KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

Transkriptio

1 KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) = + + = 9 9 5) ( ) ( ) = = ( ) = Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a + = a ( a + ) Vastaus: a) a + a b) a 68. Vastaus: k k k k = k k + a k a k a a a a a a = a k 69. Sievennetään lause + : = = Lausekkeen arvo, kun = : Vastaus: = = ( ) = = 89

2 + 7. Funktio f( ) = ei määritelty, kun jakaja on nolla, eli Suoritetaan jakolasku jakokulmassa + + ± ± + f ( ) = = +,. Kuvaaja on suora y = +, johon ei kuulu kohta =. y y = +, + 7. Funktio f( ) = + a) määrittelyjoukkoon kuuluvat kaikki muut reaaliluvut, paitsi nimittäjän nollakohdat. = ( )( + ), kun ±, joten lauseke on määritelty aina, kun ±. + b) Funktion f( ) = + nollakohdat. f( ) = + ) ) = + + ( ) = Funktion nollakohdat sijaitsevat osoittajan nollakohtien joukossa. + + = = = Koska ainoa mahdollinen nollakohta = ei kuulu funktion määrittelyalueeseen, funktiolla ei ole nollakohtia. Vastaus: a) ± b) ei nollakohtia 9

3 7. a) Yhtälön ratkaisujoukkoon ei kuulu nimittäjän nollakohta, joten. ) = + = = Osamäärän arvo on nolla vain, jos jaettava on nolla (ja jakaja ei ole nolla), joten yhtälöllä ei ole ratkaisuja. b) Epäyhtälön > ratkaiseminen perustuu funktion f( ) = merkin tutkimiseen. ) Funktio f( ) = = saa positiivisia arvoja, kun jakaja on positiivinen (koska jaettava on positiivinen). Joten f( ) >, kun > eli, kun >. Vastaus: a) Ei ratkaisua b) > 7. Epäyhtälö. Jaetaan tarkastelu kahteen osaan: < tai. + < + + ) f ( ) Rationaalifunktio voi vaihtaa merkkinsä kohdissa, joissa sitä ei ole määritelty (nimittäjän nollakohdat), tai nollakohdissaan (osoittajan nollakohdat). Nimittäjän nollakohdat + = = Osoittajan nollakohdat + = ( + ) = = tai = 9

4 Merkkikaavio, kun < + f( ) = + ( ) + ( ) f ( ) = = < + (,5) + (,5) f (,5) = =,5 >, 5 + (,5) + (,5) f (,5) = =,5<,5 + f( ) < ) + Rationaalifunktio voi vaihtaa merkkinsä kohdissa, joissa sitä ei ole määritelty (nimittäjän nollakohdat), tai nollakohdissaan (osoittajan nollakohdat). Kun, nimittäjä on positiivinen. Näin ollen rationaalifunktio on ei-negatiivinen kun osoittaja on ei-negatiivinen. Osoittaja, kun =. Epäyhtälö toteutuu, kun < tai =. + Vastaus: < tai = Epäyhtälö <. Määritetään aluksi ne muuttujan arvot, jotka eivät kelpaa ratkaisuiksi, eli jakajan nollakohdat. Näin ollen ja, eli, josta ja tästä edelleen ±. Epäyhtälön ratkaisu 9

5 ) ) + ( + ) ( ) + ) + ) < < ±, < + < + Osamäärä on negatiivinen, vain, jos jakaja + on positiivinen, siis > ja + alkuperäiset ehdot huomioiden, Vastaus: > ja,. Funktio raja-arvo ja jatkuvuus 75. a) b) 5 5 lim ( ) = ( ) ( ) = lim ( 7 9 ) = 7 ( ) 9 ( ) = 7 Vastaus: a) b) a) lim = = = b) lim = = = + + c) + ( ) ( ) + lim = = =. + ( ) + ( ) Vastaus: a) b) c) 9

6 77. a) 9 9 lim = = = 9 b) lim = =. Koska = on sekä osoittajan että 5 + ( ) + 5 nimittäjän nollakohta lauseketta voidaan ensin sieventää. Nimittäjän nollakohdat + 5= ( ) ± ( ) 5 = + 9 = = 5 9 = = lim = lim = lim = = ( )( 5) ( )( 5) c) lim = = Koska = on sekä osoittajan että nimittäjän nollakohta, lauseketta voidaan ensin sieventää. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa ± ± = + = + = lim lim( ) Vastaus: a) b) c) 9 9

7 78. < lim = lim = lim =, joten ei-raja-arvoa Vastaus: Ei raja-arvoa. 79. Funktio f( ) = a) Rationaalifunktio on määritelty aina, kun jakaja on nollasta eroava, eli. b) Rationaalifunktio on jatkuva koko määrittelyjoukossaan. Vastaus: a),ja b),ja, < a 8. Funktio f( ) =, a Funktio on määritelty polynomifunktiona, kun < a ja > a. Funktio on määritelty myös kohdassa = a, jos ja vain jos lim f ( ) = lim f( ) = f( a). y + a a lim f( ) = lim f( ) = f( a) + a a lim ( ) = lim = + a a a = a = y = 5 6 y = Vastaus: a = + <, a 8. Funktio f( ) =, a Funktio on määritelty polynomifunktiona, kun < a ja > a. Funktio on määritelty myös kohdassa = a, jos ja vain jos lim f ( ) = lim f( ) = f( a). + a a 95

8 a = y lim f( ) = lim f( ) = f( a) + a a lim ( + ) = lim = + a a a + = a = a =± y = + y = a = y y = + y = Vastaus: a = tai a = + a, < 8. Funktio f ( ) = +, < a, ON löydettävä sellainen yksikäsitteinen parametrin a arvo, että seuraavat ehdot ovat voimassa: Funktio on määritelty polynomifunktiona, kun <, < < ja >. Funktio on määritelty myös kohdassa =, jos ja vain jos lim f( ) = lim f( ) = f( ) ja kohdassa =, jos ja vain jos Kohta = Kohta = lim f ( ) = lim f( ) = f(). lim f( ) = lim f( ) = f( ) lim ( + a) = lim ( + ) = ( ) + + a = a = 96

9 lim f ( ) = lim f ( ) = f () + lim( + ) = lim( a ) = a + + = a a = Vastaus: a =. Funktion derivaatta 8. a) Funktion f keskimääräinen muutosnopeus välillä [,] Δf y y = = = Δ ( ) b)funktion f keskimääräinen muutosnopeus välillä [,] Δf y y = = = Δ c) Funktion f keskimääräinen muutosnopeus välillä [,] Δf y y = = = Δ Vastaus: Funktion f keskimääräinen muutosnopeus on a) b) c). 97

10 8. Derivaatan arvo on käyrälle kyseiseen pisteeseen piirretyn tangentin kulmakerroin. Derivaatat y y f () = = = = y y f () = = = = 6 Funktion derivaatta on yhtä suuri kuin f () pisteessä (, ). Vastaus: Derivaatat ovat f () = ja f () =. Funktion derivaatta on yhtä suuri kuin f () pisteessä (, ). 85. Funktio f() = + Δ f f ( ) f( ) Erotusosamäärä = Δ f ( ) f( ) Derivaatta f ( ) = lim a) Erotusosamäärä kohdassa = Δf f( ) f() + ( ) = = = Δ Derivaatta kohdassa = f( ) f() f () = lim = lim( ) = = 98

11 b) Erotusosamäärä kohdassa = Δf f( ) f( ) + ( ) + + = = = Δ ( ) + + Jaetaan osoittaja tekijöihin nollakohtia käyttäen. + + = ± ( ) = () 6 = = = = Erotusosamäärä Δ f ( + ) ( 6) = = + 6 Δ + Derivaatta kohdassa = f( ) f( ) f ( ) = lim = lim ( + 6) = 8 + Δ f Vastaus: a) Erotusosamäärä on = ja derivaatta f () =. b) Erotusosamäärä on Δ Δ f = + 6 ja derivaatta f ( ) = 8. Δ 86. Derivaatta f ( ) = lim a) Funktio f ( ) = + f ( ) f( ) + + ) f( ) f(8) + ( + + )( + ) Derivaatta f (8) = lim = lim = lim ( 8)( + + ) = lim = lim = = 8 8 ( 8)( + + ) ( 8) ( + + ) b) Funktio f( ) = + 8) + ) f( ) f(8) 8( ) Derivaatta f (8) = lim lim 8 + = + = lim ( 8) 5 5 = lim = lim = = 8 8(+ )( 8) 8 8(+ ) ( 8) 8( 8 + ) 78 Vastaus: a) 5 b)

12 87. Funktio f( ) = + Δ f f ( ) f( ) Erotusosamäärä = Δ Erotusosamäärä kohdassa = + ) Δf = + = Δ + (+ )( + ) Osoittajan nollakohdat = ( ) ( ) ( ) ± = 6 = = + 6 = = Erotusosamäärä kohdassa = Δ f ( + ) ( ) = = Δ (+ ) ( + ) + f ( ) f( ) Derivaatta f ( ) = lim Derivaatta kohdassa = f () = lim = = + ( ) + Vastaus: Erotusosamäärä kohdassa = on Δf =. Derivaatta on f () =. Δ Derivaatta ilmaisee funktion kasvunopeuden. Funktio f() = + f ( + h) f( ) Derivaatta f ( ) = lim h h a) Kasvunopeus kohdassa = ( + h) ( + h) + + h 7h h( h 7) f () = lim = lim = lim = 7 h h h h h h b) Kasvunopeus kohdassa = ( + h) ( + h) + + f ( ) = lim h + h h( h + ) = lim = lim = h h h h h h Vastaus: Kasvunopeus on a) 7 b).

13 89. Derivaatta f ( ) = lim f ( ) f( ) a) Funktio f() = Derivaatta kohdassa = 6) ) 6+ + ( ) f ( ) = lim 6 lim 8 + = = lim ( + ) = = 8 ( ) b) Funktio f() = Derivaatta kohdassa = 5) ) ( ) ( ) f ( ) = lim 5 + = lim = lim + + 5( ) ( + ) = = 5( ) 5 c) Funktio f() = + Derivaatta kohdassa = + ) ( ) f ( ) = lim + lim + = + = lim + + (+ ) ( + ) Vastaus: Derivaatta kohdassa = on a) b) c) 5. = = () +. Polynomifunktion derivaatta 9. a) D( ) = + + b) D( ( + 5 ) = + 5= ) = c) D + + = 5 + = Vastaus: a) + + b) c) Funktio f( ) = + + Derivaatta f '( ) = + = + Derivaatta kohdissa, ja f ( ) = ( ) + ( ) = 8 f () = + =

14 f () = + = Vastaus: Derivaatta kohdissa, ja on 8, ja. 9. Laske f( ) ja f ( ), Funktio f() = + Funktion arvo f( ) = ( ) ( ) + ( ) = 9 Derivaatta f () = 6 + Derivaatan arvo f ( ) = ( ) 6 ( ) + = Vastaus: f( ) = 9 ja f ( ) = 9. a) Funktio f( ) = 6+ 7 Derivaatta f () = 6 Yhtälö f () = 6 = = 5 b) Funktio f( ) = + 9 Derivaatta f () = + 5 Yhtälö f () = + 5 = 5± 5 ( ) = 5 9 = = = = 6 Vastaus: Yhtälön ratkaisut ovat a) b) tai. 9. Funktio f( ) = + + Derivaatta f () = Derivaatan nollakohdat f () = = ( 8) ± ( 8) 9 = = = = = 8 9 Vastaus: Derivaatan nollakohdat 7 9 ja

15 95. a) D(a + b + c + d) = a + b + c = a + b + c b) D(n + n ) = n + n n = n + n n c) D(t + t + + t) = t + t + + = 8t + t + Vastaus: a) a + b + c b) n + n n c) 8t + t Funktio f() = saa positiivisia arvoja f() > > Nollakohdat = :( ) 5 = ( ) ± ( ) ( 5) = 6 = = + 6 = = 5 Merkkikaavio f() > < < 5 Derivaatta f () = + saa positiivisia arvoja f() > + > > :( ) < Vastaus: Funktio ja sen derivaatta saavat yhtä aikaa positiivisia arvoja, kun < <. 97. Polynomifunktio f() = + a Derivaatta f () = + a Derivaatta negatiivinen f () < + a < Derivaatan kuvaajana on alaspäin aukeava paraabeli. Derivaatta on kaikkialla negatiivinen, kun diskriminantti D <. (a) ( ) ( ) < a < Nollakohdat a = a = 6

16 Merkkikaavio a = ± 6 Vastaus: Derivaatta on kaikkialla negatiivinen, kun 6 < a < Kävijämäärä f( t) = 5t + 9t+ 8 7, missä t on aika vuosina vuodesta 996 alkaen. Kävijämäärän keskimääräinen muutosnopeus vuodesta 996 vuoteen 999 Δf f() f() 5 87 = = = 85 Δt Kävijämäärän muutosnopeus vuonna 999 on f (). Derivaatta f (t) = 6 7t + 9 Kävijämäärän muutosnopeus f () = = 8 Vastaus: Keskimääräinen muutosnopeus vuodesta 996 vuoteen 999 oli 85 henkilöä/vuosi ja kävijämäärän muutosnopeus vuonna 999 oli 8 henkilöä/vuosi. 99. Funktio f ( ) = + a+ b Derivaatta f () = + a Ehdot f() = ja f () = + a+ b = + a = a = b = Vastaus: Vakiot ovat a = ja b =. 5. Käyrän tangentti ja normaali. Käyrä f () = Derivaatta f () = Tangentin kulmakerroin k t = f ( ) = ( ) = Tangentin yhtälö y y = k t ( ) =, y = f( ) = ( ) ( ) = y ( ) = ( ( )) y = Vastaus: Tangentin yhtälö on y =.

17 . Käyrä f () = + 5 Derivaatta f () = Tangentin kulmakerroin k t = f ( ) = ( ) = 7 Suuntakulma tan α = 7 α = 8,9 Vastaus: Tangentin kulmakerroin on 7 ja suuntakulma 8,9.. Käyrä f () = + Derivaatta f () = + Tangentin kulmakerroin k t = f ( ) = ( ) + = 6 Tangentin yhtälö y y = k t ( ) =, y = f( ) = ( ) + ( ) = y = 6( ( )) y = 6 56 Normaalin kulmakerroin kn = = kt 6 Normaalin yhtälö y y = k n ( ) =, y = f( ) = y = ( ( )) 6 y = Vastaus: Tangentin yhtälö on y = 6 56 ja normaalin y = Käyrä f ( ) = 6 Derivaatta f () = 6 Tangentti on -akselin suuntainen. Tangentin kulmakerroin k t = Kohta, jonka kautta tangentti kulkee. f () = k t 6 = : = ( ) ± ( ) ( ) = 5 = = + 5 = = Tangenttien sivuamispisteiden y-koordinaatit y = f ( ) = ( ) ( ) 6 ( ) = 7 y = f = 6 = Vastaus: -akselin suuntaisten tangenttien yhtälöt ovat y = ja y = 7. 5

18 . Käyrällä on y-akselin suuntainen normaali siinä pisteessä, missä käyrällä on -akselin suuntainen tangentti. Käyrä y = f( ) = + Derivaatta f () = Tangentti on -akselin suuntainen. Tangentin kulmakerroin k t = Kohta, jonka kautta tangentti kulkee. f () = k t = ( ) ± ( ) ( ) = 6 = = + 6 = = Vastaus: y-akselin suuntaisten tangenttien yhtälöt ovat = ja =. 5. Paraabelien y = + + ja y = + leikkauspisteet. y = + + y = = + 7 = :7 = Paraabeli : y = + + Derivaatta y () = + 6

19 Tangentin kulmakerroin k = y () = + = Koska tan α =, niin tangentin suuntakulma α = 7,56... Paraabeli : y = + Derivaatta y () = Tangentin kulmakerroin k = y () = = Koska tan α =, niin tangentin suuntakulma α = 75,96... Tangenttien välinen kulma on α = α α = 7,56... ( 75,96... ) = 7,5.... Käyrien välinen kulma β = 8 α,5 Vastaus: Käyrien välinen leikkauskulma on,5. 6. Paraabeli y = f() = Derivaatta f () = a) Tangentin kulmakerroin on k t = Kohta, jonka kautta tangentti kulkee. f () = k t = : = Tangenttien sivuamispisteen y-koordinaatti y = f() = = Pisteen P koordinaatit (, ) b) Tangentti on suoran + y + = suuntainen. Suora + y + = y = Tangentin kulmakerroin k t = Kohta, jonka kautta tangentti kulkee. f () = k t = : = Tangenttien sivuamispisteen y-koordinaatti 5 y = f = = 6 5 Pisteen P koordinaatit, 6 c) Tangentin suuntakulma on 5 Tangentin kulmakerroin k t = tan 5 = Kohta, jonka kautta tangentti kulkee. f () = k t = : 7

20 = Tangenttien sivuamispisteen y-koordinaatti y = f = = Pisteen P koordinaatit, 5 Vastaus: Pisteen P koordinaatit ovat a) (, ) b), 6 7. c),. Paraabelin ja -akselin leikkauspisteet. Sijoitetaan y = = 5± 5 ( ) ( 6) = () 5 = = 5+ = = Paraabeli y = Derivaatta y () = + 5 Tangentin kulmakerroin kohdassa = : k = y () = + 5 = Tangentin kulmakerroin kohdassa = : k = y () = + 5 = Koska tangenttien kulmakertoimien tulo k k = ( ) =, tangentit leikkaavat toisensa kohtisuorasti. 8

21 8. Funktio f ( ) = + a + b+ c Derivaatta f () = + a + b Funktion nollakohta on, joten f() = Funktion derivaatta on nolla pisteessä (,), joten f() = ja f () =. Saadaan yhtälöpari 8+ a+ b+ c = 7 + 9a+ b+ c = 7 + 6a+ b= Ratkaisemalla b alimmasta yhtälöstä saadaan b = 6a 7. Sijoitetaan tämä kahteen ylempään yhtälöön. 8+ a+ ( 6a 7) + c = 7 + 9a+ ( 6a 7) + c = Ratkaisemalla yhtälöpari saadaan a = 8 ja c = 8. Tästä edelleen saadaan b =. Vastaus: Vakiot ovat a = 8, b = ja c = Käyrä y = + Koska y() =, niin piste (,) ei ole käyrällä. Derivaatta y () = + Tangentin kulmakerroin k t = y ( ) = + Pisteen (,y ) kautta kulkevan tangentin yhtälö y y = k t ( ) y = +, k t = y ( ) = + y ( + ) = ( + )( ) Tangentti kulkee pisteen (,) kautta ( + ) = ( + )( ) 9

22 + = = = =± Tangentin yhtälö, kun = y y = k t ( ) y = 6, k t = y ( ) = y ( 6) = ( ( )) y = + Tangentin yhtälö, kun = y y = k t ( ) y =, k t = y () = y = ( ) y = Vastaus: Tangentin yhtälöt ovat y = + ja y =. 6. Tulon ja osamäärän derivaatta. a) D ( 5) = ( 5) + = b) D ( )( ) = 6 ( ) + ( ) = 9 c) D[ ( )] = ( ) + ( ) = + 9 Vastaus: a) b) 9 c) + 9 ( 8) 6. a) D = = 8 ( 8) ( 8) ( ) 9 b) D = = ( ) ( ) + (+ )( ) ( + ) + c) D = = ( ) ( ) 6 Vastaus: a) ( 8) b) 9 ( ) c) + ( ). a) D 7 ( ) = D = D + 6 = b) ( ) ) ) = + =

23 c) ( 7)( + ) 7 D D D( 7 ) = = = + ) = + = + Vastaus: a) b) + 6 c) +. Funktio f() = 5 ( + ) Derivaatta f () = 5 ( + ) + 5 ( + ) = Derivaatan nollakohdat f () = = 5 (8 + ) = 5 = tai 8 + = = Ei ratkaisua Vastaus: Derivaatan nollakohta on =.. a) Funktio f( ) = + 7 ( + 7) 8 Derivaatta f '( ) = = (+ 7) (+ 7) Yhtälö f () = 8 = ( + 7) 8 = Ei ratkaisua b) Funktio f( ) = (5+ ) Derivaatta f( ) = = (5+ ) (5+ ) Yhtälö f () = = (5 + ) = (5 + ) = = tai = 5 Vastaus: a) Ei ratkaisua b) = tai = 5

24 5. Funktio h ( ) = f ( ) f ( ) f '( ) f( ) f '( ) Derivaatta h'( ) = = f( ) f( ) Funktion arvo h ( ) = Vastaus: h ( ) = 6. Käyrä Derivaatta = + y = [ ] [ ] f( ) ( ) f '( ) [ f ( ) ] + 6 = ( ) ( + ) y'( ) = = ( ) ( ) Tangentin kulmakerroin kt = y'() = = ( ) f( ) = ja f ( ) = 6 Tangentin ja yhtälö y y = kt( ) =, y = 6, kt = y 6= ( ) Normaalin kulmakerroin k y = + n = = k t Normaalin yhtälö y y = kn( ) =, y = 6, kn = y 6 = ( ) y = + 5 Vastaus: Tangentin yhtälö on y = + ja normaalin y = + 5.

25 7. Käyrä Derivaatta + 5 y = + ( + ) ( + 5) + 5 y'( ) = = ( + ) ( + ) Tangentin kulmakerroin kt + 5 = y'() = = ( + ) Tangentin ja yhtälö y y = kt( ) =, y =, kt = y = ( ) 7 y = + Tangentin ja -akselin leikkauspiste saadaan sijoittamalla y =. 7 + = = 7 Normaalin kulmakerroin kn = = k Normaalin yhtälö y y = kn( ) =, y =, kn = y = ( ) y = + 9 t

26 Tangentin ja -akselin leikkauspiste saadaan sijoittamalla y =. + 9= = ( ( 7) ) Pinta-ala A = = 5 Vastaus: Ala on Funktion kulun tutkiminen 8. a) Funktio h ( ) = + 5 Derivaatta h'( ) = Derivaatan nollakohta Kulkukaavio h () h () h'( ) = = Ei nollakohtia ' Funktio on kasvava kaikilla :n arvoilla. b) Funktio f ( ) = 8+ Derivaatta f '( ) = 8 Derivaatan nollakohta f '( ) = 8= = Kulkukaavio f () f () Funktio f on kasvava, kun. c) Funktio h ( ) = + Derivaatta h'( ) =

27 Derivaatan nollakohta Kulkukaavio h () h () h'( ) = = = : = = ± Funktio h on vähenevä, kun. Vastaus: Funktio on a) kasvava kaikilla :n arvoilla b) kasvava, kun ja vähenevä, kun c) kasvava, kun tai ja vähenevä, kun. 9. a) Funktio f( ) = Derivaatta f '( ) = Koska f '( ) = kaikilla muuttujan arvoilla, niin funktio f on kasvava ja vähenevä kaikkialla. b) Funktio g ( ) =,65 +,6,5 Derivaatta g'( ) = 6 9,+, 6 Derivaatan nollakohdat g'( ) = 6 9, + 6, = Kulkukaavio g () g(),75,8 = ( 9, ) ± ( 9, ) 6 6, 6 9, + 9, = = 8, 9, 9, = = 75, Funktio g on kasvava, kun 75, tai 8, ja vähenevä, kun, 75, 8. c) Funktio Derivaatta h ( ) = 5 h'( ) = 5 5

28 Derivaatan nollakohta h'( ) = Kulkukaavio h () h() 5 = (5 ) = Funktio h on kasvava, kun = tai 5 = 5 = =± =± =± ± 55, tai 5 5 5) h '( ) = > h '(,) =,95 < h '(,) =,95 < h '() = > ja vähenevä, kun Vastaus: Funktio on a) kasvava ja vähenevä kaikkialla, b) kasvava, kun 75, tai 8, ja vähenevä, kun 75, 8,, c) kasvava, kun 5 tai 5 ja vähenevä, kun Funktio y = 8, 5 +, Derivaatta y' = 5, + Derivaatan nollakohdat y' = 5, + = Kulkukaavio y y,5, = ( ) ± ( ) 5, 5, + 87, =,, 8 87, = 5,, 8 Vastaus: Polku oli alamäkeä välillä [,5 km;, km]. 6

29 . Kulkukaavio Kulkukaaviosta nähdään, että funktio on kasvava väleillä ], ], [,] ja [, [, vähenevä väleillä [, ] ja [,]. Maksimikohdat = ja =, minikohdat = ja = Derivaatan kuvaajasta nähdään, että derivaatan eli tangentin kulmakertoimen arvo kohdassa = on. Vastaus: Kasvava väleillä ], ], [,] ja [, [, vähenevä väleillä [, ] ja [,]. Maksimikohdat = ja =, minikohdat = ja =, tangentin kulmakerroin. a) Funktio f ( ) = + Derivaatta f 'bg= + Derivaatan nollakohdat + = = 6 Kulkukaavio 6 f () f () ma Maksimiarvo f (6) = 6 b) Funktio f ( ) = Derivaatta f 'bg= Derivaatan nollakohdat = = : 7

30 Kulkukaavio f () f () ma min Maksimiarvo f ( ) = Minimiarvo f () = = = ± c) 5 5 Funktio f ( ) = Derivaatta f '( ) = 5 Derivaatan nollakohdat 5 = 5 ( ) = = tai = Kulkukaavio f () f () ma min Maksimiarvo f () = Minimiarvo f () = 8 Vastaus: a) Maksimikohta 6, maksimiarvo 6 b) maksimikohta, maksimiarvo, minimikohta, minimiarvo c) maksimikohta, maksimiarvo, minimikohta, minimiarvo 8. a) f( ) =, 5 5 ( ) 8 + ( + ) f '( ) = = = 8 8 ( ) ( + ) = = tai + = ei käy Kulkukaavio =± 8

31 maksimikohta maksimiarvo, maksimiarvo ( ) f ( ) = = ( ) ( ) f ( ) = = ( ) ja maksimikohta, b) 5 f( ) = ( )( ) = + f '( ) = 5 5 = (5 ) = = tai 5 = kokeilemalla nähdään, että yksi juuri on = Suoritetaan jakolasku ± = ei juuria Kulkukaavio ± ± ± = 5 5± 5 =

32 maksimikohta, maksimiarvo minimikohta, minimiarvo f () = ( )( ) = f () = ( )( ) = Vastaus: a) maksimikohta, maksimiarvo ja maksimikohta, maksimiarvo b) maksimikohta, maksimiarvo ja minimikohta, minimiarvo.. f ( ) = + a + 9 f '( ) = + a+ 9 f '( ) = ( ) + a ( ) + 9 = a = 6 f '( ) = = 9 ± = = = Kulkukaavio minimiarvo maksimiarvo f ( ) = ( ) + 6 ( ) + 9 ( ) = f ( ) = ( ) + 6 ( ) + 9 ( ) = Vastaus: a = 6, minimiarvo ja maksimiarvo 5. a f( ) = + ( + ) ( a ) a f '( ) = = ( + ) ( + )

33 f '( ) = ( ) ( ) a = ( + ) a = f '( ) = ( + ) = Kulkukaavio ( ) ( ) ( ) ( ) ± = () = = minimiarvo ( ) f ( ) = = 6 + Vastaus: a =, minimiarvo 6 6. f ( ) = + a + b+ c f '( ) = + a+ b f '( ) = ( ) + a ( ) + b= f '() = + a + b= a+ b= ( ) a+ b= 6a = 9 a = + b = b = 6 Kulkukaavio

34 minimiarvo f () = 8 c = c = 8 Vastaus: a =, b = 6, c = 8. Polynomifunktion kuvaajan piirtäminen 7. Kuvaaja a) on derivaattafunktion kuvaaja ja b) funktion kuvaaja, koska funktion a) nollakohdissa on funktion b) ääriarvokohdat. 8. a) f ( ) = + f '( ) = = =± ±,58 kulkukaavio

35 Funktio on kasvava, kun tai maksimiarvo f = + minimiarvo f ( ) = ( ) ( ) +,6 ja vähenevä, kun ( ) ( ) ( ),8 y -,5 -, - -5, -,5 -,88 -, -,5,8,,5,6,,5,88 7,,5, b) f f '( ) = 6 ( ) = + 6 = = ( 6) = tai =± 6 ±,5 kulkukaavio

36 Funktio on kasvava, kun 6 tai 6 ja vähenevä, kun 6 tai 6 maksimiarvo f () = + = minimiarvo f ( 6) = ( 6) ( 6) + = 5 minimiarvo f ( 6) = ( 6) ( 6) + = 5 y -, -,5,77 - -,75 -,5 -,98 - -, -,5 -,8 -,5 -,5,7,,5,7,5,5 -,8 -,,5 -,98 -,75,5,77, 9. a) f ( ) = 5 f '( ) = 5 5= =± 5 ± 7, 7 kulkukaavio

37 Funktio on kasvava, kun 5 tai 5 ja vähenevä, kun 5 5 maksimiarvo minimiarvo f ( 5 ) = ( 5 ) 5 ( 5 ) 77 f (5 ) = (5 ) 5 (5 ) 77 y - -6, - -7, - 7, - 9, - 5, -9 6, , -7 77, -6 68, -5 65, - 56, -, - 9, - 9,, -9, -9, -, -56, 5-65, 6-68, 7-77, 8-688, 9-6, -5, -9, -7, 7, 6, b) 5 f ( ) = + 5 f '( ) =

38 5 5 + = ( 5 ) + = = tai 5 + = sij. t = t t+ = ± t = 5 5± t = 6 5 t = = 6 5+ t = = 6 Sijoitetaan t = = =± (5) (5) = =± kulkukaavio Funktio on kasvava, kun tai tai ja vähenevä, kun tai tai maksimiarvot f ( ),6 ja f ( ),6 minimiarvot f ( ) =,5ja f () = sekä f () =, 5 6

39 y y = f() = + a + Kun polynomifunktion asteluku on parillinen, on funktiolla vähintään ääriarvokohta. Funktion f korkeimman asteen termin kerroin on positiivinen, joten funktiolla on ainakin minimikohta kaikilla a:n arvoilla. Polynomifunktion ääriarvokohdat ovat derivaatan nollakohdissa. f '() = + a Derivaatan nollakohdat + a = ( + a) = = tai + a = a = ± a > a < a Kohdassa = ± derivaatalla on nollakohta, kun a <. Jos a >, derivaatalla on vain nollakohta =, joka on funktion minimikohta. Kulkukaavio a b) Funktiolla on ääriarvopisteet kohdissa = ja = ±. Kun =, on y = a + = eli ääriarvopiste on (,). Muut ääriarvopisteet 7

40 + a = a = f() = + a + = + = + Koska myös piste (,) toteuttaa yhtälön y = +, funktion kaikki ääriarvopisteet sijaitsevat käyrällä y = +. c) Piirretään käyrä y = + sekä funktion f() = + a + kuvaajia, kun a =, ja. Vastaus: a) Kaikilla a:n arvoilla b) funktion kaikkia ääriarvopisteet sijaitsevat käyrällä y = Funktion suurin ja pienin arvo. a) Funktio f ( ) = ,, Derivaatta f 'bg= + 9 Derivaatan nollakohdat + 9 = = Ei kuulu välille, Funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteessä tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. f b g= pienin f = 5 suurin b) bg Funktio f( ) = + + 8,, f ' = + Derivaatta ( ) 8

41 Derivaatan nollakohdat + = ( ) ± = = =,9.. < ei käy 6 + = =,5.. > ei käy 6 Polynomifunktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteessä tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. f ( ) = ( ) + ( ) ( ) + 8= 8 suurin f ( ) = ( ) + ( ) ( ) + 8 = pienin 8 Vastaus: a) Pienin arvo, suurin 5 b) Pienin arvo, suurin 8 8. a) Funktio f ( ) = 6 + +,, Derivaatta f 'bg= + Derivaatan nollakohdat + = b g± b g = 8 = = = = ei kuulu välille, 6 Funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteessä tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. f b g= pienin F f suurin f I HG K J = bg= 6 9

42 b) Funktio f( ) = + 5, [,] Derivaatta f 'bg= 8 Derivaatan nollakohdat 8 = ( 8 ) = = tai = 8 Funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteessä tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. f b g= 9 pienin f bg = F f HG I 5 suurin 8 K J = 7 f = bg Vastaus: a) Pienin arvo, suurin b) Pienin arvo 9, suurin 5. a) f( ) = +, välillä [, ] f '( ) = = = = = = ei kuulu välille Funktio on jatkuva välillä [, ] ja derivoituva vastaavalla avoimella välillä, joten funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteessä tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. f ( ) = + = pienin f ( ) = + = suurin f ( ) = + =

43 b) ( ) + f( ) = = + +, välillä [,] ( )( + ) ( + ) f '( ) = = ( + ) ( + ) ( + ) = = =± Funktio on jatkuva välillä [,] ja derivoituva vastaavalla avoimella välillä, joten funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteessä tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. ( ) f ( ) = = ( ) + ( ) f ( ) = = suurin ( ) + ( ) f () = = pienin f () + ( ) 9 8 = = () + Vastaus: a) pienin, suurin b) pienin, suurin F I HG K J O = + Q P L N M. Funktio fbg= +,, Derivaatta f 'bg= + Derivaatan nollakohdat + = ± = b g = = = + O = Q P b g ei kuulu välille, L N M

44 Kulkukaavio f () f () min ma min Suurin arvo ainoassa maksimikohdassa f Vastaus: Luku F H G I K J = 8 antaa lausekkeelleele suurimman arvon. bg b g 'bg= π π 5. Funktio f r = π r r = πr πr, r > Derivaatta f r r r Derivaatan nollakohdat πr πr = πrb rg= πr = tai r = r = tai r = Kulkukaavio f () r f () min ma Vastaus: Suurin arvo, kun r = f( ) = f '( ) = = ( + ) = = tai + = = ± Kulkukaavio Kulkukaaviosta nähdään, että funktion suurin arvo on jompi kumpi maksimeista

45 6 f ( ) = ( ) + 6 ( ) 6 = 6 f () = = Koska funktion suurin arvo negatiivinen, funktio saa vain negatiivisia arvoja. 7. Funktio f ( ) = 5 Derivaatta f 'bg= Derivaatan nollakohdat = = Kulkukaavio f () f () f ( ) = > f () = < ma Funktion f maksimiarvo f () = 5 on samalla f:n suurin arvo. Funktio g ( ) = + + Derivaatta g'bg= + Derivaatan nollakohdat + = = Kulkukaavio g () g () min Funktion g minimiarvo g F H G I K J = 7 on samalla g:n pienin arvo 8 Koska f :n suurin arvo 5 on pienempi kuin g:n pienin arvo 7, niin kuvaajat eivät leikkaa 8 toisiaan. 8. Paraabelin huipun -koordinaatti on derivaatan nollakohta. Paraabeli y = + a+ 5 Derivaatta y'= 6 + a y '() = 6 + a = a = 6 Vastaus: y = 6 + 5

46 9. Paraabeli kulkee pisteen (, ), joten pisteen koordinaatit toteuttavat paraabelin yhtälön. Sijoitetaan pisteen (, ) koordinaatit paraabelin yhtälöön y = a + b+ c. a + b + c= c = Sijoitetaan c ja pisteen (, ) koordinaatit paraabelin yhtälöön. a + b = a+ b = Paraabelin huipun -koordinaatti on derivaatan nollakohta. Paraabeli y = a + b+ c Derivaatta y' = a + b Derivaatan nollakohta a + b = b = a Paraabelin huippu on pisteessä (, ), joten saadaan yhtälö b = a b = a sijoitetaan yhtälöön a+ b = a a = a = sijoittamalla saadaan b = a = Vastaus: y =. Funktio f ( ) =, g ( ) = e = f g =,, Erotus ( ) ( ) ( ) [ ] Derivaatta ( ) e' = Derivaatan nollakohdat = b g= = tai = = Kulkukaavio e () e() min ma min

47 Maksimi e F I HG K J = 7 Vastaus: Suurin pystysuora etäisyys. Ääriarvosovelluksia 7, kun =. Luku Tutkitaan funktiota f, Derivaatta f 'bg= bg= < Derivaatan nollakohdat = Juuret ja e j = = tai = eivät kuulu välille < =± Ainoa maksimi f Vastaus: Luvun F HG ma I KJ = =. Luku Tutkitaan funktiota fbg= Derivaatta f 'bg= on suurin arvo. Derivaatan nollakohdat = = Kulkukaavio =,6 5

48 f () f () f () = > f () = < ma Vastaus: Luku =. bg b g Ala A = = Derivaatta A'bg= 6 Derivaatan nollakohdat 6 = = Kulkukaavio 8 A () A() ma Ala suurin, kun toinen sivu ja toinen = Vastaus: Rantaa vastaan kohtisuora sivu m ja rannan suuntainen m. 6

49 . Pois leikattavan neliön sivun pituus eli eli 5 Joten bg b gb g Tilavuus V = = + 6 Derivaatta V'bg= + 6 Derivaatan nollakohdat + 6 = Kulkukaavio b g b g = ± 6 = = 9,... + = =, ei käy V () V(),9 min ma min Maksimi Vb, 9... g= 56, 5... bg= + Vastaus: Tilavuuden lauseke V 6 cm., ja suurin tilavuus 7

50 5. Ikkunan ympärysmitta πr+ r+ a =,, πr r a = r r F Ala Ar bg= r + ra= r + r, π π π = π r, r bg F b g I Derivaatta A' r = π r, r, HG K J + = π + Derivaatan nollakohta b π gr +, = b π gr =, :( π ) Kulkukaavio A (r) A(r),68 π + min ma min Suorakulmion korkeus, πr r π F F π a = = 6 + r H G6 H G Maksimi A π + F H G I K J F = H G F H G I K J = + π I K J HG I K J + r =, =, + = 68,... 68, π π π + r I K JI K J F H G I K J + r + = π = π π + π + = 8 π + =,..., a r Vastaus: Puoliympyrän säde ja suorakulmion korkeus,68 m, jolloin ala on, m. 6. d h Suorakulmaisesta kolmiosta + h = 5, h = 5, F H I K = + > Tulo T bg= h = 5, 65, Derivaatta T'bg=

51 Derivaatan nollakohdat + 65= =± 65 > =,..., Kulkukaavio, 5 T () T() ma Hirren korkeus h = 5,,..., Vastaus: Hirren leveys =, cm ja korkeus h =, cm. 7. yhden euron korotusten määrä Tuottofunktio T( ) = (5, + )( ),( ) = + = T'( ) = = = Tuottofunktion kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joten funktio saa suurimman arvonsa paraabelin huipussa =. Tuotteen hinta 5 + = 9 Vastaus: 9 8. Suoran yhtälö y = + y + = Paraabelin piste (, ) Suoran ja paraabelin pisteen etäisyys a + by + c d( ) = a =, b =, c =, =, y = a + b + + = = Tutkitaan funktiota f() = + + 9

52 f ' () = + + = = Funktion f() = + + kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten funktio saa pienimmän arvonsa huipussa =. f:n pienin arvo f( ) = ( ) +( ) + = > + + Koska f:n pienin arvo on positiivinen, saa etäisyysfunktio d( ) = pienimmän arvonsa, kun f() = + + saa pienimmän arvonsa eli kohdassa =. Pienin etäisyys ( ) + ( ) + d( ) = =,9 Vastaus:, 9 Harjoituskoe 5. a) Funktio f ( ) = + + k, k R 5 Derivaatta f '( ) = = b) Funktio g( ) = (+ ) = + + Derivaatta g'( ) = + + = 8+ c) Funktio Derivaatta h ( ) = + ( + ) + h'( ) = = ( + ) ( + ) Vastaus: a) f '( ) = + 8 b) g'( ) = 8+ c) + h'( ) = ( + )

53 . a) + ) ( + ) lim = = = b) ) + lim[:( + )] = lim[:( )] = lim = = = + + Vastaus: a) b). a) Funktion nollakohdilla tarkoitetaan niitä muuttujan arvoja, joissa kuvaaja joko leikkaa tai sivuaa -akselia. Kuvasta saadaan, ja. Funktion derivaattafunktio saa arvon nolla funktion ääriarvokohdissa. Kuvasta ja. b) Laaditaan derivaattafunktion perusteella funktion kulkukaavio. Kulkukaavio Kulkukaaviosta nähdään, että funktion minimit ovat kohdissa ja sekä maksimi kohdassa. Funktion kohtaan = piirretyn tangentin kulmakerroin on sama kuin funktion derivaatan arvo tässä kohdassa. Kuvaajasta k = f '(). Vastaus: a) Funktion nollakohdat, ja. Derivaatan nollakohdat ja b) minimikohdat ja, maksimikohta, k. ( + ), <, <. f( ) = = = ( ), +, Itseisarvo ei muuta funktion jatkuvuutta, joten polynomifunktiona f( ) on jatkuva aina., < Derivaatta f '( ) =, > Funktio on derivoituva, kun < ja >. Koska funktion derivaatta ei ole yksikäsitteinen lähestyttäessä kohtaa, funktio ei ole derivoituva kohdassa. Derivaattafunktion kuvaaja

54 Vastaus: Funktio on jatkuva, kun ja derivoituva, kun. 5. Pohjasärmä > (m) Särmiön korkeus a > (m) Rautalankaa käytössä, m, joten 8+ a = eli a = Koska pituudet ovat positiivisia > eli <. Tilavuus V = a V( ) = ( ) = +, < < Haetaan tilavuuden suurin mahdollinen arvo. Tilavuusfunktio on polynomifunktiona derivoituva, kun < <. Derivaatta V '( ) = 6 + Derivaatan nollakohdat

55 Kulkukaavio, kun V '( ) = 6 + = (6 ) = = tai 6 = = = 6 < < Kulkukaaviosta nähdään, että funktion suurin arvo on kohdassa Pyydystimen mitat pohjan särmä m =,66... m,67 dm ja korkeus 6 a = = ( ) m = m,67 dm 6 6 Vastaus: Kuutio, jonka särmät ovat,67 dm. = Funktio f ( ) = ( ) = ( + ) = + Funktio on polynomifunktiona derivoituva, kun. Ääriarvot sijaitsevat derivaatan nollakohdissa. Derivaatta f ( ) = 6 + Derivaatan nollakohdat f ( ) = 6 + = (8 6+ ) = = tai 8 6+ = ( 6) ± ( 6) 8 = = 8 6+ = = 6 6 = = 6

56 Kulkukaavio f ( ) = 6 + f '() = 6() () + () = < f '( ) = 6( ) ( ) + ( ) =,975> f '( ) = 6( ) ( ) + ( ) =,7... < f '() = 6 + = 6 > Funktion miniarvot maksimiarvo f () = ( ) = ja f ( ) = ( ) ( ) = 6 Vastaus: Funktion miniarvo on ja maksimiarvo on f ( ) = ( ) ( ) = 6 7. Funktio f( ) = Derivaatta kohdassa + f( ) f() f '() = lim = lim = lim ) ( ) + + = lim = = Vastaus: f '() = 8. Funktio f( ) = on jatkuva ja derivoituva, kun. ( ) + Derivaattafunktio f '( ) = =, ( ) Haetaan derivaattafunktion suurin arvo, kun. + Merkitään g( ) = f '( ) = = +. Funktio g( ) on jatkuva ja derivoituva, kun. 6 Derivaattafunktio g'( ) = ( ) = < aina, kun, koska >. Koska derivaatta on negatiivinen, niin funktio on aidosti vähenevä, kun. Näin ollen funktion suurin arvo on puoliavoimen välin alkupisteessä. Funktion g( ) = f '( ) suurin arvo Vastaus: Derivaattafunktion suurin arvo on. g() = f '() = + =.

57 Harjoituskoe. Funktio f() = 6 5 Derivaatta f () = 5 Derivaatan nollakohdat f () = 5 = : 5 = ( ) ± ( ) ( 5) = 6 = = + 6 = = 5 Vastaus: Derivaatan nollakohdat ovat ja 5.. Käyrä y = f( ) = Koska f (6) = = 5, piste (6,5) on käyrällä Derivaatta f () = Normaalin kulmakerroin k n = k = t f '(6) = Normaalin yhtälö y y = kn( ) = 6, y = 5, kn = y 5 = ( 6) y = + 8 Normaalin ja käyrän toinen leikkauspiste y = + 5 y = + 8 Sijoitetaan y = + 8 ylempään yhtälöön 5

58 + 5= + 8 = 6 9 8= ( 9) ± ( 9) ( 8) = 9 5 = = 9+ 5 = = 6 Leikkauspisteen y-koordinaatti y = f = + 5= 8 Normaalin ja käyrän toinen leikkauspiste,8 y Vastaus: Normaalin yhtälö on,8 y = + 8. Normaalin ja käyrän toinen leikkauspiste on. a) Raja-arvo lim Jaetaan osoittaja tekijöihin käyttäen apuna osoittajan nollakohtia. Osoittajan nollakohdat = 6

59 Raja-arvo lim 8± 8 7 = 8 6 = = = = ( + ) ( + 7) + 7 = lim = = + ( + ) b) Raja-arvo 7 lim + Jaetaan nimittäjä tekijöihin käyttäen apuna osoittajan nollakohtia. Nimittäjän nollakohdat + = ( ) ± ( ) = = = 8 + = = 8 7 ( 9) ( ) ( + ) 8 Raja-arvo lim = lim = lim = + ( ) ( ) ( ) Vastaus: Raja-arvo on a) b) 8.. Funktio f() = + Derivaatta f () = + 6 Derivaatan nollakohdat f () = + 6 = ( + ) = = tai + = = tai = Kulkukaavio Maksimi f( ) = ( ) + ( ) = Minimi f() = + = 7

60 y 5 5 Vastaus: Paikallinen maksimi on ja minimi Funktio f( ) = + Funktio on jatkuva, kun 5 ja derivoituva, kun < < 5. Nollakohdat f() = 9 = + 9 = ( 9) = = tai = ( 9)(+ ) ( 9 ) + 7 Derivaatta f '( ) = = (+ ) (+ ) Derivaatan nollakohdat f () = + 7 = ( + ) + 7 = Kulkukaavio ± ( 7) = 576 = = Ei käy = = 8 8

61 9 Minimi f = = + Maksimit 9 f () = = f (5) = = 5 + Suurin arvo Pienin arvo Funktion arvojoukko on 5 y. Vastaus: Funktion nollakohdat ovat ja. Funktion arvojoukko on 5 y. a+ <, kun 6. Funktio f( ) = a 5, kun Funktio on jatkuva kohdassa =, kun funktion raja-arvo on yhtä suuri kuin funktion arvo tässä kohdassa. lim f( ) = f() Vastaus: Vakio a = 6. lim f( ) = lim f( ) = f() + a lim ( a+ ) = lim 5 = f() a a a + = 5= 5 a a = 5 a 6= a a = Tangentti kohtaan Käyrä 5 = 6 = y = f( ) = =, Derivaatta f () = = 9

62 5 Tangentin kulmakerroin k t = f = = 5 5 Tangentin yhtälö y y = k t ( ) = 5, y = f( 5 ) = 5 5 = 5 y 5 = 5 5 y = + 5 Tangentin suuntakulma tanα = 5 α =,8 y Vastaus: Tangentin yhtälö on 5 y = +. Tangentin suuntakulma on, Peltilevyn leveys on cm, joten + y =, eli =, y. Kouru kuljettaa mahdollisimman runsaasti vettä, kun sen poikkileikkauksen pinta-ala on mahdollisimman suuri. Pinta-ala A = y = (, y)y =,y y, y,5 Derivaatta A (y)=, y Derivaatan nollakohdat, y = y =,75 5

63 Kulkukaavio Kouru kuljettaa mahdollisimman paljon vettä, kun kourun korkeus on,75 m = 7,5 cm ja leveys, m,75 m =,5 m = 5 cm. Vastaus: Kourun leveys on 5 cm ja korkeus 7,5 cm. Harjoituskoe. Kuvaajasta lukien tangentin kulmakerroin eli derivaatan arvo kohdassa = on,5 ja myös kohdassa =. Vastaus:,5 ja kohdassa =. f f '( ) = ( ) = + 9 5

64 = ± = = = Vastaus: ja ( ) ( ) ( ). f( ) = + + (+ ) f '( ) = = ( + + ) ( + + ) = ( + + ) = = Kulkukaavio Vastaus:. y = + ( + ) 6 + y ' = = ( + ) ( + ) + tangentin kulmakerroin y '() = = ( + ) 8 normaalin kulmakerroin 8 tangentin ja käyrän sivuamispisteen y-koordinaatti y () = = + tangentin yhtälö y = ( ) 8 y =

65 normaalin yhtälö y = 8( ) y = 8 7 Vastaus: tangentti y = +, normaali y = Funktio f() = + Δ f f ( ) f( ) Erotusosamäärä = Δ f ( ) f( ) Derivaatta f '( ) = lim a) Erotusosamäärä kohdassa = Δf f( ) f() + = = Δ Polynomin + nollakohdat + = ± ( ) = 9 = = + 9 = = Δf f( ) f() + ( )( + ) Erotusosamäärä = = = = + Δ f( ) f() b) Derivaatta f '() = lim = lim( + ) = Vastaus: a) Erotusosamäärä on Δ f = + b) derivaatta f () =. Δ f ( ) = f '( ) = = sijoitetaan t = 6 5

66 t + t+ = 9 7 ± t = ± 87 t = 86 t = 5,... t =,... sijoitus t = 6 6 = 5,... ei ratkaisua 6 =,... ei ratkaisua Koska polynomifunktiolla ole ääriarvokohtia. 9 7 f ( ) = ei ole derivaatan nollakohtia, ei funktiolla 7. narun pituus a osat ja a, missä [, a] ympyrän kehän pituus π r = r = π ympyrän ala Aymp = π ( ) π neliön piiri s = a a s = neliön ala a Aneliö = ( ) kokonaisala a A ( ) = π ( ) + ( ) π π a aπ+ π = + 6π 6π ( + π) aπ+ πa = 6π A'( ) = [(8 + π ) aπ ] 6π 5

67 [(8 + π ) aπ ] = 6π π a = < a + π Pinta-alafunktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten funktio saa pienimmän π a arvonsa paraabelin huipussa = < a ja suurimman arvonsa välin [, a ] päätepisteessä. + π a a A() = π ( ) + ( ) = π 6 πa πa a+ πa πa a π a ( ) a A π π π π π = = + + π π 8 π + a a π a + a = π 8 π + 8 π = + + (8+ π ) a a a a a Aa ( ) ( ) ( ) π π 6 pienin = π + = > suurin Vastaus: suurin ala, kun koko naru käytetään ympyrään ja pienin ala, kun toinen osa on π a a ja toinen. + π + π 8. f ( ) = a + + a (a ) a f '( ) = a = a = a = f( ) = + + = + + = = 55

68 Vastaus: y = + 56