x) = cosx+ x piei arvo sijaitsee aioassa miimikohdassa x = 0. Koska oletettii, että x 0, ii tätä arvoa fuktio ei koskaa saavuta. Lasketaa fuktio arvo, ku f (0) = cos0 + 0 = = 0. Näi olle f( x ) > 0 aia, ku x 0, jote cos x+ x > 0 eli cos x+ x >, ku x 0. 7

52 Harjoituskoe. a) Lukujoo, 5, 9, Yleie termi a =, =,,, b) Lukujoo,,,, ( ) Yleie termi a =, =,,, c) Lukujoo a a + Lukujoo eljä esimmäistä jäsetä a = a = a + = + = a = a + = + = 5 a = a + = 5+,88 eljäs jäse ja se likiarvo eljä desimaali tarkkuudella. + ( ) Vastaus: Yleie termi o a) a = b) a =, =,,, c) Lukujoo. jäse o 5 +, 88.. Lukujoo,,,, 7 0 Yleie termi a Lukujoo raja-arvo. =, =,,,. Poikkeama raja-arvosta vähemmä kui 0,000 a < 0, 000 ) ) < 0, 000 ( ) ( ) 9 6 < 0, 000 < 0, > 0 8

53 < 0, 000 (9 6) > ,000 (9 6) > : 0, > > 0006 :9 >,88... : arvosta lähtie lukujoo jäseet poikkeavat raja-arvostaa vähemmä kui 0,000. Vastaus: Yleie termi o a =, =,,,. : arvosta lähtie lukujoo jäseet poikkeavat raja-arvostaa vähemmä kui 0,000.. Lukujoo a = ja a + = a. Lukujoo lauseke aalyyttisessä muodossa a = a = a = ( ) = a = ( ) = a 5 = ( ) = a =... a ( q ) = ( ) S =, a =, q = q ( ) = = + = + = + ( = + ) Geometrie summa Vastaus: Lukujoo yleie termi a = ( + ), =,,,. 9

54 . Talletukse k määrä aja t kuluttua o Korkotekijä q =,05 t K = kq Pääoma vuode lopussa. talletus k k, 05. talletus k k, 05. talletus k k, 05. talletus k k,05 Talletuste pääoma yhteesä o 5 000, jote k + k + k + k =, 05, 05, 05, q S = a, a =, 05 k (, 05 +, 05 +, 05 +, 05) = q q =, 05, =, 05, 05 k, 05 = :, 05, 05, , 05 k =, 05, 05 k 56,00 Vastaus: Kertatalletukse suuruus o 56, Sii ja kosii välie yhteys si α + cos 0 α = siα = cos α = 9 cos α = 8 cosα =± 90 < α < 80 9 cosα = 9 0 siα Tagetti ta α = = 9 = : = = cosα Vastaus: Kysytyt arvot ovat cos α =, ta α =. 9 0

55 6. Ratkaistaa yhtälöt. a) si x = : si x = si x = si 6 x = 6 + : tai x = 6 + x = + 8 x = 5 + : 6 x = 5 +, 8 b) 5 cos x si x si x cos ( x ) cos + = = = x 6 5 cos x+ = cos x x+ = x+ tai x+ = x x = + : = + 6 x = +, Ei ratkaisua 6 5 Vastaus: Yhtälö ratkaisu o a) x = + tai x = b) x = +, 6 7. Liikettä kuvaavat yhtälöt x() t = 5 0sit ja yt ( ) = 5 + 0si(t+ 8) Ku y = si(t + 8) = 0 0si(t + 8) = 5 : si(t + 8) = si(t + 8) = si 6 t 8 = + tai t 8 = + 6 6

56 7 t = 8 + : t = 8+ + : t = + t = Paikka x-akselilla, ku t = xt ( ) = 5 0si + = 5 0si 8 + 5, Paikka x-akselilla, ku t = xt ( ) = 5 0si + + = 5 0si 8 + +,8 8 6 Vastaus: Paikka o joko 5,70 tai,8. ( t ) 8. Lämpötilafuktio Tt () = 7 cos ( t ) Vuorokaude suuri lämpötila saadaa, ku cos Lämpötila o tällöi 7 ( ) = 8. ( t ) Vuorokaude piei lämpötila saadaa, ku cos Lämpötila o tällöi 7 =. Suurimma lämpötila kelloaika ( t ) cos = ( t ) cos = cos( ) ( t ) =± + : t =± + t = 6 + tai t = 8 + Lämpötila o suuri kello 6. Pieimmä lämpötila kelloaika ( t ) cos = ( t ) cos = cos 0 ( t ) =± 0+ : t = t = + =. =.

57 Lämpötila o suuri kello. Vastaus: Lämpötila o suurimmillaa 8 C kello 6 ja pieimmillää C kello. Harjoituskoe. a) Kyseessä o aritmeettie summa, jossa d = ( + ) + = ( ) = 5 = 5 = b) k + ( ) Kyseessä o geometrie summa, jossa q = = k ( ) ( ) [ ( ) ] [ ] k [ ( ) ] = = = = k = Vastaus: a) 5 b) a) f(x) = cos x f ' (x) = x ( si x ) = x si x f '( ) = si( ) 0, b) f ( x) = x tax f '( x) = xta x+ x ( + ta x)

58 f = = + [ + ( ) ] 8 '( ) ta ( ) ( ta ) = + 9,0 Vastaus: a) 0,8 b) +,0 9. k + k+ k Kyseessä o aritmeettie summa, jossa d = lg lg = lg = lg k k = + = = = + + k lg lg lg lg lg ( ) Vastaus: lg ( ) +. f ( x) = si( + 5 x) f '( x) = 5 cos( + 5 x) 5cos( + 5) x = 0 cos( + 5 x) = 0 + 5x = + 5x = + 6 x = Välille[0, ] kuuluvat derivaata ollakohdat = 0 : + 0 = = : 7 + = 0 5 0

59 = : + = Kulkukaavio Kulkukaaviosta ähdää, että fuktio f ( x) = si( + 5 x) o kasvava väleillä [0, ] 0 7 [, ] 0 0 ja Vastaus: [0, ] 0 7 ja [, ] y = x + si x y' = x cos x Kohtaa x = piirrety tageti kulmakerroi y '( ) = cos = Kohtaa x = piirrety ormaali kulmakerroi o. y( ) = ( ) + si = + Pisteesee (, + ) piirrety ormaali yhtälö y ( + ) = ( x ) y = x+ + 5

60 Vastaus: y = x si x cos x = si x ( si x) = si x + si x = 0 Sijoitetaa t = si x t + t = 0 ( ) ± t = t = t = Sijoitetaa t = si x si x = ei käy, < si x < si x = x = + tai x = x = + 6 Vastaus: x = + tai 6 5 x = + 6 6

61 7. Lasketaa pääoma arvo vuosittai vuode kuluttua, vuode kuluttua,05 (, ) 50 =,05 000, vuode kuluttua, , 05 50, vuode kuluttua, , 05 50, , =, (, 05 +, , 05 + ) geometrie summa (,05) =, , 05 Lasketaa milloi pääoma o olla (,05 ), = 0, , (,05 ) = ,05 =,05 =,5 l() l,05 = l,5 l,05 = l,5 l,5 = = 0,8... l, 05 Jote stipedejä voi myötää 0 vuotea. Vastaus: 0 8. Astia tilavuus a happoa alussa a happoa. täytö jälkee a+ a 7 happoa. täytö jälkee ( a+ a) + a = ( ) a+ ( ) a+ a happoa. täytö jälkee [( ) a+ ( ) a] + a = ( ) a+ ( ) a+ ( ) a+ a

62 ... happoa 0. täytö jälkee ( ) a+ ( ) a+ ( ) a a = ( ) a+ [( ) + ( ) ] a [ ( ) ] 0 = ( ) a+ a 7 happoa. täytö jälkee ( ) a+ [( ) + ( ) ] a 7 [ ( ) ] = ( ) a+ a 7 0 ( ) a a = = a 576 = ( ) a+ [ ( ) ] a 7 Ku kasvaa rajatta ( ) lähestyy ollaa ja ( ) lähestyy luku, jote ( ) a+ [ ( ) ] a lähestyy lukua 7 7 a Vastaus: ja ( ) + [ ( ) ] sekä 7 7 8