KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268."

Transkriptio

1 KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) = + + = 9 9 5) ( ) ( ) = = ( ) = Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a + = a ( a + ) Vastaus: a) a + a b) a 68. Vastaus: k k k k = k k + a k a k a a a a a a = a k 69. Sievennetään lause + : = = Lausekkeen arvo, kun = : Vastaus: = = ( ) = = 89

2 + 7. Funktio f( ) = ei määritelty, kun jakaja on nolla, eli Suoritetaan jakolasku jakokulmassa + + ± ± + f ( ) = = +,. Kuvaaja on suora y = +, johon ei kuulu kohta =. y y = +, + 7. Funktio f( ) = + a) määrittelyjoukkoon kuuluvat kaikki muut reaaliluvut, paitsi nimittäjän nollakohdat. = ( )( + ), kun ±, joten lauseke on määritelty aina, kun ±. + b) Funktion f( ) = + nollakohdat. f( ) = + ) ) = + + ( ) = Funktion nollakohdat sijaitsevat osoittajan nollakohtien joukossa. + + = = = Koska ainoa mahdollinen nollakohta = ei kuulu funktion määrittelyalueeseen, funktiolla ei ole nollakohtia. Vastaus: a) ± b) ei nollakohtia 9

3 7. a) Yhtälön ratkaisujoukkoon ei kuulu nimittäjän nollakohta, joten. ) = + = = Osamäärän arvo on nolla vain, jos jaettava on nolla (ja jakaja ei ole nolla), joten yhtälöllä ei ole ratkaisuja. b) Epäyhtälön > ratkaiseminen perustuu funktion f( ) = merkin tutkimiseen. ) Funktio f( ) = = saa positiivisia arvoja, kun jakaja on positiivinen (koska jaettava on positiivinen). Joten f( ) >, kun > eli, kun >. Vastaus: a) Ei ratkaisua b) > 7. Epäyhtälö. Jaetaan tarkastelu kahteen osaan: < tai. + < + + ) f ( ) Rationaalifunktio voi vaihtaa merkkinsä kohdissa, joissa sitä ei ole määritelty (nimittäjän nollakohdat), tai nollakohdissaan (osoittajan nollakohdat). Nimittäjän nollakohdat + = = Osoittajan nollakohdat + = ( + ) = = tai = 9

4 Merkkikaavio, kun < + f( ) = + ( ) + ( ) f ( ) = = < + (,5) + (,5) f (,5) = =,5 >, 5 + (,5) + (,5) f (,5) = =,5<,5 + f( ) < ) + Rationaalifunktio voi vaihtaa merkkinsä kohdissa, joissa sitä ei ole määritelty (nimittäjän nollakohdat), tai nollakohdissaan (osoittajan nollakohdat). Kun, nimittäjä on positiivinen. Näin ollen rationaalifunktio on ei-negatiivinen kun osoittaja on ei-negatiivinen. Osoittaja, kun =. Epäyhtälö toteutuu, kun < tai =. + Vastaus: < tai = Epäyhtälö <. Määritetään aluksi ne muuttujan arvot, jotka eivät kelpaa ratkaisuiksi, eli jakajan nollakohdat. Näin ollen ja, eli, josta ja tästä edelleen ±. Epäyhtälön ratkaisu 9

5 ) ) + ( + ) ( ) + ) + ) < < ±, < + < + Osamäärä on negatiivinen, vain, jos jakaja + on positiivinen, siis > ja + alkuperäiset ehdot huomioiden, Vastaus: > ja,. Funktio raja-arvo ja jatkuvuus 75. a) b) 5 5 lim ( ) = ( ) ( ) = lim ( 7 9 ) = 7 ( ) 9 ( ) = 7 Vastaus: a) b) a) lim = = = b) lim = = = + + c) + ( ) ( ) + lim = = =. + ( ) + ( ) Vastaus: a) b) c) 9

6 77. a) 9 9 lim = = = 9 b) lim = =. Koska = on sekä osoittajan että 5 + ( ) + 5 nimittäjän nollakohta lauseketta voidaan ensin sieventää. Nimittäjän nollakohdat + 5= ( ) ± ( ) 5 = + 9 = = 5 9 = = lim = lim = lim = = ( )( 5) ( )( 5) c) lim = = Koska = on sekä osoittajan että nimittäjän nollakohta, lauseketta voidaan ensin sieventää. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa ± ± = + = + = lim lim( ) Vastaus: a) b) c) 9 9

7 78. < lim = lim = lim =, joten ei-raja-arvoa Vastaus: Ei raja-arvoa. 79. Funktio f( ) = a) Rationaalifunktio on määritelty aina, kun jakaja on nollasta eroava, eli. b) Rationaalifunktio on jatkuva koko määrittelyjoukossaan. Vastaus: a),ja b),ja, < a 8. Funktio f( ) =, a Funktio on määritelty polynomifunktiona, kun < a ja > a. Funktio on määritelty myös kohdassa = a, jos ja vain jos lim f ( ) = lim f( ) = f( a). y + a a lim f( ) = lim f( ) = f( a) + a a lim ( ) = lim = + a a a = a = y = 5 6 y = Vastaus: a = + <, a 8. Funktio f( ) =, a Funktio on määritelty polynomifunktiona, kun < a ja > a. Funktio on määritelty myös kohdassa = a, jos ja vain jos lim f ( ) = lim f( ) = f( a). + a a 95

8 a = y lim f( ) = lim f( ) = f( a) + a a lim ( + ) = lim = + a a a + = a = a =± y = + y = a = y y = + y = Vastaus: a = tai a = + a, < 8. Funktio f ( ) = +, < a, ON löydettävä sellainen yksikäsitteinen parametrin a arvo, että seuraavat ehdot ovat voimassa: Funktio on määritelty polynomifunktiona, kun <, < < ja >. Funktio on määritelty myös kohdassa =, jos ja vain jos lim f( ) = lim f( ) = f( ) ja kohdassa =, jos ja vain jos Kohta = Kohta = lim f ( ) = lim f( ) = f(). lim f( ) = lim f( ) = f( ) lim ( + a) = lim ( + ) = ( ) + + a = a = 96

9 lim f ( ) = lim f ( ) = f () + lim( + ) = lim( a ) = a + + = a a = Vastaus: a =. Funktion derivaatta 8. a) Funktion f keskimääräinen muutosnopeus välillä [,] Δf y y = = = Δ ( ) b)funktion f keskimääräinen muutosnopeus välillä [,] Δf y y = = = Δ c) Funktion f keskimääräinen muutosnopeus välillä [,] Δf y y = = = Δ Vastaus: Funktion f keskimääräinen muutosnopeus on a) b) c). 97

10 8. Derivaatan arvo on käyrälle kyseiseen pisteeseen piirretyn tangentin kulmakerroin. Derivaatat y y f () = = = = y y f () = = = = 6 Funktion derivaatta on yhtä suuri kuin f () pisteessä (, ). Vastaus: Derivaatat ovat f () = ja f () =. Funktion derivaatta on yhtä suuri kuin f () pisteessä (, ). 85. Funktio f() = + Δ f f ( ) f( ) Erotusosamäärä = Δ f ( ) f( ) Derivaatta f ( ) = lim a) Erotusosamäärä kohdassa = Δf f( ) f() + ( ) = = = Δ Derivaatta kohdassa = f( ) f() f () = lim = lim( ) = = 98

11 b) Erotusosamäärä kohdassa = Δf f( ) f( ) + ( ) + + = = = Δ ( ) + + Jaetaan osoittaja tekijöihin nollakohtia käyttäen. + + = ± ( ) = () 6 = = = = Erotusosamäärä Δ f ( + ) ( 6) = = + 6 Δ + Derivaatta kohdassa = f( ) f( ) f ( ) = lim = lim ( + 6) = 8 + Δ f Vastaus: a) Erotusosamäärä on = ja derivaatta f () =. b) Erotusosamäärä on Δ Δ f = + 6 ja derivaatta f ( ) = 8. Δ 86. Derivaatta f ( ) = lim a) Funktio f ( ) = + f ( ) f( ) + + ) f( ) f(8) + ( + + )( + ) Derivaatta f (8) = lim = lim = lim ( 8)( + + ) = lim = lim = = 8 8 ( 8)( + + ) ( 8) ( + + ) b) Funktio f( ) = + 8) + ) f( ) f(8) 8( ) Derivaatta f (8) = lim lim 8 + = + = lim ( 8) 5 5 = lim = lim = = 8 8(+ )( 8) 8 8(+ ) ( 8) 8( 8 + ) 78 Vastaus: a) 5 b)

12 87. Funktio f( ) = + Δ f f ( ) f( ) Erotusosamäärä = Δ Erotusosamäärä kohdassa = + ) Δf = + = Δ + (+ )( + ) Osoittajan nollakohdat = ( ) ( ) ( ) ± = 6 = = + 6 = = Erotusosamäärä kohdassa = Δ f ( + ) ( ) = = Δ (+ ) ( + ) + f ( ) f( ) Derivaatta f ( ) = lim Derivaatta kohdassa = f () = lim = = + ( ) + Vastaus: Erotusosamäärä kohdassa = on Δf =. Derivaatta on f () =. Δ Derivaatta ilmaisee funktion kasvunopeuden. Funktio f() = + f ( + h) f( ) Derivaatta f ( ) = lim h h a) Kasvunopeus kohdassa = ( + h) ( + h) + + h 7h h( h 7) f () = lim = lim = lim = 7 h h h h h h b) Kasvunopeus kohdassa = ( + h) ( + h) + + f ( ) = lim h + h h( h + ) = lim = lim = h h h h h h Vastaus: Kasvunopeus on a) 7 b).

13 89. Derivaatta f ( ) = lim f ( ) f( ) a) Funktio f() = Derivaatta kohdassa = 6) ) 6+ + ( ) f ( ) = lim 6 lim 8 + = = lim ( + ) = = 8 ( ) b) Funktio f() = Derivaatta kohdassa = 5) ) ( ) ( ) f ( ) = lim 5 + = lim = lim + + 5( ) ( + ) = = 5( ) 5 c) Funktio f() = + Derivaatta kohdassa = + ) ( ) f ( ) = lim + lim + = + = lim + + (+ ) ( + ) Vastaus: Derivaatta kohdassa = on a) b) c) 5. = = () +. Polynomifunktion derivaatta 9. a) D( ) = + + b) D( ( + 5 ) = + 5= ) = c) D + + = 5 + = Vastaus: a) + + b) c) Funktio f( ) = + + Derivaatta f '( ) = + = + Derivaatta kohdissa, ja f ( ) = ( ) + ( ) = 8 f () = + =

14 f () = + = Vastaus: Derivaatta kohdissa, ja on 8, ja. 9. Laske f( ) ja f ( ), Funktio f() = + Funktion arvo f( ) = ( ) ( ) + ( ) = 9 Derivaatta f () = 6 + Derivaatan arvo f ( ) = ( ) 6 ( ) + = Vastaus: f( ) = 9 ja f ( ) = 9. a) Funktio f( ) = 6+ 7 Derivaatta f () = 6 Yhtälö f () = 6 = = 5 b) Funktio f( ) = + 9 Derivaatta f () = + 5 Yhtälö f () = + 5 = 5± 5 ( ) = 5 9 = = = = 6 Vastaus: Yhtälön ratkaisut ovat a) b) tai. 9. Funktio f( ) = + + Derivaatta f () = Derivaatan nollakohdat f () = = ( 8) ± ( 8) 9 = = = = = 8 9 Vastaus: Derivaatan nollakohdat 7 9 ja

15 95. a) D(a + b + c + d) = a + b + c = a + b + c b) D(n + n ) = n + n n = n + n n c) D(t + t + + t) = t + t + + = 8t + t + Vastaus: a) a + b + c b) n + n n c) 8t + t Funktio f() = saa positiivisia arvoja f() > > Nollakohdat = :( ) 5 = ( ) ± ( ) ( 5) = 6 = = + 6 = = 5 Merkkikaavio f() > < < 5 Derivaatta f () = + saa positiivisia arvoja f() > + > > :( ) < Vastaus: Funktio ja sen derivaatta saavat yhtä aikaa positiivisia arvoja, kun < <. 97. Polynomifunktio f() = + a Derivaatta f () = + a Derivaatta negatiivinen f () < + a < Derivaatan kuvaajana on alaspäin aukeava paraabeli. Derivaatta on kaikkialla negatiivinen, kun diskriminantti D <. (a) ( ) ( ) < a < Nollakohdat a = a = 6

16 Merkkikaavio a = ± 6 Vastaus: Derivaatta on kaikkialla negatiivinen, kun 6 < a < Kävijämäärä f( t) = 5t + 9t+ 8 7, missä t on aika vuosina vuodesta 996 alkaen. Kävijämäärän keskimääräinen muutosnopeus vuodesta 996 vuoteen 999 Δf f() f() 5 87 = = = 85 Δt Kävijämäärän muutosnopeus vuonna 999 on f (). Derivaatta f (t) = 6 7t + 9 Kävijämäärän muutosnopeus f () = = 8 Vastaus: Keskimääräinen muutosnopeus vuodesta 996 vuoteen 999 oli 85 henkilöä/vuosi ja kävijämäärän muutosnopeus vuonna 999 oli 8 henkilöä/vuosi. 99. Funktio f ( ) = + a+ b Derivaatta f () = + a Ehdot f() = ja f () = + a+ b = + a = a = b = Vastaus: Vakiot ovat a = ja b =. 5. Käyrän tangentti ja normaali. Käyrä f () = Derivaatta f () = Tangentin kulmakerroin k t = f ( ) = ( ) = Tangentin yhtälö y y = k t ( ) =, y = f( ) = ( ) ( ) = y ( ) = ( ( )) y = Vastaus: Tangentin yhtälö on y =.

17 . Käyrä f () = + 5 Derivaatta f () = Tangentin kulmakerroin k t = f ( ) = ( ) = 7 Suuntakulma tan α = 7 α = 8,9 Vastaus: Tangentin kulmakerroin on 7 ja suuntakulma 8,9.. Käyrä f () = + Derivaatta f () = + Tangentin kulmakerroin k t = f ( ) = ( ) + = 6 Tangentin yhtälö y y = k t ( ) =, y = f( ) = ( ) + ( ) = y = 6( ( )) y = 6 56 Normaalin kulmakerroin kn = = kt 6 Normaalin yhtälö y y = k n ( ) =, y = f( ) = y = ( ( )) 6 y = Vastaus: Tangentin yhtälö on y = 6 56 ja normaalin y = Käyrä f ( ) = 6 Derivaatta f () = 6 Tangentti on -akselin suuntainen. Tangentin kulmakerroin k t = Kohta, jonka kautta tangentti kulkee. f () = k t 6 = : = ( ) ± ( ) ( ) = 5 = = + 5 = = Tangenttien sivuamispisteiden y-koordinaatit y = f ( ) = ( ) ( ) 6 ( ) = 7 y = f = 6 = Vastaus: -akselin suuntaisten tangenttien yhtälöt ovat y = ja y = 7. 5

18 . Käyrällä on y-akselin suuntainen normaali siinä pisteessä, missä käyrällä on -akselin suuntainen tangentti. Käyrä y = f( ) = + Derivaatta f () = Tangentti on -akselin suuntainen. Tangentin kulmakerroin k t = Kohta, jonka kautta tangentti kulkee. f () = k t = ( ) ± ( ) ( ) = 6 = = + 6 = = Vastaus: y-akselin suuntaisten tangenttien yhtälöt ovat = ja =. 5. Paraabelien y = + + ja y = + leikkauspisteet. y = + + y = = + 7 = :7 = Paraabeli : y = + + Derivaatta y () = + 6

19 Tangentin kulmakerroin k = y () = + = Koska tan α =, niin tangentin suuntakulma α = 7,56... Paraabeli : y = + Derivaatta y () = Tangentin kulmakerroin k = y () = = Koska tan α =, niin tangentin suuntakulma α = 75,96... Tangenttien välinen kulma on α = α α = 7,56... ( 75,96... ) = 7,5.... Käyrien välinen kulma β = 8 α,5 Vastaus: Käyrien välinen leikkauskulma on,5. 6. Paraabeli y = f() = Derivaatta f () = a) Tangentin kulmakerroin on k t = Kohta, jonka kautta tangentti kulkee. f () = k t = : = Tangenttien sivuamispisteen y-koordinaatti y = f() = = Pisteen P koordinaatit (, ) b) Tangentti on suoran + y + = suuntainen. Suora + y + = y = Tangentin kulmakerroin k t = Kohta, jonka kautta tangentti kulkee. f () = k t = : = Tangenttien sivuamispisteen y-koordinaatti 5 y = f = = 6 5 Pisteen P koordinaatit, 6 c) Tangentin suuntakulma on 5 Tangentin kulmakerroin k t = tan 5 = Kohta, jonka kautta tangentti kulkee. f () = k t = : 7

20 = Tangenttien sivuamispisteen y-koordinaatti y = f = = Pisteen P koordinaatit, 5 Vastaus: Pisteen P koordinaatit ovat a) (, ) b), 6 7. c),. Paraabelin ja -akselin leikkauspisteet. Sijoitetaan y = = 5± 5 ( ) ( 6) = () 5 = = 5+ = = Paraabeli y = Derivaatta y () = + 5 Tangentin kulmakerroin kohdassa = : k = y () = + 5 = Tangentin kulmakerroin kohdassa = : k = y () = + 5 = Koska tangenttien kulmakertoimien tulo k k = ( ) =, tangentit leikkaavat toisensa kohtisuorasti. 8

21 8. Funktio f ( ) = + a + b+ c Derivaatta f () = + a + b Funktion nollakohta on, joten f() = Funktion derivaatta on nolla pisteessä (,), joten f() = ja f () =. Saadaan yhtälöpari 8+ a+ b+ c = 7 + 9a+ b+ c = 7 + 6a+ b= Ratkaisemalla b alimmasta yhtälöstä saadaan b = 6a 7. Sijoitetaan tämä kahteen ylempään yhtälöön. 8+ a+ ( 6a 7) + c = 7 + 9a+ ( 6a 7) + c = Ratkaisemalla yhtälöpari saadaan a = 8 ja c = 8. Tästä edelleen saadaan b =. Vastaus: Vakiot ovat a = 8, b = ja c = Käyrä y = + Koska y() =, niin piste (,) ei ole käyrällä. Derivaatta y () = + Tangentin kulmakerroin k t = y ( ) = + Pisteen (,y ) kautta kulkevan tangentin yhtälö y y = k t ( ) y = +, k t = y ( ) = + y ( + ) = ( + )( ) Tangentti kulkee pisteen (,) kautta ( + ) = ( + )( ) 9

22 + = = = =± Tangentin yhtälö, kun = y y = k t ( ) y = 6, k t = y ( ) = y ( 6) = ( ( )) y = + Tangentin yhtälö, kun = y y = k t ( ) y =, k t = y () = y = ( ) y = Vastaus: Tangentin yhtälöt ovat y = + ja y =. 6. Tulon ja osamäärän derivaatta. a) D ( 5) = ( 5) + = b) D ( )( ) = 6 ( ) + ( ) = 9 c) D[ ( )] = ( ) + ( ) = + 9 Vastaus: a) b) 9 c) + 9 ( 8) 6. a) D = = 8 ( 8) ( 8) ( ) 9 b) D = = ( ) ( ) + (+ )( ) ( + ) + c) D = = ( ) ( ) 6 Vastaus: a) ( 8) b) 9 ( ) c) + ( ). a) D 7 ( ) = D = D + 6 = b) ( ) ) ) = + =

23 c) ( 7)( + ) 7 D D D( 7 ) = = = + ) = + = + Vastaus: a) b) + 6 c) +. Funktio f() = 5 ( + ) Derivaatta f () = 5 ( + ) + 5 ( + ) = Derivaatan nollakohdat f () = = 5 (8 + ) = 5 = tai 8 + = = Ei ratkaisua Vastaus: Derivaatan nollakohta on =.. a) Funktio f( ) = + 7 ( + 7) 8 Derivaatta f '( ) = = (+ 7) (+ 7) Yhtälö f () = 8 = ( + 7) 8 = Ei ratkaisua b) Funktio f( ) = (5+ ) Derivaatta f( ) = = (5+ ) (5+ ) Yhtälö f () = = (5 + ) = (5 + ) = = tai = 5 Vastaus: a) Ei ratkaisua b) = tai = 5

24 5. Funktio h ( ) = f ( ) f ( ) f '( ) f( ) f '( ) Derivaatta h'( ) = = f( ) f( ) Funktion arvo h ( ) = Vastaus: h ( ) = 6. Käyrä Derivaatta = + y = [ ] [ ] f( ) ( ) f '( ) [ f ( ) ] + 6 = ( ) ( + ) y'( ) = = ( ) ( ) Tangentin kulmakerroin kt = y'() = = ( ) f( ) = ja f ( ) = 6 Tangentin ja yhtälö y y = kt( ) =, y = 6, kt = y 6= ( ) Normaalin kulmakerroin k y = + n = = k t Normaalin yhtälö y y = kn( ) =, y = 6, kn = y 6 = ( ) y = + 5 Vastaus: Tangentin yhtälö on y = + ja normaalin y = + 5.

25 7. Käyrä Derivaatta + 5 y = + ( + ) ( + 5) + 5 y'( ) = = ( + ) ( + ) Tangentin kulmakerroin kt + 5 = y'() = = ( + ) Tangentin ja yhtälö y y = kt( ) =, y =, kt = y = ( ) 7 y = + Tangentin ja -akselin leikkauspiste saadaan sijoittamalla y =. 7 + = = 7 Normaalin kulmakerroin kn = = k Normaalin yhtälö y y = kn( ) =, y =, kn = y = ( ) y = + 9 t

26 Tangentin ja -akselin leikkauspiste saadaan sijoittamalla y =. + 9= = ( ( 7) ) Pinta-ala A = = 5 Vastaus: Ala on Funktion kulun tutkiminen 8. a) Funktio h ( ) = + 5 Derivaatta h'( ) = Derivaatan nollakohta Kulkukaavio h () h () h'( ) = = Ei nollakohtia ' Funktio on kasvava kaikilla :n arvoilla. b) Funktio f ( ) = 8+ Derivaatta f '( ) = 8 Derivaatan nollakohta f '( ) = 8= = Kulkukaavio f () f () Funktio f on kasvava, kun. c) Funktio h ( ) = + Derivaatta h'( ) =

27 Derivaatan nollakohta Kulkukaavio h () h () h'( ) = = = : = = ± Funktio h on vähenevä, kun. Vastaus: Funktio on a) kasvava kaikilla :n arvoilla b) kasvava, kun ja vähenevä, kun c) kasvava, kun tai ja vähenevä, kun. 9. a) Funktio f( ) = Derivaatta f '( ) = Koska f '( ) = kaikilla muuttujan arvoilla, niin funktio f on kasvava ja vähenevä kaikkialla. b) Funktio g ( ) =,65 +,6,5 Derivaatta g'( ) = 6 9,+, 6 Derivaatan nollakohdat g'( ) = 6 9, + 6, = Kulkukaavio g () g(),75,8 = ( 9, ) ± ( 9, ) 6 6, 6 9, + 9, = = 8, 9, 9, = = 75, Funktio g on kasvava, kun 75, tai 8, ja vähenevä, kun, 75, 8. c) Funktio Derivaatta h ( ) = 5 h'( ) = 5 5

28 Derivaatan nollakohta h'( ) = Kulkukaavio h () h() 5 = (5 ) = Funktio h on kasvava, kun = tai 5 = 5 = =± =± =± ± 55, tai 5 5 5) h '( ) = > h '(,) =,95 < h '(,) =,95 < h '() = > ja vähenevä, kun Vastaus: Funktio on a) kasvava ja vähenevä kaikkialla, b) kasvava, kun 75, tai 8, ja vähenevä, kun 75, 8,, c) kasvava, kun 5 tai 5 ja vähenevä, kun Funktio y = 8, 5 +, Derivaatta y' = 5, + Derivaatan nollakohdat y' = 5, + = Kulkukaavio y y,5, = ( ) ± ( ) 5, 5, + 87, =,, 8 87, = 5,, 8 Vastaus: Polku oli alamäkeä välillä [,5 km;, km]. 6

29 . Kulkukaavio Kulkukaaviosta nähdään, että funktio on kasvava väleillä ], ], [,] ja [, [, vähenevä väleillä [, ] ja [,]. Maksimikohdat = ja =, minikohdat = ja = Derivaatan kuvaajasta nähdään, että derivaatan eli tangentin kulmakertoimen arvo kohdassa = on. Vastaus: Kasvava väleillä ], ], [,] ja [, [, vähenevä väleillä [, ] ja [,]. Maksimikohdat = ja =, minikohdat = ja =, tangentin kulmakerroin. a) Funktio f ( ) = + Derivaatta f 'bg= + Derivaatan nollakohdat + = = 6 Kulkukaavio 6 f () f () ma Maksimiarvo f (6) = 6 b) Funktio f ( ) = Derivaatta f 'bg= Derivaatan nollakohdat = = : 7

30 Kulkukaavio f () f () ma min Maksimiarvo f ( ) = Minimiarvo f () = = = ± c) 5 5 Funktio f ( ) = Derivaatta f '( ) = 5 Derivaatan nollakohdat 5 = 5 ( ) = = tai = Kulkukaavio f () f () ma min Maksimiarvo f () = Minimiarvo f () = 8 Vastaus: a) Maksimikohta 6, maksimiarvo 6 b) maksimikohta, maksimiarvo, minimikohta, minimiarvo c) maksimikohta, maksimiarvo, minimikohta, minimiarvo 8. a) f( ) =, 5 5 ( ) 8 + ( + ) f '( ) = = = 8 8 ( ) ( + ) = = tai + = ei käy Kulkukaavio =± 8

31 maksimikohta maksimiarvo, maksimiarvo ( ) f ( ) = = ( ) ( ) f ( ) = = ( ) ja maksimikohta, b) 5 f( ) = ( )( ) = + f '( ) = 5 5 = (5 ) = = tai 5 = kokeilemalla nähdään, että yksi juuri on = Suoritetaan jakolasku ± = ei juuria Kulkukaavio ± ± ± = 5 5± 5 =

32 maksimikohta, maksimiarvo minimikohta, minimiarvo f () = ( )( ) = f () = ( )( ) = Vastaus: a) maksimikohta, maksimiarvo ja maksimikohta, maksimiarvo b) maksimikohta, maksimiarvo ja minimikohta, minimiarvo.. f ( ) = + a + 9 f '( ) = + a+ 9 f '( ) = ( ) + a ( ) + 9 = a = 6 f '( ) = = 9 ± = = = Kulkukaavio minimiarvo maksimiarvo f ( ) = ( ) + 6 ( ) + 9 ( ) = f ( ) = ( ) + 6 ( ) + 9 ( ) = Vastaus: a = 6, minimiarvo ja maksimiarvo 5. a f( ) = + ( + ) ( a ) a f '( ) = = ( + ) ( + )

33 f '( ) = ( ) ( ) a = ( + ) a = f '( ) = ( + ) = Kulkukaavio ( ) ( ) ( ) ( ) ± = () = = minimiarvo ( ) f ( ) = = 6 + Vastaus: a =, minimiarvo 6 6. f ( ) = + a + b+ c f '( ) = + a+ b f '( ) = ( ) + a ( ) + b= f '() = + a + b= a+ b= ( ) a+ b= 6a = 9 a = + b = b = 6 Kulkukaavio

34 minimiarvo f () = 8 c = c = 8 Vastaus: a =, b = 6, c = 8. Polynomifunktion kuvaajan piirtäminen 7. Kuvaaja a) on derivaattafunktion kuvaaja ja b) funktion kuvaaja, koska funktion a) nollakohdissa on funktion b) ääriarvokohdat. 8. a) f ( ) = + f '( ) = = =± ±,58 kulkukaavio

35 Funktio on kasvava, kun tai maksimiarvo f = + minimiarvo f ( ) = ( ) ( ) +,6 ja vähenevä, kun ( ) ( ) ( ),8 y -,5 -, - -5, -,5 -,88 -, -,5,8,,5,6,,5,88 7,,5, b) f f '( ) = 6 ( ) = + 6 = = ( 6) = tai =± 6 ±,5 kulkukaavio

36 Funktio on kasvava, kun 6 tai 6 ja vähenevä, kun 6 tai 6 maksimiarvo f () = + = minimiarvo f ( 6) = ( 6) ( 6) + = 5 minimiarvo f ( 6) = ( 6) ( 6) + = 5 y -, -,5,77 - -,75 -,5 -,98 - -, -,5 -,8 -,5 -,5,7,,5,7,5,5 -,8 -,,5 -,98 -,75,5,77, 9. a) f ( ) = 5 f '( ) = 5 5= =± 5 ± 7, 7 kulkukaavio

37 Funktio on kasvava, kun 5 tai 5 ja vähenevä, kun 5 5 maksimiarvo minimiarvo f ( 5 ) = ( 5 ) 5 ( 5 ) 77 f (5 ) = (5 ) 5 (5 ) 77 y - -6, - -7, - 7, - 9, - 5, -9 6, , -7 77, -6 68, -5 65, - 56, -, - 9, - 9,, -9, -9, -, -56, 5-65, 6-68, 7-77, 8-688, 9-6, -5, -9, -7, 7, 6, b) 5 f ( ) = + 5 f '( ) =

38 5 5 + = ( 5 ) + = = tai 5 + = sij. t = t t+ = ± t = 5 5± t = 6 5 t = = 6 5+ t = = 6 Sijoitetaan t = = =± (5) (5) = =± kulkukaavio Funktio on kasvava, kun tai tai ja vähenevä, kun tai tai maksimiarvot f ( ),6 ja f ( ),6 minimiarvot f ( ) =,5ja f () = sekä f () =, 5 6

39 y y = f() = + a + Kun polynomifunktion asteluku on parillinen, on funktiolla vähintään ääriarvokohta. Funktion f korkeimman asteen termin kerroin on positiivinen, joten funktiolla on ainakin minimikohta kaikilla a:n arvoilla. Polynomifunktion ääriarvokohdat ovat derivaatan nollakohdissa. f '() = + a Derivaatan nollakohdat + a = ( + a) = = tai + a = a = ± a > a < a Kohdassa = ± derivaatalla on nollakohta, kun a <. Jos a >, derivaatalla on vain nollakohta =, joka on funktion minimikohta. Kulkukaavio a b) Funktiolla on ääriarvopisteet kohdissa = ja = ±. Kun =, on y = a + = eli ääriarvopiste on (,). Muut ääriarvopisteet 7

40 + a = a = f() = + a + = + = + Koska myös piste (,) toteuttaa yhtälön y = +, funktion kaikki ääriarvopisteet sijaitsevat käyrällä y = +. c) Piirretään käyrä y = + sekä funktion f() = + a + kuvaajia, kun a =, ja. Vastaus: a) Kaikilla a:n arvoilla b) funktion kaikkia ääriarvopisteet sijaitsevat käyrällä y = Funktion suurin ja pienin arvo. a) Funktio f ( ) = ,, Derivaatta f 'bg= + 9 Derivaatan nollakohdat + 9 = = Ei kuulu välille, Funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteessä tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. f b g= pienin f = 5 suurin b) bg Funktio f( ) = + + 8,, f ' = + Derivaatta ( ) 8

41 Derivaatan nollakohdat + = ( ) ± = = =,9.. < ei käy 6 + = =,5.. > ei käy 6 Polynomifunktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteessä tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. f ( ) = ( ) + ( ) ( ) + 8= 8 suurin f ( ) = ( ) + ( ) ( ) + 8 = pienin 8 Vastaus: a) Pienin arvo, suurin 5 b) Pienin arvo, suurin 8 8. a) Funktio f ( ) = 6 + +,, Derivaatta f 'bg= + Derivaatan nollakohdat + = b g± b g = 8 = = = = ei kuulu välille, 6 Funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteessä tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. f b g= pienin F f suurin f I HG K J = bg= 6 9

42 b) Funktio f( ) = + 5, [,] Derivaatta f 'bg= 8 Derivaatan nollakohdat 8 = ( 8 ) = = tai = 8 Funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteessä tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. f b g= 9 pienin f bg = F f HG I 5 suurin 8 K J = 7 f = bg Vastaus: a) Pienin arvo, suurin b) Pienin arvo 9, suurin 5. a) f( ) = +, välillä [, ] f '( ) = = = = = = ei kuulu välille Funktio on jatkuva välillä [, ] ja derivoituva vastaavalla avoimella välillä, joten funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteessä tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. f ( ) = + = pienin f ( ) = + = suurin f ( ) = + =

43 b) ( ) + f( ) = = + +, välillä [,] ( )( + ) ( + ) f '( ) = = ( + ) ( + ) ( + ) = = =± Funktio on jatkuva välillä [,] ja derivoituva vastaavalla avoimella välillä, joten funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteessä tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. ( ) f ( ) = = ( ) + ( ) f ( ) = = suurin ( ) + ( ) f () = = pienin f () + ( ) 9 8 = = () + Vastaus: a) pienin, suurin b) pienin, suurin F I HG K J O = + Q P L N M. Funktio fbg= +,, Derivaatta f 'bg= + Derivaatan nollakohdat + = ± = b g = = = + O = Q P b g ei kuulu välille, L N M

44 Kulkukaavio f () f () min ma min Suurin arvo ainoassa maksimikohdassa f Vastaus: Luku F H G I K J = 8 antaa lausekkeelleele suurimman arvon. bg b g 'bg= π π 5. Funktio f r = π r r = πr πr, r > Derivaatta f r r r Derivaatan nollakohdat πr πr = πrb rg= πr = tai r = r = tai r = Kulkukaavio f () r f () min ma Vastaus: Suurin arvo, kun r = f( ) = f '( ) = = ( + ) = = tai + = = ± Kulkukaavio Kulkukaaviosta nähdään, että funktion suurin arvo on jompi kumpi maksimeista

45 6 f ( ) = ( ) + 6 ( ) 6 = 6 f () = = Koska funktion suurin arvo negatiivinen, funktio saa vain negatiivisia arvoja. 7. Funktio f ( ) = 5 Derivaatta f 'bg= Derivaatan nollakohdat = = Kulkukaavio f () f () f ( ) = > f () = < ma Funktion f maksimiarvo f () = 5 on samalla f:n suurin arvo. Funktio g ( ) = + + Derivaatta g'bg= + Derivaatan nollakohdat + = = Kulkukaavio g () g () min Funktion g minimiarvo g F H G I K J = 7 on samalla g:n pienin arvo 8 Koska f :n suurin arvo 5 on pienempi kuin g:n pienin arvo 7, niin kuvaajat eivät leikkaa 8 toisiaan. 8. Paraabelin huipun -koordinaatti on derivaatan nollakohta. Paraabeli y = + a+ 5 Derivaatta y'= 6 + a y '() = 6 + a = a = 6 Vastaus: y = 6 + 5

46 9. Paraabeli kulkee pisteen (, ), joten pisteen koordinaatit toteuttavat paraabelin yhtälön. Sijoitetaan pisteen (, ) koordinaatit paraabelin yhtälöön y = a + b+ c. a + b + c= c = Sijoitetaan c ja pisteen (, ) koordinaatit paraabelin yhtälöön. a + b = a+ b = Paraabelin huipun -koordinaatti on derivaatan nollakohta. Paraabeli y = a + b+ c Derivaatta y' = a + b Derivaatan nollakohta a + b = b = a Paraabelin huippu on pisteessä (, ), joten saadaan yhtälö b = a b = a sijoitetaan yhtälöön a+ b = a a = a = sijoittamalla saadaan b = a = Vastaus: y =. Funktio f ( ) =, g ( ) = e = f g =,, Erotus ( ) ( ) ( ) [ ] Derivaatta ( ) e' = Derivaatan nollakohdat = b g= = tai = = Kulkukaavio e () e() min ma min

47 Maksimi e F I HG K J = 7 Vastaus: Suurin pystysuora etäisyys. Ääriarvosovelluksia 7, kun =. Luku Tutkitaan funktiota f, Derivaatta f 'bg= bg= < Derivaatan nollakohdat = Juuret ja e j = = tai = eivät kuulu välille < =± Ainoa maksimi f Vastaus: Luvun F HG ma I KJ = =. Luku Tutkitaan funktiota fbg= Derivaatta f 'bg= on suurin arvo. Derivaatan nollakohdat = = Kulkukaavio =,6 5

48 f () f () f () = > f () = < ma Vastaus: Luku =. bg b g Ala A = = Derivaatta A'bg= 6 Derivaatan nollakohdat 6 = = Kulkukaavio 8 A () A() ma Ala suurin, kun toinen sivu ja toinen = Vastaus: Rantaa vastaan kohtisuora sivu m ja rannan suuntainen m. 6

49 . Pois leikattavan neliön sivun pituus eli eli 5 Joten bg b gb g Tilavuus V = = + 6 Derivaatta V'bg= + 6 Derivaatan nollakohdat + 6 = Kulkukaavio b g b g = ± 6 = = 9,... + = =, ei käy V () V(),9 min ma min Maksimi Vb, 9... g= 56, 5... bg= + Vastaus: Tilavuuden lauseke V 6 cm., ja suurin tilavuus 7

50 5. Ikkunan ympärysmitta πr+ r+ a =,, πr r a = r r F Ala Ar bg= r + ra= r + r, π π π = π r, r bg F b g I Derivaatta A' r = π r, r, HG K J + = π + Derivaatan nollakohta b π gr +, = b π gr =, :( π ) Kulkukaavio A (r) A(r),68 π + min ma min Suorakulmion korkeus, πr r π F F π a = = 6 + r H G6 H G Maksimi A π + F H G I K J F = H G F H G I K J = + π I K J HG I K J + r =, =, + = 68,... 68, π π π + r I K JI K J F H G I K J + r + = π = π π + π + = 8 π + =,..., a r Vastaus: Puoliympyrän säde ja suorakulmion korkeus,68 m, jolloin ala on, m. 6. d h Suorakulmaisesta kolmiosta + h = 5, h = 5, F H I K = + > Tulo T bg= h = 5, 65, Derivaatta T'bg=

51 Derivaatan nollakohdat + 65= =± 65 > =,..., Kulkukaavio, 5 T () T() ma Hirren korkeus h = 5,,..., Vastaus: Hirren leveys =, cm ja korkeus h =, cm. 7. yhden euron korotusten määrä Tuottofunktio T( ) = (5, + )( ),( ) = + = T'( ) = = = Tuottofunktion kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joten funktio saa suurimman arvonsa paraabelin huipussa =. Tuotteen hinta 5 + = 9 Vastaus: 9 8. Suoran yhtälö y = + y + = Paraabelin piste (, ) Suoran ja paraabelin pisteen etäisyys a + by + c d( ) = a =, b =, c =, =, y = a + b + + = = Tutkitaan funktiota f() = + + 9

52 f ' () = + + = = Funktion f() = + + kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten funktio saa pienimmän arvonsa huipussa =. f:n pienin arvo f( ) = ( ) +( ) + = > + + Koska f:n pienin arvo on positiivinen, saa etäisyysfunktio d( ) = pienimmän arvonsa, kun f() = + + saa pienimmän arvonsa eli kohdassa =. Pienin etäisyys ( ) + ( ) + d( ) = =,9 Vastaus:, 9 Harjoituskoe 5. a) Funktio f ( ) = + + k, k R 5 Derivaatta f '( ) = = b) Funktio g( ) = (+ ) = + + Derivaatta g'( ) = + + = 8+ c) Funktio Derivaatta h ( ) = + ( + ) + h'( ) = = ( + ) ( + ) Vastaus: a) f '( ) = + 8 b) g'( ) = 8+ c) + h'( ) = ( + )

53 . a) + ) ( + ) lim = = = b) ) + lim[:( + )] = lim[:( )] = lim = = = + + Vastaus: a) b). a) Funktion nollakohdilla tarkoitetaan niitä muuttujan arvoja, joissa kuvaaja joko leikkaa tai sivuaa -akselia. Kuvasta saadaan, ja. Funktion derivaattafunktio saa arvon nolla funktion ääriarvokohdissa. Kuvasta ja. b) Laaditaan derivaattafunktion perusteella funktion kulkukaavio. Kulkukaavio Kulkukaaviosta nähdään, että funktion minimit ovat kohdissa ja sekä maksimi kohdassa. Funktion kohtaan = piirretyn tangentin kulmakerroin on sama kuin funktion derivaatan arvo tässä kohdassa. Kuvaajasta k = f '(). Vastaus: a) Funktion nollakohdat, ja. Derivaatan nollakohdat ja b) minimikohdat ja, maksimikohta, k. ( + ), <, <. f( ) = = = ( ), +, Itseisarvo ei muuta funktion jatkuvuutta, joten polynomifunktiona f( ) on jatkuva aina., < Derivaatta f '( ) =, > Funktio on derivoituva, kun < ja >. Koska funktion derivaatta ei ole yksikäsitteinen lähestyttäessä kohtaa, funktio ei ole derivoituva kohdassa. Derivaattafunktion kuvaaja

54 Vastaus: Funktio on jatkuva, kun ja derivoituva, kun. 5. Pohjasärmä > (m) Särmiön korkeus a > (m) Rautalankaa käytössä, m, joten 8+ a = eli a = Koska pituudet ovat positiivisia > eli <. Tilavuus V = a V( ) = ( ) = +, < < Haetaan tilavuuden suurin mahdollinen arvo. Tilavuusfunktio on polynomifunktiona derivoituva, kun < <. Derivaatta V '( ) = 6 + Derivaatan nollakohdat

55 Kulkukaavio, kun V '( ) = 6 + = (6 ) = = tai 6 = = = 6 < < Kulkukaaviosta nähdään, että funktion suurin arvo on kohdassa Pyydystimen mitat pohjan särmä m =,66... m,67 dm ja korkeus 6 a = = ( ) m = m,67 dm 6 6 Vastaus: Kuutio, jonka särmät ovat,67 dm. = Funktio f ( ) = ( ) = ( + ) = + Funktio on polynomifunktiona derivoituva, kun. Ääriarvot sijaitsevat derivaatan nollakohdissa. Derivaatta f ( ) = 6 + Derivaatan nollakohdat f ( ) = 6 + = (8 6+ ) = = tai 8 6+ = ( 6) ± ( 6) 8 = = 8 6+ = = 6 6 = = 6

56 Kulkukaavio f ( ) = 6 + f '() = 6() () + () = < f '( ) = 6( ) ( ) + ( ) =,975> f '( ) = 6( ) ( ) + ( ) =,7... < f '() = 6 + = 6 > Funktion miniarvot maksimiarvo f () = ( ) = ja f ( ) = ( ) ( ) = 6 Vastaus: Funktion miniarvo on ja maksimiarvo on f ( ) = ( ) ( ) = 6 7. Funktio f( ) = Derivaatta kohdassa + f( ) f() f '() = lim = lim = lim ) ( ) + + = lim = = Vastaus: f '() = 8. Funktio f( ) = on jatkuva ja derivoituva, kun. ( ) + Derivaattafunktio f '( ) = =, ( ) Haetaan derivaattafunktion suurin arvo, kun. + Merkitään g( ) = f '( ) = = +. Funktio g( ) on jatkuva ja derivoituva, kun. 6 Derivaattafunktio g'( ) = ( ) = < aina, kun, koska >. Koska derivaatta on negatiivinen, niin funktio on aidosti vähenevä, kun. Näin ollen funktion suurin arvo on puoliavoimen välin alkupisteessä. Funktion g( ) = f '( ) suurin arvo Vastaus: Derivaattafunktion suurin arvo on. g() = f '() = + =.

57 Harjoituskoe. Funktio f() = 6 5 Derivaatta f () = 5 Derivaatan nollakohdat f () = 5 = : 5 = ( ) ± ( ) ( 5) = 6 = = + 6 = = 5 Vastaus: Derivaatan nollakohdat ovat ja 5.. Käyrä y = f( ) = Koska f (6) = = 5, piste (6,5) on käyrällä Derivaatta f () = Normaalin kulmakerroin k n = k = t f '(6) = Normaalin yhtälö y y = kn( ) = 6, y = 5, kn = y 5 = ( 6) y = + 8 Normaalin ja käyrän toinen leikkauspiste y = + 5 y = + 8 Sijoitetaan y = + 8 ylempään yhtälöön 5

58 + 5= + 8 = 6 9 8= ( 9) ± ( 9) ( 8) = 9 5 = = 9+ 5 = = 6 Leikkauspisteen y-koordinaatti y = f = + 5= 8 Normaalin ja käyrän toinen leikkauspiste,8 y Vastaus: Normaalin yhtälö on,8 y = + 8. Normaalin ja käyrän toinen leikkauspiste on. a) Raja-arvo lim Jaetaan osoittaja tekijöihin käyttäen apuna osoittajan nollakohtia. Osoittajan nollakohdat = 6

59 Raja-arvo lim 8± 8 7 = 8 6 = = = = ( + ) ( + 7) + 7 = lim = = + ( + ) b) Raja-arvo 7 lim + Jaetaan nimittäjä tekijöihin käyttäen apuna osoittajan nollakohtia. Nimittäjän nollakohdat + = ( ) ± ( ) = = = 8 + = = 8 7 ( 9) ( ) ( + ) 8 Raja-arvo lim = lim = lim = + ( ) ( ) ( ) Vastaus: Raja-arvo on a) b) 8.. Funktio f() = + Derivaatta f () = + 6 Derivaatan nollakohdat f () = + 6 = ( + ) = = tai + = = tai = Kulkukaavio Maksimi f( ) = ( ) + ( ) = Minimi f() = + = 7

60 y 5 5 Vastaus: Paikallinen maksimi on ja minimi Funktio f( ) = + Funktio on jatkuva, kun 5 ja derivoituva, kun < < 5. Nollakohdat f() = 9 = + 9 = ( 9) = = tai = ( 9)(+ ) ( 9 ) + 7 Derivaatta f '( ) = = (+ ) (+ ) Derivaatan nollakohdat f () = + 7 = ( + ) + 7 = Kulkukaavio ± ( 7) = 576 = = Ei käy = = 8 8

61 9 Minimi f = = + Maksimit 9 f () = = f (5) = = 5 + Suurin arvo Pienin arvo Funktion arvojoukko on 5 y. Vastaus: Funktion nollakohdat ovat ja. Funktion arvojoukko on 5 y. a+ <, kun 6. Funktio f( ) = a 5, kun Funktio on jatkuva kohdassa =, kun funktion raja-arvo on yhtä suuri kuin funktion arvo tässä kohdassa. lim f( ) = f() Vastaus: Vakio a = 6. lim f( ) = lim f( ) = f() + a lim ( a+ ) = lim 5 = f() a a a + = 5= 5 a a = 5 a 6= a a = Tangentti kohtaan Käyrä 5 = 6 = y = f( ) = =, Derivaatta f () = = 9

62 5 Tangentin kulmakerroin k t = f = = 5 5 Tangentin yhtälö y y = k t ( ) = 5, y = f( 5 ) = 5 5 = 5 y 5 = 5 5 y = + 5 Tangentin suuntakulma tanα = 5 α =,8 y Vastaus: Tangentin yhtälö on 5 y = +. Tangentin suuntakulma on, Peltilevyn leveys on cm, joten + y =, eli =, y. Kouru kuljettaa mahdollisimman runsaasti vettä, kun sen poikkileikkauksen pinta-ala on mahdollisimman suuri. Pinta-ala A = y = (, y)y =,y y, y,5 Derivaatta A (y)=, y Derivaatan nollakohdat, y = y =,75 5

63 Kulkukaavio Kouru kuljettaa mahdollisimman paljon vettä, kun kourun korkeus on,75 m = 7,5 cm ja leveys, m,75 m =,5 m = 5 cm. Vastaus: Kourun leveys on 5 cm ja korkeus 7,5 cm. Harjoituskoe. Kuvaajasta lukien tangentin kulmakerroin eli derivaatan arvo kohdassa = on,5 ja myös kohdassa =. Vastaus:,5 ja kohdassa =. f f '( ) = ( ) = + 9 5

64 = ± = = = Vastaus: ja ( ) ( ) ( ). f( ) = + + (+ ) f '( ) = = ( + + ) ( + + ) = ( + + ) = = Kulkukaavio Vastaus:. y = + ( + ) 6 + y ' = = ( + ) ( + ) + tangentin kulmakerroin y '() = = ( + ) 8 normaalin kulmakerroin 8 tangentin ja käyrän sivuamispisteen y-koordinaatti y () = = + tangentin yhtälö y = ( ) 8 y =

65 normaalin yhtälö y = 8( ) y = 8 7 Vastaus: tangentti y = +, normaali y = Funktio f() = + Δ f f ( ) f( ) Erotusosamäärä = Δ f ( ) f( ) Derivaatta f '( ) = lim a) Erotusosamäärä kohdassa = Δf f( ) f() + = = Δ Polynomin + nollakohdat + = ± ( ) = 9 = = + 9 = = Δf f( ) f() + ( )( + ) Erotusosamäärä = = = = + Δ f( ) f() b) Derivaatta f '() = lim = lim( + ) = Vastaus: a) Erotusosamäärä on Δ f = + b) derivaatta f () =. Δ f ( ) = f '( ) = = sijoitetaan t = 6 5

66 t + t+ = 9 7 ± t = ± 87 t = 86 t = 5,... t =,... sijoitus t = 6 6 = 5,... ei ratkaisua 6 =,... ei ratkaisua Koska polynomifunktiolla ole ääriarvokohtia. 9 7 f ( ) = ei ole derivaatan nollakohtia, ei funktiolla 7. narun pituus a osat ja a, missä [, a] ympyrän kehän pituus π r = r = π ympyrän ala Aymp = π ( ) π neliön piiri s = a a s = neliön ala a Aneliö = ( ) kokonaisala a A ( ) = π ( ) + ( ) π π a aπ+ π = + 6π 6π ( + π) aπ+ πa = 6π A'( ) = [(8 + π ) aπ ] 6π 5

67 [(8 + π ) aπ ] = 6π π a = < a + π Pinta-alafunktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten funktio saa pienimmän π a arvonsa paraabelin huipussa = < a ja suurimman arvonsa välin [, a ] päätepisteessä. + π a a A() = π ( ) + ( ) = π 6 πa πa a+ πa πa a π a ( ) a A π π π π π = = + + π π 8 π + a a π a + a = π 8 π + 8 π = + + (8+ π ) a a a a a Aa ( ) ( ) ( ) π π 6 pienin = π + = > suurin Vastaus: suurin ala, kun koko naru käytetään ympyrään ja pienin ala, kun toinen osa on π a a ja toinen. + π + π 8. f ( ) = a + + a (a ) a f '( ) = a = a = a = f( ) = + + = + + = = 55

68 Vastaus: y = + 56

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

4 Polynomifunktion kulku

4 Polynomifunktion kulku 4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia? Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

Lisätiedot

MAA7 7.2 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! lim.

MAA7 7.2 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! lim. MAA7 7. Koe Jussi Tyni 8.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 9 lim 6 lim 1. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). 1 f ( ) derivaatta 1 Onko funktio f ( ) 9 kaikkialla vähenevä? Perustele vastauksesi

Lisätiedot

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),

Lisätiedot

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] saadaan laskemalla kohtia x = 0 ja x = vastaavien kuvaajan

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2 Lisätehtävät Polnomifunktio 7. Epähtälöt = + 8. a) < + < + < Vastaus: ) < < Vastaus: < 8 8 8 = 8 = + c) ( ) < + ( ) < + < + < : ( > ) < Vastaus: < d) ( )

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016 Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 Derivaatta. a) Vastaus: Merenpinta nousee aikavälillä 00:00-06:00 ja :30-7:30. Merenpinta laskee aikavälillä 06:00-:30 ja 7:30-3:00. b) Merenpinta nousi 0,35 cm ( 0,) cm = 0,55 cm tuona aikana. Merenpinta

Lisätiedot

Matematiikkaa kauppatieteilijöille

Matematiikkaa kauppatieteilijöille Matematiikkaa kauppatieteilijöille Harjoitus 7, syksy 2016 1. Funktio f(x) = x 2x 2 + 4 on jatkuva ja derivoituva kaikilla x R. Nyt funktio f(x) on aidosti alaspäin kupera kun f (x) > 0 ja aidosti ylöspäin

Lisätiedot

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,

Lisätiedot

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit .4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun

Lisätiedot

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6 . Polynomifunktio. a Suoran kulmakerroinn k = , joten suora on nouseva. c Suoran kulmakerroinn k =, joten suora on -akselin suuntainen vaakasuora.

Lisätiedot

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7. Koe Jussi Tyni 1..01 1. Laske raja-arvot: a) 5 x lim x5 x 10 b) x 8x16 lim x x 9 x. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (5). b) Onko funktio f x vastauksesi lyhyesti 1 9 x ( ) x f ( x)

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA,

Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA, Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA, MAA6 1. Suurin ja pienin arvo suljetulla välillä Lause, jatkuvan funktion ääriarvolause: Suljetulla välillä a, b jatkuva funktio f saa aina pienimmän ja suurimman

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6 . Polynomiunktio. a Suoran kulmakerroinn k = , joten suora on nouseva. c Suoran kulmakerroinn k =, joten suora on -akselin suuntainen vaakasuora.

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen.

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen. 4.1 Polynomifunktion kulun tutkiminen s. 100 digijohdanto Funktio f on kasvava jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa ehto f(a) < f(b). Funktio f on vähenevä jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa

Lisätiedot

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Rationaalilauseke ja -funktio

Rationaalilauseke ja -funktio 4.8.07 Rationaalilauseke ja -funktio Määritelmä, rationaalilauseke ja funktio: Kahden polynomin ja osamäärä, 0 on rationaalilauseke, jonka osoittaja on ja nimittäjä. Huomaa, että pelkkä polynomi on myös

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5. a) Ratkaise epäyhtälö >. b) Määritä kaikki luvut, jotka toteuttavat vaatimuksen: Luvun neliön ja vastaluvun summa on. c) Sievennä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

MAOL-pisteytysohje. Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät 2014

MAOL-pisteytysohje. Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät 2014 0..0 MAOL-pistetsohje Matematiikka lht oppimäärä Kevät 0 Hvästä suorituksesta näk, miten vastaukseen on päädtt. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut ja lopputulos. Arvioinnissa

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali 6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla

Lisätiedot

Matematiikan pohjatietokurssi

Matematiikan pohjatietokurssi Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio, 8.-9.9.015, ratkaisut 1. Jaa tekijöihin (joko muistikaavojen avulla tai ryhmittelemällä) (a) x +x+ = x + x + = (x+) x +x+ = (x +x+1) = (x+1) (c) x 9 = (x) 3

Lisätiedot

Hyvä uusi opiskelija!

Hyvä uusi opiskelija! Hyvä uusi opiskelija! Tässä tulee tärkeää tietoa heti syksyn alussa pidettävästä laskutaitotestistä. Matematiikka kuuluu tekniikan alan opiskelijan tärkeimpiin oppiaineisiin. Matematiikan opiskelu kehittää

Lisätiedot

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1 Mapu. Laskuharjoitus 3, Tehtävä Lineaarisessa approksimaatiossa funktion arvoa lähtöpisteen x 0 ympäristössä arvioidaan liikkumalla lähtöpisteeseen sovitetun tangentin kulmakertoimen mukaisesti: f(x 0

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia 3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to Matematiikan peruskurssi (MATY00) Harjoitus 10 to 6.3.009 1. Määrää funktion f(x, y) = x 3 y (x + 1) kaikki ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Ratkaisu. Koska f(x, y) = x 3 y x x 1, niin

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

MAA10 HARJOITUSTEN RATKAISUJA

MAA10 HARJOITUSTEN RATKAISUJA MAA MAA HARJOITUSTEN RATKAISUJA. f(), jolloin kaikki integraalifunktiot saadaan parvesta F() C, ja kun F(), niin integroimisvakion määräämiseksi saadaan yhtälö C C 9 9 C. Kysytty integraalifunktio on siten

Lisätiedot