1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen."

Transkriptio

1 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) ,88 00 Vastaus: Vaihtoaika on 8 sekuntia. Huom. Vaihtoaika tarkoittaa aikaa, jolloin liikennevalo on ensin keltaisella sitten punaisella kaikkiin suuntiin. Se on siis yhden suunnan vihreän ja toisen suunnan vihreän välinen aika. b) Piirretään vaihtoaikaa kuvaavan funktion kuvaaja. Vastaus: Vaihtoaika on pienimmillään, kun nopeus on noin 5 km/h.

2 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) Piirretään vaihtoaikaa kuvaavan funktion ja suoran y = 0 kuvaajat. Vastaus: Vaihtoaika on alle 0 sekuntia, kun nopeus on 68 km/h.. a) Kun asiakas ajaa 00 km, koko vuokrauksen hinta on 0, = 50 ( ). Kilometrin keskihinta on tällöin 50 0,5 00 ( ). Vastaus: Yhden kilometrin keskihinnaksi tulee 0,5 euroa eli 50 senttiä. b) Jos asiakas ajaa kuukauden aikana kilometriä, koko vuokrauksen hinta on 0, Kilometrin keskihinta saadaan, kun koko vuokrauksen hinta jaetaan ajetuilla kilometreillä. 0, 45 5 Kilometrin keskihintaa kuvaava funktio on siis f( ). Piirretään funktion f kuvaaja.

3 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vaikka autolla ajettaisiin paljon, kilometrin keskihinta näyttäisi kuitenkin aina olevan hieman yli 40 senttiä. Muokataan funktion lauseketta. 0, , f( ) 0, 45 Lausekkeesta nähdään, että kilometrin keskihinta on 0,45 euroa, johon on lisätty 5 euroa. Euromäärä 5 on aina suurempi kuin nolla, mutta sitä pienempi, mitä suurempi on ajokilometrien määrä. Näin ollen kilometrin keskihinta putoaa sitä lähemmäs 0,45, mitä enemmän ajetaan. Vastaus: Kilometrikohtainen keskihinta voi pudota 0,45 euroon eli 45 senttiin.

4 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Rationaalifunktio YDINTEHTÄVÄT 0. a) Funktio f( ) 9 on määritelty, kun lausekkeen nimittäjä + ei saa arvoa nolla. Määrittelyehto on + 0 eli. b) Lausekkeen osoittaja 9 on tulomuodossa ( + )( ). Sievennetty muoto: f ( ) 9 ( )( ), kun. 0. a) Määrittelyehto funktiolle f( ) 4 on 0, eli. Lausekkeen sieventäminen: 4 ( )( ) ( ) f, kun. ( ) Oikea kuvaaja on, jossa nouseva suora leikkaa y-akselin pisteessä (0, ) ja kohta = ei kuulu määrittelyjoukkoon. b) Määrittelyehto funktiolle Lausekkeen sieventäminen: 4 4 ( ) ( ) f ( ) f ( ) 44 on 0, eli., kun. Oikea kuvaaja on 4, jossa nouseva suora leikkaa y-akselin pisteessä (0, ) ja kohta = ei kuulu määrittelyjoukkoon.

5 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) Määrittelyehto funktiolle f ( ) on 0. Lausekkeen sieventäminen: ( ) f ( ), kun 0. Oikea kuvaaja on, jossa nouseva suora leikkaa y-akselin pisteessä (0, ) ja kohta = 0 ei kuulu määrittelyjoukkoon. d) Funktio f ( ) 4 on määritelty kaikilla muuttujan arvoilla, koska nimittäjä on aina erisuuri kuin nolla. Lausekkeen sieventäminen: 4 f ( ) ( ). Oikea kuvaaja on, jossa nouseva suora, leikkaa y-akselin pisteessä (0, ) ja kuvaajassa ei ole katkosta. 0. a) (punainen katkoviiva, funktiolla ei ole arvoa kohdassa = ) b) ja (kohdat joissa funktio saa arvon nolla, kuvaaja kohtaa -akselin) c) < tai < < (välit, joissa kuvaaja on -akselin alapuolella) d) f(0) (kun = 0, kuvaaja kohtaa y-akselin) e),5 (etsitään kuvaajalta pisteet, joiden y-koordinaatti on ) f) f(),5 (etsitään kuvaajalta piste, jonka -koordinaatti on )

6 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty f ( ) 46 a) Määrittelyehto: + 0. b) Jaetaan osoittaja tekijöihin nollakohtien avulla. Osoittajan nollakohdat ovat yhtälön 4 6 = 0 ratkaisuja: ( 4) ( 4) 4 ( 6) tai Polynomi 4 6 voidaan jakaa tekijöihin nollakohtien = ja = avulla: 4 6 = ( ())( ) = ( + )( ). c) 4 6 ( ) f( ) ( ) 6,kun ( )

7 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty f ( ), g( ) ja h ( ) 4 f taulukko kuvaaja g taulukko kuvaaja h taulukko kuvaaja VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 06. a) Määrittelyehto funktiolle f ( ) on 4 0 eli 0. 4 Lausekkeen sieventäminen: f ( ) 4, kun b) Määrittelyehto funktiolle f ( ) 6 on 0, eli 0. Lausekkeen sieventäminen: 6 f ( ) ( ), kun 0. c) Määrittelyehto funktiolle f ( ) 4 on 4 + 0, eli 4 Lausekkeen sieventäminen: f( ) 4, kun. 4 ( ).

8 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty d) Määrittelyehto funktiolle f ( ) on 0 eli. Lausekkeen sieventäminen: ( f( ) ), kun. 07. a) Esimerkiksi funktio f( ), kun ja. ( )( ) b) Esimerkiksi funktio c) g( ), kun a) Määrittelyehto funktiolle f ( ) on 0. Muokataan funktion lauseketta. f ( ), kun 0 b) Määrittelyehto funktiolle f( ) on 0. Muokataan funktion lauseketta. ) f( ), kun 0

9 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) Määrittelyehto funktiolle f ( ) on + 0 ja 0, eli ja. Muokataan funktion lauseketta. ) ) ( ) ( ) f ( )( ) ( )( ) ( )( ), kun ja d) Määrittelyehto funktiolle f ( ) on 0. Muokataan funktion lauseketta. ) f ( ), kun f( ) 500 (ng/ml) 0,5 5 appletti Toinen annos voidaan ottaa aikaisintaan 5,5 tunnin kuluttua jotta yläraja 70 ng/ml ei ylity ja se on otettava viimeistään 0 tunnin kuluttua, jotta alaraja 0 ng/ml ei alitu.

10 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Suorakulmion pinta-ala lasketaan suorakulmion kannan ja korkeuden tulona. Suorakulmion kanta on pisteen P -koordinaatin arvo ja korkeus y on pisteen P y-koordinaatin arvo, joka on funktion f arvo kohdassa eli y = f(). Lasketaan korkeuden y:n arvo kohdassa = : y f () Suorakulmion pinta-ala, kun = ja y : 7 A y. 7 7 b) Kun suorakulmion leveys on, sen korkeus on y = f() = 4. 4 c) Funktion A() lauseke on A ( ) f( ) 4 4, kun d) Pinta-ala on suurin, kun,.

11 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Oikein. Funktion f arvo kohdassa = 0 on eli f(0) =, joten funktion f kuvaaja kulkee pisteen (0, ) kautta. b) Oikein. Jos a on negatiivinen, on nimittäjä aina positiivinen. Nimittäjällä ei ole tällöin nollakohtia ja funktion f lauseke on määritelty kaikilla reaaliluvuilla. c) Väärin. Funktion arvo on yksikäsitteinen. Funktio voi saada tietyllä muuttujan arvolla vain yhden arvon. d) Oikein Funktio voi saada saman arvon usealla eri muuttujan arvolla. Esimerkiksi funktio f() = saa arvon kaikilla muuttujan arvoilla. e) Väärin. Funktioilla ei ole sama määrittelyjoukko vaikkakin funktioiden kuvaajat näyttävät lähes samalta. Funktio f ei ole määritelty, kun =. Funktio g on määritelty kaikilla muuttujan arvoilla.. a) Määrittelyehto funktiolle f( ) 5 5 on 5 0 eli 5. Lausekkeen sieventäminen: 5 (5 )(5 ) ( 5) f( ) (5 ) 5, kun ( 5) Kuvaaja on suora y = 5, josta on poistettu piste kohdasta = 5.

12 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Määrittelyehto funktiolle + 0 eli 6. Lausekkeen sieventäminen: f ( ) 6 on 6 ( 6) ( ) f 6, kun 6. ( 6) Kuvaaja on suora y, josta on poistettu piste kohdasta = 6. c) Määrittelyehto funktiolle f ( ) 8 4 on 0 eli 0. Lausekkeen sieventäminen: 8 4 f ( ) ( 4) 4, kun 0. Kuvaaja on paraabeli y = + 4 +, jonka kuvaajasta on poistettu piste kohdasta = 0.

13 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty d) Määrittelyehto funktiolle f ( ) 7 6 on 6 0 eli. Lausekkeen sieventäminen: Jaetaan lausekkeen osoittaja 7 + tekijöihin nollakohtiensa avulla. 7 + = 0 = tai = ( )( ) 7 ( ) f( ) ( ) 6 () ( ), kun Kuvaaja on suora y, josta on poistettu piste kohdasta =.

14 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Syntyvän laatikon pohjan leveys on ja pituus on. b) Suorakulmaisen särmiön tilavuus saadaan pohjan pinta-alan ja korkeuden tulona. Laatikon korkeus on. V() = ( )( ) = Määrittelyehto: Kaikkien mittojen tulee olla positiivisia. Koska lyhyemmän sivun pituus on m, on poisleikattavan neliön sivun pituus oltava alle 0,5 m. Funktio V on määritelty välillä 0 < < 0,5. c) Piirretään funktion V kuvaaja. Kuvaajan perusteella funktion V suurin arvo on noin. 0,9, joten laatikon suurin tilavuus on noin 0,9 m.

15 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Määrittelyehto funktiolle f( ) 0 ±. on Lausekkeen sieventäminen: ( f( ) ), kun. ( )( ) ( ) Kuvaajassa on katkos, kun = ja =. Kohdan = lähellä nimittäjän arvot ovat hyvin lähellä nollaa, joten lausekkeen arvo on itseisarvoltaan hyvin suuri. Kohdan = lähellä nimittäjän arvot ovat lähellä lukua, joten funktion arvo on hyvin lähellä arvoa. Funktiolla ei ole nollakohtia, koska osoittajalla ei ole nollakohtia. Kun muuttujan arvot kasvavat hyvin suuriksi, tulee lausekkeen arvosta itseisarvoltaan hyvin lähellä nollaa oleva luku. Lasketaan muutamia funktion arvoja, jotta voidaan hahmotella kuva. f( ) =, f(,5) = 6, f( 0,5) = 6, f(0) =, f(0,5) = 6 ja f() =

16 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty P Q ( ) Q ( ) Q ( ) ( ) ( )( ) a) Rationaalifunktion lausekkeen osoittajan nollakohdat ovat = ja =. Jotta nämä olisivat myös kyseisen rationaalifunktion nollakohdat, tulee rationaalifunktion olla määritelty näissä kohdissa. Nimittäjän Q() lauseke voi olla mikä tahansa lauseke, jolla ei ole nollakohtia = ja =. Esimerkiksi Q() =. b) Jotta rationaalifunktiolla olisi vain nollakohta =, tulee nimittäjän lausekkeen olla sellainen, ettei funktio ole määritelty kohdassa =. Esimerkiksi Q() =. c) Jotta rationaalifunktiolla ei olisi nollakohtia, tulee nimittäjän lausekkeen olla sellainen, ettei funktio ole määritelty kohdissa = ja =. Esimerkiksi Q() = ( )( + ) =. 6. a) Pohja on ympyrän muotoinen, joten pinta-alan lauseke on. b) Merkitään tölkin korkeutta kirjaimella h. Tölkin vaipan pinta-alan lauseke on h. Tölkin pinta-ala yhteensä on + h. Koska l = dm, on 0,5 l = 0,5 dm. Tölkin tilavuus 0,5 dm on kuutiosenttimetreinä 500 cm. Astian pinta-alan lausekkeessa on kaksi muuttujaa ja h. Esimerkiksi muuttuja h voidaan esittää säteen avulla tölkin tilavuuden lausekkeesta, kun tiedetään, että tölkin tilavuus on 500 cm. π h 500 : π h 500. π Nyt astian pinta-ala voidaan esittää pohjan säteen funktiona:

17 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty π 500 A ( ) π π π π π π 000, kun 0. c) Pinta-alaksi saadaan 400 cm, kun säde on noin,9 cm tai 6, cm. Pinta-ala on vähemmän kuin 400 cm, kun,9 < < 6,. d) Pinta-ala on pienin, kun säde on 4, cm. Lasketaan korkeus h, kun säde on 4, cm. h 500 cm π (4, cm) h 8,6 cm Pinta-ala on pienin, kun pohjan säde on noin 4, cm ja korkeus noin 8,6 cm. SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 7. a) Voidaan supistaa: 9 ( )( ) ( )( ) ( ) 44 ( ) Ei voida supistaa:

18 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty ( )( ) 9 ( )( ) 4 ( )( ) Jos lausekkeiden osoittajassa ja nimittäjässä on sama tekijä, lauseke voidaan supistaa. Jos polynomilausekkeella on tekijä a, sillä on myös nollakohta = a. Rationaalilauseke supistuu, jos osoittajalla ja nimittäjällä on sama nollakohta.. b) Esimerkiksi supistuu ja ei supistu. 8. f( ) ja g() = + Kun kuvaajat piirretään samaan koordinaatistoon esimerkiksi GeoGebralla, havaitaan koordinaatistoa loitonnettaessa, että kuvaajat lähestyvät toisiaan kun mennään kauemmaksi origosta. Funktion f lauseke on sievennettynä f ( ) eli funktioiden lausekkeet ovat samat lukuun ottamatta termiä.

19 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Tutkimalla lausekkeen arvoja voidaan havaita, että ne ovat hyvin suuria tai hyvin pieniä kun muuttuja on lähellä nollaa, mutta kun muuttuja kasvaa tai pienenee, funktion arvot ovat hyvin lähellä nollaa. Tämä vastaa funktioiden f ja g kuvaajien havaittua käyttäytymistä: mitä etäämpänä origosta ollaan sitä enemmän kuvaajat muistuttavat toisiaan. 9. a) ( )( + ) = + = ( )( + + ) = + + = Kertolaskussa korkeimman asteen termiä ja vakiotermiä lukuun ottamatta muut termit summautuvat nollaksi, joten lausekkeen ( )( ) sievennetty muoto päättelemällä on 4. Lauseke ( )( ) sievennettynä: ( )( ) = = 4. Lauseke ( )( ) voidaan kirjoittaa myös muodossa ( )( ) 4 ( ) ( ) 4 4 Polynomien ( )( n + n ) tulossa kaikki muut termit kumoutuvat ja jäljelle jää korkeinta astetta oleva termi n+ ja. Näin tapahtuu polynomin asteluvusta n riippumatta, joten tulos yleistyy. b) Tässä itse asiassa vain kirjoitetaan a-kohdan tulos eri tavalla, joten koska ( + )( ) = : ( ) 4.

20 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaavalla tavalla jatkaen esimerkiksi.... n = n + n , sillä osamäärä sisältää kaikki astelukua n alemmat :n potenssit. 0. a) Jakolaskun osamäärä näyttäisi noudattavan kaikissa sääntöä: ensimmäinen termi on positiivinen ja asteluvultaan yhtä pienempi kuin osoittaja ja viimeinen termi on. Välissä on kaikkien muiden astelukujen termit siten, että joka toinen on positiivinen ja joka toinen negatiivinen. n n n... Varmistetaan tulos kertolaskulla. ( )( ) 4 4 ( )( ) (... )( ) n n n n n (... n n ) (... ) n n n n b) Voidaan kirjoittaa (... )( ). Tehtävän 9 perusteella tiedetään lisäksi, että n = n + n , joten voidaan kirjoittaa = ( n + n )( ). Koska ja + ovat molemmat n tekijöitä, on ( )( + ) = lausekkeen n tekijä.

21 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Lausekkeen n nollakohdat ovat = ja =, kun n on parillinen positiivinen kokonaisluku. Tällöin lausekkeen ainoat ensimmäisen asteen tekijät ovat + ja, joten on lausekkeen n tekijä.

22 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Rationaaliyhtälö ja epäyhtälö YDINTEHTÄVÄT. a) Rationaalifunktio nolla f( ) 5 on määritelty, kun nimittäjä ei ole Nollakohdan tarkka arvo on b) Funktion arvo on positiivinen, kun < tai > 5. Funktion arvo on negatiivinen, kun < < 5.

23 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Rationaalifunktio nolla. f( ) on määritelty, kun nimittäjä ei ole 0 Nollakohta: 0 0. b) Osoittaja: Nimittäjä: Tehdään merkkikaavio c) Funktion arvo on positiivinen, kun < < ja negatiivinen, kun < ja >.

24 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty d) Kuvaajan perusteella c-kohdan vastaukset täsmäävät. 4. a) Ratkaistaan funktion 4 0, kun 4 0 ja 0 f( ) 4 nollakohdat. 4 tai Molemmat ratkaisut toteuttavat määrittelyehdon. Nollakohdat ovat = ja =. b) Tehdään funktion merkkikaavio lausekkeen osoittajan ja nimittäjän merkkien avulla Funktion arvo on positiivinen, kun < tai < <.

25 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Yhtälö 7 0 toteutuu, kun 7 = 0 ja = 0 ja 0 Koska 7 = 7 toteuttaa määrittelyehdon 7 b) Yhtälö 0 toteutuu, kun = 0 ja 0. 0 ja 0 tai, se kelpaa ratkaisuksi. Vain = toteuttaa määrittelyehdon, joten se on yhtälön ainut ratkaisu. 6. a) Määrittelyehto Ratkaistaan merkkikaaviota varten osoittajan nollakohdat

26 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Tehdään merkkikaavio Merkkikaavion perusteella 5 0, kun tai > 4. b) Määrittelyehto: 90 9 Ratkaistaan merkkikaaviota varten osoittajan nollakohdat: 60 Tehdään merkkikaavio kun > ja. 9

27 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Lausekkeen 5 osoittajassa on vain vakio 5, joka on aina positiivinen. Lausekkeen merkkiin vaikuttaa vain nimittäjän merkki. b) 5 0, kun < 0 < : ( ) 8. a) Suorakulmion kanta on. Piste (, y) on kuvaajalla y 5, joten suorakulmion korkeus y saadaan funktion lausekkeesta. A ( ) y 5 5, kun 0 Piirretään funktion A kuvaaja.

28 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Funktion A kuvaajalta arvioiden pinta-ala on, kun,. Tarkasti laskien: A ( ) 5 ) (4) 0 4 0, kun c) Kuvaajan perusteella A(), kun 4. Pinta-ala on vähintään, kun suorakulmion kanta on vähintään 4.

29 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 9. a) 6 4 Määrittelyehto 40 tai ) , kun 4 0 tai 6 8 Ratkaisuista vain toteuttaa määrittelyehdon,.

30 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Määrittelyehto: 0 Kirjoitetaan epäyhtälö muotoon ) 0 0 ( ) 0 0 P ( ) 0. Q ( ) Lasketaan osoittajan nollakohdat. 0 Tehdään merkkikaavio , eli, kun < tai >

31 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Luvun käänteisluku on. Yhtälö: ) Määrittelyehto on 0. Nollakohdat: = 0 = = ±. Tehdään merkkikaavio , eli, kun < tai 0 < <.

32 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Summa käänteisluvun kanssa:, määrittelyehto on 0 ) ) ( ) 0, kun 0. a) Esimerkiksi b) Esimerkiksi f( ). f( ).. Funktion f( ) a määrittelyehto on 0. Nollakohta =, eli f() = 0. f () a a 0 a 0 a Funktio f( ) saa negatiivisia arvoja, kun Ratkaistaan nollakohdat: 0 0 tai 0. Tehdään merkkikaavio.

33 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Funktio f ( ) saa negatiivisia arvoja, kun < tai 0 < <.. Ratkaistaan epäyhtälö Epäyhtälön määrittelyehto 0. Lausekkeen nimittäjä > 0, kun 0, joten lausekkeen merkin tutkimiseen riittää tarkastella osoittajan + merkkiä. + > 0 > (HUOM! pariton potenssifunktio) > Huomioidaan määrittelyehto. Epäyhtälön ratkaisu on > ja 0.

34 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Funktion f( ) 5 määrittelyehto on 0. Funktion nollakohta: ) , kun Ratkaisu toteuttaa määrittelyehdon. b) Funktion f( ) 0, eli ja. määrittelyehto on + 0 ja Funktion nollakohta: ) ) 0 ( ) ( ) 0 ( )( ) ( )( ) (6) 0 ( )( ) 56 0, kun ( )( ) tai. Molemmat ratkaisut toteuttavat määrittelyehdon.

35 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) Funktion f( ) määrittelyehto on = 0. Funktion nollakohta: 0 0 0, kun 0 tai. ) Molemmat ratkaisut toteuttavat määrittelyehdon. 5. a) Epätosi. Esimerkiksi lauseke ei saa arvoa nolla, mutta se saa silti sekä positiivisia (esim. kun = ) että negatiivisia (esim. kun = 0) arvoja. b) Epätosi, sillä jos jollakin funktiolla f on nollakohta a, niin f(a) = 0 ja funktion kuvaajalla on -akselilla sijaitseva piste (a, 0). Kuvaaja siis koskettaa -akselia joko leikaten tai sivuten. 6. a) Summa: ) ( )( ) ( )( ), kun, ( )( ) Erotus: ) ) ( )( ) ( )( ), kun, ( )( )

36 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b), kun, ( )( ) ( )( ) Ratkaisu ei täytä määrittelyehtoa, joten sellaista muuttujaa ei ole olemassa, jolla summa ja erotus olisivat yhtä suuret. 7. Merkitään: pyöräilijän keskinopeus autoilijan keskinopeus pyöräilijän matkaan käyttämä aika t Autoilijan matkaan käyttämä aika t h 40 min = t 5 (h). Aika saadaan matkan ja nopeuden osamääränä: t 60 ja t Sijoitetaan t 60 jälkimmäiseen yhtälöön. ) ) Pyöräilijän keskinopeus on 4 km/h ja autoilijan 4 km/h = 7 km/h.

37 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään: veneen nopeus nopeus myötävirtaan nopeus vastavirtaan ajoaika matka myötävirtaan matka vastavirtaan km/h + 6 km/h 6 km/h 0,5 h 4 km 8 km. Aika on matkan ja nopeuden osamäärä. Puolen tunnin aikana myötävirtaan vene etenee 4 km nopeudella ( + 6) km/h ja vastavirtaan 8 km nopeudella ( 6) km/h. Muodostetaan tiedoista yhtälö ( 6) 8( 6) 0 ( 6)( 6) 4( 6) 8( 6) ) 6) Veneen nopeus on km/h. 9. a) Tosi. 4 ( ) ( ), kun. b) Tosi. 6 ( ) > 4, kun >. c) Tosi. Koska 0, on summa + kaikilla muuttujan arvoilla. Osoittaja ja nimittäjä ovat aina positiivisia, joten osamäärä on positiivinen. Koska nimittäjä + on aina yhtä suuri tai suurempi kuin osoittaja on osamäärä aina yhtä suuri tai pienempi kuin luku.

38 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) epätosi Ei voi toteutua, koska välillä > 0 saa f() vain negatiivisia arvoja ja g() saa vain positiivisia arvoja. b) epätosi Esimerkiksi kun > 0 on f() < 0 ja g() > 0, joten erimerkkisten funktioiden osamäärä on negatiivinen. c) tosi Tosi, koska g() > 0 aina ja > 0, joten niiden osamääräkin on positiivinen. y 4. Lasketaan käyrän ja suoran y = leikkauspisteet, jotka ovat kysytyt yhteiset pisteet. Määrittelyehto on. ) , kun 0 tai Molemmat ratkaisut toteuttavat määrittelyehdon. Ratkaistaan leikkauspisteiden y-koordinaatit yhtälöstä y =. y = y = Yhteiset pisteet ovat (, ) ja (, ).

39 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Funktion f ( ) kuvaaja kulkee funktion g( ) kuvaajan alapuolella, kun epäyhtälö toteutuu. Epäyhtälön määrittelyehto on ja. Ratkaistaan epäyhtälö. ) ) 0 ( ) ( )( ) 0 ( ) Lasketaan nollakohdat: ja

40 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Tehdään merkkikaavio eli, kun < < tai >. Funktion f kuvaaja kulkee funktion g kuvaajan yläpuolella, kun < < ja >. Piirretään kuva. Kuvan perusteella tulos on oikea. 4. Muodostetaan ehdoista epäyhtälö. Epäyhtälön määrittelyehto on 0, ja.

41 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty ( )( )) ( )) ( )) 0 ( )( ) ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 ( )( ) Lasketaan osoittajan nollakohdat. + = 0 = tai = Tehdään merkkikaavio ( )( ) , kun <, tai 0. ( )( ) Luvun käänteisluku voi olla suurempi tai yhtä suuri kuin lukujen + ja + käänteislukujen summa.

42 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 44. a) Lauseke a saa arvon nolla, kun osoittaja saa arvon nolla. a Kun = 6 on oltava 6 6a 0 6a 6 a 6. On mahdollista, a = 6. b) Lauseke 8 ei ole määritelty kohdassa = 4 kun se on a nimittäjän nollakohta a = 0 4a = 4 a = On mahdollista, a = 7. c) Ei ole mahdollista. Lausekkeen a nimittäjä + on aina positiivinen. Osoittaja vaihtaa aina merkkiään kohdassa = a, olipa a mikä luku tahansa, joten osoittaja saa myös negatiivisia arvoja.

43 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Merkitään f ( ), kun 0 Kuvaajalla olevan kärjen koordinaatit ovat (, f()). Suorakulmion kannan pituus on ja korkeus on f(). A ( ) f( ), eli pinta-ala on aina. b) Suorakulmion pinta-alan ja piirin suhde: Piiri on, joten suhde on. On osoitettava, että. 0 ( ) 0 ( ) ) 0 0 Nimittäjä on aina positiivinen. Osoittajan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, jolla ei ole nollakohtia, joten se saa vain negatiivisia arvoja. Siten epäyhtälö on aina tosi ja suhde on pienempi kuin.

44 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) f ( ) f ( a) f( a) f( a) f ( a) 0 a) a f( a) f( a) a a a a ( a) a a a ( a)( a) ( a) a ( a)( a) a aa a ( a)( a) ( a)( a) Erotus on positiivinen, kun a > 0, joten f(a + ) > f(a). b) Kun < a <, nimittäjän tekijät ovat erimerkkiset (a + 0 ja a + 0), joten niiden tulo(a + )(a + ) ja samalla koko osamäärä on negatiivinen. Epäyhtälö on epätosi. ( a)( a) Kun a <,nimittäjän tekijät ovat negatiivisia (a + < 0 ja a + < 0) ja niiden tulo ja samalla koko osamäärä on positiivinen. Epäyhtälö on tosi. 47. a) Erotus y 0, kun < < y, joten. y y y ( ) b) Erotus y y. y ( )( y) ( )( y) Koska < y, niin osoittaja y < 0. Koska < < y, < 0 ja y < 0, joten nimittäjä ( )( y) > 0. Erotus on negatiivinen, joten y.

45 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) Erotus y ( y)( y ) y y y y y y( y) y y y y y 0. y( y) y( y) Erotus on positiivinen, joten. y y n 5 n a) an. Koska n on positiivinen kokonaisluku, n n n n on 5 n > 0 ja siten a n >. b) Jos n = 0, niin = 5. Koska positiivisen luvun n kasvaessa lauseke 5 n pienenee, niin luvuilla n > 0 lauseke + 5 on pienempi n c) kuin 5.

46 Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Lukujonon, 5, 7, 4,...termien osoittajat ovat peräkkäiset 9 kokonaisluvut ja nimittäjät peräkkäiset parittomat kokonaisluvut. Yleinen termi on an n, n,,,... n b) an n Kun n >, osamäärä on aina positiivinen. n ( n a n n Kun n >, > 0, joten nimittäjä on aina n n n suurempi kuin kaksi, joten osamäärä on aina pienempi kuin. Tällöin 0 n. n Kuvan perusteella tulos vaikuttaa olevan oikea. c) a n a n n n n n ( n) n n n ( n)(n) n(n) (n)(n) n nnn n (n)(n) (n)(n ) Erotus on positiivinen, kun n > 0. Koska erotus on positiivinen, a n + > a n, eli lukujono on kasvava.

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a) K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +

Lisätiedot

Rationaalilauseke ja -funktio

Rationaalilauseke ja -funktio 4.8.07 Rationaalilauseke ja -funktio Määritelmä, rationaalilauseke ja funktio: Kahden polynomin ja osamäärä, 0 on rationaalilauseke, jonka osoittaja on ja nimittäjä. Huomaa, että pelkkä polynomi on myös

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Matematiikan pohjatietokurssi

Matematiikan pohjatietokurssi Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio, 8.-9.9.015, ratkaisut 1. Jaa tekijöihin (joko muistikaavojen avulla tai ryhmittelemällä) (a) x +x+ = x + x + = (x+) x +x+ = (x +x+1) = (x+1) (c) x 9 = (x) 3

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.

Lisätiedot

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

4 Polynomifunktion kulku

4 Polynomifunktion kulku 4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit .4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x

Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Juurifunktio Ennakkotehtävät. a) = 6, koska 4 = 6 b) + = 6, eli = 4 c) + = + + =0 4 ( ) ( ) tai Ratkaisuista = ei toteuta alkuperäistä yhtälöä, koska. Luvun tulee siis olla. . a) b) f ( ) ( ) (6) 44 9

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

3 Määrätty integraali

3 Määrätty integraali Määrätty integraali. a) Muodostuva alue on kolmio, jonka kanta on. Kolmion korkeus on funktion arvo kohdassa, eli f() = = 6. Lasketaan A() kolmion pintaalana. 6 A() 6 Vastaus: A() = 6 b) Muodostuva alue

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] saadaan laskemalla kohtia x = 0 ja x = vastaavien kuvaajan

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja funktioita

2 Yhtälöitä ja funktioita Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7. Koe Jussi Tyni 1..01 1. Laske raja-arvot: a) 5 x lim x5 x 10 b) x 8x16 lim x x 9 x. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (5). b) Onko funktio f x vastauksesi lyhyesti 1 9 x ( ) x f ( x)

Lisätiedot

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

x + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli

x + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Syksy 015 1. a) Funktio f ) = 1) vaihtaa merkkinsä pisteissä = 1, = 0 ja = 1. Lisäksi se on pariton funktio joten voimme laskea vain pinta-alan

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat 35, 7 ja 0.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat 35, 7 ja 0. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku.. Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat, 7 ja 0.. a) Luvun vastaluku on, koska + ( ) 0. b) Luvun 7 vastaluku on 7, koska 7 + ( 7) 0. c) Luvun 0 vastaluku on

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x

Lisätiedot

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5 A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2

Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2 Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

6 Funktioita ja yhtälöitä

6 Funktioita ja yhtälöitä 6 Funktioita ja yhtälöitä 6. Rationaali- ja juurifunktio LUVUN 6. YDINTEHTÄVÄT 60. a) Määritelty, kun a 0. ( a ) ( a ) a a y y ( a a )( a ( a )) a a a a y y a 6 a ( y) ( y) Toinen tapa: ( a ) ( a ) a a

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2 Lisätehtävät Polnomifunktio 7. Epähtälöt = + 8. a) < + < + < Vastaus: ) < < Vastaus: < 8 8 8 = 8 = + c) ( ) < + ( ) < + < + < : ( > ) < Vastaus: < d) ( )

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

origo III neljännes D

origo III neljännes D Sijoita pisteet A(1,4) ja B(4,5;5) sekä C(-3,4) ja D(-4,--5) y II neljännes C A I neljännes B x origo III neljännes D IV neljännes KOTIT. Sijoita ja nimeä koordinaatistoon pisteitä niin, että pisteet yhdistettäessä

Lisätiedot

4 FUNKTION ANALYSOINTIA

4 FUNKTION ANALYSOINTIA Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 1.1.018 4 FUNKTION ANALYSOINTIA POHDITTAVAA 1. Appletin avulla huomataan, että suorakulmion pinta-ala on mahdollisimman suuri, kun kaikki

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3] Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,] Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4 T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + )

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa

Lisätiedot

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,

Lisätiedot

Sähköinen koe (esikatselu) MAA A-osio

Sähköinen koe (esikatselu) MAA A-osio MAA2 2018 A-osio Laske molemmat tehtävät! Tee tehtävät huolellisesti. Muodosta vastaukset abitin kaavaeditoriin. Kysy opettajalta tarvittaessa neuvoa teknisissä ja ohjelmien käyttöön liittyvissä ongelmissa.

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.

Lisätiedot

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia? Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

Lisätiedot

MAA7 7.2 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! lim.

MAA7 7.2 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! lim. MAA7 7. Koe Jussi Tyni 8.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 9 lim 6 lim 1. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). 1 f ( ) derivaatta 1 Onko funktio f ( ) 9 kaikkialla vähenevä? Perustele vastauksesi

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot