3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO"

Transkriptio

1 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n korkeudella ja lentää n. 40 m:n päähän

2 2. Kuvan perusteella leikkauskuvio on paraabeli, kun tason kulma on 63. Vastaus: 63

3 3.1 Paraabeli ALOITA PERUSTEISTA 301. a) Yhtälön y = x 2x 2 lauseke on toista astetta, joten sen kuvaaja on paraabeli. Vastaus: on b) Yhtälön y = 4x 3 lauseke on ensimmäistä astetta, joten sen kuvaaja ei ole paraabeli. Vastaus: ei c) Yhtälön y = x(2x 1) = 2x 2 x lauseke on toista astetta, joten sen kuvaaja on paraabeli. Vastaus: on d) Yhtälön y = 2x 3 1 lauseke on kolmatta astetta, joten sen kuvaaja ei ole paraabeli. Vastaus: ei

4 302. Täydennetään taulukko etsimällä kuvaajasta x-koordinaatteja vastaavat y- koordinaattien arvot. Kuvassa määritetty muuttujan y-arvot, kun x = 1 ja x = 4. x y a) Paraabelin huippu on noin pisteessä ( 2, 1). Vastaus: n. ( 2, 1)

5 b) Muuttujaa x = 4 vastaava funktion arvo on 3. Vastaus: f(4) 3 c) x-akselin leikkauspisteet ovat noin ( 3, 0) ja ( 1, 0) ja y-akselin leikkauspiste on noin (0, 3) Vastaus: x-akseli n. ( 3, 0) ja ( 1, 0), y-akseli n. (0, 3) d) Nollakohdat ovat x 3 ja x 1 Vastaus: x 3 ja x 1

6 304. a) Siirretään appletin liukukytkimellä nopeus 80 km/h kohdalle. Kun nopeus on 80 km/h, niin pysähtymismatka on noin 52 m. Vastaus: n. 52 m b) Siirretään appletin liukukytkintä, kunnes pysähtymismatka on 70 m. Pysähtymismatka on 70 metriä, kun nopeus on 100 km/h. Vastaus: 100 km/h

7 305. a) Lasketaan puuttuvat y:n arvot yhtälöstä y = x b) x y = x (x, y) = = 1 (0, 1) = 2 (1, 2) 2 5 (2, 5) 1 2 ( 1, 2) 2 ( 2) = 5 ( 2, 5) 0,5 0, = 1,25 (0,5; 1,25) 0,5 1,25 ( 0,5; 1,25) 306.

8 a) Muuttujan x = 2 arvoa vastaa funktion arvo 2,0 ja muuttujan x = 0 arvoa vastaa funktion arvo 2,0. Vastaus: f(2) 2,0 ja f(0) 2,0 b) Funktion nollakohdat ovat x 3,0 ja x 1,0. Vastaus: x 3,0 ja x 1,0

9 c) Funktion arvoa 3,5 vastaa muuttujan arvot x 4,0 ja x 2,0. Vastaus: x 4,0 tai x 2,0 d) Huipun x-koordinaatti on nollakohtien puolivälissä, eli kun 3,0 + 1,0 2,0 x = = = 1, Huippu on noin pisteessä ( 1,0; 2,7). Vastaus: n. ( 1,0; 2,7)

10 VAHVISTA OSAAMISTA 307. a) Funktion f(x) = x(2x 1) = 2x 2 + x lauseke on toista astetta, joten sen kuvaaja on paraabeli a) Vastaus: on b) Funktion f(x) = (2x 1) 2 = (2x 1)(2x 1) = 4x 2 2x 2x + 1 = 4x 2 4x + 1 lauseke on toista astetta, joten sen kuvaaja on paraabeli. Vastaus: on c) Funktion f(x) = (2x 1) 3 lauseke saadaan symbolisella laskimella muotoon f(x) = 8x 3 12x 2 + 6x 1 ja se on kolmatta astetta, joten sen kuvaaja ei ole paraabeli. Vastaus: ei Kuvaaja leikkaa y-akselin noin pisteessä (0, 3). Vastaus: n. pisteessä (0, 3)

11 b) Kuvaaja leikkaa x-akselin noin pisteissä ( 1, 0) ja (3, 0). Vastaus: n. pisteissä ( 1, 0) ja (3, 0) c) Huipun koordinaatit ovat noin pisteessä (1, 4). Vastaus: n. (1, 4)

12 d) Funktion f arvo kohdassa x = 2 on noin 3. Vastaus: f(2) 3 e) Funktion f arvoa 5 vastaavat muuttujan arvot x 2 ja x 4. Vastaus: x 2 ja x 4

13 f) Funktio f saa negatiivisia arvoja, kun kuvaaja on x-akselin alapuolella a) Funktio saa negatiivisia arvoja, kun x on lukujen 1 ja 3 välissä. Vastaus: kun x on lukujen 1 ja 3 välissä Kiikari putoaa 2,6 sekunnissa noin = 33 metriä. Vastaus: n. 33 m

14 b) 310. a) ja b) Kiikari osuu maahan noin 13 sekunnin putoamisen jälkeen. Vastaus: n. 13 s kuluttua putoamisessa c) Kuvaajan perusteella paraabelin ja suoran leikkauspisteet ovat ( 2, 4) ja (1, 1). Sijoitetaan piste ( 2, 4) paraabelin yhtälöön: y = ( 2) 2 = 4, tosi. Sijoitetaan piste ( 2, 4) suoran yhtälöön: y = 2 2 = 4, tosi.

15 Sijoitetaan piste (1, 1) paraabelin yhtälöön: y = 1 2 = 1, tosi. Sijoitetaan piste (1, 1) suoran yhtälöön: y = 1 2 = 1, tosi. Vastaus: c) ( 2, 4) ja (1, 1) 311. Piirretään tunnelin poikkileikkausta vastaava paraabeli y = 0,5x 2 + 2,9x ja määritetään kuvaajan avulla paraabelin ja x-akselin leikkauspisteet. Kuvan perusteella maantietunnelin leveys on 5,8 m. Yhden kaistan leveys on siis 5,8 m = 2,9 m. 2 Auton leveys on 2,24 m. Jos auto ajaa omalla kaistallaan keskiviivan tuntumassa, auton reuna on 2,9 m 2,24 m = 0,66 metrin päässä tunnelin seinästä.

16 Tällä kohdalla tunnelin korkeus kuvan perusteella on noin 1,7 m. Auton korkeus on 1,98 m eli yli 1,7 m, joten auto ei voi ajaa tunnelin läpi pysyen omalla kaistallaan. Vastaus: ei voi 312. Piirretään funktioiden kuvaajat. Funktion f kuvaaja on nouseva suora, joten se kuvaa tasaista lämpötilan kasvua. Funktiota f vastaa vaihtoehto B. Funktion g kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, jonka x-akselin yläpuolinen osa kuvaa jäniksen loikkaa. Funktiota g vastaa vaihtoehto C.

17 Funktion h kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joka leikkaa y-akselin pisteessä (0, 5). Funktiota h vastaa vaihtoehto D. Funktion i kuvaaja on laskeva suora, jonka nollakohta on x = 2. Funktiota i vastaa vaihtoehto A. Vastaus: f: B, g: C, h: D, i: A 313. a) Syöttö lähtee ajanhetkellä 0 s. Kuvaajan perusteella pallo on silloin 1,5 metrin korkeudella. b) Pallo on korkeimmillaan paraabelin huipussa. Tämä on kuvaajan perusteella noin 8,7 metrin korkeudella. Aikaa huipun saavuttamiseen on kulunut noin 1,2 sekuntia. c) Pallo on 2,5 metrin korkeudella noin 0,1 sekunnin ja noin 2,4 sekunnin kuluttua syötöstä. d) Kuvaajasta luettuna pallo on ilmassa noin 2,6 s Kuvaaja saadaan täydennettyä käyttämällä hyödyksi paraabelin symmetrisyyttä. Paraabelin huippu on kuvaajan alin piste eli (1, 4). Piirretään tämän pisteen kautta suora x = 1 (paraabelin symmetria-akseli) ja peilataan paraabelin toinen puolikas suoran suhteen. Paraabelin huippu on noin pisteessä ( 1, 4) ja x-akselin leikkauspisteet ovat noin ( 1, 0) ja (3, 0). Vastaus: huippu n. ( 1, 4) ja leikkauspisteet n. ( 1, 0) ja (3, 0)

18 315. a) Kasvu on suurinta paraabelin huipussa, eli kun lämpötila on noin 13 astetta ja kala kasvaa noin 1,7 % päivässä. Vastaus: Lämpötilassa 13 C ja kala kasvaa n. 1,7 % päivässä. b) Kuvaajan perusteella lämpötilan ollessa 18 astetta kala kasvaa noin 1,4 % päivässä. Tarkistus: f(18) = 0, , ,5 1,4 (% päivässä) Vastaus: 1,4 % c) Suhteellinen kasvu on prosentin päivässä, kun lämpötila on noin 6 tai 21 astetta. Tarkistus: f(6) = 0, , ,5 1,0 ja f(21) = 0, , ,5 1,0 Vastaus: Kun lämpötila on 6 C tai 21 C.

19 316. Lasketaan funktion f arvoja muuttujan x eri arvoilla ja ilmoitetaan ne koordinaattipisteinä (x, y). x y = f(x) = 2x 2 + 4x (x, y) 1 y = 2 ( 1) ( 1) = 6 ( 1, 6) 0 y = = 0 (0, 0) 1 y = = 2 (1, 2) 2 y = = 0 (2, 0) 3 y = = 6 (3, 6) a) Kuvaajan perusteella nollakohdat ovat x 0 ja x 2. Tarkistus: f(0) = = 0 ja f(2) = = 0 Vastaus: x = 0 ja x = 2 b) Kuvaajan perusteella funktio leikkaa y-akselin noin pisteessä (0, 0). Tarkistus: f(0) = = 0. Vastaus: pisteessä (0, 0) c) Kuvaajan perusteella huipun koordinaatit ovat noin (1, 2). Tarkistus: huipun x-koordinaatti on nollakohtien puolivälissä 0+ 2 x = = 1, jolloin f(1) = = 2 ja huipun koordinaatit 2 ovat (1,2). Vastaus: (1, 2)

20 SYVENNÄ YMMÄRRYSTÄ 317. Piirretään funktioiden kuvaajat.

21 A Funktion j nollakohta on 3. Tarkistus: j( 3) = 8,1 + 2,7 ( 3) = 0. B Funktioiden f ja i kuvaajat ovat laskevia suoria. C Funktion g kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joka kuvaa heittoliikettä. D Mikään funktion kuvaaja ei leikkaa y-akselia pisteessä (0, 1). E Funktion h kuvaaja kulkee pisteen (0, 3) kautta. Tarkistus: h(0) = , = 3. Vastaus: j: A, f ja i: B, g: C ja h: E 318. a) Paraabelin huippu on pisteessä (4; 4,5). Kohdat 3 ja 5 ovat yhtä etäällä huipuista, joten funktion arvot ovat niissä samat. Vastaavasti saadaan muutkin arvot. b) x y , , ,5 9 8

22 319. Ei osu, koska kohdan x = 5 kautta kulkee symmetria-akseli ja kohdan x = 8 symmetrinen kohta on x = 2, jota vastaava korkeus on n. 3,2 m. Vastaus: ei osu 320. Piirretään funktioiden kuvaajat samaan koordinaatistoon. Funktio f saa suurempia arvoja kuin funktio g silloin, kun sen kuvaaja on funktion g kuvaajan yläpuolella, eli kun x on pienempi kuin noin 3 tai x suurempi kuin noin 0. Vastaus: Kun x on pienempi kuin n. 3 tai suurempi kuin n a) Sijoitetaan annetut tiedot funktion lausekkeeseen. f(1) = a b 1 = 3 eli a + b = 3 f( 1) = a ( 1) 2 + b ( 1) = 5 eli a b = 5 Ratkaistaan yhtälöpari a+ b= 3 a b = 5 2a = 2 a = 1 Sijoitetaan a = 1 yhtälöön a + b = 3, jolloin 1 + b = 3, josta saadaan b = 4, joten funktio on: f(x) = x 2 4x

23 Vastaus: f(x) = x 2 4x b) Kuvaajan perusteella funktion arvo kohdassa 2 on noin 12. Tarkistus: f( 2) = ( 2) 2 4 ( 2) = 12. Vastaus: f( 2) = 12 c) Huippu on pisteessä (2, 4). Perustelu: Funktion nollakohdat ovat 0 ja 4, koska f(0) = = 0 ja f(4) = = 0. Huipun x koordinaatti on näiden keskiarvo eli = = 2 ja 2 2 f(2) = = 4. Vastaus: pisteessä (2, 4)

24 322. b) Huippu 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

25 3.2 Paraabelin tutkimista ALOITA PERUSTEISTA 323. A kuvaaja 3, koska y = x 2 on ylöspäin aukeava paraabeli. B kuvaaja 1, koska y = x 2 on alaspäin aukeava paraabeli. C kuvaaja 2, koska y = 2x on laskeva suora. D kuvaaja 4, koska y = x + 2 on nouseva suora, joka leikka y-akselin pisteessä (0,2). Vastaus: A: 3, B: 1, C: 2 ja D: a) Funktiolla on kaksi nollakohtaa. Toisen asteen termin kerroin on positiivinen, koska paraabeli aukeaa ylöspäin. Vastaus: kaksi, positiivinen b) Funktiolla ei ole nollakohtia. Toisen asteen termin kerroin on positiivinen, koska paraabeli aukeaa ylöspäin. Vastaus: ei yhtään, positiivinen c) Funktiolla on yksi nollakohta. Toisen asteen termin kerroin on negatiivinen, koska paraabeli aukeaa alaspäin. Vastaus: yksi, negatiivinen

26 325. Funktion A(x) = x 2 2x 1 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, jolla on yksi nollakohta, joten sitä vastaa kuvaaja q Funktion B(x) = x 2 + 2x + 1 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, jolla on yksi nollakohta, joten sitä vastaa kuvaaja g. Funktion C(x) = x x + 24 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, jolla on kaksi nollakohtaa, joten sitä vastaa kuvaaja p. Funktion D(x) = x 2 10x 24 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, jolla on kaksi nollakohtaa, joten sitä vastaa kuvaaja f. Funktion E(x) = x 2 6x + 10 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, jolla ei ole nollakohtia, joten sitä vastaa kuvaaja h. Funktion F(x) = x 2 + 6x 10 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, jolla ei ole nollakohtia, joten sitä vastaa kuvaaja r. Vastaus: A: q, B: g, C: p, D: f, E: h ja F: r

27 a) Vastaus: tosi b) Epätosi. Kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Vastaus: epätosi, ylöspäin aukeava c) Epätosi. Paraabelin huippu on pisteessä (1, 2). Vastaus: epätosi (1, 2)

28 d) Vastaus: tosi e) Vastaus: tosi

29 327. a) Tuotteen hinta on x ja myytyjen tuotteiden määrä on 75 0,08x. Koska myyntitulo on hinnan ja myytyjen tuotteiden määrän tulo, myyntitulon funktio on f(x) = x (75 0,08x). b) Vastaus: f(x) = x (75 0,08x) c) Suurin myyntitulo saadaan paraabelin huipussa. Tällöin tuotteen hinta on noin 475. Vastaus: n. 475

30 VAHVISTA OSAAMISTA 328. Sievennetään yhtälöt. A y = x 2 10 B y = 3x + 5x 2 y = 5x 2 3x C x 8y + 5 = 0 8y = x 5 :( 8) 1 5 y = x y = x D y = 2x(x 1) y = 2x 2 + 2x Yhtälöt A ja B ovat ylöspäin aukeavia paraabeleja, koska lausekkeet ovat toista astetta ja toisen asteen termin kerroin on positiivinen. Yhtälö D on alaspäin aukeava paraabeli, koska lauseke on toista astetta ja muuttujan toisen asteen termin kerroin on negatiivinen. Vastaus: Ylöspäin aukeavia paraabeleja ovat A ja B. D aukeaa alaspäin Sievennetään funktio f(x) = (x 3) 2 = x 2 6x + 9. A Funktioiden f,g ja i kuvaajat ovat ylöspäin aukeavia paraabeleja, koska niiden toisen asteen termin kertoimet ovat positiivisia. B Funktion f nollakohta on x = 3, koska f(3) = (3 3) 2 = 0. C Funktiot h ja i saavat arvon 5 muuttujan arvolla 0, koska h(0) = = 5 ja i(0) = = 5 D Funktioiden h ja i arvo on negatiivinen, kun x = 1, koska h( 1) = 4 ( 1) ( 1) 5 = 12 ja i( ) = ( 1) 2 5 = 4. Vastaus: f: A ja B, g: A, h: C ja D, i: A, C ja D

31 330. I Funktion f(x) = 2x 2 kuvaaja on nouseva suora, joten sitä vastaa kuvaaja c II Funktion f(x) = 6x 2 2 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joka leikkaa y-akselin vakiotermin perusteella pisteessä (0, 2). Lisäksi laskemalla funktion arvo kohdassa x = 1, saadaan f(1) = = 6 2 = 4. Funktiota vastaa kuvaaja f. III Funktion f(x) = 0,5x 2 2 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joka leikkaa y-akselin vakiotermin perusteella pisteessä (0, 2) ja f(1) = 0, = 0,5 2 = 1,5. Funktiota vastaa kuvaaja e. IV Funktion f(x) = x 2 2 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joten funktiota vastaa kuvaaja h. V Funktion f(x) = (x 1)(x + 2) = x 2 + x 2 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joka leikkaa y-akselin vakiotermin perusteella pisteessä (0, 2) ja f(1) = = = 0. Funktiota vastaa kuvaaja a. VI Funktion f(x) = x(x + 1) = x 2 + x kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joka leikkaa y-akselin vakiotermin perusteella pisteessä (0, 0). Funktiota vastaa kuvaaja d. Vastaus: I: c, II: f, III: e, IV: h, V: a ja VI: d

32 a) Kuvaajan perusteella nollakohdat ovat x 1 ja x 3. Tarkistus: f( 1) = ( 1) ( 1) + 3 = 0 ja f(3) = (3) = 0. Vastaus: x = 1 ja x = 3 b) Huippu on noin pisteessä (1, 4). Tarkistus: Huipun x-koordinaatti on nollakohtien puolessavälissä, joten 1+ 3 se on x = = 1 ja f(1) = (1) (1) + 3 = 4. 2 Vastaus: (1, 4) c) Funktio leikkaa y-akselin kuvaajan perusteella noin pisteessä (0, 3). Tarkistus: f(0) = = 3. Vastaus: pisteessä (0, 3) d) Kuvaajan perusteella f(2) 3. Tarkistus: f(2) = (2) = 3. Vastaus: f(2) = 3 e) Funktio saa arvon 5, kun x 2 tai x 4. Tarkistus: f( 2) = ( 2) ( 2) + 3 = 5 ja f(4) = (4) = 5. Vastaus: x = 2 tai x = 4

33 332. a) Pallo osuu maahan 10 metrin päässä. Tarkistus: y = 0, = 0. Vastaus: 10 m:n päässä b) Pallo käy 2,5 metrin korkeudella. Tarkistus: Pallon korkeimman kohdan x-koordinaatti on nollakohtien puolessa välissä, joten se on x = = 5 ja 2 y = = 2,5 + 5 = 2,5. Vastaus: 2,5 m:n päässä

34 333. a) b) Kun heilahdusaika on 1 s, niin heilurin pituus on 0,3 m. Kun heilahdusaika on 2 s, niin heilurin pituus on 1,0 m. Kun heilahdusaika on 5 s, niin heilurin pituus on 6,0 m. 9,81 2 9,81 2 Tarkistus: l (1) = 1 0,3, l (2) = 2 1,0 ja 2 2 4π 4π 9,81 2 l (5) = 5 6,0 2 4π Vastaus: 0,3 m, 1 m ja 6 m c) Kun heilurin pituus on 4 m, niin heilahdusaika on 4 s. Kun heilurin pituus on 50 cm, heilahdusaika on 1,4 s. 9,81 2 9,81 2 Tarkistus: l (4) = 4 4,0 ja l (1,4) = 1,4 0, π 4π Vastaus: 4 s ja 1,4 s

35 334. a) Kuvaajan perusteella voittoa saadaan noin euroa, kun valmistetaan 50 moottoria. Tarkistus: f(50) = = Vastaus: b) Voittoa saadaan , kun valmistetaan noin 23 tai 227 moottoria. Tarkistus: f(23) = ja f(227) = Vastaus: 23 moottoria tai 227 moottoria c) Moottoreita kannattaa valmistaa niin, että saadaan suurin voitto. Suurin voitto on paraabelin huipussa ja kuvaajan perusteella huipun x- koordinaatti on noin 125. Tarkistus: Huipun x-koordinaatti saadaan b-kohdan muuttujien arvojen puolesta välistä: = = Moottoreita kannattaa valmistaa 125 kappaletta. Vastaus: 125 moottoria

36 335. a) d) Kuvaajan perusteella voittoa voidaan saada noin euroa. Tarkistus: f(125) = = Vastaus: e) Valmistus muuttuu tappiolliseksi, kun moottoreita valmistetaan 250 kappaletta tai enemmän. Tällöin voitto on alle nolla ja toiminta on tappiollista. Tarkistus: f(249) = = 980 f(250) = = 4000 Vastaus: 250 kpl b) Appletin perustella paraabelin yhtälö on y = 0, x 2 + 0,0174x + 16 Vastaus: y = 0, x 2 + 0,0174x + 16 c) Appletin perusteella sillan korkeus 120 metrin etäisyydellä sillan päästä on noin 17,5 metriä. Tarkistus: sijoitetaan x = 120 yhtälön lausekkeeseen. y = 0, , ,5 m Vastaus:n. 17,5 m

37 336. a) Tapa I: kyseessä on laskeva suora, jonka kulmakerroin 650 ilmaisee, että jokaista euron muutosta kohti myytyjen lukumäärä vähenee 650 kappaleella, joten 10 hinnan nousu aiheuttaa = 6500 kappaleen vähenemisen. Tapa II: lasketaan myyntimäärät ja verrataan toisiinsa: = ja = ja näiden erotus on = 6500 Vastaus: vähenee 6500 kpl b) Myyntitulo on tuotteen hinnan ja myytyjen tuotteiden määrän tulo, joten myyntitulon funktio on f(x) = x ( 650x ) = 650x x Vastaus: f(x) = 650x x c) Kuvaajan perusteella myynti tulo on suurin, kun tuotteen hinta on noin 62 euroa. Tarkistus: lasketaan myyntitulo, kun tuotteen hinta on 61, 62 ja 63. Tällöin varmistutaan, millä tuotteen hinnalla myyntitulo on suurin. f(61) = = f(62) = = f(63) = = Vastaus: n. 62

38 SYVENNÄ YMMÄRRYSTÄ 337. a) Jos a = 0, on kyseessä ensimmäisen asteen polynomi, jonka kuvaaja on suora. Vastaus: Jos a = 0, on kyseessä ensimmäisen asteen polynomi, jonka kuvaaja on suora. b) Kun a = 1, b = c = 0, on paraabelin yhtälö y = x 2. Vastaus: a = 1, b = c = 0 c) Kun b = 0, on yhtälö y = ax 2 + c. Tällaisen paraabelin symmetriaakselina on y-akseli, joten huipun x-koordinaatti on 0. Vakio c vaikuttaa vain paraabelin sijaintiin pystysuorassa suunnassa, joten paraabelin huipun on y-koordinaatti on c. Huippu on siis pisteessä (0, c). Vastaus: pisteessä (0, c) d) Vakiotermin perusteella funktio leikkaa y-akselin pisteessä (0, c). Vastaus: pisteessä (0, c) e) a- ja c-kohtien perusteella paraabelin huippu on origossa, kun b = c = 0, a eri suuri kuin nolla. Vastaus: b = c = 0, a 0

39 338. a) Kuvaajan perusteella vastuksen teho on noin 3000 W, kun sähkövirta on 13 A. Tarkistus: P = Vastaus: 3000 W b) Kuvaajan perusteella sähkövirta on noin 9,7 A, kun vastuksen teho on 1700 W. Tarkistus: P = 18 9, Vastaus: 9,7 A

40 339. a) Myytyjen huoneiden määrä vähenee aina kahdella yhtä hinnan nousua kohden, joten myytyjen huoneiden määrää kuvaa lauseke 100 2x. Vastaus: 100 2x b) Myyntitulo on huoneiden hinnan ja myytyjen huoneiden lukumäärä tulo, joten myyntitulon funktio on f(x) = (90 + 4,5x)(100 2x) = 9x x c) Vastaus: f(x) = 9x x d) Paraabelin huippu on kohdassa n. 15, joten hinnan korotuksia on 15 kpl ja huoneen hinta on silloin ,5 = 157,5 158 ( ). Vastaus: n. 158

41 340. a) Piirretään mallikuva aitauksesta, johon merkitään neljää jokea vastaan kohtisuoraa sivua kirjaimella y ja joen suuntaista sivua kirjaimella x. Aitamateriaalia on käytössä 360 metriä, joten ne muodostavat yhtälön x + 4y = 360. Ratkaistaan yhtälöstä jokea vastaan kohtisuoran sivun pituus y. x + 4y = 360 4y = 360 x y = 360 x 4 Vastaus: 360 x 4 b) Aitaus on suorakulmion muotoinen, joten sen pinta-ala saadaan kannan 360 x ja korkeuden tulona. Pinta-alan funktio on A(x) = xy = x. 4 Vastaus: A(x) = x x

42 c) d) Aitauksen suurin pinta-ala on paraabelin huipussa. Kuvaajan perusteella funktion nollakohdat ovat x 0 ja x 360. Tarkistus: f(0) = = 0 90 = 0 ja f(360) = 360 = = 0. 4 Huipun x-koordinaatti on nollakohtien puolessa välissä = Joen suuntainen sivu x oltava 180 m, jolloin kohtisuora aita y = = = 45 (m). 4 4 Vastaus: Joen suuntaisen sivun on oltava n. 180 m ja kohtisuoran aidan n. 45 m e) Kun x on lukujen 0 ja 360 välillä, koska aitaa oli 360 m.

43 341. a) Piirretään lentoratojen kuvaajat. Korkeudet ovat huipun y-koordinaatteja eli noin 0,6 m, 2,1 m ja 3,8 m. Pituudet ovat funktioiden suuremmat nollakohdat eli noin 6,5 m, 10 m ja 8,8 m. Vastaus: n. 0,6 m, 2,1 m ja 3,8 m b) Kappale lentää pisimmälle 45 asteen kulmalla, jolloin se lentää n. 10,2 m. Appletti osoitteessa: Vastaus: 45, n. 10,2 m

44 ALOITUSAUKEAMAAN LIITTYVIÄ TEHTÄVIÄ 1. Komennolla Polynomi[A,B,C] saadaan funktio f(x) = 0,5x 2 2x 1, Vastaus: f(x) = 0,5x 2 2x 1,13

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja funktioita

2 Yhtälöitä ja funktioita Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

origo III neljännes D

origo III neljännes D Sijoita pisteet A(1,4) ja B(4,5;5) sekä C(-3,4) ja D(-4,--5) y II neljännes C A I neljännes B x origo III neljännes D IV neljännes KOTIT. Sijoita ja nimeä koordinaatistoon pisteitä niin, että pisteet yhdistettäessä

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Lämpötila maanpinnalla nähdään suoran ja y-akselin leikkauspisteen y- koordinaatista, joka on noin 10. Kun syvyys on 15 km, nähdään suoralta, että lämpötila

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

4 Polynomifunktion kulku

4 Polynomifunktion kulku 4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x

Lisätiedot

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] saadaan laskemalla kohtia x = 0 ja x = vastaavien kuvaajan

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia? Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 Derivaatta. a) Vastaus: Merenpinta nousee aikavälillä 00:00-06:00 ja :30-7:30. Merenpinta laskee aikavälillä 06:00-:30 ja 7:30-3:00. b) Merenpinta nousi 0,35 cm ( 0,) cm = 0,55 cm tuona aikana. Merenpinta

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi

Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

Paraabeli suuntaisia suoria.

Paraabeli suuntaisia suoria. 15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt

6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt 6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt 6.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) ( x x) 3( x ) ( x x) (3 x 3 ) x x (3x 6) x x 3x 6 x x 6 b) 9( x 1) 5( x ) 9 x ( 9) 1 5 x 5 9x 9 5x 10 4x 1 c) (3x )(4 5 x) 3x 4 3 x (

Lisätiedot

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3] Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,] Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4 T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + )

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan.

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. MAA Koe..05 Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko. konseptin yläreunaan. A-osio. Ilman laskinta! MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Laske kaikki tehtävät. Vastaa tälle paperille.

Lisätiedot

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2 Lisätehtävät Polnomifunktio 7. Epähtälöt = + 8. a) < + < + < Vastaus: ) < < Vastaus: < 8 8 8 = 8 = + c) ( ) < + ( ) < + < + < : ( > ) < Vastaus: < d) ( )

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Kertaustehtävien ratkaisut. x y = x + 6 (x, y) 0 0 + 6 = 6 (0, 6) + 6 = (, ) + 6 = 0 (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0).. x y = x (x, y) 0 0 (0, 0) (, ) (, ) x y = x + (x, y) 0

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 2 LINEAARINEN MALLI POHDITTAVAA 1. Piirretään jääpeitteen pinta-alan kehitystä kuvaava suora appletin avulla. Suoran yhtälö on y = 0,05x + 120,95. Vuonna 2030 muuttujan x arvo on 2030. Vastaava muuttujan

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016 Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6 . Polynomifunktio. a Suoran kulmakerroinn k = , joten suora on nouseva. c Suoran kulmakerroinn k =, joten suora on -akselin suuntainen vaakasuora.

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018

BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 1. (a) Tunnemme vektorit a = [ 5 1 1 ] ja b = [ 2 0 1 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja

Lisätiedot

2 arvo muuttujan arvolla

2 arvo muuttujan arvolla Mb Mallikoe Määritä funktion f ( ) arvo muuttujan arvolla a) b) c) k 6 a) Määritä suorien y 0 ja y leikkauspiste b) Määritä suoran yhtälö, kun se kulkee pisteen (, ) kautta ja on yhdensuuntainen suoran

Lisätiedot

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus Ensimmäisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 1 + 5 = 4( 3) Toisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 3 5 + 4 = 0 Kolmannen asteen yhtälö: :n korkein

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1 Mapu. Laskuharjoitus 3, Tehtävä Lineaarisessa approksimaatiossa funktion arvoa lähtöpisteen x 0 ympäristössä arvioidaan liikkumalla lähtöpisteeseen sovitetun tangentin kulmakertoimen mukaisesti: f(x 0

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Matematiikan pohjatietokurssi

Matematiikan pohjatietokurssi Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio, 8.-9.9.015, ratkaisut 1. Jaa tekijöihin (joko muistikaavojen avulla tai ryhmittelemällä) (a) x +x+ = x + x + = (x+) x +x+ = (x +x+1) = (x+1) (c) x 9 = (x) 3

Lisätiedot

Lyhyt, kevät 2016 Osa A

Lyhyt, kevät 2016 Osa A Lyhyt, kevät 206 Osa A. Muodostettu yhtälö, 2x 2 + x = 5x 2 Kaikki termit samalla puolla, 2x 2 4x + 2 = 0 Vastaus x = x:n derivaatta on x 2 :n derivaatta on 2x f (x) = 4x + derivoitu väärää funktiota,

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot