Laudatur 13. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi MAA 13. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Opettajan aineisto

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Laudatur 13. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi MAA 13. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Opettajan aineisto"

Transkriptio

1 Laudatur Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Otteli Leea Walli-Jaakkola Opettaja aieisto Helsigissä Kustausosakeyhtiö Otava

2 SISÄLLYS Ratkaisut kirja tehtävii... Kokeita...7 Otava asiakaspalvelu Puh asiakaspalvelu@otava.fi Tilaukset Kirjavälitys Oy Puh. 5 5 Faksi 5 5 kvtilaus@kirjavalitys.fi. paios Toimittaja: Mare Herlevi Taitto: Jukka Otteli Kuvat: Marja Veäläie 8 Tarmo Hautajärvi, Jukka Otteli, Leea Walli-Jaakkola ja Kustausosakeyhtiö Otava ISBN Kopioitiehdot Tämä teos o opettaja opas. Teos o suojattu tekijäoikeuslailla (/6). Teokse valokopioimie o kielletty ellei valokopioitii ole hakittu lupaa. Tarkista oko oppilaitoksellae voimassaoleva valokopioitilupa. Lisätietoja luvista ja iide sisällöstä ataa Kopiosto ry Sidota: KEURUSKOPIO Paiopaikka: Otava Kirjapaio Oy, Keuruu 8

3 RATKAISUT KIRJAN TEHTÄVIIN Testaa lähtötaitosi ( )( ) lim lim lim( ) Vastaus:. Lukujoo peräkkäiste termie erotus ) + + a a,5 (,5 ) + Vastaus: [( ) 6 ( ) ] ( ) 6( ) + 6( ) 6( ) + 6( ) 6( ) + 6( ) 6( ) + 6( ) 6( ) 6[ ( ) ] ( ), Vastaus:,. Jatkuvuusehto lim f( ) f( a) a lim( ) a 5a a a a 5a a 6a aa ( 6) a tai a 6 a ± Vastaus: a tai a ±

4 5. f( ) + +,75 Kuvaaja o ylöspäi aukeava paraabeli, jote fuktio saa pieimmä arvosa derivaata ollakohdassa. Derivaatta f '( ) + +,5 Piei arvo f(,5) + +,75,5 Vastaus:,5 6. f () si f '() cos, koska cos Jote fuktio f () si o aidosti väheevä. 7. sisäfuktio s ( ) +, s'( ) 5 d ( + ) d 5 5 ( + ) ulkofuktio f( ) ( ) 5 d + ( )(+ ) + C + C 8( + ) Vastaus: + C 8( + ) 8. sisäfuktio s ( ) 5+, s'( ) 5 d (5 + ) d 5 + ulkofuktio f( ) 7 7 Vastaus: 8 7 5(5+ ) 5 7 /(5 ) d ( ) 5 8

5 9. P(X 5,) F(5,) 5, +,9 8 Vastaus:,9. Kertymäfuktio ilmaisee tiheysfuktio ja -akseli rajaama aluee pita-ala kohda vasemmalla puolella. +, ku < < Tiheysfuktio f( ) 5 5, muulloi. Ku, tiheysfuktio o vakiofuktio, jote kertymäfuktio o F( ). Ku < < Kertymäfuktio F( ) P( < X ) f( t) dt ( t+ ) dt /( t + t) + [ ( ) ] Koska f() o tiheysfuktio o F(), ku, ku Vastaus: Kertymäfuktio o F( ) + +, ku < , ku >. Lukujoot. a),,,... Erotusta a a ei saa kuika pieeksi tahasa, jote joo hajaatuu i b),, 8, 6,... Lukujoo luvut kasvavat rajatta, jote joo hajaatuu. c),,,, Lukujoo raja-arvo o, koska ai ai saadaa kuika pieeksi tahasa i i valitsemalla riittävä suuri i. Joo suppeee. Vastaus: a) hajaatuu b) hajaatuu c) suppeee. 5

6 . a) cos π Lukujoo o,,... Erotusta a a ei saa kuika pieeksi tahasa, jote joo hajaatuu i b) () Lukujoo o,,... Erotusta a a ei saa kuika pieeksi tahasa, jote joo hajaatuu c) ( ) i Lukujoo o,,,... i ( ) Lukujoo raja-arvo o, koska ai ai saadaa kuika pieeksi tahasa i i valitsemalla riittävä suuri i. Joo suppeee. Vastaus: a) hajaatuu b) hajaatuu c) suppeee.. a) a 5 Koska lim lim, o joolla raja-arvo ja se suppeee b) a Koska lim lim, o joolla raja-arvo ja se suppeee. Vastaus: Raja-arvo a) 5 b).. a) lim( ) b) lim lim + + 6

7 c) lim lim + + Vastaus: a) b) c) lim( + + ) a) lim lim lim lim( + ) b) lim lim lim + c) lim( 9) lim lim + + laveetaa lausekkeella ( + + 9)( ) ( + 9) lim lim Vastaus: a) b) c) a) lim( ) lim(7 + ) 7 b) lim lim

8 c) lim lim 5 Vastaus: a) 7 b) 5 c) lim ( + ) + 5 a) lim lim lim lim( ) b) lim lim 6 6 c) lim( ) lim + laveetaa lausekkeella ( + )(+ + ) + + ( + ) lim + + lim + + lim Vastaus: a) b) c) 8. a) lim( ) laveetaa lausekkeella ( )( + ) lim + ( ) lim + + 8

9 lim + lim + b) lim( 6 8 ) lim lim lim lim + laveetaa lausekkeella ( )( ) + 6 ( 8 ) Vastaus: a) b) 7 9. a) cos π Lukujoo o,,,,,... Erotusta a a ei saa kuika pieeksi tahasa, jote joo hajaatuu b) cos π i Koska lim π, o lukujoo raja-arvo cos ja joo suppeee. Vastaus: a) hajaatuu b) suppeee. 9

10 . a) lim( + ( ) ) + + b) lim[( ) ( )] lim( ) lim( ) 9 Vastaus: b) a) lim lim ( ) b) lim lim lim + + ( ) + Vastaus: a) b). π cos( ) π + cos( ) + lim lim +. -kulmio keskuskulma π vierekkäiste sivuje välise kulma puolikas Keskuskolmio kulmie summa π + + π π π π lim( π ) π Vastaus: π

11 . A r O r h B h d P Pallokaloti korkeus h Kolmiot AOP ja BOA ovat yhdemuotoiset (kk, suorakulma ja yhteie kulma O), jote saadaa verrato r r h d + r r r dr dh+ r rh dr h d + r Aloje suhde dr π r A π rh d r d d 5d + % %, jote kalotti Apallo πr πr ( d + r) ( d + r) d + r 5d 5d 5 prd (, ) ja lim lim 5 d + r d d + r d r + d 5 5 Satelliitista äkyvä maapallo osa p(6 7,5), d Vastaus: prd (, ) ja lim prd (, ) 5 sekä,6 % d + r d 5. Lukujoo jäseet a + a + 7 a + a 5 + 7,,,,,

12 5 a Lukujoo :s jäse a,,,,... + Lukujoo raja-arvo lim lim, + + sillä ja, ku. Koska ( + ) a+ a >, sillä >, + + ( + )( + ) ii lukujoo o aidosti kasvava. Poikkeama raja-arvosta + ) <, + <, + 5 <, <, > +, + > 5 + > 5 tai + < 5 > 999 <5 Ei käy, koska > Koska > 999, ii lukujoo 5. jäse poikkeaa raja-arvosta itseisarvoltaa vähemmä kui,. Vastaus: Lukujoo :s jäse o a,,,,.... Lukujoo raja-arvo o ja + joo 5. jäse poikkeaa raja-arvosta itseisarvoltaa vähemmä kui,

13 lim lim ) ) +, < , 9 5, 5, 9, ku 9 5, 9, > 9 5 > Nollakohdat 9 5 <, < > <, < 5 ± ± 5, Merkkikaavio 5,7 f () f() Merkkikaavio perusteella 6 Vastaus: a, 6 7. lim lim + +

14 + + ) < +, <, 5 <, + 5 <, + 5 <, +,, >,999 > 999 Vastaus: lim lim lim f ( ) + + f ( ) + +, ku + f( ), ku < y f f

15 y f Jaetaa jakokulmassa ± I d + d + + d ( ) [ ( ) ] /[ ( ) l ] lim I lim[ + l( + )] lim[ + l( + )] lim[ + l( + )] + log lim[ + ( + + ) l( + )] taulukkokirjasta lim a + [ ( ) l ] [ ( ) l ] l( ), ku Vastaus: f( ), ku < + + l( + ) ja lim I, I. 5

16 >, ku, jote a < ) + ) ( + ) ( + ) >, ku, jote a + > a lim lim + + Vastaus: lim a. F H Lavetamalla + + :llä saadaa I K + lim ( + ) lim lim lim > aia, ku R. + < + < + ( ), > 6 + < + + > 99, 9995 Vastaus: f ( ) lim lim, f ( ) lim + 6

17 , f( ), y y (, ) A B P AB + AP AB + lim lim lim BP Vastaus:. Erilaisia raja-arvoja. a) lim ja lim+ jote lim 7

18 b) lim lim + ei määritelty c) 6 lim Osoittaja toispuoleiset raja-arvot lim ( 6) 6 ja lim ( 6) 6 + Nimittäjä toispuoleiset raja-arvot lim ( ) ja lim ( ) + Nimittäjä ( ) saa olla lähellä vasemmalta lähestyttäessä egatiivisia arvoja ja oikealta lähestyttäessä positiivisia arvoja. Osoittaja saa olla lähellä vai egatiivisia arvoja, jote 6 6 lim ja lim + 6 Koska toispuoleiset raja-arvot ovat eri suuret raja-arvoa lim ei ole. d) lim + Osoittaja toispuoleiset raja-arvot lim ( + ) ja lim ( + ) + Nimittäjä toispuoleiset raja-arvot lim ja lim + Nimittäjä saa olla lähellä vasemmalta lähestyttäessä egatiivisia arvoja ja oikealta lähestyttäessä positiivisia arvoja. Osoittaja saa vai positiivisia arvoja, jote + + lim ja lim+ + Koska toispuoleiset raja-arvot ovat eri suuret raja-arvoa lim ei ole. 8

19 e) ( + ) + lim + lim lim Osoittaja toispuoleiset raja-arvot lim ( + ) ja lim ( + ) + Nimittäjä toispuoleiset raja-arvot lim ja lim + Nimittäjä saa vai positiivisia arvoja. Osoittaja saa olla lähellä vai positiivisia arvoja, jote lim + ja lim + + Koska toispuoleiset raja-arvot ovat yhtä suuret raja-arvo o lim +. Vastaus: a) b) lim, vasemmapuoleista raja-arvoa ei ole c) ei raja-arvoa, + toispuoleiset raja-arvot ja d) ei raja-arvoa, toispuoleiset raja-arvot ja e). a) lim ( ) Osoittaja toispuoleiset raja-arvot lim( ) ja lim( ) + Nimittäjä toispuoleiset raja-arvot lim( ) ja lim( ) + Nimittäjä saa vai positiivisia arvoja. Osoittaja saa luvu lähellä vai positiivisia arvoja, jote lim ja lim ( ) ( ) Koska toispuoleiset raja-arvot ovat yhtä suuret raja-arvo o lim ( ) b) lim ( + ) Osoittaja toispuoleiset raja-arvot lim ( ) ja lim ( ) + 9

20 Nimittäjä toispuoleiset raja-arvot lim ( + ) ja lim ( + ) + Nimittäjä saa luvu lähellä vasemmalta lähestyttäessä egatiivisia arvoja ja oikealta lähestyttäessä positiivisia arvoja. Osoittaja saa luvu lähellä vai egatiivisia arvoja, jote ja lim ( + ) + lim ( + ) Koska toispuoleiset raja-arvot ovat eri suuret raja-arvoa lim ei ole. ( + ) Vastaus: a) b) ei raja-arvoa, toispuoleiset raja-arvot ja 5. a) lim e e ( ) e lim e + e ei raja-arvoa b) lim l ei määritelty lim l + c) lim si lim + si ei raja-arvoa d) lim ( cos ) cos lim ( cos ) + raja-arvo e) lim(si ) lim ja lim + Siifuktiolla ei jaksollisea fuktioa ole raja-arvoa äärettömyydessä.

21 Vastaus: a) ei raja-arvoa, toispuoleiset raja-arvot ja b) lim l, vasemmapuoleista raja-arvoa ei ole c) ei raja-arvoa, toispuoleiset raja-arvot ja d) e) ei raja-arvoa lim lim Vastaus: e lim 5 + sijoitus t, t, ku 5 t lim + t t 5 e 7. si a) lim b) lim si si si c) lim lim( ) Vastaus: a) b) 7 c) 8. a) si 6 si 6 lim lim si6 lim sijoitetaa t 6, jolloi t, ku sit lim 5 t t 6 5

22 b) si si lim( ) lim( ) lim( ) lim( ) lim( ) cot cos cos cos si Vastaus: a) 6 5 b) 9. si si si a) lim lim( ) lim( ) si si si b) lim lim( ) lim( ) Vastaus: a) b). si a) lim cos b) lim Vastaus: a) b). lim lim lim e. Koska 7 lim( 8) lim( 8), voidaa käyttää l'hospitali säätöä lim lim 7 Vastaus: 7

23 . Koska lim(l ) lim( ), voidaa käyttää l'hospitali säätöä l lim lim lim Vastaus:. Koska lim( e ) lim si, voidaa käyttää l'hospitali säätöä e e lim lim si cos Vastaus: 5. l t Ala At () lt+ π t lt + πt Raja-arvo lim limbl πtg l. t t t lt + πt Vastaus: At () lt+ π t, lim l, kuva t t 6. + e y-koordiaattie erotus l( + e ) l( + e ) l e l l( e + ), ku e, sillä e. 7. a) lim f( ) lim b) Fuktio g(), ku tai si( / ) eli π, josta, missä π Z,. c) Fuktio g() saa arvot g ( ), koska si jokaisessa jaksossa. Ku < <, ii jakso pituus o korkeitaa useita jaksoja., π, jote välillä < <, o

24 d) lim h ( ) lim( si ), sillä y si ja lim.,,,, y h(),,,,,,,,,, e) O, koska lim h ( ) h().,, f( si ), π f) Fuktio f( h( )) f( g( )). Jos f(),,, π lähestytää ollaa pitki pistejooa, jolloi ( ( )) π lim f( h( )) lim f( h( )) lim. Jos lähestytää ollaa pitki toista f h aia, ku. Tällöi pistejooa, ii f ( h( )) aia, ku Z. Tällöi ( + ) π lim f( h( )) lim f( h( )) lim. Raja-arvo ei ole olemassa, koska lähestyttäessä ollaa eri jooja pitki päädytää eri raja-arvoo. 8. Koska lim( ) lim( ) 9 lim lim + Vastaus: +, voidaa käyttää l'hospitali säätöä. Sarjat 9. a) +

25 lim lim jote ei suppee + + b) ( ) + lim lim lim ( ) jote ei suppee Vastaus: a) ei suppee b) ei suppee. a) q 6 < q < 6 S ( ) 5 b) + ( ) + ( ) ( ) 6 q 6 6 < q < 6 6 S 5 6 c) q < q < 9 S + ( ) Vastaus: a) b) 6 5 c) 9 + 5

26 . a) i,8 i geometrie sarja i,8 q,8 i,8 < q <,8 S,8 i b) 7( ) i geometrie sarja i 7( ) q i 7( ) < q < S 7 8 i ( 5) c) i i 8 geometrie sarja i ( 5) i 8 5 q i ( 5) 8 i 8 < q < 8 S 5 ( ) 8 d) i i i geometrie sarja ( i+ ) ( i+ ) i i q i i i i < q < 6

27 S Vastaus: a) b) 8 c) 8 d). a) i i i geometrie sarja i+ i+ q i i suppeevuusehto < < < < S b) i ( 5) i geometrie sarja i+ ( 5) q 5 i ( 5) suppeevuusehto < 5< + 5 < < S ( 5) 6 c) 6 i i i geometrie sarja i+ i+ 6 q 6 i i 6 suppeevuusehto 7

28 < 6 < :6 < < S 6 Vastaus: a) < < ja b) < < 6 ja 5 6 c) < < ja i ( + ) a) i i geometrie sarja i+ ( + ) i+ + q i ( + ) i suppeevuusehto + < < < + < 7< < + + S + i + b) i geometrie sarja + i+ ( ) + q + i ( ) suppeevuusehto < q < kaksoisepäyhtälö oikeapuoli 8

29 + < + < + + < + < ollakohdat + merkkikaavio + merkkikaaviosta ähdää, että + <, ku < tai > kaksoisepäyhtälö vasepuoli + > + + > + + > > ollakohdat merkkikaavio 9

30 merkkikaaviosta ähdää, että >, ku < tai > suppeevuusehdo yhteeveto < tai > S + Vastaus: a) 7< < ja + b) < tai > ja. i a) i + geometrie sarja i+ ( ) q + i ( ) + + suppeevuusehto < q < kaksoisepäyhtälö oikeapuoli < + < + < + + < + ollakohdat + ei juuria + ei juuria ( ) ( ) ± () ± 6

31 Osoittaja ja imittäjä ovat erimerkkiset, jote + < + toteutuu kaikilla. kaksoisepäyhtälö vasepuoli > + + > > > + ollakohdat + + ± ± 6 ei juuria + ei juuria Osoittaja ja imittäjä ovat positiiviset, jote + + > + toteutuu kaikilla. suppeevuusehdo yhteeveto Sarja suppeee kaikilla. + S + + b) ( ) i i e geometrie sarja i+ ( ) q e i ( ) e e suppeevuusehto

32 < e < e >, jote kaksoisepäyhtälö vasepuoli toteutuu kaikilla < e e < e l() < > S e e e c) i (l ) i geometrie sarja i+ (l ) q l i (l ) suppeevuusehto < l < kaksoisepäyhtälö oikeapuoli l < l < l e l aidosti kasvava < e kaksoisepäyhtälö vasepuoli l > l > l e > e > e suppeevuusehdo yhteeveto e e < < l S l

33 + Vastaus: a) Sarja suppeee kaikilla ja + l l b) > ja e c) e e < < ja 5. a) i i ( ) ( ) i geometrie sarja i+ ( i+ ) ( ) ( ) q ( ) ( ) 9 i i ( ) ( ) suppeevuusehto < 9 < kaksoisepäyhtälö oikeapuoli toteutuu kaikilla, koska 9 < kaksoisepäyhtälö vasepuoli 9 > 9 + > ollakohdat 9 + ± 9 ± Kuvaaja o alaspäi aukeava paraabeli, jote suppeevuusehdo yhteeveto < < S ( 9 ) >, ku < < + b) i geometrie sarja + i+ ( ) + q + i ( ) i

34 suppeevuusehto + < < kaksoisepäyhtälö oikeapuoli + < + < + + < + < ollakohdat + merkkikaavio + merkkikaaviosta ähdää, että + <, ku < tai > kaksoisepäyhtälö vasepuoli + > + + > + + > 5 > ollakohdat 5 merkkikaavio

35 5 merkkikaaviosta ähdää, että 5 >, ku < tai > suppeevuusehdo yhteeveto < tai > S + Vastaus: a) < < ja + 9 b) < tai > ja 6. a) geometrie sarja q suppeevuusehto < < S b) geometrie sarja q suppeevuusehto < < : < < S c) geometrie sarja q suppeevuusehto 5

36 < < kaksoisepäyhtälö oikeapuoli < < < osoittaja ollakohta imittäjä ollakohta merkkikaaviosta ähdää, että <, ku < tai > kaksoisepäyhtälö vasepuoli > + > + > osoittaja ollakohta + imittäjä ollakohta + Merkkikaaviosta ähdää, että + >, ku < tai > Kaksoisepäyhtälö yhteeveto < tai > S d) ( )+ ( ) ( ) +... geometrie sarja 6

37 ( ) q suppeevuusehto < < < < S ( ) Vastaus: a) < < ja < < ja b) < < ja c) < tai > ja d) 7.,..., +, +, +..., +, +, , Kyseessä o suppeeva geometrie sarja, koska q <, a S a,; q q,, S Vastaus: Yhtälö vasepuoli o geometrie sarja 6 q suppeevuusehto < <, kuutiojuuri o aidosti kasvava fuktio < < S

38 ( ), < < Vastaus: 9. a) Väheemiskerroi,5,65 Puoliitumiskertoja 9 8 Lääkeaiee määrä i puoliitumisaja kuluttua k i k, k, 65(, ) + 5, 65 +, k, 65(, 65 +, ) + 5, 65 +, , k9,65 +,65 5 +, , q, (, 65 +, , 65 + ) S a, a, q, 65, 9 q geometrie summa 9,65 9,65 5,65 + 7, eli vuorokaude kuluttua juuri lääkeaokse ottamise jälkee elimistössä o 8 mg lääkeaietta. b) Lääkeaiee määrä i puoliitumisaja kuluttua k i i i i ki,65 +,65 5 +, , i i i i, (,65 +,65 +, ,65 + ) geometrie summa i+ i,65,65 + 5,65 Lasketaa lääkeaiee määrä, ku i kasvaa rajatta. 8

39 i+ i,65 lim ki lim(, ) + 5 8, i i,65,65 7 eli pysyväislääkityksessä juuri lääkeaokse ottamise jälkee elimistössä o 9 mg lääkeaietta. Vastaus: a) 8 mg b) 9 mg 5. Väheemiskerroi,,9 Puide määrä i vuode kuluttua k i k 5, k,9(5,9 + 8) + 8,9 5 +, k, 9(, 9 5 +, ) + 8, 9 5 +, 9 8 +, i i i ki, 9 5 +, 9 8 +, , i i i i, (,9 +,9 +, ,9+ ) geometrie summa i+ i,9, ,9 Lasketaa puumäärä, ku i kasvaa rajatta. i+ i,9 lim ki lim(, ) i i,9,9 eli puita o ajamittaa 8. Vastaus: 8 5. ( + ) ( ) ( ) i i + + i i i i + i + i i i i i i i i geometrie sarja i i ( i+ ) q < 9 i Sarja o suppeeva. 9 S 8 9 9

40 geometrie sarja ( ) i i i i+ i+ q < i i Sarja o suppeeva. S geometrie sarja i i ( i+ ) q < 6 i Sarja o suppeeva. 6 S ( ) ( ) i i i i i i i i i i Vastaus: a) i i+ + l l + l + l l + l i l( +... ) l( + ) i + l lim l( + ) i i Sarja ei suppee.

41 b) ( + ) ( ) i + i i i i+ i i i+ i ( ) i i i ( ) lim(5 ) 5 i i i + + geometrie sarja i i i+ q < i Sarja o suppeeva. S ( + ) ( ) i i i+ i i+ i i i i Vastaus: a) ei suppee b) suppeee, summa o 6 5. i si i geometrie sarja i+ si q si i si suppeevuusehto < si < π + π S si Vastaus: π + π ja si

42 5. a) k + + (k + ) + (k + ) +... geometrie sarja ( k + ) q k + k + suppeevuusehto < k+ < k < < k k + k + S ( k + ) k b) k k+ ( k+ ) geometrie sarja q k + suppeevuusehto < k+ < Kaksoisepäyhtälö oikeapuoli < k+ < k + k < k+ ollakohdat k k k + k merkkikaavio k k + k k merkkikaaviosta ähdää, että k <, ku < k tai > k k + Kaksoisepäyhtälö vasepuoli

43 > k + + > k + + k + > k+ ollakohdat + k + k k + k merkkikaavio + k + k + k k merkkikaaviosta ähdää, että + k+ >, ku < k tai > k k + Suppeevuusehdo yhteeveto < k tai > k k+ k + ( k+ ) S k + k+ k + k + k+ Vastaus: a) k < < k ja k b) < k tai > k ja ( k+ ) k i 5 i i Verrataa sarja termejä sarja termeihi. 5 i i Koska kaikilla i: arvoilla ja sarja i i suppeee, myös sarja i i i 5 i i i suppeee. Vastaus: suppeee l l l l i i

44 Verrataa sarja termejä harmoise sarja termeihi. i Koska l i < i, ku i > ja harmoie sarja hajaatuu, myös sarja Vastaus: sarja hajaatuu i hajaatuu. l i i 57. Teoriaosuudessa o osoitettu,että Koska + +,5, luku e o lukuje!! e <!!! i! ja välissä. i 58. Ratkaistaa q yhtälöparista a+ aq+ aq 5 a + aq + aq + aq + aq + aq a+ aq+ aq , josta sijoitetaa alempaa a aq aq q ( a aq aq ) + q q S a aq aq aq aq aq q a aq aq ( + + ) + ( ) 9 Koska q > ei vastaava geometrie sarja suppee. Vastaus: S 9 9 ja vastaava sarja ei suppee. 59. Lukujoo ( a k ) suppeee, jos ja vai jos lim a k lim a. k k k a. Sarja Suppeeva lukujoo,,,... ja sitä vastaava sarja esimerkiksi, että k. Lukujoo,,, suppeee, koska lim. k Vastaava sarja hajaatuu, koska lim. k k k k a k hajaatuu, jos hajaatuu, ku valitaa

45 Jos sarja suppeee, ii lim a lim( a a ) lima, jolloi vastaava lukujoo k k k k ( ak ) suppeee. Siis ei voi olla mahdollista, että joo hajaatuu, ku vastaava sarja suppeee. Vastaus: Lukujoo,,, ja ei ole mahdollista, että joo hajaatuu, ku vastaava sarja suppeee. 6. Sarja i a a a + Yleie termi a +, ku + Raja-arvo lim a lim lim + + Koska lim a, ii sarja ei suppee. Vastaus: Yleie termi o a +, ku +. Sarja ei suppee. 6. Geometrie sarja suppeee, jos ja vai jo q <, missä q o sarja suhdeluku. Esimmäie termi a + Toie termi a + Sarja suhdeluku a q a 5

46 Suppeemisehdosta q < saadaa epäyhtälö a q < q a < + < +, koska aia < > ( ) + < + < + Saadaa kaksi epäyhtälöä, joide pitää olla samaaikaisesti voimassa. < + + < + ja < + + < + ja < < ja Epäyhtälö < ratkaisu o <. Määritetää epäyhtälö < ratkaisu hakemalla vastaava yhtälö ratkaisut. ( ) ( ) ( ) ± () ± + Päätellää epäyhtälö ratkaisu merkkikaavio avulla. Epäyhtälöryhmä < ja < ratkaisu 6

47 Epäyhtälöryhmä ratkaisu o Vastaus: Sarja suppeee, ku < tai < < < tai < < 6. q suppeeva geometrise sarja suhdeluku, a suppeeva geometrise sarja. termi a 5 Summa o q. Termie eliöide muodostama sarja suhdeluku o q ja.termi o a a 5 ja summa o. Saadaa yhtälöpari q 6 R a 5 5 a q q eli b g sijoitetaa alempaa S a 5 q 6 T b 5 q q b g g 5 6 q b + qgbqg 6 6 b qg b + qg q 5 Sijoittamalla saadaa a. Jote termie kuutioide muodostama suppeeva a 8 geometrise sarja summa o 8 q 5 Vastaus: 8 6. b cos geometrie sarja g 7

48 + ( cos ) q cos ( cos ) suppeevuusehto < cos < < cos < :( ) < cos < π π + kπ < < + k π, kπ S (cos ) cos π π Vastaus: + kπ < < + k π, kπ ja 6. a) i i f ( ) lim P ( ) geometrie sarja i+ q i suppeevuusehto < q < eli < < cos Sarja summa i f( ) i b) i i ( ) P ( ) f( ) i i + + P ( ) f( ) + + 8

49 c) P (,5) f(,5), +,5, (, 5),5, 5 +, +, 5, 5 l() + l,5 l,5 ( + ) l,5 l,5 : l,5 < l,5 + l,5 + 6, , Vastaus: a) Täyttää geometrise sarja suppeevuusehdo, f( ) b) k k + 7 k k lim lim k, jote sarja hajaatuu. k k + 7 k 7 + k. Fuktioide jatkuvuus ja derivoituvuus + c), ku 66. Fuktio f( ), ku Fuktio o jatkuva, ku. Tutkitaa jatkuvuutta kohdassa. Fuktio arvo f() ( ) ( + ) Fuktio raja-arvo lim f( ) lim lim + Koska fuktio raja-arvo o sama kui fuktio arvo kohdassa, o fuktio jatkuva tässä kohdassa. Täte fuktio o jatkuva kaikkialla. 9

50 si, ku 67. Fuktio f( ), ku Fuktio o jatkuva, ku. Tutkitaa jatkuvuutta kohdassa. Fuktio arvo f() si Fuktio raja-arvo lim f( ) lim Koska fuktio raja-arvo o sama kui fuktio arvo kohdassa, o fuktio jatkuva tässä kohdassa. Täte fuktio o jatkuva kaikkialla. cos, ku < 68. Fuktio f( ) a + si, ku Fuktio o jatkuva, ku. Tutkitaa jatkuvuutta kohdassa. Fuktio o jatkuva, ku fuktio arvo o sama kui fuktio raja-arvo. f () lim f ( ) lim f ( ) + a+ si( ) a+ si( ) cos a Vastaus: Fuktio o jatkuva kaikkialla, ku a. 69. Fuktio Fuktio o jatkuva, ku Osoittaja ollakohdat 5 Fuktio raja-arvo 5, ku f( ) + a, ku lim f( ) f( ) ( 5) ± ( 5) ( ) lim f( ) lim lim + Fuktio o jatkuva, ku ( + ) ( 7) + f( ) a lim f( ) 9 Vastaus: Fuktio o jatkuva, ku a

51 +, ku < 7. a) Fuktio f( ) +, ku, ku < Derivaatta f (), ku > Toispuoleiset derivaatat kohdassa f () f + () f( + h) f( ) ( + h) + h lim lim lim h h h h h f( + h) f() ( + h) + lim lim h h + h+ h + h( + h) lim lim + h h + h + + h h h Koska toispuoleiset derivaatat ovat yhtä suuret, ii f (), ku < Derivaatta f (), ku h 5+ 6, ku < b) Fuktio f( ) +, ku 5, ku < Derivaatta f () +, ku > Toispuoleiset derivaatat kohdassa f () f( + h) f( ) 5( + h) h lim lim lim h h h h h f( + h) f( ) ( + h) + ( + h) ( ) f + () lim lim + + h h h h + h h + h + h+ h(5 h+ h ) lim lim 5 h + h h + h Koska toispuoleiset derivaatat ovat yhtä suuret, ii f () 5 5, ku < Derivaatta f () +, ku h 5 Vastaus: a) f (), ku <, ku 5, ku < b) f () +, ku 5

52 7. a) Fuktio +, ku < f( ) +, ku, ku < Derivaatta f () 6+, ku > Toispuoleiset derivaatat kohdassa f () f( + h) f( ) ( + h) + h lim lim lim h h h h h f( + h) f( ) ( + h) + ( + h) f + () lim lim + + h h h h 6h+ h + h h( + h) lim lim h + h h + h h Koska toispuoleiset derivaatat ovat eri suuret, ii f () ei ole olemassa., ku < Derivaatta f () ei ole olemassa, ku 6+, ku > b) Fuktio, ku <, ku < f( ) + +, ku ( ), ku ( ), ku, ku < < Derivaatta f () ( )( + ), ku >, ku > ( + ) Toispuoleiset derivaatat kohdassa f () f + () + h) f( + h) f( ) ( + h) h lim lim lim h h ( + h) h h h h lim f( + h) f( ) ( + h) + lim h h + + h h ) h h+ ) h lim h h+ h + h lim + + h h ( h h h+ ) 5

53 lim h ( h + ) ( h h+ ) h + h 9 Koska toispuoleiset derivaatat ovat eri suuret, ii f () ei ole olemassa., ku < Derivaatta f () ei ole olemassa, ku, ku > ( + ), ku < Vastaus: a) f () ei ole olemassa, ku 6+, ku >, ku < b) f () ei ole olemassa, ku, ku > ( + ) +, ku < 7. a) Fuktio f() +, ku, ku < Derivaatta f (), ku > Toispuoleiset derivaatat kohdassa f () f + () f( + h) f( ) ( + h) + h lim lim lim h h h h h f( + h) f() ( + h) h lim lim lim + h + h h h h h h Koska toispuoleiset derivaatat ovat eri suuret, ii f () ei ole olemassa., ku < Derivaatta f () ei ole olemassa, ku, ku >, ku < b) Fuktio f() + +, ku 5

54 , ku < Derivaatta f (), ku > Toispuoleiset derivaatat kohdassa f () f + () f( + h) f( ) ( + h) h lim lim lim h h h h h f( + h) f( ) ( + h) + h lim lim lim + h + h + h h h Koska toispuoleiset derivaatat ovat eri suuret, ii f () ei ole olemassa., ku < Derivaatta f () ei ole olemassa, ku, ku >, ku < Vastaus: a) f () ei ole olemassa, ku, ku >, ku < b) f () ei ole olemassa, ku, ku >, ku < 7. Fuktio f( ) a + b, ku Derivoituva fuktio o jatkuva. Fuktio o jatkuva, ku fuktio arvo o sama kui fuktio raja-arvo. f () lim f ( ) lim f ( ) + h h a+ b a+ b a+ b Fuktio o derivoituva, ku toispuoleiset derivaatat kohdassa ovat yhtä suuret. f () f + () lim ( + ) ( ) ( + lim ) + lim lim h h h h f h f h h h h( h + ) h h h h f( + h) f() a( + h) + b ( a+ b) a h lim lim lim + h + h + h h h h a Merkitsemällä toispuoleiset derivaatat kohdassa yhtä suuriksi saadaa a. Sijoittamalla tämä jatkuvuusehtoo saadaa a + b a + b 5

55 b Vastaus: Vakiot ovat a ja b., ku < 7. Fuktio f( ) a + b, ku Derivoituva fuktio o jatkuva. Fuktio o jatkuva, ku fuktio arvo o sama kui fuktio raja-arvo. f () lim f( ) lim f( ) + a+ b a+ b lim ( ) ( + ) a+ b lim a+ b Fuktio o derivoituva, ku toispuoleiset derivaatat kohdassa ovat yhtä suuret. Osafuktiota g() ei ole määritelty kohdassa, jote sillä ei ole vasemmapuoleista derivaattaa tässä kohdassa. Täte osafuktio g derivaata vasemmapuoleise raja-arvo tulee olla sama kui fuktio f oikeapuoleie derivaatta ( ) ( ) + ( ) Osafuktio g derivaatta g () ( ) ( ) ( ) Raja-arvo lim g'( ) lim Oikeapuoleie derivaatta f + () f( + h) f() a( + h) + b ( a+ b) a h lim lim lim + h + h + h h h h a Merkitsemällä edelliset lausekkeet kohdassa yhtä suuriksi saadaa a. Sijoittamalla tämä jatkuvuusehtoo saadaa a + b a + b b Vastaus: Vakiot ovat a ja b. 75. Fuktio f() suuri ja piei arvo suljetulla välillä [ 5,]. ( + ), ku <, ku < Fuktio f() ( ), ku, ku Suljetulla välillä jatkuva fuktio saa suurimme ja pieimmä arvosa väli päätepisteessä, derivaata ollakohdassa tai kohdassa, jossa derivaattaa ei ole olemassa. Väli päätepisteet f(5) (5) f() 55

56 Derivaata ollakohdat, ku < Derivaatta f (), ku > Derivaatta o olla, ku >. Tällöi fuktio arvo o. Kohdat, joissa derivaattaa ei ole olemassa f() Vastaus: Fuktio suuri arvo o ja piei. 76. Fuktio f() + suuri ja piei arvo suljetulla välillä [,]. + ( + ), ku < +, ku < Fuktio f() + + (), ku +, ku Suljetulla välillä jatkuva fuktio saa suurimme ja pieimmä arvosa väli päätepisteessä, derivaata ollakohdassa tai kohdassa, jossa derivaattaa ei ole olemassa. Väli päätepisteet f() () () + 8 f() + Derivaata ollakohdat, ku < Derivaatta f (), ku + > Derivaata ollakohdat Ku < Ku > + Ei käy Fuktio arvo derivaata ollakohdassa f() + Kohdat, joissa derivaattaa ei ole olemassa f( ) 9 + Vastaus: Fuktio suuri arvo o 8 ja piei. 56

57 77. Osoitetaa, että fuktiolla f() o täsmällee yksi ollakohta. Fuktio f() o polyomifuktioa jatkuva kaikkialla. f() > f( ) ( ) + 5 ( ) + 5 < Koska fuktio arvot väli [,] päätepisteissä ovat erimerkkiset, fuktiolla o Bolzao, aiaki yksi ollakohta. lausee perusteella välillä ] [ Fuktio f() o polyomifuktioa derivoituva kaikkialla Derivaatta f () > Fuktio o aidosti kasvava, jote fuktiolla f() o korkeitaa yksi ollakohta. Kohdista ja seuraa, että fuktiolla f() o täsmällee yksi ollakohta. 78. Osoitetaa, että fuktiolla f() e + o täsmällee yksi ollakohta. Fuktio f() e + o polyomifuktioa jatkuva kaikkialla. f() e + > f( ) e + ( ) e,86 < Koska fuktio arvot väli [,] päätepisteissä ovat erimerkkiset, fuktiolla o Bolzao, aiaki yksi ollakohta. lausee perusteella välillä ] [ Fuktio f() e + o derivoituva kaikkialla Derivaatta f () e + + > Fuktio o aidosti kasvava, jote fuktiolla f() e + o korkeitaa yksi ollakohta. Kohdista ja seuraa, että fuktiolla f() e + o täsmällee yksi ollakohta a) Fuktio f( ) pystysuorat asymptootit Koska + ja +, ku, ii vio asymptootti o y. + b) Fuktio g ( ) pystysuorat asymptootit + Koska + + ja, ku, o vio asymptootti y. c) Fuktio + h ( ) pystysuorat asymptootit 57

58 Koska ja, ku, o vio asymptootti y. + d) Fuktio g ( ) pystysuorat asymptootit Koska ja, ku, o vio asymptootti y. Vastaus: Asymptootit ovat a) ja y b) ja y c) ja y d) ja y. 8. a) Fuktio f( ) ± pystysuorat asymptootit Koska + ja, ku, ii vio asymptootti o y. 7 + b) Fuktio g ( ) pystysuorat asymptootit + + Yhtälöllä ei ole ratkaisua, jote pystysuoria asymptootteja ei ole Koska ja 7 +, ku, ii vio asymptootti + + o y. + c) Fuktio h ( ) pystysuorat asymptootit ( ) tai Vio asymptootti saadaa jakolaskulla 58

59 + + ± + ± Koska + + ja asymptootti o y , ku, ii vio + d) Fuktio h ( ) pystysuorat asymptootit 6 6 ( ) ± ( ) ( 6) Vio asymptootti saadaa jakolaskulla ± ± ± 6± Koska ja 6 6 vio asymptootti o y , ku, ii 6 6 Vastaus: Asymptootit ovat a), ja y b) y c), ja y + d), ja y

60 8. Fuktio f( ) + + ( + + ) (+ ) + Derivaatta f () ( + + ) ( + + ) Nollakohdat f () + ± Nimittäjällä ei ole ollakohtia. Kulkukaavio f () f () mi ma Koska lim f( ) lim lim lim f( ) lim lim ii fuktio suuri arvo o f () + + ja piei arvo o f ( ) ( ) + ja Fuktio ollakohta f() + + Asymptootit Pystysuoria asymptootteja ei ole. Vio asymptootti y Piirretää fuktio kuvaaja. y Vastaus: Suuri arvo o ja piei. 6

61 8. Fuktio f( ) +, (+ ) + 6 Derivaatta f () (+ ) (+ ) Nollakohdat f () + 6 ( + 6) tai Kulkukaavio f () f () ma mi Fuktio f( ) + maksimi ( ) f ( ) () + Miimi f () + Fuktio ollakohta f() + Asymptootit Pystysuorat asymptootit + Vio asymptootti saadaa jakolaskulla 6

62 + 9 ± ± 9 9 Koska + + (+ ) o y. Raja-arvot lim f( ) lim + lim f( ) lim Piirretää fuktio kuvaaja. y ja 9, ku, ii vio asymptootti ( + ) Vastaus: Paikallie maksimi o ja miimi. 6

63 8. Fuktio f( ), + Derivaatta f () ( + ) + ( + ) ( + ) Nollakohdat f () + ( + ) tai Kulkukaavio f () f () ma mi Fuktio f( ) maksimi + Miimi f () + ( ) f ( ) + Fuktio ollakohta f() + Asymptootit Pystysuorat asymptootit + Vio asymptootti saadaa jakolaskulla + Koska Raja-arvot ± ± ja, ku, ii vio asymptootti o y. + 6

64 lim f( ) lim + lim f( ) lim Piirretää fuktio kuvaaja. y , ku 8. Fuktio f( ) a, ku Fuktio o jatkuva, ku Fuktio o jatkuva kohdassa, ku Suoritetaa jakolasku + 5+ ± lim f ( ) f() 5 ± + ± Fuktio raja-arvo 5+ ( ) ( + ) lim f( ) lim lim + 7 6

65 Fuktio o jatkuva, ku f() a lim f( ) 7 Vastaus: Fuktio o jatkuva, ku a a, ku 85. Fuktio f( ) + b, ku Fuktio o jatkuva, ku Fuktio o jatkuva kohdassa, ku Suoritetaa jakolasku a + a ± ± lim f( ) f( ) a + Fuktiolla f() o raja-arvo, ku a + eli a Fuktio raja-arvo + 5 ( + ) ( + ) lim f( ) lim lim () + () + + Fuktio o jatkuva, ku f() b lim f( ) Vastaus: Fuktio o jatkuva, ku a ja b. 86. Fuktio f() Erotusosamäärä kohdassa Δf f( ) f( ) Δ Δ f Derivaatta lim lim Δ Δ f Vastaus: Erotusosamäärä o ja derivaatta f (). Δ 87. Derivoi fuktio f() +. Fuktio f() + 65

66 Poistetaa itseisarvot. Polyomifuktio y kuvaaja o laskeva suora ja se ollakohta o. Polyomifuktio y kuvaaja o ouseva suora ja se ollakohta o., ku < +, ku < Fuktio f() + +, ku <, ku <, ku + +, ku, ku < Derivaatta f (), ku < <, ku > Toispuoleiset derivaatat kohdassa f( + h) f() h+ h f ' () lim lim lim h h h h h h f( + h) f() f ' + () lim lim lim h + h h h h Koska toispuoleiset derivaatat kohdassa ovat eri suuret derivaatta ei ole olemassa kohdassa. Toispuoleiset derivaatat kohdassa f( + h) f() f ' () lim lim lim h h h h h f( + h) f() h ( ) h f ' + () lim lim lim h + h h + h h + h Koska toispuoleiset derivaatat kohdassa ovat eri suuret derivaatta ei ole olemassa kohdassa., ku < Vastaus: Derivaatta f (), ku < < ja fuktio ei ole derivoituva, ku, ku > tai. 88. Määritä fuktio f( ) arvojoukko. Piirrä fuktio kuvaaja. + Fuktio f( ) + ( + ) Derivaatta f () ( + ) ( + ) Nollakohdat f () Kulkukaavio 66

67 f () f() mi Fuktio f( ) + miimi f () + Fuktio ollakohta f() + Asymptootit Pystysuoria asymptootteja ei ole, koska + > Vio asymptootti saadaa jakolaskulla + Koska + + ja, ku, ii vio asymptootti o y. + Raja-arvot äärettömyydessä lim f( ) lim lim + + lim f( ) lim lim + + Piirretää fuktio kuvaaja. y Vastaus: Arvojoukko o y < 67

68 + 89. Fuktio f() + ( + ) ( + ) + + Derivaatta f () ( + ) ( + ) ( + ) Derivaata ollakohdat f () + ( + ) + ( ) + Kulkukaavio ± ( ) 8, , f () f() mi ma + Fuktio f() miimi + ) f ( ) + ( ) Fuktio f() + +, maksimi + ) + f ( + ) + ( + ) , Raja-arvot äärettömyydessä lim lim + + Täte myös asymptoottia o suora y. 68

69 Fuktio saa arvot y +. Piirretää kuvaaja. y y Vastaus: Fuktio saa arvot y Fuktio f(), + (+ ) (+ ) ( + + ) Derivaatta f () ( + ) (+ ) (+ ) Derivaata ollakohdat f () + ( + ) + : + Kulkukaavio f () f () ma ± ( ) mi 69

70 Fuktio f() miimi f() + + ( ) + ( ) + Maksimi f() () + Fuktio ollakohdat f() ± 8 Ei ollakohtia Pystysuoraa asymptoottia o suora. Vio asymptootti saadaa jakolaskulla Koska Raja-arvot äärettömyydessä lim lim + Raja-arvot kohdassa lim + + +, ii vio asymptootti o y +. 7

71 lim Piirretää kuvaaja y f() Vastaus: Fuktio saa arvot y tai y. Maksimi o ja miimi. + a 9. Fuktio y +, Fuktio ääriarvot ovat derivaata ollakohdissa. (+ ) ( + a) + a Derivaatta y ' (+ ) (+ ) Derivaata ollakohtaa o, ku + a + a a Derivaata ollakohdat y ' + a a ( + ) + : + 7

72 Kulkukaavio ± ( ) f () f () ma mi + Ääriarvo, ku o miimi f() + ( ) + Ääriarvo, ku o maksimi f( ) () + Fuktio ollakohdat f() Ei ollakohtia Pystysuoraa asymptoottia o suora. Vio asymptootti saadaa jakolaskulla Koska ja, ku, ii vio asymptootti + (+ ) 7

73 o y +. Raja-arvot äärettömyydessä + lim + + lim + Raja-arvot kohdassa + lim lim + Piirretää kuvaaja y Vastaus: Vakio a. Ääriarvo, ku o miimi. Ääriarvo, ku o maksimi f( ) Fuktio f() + ( + ) ( + ) ( + + ) Derivaatta f () ( + ) ( + ) ( + ) Derivaata ollakohdat f () 7

74 + ( + ) + ± Kulkukaavio f () f() mi ma + + ( ) + ( ) + Fuktio f() miimi f() + ( ) Maksimi f() + Fuktio ollakohdat f() ± Ei ollakohtia Pystysuoraa asymptoottia ei ole koska + >. Vio asymptootti saadaa jakolaskulla Koska +, ii vio asymptootti o y. + + Raja-arvot äärettömyydessä lim lim + + 7

75 lim lim + + Piirretää kuvaaja y Vastaus: Fuktio maksimiarvo o ja miimiarvo. 9. Fuktio f() f ( ) f( ) Derivaata määritelmä f '( ) lim Derivaatta kohdassa f( ) f() f '() lim f( ) ( ) + f '() lim lim lim lim Vastaus: Derivaatta kohdassa o f (). +, ku < 9. Fuktio f() +, ku +, ku < Derivaatta f (), ku > Toispuoleiset derivaatat kohdassa 75

76 ( + h) + h h + + h f( + h) f() f ' () lim lim lim h h h h h h h h + lim h h ( + h) + h h + f( + h) f() f ' () lim lim + lim h + h h h h Koska toispuoleiset derivaatat kohdassa ovat eri suuret derivaatta ei ole olemassa kohdassa. Derivaata kuvaaja y h Vastaus: Derivaatta o f () +, ku <,, ku >. Derivaattaa ei ole olemassa, ku. 95. Esimerkki fuktiosta f y R bg S T +, ku <, ku < +, ku

77 Fuktio ei ole jatkuva, ku, koska f () lim f( ) lim f( ). + Ei derivaattaa kohdassa, koska f ei ole jatkuva tässä pisteessä, eikä myöskää ' ' kohdassa, koska f f bg + bg. 96. Fuktio f o kasvava: Jos <, ii f ( ) f ( ). R Esimerkki epäjatkuvasta kasvavasta fuktiosta fbg S T, +, > Fuktio o kasvava, koska f 'bg>, ku ja epäjatkuva, koska lim f ( ) lim f( ) f(). + y Esimerkki kasvavasta fuktiosta, joka o origossa jatkuva mutta ei derivoituva,, f( ), >. Fuktio o jatkuva, koska lim f ( ) lim f( ) f() mutta ei derivoituva, koska ( ) f ( ) f ' '. + y

78 97. Fuktio (+ ), ku <, ku < f() (+ ), ku < +, ku < + (+ ), ku +, ku Fuktio o jatkuva fuktio itseisarvofuktioa jatkuva. Kaikkialla jatkuva fuktio saavuttaa ääriarvosa derivaata ollakohdissa tai kohdissa, joissa derivaatta ei ole olemassa., ku < Derivaatta f (), ku < <, ku > Derivaatalla ei ole ollakohtia. Kohdat, joissa derivaatta ei mahdollisesti ole olemassa ovat kohdat, joissa paloittai määritelly fuktio lauseke vaihtuu. f + f() + Fuktio kuvaaja y Kuvaaja perusteella fuktiolla o miimi Vastaus: Miimi o. f 78

79 5. Korkeammat derivaatat 98. Fuktio f() 5. derivaatta f () 5 Derivaata arvo f ( ) ( ) 5. derivaatta f () 6 Derivaata arvo f ( ) 6 ( ) 6. derivaatta f () 6 Derivaata arvo f ( ) 6 Vastaus: f ( ), f ( ) 6 ja f ( ) Fuktio f() 6. derivaatta f () derivaatta f (). derivaatta f () 8. derivaatta f () () 6 8 Derivaata arvo f () ( ) 6 ( ) 8 Vastaus: Derivaatta o f () ( ).. Fuktio f() cos. derivaatta f () si. derivaatta f () cos. derivaatta f () si. derivaatta f () () cos 5. derivaatta f (5) () si Derivaata arvo f (5) (π) si π Vastaus: Derivaatta o f (5) (π) si π.. Fuktio f() 6 +. derivaatta f () derivaatta f () derivaata ollakohdat f () : ( 8) ± ( 8) Vastaus:. derivaata ollakohdat ovat ja 7.. Fuktio yleie derivaatta a) Fuktio f() e 79

80 . derivaatta f () e. derivaatta f () e :s derivaatta f () () e b) Fuktio f() e. derivaatta f () e. derivaatta f () e e. derivaatta f () e e :s derivaatta f () () e Vastaus: a) f () () e b) f () () e. Määritetää fuktio yleie derivaatta. a) Fuktio f() si. derivaatta f () cos. derivaatta f () si. derivaatta f () cos. derivaatta f () () si 5. derivaatta f (5) () cos 6. derivaatta f (6) () si 7. derivaatta f (7) () cos 8. derivaatta f (8) () si 9. derivaatta f (9) () cos cos, ku k + :s derivaatta f () si, ku k + () cos, ku k + si, ku k + ku k,,, b) Fuktio f() si. derivaatta f () cos. derivaatta f () si si. derivaatta f () cos. derivaatta f () () si 5. derivaatta f (5) () 5 cos 6. derivaatta f (6) () 6 si 7. derivaatta f (7) () 7 cos 8. derivaatta f (8) () 8 si 9. derivaatta f (9) () 9 cos cos, ku k + :s derivaatta f () si, ku k + () cos, ku k + si, ku k + ku k,,, 8

81 cos, ku k + Vastaus: Yleie derivaatta o a) f () si, ku k + () cos, ku k + si, ku k + cos, ku k + b) f () si, ku k + () ku k,,,. cos, ku k + si, ku k +. Käyrä y. derivaatta y () 6. derivaatta y () Kuperuus a) y ( ) ( ) ( ) > kupera alaspäi b) y () < kupera ylöspäi c) y () < kupera ylöspäi Vastaus: a) kupera alaspäi b) kupera ylöspäi c) kupera ylöspäi 5. a) Fuktio f() derivaatta f () derivaatta f () +. derivaata ollakohdat f () + : Kuperuuskaavio f () f () Kohdassa o kääepiste. Pistee y-koordiaatti y () 5 + () + 9 () Kääepiste o (,). b) Fuktio f() derivaatta f () 6 +. derivaatta f () 6. derivaata ollakohdat f () 6 : 8

82 Kuperuuskaavio f () f () ( ) ± ( ) ( ) Kohdassa o kääepiste. Pistee y-koordiaatti y () () 8 () + () Kohdassa o kääepiste. Pistee y-koordiaatti y Kääepisteet ovat (,7) ja (, 9). Vastaus: Kääepisteet ovat a) (,) b) (,7) ja (, 9). 6. Määritä fuktio f() kuvaaja kuperuussuuat ja kääepisteet. Fuktio f(). derivaatta f (). derivaatta f () 6. derivaata ollakohdat f () 6 6 :6 Kuperuuskaavio f () f () Fuktio o kupera ylöspäi, ku < ja kupera alaspäi, ku >. Kohdassa o kääepiste. Vastaus: Fuktio o kupera ylöspäi, ku < ja kupera alaspäi, ku >. Kohdassa o kääepiste. 8

83 7. Fuktio f(). derivaatta f (). derivaatta f (). derivaata ollakohdat f () : 6 ± Kuperuuskaavio 6 f () f () 6 6 Fuktio o kupera ylöspäi, ku < tai > ja kupera alaspäi, 6 6 ku < < 6 6. Kohdissa ja o kääepisteet. 6 6 Vastaus: Fuktio o kupera ylöspäi, ku < tai > ja kupera alaspäi, 6 6 ku < < 6 6. Kohdissa ja o kääepisteet a) Fuktio f() derivaatta f () derivaata ollakohdat f () : + + ± +. derivaatta f () 6 +. derivaata arvot. derivaata ollakohdissa f ( ) 6 ( ) + 6 maksimikohta f ( ) 6 ( ) + 6 miimikohta 8

84 b) Fuktio g(). derivaatta g (). derivaata ollakohdat g () :. derivaatta g () 6. derivaata arvot. derivaata ollakohdassa g () 6 Koska. derivaata arvo o olla, joudutaa ääriarvo laatu tutkimaa kulkukaavio avulla. Kulkukaavio g () g() Fuktiolla g ei ole ääriarvokohtia. Vastaus: a) Maksimikohta o ja miimikohta b) Fuktiolla ei ole ääriarvokohtia. 9. a) Fuktio f() cos + si. derivaatta f () ( si ) + cos si + cos. derivaata ollakohdat f () si + cos si si cos si cos + cos cos ( si + ) cos tai si + cos si cos cos π ± π + π si si 6 π 6 π + π tai π 6 π + π 5 π + π 6. derivaatta f () cos + ( si ) cos si. derivaata arvot. derivaata ollakohdissa f ( π + π) cos [( π + π)] si( π + π) miimikohta f ( π + π) cos [( π + π)] si( π + π) 6 miimikohta 8

85 π π π f ( + π) cos [( + π)] si( + π) maksimikohta f ( 5 π 5π 5π + π) cos [( + π)] si( + π) maksimikohta π π π Miimikohdat ovat + π ja + π sekä maksimikohdat + π 6 ja 5 π + π, missä. 6 cos cos b) Fuktio f() cot cos cos, π si si si cos si cos cos si cos cos. derivaatta f () si si ( cos ) cos cos cos cos cos cos cos si si si. derivaata ollakohdat f () cos cos si cos cos cos (cos ) cos tai cos cos cos π cos cos cos ± ± π + π Ei ratkaisua, koska cos. derivaatta cos cos si cos si (cos cos ) cos si f () si si cos si cos si + cos si si si ( cos si cos + cos ) si cos ( cos ) cos + cos si cos + cos cos + cos cos + cos si si 85

86 . derivaata arvot. derivaata ollakohdissa π π cos π + π + cos + π f ( + π) π si + π π π cos π + π + cos + π f ( + π) π si + π Koska. derivaata arvo. derivaata ollakohdassa o olla, ii ääriarvoje laatu pitää tutkia kulkukaavio avulla. Kulkukaavio välillä ], π [ g () g() π π π π ma mi Miimikohta o kohdassa π + π, ja maksimikohta, ku π + π, missä. y 7,85 6,8,7,,57,57,,7 6,8 7,85 Vastaus: a) Miimikohdat ovat π + π ja π + π ja maksimikohdat 86

87 π 5π π + π ja + π, missä b) Miimikohta o kohdassa + π, ja 6 6 π maksimikohta, ku + π, missä.. Fuktio f() l. derivaatta f (). derivaatta f (). derivaatta f (). derivaatta f () () 6 5. derivaatta f (5) () 5 6. derivaatta f (6) 6 () 6 Vastaus: f (6) () 6. Fuktio yleie derivaatta a) Fuktio f() l. derivaatta f (). derivaatta f (). derivaatta f () ( ). derivaatta f () () 6 ( ) ( ) ( )! derivaatta f (5) () ( ) ( ) ( ) ( )! :s derivaatta f () () ( ) ( )! b) Fuktio f(). derivaatta f (). derivaatta f () ( ). derivaatta f () ( )( ). derivaatta f () ( )( )( ) :s derivaatta f () () ( )( )( ) ( ( ))! c) Fuktio f() l. derivaatta f () l + l+. derivaatta f (). derivaatta f () 87

88 . derivaatta f () () ( ) 5. derivaatta f (5) () 6 ( ) ( ) ( )! derivaatta f (6) () ( ) ( ) ( ) ( )! :s derivaatta f () () + ( ) ( )! Vastaus: :s derivaatta o a) f () () ( ) ( )! b) f () ()! c) f () l +, f () () ( ) ( )! +, ku e. a) Fuktio f( ) e e e ( ). derivaatta f (). derivaata ollakohdat f () e ( ) e ( ) e tai Ei ratkaisua [ e ( ) + e ] e ( ) e e + e. derivaatta f () e ( + ) e ( + ). derivaata arvot. derivaata ollakohdissa e ( + ) f () e miimikohta e Fuktio f( ) paikallie miimi f() Miimipiste o (, e). e e b) Fuktio kääepisteet sijaitsevat toise derivaata ollakohdissa. e ( + ). derivaatta f (). derivaata ollakohdat f () e ( + ) e tai + 88

89 Ei ratkaisua Fuktiolla ei ole kääepisteitä. Fuktio kuvaaja y ± Ei ratkaisua ± ( ) ( ) y e Vastaus: a) Miimipiste o (, e). b) Fuktiolla ei ole kääepisteitä.. Ratkaisu y Asi k + Bcos k. derivaatta y Akcos k Bksi k. derivaatta y Ak si k Bk cos k Sijoitetaa yhtälöö y k y. Ak si k Bk cos k k (Asi k + Bcos k) k Asi k k Bcos k Täte y Asi k + Bcos k toteuttaa yhtälö y k y.. Ratkaisu y Ae k + Be k. derivaatta y kae k kbe k. derivaatta y k Ae k + k Be k Sijoitetaa yhtälöö y k y. k Ae k + k Be k k (Ae k + Be k ) k Ae k + k Be k Täte y Asi k + Bcos k toteuttaa yhtälö y k y. 5. Käyrä y + a + b. derivaatta y + a. derivaatta y. derivaata ollakohdat y () 89

90 Kuperuuskaavio y () y() Käyrällä ei ole kääepisteitä, koska kuperuude suuta ei muutu. Vastaus: Käyrällä ei ole kääepisteitä. 6. Käyrä y f() a + b + c + d Käyrä kulkee pistee, kautta. f() a + b + c + d 8a + 9b + c + d a + 6b + c + d Käyrä kulkee pistee (,5) kautta. f() 5 a + b + c + d 5 6a + b + c + d 5 Fuktio. derivaatta f () a + b + c Piste, o miimipiste, jote f () a + b + c 8a + 6b + c Fuktio. derivaatta f () a + b Piste (,5) o kääepiste, jote f () a + b 8a + b Saadaa yhtälöryhmä a+ 6b+ c+ d 6a+ b+ c+ d 5 8a+ 6b+ c 8a+ b Alimmasta yhtälöstä saadaa b a. Sijoitetaa muihi yhtälöihi. 9

91 a 86a+ c+ d 6a 96a+ c+ d 5 8a a+ c 5a+ c+ d 8a + c + d 5 6a + c Alimmasta yhtälöstä saadaa c 6a. Sijoitetaa muihi yhtälöihi. 5a+ a+ d 8a + 7a + d 5 8a+ d 8a + d 5 Alimmasta yhtälöstä saadaa d 5 + 8a. Sijoitetaa ylempää yhtälöö. 8a + + a 76a 9 a Lasketaa muut vakiot. b a 6 c 6a 6 9 d 5 + 8a Fuktio f() derivaatta f () + 9. derivaata yksi ollakohta o, jote derivaata tekijää o. Suoritetaa jakolasku ± ± ± 9. derivaata muut ollakohdat + 9

92 ± ( ), 79 +,79. derivaatta f (). derivaata arvot. derivaata ollakohdissa f, miimikohta f, maksimikohta Vastaus: Vakiot ovat a, b 6, c 9 ja d 7. Miimikohta o ja + maksimikohta. 7. Fuktio f() a + b Fuktio kuvaaja kulkee pistee (, ) kautta. f() a + b a + b Fuktio. derivaatta f () a + b Ääriarvo l, ku l, jote f () a + b a + b Saadaa yhtälöpari a+ b a+ b Alemmasta yhtälöstä saadaa b a. Sijoitetaa ylempää yhtälöö. a a a Lasketaa muut vakiot. b a Fuktio f() Fuktio ollakohdat f() 9

93 ( ) tai tai ±. derivaatta f (). derivaatta f (). derivaata ollakohdat f () : ± Kuperuuskaavio f () f () Fuktio f() o kupera alaspäi, ku tai ja kupera ylöspäi, ku. Fuktio f() kääepisteet Ku, ii Ku, ii f f Kääepisteet ovat, 9 ja 5, 9. Fuktio kuvaaja 9

94 y 5 5 Vastaus: Vakiot ovat a ja b. Nollakohdat ovat tai ±. Kääepisteet 5 ovat, 9 ja 5, 9 8. Fuktio f() si + si, < < π. derivaatta f () cos + cos. derivaata ollakohdat f () cos + cos : cos + cos cos cos cos + cos Sijoitetaa cos t. t + t ± ( ) t 9 t + 9 t Sijoitetaa t cos. cos tai cos cos cos( π) ±π + π cos cos π ± π + π Välille ] [ π 5π, π kuuluvat. derivaata ollakohdat ovat, π ja.. derivaatta f () ( si ) + ( si ) si si. derivaata arvot. derivaata ollakohdissa π π π f ( ) si [( )] si( ) maksimikohta f (π) si π si π ei tietoa 9

95 f ( 5 π 5π 5π ) si [( )] si( ) miimikohta Kulkukaavio kohda π ympäristössä f () f() π Ei ääriarvoa kohdassa π. Fuktio f() si + si ääriarvot π π π Maksimi f( ) si [( )] + si +,6 Miimi f( 5 π 5π 5π ) si [( )] + si +,6 Piirretää fuktio kuvaaja. y,57,,7 6,8 7,85 Vastaus: Fuktio maksimi o ja miimi. 9. Fuktio f() cos α cos (+ α), α vakio. derivaatta f () + si (+ α) si (+ α). derivaatta f () cos (+ α). derivaata ollakohdat f () cos (+ α) : π cos (+ α) cos 95

96 π + α ± + π π α ± + π : α π ± + π, Fuktio arvo. derivaata ollakohdissa α π α π π f ± + π cosα cos π α cosα cos α π α ± + + ± + + π cosα cos ± + π cosα Arvo o vakio, koska α o vakio.. Fuktio f() A + e. derivaatta f () A e. derivaata ollakohdat f () A e e A Koska e >, yhtälöllä o ratkaisu aioastaa, ku A >. Täte fuktiolla ei ole laikaa ääriarvokohtia, jos A. Ku A > saadaa. derivaata ollakohdaksi e A l A l A. derivaatta f () e. derivaata arvo. derivaata ollakohdassa f (A) e (l A) A > miimikohta Täte fuktiolla A + e o yksi miimikohta, jos A >, mutta ei laikaa ääriarvokohtia, jos A.. Fuktio f() si + cos. derivaatta f () cos si. derivaata ollakohdat f () cos si cos si :cos ta ta ta,7,7 + π 96

97 . derivaatta f () si cos. derivaata arvot. derivaata ollakohdissa f (,7 + π) si(,7 + π) cos(,7 + π), maksimikohta f (,7 + π + π) si(,7 + π + π) cos(,7 + π + π), miimikohta Fuktio f() si + cos ääriarvot Maksimi f(,7 + π) si (,7 + π) + cos(,7 + π), Miimi f(,7 + π + π) si (,7 + π + π) + cos(,7 + π + π), Vastaus: Fuktio maksimi o, ja miimi,. Testaa hyvät taitosi 6. Fuktio f() 5 5. derivaatta f () 5. derivaatta f (). derivaatta f () 8. derivaata arvo f 8 Vastaus: Kolmae derivaata arvo o f.. Sarja + ( + ) + ( + ) + o geometrie, sillä riippumato :stä. Geometrie sarja suppeee, ku < q < < + < < < Vastaus: Sarja suppeee, ku < <. + a+ ( + ) q + a ( + ) o. Fuktio f() + o jatkuva välillä [, ] ja derivoituva välillä ], [. Suljetulla välillä jatkuva fuktio saavuttaa suurimma ja pieimmä arvosa tällä välillä. Koska fuktio o derivoituva, suuri ja piei arvo sijaitsevat joko väli päätepisteissä tai derivaata ollakohdissa. Väli päätepisteet Fuktio f() + arvot väli päätepisteissä. f() + f() + Derivaata ollakohdat Fuktio f() + 97

98 Derivaatta f () Derivaata ollakohdat f () : Fuktio f() + arvo derivaata ollakohdassa f() + Vastaus: Fuktio suuri arvo välillä [, ] o ja piei. ) si si. Raja-arvo lim lim. Vastaus: Raja-arvo o. 5. Lasketaa raja-arvo. 5 5 ) 5 5 lim + lim lim + + e 5 5 Vastaus: Raja-arvo o e Geometrie sarja a 5 Suhdeluku q 6 a a Summa S 5 6 q Vastaus: Sarja summa o Osoitetaa, että fuktiolla f() 5 + o täsmällee yksi ollakohta. Fuktio f() 5 + o polyomifuktioa jatkuva kaikkialla. f() 5 + < f() 5 + > Koska fuktio arvot väli [,] päätepisteissä ovat erimerkkiset, fuktiolla o Bolzao lausee perusteella välillä ], [ aiaki yksi ollakohta. Fuktio f() 5 + o polyomifuktioa derivoituva kaikkialla Derivaatta f () + 9 Derivaata ollakohdat f ()

99 ( + 9) tai + 9 Ei ollakohtia Koska ja + 9 >, ii f () + 9. Fuktio o aidosti kasvava, jote fuktiolla f() o korkeitaa yksi ollakohta. Kohdista ja seuraa, että fuktiolla f() o täsmällee yksi ollakohta. 8. Määritetää raja-arvo lim lim 8 Vastaus: Raja-arvo o Raja-arvo lim Määritetää toispuoleiset raja-arvot lim lim lim ( ), koska, jolloi + lim lim, koska, jolloi + + Koska toispuoleiset raja-arvot ovat eri suuret, raja-arvoa ei ole olemassa. Vastaus: Raja-arvoa ei ole olemassa. 7. Osoitetaa, että fuktio f() ei saa arvoa. Määritetää fuktio ääriarvot ja fuktio kulku. 7 Fuktio f(), ± ( ) ( 7) Derivaatta f () ( ) ( ) Derivaata ollakohdat f () ( ) : Kulkukaavio + 99

100 f () f () mi 7 Fuktio f() miimi f() saa arvoa. 7 7 Koska lim lim 7, jote välillä < < fuktio ei ja fuktio o kasvava, ku >, ii f() <, ku >. 7 7 Koska lim lim ja fuktio o väheevä, ku <, ii f() <, ku <. 7 Fuktio f() saa arvot f() < tai f(), jote fuktio f() ei saa arvoa. 6. Aalyysi peruslause. Käyrä y ja -akseli välii jäävä aluee pita-ala likiarvo välillä [,] Osaväli pituus Δ 5 5 a) Taulukoidaa osavälie pita-aloje arvot. Osaväli Osaväli alaraja Fuktio arvo alarajalla Osaväli ala,,,,,,8,,6,,6,,6,8,6,6,7,8,,8,6,8 Ala,

101 b) Taulukoidaa osavälie pitaaloje arvot. Osaväli Osaväli yläraja Fuktio arvo ylärajalla Osaväli ala,,,,8,,,,6,,,6,6,6,7,6,8,8,6,8,8,, Ala, Vastaus: Ala o a), b),. Fuktio f() l a) Taulukoidaa osavälie pita-aloje arvot. Osaväli Osaväli alaraja Fuktio arvo alarajalla Osaväli ala,,,,,,95,95,,,,8,8,,,,66,66,,5,,67,67,5,6,5,565,57,6,7,6,7,7,7,8,7,568,56,8,9,8,587787,58779,9,,9,685,685 Ala,5 b) Taulukoidaa osavälie pita-aloje arvot. Osaväli Osaväli yläraja Fuktio arvo ylärajalla Osaväli ala,,,,95,95,,,,8,8,,,,66,66,,,,67,67,,5,5,565,57,5,6,6,7,7,6,7,7,568,56,7,8,8,587787,58779

102 ,8,9,9,685,685,9,,697,695 Ala,55 Vastaus: Ala o a),5 b),55.. Pita-ala likiarvo välillä [,] jakamalla väli yhdeksää suorakulmioo Fuktio f() o aidosti väheevä. a) Koska fuktio o aidosti väheevä, jokaise osaväli piei arvo o osaväli ylärajalla. Taulukoidaa osavälie pita-aloje arvot. Osaväli Osaväli yläraja Fuktio arvo ylärajalla Osaväli ala,5,5,,,5,5 5 5,, 56 6,66667, ,857, ,5,5 89 9,, 9,,,98968 b) Koska fuktio o aidosti väheevä, jokaise osaväli suuri arvo o osaväli alarajalla. Taulukoidaa osavälie pita-aloje arvot. Fuktio Osaväli Osaväli alaraja arvo alarajalla Osaväli ala,5,5,, 5,5,5 56 5,, 67 6,66667, ,857, ,5,5 9 9,, Ala,88968 Vastaus: Ala o a),98968 b),88968.

103 5. Käyrä y Jaetaa väli [,] :ää yhtä leveää osavälii. Osaväli pituus Δ Osaväli Muuttuja arvo väli alarajalla Muuttuja arvo väli ylärajalla i i ( i ) i i a) Koska fuktio f() derivaatta f () o ei-egatiivie, fuktio f() o aidosti kasvava ja jokaise osaväli piei arvo saadaa väli alarajalla. Lasketaa pita-ala rajaarvo käyttäe osaväli alarajoja. i i Suorakulmio korkeus osaväli alarajalla f i i i Osaväli pita-ala f Δ Koko aluee ala i i i s f Δ i i i ( + ) i Taulukkokirjasta i i i i ) ( + ) +, ku b) Fuktio o aidosti kasvava ja jokaise osaväli suuri arvo saadaa väli ylärajalla. Lasketaa pita-ala raja-arvo käyttäe osaväli ylärajoja.

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x =

2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x = TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. a) g( ) = 5 + 6 Koska g o eljäe astee polyomi, ii

Lisätiedot

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p MAA9 Koe.5.0 Jussi Tyi Tee koseptii pisteytysruudukko! Muista kirjata imesi ja ryhmäsi. Valitse kuusi tehtävää!. a) Ratkaise yhtälö si x. Ilmoita vastaus radiaaeia! b) Määritä paljoko o cos. Ilmoita tarkka

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

3.2 Polynomifunktion kulku. Lokaaliset ääriarvot

3.2 Polynomifunktion kulku. Lokaaliset ääriarvot 3. Polyomifuktio kulku. Lokaaliset ääriarvot Tähäastiste opitoje perusteella osataa piirtää esiasteise polyomifuktio kuvaaja, suora, ku se yhtälö o aettu. Osataa myös pääpiirtei hahmotella toise astee

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (

Lisätiedot

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1 Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku

Lisätiedot

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims 75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva

Lisätiedot

117 = 27 + (11 1) d = 90 :10. Yhdeksäs termi a. Vastaus: Yhdeksäs jäsen on 99.

117 = 27 + (11 1) d = 90 :10. Yhdeksäs termi a. Vastaus: Yhdeksäs jäsen on 99. a = a+ ( ) d a = 7, a = 7, = 7 = 7 + ( ) d 0d = 90 :0 d = 9 Yhdeksäs termi a 9 = 7 + (9 ) 9 = 99 Vastaus: Yhdeksäs jäse o 99. 0. Aritmeettisesta lukujoosta tiedetää, että S =. Mikä o lukujoo 7. ja :s jäse?

Lisätiedot

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa

Lisätiedot

1 Eksponenttifunktion määritelmä

1 Eksponenttifunktion määritelmä Ekspoettifuktio määritelmä Selvitimme aikaisemmi tällä kurssilla, millaie potessisarja säilyy derivoiissa muuttumattomaa. Se perusteella määritellää: Määritelmä. Ekspoettifuktio exp : R R määritellää lausekkeella

Lisätiedot

xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x)

xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x) BM20A580 Differetiaalilasketa ja sovellukset Harjoitus 3, Syksy 206. Laske seuraavat itegraalit si(4t + )dt (b) x(x 2 + 00) 000 dx (c) x exp(ix )dx 2. Mitä o y, ku (x ) 2 + y 2 = 2 2, etäpä y? Vastaukset

Lisätiedot

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit .4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

2.3.1. Aritmeettinen jono

2.3.1. Aritmeettinen jono .3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

Analyysi A. Harjoitustehtäviä lukuun 1 / kevät 2018

Analyysi A. Harjoitustehtäviä lukuun 1 / kevät 2018 Aalyysi A Harjoitustehtäviä lukuu / kevät 208 Ellei toisi maiita, tehtävissä esiityvät muuttujat ja vakiot ovat mielivaltaisia reaalilukuja.. Aa joki ylä- ja alaraja joukoille { x R x 2 + x 6 ja B = {

Lisätiedot

Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA,

Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA, Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA, MAA6 1. Suurin ja pienin arvo suljetulla välillä Lause, jatkuvan funktion ääriarvolause: Suljetulla välillä a, b jatkuva funktio f saa aina pienimmän ja suurimman

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN

VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät

Matematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät Matematiika tukikurssi Kertausta. välikokeesee Tehtävät Algebraa Tämä kappale sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Suurimpaa osaa tehtävistä löytyy ratkaisut lopusta. Syyä rusaasee tehtävämäärää o, että

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kertauslueto. välikokeesee Algebraa Tämäkertaie kurssimoiste sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Syyä tähä o se, että matematiikkaa oppii parhaite itse tekemällä ja laskemalla.

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10-13

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10-13 Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo -. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x +9, b) log (x) 7, c) x + x 4 =.. Määrää kaikki ne

Lisätiedot

Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x

Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa

Lisätiedot

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali 6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Mite opit parhaite? Valmistaudu pitkä- tai lyhye matematiika kirjoituksii ilmaiseksi Mafyetti-ohjelmalla! Harjoittelu tehdää aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat

Lisätiedot

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B Tilastollie päättely II, kevät 7 Harjoitus 3B Heikki Korpela 3. maaliskuuta 7 Tehtävä. Jatkoa harjoitukse B tehtävii -3. Oletetaa, että x i c kaikilla i, ku c > o vakio. Näytä, että ˆβ, T ja T ovat tarketuvia.

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja

Lisätiedot

Matematiikkaa kauppatieteilijöille

Matematiikkaa kauppatieteilijöille Matematiikkaa kauppatieteilijöille Harjoitus 7, syksy 2016 1. Funktio f(x) = x 2x 2 + 4 on jatkuva ja derivoituva kaikilla x R. Nyt funktio f(x) on aidosti alaspäin kupera kun f (x) > 0 ja aidosti ylöspäin

Lisätiedot

2.2 Monotoniset jonot

2.2 Monotoniset jonot Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (

Lisätiedot

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia

5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

A = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.

A = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2. MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset

Lisätiedot

5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia. 1. Tarkastellaan väitettä

5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia. 1. Tarkastellaan väitettä ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion

Lisätiedot

3 Lukujonot matemaattisena mallina

3 Lukujonot matemaattisena mallina 3 Lukujoot matemaattisea mallia 3. Aritmeettie ja geometrie joo 64. a) Lukujoo o aritmeettie joo, joka yleie jäse o a 3 ( ) 4 34 4 4 b) Lukujoo o geometrie joo, joka yleie jäse o c) Lukujoo o geometrie

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

Juuri 13 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. K1. A: III, B: I, C: II ja IV.

Juuri 13 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. K1. A: III, B: I, C: II ja IV. Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 Keraus K. A: III, B: I, C: II ja IV Kuvaaja: I II III IV Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 K. a) lim ( ) Nimiäjä ( ) o aia

Lisätiedot

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia? Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1. Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x

Lisätiedot

Kertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja.

Kertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja. MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Aalyysi I Harjoitus 5. 0. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia ( sivua) (Rami Luisto) Laskuharjoituksista saa pistettä, jos laskettu vähitää 50 tehtävää; 3 pistettä,

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.

Lisätiedot

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 3

Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 3 83 Tekijä Pitkä matematiikka 7..07 a) Osoitetaa sijoittamalla, että yhtälö toteutuu, ku x =. + 6= 0 6 6= 0 0= 0 tosi Luku x = toteuttaa yhtälö x + x 6= 0. b) Osoitetaa ratkaisemalla yhtälö. x + x 6= 0

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

MAA7 7.2 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! lim.

MAA7 7.2 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! lim. MAA7 7. Koe Jussi Tyni 8.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 9 lim 6 lim 1. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). 1 f ( ) derivaatta 1 Onko funktio f ( ) 9 kaikkialla vähenevä? Perustele vastauksesi

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia 3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat

Lisätiedot

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy

Lisätiedot

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a) K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5. a) Ratkaise epäyhtälö >. b) Määritä kaikki luvut, jotka toteuttavat vaatimuksen: Luvun neliön ja vastaluvun summa on. c) Sievennä

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Normaalijäits N N Leikkausjäits Q Q KAKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Lerakee STRE SS CONTOURS OF SE 4.4483 8.8966 4.345 65.793 7.4 48.69 9.38 33.586 373.35 Ma 45.4 At Node 438 Mi.9

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan

Lisätiedot