Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)"

Transkriptio

1 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman funktion integraalifunktioita, jos niiden derivaattafunktiot ovat samat. D F ( ) D ( ) ( ) ( ) ( ) D F ( ) D ( ) () ( ) ( ) ( ) Koska sekä funktion F ( ) että funktion F ( ) derivaattafunktio on f( ), molemmat funktiot F ja F ovat ( ) funktion f integraalifunktioita.

2 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K. Funktion f( ) kaikki integraalifunktiot ovat F( ) ( )d C. 6 Koska funktion F kuvaaja kulkee pisteen (, ) kautta, niin on oltava F(). C 6 C 6 ) ) C 6 9 C C Kysytty funktio on F 6 ( ). K. Funktion f() = sin kaikki integraalifunktiot ovat F( ) sind sin d cos C. Kuvassa ovat integraalifunktion F kuvaajat alhaaltapäin lueteltuina integroimisvakion C arvoilla, ja.

3 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K5. a) Integraalifunktio F, jonka kuvaaja kulkee pisteen F(π). cos(π) C cos π cos πc ( ) C C C 9 C C Kysytty integraalifunktio on b) F( ) cos. (6 ) 9 d (6 ) C (6 ) C 9 9 (6 ) d (6 ) d 6 d 6 ( ) d ( ) d C ln( ) (π, ) täyttää ehdon

4 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) K6. a) b) c) ( ) d ( +)d e e e e d e d d d d d e e e e C ( + )d ( )d C C C ( ) ( ) d d ( )d C ( ) d ( )d ( )d ln C ln C

5 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K7. a) Funktion f() = e kaikki integraalifunktiot ovat F( ) e d d e e C. Funktiolle F on voimassa F() = : e C C C C. Kysytty funktion f integraalifunktio on F e ( ).

6 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Funktion f() = sin kaikki integraalifunktiot ovat F() sind sind cos C. Koska F() =, niin cos( ) C cos C C C. Kysytty funktion f integraalifunktio on F ( ) cos. c) Funktion f() = cos sin kaikki integraalifunktiot ovat F( ) cos sin d cos (sin ) d sin C. Koska F() =, niin (sin ) C C C. Kysytty funktion f integraalifunktio on F ( ) sin.

7 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K8. f ( ) f( )d ja f ( ) f( )d f( ) ( ( ) d ( ( )d ( 5 )d C 8 Koska f (), niin C C 8 5 C 5 C 5 5 Funktion f derivaattafunktio on f( ) 5. Funktio f saadaan integroimalla funktio f : D. 5 f( ) ( 5 )d 6 5 D

8 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Funktiolle f on voimassa f (), joten D 5 D 5 D 7 D. Kysytty funktio on 5 7 f 6 5 ( ).

9 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Määrätty integraali KERTAUSTEHTÄVIÄ K9. Funktion f arvojen muutos välillä [, 5] on f(5) f(). K. a) f ( ) f( )d, joten f(5) f() = 5 f ( )d d (6) d (6) d 5 5 ( 6) ( 6) / 9/ (( 5 6) 9 ( 6) ) (9 ) ( 9 (9 9 ) Funktion f arvojen muutos välillä [, 5] on vt ()dt 5dt 5 / 5t (55) (5 ) 75 5 b) Kohdan a tulos 5 tarkoittaa kappaleen kulkemaa matkaa aikavälillä [, 5]. Kappale siis kulkee 5 metriä kolmen sekunnin aikana..

10 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K. Kappaleen kiihtyvyys a on kappaleen nopeuden v muutosnopeus eli a(t) = v (t), joten vt () at ()d. t Nyt nopeuden muutos ajanhetkestä t = ajanhetkeen t = : / 9,8dt 9,8t (9,8) (9,8) 9, Vasaran nopeus hetkellä, kun se osuu maahan on noin 9 m/s. Kappaleen nopeus v on paikan s muutosnopeus eli v(t) = s (t), joten s() t v()d. t t Nyt paikan muutos ajanhetkestä t = ajanhetkeen t = : 9,8tdt 9,8 tdt 9,8 / t 9,8 9,5 9,8( ) Vasara putoaa noin m, joten rakennusteline on noin metriä korkea.

11 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K. a) e d ln ln ln e ln /e b) Kirjoitetaan lauseke ilman itseisarvomerkkejä. Funktion + kuvaaja on nouseva suora y = +. Funktion nollakohta saadaan yhtälöstä + =, josta Nyt + <, kun ja +, kun., joten (), kun, kun, kun, kun Määrätty integraali lasketaan kahdessa välissä [, ] ja [, ]. d ( )d ()d /( ) ( ) / [( ) ( ( ) ( ))] [( ) ( 6 8)] [ ( )] 8 8 [( ( ) ( ) ( ( ) ( ))]

12 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Käyrien rajoittaman alueen pinta-ala KERTAUSTEHTÄVIÄ K. A III, B I ja C II K. ( )d ( )d A f /( ) ( ) 6 Pinta-ala on 6. K5. a) Funktio e saa välillä [, ] positiivisia arvoja, joten A e d / e e e e e. Pinta-ala on e e.

13 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Funktio saa välillä [, ] sekä negatiivisia että positiivisia 9 arvoja, joten pinta-ala määritetään kahden osavälin avulla. Funktion merkki vaihtuu sen nollakohdassa. Ratkaistaan funktion nollakohta A d ( )d ( )d ( )d ( )d ( )d 9 9 / / ( ) ( ) [ ] [ ] Pinta-ala on 5. 6

14 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) Funktio saa välillä [, ] positiivisia arvoja, joten A d d / / ( ) Pinta-ala on.

15 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K6. a) Käyrä y = 5 + leikkaa -akselin, kun y =. 5 + =, josta = tai =. Käyrä leikkaa -akselin kohdissa = ja =. b) Tasoalue on -akselin alapuolella, joten A ( 5)d 5 /( ) 8 9 ( ) 6 Pinta-ala on.

16 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K7. Molemmat funktiot ja saavat ei-negatiivisia arvoja tarkasteltavalla välillä [, e]. Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla. Käyrien y ja y leikkauskohta: ( ),. Tasoalueen pinta-ala saadaan kahden määrätyn integraalin avulla. e A d d d d e / ln / 5 Pinta-ala on. e

17 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K8. Käyrät y = cos ja y = cos leikkaavat toisensa, kun cos = cos. cos cos n, n n tai n n n n n : n n Tarvittavat leikkauspisteet saadaan n:n arvoilla ja. Kun n =, saadaan alueen vasemman reunan leikkauskohta =. Alueen oikean reunan leikkauskohta saadaan yhtälöstä n, kun n = :. Tarkasteluvälillä cos > cos, joten alueen pinta-ala saadaan määrättynä integraalina A (cos cos )d. A (cos cos )d cos d cos d / sin sin / (sin sin ) (sin( ) sin()) Vastaus: Leikkauskohdat ovat = ja = ja pinta-ala on.

18 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K9. Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla. Funktio f ( ) on muuttujan funktio, jonka kuvaajana on käyrä y. Koska aluetta rajaa y-akselilla suorat y = ja y =, alueen pinta-ala saadaan laskemalla muuttujan y funktion määrätty integraali välillä [, ]. Ratkaistaan yhtälö y muuttujan suhteen. y y y Kysytyn alueen pinta-ala saadaan määrättynä integraalina ( y )d y / ( y y) ( ) ( ). Pinta-ala on.

19 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Tilavuus KERTAUSTEHTÄVIÄ K. Pyörähdyskappaleen tilavuus saadaan määrätyn integraalin avulla. V ( ) d d 5 / ( ) ( ) Tilavuus on 5. K. Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla: Selvitetään käyrien y = ja y leikkauspiste yhtälöstä. Yhtälön määrittelyehto on, josta (juurrettava) ja, josta (neliöjuuren arvo). Ehdot ovat yhtä aikaa voimassa, kun.

20 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty () ( ) 69 7 ( 7) ( 7), josta tai 5. Yhtälön ratkaisuista vain = 5 toteuttaa määrittelyehdon. Käyrä y leikkaa -akselin, kun y =. Suoran y = ja -akselin leikkauskohta: = = Pyörähdyskappaleen tilavuus voidaan laskea kahden pyörähdyskappaleen tilavuuden avulla. Ulompi kappale syntyy, kun käyrä y pyörähtää välillä [, 5] ja sisempi, kun suora y = pyörähtää välillä [, 5] -akselin ympäri. 5 5 V ( ) d ( ) d 5 5 ( )d ( 69)d 5 5 /( ) ( 9 ) / Tilavuus on 6.

21 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K. Koska käyrä pyörähtää y-akselin ympäri, niin pyörähdyskappaleen tilavuus saadaan määrättynä integraalina muuttujan y suhteen. Ratkaistaan yhtälö y = ln (,5) muuttujan suhteen: y = ln (,5) e y =,5 e y = Integroimisrajat y-akselilta saadaan selville muuttujan arvoilla e ja e: alaraja: y ln(,5 ) ln( ) ln( ) e e e yläraja: y = ln (,5 e) = ln e =. Pyörähdyskappale syntyy, kun käyrä = e y pyörähtää y-akselin ympäri välillä ], [. Pyörähdyskappaleen tilavuus saadaan määrättynä integraalina y y V ( e ) dy ( e )dy / e y ( e e ) e ( e ) ( 5,57...) e e Tilavuus on e. e

22 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K. Saviruukun sisäosan pohjaneliön sivun pituus on cm cm cm = 6 cm ja suuaukon neliön sivun pituus on 6 cm cm = cm. Saviruukun pohjaneliön sivun pituus kasvaa tasaisesti (lineaarisesti) korkeudelta cm korkeuteen cm sivun pituudesta 6 cm sivun pituuteen cm. Sivun pituuden kasvu korkeuden yhtä senttimetriä kohti on cm 6 cm 6 cm 8,. cm cm 8 cm 9 Kun ruukkua leikataan korkeutta vastaan kohtisuoralla leikkauksella korkeudelta h, on poikkileikkausneliön sivun pituus h. Poikkileikkausneliön pinta-ala korkeudella h saadaan lausekkeesta (6 h) 56 h h (6 +,h) = 56 +,8h +,6h Ruukun sisäosan korkeus on cm cm = 8 cm. Ruukun tilavuus saadaan määrättynä integraalina: (56 )d V h h h /(56 h h h ) ,67(cm ) (dm ). Ruukun tilavuus on noin litraa.

23 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f kuvaaja on paraabeli, ja kuvaajista ainoa paraabeli on kuvassa D. Varmistetaan vielä laskemalla, että pisteet (, ) ja (, ) ovat on funktion f kuvaajalla. f() = = f() = = Kuvaaja D on funktion f kuvaaja, siis f D. Toisen asteen polynomifunktion integraalifunktio on kolmatta astetta oleva polynomifunktio. Kuvaajista ainoa kolmannen asteen polynomifunktion mahdollinen kuvaaja on kuvassa B, joten F B. Funktion g kuvaaja voidaan päätellä jäljelle jääneistä kuvista A ja C laskemalla esim. arvo g(). Siis g C. Nyt ainoa jäljelle jäänyt funktio on G, joten sen kuvaaja on kuvassa A. Siis G A. b) F ( ) f( )d ( )d C Koska funktion F kuvaaja kulkee pisteen (, ) kautta, niin F() =. Ratkaistaan vakio C tämän tiedon avulla. F () C ) ) C C 6 6 C 6 Yhtälöstä 6 C ratkaistaan C: C Siis F ( ). 6

24 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty G ( ) ( )d g dln ClnC Koska funktion G kuvaaja kulkee pisteen (, ) kautta, niin G() =. Ratkaistaan vakio C tämän tiedon avulla. G() = ln + C = + C = C Koska G() =, niin nyt oltava C =. Siis G() = ln +. Vastaus: a) f D, F B, g C ja G A 7 b) F ( ) ja G ( ) ln 6. Funktion f kaikki integraalifunktiot ovat F( ) e d e C. a) Hahmotellaan funktion e kuvaaja. Eksponenttifunktioiden kuvaajat kulkevat aina pisteen (, ) kautta, sillä a =, kaikilla a >. Koska halutun integraalifunktion kuvaaja kulkee origon, eli pisteen (, ) kautta, täytyy funktion e kuvaajaa siirtää yksi yksikkö alaspäin. Kysytty funktio on e.

25 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Suora = on y-akseli. Koska halutun integraalifunktion kuvaaja kulkee pisteen (, ) kautta, täytyy funktion e kuvaajaa siirtää kaksi pykälää ylöspäin. Kysytty funktio on e +.. F ( ) sindcosc Ratkaistaan vakio C tiedon F() = avulla. F() = cos + C = + C Nyt + C = C = Siis F() = cos +. Vastaus: F() = cos +

26 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) ( )d () C s'( ) u( s( )) U( s( )) b) e d e d e d e C s'( ) u( s( )) U ( s( )) ( ) c) d) d d d ln C lnc d d ( ) d ( ) ( ) ( ) d ( ) d ( ) U( s( )) s'( ) C C Vastaus: a) ( ) C b) e C c) ln C d) C u( s( ))

27 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Lasketaan määrätty integraali. / a a a 9a 9 8 a a a a ( a )d ( ) ( ) a Ehdosta ( a )d saadaan yhtälö, josta ratkaistaan a: a = a = 8 a = Ehdon täyttävä funktio on. Vastaus: a =, jolloin kysytty funktio on.

28 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Paraabeli y = 6 aukeaa ylöspäin, koska toisen asteen termin kerroin on positiivinen. Ratkaistaan paraabelin nollakohdat ja hahmotellaan kuva tilanteesta. 6 ( ) tai tai Ylöspäin aukeava paraabeli saa nollakohtiensa välissä negatiivisia arvoja, joten paraabelin ja suoran y =, eli -akselin, rajoittama alue on -akselin alapuolella. Kysytyn alueen pinta-ala on ( 6 )d ( ) / (( ) ) (8 ) ( ) Vastaus: Alueen pinta-ala on. ( 6 )d.

29 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Määrätty integraali antaa funktion kuvaajan ja -akselin välisen alueen pinta-alan vain, kun alue on -akselin yläpuolella. Alue koostuu π kahdesta osasta, välillä, alue on -akselin yläpuolella, jolloin π A sin dja välillä π π,π -akselin alapuolella, jolloin A sin d. Kuvaaja on symmetrinen, joten kyseiset pinta-alat ovat yhtä suuret. Koska integraali laskettiin välillä [, π], integraalin arvo on A A =. b) Kysytyn alueen pinta-ala on π π A sin d ( sin d ) π π π ( cos ) ( cos ) / / π π π (cos cos()) (cosπ cos ) (cos π cos ) (cos π cos π) ( ) ( ( )) ( ) () Vastaus: a) Hän ei ottanut huomioon, että osa alueesta on -akselin alapuolella. b) Alueen pinta-ala on.

30 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Lasketaan määrätty integraali. d b b/ bb 6 bb b b Määrätyn integraalin arvo on, joten b b b b 96 b 5 b 5 b 5 tai b 5 b b ( ) ( ) ( ) b) Lasketaan määrätty integraali. b b b b e d / e e e e e Määrätyn integraalin arvo on, joten b e e b e e b e e e e b e e a y log a y, loge ln e bln e log log log y e y bln( e) ln e bln( e) Vastaus: a) b = tai b = b) b = ln (e + )

31 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Funktiot f, f, f ja f ovat kasvavia välillä [a, b], joten derivaattafunktiot f, f, f ja f ovat ei-negatiivisia. Näin ollen derivaattafunktioiden kuvaajien ja -akselin välisten alueiden pinta-alat ovat määrätyt integraalit b a b a b a b a f ( )d f ( b) f ( a ) f ( )d f ( b) f ( a) f ( )d f ( b) f ( a) f ( )d f ( b) f ( a ). Kaikki nämä ovat yhtä suuria, koska funktiot f, f, f ja f saavat sekä kohdassa a että kohdassa b saman arvon, jolloin arvojen erotus on kaikilla funktioilla sama.. esim. a) f() = tai f() = + b) f() = tai f() =

32 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty APUVÄLINEET SALLITTU. Funktion f kaikki integraalifunktiot ovat muotoa F + C, jossa F () = f(). Funktion f kaikki integraalifunktiot F ovat kasvavia, jos f() kaikilla muuttujan arvoilla. Koska kaikilla muuttujan arvoilla, niin tällä perusteella ja siten +. Siis funktion f() = + arvot ovat aina positiivisia ja tällä perusteella kaikki funktion f integraalifunktiot F + C ovat kasvavia. Määritetään funktion F lauseke. F ( ) ( )d C. Koska integroimisvakio C =, niin kysytty integraalifunktio on F() = + +.

33 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Hahmotellaan tilannetta piirtämällä kuva. Käyrien leikkauskohdat saadaan yhtälöstä + = = ( 5) =. Yhtälön ratkaisut ja käyrien leikkauskohdat ovat 5, ja 5. b) Alue rajoittuu. neljännekseen, joten rajat ovat = ja 5. Osoitetaan, että käyrän y = + kuvaaja on ylempänä kuin käyrän y = kuvaaja tällä välillä. Tarkastellaan vastaavien funktioiden arvoja testikohdassa väliltä ], 5 [. Valitaan kohdaksi =, jossa funktio + saa arvon + =, ja funktio saa arvon =. Funktion + arvot ovat tarkasteltavalla välillä suurempia. Alueen pinta-ala on 5 5 A (( ) ( 5))d ( 5 )d 5 5 / ( )d 5 6 Vastaus: a) 5, ja 5 b) Alueen pinta-ala on 5.

34 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Hahmotellaan tilannetta piirtämällä kuva. Ratkaistaan käyrien leikkauskohdat. cos = cos = ± +n π π = n tai n. Välillä ], π[ on leikkauskohta π. Osoitetaan, että funktion cos kuvaaja on ylempänä kuin funktion cos π kuvaaja välillä ], [. π Välillä olevassa kohdassa funktion cos arvo on ja funktion cos arvo on cos π =, joten funktion cos kuvaaja on ylempänä. Käyrien rajoittaman alueen pinta-ala on π π A (cos cos ) d (sin / sin ) Vastaus: Alueen pinta-ala on.

35 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Piirretään kuva. a) Merkitään f ( ) ja g( ). 8 Ratkaistaan leikkauskohdat yhtälöstä. 8 Yhtälöllä voi olla ratkaisuja vain kun ja. 8 Koska aina, niin yhtälön ratkaisun tulee toteuttaa ehto. 8 Ratkaistaan yhtälö. 8 tai Kuvaajat leikkaavat kohdissa = ja =. Lasketaan molempien funktioiden arvot leikkauskohtien välillä olevassa testikohdassa, joka valitaan kohdaksi = : f() = = g() = 8 8 Kuvan ja kohdassa = laskettujen arvojen perusteella neliöjuurifunktion f kuvaaja on ylempänä välillä [, ]. Alueen pintaala on siten A ( f ( ) g( ))d.

36 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty d d / / / A ( b) Syntyvän pyörähdyskappale on ontto. Sen tilavuus saadaan vähentämällä ulomman pyörähdyskappaleen tilavuudesta sisemmän pyörähdyskappaleen tilavuus. Ulompi pyörähdyskappale syntyy kun käyrän y ja -akselin rajaama alue pyörähtää -akselin ympäri välillä [, ]. Lasketaan sen tilavuus V. 6 V d d / ( ) 8 Sisempi pyörähdyskappale syntyy kun käyrän y ja -akselin 8 rajaama alue pyörähtää -akselin ympäri välillä [, ]. Lasketaan sen tilavuus V. 5 5 ( ) d d / ( V Kysytyn pyörähdyskappaleen tilavuus on 6 6 VV Vastaus: a) Alueen pinta-ala on 6 ) 5 5. π b) Kappaleen tilavuus on 5.

37 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Paraabeli y + = kirjoitettaan muotoon = y +. Piirretään kuva. Koska paraabeli = y + aukeaa oikealle, alueen pinta-ala on helpointa laskea vaakasuunteisesti alueena jota rajoittaa oikealta suora = y + 7 ja paraabeli. Lasketaan kuvaajien leikkauskohdat. y + = y + 7 y y 6 = y = tai y = A ( y7) ( y ) d ( y y6)d / y y 6y Vastaus: Alueen pinta-ala on 5. 6

38 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Piirretään kuva. Koska alue pyörähtää y-akselin ympäri, rajat ja rajoittavat käyrät on esitettävä muuttujan y avulla. y,5 y y,5 y y,5 y y tai y,5 y,5 tai Molempien paraabelien huiput ovat y-akselilla joten pyörähtävä alue on symmetrisesti y-akselin molemmin puolin. Koska alue pyörähtää y-akselin ympäri, ei ole väliä pyörähtääkö -akselin oikealla vai vasemmalla oleva alue, syntyvä pyörähdyskappale on molemmissa tapauksissa sama. Valitaan pyörähtäväksi alueeksi y-akselin oikealla puolella oleva alue. Nyt y ulompi käyrä pyörähtää y-akselin ympäri välillä,5 y. y,5 Sisempi käyrä pyörähtää y-akselin ympäri välillä,5 y sillä paraabelin huippu on pisteessä (;,5).

39 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Syntyvä pyörähdyskappale on ontto ja sen tilavuus saadaan vähentämällä ulomman pyörähdyskappaleen tilavuudesta V sisemmän pyörähdyskappaleen tilavuus V. y /,5,5,5 π 8 85π 96 V π dy π y dy π y π, y,5 6 /,5,5, π V π dyπ y dyπ y y π,5,5 π Kysytyn pyörähdyskappaleen tilavuus on V 85π 9π 59π V,9 (dm ). 96 Massa saadaan kertomalla tiheys,5kg/dm tilavuudella 59π 96 dm :,5kg/dm 59π 96 dm,8 kg. Vastaus: Astian tilavuus on n.,9 dm ja sen massa on n.,8 kg.

40 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Piirretään kuva. Kirjoitetaan molempien käyrien yhtälöt muuttujan avulla. y y y y Koska alue on koordinaatiston ensimmäisessä neljänneksessä, ovat ja y ei-negatiivisia ja toisen käyrän yhtälo y. Lasketaan käyrien leikkauspisteet. ja Kysytty alue on välillä [, ]. Osoitetaan, että tällä välillä käyrä y = on ylempänä kuin käyrä = y. Kun = on y = >, joten käyrä y = on ylempänä. Alueen pinta-ala on / A ( )d 5. Vastaus: Alueen pinta-ala on 5.

41 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6

42 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Hahmotellaan tilannetta piirtämällä kuva. Jaetaan kuvassa alue kahtia suoralla = c. Kun ovat arvot + 5( + ) positiivisia. Näin ollen koko alueen pinta-ala A on 5( ) d. 5 / / A 5( ) d 5( ) 6 Suoran = c vasemmalla puolella olevan osan pinta-alan A tulee olla puolet koko alueen pinta-alasta: A = 8 Esitetään sama pinta-ala määrättynä integraalina. c c 5( ) d / A 5 6 c c c Tästä saadaan yhtälö c 6c 8 ( c), c c c 6c8c8 c 8c8 c Koska c, niin c 6. Vastaus: Alue voidaan jakaa kahtia esim. suoralla 6.

43 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Hahmotellaan tilannetta piirtämällä kuva. Ympyrän + y = keskipiste on origossa ja sen säde on. b Tilavuuden laskemiseksi kaavalla V A( )d on selvitettävä integroimisrajat a ja b ja poikkileikkauspinta-ala A. Koska kappaleen pohja on ympyrän sisäpuoli, sijaitsee kappale välillä. Siis a = ja b =. Piirretään pohjaympyrän kuva ja määritetään sen avulla poikkileikkauskolmion sivun pituus. a y y y tai y

44 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kohdassa poikkileikkauskolmion kärjet ovat pisteissä (, ) ja (, ). Siten kolmion sivun pituus kohdassa on. Lasketaan poikkileikkauskolmion pinta-ala kaavalla A bcsin. Koska kolmio on tasasivuinen, kaikki sivut ovat pituudeltaan ja kaikki kulmat ovat 6. Poikkileikkauskolmion pinta-ala on A( ) sin6 ( ). Kappaleen tilavuus on siten ( )d / V ( ) Vastaus: Tilavuus on.

45 Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Funktion f derivaattafunktion muutosnopeus on funktion f toinen derivaatta, siis f () = e e. Määritetään derivaattafunktion f lauseke. f '( ) f ''( )d ( e e )de e C Koska funktion f pienin hetkellinen muutosnopeus on, niin derivaattafunktion f pienin arvo on. Määritetään kulkukaavion avulla missä funktio f saa pienimmän arvonsa. Lasketaan tätä varten toisen derivaatan nollakohdat. f ''( ) e e Koska derivaattafunktion pienin arvo saavutetaan kohdassa, niin f () =. Ratkaistaan vakion C arvo tämän tiedon perusteella. f '() e e C C + C = C = Siis '( ) f e e. Määritetään funktion f lauseke. f ( ) f '( )d ( e e )de e D Koska funktion f kuvaaja kulkee pisteen (, ) kautta, niin f() =. Ratkaistaan vakion D arvo tämän tiedon perusteella. f () e e D D, mistä saadaan D =. Siis ( ) f e e. Vastaus: ( ) f e e.

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

MAA10 HARJOITUSTEN RATKAISUJA

MAA10 HARJOITUSTEN RATKAISUJA MAA MAA HARJOITUSTEN RATKAISUJA. f(), jolloin kaikki integraalifunktiot saadaan parvesta F() C, ja kun F(), niin integroimisvakion määräämiseksi saadaan yhtälö C C 9 9 C. Kysytty integraalifunktio on siten

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 Derivaatta. a) Vastaus: Merenpinta nousee aikavälillä 00:00-06:00 ja :30-7:30. Merenpinta laskee aikavälillä 06:00-:30 ja 7:30-3:00. b) Merenpinta nousi 0,35 cm ( 0,) cm = 0,55 cm tuona aikana. Merenpinta

Lisätiedot

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5 A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

derivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,.

derivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,. Matematiikka, MAA9. a) Ratkaise yhtälö tan (YOS) Kulma on välillä [, 6]. Ratkaise asteen tarkkuudella seuraavat yhtälöt: b) sin c) cos (YOs). Kulmalle [9,6 ] on voimassa sin = 8 7. Määritä cos ja tan..

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] saadaan laskemalla kohtia x = 0 ja x = vastaavien kuvaajan

Lisätiedot

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin

Lisätiedot

4 Polynomifunktion kulku

4 Polynomifunktion kulku 4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R.

(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R. Calculus Kurssikoe..7. Laske (a) x sin x, (b) x x + x. (a) Merkitään u(x) = x ja v (x) = sin x, jolloin u (x) =, v(x) = cos x ja osittaisintegroimalla saadaan x sin x = u(x)v (x) = u(x)v(x) u (x)v(x) =

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja funktioita

2 Yhtälöitä ja funktioita Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2 Lisätehtävät Polnomifunktio 7. Epähtälöt = + 8. a) < + < + < Vastaus: ) < < Vastaus: < 8 8 8 = 8 = + c) ( ) < + ( ) < + < + < : ( > ) < Vastaus: < d) ( )

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Lukion. Calculus. MAA10 Integraalilaskenta. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. MAA10 Integraalilaskenta. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Integraalilaskenta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Integraalilaskenta (MAA Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:

Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin: Määrittelyjoukot Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:, 0 ; log, > 0 ;, 0 (parilliset juuret) ; tan, π + nπ Potenssisäännöt Ole tarkkana kantaluvun kanssa 3 3

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

x (t) = 2t ja y (t) = 3t 2 x (t) + + y (t) Lasketaan pari käyrän arvoa ja hahmotellaan kuvaaja: A 2 A 1

x (t) = 2t ja y (t) = 3t 2 x (t) + + y (t) Lasketaan pari käyrän arvoa ja hahmotellaan kuvaaja: A 2 A 1 BM2A582 Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Kevät 26 Kaikissa tehtävissä tärkeintä ja riittävää on saada oikea lauseke aikaiseksi. Useissa tehtävissä integraalit eivät tosin ole niin vaikeita

Lisätiedot

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7. Koe Jussi Tyni 1..01 1. Laske raja-arvot: a) 5 x lim x5 x 10 b) x 8x16 lim x x 9 x. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (5). b) Onko funktio f x vastauksesi lyhyesti 1 9 x ( ) x f ( x)

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta

Differentiaali- ja integraalilaskenta Differentiaali- ja integraalilaskenta Opiskelijan nimi: DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona

Lisätiedot

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo? Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos Matlab-tehtäviä, käyrän sovitus -e Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Laske integraali 2π cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 8906 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Tutkintoaineen sensorikokous on hyväksynyt seuraavat hyvän vastauksen piirteet Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa

Lisätiedot

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 015 Lhen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Tekijät: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen Ratkaisut on laadittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmalla kättäen Muistiinpanot -sovellusta.

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

läheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?

läheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä? BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien

Lisätiedot