Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio"

Transkriptio

1 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio Korjattu tehtävän 56 vastaus

2 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty Yhteiset pisteet saadaan ratkaisemalla suorien yhtälöiden muodostama yhtälöpari. a) x 6y+ = x + y + = x 6y+ = + x + 6y + 4 = 7 = aina epätosi Yhtälöparilla ei ole ratkaisua, joten suorilla ei ole yhteisiä pisteitä. b) 6x+ y = y = x + 6 Sijoitetaan yhtälöön (). Yhteiset pisteet voidaan esittää myös parametrimuodossa c) x= t y = t + 6 ( t ) R. x y 7= ( ) 4 x+ 4y = 6x+ 9y+ = 8x y 8 = + + 6x+ 8y 4= 9x+ y 6= 7y+ 7 = 7x 4 = 7 4 y= x= 7 7 y= x= Suorien yhteinen piste on (, ). 6x+ ( x+ 6) = 6x 6x+ = = aina tosi Suorat ovat sama suora, joten yhteisinä pisteinä ovat kaikki suoran y = x+ 6 pisteet eli pisteet ( x, y ), missä x R ja y = x+ 6. Vastaus a) ei yhteisiä pisteitä b) x R y = x + 6 c) (, )

3 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty a) () y = x Sijoitetaan yhtälöön ( ). 4x+ y = 5 4x+ ( x) = 5 5x = 5 x = Sijoitetaan yhtälöön (). y = x= = Yhtälöparin ratkaisu on on (, ). b) x =, joten suorien yhteinen piste y = x 4y+ = y = x Sijoitetaan yhtälöön (). 4 x 4 x + = 4 x x+ 4+ = 5 = aina epätosi Yhtälöparilla ei ole ratkaisua, joten suorilla ei ole yhteisiä pisteitä. c) 5x+ y = x= y 5x+ y = 5x = y 5x+ y = 5x+ y = Suorat ovat sama suora, joten yhteisiä pisteitä ovat kaikki suoran 5x y x, y, missä x R ja + = pisteet eli pisteet y = x+. Yhteiset pisteet voidaan esittää myös parametrimuodossa x= t y = t + Vastaus a) (, ) ( t R ) b) ei yhteisiä pisteitä x R c) y = x +

4 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty Suorien leikkauspiste saadaan ratkaisemalla yhtälöryhmä x y+ 5= y = x x + y = Tarkistetaan toteuttaako saatu ratkaisu Yhtälön x+ y = x = y = vasen puoli on + = oikea puoli on myös yhtälön (). Koska yhtälöitä on kolme ja muuttujia vain kaksi, muodostetaan yhtälöryhmä valitsemalla siihen esimerkiksi yhtälöt () ja (). Saadaan yhtälöpari x y+ 5= y = x Sijoitetaan yhtälöön (). x ( x) + 5= 5x + 5= 5 x = 5 x = Sijoitetaan yhtälöön ( ). Koska yhtälö () toteutuu, on yhtälöryhmän ratkaisu joten suorat leikkaavat toisensa pisteessä (, ). Vastaus Leikkauspiste on (, ). x =, y = y = ( ) =

5 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 84 Päivitetty Kolmion kärkipisteiden koordinaatit saadaan määrittämällä suorien leikkauspisteet. ) Suorien 6x + y+ 9 = ja y = x+ leikkauspiste saadaan ratkaisemalla yhtälöpari 6x+ y+ 9= y = x + Sijoitetaan yhtälöön (). 6x x+ + 9= 5x + = y = ( 4) + = 5 x = 4 Sijoitetaan yhtälöön ( ). Suorien leikkauspiste on ( 4,5). ) Suorien y = x+ ja x y 8 = leikkauspiste saadaan ratkaisemalla yhtälöpari y = x+ Sijoitetaan yhtälöön ( ). x y 8= x ( x+ ) 8= x+ x 8= 5x = x = Sijoitetaan yhtälöön ( ). y = + = Suorien leikkauspiste on (, ). ) Suorien 6x + y+ 9 = ja x y 8 = leikkauspiste saadaan ratkaisemalla yhtälöpari () 6x+ y+ 9= x y 8= ( ) 6x + y+ 9= x+ y+ 8= + + 6x+ 4y+ 6= x y 8= 5y+ 5 = 5x + = y= 7 x= Suorien leikkauspiste on (, 7). Vastaus Kolmion kärkipisteet ovat 4,5,, ja, 7.

6 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 85 Päivitetty Määritetään suorien leikkauspisteet. ) ) () y= x Sijoitetaan yhtälöön ( ). x y = x ( x ) = x x+ = x = Sijoitetaan yhtälöön (). y = = Suorien leikkauspiste on A = (,). y= x Sijoitetaan yhtälöön ( ). x+ y+ 6= ) x y = + x+ y+ 6= 4x + 6= 6 x = = Sijoitetaan yhtälöön ( ). 4 y = y = Suorien leikkauspiste on C =,. Piirretään mallikuva, jossa kolmion ABC ympärille on piirretty suorakulmio AFED. x+ x + 6= 5 x = = Sijoitetaan yhtälöön (). 5 y = ( ) = Suorien leikkauspiste on B = (, ). Kolmion ABC ala saadaan vähentämällä suorakulmion AFED alasta suorakulmaisten kolmioiden CEB, BDA ja AFC alat.

7 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 86 Päivitetty Sivun DA pituus on DA = y = y y = ( ) = 4 A Sivun ED pituus on ED = x = xd xe = = Vastaavasti saadaan AF = ED = FC = y = = CE = y = ( ) = EB = x = = BD = x = = Kolmion ABC ala on AABC = AAFED ACEB ABDA AAFC 4 = = 4 = 6 = Vastaus D Kolmion ala on. 56 Pisteiden A ja B kautta kulkevan suoran kulmakerroin on y ( ) 5 k = = = x 4 ( ) 7 ja suoran yhtälö on 5 y y = k( x x) ( x, y) = (, ), k = 7 5 y+ = ( x+ ) y+ = x y = x+ 7 7 Pisteiden C ja D kautta kulkevan suoran kulmakerroin on y 7 6 k = = = x ( 5) 8 ja suoran yhtälö on y y = k( x x) ( x, y) = ( 5,6 ), k = 8 y 6= ( x+ 5) 8 5 y 6 = x y = x

8 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 87 Päivitetty Suorien leikkauspiste saadaan ratkaisemalla yhtälöpari () 5 y = x + Sijoitetaan yhtälöön () y = x x+ = x ) 7) 7) 8) 5 5 x x= x = x = 6 57 Piirretään mallikuva, jossa on piirrettynä nelikulmion ABCD lävistäjät ja nelikulmion ympärille piirretty suorakulmio EFGH. 6 x = = Sijoitetaan yhtälöön ( ) y = + 6 = + = = Suorat leikkaavat pisteessä (,8 ). Vastaus Suorien leikkauspiste on (,8 ). Lävistäjien leikkauspiste saadaan ratkaisemalla suorien l ja l yhtälöiden muodostama yhtälöpari. AC BD

9 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 88 Päivitetty Määritetään suorien l ja l yhtälöt. AC BD ) Suoran l AC kulmakerroin on k AC y 5 ( ) = = = 4 x Suoran yhtälö on y y = k x x x, y =,5, k = 4 y 5= 4( x ) y = 4x 7 ) Suoran l BD kulmakerroin on k BD y = = = x 4 Suoran yhtälö on y y = k( x x) ( x, y) = ( 4, ), k = y = ( x 4) y = x+ Ratkaistaan yhtälöpari () y= 4x 7 Sijoitetaan yhtälöön (). y = x + 4x 7= x+ 4 x = 9 x = Sijoitetaan yhtälöön (). y = 4 7= Lävistäjien leikkauspiste on siis (, ). Nelikulmion ABCD ala saadaan vähentämällä suorakulmion EFGH alasta suorakulmaisten kolmioiden AEB, BFC, CGD ja DHA alat. Määritetään sivujen pituudet. HE = x = 4 ( ) = 6 EF = y = 5 ( ) = 8 AE = x = 4 = EB = y = ( ) =

10 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 89 Päivitetty BF FC GC DG HD HA = y = 5 = 5 = x = 4 = = x = ( ) = 5 = y = 5 = = y = ( ) = 6 = x = ( ) = 58 Piirretään mallikuva, jossa Onnela valitaan koordinaatiston origoksi ja ruudun sivu vastaa yhtä kilometriä. Nelikulmion ABCD ala on AABCD = AEFGH AAEB ABFC ACGD ADHA = 68 = = 7 Määritetään pisteiden L ja K sekä pisteiden O ja N kautta kulkevien suorien yhtälöt. Suoran l LK kulmakerroin on Vastaus Nelikulmion lävistäjien leikkauspiste on (, ) ja pinta-ala on 7. k y ( ) = = =, x ( ) Suoran yhtälö on y y = k x x x, y =,, k = y+ = x+ y = x

11 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 9 Päivitetty Suoran l ON yhtälö on muotoa (, ) ( 6, 4) y = kx x y = 4= k 6 k = Siis suoran yhtälö on y = x Polut leikkaavat suorien l ja l leikkauspisteessä. LK ON 5 5 x = : 6 x = = Sijoitetaan yhtälöön () y = = 5 5 Suorien l ja l leikkauspiste on kuljettava LK ON 4,, joten origosta on 5 5, 5 = ruutua oikealle ja sitten 4,8 5 = ruutua alas. Määritetään leikkauspisteen koordinaatit ratkaisemalla suorien yhtälöiden muodostama yhtälöpari. () y = x Sijoitetaan yhtälöön ( ). y = x x = x x+ x= Vastaus Polut leikkaavat toisensa pisteessä, joka on Onnelasta, km itään ja sitten,8 km pohjoiseen.

12 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 9 Päivitetty Piirretään mallikuva. Janan BC keskipisteen koordinaatit ovat xb + xc 8+ x = = = 5 yb + yc + y = = = Siis piste E = ( 5,). Janan AC keskipisteen koordinaatit ovat xa + xc + x = = = ya + yc + y = = = Määritetään kolmion sivujen AB, BC ja AC keskipisteet D, E ja F. Siis piste F =,. Janan AB keskipisteen koordinaatit ovat xa + xb + 8 x = = = y A + yb + y = = = Siis piste D =,. Määritetään pisteiden A ja E, B ja F sekä C ja D kautta kulkevien suorien l, l ja l yhtälöt.

13 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 9 Päivitetty Kulmakertoimet ovat k k k AE BF CD y ya ye = = = = x x x 5 A E y yb yf = = = = x x B xf 8 5 y y C yd = = = = 4 x x C xd Suorien yhtälöt ovat y y = k x x l ( ) : y = x k =, x, y =, y+ = x+ y+ 6= x+ x y 5= y y = k x x l : y = x 8 5 k =, x, y = 8, 5 6 y+ = x y+ 5= x+ 6 x+ 5y = l : y = 4( x ) y = 4x+ 8 4x+ y = y y = k x x k = 4, x, y =, Mediaanien leikkauspiste saadaan ratkaisemalla suorien yhtälöiden muodostama yhtälöryhmä. x y 5= x+ 5y = 4x+ y = ( ) 5 x+ 4y+ = 5x y 5 = + + x+ 5y = 4x+ y = 9y + 9= 9x 7= y= x= Tarkistetaan, toteuttaako saatu ratkaisu x = myös yhtälön (). y =

14 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 9 Päivitetty Yhtälön 4x+ y = vasen puoli on 4 = oikea puoli on Yhtälöryhmän ratkaisu on siis leikkauspiste on (, ). x =, joten mediaanien y = Huomautus: Olisi riittänyt tarkastella vain kahta mediaania, sillä kolmion kaikki mediaanit leikkaavat toisensa samassa pisteessä. Vastaus Mediaanien leikkauspiste on (, ). 5 Piirretään mallikuva. Kulmanpuolittajaa jatkamalla saadaan suora s, jonka suuntakulma on 45. Suoran s kulmakerroin on k = tan 45 =. Suora s kulkee origon kautta, joten sen yhtälö on y = x. Suorien leikkauspiste saadaan ratkaisemalla yhtälöpari x+ y+ = y = x Sijoitetaan yhtälöön (). x+ x+ = 5x + = x = = Sijoitetaan yhtälöön ( ). 5 5 y = 5 Vastaus Pisteessä, 5 5

15 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 94 Päivitetty Suoraparven yhteinen piste toteuttaa suoraparven kaikkien suorien yhtälöt. Tapa Suoraparven suorien yhteinen piste on suoraparven kahden mielivaltaisen suoran leikkauspiste. Valitaan suoraparvesta kaksi suoraa ja lasketaan niiden leikkauspiste. Kun k =, saadaan suora 4y+ = eli y =. 4 Kun k =, saadaan suora 4x 4y+ = eli y = x+. 4 Suorien leikkauspiste saadaan ratkaisemalla yhtälöpari () y = Sijoitetaan yhtälöön ( ). 4 y = x + 4 = x x = = 4 4 Leikkauspiste on, 4. On vielä osoitettava, että suoraparven kaikki suorat kulkevat pisteen, 4, kautta. Osoitetaan, että pisteen, 4 koordinaatit toteuttavat suoraparven yhtälön kaikilla parametrin k arvoilla. Kun x= ja y = suoraparven yhtälön 4 vasen puoli on 4 k 4 + k + 4 = k + k + = oikea puoli on Kaikki parven suorat kulkevat siis pisteen, 4 kautta. Tapa Muunnetaan suoraparven yhtälö muotoon, jossa havaitaan sellainen piste ( x, y ), joka toteuttaa suoraparven yhtälön parametrin k arvosta riippumatta. 4kx 4y + k + = 4kx + k + 4y = k x+ + 4y = Yhtälö toteutuu kaikilla parametrin k arvoilla vain, kun x+ = ja 4y = eli x= ja y =. 4

16 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 95 Päivitetty Tapa Kun suoran kulmakerroin on k ja suora kulkee pisteen ( x, y ) kautta, sen yhtälö on y y = k( x x ). Muunnetaan suoraparven yhtälö tähän muotoon. 4kx 4y + k + = 4y+ = 4kx k :( 4) k y = kx+ 4 y = k x+ 4 Suoraparven suorat kulkevat siis pisteen Vastaus, 4 Suoraparven suorat kulkevat pisteen kautta., 4 kautta. 5 Tapa Todistus Jos parven suorilla on yhteinen piste, niin se on välttämättä suoraparven kahden mielivaltaisen suoran leikkauspiste. Valitaan suoraparvesta kaksi suoraa ja lasketaan niiden leikkauspiste. Todistetaan lopuksi, että kaikki parven suorat kulkevat tämän pisteen kautta. Kun a =, saadaan suora y = x eli y = 5. Kun a =, saadaan suora y = x eli y = x. Suorien leikkauspiste saadaan ratkaisemalla yhtälöpari. () 5 Sijoitetaan yhtälöön ( ). y = y = x 5= x eli x= Leikkauspiste on (,5 ). On vielä osoitettava, että suoraparven kaikki suorat kulkevat pisteen (,5 ) kautta. Osoitetaan siis, että pisteen (,5 ) koordinaatit toteuttavat suoraparven yhtälön kaikilla parametrin a arvoilla.

17 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 96 Päivitetty Kun x = ja y = 5, suoraparven yhtälön vasen puoli on 5 ja oikea puoli on a 6a+ 5 = 5. Kaikki suorat kulkevat siis pisteen,5 kautta. Tapa Todistus Muunnetaan suoraparven yhtälö muotoon, josta havaitaan sellainen piste ( x, y ), joka toteuttaa suoraparven yhtälön parametrin a arvosta riippumatta. y = ax 6a+ 5 ax 6a + 5 y = a x y = Yhtälö toteutuu kaikilla parametrin a arvoilla, kun x 6 = ja 5 y = eli x= ja y = 5. Piste (,5 ) toteuttaa siis suoraparven yhtälön parametrin a arvosta riippumatta, joten kaikki parven suorat kulkevat pisteen (,5 ) kautta. Tapa Todistus y y = k x x esittää aina suoraa, jonka kulmakerroin Yhtälö on k ja joka kulkee pisteen (, ) x y kautta. Muunnetaan suoraparven yhtälö tähän muotoon. y = ax 6a+ 5 y 5= ax 6a y 5= a x y y = k x x Yhtälö esittää suoraa, jonka kulmakerroin on aina a ja joka kulkee pisteen (,5 ) kautta. Koska piste (,5 ) ei riipu parametrin a arvosta, kaikki suoraparven suorat kulkevat saman pisteen kautta. 5 Suorien yhteiset pisteet saadaan ratkaisemalla suorien yhtälöiden muodostama yhtälöpari. ax + y = 5 + x y= 5a ( a+ ) x = 5+ 5a :( a+ ), a. Tapaus a = on tutkittava erikseen.

18 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 97 Päivitetty a x = a + 5 ( + a) x = a + x = 5 Sijoitetaan yhtälöön (). a 5+ y = 5 y = 5 5a 54 Piirretään tilanteesta mallikuva. ) Jos a, suorilla on siis vain yksi yhteinen piste. ) Jos a =, niin alkuperäisistä yhtälöistä saadaan yhtälöpari x+ y= 5 + x y= 5 = aina tosi Siis suorat yhtyvät, eli niillä on vähintään kaksi yhteistä pistettä. Suorilla on siis kaikilla vakion a arvoilla vähintään yksi yhteinen piste. Vastaus a) ei millään vakion a arvolla b) a c) a = Suorakulmaisesta kolmiosta KAR saadaan AR = tan 4, KA A =, y = tan 4, x ( ) y = tan 4, ( x+ ) ( x ) Vastaavasti suorakulmaisesta kolmiosta EBR saadaan

19 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 98 Päivitetty BR = tan 58,4 EB B=, ( ) = tan 58,4 y = tan 58,4 x y x ( x ) Suorien leikkauspiste R saadaan suorien yhtälöiden muodostaman yhtälöparin ratkaisuna. () y tan 4, ( x ) Sijoitetaan yhtälöön ( ). = + y = tan 58,4 x tan 4, ( x+ ) = tan 58,4 x tan 4, x+ tan 4, = tan 58,4 x x tan 4, tan 58,4 = tan 4, tan 4, x = tan 4, tan 58,4 =, , 67( km) Leikkauspisteen koordinaattien likiarvot ovat x,67, y,4 joten rajapyykki sijaitsee likimain pisteessä (,67;,4 ). b) Ketse kulkee matkan KR = ( x ( ) ) + ( y ) = ( x+ ) + y nopeudella 5 km/h, joten hän käyttää rajapyykille kulkemiseen ajan (yksikkönä tunti) t K KR ( x+ ) + y x,67 ( km) = = 5 5 y,4 ( km),99 ( h) Vastaavasti Eemeliltä kuluu matkaan ER aika t E, 67 ( km) ER x + y+ x = = 8 8 y,4 ( km), 67 ( h) Sijoittamalla muuttujan x arvo yhtälöön () saadaan Koska t E < t, ehtii Eemeli rajapyykille ennen Ketseä. K y = tan 58,4 x x=, =,87...,4 ( km) Vastaus a) Rajapyykki on likimain pisteessä,67;,4. b) Eemeli on ensin perillä.

20 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 99 Päivitetty Määritetään pisteet, joissa suora x + y = leikkaa koordinaattiakselit. ) Suoran ja x-akselin leikkauspiste Kun y =, niin x + = eli x =. Leikkauspiste on siis A = (,). b) Piirretään mallikuva ) Suoran ja y-akselin leikkauspiste Kun x =, niin + y = eli y =. Leikkauspiste on siis B =,. a) Piirretään mallikuva. OA OB = x = = = y = = Kolmion OAB ala on A OAB 9 = = 4 Kolmio OAB on suorakulmainen kolmio, joten suurin kulma on 9. Suoran kulman puolittavan suoran yhtälö on muotoa y = kx, missä k = tan 45 =. Suoran yhtälö on siis y = x. Kolmion OAP ala on puolet kolmion OAB alasta, joten määritetään suorien y = kx ja x+ y = leikkauspisteen P y-koordinaatti, joka on kolmion OAP korkeus.

21 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty Leikkauspiste P saadaan ratkaisemalla yhtälöpari. x+ y = y = kx Sijoitetaan yhtälöön (). x+ kx = ( + k) x= :( + k)(, koska k > ) x = Sijoitetaan yhtälöön ( ). + k k y= k = + k + k k Leikkauspiste on siis P =, + k + k. k Kolmion OAP kanta on ja korkeus on, joten + k Saadaan yhtälö 9 AOAP = AOAB AOAB = 4 k 9 = + k 4 k = + k 4 k = ( + k) k = + 6k 6k = k = Suoran yhtälö on siis y = x A OAP k = + k Vastaus a) y = x b) y = x

22 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty Väite. Suora Tapa C + x C y+ C = kulkee vakion C kaikilla arvoilla saman pisteen kautta. Todistus. Valitaan suoraparvesta kaksi suoraa ja lasketaan niiden leikkauspiste. Todistetaan lopuksi, että kaikki parven suorat kulkevat tämän pisteen kautta. Kun C =, saadaan suora + x y+ = x = x = Kun C =, saadaan suora + x y+ = x y = y = x Suorien leikkauspiste saadaan ratkaisemalla yhtälöpari. x = Sijoitetaan yhtälöön ( ). y = x y = = Osoitetaan, että kaikki suorat kulkevat pisteen Kun x = ja y =, suoraparven yhtälön vasen puoli on oikea puoli on C + C + C = C + C + C = Siis kaikki suorat kulkevat pisteen, kautta. Tapa, kautta. Todistus Muunnetaan suoraparven yhtälö muotoon, josta havaitaan sellainen piste ( x, y ), joka toteuttaa suoraparven yhtälön parametrin C arvosta riippumatta. C + x C y+ C = C x+ x C y+ C = C x y+ + x = Yhtälö toteutuu kaikilla parametrin C arvoilla, kun x y+ = ja x = eli y = x+ ja x= eli y = ja x=

23 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty Piste (, ) toteuttaa siis suoraparven yhtälön parametrin C arvosta riippumatta, joten kaikki parven suorat kulkevat pisteen (, ) kautta. Tapa Todistus y y = k x x esittää aina suoraa, jonka Yhtälö kulmakerroin on k ja joka kulkee pisteen (, ) x y kautta. Muunnetaan suoraparven yhtälö tähän muotoon. C + x C y+ C = C y C = C + x C C y C = C + x C C y C = C + x C + ( C + ) Yhtälö esittää suoraa, jonka kulmakerroin on aina joka kulkee pisteen (, ) kautta., ei riipu parametrin C ( C ) arvosta, kaikki suoraparven suorat kulkevat saman pisteen kautta. Koska piste Jos C =, suoraparven yhtälö saa muodon + x y+ = x = x = eli pisteen (, ) kautta kulkeva pystysuora suora. Täten kaikki suoraparven suorat kulkevat saman pisteen kautta C ja ( C y C = C + )( x ) ( C + ) y = x, C C : C, C. Tapaus C = tutkitaan erikseen. Vastaus Piste on (, ).

24 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty Annetaan kulmakertoimelle k esimerkiksi arvot k =, k =, k = ja k =. Vastaavat suorien yhtälöt ovat y = x+, y = x+, y = x+ ja y = x+. 58 Tapa Todistus Jos parven suorilla on yhteinen piste, niin se on välttämättä suoraparven kahden mielivaltaisen suoran leikkauspiste. Valitaan suoraparvesta kaksi suoraa ja lasketaan niiden leikkauspiste. Todistetaan lopuksi, että kaikki parven suorat kulkevat tämän pisteen kautta. Kun a =, saadaan suora x y = eli y = x. Kun a =, saadaan suora x x y y = eli y = eli y =. Muunnetaan suoraparven yhtälö y = kx+ muotoon y y = k x x y = kx+ y = kx y = k( x ) ( x, y) = (,) Suorat kulkevat siis pisteen (, ) kautta kulmakertoimen k arvosta riippumatta. Kun kulmakerroin saa kaikki reaaliarvot, saadaan kaikki pisteen (, ) kautta kulkevat suorat lukuun ottamatta suoraa x =, sillä pystysuoralla suoralla ei ole kulmakerrointa. Vastaus Suorat kulkevat pisteen, kautta. Suora x = ei kuulu suoraparveen. Suorien leikkauspiste saadaan ratkaisemalla yhtälöpari. y = x y = Sijoitetaan yhtälöön (). = x x = Leikkauspiste on (, ). On vielä osoitettava, että suoraparven kaikki suorat kulkevat pisteen (, ) kautta. Osoitetaan siis, että pisteen (, ) koordinaatit toteuttavat suoraparven yhtälön kaikilla parametrin a arvoilla.

25 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 4 Päivitetty Kun x = ja y =, suoraparven yhtälön vasen puoli on a oikea puoli on a = ja Kaikki suorat kulkevat siis pisteen, kautta. Tapa Todistus Muunnetaan suoraparven yhtälö muotoon, josta havaitaan sellainen piste ( x, y ), joka toteuttaa suoraparven yhtälön parametrin a arvosta riippumatta. ax x ay y= ax ay x y= a x y x+ y = Yhtälö toteutuu kaikilla parametrin a arvoilla, kun x y = ja x+ y = eli x = y ja x = y eli x = y =. Tapa Todistus y y = k x x esittää aina suoraa, jonka kulmakerroin Yhtälö on k ja joka kulkee pisteen (, ) x y kautta. Muunnetaan suoraparven yhtälö tähän muotoon. ax x ay y= a y+ y = a x x ( ) ( ) ( ) a + y = a x : a + > a y = x a + a y = x y y = k x x a + a Yhtälö esittää suoraa, jonka kulmakerroin on aina ja joka a + kulkee pisteen (, ) kautta. Koska piste (, ) ei riipu parametrin a arvosta, kaikki suoraparven suorat kulkevat saman pisteen kautta. Piste (, ) toteuttaa siis suoraparven yhtälön parametrin a arvosta riippumatta, joten kaikki parven suorat kulkevat pisteen (,5 ) kautta.

26 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitetty a Suoran kulmakerroin on a +. Kulmakerroin on aina olemassa, sillä a + kaikilla parametrin a arvoilla. Suoraparvessa ei siis ole pystysuoria suoria. Vaakasuora suora saadaan kulmakertoimen arvolla, joten suoraparveen kuuluu vaakasuora suora y = eli x-akseli. Vastaus Suoraparveen kuuluu vaakasuora suora, mutta ei pystysuoria suoria. 59 Tapa Todistus Jos parven suorilla on yhteinen piste, niin se on välttämättä suoraparven kahden mielivaltaisen suoran leikkauspiste. Valitaan suoraparvesta kaksi suoraa ja lasketaan niiden leikkauspiste. Todistetaan lopuksi, että kaikki parven suorat kulkevat tämän pisteen kautta. Kun k =, saadaan suora ( + ) x+ ( ) y 8 5= eli x y 5=. Kun k =, saadaan suora ( + ) x+ ( ) y 8 5= eli 5x y =. Suorien leikkauspiste saadaan ratkaisemalla yhtälöpari. x y 5= 5 5x y = ( ) ( ) x y 5 = 5x y 5 = + + x+ y+ 6= 5x + y+ 9= 7x + = 7y + 4= x= y= Leikkauspiste on (, ).

27 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 6 Päivitetty On vielä osoitettava, että suoraparven kaikki suorat kulkevat pisteen (, ) kautta. Osoitetaan siis, että pisteen (, ) koordinaatit toteuttavat suoraparven yhtälön kaikilla parametrin k arvoilla. Kun x = ja y =, suoraparven yhtälön vasen puoli on ( + k) + ( k ) 8k 5 = 9+ 6k + k 4 8k 5= oikea puoli on Kaikki suorat kulkevat siis pisteen, kautta. Tapa Todistus Muunnetaan suoraparven yhtälö muotoon, josta havaitaan sellainen piste ( x, y ), joka toteuttaa suoraparven yhtälön parametrin k arvosta riippumatta. ( + k) x+ ( k ) y 8k 5= x+ kx+ ky y 8k 5= kx + ky 8k + x y 5 = x+ y 8 k + x y 5 = Yhtälö toteutuu kaikilla parametrin k arvoilla, kun x+ y 8= ( ) x y 5= 4x+ y 6= 6x y+ 4= + + x y 5= 6x 4y = 7x = 7y+ 4= x= y= Piste (, ) toteuttaa siis suoraparven yhtälön parametrin k arvosta riippumatta, joten kaikki parven suorat kulkevat pisteen (, ) kautta. Muunnetaan suoraparven yhtälö muotoon y = kx+ b. ( + k) x+ ( k ) y 8k 5= ( k ) y= ( + k) x+ 8k + 5 :( k ), k Tapaus k = on tutkittava erikseen. + k 8k + 5 y= x+ k k Jos k, niin suoralla on kulmakerroin, joten suora ei voi silloin olla pystysuora..

28 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty Jos k =, suoraparven yhtälö saa muodon ( + ) x+ ( ) y 8 5= 7x 6 5= 7x = x = eli saatiin pisteen (, ) kautta kulkeva pystysuora suora. Vastaus Pystysuora suora on mukana parvessa. 5 Suorien yhteiset pisteet saadaan ratkaisemalla suorien yhtälöiden muodostama yhtälöpari. 4x+ ay= ax y = 4x+ ay= + ax ay= a ax 4x= a+ a, a. Tapaus a = tutkittava erikseen. ( ) ( a ) a 4 x= a+ : 4, a ±. Tapaus a =± on tutkittava erikseen. a + x = a 4 a + x = ( a+ )( a ) x=, a, a ± a

29 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty Sijoitetaan x = a yhtälöön (). a y = a a y = a a ( a ) a a+ y = = = a a a Suorien yhteinen piste on,, kun a, a ±. a a ) Jos a, a ±, niin suorilla on siis vain yksi yhteinen piste. ) Jos a =, alkuperäisistä yhtälöistä saadaan yhtälöpari 4x+ y = x y = ) Jos a =, niin saadaan 4x+ y= x y= 4x+ y= + 4x y= = 4 aina epätosi Suorat ovat yhdensuuntaiset eivätkä yhdy, joten niillä ei ole yhteisiä pisteitä. 4) Jos a =, niin saadaan 4x y= x y = ( ) 4x = y = x = y = Siis suorilla on vain yksi yhteinen piste,, jos a =. 4x y= + 4x+ y= = aina tosi Siis suorat yhtyvät eli niillä on vähintään kaksi yhteistä pistettä, jos a =. Vastaus a) Suorilla on vain yksi yhteinen piste, jos a ±. b) Suorilla vähintään kaksi yhteistä pistettä, jos a =. c) Suorilla ei ole yhtään yhteistä pistettä, jos a =.

30 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 9 Päivitetty Suorien leikkauspisteet saadaan ratkaisemalla suorien yhtälöiden muodostama yhtälöpari. x+ ty+ t + = tx + y + t + = ( t), t. Tapaus t = on tutkittava erikseen. x+ ty+ t + = + tx ty t t = x t x + t = ( ) ( ) t x = t t x = t ( t) x = ( + t)( t) x=, t + t : t, t ±. Tapaus t =± on tutkittava erikseen., t ± Sijoitetaan x = + t yhtälöön (). t + y+ t + = + t t y = t + t t t( + t) ( + t) y = + t t t t t y = + t t t y = + t Suorien ainoa leikkauspiste on t t,, kun t, t ± + t + t Saatiin siis seuraava tulos ) Jos t, t ±, suorilla on siis vain yksi leikkauspiste. Tutkitaan vielä erikseen tapaukset t =, t = ja t =.

31 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty ) Jos t =, niin alkuperäisestä yhtälöstä saadaan yhtälöpari = x y x+ y+ + = x + = y + = 4) Jos t =, niin saadaan x y+ + = + x + y + = = aina epätosi Siis suorilla ei ole yhteisiä pisteitä, jos t =. x = y = Siis suorilla on vain yksi yhteinen piste,, jos t =. Vastaus a) Suorilla on vain yksi yhteinen piste, jos t ± b) Suorilla on vähintään kaksi yhteistä pistettä, jos t =. c) Suorilla ei ole yhteisiä pisteitä, jos t =. ) Jos t =, niin saadaan x+ y+ + = x + y + + = ( ) Huomautus: Tutkitaan, sieveneekö yhteisen pisteen y-koordinaatin lauseke. t t, + t + t x+ y+ = + x y = = aina tosi Siis suorat yhtyvät eli niillä on vähintään kaksi yhteistä pistettä, jos t =. Osoittaja on toisen asteen polynomi, jolla ei ole nollakohtia, koska diskriminantti D= ( ) 4 ( ) ( ) = <. Polynomi t t on siis jaoton, joten y-koordinaatin lauseke ei sievene. Tehtävän ratkaisun kannalta tämä tutkiminen ei ollut oleellista.

32 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty Lasketaan suorien kulmakertoimet ja verrataan niitä keskenään. a) l: x 4y = l : 4x+ y 5= 4y = x y = 4x+ 5 k = 4 y = x 4 k = 4 Koska k k = 4 =, suorat ovat kohtisuorassa 4 toisiaan vastaan. b) l: x 6y 7= l : 8x 4y+ 7= 6y = x 7 4y = 8x y = x y = x+ 6 4 k = Koska k = k, suorat ovat yhdensuuntaiset. k = d) e) Koska k k ja k k, niin suorat eivät ole yhdensuuntaiset eivätkä kohtisuorassa toisiaan vastaan. l: x 4= l : y+ 5= x= 4 y = 5 Suoralla ei ole k = kulmakerrointa. Toinen suora on pystysuora ja toinen vaakasuora, joten suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. l: x+ 6= l : x= x = Suoralla ei ole Suoralla ei ole kulmakerrointa. kulmakerrointa. Molemmat suorat ovat pystysuoria, joten ne ovat yhdensuuntaiset. c) l : 9x+ y+ = l : 5x 5y = y = 9x 5y = 5x y = x y = x 5 k = k = Vastaus a) Suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. b) Suorat ovat yhdensuuntaiset. c) Suorat eivät ole kumpaakaan. d) Suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. e) Suorat ovat yhdensuuntaiset.

33 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty a) Suora on suoran y = 5x+ 8 suuntainen, joten sen kulmakerroin on k = 5. Suoran yhtälö on y = 5( x+ ) y = 5x 5 y = 5x y y = k x x x, y =,, k = 5 b) Suora on suoran y = 5x+ 8 normaali, joten suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan ja k k =. Saadaan yhtälö k n ( 5) = kn = 5 Suoran yhtälö on y y = k( x x) ( x, y) = (, ), k = 5 y = ( x ( ) ) 5 y = x+ 5 5 y= x y= x+ x 5y+ = Vastaus a) y = 5x b) x 5y + =

34 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty Janan AB keskinormaali n kulkee janan keskipisteen kautta ja on kohtisuorassa janaa AB vastaan. Janan keskipisteen koordinaatit ovat xa + yb x = = = ya + yb + 6 y = = = Keskinormaali n kulkee siis pisteen P = (, ) kautta. Koska n AB, on k k =. n AB Pisteiden A ja B kautta kulkevan suoran kulmakerroin on y 6 ( ) 8 k = = = = 4, x ( ) joten saadaan yhtälö Keskinormaalin n yhtälö on y y = k( x x) ( x, y) = (, ), k = 4 y = ( x ( ) ) 4 y = ( x+ ) 4 y = x y= x y= x+ 6 x+ 4y 6= Vastaus Keskinormaalin yhtälö on x + 4y 6 =. k n 4= kn = 4

35 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 4 Päivitetty Suorien leikkauspiste saadaan ratkaisemalla yhtälöpari x+ y = x y + 7 = x+ y 4= + x y+ 7= x + = x+ y = + y = y = Siis leikkauspiste on (, ). x = Sijoitetaan yhtälöön (). Määritetään suoran x y = kulmakerroin k. y = x k = Suoran l kulmakerroin k saadaan yhtälöstä k k = k = k = Suoran l yhtälö on y y = k( x x) ( x, y) = (, ), k = y = k x x y = ( x ( ) ) y = x x+ y + = x+ y 5= Vastaus x + y 5 =

36 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitetty Määritetään suorien kulmakertoimet ja vakiotermit muuntamalla suorien yhtälöt ratkaistuun muotoon. s x ay a : + = ay = x + a ) Jos a, suoran yhtälö voidaan jakaa luvulla a. ay = x + a : a, a. Tapaus a = on tutkittava erikseen y = x+ a y = kx+ b a k = ja b = a a s : ax+ y+ a+ 4= y = ax ( a+ 4) a a+ 4 y = x y = kx+ b a a+ 4 k = ja b = Suorat s ja s ovat yhdensuuntaiset, mutta eivät yhdy, kun k = k ja b b a a+ 4 = ja a a a = 9 ja a ( a+ 4) a =± ja a a 4 4a 4 a Siis a =±. Koska a =± toteuttaa myös ehdon a, niin arvoilla a =± suorat ovat yhdensuuntaiset, mutta eivät yhdy. ) Jos a =, niin alkuperäisten suorien yhtälöt ovat s : x= eli x= 4 s : y+ 4= eli y = Suora s on pystysuora ja suora s on vaakasuora, joten suorat eivät ole yhdensuuntaiset, kun a =. Vastaus a = ±

37 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 6 Päivitetty Määritetään suorien kulmakertoimet muuntamalla suorien yhtälöt ratkaistuun muotoon. l : x + ry s = ry = x + s ) Jos r, suoran yhtälö voidaan jakaa luvulla r. ry = x + s : r, r. Tapaus r = on tutkittava erikseen. s y = x+ r r k = r l : x+ y = y = x+ y = x+ k = Suorat l ja l ovat yhdensuuntaiset eli l l, kun k = k. Saadaan yhtälö = r r = = Koska r = toteuttaa myös ehdon r, niin arvolla suora l on suoran l suuntainen. ) Jos r =, niin alkuperäisten suorien yhtälöt ovat l : x s = eli x= s l : x+ y = eli y = x+ r = Suora l on pystysuora ja suora l on vino suora, joten suorat eivät ole yhdensuuntaiset, kun r =. Suora l kulkee pisteen (, ) yhtälön. Sijoitetaan piste (, ) suoran l yhtälöön. + r s = r s = r = s = s = Vastaus r = ja s =. kautta, joten piste toteuttaa suoran

38 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty Määritetään suorien kulmakertoimet ja vakiotermit muuntamalla suorien yhtälöt ratkaistuun muotoon. l : ax+ by = by = ax + ) Jos b, suoran yhtälö voidaan jakaa luvulla b. by = ax + a y= x+ b b a k = ja b= b b l : ax y+ = y= ax+ a y= x+ a k = ja b = : b, b. Tapaus b = on tutkittava erikseen. Suorat l ja l yhtyvät, kun k = k ja b = b. Saadaan yhtälöpari () a a = b = b a a = b b = 6 Sijoitetaan yhtälöön (). a a = 6 6 a = a 4a = a = a = a = Koska toteuttaa myös ehdon b, niin arvoilla b = 6 b = 6 suorat yhtyvät. ) Jos b =, niin alkuperäisten suorien yhtälöt ovat l : ax = eli x= a a l : ax y+ = eli y = x+ Suorat eivät yhdy millään vakion a arvoilla, sillä jos a, on suora l pystysuora ja l on vino suora. jos a =, ei suoraa l ole ja suora l on vaakasuora. Vastaus Suorat yhtyvät, kun a = ja b= 6.

39 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty Määritetään suorien kulmakertoimet ja vakiotermit muuntamalla suorien yhtälöt ratkaistuun muotoon. l : ax+ y ay = ( a) y = ax ) Jos a, suoran yhtälö voidaan jakaa luvulla ( a). ( a) y= ax :( a), a. Tapaus a= on tutkittava erikseen. a y= x y= kx+ b a a k= ja b= a l : x+ y a= y= x+ a a y= x+ y= kx+ b a k = ja b = ) Jos a =, niin alkuperäisten suorien yhtälöt ovat l : x+ y y = eli x= l : x+ y = eli y = x+ Suora l on pystysuora ja suora l on laskeva suora, joten suorat eivät ole yhdensuuntaiset eivätkä toistensa normaaleja. Siis a = ei voi olla tehtävän ratkaisu missään kohdissa a), b) tai c). a) Suorat l ja l ovat yhdensuuntaiset, mutta eivät yhdy, kun k = k ja b b a a = ja a a = a ja a a = 5 Ratkaisu a = kelpaa, koska myös ehto a toteutuu. 5

40 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 9 Päivitetty b) Suorat yhtyvät, kun k = k ja b = b a a = ja = a a = 5 ja a = ei ratkaisua Siis suorat eivät yhdy millään vakion a arvolla. c) Suorat l ja l toistensa normaaleja, kun k k =. Saadaan yhtälö a = a a = a a = + a a = Ratkaisu a = kelpaa, koska myös ehto a toteutuu. Vastaus a) Suorat ovat yhdensuuntaiset, kun a =. 5 b) Suorat eivät yhdy millään vakion a arvolla. c) Suorat ovat toistensa normaaleja, kun a =. 5 a) Lasketaan suorien kulmakertoimet. l: y = x+ l : 5x+ y+ = y = 5x 5 y = x 5 k = k = Tapa Suorien suuntakulmat saadaan yhtälöstä tanα = k. 5 tanα = tanα = α α = 6, = 68,98... Suorien välinen kulma on, = 8 l l α α = 8 6, ,98... = 85,

41 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty Tapa Suorien välinen kulma α saadaan yhtälöstä k k 5 α = = = tan k, k + kk 5 tanα = = = α = 85, b) Lasketaan suorien kulmakertoimet. l: 6x 8y = l : x 4y+ 7= 8y = 6x+ 4y = x y = x y = x k = = k = Suorien kulmakertoimet ovat samat. Suorat ovat siis yhdensuuntaiset, joten niiden välinen kulma on Vastaus Suorien välinen kulma on a) 85 b). 5 a) Lasketaan suorien kulmakertoimet. l: y = x+ 5 l : x 4y+ 7= 4y = x 7 7 y = x 4 4 k = k = 4 Tapa Suorien suuntakulmat saadaan yhtälöstä tanα = k. tanα = tanα = 4 α = 6,44... α = 6, Suorien välinen kulma on, = 8 l l α α = 8 6, , = 79,

42 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty Tapa Suorien välinen kulma α saadaan yhtälöstä k k α = k = k = 4 tan, + kk 4 4 tanα = = = Suorien välinen kulma on l, l = 6, α = 79, b) Lasketaan suorien kulmakertoimet. l: y+ 9= l : x 4y+ 4= y = 9 4y = x 4 y = x+ 4 k = k = 4 Tapa Suorien suuntakulmat saadaan yhtälöstä tanα = k. tanα = tanα = 4 α = = 6, α Tapa Suorien välinen kulma α saadaan yhtälöstä k k = = = 4 tanα k, k + kk 4 4 tanα = = = α = 6, Vastaus Suorien välinen kulma on a) 8 b) 7.

43 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty a) Lasketaan suorien kulmakertoimet. l : x y+ = l : y = x+ 5 y = x y = x+ k = k = Tapa Suorien suuntakulmat saadaan yhtälöstä tanα = k. tanα = tanα = α α = 6, = 7, Suorien välinen kulma on, = 8 l l α α = 8 6, , = 8, Tapa Suorien välinen kulma α saadaan yhtälöstä k k = = = tan α k, k + kk tanα = = = 7 + α = 8, b) Lasketaan suorien kulmakertoimet. l: 4 x= l : 9x 8y+ 7= x= 4 8y = 9x 7 Suoralla ei ole kulma- 9 7 kerrointa, sillä suora y = x+ 8 8 on pystysuora. 9 k = 8 k k Yhtälöä tanα = ei voida käyttää, sillä toisella suoralla + kk ei ole kulmakerrointa.

44 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty Suorien suuntakulmat ovat α = 9 tanα = k 9 tanα = 8 α = 48, Suora x + = eli x = on pystysuora, joten yhtälöä k k tanα = ei voida käyttää. + kk Piirretään mallikuvat. Suorien välinen kulma on, = = 9 l l α α = 9 48,66... = 4, Vastaus Suorien välinen kulma on a) 8 b) 4 Kuvien perusteella suoran y = kx+ suuntakulman pitää olla joko tai. Kulmakertoimiksi saadaan ) k = tan = = ja ( ) k = tan = tan = = Vastaus k =± =±

45 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 4 Päivitetty Suora l kulkee origon kautta, joten sen yhtälö on y = kx. Lasketaan suorien kulmakertoimet. s : x y = l: y = kx y = x k = k = k Suorien välinen kulma α saadaan yhtälöstä tanα = k =, k = k ja α = 45 + kk tan 45 = k k tan 45 = k a a + k = b b k = + k + k = k a = b a= b tai a= b + k = k tai + k = + k 4k = tai k = 4 k = tai k = Vastaus Suoran yhtälö on y = x tai y = x. 55 a) Lasketaan suorien kulmakertoimet. l: x+ y 5= l : y = x+ 4 y = x+ 5 5 y = x+ k = k = 4 Tapa Suorien suuntakulmat saadaan yhtälöstä tanα = k. tanα = tanα = 4 α α =,69... = 4,6... Suorien välinen kulma on (, ) l l = α + α = 4,6... +,69... = 47,

46 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitetty Tapa Suorien välinen kulma α saadaan yhtälöstä k k = k = k = 4 tan α, + kk 4 tanα = = = α = 47, Lasketaan suorien kulmakertoimet ja suuntakulmat. l: x+ = l : 5x+ 6y = x= 6y = 5x+ Suoralla ei ole 5 5 kulmakerrointa, sillä y = x+ 6 suora on pystysuora. 5 k = 6 5 tanα = 6 α = 9 = 9,85... α Vastaus Suorien välinen kulma on 48. Suorien välinen kulma on, = = 9 = 9 9,85... l l α α = 5, Vastaus Suorien välinen kulma on 5.

47 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 6 Päivitetty Piirretään mallikuva, missä talo on sijoitettu koordinaatistoon siten, että y-akseli sijaitsee talon keskellä. Merkitään A = B = C = D = (,4) ( 5,) (,6) ( x,) Pisteiden A ja B kautta kulkevan suoran kulmakerroin on Pisteiden C ja D kautta kulkevan suoran yhtälö on y y = k( x x) ( x, y) = (,6 ), k = 5 y 6= ( x ) 5 5 5y = x x+ 5y = Piste D saadaan yhtälöparista x+ 5y = y = Sijoitetaan yhtälöön (). x = x = Siis piste D = (,) Huipun varjopisteen etäisyys talon seinästä on m 5m = 5m. k AB y 4 = = = x 5 5 Vastaus Varjo on 5 metrin päässä seinästä.

48 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty Piirretään mallikuva koordinaatistoon, jossa yksikkönä on m. Vaijereita kuvaavat suorat l ja l. Tapa Suorien suuntakulmat saadaan yhtälöstä tanα = k. tanα = α =,69... tanα = α = 45 Lasketaan suorien l ja l kulmakertoimet. k y y = = = ja k = = = x x Tapa Suorien välinen kulma α saadaan yhtälöstä k k α = = = tan k, k + kk 5 tanα = = = 5 + Suorien välinen kulma on (, ) l l = α + α =, = 78, Vastaus Vaijerit leikkaavat toisensa 79 kulmassa. α = 78,

49 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty Piirretään mallikuva. Määritetään suoran x y + = normaalin kulmakerroin. x y+ = y = x y = x+ k = Suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, joten kn = kn = ) Normaalin AA kautta kulkevan suoran yhtälö on y = ( x+ ) y = x 4 y = x y y = k x x x, y =,, k = Lasketaan normaalin ja suoran leikkauspiste A ratkaisemalla yhtälöpari x y+ = y = x Sijoitetaan yhtälöön (). x ( x ) + = x+ 4x+ + = 5x = 5 x = Sijoitetaan yhtälöön ( ). y = ( ) = Siis A ' = (,) ) Normaalin BB kautta kulkevan suoran yhtälö on y 5= ( x+ ) y 5= x y= x+ y y = k x x x, y =,5, k = Lasketaan normaalin ja suoran leikkauspiste B ratkaisemalla yhtälöpari x y+ = y = x + Sijoitetaan yhtälöön ().

50 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 9 Päivitetty x ( x+ ) + = x+ 4x 6+ = 5x = x = Sijoitetaan yhtälöön ( ). 5 9 y = + = Siis B ' =, 5 5. Janan AB projektio suoralla x y + = on A B. Janan A B pituus on A' B' = x x + y y 9 = = = = = Suorat kulkevat pitkin suorakulmaisen kolmion kateetteja, joten suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Määritetään suorien kulmakertoimet muuntamalla suorien yhtälöt ratkaistuun muotoon. l: x+ y+ a = l : ax y+ 5a 6= y = x a y = ax+ 5a 6 a y = x k = k = a Koska l l, on k k =. Saadaan yhtälö a = a = Vastaus Projektion pituus on Vastaus Suorat kulkevat pitkin suorakulmaisen kolmion kateetteja, kun a =.

51 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty Merkitään kysyttyä pistettä C (, b) Piirretään mallikuva. =. l : k k y y C yb b = = = x x x 4 b + = 4 C B Koska l l, on k k =. Saadaan yhtälö Kulma ACB on suora, joten pisteiden A ja C sekä B ja C kautta kulkevat suorat l ja l ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Määritetään suorien kulmakertoimet. b b+ = 4 ( b )( b+ ) = 8 ( 8) ( b )( b+ ) = 8 a+ b a b = a b b = 8 b = 9 b = ± Piste C on (, ) tai (,). l : k k y y y x x x C A = = = b = C A b ( ) Vastaus Pisteistä (, ) ja (,).

52 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty Piirretään mallikuva Janan AB pituus on AB = y = t = t Saadaan yhtälö Määritetään suorien kulmakertoimet muuntamalla suorien yhtälöt ratkaistuun muotoon. l: kx y = l : kx+ y+ t = y = kx y = kx t k = k k = k Suora y = kx kulkee origon kautta, joten janan toinen päätepiste on origo. A =,. Siis Suoran l leikkauskohta y-akselilla saadaan ratkaisemalla yhtälöpari t = 6 a = b, b> a = b tai a = b t =± 6 Koska l l, on k k =. Saadaan yhtälö k ( k) = k = k = k =± =± () x = Sijoitetaan yhtälöön ( ). y = kx t y= k t = t Siis B (, t) =. Vastaus t = 6 ja k =± tai t = 6 ja k =±

53 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty Merkitään k on suoran l kulmakerroin. Suoran yhtälö on (, ) (, ) y y = k x x x y = y+ = k( x ) y = kx k Suorien välinen kulma saadaan yhtälöstä tanα = k=, k = k ja α = + kk tan k k tan = k = + k a a = b b k = + k + k = k =, a b = ab + k = k a = b a= b tai a= b + k = k tai + = + k k = tai = 4 aina epätosi k = tai ei ratkaisua Suoran yhtälö on y= x tai suora on pystysuora y= x tai x= x y = tai x= Vastaus x y = tai x=

54 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu Päivitetty Määritetään suorien kulmakertoimet. k k k = tanα = tan 6 tan 6 = = Suorien välisen kulman tangentti on tanα tan 45 k k k = k k =, k = k = + kk ja α = 45 = tan 45 = k a a + k = b b k = + k ) + ) + k = tai k = + + k = tai k = k = tai k = 4 4 k = tai k = k = tai k = Vastaus Toisen suoran kulmakerroin on tai. + k = k a = b a= b tai a= b + k = k tai + k = k k + k = tai k k = + k = tai k =

55 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 4 Päivitetty Kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste on kolmion sivujen keskinormaalien leikkauspiste. K = xy, ja kolmion kärkiä Merkitään keskipistettä A (, ), B (, ) ja C (,) = = =. Piirretään mallikuva. Määritetään sivujen keskinormaalien yhtälöt. ) Sivu AB Pisteiden A ja B kautta kulkevan suoran kulmakerroin on y y A yb kab = = = = = x x x A Janan AB keskipisteen koordinaatit ovat xa + xb + x = = = y A + yb + y = = = B Normaali kulkee siis pisteen, kautta. Normaali n AB, joten kn kab = eli kn = =. kab Keskinormaalin yhtälö on y y = k( x x) k =, ( x, y) =, y = x y = x+ y = x+ x y+ = ) Sivu BC Kulmakerroin on y yb yc kbc = = = = x x x Keskipiste on xb + xc + x = = = yb + yc + y = = = B Normaali kulkee siis pisteen (,) kautta. C

56 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitetty Normaalin kulmakerroin on k n = =. k Keskinormaalin yhtälö on y y = k x x k =, x, y =, y = ( x ) y = x+ y = x+ x+ y 4= ) Sivu AC Kulmakerroin on y ya yc kac = = = = x x x 5 Keskipiste on xa + xc + x = = = ya + yc + 5 y = = = Normaali kulkee siis pisteen A BC C 5, kautta Normaalin kulmakerroin onkn = = = 5. k AC 5 Keskinormaalin yhtälö on 5 y y = k( x x) k = 5, ( x, y) =, 5 y = 5 x 5 5 y = 5x+ y = 5x+ 5 5x+ y 5= Sivujen keskinormaalien leikkauspiste saadaan ratkaisemalla yhtälöryhmä () x y+ = ( ) x+ y 4= 5x+ y 5= x y+ = x+ y = + + x+ y 4= x+ y 4= x = y 5= 5 x= y= =

57 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 6 Päivitetty Tarkistetaan toteuttaako saatu ratkaisu myös yhtälön (). Kun x= ja y =, yhtälön 5x + y 5 = 5 vasen puoli on 5 + 5= + 5= ja oikea puoli on Yhtälöryhmän ratkaisu on siis x= ja y =. 546 Piirretään mallikuva. Janan AB kautta kulkevan suoran kulmakerroin on Kolmion ABC ympäri piirretyn ympyrän keskipiste on,. Vastaus Ympyrän keskipiste on,. Huomautus: Keskipisteen määrittämiseksi olisi riittänyt ratkaista kahden keskinormaalin leikkauspiste, sillä kolmion keskinormaalit leikkaavat toisensa aina samassa pisteessä. k AB = Pisteiden A ja B kautta kulkevan suoran yhtälö on y = ( x ) y = x y y = k x x x, y =,, k = Piste B on suoralla y = x, joten pisteen B koordinaatit ovat x ja y = x eli B = x,x. Janan AB pituus on ( ) AB = x + y = x + x,

58 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty joten saadaan yhtälö x + x = x x ( x ) x x + + 9x 8x + 9= + = x = Tulon nollasääntö x= tai x = x= tai x = y= x y= y= y = y = 4 Siis piste B on (, ) tai (,4). Vastaus Janan loppupiste on (, ) tai (,4). 547 Määritetään suorien kulmakertoimet ja vakiotermit muuntamalla suoran yhtälöt ratkaistuun muotoon. l ax x y : + = l : ay+ x = ay = x + y = a x x+ ( ) y = a x+ : a y = x+ a k = ja b = ) Jos a, niin suoran l yhtälö voidaan jakaa luvulla a. ay = x + y= x+ a a k = ja b = a a : a, a. Tapaus a = on tutkittava erikseen.

59 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty a) Suorat l ja l ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, kun k k =. Saadaan yhtälö a = ( a) a a a = a a = ± ( ) 4 ( ) ± 4 a = = a= tai a= Kelpaavat, koska ehto a toteutuu. Suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, kun a = tai a =. b) Suorat l ja l ovat yhdensuuntaiset, mutta eivät yhdy, kun k = k ja b b. a a = ja a a a a= ja a 4 a+ = Etsitään kolmannen asteen yhtälön ratkaisut kokeilemalla. Kolmannen asteen yhtälöllä on korkeintaan kolme reaaliratkaisua. Kokeillaan, onko a = yhtälön a a+ = ratkaisu. Yhtälön vasen puoli on + = ja oikea puoli on Siis a = on yhtälön ratkaisu. Kokeillaan, onko a = yhtälön ratkaisu. Yhtälön vasen puoli on ( ) ( ) + = = ja oikea puoli on Siis a = on yhtälön ratkaisu. Muita reaalijuuria ei löydy helposti, joten yritetään löytää kolmas juuri polynomin tekijöihin jaon avulla. Kolmannen asteen polynomin P a = a a+ tekijöitä ovat ( a ) ja ( a+ ), sillä vastaavalle yhtälölle saatiin juuret a = ja a =. Koska korkeimman asteen termin kerroin on, on polynomin kolmas tekijä. astetta ja muotoa a x. Siis a a+ = ( a )( a+ )( a x) ( a a+ = a + a )( a x) a a+ = a a x+ a ax a+ x a a+ = a + x a + ( x ) a+ x

60 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 9 Päivitetty Yhtälön oikea ja vasen puoli ovat samat, jos termien kertoimet ovat samat. Saadaan yhtälöryhmä x = x = x = Kaikki yhtälöryhmän yhtälöt toteutuvat, kun x =. Siis kolmas tekijä on ( a ) eli yhtälön a a+ = ratkaisut ovat a = ja a = ( a = on kaksinkertainen juuri). Nämä kelpaavat, sillä myös ehdot a ja a 4 toteutuvat. Suorat ovat siis yhdensuuntaiset, mutta eivät yhdy, kun a = tai a =. c) Suorat l ja l yhtyvät, kun k = k ja b = b. Kohdan b) mukaan k = k, kun a = tai a =. I Kun a =, niin b = ja b = =. Arvo a = ei kelpaa, sillä b b. ) Jos a =, niin alkuperäisten suorien yhtälöt ovat l : x y+ = y = x+ y = x+ l : x = x = Suora l on vino ja suora l on pystysuora, joten mikään kohdista a), b) tai c) ei toteudu. Vastaus a) a = tai a = b) a = tai a = c) ei millään luvun a arvolla II Kun a =, niin b = ja b =. Arvo a = ei kelpaa, sillä b b. Suorat eivät siis yhdy millään luvun a arvolla.

61 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 4 Päivitetty Määritetään suorien kulmakertoimet ja vakiotermit muuntamalla suorien yhtälöt ratkaistuun muotoon. l : ax+ x by+ = ( a+ ) x+ = by by = ( a + ) x + ) Jos b niin suoran yhtälö voidaan jakaa luvulla b. by = ( a + ) x + : b, b. Tapaus b = on tutkittava erikseen. a + y = x+ y = kx+ b b b a + k = ja b = b b l : x y 4= x 4= y 4 y = x 4 k = ja b = l : 6x by+ 5= 6x+ 5= by : b, b. Tapaus b = on tutkittava erikseen. 6 5 y = x+ b b 6 5 k = ja b = b b Suorat l ja l ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, kun k k =. Saadaan yhtälö a + = b a + 6 = b () a+ 6= b Suorat l ja l ovat yhdensuuntaiset, mutta eivät yhdy, kun k = k ja b b. Saadaan yhtälö a = ja b b b b ( a+ ) b= 6 b ja b 5b ab + b = 6b aina tosi ab b =

62 Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 4 Päivitetty Ratkaistaan yhtälöiden () ja () muodostama yhtälöpari. a+ 6= b ab b = Ratkaistaan a. ab b = b( a ) = b a = a = Sijoitetaan yhtälöön (). l : x y 4 = 4 y = x l : 6 x+ 5 = 5 x = 6 Suorat l ja l ovat pystysuoria ja suora l on nouseva suora, joten arvolla b = ei toteudu l l ja l l. + 6= b = b b = 4 a = Koska ratkaisu toteuttaa myös ehdon b, niin näillä b = 4 arvoilla suora l l ja l l. Vastaus a = b = 4 ) Jos b =, niin alkuperäisten suorien yhtälöt ovat l : ax+ x+ = ( a+ ) x = x = a +

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole

Lisätiedot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 15 Päivitetty 19..6 31 Tapa 1 Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä sijoituskeinoa. x y+ z = x y + 3z = 3x 4y+ z = Ratkaistaan yhtälöstä (1) muuttuja

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 5 Paraabeli Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 13..017 ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Jos a > 0, paraabeli aukeaa oikealle. Jos a < 0, paraabeli aukeaa vasemmalle. Jos a = 0, paraabeli

Lisätiedot

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin Peruskäsitteitä 8. CA CB + BA BC AB b a a b DA DB + BA ( BC) + ( AB) b a a b Vastaus: CA a b, DA a b 8. DC DA + AC BA + AC BA BC AC ( BC AC ) + AC AC CB Vastaus:

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto.

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto. Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Paraabeli suuntaisia suoria.

Paraabeli suuntaisia suoria. 15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki

Lisätiedot

Suoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on

Suoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on Suoran htälöt Suoran ratkaistu ja leinen muoto: Suoran htälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 = k + b, tai = a missä vakiotermi b ilmoittaa suoran ja -akselin

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Ympyrän yhtälö

Ympyrän yhtälö Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 2 LINEAARINEN MALLI POHDITTAVAA 1. Piirretään jääpeitteen pinta-alan kehitystä kuvaava suora appletin avulla. Suoran yhtälö on y = 0,05x + 120,95. Vuonna 2030 muuttujan x arvo on 2030. Vastaava muuttujan

Lisätiedot

Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa

Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty 9..6 4 a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α 6 6 + β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α 9 9 + β 8 β 8 + 9 β 7 Pyramidi

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a) Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 Derivaatta. a) Vastaus: Merenpinta nousee aikavälillä 00:00-06:00 ja :30-7:30. Merenpinta laskee aikavälillä 06:00-:30 ja 7:30-3:00. b) Merenpinta nousi 0,35 cm ( 0,) cm = 0,55 cm tuona aikana. Merenpinta

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

Piste ja jana koordinaatistossa

Piste ja jana koordinaatistossa 607 Piste ja jana koordinaatistossa ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 Kertausta kurssi Eri asioiden välisten riippuvuuksien havainnollistamiseen kätetään usein koordinaatistoesitstä Pstakselilla riippuvan muuttujan

Lisätiedot

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14.9.016 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. a) Lattia päällystetään neliöillä. Laatoitukseen syntyvä toistuva kuvio on b) Lattia

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4. Koe 8.5.0 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

2 Vektorit koordinaatistossa

2 Vektorit koordinaatistossa Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5..06 Vektorit koordinaatistossa Ennakkotehtävät. Esimerkiksi 4i 4i4i i 4i Kaikkien reittien esitysmuoto vektoreiden i a avulla lausuttuna

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d.

c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 20 a) Vektorin a kanssa samansuuntaisia ovat vektorit b ja d. b) Vektorit ovat erisuuntaiset, jos ne eivät ole yhdensuuntaiset (samansuuntaiset tai vastakkaissuuntaiset).

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

ANALYYTTISTA GEOMETRIAA LUKIO-OPETUKSESSA. Eeva Kuparinen. Pro gradu -tutkielma Tammikuu 2008 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO

ANALYYTTISTA GEOMETRIAA LUKIO-OPETUKSESSA. Eeva Kuparinen. Pro gradu -tutkielma Tammikuu 2008 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO ANALYYTTISTA GEOMETRIAA LUKIO-OPETUKSESSA Eeva Kuparinen Pro gradu -tutkielma Tammikuu 2008 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO Sisältö 1 Johdanto 1 2 Koordinaatisto 3 2.1 Tason suorakulmainen xy-koordinaatisto............

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit

Lisätiedot

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Lämpötila maanpinnalla nähdään suoran ja y-akselin leikkauspisteen y- koordinaatista, joka on noin 10. Kun syvyys on 15 km, nähdään suoralta, että lämpötila

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Geometriaa GeoGebralla Lisätehtäviä nopeasti eteneville

Geometriaa GeoGebralla Lisätehtäviä nopeasti eteneville Geometriaa GeoGebralla Lisätehtäviä nopeasti eteneville Tutki GeoGebralla Näkymät->Geometria a) Kuinka suuria ovat kolmion kulmat, jos sen sivut ovat 5, 7 ja 9. Vihje: Aloita kolmion piirtäminen yhdestä

Lisätiedot

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3] Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,] Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4 T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + )

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat Harjoitustehtävät, syyskuu 2011. Helpommat Ratkaisuja 1. Ratkaise yhtälö a a + x = x. Ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö reaalilukujen joukossa. Jos yhtälöllä onratkaisux, niin x 0. Jos a =0,yhtälöllä onratkaisux

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48 Trigonometriset funktiot 169. Muutetaan asteet radiaaneiksi. 180 astetta on radiaaneina π eli 180 = π rad Tällöin 1 rad. 180 45 1 a) 45 180 4 4 65 1 b) 65 180 6 10 c) 10 180 5 5 d) 5 180 4 40 7 e) 40 180

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt 6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( ) Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot