3 10 ei ole rationaaliluku.

Transkriptio

1 Harjoitukset / 011 RATKAISUT Lukuteoria 1. Etsi Eratostheee seulalla samatie kaikki lukua 400 pieemmät alkuluvut. (Tai ohjelmoi tietokoeesi etsimää paljo lisää.) Kirjoita rivii kaikki luvut Poista (viivaa yli) 1. Se ei ole alkuluku! Jätä, poista 4, 6, 8, eli kaikki muut parilliset Jätä 3, 6,...eli kaikki muut jäljellä olevat 3:lla jaolliset. Joka toie iistä oki jo poissa! 4 o jo poistettu, samoi se kaikki moikerrrat. Jätä 5, poista 10 (o jo poissa!) 15 (o jo poissa),...eli poista kaikki muut jäljellä olevat viidellä jaolliset Useimmat iistä ovatki jo poissa! 6 o jo poistettu, samoi se kaikki moikerrrat. Jätä 7, poista muut 7:llä jaolliset: 14 (o jo poissa!) 1 (o jo poissa),... useimmat iistä ovatki jo poissa! 8 o jo poistettu, samoi se kaikki moikerrrat. Vastaava koskee lukuja 9 ja 10. Jätä 11, poista muut 11:llä jaolliset (o jo poissa!) 33 (o jo poissa),...eli kaikki jäljellä olevat 11:llä jaolliset eli = 11, = 143, ja = o jo poistettu, samoi se kaikki moikerrrat. Jätä 13, poista muut jäljellä olevat 13:llä jaolliset eli eää = , 15, 16 moikertoiee ovat jo poissa. Jätä 17, poista Jätä 19, poista o jo poistettu, samoi se kaikki moikerrrat. Koska o saavutettu 400 ei mikää jäljellä oleva luku eää ole jaollie, koska se mahdollie tekijä olisi jo huomattu. Jäljelle jääeet luvut, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 3, 9, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 17, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 03, 09, 11, 17, 1, 3, 7, 9, 33, 39, 41, 47, 51, 53, 57, 59, 63, 69, 71, 77, 81, 83, 87, 89, 93, 99, 301, 307, 313, 17, 319, 33, 39, 331, 337, 341, 343, 347, 349, 353, 359, 361, 367, 371, 373, 377, 379, 383, 389, 391, 397 ovat siis alkuluvut väliltä Näytä, että alkuluku p 3 o muotoa p = 3k+1 tai p = 3k 1, (k N). Jokaie luku o muotoa 3k, 3k + 1 tai 3k + se mukaa oko jakojääös 3:lla jaettaessa 0,1 vai. Esi maiituista vai 3 o alkuluku, muut jaollisia 3:lla. Toisee ryhmää kuuluvat ovat haluttua muotoa ja kolmaessa ryhmässä olevat ovat muotoa 3k + = 3(k + 1) 1, joka seki kelpaa. 3. Todista: Jos p o alkuluku ja a Z, ii joko p a tai (a, p) = 1. Suuri yhteie tekijä (a, p) o olemassa. Olkoo se d = (a, p). Tietysti d a ja d p. Jos d ei ole 1, ii d = p, koska alkuluvulla p ei ole muita positiivisia tekijöitä kui 1 ja p. Koska d a ja d = p, ii p a.. 4. Näytä, että jos ja a ovat luoollisia lukuja ja a Q, ii a N ja siis esimerkiksi 3 10 ei ole ratioaaliluku.

2 Idea o sama, jolla o tapaa todistaa, ettei ole ratioaaliluku. Olkoo a Q eli a =, missä k, m Z ja m 0. Tutkitaa esi tapaus, jossa k, m 1. m Hajotetaa k ja m tuloksi alkuluvuista: k = p 1... p ν, m = q 1... q µ, jolloi a = p 1... p ν q 1... q µ, ja tässä voi olettaa, että p i q j kaikilla i, j, sillä osamäärä voi supistaa, kues osoittajassa ja imittäjässä o eri tekijät. Korotetaa puolittai potessii ja kerrotaa imittäjällä. a(q 1... q µ ) = (p 1... p ν ). Vase puoli o jaollie luvulla q 1, mutta oikea puoli ei, sillä oikea puole alkutekijät ovat luvut p 1... p ν, josta mikää ei ole q 1. Ristiriita. Jäljelle jää tapaus, jossa joko k tai m o 1. Jälkimmäisessä tapauksessa a o kokoaisluku, kute väitettii. Esimmäie tapaus o mahdoto, koska 1 < 1 < a. m 5. Etsitää Eukleidee klassisella meetelmällä alkulukuja., +1 = 3 P, 3+1 = 7 P, = 43 P, = 1807 = , missä 13 ja 139 ovat alkulukuja (teht.1). Kumpiki o tieteki aikaisemmi esiitymätö. Ajatuksia: Lukuje N k = p 1... p k + 1 kaikki alkutekijät ovat joka tapauksessa muita kui luvut p 1,..., p k Jos siis emme hajoitakaa lukua N k = p 1... p k + 1 alkutekijöihi, vaa muodostamme lukujoo N 1 =, N = 3,... N k = (N 1 N k ) + 1, ii kuki N k sisältää tekijöiää vai sellaisia alkulukuja, joita ei ole aikaisemmissa. Tämähä o iha kiitoisa joo. Okoha siiä eää ollekaa alkulukuja 43: jälkee. Kokeillaa laskimella, +1 = 3 P, 3+1 = 7 P, = 43 P, = 1807 = , , Oko jaollie? Seuraava luku? Laskime teho loppui. Siirrytää Excel-ohjelmaa huomate, että N k+1 = N k (N k 1) + 1. Ei auta - tarvittaisii 13 desimaalia ja seuraava o suuruusluokkaa edellise eliö, siis 6 desimaalia, sitte 54, 108, 16 je. Kuka osaa testata tämmöiste lukuje jaollisuutta? (Asiaa palataa.) Itse asiassa tiedetää mm. seuraavaa ( Graham, Kuth & Patachik ja Lehtoe! ): N 5 = 1807 o jaollie. N 6 = o alkulukuo alkulukuo alkulukuo alkuluku. N 7 = o jaollie. N 8 = o jaollie. N 9 = o jaollie.

3 N 10 = [45digits] o jaollie. N 11 = [149digits] o jaollie. Todistus Maxima- ohjemalla se oistuu: (%i1) e():= if =1 the else (e(-1) (%i) e(); (%o) 3 (%i3) e(3); (%o3) 7 (%i4) e(4); (%o4) 43 (%i5) ifactors(%); (%o5) [[43, 1]] (%i6) e(5); (%o6) 1807 (%i7) ifactors(%); (%o7) [[13, 1], [139, 1]] (%i8) e(6); (%o8) (%i9) ifactors(%); (%o9) [[363443, 1]] (%i10) e(7); (%o10) (%i11) ifactors(%); (%o11) [[547, 1], [607, 1], [1033, 1], [31051, 1]] (%i1) e(8); (%o1) (%i13) ifactors(%); (%o13) [[9881, 1], [67003, 1], [911951, 1], [ , 1]] (%i14) e(9); (%o14) (%i15) ifactors(%); (%o15) [[ , 1], [ , 1], [ , 1]] (%i16) e(10); (%o16) [45digits] (%i17) ifactors(%); (%o17) [[181, 1], [1987, 1], [ , 1], [ , 1], [

4 4 (%i18) e(11); (%o18) [149digits] a) Miksi ei voi olla luoollista lukua p > 3, jolle luvut p, p + ja p + 4 ovat alkulukuja? b) Olkoot a, b N ja (a, b). Osoita, että joukossa A = {a + b = 0, 1,,... } o korkeitaa yksi alkuluku. a) Joko p, p + 1 tai p + o jaollie 3:lla. Jos p ja p + ovat alkulukuja > 3, ii siis + 1 o jaollie 3:lla, jolloi myös + 4 jaollie 3:lla. b) Olkoo d = (a, b) >, jolloi a ja b ovat jaollisia d:llä ja samoi siis jokaie a + b. Ollaksee jaollie d:llä ja samalla alkuluku o luvu a + b oltava itse d, siis a + b = d. Mutta d a, b, jote aioa mahdollisuus o, että = 0, jote jouko aioa alkuluku o a, ku a sattuu olemaa alkuluku, muute ei mikää. 7. (Tehtävässä oli virhe. Löydetää egatiivie C.) Todistetaa aluksi (vaikka ei pyydetty) molemmi tavoi, että ( (1) log 1 1 ) 1 p p + 1 p. Sarja avulla: Ku 0 < x < 1, ii sarja termit ovat egatiivisia, jote log(1 x) = k=1 x log(1 x) k=1 x eli log(1 x) x + x.( ) = x x Derivaata avulla: Fuktio f(x) = log(1 + x) x + x derivaatta o f (x)= 1 1+x 1 + x, joka o egatiivie välillä ] 1 1, 0[ (Ratkaise epäyhtälö 1 + x < 0 1+x esim. kertomalla esi imittäjä pois). Site f o väheevä, jote f(x) f(0) = 0, ts. log(1 + x) x + x 0 eli log(1 + x) x x kaikille x [ 1, 0], mikä o samaa kui log(1 x) x ( x) = x x kaikille x [0, 1 ]. ( ) () Päätodistus: Pitää osoittaa, että o olemassa sellaie vakio C R, että kaikilla k pätee epäyhtälö () 1 p log log k + C. Lueolta tiedetää, että (3) 1 1 p 1 1 log k.

5 Otetaa puolittai logaritmit. Oikea puoli o se jälkee log log k. Lasketaa vase puoli: log 1 1 p = ( log 1 1 ) (1) ( 1 1 p p + 1 ) 1 p p + 1 p p N 1 p + ζ(). Vakioksi C kelapaa siis p N 1 p eli ζ(). 8. Laske kovoluutiot aiaki arvo kohdassa 1. (1) E 0 E 0 = E 0, koska E 0 o kovoluutiokertolasku ykkösalkio. () E E 0 = E, koska E 0 o kovoluutiokertolasku ykkösalkio. (3) E 0 Ω = Ω, koska E 0 o kovoluutiokertolasku ykkösalkio. (4) E N α () = d E(/d)N α(d) = d 1 dα = d dα = σ α (). (5) E σ 1 () = d E(/d)σ α(d) = d σ α(d) = d f d f α =?? (1) = d 1 σ α(d) = d=1 σ α(d) = σ α (1) = f 1 f α = 1, kute o (6) E σ 1 selvää siitäki, että E σ 1 (7) µ E E 0 = µ E = E 0. o multiplikatiivie Laajeetu Eukleideee algoritmi oleellie omiaisuus o, ettei lasku kaikkia vaiheita tarvitse tallettaa paluuta varte, vaa riittää pitää koee muistiissa pair viimeistä riviä. Pitkässä laskussa säästyy olellie määrä muistia. Tehtäväpaperi laskut oli muute laskettu Mathematicalla. Näi: I:= ClearAll[i,r, s, t, q]; i =.; Prit[i, r[i], s[i], t[i]]; r[0] = 16; s[0] = 1; t[0] = 0; r[1] = 35; s[1] = 0; t[1] = 1; i = 0; Prit[i, r[i], s[i], t[i]]; i = 1; Prit[i, r[i], s[i], t[i]]; While[Not[r[i] == 0], q[i] = Quotiet[r[i - 1], r[i]]; r[i + 1] = Mod[r[i - 1], r[i]]; s[i + 1] = (s[i - 1] - q[i]*s[i]); t[i + 1] = (t[i - 1] - q[i]*t[i]); i = i + 1; Prit[i, r[i], s[i], t[i]]; ] Out= i, r[i], s[i], t[i] 0, 16, 1, 0 1, 35, 0, 1, 1, 1, -3

6 3, 14, -1, 4 4, 7,, -7 5, 0, -5, 18 6